Algebra(4) 5° 1 b

61 62COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to. Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria
I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
• Realizar la división de polinomios por los
métodos de Horner y Ruffini.
• Resolver problemas que involucran división
de polinomios.
II. PROCEDIMIENTOS
A) INICIALES
Es muy frecuente realizar divisiones con
expresiones numéricas en un campo numérico
limitado. El hombre en su afán de tener un
concepto abstracto de número ha establecido
las expresiones algebraicas que constituyen
las piezas fundamentales del álgebra.
Siendo una de sus aplicaciones las
operaciones con las expresiones algebraicas,
en las cuales manejamos con soltura y
precisión las reglas adecuadas a cada
operación.
Ahora corresponde su turno a la división de
polinomios, operación que requiere de
procedimientos adecuados para obtener lo
deseado.
B) DESARROLLO
1. División Algebraica
Operación que se realiza entre polinomios y
que consiste en hallar dos polinomios
llamados COCIENTE Y RESIDUO,
conociéndose otros dos polinomios
denominados DIVIDENDO Y DIVISOR
que se encuentran ligados por la relación:
D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)
donde:
D(x) : Dividendo Q(x) : Cociente
d(x) : Divisor R(x) : Resto
2. Propiedades de la División
2.1 El grado del dividendo es mayor o igual
que el grado del divisor.
Grado ( D(x) ) ≥ Grado ( d(x) )
2.2 El grado del cociente es igual al grado
del dividendo menos el grado del
divisor, o sea:
Grado (Q(x)) = Grado (D(x)) – Grado (d(x))
2.3 El grado del Resto es menor o igual
que, el grado del divisor disminuido en
la unidad, es decir:
Grado ( R(x) ) ≤ Grado ( d(x) ) - 1
Lo anterior nos indica que el grado
máximo que puede adoptar el resto es
uno menos que el grado del divisor.
2.4 La relación o propiedad fundamental de
la división en el álgebra forma una
identidad.
D(x) = d(x) . Q(x) + R(x) ; ∀ x ∈ R
2.5 Si la división es exacta, el resto es un
polinomio idénticamente nulo.
D(x) ≡ d(x) . Q(x) ⇒ R(x) ≡ 0
3. Principales Métodos de División
METODO DE WILLIAM G. HORNER
Pasos a seguir:
1) Coeficientes del dividendo ordenado
decrecientemente en una variable,
completo o completado.
2) Coeficientes del divisor ordenado
decrecientemente en una variable,
completo o completado, con signo
contrario, salvo el primero.
3) Coeficientes del cociente que se
obtienen de dividir la suma de los
elementos de cada columna entre el
primer coeficiente del divisor. Cada
coeficiente del cociente se multiplica
por los demás coeficientes del divisor
para colocar dichos resultados a partir
de la siguiente columna en forma
horizontal.
4) Coeficientes del residuo que se
obtienen de sumar las columnas finales
una vez obtenidos todos los
coeficientes del cociente.
ESQUEMA GENERAL
1
2
3 4
LINEA DIVISORIA
La línea divisoria se colocará separando
tantos términos de la parte final del
dividendo como lo indique el grado del
divisor.
OBSERVACIÓN: Si la división origina un
cociente exacto, entonces el residuo es un
polinomio nulo (todos sus coeficientes son
cero).
Ejemplo:
Dividir :
4334
7652342567
yxy2yxx3
y2xy4yxyx6yx2yxx6
+−+
++−++−
3 6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2
2 -1 +1 +3 -7 +2 +9 -1
-1
0
+2
-1
-2 0 +4 -2
1 0 -2 +1
-1 0 +2 -1
-3 0 +6 -3
x
Coeficientes del Coeficiente del
ResiduoCociente
La variable se agrega de acuerdo al grado
del cociente y del resto, se tiene:
Q(x ; y) = 2x3
- x2
y + xy2
+ 3y3
R(x ; y) =-7x3
y4
+ 2x2
y5
+ 9xy6
- y7
METODO DE PAOLO RUFFINI
Se utiliza para dividir polinomios y cuyo
divisor es un binomio de primer grado de la
forma: (ax+b).
También podría ser cualquier otro divisor
que puede ser llevado o transformado a la
forma antes mencionada.
Pasos a seguir:
1) Coeficientes del dividendo ordenado
decrecientemente, completo o
completado con respecto a una
variable.
2) Valor que se obtiene para la variable
cuando el divisor se iguala a cero.
3) Coeficientes del cociente que se
obtienen de sumar cada columna,
luego que el coeficiente anterior se ha
multiplicado por  y colocado en la
siguiente columna.
4) Resto de la división que se obtiene de
sumar la última columna.
ESQUEMA GENERAL
1
3 4
2
Ejemplo 01: Dividir :
S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
DIVISIÓN

2x
1x5x11x7x2x3
2345
−
++−+−
Por Ruffini :
3 -2 7 -11 +5 +1
3 4 15 19 43 87
+2 +6 8 30 38 86
x-2=0
x=2
Residuo
Como : Grado (Q) =5 - 1=4, confeccionamos el
cociente :
Q(x) = 3x4
+ 4x3
+ 15x2
+ 19x + 43
R(x) = 87
OBSERVACION: Si en el divisor (ax+b), a≠1 ;
luego de dividir por Ruffini los coeficientes del
cociente deben dividirse entre “a” para obtener el
cociente correcto.
1-
-
x3
7+x8+x17x5+x3 234
Por Ruffini :
3 +5 -17 +8 +7
3 6 -15 +3 +8
1/3 1 +2 -5 +1
3x-1=0
x=1/3
Resto
1 2 -5 +1
: 3
Coeficientes del cociente
Q° =4 - 1=3 ; (Q°  nos indica el grado del
cociente)
Confeccionamos el cociente :
Q(x) = x3
+ 2x2
- 5x + 1 ; R = 8
OBSERVACION: Si el divisor es de la forma
(axn
+b), para proceder a dividir por Ruffini todos
los exponentes de la variable en el dividendo
deben ser múltiplos del exponente de la variable
del divisor. Luego de verificar esto, se procede
como en los ejemplos anteriores.
7-
56-3-
10
10203040
x2
57+xx47+x1x6
Solución:
40, 30, 20, 10 son múltiplos de 10, entonces es
posible aplicar el Método de Ruffini.
6 -31 +47 -56 +57
6 -10 +12 -14 +8
7/2 21 -35 +42 -49
3 -5 +6 -7
: 2
2x -7=010
x =7/210
Q° =40 - 10=30, los exponentes de la variable en
el cociente disminuyen de 10 en 10.
Q(x) = 3x30
– 5x20
+ 6x10
– 7
R = 8
PRACTICA DE CLASE:
01.Siendo Q(x) y r(x) el cociente y residuo
respectivamente que obtiene al dividir :
12x5
- x4
+ 3x2
+ 5 entre 3x3
+ 2x2
- 1
Halle : Q(x) - r(x)
a) 0 b) 7x2
+ 1 c) x2
- 5
d) - x2
+ 5 e) 1 - 7x2
02.Al dividir el polinomio :
P(x) = 2x4
+ x3
- 2x2
+ 5x - 1 entre otro
polinomio, el cociente que se obtuvo fue :
Q(x) = 2x2
- x + 3 y el residuo 5. ¿Cuál fue el
divisor?
a) x2
+ x b) x2
+ x + 2 c) x2
+x - 2
d) x2
- x - 2 e) x2
- x + 2
03.Encuentre “a” y “b” para que el residuo de la
división :
1x3x4
baxx17x17x12
2
234
+−
+++−
Sea : r(x) = 4x+1
a) a = - 4 ; b = 3 b) a = -8 ; b = 2
c) a = 4 ; b = - 3 d) a=3 ; b = - 4
e) a =1 ; b = 1
04.Calcular U + N + T, si la división :
3xx2
TNxUxx4x8
23
235
++
++++
deja por resto : 3x2
+2x+1
a) 20 b) 22 c) 24
d) 28 e) N.A.
05.Calcular a . b . c, si el polinomio :
x4
+3x3
+ax2
+bx+c, es divisible por
(x-1)(x+1)(x+2)
a) 2 b) - 2 c) 10
d) 6 e) - 6
06.En el esquema de Horner :
Indicar el valor de:
a 8 6 9 1 q
b m n
c s p
11 22
4 5 11 22 32
indica el valor de:
cba
qpnm
++
+++
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
07.Hallar el cociente de :
( ) ( ) ( )
( ) bxbaax
bxbaxbaxbaax
2
234
+++
+++++++
a) baxx2
++ b)
abxx2
++ c) ax2
+
d) 1x2
+ e) bx2
+
08.Hallar (a-b) si la división :
( ) ( ) ( ) (
1x2x
1x2bxb6xa12xa32ax
2
2345
−+
−+−−−+++
da un cociente que evaluado en x = 2 es 39.
además {a; b} ⊂ Z+
a) 6 b) - 4 c) - 5
d) - 1 e) - 6
09.Dar el valor de (p + q) si la división :
( )2
7
1x
qpxx
−
+−
es exacta :
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
10.Dividir :
2x
11x7x3x2x3 245
−
−++−
Dar como respuesta el coeficiente del término
cuadrático del cociente :
a) 3 b) 4 c) 8
d) 19 e) 45
11.Calcula: “m”, si la división, es exacta :
2x
2mx6x23x3x22x2
3456
+
++−−+
a) 2 b) 2 c) 6
d) 8 e) N.A.
12.Dividir :
3x
4x5x28x3
2
248
+
+−−
E indique la suma de coeficientes del
cociente:

a) - 12 b) - 11 c) - 10
d) - 9 e) - 8
13.Divide : 15xx6x27 24
++− entre 3x-
1 e indique un término del cociente.
a) 27x3
b) 9x2
c) - 3x
d) 3x2
e) 15
14.Dividiendo por Ruffini :
8 c (c -
2)
2
b 16 22 f
a 11 d 32
Evaluar : K =
ba
fdc
+
++
a) 1/4 b) 4 c) 2
d) 1/2 e) 1
15.Luego de dividir :
(10x5
- x4
+ 3x3
+ 17x2
+ nx + 3) ÷ (5x+2)
Se sabe que el residuo es 5. Hallar : “n”
a) 4 b) 2 c) 1
d) 3 e) - 1
16.Calcular el residuo de dividir :
12x
622x223x 35
+−
++



 −+
a) 10 b) 9 c) 8
d) 7 e) 3
17.Hallar la suma de los coeficientes del
cociente de la división :
( ) ( )
1nx
xn8n8x3n5xnn3nx 222324
+−
−++++−+
Si el resto es 80
a) 10 b) 11 c) 13
d) 15 e) 18
18.Calcular el resto de dividir :
( ) ( )
2x
x63x3x2 67
+
−+++
a) 1 b) - 6 c) - 3
d) 12 e) - 12
19.Calcula el resto en :
1x
8xx3x9x2x8x3
3
68172125
+
+++++−
a) x2
- x+15 b) 7x2
+4x+19 c) 6x2
- 2x+7
d) 11x2
+ 5x - 1e) N.A.
20.¿Calcular el valor de “m”, si el residuo de la
división : x3
- mx2
+ 7x - 1 entre (x - 2) es el
triple del resto de dividir: x2
- (m + 2)x - 11
entre (x+2)
a) 3 b) 5 c) 17
d) 27 e) 9
I. OBJETIVOS ESPECIFICOS
Dado un conjunto de ejercicios sobre
división, calcular el residuo aplicando
correctamente el Teorema del Resto.
II. PROCEDIMIENTOS
A) Iniciales
En la división algebraica se ha logrado
determinar el cociente y residuo manejando el
método adecuado para cada situación.
Se presentan divisiones en la cual nos
solicitan proporcionar sólo el residuo e
intentamos hallarlo aplicando los
procedimientos tanto de Horner y Rufini
(según como se presente el divisor). Muchas
de las veces los términos en la división no
tienen la forma que se requiere para aplicar
tales métodos.
Es necesario entonces recurrir al estudio del
Teorema del Resto que nos permitirá
determinar el residuo en una división sin
efectuarla.
B) Desarrollo
1. Teorema del Resto
Se utiliza para calcular el residuo en una
división sin tener que efectuar la operación,
se aplica cuando el divisor es un binomio de
primer grado en la forma (ax+b) y en algunos
casos especiales.
Enunciado del Teorema del Resto
El residuo de dividir un polinomio Racional y
entero entre un binomio de forma (ax+b), es
igual al valor que toma dicho polinomio
cuando se reemplaza “x” por (-b/a) es decir:
P(x) ax+b Por definición de división:
R Q(x) P(x) = (ax+b) Qx + R
Si: ax+b = 0, despejando x=
a
b
−
Luego:
P(-b/a) = [a(-b/a) + b] Q(x) + R
P (-b/a) = 0 + R
P (-b/a) = R
Entonces; para calcular el resto se iguala el
divisor a cero, se calcula el valor de la
variable (siempre que el divisor sea de primer
grado) y el valor obtenido se reemplaza en el
dividendo.
El resultado obtenido es el resto.
Ejemplo 01
Calcular el resto :
2x
5x3x5
−
−+
Solución:
Por el teorema del resto:
x- 2 = 0 → x = 2
R = (2)5
+ 3(2) – 5 → R = 33
Ejemplo 02
Calcular el resto:
3x2
7x3x8xx2 234
−
+−−+
Solución:
2x - 3 = 0 → x = 3/2
R =
7
2
3
3
2
3
8
2
3
2
3
2
234
+





−





−





+





R = 7
2
9
18
8
27
8
81
+−−+
R = 11
2
9
8
108
−− → R =
11
2
9
2
27
−−
R = 9 – 11 → R = -2
Ejemplo 03
Hallar el resto en:
(3x60
– 5x45
+ 3x30
– 2x15
+ x5
+ 7) : (x5
+ 1)
TEOREMA DEL

Solución:
Expresando el dividendo en función de x5
,
tenemos:
1)x(
7)x()x(2)x(3)x(5)x(3
5
5356595125
+
++−+−
x5
+ 1 = 0 → x5
= -1
El valor obtenido para x5
lo reemplazamos en
el dividendo, así:
R = 3(-1)12
– 5(-1)9
+ 3(-1)6
– 2(-1)3
+ (-1) + 7
R = 3 + 5 + 3 + 2 – 1 + 7 → R = 19
Ejemplo 04:
Hallar el resto de:
(5x7
– 4x6
+ 5x4
– 3x3
+ 2x2
– 5x + 7) : (x2
+ 2)
Solución:
En este caso los exponentes del dividendo no
son múltiplos del exponente del divisor.
Siendo el divisor de segundo grado, el grado
del resto será de primer grado. (es el máximo
valor que puede asumir).
El procedimiento a seguir es el mismo que en
el ejemplo anterior.
Expresamos el dividendo en función de la
potencia x2
:
2x
7x5)x(2x)x(3)x(5)x(4x)x(5
2
22223232
+
+−+−+−
Por el teorema del resto, igualamos el divisor
a cero y hallamos la potencia x2
:
x2
+ 2 = 0 → x2
= -2
Reemplazando en el dividendo tendremos:
R = 5(-2)3
x – 4(-2)3
+5(-2)2
–3(-2)x+ 2(-2)–5x+7
R = 5(-8)x – 4(-8) + 5(4) + 6x – 4 – 5x + 7
R = -40x + 32 + 20 + 6x – 4 – 5x + 7
R = -39x + 55
Ejemplo 05
Hallar el resto en:
6x5x
7)4x)(1x()5x5x(3)7x5x(
2
412392
++
++++++−++
Solución:
Como el divisor es de la forma x2
+ 5x + 6,
buscamos en el dividendo las potencias
de (x2
+ 5x); así:
6x5x
74)x5x()5x5x(3)7x5x(
2
2412392
++
++++++−++
Hacemos: x2
+ 5x + 6 = 0 → x2
+ 5x =
-6,
en el dividendo tendremos:
R = (-6+7)39
– 3(-6+5)41
+ (-6) + 11
R = 1 – 3(-1)41
– 6 + 11
R = 1 + 3 – 6 + 11 → R = 9
Ejemplo 06
Hallar el resto luego de dividir:
12x7x
6)4x()3x(
2
47100
+−
+−+−
Solución:
Factorizando el divisor:
x2
– 7x + 12 = (x-4)(x-3)
En toda división:
D ≡ d . Q + R, reemplazando los datos:
(x- 3100
) + (x- 47) + 6 = (x- 4)(x- 3) . Q(x) + R
2do. grado 1er. grado
(x-3)100
+(x-4)47
+6=(x-4)(x-3) .Q(x)+(ax+b), ∀ x
Si x = 3, se obtiene: 5 = 3 a + b . . . . . . (1)
Si x=4, se obtiene: 7=4a + b . . . . . . (2)
Restando 2 – 1 : a = 2
b = -1
Luego: R(x) = ax + b → R(x) = 2x – 1
Ejemplo 07
Al dividir F(x) entre (4x2
– 9)(x+3); se obtuvo
como residuo 2(x - 3)2
. Hallar el residuo de
dividir F(x) entre (2x2
+ 9x + 9).
Solución:
F(x): (4x2
-9)(x+3) → R = 2(x - 3)2
Luego:
F(x) =(4x2
-9)(x+3).Q1 (x)+2(x- 3)2
. . . . . (α)
F(x) : (2x2
+9x+9) → R = ? (primer grado)
F(x) = (2x2
+9x+9). Q2 + ax + b . . . . . (β)
De (α) y (β) :
(2x+3)(2x-3)(x+3).Q1+2(x-3)2
=(2x+3)(x+3).Q2+(ax+b)
Si x=-3/2,se obtiene: 81/2 = -3/2 a + b ↓ (-)
Si x = -3, se obtiene : 72 = - 3 a + b
81/2 – 72 = -3/2 a + 3a
81 – 144 = 3 a
-63 = 3 a
a = -21 ; b = 9
Finalmente:
R = - 21x + 9
PRACTICA DE CLASE
01.Hallar el resto :
3x
11x7x8x2 24
−
−+−
a) 3 b) 16 c) 14
d) 16 e) 18
1x
1x4 355
−
+
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
03.Hallar “a” si el resto de la división es 7
1x
ax2x4 20
+
++
a) 3 b) 4 c) 5
d) 7 e) 8
04.Hallar el resto en :
( )
4x
163x 20
−
+−
a) 17 b) 12 c) 13
d) 14 e) 18
05.Hallar “a” si el resto es 9 en :
1x
ax3xx 23
−
+++
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 8
1x
4xxxx
10
20908060
+
++++
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 12
4xz
4xz5xz
2
2
n2
2
++




 ++



 ++
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 18
08.Qué resto se obtiene al dividir :
[ ]
2x7x
1578)2x)(4x)(5x)(3x(
2
2
++
+−++++
a) 15 b) 16 c) 19
d) 24 e) 40
09.Hallar el resto de :
5x3x
14x6x24x3x6x3x4
4
4
53
4
102
4
+−
−+−



 +−+



 +−
a) –4 b) –24 c) 4
d) –6 e) –2
10.Hallar el resto de :

2x
7x5x2x3x5x4x5
2
23467
+
+−+−+−
a) 55- 39x b) 39x + 55 c) 55x – 39
d) 55x + 39 e) 16x + 16
( )
1x3x
10x93x33xx
2
222
++
++



 +++
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 180
( ) ( ) ( )
9x
38x8x8x 171920
−
+−+−+−
a) 6 b) 7 c) 8
d) 10 e) 60
13.Hallar el resto de dividir :
( )
1xx
x1x
2
1n22n
+−
+− ++
a) 1 b) 2 c) 0
d) 7 e) 8
14 Hallar el resto en :
1xx
1xx
2
48
+−
++
a) 1 b) 0 c) 8
d) 7 e) 16
( ) ( )
( )( )4x3x
64x3x 1580
−−
+−+−
a) 2x + 1 b) 2x – 1 c) 2x – 3
d) 2x + 3 e) 16
16.Hallar el resto de dividir :
7xx
)4x()1x()3x()2x(
2
2nn
−+
+−+++−
a) x + 1 b) 2x - 1 c) 3
d) 4 e) 5
17.Hallar m.n, sabiendo que :
(m-3)x49
+ (m-12)x32
- nx27
+ nx6
+ 3
es divisible entre :
(x2
+ 1)
a) 6 b) -3 c) 12
d) 18 e) -18
( ) ( )
6x
46x7x 1620
−
+−+−
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 10








+÷







+ 1x7x
n133n581
a) 1 b) 2 c) 4
d) 6 e) 7
1x
1xxx5x4x3x2
3
346710
−
++++++
a) 11x+1 b) 11x+3 c) 11x+6
d) 10x+5 e) 11x+2
La Divisibilidad Algebraica tiene por objetivo
determinar polinomios que no se conocen restos
en divisiones donde el teorema del resto no se
puede aplicar directamente.
Para estudiar la divisibilidad algebraica,
necesitaremos conocer los siguientes teoremas o
principios fundamentales:
I. Si un polinomio D(x) es divisible entre otro
polinomio d(x), entonces existe otro polinomio
Q(x) tal que:
(x)(x)(x) Q.dD =
Cuando dos polinomios son divisibles,
entonces el resto es nulo (CERO) R(x) = 0
II. Si, P(x) es divisible entre (x – a), entonces:
P(a) = 0 si, P(x) es divisible entre (x + b),
entonces: P(-b) = 0
III. Si, P(x) es divisible independiente por (x ± a),
(x ±b) y (x ± c), entonces P(x) es divisible por
el producto: (x ± a) (x ± b) (x ± c)
Es decir:
Si: P(x) ÷ (x ± a) → r = 0
P(x) ÷ (x ± b) → r = 0
P(x) ÷ (x ± c) → r = 0
Entonces:
)cx)(bx)(ax(P(x) ±±±÷
→ r
≡ 0
NOTA:
También se cumple el proceso inverso, es
decir si un polinomio P(x) es divisible por
el producto (x ± a) (x±b) (x ±c) entonces,
P(x) es divisible por cada uno de sus
factores.
IV. Si al dividir un polinomio P(x) entre varias
expresiones por separado nos da un mismo
resto entonces al dividir dicho polinomio
entre el producto de ellas nos arrojará como
resto dicho resto común.
Así:
Sea P(x) un polinomio cualquiera y:
P(x) ÷ (x + a) → r = R
P(x) ÷ (x + b) → r = R
P(x) ÷ (x + c) → r = R
Entonces:
0rc)(xb)a)(x(xP(x) =→+++÷
AMIGO LECTOR:
Recuerde que para determinar la suma de
coeficientes de un polinomio entero en “x”, por
decir P(x) se hace:
(1)PescoeficientdeSuma =
Y, para determinar el término independiente de
dicho polinomio se hace:
(0)PnteIndependieTérmino =
Ejemplo # 1
Al dividir un polinomio P(x) se 3er. Grado
separadamente entre (x –1), (x + 2) y (x – 3)
resulta como residuo en los 3 casos igual a 3. Si al
dividir P(x) entre (x + 1) se obtiene como residuo
19, calcular el residuo de dividir P(x) ÷ (x – 2).
Solución:
* Dato: P(x) es de 3er. Grado.
Del enunciado:
P(x) ÷ (x – 1) → R(x) = 3
DIVISIBILIDAD

P(x) ÷ (x + 2) → R(x) = 3
P(x) ÷ (x – 3) → R(x) = 3
Por el principio fundamental # III decimos
que:
( )( )( )
3R
3x2x1x
P
)x(
)x(
=∴
−+−
* Por Identidad:
P = (x-1) (x+2) (x-3) Q + 3(x) (x)
LO LLAMAREMOS "a"
TERCER GRADO GRADO CEROTERCER GRADO
P(x) = (x – 1) (x + 2) (x – 3) a + 3 .............. (I)
* Además:
x + 1 = 0 → x = - 1
Dato: P(-1) = (-2) (1) (-4) a + 3
19 = 8a + 3
16 = 8a
a = 2 ........................................ (II)
* Reemplazando (II) en (I):
P(x) = (x – 1) (x + 2) (x – 3) 2 + 3
* Nos piden calcular el residuo de dividir:
( )2x
P )x(
−
→ R(x) = P(2) = (2-1)(2+2)(2-3)2+3
R(x) = -8 + 3 = -5
∴ R(x) = -5
PRACTICA DE CLASE:
01.Hallar m sabiendo que:
P(x) = 2mx4
– mx3
+ 6x – 24 es divisible entre:
2x2
–x + 4
a) 4 b) 3 c) 6
d) 7 e) 2
02.Determinar M y N de manera que el
polinomio:
x4
+ 2x3
– 7x2
+ Mx + N sea divisible entre
x2
– 3x + 5
a) 14 y 13 b) 15 y 16 c) 13 y 12
d) 16 y 15 e) N.a
03.Qué valor debe tener k para que el polinomio:
P(k)=x6
+2x5
+ kx4
– x3
+ 2(8 + k)x2
+ 6x – 18,
sea divisible por x3
+ 2x2
– 3
a) 2 b) –2 c) 3
d) –3 e) 4
04.Si al dividir: 12x4
+ Mx3
+ Nx2
+ 25x – 15
entre un polinomio de segundo grado, se
obtuvo como cociente 4x2
+ 3x – 2 y como
residuo 6x – 5. Calcular M + N
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
05.Hallar un polinomio de cuarto grado en
variable “x”, que dé como residuo 2x al
dividirlo por (x-1)2
y dé como residuo 3x al
dividirlo por (x-2)3
.
a) (x-3)3
(3x+1) + 2
b) (x-2)2
(4x+3) + 3x
c) (x-2)3
(4x – 3) + 3x
d) (x – 2)3
(3x + 1)+ 2x
e) N.a
06.Encontrar el valor de K para que el
polinomio: x3
+ y3
+ z3
+ (k – 9) x y z, sea
divisible por x + y + z.
a) 1 b) 3 c) 6
d) 5 e) 4
07.Al dividir un polinomio P(x) entre el producto
(x+1) (x-2) (x+3) el resto obtenido es
x2
– 5x+1. Encontrar cuáles son los restos que
se obtiene al dividir P(x) entre x + 1 ; x-2 ; x+3
a) 7; -3 ; 12 b) 14; 13; -15
c) –13; 12; 15 d) –8; 13; 15
e) 7; -5; 25
08.Al dividir un polinomio P(x) entre (x+3) se
obtuvo por residuo –5 y un cociente cuya
suma de coeficientes es igual a 3. Encontrar
el residuo de dividir P(x) entre (x –1).
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
09.Un polinomio de cuarto grado es divisible
entre (x+2) tiene raíz cuadrada exacta. Al
dividirlo entre (x – 2) y (x + 1) los restos
obtenidos son iguales a 16. Calcular la suma
de sus coeficientes.
a) 36 b) 37 c) 38
d) 39 e) N.a
10.Determinar un polinomio P(x) de quinto grado
que sea divisible entre (2x4
– 3) y que al
dividirlo separadamente entre (x+1) y (x-2)
los restos obtenidos sean respectivamente 7 y
232.
a) 12x5
– 3x4
– 15x + 6
b) 10x5
– 4x4
+ 15x + 6
c) 12x5
– 4x4
– 15x + 6
d) 10x5
– 4x4
– 15x+7
e) 10x5
– 3x4
– 15x + 6
11.Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado
sabiendo que al dividirlo separadamente entre
(x+3), (x+2) y (x-5), se obtenga siempre el
mismo residuo (- 6) y al dividirlo entre (x +
o1) el resto sea (- 42).
a) 3x2
– 57x – 95 b) –3x3
+ 57x – 95
c) x3
+ 57x – 96 d) 3x3
– 57x – 96
e) –3x3
+ 57x – 59
12.Un polinomio entero en “x” de tercer grado
se anula para x = 7 y para x = -3 y el dividirlo
entre (x – 10) da como residuo 39 si el primer
coeficiente del polinomio es 3.
Hallar el resto al dividirlo entre (x – 8).
a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56
13.Un polinomio de grado “n” y variable x es
divisible entre (xn-1
+ xn-2
+1) y tiene por
término independiente 2. Además dicho
polinomio disminuido en 9 es divisible
entre (x – 1) y disminuido en 388 es
divisible entre (x – 2). Calcular el valor de
“n”.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
14.Cuál es la suma de coeficientes de un
polinomio P(x) si se sabe que es mónico y de
tercer grado, siendo divisible entre (x-2)
(x+1) y carece de término cuadrático.
a) 2 b) –5 c) –4
d) 8 e) –3
15.El siguiente polinomio:
P(x) = (x2
– n2
) (x3
– m3
), se anula sólo para 4
valores diferentes de x. Calcular el resto de
dividir entre (x – 2n)
a) 27n5
b) 29n5
c) 25n5
d) 24n5
e) 21n5
16.Al efectuar la división del polinomio P(x) entre
(x2
+1) se obtiene como residuo (x – 2). El
resto que se obtiene al dividir el cubo del
polinomio P(x) entre x2
+ 1 es:
a) x – 11 b) x – 2 c) 11x-2
d) 11x-8 e) 11x + 2
17.Al dividir un polinomio P(x) entre (x2
+ 2) se
obtiene un cociente Q(x) y un resto (3x – 1).
Si Q(x) es divisible entre (x2
– x – 6) el resto
de dividir P(x) entre (x+2) es:
a) 5 b) –5 c) 7
d) –7 e) 6

18.Si el polinomio P(x) se anula para x = 1, x = 2,
x = 3, además es de cuarto grado y divisible
por (x – 5), se pide calcular la suma de
coeficientes de P(x) si presenta como primer
coeficiente a la unidad.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 1 e) 0
19.Señalar la suma de coeficientes de un
polinomio en x, de tercer grado, que es
divisible por (x + 1) y al dividirlo entre:
(x – 1), (x – 2) y (x – 4) presenta en cada caso
el mismo resto 30.
a) –4 b) –2 c) 30
d) 6 e) 7
20.Determinar el residuo de dividir un polinomio
P(x) entre: x3
+ x2
+ x + 1 siendo dicho resto
divisible por (x – 1), además el polinomio
disminuido en 2 unidades es divisible por
(x2
+1). Señale como respuesta la suma de los
cubos de sus coeficientes.
a) –8 b) –3 c) 3
d) 0 e) 8
1. Identificar las divisiones que originan un
cociente notable.
2. Proporcionar el desarrollo del cociente de una
división notable.
3. Resolver ejercicios y/o problemas que
involucren cocientes notables.
PROCEDIMIENTOS
A. Iniciales
En el estudio de la división algebraica, hemos
logrado hallar el cociente y el residuo
mediante la aplicación correcta de métodos,
técnicas, procedimientos o algoritmos.
Ante una determinada estructura de las
expresiones algebraicas denominados
Dividendo y Divisor, ¡ahora! nos asiste tratar
con divisiones que por su forma o estructura
las denominamos DIVISIONES
NOTABLES, que originarán en su desarrollo
COCIENTES NOTABLES o INMEDIATOS.
B. Desarrollo
1. Cocientes Notables
Reciben este nombre aquellos cocientes
que se originan de divisiones que
adquieren la forma:
ax
ax nn
±
±
, n ∈ Z+
El desarrollo de estos cocientes se puede
escribir correctamente sin necesidad de
efectuar la división. Es importante hacer
notar que los términos de su desarrollo se
caracterizan por que obedecen a una
misma ley de formación, de la forma
general:
ax
ax nn
±
±
Exponente común
Bases
Podemos extraer las siguientes características:
* El Dividendo y el Divisor deben ser binomios,
o cualquier otra expresión que se reduzca a
ellos.
* Las bases están indicadas en el divisor,
debiéndose repetir en el dividendo.
* Los exponentes que afectan a las bases en el
dividendo deben ser iguales y nos indicará el
número de términos que tendrá en su expansión
el cociente notable.
2. Estudio de la División Notable
Se presentan 4 formas o casos distintos de
divisiones notables, que lo vamos a
determinar combinando adecuadamente
los signos.
Primer Caso:
ax
ax nn
−
−
Aplicamos el Teorema del Resto:
x – a = 0 ⇒ x = a
Reemplazamos en el Dividendo:
R = an
- an
⇒ R = 0
Por tanto podemos afirmar que esta expresión
origina un cociente exacto. Luego el cociente es:
ax
ax nn
−
− = xn-1
+ xn-2
a+xn-3
a2
+ . . . + x an-2
+ an- 1
Segundo Caso:
ax
ax nn
−
+
Aplicando el Teorema del Resto:
x – a = 0 ⇒ x = a
R = an
+ an
⇒ R = 2 an
≠ 0
Por tanto podemos afirmar que esta expresión
origina un cociente completo o cociente mixto.
Luego el cociente es:
x
a2
axa...axaxx
ax
ax 1-n2-n23-n2-n1-n
nn
−
++++++=
−
+
Tercer Caso:
ax
ax nn
+
−
Aplicamos el Teorema del Resto: x + a = 0 ⇒ x
= -a
R = (-a) n
- an
⇒
Si n es un número par
R = 0
Origina un cociente exacto.
Si n es un número impar
R = -2 a n
≠ 0
Origina un cociente completo.
Luego el cociente obtenido es:
Si “n” es un número par, ocupa lugar par
ax
ax nn
+
− = xn-1
- xn-2
a+xn-3
a2
- . . . + x an-2
- an-1
Si “n” es un número impar, ocupa lugar impar.
axa...axaxx
ax
ax 1-n2-n23-n2-n1-n
nn
−+−−+−=
+
−
Cuarto Caso:
ax
ax nn
+
+
COCIENTE

Aplicamos el Teorema del Resto:
x + a = 0 ⇒ x = -a
R = (-a) n
+ a n
⇒
Si n es un número par
R = 0
Origina un cociente completo.
Si n es un número impar
≠R = 2 a n
0
Origina un cociente exacto.
Luego el cociente obtenido es:
Si “n” es un número par
ax
a2
axa..a.xaxaxx
ax
ax
n
1-n2-n34-n23-n2-n1-n
nn
+
+−++−+−=
−
+
Si “n” es un número impar
1n2n34-n23-n2-n1-n
nn
axa..a.xaxaxx
ax
ax −+
+−+−+−=
−
+
Observaciones
Por lo expuesto anteriormente podemos concluir:
⋅ Los divisores de la forma (x – a) provocan
un desarrollo cuyos signos son todos
positivos.
⋅ Los divisores de la forma (x + a) provocan
un desarrollo cuyos signos están en forma
alternada, así: + , - , + , - , . . . .
⋅ El primer término del cociente notable se
obtiene dividiendo el primer término del
dividendo entre el primer término del divisor,
obteniéndose xn-1
.
⋅ A partir del segundo término del desarrollo,
el exponente de la primera base disminuye de
1 en 1, mientras que aparece la segunda,
cuyos exponentes aumentan de 1 en 1 hasta
(n-1).
⋅ El desarrollo es un polinomio homogéneo.
3. Principio a cumplirse en una división
notable
rq
pm
ax
ax
±
±
Es división notable o inmediata si y sólo si:
n
r
p
q
m
==
Donde:
n = Número de términos del cociente.
m, p, q, r ∈ R ∧ n ∈ Z+
De la división notable expuesta podemos
concluir:
⋅ Los exponentes de “x” y “a” en el divisor
nos indicará la forma como aumentan o
disminuyen los exponentes de las variables
mencionadas.
⋅ Si r > q, los grados absolutos del desarrollo
aumentarán de acuerdo a la diferencia (r - q).
⋅ Si r < q, los grados absolutos del desarrollo
disminuyen de acuerdo a la diferencia (q – r).
Para ser más objetivos veamos los siguientes
ejemplos:
Ejemplo No. 1
30253206159101251518
53
3521
aaxaxaxaxaxx
ax
ax
++++++=
−
−
G.A. → 18 < 20 < 22 < 24 < 26 < 28 < 30
Ejemplo No. 2
151249861231620
34
1824
aaxaxaxaxx
ax
ax
+++++=
−
−
G.A. → 20 > 19 > 18 > 17 > 16 > 15
4. Fórmula del Término General del
Desarrollo de los Cocientes Notables
Es una fórmula que nos permite encontrar un
término cualquiera en el desarrollo de los
cocientes notables, sin necesidad de conocer los
demás:
Para una división de la forma:
1n2n23n2n1n
nn
axa...T...axaxx
ax
ax −−−−−
±±+±±+±=
±
±
1 2 3 k n-1 n
Tk = Signo xn-k
ak-1
El signo del término buscado dependerá de la
forma del divisor y del lugar:
* Cuando el divisor es de la forma (x- a)
entonces, el signo del término buscado será
positivo (+).
* Cuando el divisor es de la forma (x + a)
entonces, el signo del término buscado será:
(-) Si el lugar que ocupa es PAR.
(+) Si el lugar que ocupa es IMPAR.
Ejemplos Ilustrativos
Ejemplo 1.-
Hallar el octavo término del desarrollo de:
65
7260
yx
yx
+
−
Resolución:
Tk = Signo xn-k
ak-1
Como el divisor es de la forma (x + a) y el
término ocupa lugar Par, entonces el signo será
negativo (-).
T8 = -(x5
)12-8
(y6
)8-1
T8 = -x20
y42
Ejemplo 2.-
Calcular el valor de “n” en:
3n21n
n54n4
yx
yx
−+
+
+
−
Para que sea un cociente notable.
Resolución:
3n2
n5
1n
4n4
−
=
+
+
3n2
n5
)1n(
)1n(4
−
=
+
+
8n – 12 = 5n
3n = 12
n = 4
Ejemplo 3.-
Si el grado del octavo término del cociente
notable
1x
1x
3
n
−
−
Es 12, hallar el número de términos de su
desarrollo.
Resolución:
Número de términos será: n/3
24n18
8
3
n
3
8 x)1()x(T −−
−
==
Luego: n – 24 = 12
n = 36
Luego, el número de términos será 12.
Ejemplo 4.-
¿Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente
notable, el término cuyo grado absoluto es 252?
74
280160
yx
yx
−
−
Resolución:
Hallemos el término que ocupa el lugar “k” que
cumpla la condición dada.
1-k7k-404
k )(y)(xT =
G A TK = 160 – 4k + 7k – 7 = 3k + 153

Por dato del problema: G.A.TK = 252
3k + 153 = 252
k = 33
PRACTICA DE CLASE:
01.En el desarrollo de:
915
2745
ax
ax
+
+
hay un término de grado 24, la diferencia de
los exponentes de “x” y “a” es:
a) 7 b) 24 c) 5
d) 6 e) Ninguno
02. Cuál de las siguientes divisiones no genera
un cociente notable?
a) 22
1010
yx
yx
−
+
b)
56
1012
yx
yx
+
+
c) 75
3525
yx
yx
+
+
d) 43
2015
yx
yx
+
−
e) N.A.
03.Calcular el número de términos del cociente
notable:
32
m3n2
yx
yx
−
−
si se cumple que: T20 . T30 = x100
y144
a) 100 b) 150 c) 50
d) 30 e) 60
04. Dar el número de términos del cociente
notable:
22
nn
yx
yx
−
−
si el penúltimo término es: x2
y82
a) 42 b) 82 c) 86
d) 43 e) 45
05.Calcular: (256
- 1) : 624
a) 390 001 b) 390 251 c) 391 251
d) 391 250 e) 391 249
06.El número de términos que tiene el siguiente
desarrollo de:
54
n5n4
yx
yx
−
−
sabiendo que el t(5) tiene grado absoluto 32,
es:
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) N.A.
07.Hallar “m” y “n” para que el término 60 del
cociente:
n4m2
n296m148
ba
ba
−
−
; sea a56
b708
a) m = 2 b) m = 3 c) m = 3
n = 2 n = 2 n = 3
d) m = 2 e) N.A.
n = 3
08.Dado la siguiente división notable
ba
180120
yx
yx
+
−
Calcular la suma de las
cifras de “ab” sabiendo que los grados
absolutos de los términos de su desarrollo
aumentan de 3 en 3.
a) 10 b) 9 c) 8
d) 54 e) 44
09. x12
+ x9
+ x6
+ x3
+ 1 es el desarrollo de:
a)
1x
1x
3
12
−
−
b)
1x
1x
3
12
−
+
c)
1x
1x
3
15
−
+
d)
1x
1x
3
15
+
+
e)
1x
1x
3
15
−
−
10. En el cociente de:
35
63105
ba
aa
−
−
el grado del término que ocupa el lugar “k”
supera en 8 al grado del término de lugar “k”
contado desde el último. Calcular k . k.
a) 9 b) 81 c) 100
d) 15 e) 36
11. De:
I.
ax
ax n2n2
−
−
II.
ax
ax 1n21n2
+
+ ++
III.
ax
ax 2n22n2
+
− ++
Con n ∈ Z+
, son exactos:
a) Sólo I b) Sólo I y II c) I, II y III
d) Sólo II y III e) Ninguno
12. Si xm-96
y14
es el octavo término del
desarrollo del cociente notable:
qp
24m
yx
yx
−
−
; calcular (m + p + q).
a) 124 b) 144 c) 168
d) 158 e) N.A.
13. En el cociente notable de:
75
ba
yx
yx
−
−
Calcular “a+b” si el término quinto es: xc
yd
, además d - c = 3.
a) 70 b) 100 c) 120
d) 130 e) 140
14. En el desarrollo del cociente notable de:
32
ba
yx
yx
−
−
hay un término cuyo grado es el doble del
número de términos. ¿Qué lugar ocupa este
término?
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
15. Calcular el valor numérico del término
central del cociente notable:
)(
)()(
22
100100
yxxy8
yxyx
+
−−+
para x = 3, y = 2 2
a) 3-2 2 b) 2 2 c) 2
d) 1 e) 3+2 2
16. En el cociente notable de:
22
5050
b2a2
baba
+
−++ )()(
¿Qué valor adquiere el término central para:
a =
2
2x 48
+ ; b =
2
2x 48
−
a) 2 b) 1/2 c) 2
d) 24
2 e) 48
2
17. Efectuando: 23
1015
yy
yy
−
−
−
−
el número de términos enteros es:
a) 6 b) 2 c) 4
d) 3 e) 5

18.Hallar el número de términos que tendrá el
cociente notable:
5n29n2
50m510m5
yx
yx
++
−+
−
−
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) N.a.
19.Encontrar la suma algebraica de todos los
términos del desarrollo del cociente:
158
23
1aa
a2
−
−
+
Sabiendo que es exacto:
a) 25 b) 32 c) 128
d) 96 e) 48
20. Encontrar el número de términos de:
. . . . - x108
y55
+ x99
y60
- . . . .
sabiendo que es el desarrollo de un cociente
notable.
a) 12 b) 22 c) 24
d) 21 e) 23
PRACTICA DE FIJACIÓN DE APRENDIZAJE:
01.Determine al dividir:
1x2x
6x6x9x7x
2
3456
++
++−−
Determine la suma de los coeficientes del
cociente obtenido
a) 0 b) - 7 c) 2
d) - 1 e) 5
02.Si dividimos:
1bxax
1bxx)7a(x6x2
2
234
++
++−++
; {a; b}
⊂ Z
obtendremos como cociente y residuo
polinomios no constantes mónicos de
coeficientes reales; además se sabe que el
residuo es un monomio halle: a + b
a) 13 b) 11 c) 15
d) 9 e) 10
03.El resto de la división:
3xx2
9x8AxBxAx
2
234
−+
−+++−
Es el polinomio R(x) = 3x - 3.
Calcule 3 B
3
A
+
a) - 1 b) 0 c) - 2
d) 3 e) N.A
04.En la siguiente división:
3x
2xx3 1n
−
+++
La suma de coeficientes del cociente es 1093,
calcular “n”
a) 3 b) 6 c) 7
d) 8 e) 5
05.Halle el resto de la siguiente división:
5xx
)3x()1x()2x()3x()2x(
2
2233
−−
+++−+−+
a) 30x+77 b) 31x+77 c) - 31x+77
d) x+11 e) - 31x -77
06.Halle el resto:
)2x)(1x(x
1x10
−−
−
a) 611 2x - 610x+1 b) 610 2x - 611x - 1
c) 610 2x +611x+1 d) 511 2x - 510x - 1
e) 611 2x - 1
07.Halle el resto en:
)1x)(1x(
)1x....()1x()1x()1x( n21n243322
+−
−+−+−+− −
Siendo n ∈ N
a) 1 - x b) 1 + x
c) )x1)(14(
3
2 n −− d)
)1x)(14(
2
3 n ++
e) 0
08.Halle el resto en la siguiente división:
)x1)(x1(
x....xxx1
2
1n432
++
++++ −
a) 0 b) 1 - x c) 1 + x
d) 1 + 2x e) 2x - 1
09.Al dividir el polinomio p(x) entre (x - 1) y
luego entre (x - 2) se obtiene el mismo resto
4, además p(x) es divisible entre (x - 3).
Calcular el término independiente p(x) si es
de 3º y además cp es 2.
a) - 1 b) - 3 c) - 12
d) - 7 e) - 8
10.Sea p(x) un polinomio mónico de 3º si p(x) es
divisible entre (x+2) y también entre (x+3) y
además al dividir p(x) entre ( 2x - 1) el resto
es 17x+19. Calcular p(0)
a) 10 b) 17 c) 2
d) 12 e) 6
11.Calcule “m” para que la división:
1xx
2m2nxx
2
5
−+
−+−
a) 5 b) 6 c)
2
5
d) 10 e) 8
12.Al dividir:
1x2
1x2x16 4
−−
++
se obtiene
como cociente :
dx3
5
c
x2
4
b
x1
3
a
)x(q 23 +





−+





−+





−=
halle a+b+c+d
a) 34 b) 30 c) 21
d) 8 e) 50
13.Luego de dividir:
4)x7x(
7x)(6x7x)(6x)(3x)(1x)(4x(
22
22
−−
−−−−−−−
Calcule la suma de los coeficientes del
cociente obtenido
a) - 140 b) - 156 c) - 175
d) - 144 e) - 136
14.Calcular a+b+c, si el resto de dividir:
3x5cxbxax 245 −−++
entre
2xxx2 23 −−+ es :
a) 18 b) 20 c) 15
d) 19 e) 92
15.Halle el resto en la siguiente división:
2x2x
4xx)1x(
2
4n
++
++++
donde n = 4º
a) x+2 b) - x + 1 c) - x - 1
d) x+1 e) x - 1

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