Equivalencia de autómatas finitos y expresiones regulares.

1. Equivalencia de Autómatas
Finitos y Expresiones
Regulares. Autómatas de Pila
no determinísticos.
Juan Carlos Sosa 15-0861
Yamilee Valerio 15-0736

2. • Los Lenguajes aceptados por un AF son fácilmente descritos por
una expresión llamada Expresión Regular.
Prof. Gloria Inés Alvarez. (2008). Equivalencia entre Expresiones Regulares y Atómatas Finitos.
En Computabilidad y Lenguajes Formales(""). Colombia: N/A.
Inmaculada Luengo Merino. (2008). AUTÓMATA FINITO EQUIVALENTE A UNA EXPRESIÓN
REGULAR DADA. En Tema 2 Autómatas(52). España: Universidad de Las Palmas de Gran
Canaria.
Feliu´ Sagols Troncoso. (2010). Aut´omatas finitos y expresiones regulares. 2016, de
Matem´aticas-Cinvestav Sitio web:
http://acme.math.cinvestav.mx/~basico/apache/automata1.pdf

3. Expresiones Regulares
• Sea ∑ un conjunto finito de símbolos y sean L, L1 y L2 conjunto
de cadenas de ∑*, la concatenación de L1 y L2, denotada por
L1L2, es el conjunto {xy| donde x está en L1 e y está en L2}.
Definimos L0 = {є} y Li = Li-1 Para toda i mayor o igual que 1. La
cerradura de Kleene de L denotada por L* es el conjunto
Feliu´ Sagols Troncoso. (2010). Aut´omatas finitos y expresiones regulares. 2016, de
Matem´aticas-Cinvestav Sitio web:
http://acme.math.cinvestav.mx/~basico/apache/automata1.pdf

4. • La cerradura Positiva de L denotada por L+ es el conjunto
Feliu´ Sagols Troncoso. (2010). Aut´omatas finitos y expresiones regulares. 2016, de
Matem´aticas-Cinvestav Sitio web:
http://acme.math.cinvestav.mx/~basico/apache/automata1.pdf

5. EQUIVALENCIA DE EXPRESIONES
REGULARES Y AUTÓMATAS FINITOS
• Lo que vamos a demostrar a continuación es que los Lenguajes
que pueden ser expresados mediante una expresión regular,
son todos y los únicos lenguajes que son abarcables por los
Autómatas Finitos.
Inmaculada Luengo Merino. (2008). AUTÓMATA FINITO EQUIVALENTE A UNA EXPRESIÓN
REGULAR DADA. En Tema 2 Autómatas(52). España: Universidad de Las Palmas de Gran
Canaria.

6. • Dada una expresión regular cualquiera siempre existe un AF,
con sólo un estado final, cuyo lenguaje es el dado por la
expresión regular.
Inmaculada Luengo Merino. (2008). AUTÓMATA FINITO EQUIVALENTE A UNA EXPRESIÓN
REGULAR DADA. En Tema 2 Autómatas(52). España: Universidad de Las Palmas de Gran
Canaria.

7. • Si el último operador es la concatenación entonces podemos
escribir r = r1r2 donde r1 y r2 tienen menos de k+1 operadores.
Entonces, por hipótesis de inducción, existen dos AF, M1y M2
tales que L(M1) = r1 y L(M2) = r2.
Un autómata que acepta L(r) sería

8. • Si el último operador de r es una unión r = r1+r2, un autómata
que acepta L(r) será
Si el último operador de r es un cierre de
Kleene r = (r1)* un autómata que acepta L(r)
será:

9. • Si el último operador de r es una clausura positiva r=(r1) + un
autómata que acepta L(r) será:
Inmaculada Luengo Merino. (2008). AUTÓMATA FINITO EQUIVALENTE A UNA EXPRESIÓN
REGULAR DADA. En Tema 2 Autómatas(52). España: Universidad de Las Palmas de Gran
Canaria.

10. Ejemplo:
Sea Σ={0,1} y sea r = 0*+1+ 0 y queremos construir
un autómata cuyo lenguaje sea exactamente el
definido por la expresión regular r. El último
operador que interviene es la suma

11. • Ejemplo: Realice un Autómata Finito para la Expresión anterior,
de manera sencilla.
• Ejemplo: Realice un Autómata Finito para la
Expresión 0*1+1*0, de manera sencilla.

12. • Ejercicio: Encuentre una Expression Regular para el siguiente AF
0 1 1, 0
q0 q1 q2

13. • Ejercicio: Encuentre una Expression Regular para el siguiente
AF.

14. Autómata de Pila no Deterministas
Los autómatas finitos son objetos equivalentes a las gramáticas regulares, es decir que
un lenguaje regular se corresponde, bien con una gramática regular, bien con un
autómata finito, aunque no de manera biunívoca.

15. Un autómata de pila es una séptupla M=(Q,Σ,∆,q0,δ,F)
donde:
• Q= conjunto finito de estados
• Σ= alfabeto de entrada
• ∆= alfabeto de pila
• q0∈Q estado inicial
• F⊆Q, F≠∅, conjunto de estados finales
• δ es la función de transición.
Autómata de Pila no Deterministas

16. • Para visualizar un autómata de pila podemos imaginar los estados y
la cinta de entrada como en los autómatas finitos, pero ahora está la
pila que podemos imaginar como una cinta interna (que siempre
representamos como una columna) donde se van insertando o
extrayendo los símbolos de pila según lo vayan mandando las
transiciones.

17. • La pila hace el papel de una memoria rudimentaria: sobre ella se escriben
palabras y se van extrayendo símbolo a símbolo. Debe quedar claro el
modo en que entendemos que se insertan las palabras en la pila: Si ω =
a1….ak es una palabra de longitud k y queremos insertarla en la pila de un
AP, entendemos que el símbolo que queda en la cima de la pila es a1.

18. Es decir, el comportamiento del autómata depende en cada transición
• Del estado actual
• Posiblemente del siguiente símbolo de la entrada
• Del símbolo en la cima de la pila Y se modifica el autómata en el
sentido
• Se cambia (posiblemente) del estado
• Se consume (posiblemente) el siguiente símbolo de la entrada
•Se modifica (posiblemente) el contenido de la cima de la pila.

19. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN
AP
• Dibujamos un círculo por cada estado no final y un doble círculo
por cada estado final.
• Marcamos el estado inicial con una flecha de entrada, sin
etiquetar.
• Por cada (r,ω) ∈ δ(q,a,Z) dibujamos una flecha de q a r
etiquetada a,Z;ω
Es similar a la de un autómata finito:

21. Ejercicio 1

22. Ejercicio 2

23. Ejercicio 3

24. Bibliografía
Prof. Gloria Inés Alvarez. (2008). Equivalencia entre Expresiones Regulares y
Atómatas Finitos. En Computabilidad y Lenguajes Formales(""). Colombia: N/A.
Inmaculada Luengo Merino. (2008). AUTÓMATA FINITO EQUIVALENTE A UNA EXPRESIÓN
REGULAR DADA. En Tema 2 Autómatas(52). España: Universidad de Las Palmas de Gran
Canaria.
Feliu´ Sagols Troncoso. (2010). Aut´omatas finitos y expresiones regulares. 2016, de
Matem´aticas-Cinvestav Sitio web:
http://acme.math.cinvestav.mx/~basico/apache/automata1.pdf