Variables no estacionarias y cointegración: análisis de series temporales

Variables no estacionarias y cointegración

Roberto Montero Granados

Universidad de Granada
marzo, 2007

RESUMEN.

La econometría de series temporales se encuentra con un problema al medir las
relaciones entre aquellas variables que tienen una tendencia temporal. Este problema
puede llegar a que se consideren significativas relaciones completamente espurias.

Cuando, en lugar de series estacionarias, se utilizan datos de panel el problema
también puede surgir.

Las variables que tienen una tendencia temporal definida se denominan “no
estacionarias”. Las estimaciones de regresiones con variables no estacionarias son
espurias salvo que estas estén cointegradas. Dos variables no estacionarias cointegradas
son aquellas cuyos residuos son estacionarios. Si los residuos son estacionarios las
estimaciones de variables no estacionarias son superconsistentes.

INTRODUCCIÓN A LAS SERIES NO ESTACIONARIAS

Una serie es estacionaria cuando su valor medio es estable. Por el contrario es no
estacionaria cuando sistemáticamente crece o disminuye en el tiempo.

Intuitivamente podemos entender que las relaciones entre variables no
estacionarias pueden estar sesgadas y, sin embargo, tener errores estándar muy bajos y
ajuste (R2) muy altos. Por ejemplo el número de libros editados en España ha crecido en
los últimos 20 años y la estatura media también. Una regresión de una sobre otra es
posible que arroje resultados significativos y un buen ajuste, sin embargo la relación
entre ambas no es directa, en este caso estaríamos ante lo que se denomina una
regresión espuria (Granger Newbold, 1974). En otras ocasiones podemos no conocer si
dos variables no estacionarias tienes relación la una sobre la otra (Por ejemplo salud y
descentralización) o que, teniendo alguna relación, en que grado la relación entre ambas
es correcta o espuria (por ejemplo crecimiento económico y crecimiento de la cantidad
de dinero).

Ejemplos de funciones que son no estacionarias son:

yt = yt-1 + ut donde: ut ~ N (a,s2). Este es un ejemplo de paseo aleatorio.

1

16

14
12

10

8

6

4

2
0
1

5

9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

49

53

57
yt = ao + yt-1 + ut donde: ut ~ N (0,s2); ao es la que recoge la tasa de crecimiento medio.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1

5

9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

49

53

57

yt = ao yt-1 + ut donde: ut ~ N (0,s2); Si 1 > ao > 1 entonces la serie es estacionaria. En
nuestro ejemplo ao > 1
25

20

15

10

5

0
1

5

9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

49

53

57

-5

Por ejemplo el siguiente gráfico muestra la represtación gráfica de la relación
entre dos paseos aleatorios

2

12 y = 1.2415x + 1.7051
2
R = 0.9252
10

8

6

4

2

0
0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tanto la variable x como y se han generado aleatoriamente con una perturbación
N(0.2, 0.08), pero aparentemente tienen un alto grado de correlación que, sin embargo,
es completamente espuria.

Algunas propuestas iniciales para solucionar este problema (Granger,Newbold
1977) fueron: ser más exigente con las t para la significación de las estimaciones o
convertir las series en estacionarias mediante ajustes tendenciales, mediante ajustes con
los residuos, vectores autoregresivos, etc. Sin embargo la primera solución es absurda
(ya que las t crecen con las observaciones de la muestra) y la segunda es insatisfactoria
porque puede ser arbitraria y hace perder información de las variables. Por ello los
mayores esfuerzos posteriores se han dedicado a intentar determinar los límites dentro
de los cuales una regresión es correcta o espuria.

Se dice de una serie temporal xt que es estacionaria si

E(xt) = cte ∀ t
Var (xt)= cte ∀ t
Cov (xt xt-k)=cte ∀ t ∀ k

PROCEDIMIENTO DE ESTIMACIÓN ANTE SERIES TEMPORALES
ESTACIONARIAS

El algoritmo de estimación es:

a) si las series son estacionarias
Se estima por los procedimientos habituales (MCO o GLM)
b) si las series son no estacionarias de orden distinto:
No puede estimarse la relación
c) si las series son no estacionarias del mismo orden no cointegradas
La regresión con las variables en estado es espuria. Se puede intentar
estacionalizar las series (mediante alguna operación, logaritmos o diferencias o ratios
con otras variables) o hacer una regresión por primeras diferencias (el resultado nos
indicará si la correlación existe o no.

3

d) si la series son no estacionarias pero están cointegradas
Se puede pasar la regresión habitual (MCO GLM) para estimar los efectos a
largo plazo y el modelo de corrección de errores para estimar los efectos a corto plazo.

El método de Engle y Granger tiene tres fases: a) estimación de la
estacionariedad de las series; b) pruebas de cointegración y c) método de corrección de
errores.

I) Pruebas de estacionariedad

a) visual (wntestb var y ac var)

Observar, en gráficas si la variable crece/decrece monótonamente, si los shocks
son persistentes o por el contrario no se puede establecer un patrón de comportamiento
definitivo. Visualizar el correlograma, el periodograma, etc. Estas pruebas no formales
no son definitivas.

El correlograma es una representación de la función de autocorrelación

cov( xt , xt + k )
ρk = ; ∀k = 1,...m
var( xt ) var( xt + k )

Un correlograma que desciende lentamente, como los anteriores, es típico de
variables no estacionarias. Un correlograma que desciende rápidamente o
cuasialeatorio, como los anteriores, es típico de variables estacionarias.

b) Dickey-Fuller (Dickey-Fuller, 1979, 1984; Said-Dickey 1984)

Es un test exigente. Tiene la ventaja de que la hipótesis nula no es si la serie es
ruido blanco, sino que busca si tiene una raíz unitaria, es decir si no existe relación entre
el incremento de cada valor y el inmediato anterior la serie es estacionaria (I(0)), si
existe dicha relación se dice que la serie tiene raíz unitaria (I(1)).

Tipos de relación lineal pueden ser (con origen, sin origen, con tendencia, etc.)
El test puede realizarse en tres versiones

dxt = r xt-1 + ut
dxt = ao + r xt-1 + ut
dxt = ao + r xt-1 + a1 t + ut

donde dxt = xt - xt-1, y, en los tres casos, pasamos el test Ho: r =0 contra H1: r ≠
0. Si no puede rechazarse la nula (p-valor > 0.05) la serie es estacionaria y tiene raíz 0
(I(0)) si se rechaza la nula (p-valor<0.05) la serie es estacionaria y tiene una raíz
unitaria (I(1)).

Es interesante notar que el estadístico de contraste para la r no son la t usual sino
que Dickey-Fuller (1979) y MacKinnon (1994) mediante simulaciones de Montecarlo,
construyeron unas tablas especiales en las que la t es superior.

4

En realidad dicha prueba sólo es correcta cuando la correlación de la variable a
testar no contiene retardo en la correlación, como esa posibilidad limita mucho sus
posibilidades de análisis los mismos autores propusieron una prueba aumentada que se
conoce como Dickey-Fuller aumentada (dfuller var), que es igual que la anterior con la
diferencia de que, en cada regresión, se incluyen retardos de la variable como
independientes. Es decir:
p
dxt = r xt-1 + ∑ bx
t =1
t −1 + ut
p
dxt = ao + r xt-1 + ∑ bx
t =1
t −1 + ut
p
dxt = ao + r xt-1 + a1 t + ∑ bx
t =1
t −1 + ut

Un problema es ahora el de determinar el numero de retardos (p) apropiados.
Según Verbeek, si es demasiado grande o demasiado pequeño puede provocar que
series no estacionarias aparezcan como estacionarias. Para ello se proponen varios
métodos: El criterio de información de Akaike (AIC) o el criterio de Schwarz Bayesian
(SBC) (en ambos caso se escoge el retardo con mayor valor). Otra opción es incluir
retardos, mediante prueba y error, hasta eliminar la correlación serial en las ut medida
con un estadístico usual como el de Durbin-Watson. En Stata está implementado un
sistema standar el de Dickey-Fuller GLS test (dfgls var). Este nos permite escoger entre
los retados aquel más conveniente. Si nos decidimos por este método el procedimiento
más correcto sería:
b1) pasar dfgls a la variable para obtener el número de retardos (lags) apropiado
b2) pasar dfuller a la variable con el número de retardos obtenido anteriormente.

b) Otros test interesantes son B de Bartlett (wntestb var), Q de Pormateau (wntestq var;
también conocido como test Ljung-Box)y Z de Phillips-Perron (pperron var)

La especificación de los dos primeros es:
n ˆ k
B = max Fk −
1≤ k ≤ q 2 q

donde Fk es función del periodograma acumulado de la serie definido en
términos de la función de densidad espectral y:

m
 ˆ2 
ρ
Q LB = n( n + 2 )∑  k  ~ χ m
n−k 
2

k =1  
En ambos casos las hipótesis del test son:

Ho: (p-valor >0.05)la serie es White noise = estacionaria
H1: (p-valor < 0.05)La serie es Random walk = no estacionaria.

El tercero (Phillips y Perron, 1988) calcula dos parámetros Zp y Zτ, que son:

5

1 n 2σ 2 ˆ 2
Z ρ = n (ρ n − 1) −
ˆ
2 sn
ˆ
2
(λn − γˆ 0 ,n )
γ 0 ,n ρ n − 1 1 ˆ 2 1 nσ
− (λn − γ 0 ,n )
ˆ ˆ ˆ
Zτ = ˆ
ˆ
λn σ
2
ˆ
2
2 ˆ
λn sn

Sus valores críticos y la significación se basan en la misma t modificada del test
Dickey-Fuller. Este test tiene dos ventajas sobre los anteriores:
a) la Ho consiste en que las serie es integrada de orden 1. Es decir con un p valor < 0.05
se rechaza la nula, lo que indica que la serie no es I(1)
b) se puede introducir rezagos (lags) en el test lo que lo hace insustituible en el caso que
el dfgls nos haya recomendado la introducción de los mismos.

Serie estacionaria, ruido blanco (withe noise) y raiz nula (I(0)) y por otra parte
serie no estacionaria, camino aleatorio (ramdom walk) y raíz unitaria (I(1)) no son
exactamente sinónimos entre sí, pero si aluden a distintas formas del comportamiento de
las variables (ciclos, tendencias, etc.) que pueden hacer que las variable pueden ser
útiles o completamente inútiles.

Todos los test descritos son ineficientes en el caso de cambio estructural (Perron,
1989). Es decir una serie estacionaria con cambio estructural puede aparecer como no
estacionaria y viceversa.

II) Pruebas de Cointegración

Supongamos que dos variables temporales xt e yt son estacionarias de orden 1 (es
decir son I(1)) (si son estacionarias en otros ordenes (I(2), I(3)...) o en dos ordenes
distintos el problema se complica). Se dice que dichas variables están cointegradas
cuando puede practicarse una regresión lineal o no lineal del siguiente tenor:

yt = a + bxt + ut

que generalmente tendrá un buen ajuste. Pero donde debe suceder que los
residuos, es decir ut = – a + yt + bxt sea I(0). Es decir, requisitos para definir la
cointegración son:

a) que dos variables sean estacionarias de orden 1
b) que exista una combinación lineal de ambas que sea estacionaria de orden 0

Cuando ambas condiciones se cumplen se dice que las variables están
cointegradas. Cointegración significa que existe una relación, a largo plazo, entre las
variables. En definitiva, si xt e yt están cointegradas significa que, aunque crezcan en el
tiempo (t), lo hacen de una forma completamente acompasada, de forma que el error
entre ambas no crece. Es decir, si en la regresión,

y= a + bx + u

ˆ
u es estacionaria (I(0)) entonces b no sólo es consistente sino superconsistente (es
ˆ
decir la estimación converge a su valor real de forma inversamente proporcional al
número de observaciones, en lugar de la raíz cuadrada del número de observaciones que

6

es el caso de las variables estacionarias (Engle, Granger, 1987)). En definitiva probar la
cointegración entre dos variables I(1) es igual que probar la estacionariedad de los
recursos.

Para testar la cointegración sólo hay que estimar los residuos del modelo de
regresión y pasar la prueba de Dickey-Fuller aumentada (dfuller var) a los residuos
estimados ( u ). Si se cumple la Ho entonces xt e yt están cointegradas y b es
ˆ ˆ
superconsistente.

III) Modelo de corrección de errores.

Como una extensión del modelo, si las variables están cointegradas se pueden
utilizar los residuos para corregir los errores y estimar también los efectos a corto plazo
de depvar sobre indepvar. El modelo a estimar se denomina de corrección de errores y
su especificación es:

yt – yt-1 = β (xt – xt-1) + γ (yt-1 – a – b xt-1) + εt

Donde γ (yt-1 – a – b xt-1) = γ (ut-1) es el mecanismo de corrección en que
ˆ ˆ
forzosamente γ<0, b es la influencia, a largo plazo de x sobre y, y β es la estimación
de la influencia, a corto plazo de x sobre y. El modelo también suele escribirse:

∆yt = β (∆xt) + γ (ut-1) + εt

7

Ejemplo:

Todas las variables se han transformado en sus correspondientes logaritmos naturales.

lnirpf: Logaritmo de la recaudación por el Impuesto sobre la Renta de las Personas
Físicas.
lnsoc: Logaritmo de la recaudación por el Impuesto sobre Sociedades.
lniva: Logaritmo de la recaudación por el Impuesto sobre el Valor Añadido.
lnremun: Logaritmo de la remuneración de asalariados.
lnrentas: Logaritmo de las rentas de la propiedad.
lneeb: Logaritmo del excedente de explotación bruto / Renta mixta bruta.
lntp: Logaritmo de la recaudación territorializada por el Impuesto sobre Transmisiones
Patrimoniales.
lncons_terr: Logaritmo del consumo final de las familias sobre el territorio económico.

Datos España desde 1986 hasta 2003 (INEbase y BADESPE)

Queremos estimar los siguientes modelos

modelo 1: lnirpft = β1o + β11 lnremumt + β12lnrentast + β12lneebt + β12lntpt + u1t
modelo 2: lnsoct = β2o + β11lneebt + u2t
modelo 3: lnivat = β3o + β31cons_terrt + u3t

MODELO 1
1 Pruebas de estacionariedad
1a) gráficos
line lnirpf lnremum lnrentas lntp lneeb year
14
12
10
8
6

1985 1990 1995 2000 2005
year

lnirpf lnremum
lnrentas lntp
lneeb

Correlogramas
ac var

8

1.00

1.00
0.50

0.50
Autocorrelations of lnremum
Autocorrelations of lnirpf
0.00

0.00
-0.50

-0.50
-1.00

-1.00
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
Lag Lag
Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands
1.00

1.00
0.50

0.50
Autocorrelations of lnrentas

Autocorrelations of lneeb
0.00

0.00
-0.50

-0.50
-1.00

-1.00

0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
Lag Lag
Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands

Parecen no estacionarias.

B) Pruebas Aumentadas de Dickey-Fuller (dfuller var_name, options lags())

Para determinar el número de retardos se utiliza la prueba DF-GLS test.
. dfgls lnirpf

DF-GLS for lnirpf Number of obs = 10
Maxlag = 7 chosen by Schwert criterion

DF-GLS tau 1% Critical 5% Critical 10% Critical
[lags] Test Statistic Value Value Value
------------------------------------------------------------------------------
7 -2.260 -3.770 -6.020 -4.383
6 -2.275 -3.770 -4.391 -3.191
5 -3.280 -3.770 -3.438 -2.535
4 -5.171 -3.770 -3.012 -2.292
3 -3.118 -3.770 -2.965 -2.340
2 -1.384 -3.770 -3.151 -2.558
1 -1.317 -3.770 -3.421 -2.823

Opt Lag (Ng-Perron seq t) = 4 with RMSE .0153774
Min SC = -7.363117 at lag 5 with RMSE .0126217
Min MAIC = -5.592253 at lag 1 with RMSE .037169

. dfgls lnremum

DF-GLS for lnremum Number of obs = 10

------------------------------------------------------------------------------
7 -1.085 -3.770 -6.020 -4.383
6 -1.292 -3.770 -4.391 -3.191
5 -1.408 -3.770 -3.438 -2.535
4 -1.476 -3.770 -3.012 -2.292

9

3 -1.594 -3.770 -2.965 -2.340
2 -1.572 -3.770 -3.151 -2.558
1 -1.780 -3.770 -3.421 -2.823

Opt Lag (Ng-Perron seq t) = 0 [use maxlag(0)]

. dfgls lnrentas

DF-GLS for lnrentas Number of obs = 10

------------------------------------------------------------------------------
7 -1.418 -3.770 -6.020 -4.383
6 -1.461 -3.770 -4.391 -3.191
5 -2.648 -3.770 -3.438 -2.535
4 -1.426 -3.770 -3.012 -2.292
3 -1.972 -3.770 -2.965 -2.340
2 -1.478 -3.770 -3.151 -2.558
1 -1.580 -3.770 -3.421 -2.823


DF-GLS for lntp Number of obs = 10

------------------------------------------------------------------------------
7 -0.654 -3.770 -6.020 -4.383
6 -1.876 -3.770 -4.391 -3.191
5 -2.399 -3.770 -3.438 -2.535
4 -1.430 -3.770 -3.012 -2.292
3 -1.689 -3.770 -2.965 -2.340
2 -1.312 -3.770 -3.151 -2.558
1 -1.586 -3.770 -3.421 -2.823


DF-GLS for lneeb Number of obs = 10

------------------------------------------------------------------------------
7 -1.343 -3.770 -6.020 -4.383
6 -1.758 -3.770 -4.391 -3.191
5 -2.247 -3.770 -3.438 -2.535
4 -2.411 -3.770 -3.012 -2.292
3 -2.331 -3.770 -2.965 -2.340
2 -2.092 -3.770 -3.151 -2.558
1 -2.087 -3.770 -3.421 -2.823


En el caso de lnirpf recomienda 4 retados, en el resto cero retardos. La prueba DF
aumentada queda

. dfuller lnirpf, lags(4)

Augmented Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = 13

10

---------- Interpolated Dickey-Fuller ---------
Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical
Statistic Value Value Value
------------------------------------------------------------------------------
Z(t) 0.933 -3.750 -3.000 -2.630
------------------------------------------------------------------------------
MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.9935

. dfuller lnremun, lags(0)

Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = 17

------------------------------------------------------------------------------
Z(t) -2.240 -3.750 -3.000 -2.630
------------------------------------------------------------------------------

. dfuller lnrentas, lags(0)


------------------------------------------------------------------------------
Z(t) -2.439 -3.750 -3.000 -2.630
------------------------------------------------------------------------------

. dfuller lntp, lags(0)


------------------------------------------------------------------------------
Z(t) -0.821 -3.750 -3.000 -2.630
------------------------------------------------------------------------------

. dfuller lneeb, lags(0)


------------------------------------------------------------------------------
Z(t) -1.925 -3.750 -3.000 -2.630
------------------------------------------------------------------------------

b) Otros test

Se pasan los test B de Bartlett y Q de Portmanteau (wntestb y wntestq)
wntestb var

11

Cumulative Periodogram White Noise Test

1.00
Cumulative periodogram for lnirpf
0.20 0.40 0.60
0.00 0.80

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Frequency
Bartlett's (B) statistic = 1.36 Prob > B = 0.0506

Cumulative Periodogram White Noise Test Cumulative Periodogram White Noise Test
1.00

1.00
Cumulative periodogram for lnremun

Cumulative periodogram for lnrentas
0.80

0.80
0.60

0.60
0.40

0.40
0.20

0.20
0.00

0.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Frequency Frequency
Bartlett's (B) statistic = 1.66 Prob > B = 0.0079 Bartlett's (B) statistic = 2.10 Prob > B = 0.0003

Cumulative Periodogram White Noise Test Cumulative Periodogram White Noise Test
1.00

1.00
Cumulative periodogram for lneeb
Cumulative periodogram for lntp
0.80

0.80
0.60

0.60
0.40

0.40
0.20

0.20
0.00

0.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Frequency Frequency
Bartlett's (B) statistic = 1.59 Prob > B = 0.0131 Bartlett's (B) statistic = 1.52 Prob > B = 0.0191

. wntestq lnirpf

Portmanteau test for white noise
---------------------------------------
Portmanteau (Q) statistic = 22.5712
Prob > chi2(7) = 0.0020

. wntestq lnremun

---------------------------------------
Prob > chi2(7) = 0.0000

. wntestq lnrentas

---------------------------------------
Prob > chi2(7) = 0.0008

. wntestq lntp

12

---------------------------------------
Prob > chi2(7) = 0.0001

. wntestq lneeb

---------------------------------------
Prob > chi2(7) = 0.0003

Cuadro resumen

test
variable DF retardos test Barlet diagnóstico
Portmanteau
0.933 1.36 22.57
lnirpf 4 I(1)
(0.994) (0.050) (0.002)
-2.240 1.66 32.94
lnremun 0 I(1)
(0.192) (0.008) (0.000)
-2.439 2.10 24.93
lnrentas 0 I(1)
(0.131) (0.000) (0.001)
-0.821 1.59 30.72
lntp 0 I(1)
(0.813) (0.013) (0.000)
-1.925 1.52 27.23
lneeb 0 I(1)
(0.321) (0.019) (0.000)

Todos los test coinciden. Todas las variables son I(1). El caso de lnirpf está en el
límite en el caso del test de Barlet, pero dada la rotundidad del resto de pruebas hemos e
concluir que también es I(1). A efectos de la significación (entre paréntesis) es necesario
tener en cuenta que la hipótesis nula de DF test es que la serie es integrada en orden uno
mientras que la de los test es que es ruido blanco.

PRUEBA DE COINTEGRACIÓN

Estimación a largo plazo y estimación de los residuos u1
. regress lnirpf lnremun lnrentas lntp lneeb

Source | SS df MS Number of obs = 18
-------------+------------------------------ F( 4, 13) = 428.63
Model | 3.3024046 4 .825601151 Prob > F = 0.0000
Residual | .02503956 13 .00192612 R-squared = 0.9925
-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9902
Total | 3.32744416 17 .19573201 Root MSE = .04389

------------------------------------------------------------------------------
lnirpf | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
lnremun | .3425318 .1979751 1.73 0.107 -.0851675 .770231
lnrentas | .3603197 .056176 6.41 0.000 .2389588 .4816806
lntp | .1363144 .1040068 1.31 0.213 -.0883785 .3610074
lneeb | .5506441 .2543343 2.17 0.050 .0011882 1.1001
_cons | -4.784673 1.175606 -4.07 0.001 -7.324414 -2.244931
------------------------------------------------------------------------------

. predict u1, residuals

13

Se comprueba la estacionariedad de los residuos. Gráficamente parecen
estacionarios Por orden Gráfico de líneas, Correlograma y Periodograma)
. line u1 year

. ac u1

. wntestb u1
.1

0.50
.05

Autocorrelations of u1
Residuals

0.00
0 -.05

-0.50
-.1

0 2 4 6 8
1985 1990 1995 2000 2005 Lag
year Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands

1.00 0.80
Cumulative periodogram for u1
0.20 0.40 0.60
0.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Frequency

Parece evidente la ausencia de estacionariedad en los residuos. Los test formales:

. dfgls u1

DF-GLS for u1 Number of obs = 10

------------------------------------------------------------------------------
7 -0.094 -3.770 -6.020 -4.383
6 -0.784 -3.770 -4.391 -3.191
5 -1.310 -3.770 -3.438 -2.535
4 -2.388 -3.770 -3.012 -2.292
3 -1.896 -3.770 -2.965 -2.340
2 -1.781 -3.770 -3.151 -2.558
1 -2.265 -3.770 -3.421 -2.823


. dfgls u1



14

------------------------------------------------------------------------------
7 -0.094 -3.770 -6.020 -4.383
6 -0.784 -3.770 -4.391 -3.191
5 -1.310 -3.770 -3.438 -2.535
4 -2.388 -3.770 -3.012 -2.292
3 -1.896 -3.770 -2.965 -2.340
2 -1.781 -3.770 -3.151 -2.558
1 -2.265 -3.770 -3.421 -2.823


. dfuller u1, lags(0)


------------------------------------------------------------------------------
Z(t) -4.097 -3.750 -3.000 -2.630
------------------------------------------------------------------------------

. wntestb u1

. wntestq u1

---------------------------------------
Prob > chi2(7) = 0.3904

Sugieren, en primer lugar que el número de retardos sea de cero. El cuadro
resumen:

test
Portmanteau
4.097 0.4 7.38
u1 0 I(0)
(0.001) (0.997) (0.390)

En este primer modelo todos los test coinciden, los residuos son ruido blanco o
I(0), por lo tanto las variables están cointegradas y las estimaciones resultantes son
superconsistentes.

MODELO DE CORRECCIÓN DE ERRORES

También se pueden estimar las relaciones a corto plazo. Para ello usaremos la
regresión auxiliar correspondiente. El resultado es:

. regress dlnirpf dlnremum dlnrentas dlntp dlneeb u1t1

-------------+------------------------------ F( 5, 11) = 14.02
Model | .099018866 5 .019803773 Prob > F = 0.0002
-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.8028
Total | .114552939 16 .007159559 Root MSE = .03758

------------------------------------------------------------------------------
dlnirpf | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
dlnremum | .6396547 .3155149 2.03 0.068 -.0547889 1.334098
dlnrentas | .3724583 .1048175 3.55 0.005 .1417565 .60316
dlntp | .227702 .1017538 2.24 0.047 .0037434 .4516606

15

dlneeb | .2339523 .3611132 0.65 0.530 -.5608525 1.028757
u1t1 | -1.000077 .2529111 -3.95 0.002 -1.556731 -.4434235
_cons | -.012096 .0464382 -0.26 0.799 -.1143057 .0901137
------------------------------------------------------------------------------

En nuestro caso dicho mecanismo es significativo. La relación a corto plazo
difiere un tanto de la relación a largo plazo y su grado de ajuste (que ahora es el correcto
exento de la tendencia temporal) es del 80.28%. No debemos ser muy exigentes con la
significación de las variables incluidas en el modelo debido a la falta de grados de
libertad, pero parece que, a corto plazo el excedente de explotación es el componente
que menos aporta a la recaudación por IRPF.

MODELO 2
1a) gráficos
. line lnirpf lnremum lnrentas lntp lneeb year

. ac var
1.00
12

0.50
11

Autocorrelations of lnsoc
10

0.00
9

-0.50
8

-1.00

1985 1990 1995 2000 2005
year 0 2 4 6 8
Lag
lnsoc lneeb
Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands
1.00 0.50
Autocorrelations of lneeb
-0.50 0.00
-1.00

0 2 4 6 8
Lag

Visualmente parece que hay evidencia que son no estacionarias.


. dfgls lnsoc

DF-GLS for lnsoc Number of obs = 10

------------------------------------------------------------------------------

16

7 -0.902 -3.770 -6.020 -4.383
6 -0.662 -3.770 -4.391 -3.191
5 -1.920 -3.770 -3.438 -2.535
4 -1.599 -3.770 -3.012 -2.292
3 -2.570 -3.770 -2.965 -2.340
2 -1.974 -3.770 -3.151 -2.558
1 -1.675 -3.770 -3.421 -2.823


. dfgls lneeb

DF-GLS for lneeb Number of obs = 10

------------------------------------------------------------------------------
7 -1.343 -3.770 -6.020 -4.383
6 -1.758 -3.770 -4.391 -3.191
5 -2.247 -3.770 -3.438 -2.535
4 -2.411 -3.770 -3.012 -2.292
3 -2.331 -3.770 -2.965 -2.340
2 -2.092 -3.770 -3.151 -2.558
1 -2.087 -3.770 -3.421 -2.823


. dfuller lnsoc, lags(0)


------------------------------------------------------------------------------
Z(t) -1.315 -3.750 -3.000 -2.630
------------------------------------------------------------------------------

. dfuller lneeb, lags(0)


------------------------------------------------------------------------------
Z(t) -1.925 -3.750 -3.000 -2.630
------------------------------------------------------------------------------

. wntestb lnsoc
1.00
Cumulative periodogram for lnsoc
0.20 0.40 0.60
0.00 0.80

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Frequency

. wntestb lneeb

17


1.00
Cumulative periodogram for lneeb
0.20 0.40 0.60
0.00 0.80

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Frequency

. wntestq lnsoc

---------------------------------------
Prob > chi2(7) = 0.0024

. wntestq lneeb

---------------------------------------
Prob > chi2(7) = 0.0003

Cuadro resumen

test
Portmanteau
-1.315 1.44 22.16
lnsoc 0 I(1)
(0.622) (0.031) (0.002)
-1.925 1.52 27.23
lneeb 0 I(1)
(0.321) (0.019) (0.000)

Todos los test coinciden. Todas las variables son I(1). En el caso de lnsoc, el test
de Barlet está en el límite, pero dada la rotundidad del resto de pruebas hemos e
concluir que también es I(1). A efectos de la significación (entre paréntesis) es necesario
tener en cuenta que la hipótesis nula de DF test es que la serie es integrada en orden uno
mientras que la de los test es que es ruido blanco.


. regress lnsoc lneeb

-------------+------------------------------ F( 1, 16) = 104.60
Model | 4.69320111 1 4.69320111 Prob > F = 0.0000
-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.8590
Total | 5.41110953 17 .31830056 Root MSE = .21182

------------------------------------------------------------------------------
lnsoc | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
lneeb | 1.635002 .1598668 10.23 0.000 1.2961 1.973905
_cons | -9.635709 1.833375 -5.26 0.000 -13.52229 -5.749126
------------------------------------------------------------------------------

18


Se comprueba la estacionariedad de los residuos. Gráficamente parecen no
.4
.2
Residuals
0 -.2
-.4

1985 1990 1995 2000 2005
year
1.00

1.00
0.50

0.80

0.60
0.00

0.40
-0.50

0.20
-1.00

0.00

0 2 4 6 8 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Lag Frequency
Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands Bartlett's (B) statistic = 1.96 Prob > B = 0.0009

Los test formales:

. dfgls u2


------------------------------------------------------------------------------
7 -1.062 -3.770 -6.020 -4.383
6 -1.303 -3.770 -4.391 -3.191
5 -1.173 -3.770 -3.438 -2.535
4 -1.379 -3.770 -3.012 -2.292
3 -3.615 -3.770 -2.965 -2.340
2 -2.796 -3.770 -3.151 -2.558
1 -1.843 -3.770 -3.421 -2.823




------------------------------------------------------------------------------
Z(t) -2.800 -3.750 -3.000 -2.630
------------------------------------------------------------------------------

19

. wntestq u2

---------------------------------------
Prob > chi2(7) = 0.0000

Sugieren, en primer lugar que el número de retardos sea de 2. El cuadro
resumen:

test
Portmanteau
-2.800 1.96 35.54
u2 2 I(1)
(0.058) (0.009) (0.000)

Tras el análisis quedan muchas sombras acerca de la estacionariedad de los
residuos. Mientras que para el test DF (el más consistente) la estacionariedad es casi
alcanzada para los otros dos test está claro la no estacionariedad . Quizá deban incluirse
más variables en el modelo o exista algún tipo de cambio estructural (provocado por el
cambio en la legislación) que hace que los test fallen ante lo que parece una evidencia
de que la recaudación por el impuesto sobre sociedades debe depender del excedente de
explotación.



. regress dlnsoc dlneeb u2t1

-------------+------------------------------ F( 2, 14) = 0.54
Model | .026027168 2 .013013584 Prob > F = 0.5921
-------------+------------------------------ Adj R-squared = -0.0604
Total | .360823518 16 .02255147 Root MSE = .15464

------------------------------------------------------------------------------
dlnsoc | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
dlneeb | .9440714 1.085129 0.87 0.399 -1.383298 3.271441
u2t1 | -.2050166 .2157877 -0.95 0.358 -.6678352 .2578019
_cons | .050891 .0827027 0.62 0.548 -.1264886 .2282707
------------------------------------------------------------------------------

Como cabía esperar, en este caso dicho mecanismo, aunque negativo, no es
significativo. La relación a corto plazo tampoco es significativa y el ajuste general muy
bajo.

Sin embargo, si se estima la relación lineal, en cortes transversales, año a año,
del modelo

lnsocr = a + b · lneebr + ur

donde lnsocr es la recaudación territorializada por el impuesto sobre sociedades
de la CCAA r, lneebr es el excedente de explotación/renta bruta mixta, ur son los

20

residuos normales y a y b parámetros a estimar. La R2 del modelo y la significación del
ˆ
parámetro b no dejan lugar a dudas de la relación entre ambas. Los resultados son:

año Coef. P>t R2
1986 1.314 0.000 0.679
1987 1.328 0.000 0.717
1988 1.359 0.000 0.728
1989 1.325 0.000 0.643
1990 1.270 0.000 0.678
1991 1.259 0.000 0.724
1992 1.206 0.000 0.630
1993 1.285 0.000 0.685
1994 1.219 0.000 0.764
1995 1.210 0.000 0.756
1996 1.274 0.000 0.778
1997 1.336 0.000 0.743
1998 1.355 0.000 0.781
1999 1.272 0.000 0.790
2000 1.208 0.000 0.788
2001 1.218 0.000 0.706
2002 1.182 0.000 0.771
2003 1.234 0.000 0.806

La existencia de una relación no espuria entre ambas parece quedar fuera de toda
duda por lo que una explicación plausible a los resultados de los test es la existencia de
un cambio estructural en las series (previsiblemente de recaudación) que invalida los
test.

MODELO 3

. line lniva lncons_terr year

. ac var
1.00
13

0.50
12

Autocorrelations of lniva
11

0.00
10

-0.50
9

-1.00

1985 1990 1995 2000 2005
year 0 2 4 6 8
Lag
lniva lncons_terr

21

1.00
Autocorrelations of lncons_terr
-0.50 0.00
-1.00 0.50

0 2 4 6 8
Lag

Visualmente parece que hay evidencia que son no estacionarias.



. dfgls lniva

DF-GLS for lniva Number of obs = 10

------------------------------------------------------------------------------
7 -0.452 -3.770 -6.020 -4.383
6 -0.620 -3.770 -4.391 -3.191
5 -2.112 -3.770 -3.438 -2.535
4 -1.779 -3.770 -3.012 -2.292
3 -2.272 -3.770 -2.965 -2.340
2 -1.537 -3.770 -3.151 -2.558
1 -1.583 -3.770 -3.421 -2.823


. dfgls lncons_terr

DF-GLS for lncons_terr Number of obs = 10

------------------------------------------------------------------------------
7 -0.357 -3.770 -6.020 -4.383
6 -0.183 -3.770 -4.391 -3.191
5 -0.154 -3.770 -3.438 -2.535
4 -0.542 -3.770 -3.012 -2.292
3 -0.401 -3.770 -2.965 -2.340
2 -0.282 -3.770 -3.151 -2.558
1 -0.254 -3.770 -3.421 -2.823


Para lniva se recomiendan cero retardos, para lncons_terr se recomiendan 1 retardo

. dfuller lniva, lags(0)



22

------------------------------------------------------------------------------
Z(t) -1.645 -3.750 -3.000 -2.630
------------------------------------------------------------------------------

. dfuller lncons_terr, lags(1)


------------------------------------------------------------------------------
Z(t) -0.819 -3.750 -3.000 -2.630
------------------------------------------------------------------------------

. wntestb lniva
1.00
Cumulative periodogram for lniva
0.20 0.40 0.60
0.00 0.80

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Frequency

. wntestb lncons_terr
1.00
Cumulative periodogram for lncons_terr
0.20 0.40 0.60
0.00 0.80

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Frequency

. wntestq lniva

---------------------------------------
Prob > chi2(7) = 0.0001

. wntestq lncons_terr

---------------------------------------
Prob > chi2(7) = 0.0000

Cuadro resumen

23

test
Portmanteau
-1.645 1.53 29.52
lniva 0 I(1)
(0.460) (0.018) (0.000)
-0.819 1.64 32.35
lncons_terr 1 I(1)
(0.813) (0.009) (0.000)

Todos los test coinciden. Ambas variables son no estacionarias I(1).



. regress lniva lncons_terr

-------------+------------------------------ F( 1, 16) = 1069.60
Model | 3.38880259 1 3.38880259 Prob > F = 0.0000
-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9843
Total | 3.43949505 17 .202323238 Root MSE = .05629

------------------------------------------------------------------------------
lniva | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
lncons_terr | 1.182991 .0361718 32.70 0.000 1.10631 1.259671
_cons | -4.840681 .4512371 -10.73 0.000 -5.797261 -3.884101
------------------------------------------------------------------------------


Se comprueba la estacionariedad de los residuos. Gráficamente parecen no
1.00
.1

0.50
.05

Residuals

0.00
0

-0.50
-.05

-1.00
-.1

0 2 4 6 8
1985 1990 1995 2000 2005 Lag
year Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands

1.00 0.80
0.20 0.40 0.60
0.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Frequency

24

Los test formales:

. dfgls u3


------------------------------------------------------------------------------
7 -0.567 -3.770 -6.020 -4.383
6 -1.151 -3.770 -4.391 -3.191
5 -2.816 -3.770 -3.438 -2.535
4 -1.898 -3.770 -3.012 -2.292
3 -2.388 -3.770 -2.965 -2.340
2 -1.661 -3.770 -3.151 -2.558
1 -1.783 -3.770 -3.421 -2.823




------------------------------------------------------------------------------
Z(t) -2.653 -3.750 -3.000 -2.630
------------------------------------------------------------------------------

. wntestq u3

---------------------------------------
Prob > chi2(7) = 0.0044

test
Portmanteau
-2.653 1.28 20.62
u3 0 I(0)
(0.083) (0.077) (0.004)

Tras el análisis quedan algunas sombras acerca de la estacionariedad de los
residuos. Para los test DF y B de Barlet la estacionariedad es casi alcanzada (también
para el test pperron que se ha efectuado - Zρ=11,57 y Zτ=2.76; p-valor 0.06) sin
embargo para el test Pormanteau está clara la no estacionariedad.



. regress dlniva dlncons_terr u3t1

-------------+------------------------------ F( 2, 14) = 19.13
Model | .059820026 2 .029910013 Prob > F = 0.0001

25

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6939
Total | .08170588 16 .005106618 Root MSE = .03954

------------------------------------------------------------------------------
dlniva | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
dlncons_terr | 2.784293 .5051581 5.51 0.000 1.700837 3.867749
u3t1 | -.6977856 .1804603 -3.87 0.002 -1.084835 -.3107367
_cons | -.1133794 .0384137 -2.95 0.011 -.1957685 -.0309902
------------------------------------------------------------------------------

Las dos variables son significativas y, en el caso de los residuos, también el
coeficiente estimado es negativo. Por su parte el ajuste general es bueno (R2=69.39%)
ambos resultados pueden interpretarse como que, efectivamente ambas variables están
cointegradas. Como puede observarse la elasticidad entre recaudación por IVA y
consumo territorializado difiere un tanto a largo (1.2) y a corto plazo (2.8).

Bibliografía

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Time Series with a Unit Root,” Journal of the American Statistical Association, 74, pp.
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econometrics # 2. Págs 111-120.
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Quantitative Economics, Vol III. pp. 337-360
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cointegration test”. journal of Bussines and Economics Statistics. vol 12. pp. 167-176.
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Phillips PCB y Perron P (1988): “Testing for a unit root in times series regresion”.
Biometrika, 75, 335-346.

26

Variables no estacionarias y cointegración: análisis de series temporales

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