Eratóstenes al desnudo

Cálculo del Radio Terrestre:
Eratóstenes al Desnudo
Alumno: Carlos Andrés Múnera
Gu´ıa: Miguel Monsalve
Curso: Astronom´ıa
Maestr´ıa en la Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de Colombia
Sede Medell´ın
2010

Índice general
1. Estado del Arte: Difracción de Reflexión Refractada 4
1.1. Vivencia Cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Preludio Docente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Precedentes 10
2.1. Movimiento del Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1. D´ıa Solar Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2. D´ıa Sidéreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3. De Ptolomeo a Copérnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Geometr´ıa Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1. Datos Históricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2. Algunos Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Trigonometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1. Datos Históricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2. Algunos Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3. Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1

3. Eratóstenes 43
3.1. Ubicación Espacio Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.1. Época y Lugar de Incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2. Su Educación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.3. Referencias Personales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.4. Hazañas (Algunos Aportes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.5. Logro Motivador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. Cálculo Del Radio Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.1. Conjeturando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4. Relaciones y Patrones Expuestos 54
4.1. Detalles Técnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.1. Posible Proceder de Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.2. Observaciones Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2. Medida Conjunta Del Radio Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.1. Práctica en Equipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5. Medición del Radio Terrestre 61
5.1. Práctica 1: Similar a Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.1. Gu´ıa Para Medir el Radio Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2. Práctica 2: Otro Método Para Medir el Radio Terrestre . . . . . . . . . . 63
5.2.1. Construcción Reloj Solar de Cuadrante Ecuatorial . . . . . . . . . 64
5.2.2. Observatorio Solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.3. Gu´ıa 2: Estimar la Medida del Radio Terrestre . . . . . . . . . . . 69
2

Agradecimientos
A mi hija Victoria.
Por ser fuente constante de mi inspiraci´on.
Y por ser, simplemente..
Victoria.

Cap´ıtulo 1
Estado del Arte: Difracción de
Reflexión Refractada
En el pasar del tiempo, al ir creciendo como ser humano, social, comen-
zamos a relacionar e inquietarnos. En principio, experimentamos simples
sensaciones, percibidas de porciones del mundo que nos rodea, ayudados
únicamente por nuestros sentidos naturales, independientes entre s´ı. Y
Notamos del universo:
El Movimiento
Estrellas en un vaivén cósmico, Tierra y satélites girando, trasladándose
(en nuestras mentes en un vaivén cosmogónico).
Océanos y mares agitados ondulando. R´ıos con aguas en constante fluir.
Viento soplando calmo o Huracán tormentoso.
Veh´ıculos de toda ´ındole viajan a todo lugar, lentos o raudos.
Maquinaria, bielas y engranajes giran y crujen.
Sensores de precisión asombrosa leen y corroboran datos.
Cuerdas musicales vibran al temblar del aire.
4

Pero, al razonar ciertas respuestas sensoriales, patrones observados que
suceden alrededor e intentar explicarlos, replicarlos, predecirlos o pronos-
ticarlos, mágicamente, estos sentidos ’paren’ un sexto sentido no fáctico:
el ENTENDIMIENTO.
Se inicia as´ı, El viaje sin regreso.
Buscando, siempre adaptando nuevos sentidos no naturales, prótesis arti-
ficial, metamorfoseando la naturaleza para sondear más allá, en búsqueda
de ”sin l´ımites”.
Dispositivos sensoriales que permitan develar secretos del universo local
y, con nuestras ciencias como amalgama, potenciar el saltar, de un estado
mecánico a uno cuántico, pasando por situaciones eléctricas, electrónicas,
mecatrónicas . . .
Creciendo en inferencias inductivas, lógicas, deductivas, en interpolaciones
lineales y multi variables, regresiones máximo veros´ımiles, extrapolando
por abducción, ¿magia?.
Nos entrometemos irreverentes, desafiando la prioritaria e in negociable
misión que nos destinó la Naturaleza (y nos reveló la Biolog´ıa), sucumbi-
endo al eterno placer de descubrir mundos in imaginados pero más reales
que el que toscamente construimos en un inicio (fantas´ıa burda. Prejuiciosa
declaración para vanamente calmar nuestra sedienta y curiosa conciencia).
Pero siempre adelante, sin dejar de transpirar, el ser humano en su es-
fuerzo por comprender cada vez más, logra de manera exponencial (según
la calidad de sus argumentos), crear sus mayores obras de arte (inclu-
so, más sublimes que las bellas creaciones del arte), experiencias inesper-
adas, jamás soñadas, pero acordes con el compás de partituras que compo-
nen nuestro universo, nuestra existencia misma vista desde nuestra propia
imaginación, en una espiral Arquimediana, que espero, nunca termine.
5

1.1. Vivencia Cotidiana
Todos los d´ıas, al levantarme, aprecio, sin falla conocida, que el sol, o muchos con las
mismas caracter´ısticas pero sólo uno a la vez, en las mañanas sale por una región cercana
al punto cardinal que denominamos Este (Oriente), durante el transcurso del d´ıa se eleva
por encima de nuestras cabezas y, al terminar el d´ıa, comenzando la noche, desciende
para ocultarse por una región cercana a otro punto cardinal que denominamos Oeste (Oc-
cidente), siempre moviéndose en l´ınea recta y a una velocidad angular uniforme. Supongo
que es un sólo sol y que repite este ciclo (girar alrededor de la tierra, aparentemente)
desde antes de los hombres (y seguramente después de ellos) en promedio, a velocidad an-
gular constante. Esto me lleva a pensar en la forma de la tierra y su tamaño. El aparente
hundimiento de un barco que se adentra en el océano, visto desde la playa, o la sombra
curva de la tierra, que logro apreciar algunas noches despejadas sobre la superficie lunar,
entre muchas otras experiencias de vida, me llevan a postular como candidata para la
forma geométrica de la tierra, a la esfera (aproximadamente).
La idea, aqu´ı, es emprender, como el buen inspirador Eratóstenes, una empresa que a
simple vista parece monumental e imposible para un sólo hombre, pero que en la medi-
da en que este utiliza su genio para combinar y asociar, astutamente, herramientas con
conocimientos heredados (baluartes de la humanidad), vislumbra a lo lejos un espejismo
que cada vez se concretiza más, hasta materializarse y cambiar la visión del mundo.
A continuación se busca tejer la trama y urdimbre, del contexto conceptual y protagónico,
que enmarca la proeza realizada por el gran Eratóstenes, el hombre, y se detalla su posi-
ble experiencia basados en registros históricos, mitos tipificados y nuestras propias con-
jeturas, concluyendo con otra experiencia similar, la cual creo, igual de hermosa por ser
testimonio preciso y concreto de interdisciplina espacio temporal entre Matemática ideal
y F´ısica vivencial (se abaratan los costos en todo sentido).
1.1.1. Preludio Docente.
El maestro, después de presentar un tema, debe fijar sus esfuerzos en un conjunto de ejem-
plos, ejercicios y cuestionamientos relacionados ´ıntimamente con cada parte y el todo de
los tópicos presentados. Los ejemplos ilustran la aplicación básica de los conceptos.
A menudo indican con detalle, la exposición de sugerencias sobre la organización y
sobre como abordar los problemas del tema estudiado. Deben haber, también, intercala-
dos con los ejemplos, un conjunto de ejercicios propuestos. A diferencia de los ejemplos
propiamente dichos, con su amplitud y detalle, los ejercicios se piensan más esquemáticos.
6

Los ejercicios sirven al propósito de adquirir cierta destreza y confianza en la aplicación
de lo estudiado. En ocasiones se dan sugerencias de trabajo, resultados parciales, se
ofrece soluciones esbozadas omitiendo desarrollos intermedios, proponiendo variantes o
aplicaciones del ejemplo, dando sólo el resultado. Los ejercicios deben proponerse como
problemas que el estudiante intenta por s´ı mismo solucionar. El estudiante debe
acudir a la solución propuesta sólo para cotejar su propia solución o para orientarse en
caso de que encuentre dificultades que no haya superado.
El aprendizaje de la F´ısica no es pasivo. Requiere abordar problemas diversos.1
Después un conjunto de situaciones, no numeroso, cuidadosamente elegido, de modo que
abarque un abanico razonablemente amplio, sin caer en trivialidad por un lado, ni en
dificultad excesiva (desalentadora) por el otro. En ocasiones se dan resultados finales o
bien algunos casos particulares para cotejar.
Método, Orden y Claridad en la aplicación de modelos f´ısicos, son esenciales al estu-
diar y solucionar situaciones problema.
Consideración al Enseñar Trigonometr´ıa
En secundaria el alumno adquiere conocimientos geométricos en cada curso. En 5o
se
tratan conceptos como ángulo, recta, mediatriz, bisectriz, relación angular, pol´ıgonos,
simetr´ıas en figuras planas. De 6o
a 8o
se trabajan triángulos, cuadriláteros, pol´ıgonos
regulares y la circunferencia. En 9o
los estudiantes asimilan el teorema de Pitágoras, el
teorema de Thales, los poliedros, per´ımetros, áreas, volúmenes. Es en 10o
cuando ven en
qué consiste la trigonometr´ıa como tal. Luego, en 11o
, descubren la utilidad de la misma
en todo tipo de cálculos geométricos. Posteriormente, el estudiante continua ampliando
sus conocimientos y aplicaciones sobre la trigonometr´ıa, tal y como viene recogido en
los curr´ıculos vigentes. El tratamiento de esta unidad en el grado 10o
no es fácil, ya que
la trigonometr´ıa, pese a ser visual, es de las ramas de la matemática más técnicas que
se ven en la escuela. Por ello, la unidad de trigonometr´ıa que se imparta en este grado
debe ser tratada por el profesorado con especial cuidado, intentando siempre motivar y
animar a los alumnos para que conf´ıen en sus propias capacidades y hacerles ver el lado
más práctico de la trigonometr´ıa. [1]
La unidad dedicada a la trigonometr´ıa, en secundaria, deberá tener objetivos propios
básicos, como:
1
Es all´ı donde se decantan, afianzan y esclarecen los conceptos flexibilizando su aplicación.
7

Conocer las razones trigonométricas de un ángulo y sus relaciones. Utilizar la cal-
culadora para efectuar cálculos trigonométricos.
Aplicar relaciones trigonométricas para calcular distancias y ángulos reales.
Utilizar conocimientos geométricos para efectuar mediciones indirectas en situa-
ciones de contextos cotidianos.
Desarrollar y utilizar equivalencias de expresiones trigonométricas.
Podemos ampliar la lista de objetivos incluyendo:
• Identificar la semejanza entre figuras planas.
• Conocer el enunciado del teorema de Thales.
• Definir las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo, de un ángulo
agudo y de un ángulo cualquiera en la circunferencia unitaria.
• Obtener ángulos con la calculadora a partir de razones trigonométricas.
• Obtener el signo de las razones trigonométricas de un ángulo en función del
cuadrante en el que se encuentre.
• Hallar razones trigonométricas de un ángulo a partir de una de ellas. Obten-
er relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios,
ángulos suplementarios y ángulos opuestos.
• Resolver un triángulo rectángulo conociendo dos lados, conociendo un lado y
un ángulo.
• Aplicar relaciones trigonométricas en problemas diversos: cálculo de distancias,
de áreas, etc.
Una observación más
El esquema general de la presentación de contenidos por temas será siempre el mismo y
debe corresponder con las explicaciones que se den desde el primer tema, sirviendo como
gu´ıa. A medida que se va explicando la estructura general, el estudiante debe desarrollar
todas las actividades propuestas. El maestro apoyará, en la medida de lo posible, y
siempre con esa intención como premisa, la explicación con contenido dinámico que
resalte la zona a la que se hace referencia. La idea inicial con los materiales que el maestro
prepare, deben propender por hacer un desarrollo visual y manipulable de los conceptos
trigonométricos más habituales en la enseñanza secundaria, que sirvan para comprender
y ver la Trigonometr´ıa.
8

Cap´ıtulo 2
Precedentes
Siempre nos están diciendo la verdad de las cosas, y por inercia y simple comodidad,
aceptamos esas aseveraciones, sin objetar, en muchas ocasiones, que sus inferencias
chocan de frente, con las experiencias cotidianas del diario vivir.
Aqu´ı trataremos, en lo posible, conjeturar y deducir, recurriendo únicamente a las eviden-
cias aportadas por el empirismo y nuestra propia percepción del mundo que nos rodea.
Se buscará estar acorde al sistema de referencia del que podemos dar fe, un ser humano
parado en la superficie del planeta, sin información directa del espacio exterior.
2.1. Movimiento del Sol
10

Remembranza
Desde Copérnico sabemos que la Tierra gira alrededor de su eje completando una vuelta
en 23 horas 56 minutos y 4 segundos, aproximadamente, (un d´ıa sidéreo).
No obstante se sigue con la concepción tolemáica, asumiendo que el movimiento de la
esfera celeste es aparente (siendo la Tierra la que gira realmente). [2]
Situado en el plano del horizonte y al cabo de un d´ıa observamos a los astros dar una
vuelta alrededor del eje del mundo, en dirección este - sur - oeste mirando hacia el sur, o
bien en sentido este - norte - oeste mirando hacia el norte. Los únicos puntos de la esfera
celeste que permanecen fijos son los polos celestes; todos los demás, con las estrellas
parecen girar en c´ırculos concéntricos alrededor de la tierra, idea que apoya la creencia
de ser a imagen y semejanza de Dios.1
2.1.1. D´ıa Solar Medio
Movimiento diurno del Sol. Según estemos en el hemisferio norte o en el sur el
sentido del movimiento diurno del Sol será visto de distinta manera. El movimiento de
la esfera celeste observado en el transcurso de un d´ıa (incluido el sol), es un movimiento
retrógrado, de sentido horario mirando hacia el Sur, y de sentido anti horario mirando
hacia el Norte (ver figura 2.1).
Tomemos como ejemplo el Sol que sale por el Este y se pone por el Oeste, desde el
hemisferio Norte se aprecia como un movimiento en sentido horario, aunque ligeramente
más lento que las estrellas lejanas. Éstas se mueven acordes al tiempo sidéreo, mientras
que el movimiento aparente del Sol es acorde al tiempo solar. [6]. En la figura 2.1
Figura 2.1: Movimiento aparente del sol
1
¿Dios necesita esf´ınteres para evacuar sus divinas heces, al igual que cualquier animal? (simio).
11

Figura 2.2: Esquema del movimiento del sol, visto desde distintos marcos referenciales.
se representa a dos observadores que desde hemisferios distintos miran el movimiento
aparente de nuestra estrella. En perspectiva, el Sol se representa como un disco sobre
el Ecuador, interpuesto entre el observador norte y el observador sur. Es evidente que
el observador norte ve al Sol en dirección Sur, mientras que el observador sur lo ve en
dirección Norte. En el hemisferio norte la luz del Sol y su calor proceden del sur, mientras
que en el hemisferio sur proceden del norte.2
.
Se denomina d´ıa, del lat´ın dies, al tiempo que tarda la Tierra desde que el sol está en el
punto más alto sobre el horizonte hasta que vuelve a estarlo. Esta fue la primera forma
que tuvo el hombre de medir el tiempo. [10] La Astronom´ıa mostró que, dependiendo de
la referencia usada para medir un giro, se trata de tiempo solar o de tiempo sidéreo. 3
En caso de no acompañar el término d´ıa con otro vocablo, se entiende como d´ıa solar
medio, base del tiempo civil. Se divide en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cada
minuto en 60 segundos, durando cerca de 86.400 segundos. Con igual referencia, el Sol,
tiene el año tropical o año trópico, lapso que demora la Tierra en su movimiento anual.
En un año trópico la Tierra da 365.24219 vueltas en torno a su eje. [2]
2
Ambos observadores coincidirán en que amanece por el este, y el ocaso sucede en el oeste.
3
El primero toma como referencia al Sol y el segundo toma como referencia a las estrellas.
12

2.1.2. D´ıa Sidéreo
Rotación de la Esfera Celeste. Llamado d´ıa sideral, es el lapso entre dos tránsitos
sucesivos del equinoccio medio o, de manera equivalente, es el lapso entre dos culmina-
ciones sucesivas de una estrella en el meridiano local. Para un observador determinado
el d´ıa sidéreo comienza cuando Aries atraviesa su meridiano (ver figura 2.2).
En un año trópico la Tierra da 365.242189 vueltas en torno a su eje respecto al Sol,
pero respecto a las estrellas da una vuelta más (366.242189). [11] Se puede obtener una
aproximación suficientemente buena del valor de una hora sideral:
Un año Trópico:
365.242189 d´ıas = 8765.8125 horas.
Un d´ıa Sidéreo:
8765.8125 h
366.242189
= 23.9345 horas.
El d´ıa sidéreo resulta ser algo menor de 24 horas: 23 horas 56 minutos 4 segundos, aprox-
imadamente. Supongamos que hoy alineamos una estrella y anotamos la hora. Mañana
la estrella alcanzará la misma alineación unos 3 minutos 55.9 segundos antes. Por otra
parte, hay que distinguir entre el periodo de rotación de la Tierra respecto a las estrellas
y el d´ıa sidéreo propiamente dicho. Al ser el equinoccio medio un punto móvil debido a la
precesión, el d´ıa sidéreo es 0.0084 segundos más corto que el periodo rotacional respecto
a las estrellas. [2] Resumiendo:
Periodo rotacional respecto a las estrellas:
366.242189 d´ıas civiles.
D´ıa sidéreo (medio):
23 horas 56 minutos 4.0905 segundos.
La duración del d´ıa y la noche cambia en el transcurso del año, siendo de 12 horas
(en todas las latitudes) en los equinoccios, de más de 12 horas en primavera y verano
(alcanzando el d´ıa más largo en el solsticio de verano, con la noche más corta), y de
menos de 12 horas en otoño e invierno (alcanzándose en el solsticio de invierno el d´ıa
más corto y la noche más larga). Este efecto se acentúa más cuanto mayor es la latitud.
13

En alguna época del año hay d´ıa o noche permanente en las regiones polares (tanto del
Hemisferio Norte como del Hemisferio Sur) caracterizadas por estar a una latitud que,
en valor absoluto, es mayor que λ = 90o
− 23o
26 = 66o
34 .4
2.1.3. De Ptolomeo a Copérnico
La astronom´ıa observacional, desde los comienzos de la civilización, ha obtenido durante
milenios datos de una precisión maravillosa. Pero el problema esencial es cómo interpre-
tar esos datos. Y esto puede verse en una forma patética en la transición del modelo
geocéntrico desarrollado por Ptolomeo (siglo II d.C.) al modelo heliocéntrico propuesto
por Copérnico (1473-1543). [8]
Las observaciones de Ptolomeo lo obligaron a concebir un modelo de c´ırculos que inclu´ıa
Figura 2.3: Idea en la que se basa el movimiento de los astros según Ptolomeo.
una órbita deferente alrededor de la tierra y un epiciclo con centro en un punto sobre la
deferente (figura 2.3). As´ı, un planeta, visto desde la tierra, se mueve sobre el epiciclo
mientras el centro de éste se mueve alrededor de la tierra describiendo órbita deferente.
Se adopta aqu´ı un punto de vista simplificado deferente - epiciclo para tratar de dar
unas pistas sobre la forma como se pasó de un modelo a otro, y para extraer consecuen-
cias importantes que se derivan de ese cambio de mirada. En realidad, este modelo de
c´ırculos se fue sobrecargando de epiciclos de epiciclos para ponerse a tono con los datos
observacionales y se complicaba cada vez más. Se precisaba una simplificación.
El movimiento, según Ptolomeo, de los planetas conocidos para Copérnico (los visibles a
simple vista) podr´ıa simplificarse en la figura 2.4, referente a deferentes y epiciclos con
sus respectivos per´ıodos.
4
Esta es precisamente la definición de c´ırculo polar.
14

Figura 2.4: Ajuste en epiciclos y deferentes para el movimiento de los astros, según Ptolomeo.
Mientras para los planetas interiores el per´ıodo de la deferente es 1 año, para los planetas
exteriores es el epiciclo el que dura 1 año. ¿No deber´ıa asignarse esta circunstancia a
una proyección en el cielo de la propia órbita de la Tierra? Copérnico vio en la deferente
de Venus (ejemplo de un planeta interior) la propia órbita de la Tierra alrededor del
Sol (figura 2.5). También vio en el epiciclo de Júpiter (ejemplo de planeta exterior) la
proyección del movimiento de la propia Tierra en el movimiento observado de Júpiter
(figura 2.5). El per´ıodo de los epiciclos fue la clave. [8]
Al final de este reporte se incluye un apéndice que busca revelar el secreto para el éxito
logrado por el modelo tolemaico, durante tantos siglos.
15

Figura 2.5: Visión de Copérnico cambiando el marco de referencia.
2.2. Geometr´ıa Plana
2.2.1. Datos Históricos
La historia del origen de la Geometr´ıa es similar a la de la Aritmética, siendo sus concep-
tos más antiguos (consecuencia de las actividades prácticas). [21] Los primeros hombres
llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza. [10]
El sabio griego Eudemo de Rodas 5
, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la
geometr´ıa, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que
las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. [21] 6
5
Eudemo de Rodas. Vivió 300 años a.C. Filósofo griego, natural de Rodas, disc´ıpulo de Aristóteles.
Sus escritos como los de otros de su escuela, se han confundido con los de su maestro.
6
Recordemos que, precisamente, la palabra geometr´ıa significa medida de tierras. [14]
16

Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes. Sin em-
bargo, hasta ah´ı, el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones
formales. También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica, con-
stituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado,
del c´ırculo, volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras.
Las culturas china e indiaLa no sobresalieron en geometr´ıa, limitándose a la resolución
de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. [16]
La geometr´ıa plana es una rama de las matemáticas. Se ocupa de las propiedades del
espacio, como: punto, recta, plano, pol´ıgono, poliedro, curva, superficie, etc. Sus or´ıgenes
se remontan a la solución de problemas relativos a medidas y es la justificación teórica
de instrumentos, como el compás, el teodolito y el pantógrafo. [21]
As´ı mismo, la geometr´ıa da fundamento teórico a inventos como el sistema de posi-
cionamiento global (en combinación con el análisis matemático y con las ecuaciones
diferenciales). La geometr´ıa se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición.
[19] Por ello, es necesario un método riguroso en el que no se cometan errores; para con-
seguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos.
El primer sistema axiomático fue el de Euclides7
, pero hoy se sabe que este sistema
eucl´ıdeo es incompleto. David Hilbert 8
propuso a principios del siglo XX otro sistema
axiomático, ya completo. [26]
7
Matemático y geómetra griego, que vivió alrededor del 300 a. C. Se le conoce como El Padre de la
Geometr´ıa. Su vida es poco conocida. Vivió en Alejandr´ıa (Egipto) durante el reinado de Ptolomeo I.
(algunos autores árabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates). Se barajan tres hipótesis:
a) Euclides fue un personaje histórico que escribió Los elementos y otras obras atribuidas a él.
b)Euclides fue el l´ıder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandr´ıa. Todos ellos con-
tribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de
Euclides después de su muerte.
c) Las obras de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandr´ıa, que tomó el nombre
Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que hab´ıa vivido unos cien años antes. [16]
8
David Hilbert (23 de enero de 1862, Königsberg, Prusia Oriental - 14 de febrero de 1943, Göttingen,
Alemania). Matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios
del XX. Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes de la infraestructura matemática necesaria para
la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teor´ıa de la demostración,
la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente
la teor´ıa de conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial
en la matemática es su presentación en 1900 de un conjunto de problemas que establecieron el curso
de gran parte de la investigación matemática del siglo XX. En la pugna por demostrar correctamente
algunos de los errores cometidos por Einstein, en la teor´ıa general de la relatividad, David Hilbert se
adelantó a las correcciones de Einstein, sin embargo nunca se otorgó el mérito. [14]
17

Como en todo sistema formal, debe tenerse en cuenta que las definiciones, axiomas y
teoremas no sólo pretenden describir el comportamiento de unos objetos. Cuando se ax-
iomatiza algo, se convierte ese comportamiento en el objeto de estudio, pudiendo olvidar
ya los objetos iniciales del estudio (que se denominan modelos). Esto significa que en
adelante, las palabras punto, recta y plano deben de perder todo significado visual. Si se
conserva la idea de punto, recta y plano como lo que comúnmente se comprende como
tales, las definiciones y axiomas, e incluso algunos de los teoremas parecerán evidentes y
carentes de importancia. Algunos tipos de geometr´ıas, son:
Geometr´ıa Euclidea, Geometr´ıa anal´ıtica, Geometr´ıa hiperbólica, Geometr´ıa proyec-
tiva, Geometr´ıa el´ıptica, Geometr´ıa ampudiana, Geometr´ıa anal´ıtica, Geometr´ıa difer-
encial, Geometr´ıa proyectiva, Geometr´ıa descriptiva, Geometr´ıa espacial, Geometr´ıa de
incidencia, Geometr´ıa de dimensiones bajas y Geometr´ıa plana.
La Geometr´ıa plana estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el
triángulo o el c´ırculo, y se conoce como geometr´ıa Eucl´ıdea, en honor a Euclides. Su
extenso tratado: Los Elementos se mantuvo como texto autorizado de geometr´ıa has-
ta la aparición de las llamadas Geometr´ıa no euclideas en el siglo XIX. Estudia las
propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el
término para englobar geometr´ıas de dimensiones superiores con propiedades similares.
Sin embargo, con frecuencia, geometr´ıa euclidiana es sinónimo de geometr´ıa plana. [26]
Una parte importante de la geometr´ıa plana son las construcciones con regla y compás.
Definiciones de Geometr´ıa Euclideana más espec´ıficas, pueden ser:
1. Desde un punto de vista historiográfico, la geometr´ıa euclidiana es aquella geometr´ıa
que postuló Euclides, en su libro Los elementos, dejando al margen las aporta-
ciones que se hicieron posteriormente, desde Arqu´ımedes hasta Steiner. [26]
2. Según la contraposición entre método sintético y método algebraico anal´ıtico, la ge-
ometr´ıa euclidiana ser´ıa, el estudio sintético de los invariantes de un espacio
vectorial real de dimensión 3 dotado de un producto escalar. 9
3. Según el Programa de Erlangen,10
la geometr´ıa euclidiana ser´ıa el estudio de los
invariantes de las isometr´ıas en un espacio euclidiano (espacio vectorial real
de dimensión finita, dotado de un producto escalar).
9
Frecuentemente denominado producto escalar habitual.
10
Erlangen es una ciudad universitaria de Franconia Media, en el Estado federado de Baviera, que
se encuentra en el sur de Alemania. Es la octava ciudad de Baviera. Las ciudades más cercanas son
Fürth (14 km al sur) y Núremberg (16 km al sureste). Junto con los pueblos vecinos, constituyen el área
metropolitana de Núremberg, una de las once más importantes de Alemania. [26]
18

Figura 2.6: Fragmento de Los elementos de Euclides, en papiro, hallado en Oxirrinco, Egipto.
2.2.2. Algunos Conceptos Básicos
El punto Es la representación del m´ınimo lugar geométrico. Es el primer objeto y origen
de los demás. No tiene dimensiones y generalmente se representa por un pequeño c´ırculo,
nombrándolo con una letra mayúscula.
Un segmento Es el conjunto de puntos que se encuentran entre dos puntos fijos, dados,
A y B. La longitud del segmento es la distancia entre sus extremos A y B.
Una Recta es el conjunto de puntos comprendidos entre dos puntos fijos considerados
a una distancia infinita. No tiene origen ni fin (su longitud es infinita).
Una semirrecta es cada una de las partes en que un punto divide a una recta. La
semirrecta tiene origen, pero no fin.
Ángulos y Tipos de ángulos. Un ángulo es cada una de las 4 regiones en que queda
dividido el plano al dibujar en él 2 rectas que se cortan. Recogemos aqu´ı la nomenclatura
para algunos de los tipos de ángulos más usuales, de una manera parecida a la realizada
por los matemáticos griegos, concretamente a la recogida por Euclides.
Ángulo Recto: Cuando dos l´ıneas que se cortan forman 4 ángulos iguales, cada
uno de ellos es un ángulo recto y a ambas rectas se les llama perpendiculares.
Ángulo LLano: Fijamos un punto cualquiera sobre una recta. Cada una de las
regiones que queda a ambos lados de la misma es un ángulo llano. En consecuencia,
un ángulo llano equivale a dos ángulos Rectos.
Ángulo Agudo: aquél que es menor que un ángulo Recto.
Ángulo Obtuso: aquél que es mayor que un ángulo Recto.
19

Dos ángulos se dicen Complementarios si juntos suman un ángulo Recto.
Dos ángulos se dicen Suplementarios si suman dos ángulos rectos (un ángulo Llano).
La figura 2.7 muestra dos rectas paralelas, L1 y L2, 11
cortadas por una secante. Esta
Figura 2.7: Rectas paralelas cortadas por una secante
disposición origina ocho ángulos, cuatro entre L1 con la recta secante y cuatro más, cor-
respondientes, entre L2 y la recta secante.
Los ángulos que están en la misma configuración se denominan correspondientes. As´ı,
en la figura 2.7 son ángulos correspondientes: α con θ, β con ε, χ con µ y δ con ν.
Afirmación. Ángulos correspondientes entre paralelas cortadas por una misma secante,
son congruentes (tienen medida igual).
También relacionamos los ángulos β con θ y δ con µ llamándolos ángulos alternos inter-
nos entre paralelas cortadas por una misma secante. 12
Análogamente, relacionamos los ángulos α con ε y χ con ν llamándolos ángulos alternos
externos entre paralelas cortadas por una misma secante. 13
Afirmación. Ángulos opuestos por el vértice, son congruentes.
Prueba. En la figura 2.8 vemos que,
ω + σ = λ + σ ⇐⇒ ω = λ
11
En Geometr´ıa Plana se puede considerar que dos rectas son paralelas si su intersección es vac´ıa.
12
Son los ángulos que se encuentran al interior de las paralelas pero en lado opuesto de la secante.
13
Son los ángulos que se encuentran al exterior de las paralelas pero en lado opuesto de la secante.
20

Afirmación. Ángulos alternos internos entre paralelas cortadas por una misma secante,
Figura 2.8: Ángulos opuestos por el vértice
son congruentes y ángulos alternos externos entre paralelas cortadas por una misma
secante también son congruentes (tienen igual medida).
Medida de Ángulos. La manera más extendida en nuestro entorno para dar la me-
dida de los ángulos se basa en el principio de definir:
Un Grado Sexagesimal como la medida del ángulo que resulta de dividir un ángulo
total de circunferencia en 360 partes iguales.
Cuando hablamos simplemente de grados en el contexto de la medida de ángulos nos
referiremos siempre a grados sexagesimales y la manera de expresar un ángulo de x
grados es: xo
[1].
En las calculadoras, cuando queremos trabajar en grados sexagesimales debemos ele-
gir el modo adecuado que, normalmente se denota por DEG. Lo más probable es que
esta división tan arbitraria de 360 partes tenga que ver con la medida del tiempo y
el hecho observado de que el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol
(o del Sol alrededor de la Tierra como se pensó y defendió en algún momento) duraba
aproximadamente 360 d´ıas. Con ello, un grado ser´ıa una aproximación del ángulo que se
recorr´ıa en el periodo de un d´ıa en ese movimiento.
Un ángulo llano (una semicircunferencia) mide 180o
y un ángulo recto (1
4
de circun-
ferencia) mide 90o
. Sin embargo, la palabra Sexagesimal la motiva el hecho de que, cada
grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.14
14
La división en 360 partes tiene una motivación histórica pero es totalmente arbitraria y, de hecho,
con ser la más extendida, no es la única que se usa.
21

La popularización de esta medida contrasta con la dificultad de dibujar un ángulo de
un grado sexagesimal si no se cuenta con un instrumento de medida adecuado (un trans-
portador de ángulos, por ejemplo).15
Definición: Un Grado Centesimal ó Gradián es la medida del ángulo que resulta de
dividir un ángulo total de circunferencia en 400 partes iguales. Muchas calculadoras ad-
miten este tipo de grados y es habitual que se abrevie con el modo GRAD que no hay
que confundir con el anterior. En nuestro medio, la medida de ángulos en Gradianes no
es habitual. La otra medida de ángulos más usual, es el Radián.
Definición: El Radián
Puesto que la longitud de la circunferencia es proporcional al radio, se puede definir
el Radián como la medida de un ángulo central de una circunferencia tal que el arco que
abarca tiene la misma longitud que el radio.
En particular, ya que la longitud de la circunferencia, en función del radio r, es 2πr,
el ángulo total de la circunferencia será de 2π radianes. De este modo podemos concluir
que, el radio r es la razón de proporcionalidad entre la medida de un arco y la medida de
su ángulo central correspondiente, en radianes, de acuerdo a la figura 2.9, tenemos que:
r =
AB
θ
=
Longitud del arcoAB
Angulo AOB
Asociada tradicionalmente a un cap´ıtulo tan importante de la actividad humana como
es el de la observación astronómica, la noción de ángulo es básica en geometr´ıa (y ob-
viamente en trigonometr´ıa). Su aparente sencillez no ha de ocultar el hecho de que el
tratamiento de los ángulos como magnitudes susceptibles de ser medidas encierra una
considerable complejidad; en efecto, un sistema de medición de los ángulos que permita
compararlos eficazmente con otras magnitudes geométricas, como la longitud o la super-
ficie, requiere tratarlos como magnitudes lineales, lo que sólo se consigue adecuadamente
asociándolos a arcos de circunferencia.
Pero el cálculo de la longitud de la circunferencia hace intervenir una magnitud irracional,
el número π; esto implica que cuestiones aparentemente sencillas, como por ejemplo la
división de un ángulo cualquiera en tres partes iguales, no puedan resolverse mediante
una construcción geométrica que se sirva exclusivamente de la regla y el compás.
15
Si nos limitamos a manejar sólo regla y compás, no es posible hacerlo.
22

Figura 2.9: Arco subtendido por el ángulo θ
Triángulos. El triángulo es el pol´ıgono más simple y fundamental, ya que todo pol´ıgono
puede resolverse v´ıa triángulos, trazando todas las diagonales a partir de un vértice, o
uniendo todos los vértices con un mismo punto interior al pol´ıgono.
Clasificación de los triángulos por Lados
Isósceles. Es el triángulo que tiene dos lados iguales, el tercer lado se llama base.
Los ángulos en la base son iguales. Rec´ıprocamente, si dos ángulos de un triángulo
son iguales, entonces los lados opuestos a dichos ángulos también serán iguales.
Equilátero. Es el triángulo que tiene los tres lados iguales. Luego, es isósceles para
cualquier par de lados (los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales, cada
uno mide 60o
). Rec´ıprocamente, si los tres ángulos de un triángulo son iguales, es
equilátero. Cabe mencionar que al triángulo que tiene los tres ángulos iguales se le
llama equilátero, pero también es llamado equiángulo.
Escaleno. Triángulo que tiene sus tres lados distintos entre s´ı.
23

Clasificación de los triángulos por ángulos
Acutángulo. Un triángulo que tiene sus tres ángulos agudos (cada uno mayor que
0o
pero menor que 90o
).
Rectángulo. Cuando uno de los ángulos es recto (igual a 90o
).
Obtusángulo. Cuando uno de los ángulos es obtuso (mayor que 90o
pero menor
que 180o
).
Postulados de Geometr´ıa Plana
La presentación tradicional de la geometr´ıa euclidiana se hace en un formato axiomático.16
Euclides planteó cinco postulados en su sistema, los cuales son:
1. Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido.
3. Se puede trazar una circunferencia con centro cualquiera y radio arbitrario.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta al cortar a otras dos, forma ángulos no rectos, esas dos rectas prolon-
gadas se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
El último postulado, conocido como postulado de las paralelas, fue reformulado como:
5. Por un punto exterior a una recta, pasa una única paralela a dicha recta.
Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro. Muchos geómetras, incluido
Euclides, intentaron deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo
negándolo, surgieron dos nuevas geometr´ıas: la el´ıptica, llamada geometr´ıa de Riemann
o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe recta alguna que pase
por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Lobachevsky (existen
varias rectas paralelas que pasan por un punto exterior a una recta dada).
16
Un sistema de axiomas es aquel que, a partir de un cierto número de postulados que se presumen
verdaderos (conocidos como axiomas) y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo
valor de verdad es también positivo.
24

El quinto postulado resultó que si bien es compatible con los otro cuatro, es en cierto
modo independiente. [19]
Es decir, tanto el quinto postulado como la negación del quinto postulado, son compati-
bles con los otros postulados. Una limitación del trabajo de Euclides fue no reconocer la
posibilidad de sistemas geométricos perfectamente consistentes donde el quinto axioma
no era válido.
Es decir, para Euclides y los geómetras posteriores hasta el siglo XVIII pasó inadver-
tida la posibilidad de geometr´ıas no euclidianas, hasta el trabajo de Nikolái Lobachevski
17
, Gauss 18
y Riemann 19
.
Durante el siglo XIX se consideró que las geometr´ıas no euclidianas eran un artefacto
matemáticamente interesante, e incluso con cierto interés práctico pero limitado, como
es el caso de la trigonometr´ıa esférica usada en astronom´ıa.
17
Nikolái Ivánovich Lobachevski (1 de diciembre de 1792 - 24 de febrero de 1856). Matemático ruso del
siglo XIX. Entre sus logros se encuentra la demostración de varias conjeturas relacionadas con el cálculo
tensorial aplicados a vectores en el espacio de Hilbert. Aplicó un tratamiento cr´ıtico a los postulados
fundamentales de la geometr´ıa euclidiana. Nació en Nizhni Nóvgorod y estudió en la Universidad de
Kazán. Enseñó en Kazán desde 1812 hasta 1846, y llegó a ser profesor de matemáticas en 1823. Antes de
Lobachesvski, los matemáticos intentaban deducir el quinto postulado de Euclides a partir de los otros
axiomas; sin embargo, Lobachevsky se dedicó a desarrollar una geometr´ıa en la cual el quinto postulado
puede no ser cierto o, mejor dicho, no ser válido. Para esto, entre otras cuestiones propuso un sistema
geométrico basado en la hipótesis del ángulo agudo, según la cual, en un plano, por un punto fijo pasan
al menos 2 paralelas a una recta (en realidad tal solución da noción de la existencia de triángulos curvos).
Entre sus obras destacan Sobre los principios de la geometr´ıa (1829) y Geometr´ıa imaginaria (1835).
Murió en Kazán en 1856. [26]
18
Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 1777, Brunswick - 23 de febrero de 1855, Göttingen).
Matemático, astrónomo y f´ısico alemán. Contribuyó en la teor´ıa de números, análisis matemático, ge-
ometr´ıa diferencial, geodesia, magnetismo y óptica. Considerado Pr´ıncipe de las matemáticas y el mayor
matemático desde la antigüedad. Influenció muchos campos de la matemática y de la ciencia. Fue de los
primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos. Fue un niño prodigio de quien existen
muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad, e hizo sus primeros descubrimientos mientras era
adolescente. Completó su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún años (1798),
aunque no ser´ıa publicado hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la teor´ıa de los números
se consolidara y ha moldeó esta área hasta hoy. [26]
19
Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Alemania, 17 de septiembre de 1826 - Verbania,
Italia, 20 de julio de 1866). Matemático alemán, realizó contribuciones en análisis y geometr´ıa diferencial,
allanando el camino para el desarrollo de la relatividad general. Su nombre está conectado con la función
zeta, la integral de Riemann, el lema de Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann
y la geometr´ıa de Riemann. [26]
25

Pero en cierto modo se consideraba, que la geometr´ıa del espacio f´ısico era euclidiana
y por tanto las geometrias no euclidianas eran sólo un artificio abstracto útil para ciertos
problemas pero en ningún modo descripciones realistas del mundo. Sin embargo, el tra-
bajo de Albert Einstein. 20
, hizo ver que entre las necesidades de la f´ısica moderna están
las geometr´ıas no euclidianas, para describir el espacio - tiempo curvo.
Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y axiomas cumplirá todos
los teoremas de la geometr´ıa en cuestión, y su comportamiento será idéntico al del mod-
elo tradicional. Por ejemplo, si en la noción de punto se considera el modelo en el que
un punto cualquiera es un polinomio cualquiera de segundo grado:
f(x) = ax2
+ bx + c
Si una recta es entonces una familia de polinomios o en lo consiguiente una familia de
binomios o monomios de la manera:
λ · f(x) : λ ∈ R
y un plano es entendido como el conjunto:
λ · f(x) + µ · g(x) : λ, µ ∈ R
Todos los resultados de las distintas geometr´ıas son válidos para este modelo. [19]
20
Albert Einstein (Ulm, Alemania, 14 de marzo de 1879 - Princeton, Estados Unidos, 18 de abril
de 1955). F´ısico alemán, nacionalizado suizo y estadounidense. En 1905, publicó su teor´ıa de la rela-
tividad especial. Probablemente, la ecuación más conocida de la f´ısica a nivel popular, es la expresión
matemática de la equivalencia masa energ´ıa, E = mc2
, deducida por él como una consecuencia lógica
de esta teor´ıa. Publicó trabajos que sentaron las bases de la f´ısica estad´ıstica y la mecánica cuántica.
En 1915 presentó la teor´ıa de la relatividad general, reformulando por completo el concepto de gravedad.
Una de las consecuencias fue el surgimiento del estudio cient´ıfico del origen y evolución del Universo por
la rama de la f´ısica denominada Cosmolog´ıa. En 1919, cuando las observaciones británicas de un eclipse
solar confirmaron sus predicciones acerca de la curvatura de la luz, fue idolatrado por la prensa. Por sus
explicaciones sobre el efecto fotoeléctrico y sus contribuciones a la f´ısica teórica, en 1921 obtuvo el Pre-
mio Nobel de F´ısica y no por la Teor´ıa de la Relatividad, pues el cient´ıfico a quien se encomendó la tarea
de evaluarla, no la entendió, y temieron correr el riesgo de que posteriormente se demostrase errónea.
Ante el ascenso del nazismo en diciembre de 1932, el cient´ıfico abandonó Alemania con destino a Estados
Unidos, donde impartió docencia en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Se nacionalizó es-
tadounidense en 1940. Intentó integrar en una teor´ıa la fuerza gravitatoria y la electromagnética. Aunque
es considerado el padre de la bomba atómica, abogó en sus escritos por el pacifismo, el socialismo y el
sionismo. Fue proclamado como el más eminente cient´ıfico por la célebre revista Time. [26]
26

Congruencia de Triángulos
La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan
ángulos de igual medida, as´ı como lados de igual medida. Para que se dé la congruencia
de dos o más triángulos, sus lados respectivos deben ser congruentes (igual medida). Las
figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Las
partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.
Para corroborar que dos triángulos son congruentes se debe asegurar la congruencia de
todos los lados de uno con todos los lados correspondientes del otro y la congruencia de
todos los ángulos de uno con todos los ángulos correspondientes del otro.
Congruencia de triángulos Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y
tres ángulos también lo son. Puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se
sabe ciertas de sus partes correspondientes son homólogas. Las condiciones m´ınimas para
que dos triángulos sean congruentes se denominan criterios de congruencia. Son:
Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente con-
gruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio LAL: Si los lados que forman un ángulo, y éste, son congruentes con dos
lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos
son congruentes.
Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes
con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio LLA: Si dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor
de ellos es respectivamente congruente, entonces son congruentes.
Razones y Proporciones
Una razón es una forma de comparar dos cantidades expresadas en la misma unidad
de medida. En una proporción se cumple lo que se denomina propiedad fundamental,
y se conoce como producto cruzado, pues en realidad corresponde a la igualdad que se
presenta al multiplicar los términos extremos entre s´ı y lo mismo entre los términos
medios, quedando:
a
b
=
c
d
⇐⇒ a · d = b · c
27

La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos
conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es
en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un ca-
so particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede
utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.
Semejanza de Triángulos
Una semejanza es la composición de una materia (una rotación y una posible reflexión
o simetr´ıa axial) con una homotecia (una transformación af´ın que, a partir de un punto
fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de
razón diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro de la transformación).
En la rotación se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se
altera su forma. Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma.
En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no as´ı en el caso de
un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede
ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente
base
altura
).
Se puede simplificar as´ı la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son
iguales dos a dos. Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar
todas la longitudes por un mismo factor.
Por tanto, son iguales todas las razones
longitud imagen
longitud origen
, lo que da una segunda car-
acterización de triángulos semejantes:
Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes
son congruentes.
Corolarios
Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.
28

2.3. Trigonometr´ıa
La trigonometr´ıa es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados
y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de funciones trigonométricas
de ángulos.
Sus dos ramas son, fundamentalmente, la plana, que se ocupa de figuras contenidas en
un plano, y la esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de
una esfera.
Incidencia
Las aplicaciones iniciales de la trigonometr´ıa se hicieron en campos de la navegación, la
geodesia y la astronom´ıa [10] [21], en las que el principal problema era determinar una
distancia inaccesible (como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no
sea posible medir de forma directa).
Otras aplicaciones de la trigonometr´ıa se pueden encontrar en f´ısica, en qu´ımica y, en
general, en todas las ramas de ingenier´ıa, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos,
como el sonido o el flujo de corriente alterna.
2.3.1. Datos Históricos
Inicios. Hace ya más de 3000 años los babilonios y los egipcios empleaban ángulos de
triángulos y razones trigonométricas para medir, en agricultura los primeros, y en con-
strucción de pirámides los segundos.
Aplicaron los primeros estudios de astronom´ıa para calcular la posición de cuerpos ce-
lestes y la predicción de sus órbitas, en los calendarios y el cálculo del tiempo, y en
navegación para mejorar la exactitud de la posición y de las rutas. [2] [16]
Los egipcios establecieron medir los ángulos en grados, minutos y segundos, manteniéndose
hasta hoy.
29

En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea21
, conocido como Hiparco de Ro-
das (190 a.C. - 120 a.C.), de Bitinia22
, compiló una tabla trigonométrica para resolver
triángulos, comenzando con un ángulo de 7o
, yendo hasta 180◦
con incrementos de 7◦
, la
tabla da la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que
corta a una circunferencia de radio r. [14] 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo23
utilizó r = 60, pues los griegos hab´ıan adoptado el sistema numérico sexagesimal (base
60) de los babilonios. Tolomeo incorporó en su libro de astronom´ıa, el Almagesto, una
tabla de cuerdas con incrementos, desde 0◦
a 180◦
, con un error menor que 1
3600
de unidad
angular, y a lo largo del libro da ejemplos de cómo calcular elementos de un triángulo.
Tolomeo dominó el pensamiento cient´ıfico hasta el siglo XVI por teor´ıas y
explicaciones astronómicas.
Maduración. A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que recibieron la herencia
de las tradiciones griegas, y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. A finales
del siglo X completaron la función seno junto con las otras cinco funciones. Descubrieron
y demostraron varios teoremas fundamentales de la trigonometr´ıa tanto para triángulos
planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de
r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes
calcularon tablas precisas en división sexagesimal, destacando Abu al - Wafa al - Buzad-
jami (940 d.C. - 997 d.C.) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posiciones
sexagesimales. Occidente conoció la trigonometr´ıa árabe a través de traducciones de li-
bros de astronom´ıa, desde el siglo XII. En el siglo XV, el primer trabajo importante en
esta materia en Europa fue, De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán
Johann Müller24
. Durante el siguiente siglo, El astrónomo alemán Georges Joachim 25
(conocido como Rético), introdujo el concepto de funciones trigonométricas como pro-
porciones en vez de longitudes de ciertas l´ıneas.
21
Hiparco fue un astrónomo, geógrafo y matemático griego (nacido en Nicea alrededor de 190 a.C. y
muere alrededor de 120 a.C.). Nace dos años antes de la muerte de Eratóstenes, del que fue sucesor en
la dirección de la Biblioteca de Alejandr´ıa. Entre sus aportaciones cabe destacar: el primer catálogo de
estrellas, el descubrimiento de la precesión de los equinoccios, distinción entre año sidéreo y año trópico,
mayor precisión en la medida de la distancia Tierra - Luna y de la oblicuidad de la ecl´ıptica, la invención
de la trigonometr´ıa y de los conceptos de longitud y latitud geográficas. [26]
22
Hoy Iznik, Turqu´ıa.
23
Claudio Ptolomeo, (Tolemaida, Tebaida, 100 d.C. Cánope, 170 d.C.) Astrónomo, qu´ımico, geógrafo
y matemático greco egipcio, llamado en español Ptolomeo (o Tolomeo). [26]
24
Königsberg in Bayern (Franconia), 6 de junio 1436 - Roma, 6 de julio de 1476. Prol´ıfico astrónomo
y matemático alemán. Su nombre real es Johann Müller Königsberg. [26]
25
Primer Vizconde de Goschen; Londres, 1831 - Seacox Heath, 1907. Pol´ıtico británico. Brillante
economista, consiguió reducir la deuda pública. [26]
30

Desarrollo. En el siglo XVII, aparece Sir Isaac Newton26
En las universidades se inicia
con Cálculo diferencial (Newton comienza su desarrollo del cálculo con integración) para
continuar con Cálculo integral, partiendo de funciones reales de variable real, para llegar
a funciones multi variables de variable compleja. Uno de los fundamentos del trabajo
de Newton fue la representación de funciones matemáticas utilizando series infinitas de
potencias de la variable x. Newton encontró la serie para sin(x) y series similares para
cos(x) y tan(x). Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron in-
corporadas al análisis, donde todav´ıa hoy desempeñan un papel importante tanto en las
matemáticas puras como en las aplicadas.27
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler28
fundó la trigonometr´ıa
moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales
de números complejos. Esto convirtió a la trigonometr´ıa en una de las muchas aplicaciones
de los números complejos. También se le debe a este matemático el uso de las minúscu-
las latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas
correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos.
La Trigonometr´ıa es la parte de las matemáticas que analiza las medidas de los tres
ángulos y los tres lados de un Triángulo. Las relaciones entre sus ángulos, sus lados, ...
26
Nació el 4 de enero de 1643 y murió el 31 de marzo de 1727. F´ısico, filósofo, teólogo, inventor,
alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más cono-
cidos como los Principia, donde describió la ley de gravitación universal y estableció las bases de la
mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus descubrimientos cient´ıficos destaca
el desarrollo del cálculo matemático y comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo in-
tegral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la f´ısica. [14] Entre sus hallazgos cient´ıficos
se encuentran, entre muchos otros, su propuesta de una teor´ıa sobre el origen de las estrellas y fue el
primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gob-
iernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el cient´ıfico
más grande de todos los tiempos, y su obra como la culminación de la revolución cient´ıfica.
27
Al tiempo que Newton, en Inglaterra, desarrolla el Cálculo (de forma geométrica), otro hombre en
Alemania: Leibniz, desarrolla la misma teor´ıa (de manera algebraica), generándose para Leibniz un
problema por derechos de autor, hasta el punto de solicitar infructuosamente , de manera reiterada, una
audiencia (en Inglaterra) con la Real Sociedad de Ciencias (de la cual Newton fue director). [26]
28
Su nombre completo era Leonhard Paul Euler. Fue un respetado matemático y f´ısico. Nació el 15 de
abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Se le
considera el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos.
Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas
tan diversas como el cálculo o la teor´ıa de grafos. Se le conoce por sus trabajos en los campos de la
mecánica, óptica y astronom´ıa. Euler ha sido uno de los matemáticos más prol´ıficos, y se calcula que
sus obras completas reunidas podr´ıan ocupar entre 60 y 80 volúmenes. [14] El asteroide (2002) Euler
recibió ese nombre en su honor. [26]
31

Pero la mayor parte de las relaciones y resultados que se estudian en Trigonometr´ıa se
basan en algunos principios básicos de Geometr´ıa y, fundamentalmente, en la Propor-
cionalidad. El maestro desde antes de comenzar el tema como tal, debe ir introduciendo
cuestiones básicas relacionadas con ángulos y triángulos, con proporcionalidad, ...
Para la mayor´ıa de los alumnos de secundaria, muchos conceptos y procedimientos ge-
ométricos que siempre han sido competencia de la Matemática, son ahora vistos como
Dibujo Técnico y, en muchos casos, sin sus justificaciones formales. Por ello, el maestro
debe introducir muchos resultados auxiliares, necesarios o no, que acerquen la Geometr´ıa
Plana a las Matemáticas, su lugar natural.
Debemos procurar que una premisa básica esté siempre presente y gu´ıe muchos de nue-
stros procesos para comprender mejor los conceptos y resultados que estudiamos:
Si se puede dibujar con regla y compás, se puede calcular
Recordaremos as´ı a los maestros griegos y sus sencillas herramientas de trabajo. Ver la
geometr´ıa y, en este caso, la Trigonometr´ıa, de forma constructivista, tiene enormes
beneficios en la comprensión de conceptos estudiados en secundaria y universidad.
2.3.2. Algunos Conceptos Básicos
La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo,
o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos
astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma
la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra
visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra
ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos.
El objetivo de la trigonometr´ıa es establecer las relaciones matemáticas entre las me-
didas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las
medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas
mediante las otras.
Un tipo particular de triángulos, los triángulos rectángulos, se caracterizan por satisfacer
una relación métrica, el llamado teorema de Pitágoras (ver la tercer subsección
de la tercer sección del segundo cap´ıtulo, 2.3.3), que es la base de nuestro concepto de
medida de las dimensiones espaciales.
32

Funciones Trigonométricas
La razón se define como la comparación por cociente (división) de dos magnitudes de la
misma especie (se trata de un número abstracto). Las funciones trigonométricas son fun-
ciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo
rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio uno).
Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de
ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos,
e incluso a números complejos.
Dado un ángulo agudo, tomemos un punto cualquiera sobre uno de sus lados; por ejem-
plo, el punto M, situado sobre el lado OM (O es el vértice). Si por M trazamos una
perpendicular, que cortará al otro lado del ángulo, en el punto S, quedan determinados
tres segmentos, los cuales forman un triángulo rectángulo.
En un triángulo rectángulo, al lado más grande (el que está frente al ángulo de 90o
)
se le denomina hipotenusa, y a los otros dos lados se les llama catetos. Con los tres
segmentos definidos, se pueden obtener seis razones distintas, que son:
33

1. Seno, sin(θ): Se obtiene dividiendo el cateto opuesto entre la hipotenusa.
sin(θ) =
opuesto
hipotenusa
2. Coseno, cos(θ): Se obtiene dividiendo el cateto adyacente entre la hipotenusa.
cos(θ) =
adyacente
hipotenusa
3. Tangente, tan(θ): Se obtiene dividiendo el cateto opuesto entre el cateto adya-
cente.
tan(θ) =
opuesto
adyacente
=
sin(θ)
cos(θ)
4. Cotangente, cot(θ): Se obtiene dividiendo el cateto adyacente entre el cateto
opuesto.
cot(θ) =
adyacente
opuesto
=
cos(θ)
sin(θ)
=
1
tan(θ)
5. Secante, sec(θ): Se obtiene dividiendo la hipotenusa entre el cateto adyacente.
sec(θ) =
hipotenusa
adyacente
=
1
cos(θ)
6. Cosecante, csc(θ): Se obtiene dividiendo la hipotenusa entre el cateto opuesto.
csc(θ) =
hipotenusa
opuesto
=
1
sin(θ)
Las funciones seno y coseno son funciones anal´ıticas. Su serie de Maclaurin viene dada
por:
sin(x) =
∞
i=1
(−1)k
x2k+1
(2k + 1)!
=
x
1!
−
x3
3!
+
x5
5!
. . .
cos(x) =
∞
i=1
(−1)k
x2k
(2k)!
=
1
0!
−
x2
2!
+
x4
4!
. . .
Estas identidades son usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con
frecuencia se utilizan como punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones
trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier).
Debido a que la teor´ıa de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del
sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica.
La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de
las definiciones de series por si misma.
34

Figura 2.10: Razones trigonométricas de ángulos notables
Relación con la exponencial compleja. Existe una relación importante entre la
exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas:
eix
= cos(x) + i sin(x)
Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función ex-
ponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando
ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones
de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:
cos(x) =
eix
+ e−ix
2
sin(x) =
eix
− e−ix
2i
La importancia de los radianes. Los radianes especifican un ángulo midiendo la
longitud alrededor del camino del circulo unitario y constituyen un argumento especial
para las funciones seno y coseno. En particular, solamente los senos y cosenos que mapean
radianes a radio satisfacen las ecuaciones diferenciales que los describen tradicionalmente.
Si un argumento para el seno o el coseno en radianes es escalado por frecuencia,
y = f(x) = sin(kx)
35

Figura 2.11: Signos de razones trigonométricas en diferentes cuadrantes del plano cartesiano
entonces las derivadas escalan por amplitud.
y = f (x) = k cos(kx)
k es una constante que representa un mapeo entre unidades. Si x esta en grados, entonces
k =
π
180o
. As´ı, la segunda derivada de seno en grados no satisface la ecuación diferencial
y = −y, sino y = −k2
y. El coseno de la segunda derivada se comporta similar. Esto
quiere decir que estos senos y cosenos son funciones diferentes, y que la cuarta derivada
del seno es nuevamente el seno, únicamente si el argumento está definido en radianes.
El concepto de razón Trigonométrica de un ángulo agudo se generaliza sin problema a
cualquier tipo de ángulo. De hecho, las relaciones de proporcionalidad son genéricas. Sin
embargo, para hacer esta generalización, no nos vale el patrón de un triángulo rectángu-
lo porque todos sus ángulos son menores o iguales a un recto. Por ello se trabaja con
la circunferencia goniométrica. Un goniómetro es un instrumento que sirve para medir
ángulos. Una circunferencia goniométrica es una circunferencia especial que se utiliza
para medir ángulos y definir las razones trigonométricas de los mismos.
Consideremos una circunferencia de radio 1. Como todas las relaciones trigonométricas
son razones de proporcionalidad, el valor del radio nos resultará indiferente pero, si lo
consideramos como 1, simplificará los cálculos. Los ángulos se situarán sobre la circun-
ferencia siguiendo los siguientes principios:
1. El vértice en el centro de la circunferencia.
2. Uno de sus lados coincide con el semieje positivo de las abscisas x.
3. El otro lado se coloca donde le corresponda, abriendo el ángulo en sentido contrario a
las agujas del reloj.
4. Cuando se abre el ángulo en el mismo sentido de las agujas del reloj, se considera su
valor como negativo.
36

Identidades Trigonométricas Básicas.
No perdamos de vista que las funciones trigonométricas aparecen al relacionar los catetos
y la hipotenusa de todo triángulo rectángulo.29
Pero, al analizar estas relaciones como
funciones en un plano cartesiano, ellas pasan a definirse en términos de proyecciones sobre
el eje x 30
y sobre el eje y 31
de una varilla de longitud 1, sujeta en uno de sus extremos
en el origen (0, 0), con posibilidad de girar, de tal manera que su otro extremo recorre
la trayectoria de la circunferencia unitaria (radio 1). Esta idea nos puede servir para
Figura 2.12: Varilla fija en el origen. El otro extremo recorre la circunferencia unitaria
comprender varias propiedades de las funciones trigonométricas, en particular sin(α) y
cos(α). Por ejemplo, la figura 2.12 muestra que podemos reemplazar a x con cos(α) y a
y con sin(α), y as´ı obtenemos una de las identidades fundamentales.
cos2
(α) + sin2
(α) = 1
29
Es posible que la trigonometr´ıa se originara como consecuencia de relacionar longitudes de gnomones,
con sus sombras y los ángulos involucrados, prácticas obligatorias para los hombres que iniciaron la
astronom´ıa. Luego, seguramente, para ubicar rutas mar´ıtimas.
30
Podemos imaginar al coseno del ángulo como la longitud de la sombra de la varilla en el eje x cuando
esta es iluminada con la fuente de luz ubicada en el lugar ad.
31
Podemos imaginar al seno del ángulo como la longitud de la sombra de la varilla en el eje y cuando
esta es iluminada con la fuente de luz ubicada en el lugar op.
37

Algunas identidades trigonométricas
Razones de la suma y diferencia de 2 ángulos
a) sin (α ± β) = sin (α) · cos (β) ± cos (α) · sin (β)
b) cos (α ± β) = cos (α) · cos (β) sin (α) · sin (β)
c) tan (α ± β) =
tan (α) ± tan (β)
1 tan (α) · tan (β)
Razones del ángulo doble. Si en las anteriores identidades, hacemos α = β,
donde 2α = α + β, tenemos que
a) sin (2α) = sin (α) · cos (α) + cos (α) · sin (α) = 2 · sin (α) · cos (α)
b) cos (2α) = cos (α) · cos (α) − sin (α) · sin (α) = cos2
(α) − sin2
(α)
c) tan (2α) =
tan (α) + tan (α)
1 − tan (α) · tan (α)
=
2 · tan (α)
1 − tan2
(α)
Razones del ángulo medio
a) sin
α
2
= ±
1 − cos (α)
2
b) cos
α
2
= ±
1 + cos (α)
2
c) tan
α
2
= ±
1 − cos (α)
1 + cos (α)
Sumas y Diferencias de senos y cosenos
a) sin (α) + sin (β) = 2 · sin
α + β
2
· cos
α − β
2
b) sin (α) − sin (β) = 2 · cos
α + β
2
· sin
α − β
2
c) cos (α) + cos (β) = 2 · cos
α + β
2
· cos
α − β
2
d) cos (α) − cos (β) = −2 · sin
α + β
2
· sin
α − β
2
38

Dos Teoremas Para Todo Triángulo
Si en un triángulo cualquiera trazamos una de sus alturas, el triángulo queda dividido
en dos triángulos rectángulos. Haciendo esto con cada una de las tres alturas relativas
a cada uno de los lados y recordando los resultados iniciales básicos que expresaban
la proyección ortogonal de un lado del triángulo sobre la base en función del Coseno
y la altura en función del Seno, obtenemos dos Teoremas de mucha utilidad práctica
en problemas que tengan como objetivo resolver triángulos cualesquiera. Anteriormente
se presentaron resultados para triángulos rectángulos, pero en general, las situaciones
problema que involucran triángulos no necesariamente rectángulos.
Figura 2.13: Esquema de un triángulo genérico
Teorema del Seno. Para todo triángulo, de acuerdo a las convenciones de la figura
2.13, se cumple que:
ABC :
a
sin α
=
b
sin β
=
c
sin θ
Teorema del Coseno. Para todo triángulo, de acuerdo a las convenciones de la figura
2.13, se cumple que:
ABC :
a2
= b2
+ c2
− 2bc cos (α)
b2
= a2
+ c2
− 2ac cos (β)
c2
= a2
+ b2
− 2ab cos (θ)
39

2.3.3. Teorema de Pitágoras
Pitágoras de Samos. Filósofo y matemático. Nació en la isla de Samos (582 a.C.). De
joven viajó a Mesopotamia y Egipto y luego regresó a Samos. Sus doctrinas eran reglas
estrictas de conducta. Su escuela (rigurosamente esotérica) estaba abierta a hombres y
mujeres, (la conducta discriminatoria estaba prohibida). Sus estudiantes pertenec´ıan a
todas las razas, religiones, y estratos económicos y sociales. Aprendió a tocar la lira, a
escribir poes´ıa y a recitar a Homero. El esfuerzo para generalizar un teorema matemático a
partir de casos particulares muestra el método pitagórico para la purificación y perfección
del alma. El universo era un cosmos, conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes
guardaban disposición armónica. En un sentido sensible, la armon´ıa era musical; pero su
naturaleza inteligible era de tipo numérico y, si todo era armon´ıa, el número resultaba
ser la clave de todas las cosas. Los pitagóricos atribu´ıan todos sus descubrimientos a
Pitágoras por lo que es dif´ıcil determinar con exactitud cuales resultados son obra del
maestro y cuales de los disc´ıpulos. Entre sus descubrimientos están:
Una prueba del teorema de Pitágoras. Si bien los pitagóricos no descubrieron este
teorema (ya era conocido y aplicado en Babilonia y la India desde hac´ıa tiempo),
s´ı fueron los primeros en demostrar formalmente el teorema. También demostraron
el converso del teorema (si los lados de un triángulo satisfacen la ecuación, entonces
el triángulo es recto).
Ternas pitagóricas. Es una terna de números enteros (a, b, c) tales que a2
+b2
= c2
.
Aunque los babilonios ya sab´ıan generar tales ternas en ciertos casos, los pitagóri-
cos extendieron el estudio encontrando resultados como cualquier entero impar es
miembro de una terna pitagórica primitiva.
Sólidos regulares. Los pitagóricos descubrieron el dodecaedro y demostraron que
sólo existen 5 poliedros regulares.
Números perfectos. Estudiaron aquellos números que son iguales a la suma de sus
divisores propios (por ejemplo 6=1+2+3). Encontraron una fórmula para obtener
ciertos números perfectos pares.
Números amigables. Un par de números son amigables si cada uno es igual a la
suma de los divisores propios del otro.
Números irracionales. El descubrimiento de que la diagonal de un cuadrado de lado
1 no puede expresarse como un cociente de números enteros marca el descubrimiento
de los números irracionales.
40

Medias. Los pitagóricos estudiaron la relación entre las medias aritmética, geométri-
ca y armónica de dos números y obtuvieron la relación
2ab
a + b
≤
√
ab ≤
a + b
2
Números figurados. Un número es triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., si tal
número de guijarros se pueden acomodar formando el pol´ıgono correspondiente con
lados 1,2,3, etc.
Pitágoras protesta contra la imagen de dioses mitológicos. Enseña la existencia de un
único Dios que mantiene el mundo unido en la justicia. Este Dios no piensa como hu-
mano ni tiene forma humana. Su cuerpo es una esfera y la divinidad se manifiesta en el
movimiento circular del fuego de los astros. Pitágoras muere cerca del año 507 a.C. [26]
Pitágoras fue el iniciador de la filosof´ıa idealista. Según él, los números constituyen la
sustancia de las cosas, ellas guardan una relación numérica que las distingue de las demás.
Uno de sus muchos aportes es el teorema que lleva su nombre.
El teorema dice que, en todo triángulo rectángulo, El cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
A continuación se da una pequeña demostración del teorema.
Como lo muestra la figura 2.14, primero se elaboró un cuadrado de lados (a + b), los
cuales se pueden separar en dos segmentos, a y b; después, se unen los cuatro puntos en
que se cortan los lados (a + b), y se forma lo que aparentemente es otro cuadrado.
Para demostrar que efectivamente es un cuadrado, se puede observar con facilidad que sus
lados son iguales, ya que las hipotenusas de los cuatro triángulos que forman el cuadrado
son iguales, pues sus catetos son a y b, por lo tanto la hipotenusa mide lo mismo en todos
los triángulos; a ésta le llamaremos c.
Para confirmar que sus ángulos son rectos, basta suponer que uno de los ángulos del
triángulo mide Ao
y el otro medirá (90o
− Ao
), por lo tanto al juntar estos dos ángulos,
medirán 90o
y el ángulo que queda en medio, para completar los 180o
que deben medir
los tres juntos, tendrá que medir, 90o
; as´ı, los otros tres ángulos, del cuadrado interno
también son rectos.
Por último, vamos a medir el área de las figuras.
El área del cuadrado interno mide c2
. El área del cuadrado grande mide
(a + b)(a + b) = a2
+ 2ab + b2
41

Figura 2.14: Cuadrado formado con cuatro triángulos rectángulos congruentes
y el área de los cuatro triángulos mide
4
ab
2
= 2ab
Por lo tanto si al área del cuadrado grande le restamos la de estos triángulos, obtendr´ıamos
la del cuadrado interno, es decir,
a2
+ 2ab + b2
− 2ab = a2
+ b2
Finalmente, igualamos las dos áreas que obtuvimos del cuadrado interno:
c2
= a2
+ b2
As´ı, queda demostrado el teorema de Pitágoras, uno de los más grandes filósofos y
matemáticos de la historia.
42

Cap´ıtulo 3
Eratóstenes
Este cap´ıtulo busca identificar, lo más veraz posible, el tiempo en el que datamos los
primeros rastros sobre el conjeturar, pero aún más relevante, sobre el demostrar, el hecho
de que nuestro planeta tiene forma geométrica casi esférica. 1
También trata este cap´ıtulo
de determinar, con fundamento, el lugar geográfico donde se gestó la idea de una tierra
redonda, y su vivir para tratar de estimarlo. Además, este cap´ıtulo pretende, en espe-
cial, dar reconocimiento a la mente humana que concibió la idea de redondear nuestro
planeta, y del cómo registró, con rigurosidad cient´ıfica, estimaciones muy precisas que
argumentan, sin lugar a duda, dicha afirmación.2
Apesar de que ninguna de las obras de
Eratóstenes nos llegó completa, sabemos suficiente para considerarlo una de las figuras
más importantes de aquella edad de oro de las ciencias, la época helen´ıstica. [20]
1
Sabemos, desde Sir Isaac Newton, que la forma de la superficie terrestre, vista desde lejos, no es
exactamente esférica sino, achatada en los polos (debido a la rotación alrededor de un eje, presentándose
fuerzas centr´ıfugas que en el pasar de los millones de años, la deformaron, experimentando mayor ve-
locidad tangencial cerca del ecuador).
2
No perdamos de vista que, mil setecientos años después, la humanidad está quemando, en holocausto,
a las personas que se atreven afirmar que la tierra es redonda, entre otras herej´ıas.
43

3.1. Ubicación Espacio Temporal
3.1.1. Época y Lugar de Incidencia
Figura 3.1: Alejandr´ıa, Egipto (Norte de África). Fuente: Google earth
Museo de Alejandr´ıa. El Museo de Alejandr´ıa era un santuario que acog´ıa un zo-
ológico, jardines, una gran sala para reuniones e incluso un laboratorio. Durante siglos,
los Ptolomeos apoyaron y conservaron la biblioteca que, desde su origen, mantuvo un
ambiente de estudio y de trabajo. Dedicaron grandes sumas a la adquisición de libros,
con obras de Grecia, Persia, India, Palestina, África y otras culturas, predominando la
literatura griega. La biblioteca del Museo constaba de diez estancias dedicadas a la inves-
tigación, cada una dedicada a una disciplina diferente. Gran número de poetas y filósofos,
que llegaron a ser más de cien en sus mejores años, se ocupaban de su mantenimiento,
con dedicación total. [16] En realidad se consideraba el edificio del Museo un verdadero
templo dedicado al saber. Desde el principio, la biblioteca fue un apartado al servicio del
Museo. Pero más tarde, al adquirir importancia y volumen, se creó un anexo. Se cree que
esta segunda biblioteca (biblioteca hija) fue creada por Ptolomeo III Evergetes (Entre el
246 a. C. y el 221 a. C.), y se estableció en la colina del barrio de Racotis (hoy Karmuz),
en un lugar de Alejandr´ıa alejado del mar, en el antiguo templo erigido por los primeros
Ptolomeos al dios Serapis, llamado el Serapeo, considerado uno de los edificios más bellos
de la Antigüedad. [26] En la época del Imperio romano, los emperadores la protegieron y
modernizaron en gran medida, incorporando calefacción central mediante tuber´ıas (para
mantener los libros, secos en depósitos subterráneos).3
3
Los redactores de la biblioteca eran conocidos en Grecia por su trabajo sobre los textos homéricos.
Los redactores más famosos generalmente llevaron el t´ıtulo de bibliotecario principal.
44

Figura 3.2: Cirene, Libia (Norte de África). Fuente: Google earth
Eratóstenes Nació en Cirene, ahora llamada Shaha (en una región del norte de África,
que ahora es parte de Libia) en el año 276 a.C.4
(fig. 3.2)
Destacó en diversas actividades intelectuales. Como Astrónomo midió la oblicuidad de
la ecl´ıptica, la distancia entre el sol y la luna, entre otros (ver figura 3.4).
A Eratóstenes se le atribuye la invención, hacia 255 a.C., de la esfera armilar que aún se
empleaba en el siglo XVII. Aunque debió de usar este instrumento para diversas obser-
vaciones astronómicas, sólo queda constancia de la que le condujo a la determinación de
la oblicuidad de la ecl´ıptica. Determinó que el intervalo entre los trópicos (el doble de la
oblicuidad de la ecl´ıptica) equival´ıa a los 11
83
de la circunferencia terrestre completa, resul-
tando para dicha oblicuidad 23o
51 19”, cifra que posteriormente adoptar´ıa el astrónomo
Claudio Ptolomeo. Según algunos historiadores, Eratóstenes obtuvo un valor de 24o
. [13]
Además, según Plutarco5
, de sus observaciones astronómicas durante los eclipses, Er-
atóstenes dedujo que la distancia al Sol era de 804 millones de estadios, la distancia a la
Luna 780 mil estadios y, según Macrobio6
, que el diámetro del Sol era 27 veces mayor
que el de la Tierra. [20]
Realmente el diámetro del Sol es 109 veces el de la Tierra y la distancia a la Luna
es casi tres veces la calculada por Eratóstenes, pero el cálculo de la distancia al Sol,
admitiendo que el estadio empleado fuera de 185 metros, fue de 148 752060 km, muy
similar a la unidad astronómica actual. [3]
4
Algunos investigadores ubican su nacimiento en el año 273 a.C. [26]
5
Mestrio Plutarco, de Queronea, hoy desaparecida (48 d.C. - 120 d.C.). Nació en la región griega de
Beocia, probablemente durante el gobierno del emperador romano Claudio. Fue historiador, biógrafo y
ensayista griego. [26]
6
Macrobio fue un escritor y gramático romano, del último cuarto del siglo IV d.C., de cuyos datos
biográficos poco se conoce con certeza. [26]
45

3.1.2. Su Educación
Fue disc´ıpulo de Lisanias de Cirene y del poeta Cal´ımaco, y también gran amigo de
Arqu´ımedes. Otros filósofos que influyeron en Eratóstenes, fueron Aristón de Quios y
Arcesilao de Pitane. Alrededor del año 236 a.C. Ptolomeo III Evergertes de Egipto lo
llamó para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandr´ıa7
, sucediendo a Apolonio
de Rodas, puesto que ocupó hasta el fin de sus d´ıas. [7]
Eratóstenes fue tutor del pr´ıncipe heredero, el futuro Ptolomeo IV Philopator y mantuvo
siempre una cercana relación con la casa real. El apellido de Eratóstenes fue Pentath-
los, nombre que se reservaba al atleta vencedor en las cinco competiciones de los Juegos
Ol´ımpicos. Suidas 8
afirma que también era conocido como el segundo Platón. [17]
Es posible que Eratóstenes fuera responsable de la conservación de varias obras cient´ıficas
realizando una labor de edición similar a la llevada a cabo con los textos literarios por
otros directores de la biblioteca (Zenódoto, Aristófanes y Aristarco). Trabajó con proble-
mas de matemáticas, solucionando el ”problema de Delos”.9 Él construyo un instrumento
al cual llamó Mesolabio, con el que era posible calcular medidas deseadas e inventó el
primer reloj solar moderno, al que denominó Scrapel. [3] En las figuras 3.3 y 3.5 se
muestra reconstrucciones del siglo XIX con la visión del mundo de Eratóstenes de Cirene.
Más simétrico que exacto, las particiones fueron los precursores de paralelos y meridianos
(después de Dicearco). La información geográfica que fue recogida por Alejandro Magno
y sus sucesores fue la fuente principal utilizada por Eratóstenes, estudioso con la visión
para poner esta información en un marco lógico. [13]
El primer uso de mapas del mundo se introdujo, tempranamente, por Anaximandro, y
Heródoto, basados en suposiciones precipitadas. Tampoco cabe duda de que los hallazgos
resultantes de las conquistas de Alejandro Magno y la ampliación de los conocimientos
geográficos bajo sus sucesores, gradualmente han encontrado su lugar en estos mapas.
Los estudiosos modernos conciben a Eratóstenes como el padre de la geograf´ıa cient´ıfica,
al menos digno de ser el alfa en esa materia, sobre todo por su notable medición de la
circunferencia de la tierra. [13]
7
La Bilblioteca de Alejandr´ıa hab´ıa sido planeada por Ptolomeo I Soter y llevada a cabo por su hijo
Ptolomeo II Philadelfo. En el Museo florec´ıa una actividad intelectual, poética, musical o cient´ıfica. El
nombre viene porque las hijas de Zeus, las nueve musas, siendo al principio fuentes de inspiración de los
poetas épicos, después lo fueron de todos los poetas y los músicos y finalmente de todos los hombres de
letras, filósofos y cient´ıficos. [17] Anteriormente, el mismo Platón en su Academia o Aristóteles después
en su Liceo ten´ıan unos jardines con un pequeño templo para el culto de las musas, el Museo.
8
Suidas fue un lexicógrafo griego del siglo X. Legó un glosario, recopilación imprecisa que abarca
fragmentos de interés sobre la historia literaria, entre otros.
9
Cómo duplicar el volumen cúbico del altar existente en el templo de Apolo situado en Delos.
46

Figura 3.3: Mapas de Eratóstenes.
Según declaraciones de Estrabón10
, Eratóstenes hizo objeto de su especial atención el
reformar el mapa del mundo, cambiándolo de como hab´ıa existido, para reconstruir-
lo con principios cient´ıficos. Este es el punto de vista filosófico que constituye su mérito
especial, y lo faculta para ser llamado con justicia el padre de la geograf´ıa sistemática.
Con respecto a la idea fundamental de toda geograf´ıa: La posición y la figura de la
tierra, Eratóstenes aprobó el punto de vista vigente entre los astrónomos de su época,
desde los tiempos de Aristóteles11
y Euclides. La idea del globo terráqueo, presente en la
mente de Eratóstenes y de de sus contemporáneos, no difirió de la del geógrafo moderno.
La diferencia entre teor´ıa geocéntrica y teor´ıa heliocéntrica del universo era irrelevante.
10
de Amasia, Ponto, nació en el 64 o 63 a. C. y murió entre el 19 y el 24 d. C. Fue geógrafo e historiador
griego, conocido principalmente por su obra Geograf´ıa. [26]
11
384 a. C. - 322 a. C. Fue filósofo, lógico y cient´ıfico de la Antigua Grecia. Sus ideas ejercieron
enorme influencia sobre la historia intelectual de Occidente por más de dos milenios. [16] Aristóteles
escribió cerca de 200 tratados (de los cuales sólo nos han llegado 31) sobre enorme variedad de temas,
incluyendo lógica, metaf´ısica, filosof´ıa de la ciencia, ética, filosof´ıa pol´ıtica, estética, retórica, f´ısica,
astronom´ıa y biolog´ıa. Transformó muchas, si no todas, las áreas del conocimiento que tocó. Reconocido
como el padre fundador de la lógica y de la biolog´ıa, pues si bien existen reflexiones y escritos previos
sobre ambas materias, es en su trabajo donde se encuentran las primeras investigaciones sistemáticas al
respecto. Entre muchas otras contribuciones, Aristóteles formuló la teor´ıa de la generación espontánea,
el principio de no contradicción, las nociones de categor´ıa, sustancia, acto, potencia, etc. Algunas de
sus ideas, que fueron novedosas para la filosof´ıa de su tiempo, hoy forman parte del sentido común de
muchas personas. Aristóteles fue disc´ıpulo de Platón y de otros pensadores (como Eudoxo) durante los
20 años que estuvo en la Academia de Atenas, luego fue maestro de Alejandro Magno en el Reino de
Macedonia, y finalmente fundó el Liceo en Atenas, donde enseñó hasta un año antes de su muerte. [26]
47

3.1.3. Referencias Personales
Arqu´ımedes 12
Tal vez el mayor matemático de la antigüedad, se dirigió cartas con
Eratóstenes y le dedicó su obra monumental El Método. Se cree que Eratóstenes fue el
primero en auto llamarse philólogos, y parece ser que era conocido como betha.13
Pero
la historia demuestra que era un l´ıder en numerosos campos como la astronom´ıa, la
geograf´ıa, la literatura, la poes´ıa, la filosof´ıa y las matemáticas. Incluso siendo sólo el
segundo mejor en muchas cosas, en una era de sorprendente progreso en las ciencias y
las artes, Eratóstenes es uno de los mayores genios de todos los tiempos. [3]
Escribió muchos libros de los cuales sólo se tienen noticias por referencias bibliográfi-
cas de otros autores. Su principal motivo de celebridad es la determinación del tamaño
de la Tierra. Inventó y empleó un método trigonométrico, además de las nociones de
latitud y longitud, al parecer ya introducidas por Dicearco (por lo que bien merece el
t´ıtulo de padre de la geodesia).
12
Arqu´ımedes de Siracusa. 287 a. C. - 212 a. C. Fue matemático griego, f´ısico, ingeniero, inventor
y astrónomo. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los cient´ıficos más
importantes de la antigüedad clásica. Entre sus avances en f´ısica se encuentran sus fundamentos en
hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca. Es reconocido por haber diseñado
innovadoras máquinas, incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arqu´ımedes, que lleva su nombre.
Experimentos modernos han probado las afirmaciones de que Arqu´ımedes llegó a diseñar máquinas
capaces de sacar barcos enemigos del agua o prenderles fuego utilizando una serie de espejos. Se considera
que Arqu´ımedes fue uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad y, en general, de toda la
historia. Usó el método de exhausción para calcular el área bajo el arco de una parábola con la sumatoria
de una serie infinita, y dio una aproximación extremadamente precisa del número π También definió la
espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso
sistema para expresar números muy largos. Enunció el principio de hidrostática que lleva su nombre
y que explica la flotación de los botes, entre otros objetos. Murió durante el sitio de Siracusa (214 a.
C. - 212 a. C.), cuando fue asesinado por un soldado romano, a pesar de que exist´ıan órdenes de que
no se le hiciese daño alguno. A diferencia de sus inventos, los escritos matemáticos de Arqu´ımedes no
fueron muy conocidos en la antigüedad. Los matemáticos de Alejandr´ıa lo leyeron y lo citaron, pero la
primera compilación integral de su obra no fue realizada hasta el 530 d. C. por Isidoro de Mileto. Los
comentarios de las obras de Arqu´ımedes escritas por Eutocio en el siglo VI las abrieron por primera
vez a un público más amplio. Las relativamente pocas copias de trabajos escritos de Arqu´ımedes que
sobrevivieron a través de la Edad Media fueron una importante fuente de ideas durante el Renacimiento,
mientras que el descubrimiento en 1906 de trabajos desconocidos de Arqu´ımedes en el Palimpsesto de
Arqu´ımedes ha ayudado a comprender cómo obtuvo sus resultados matemáticos. [26]
13
Su curiosidad cient´ıfica lo ocupó en muchas actividades de interés para diferentes áreas, impidiéndole
sobresalir como el principal, el alfha en alguna de ellas. Muchos contemporáneos de su época, des-
deñadores, envidiosos, lo apodaron el β, la segunda letra en el alfabeto griego. Dec´ıan que él era el
segundo mejor entre sus pares en todo. Otra versión dice que ese apodo se lo ganó por representar una
nueva fuerza del conocimiento, una segunda era de la verdad.
48

Eratóstenes termina su vida a edad avanzada (cerca de 80 años). Se cree que, al quedarse
ciego, renunció a tomar alimento y pereció. Suidas afirma que, tras perder la vista, se
dejó morir de hambre a la edad de ochenta años; sin embargo, Luciano afirma que llegó a
la edad de ochenta y dos, y Censorino sostiene que falleció cuando ten´ıa ochenta y dos. [17]
3.1.4. Hazañas (Algunos Aportes)
Figura 3.4: Tabla realizada por Eratóstenes sobre la oblicuidad de la ecl´ıptica (traducida).
Como historiador y geógrafo midió el radio de la tierra y realizó numerosos mapas de-
tallados del mundo, como era conocido en ese momento. [5] En la figura 3.5 podemos
apreciar uno de los mapas diseñados por Eratóstenes sobre el mundo conocido en su
época y recreado en la actualidad. [3] [17]
49

Figura 3.5: Mapa diseñado por Eratóstenes.
Como cronógrafo, filósofo y poeta 14
escribió el poema Elegiaco, el poema largo Er´ıgone,
Hermes y los Catasterismos (Katasterismoi)15
. Como cr´ıtico teatral es autor de un trata-
do sobre la Comedia Antigua. [17]
Como matemático escribió un método para encontrar números primos (la Criba de Er-
atóstenes)16
y un tratado sobre las proporciones.17
Estudió en Alejandr´ıa y Atenas, Tuvo
contacto con las enseñanzas de Zenón de Citio. [3]
3.1.5. Logro Motivador
Eratóstenes tuvo el mérito de hacer una valiosa aportación: Su exitosa medida, nunca
antes hecha, sobre la circunferencia del globo terrestre. Una vez que la idea fue aceptada,
su medición era un paso lógico, incluso para los eruditos griegos que eran más dados a la
especulación filosófica que a la cuantificación y la experimentación. [13] [20]
14
Los pensadores de ese tiempo, astrónomos, filósofos, frecuentemente era mitógrafos y llamados poetas.
15
Eratóstenes destacó como mitógrafo, explicando las disposiciones de las estrellas del firmamento en
términos de historias sucedidas a sus deidades. [17]
16
Es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado
N. Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y N y se van tachando
los números que no son primos de la siguiente manera: cuando se encuentra un número entero que no
ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos. El proceso
termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es mayor que N.
17
En mi parecer, el teorema de Tales, sobre la proporción, es un concepto crucial para el desarrollo
de las matemáticas, y de las ciencias.
50

Él no era de hecho el primero que hab´ıa intentado la solución de este problema, que,
naturalmente, llevar´ıa a cabo la atención de los astrónomos y geómetras, tan pronto co-
mo se convino en que la tierra era de una forma esférica. Aristóteles se refiere al cálculo
de los matemáticos, que hab´ıan investigado el tema (sin nombrarlos) donde la circunfer-
encia de la tierra era de 400 mil estadios (distinción que puede pertenecer a Eudoxo de
Cnido). Un cálculo de 300 mil estadios se acredita a Dicearco, disc´ıpulo de Aristóteles.
Aristarco de Samos18
, ha sido llamado el Copérnico de la Antigüedad a causa de su adhe-
sión a principios heliocéntricos en lugar de geocéntricos, (quizá, sea más correcto llamar
a Copérnico el Aristarco del Renacimiento).
Los astrónomos de la época ve´ıan a los planetas y al Sol dar vueltas sobre nuestro cielo
a diario. La Tierra, para muchos, deb´ıa encontrarse por ello en el centro de todo. Los
planteamientos del reconocido Aristóteles hechos unos pocos años antes no dejaban lugar
a dudas y ven´ıan a reforzar dicha tesis. La Tierra era el centro del universo y los planetas,
el Sol, la Luna y las estrellas se encontraban en esferas fijas que giraban en torno a la Tier-
ra. Pero exist´ıan ciertos problemas a tales afirmaciones. Algunos planetas como Venus y,
sobre todo, Marte, describ´ıan trayectorias errantes en el cielo. Es decir, a veces se mov´ıan
adelante y atrás. Antes que Aristarco, Heráclides Póntico encontró una posible solución
al problema al proponer que los planetas podr´ıan orbitar el Sol y éste a su vez la Tierra.
Esto ya fue un gran salto conceptual pero aún era un modelo parcialmente geocéntri-
co. Hubo que esperar a Aristarco para que este propusiera el primer modelo heliocéntrico.
Sus revolucionarias ideas astronómicas no fueron bien recibidas y fueron pronto desechadas.
No fue hasta Copérnico, unos mil setecientos años más tarde, que empezó a plantearse
el modelo heliocéntrico como una alternativa consistente. Por desgracia, del modelo he-
liocéntrico de Aristarco solo nos quedan las citas de Plutarco y Arqu´ımedes. Los trabajos
originales probablemente se perdieron en uno de los varios incendios que padeció la bib-
lioteca de Alejandr´ıa.
En un periodo posterior a Arqu´ımedes se habla de 300 mil estadios como la medición
general. Pero no tenemos información del modo por el cual sus autores llegaron a sus re-
sultados. El método seguido por Eratóstenes fue plenamente establecido y explicado por
el astrónomo Cleomedes.19
Es notable que, si bien la medición terrestre fue inexacta, la
observación de latitud como se deduce del gnomon en Alejandr´ıa, era una aproximación
muy cercana a la verdad.
18
310 a. C. - 230 a. C. Fue un astrónomo y matemático griego, nacido en Samos, Grecia. Él es la
primera persona, que se conozca, que propone el modelo heliocéntrico del Sistema Solar, colocando el
Sol, y no la Tierra, en el centro del universo conocido. Aristarco fue uno de los muchos sabios que hizo
uso de la emblemática Biblioteca de Alejandr´ıa. [26]
19
Las fechas de su nacimiento y muerte no se conocen. Los historiadores han sugerido que escribió su
obra en algún momento entre mediados del siglo I y el IV d. C. basados en que Cleomedes se refiere
extensamente en sus escritos a la obra del astrónomo Posidonio de Rodas (135 a, C. - 51 a. C.).
51

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