math

1. 1
é
é à
Exercice1 : 3pts
Soient 1 2z et z deux nombres complexes tel que : 1 2
1 2
2 3
. 4
z z
z z
  


1-resoudre ce système dans 
2-dans le plan complexe rapporte au repère orthonormé direct ; ;O u v . On
considère les points      ;A B CA z B z et C z tel que
3 ; 3A B C Az i z i et z z     
a-calculer Dz l’affixe du pont D le barycentre du système       ; 1 ; ;1 ; ;1A B C
b-montrer que ABCD est un parallélogramme
c-calculer
1954
1962 2017
;
2 2 2
A B Cz z z
et
     
     
     
3-montrerque l’ensemble des points  M z tel que :   .A B C Cz z z z z z   est un
cercle (C) et déterminer l’affixe de son centre et son rayon.
4-determiner (C’) l’image du cercle (C) par l’homothétie du centre A et de
rapport 2.
5-determner l’ensemble des points M(z) tel que :  arg 2
2Az z k telque k



   
Exercice 2 : 8pts
I-Soit   2
1 x
g x x e 
   définie sur IR
1-calculer    lim lim
x x
g x et g x
 

2. 2
2-calculer  'g x pour tout x IR puit étudier son signe et donner le tableau de
variation de g.
II-Soit   2
1 x
f x x xe 
   définie sur IR
1-montrer que    lim lim
x x
f x et que f x
 
   
2-montrer que     lim 1 0
x
f x x

   et interpréter ce résultat géométriquement
3-determiner l’intersection de la courbe  fC avec la droite  : 1y x   .
4-etudier la position de  fC avec   sur  ;0 et  0;
5-a-montrer que    2
: ' .x
x R f x e g x
  
b-en déduire que la fonction f est croissante sur IR
c-donner le tableau de variation de f
6-a-montrer que l’équation   0f x  admet une solution unique  tel que
0,1 0,2 et interpréter ce résultat géométriquement.
b-en déduire que : les solutions de l’inéquation : 2 1x
e


 
 .
c-montrer que f admet une fonction réciproque 1
f 
définie sur IR
7-a- montrer que     2
: '' 2 x
x IR f x x e 
   
b-déterminer le point d’inflexion A de la courbe fC .
c-déterminer l’équation de la tangente (T) à la courbe  fC au point A.
8-construire   ; (T) et  fC puis  1
f
C  dans le même repère orthonormé  ; ;O i j
9-discuter suivant les valeurs du paramétré réel m les solutions de l’équation
 f x x m 
10-calculer en 2
cm l’aire du domaine plan limitée par la courbe fC , l’axe des
abscisses et les droites d’équations respectives : x=1 et x=2
Exercice 3 : 3pts

3. 3
Un sac contient 3 boules noires, 4 boules blanches et une boule jaune. On tire au
Hazard et sans remise 3 boules du sac. Les boules sont indiscernables au
toucher.
1-calculer la probabilité de chaque évènement suivant :
A :<<tirer une boule de couleur l’une des couleurs existantes>>
B :<<tirer 3 boules de même couleur>>.
C :<<tirer 2 couleurs uniquement>>.
D :<<tirer une boule jaune>>.
2-calculer la probabilité d’obtenir 2 couleurs uniquement sachant que la boule
jaune est tirée.
3-on répète l’expérience précédente 5 fois de suite avec retour des boules tirées
chaque fois dans le sac.
Calculer la probabilité de réaliser au moins l’évènement A.
Exercice 4 : 3pts
Soit la suite  nu définie par :  
3
3
1 0
1
: 1 0
8
n nn IN u u et u    
1-calculer 1u et 2u
2-montrer que : :0 1nn IN u   
2-etudier la monotonie de la suite  nu , en déduire que  nu est convergente
4-on pose : 3 1n nv u  .
a-montrer que : la suite  nv est géométrique de raison
1
2
b-calculer nu en fonction de n et calculer lim n
n
u

c- écrire 3 33 3
0 1 2 ......n nS u u u u    en fonction de n et calculer lim n
n
S
