Funciones matematicas05

FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES
Marcelo Romo Proaño, M.Sc.
Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador
253
Capítulo V
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES A LA
ADMINISTRACIÓN
5.1 INTRODUCCIÓN:
Muchos problemas relacionados con la administración, la economía y las ciencias
afines, además de la vida real, requieren la utilización de funciones lineales y otros tipos
de funciones para su modelamiento, su comprensión, y fundamentalmente para la toma
de decisiones.
En muchas ocasiones, la sola comparación entre las funciones tipo y el comportamiento
de las variables en un problema administrativo, económico o similar permite obtener los
modelos más apropiados.
El crecimiento poblacional, la propagación de una epidemia y las áreas afectadas por un
derrame petrolero contaminante en el mar crecen aproximadamente como lo hacen las
funciones exponenciales de potencia positiva. Un producto de reciente introducción, al
inicio, incrementa su mercado también en forma similar.
El impacto sobre la economía de un país de un alza de salarios mínimos decrece como
una función exponencial de potencia negativa.

254
Cuando se rotan 45º las ecuaciones clásicas de las hipérbolas se consiguen funciones
amortiguadas similares a la función exponencial de potencia negativa, con tendencias
asintóticas tanto horizontales como verticales.
El crecimiento de las ventas de un producto que ya ha logrado un nicho de mercado, la
variación poblacional de una universidad que ya lleva algunos años de funcionamiento,
la clientela consolidada de un banco probablemente deba modelarse mediante una
función logarítmica.

255
A veces una sola función no es suficiente para modelar el comportamiento de una
variable económica o financiera, por lo que puede requerirse operar con dos o más
funciones simultáneamente (sumándolas o multiplicándolas, por ejemplo). Las
fluctuaciones mensuales de las ventas de un almacén podrían requerir la combinación de
una función lineal que refleje el crecimiento anual o a largo plazo, más una función
sinusoidal o cosenoidalque refleje las variaciones a corto plazo.

256
5.2 MODELOS MATEMÁTICOS PARA RESOLVER PROBLEMAS
DE LA ADMINISTRACIÓN:
Problema Resuelto 1:
El promedio de clientes mensuales de un local de venta de comida rápida, que empezó a
funcionar en 1999, ha variado de acuerdo a la siguiente tabla de datos.
Año Promedio
Clientes
Mensuales
1999 650
2000 1120
2001 1414
2002 1612
2003 1730
2004 1810
Encontrar una función que describa aproximadamente el comportamiento de la
clientela, y en base a ella estimar la clientela mensual promedio esperada para los años
2005, 2006 y 2007.
Solución:
Se dibujan los puntos en un diagrama de coordenadas cartesianas.
Se traza una curva que se aproxime a los puntos dibujados y que revele una geometría
de tendencia.

257
Si se compara la curva obtenida con las curvas tipo que se han estudiado previamente,
se encuentra una gran similitud con las funciones logarítmicas, pero los valores en el eje
de las “x” requieren ser corregidos mediante la introducción de una variable que corra
paralela pero que esté desfasada. Una primera aproximación podría consistir en que el
año “1997” coincida con el “0”, el año “1998” coincida con el “1”, el año “1999”
coincida con el “2”, etc.
La forma general de la ecuación de ajuste podría tener la siguiente forma:
)x.Bln(.Ay =

258
Mediante una hoja electrónica se pueden probar diversos valores de “A” y “B”, lo que
nos proporcionaría gráficos como los siguientes:
Del gráfico se deduce que una de las funciones que mejor se ajusta a los datos es:
)x75.2ln(.655y =
El número de clientes esperado para los años “7” (2005), “8” (2006) y “9” (2007) son
respectivamente “1937”, “2025” y “2102”. El gráfico correspondiente es:

259
Es importante notar que los datos reales se acercan mucho a la curva propuesta, pero no
coinciden exactamente, pues los procesos reales no responden milimétricamente a
ecuaciones específicas.
Una pequeña empresa tiene costos mensuales de producción de basureros de plástico
definidos por la siguiente expresión:
N2.2750C +=
Donde:
C: Costo mensual de funcionamiento de la empresa (se mide en dólares)
N: Número de basureros fabricados en el mes
Encontrar una función que describa el costo unitario de los basureros en función de la
producción mensual, y representarlo gráficamente.
Solución:
De la función de costos totales se deduce directamente que los Costos Fijos de la
empresa son de US 750 mensuales, y los costos variables son de US$ 2.20 por cada
basurero.
Para conocer la función de costo unitario se debe dividir el costo total para el número de
basureros fabricados en el mes.
N
N2.2750
CU
+
= Función de Costo Unitario
Para representar gráficamente la función se prepara una tabla con valores de “N” y
“CU”.
Número de
Basureros
Fabricados
(N)
Costo
Unitario
(CU)
0 ∞
100 9.70
200 5.95
300 4.70
400 4.075
500 3.70
1000 2.95
2000 2.575
El gráfico correspondiente es:

260
El precio unitario de fabricación de robots para el hogar, en una empresa, se describe
mediante la siguiente función:
870e15300CU N015.0
+= −
Donde:
CU: Costo Unitario de Fabricación de los robots, en dólares
N: Número de robots fabricados en cada año, que no puede ser menor que 50 para
validar la función
El precio unitario de venta de los robots depende del número de unidades que se ponen
en el mercado en cada año, y responde a la siguiente expresión:
420e4100PUV N004.0
+= −
Donde:
PUV: Precio Unitario de Venta de los robots, en dólares
N: Número de robots fabricados en cada año
Primera Parte:
Dibujar en un único gráfico las 2 funciones, de modo que pueda realizarse un análisis
comparativo.
Segunda Parte:
Tomando como base el gráfico de la Primera Parte, definir los rangos de producción que
generan utilidades y los que generan pérdidas.
Tercera Parte:
Encontrar la función que define la utilidad total de la empresa para los rangos
apropiados y encontrar cuál es la producción que genera la mayor ganancia por unidad
vendida y cual es la producción que produce la mayor ganancia total.

261
SoluciónPrimera Parte:
Se puede preparar una tabla, con el auxilio de una hoja electrónica, con distintos valores
de Número de Robots fabricados y comercializados, y se evalúan las 2 funciones.
N
(# Robots)
Costo Unitario
de Fabricación
(US$)
Precio Unitario
de Venta
(US$)
50 8097,21 3776,80
100 4283,89 3168,31
150 2482,61 2670,13
200 1631,74 2262,25
250 1229,82 1928,31
300 1039,97 1654,90
350 950,29 1431,05
400 907,92 1247,78
450 887,91 1097,73
500 878,46 974,87
550 874,00 874,29
600 871,89 791,94
650 870,89 724,52
700 870,42 669,32
El grafico correspondiente es:
Solución Segunda Parte:
De la observación directa del gráfico anterior, que contiene una función de oferta y una
función de demanda, se concluye que existen tres rangos con comportamiento
claramente diferenciado.
Ø Para una producción inferior a unos 140 robots anuales, los costos de fabricación
son demasiado altos comparados con el precio de venta, debido a que la
eficiencia de producción es muy baja, por lo que se producen pérdidas
económicas en el negocio.
Ø Para una producción comprendida entre 140 y 550 robots anuales, los costos de
fabricación son inferiores al precio de venta correspondiente, ya que se ha

262
mejorado la productividad y el precio de venta no ha disminuido demasiado a
causa de la mayor oferta, por lo que se producen ganancias.
Ø Por último, para una producción superior a 550 robots anuales, en que se inunda
el mercado con robots, la mejora que se obtiene en la productividad no
compensa la disminución de costos provocada por la sobreoferta del artículo, por
lo que nuevamente los costos de fabricación son más altos que los precios de
venta y el negocio genera pérdidas.
Para ajustar esos valores estimados de 140 y 550 robots anuales, se introducen nuevos
valores en la tabla de datos (135, 139, 145, 545, 555).
N
(# Robots)
Costo Unitario
de Fabricación
(US$)
Precio Unitario
de Venta
(US$)
50 8097 3777
100 4284 3168
135 2890 2809
139 2772 2771
145 2608 2716
150 2483 2670
200 1632 2262
250 1230 1928
300 1040 1655
350 950 1431
400 908 1248
450 888 1098
500 878 975
545 874 883
550 874 874
555 874 865
600 872 792
650 871 725
700 870 669
750 870 624
El rango de producción que vuelve rentable el negocio está entre 139 y 550 robots
anuales (se obtuvieron estos valores más exactos por tanteo en la hoja electrónica),
mientras que la producción inferior a 139 genera pérdidas por falta de productividad, y
una producción superior a 550 robots anuales también provoca pérdidas pero por efecto
de una sobreoferta.
Solución Tercera Parte:
La utilidad unitaria (o la pérdida unitaria) en función del número de robots producidos
se obtiene restando el precio unitario de venta menos el costo unitario de fabricación.
CUPUVUU −= Función Genérica de Utilidad Unitaria
Donde:
UU: Utilidad Unitaria (por cada robot fabricado y vendido)

263
PUV: Precio Unitario de Venta
CU: Costo Unitario de Fabricación
Reemplazando las funciones que describen el Precio Unitario de Venta y el Costo
Unitario de Fabricación se tiene:
( ) ( )870e15300420e4100UU N015.0N004.0
+−+= −−
Simplificando:
870e15300420e4100UU N015.0N004.0
−−+= −−
450e15300e4100UU N015.0N004.0
−−= −−
Función de la Utilidad Unitaria
La tabla correspondiente es:
N
(# Robots)
Utilidad
Unitaria
(US$)
50 -4320
100 -1116
135 -80
139 -1
145 107
150 188
200 631
250 698
300 615
350 481
400 340
450 210
500 96
545 9
550 0
555 -8
600 -80
650 -146
700 -201
750 -246
Se representa gráficamente la función anterior (la tabla anterior):

264
La zona sombreada representa el rango de producción y comercialización que genera
utilidades, rango que está comprendido entre 139 y 550 robots anuales. La mayor
ordenada del gráfico corresponde a la producción que produce la mayor ganancia por
unidad producida y vendida. Del gráfico se deduce que alrededor de los 250 robots
producidos en cada año se tiene una utilidad de aproximadamente US$ 700 por cada
robot, lo que produce una utilidad total de alrededor de US$ 175000 (700 x 250).
Se completa la tabla anterior para ajustar esos valores:
N
(# Robots)
Utilidad
Unitaria
(US$)
50 -4320
100 -1116
139 -1
150 188
200 631
240 702
250 698
300 615
350 481
400 340
450 210
500 96
550 0
600 -80
650 -146
700 -201
750 -246
De la tabla se deduce que la mayor utilidad unitaria se logra con una producción de 240
robots anuales, y esa utilidad es de US$ 702 por robot. La utilidad total es de US$
168480 (240 x 702).

265
Para calcular la Función de Utilidad Total, se debe multiplicar la función de utilidad
unitaria por el número de robots. La expresióncorrespondiente es:
NUUUT ×=
NUUUT ×= Función Genérica de Utilidad Total
Donde:
UT: Utilidad Total
UU: Utilidad Unitaria
N: Número de robots fabricados y vendidos
Reemplazando en la expresión anterior la función de Utilidad Unitaria se tiene:
( ) N450e15300e4100UT N015.0N004.0
×−−= −−
Función de Utilidad Total
Se prepara una tabla para la función previa:
N
(# Robots)
Utilidad
Unitaria
(US$)
Utilidad
Total
(US$)
50 -4320 -216021
100 -1116 -111558
139 -1 -77
150 188 28128
200 631 126101
240 702 168434
250 698 174621
300 615 184479
350 481 168266
400 340 135940
450 210 94415
500 96 48206
550 0 163
600 -80 -47967
650 -146 -95141
700 -201 -140770
750 -246 -184554
Se representa gráficamente la función previa:

266
La zona sombreada constituye el rango de producción con utilidades para la empresa.
La magnitud de las ordenadas es el valor de la utilidad total para el número de robots
fabricados y vendidos que aparece sobre el eje de las “x”.
Del gráfico y de la tabla correspondiente se desprende que para una producción de
aproximadamente 285 robots anuales se consigue la mayor utilidad total, y el monto de
esta utilidad es alrededor de US$ 185000; para ese caso la utilidad unitaria es
aproximadamente de US$ 650 (185000/285) por robot.
Se ajusta la tabla para obtener valores más exactos.
N
(# Robots)
Utilidad
Unitaria
(US$)
Utilidad
Total
(US$)
50 -4320 -216021
100 -1116 -111558
139 -1 -77
150 188 28128
200 631 126101
240 702 168434
250 698 174621
285 648 184795
290 638 184968
295 627 184858
300 615 184479
350 481 168266
400 340 135940
450 210 94415
500 96 48206
550 0 163
600 -80 -47967
650 -146 -95141
700 -201 -140770
750 -246 -184554

267
Para una producción ajustada de 290 robots anuales se logra una utilidad total de US$
184968, que corresponde a una utilidad unitaria del producto de US$ 638 por robot (la
utilidad unitaria proviene de un costo de producción de US$ 1067, y un precio unitario
de venta de US$ 1705).
Uno de los aspectos importantes que surge de este ejemplo, es el hecho de que la mayor
utilidad unitaria no coincide con la mayor utilidad total. Se ha sacrificado algo de la
utilidad unitaria, lo que ha sido compensado y superado por un mayor volumen de
ventas.
El valor unitario de venta de gafas con protección contra los rayos ultravioletas está
definido por la siguiente función hiperbólica:
4
100N
2000
CU +
−
=
Donde:
CU: Costo Unitario de Fabricación de las gafas, en dólares
N: Número de gafas fabricadas en cada mes, que no puede ser menor que 200 para
validar la función
Primera Parte:
Dibujar en un gráfico la Función de Costos Unitarios de Producción.
Segunda Parte:
Si el precio unitario de venta de las gafas es de US$ 14, para una producción de 200
gafas, y decrece US$ 0.50 por cada 100 gafas adicionales producidas (se está trabajando
con una función lineal decreciente cuya ecuación debe determinarse), encontrar y
dibujar la función que describe la utilidad unitaria.
Tercera Parte:
Encontrar y dibujar la función que define la utilidad total de la empresa para los rangos
apropiados y encontrar cuál es la producción que genera la mayor ganancia total.
SoluciónPrimera Parte:
Se prepara una tabla para dibujar la Función de Costos Unitarios de Producción:
4
100N
2000
CU +
−
=
N
(# Gafas)
Costo Unitario
de Fabricación
(US$)
200 24,00
250 17,33
300 14,00
400 10,67
500 9,00

268
600 8,00
800 6,86
1000 6,22
1200 5,82
1400 5,54
1600 5,33
1800 5,18
2000 5,05
La representación gráfica de la función es:
Solución Segunda Parte:
La Utilidad Unitaria se obtiene restando el Precio Unitario de Venta menos el Costo
Unitario de Producción.
( ) 





+
−
−





×




 −
−= 4
100N
2000
50.0
100
200N
14UU
Simplificando:
4
100N
2000
200
200N
14UU −
−
−




 −
−=
4
100N
2000
1
200
N
14UU −
−
−+−=
100N
2000
200
N
11UU
−
−−=
100N
2000
200
N
11UU
−
−−= Función de Utilidad Unitaria

269
Donde:
UU: Utilidad unitaria
N: Número de gafas fabricadas y vendidas mensualmente
Se prepara una tabla con valores representativos para poder generar un gráfico de la
función.
N
(# Gafas)
Utilidad
Unitaria
(US$)
200 -10,00
250 -3,58
300 -0,50
400 2,33
500 3,50
600 4,00
800 4,14
1000 3,78
1200 3,18
1400 2,46
1600 1,67
1800 0,82
2000 -0,05
2200 -0,95
2400 -1,87
La representación gráfica de la Función de Utilidad Unitaria es:
La zona sombreada constituye el rango de producción con utilidades para la empresa
(entre 280 y 2000 gafas mensuales.
Solución Tercera Parte:
Para calcular la Función de Utilidad Total, se debe multiplicar la Función de Utilidad
Unitaria por el número de gafas fabricadas y vendidas mensualmente. La expresión
correspondiente es:

270
NUUUT ×= Función Genérica de Utilidad Total
Donde:
UT: Utilidad Total
UU: Utilidad Unitaria
N: Número de gafas fabricadas y vendidas
Reemplazando en la expresión anterior la Función de Utilidad Unitaria se tiene:
N
100N
2000
200
N
11UT ×





−
−−= Función de Utilidad Total
Se prepara una tabla para la función previa:
N
(# Gafas)
Utilidad Total
(US$)
200 -2000,00
250 -895,83
300 -150,00
400 933,33
500 1750,00
600 2400,00
800 3314,29
1000 3777,78
1200 3818,18
1400 3446,15
1600 2666,67
1800 1482,35
2000 -105,26
2200 -2095,24
2400 -4486,96
La representación gráfica de la Función de Utilidad Total es:

271
La mayor ordenada positiva corresponde a la máxima utilidad total, y de acuerdo al
gráfico y a la tabla está en aproximadamente US$ 3820 mensuales, lo que corresponde a
una producción de aproximadamente 1100 gafas mensuales.
Para obtener valores más ajustados se modifica la hoja electrónica original, incluyendo
datos adicionales.
N
(# Gafas)
Costo Unitario
de Producción
(US$)
Precio Unitario
de Venta
(US$)
Utilidad
Unitaria
(US$)
Utilidad Total
(US$)
200 24,00 14,00 -10,00 -2000,00
250 17,33 13,75 -3,58 -895,83
300 14,00 13,50 -0,50 -150,00
400 10,67 13,00 2,33 933,33
500 9,00 12,50 3,50 1750,00
600 8,00 12,00 4,00 2400,00
800 6,86 11,00 4,14 3314,29
1000 6,22 10,00 3,78 3777,78
1120 5,96 9,40 3,44 3851,92
1200 5,82 9,00 3,18 3818,18
1400 5,54 8,00 2,46 3446,15
1600 5,33 7,00 1,67 2666,67
1800 5,18 6,00 0,82 1482,35
2000 5,05 5,00 -0,05 -105,26
2200 4,95 4,00 -0,95 -2095,24
2400 4,87 3,00 -1,87 -4486,96
Para una producción y venta mensual de 1120 gafas, se tiene un Costo Unitario de
Producción de US$ 5.96, un Precio Unitario de Venta de US$ 9.40, y una Utilidad
Total de US$ 3851.92 mensuales.
El gráfico es básicamente el mismo que el anterior.
5.3 PROBLEMAS PROPUESTOS:
Problema Propuesto 1:
El promedio de clientes mensuales de un cine ha variado en los siguientes términos:
Año Promedio
Clientes
Mensuales
2000 1510
2001 1885
2002 2012
2003 2040
2004 2150

272
Primera Parte:
Encontrar una función lineal y una función logarítmica que describan aproximadamente
el comportamiento de la clientela; graficar las 2 funciones.
Segunda Parte:
Mediante las 2 funciones encontrar la proyección de ventas para los años 2006, 2008 y
2010, y comparar los resultados.
¿Cuál de las proyecciones considera más adecuada para describir el comportamiento del
negocio, y por qué?
Problema Propuesto 2:
El precio unitario de fabricación de bicicletas de niños para cross country, se describe
mediante la siguiente función:
1120e14320CU N031.0
+= −
Donde:
CU: Costo Unitario de Fabricación de las bicicletas, en dólares
N: Número de bicicletas fabricadas en cada año, que no puede ser menor que 60
para validar la función
El precio unitario de venta de las bicicletas depende del número de unidades que se
ponen en el mercado en cada año, y responde a la siguiente expresión:
N2.43100PUV −=
Donde:
PUV: Precio Unitario de Venta de las bicicletas, en dólares
N: Número de bicicletas fabricadas en cada año
Primera Parte:
Dibujar en un único gráfico las 2 funciones, de modo que pueda realizarse un análisis
comparativo.
Segunda Parte:
Tomando como base el gráfico de la Primera Parte, definir los rangos de producción que
generan utilidades y los que generan pérdidas.
Tercera Parte:
Encontrar la función que define la utilidad total de la empresa para los rangos
apropiados y encontrar cuál es la producción que genera la mayor ganancia por unidad
vendida y cual es la producción que produce la mayor ganancia total.
Cuarta Parte:
Comparar los tipos de funciones propuestas en este problema con aquellas detalladas en
los Problemas Resueltos 3 y 4.

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