T computacion rodrigo de castro

´
Teor´a de la Computacion
ı
´
Lenguajes, automatas, gram´ ticas
a

Rodrigo De Castro Korgi
´
Ph.D. en Matematicas
University of Illinois, U.S.A.
´
Departamento de Matematicas
´
Universidad Nacional de Colombia, Bogota

Teor´ de la Computaciń
ıa
o
Lenguajes, aut´matas, gram´ticas
o
a
c

Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Juan Manuel Tejeiro, Decano
Natalia Ruiz, Vicedecana Acad´mica
e
Gustavo Rubiano, Director de Publicaciones

c

Rodrigo De Castro Korgi
Profesor Asociado
Departamento de Matem´ticas
a
Primera ediciń, 2004
o
A
Diagramaciń en L TEX realizada por el autor
o
Impresiń:
o
UNIBIBLOS
Universidad Nacional de Colombia
Bogot´ D.C., 2004
a

´
Indice general

Pr´logo
o

1

Introducciń. ¿Qu´ es la Teor´ de la Computaciń?
o
e
ıa
o

3

1. Alfabetos, cadenas y lenguajes
1.1. Alfabetos y cadenas . . . . . . . . . .
1.2. Concatenaciń de cadenas . . . . . . .
o
1.3. Potencias de una cadena . . . . . . . .
1.4. Longitud de una cadena . . . . . . . .
1.5. Reflexiń o inversa de una cadena . . .
o
1.6. Subcadenas, prefijos y sufijos . . . . .
1.7. Lenguajes . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Operaciones entre lenguajes . . . . . .
1.9. Concatenaciń de lenguajes . . . . . .
o
1.10. Potencias de un lenguaje . . . . . . . .
1.11. La clausura de Kleene de un lenguaje
1.12. Reflexiń o inverso de un lenguaje . .
o
1.13. Lenguajes regulares . . . . . . . . . . .
1.14. Expresiones regulares . . . . . . . . . .

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2. Aut´matas finitos
o
2.1. Aut´matas finitos deterministas (AFD) . . . . . . . .
o
2.2. Diagrama de transiciones de un aut´mata . . . . . . .
o
2.3. Diseõ de aut´matas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n
o
2.4. Aut´matas finitos no-deterministas (AFN) . . . . . . .
o
2.5. Equivalencia computacional entre los AFD y los AFN
2.6. Aut´matas con transiciones λ (AFN-λ) . . . . . . . .
o
iii

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19

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25
25
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33
38
43

iv

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INDICE GENERAL

2.7. Equivalencia computacional entre los AFN-λ y los AFN
2.8. Teorema de Kleene. Parte I . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Ejemplos de la parte I del Teorema de Kleene . . . . . .
2.10. Lema de Arden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11. Teorema de Kleene. Parte II . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12. Ejemplos de la parte II del Teorema de Kleene . . . . .
3. Otras propiedades de los lenguajes regulares
3.1. Lema de bombeo . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Propiedades de clausura . . . . . . . . . . . .
3.3. Propiedades de clausura para aut´matas . . .
o
3.4. Homomorfismos
. . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Imagen inversa de un homomorfismo
. . .
3.6. Algoritmos de decisiń . . . . . . . . . . . . .
o
4. Lenguajes y gram´ticas independientes del
a
4.1. Gram´ticas generativas . . . . . . . . . . .
a
4.2. Gram´ticas independientes del contexto . .
a
´
4.3. Arbol de una derivaciń . . . . . . . . . . .
o
4.4. Gram´ticas ambiguas . . . . . . . . . . . .
a
4.5. Gram´ticas para lenguajes de programaciń
a
o
4.6. Gram´ticas para lenguajes naturales . . .
a
4.7. Gram´ticas regulares . . . . . . . . . . . . .
a
4.8. Eliminaciń de las variables in´tiles . . . .
o
u
4.9. Eliminaciń de las producciones λ . . . . .
o
4.10. Eliminaciń de las producciones unitarias .
o
4.11. Forma Normal de Chomsky (FNC) . . . . .
4.12. Forma Normal de Greibach (FNG)
. . .
4.13. Lema de bombeo para LIC . . . . . . . . .
4.14. Propiedades de clausura de los LIC . . . . .
4.15. Algoritmos de decisiń para GIC . . . . . .
o

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contexto
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5. Aut´matas con pila
o
5.1. Aut´matas con Pila Deterministas (AFPD) .
o
5.2. Aut´matas con pila no-deterministas (AFPN)
o
5.3. Aceptaciń por pila vac´ . . . . . . . . . . .
o
ıa
5.4. Aut´matas con pila y LIC. Parte I. . . . . . .
o
5.5. Aut´matas con pila y LIC. Parte II.
o
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135

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143
149
154
157
160

v

´
INDICE GENERAL

6. M´quinas de Turing
a
6.1. M´quinas de Turing como aceptadoras de lenguajes . . . . .
a
6.2. Subrutinas o macros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. M´quinas de Turing como calculadoras de funciones . . . .
a
6.4. M´quinas de Turing como generadoras de lenguajes . . . . .
a
6.5. Variaciones del modelo estńdar de MT . . . . . . . . . . .
a
6.5.1. Estado de aceptaciń unico . . . . . . . . . . . . . .
o ´
6.5.2. M´quina de Turing con cinta dividida en pistas . . .
a
6.5.3. M´quina de Turing con m´ltiples cintas . . . . . . .
a
u
6.5.4. M´quinas de Turing no-deterministas (MTN) . . . .
a
6.6. Simulaciń de aut´matas por medio de m´quinas de Turing
o
o
a
6.6.1. Simulaciń de aut´matas . . . . . . . . . . . . . . .
o
o
6.6.2. Simulaciń de aut´matas con pila . . . . . . . . . . .
o
o
6.7. Aut´matas con dos pilas (AF2P) . . . . . . . . . . . . . .
o
6.8. Propiedades de clausura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9. MT, computadores, algoritmos y la tesis de Church-Turing
6.9.1. M´quinas de Turing y algoritmos . . . . . . . . . . .
a
6.9.2. M´quinas de Turing y computadores . . . . . . . . .
a

167
167
174
176
179
180
180
181
181
183
186
186
186
188
193
198
198
199

7. Problemas indecidibles
7.1. Codificaciń y enumeraciń de m´quinas de Turing
o
o
a
7.2. M´quina de Turing universal . . . . . . . . . . . .
a
7.3. Algoritmos de aceptaciń para lenguajes RE . . . .
o
7.4. Lenguajes que no son RE . . . . . . . . . . . . . .
7.5. Lenguajes RE no recursivos . . . . . . . . . . . . .
7.6. Problemas indecidibles o irresolubles . . . . . . . .

201
201
206
209
211
212
215

Bibliograf´
ıa

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221

´
Prologo
Este libro contiene lo m´
ınimo que los estudiantes de las carreras de ingenier´ de sistemas y de matem´ticas deber´ saber sobre los fundamentos
ıa
a
ıan
matem´ticos de la teor´ de la computaciń. Est´ basado en el material
a
ıa
o
a
de clase utilizado por el autor durante los ultimos aõs en la Universidad
´
n
Nacional de Colombia, sede de Bogot´.
a

A estudiantes y profesores
El libro est´ escrito tanto para estudiantes de matem´ticas —quienes, es
a
a
de suponer, tienen m´s experiencia con razonamientos abstractos y demosa
traciones— como para estudiantes de ingenier´ Es el profesor quien debe
ıa.
establecer el tono del curso, enfatizando ya sea el rigor matem´tico o una
a
presentaciń m´s intuitiva y prćtica. Los resultados estń presentados en
o
a
a
a
forma de teoremas, corolarios y lemas, con sus respectivas demostraciones;
´stas pueden omitirse, si as´ lo estima el profesor. En los cursos dirigidos
e
ı
a estudiantes de ingenier´ de sistemas, el ńfasis debe residir —tanto por
ıa
e
parte del profesor como por parte del estudiante— en los ejemplos y ejercicios prćticos; hay que resaltar m´s el significado de los enunciados que
a
a
sus demostraciones formales. El libro contiene gran cantidad de ejemplos y
problemas resueltos, con aplicaciones o ilustraciones directas de la teor´
ıa.
Como prerrequisito, es imprescindible que el estudiante haya tomado al
menos un curso de matem´ticas discretas en el que se haya familiarizado
a
con las nociones b´sicas y la notaciń de la teor´ intuitiva de conjuntos,
a
o
ıa
grafos, inducciń matem´tica y l´gica elemental. La experiencia previa en
o
a
o
programaciń es muy util pero, de ninguna manera, necesaria.
o
´
El material se presenta en secciones relativamente cortas, lo que permite
alguna flexibilidad en la selecciń de los t´picos del curso. As´ si el tiempo
o
o
ı,
1

2

´
PROLOGO

disponible no es holgado, o no es posible avanzar con la velocidad suficiente,
podr´ suprimirse las secciones demarcadas con el s´
ıan
ımbolo .
Casi todas las secciones poseen ejercicios, de variada dificultad; los m´s
a
dif´
ıciles estń precedidos de un s´
a
ımbolo de admiraciń ! y podr´ ser consio
ıan
derados opcionales. Es responsabilidad del estudiante resolver los ejercicios
que sean asignados por el profesor. La unica manera de aprender y asimilar
´
las ideas y tćnicas presentadas en la clase es trabajar seria y completae
mente los ejercicios.

Material de apoyo en la red
Versiones preliminares de estas notas aparecieron, de forma incompleta,
en el curso virtual de Teor´ de la Computaciń perteneciente al programa
ıa
o
Universidad Virtual de la la Universidad Nacional de Colombia. Es la intenciń del autor mantener y actualizar permanentemente la versiń virtual
o
o
interactiva de este curso, con material de apoyo como temas y ejercicios
nuevos, correcciń de errores, software, enlaces a otra p´ginas Web, etc. Se
o
a
puede acceder libremente al curso virtual en el portal
http://www.virtual.unal.edu.co/
siguiendo los enlaces: Cursos–Facultad de Ciencias–Matem´ticas–Teor´ de
a
ıa
la Computaciń.
o

Agradecimientos
Durante la elaboraciń de estas notas he recibido por parte de estudiantes
o
atentos muchas observaciones utiles que han ayudado a mejorar sustan´
cialmente la presentaciń. Quiero expresarles mis agradecimientos a todos
o
ellos, demasiado numerosos para mencionarlos individualmente.
La primera versiń del curso virtual fue realizada con la ayuda del eso
tudiante de posgrado Adolfo Reyes, a quien expreso mi gratitud y reconocimiento. Para la preparaciń de la presente versiń tuve la suerte de
o
o
contar con la colaboraciń del estudiante de matem´ticas Camilo Cubides,
o
a
con quien estoy muy agradecido por la calidad y seriedad de su trabajo.
Finalmente, quiero agradecer a Gustavo Rubiano, Director de las oficina
de publicaciones de la Facultad de Ciencias, por su continuo apoyo y su
cooperaciń desinteresada.
o

´
Introduccion

¿Qu´ es la Teor´ de la Computaciń?
e
ıa
o
La Teor´ de la Computaciń estudia modelos abstractos de los dispositivos
ıa
o
concretos que conocemos como computadores, y analiza lo que se puede y no
se puede hacer con ellos. Este estudio te´rico se inici´ varias dćadas antes
o
o
e
de la apariciń de los primeros computadores reales y continá creciendo,
o
u
a medida que que la computaciń incrementa su sofisticaciń.
o
o
Entre los muchos t´picos que conforman la teor´ de la computaciń,
o
ıa
o
s´lo tendremos la oportunidad de tratar someramente los dos siguientes:
o
Modelos de computaciń. Las investigaciones en este campo comenzao
ron en la dćada de los 30 del siglo XX con el trabajo del l´gico norteamee
o
ricano Alonzo Church (1903–1995) y del matem´tico britńico Alan Turing
a
a
(1912–1954). Church introdujo el formalismo conocido como c´lculo-λ y
a
enunci´ la tesis —hoy conocida como tesis de Church— de que las funcioo
nes efectivamente computables, es decir, computables por cualquier m´todo
e
computacional concebible, son exactamente las funciones λ-computables.
En contraste con el enfoque m´s abstracto de Church, Turing (quien fue
a
alumno doctoral de Church en la universidad de Princeton) propuso un
modelo concreto de m´quina computadora, hoy conocida como la m´quina
a
a
de Turing, capaz de simular las acciones de cualquier otro dispositivo f´
ısico
de computaciń secuencial.
o
Curiosamente, las propuestas de Church y Turing se publicaron exactamente en el mismo aõ: 1936. Los dos formalismos resultaron ser equivalenn
tes y, desde entonces, se han propuesto muchos otros modelos de computaciń. Como todos han resultados ser equivalentes entre s´ ha ganado
o
ı,
3

4

´
INTRODUCCION

aceptaciń universal la tesis de Church-Turing: no hay modelo de compuo
taciń m´s general ni poderoso que la m´quina de Turing.
o
a
a
En los aõs 40 y 50 del siglo XX se adelantaron investigaciones sobre
n
m´quinas de Turing con capacidad restringida, surgiendo as´ la nociń de
a
ı
o
m´quina de estado finito o aut´mata finito (“aut´mata” es sinńimo de
a
o
o
o
“m´quina de c´mputo autom´tico”). Los aut´matas han resultado ser moa
o
a
o
delos muy utiles para el diseõ de diversos tipos de software y hardware.
´
n
Lenguajes y gram´ticas formales. Una l´
a
ınea investigativa, aparentemente alejada de los modelos de computaciń, surgi´ con los estudios del
o
o
lingïsta norteamericano Noam Chomsky1 . Chomsky introdujo en 1956 la
u
nociń de gram´tica generativa con el prop´sito de describir los lenguajes
o
a
o
naturales como el espaõl, el ingl´s, el franc´s, etc. Chomsky clasific´ las
n
e
e
o
gram´ticas en cuatro tipos, dependiendo de la forma de sus producciones,
a
que son las reglas que utiliza una gram´tica para generar palabras o caa
denas de s´
ımbolos. Pocos aõs despu´s se estableci´ que hay una estrecha
n
e
o
relaciń entre aut´matas y gram´ticas: los lenguajes de la llamada jerarqu´
o
o
a
ıa
de Chomsky corresponden a los lenguajes que pueden ser reconocidos por
tipos especiales de aut´matas.
o
La interacciń entre los aut´matas (mecanismos para procesar cadeo
o
nas de s´
ımbolos) y las gram´ticas (mecanismos para generar cadenas de
a
s´
ımbolos) es una fuente de resultados profundos y significativos. Desde la
apariciń de los influyentes textos de Hopcroft y Ullman ([HU1], 1969) y
o
([HU2], 1979), un curso semestral b´sico de teor´ de la computaciń se
a
ıa
o
ha centrado en el estudio de aut´matas y gram´ticas. Estas notas de clase
o
a
reflejan esa tradiciń.
o

1
En el a˜ o 2002, la Universidad Nacional de Colombia otorg´ el doctorado Honoris
n
o
Causa a Noam Chomsky.

Cap´tulo
ı

1

Alfabetos, cadenas y lenguajes
De manera muy amplia podr´ decirse que la computaciń es la manipulaıa
o
ciń de secuencias de s´
o
ımbolos. Pero el n´mero de s´
u
ımbolos disponibles en
cualquier mecanismo de c´mputo es finito y todos los objetos usados como
o
entradas o salidas (inputs/outputs) deben ser identificados en un tiempo
finito. Desde el punto de vista te´rico esto impone dos restricciones b´sicas:
o
a
el conjunto de s´
ımbolos (alfabeto) debe ser finito y se deben considerar uni´
camente cadenas (secuencias de s´
ımbolos) de longitud finita. Surgen as´ los
ı
ingredientes esenciales de una teor´ abstracta de la computaciń: alfabeıa
o
tos y cadenas. Los conjuntos de cadenas (ya sean finitos o infinitos) se
denominarń lenguajes.
a

1.1.

Alfabetos y cadenas

Un alfabeto es un conjunto finito no vac´ cuyos elementos se llaman
ıo
s´
ımbolos. Denotamos un alfabeto arbitrario con la letra Σ.
Una cadena o palabra sobre un alfabeto Σ es cualquier sucesiń (o
o
secuencia) finita de elementos de Σ. Admitimos la existencia de una unica
´
cadena que no tiene s´
ımbolos, la cual se denomina cadena vac´ y se
ıa
denota con λ. La cadena vac´ desempeã, en la teor´ de la computaciń,
ıa
n
ıa
o
un papel similar al del conjunto vac´ ∅ en la teor´ de conjuntos.
ıo
ıa
§

¤

¦

¥b. Las siguientes son cadenas sobre Σ:

Ejemplo

Sea Σ = {a, b} el alfabeto que consta de los dos s´
ımbolos a y
aba
ababaaa
aaaab.
5

6

CAP´
ITULO 1. ALFABETOS, CADENAS Y LENGUAJES

Obs´rvese que aba = aab. El orden de los s´
e
ımbolos en una cadena es significativo ya que las cadenas se definen como sucesiones, es decir, conjuntos
secuencialmente ordenados.
§

¤

¦

¥cadenas sobre este alfabeto son secuencias finitas de ceros y

Ejemplo

El alfabeto Σ = {0, 1} se conoce como alfabeto binario. Las

unos, llamadas secuencias binarias, tales como
001
1011
001000001.
§

¤

¦

¥idioma castellano. Las palabras oficiales del castellano (las que

Ejemplo

Σ = {a, b, c, . . . , x, y, z, A, B, C, . . . , X, Y, Z}, el alfabeto del

aparecen en el diccionario DRA) son cadenas sobre Σ.
§

¤

¦

¥programaciń (como Pascal o C) es el conjunto de caracteo

Ejemplo

El alfabeto utilizado por muchos de los llamados lenguajes de

res ASCII (o un subconjunto de ´l) que incluye, por lo general, las letras
e
may´sculas y min´sculas, los s´
u
u
ımbolos de puntuaciń y los s´
o
ımbolos matem´ticos disponibles en los teclados estńdares.
a
a
El conjunto de todas las cadenas sobre un alfabeto Σ, incluyendo la
cadena vac´ se denota por Σ∗ .
ıa,
§

¤

¦

¥

Ejemplo

Sea Σ = {a, b, c}, entonces

Σ∗ = {λ, a, b, c, aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc, aaa, aab, abc, baa, . . .}.
En la siguiente tabla aparece la notaciń corrientemente utilizada en la
o
teor´ de la computaciń. De ser necesario, se emplean sub´
ıa
o
ındices.

Σ, Γ

Notaciń usada en la teor´ de la computaciń
o
ıa
o
denotan alfabetos.

Σ∗

denota el conjunto de todas las cadenas que se
pueden formar con los s´
ımbolos del alfabeto Σ.

a, b, c, d, e,. . .

denotan s´
ımbolos de un alfabeto.

u, v, w, x, y, z, . . .
α, β, γ, . . .

denotan cadenas, es decir, sucesiones finitas de
s´
ımbolos de un alfabeto.

λ

denota la cadena vac´ es decir, la unica cadena
ıa,
´
que no tiene s´
ımbolos.

A, B, C, . . . , L, M, N ,. . . denotan lenguajes (definidos m´s adelante).
a

´
1.2. CONCATENACION DE CADENAS

Algunos autores denotan la cadena vac´ con la letra griega ε.
ıa
Preferimos denotarla con λ porque ε tiende a confundirse con el
s´
ımbolo ∈ usado para la relaciń de pertenencia.
o

Si bien un alfabeto Σ es un conjunto finito, Σ∗ es siempre un
conjunto infinito (enumerable). En el caso m´s simple, Σ contiene
a
∗ = {λ, a, aa, aaa, aaaa, aaaaa, . . .}.
solo un s´
ımbolo, Σ = {a}, y Σ

Hay que distinguir entre los siguientes cuatro objetos, que son
todos diferentes entre s´ ∅, λ, {∅} y {λ}.
ı:

7

La mayor parte de la teor´ de la computaciń se hace con refeıa
o
rencia a un alfabeto Σ fijo (pero arbitrario).

1.2.

Concatenaciń de cadenas
o

Dado un alfabeto Σ y dos cadenas u, v ∈ Σ∗ , la concatenaciń de u y v
o
se denota como u · v o simplemente uv y se define descriptivamente as´
ı:
1. Si v = λ, entonces u · λ = λ · u = u. Es decir, la concatenaciń de
o
cualquier cadena u con la cadena vac´ a izquierda o a derecha, es
ıa,
igual a u.
2. Si u = a1 a2 · · · an , v = b1 b2 · · · bm , entonces
u · v = a1 a2 · · · an b1 b2 · · · bm .
Es decir, u · v es la cadena formada escribiendo los s´
ımbolos de u y a
continuaciń los s´
o
ımbolos de v.
La concatenaciń de cadenas se puede definir inductiva o recursivamente
o
de la siguiente manera. Si u, v ∈ Σ∗ , a ∈ Σ, entonces
1. u · λ = λ · u = u.
2. u · (va) = (u · v)a.
Propiedad. La concatenaciń de cadenas es una operaciń asociativa. Es
o
o
decir, si u, v, w ∈ Σ∗ , entonces
(uv)w = u(vw).
Demostraciń. Se puede hacer escribiendo expl´
o
ıcitamente las cadenas u, v,
w y usando la definiciń descriptiva de concatenaciń. Tambiń se puede dar
o
o
e
una demostraciń inductiva usando la definiciń recursiva de concatenaciń
o
o
o
(ejercicio opcional).

8

CAP´

1.3.

Potencias de una cadena

Dada u ∈ Σ∗ y n ∈ N, se define (descriptivamente) un en la siguiente forma
u0 = λ,
un = uu · · · u .
n veces

Como ejercicio, el estudiante puede dar una definiciń recursiva de un .
o

1.4.

Longitud de una cadena

La longitud de una cadena u ∈ Σ∗ se denota |u| y se define como el n´mero
u
de s´
ımbolos de u (contando los s´
ımbolos repetidos). Es decir,
|u| =

0, si u = λ,
n, si u = a1 a2 · · · an .

§

¤

¦

¥

§

¤

¦

¥Esta no es una propiedad realmente importante (¡no la usare-

Ejemplo
Ejemplo

|aba| = 3, |baaa| = 4.

Si w ∈ Σ∗ , n, m ∈ N, demostrar que |wn+m | = |wn | + |wm |.

mos nunca en este libro!); la presentamos aqu´ para enfatizar los conceptos
ı
involucrados e ilustrar los razonamientos estrictos.
Soluciń.
o

Caso n, m ≥ 1. |wn+m | = | ww · · · w | = (n + m)|w|. Por otro
n+m veces

lado,
|wn | + |wm | = | ww · · · w | + | ww · · · w | = n|w| + m|w|.
n veces

m veces

Caso n = 0, m ≥ 1. |wn+m | = |w0+m | = |wm |. Por otro lado,
|wn | + |wm | = |w0 | + |wm | = |λ| + |wm | = 0 + |wm | = |wm |.
Caso m = 0, n ≥ 1. Similar al caso anterior.
Caso n = 0, m = 0. |wn+m | = |w0+0 | = |λ| = 0. Por otro lado,
|wn | + |wm | = |w0 | + |w0 | = |λ| + |λ| = 0 + 0 = 0.

´
1.5. REFLEXION O INVERSA DE UNA CADENA

1.5.

9

Reflexiń o inversa de una cadena
o

La reflexiń o inversa de una cadena u ∈ Σ∗ se denota uR y se define
o
descriptivamente as´
ı:
uR =

λ,
si u = λ,
an · · · a2 a1 , si u = a1 a2 · · · an .

De la definiciń se observa claramente que la reflexiń de la reflexiń de
o
o
o
una cadena es la misma cadena, es decir,
(uR )R = u,

para u ∈ Σ∗ .

Algunos autores escriben u−1 en lugar de uR para denotar la reflexiń de una cadena u.
o

§

¤

¦

¥

Ejercicios de la secciń 1.5
o

Œ Dar una definiciń recursiva de uR .
o
Si u, v ∈ Σ∗ , demostrar que (uv)R = v R uR . Generalizar esta propiedad a la concatenaciń de n cadenas.
o

1.6.

Subcadenas, prefijos y sufijos

Una cadena v es una subcadena o una subpalabra de u si existen cadenas
x, y tales que u = xvy. N´tese que x o y pueden ser λ y, por lo tanto,
o
la cadena vac´ es una subcadena de cualquier cadena y toda cadena es
ıa
subcadena de s´ misma.
ı
Un prefijo de u es una cadena v tal que u = vw para alguna cadena
w ∈ Σ∗ . Se dice que v es un prefijo propio si v = u.
Similarmente, un sufijo de u es una cadena v tal que u = wv para
alguna cadena w ∈ Σ∗ . Se dice que v es un sufijo propio si v = u.
Obs´rvese que λ es un prefijo y un sufijo de toda cadena u ya que
e
uλ = λu = u. Por la misma razń, toda cadena u es prefijo y sufijo de
o
s´ misma.
ı
§

¤

¦

¥

Ejemplo

Sean Σ = {a, b, c, d} y u = bcbaadb.

10

CAP´

Prefijos de u :
λ
b
bc
bcb
bcba
bcbaa
bcbaad
bcbaadb

1.7.

Sufijos de u :
λ
b
db
adb
aadb
baadb
cbaadb
bcbaadb

Lenguajes

Un lenguaje L sobre un alfabeto Σ es un subconjunto de Σ∗ , es decir
L ⊆ Σ∗ .
Casos extremos:
L = ∅,
L = Σ∗ ,

lenguaje vac´
ıo.
lenguaje de todas las cadenas sobre Σ.

Todo lenguaje L satisface ∅ ⊆ L ⊆ Σ∗ , y puede ser finito o infinito. Los
lenguajes se denotan con letras may´sculas A, B, C, . . . , L, M, N, . . .. En la
u
siguiente gr´fica se visualizan dos lenguajes A y B sobre Σ.
a

Σ∗
B
A

§

¤

¦

¥especificados.

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de lenguajes sobre los alfabetos

Σ = {a, b, c}. L = {a, aba, aca}.
Σ = {a, b, c}. L = {a, aa, aaa, . . .} = {an : n ≥ 1}.

1.8. OPERACIONES ENTRE LENGUAJES

11

Σ = {a, b, c}. L = {λ, aa, aba, ab2 a, ab3 a, . . .} = {abn a : n ≥ 0} ∪ {λ}.
Σ = {a, b, c, . . . , x, y, z, A, B, C, . . . , X, Y, Z}. L = {u ∈ Σ∗ : u aparece
en el diccionario espaõl DRA}. L es un lenguaje finito.
n
Σ = {a, b, c}. L = {u ∈ Σ∗ : u no contiene el s´
ımbolo c}. Por ejemplo,
abbaab ∈ L pero abbcaa ∈ L.
/
Σ = {0, 1}. L = conjunto de todas las secuencias binarias que contienen un n´mero impar de unos.
u
Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. El conjunto N de los n´meros naturales
u
se puede definir como un lenguaje sobre Σ, en la siguiente forma:
N = {u ∈ Σ∗ : u = 0 ´ 0 no es un prefijo de u}.
o
Como ejercicio, el estudiante puede definir el conjunto de los enteros Z =
{. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} como un lenguaje sobre un alfabeto adecuado.

1.8.

El concepto abstracto de “lenguaje”, tal como se ha definido, no es
exactamente la misma nociń utilizada en la expresiń “lenguaje
o
o
de programaciń”. Para precisar la relaciń entre estos conceptos,
o
o
consideremos el alfabeto Σ de los caracteres ASCII. Un programa
en C o en Pascal, por ejemplo, es simplemente una cadena de
s´
ımbolos de Σ y, por lo tanto, un conjunto de programas es un
lenguaje (en el sentido formal definido en esta secciń).
o

Operaciones entre lenguajes

Puesto que los lenguajes sobre Σ son subconjuntos de Σ∗ , las operaciones
usuales entre conjuntos son tambiń operaciones v´lidas entre lenguajes.
e
a
As´ si A y B son lenguajes sobre Σ (es decir A, B ⊆ Σ∗ ), entonces los
ı,
siguientes tambiń son lenguajes sobre Σ:
e
A∪B
A∩B
A−B
A = Σ∗ − A

Uniń
o
Intersecciń
o
Diferencia
Complemento

Estas operaciones entre lenguajes se llaman operaciones conjuntistas o booleanas para distinguirlas de las operaciones ling¨´
uısticas (concatenaciń, poo
tencia, inverso, clausura) que son extensiones a los lenguajes de las operaciones entre cadenas.

12

CAP´

1.9.

Concatenaciń de lenguajes
o

La concatenaciń de dos lenguajes A y B sobre Σ, notada A · B o simo
plemente AB se define como
AB = {uv : u ∈ A, v ∈ B}.
En general, AB = BA.
§

¤

¦

¥

Ejemplo

Si Σ = {a, b, c}, A = {a, ab, ac}, B = {b, b2 }, entonces
AB = {ab, ab2 , ab2 , ab3 , acb, acb2 }.
BA = {ba, bab, bac, b2 a, b2 ab, b2 ac}.

§

¤

¦

¥

Ejemplo

Si Σ = {a, b, c}, A = {ba, bc}, B = {bn : n ≥ 0}, entonces
AB = {babn : n ≥ 0} ∪ {bcbn : n ≥ 0}.
BA = {bn ba : n ≥ 0} ∪ {bn bc : n ≥ 0}
= {bn+1 a : n ≥ 0} ∪ {bn+1 c : n ≥ 0}
= {bn a : n ≥ 1} ∪ {bn c : n ≥ 1}.

Propiedades de la concatenaciń de lenguajes. Sean A, B, C lenguao
∗ . Entonces
jes sobre Σ, es decir A, B, C ⊆ Σ
1. A · ∅ = ∅ · A = ∅.
2. A · {λ} = {λ} · A = A.
3. Propiedad Asociativa,
A · (B · C) = (A · B) · C.
4. Distributividad de la concatenaciń con respecto a la uniń,
o
o
A · (B ∪ C) = A · B ∪ A · C.
(B ∪ C) · A = B · A ∪ C · A.
5. Propiedad distributiva generalizada. Si {Bi }i∈I es una familia cualquiera de lenguajes sobre Σ, entonces
A·

(A · Bi ),

Bi =
i∈I

i∈I

Bi · A =
i∈I

(Bi · A).
i∈I

´
1.9. CONCATENACION DE LENGUAJES

13

Demostraciń.
o
1. A · ∅ = {uv : u ∈ A, v ∈ ∅} = ∅.
2. A · {λ} = {uv : u ∈ A, v ∈ {λ}} = {u : u ∈ A} = A.
3. Se sigue de la asociatividad de la concatenaciń de cadenas.
o
4. Caso particular de la propiedad general, demostrada a continuaciń.
o
5. Demostraciń de la igualdad A ·
o
x∈A·

i∈I

Bi ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
i∈I

i∈I

x = u · v, con u ∈ A v ∈ i∈I Bi
x = u · v, con u ∈ A v ∈ Bj , para algń j ∈ I
u
x ∈ A · Bj , para algń j ∈ I
u
x ∈ i∈I (A · Bi ).

Bi · A =

La igualdad

(A · Bi ):

Bi =
i∈I

(Bi · A) se demuestra de forma similar.
i∈I

La propiedad asociativa permite escribir concatenaciones de tres
o m´s lenguajes sin necesidad de usar parńtesis.
a
e

En general, no se cumple que A · (B ∩ C) = A · B ∩ A · C. Es decir,
la concatenaciń no es distributiva con respecto a la intersecciń.
o
o
Contraejemplo: A = {a, λ}, B = {λ}, C = {a}. Se tiene:
A · (B ∩ C) = {a, λ} · ∅ = ∅.
Por otro lado,
A · B ∩ A · C = {a, λ} · {λ} ∩ {a, λ} · {a} = {a, λ} ∩ {a2 , a} = {a}.

§

¤

¦

¥

o

Œ Dar un ejemplo de un alfabeto Σ y dos lenguajes diferentes A, B sobre
Σ tales que AB = BA.
Una de las dos contenencias siguientes es verdadera y la otra es falsa.
Demostrar o refutar, segń sea el caso:
u
(i) A · (B ∩ C) ⊆ A · B ∩ A · C.
(ii) A · B ∩ A · C ⊆ A · (B ∩ C).

14

CAP´

1.10.

Potencias de un lenguaje

Dado un lenguaje A sobre Σ, (A ⊆ Σ∗ ), y un n´mero natural n ∈ N, se
u
n en la siguiente forma
define A
A0 = {λ},
An = AA · · · A = {u1 · · · un : ui ∈ A, para todo i, 1 ≤ i ≥ n}.
n veces

De esta forma, A2 es el conjunto de las concatenaciones dobles de cadenas
de A, A3 est´ formado por las concatenaciones triples y, en general, An
a
es el conjunto de todas las concatenaciones de n cadenas de A, de todas
las formas posibles. Como ejercicio, el estudiante puede dar una definiciń
o
recursiva de An .

1.11.

La clausura de Kleene de un lenguaje

La clausura de Kleene o estrella de Kleene o simplemente la estrella
de un lenguaje A, A ⊆ Σ∗ , es la uniń de todas las potencias de A y se
o
denota por A∗ .
(Descripciń 1)
o

Ai = A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An · · ·

A∗ =
i≥0

Segń la definiciń de las potencias de una lenguaje, A∗ consta de todas
u
o
las concatenaciones de cadenas de A consigo mismas, de todas las formas
posibles. Tenemos as´ una util descripciń de A∗ :
ı
´
o

(Descripciń 2)
o

A∗ = conjunto de todas las concatenaciones
de cadenas de A, incluyendo λ
= {u1 · · · un : ui ∈ A, n ≥ 0}

De manera similar se define la clausura positiva de un lenguaje A, A ⊆
Σ∗ , denotada por A+ .
Ai = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An · · ·

A+ =
i≥1

A+ se puede describir de la siguiente manera
A+

=
=

conjunto de todas las concatenaciones de cadenas de A
{u1 · · · un : ui ∈ A, n ≥ 1}

1.11. LA CLAUSURA DE KLEENE DE UN LENGUAJE

15

Obs´rvese que A∗ = A+ ∪ {λ} y que A∗ = A+ si y solamente si λ ∈ A.
e
Propiedades de ∗ y +. Sea A un lenguaje sobre Σ, es decir, A ⊆ Σ∗ .
1. A+ = A∗ · A = A · A∗ .
2. A∗ · A∗ = A∗ .
3. A∗

n

= A∗ , para todo n ≥ 1.

4. A∗

∗

= A∗ .

5. A+ · A+ ⊆ A+ .
6. A∗

+

= A∗ .

7. A+

∗

= A∗ .

8. A+

+

= A+ .

9. Si A y B son lenguajes sobre Σ∗ , entonces (A ∪ B)∗ = (A∗ B ∗ )∗ .
Demostraci´n.
o
1.

A · A∗ = A · (A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ · · · )
= A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ · · ·
= A+ .

Similarmente se demuestra que A∗ · A = A+ .
2. Si x ∈ A∗ · A∗ , entonces x = u · v, con u ∈ A∗ , v ∈ A∗ . De modo que,
x = u · v, con u = u1 u2 · · · un , ui ∈ A, n ≥ 0 y v = v1 v2 · · · vm , vi ∈ A,
m ≥ 0.
De donde
x = u · v = u1 · u2 · · · un · v 1 · v 2 · · · v m .
con ui ∈ A, vi ∈ A, n ≥ 0. Por lo tanto, x es una concatenaci´n de n + m
o
cadenas de A. As´ que x ∈ A∗ .
ı
Rec´
ıprocamente, si x ∈ A∗ , entonces x = x · λ ∈ A∗ · A∗ . Esto prueba la
igualdad de los conjuntos A∗ · A∗ y A∗ .
3.

Se sigue de la propiedad anterior.

4.

A∗

∗

= A∗

0

∪ A∗
∗

1
∗

∪ A∗
∗

2

∪ ···

= {λ} ∪ A ∪ A ∪ A ∪ · · ·
= A∗ .

16

CAP´

5. La demostraciń de esta propiedad es similar a la de la propiedad 2,
o
pero con la restricciń m, n ≥ 1. En general, no se tiene la igualdad A+ ·
o
+ = A+ ; m´s adelante se mostrar´ un contraejemplo.
A
a
a
A∗

6.

+

= A∗

1

∗

∪ (A∗
∗

2

∪ (A∗

3

∪ ···

∗

= A ∪ A ∪ A ∪ ···
= A∗ .

A+

7.

∗

= A+

0

∪ A+
+

1
+

∪ A+

2

∪ ···

+

= {λ} ∪ A ∪ A A ∪ · · ·
= A∗ ∪ (conjuntos contenidos en A+ )
= A∗ .

A+

8.

+

= A+

1

∪ A+

2

∪ A+

3

∪ ··· ,

+

= A ∪ (conjuntos contenidos en A+ )
= A+ .
9. Segń la Descripciń 2, el lenguaje (A∪B)∗ est´ formado por las concau
o
a
tenaciones de cadenas de A consigo mismas, las concatenaciones de cadenas
de B consigo mismas y las concatenaciones de cadenas de A con cadenas de
B, de todas las formas posibles y en cualquier orden. Si se usa tambiń la
e
Descripciń 2, se observa que eso mismo se obtiene al efectuar (A∗ B ∗ )∗ .
o

Contraejemplo de A+ · A+ = A+ . Sea Σ = {a, b}, A = {a}. Se
tiene
A+ = A1 ∪ A2 ∪ · · · = {a} ∪ {aa} ∪ {aaa} ∪ · · · = {an : n ≥ 1}.
Por otro lado,
A+ · A+ = {a, a2 , a3 , . . . } · {a, a2 , a3 , . . . } = {a2 , a3 , a4 , . . . }
= {an : n ≥ 2}.

Segń las definiciones dadas, Σ∗ tiene dos significados:
u
Σ∗ = conjunto de las cadenas sobre el alfabeto Σ.
Σ∗ = conjunto de todas las concatenaciones de cadenas de Σ.
No hay conflicto de notaciones porque las dos definiciones anteriores de Σ∗ dan lugar al mismo conjunto.

´
1.12. REFLEXION O INVERSO DE UN LENGUAJE

1.12.

17

Reflexiń o inverso de un lenguaje
o

Dado A un lenguaje sobre Σ, se define AR de la siguiente forma:
AR = {uR : u ∈ A}.
AR se denomina la reflexiń o el inverso de A.
o
Propiedades. Sean A y B lenguajes sobre Σ (es decir, A, B ⊆ Σ∗ ).
1. (A · B)R = B R · AR .
2. (A ∪ B)R = AR ∪ B R .
3. (A ∩ B)R = AR ∩ B R .
4. AR

R

= A.
∗

5. (A∗ )R = AR .
R

6. (A+ ) = AR

+

.

Demostraciń. Demostraremos las propiedades 1 y 5; las dem´s se dejan
o
a
como ejercicio para el estudiante.
1.

x ∈ (A · B)R ⇐⇒ x = uR ,

donde u ∈ A · B

⇐⇒ x = uR ,

donde u = vw, v ∈ A, w ∈ B
R

⇐⇒ x = (vw) ,

donde v ∈ A, w ∈ B

⇐⇒ x = wR v R ,

donde v ∈ A, w ∈ B

R

R

⇐⇒ x ∈ B · A .

5.

x ∈ (A∗ )R ⇐⇒ x = uR , donde u ∈ A∗
⇐⇒ x = (u1 · u2 · · · un )R , donde los ui ∈ A, n ≥ 0
⇐⇒ x = uR · uR · · · uR , donde los ui ∈ A, n ≥ 0
n
2
1
⇐⇒ x ∈ (AR )∗ .

§

¤

¦

¥

o

Œ Demostrar las propiedades 2, 3, 4 y 6 de la reflexiń de cadenas.
o
¿Se pueden generalizar las propiedades 2 y 3 anteriores para uniones
e intersecciones arbitrarias, respectivamente?

18

CAP´

1.13.

Lenguajes regulares

Los lenguajes regulares sobre un alfabeto dado Σ son todos los lenguajes
que se pueden formar a partir de los lenguajes b´sicos ∅, {λ}, {a}, a ∈ Σ,
a
por medio de las operaciones de uniń, concatenaciń y estrella de Kleene.
o
o
A continuaciń presentamos una definiciń recursiva de los lenguajes
o
o
regulares. Sea Σ un alfabeto.
1. ∅, {λ} y {a}, para cada a ∈ Σ, son lenguajes regulares sobre Σ. Estos
son los denominados lenguajes regulares b´sicos.
a
2. Si A y B son lenguajes regulares sobre Σ, tambiń lo son
e
A∪B
A·B
A∗

(uniń),
o
(concatenaciń),
o
(estrella de Kleene).

Obs´rvese que tanto Σ como Σ∗ son lenguajes regulares sobre Σ. La uniń,
e
o
la concatenaciń y la estrella de Kleene se denominan operaciones reguo
lares.
§
¤
Ejemplos Sea Σ = {a, b}. Los siguientes son lenguajes regulares sobre
¦
¥Σ:
1. El lenguaje A de todas las cadenas que tienen exactamente una a:
A = {b}∗ · {a} · {b}∗ .
2. El lenguaje B de todas las cadenas que comienzan con b:
B = {b} · {a, b}∗ .
3. El lenguaje C de todas las cadenas que contienen la cadena ba:
C = {a, b}∗ · {ba} · {a, b}∗ .
4. ({a} ∪ {b}∗ ) · {a}.
5.

∗

{a}∗ ∪ {b}∗ · {b} .

Es importante observar que todo lenguaje finito L = {w1 , w2 , . . . , wn } es
regular ya que L se puede obtener con uniones y concatenaciones:
L = {w1 } ∪ {w2 } ∪ · · · ∪ {wn },
y cada wi es la concatenaciń de un n´mero finito de s´
o
u
ımbolos, wi =
a1 a2 · · · ak ; por lo tanto, {wi } = {a1 } · {a2 } · · · {ak }.

1.14. EXPRESIONES REGULARES

1.14.

19

Expresiones regulares

Con el prop´sito de simplificar la descripciń de los lenguajes regulares se
o
o
definen las llamadas expresiones regulares.
La siguiente es la definiciń recursiva de las expresiones regulares
o
sobre un alfabeto Σ dado.
1. Expresiones regulares b´sicas:
a
∅ es una expresiń regular que representa al lenguaje ∅.
o
λ es una expresiń regular que representa al lenguaje {λ}.
o
a es una expresiń regular que representa al lenguaje {a}, a ∈ Σ.
o
2. Si R y S son expresiones regulares sobre Σ, tambiń lo son:
e
(R)(S)
(R ∪ S)
(R)∗
(R)(S) representa la concatenaciń de los lenguajes representados por
o
R y S; (R ∪ S) representa su uniń, y (R)∗ representa la clausura
o
de Kleene del lenguaje representado por R. Los parńtesis ( y ) son
e
s´
ımbolos de agrupaciń y se pueden omitir si no hay peligro de amo
bigëdad.
u
Para una expresiń regular R cualquiera se utiliza en ocasiones la siguiente
o
notaciń:
o
L(R) := lenguaje representado por R.
Utilizando esta notaciń y la definiciń recursiva de expresiń regular poo
o
o
demos escribir las siguientes igualdades en las que R y S son expresiones
regulares arbitrarias:
L(∅) = ∅.
L(λ) = {λ}.
L(a) = {a}, a ∈ Σ.
L(RS) = L(R)L(S).
L(R ∪ S) = L(R) ∪ L(S).
L(R∗ ) = L(R)∗ .
§

¤

¦

¥

Ejemplo

Dado el alfabeto Σ = {a, b, c},
(a ∪ b∗ )a∗ (bc)∗

20

CAP´

es una expresiń regular que representa al lenguaje
o
({a} ∪ {b}∗ ) · {a}∗ · {bc}∗ .
§

¤

¦

¥

Ejemplo

Dado el alfabeto Σ = {a, b},
(λ ∪ a)∗ (a ∪ b)∗ (ba)∗

es una expresiń regular que representa al lenguaje
o
({λ} ∪ {a})∗ · ({a} ∪ {b})∗ · {ba}∗ .
§

¤

¦

¥ciń 1.13 con expresiones regulares:
o

Ejemplos

Podemos representar los tres primeros lenguajes de la sec-

1. El lenguaje A de todas las cadenas que tienen exactamente una a:
A = b∗ ab∗ .
2. El lenguaje B de todas las cadenas que comienzan con b:
B = b(a ∪ b)∗ .
3. El lenguaje C de todas las cadenas que contienen la cadena ba:
C = (a ∪ b)∗ ba(a ∪ b)∗ .

La representaciń de lenguajes regulares por medio de expresiones
o
regulares no es unica. Es posible que haya varias expresiones re´
gulares diferentes para el mismo lenguaje. Por ejemplo, b(a ∪ b)∗
y b(b ∪ a)∗ representan el mismo lenguaje.
Otro ejemplo: las dos expresiones regulares (a ∪ b)∗ y (a∗ b∗ )∗ representan el mismo lenguaje por la propiedad 9 de la secciń 1.11.
o

§

¤

¦

¥lenguajes, definidos sobre el alfabeto Σ = {a, b}:

Ejemplos

Encontrar expresiones regulares que representen los siguientes

1. Lenguaje de todas las cadenas que comienzan con el s´
ımbolo b y
terminan con el s´
ımbolo a.
Soluciń.
o

b(a ∪ b)∗ a.


21

2. Lenguaje de todas las cadenas que tienen un n´mero par de s´
u
ımbolos
(cadenas de longitud par).
o
Soluciń. (aa ∪ ab ∪ ba ∪ bb)∗ . Otra expresiń regular para este leno
guaje es [(a ∪ b)(a ∪ b)]∗ .
3. Lenguaje de todas las cadenas que tienen un n´mero par de aes.
u
Soluciones:
b∗ (b∗ ab∗ ab∗ )∗ .
(ab∗ a ∪ b)∗ .
(b∗ ab∗ ab∗ )∗ ∪ b∗ .
§

¤

¦

¥lenguajes, definidos sobre el alfabeto Σ = {0, 1}:

Ejemplos

Encontrar expresiones regulares que representen los siguientes

1. Lenguaje de todas las cadenas que tienen exactamente dos ceros.
Soluciń.
o

1∗ 01∗ 01∗ .

2. Lenguaje de todas las cadenas cuyo pen´ltimo s´
u
ımbolo, de izquierda
a derecha, es un 0.
Soluciń. (0 ∪ 1)∗ 0(0 ∪ 1). Usando la propiedad distributiva obteneo
mos otra expresiń regular para este lenguaje: (0 ∪ 1)∗ 00 ∪ (0 ∪ 1)∗ 01.
o
§

¤

¦

¥el lenguaje de todas las cadenas que no contienen dos ceros

Ejemplo

Sea Σ = {0, 1}. Encontrar una expresiń regular que represente
o

consecutivos.
Soluciń. La condiciń de que no haya dos ceros consecutivos implica que
o
o
todo cero debe estar seguido necesariamente de un uno, excepto un cero al
final de la cadena. Por lo tanto, las cadenas de este lenguaje se obtienen
concatenado unos con bloques 01, de todas las formas posibles. Hay que
tener en cuenta, adem´s, que la cadena puede terminar ya sea en 1 o en 0.
a
A partir de este an´lisis, llegamos a la expresiń regular
a
o
(1 ∪ 01)∗ ∪ (1 ∪ 01)∗ 0.
Usando la propiedad distributiva, obtenemos otra expresiń para este leno
guaje: (1 ∪ 01)∗ (λ ∪ 0).
§

¤

¦

¥sente el lenguaje de todas las cadenas que no contienen la ca-

Ejemplo

dena bc.

Sea Σ = {a, b, c}. Encontrar una expresiń regular que repreo

22

CAP´

Soluciń. Una b puede estar seguida solamente de otra b o de una a, mientras
o
que las aes y las ces pueden estar seguidas de cualquier s´
ımbolo. Teniendo
en cuenta todas las restricciones y posibilidades, arribamos a la siguiente
expresiń regular:
o
(a ∪ c ∪ b+ a)∗ b∗ .
La condiciń de que no aparezca la cadena bc significa que una c puede
o
estar precedida solamente de una a y de otra c. Siguiendo esta descripciń,
o
obtenemos otra expresiń regular para el lenguaje en cuestiń:
o
o
c∗ (b ∪ ac∗ )∗ .
§

¤

¦

¥

o

Œ Encontrar expresiones regulares para los lenguajes descritos a continuaciń:
o
(i) Σ = {0, 1, 2}. Lenguaje de todas las cadenas que comienzan con
2 y terminan con 1.
(ii) Σ = {a, b, c}. Lenguaje de todas las cadenas que tienen un n´meu
ro par de s´
ımbolos.
(iii) Σ = {a, b}. Lenguaje de todas las cadenas que tienen un n´mero
u
impar de s´
ımbolos.
(iv) Σ = {a, b, c}. Lenguaje de todas las cadenas que tienen un n´meu
ro impar de s´
ımbolos.
(v) Σ = {a, b}. Lenguaje de todas las cadenas que tienen un n´mero
u
impar de aes.
(vi) Σ = {a, b}. Lenguaje de todas las cadenas que tienen la cadena
ab un n´mero par de veces.
u
(vii) Σ = {a, b}. Lenguaje de todas las cadenas que tienen un n´mero
u
par de aes o un n´mero impar de bes.
u
(viii) Σ = {0, 1, 2}. Lenguaje de todas las cadenas que no contienen
dos unos consecutivos.
Encontrar expresiones regulares para los siguientes lenguajes definidos
sobre el alfabeto Σ = {0, 1}:
(i) Lenguaje de todas las cadenas que tienen por lo menos un 0 y
por lo menos un 1.


23

(ii) Lenguaje de todas las cadenas que tienen a lo sumo dos ceros
consecutivos.
(iii) Lenguaje de todas las cadenas cuyo quinto s´
ımbolo, de izquierda
a derecha, es un 1.
(iv) Lenguaje de todas las cadenas de longitud par ≥ 2 formadas
por ceros y unos alternados.
(v) Lenguaje de todas las cadenas cuya longitud es ≥ 4.
(vi) Lenguaje de todas las cadenas de longitud impar que tienen
unos unicamente en las posiciones impares.
´
(vii) Lenguaje de todas las cadenas cuya longitud es un m´ltiplo de
u
tres.
(viii) Lenguaje de todas las cadenas que no contienen tres ceros consecutivos.
(ix) Lenguaje de todas las cadenas que no contienen cuatro ceros
consecutivos.
!(x) Lenguaje de todas las cadenas que no contienen la subcadena
101.

No todos los lenguajes sobre un alfabeto dado Σ son regulares.
M´s adelante se mostrar´ que el lenguaje
a
a
L = {λ, ab, aabb, aaabbb, . . . } = {an bn : n ≥ 0}
sobre Σ = {a, b} no se puede representar por medio de una expresi´n regular, y por lo tanto, no es un lenguaje regular.
o

Cap´tulo
ı

2

Aut´matas finitos
o
Los aut´matas son m´quinas abstractas con capacidad de computaciń.
o
a
o
Hist´ricamente, su estudio se origin´ con la llamada “m´quina de Turing”,
o
o
a
que fue propuesta en 1936 por el matem´tico britńico Alan Turing (1912–
a
a
1954) con el prop´sito de precisar las caracter´
o
ısticas y las limitaciones de
un dispositivo de computaciń mecńica. En los aõs 40 y 50 del siglo XX
o
a
n
se adelantaron investigaciones sobre m´quinas de Turing con capacidad
a
restringida, lo que dio lugar a la nociń de aut´mata finito.
o
o

2.1.

Aut´matas finitos deterministas (AFD)
o

Los aut´matas finitos son m´quinas abstractas que procesan cadenas de
o
a
entrada, las cuales son aceptadas o rechazadas:
Aut´mata
o
M

si

(u es aceptada)

Cadena de
entrada u
no

(u es rechazada)

El aut´mata actá leyendo los s´
o
u
ımbolos escritos sobre una
infinita, dividida en celdas o casillas, sobre la cual se escribe
de entrada u, un s´
ımbolo por casilla. El aut´mata posee una
o
control (tambiń llamada cabeza lectora, control finito o
e
25

cinta semiuna cadena
unidad de
unidad de

26

´
CAP´
ITULO 2. AUTOMATAS FINITOS

memoria) que tiene un n´mero finito de configuraciones internas, llamau
das estados del aut´mata. Entre los estados de un aut´mata se destacan
o
o
el estado inicial y los estados finales o estados de aceptaciń.
o
Formalmente, un aut´mata finito M est´ definido por cinco par´metros
o
a
a
o componentes, M = (Σ, Q, q0 , F, δ), a saber:
1. Un alfabeto Σ, llamado alfabeto de cinta. Todas las cadenas que procesa M pertenecen a Σ∗ .
2. Q = {q0 , q1 , . . . , qn }, conjunto de estados internos del aut´mata.
o
3. q0 ∈ Q, estado inicial.
4. F ⊆ Q, conjunto de estados finales o de aceptaciń. F = ∅.
o
5. La funciń de transiciń del aut´mata
o
o
o
δ : Q × Σ −→
Q
(q, s) −→ δ(q, s)
Una cadena de entrada u se coloca en la cinta de tal manera que el primer
s´
ımbolo de u ocupa la primera casilla de la cinta. La unidad de control
est´ inicialmente en el estado q0 escaneando la primera casilla:
a
u

a

···

a

b

≡

···

↑

Unidad
de control

q

La funciń de transiciń δ indica el estado al cual pasa el control finito,
o
o
dependiendo del s´
ımbolo escaneado y de su estado actual. As´ δ(q, s) = q ′
ı,
significa que, en presencia del s´
ımbolo s, la unidad de control pasa del
estado q al estado q ′ y se desplaza hacia la derecha. Esta acciń constituye
o
un paso computacional:
δ(q, s) = q ′

···

s

···

···

···

s

↑

↑

q

q′

´
2.1. AUTOMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD)

27

Puesto que la funciń δ est´ definida para toda combinaciń estadoo
a
o
s´
ımbolo, una cadena de entrada cualquiera es procesada completamente,
hasta que la unidad de control encuentra la primera casilla vac´
ıa.
La unidad de control de un aut´mata siempre se desplaza hacia la dereo
cha; no puede retornar ni escribir s´
ımbolos sobre la cinta.
§

¤

¦

¥componentes:

Ejemplo

Consideremos el aut´mata definido por los siguientes cinco
o

Σ = {a, b}.
Q = {q0 , q1 , q2 }.
q0 : estado inicial.
F = {q0 , q2 }, estados de aceptaciń.
o
Funciń de transiciń δ:
o
o
δ

a

b

δ(q0 , a) = q0

q2 q1 q1

δ(q1 , b) = q2

δ(q2 , a) = q1

q1 q1 q2

δ(q0 , b) = q1

δ(q1 , a) = q1

q0 q0 q1

δ(q2 , b) = q1 .

Vamos a ilustrar el procesamiento de dos cadenas de entrada.
1.

u = aabab.
u
a

a

b

a

b

↑
q0

↑
q0

↑
q0

↑
q1

↑
q1

···

≡
↑
q2

Como q2 es un estado de aceptaciń, la cadena de entrada u es aceptada.
o
2.

v = aababa.
v
a

a

b

a

b

a

≡

↑
q0

↑
q0

↑
q0

↑
q1

↑
q1

↑
q2

···

↑
q1

Puesto que q1 no es un estado de aceptaciń, la entrada v es rechazada.
o

28

´
CAP´

Caso especial: la cadena λ es la cadena de entrada.
≡

≡

···

↑
q0
Como q0 es un estado de aceptaciń, la cadena λ es aceptada.
o
En general se tiene lo siguiente: la cadena vac´ λ es aceptada por un
ıa
aut´mata M si y solamente si el estado inicial q0 de M tambiń es un estado
o
e
de aceptaciń.
o
Los aut´matas finitos descritos anteriormente se denominan aut´matas
o
o
finitos deterministas (AFD) ya que para cada estado q y para cada
s´
ımbolo a ∈ Σ, la funciń de transiciń δ(q, a) siempre est´ definida. Es
o
o
a
decir, la funciń de transiciń δ determina completa y un´
o
o
ıvocamente la
acciń que el aut´mata realiza cuando la unidad de control se encuentra en
o
o
un estado q leyendo un s´
ımbolo s sobre la cinta.
Dado un aut´mata M , el lenguaje aceptado o reconocido por M se
o
denota L(M ) y se define por
L(M ) := {u ∈ Σ∗ : M termina el procesamiento de la cadena
de entrada u en un estado q ∈ F }.

2.2.

Diagrama de transiciones de un aut´mata
o

Un aut´mata finito se puede representar por medio de un grafo dirigido y
o
etiquetado. Recu´rdese que un grafo es un conjunto de v´rtices o nodos
e
e
unidos por arcos o conectores; si los arcos tienen tanto direcciń como
o
etiquetas, el grafo se denomina grafo dirigido y etiquetado o digrafo
etiquetado.
El digrafo etiquetado de un aut´mata se obtiene siguiendo las siguientes
o
convenciones:
Los v´rtices o nodos son los estados del aut´mata.
e
o
El estado q se representa por: q
El estado inicial q0 se representa por: q0
Un estado final q se representa por: q

29

˜
´
2.3. DISENO DE AUTOMATAS

La transiciń δ = (q, s) = p se representa en la forma
o
s
q
p
Dicho grafo se denomina diagrama de transiciones del aut´mata y
o
es muy util para hacer el seguimiento completo del procesamiento de una
´
cadena de entrada. Una cadena u es aceptada si existe una trayectoria
etiquetada con los s´
ımbolos de u, que comienza en el estado q0 y termina
en un estado de aceptaciń.
o
§

¤

¦

¥ciń anterior.
o

Ejemplo

Diagrama de transiciones del aut´mata presentado en la seco

Σ = {a, b}.
Q = {q0 , q1 , q2 }.
q0 : estado inicial.
F = {q0 , q2 }, estados de aceptaciń.
o
Funciń de transiciń δ:
o
o
δ

a

b

q0 q0 q1
q1 q1 q2
q2 q1 q1

δ(q0 , a) = q0

δ(q0 , b) = q1

δ(q1 , a) = q1

δ(q1 , b) = q2

δ(q2 , a) = q1

δ(q2 , b) = q1

a

b

q0

a
q1

a, b
b
q2

Examinando el diagrama de transiciones podemos observar fćilmente que
a
la entrada aaababbb es aceptada mientras que aabaaba es rechazada.

2.3.

Dise˜ o de aut´matas
n
o

Para aut´matas deterministas se adopta la siguiente convenciń adicional
o
o
con respecto a los diagramas de transiciones: se supone que los arcos no

30

´
CAP´

dibujadas expl´
ıcitamente conducen a un estado “limbo” de no-aceptaciń.
o
Es decir, en el diagrama de transiciones se indican unicamente los arcos que
´
intervengan en trayectorias de aceptaciń. Esto permite simplificar consio
derablemente los diagramas.
En este cap´
ıtulo abordaremos dos tipos de problemas:
1.

Dado un lenguaje regular L diseãr un aut´mata finito M que acepte
n
o
o reconozca a L, es decir, tal que L(M ) = L.

2.

Dado un aut´mata M determinar el lenguaje aceptado por M .
o

M´s adelante se demostrar´, en toda su generalidad, que estos problemas
a
a
siempre tienen soluciń. Consideremos inicialmente problemas del primer
o
tipo.
§

¤

¦

¥

Ejemplo

L = a∗ = {λ, a, a2 , a3 , . . .}. AFD M tal que L(M ) = L:
a
q0

a
b

q1
b

a
Versiń simplificada:
o
§

¤

¦

¥

Ejemplo

q0

L = a+ = {a, a2 , a3 , . . .}. AFD M tal que L(M ) = L:
a
q0
b

a
q1

a

b

q2
b
a
Versiń simplificada:
o

q0

a

q1

§

¤

¦

¥mente dos aes = b∗ ab∗ ab∗ . AFD M tal que L(M ) = L:

Ejemplo

Σ = {a, b}. L = lenguaje de las cadenas que contienen exacta-

˜
´
2.3. DISENO DE AUTOMATAS

b

a

q0

b

31

b

a

q1

q2

§

¤

¦

¥n´mero par de s´
u
ımbolos (cadenas de longitud par). AFD M

Ejemplo

Σ = {0, 1}. L = lenguaje de las cadenas sobre Σ que tienen un

tal que L(M ) = L:
0, 1
q0

q1
0, 1

§

¤

¦

¥un n´mero par de ceros. AFD M tal que L(M ) = L:
u

Ejemplo

Σ = {0, 1}. L = lenguaje de las cadenas sobre Σ que contienen
1

0

q0

1
q1

0
§

¤

¦

¥en b. AFD M tal que L(M ) = L:

Ejemplo

Σ = {a, b}. L = lenguaje de las cadenas sobre Σ que terminan
a

b

q0

b
q1

a

§

¤

¦

¥

o

Œ Dise˜ar aut´matas ﬁnitos deterministas que acepten los siguientes
n
o
lenguajes:
(i) Σ = {0, 1}. L = lenguaje de las cadenas sobre Σ de longitud
impar.
(ii) Σ = {0, 1}. L = lenguaje de las cadenas sobre Σ que contienen
un n´mero impar de unos.
u

32

´
CAP´

(iii) Σ = {a, b}. L = ab+ .
(iv) Σ = {a, b}. L = ab∗ ∪ ab∗ a.
(v) Σ = {0, 1}. L = (0 ∪ 10)∗ .
(vi) Σ = {0, 1}. L = (01 ∪ 10)∗ .
(vii) Σ = {0, 1}. Lenguaje de todas las cadenas que no contienen dos
unos consecutivos.
(viii) Σ = {a, b}. L = {a2i b3j : i, j ≥ 0}.
(ix) Σ = {a, b}. L = lenguaje de las cadenas sobre Σ que contienen
un n´mero par de aes y un n´mero par de bes. Ayuda: utilizar
u
u
4 estados.
(x) Σ = {a, b}. Para cada combinaciń de las condiciones “par” e
o
“impar” y de las conectivas “o” e “y”, diseãr un AFD que
n
acepte el lenguaje L definido por
L = lenguaje de las cadenas con un n´mero par/impar de aes
u
y/o un n´mero par/impar de bes.
u
Ayuda: utilizar el aut´mata de 4 estados diseãdo en el ejercio
n
cio anterior, modificando adecuadamente el conjunto de estados
finales.
Determinar los lenguajes aceptados por los siguientes AFD. Describir
los lenguajes ya sea por medio de una propiedad caracter´
ıstica o de
una expresiń regular.
o
(i)
0

0

q0

q1

q2

1

0

0

1

0

q3

q4

1

1

1

(ii)
1
q0

1

q1

0

q2

q3
0

´
2.4. AUTOMATAS FINITOS NO-DETERMINISTAS (AFN)

33

(iii)
q1
0

1
0
q0

1

q2

1

q3

1
(iv)
b
q0

b

a

q1

a
q2

b

2.4.

Aut´matas finitos no-deterministas (AFN)
o

Los aut´matas finitos no-deterministas (AFN) se asemejan a los AFD,
o
excepto por el hecho de que para cada estado q ∈ Q y cada a ∈ Σ, la
transiciń δ(q, a) puede consistir en m´s de un estado o puede no estar
o
a
definida. Concretamente, un AFN est´ definido por M = (Σ, Q, q0 , F, ∆)
a
donde:
1. Σ es el alfabeto de cinta.
2. Q es un conjunto (finito) de estados internos.
3. q0 ∈ Q es el estado inicial.
4. ∅ = F ⊆ Q es el conjunto de estados finales o estados de aceptaciń.
o
5.

∆ : Q × Σ −→ ℘(Q)
(q, s) −→ ∆(q, s) = {qi1 , qi2 , . . . , qik }
donde

℘(Q) es el conjunto de subconjunto de Q.

34

´
CAP´

El significado de ∆(q, s) = {qi1 , qi2 , . . . , qik } es el siguiente: estando en
el estado q, en presencia del s´
ımbolo s, la unidad de control puede pasar
(aleatoriamente) a uno cualquiera de los estados qi1 , qi2 ,. . . , qik , despu´s de
e
lo cual se desplaza a la derecha.
Puede suceder que ∆(q, s) = ∅, lo cual significa que, si durante el procesamiento de una cadena de entrada u, M ingresa al estado q leyendo sobre
la cinta el s´
ımbolo s, el c´mputo se aborta.
o
C´mputo abortado:
o
u
···

s

···

≡

···

↑
q
La nociń de diagrama de transiciones para un AFN se define de manera
o
an´loga al caso AFD, pero puede suceder que desde un mismo nodo (estado)
a
salgan dos o m´s arcos con la misma etiqueta:
a

s

q ′′′

s

q ′′

q
s
q′

Un AFN M puede procesar una cadena de entrada u ∈ Σ∗ de varias maneras. Sobre el diagrama de transiciones del aut´mata, esto significa que
o
pueden existir varias trayectorias, desde el estado q0 , etiquetadas con los
s´
ımbolos de u.
La siguiente es la nociń de aceptaciń para aut´matas no-deterministas:
o
o
o
L(M ) = lenguaje aceptado o reconocido por M
= {u ∈ Σ∗ : existe por lo menos un c´mputo completo
o
de u que termina en un estado q ∈ F }

35

´

Es decir, para que una cadena u sea aceptada, debe existir algń c´mpuu o
to en el que u sea procesada completamente y que finalice estando M en
un estado de aceptaciń.
o
§

¤

¦

¥

Ejemplo
a
q0

Sea M el siguiente AFN:

a

a

b

q1

b
∆

a

{q0 , q1 , q3 }

∅

{q1 }

{q2 }

q2

∅

{q1 , q2 }

q3

q3

b

q1

b

a

q0

q2

∅

{q3 }

b
Para la cadena de entrada u = abb, existen c´mputos que conducen al rechao
zo, c´mputos abortados y c´mputos que terminan en estados de aceptaciń.
o
o
o
Segń la definiciń de lenguaje aceptado, u ∈ L(M ).
u
o
u
a

b

b

≡

↑
q0

C´mputo de rechazo:
o

↑
q1

↑
q2

···

↑
q2

u
a

b

b

≡

↑
q0

C´mputo de aceptaciń:
o
o

↑
q3

↑
q3

···

↑
q3

u
Otro c´mputo de aceptaciń:
o
o

a

b

b

≡

↑
q0

↑
q1

↑
q2

↑
q1

···

36

´
CAP´

u
a

b

↑
q0

C´mputo abortado:
o

≡

···

↑
q0

b

§

¤

¦

¥AFD que acepta el lenguaje de las cadenas sobre Σ = {a, b}

Ejemplo

En el ultimo ejemplo de la secciń 2.3 se dise˜´ el siguiente
´
o
no

que terminan en b:
a

b

b

q0

q1
a

Un AFN que acepta el mismo lenguaje y que es, tal vez, m´s fćil de
a a
concebir, es el siguiente:
a
b

q0

q1

b
Este aut´mata se asemeja a la expresiń regular (a ∪ b)∗ b.
o
o
§

Ejemplo

¦

¤

Consid´rese el lenguaje L = ab∗ ∪ a+ sobre el alfabeto Σ =
e
¥{a, b}. El siguiente AFN M satisface L(M ) = L.
a
q0
a

b
q1

a
q2

§

¤

¦

¥

Ejemplo

Σ = {0, 1}, L = (01 ∪ 010)∗ . El siguiente AFN acepta a L.

´

37

0
q0
0

1

q1

0
q2

q3

1
Otro AFN que acepta el mismo lenguaje y que tiene s´lo tres estados es el
o
siguiente:
0
1
q1
q2
q0
1
0
§

¤

¦

¥

o

Dise˜ar aut´matas AFD o AFN que acepten los siguientes lenguajes:
n
o
Œ Σ = {a, b}. L = ab+ a∗ .
Σ = {a, b}. L = a(a ∪ ab)∗ .
Ž Σ = {a, b, c}. L = a∗ b∗ c∗ .
Σ = {0, 1, 2}. L = lenguaje de las cadenas sobre Σ que comienzan
con 0 y terminan con 2.
Σ = {0, 1}. Lenguaje de las cadenas de longitud par ≥ 2 formadas
por ceros y unos alternados.
‘ Σ = {0, 1}. Lenguaje de las cadenas que tienen a lo sumo dos ceros
consecutivos.
’ Σ = {0, 1}. Lenguaje de las cadenas de longitud impar que tienen
unos unicamente en las posiciones impares.
´
“ Σ = {a, b, c}. L = lenguaje de las cadenas sobre Σ que contienen la
cadena bc.
” Σ = {a, b, c}. L = lenguaje de las cadenas sobre Σ que no contienen
la cadena bc. En el ultimo ejemplo de la secci´n 1.14 se presentaron
´
o
dos expresiones regulares para L. Nota: ¡se puede construir un AFD
con s´lo dos estados para aceptar este lenguaje!
o

38

2.5.

´
CAP´

Equivalencia computacional entre los AFD y
los AFN

En esta secciń se mostrar´ que los modelos AFD y AFN son computacioo
a
nalmente equivalentes. En primer lugar, es fćil ver que un AFD M =
a
(Σ, Q, q0 , F, δ) puede ser considerado como un AFN M ′ = (Σ, Q, q0 , F, ∆)
definiendo ∆(q, a) = {δ(q, a)} para cada q ∈ Q y cada a ∈ Σ. Para la
afirmaciń rec´
o
ıproca tenemos el siguiente teorema.
2.5.1 Teorema. Dado un AFN M = (Σ, Q, q0 , F, ∆) se puede construir
un AFD M ′ equivalente a M , es decir, tal que L(M ) = L(M ′ ).
Este teorema, cuya demostraciń se dar´ en detalle m´s adelante, eso
a
a
tablece que el no-determinismo se puede eliminar. Dicho de otra manera,
los aut´matas deterministas y los no-deterministas aceptan los mismos leno
guajes. La idea de la demostraciń consiste en considerar cada conjunto de
o
estados {p1 , . . . , pj }, que aparezca en la tabla de la funciń ∆ del aut´mata
o
o
no-determinista, como un unico estado del nuevo aut´mata determinista.
´
o
La tabla de ∆ se completa hasta que no aparezcan nuevas combinaciones de
estados. Los estados de aceptaciń del nuevo aut´mata son los conjuntos
o
o
de estados en los que aparece por lo menos un estado de aceptaciń del
o
aut´mata original. El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento.
o
§

¤

¦

¥acepta el lenguaje L(M ) = ab∗ ∪ a+ sobre Σ = {a, b}:

Ejemplo

Consideremos el AFN M , presentado en la secciń 2.4, que
o

a
q0
a

b
q1

a
q2

∆

a

b

q0

{q1 , q2 }

∅

q1

∅

{q1 }

q2

{q2 }

∅

El nuevo AFD M ′ construido a partir de M tiene un estado m´s, {q1 , q2 },
a
y su funciń de transiciń δ tiene el siguiente aspecto:
o
o

2.5. EQUIVALENCIA COMPUTACIONAL ENTRE LOS AFD Y LOS AFN

δ

a

b

q0

{q1 , q2 }

∅

q1

∅

{q1 }

q2

{q2 }

∅

{q1 , q2 }

{q2 }

39

{q1 }

El diagrama de transiciones de este aut´mata es:
o
a
a

a
{q0 }

{q1 , q2 }

{q2 }

b

{q1 }

b
Los estados de aceptaciń son aqu´llos en los que aparezcan q1 ´ q2 , que
o
e
o
son los estados de aceptaciń del aut´mata original.
o
o
Para mayor simplicidad, podemos cambiar los nombres de los estados
del nuevo aut´mata:
o
a

a
p0

p1

a
p2

b
p3

b
§

¤

¦

¥lenguaje L = (01 ∪ 010)∗ sobre Σ = {0, 1}.

Ejemplo

El siguiente AFN M , presentado en la secciń 2.4, acepta el
o

40

´
CAP´

0

1

q0

q1

q2

1
0

La tabla de la funciń de transiciń de M se extiende para completar la
o
o
funciń δ del nuevo AFN:
o
δ

0

1

q0

{q1 }

∅

q1

∅

{q0 , q2 }

q2

{q0 }

∅

{q0 , q2 }

{q0 , q1 }

∅

{q0 , q1 }

{q1 }

{q0 , q2 }

El diagrama de transiciones del nuevo aut´mata es:
o
0
0
{q0 }

{q1 }

1

{q2 }

0
0

{q0 , q2 }

1

{q0 , q1 }

Los estados de aceptaciń son aqu´llos en los que aparezca q0 ya que q0 es
o
e
el unico estado de aceptaciń del aut´mata original.
´
o
o
Puesto que el nuevo estado {q2 } no interviene en la aceptaciń de cadeo
nas, el aut´mata se puede simplificar en la siguiente forma:
o

2.5. EQUIVALENCIA COMPUTACIONAL ENTRE LOS AFD Y LOS AFN

41

0
p0

p1

1

0
0

p2

1

p3

Para la demostraciń del Teorema 2.5.1, conviene extender la definiciń de
o
o
la funciń de transiciń, tanto de los aut´matas deterministas como de los
o
o
o
no-deterministas.
2.5.2 Definiciń. Sea M = (Σ, Q, q0 , F, δ) un AFD. La funciń de transio
o
ciń δ : Q × Σ −→ Q se extiende a una funciń δ : Q × Σ∗ −→ Q por medio
o
o
de la siguiente definiciń recursiva:
o

δ(q, λ) = q, q ∈ Q,

δ(q, a) = δ(q, a), q ∈ Q, a ∈ Σ,


δ(q, wa) = δ(δ(q, w), a), q ∈ Q, a ∈ Σ, w ∈ Σ∗ .

Segń esta definiciń, para una cadena de entrada w ∈ Σ∗ , δ(q0 , w) es el
u
o
estado en el que el aut´mata termina el procesamiento de w. Por lo tanto,
o
podemos describir el lenguaje aceptado por M de la siguiente forma:
L(M ) = {w ∈ Σ∗ : δ(q0 , w) ∈ F }.
Notaciń. Sin peligro de ambigëdad, la funciń extendida δ(q, w) se noo
u
o
tar´ simplemente δ(q, w).
a
2.5.3 Definiciń. Sea M = (Σ, Q, q0 , F, ∆) un AFN. La funciń de trano
o
℘(Q) se extiende inicialmente a conjuntos de estados.
siciń ∆ : Q × Σ −→
o
Para a ∈ Σ y S ⊆ F se define
∆(S, a) :=

∆(q, a).
q∈S

42

´
CAP´

Luego se extiende ∆ a una funciń ∆ : Q × Σ∗ −→ ℘(Q), de manera
o
similar a como se hace para los AFD. Recursivamente,

∆(q, λ) = {q}, q ∈ Q,



∆(q, a) = ∆(q, a), q ∈ Q, a ∈ Σ,

∆(p, a), q ∈ Q, a ∈ Σ, w ∈ Σ∗ .
∆(q, wa) = ∆(∆(q, w), a) =


p∈∆(q,w)

Segń esta definiciń, para una cadena de entrada w ∈ Σ∗ , ∆(q0 , w) es el
u
o
conjunto de los posibles estados en los que terminan los c´mputos completos
o
de w. Si el c´mputo se aborta durante el procesamiento de w, se tendr´
o
ıa
∆(q0 , w) = ∅. Usando la funciń extendida ∆, el lenguaje aceptado por M
o
se puede describir de la siguiente forma:
L(M ) = {w ∈ Σ∗ : ∆(q0 , w) contiene un estado de aceptaciń}.
o
Notaciń. Sin peligro de ambigëdad, la funciń extendida ∆(q, w) se
o
u
o
notar´ simplemente ∆(q, w).
a
Demostraciń del Teorema 2.5.1:
o
Dado el AFN M = (Σ, Q, q0 , F, ∆), construimos el AFD M ′ as´
ı:
M ′ = (Σ, ℘(Q), {q0 }, F ′ , δ)

donde

δ : ℘(Q) × Σ −→ ℘(Q)
(S, a) −→ δ(S, a) := ∆(S, a).
F ′ = {S ⊆ ℘(Q) : S ∩ F = ∅}.

Se demostrar´ que L(M ) = L(M ′ ) probando que, para toda cadena w ∈ Σ∗ ,
a
δ({q0 }, w) = ∆(q0 , w). Esta igualdad se demostrar´ por inducciń sobre w.
a
o
Para w = λ, claramente se tiene δ({q0 }, λ) = ∆(q0 , λ) = {q0 }. Para w = a,
a ∈ Σ, se tiene
δ({q0 }, a) = ∆({q0 }, a) = ∆(q0 , a).
Supńgase (hip´tesis de inducciń) que δ({q0 }, w) = ∆(q0 , w), y que a ∈ Σ.
o
o
o
δ({q0 }, wa) = δ(δ({q0 }, w), a)
= δ(∆({q0 }, w), a)

(definiciń de la extensiń de δ)
o
o
(hip´tesis de inducciń)
o
o

= ∆(∆({q0 }, w), a) (definiciń de δ)
o
= ∆({q0 }, wa)

(definiciń de la extensiń de ∆)
o
o

= ∆(q0 , wa)

(definiciń de la extensiń de ∆).
o
o

´
2.6. AUTOMATAS CON TRANSICIONES λ (AFN-λ)

§

¤

¦

43

¥

o

Diseãr AFD equivalentes a los siguientes AFN:
n
Œ
b
q0

q1

a

b

b
q2

q3
a

0
q0

0

0

1

q1

1
q2

1

0
q3
1

2.6.

Aut´matas con transiciones λ (AFN-λ)
o

Un aut´mata finito con transiciones λ (AFN-λ) es un aut´mata noo
o
determinista M = (Σ, Q, q0 , F, ∆) en el que la funciń de transiciń est´ deo
o
a
finida como:
∆ : Q × (Σ ∪ {λ}) → ℘(Q).
o
o
La transiciń ∆(q, λ) = {pi1 , . . . , pin }, llamada transiciń λ, transiciń
o
nula o transiciń espontńea, tiene el siguiente significado computacioo
a
nal: estando en el estado q, el aut´mata puede cambiar a uno cualquiera de
o
ımbolo le´ y sin mover
ıdo
los estados pi1 , . . . , pin , independientemente del s´
la unidad de control. Dicho de otra manera, las transiciones λ permiten
al aut´mata cambiar internamente de estado sin procesar o “consumir” el
o
s´
ımbolo le´ sobre la cinta.
ıdo
En el diagrama del aut´mata, las transiciones λ dan lugar a arcos con
o
etiquetas λ. Una cadena de entrada w es aceptada por un AFN-λ si existe por lo menos una trayectoria, desde el estado q0 , cuyas etiquetas son
exactamente los s´
ımbolos de w, intercalados con cero, uno o m´s λs.
a

44

´
CAP´

En los aut´matas AFN-λ, al igual que en los AFN, puede haber m´ltiples
o
u
c´mputos para una misma cadena de entrada, as´ como c´mputos abortao
ı
o
dos.
§

¤

¦

¥

Ejemplo

M:
a

b

b

λ

q1

q2

a

q3

q4

q0

λ

b

a

Ejemplos de cadenas aceptadas por M :
u = aab
v = abaa
w = abbaa
C´mputos de aceptaci´n de u = aab y v = abaa:
o
o
···

a

a

b

≡

↑
q0

↑
q1

↑
q1

↑
q2

a

b

a

a

≡

↑
q0

↑
q3

↑
q3

↑
q4

↑
q4

q1

q4

···

´
2.6. AUTOMATAS CON TRANSICIONES λ (AFN-λ)

45

Los AFN-λ permiten ań m´s libertad en el diseõ de aut´matas, espeu
a
n
o
cialmente cuando hay numerosas concatenaciones.
§

¤

¦

¥

Ejemplo

Σ = {a, b, c}. L = a∗ b∗ c∗ . AFD que acepta a L:
a

b

b

q0

c

q1

c
q2

c
AFN-λ que acepta a L:
a

b

λ

q0

λ

q1

c
q2

Este aut´mata se asemeja a la expresiń regular a∗ b∗ c∗ : las concatenaciones
o
o
han sido reemplazadas por transiciones λ.
§

¤

¦

¥tienen un n´mero par de aes o un n´mero par de bes.
u
u

Ejemplo

Σ = {a, b}. L = lenguaje de todas las cadenas sobre Σ que

AFD que acepta el lenguaje de las cadenas con un n´mero par de aes:
u
b

a

q0

b
q1

a
AFD que acepta el lenguaje de las cadenas con un n´mero par de bes:
u
a

b

q0

a
q1

b
AFN-λ que acepta el lenguaje de las cadenas con un n´mero par de aes o
u
un n´mero par de bes:
u

46

´
CAP´

b
λ

a

q1

b
q2

a
q0
b
λ

q3
a

q4
b

a

A diferencia de los AFD y los AFN, en los AFN-λ pueden existir “c´mputos
o
inﬁnitos”, es decir c´mputos que nunca terminan. Esto puede suceder si
o
el aut´mata ingresa a un estado desde el cual haya varias transiciones λ
o
encadenadas que retornen al mismo estado, como por ejemplo:
λ

λ

λ
§

¤

¦

¥

o

Dise˜ar AFN-λ que acepten los siguientes lenguajes:
n
Œ (ab ∪ b)∗ ab∗ , sobre Σ = {a, b}.
a(a ∪ c)∗ b+ , sobre Σ = {a, b, c}.
Ž ab∗ ∪ ba∗ ∪ b(ab ∪ ba)∗ , sobre Σ = {a, b}.
ab∗ ba∗ b(ab ∪ ba)∗ , sobre Σ = {a, b}.
(0 ∪ 010)∗ 0∗ (01 ∪ 10)∗ , sobre Σ = {0, 1}.
‘ 0+ 1(010)∗ (01 ∪ 10)∗ 1+ , sobre Σ = {0, 1}.
’ Σ = {a, b}. L = lenguaje de todas las cadenas sobre Σ que tienen un
n´mero par de aes y un n´mero par de bes.
u
u

2.7. EQUIVALENCIA COMPUTACIONAL ENTRE LOS AFN-λ Y LOS AFN

2.7.

47

Equivalencia computacional entre los AFN-λ
y los AFN

En esta secciń se mostrar´ que el modelo AFN-λ es computacionalmente
o
a
equivalente al modelo AFN. O dicho m´s gr´ficamente, las transiciones λ
a
a
se pueden eliminar, aãdiendo transiciones que las simulen, sin alterar el
n
lenguaje aceptado.
En primer lugar, un AFN M = (Σ, Q, q0 , F, ∆) puede ser considerado
como un AFN-λ en el que, simplemente, hay cero transiciones λ. Para la
afirmaciń rec´
o
ıproca tenemos el siguiente teorema.
2.7.1 Teorema. Dado un AFN-λ M = (Σ, Q, q0 , F, ∆), se puede construir
un AFN M ′ equivalente a M , es decir, tal que L(M ) = L(M ′ ).
Bosquejo de la demostraciń. Para construir M ′ a partir de M se requiere
o
la nociń de λ-clausura de un estado. Para un estado q ∈ Q, la λo
clausura de q, notada λ[q], es el conjunto de estados de M a los que se
puede llegar desde q por 0, 1 o m´s transiciones λ. N´tese que, en general,
a
o
λ[q] = ∆(q, λ). Por definiciń, q ∈ λ[q]. La λ-clausura de un conjunto de
o
estados {q1 , . . . , qk } se define por:
λ[{q1 , . . . , qk }] := λ[q1 ] ∪ · · · ∪ λ[qk ].
Adem´s, λ[∅] := ∅. Sea M ′ = (Σ, Q, q0 , F ′ , ∆′ ) donde
a
∆′ : Q × Σ
(q, a)

−→
−→

℘(Q)
∆′ (q, a) := λ ∆(λ[q], a) .

M ′ simula as´ las transiciones λ de M teniendo en cuenta todas las posibles
ı
trayectorias. F ′ se define como:
F ′ = {q ∈ Q : λ[q] contiene al menos un estado de aceptaciń}.
o
Es decir, los estados de aceptaciń de M ′ incluyen los estados de aceptaciń
o
o
de M y aquellos estados desde los cuales se puede llegar a un estado de
aceptaciń por medio de una o m´s transiciones λ.
o
a
Como se puede apreciar, la construcciń de M ′ a partir de M es purao
mente algor´
ıtmica.
§

¤

¦

¥sentado en el segundo ejemplo de la secciń 2.6.
o

Ejemplo

Vamos a ilustrar el anterior algoritmo con el AFN-λ M , pre-

48

´
CAP´

a

b

λ

q0

c

λ

q1

q2

L(M ) = a∗ b∗ c∗ . Las λ-clausuras de los estados vienen dadas por:
λ[q0 ] = {q0 , q1 , q2 }.
λ[q1 ] = {q1 , q2 }.
λ[q2 ] = {q2 }.
La funci´n de transici´n ∆′ : Q × {a, b, c} → ℘({q0 , q1 , q2 }) es:
o
o
∆′ (q0 , a)
∆′ (q0 , b)
∆′ (q0 , c)
∆′ (q1 , a)
∆′ (q1 , b)
∆′ (q1 , c)
∆′ (q2 , a)
∆′ (q2 , b)
∆′ (q2 , c)

=
=
=
=
=
=
=
=
=

λ [∆(λ[q0 ], a)] = λ [∆({q0 , q1 , q2 }, a)] = λ[{q0 }] = {q0 , q1 , q2 }.
λ [∆(λ[q0 ], b)] = λ [∆({q0 , q1 , q2 }, b)] = λ[{q1 }] = {q1 , q2 }.
λ [∆(λ[q0 ], c)] = λ [∆({q0 , q1 , q2 }, c)] = λ[{q2 }] = {q2 }.
λ [∆(λ[q1 ], a)] = λ [∆({q1 , q2 }, a)] = λ[∅] = ∅.
λ [∆(λ[q1 ], b)] = λ [∆({q1 , q2 }, b)] = λ[{q1 }] = {q1 , q2 }.
λ [∆(λ[q1 ], c)] = λ [∆({q1 , q2 }, c)] = λ[{q2 }] = {q2 }.
λ [∆(λ[q2 ], a)] = λ [∆({q2 }, a)] = λ[∅] = ∅.
λ [∆(λ[q2 ], b)] = λ [∆({q2 }, b)] = λ[∅] = ∅.
λ [∆(λ[q2 ], c)] = λ [∆({q2 }, c)] = λ[{q2 }] = {q2 }.

El aut´mata M ′ as´ obtenido es el siguiente:
o
ı
a, b, c

q0
a

q1
a, b

§

b, c

b

¤

¦

q2

¥

o

Construir AFN equivalentes a los siguientes AFN-λ:
Œ

λ
q0
a, λ

b

q1

b
q2

q3
λ

c

49

2.8. TEOREMA DE KLEENE. PARTE I

a

λ

q0

a

λ

q1

b
q2

b

λ
q3
b

2.8.

Teorema de Kleene. Parte I

En las secciones anteriores se ha mostrado la equivalencia computacional
de los modelos AFD, AFN y AFN-λ, lo cual puede ser descrito en la forma:

AFD ≡ AFN ≡ AFN-λ
Esto quiere decir que para cada aut´mata de uno de estos tres modelos se
o
pueden construir aut´matas equivalentes en los otros modelos. Por lo tanto,
o
los modelos AFD, AFN y AFN-λ aceptan exactamente los mismos lenguajes. El Teorema de Kleene establece que tales lenguajes son precisamente
los lenguajes regulares.
2.8.1. Teorema de Kleene. Un lenguaje es regular si y s´lo si es aceptado
o
por un aut´mata finito (AFD o AFN o AFN-λ).
o
Para demostrar el teorema consideraremos las dos direcciones por separado.
Primero demostraremos que para un lenguaje regular L dado existe un
AFN-λ tal que L(M ) = L. En la secciń 2.11 demostraremos que, a partir
o
de un AFD M , se puede encontrar una expresiń regular R tal que L(M ) =
o
R. En ambas direcciones las demostraciones son constructivas.
Las construcciones de este cap´
ıtulo se pueden presentar as´
ı:
AFN
AFD
T. de Kleene II

AFN-λ
Lenguajes regulares

T. de Kleene I

50

´
CAP´

Parte I. Dada una expresiń regular R sobre un alfabeto Σ, se puede
o
construir un AFN-λ M tal que el lenguaje aceptado por M sea exactamente
el lenguaje representado por R.

Expresiń regular R
o

M

Procedimiento

−− − − −
− − − −→

AFN-λ

algor´
ıtmico

tal que L(M ) = R.

Demostraciń. Puesto que la definiciń de las expresiones regulares se hace
o
o
recursivamente, la demostraciń se lleva a cabo razonando por inducciń soo
o
bre R. Para las expresiones regulares b´sicas, podemos construir fćilmente
a
a
aut´matas que acepten los lenguajes representados. As´ el aut´mata
o
ı,
o
q0

q1

acepta el lenguaje ∅, es decir, el lenguaje representado por la expresiń
o
regular R = ∅.
El aut´mata
o
q0
acepta el lenguaje {λ}, es decir, el lenguaje representado por la expresiń
o
regular R = λ.
El aut´mata
o
a

q0

q1

acepta el lenguaje {a}, a ∈ Σ, es decir, el lenguaje representado por la
expresiń regular R = a.
o
Paso inductivo: supńgase que para las expresiones regulares R y S exiso
ten AFN-λ M1 y M2 tales que L(M1 ) = R y L(M2 ) = S. Esquem´ticamente
a
vamos a presentar los aut´matas M1 y M2 en la siguiente forma:
o
M1

M2
.
.
.

.
.
.

51

2.8. TEOREMA DE KLEENE. PARTE I

Los estados finales o de aceptaciń se dibujan a la derecha, pero cabe ado
vertir que el estado inicial puede ser tambiń un estado de aceptaciń.
e
o
Obviando ese detalle, podemos ahora obtener AFN-λ que acepten los lenguajes R ∪ S, RS y R∗ .
Aut´mata que acepta R ∪ S. Los aut´matas M1 y M2 se conectan
o
o
en paralelo y los estados finales del nuevo aut´mata son los estados
o
finales de M1 junto con los de M2 :

M1
.
.
.

λ

M2
λ

.
.
.

Aut´mata que acepta RS. Los aut´matas M1 y M2 se conectan en
o
o
serie y los estados finales del nuevo aut´mata son unicamente los
o
´
estados finales de M2 :
λ

M1

.
.
.

.
.
.

M2
.
.
.

λ
Aut´mata que acepta R∗ . Los estados finales del nuevo aut´mata son
o
o
los estados finales de M1 junto con el estado inicial.

52

´
CAP´

λ
M1
.
.
.

λ
Esto concluye la demostraciń de la parte I del Teorema de Kleene. En la sio
guiente secciń se presentan ejemplos concretos del procedimiento utilizado
o
en la demostraciń.
o

2.9.

Ejemplos de la parte I del Teorema de Kleene

De acuerdo con las construcciones presentadas en la demostraciń de la
o
parte I del Teorema de Kleene, un AFN-λ que acepta el lenguaje a∗ es:
λ
a

Para simplificar las pr´ximas construcciones utilizaremos, en su lugar, el
o
bucle de un estado:
a

§

¤

¦

¥un AFN-λ que acepte el lenguaje a∗ (ab ∪ ba)∗ ∪ a(b ∪ a∗ ) sobre

Ejemplo

Vamos a utilizar el procedimiento del teorema para construir

el alfabeto {a, b}.
Aut´mata que acepta ab:
o

a

λ

b

2.9. EJEMPLOS DE LA PARTE I DEL TEOREMA DE KLEENE

Aut´mata que acepta ba:
o

a

λ

b

Aut´mata que acepta ab ∪ ba:
o

a

λ

b

b

λ

a

a

λ

b

b

λ

a

λ

λ

Aut´mata que acepta (ab ∪ ba)∗ :
o
λ

λ

λ

λ

53

54

´
CAP´

Aut´mata que acepta a∗ (ab ∪ ba)∗ :
o
λ

a
λ

b

b

a

λ

λ

a

λ

λ

λ
Aut´mata que acepta b ∪ a∗ :
o
b
λ

λ
a
Aut´mata que acepta a(b ∪ a∗ ):
o
b
λ
a

λ

λ
a

55

2.10. LEMA DE ARDEN

Aut´mata que acepta a∗ (ab ∪ ba)∗ ∪ a(b ∪ a∗ ):
o
λ

a
λ

λ

b

b

a

λ

λ

a

λ
λ

λ

b

λ

λ
a

λ
λ
a

§

¤

¦

¥

o

Diseãr aut´matas AFN-λ que acepten los siguientes lenguajes sobre el
n
o
alfabeto Σ = {a, b, c}:
Œ a∗ (b ∪ ab∗ ∪ ab∗ a)c∗ ∪ (a ∪ b)(a ∪ ac)∗ .
c∗ a(a ∪ ba)∗ (abc)∗ ∪ c∗ (a ∪ cb∗ c).
Ž (ac)∗ ∪ a(a ∪ ab∗ a) ∪ (abc)∗ (cba)∗ ∪ (c ∪ ab ∪ ba ∪ ca)∗ (ca ∪ cb)∗ .

2.10.

Lema de Arden

Vamos a utilizar el siguiente resultado, conocido como “lema de Arden”,
para demostrar la segunda parte del Teorema de Kleene.
2.10.1. Lema de Arden. Si A y B son lenguajes sobre un alfabeto Σ y
λ ∈ A, entonces la ecuaciń X = AX ∪ B tiene una unica soluciń dada
o
´
o
por X = A∗ B.

56

´
CAP´

Demostraciń. Si X es una soluciń de X = AX ∪ B, entonces B ⊆
o
o
AX ∪ B = X. Tambiń se tiene AX ⊆ X; a partir de esta contenencia y
e
usando inducciń sobre n, se puede demostrar que An X ⊆ X para todo
o
n ∈ N. Por lo tanto
An B ⊆ An X ⊆ X
para todo n ∈ N. As´ que
ı
An B =

A∗ B =
n≥0

An B ⊆ X.
n≥0

Esto muestra que toda soluciń de X = AX ∪ B contiene a A∗ B y es fćil
o
a
verificar que, de hecho, A∗ B es una soluciń:
o
A(A∗ B) ∪ B = A+ B ∪ B = (A+ ∪ λ)B = A∗ B.
Para la unicidad, demostraremos que si A∗ B ∪ C, con C ∩ A∗ B = ∅, es una
soluciń de la ecuaciń, entonces C = ∅.
o
o
A∗ B ∪ C = A(A∗ B ∪ C) ∪ B
= A+ B ∪ AC ∪ B
= (A+ ∪ λ)B ∪ AC
= A∗ B ∪ AC.
Intersectando con C ambos lados de la anterior igualdad, se tiene:
(A∗ B ∩ C) ∪ C = (A∗ B ∩ C) ∪ (AC ∩ C),
C = AC ∩ C.
Por lo tanto, C ⊆ AC. Si se tuviera C = ∅, existir´ una cadena u ∈ C de
ıa
longitud m´
ınima. Entonces u = vw, con v ∈ A, w ∈ C. Como λ ∈ A, v = λ;
por consiguiente |w| |u|. Esta contradicciń muestra que necesariamente
o
C = ∅, tal como se quer´
ıa.
§

¤

¦
§

¥
¤

¦

¥X = (a2 ∪ b+ )X ∪ ab. Por el lema de Arden la ecuaciń tiene
o

Ejemplo
Ejemplo

La ecuaciń X = aX ∪ b∗ ab tiene soluciń unica X = a∗ b∗ ab.
o
o ´
La ecuaciń X = a2 X ∪ b+ X ∪ ab se puede escribir en la forma
o

soluciń unica X = (a2 ∪ b+ )∗ ab.
o ´
§

¤

¦

¥X = (ab2 ∪ a)X ∪ (a∗ b ∪ b∗ a). Por lema de Arden la ecuaciń
o

Ejemplo

La ecuaciń X = ab2 X ∪ aX ∪ a∗ b ∪ b∗ a se puede escribir como
o

tiene soluciń unica X = (ab2 ∪ a)∗ (a∗ b ∪ b∗ a).
o ´

2.11. TEOREMA DE KLEENE. PARTE II

§

¤

¦

57

¥

o

Œ Encontrar las soluciones (ńicas) de las siguientes ecuaciones:
u
(i) X = aX ∪ bX.
(ii) X = aX ∪ b∗ ab ∪ bX ∪ a∗ .
! Demostrar de si λ ∈ A, entonces Y es una soluciń de la ecuaciń
o
o
X = AX ∪ B si y solo si Y = A∗ (B ∪ D) para algń D ⊆ Σ∗ .
u

2.11.

Teorema de Kleene. Parte II

En esta secciń demostraremos que para todo AFN M = (Σ, Q, q0 , F, ∆)
o
existe una expresiń regular R tal que L(M ) = R.
o
Un aut´mata tiene un unico estado inicial pero cambiando dicho eso
´
tado surgen nuevos aut´matas. Para cada qi ∈ Q, sea Mi el aut´mata
o
o
que coincide con M pero con estado inicial qi ; m´s precisamente, Mi =
a
(Σ, Q, qi , F, ∆). Al lenguaje aceptado por Mi lo denotaremos Ai ; es decir,
L(Mi ) = Ai . En particular, A0 = L(M ). Puesto que los estados de aceptaciń no se han alterado, se tiene que
o
Ai = {w ∈ Σ∗ : ∆(qi , w) ∩ F = ∅}.
Cada Ai se puede escribir como

 {aAj : qj ∈ ∆(qi , a)},

(2.1)
Ai = a∈Σ
 {aAj : qj ∈ ∆(qi , a)} ∪ λ.


si qi ∈ F,
si qi ∈ F.

a∈Σ

Si Q = {q0 , q1 , . . . , qn }, las igualdades de la forma (2.1) dan lugar a un
sistema de n + 1 ecuaciones con n + 1 inc´gnitas (los Ai ):
o

A0 = C01 A0 ∪ C02 A1 ∪ · · · ∪ C0n An (∪λ)



A1 = C11 A0 ∪ C12 A1 ∪ · · · ∪ C1n An (∪λ)
 ..
 ..
 ..


An = Cn1 A0 ∪ Cn2 A1 ∪ · · · ∪ Cnn An (∪λ)

donde cada coeficiente Cij o es ∅ o es un s´
ımbolo de Σ. El t´rmino λ se
e
aãde a una ecuaciń solamente si el estado correspondiente es un estado
n
o
de aceptaciń.
o

58

´
CAP´

Utilizando sucesivas veces el lema de Arden, se puede mostrar que este
sistema de ecuaciones siempre se puede solucionar y su soluciń es unica.
o
´
En efecto, comenzando con la ultima ecuaciń, se escribe An en t´rminos
´
o
e
de los dem´s Ai , para lo cual se usa el lema de Arden si es necesario. Este
a
valor de An se reemplaza en las dem´s ecuaciones y el sistema se reduce a
a
n ecuaciones con n inc´gnitas. Similarmente, An−1 se escribe en t´rminos
o
e
de los dem´s Ai , usando el lema de Arden si es necesario, y tal valor se
a
reemplaza en las ecuaciones restantes. Prosiguiendo de esta manera, el sistema original se reduce a una sola ecuaciń cuya inc´gnita es precisamente
o
o
A0 . Esta ecuaciń se soluciona recurriendo una vez m´s al lema de Arden.
o
a
Puesto que los coeficientes Cij diferentes de ∅ son s´
ımbolos de Σ, se obtiene
una expresiń regular R tal que L(M ) = A0 = R.
o

2.12.

Ejemplos de la parte II del Teorema de
Kleene

A continuaciń ilustraremos el procedimiento de la secciń 2.11 para eno
o
contrar L(M ) a partir de un AFN M = (Σ, Q, q0 , F, ∆) dado.
§

¤

¦

¥

Ejemplo

Consid´rese el siguiente AFN M :
e
a

a

a

q0

q1

b

a
q2
b

Por simple inspecciń sabemos que L(M ) = (a ∪ b)∗ a2 (a ∪ b)∗ , pero utilio
zaremos el m´todo descrito para encontrar expl´
e
ıcitamente L(M ).
El sistema de ecuaciones

(1)

(2)


(3)

asociado con el aut´mata M es:
o
A0 = aA0 ∪ bA0 ∪ aA1
A1 = aA2
A2 = aA2 ∪ bA2 ∪ λ.

La ecuaciń (3) se puede escribir como
o
(4)

A2 = (a ∪ b)A2 ∪ λ.

Aplicando el lema de Arden en (4):
(5)

A2 = (a ∪ b)∗ λ = (a ∪ b)∗ .

2.12. EJEMPLOS DE LA PARTE II DEL TEOREMA DE KLEENE

59

Reemplazando (5) en (2):
(6)

A1 = a(a ∪ b)∗ .

(7)

A0 = (a ∪ b)A0 ∪ a2 (a ∪ b)∗ .

Aplicando el lema de Arden en (7) concluimos:
A0 = (a ∪ b)∗ a2 (a ∪ b)∗
§

¤

¦

¥el siguiente AFN M :

Ejemplo

Encontrar una expresi´n regular para el lenguaje aceptado por
o

a

a
q0

q1

b
q2

b

a

b

q3

q4
a

a
El sistema de ecuaciones asociado con el aut´mata M es:
o

(1) A0 = aA1



(2) A1 = aA2


(3) A2 = bA2 ∪ bA3 ∪ λ


(4) A3 = aA3 ∪ bA4




(5) A4 = aA2 ∪ aA3 ∪ λ

(6)

A3 = aA3 ∪ baA2 ∪ baA3 ∪ b = (a ∪ ba)A3 ∪ baA2 ∪ b.

(7)

A3 = (a ∪ ba)∗ (baA2 ∪ b) = (a ∪ ba)∗ baA2 ∪ (a ∪ ba)∗ b.

(8)

A2 = bA2 ∪ b(a ∪ ba)∗ baA2 ∪ b(a ∪ ba)∗ b ∪ λ.

El sistema original de cinco ecuaciones y cinco inc´gnitas se reduce al siso
tema de tres ecuaciones y tres inc´gnitas formado por (1), (2) y (8).
o
La ecuaci´n (8) se puede escribir como
o

60
(9)

´
CAP´

A2 = b ∪ b(a ∪ ba)∗ ba A2 ∪ b(a ∪ ba)∗ ∪ λ.

(10)

A2 =

b ∪ b(a ∪ ba)∗ ba

∗

b(a ∪ ba)∗ b ∪ λ .

Si se sustituye (10) en (2) y luego el valor de A1 obtenido se sustituye en
(1), se obtiene ﬁnalmente:
A0 = a2 b ∪ b(a ∪ ba)∗ ba

∗

b(a ∪ ba)∗ b ∪ λ

§

¤

¦

¥las cadenas sobre Σ = {a, b} que tienen un n´mero par de aes
u

Ejemplo

Encontrar una expresi´n regular para el lenguaje L de todas
o

y un n´mero par de bes. El siguiente aut´mata acepta el lenguaje L:
u
o
a
q0

q1
a

b

b

b

b

a
q2

q3
a

Este aut´mata da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
o

(1) A0 = aA1 ∪ bA2 ∪ λ



(2) A = aA ∪ bA
1
0
3

(3) A2 = aA3 ∪ bA0


(4) A = aA ∪ bA
3
2
1

(5)

A2 = a2 A2 ∪ abA1 ∪ bA0 .

(6)

A1 = aA0 ∪ baA2 ∪ b2 A1 .

El sistema original de cuatro ecuaciones y cuatro inc´gnitas se reduce a un
o
sistema de tres ecuaciones y tres inc´gnitas, a saber:
o

(1) A0 = aA1 ∪ bA2 ∪ λ

(6) A1 = aA0 ∪ baA2 ∪ b2 A1


(5) A2 = a2 A2 ∪ abA1 ∪ bA0

61

2.12. EJEMPLOS DE LA PARTE II DEL TEOREMA DE KLEENE

(7)

A2 = (a2 )∗ (abA1 ∪ bA0 ) = (a2 )∗ abA1 ∪ (a2 )∗ bA0 .

(8)

A1 = aA0 ∪ ba(a2 )∗ abA1 ∪ ba(a2 )∗ bA0 ∪ b2 A1 .

(9)

A0 = aA1 ∪ b(a2 )∗ abA1 ∪ b(a2 )∗ bA0 ∪ λ.

El sistema se reduce ahora a dos ecuaciones:

 (9) A0 = aA1 ∪ b(a2 )∗ abA1 ∪ b(a2 )∗ bA0 ∪ λ
(8) A1 = aA0 ∪ ba(a2 )∗ abA1 ∪ ba(a2 )∗ bA0 ∪ b2 A1

= ba(a2 )∗ ab ∪ b2 A1 ∪ aA0 ∪ ba(a2 )∗ bA0 .

(10)

A1 = ba(a2 )∗ ab ∪ b2

∗

aA0 ∪ ba(a2 )∗ bA0

∗

∗

= ba(a2 )∗ ab ∪ b2 aA0 ∪ ba(a2 )ab ∪ b2 ba(a2 )∗ bA0 .
∗

Haciendo R = ba(a2 )∗ ab ∪ b2 , (10) se puede escribir como
(11)

A1 = RaA0 ∪ Rba(a2 )∗ bA0 .

(12)

A0 = b(a2 )∗ b

∗

aA1 ∪ b(a2 )∗ abA1 ∪ λ

∗

∗

∗

= b(a2 )∗ b aA1 ∪ b(a2 )∗ b b(a2 )∗ abA1 ∪ b(a2 )∗ b .
∗

Haciendo S = b(a2 )∗ b , (12) se puede escribir como:
(13)

A0 = SaA1 ∪ Sb(a2 )∗ abA1 ∪ S.

Al sustituir (11) en (13), el sistema original se reduce a una sola ecuaci´n:
o
(14) A0 = Sa RaA0 ∪ Rba(a2 )∗ bA0 ∪ Sb(a2 )∗ ab RaA0 ∪ Rba(a2 )∗ bA0 ∪ S.
Agrupando los t´rminos en los que aparece A0 y factorizando, se obtiene
e
(15) A0 = SaRa∪SaRba(a2 )∗ b∪Sb(a2 )a bRa∪Sb(a2 )∗ abRba(a2 )∗ b A0 ∪S.
Aplicando lema de Arden en (15):
∗

(16) A0 = SaRa ∪ SaRba(a2 )∗ b ∪ Sb(a2 )∗ abRa ∪ Sb(a2 )∗ abRba(a2 )∗ b S.
Si sustituimos R y S en (16) obtenemos una expresi´n regular para L.
o

62

´
CAP´

§

¤

¦

¥

o

Œ Utilizando el lema de Arden, encontrar expresiones regulares para los
siguientes lenguajes sobre Σ = {a, b}:
(i) El lenguaje L de todas las cadenas que tienen un n´mero par
u
de aes y un n´mero impar de bes.
u
(ii) El lenguaje L de todas las cadenas que tienen un n´mero par
u
de aes o un n´mero impar de bes.
u
Utilizando el lema de Arden, encontrar expresiones regulares para los
lenguajes aceptados por los siguientes AFN:
(i)
b
b

a
q0

a

q1

a

q2

a

q3

b
(ii)
b
q0

b
q1

b

a
q2

a
q3

q4
b

b

Cap´tulo
ı

3

Otras propiedades de los lenguajes
regulares
En los dos cap´
ıtulos anteriores hemos presentado las propiedades b´sicas de
a
los lenguajes regulares pero no hemos visto c´mo se puede demostrar que
o
un lenguaje no es regular. El llamado “lema de bombeo”, expuesto en este
cap´
ıtulo, sirve para tal prop´sito. Tambiń veremos que la regularidad es
o
e
una propiedad que se preserva por las operaciones booleanas usuales, por
homomorfismos y por las im´genes inversas de homomorfismos. Finalmena
te, analizaremos ciertos problemas de decisiń referentes a aut´matas y a
o
o
lenguajes regulares.

3.1.

Lema de bombeo

El llamado “lema de bombeo” (pumping lemma, en ingl´s) es una propiee
dad de los lenguajes regulares que es muy util para demostrar que ciertos
´
lenguajes no son regulares.
3.1.1. Lema de bombeo. Para todo lenguaje regular L (sobre un alfabeto
dado Σ) existe una constante n ∈ N, llamada constante de bombeo para L,
tal que toda cadena w ∈ L, con |w| ≥ n, satisface la siguiente propiedad:
(B)

w se puede descomponer como w = uvx, con |uv| ≤ n, v = λ,
y para todo i ≥ 0 se tiene uv i x ∈ L.

Demostraciń. Por el Teorema de Kleene y por los teoremas de equivalencia
o
de los modelos AFD, AFN y AFN-λ, existe un AFD M tal que L(M ) = L.
63

64

CAP´
ITULO 3. OTRAS PROPIEDADES DE LOS LENGUAJES REGULARES

Sea
n = # de estados de M.
Si w ∈ L y |w| ≥ n, entonces durante el procesamiento completo de w, hay
por lo menos un estado que se repite. Sea q el primer estado que se repite.
Tal como se muestra en la siguiente gr´fica, w se puede descomponer como
a
w = uvx, donde |uv| ≤ n, v = λ.
w
···
↑
q0

u

···
↑
q

···

≡

x

↑
p

↑
q

v

N´tese que tanto u como x pueden ser la cadena vac´ λ, pero v = λ.
o
ıa
Adem´s, la cadena v se puede “bombear”, en el sentido de que uv i x es
a
aceptada por M para todo i ≥ 0. En el diagrama de estados, se puede
visualizar esta propiedad de bombeo de v:
v
u

q

q0

x
p

Uso del lema de bombeo. El lema de bombeo se puede usar para concluir
que un cierto lenguaje dado L no es regular, recurriendo a un razonamiento
por contradicciń (o reducciń al absurdo). El razonamiento utilizado tiene
o
o
la siguiente forma:
1. Si L fuera regular, existir´ una constante de bombeo n para L.
ıa
2. Se escoge una cadena “adecuada” w ∈ L y se aplica la propiedad (B)
del lema de bombeo, descomponiendo w como
w = uvx,

v = λ,

|uv| ≤ n.

3. Se llega a la siguiente contradicciń:
o
(I) Por el lema de bombeo, uv i x ∈ L, para todo i ≥ 0.

3.1. LEMA DE BOMBEO

65

(II) uv i x no puede estar en L, para algń i ∈ I. Por lo general, basta
u
escoger valores pequeõs de i como i = 0 ´ i = 2.
n
o
§

¤

¦

¥{ai bi : i ≥ 0} no es regular.

Ejemplo

Usar el lema de bombeo para demostrar que el lenguaje L =

ıa
Soluciń. Si L fuera regular, existir´ una constante de bombeo n para L.
o
Sea w = an bn ∈ L. Entonces w se puede descomponer como w = uvx, con
|v| ≥ 1 y |uv| ≤ n. Por lo tanto, u y v constan unicamente de aes:
´
u = ar ,
v = as ,

para algń r ≥ 0,
u
para algń s ≥ 1.
u

Entonces,
x = an−(r+s) bn = an−r−s bn .
Por el lema de bombeo, uv i x ∈ L para todo i ≥ 0. En particular, si i = 0,
ux ∈ L. Pero ux = ar an−r−s bn = an−s bn . Como n − s = n, la cadena
ux ∈ L lo cual es una contradicciń. Se concluye entonces que L no puede
/
o
ser regular.
Tomando i = 2 tambiń se llega a una contradicciń: por un lado, uv 2 x ∈
e
o
L, pero
uv 2 x = ar as as an−r−s bn = ar+2s+n−r−s bn = an+s bn .
Como s ≥ 1, an+s bn no est´ en L.
a
El argumento anterior tambiń sirve para demostrar que el lenguaje
e
L = {ai bi : i ≥ 1} no es regular.
§

¤

¦

¥es un lenguaje regular. Recu´rdese que un pal´
e
ındromo es una

Ejemplo

Demostrar que el lenguaje de los pal´
ındromos sobre {a, b} no

cadena w tal que w = wR .
ıa
o
Sea w = an ban ∈ L. Entonces w se puede descomponer como w = uvx, con
|v| ≥ 1, |uv| ≤ n, y para todo i ≥ 0, uv i x ∈ L. Por lo tanto, u y v constan
unicamente de aes:
´
u = ar ,
v = as ,

para algń r ≥ 0,
u
para algń s ≥ 1.
u

Entonces,
x = an−(r+s) ban = an−r−s ban .

66

CAP´

Tomando i = 0, se concluye que ux ∈ L, pero
ux = ar an−r−s ban = an−s ban .
Como s ≥ 1, an−s ban no es un pal´
ındromo. Esta contradicciń muestra que
o
L no puede ser regular.
§

Ejemplo

¦

2

¤

Demostrar que el lenguaje L = ai : i ≥ 0 no es regular. L
¥est´ formado por cadenas de aes cuya longitud es un cuadrado
a

perfecto.
o
ıa
2
Sea w = an ∈ L. Entonces w se puede descomponer como w = uvx, con
|v| ≥ 1, |uv| ≤ n. Por el lema de bombeo, uv 2 x ∈ L, pero por otro lado,
n2 n2 + |v| = |uvx| + |v| = |uv 2 x| ≤ n2 + |uv| ≤ n2 + n (n + 1)2 .
Esto quiere decir que el n´mero de s´
u
ımbolos de la cadena uv 2 x no es un
cuadrado perfecto y, por consiguiente, uv 2 x ∈ L. En conclusiń, L no es
o
regular.
§

¤

¦

¥

o

Œ Usar el lema de bombeo para demostrar que los siguientes lenguajes
no son regulares:
(i) L = {w ∈ {a, b}∗ : w tiene el mismo n´mero de aes que de bes}.
u
(ii) L = {ai bai : i ≥ 1}, sobre Σ = {a, b}.
(iii) L = {ai bj ai : i, j ≥ 0}, sobre Σ = {a, b}.
(iv) L = {0i 12i : i ≥ 0}, sobre Σ = {0, 1}.
(v) L = {1i 01i 0 : i ≥ 1}, sobre Σ = {0, 1}.
(vi) L = {ai bj ci+j : i, j ≥ 0}, sobre Σ = {a, b, c}.
(vii) L = {ai bj : j i ≥ 0}, sobre Σ = {a, b}.
(viii) L = {ww : w ∈ Σ∗ }, siendo Σ = {a, b}.
(ix) L = {wwR : w ∈ Σ∗ }, siendo Σ = {a, b}.
(x) L = {ai : i es un n´mero primo}, sobre Σ = {a}.
u
¿Es L = {(ab)i : i ≥ 0} un lenguaje regular?
Ž Encontrar la falacia en el siguiente argumento: “Segń la propiedad
u
(B) del enunciado del lema de bombeo, se tiene que uv i x ∈ L para todo i ≥ 0. Por consiguiente, L posee infinitas cadenas y, en conclusiń,
o
todo lenguaje regular es infinito.”

3.2. PROPIEDADES DE CLAUSURA

3.2.

67

Propiedades de clausura

Las propiedades de clausura afirman que a partir de lenguajes regulares se
pueden obtener otros lenguajes regulares por medio de ciertas operaciones
entre lenguajes. Es decir, la regularidad es preservada por ciertas operaciones entre lenguajes; en tales casos se dice que los lenguajes regulares son
cerrados bajo las operaciones.
El siguiente teorema establece que la colecciń R ⊆ ℘(Σ∗ ) de los leno
guajes regulares sobre un alfabeto Σ es cerrada bajo todas las operaciones
booleanas.
3.2.1 Teorema. Si L, L1 y L2 son lenguajes regulares sobre un alfabeto
Σ, tambiń lo son:
e
(1) L1 ∪ L2
(2) L1 L2
(3) L∗
(4) L+
(5) L = Σ∗ − L
(6) L1 ∩ L2
(7) L1 − L2
(8) L1 ¡ L2
Demostraciń.
o

(uniń)
o
(concatenaciń)
o
(estrella de Kleene)
(clausura positiva)
(complemento)
(intersecciń)
o
(diferencia)
(diferencia sim´trica)
e

(1), (2) y (3) se siguen de la definiciń de los lenguajes regulares.
o
(4) Por (2), (3) y L+ = L∗ L.
(5) Por el Teorema de Kleene y por los teoremas de equivalencia de los
modelos AFD, AFN y AFN-λ, existe un AFD M = (Σ, Q, q0 , F, δ) tal
que L(M ) = L. Para construir un AFD que acepte el complemento
de L basta intercambiar los estados finales con los no finales. Si M ′
es el aut´mata (Σ, Q, q0 , Q − F, δ), entonces L(M ′ ) = L.
o
(6) Se sigue de (1) y (5) teniendo en cuenta que L1 ∩ L2 = L1 ∪ L2 .
(7) Se sigue de (5) y (6) teniendo en cuenta que L1 − L2 = L1 ∩ L2 .
(8) Puesto que
L1 ¡ L2 = (L1 ∪ L2 ) − (L1 ∩ L2 ) = (L1 − L2 ) ∪ (L2 − L1 )
el resultado se sigue de (1), (6), (7).

68

CAP´

Recu´rdese que un ´lgebra booleana de conjuntos es una familia A ⊆
e
a

℘(X) cerrada bajo las operaciones de uniń, intersecciń y complemento,
o
o
tal que ∅ ∈ A, X ∈ A.

3.2.2 Corolario. La colecciń R ⊆ ℘(Σ∗ ) de todos los lenguajes regulares
o
sobre un alfabeto Σ es un ´lgebra booleana de conjuntos.
a
Demostraciń. Se sigue del Teorema 3.2.1 y del hecho de que ∅ y Σ∗ son
o
lenguajes regulares sobre Σ.

Hemos visto que un lenguaje finito es regular y que la uniń fio
nita de lenguajes regulares es regular. Pero una uniń infinita de
o
lenguajes regulares no necesariamente es regular; consid´rese, por
e
ejemplo,
L = {an bn : n ≥ 1} =
{ai bi }.
i≥1

Cada conjunto {ai bi } es regular (porque posee s´lo una cadena)
o
pero L no lo es.

Un sublenguaje (subconjunto) de un lenguaje regular no es necesariamente regular, es decir, la familia de los lenguajes regulares
no es cerrada para subconjuntos. Dicho de otra forma, un lenguaje regular puede contener sublenguajes no-regulares. Por ejemplo,
L = {an bn : n ≥ 1} es un sublenguaje del lenguaje regular a∗ b∗ ,
pero L mismo no es regular.

Las propiedades de clausura permiten concluir, razonando por contradicciń, que ciertos lenguajes no son regulares. Esto se ilustra en los siguientes
o
ejemplos en los que se usa el hecho de que los lenguajes L = {ai bi : i ≥ 0}
y L = {ai bi : i ≥ 1} no son regulares.
§

¤

¦

L = {ai bj : i, j ≥ 0, i = j} no es regular. Si lo fuera, a∗ b∗ − L
¥tambiń lo ser´ pero a∗ b∗ − L = {ai bi : i ≥ 0}.
e
ıa,

§

¤

¦

¥Σ = {a, b} no es regular. Si L fuera regular, tambiń lo ser´
e
ıa

Ejemplo
Ejemplo

El lenguaje L = {wbn : w ∈ Σ∗ , |w| = n, n ≥ 1} sobre

L ∩ a∗ b∗ pero L ∩ a∗ b∗ = {an bn : n ≥ 1}.
§

¤

¦

¥

o

Œ Demostrar que a∗ b∗ es la uniń de dos lenguajes disyuntos no-regulares.
o

´
3.3. PROPIEDADES DE CLAUSURA PARA AUTOMATAS

69

Sea L un lenguaje no-regular y N un subconjunto finito de L. Demostrar que L − N tampoco es regular.
Ž Demostrar o refutar las siguientes afirmaciones:
(i) Un lenguaje no-regular debe ser infinito.
(ii) Si el lenguaje L1 ∪ L2 es regular, tambiń lo son L1 y L2 .
e
(iii) Si los lenguajes L1 y L2 no son regulares, el lenguaje L1 ∩ L2
tampoco puede ser regular.
(iv) Si el lenguaje L∗ es regular, tambiń lo es L.
e
(v) Si L es regular y N es un subconjunto finito de L, entonces
L − N es regular.
(vi) Un lenguaje regular L es infinito si y s´lo si en cualquier expreo
siń regular de L aparece por lo menos una ∗.
o
Utilizar las propiedades de clausura para concluir que los siguientes
lenguajes no son regulares:
(i) L = {1i 01j 0 : i, j ≥ 1, i = j}, sobre Σ = {0, 1}. Ayuda: utilizar
el ejercicio 1(v) de la secciń 3.1.
o
(ii) L = {uvuR : u, v ∈ {a, b}+ }, sobre Σ = {a, b}. Ayuda: utilizar
el ejercicio 1(ii) de la secciń 3.1.
o
(iii) L = {u : |u| es un cuadrado perfecto}, sobre Σ = {a, b, c}. Ayuda: utilizar el ultimo ejemplo de la secciń 3.1.
´
o

3.3.

Propiedades de clausura para aut´matas
o

Las propiedades de clausura del Teorema 3.2.1 se pueden enunciar como
procedimientos algor´
ıtmicos para la construcciń de aut´matas finitos.
o
o
3.3.1 Teorema. Sean M , M1 y M2 aut´matas finitos (ya sean AFD o AFN
o
o AFN-λ) y L(M ) = L, L(M1 ) = L1 , L(M2 ) = L2 . Se pueden construir
aut´matas finitos que acepten los siguientes lenguajes:
o
(1)
(2)
(3)
(4)

L1 ∪ L2 .
L1 L2 .
L∗ .
L+ .

(5)
(6)
(7)
(8)

L = Σ∗ − L.
L1 ∩ L2 .
L1 − L2 .
L1 ¡ L2 .

Demostraciń. La construcciń de aut´matas para L1 ∪ L2 , L1 L2 , L∗ y L+
o
o
o
se present´ en la demostraciń de la parte I del Teorema de Kleene. En el
o
o

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