Este documento explica los conceptos básicos de la estructura cristalina, incluyendo el número de átomos en una celda unidad, el grado de compacidad, y la nomenclatura utilizada para nombrar las posiciones atómicas, planos y direcciones en una red cristalina a través de los índices de Miller. También discute las estructuras cristalinas cúbicas más comunes y la necesidad de usar un sistema de indexación diferente para los cristales hexagonales.

1. Estructura cristalina: Índices de Miller 1
¿Cuántos átomos hay en una celda unidad?
Vértices
1/8
Caras
1/2
Número total de átomos en la celda unidad:
8 en los vértices: 8 x 1/8 = 1
6 en las caras: 6 x 1/2 = 3
Total: 4 átomos
¿Y en términos de grado de compacidad?
4
Volumen de átomos= 4 × πr 3
3
Volumen de la celda= (2 2r )
3
Fracción de empaquetamiento 0.74
Paloma Fernández Sánchez
Departamento de Física de Materiales, Físicas, UCM

2. Estructura cristalina: Índices de Miller 2
Pero ya decíamos que no todas las estructuras cristalinas presentan empaquetamiento
compacto; en algunos casos los requerimientos del tipo de enlace en el material en cuestión
son incompatibles con este tipo de empaquetamiento por lo que se obtienen estructuras más
abiertas, menos compactas. En la figura siguiente se muestran los factores de
empaquetamiento de las estructuras cristalinas cúbicas más frecuentes, incluyendo la
centrada en caras de la que ya hemos hablado.
1 átomo
por celda
2 átomos 4 átomos
por celda por celda
Paloma Fernández Sánchez
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3. Estructura cristalina: Índices de Miller 3
Antes de pasar a ver algunas de las estructuras cristalinas reales más frecuentes, tenemos
que estudiar la nomenclatura habitual para nombrar tanto a las posiciones de los puntos de
red dentro de la celda, como los diferentes planos y direcciones característicos de una red
cristalina (planos atómicos y direcciones cristalográficas).
Red Vectores OD
2D de la red
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4. Estructura cristalina: Índices de Miller 4
La secuencia para determinar los índices de una dirección o un plano en tres dimensiones
sería la siguiente:
DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
1.- Se traza un vector paralelo a la dirección que se quiere indexar, que pase por el
origen de coordenadas del sistema.
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5. Estructura cristalina: Índices de Miller 5
2.- Se determina la longitud de la proyección de ese vector sobre cada uno de los ejes en
función de las dimensiones de la celda unidad
3.- Estos tres números se multiplican o dividen por un factor común para reducirlos
al menor entero posible. Una vez calculados los índices, la recta se representa por estos tres
enteros encerrados entre corchetes y sin comas entre ellos [uvw]. u, v y w corresponden a
las proyecciones reducidas a lo largo de los ejes x, y , z respectivamente. Por supuesto los
índices pueden ser negativo, cuando éste el caso se indica colocando una línea sobre el
índice.
[112] [0 2 1]
[111] [210]
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6. Estructura cristalina: Índices de Miller 6
Veamos ahora como se describen los planos cristalográficos. Como hacíamos para
las direcciones cristalográficas podemos establecer un secuencia para ver cuáles son los
índices de Miller de un plano determinado.
1.- De todos los planos paralelos a aquél del que se quieren determinar los índices,
se elige el que esté más próximo al origen sin cruzarlo. El plano en cuestión, o bien corta o
bien es paralelo (corta en el infinito) a cada uno de los ejes cristalográficos.
2.- Se determinan los puntos de corte con los ejes en función de los vectores de la red.
Se multiplican o dividen por un factor común los
recíprocos de los cortes con los ejes que se han
determinado. Estos serán los tres números enteros a los
que denominamos índices de Miller y que, como en el
caso de las direcciones cristalográficas, representamos
entre paréntesis y sin separar por comas.
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7. Estructura cristalina: Índices de Miller 7
(221)
(212)
(11 1 )
( 1 11)
Finalmente la posición de un átomo en la celda se determina por las componentes de su
vector de posición respecto al origen expresadas en términos de los módulos de los vectores
de la celda.
½c
½b
½a
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8. Estructura cristalina: Índices de Miller 8
En la mayor parte de las estructuras cristalinas se pueden encontrar direcciones no
paralelas, y por tanto con diferentes índices, que sin embargo son equivalentes. Esta
equivalencia se refiere al hecho de que las distancias interatómicas a lo largo de esas
direcciones son idénticas. Esto ocurre por ejemplo en cristales cúbicos con las siguientes
direcciones: [100], [010], [001], [ 1 00], [0 1 0] y [00 1 ]. En el caso del sistema cúbico son
equivalentes todas las direcciones que tienen índices con idénticos valores absolutos, sin
importar el orden pero no ocurre lo mismo en todos los sistemas cristalinos. Por ejemplo en
el sistema tetragonal las direcciones [100] y [010] son equivalentes, mientras que las
direcciones [100] y [001] no lo son. A efectos de simplificar la nomenclatura, resulta
conveniente agrupar todas las direcciones equivalentes en una familia que se representa por
los índices de una de las direcciones encerradas en paréntesis angulares, <100> para el
ejemplo anterior.
De la misma forma, podemos encontrar planos cristalográficos equivalentes con
índices de Miller distintos. En este caso la equivalencia se refiere al la disposición de los
átomos dentro del plano. Recurriendo de nuevo al sistema cúbico vemos que los planos
(111), ( 1 11), (1 1 1), (11 1 ), ( 1 1 1), ( 1 1 1 ), (1 1 1 ) y ( 1 1 1 ) son equivalentes, y se dice
de ellos que pertenecen a la misma familia, lo que se denota como {111}. Como ocurría
para las direcciones cristalográficas, sólo en el caso del sistema cúbico se puede afirmar
que todos los planos con los mismos índices en valor absoluto y un orden cualquiera son
equivalentes.
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9. Estructura cristalina: Índices de Miller 9
Los cristales hexagonales tienen una peculiaridad que hace que sea conveniente
recurrir a un sistema de indexación ligeramente distinto, conocido como de Miller-Bravais.
En este sistema en lugar de los tres índices (hkl), se utilizan cuatro índices (hkil). Veamos
por qué se usan y cómo se determinan estos índices.
Las tres caras mostradas en la celda unidad
hexagonal son planos pertenecientes a la
misma familia, sin embargo con el sistema
de ejes elegidos esta equivalencia no es en
absoluto obvia a la vista de los índices de
Miller.
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10. Estructura cristalina: Índices de Miller 10
Introduzcamos un cuarto eje, que denotamos u, tal como se muestra en la figura
Este cuarto eje es en realidad una combinación lineal de
los ejes x e y puesto que los tres están en el mismo plano.
El índice asociado a este nuevo eje se puede expresar en
términos de los índices de Miller h y k de manera que i=-
(h+k). Si ahora reasignamos índices a los planos
señalados...
...hemos resuelto el problema de notación, puesto que
ahora los tres planos cristalográficos si se expresan
mediante índices fácilmente asociables a la misma familia.
(0001)
(10 1 1)
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11. Estructura cristalina: Índices de Miller 11
El sistema de Miller-Bravais también se utiliza para asignar índices a las direccines
cristalográficas en el sistema hexagonal.
Reasignamos índices
a los ejes x, y, z
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