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Diagnostico de fallas en motores de induccion tipo jaula de ardilla mediante la aplicacion de metodos hibridos

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DIAGNÓSTICO DE FALLAS EN MOTORES DE INDUCCIÓN
  TIPO JAULA DE ARDILLA MEDIANTE LA APLICACIÓN DE MÉTODOS
                  ...
DIAGNÓSTICO DE FALLAS EN MOTORES DE INDUCCIÓN

  TIPO JAULA DE ARDILLA MEDIANTE LA APLICACIÓN DE MÉTODOS
                 ...
Nota de aceptación:
                                      __________________________________
                             ...
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Diagnostico de fallas en motores de induccion tipo jaula de ardilla mediante la aplicacion de metodos hibridos

  1. 1. DIAGNÓSTICO DE FALLAS EN MOTORES DE INDUCCIÓN TIPO JAULA DE ARDILLA MEDIANTE LA APLICACIÓN DE MÉTODOS HÍBRIDOS ING. DARÍO DÍAZ SÁNCHEZ UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE POSGRADO EN INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA SANTIAGO DE CALI 2011
  2. 2. DIAGNÓSTICO DE FALLAS EN MOTORES DE INDUCCIÓN TIPO JAULA DE ARDILLA MEDIANTE LA APLICACIÓN DE MÉTODOS HÍBRIDOS ING. DARÍO DÍAZ SÁNCHEZ Propuesta de Tesis presentada como requisito para optar al título de Magister en Ingeniería – Énfasis Ingeniería Eléctrica DIRECTOR: MARTHA CECILIA AMAYA ENCISO Ingeniera Electricista Ph.D UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE POSGRADO EN INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA SANTIAGO DE CALI 2011
  3. 3. Nota de aceptación: __________________________________ __________________________________ __________________________________ __________________________________ __________________________________ __________________________________ Firma del Presidente del jurado Firma del jurado Firma del jurado Santiago de Cali, 31 de octubre de 2011
  4. 4. Nuestra recompensa se encuentra en el esfuerzo y no en el resultado. Un esfuerzo total es una victoria completa. Mahatma Gandhi.
  5. 5. AGRADECIMIENTOS El autor expresa sus agradecimientos: A toda mi familia por confiar en mis capacidades brindándome su constante e invaluable apoyo emocional. A mi esposa Jessica Barrera Abadía por su paciencia durante estos años. Siempre fue un motivo para seguir adelante. A la Profesora Martha Cecilia Amaya Enciso directora del proyecto, ya que antes que docente, primero es una persona de excelentes calidades humanas y profesionales. Sin su ayuda, motivación y paciencia no se habría llevado a buen término el presente proyecto. A los Ingenieros Leonardo Jaramillo Pizarro y Alejandro Paz Parra por su valiosa colaboración, consejos y asesoría académica. Sin ellos, este trabajo de investigación no hubiera contado con la calidad que requiere. Al grupo de investigación en conversión de energía CONVERGÍA en cabeza del Ingeniero Jairo Palacios, por el apoyo, asesoría y colaboración en las distintas consultas realizadas. A los ingenieros Javier Micolta, Iván David López, Gustavo Rojas, Jorge Marín, Alonso Ortiz, Julio C. Urresty y Paul Manrique por el apoyo prestado en el desarrollo de este proyecto. A la Universidad del Valle, al profesorado por su formación académica y personal, y al programa de Posgrado en cabeza del Ingeniero Edinson Franco Mejía por la comprensión y paciencia. A Colciencias por la co-financiación económica del proyecto. A todos mis amigos y compañeros, en especial William Muriel Triana por su apoyo en los momentos más difíciles. A Carlos Cabal, José David Bonilla, José Enar y Freiner Piedrahita por el aporte de ideas y la colaboración para la realización de los ensayos. A todas aquellas personas que en una u otra forma colaboraron en la realización del presente proyecto.
  6. 6. Tabla de contenido DIAGNÓSTICO DE FALLAS EN MOTORES DE INDUCCIÓN ............................... 1 AGRADECIMIENTOS ............................................................................................. 5 Tabla de contenido ................................................................................................. 6 OBJETIVOS ......................................................................................................... 10 OBJETIVO GENERAL ...................................................................................... 10 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................. 10 INTRODUCCIÓN .................................................................................................. 11 CÁPITULO 1......................................................................................................... 15 ESTADO DEL ARTE DE LAS DIVERSAS TÉCNICAS DE DIAGNÓSTICO APLICADAS A MOTORES DE INDUCCIÓN. ....................................................... 15 1.1. Armónicos temporales y espaciales en el Motor de Inducción .................... 15 1.1.1 Introducción .......................................................................................... 15 1.1.2. Armónicos temporales y espaciales ..................................................... 17 1.1.3. Armónicos temporales de la FMM en el entrehierro ............................. 18 1.1.4. Armónicos espaciales de la FMM ........................................................ 19 1.1.4.1. FMM del estator ................................................................................ 19 1.1.4.2. FMM del rotor ................................................................................... 21 1.1.4.3. FMM total .......................................................................................... 23 1.1.5 Permeancia del entrehierro ................................................................... 23 1.1.6 Densidad de flujo en el entrehierro ....................................................... 25 1.1.6.1 Densidad de flujo en el estator ........................................................... 25 1.1.6.2 Densidad de flujo en el rotor .............................................................. 27
  7. 7. 1.1.7 Conclusión ............................................................................................ 28 1.2. Análisis espectral de la corriente del motor ................................................ 28 1.2.1 Introducción .......................................................................................... 28 1.2.2 Asimetría en el Rotor ............................................................................ 29 1.2.2.1 Causas de la rotura de barras ............................................................ 30 1.2.2.2. Detección de rotura de barras ........................................................... 30 1.2.3 Asimetría en el entrehierro .................................................................... 36 1.2.3.1 Excentricidad estática ........................................................................ 37 1.2.3.2 Excentricidad dinámica ...................................................................... 40 1.2.3.3 Excentricidad mixta ............................................................................ 42 1.2.3.3 Fuerza de atracción magnética (UMP) [33] ....................................... 44 1.2.4 Asimetría en el estator .......................................................................... 45 1.2.4.1 Causas del cortocircuito entre espiras ............................................... 45 1.2.4.2 Detección de cortocircuito entre espiras ............................................ 46 1.2.5 Daños en los cojinetes .......................................................................... 49 1.2.5.1 Causas de daños en los cojinetes ...................................................... 49 1.2.5.2. Detección de daños en los cojinetes y rodamientos .......................... 49 1.2.6 Acople mecánico .................................................................................. 51 1.2.7 Cargas oscilatorias ............................................................................... 52 1.2.8 Conclusión ............................................................................................ 53 1.3 Aproximación por la Potencia Instantánea y el Vector de Park ................... 54 1.3.1 Introducción .......................................................................................... 54 1.3.2 Aproximación por la Potencia Instantánea ............................................ 54
  8. 8. 1.3.3 Aproximación por el Vector de Park ...................................................... 57 1.3.4 Conclusión ............................................................................................ 61 1.4 La impedancia de secuencia inversa [46] ................................................... 61 CAPÍTULO 2......................................................................................................... 66 EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF) Y MODELOS DE FALLA .......... 66 2.1 Introducción................................................................................................. 66 2.2 Modelamiento en Elementos Finitos ............................................................ 66 2.3 El Método de Elementos Finitos aplicado a las Máquinas Eléctricas .......... 70 2.4 El Software Flux2D®. .................................................................................. 71 2.5 Características de la máquina bajo estudio ................................................. 72 2.5.1 Datos constructivos............................................................................... 73 CAPÍTULO 3......................................................................................................... 74 ANÁLISIS DE LAS FALLAS MÁS COMUNES EN UN MOTOR DE INDUCCIÓN JAULA DE ARDILLA ............................................................................................. 74 3.1 ANÁLISIS DE ROTURA DE BARRAS [55] .................................................. 74 3.1.1 Parámetros de Muestreo de la Señal de Corriente ............................... 74 3.1.2 Implementación del Espectro de Corriente por Fourier ......................... 77 3.2 ESTUDIO DE EXCENTRICIDAD ESTÁTICA [33] ...................................... 83 3.2.1 Densidad del flujo magnético a través del entrehierro ......................... 83 3.2.2 Presión magnética ................................................................................ 85 3.2.3 Análisis Espectral de Corriente ............................................................. 87 3.3 ESTUDIO DE CORTOCIRCUITO ENTRE ESPIRAS DEL ESTATOR ......... 93 3.3.1 Análisis espectral de corrientes ............................................................ 93
  9. 9. 3.3.2 Aproximación de la potencia instantánea ............................................ 108 3.3.4 Aproximación por el Vector de Park ................................................... 116 CAPÍTULO 4....................................................................................................... 126 DESCRIPCIÓN DEL BANCO DE PRUEBAS IMPLEMENTADO EN EL LABORATORIO .................................................................................................. 126 4.1 Introducción............................................................................................... 126 4.2 Descripción del Banco de Pruebas ............................................................ 126 4.2.1 Sistema de Adquisición de datos ........................................................ 127 4.2.2 Registrador de datos en línea ............................................................. 129 4.3 Montaje del Banco de Pruebas ................................................................. 130 CAPÍTULO 5....................................................................................................... 133 RESULTADOS DE LOS ENSAYOS DE LABORATORIO ................................... 133 5.1 Señales en el tiempo ................................................................................. 133 5.2 Señales en el domino de la frecuencia: Análisis espectral de corrientes ... 135 5.3 Aproximación de la potencia instantánea (Ensayos de laboratorio) ........... 143 5.4 Aproximación por el vector de Park (Ensayos de laboratorio) .................. 147 OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES A FUTURO ................................. 156 CONCLUSIONES DE LA INVESTIGACIÓN ....................................................... 159 REFERENCIAS .................................................................................................. 163
  10. 10. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Caracterizar y conceptuar las principales fallas de un motor de inducción tipo jaula de ardilla utilizando un software comercial de simulación basado en el método de elementos finitos y técnicas de diagnóstico híbridas. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Realizar el montaje de una plataforma de ensayos para motores de inducción hasta de 5 HP. 2. Validar la utilización del método de los elementos finitos MEF como herramienta de investigación en el diagnóstico de máquinas eléctricas mediante la confrontación y comparación de los resultados de los ensayos de campo con los de las simulaciones tanto en funcionamiento normal como de falla. 3. Obtener patrones de comportamiento en falla a través de métodos híbridos, obtenidos a partir de resultados tanto de ensayos como simulaciones.
  11. 11. INTRODUCCIÓN El Motor de Inducción (MI) es la máquina eléctrica más ampliamente usada en la industria debido a su sencilla construcción y gran robustez. Los tiempos inesperados de parada del Motor de Inducción causan, en la mayoría de los casos, pérdidas de producción e ingresos. Es por esto que cada vez cobra más importancia prevenir las paradas no programadas, lo cual ayuda no solo a reducir costos de mantenimiento sino que también genera mayores ingresos. Los costos de mantenimiento representan la mayor parte de los costos totales de operación de todas las plantas de producción (industria). Dependiendo del tipo de industria, dichos costos pueden alcanzar entre el 15 y 60 por ciento del total de costos de producción. El resultado de políticas inefectivas de mantenimiento representa pérdidas a nivel mundial por más de USD$60 billones cada año. Cabe resaltar que lo anterior afecta significativamente la capacidad de manufacturar productos de calidad competitivos con el mercado mundial. Las pérdidas en el tiempo de producción y calidad de los productos, resultado de aplicar políticas pobres o inadecuadas de mantenimiento, han tenido impactos dramáticos en las industrias norteamericanas frente a mercados como el japonés y otros países los cuales han implementado filosofías de mantenimiento más avanzadas. Hasta hace poco, las gerencias corporativas habían ignorado el impacto del mantenimiento en la calidad del producto final, los costos de producción. La noción general había sido: “El mantenimiento es un mal necesario” o “No se puede hacer nada para reducir los costos de mantenimiento”. Quizá esto era cierto hace 15 o 20 años, pero el desarrollo de los microprocesadores y la instrumentación computarizada, la cual permite monitorear la condición de operación de las
  12. 12. máquinas y equipos de la planta, han proporcionado los medios para gestionar la operación del mantenimiento con el objetivo de reducir o eliminar tiempos de mantenimiento, prevenir fallas catastróficas de equipos y maquinaria así como reducir el impacto negativo sobre la rentabilidad y productividad de la planta. [1] Estudios realizados por el Instituto de Investigación de Energía Eléctrica EPRI (en inglés Electric Power Research Institute) muestran porcentajes de falla para un amplio rango de Motores de Inducción. En la figura 1 se puede apreciar que el 37% de fallas en los motores fueron causadas por fallas en el devanado del estator, 10% por fallas en el rotor, 41% por fallas en cojinetes y rodamientos y 12% a fallas diversas. Porcentaje de Fallas por Zonas 10% 37% 12% Rotor Otros Cojinetes 41% Estator Figura 1. Clasificación de fallas por zonas según EPRI El objeto de la presente Tesis es caracterizar y conceptualizar las principales fallas en un motor de inducción tipo jaula de ardilla utilizando un software comercial de simulación basado en el método de los elementos fonitos MEF y técnicas híbridas. El documento está conformado por cinco capítulos. El capítulo 1, “ESTADO DEL ARTE DE LAS DIVERSAS TÉCNICAS DE DIAGNÓSTICO APLICADAS A
  13. 13. MOTORES DE INDUCCIÓN”, repasará las principales técnicas utilizadas para tratar de diagnosticar algún tipo de falla (se evaluarán las fallas más frecuentes y perjudiciales), entre las que se encuentran:  Análisis del Espectro de la Corriente del Motor (en inglés: Motor Current Signature Analysis MCSA).  Aproximación por la Potencia Instantánea API (en inglés: Instantaneous Power Approach).  Aproximación por el Vector de Park y el Vector Extendido de Park (en inglés: Extended Park’s Vector approach EPVA). Además se estudiará la teoría bajo la cual se sustenta cada técnica. En la descripción se tendrá en cuenta las ventajas y desventajas que presentan cada método además de una clasificación general de los mismos. El capítulo 2, “EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF) Y MODELOS DE FALLA”, abordará la teoría de los elementos finitos y su aplicación en el campo electromagnético y el estudio de máquinas rotativas. Se explicará la estructura del software Flux2D® y se darán algunos detalles de la máquina bajo estudio. El capítulo 3, “ANÁLISIS DE LAS FALLAS MÁS COMUNES EN UN MOTOR DE INDUCCIÓN JAULA DE ARDILLA” estudiará las principales fallas entre las cuales se encuentran cortocircuito entre espiras del estator, rotura de barras y excentricidad estática. Se realizará la simulación en el software Flux2D® de dichas fallas y se obtendrán patrones de comportamiento. El capítulo 4, “DESCRIPCIÓN DEL BANCO DE PRUEBAS IMPLEMENTADO EN EL LABORATORIO”, especificará las características de funcionamiento del sistema implementado en el banco de pruebas, parámetros, procesamiento de los datos y el acondicionamiento de los equipos externos al sistema, como los equipos de medida adicionales (voltímetros, amperímetros, registradores, etc.). El
  14. 14. propósito es informar cómo funciona la etapa de adquisición de señales (datos) y la disposición física del equipo completo (acoplado al motor bajo prueba). El capítulo 5, “RESULTADOS DE LOS ENSAYOS DE LABORATORIO”, realizará el respectivo análisis de los datos obtenidos en los ensayos de campo y la respectiva comparación – validación con los obtenidos bajo simulación MEF de las principales fallas anteriormente mencionadas. La figura 2 muestra la estructura del trabajo. MCSA – IPA - MCSA – IPA - VEP VEP MODELO EN PRUEBAS DE EL MEF LABORATORIO VALIDACIÓN ANÁLISIS DE RESULTADOS CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Figura 2. Estructura del trabajo
  15. 15. CÁPITULO 1 ESTADO DEL ARTE DE LAS DIVERSAS TÉCNICAS DE DIAGNÓSTICO APLICADAS A MOTORES DE INDUCCIÓN. 1.1. Armónicos temporales y espaciales en el Motor de Inducción 1.1.1 Introducción Normalmente, en el estudio de las máquinas de inducción se hacen algunas suposiciones. Por ejemplo, las fuentes de voltaje puramente sinusoidales, entrehierros uniformes, número infinito de ranuras del estator o rotor, etc. Estas suposiciones son de gran ayuda cuando se estudia el principio de funcionamiento de la máquina de inducción. Sin embargo, dichas suposiciones no son aplicables para el diagnóstico de problemas debido a que se deben considerar las condiciones asimétricas. En esta sección se abordarán los armónicos temporales y espaciales de la densidad de flujo en el entrehierro, los cuales son producidos por cantidades no sinusoidales. El objetivo es analizar la densidad de flujo en el entrehierro utilizando expresiones analíticas de la Fuerza Magneto Motriz (FMM) y la permeancia. La Figura 3 resume el proceso de aparición de armónicos en el entrehierro del motor de inducción.
  16. 16. Figura 3. Diagrama esquemático de los armónicos en máquinas de inducción
  17. 17. 1.1.2. Armónicos temporales y espaciales Cualquier cantidad que cambie con el tiempo es una cantidad variable dependiente del tiempo; por otro lado, cualquier cantidad que se propague con la distancia es una cantidad dependiente del espacio. En la figura 4 se muestran curvas dependientes del tiempo y espacio. 𝑤𝑡 𝐵 = 𝐵cos(𝑘𝜃 − 𝑤𝑡) 𝑤𝑡 𝐹 = 𝐹 cos(𝑘𝜃 − 𝑤𝑡) (a) Armónico espacial (b) Armónico temporal Figura 4. Señales dependientes del tiempo y espacio En un punto específico del espacio, los armónicos espaciales varían con la frecuencia fundamental ω pero se mueven con una velocidad angular ω/k. Por otro lado, los armónicos temporales varían con una frecuencia kω y se mueven con una velocidad angular kω, donde k es el orden del armónico. En las máquinas de inducción, los armónicos espaciales pueden aparecer tanto en la FMM del entrehierro, debido a la distribución del devanado en las ranuras, como en las ondas de la permeancia debido a la distancia irregular del entrehierro. Adicionalmente, los armónicos temporales también pueden aparecer en la FMM del entrehierro debido a los armónicos temporales en las fuentes de voltaje.
  18. 18. Para analizar la densidad de flujo en el entrehierro se debe determinar la FMM del entrehierro y las funciones de la permeancia. La densidad de flujo en el entrehierro se puede expresar como se muestra en la ecuación 1: ( )= ( )= ( )= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Donde: ( ): Permeancia en el entrehierro por unidad de área ( ): FMM en el entrehierro ( ): Longitud del entrehierro 1.1.3. Armónicos temporales de la FMM en el entrehierro Una fuente de voltaje sinusoidal pura alimentando un motor de inducción puede crear corrientes perfectamente sinusoidales en los devanados, originando la FMM en el entrehierro. Pero si la fuente de voltaje no es puramente sinusoidal (como ocurre cuando se alimenta un motor desde un inversor), las corrientes tampoco lo serán, debido al contenido de armónicos. Los armónicos temporales en la FMM del entrehierro pueden ser expresados por la ecuación 2. También se puede obtener la FMM del estator generada por las corrientes magnetizantes en cada fase del devanado. Como las fases del devanado se encuentran ubicadas 2π/3 una de la otra, la diferencia de espacio también contribuirá a la FMM en el estator. = cos( − ) = cos( ) cos( ) = cos( − − ) = cos ( − ) cos ( − ) (2) = cos( − − ) = cos( − ) cos ( − ) Por lo tanto;
  19. 19. = cos( − ) ( ) Donde: K :orden del armónico temporal p: número de pares de polos En la ecuación 3 se puede observar que los armónicos temporales de la FMM en el estator se pueden obtener de los armónicos temporales presentes en la fuente de voltaje. Adicionalmente el espacio entre los devanados de las fases contribuye a la aparición de armónicos espaciales de FMM en el estator. 1.1.4. Armónicos espaciales de la FMM La FMM del entrehierro es generada por las corrientes del estator y rotor. Debido a la distribución de los devanados se presentan los armónicos espaciales. La FMM total del entrehierro se puede expresar por la suma de la FMM del rotor y del estator como se muestra en la ecuación 4: ( )= ( ) ( ) ( ) Lo anterior considerando un motor de inducción trifásico con 2p polos, q ranuras por polo y por fase, con las fases desplazadas en el espacio 2π/3 [rad] alrededor del entrehierro. Los armónicos en el entrehierro debido a las ranuras son considerados [2,3]. 1.1.4.1. FMM del estator ( )=∑ cos( − − ) ( ) Donde,
  20. 20. =( ) con = √ = Donde, : frecuencia angular fundamental : ángulo de fase fundamental N: número de conductores por ranura : corriente de fase estatórica : factor de campo : factor de distribución del devanado : orden del armónico espacial De la ecuación 5 se deduce la velocidad mecánica angular del viésimo armónico espacial dada por la ecuación 6: = = ( ) ( ) El signo de la velocidad mecánica angular representa la dirección de la onda del armónico espacial. Si es positivo, por ejemplo, = significa que la onda del armónico gira en la misma dirección que la onda fundamental, pero si es negativo, por ejemplo =− − − …, significa que gira en sentido opuesto. Adicionalmente, debido a su importancia, se deben tener en cuenta los armónicos de ranura del estator y los armónicos de desplazamiento de fase. Los armónicos de ranura del estator pueden hallarse con la ecuación 7: =( ) ( ) ( ) Donde, : Número de ranuras del estator
  21. 21. : Número de ranuras del estator por polo y por fase Para los armónicos de desplazamiento de fase existen los armónicos = … para el primer armónico de ranura. 1.1.4.2. FMM del rotor La FMM del rotor puede originarse por dos fuentes, la corriente fundamental del rotor y los armónicos de corriente del rotor. 1.1.4.2.1. FMM del rotor debida a la corriente fundamental del rotor ( )=∑ cos( − − ) ( ) Donde, =( ) con = √ = −(− ) cos Donde, : Número de ranuras del rotor : Orden del armónico espacial : ángulo de fase de las corrientes estatóricas : ángulo de fase de los armónicos de la FMM del rotor : factor de devanado para la componente fundamental y el µ-ésimo armónico respectivamente Por lo tanto, la velocidad angular de la densidad de flujo en el entrehierro generada por la FMM del rotor debida a la corriente fundamental del rotor referida al estator puede calcularse como se muestra en la ecuación 9:
  22. 22. ( − ) =( ) = [ ] ( ) Donde, : frecuencia eléctrica angular del rotor : deslizamiento 1.1.4.2.2. FMM del rotor debida a los armónicos de corriente del rotor ( )=∑ cos( − − ) ( ) Donde, =( ) con = = −(− ) √ Donde, : armónico de corriente del anillo del rotor : factor de devanado La velocidad de la densidad de flujo en el entrehierro generada por los armónicos de corriente del rotor se puede analizar desde los armónicos de la densidad de flujo en el estator, los cuales giran a una velocidad e inducen corrientes en los devanados del rotor con una frecuencia: =( − ) = − ( − ) ( ) Así mismo, dicha velocidad de la densidad de referida al estator se puede calcular como:
  23. 23. − ( − ) ( − ) =( ) = [ ] ( ) 1.1.4.3. FMM total La Fuerza Magneto Motriz total se puede expresar mediante la siguiente ecuación: ( )=∑ cos( − ) ∑ cos( − ) ( ) = cos( − − ) cos(( ) − − )| cos(( ) − − )| cos(( − ) − − ) cos(( ) − − ) cos(( − )( − ) ) cos(( )( − )− ) Nótese que los armónicos de la FMM estatórica son influenciados por los devanados del estator y las ranuras, pero la FMM rotórica sólo es afectada por las ranuras del rotor. La ecuación 13 se puede simplificar si sólo se consideran loas armónicos más significativos, como el fundamental, el armónico de ranura de primer orden, los armónicos de desplazamiento de fase y de devanado. 1.1.5 Permeancia del entrehierro Para determinar la permeancia del entrehierro se debe considerar la longitud del mismo. Para un punto específico en el espacio, cuando el rotor gira, la distancia del entrehierro no es constante. Considerando el entrehierro de la figura 4 se puede determinar la función de la distancia del entrehierro como se muestra en la ecuación 14 [2]:
  24. 24. ( )= ( ) ( )− ( ) Estator δ1 δ0 δ2 δ1 + δ 2 - δ0 Rotor Figura 4. Entrehierro con ranuras del rotor y estator. La distancia del entrehierro puede dividirse en tres partes, una constante , otra dependiente del espacio y otra dependiente del tiempo y espacio . Por lo tanto, la permeancia del entrehierro puede expresarse como se observa en la ecuación 15: ( )= = ( ) ( ) ( )− − = ∑ cos( ) ∑ cos ( − ) ∑∑ cos ( ) − = Donde, : velocidad mecánica rotacional ( = ⁄ =( − ) ⁄ ) De la ecuación anterior se puede observar que la permeancia en el entrehierro se compone de cuatro términos. El primero es constante debido a la distancia fija del
  25. 25. entrehierro. El segundo representa la influencia de las ranuras del estator. El tercero describe el efecto de las ranuras rotóricas relacionado con el número y velocidad. Por último, las influencias de las ranuras, tanto del estator y rotor, se representan en términos de las sumas y diferencias entre el número de ranuras. 1.1.6 Densidad de flujo en el entrehierro La densidad de flujo en el entrehierro se puede obtener sustituyendo las ecuaciones 13 y 15 en la ecuación 1, la cual expresa los resultados en términos infinitos. Por lo tanto, la densidad de flujo en el entrehierro se puede aproximar tomando sólo los términos simplificados de la FMM y los tres primeros términos de la expresión de la permeancia, dicha aproximación se observa en la ecuación 16. Los resultados se resumen en la tabla 1. Para más detalles remitirse a [2]. ( )= ( ) ( ) =( ) ( ) ( ) =( cos cos ( − )) { cos( − ) cos cos − cos ( − ) cos ( ) − cos ( − )( − ) cos ( )( − )− } 1.1.6.1 Densidad de flujo en el estator La influencia de las corrientes estatóricas en la densidad de flujo en el entrehierro es inducir voltajes en los devanados del rotor. La expresión para la frecuencia de dichos voltajes inducidos se puede determinar mediante la ecuación 17. 1.1.6.1.1 Densidad de flujo fundamental en el estator ( )= cos( − − ) ( )
  26. 26. Debido a las diferencia entre la velocidad rotacional angular y la velocidad sincrónica de la densidad de flujo fundamental , se pueden inducir voltajes y corrientes en los devanados del rotor con una frecuencia determinada por velocidad angular relativa entre la velocidad rotacional y la velocidad sincrónica, como se muestra en la ecuación 18. = ( − ) = ( ) 1.1.6.1.2 Armónicos de la densidad de flujo en el estator ( )= cos( − − ) ( ) Estos armónicos giran a una velocidad angular y pulsa a la frecuencia fundamental . Esto se traduce en que la velocidad de los armónicos disminuye veces la componente fundamental, pero la pulsación permanece constante, o el número de pulsaciones es veces la componente fundamental. Por lo tanto, la frecuencia de los voltajes y las corrientes inducidas en el rotor por los armónicos de la densidad de flujo en el estator se determina mediante la ecuación 20. = ( − ) = ( − ) − ( ) Orden del Frecuencia de voltajes y Avance armónico corrientes inducidos 1 cos( − ) 1 2 cos ( ) − 3 cos − 7 4 cos ( ) −
  27. 27. 5 cos ( )( − )− ( ) 6 cos ( ) − cos ( − ) cos ( ) 7 −( ) cos Retroceso 1 cos ( − ) − 2 cos 5 3 cos ( − ) − 4 cos ( − )( − ) − ( − ) 5 cos ( − ) cos ( − ) cos ( − )( − ) 6 cos Tabla 2. Densidad de flujo en el entrehierro considerando un número finito de armónicos espaciales. 1.1.6.2 Densidad de flujo en el rotor Al igual que la densidad de flujo en el estator, la densidad de flujo creada por las corrientes rotóricas también induce voltajes en los devanados del estator. La frecuencia de dichos voltajes se puede determinar mediante la ecuación 21. 1.1.6.2.1 Densidad de flujo fundamental en el rotor ( )= cos( − − ) ( ) Debido a los espacios fijos entre los devanados del estator, la densidad del rotor también induce voltajes en ellos determinados por:
  28. 28. =( − ) = ( ) 1.1.6.2.2 Armónicos de la densidad de flujo en el rotor ( )= cos( − − ) ( ) Al igual que la densidad de flujo fundamental del rotor, los armónicos de la densidad de flujo en el rotor giran con una velocidad en el entrehierro. De esta manera, la frecuencia de los voltajes inducidos es . 1.1.7 Conclusión En esta sección se analizó el efecto de los armónicos espaciales y temporales de la densidad de flujo en el entrehierro sobre las corrientes estatóricas. Debido al número finito de ranuras en el estator y rotor, así como a la distribución del devanado en el estator, se presenta una densidad de flujo no sinusoidal en el entrehierro. La influencia de los armónicos espaciales de la densidad de flujo en el entrehierro puede causar armónicos temporales en las fuentes de voltaje y corriente, los cuales son la causa de que se origine un torque pulsante. Determinando la FMM del entrehierro generada por las corrientes estatóricas y rotóricas y la permeancia en el entrehierro, se puede calcular la frecuencia de las cantidades inducidas en el rotor, entrehierro y estator (voltajes, corrientes y densidad de flujo). La teoría aquí expuesta es la base para determinar la influencia de diversas fallas sobre las corrientes estatóricas, lo cual se analizará en la siguiente sección. 1.2. Análisis espectral de la corriente del motor 1.2.1 Introducción En esta sección, se presenta una técnica para detectar fallas en motores de inducción por medio del análisis espectral de la frecuencia de las corrientes
  29. 29. estatóricas la cual se basa en el hecho de que una falla ocasiona armónicos en las corrientes de línea del motor, los cuales pueden ser identificados a través de las componentes de los armónicos. Dicha técnica se conoce como Análisis Espectral de Corriente o MCSA por sus siglas en inglés (Motor Current Signature Analysis). Se abordaran cuatro tipos de fallas, las más comunes: asimetría en el rotor, la cual es consecuencia de una rotura de barra o de un anillo de cortocircuito; asimetría en el entrehierro debida a excentricidades tanto estáticas como dinámicas; asimetría en el estator ocasionada por cortocircuito entre espiras de una misa fase. También se abordará las influencias sobre las corrientes de línea debido a acoples mecánicos. Adicionalmente se analizarán dos condiciones de operación anormales: desbalance de voltajes y apertura de fase de la fuente de alimentación, así como operación con cargas oscilatorias. El objetivo de esta sección es el estudio de las influencias sobre las corrientes estatóricas ocasionadas por diversas fallas. Se presentará la causa, fenómeno y características de cada tipo de falla las cuales serán de gran utilidad en el modelo aplicado para las simulaciones bajo el Método de Elementos Finitos MEF, el cual se abordará en capítulos posteriores. 1.2.2 Asimetría en el Rotor De acuerdo al estudio [4], del total de fallas que se presentan en el motor de inducción alrededor del 10% se relacionan con fallas en el rotor. Una de las fallas más frecuentes en el rotor es la rotura de barras. Una pieza que se rompa puede moverse a través del entrehierro y dañar la superficie de los devanados en el estator, ocasionando una falla súbita. Dicha falla puede representar elevados costos de reparación y tiempos muertos. Por lo anterior, la detección a tiempo de una rotura de barra es muy importante y ventajoso.
  30. 30. 1.2.2.1 Causas de la rotura de barras El rompimiento de una o varias barras puede ser causado por muchas razones, entre las cuales se encuentran: - Estrés térmico debido a sobrecargas y desbalances, puntos calientes o pérdidas excesivas, chispas. - Estrés magnético causado por fuerzas electromagnéticas, atracción magnética desbalanceadas, ruido y vibración electromagnética. - Estrés residual debido a problemas de manufactura. - Estrés dinámico proveniente del eje de torsión, fuerzas centrifugas. - Estrés medioambiental causado por contaminación y abrasión del material del rotor debido a químicos o humedad. - Estrés mecánico debido a laminaciones sueltas, partes debilitadas, fallas en los cojinetes, etc. - Condiciones de operación: Cargas pulsantes las cuales ocasionan cambios en el torque del eje. Los riesgos de falla en el rotor pueden minimizarse si se controlan las anteriores situaciones. El diseño, construcción e instalación, así como el mantenimiento se deben considerar y ejecutar adecuadamente para reducir posibles problemas. 1.2.2.2. Detección de rotura de barras Existen diversas técnicas para la detección de rotura de barras: el método de la corriente del estator, impedancia o corriente de secuencia negativa [5], corriente de secuencia cero [6], flujo axial [7,8], torque [9], potencia instantánea [10], el vector extendido de Park [11,12], inyección de señal de baja frecuencia [13] o vibración [7]. Esta investigación se centrará en el estudio de las corrientes del estator.
  31. 31. En funcionamiento normal sin falla, y en el caso ideal, no existen componentes laterales alrededor de la componente fundamental de las corrientes estatóricas. Cuando se presenta una asimetría en el rotor debido a una rotura de barra, o del anillo, se produce también una asimetría en la FMM del rotor ocasionando que se mueva en sentido contrario. Esto induce voltajes en los devanados del estator con frecuencias específicas. A continuación se muestra la comparación entre la máquina sana (en funcionamiento normal) y en falla (asimetría en el rotor); Condición de operación normal (Motor sano) Considere un motor de inducción ideal. El rotor se encuentra perfectamente balanceado. Las corrientes por las barras vienen dadas por la ecuación 24 [R1.2]: I b (n) Ib1 Ib2 I b (n) Ib1 Ib2 Figura 5. Corrientes en las barras del rotor ( ) ( ) = ( )= cos( −( − ) ) ( ) Donde: =
  32. 32. Consecuentemente, la FMM del rotor generada por cada corriente que circula por las barras se puede expresar mediante la ecuación 25: = cos( − ( − ) ) cos( − ( − ) ) ( ) En la anterior ecuación se ha considerado la distribución de las barras en el rotor. Considerando sólo un par de polos en 360° eléctricos. Si no existe rotura, la FMM total en ángulo se puede expresar mediante la ecuación 26: = [cos( ) cos( ) cos ( − ) cos ( − ) cos ( − ( ) ( ) ) cos ( − ) cos ( − ) cos ( − )] = cos( − ) (26) En la anterior ecuación se puede observar que sólo la FMM progresiva es generada por las corrientes en las barras. Asumiendo que el entrehierro es constante, y el obviando el efecto de las ranuras, la densidad de flujo en el rotor y los voltajes inducidos se pueden calcular siguiendo los pasos a continuación: ROTOR sf 1 (1-s)f1 Figura 6. Velocidad y dirección de la FMM del rotor sin falla  La frecuencia de la FMM del rotor; =  La frecuencia eléctrica rotacional; =( − )
  33. 33.  La frecuencia de la densidad de flujo en el entrehierro; =( − ) =  La frecuencia de los voltajes inducidos en los devanados del estator es o la frecuencia fundamental. Asimetría en el Rotor Considere un motor de inducción con una barra rota. Debido a imperfecciones, las corrientes inducidas en cada barra no son simétricas. Para simplificar el análisis se asumirá que dichas corrientes son invariables (la expresión analítica para las corrientes en el rotor debidas a la rotura de barras se explica en [14]). Por lo tanto, la FMM total del rotor se puede determinar restando la FMM inducida en el rotor de la FMM ideal (sin falla) del rotor; = − cos ( − ) cos ( − )= cos( − )− cos ( − ) cos ( − ) = ( − ) cos( − )− cos ( − )( ) De la ecuación 27 se puede observar que hay una FMM la cual gira en sentido opuesto en el entrehierro pero con la misma frecuencia. Debido a esta FMM inversa se generan alrededor de la componente fundamental voltajes inducidos correspondientes a dos veces la frecuencia de deslizamiento. La frecuencia de la densidad de flujo en el rotor y los voltajes inducidos por la FMM inversa se pueden obtener a través de los siguientes pasos:
  34. 34. sf 1 sf 1 (1-s)f1 ROTOR Figura 7. Velocidad y dirección de la FMM en el rotor bajo asimetría.  La densidad de flujo producida por la FMM inversa puede inducir voltajes en los devanados del estator con una frecuencia: =( − ) − = −  Debido a esta componente, se origina una velocidad y torque oscilatorios a la frecuencia . De estos, la componente de banda lateral superior, correspondiente a dos veces la frecuencia de deslizamiento , aumentará por encima de la componente fundamental [10,14]. Según [15-20,21,22,10,12], las componentes laterales alrededor de la fundamental son un indicador de asimetría en el rotor. La frecuencia de estos componentes laterales corresponden a; =( ) = ( ) Adicionalmente, en [14,15,16,22,23,24], se expone las consecuencias de una asimetría en el rotor, las cuales pueden detectarse mediante las componentes siguiendo la ecuación 29: = [( ) ( − ) ] = ( ) Donde,
  35. 35. : frecuencia fundamental : deslizamiento Desafortunadamente, si las barras rotas se localizan 180° eléctricos una de la otra, no se producirán las componentes de las bandas laterales [16]. Esto es debido a que la FMM del rotor permanece simétrica y entonces sólo se produce la FMM que gira en la misma dirección a la del rotor. En este caso la FMM total del rotor se puede determinar mediante la ecuación 29: = − cos ( − ) cos ( − ) ( ) ( ) cos ( − ) cos ( − ) = cos( − )− cos( − ) = ( − ) cos( − ) ( ) Se puede observar de la ecuación 29 que solo se genera la FMM que gira en el sentido del rotor, por lo tanto no habrá componentes en las bandas laterales. En la práctica, debido a fallas en la construcción puede darse que las barras del rotor tengan una resistencia distinta o una asimetría lo que causa que aunque el motor esté operando sin fallas se presenten las componentes en las bandas laterales. Además, la relación de la amplitud de la primera componente de la banda lateral con respecto a la componente fundamental usualmente se utiliza como característica de falla para detectar algún defecto en el rotor mediante la determinación de si la relación supera un determinado umbral o no. Sin embargo, ese no es el valor estándar para determinar el umbral.
  36. 36. =( ) [Hz] ⁄ = [( ) ( − ) ] [Hz] 50 0.001 1 49 1 50 51 49 2 48 5 248 52 247 3 47 7 347 53 346 Tabla 3. Frecuencias de las corrientes estatóricas con asimetría en el rotor También es posible determinar el número de barras rotas según [16]: s = ( ) ( − ) Donde, : amplitud de la primera frecuencia lateral inferior : amplitud de la componente fundamental : número de barras rotas 1.2.3 Asimetría en el entrehierro La excentricidad en el entrehierro es una condición de operación en la cual la distancia entre el estator y el rotor es distinta. Es producto de una atracción magnética desbalanceada (UMP por sus siglas en inglés Unbalanced Magnetic Pull) o fuerzas radiales desbalanceadas, las cuales pueden causar daños en el motor por la fricción entre estator – rotor. Además, la fuerza magnética radial puede ejercer vibraciones potencialmente dañinas sobre el núcleo y devanados del estator. Por esta razón es muy conveniente poder detectar alguna excentricidad antes de que la máquina se deteriore. Existen tres tipos de
  37. 37. excentricidades, estática, dinámica y mixta; todas se distinguen por características del entrehierro. Algunos investigadores han propuesto la detección en línea de excentricidades en motores trifásicos de inducción utilizando, además de la corriente de línea en el estator, otras técnicas como la impedancia de secuencia negativa [5], el vector extendido de Park [25,26], la potencia instantánea [16], el flujo axial [8], inyección de señales a baja frecuencia [13], o el análisis de vibraciones [27]. 1.2.3.1 Excentricidad estática La excentricidad estática se presenta cuando un espacio mínimo queda fijo en el espacio del entrehierro, lo que ocasiona una atracción magnética desbalanceada (UPM) estable en una dirección. Esto puede ocasionar que se doble el eje del rotor, desgaste en los rodamientos y finalmente conducir a la excentricidad dinámica. La excentricidad puede ocurrir cuando el rotor se desplaza de un orificio central pero sigue girando sobre su eje [28,29,30] como se muestra en la figura 8: Cs Cr Figura 8. Excentricidad estática
  38. 38. 1.2.3.1.1 Causas de la excentricidad estática La excentricidad estática puede ser causada por: 1. Un núcleo del estator con forma ovalada producto de defectos en la fabricación. 2. Desalineación de los rodamientos durante el montaje. 3. Desgaste de los rodamientos. 4. Acoples mecánicos desalineados. 1.2.3.1.2 Detección de la excentricidad estática Si se asume que el rotor y estator son regulares (llanos), la permeancia en el entrehierro se puede expresar en dos términos, uno constante y otro dependiente del tiempo debido al giro del rotor [3,30,31]; ( )= cos( − − ) ( ) Donde; : Permeancia constante en el entrehierro. : valor máximo de la permeancia influenciada por la excentricidad. : frecuencia angular del centro del rotor con respecto al estator. : ángulo de fase. Para la excentricidad estática, la frecuencia angular es cero debido a que el rotor no gira alrededor del centro del motor sino sobre su propio centro. De este modo, la función de la permeancia en el entrehierro para la excentricidad estática se puede expresar mediante la ecuación 32: ( )= cos( ) ( ) Por lo tanto, la densidad de flujo en el entrehierro puede determinarse mediante la ecuación 33:
  39. 39. =( cos( )) ∑ cos( − ) ( ) = ∑ cos( − ) ∑ {cos (( ) − cos ( − ) }) En la anterior ecuación se observa que hay dos términos adicionales en la función de la densidad de flujo en el entrehierro debida a la excentricidad estática. La frecuencia de los voltajes inducidos afectados por la excentricidad estática puede expresarse como: ( − ) = = [ ] ( ) Si se considera la influencia de los armónicos temporales en las fuentes de voltajes, en la ecuación anterior, la frecuencia de los voltajes y corrientes inducidas en los devanados del estator se pueden expresar como se muestra en [17,18,20,24,31]; ( − ) =[ ] ( ) Donde; : 1,2,3,… : orden del armónico temporal (1,3,5,…) Se puede observar que la ecuación 35 es para armónicos de ranura en el rotor. Es decir, la excentricidad estática se traduce en un incremento de las componentes
  40. 40. armónicas de las ranuras en el rotor. Por otro lado, los experimentos en [31] han demostrado que la amplitud de las componentes calculadas en la ecuación 35 no cambia significativamente cuando el motor es afectado solo por la excentricidad estática. Sin embargo, las variaciones en la excentricidad estática pueden convertirse en excentricidad dinámica. 1.2.3.2 Excentricidad dinámica Cs Cr Figura 9. Excentricidad dinámica. La excentricidad dinámica ocurre cuando el rotor gira alrededor del centro del estator pero sobre su propio centro, lo que causa un entrehierro mínimo el cual siempre se mueve a través del entrehierro. Se puede observar en la figura 9. Hay diversas causas que generan la excentricidad dinámica. Una es que la velocidad de giro del centro del rotor no es igual a la velocidad de giro de la máquina [32]. 1.2.3.2.1 Causas de la excentricidad dinámica Como se mencionó anteriormente, una excentricidad estática puede derivar en algún grado de excentricidad dinámica debido al UPM. Por lo tanto las causas mencionadas para la excentricidad estática son válidas. Adicionalmente, la resonancia mecánica a una velocidad crítica puede resultar en excentricidad dinámica.
  41. 41. 1.2.3.2.2 Detección de la excentricidad dinámica De acuerdo a la ecuación 31, la velocidad de giro del centro del rotor es igual a la velocidad rotacional para la excentricidad dinámica. Esto significa que la frecuencia angular es igual a la velocidad rotacional mecánica . Por lo tanto, la función de la permeancia en el entrehierro para la excentricidad dinámica puede determinarse mediante la ecuación 36 [3,31]; ( )= cos( − ) ( ) La densidad de flujo puede derivarse de la función de permeancia y de la FMM del rotor. = cos ( − ) ( ) ∑ cos( − )= ∑ cos( − ) ∑ {cos ( ) −( ) cos ( − ) ( − ) } La frecuencia inducida de los voltajes y corrientes influenciados por la excentricidad dinámica pueden determinarse mediante dos términos adicionales en la densidad de flujo del entrehierro como se muestra en la ecuación 38: ( − ) = ( )= [( ) ] ( ) Si se tienen en cuenta los armónicos temporales de las fuentes de voltaje, la anterior ecuación se modifica según [17,18,20,24,31];
  42. 42. ( − ) = [( ) ] ( ) Donde; : 1,2,3,… : orden de la excentricidad dinámica : orden del armónico temporal de las fuentes de voltaje De acuerdo a [15,31], en el caso de que uno de los armónicos debido a excentricidades estáticas y dinámicas sea múltiplo de tres, teóricamente pude no existir armónicos en las corrientes de línea del motor trifásico. 1.2.3.3 Excentricidad mixta Cs Cr Figura 10. Excentricidad mixta En la realidad, ambas excentricidades, la estática y dinámica, tienden a co-exitir en las máquinas. En esta condición, el rotor no gira alrededor de su centro ni alrededor del centro del estator, pero lo hace alrededor de un punto entre los centros del rotor y estator. En la figura 10 se observa esta condición y se observa que el centro de giro está en algún sitio entre el centro del rotor y estator [28].
  43. 43. 1.2.3.3.1 Detección de la excentricidad mixta De acuerdo a las ecuaciones 31, 32 y 36, la función de la permeancia para excentricidad mixta puede determinarse como tres términos diferentes los cuales son afectados por la permeancia constante, excentricidad estática y dinámica [28]. ( )= cos( ) cos( − ) ( ) Las componentes de baja frecuencia corresponden a la frecuencia rotacional alrededor de la frecuencia fundamental y se muestran en la ecuación 41: − = = [ ( )] ( ) Donde; = Nótese que la ecuación anterior es para el caso en el que la velocidad de giro del centro del rotor es igual a la velocidad de giro. Adicionalmente, se observa que las componentes de baja frecuencia se ubican lejos con un múltiplo de la frecuencia rotacional de la componente fundamental. Exc. Estática Exc. Dinámica Exc. Mixta [Hz] [Hz] [Hz] 50 3 0.01 68 1 1 1172 1 1 1 1188.5 1 66.5 1072 1088.5 33.5 5 1372 1155.5 2 83 872 1055.5 17 1 2 1 1205 1105 1139
  44. 44. 1039 Tabla 4. Frecuencias de las corrientes estatóricas con asimetría en el entrehierro 1.2.3.3 Fuerza de atracción magnética (UMP) [33] La excentricidad del rotor produce una fuerza electromagnética conocida como fuerza de atracción magnética (UMP) que actúa entre el rotor y el estator. La amplitud y dirección de esta fuerza depende de las características de operación del motor, frecuencia de giro y radio del rotor. Actúa con mayor magnitud en la dirección de menor entrehierro como se muestra en la figura 11, y su magnitud es mayor a mayor grado de excentricidad, y provoca graves daños en las máquinas eléctricas. Figura 11. Dirección y Magnitud de la Fuerza de atracción magnética. La fuerza de atracción magnética (UMP) debido a excentricidad del rotor es considerada principalmente como el resultado de la interacción del campo magnético fundamental con la aparición de armónicos de excentricidad debidos a la modulación de la fuerza magnetomotriz fundamental con la onda de permeancia. La fuerza de atracción magnética es muy difícil de medir, por lo tanto, son pocos los estudios que miden esta fuerza directamente en motores de inducción tipo jaula de ardilla. Uno de los efectos principales de esta fuerza es la saturación de la
  45. 45. máquina. Si el voltaje estator aumenta, aumenta la fuerza de atracción al cuadrado de la tensión de la máquina hasta que la sobretensión este en un punto en que la fuerza comienza a reducir y la máquina se satura. El rotor de jaula de ardilla amortigua esta fuerza de atracción considerablemente, aunque este efecto es difícil de cuantificar. La configuración de los devanados puede reducir o atenuar la fuerza neta de atracción magnética, pues una configuración en paralelo tiene un mayor efecto de reducción que una configuración serie, y también logra eliminar vibraciones causadas por los armónicos de fuerza magnética generada por la excentricidad con el inconveniente de la aparición de los pares pulsantes. Los armónicos de ranura son considerados contribuyentes de la fuerza de atracción magnética, y se atenúan casi uniformemente en toda la gama de la frecuencia de giro, aunque no al grado de los armónicos de excentricidad. 1.2.4 Asimetría en el estator De acuerdo a investigaciones [4], la mayoría de las fallas relacionadas con el estator es la falla del aislamiento entre espiras de una misma fase. Aunque el motor de inducción puede seguir operando con algunas espiras en cortocircuito, eventualmente se producirán fallas en las espiras contiguas y en el núcleo del estator lo que ocasiona una falla a tierra. Detectar estas fallas a tiempo puede reducir costos de reparación y de tiempos muertos en la industria. 1.2.4.1 Causas del cortocircuito entre espiras Existen muchas razones por las cuales se desgasta el aislamiento, entre las cuales se destacan: 1. Estrés térmico debido a sobrecargas y envejecimiento del aislamiento, el cual reduce su vida útil a la mitad por cada aumento de 10°C de
  46. 46. temperatura. Para evitar el envejecimiento debido al calor producido por los devanados se suele incrementar la clase del material aislante y monitorear constantemente la temperatura de operación. También se pueden originar sobrecargas térmicas debido a variaciones de las tensiones de alimentación, par de carga cíclico, obstrucciones en el sistema de ventilación, temperatura del medio ambiente muy alta, etc. 2. Estrés eléctrico debido a esfuerzos en los devanados ocasionados por una falla en el aislamiento, lo que da lugar a descargas parciales. 3. Estrés mecánico: dichos esfuerzos se deben a movimientos en las bobinas ocasionados por fuerzas en el interior de la máquina. 4. Contaminación medioambiental: el aislamiento de los devanados se puede deteriorar debido a agentes químicos presentes en el ambiente, humedad relativa elevada, polvo, etc. 5. Envejecimiento: el aislamiento tiene una vida útil la cual se reduce con el paso del tiempo. 1.2.4.2 Detección de cortocircuito entre espiras Algunas de las primeras técnicas para detectar fallas en el estator son la técnica de descargas parciales [7], el monitoreo del flujo axial de dispersión [34], la impedancia y corriente de secuencia negativa [5,35] y la componente de secuencia cero [6,36]. El principal efecto del corto entre espiras es que se reduce el número de espiras de los devanados. Esto causa un efecto pequeño pero finito sobre la densidad de flujo en el entrehierro. Cuando ocurre un corto, los devanados por fase poseen un menor número de vueltas, lo que reduce la FMM. Por otro lado, las corrientes que circulan por el corto producen una FMM adicional, la cual se opone a la FMM principal producida por los devanados [32,34,37,38].
  47. 47. Figura 12. Diagrama del cortocircuito entre espiras en una sección de devanado. Bajo la técnica MCSA la frecuencia inducida que resulta del cortocircuito entre espiras [37] se expresa bajo la ecuación 42: = | ( − ) | ( ) Donde; : 1,2,3,… : 1,3,5… Adicionalmente, se presentan dos expresiones que consideran la saturación del material, así como la influencia de diferentes fuentes [37]. La primera expresión procedente de las corrientes estatóricas es: ( − ) = { } ( ) La segunda expresión procedente de las corrientes del rotor es: ( − ) = {( ) } ( ) Donde; : 1,2,3,…
  48. 48. : 1,2,3,… : influencia de las ranuras del estator = 1,2,3,… : influencia de la saturación =m0,1,2,3,… (Eq.42) (Eq.43) (Eq.44) [Hz] [Hz] [Hz] 50 3 0.01 68 1 1 66.5 1 0 - 1072 0 1 0 1 17 1 33.5 1 0 1 1172 0 2 0 1 33.5 2 1 83 1 1 1 1272 0 3 0 1 50 17 1 2 1 1372 0 4 0 1 66.5 1 5 266.5 0 5 0 1 83 233.5 Tabla 5. Frecuencias de las corrientes estatóricas con corto entre espiras. La ecuación 43 es similar a la expresión para los armónicos de ranura del rotor y la ecuación 42 es similar a la ecuación 44 si no se considerara la saturación del material. Esto implica que la falla de corto entre espiras afecta las corrientes de línea aumentando los armónicos de ranura del rotor y las componentes correspondientes a la frecuencia rotacional. Sin embargo, no son suficientes para identificar una excentricidad mixta y cortocircuito entre espiras. Para separar ambas fallas es necesaria la amplitud de la corriente de cada fase y los cambios de fase entre cada corriente. En condición sana (sin falla), las impedancias de cada devanado son normalmente balanceadas y por consiguiente, la amplitud de las corrientes de fase también lo son. La diferencia de fase entre cada fase es de 120°. Debido a defectos en las espiras, las impedancias de los devanados y las corrientes se desbalancean y el desplazamiento de fase se distorsiona. Por otra parte, el contenido del tercer armónico se hace predominante, por lo tanto, para distinguir una excentricidad dinámica de un corto entre espiras es necesario conocer la amplitud, el desplazamiento de fase y el contenido del tercer armónico.
  49. 49. 1.2.5 Daños en los cojinetes Los cojinetes se utilizan para sostener el eje del rotor en el motor de inducción. Una falla en los cojinetes puede resultar en el incremento de las vibraciones y del nivel de ruido y ocasionar daños en los acoples mecánicos por lo que también es importante detectar este tipo de falla. 1.2.5.1 Causas de daños en los cojinetes Se pueden resumir en: 1. Altas vibraciones ocasionadas por soldaduras, acoples mecánicos o sobrecargas. 2. Excentricidades inherentes, las cuales causan fuerzas magnéticas desbalanceadas. 3. Descargas eléctricas o chispas. 4. Corrosión y contaminación causada por la acción de diminutas partículas abrasivas o la corrosión del agua, ácidos, polvo, etc. 5. Una inapropiada lubricación. 6. Incorrecta ubicación de los cojinetes. 1.2.5.2. Detección de daños en los cojinetes y rodamientos Dichos daños pueden detectarse por el incremento en la vibración de los espectros de alta frecuencia [7]. Sin embargo, el costo para lograr medir la vibración es elevado debido a los equipos necesarios, contrario al monitoreo de las corrientes estatóricas es mas barato porque no requiere sensores adicionales. Como se sugiere en [15,16,39,40], las fallas en los cojinetes y rodamientos pueden ser causada por desplazamientos mecánicos en el entrehierro, los cuales pueden manifestarse como una combinación de excentricidad rotativa moviéndose en ambas direcciones. El aumento de la vibración por este efecto puede reflejarse en las corrientes en relación a sus componentes:
  50. 50. =| | ( ) Donde; : 1,2,3,… : frecuencias de vibración característica basadas en las dimensiones de los rodamientos. Generalmente, la mayoría de las máquinas eléctricas usan rodamientos de balín el cual consiste en dos anillos, uno interior y otro exterior. Los daños en este tipo de rodamiento se pueden categorizar en cuatro tipos [15,16,40]; Ángulo de contacto β Diametro Bola (BD) Paso de Balín (PD) Figura 13. Dimensiones de los rodamientos 1. Daño en el rodamiento exterior: la frecuencia de vibración es; =( ) [ − cos( )] ( ) 2. Daño en el rodamiento interior: la frecuencia de vibración es;
  51. 51. =( ) [ − cos( )] ( ) 3. Daño en el balín: la frecuencia de vibración es; = { −[ cos( )] } ( ) 4. Daño en tren: la frecuencia de vibración es; ( ) = [ − cos( )] ( ) Donde; : número de balines. : diámetro del balín. : paso del balín. : ángulo de contacto del balín 1.2.6 Acople mecánico Los accionamientos mecánicos, como engranajes, pueden influenciar las corrientes del estator ocasionando la aparición de las bandas laterales alrededor de la frecuencia fundamental. Dichas componentes corresponden a la velocidad de rotación. Por lo tanto, es importante tener en cuenta este efecto cuando se analizan las corrientes estatóricas, para lo cual se hace necesaria la información del sistema mecánico [18]. =| | ( ) Donde; : frecuencia rotacional del accionamiento mecánico.
  52. 52. 1.2.7 Cargas oscilatorias Las influencias de cargas oscilatorias se analizaron en [41] en donde se operó un motor de inducción con un par de carga periódico (10Hz) al 50% del ciclo de trabajo. Las bandas laterales se ubicaron a 10Hz de la componente fundamental, por lo que cargas oscilatorias pueden conducir a un diagnóstico errado. Es posible considerar el efecto de dichas cargas si se asume que el motor de inducción no posee pérdidas y es alimentado por una fuente de voltaje perfectamente sinusoidal. Las corrientes de entrada se componen de la sumatoria de las componentes de la frecuencia fundamental y de las debidas a la carga oscilatoria; dichas corrientes se pueden reflejarse como bandas laterales como se muestra en la ecuación 51: = cos( − ) cos( − ) = cos ( − − ) cos ( − − ) ( ) = cos ( − ) cos ( − ) Por lo tanto, la potencia de entrada es el producto de las corrientes y voltajes de entrada. = = cos cos ( − ) − ( ) Donde; : amplitud de la corriente a partir de la frecuencia fundamental : amplitud de la corriente a partir de las componentes laterales : frecuencia fundamental : frecuencia de las bandas laterales : amplitud de la fuente de voltaje
  53. 53. De la anterior ecuación se puede observar que la potencia de entrada no es constante, pulsa a una frecuencia − . Es decir, si la carga oscila con una frecuencia − , se puede presentar en las corrientes estatóricas una componente de frecuencia . 1.2.8 Conclusión En la siguiente tabla se resumen los tipos de fallas, sus consecuencias y cómo detectarlas: Falla Consecuencia Detección FMM del rotor girando en sentido Rotura de barras y contrario debido a las corrientes Ecuación 28 y 29 anillos del Rotor asimétricas Armónicos de ranura Pulso magnético desbalanceado debido Excentricidad Estática del estator – Ecuación al espacio mínimo en el entrehierro 35 Pulso magnético desbalanceado y Excentricidad Dinámica periódico debido a la distancia mínima Ecuación 39 variable del entrehierro Pulso magnético desbalanceado Excentricidad Mixta influenciado por excentricidad estática Ecuación 35, 39 y 41 y dinámica Cortocircuito entre FMM asimétrica en los devanados del Ecuación 35 y 42 espiras estator Daños en rodamientos Incremento en las vibraciones Ecuación 45 y 49 Tabla 6. Tipos de falla y sus consecuencias - Los accionamientos y acoples mecánicos pueden reflejarse en las componentes de las corrientes estatóricas cuya frecuencia corresponde a la velocidad de rotación. - Cargas pulsantes (oscilatorias) pueden dar lugar a la aparición de bandas laterales en las corrientes del estator, y su frecuencia corresponde a la frecuencia con que oscila la carga.
  54. 54. 1.3 Aproximación por la Potencia Instantánea y el Vector de Park 1.3.1 Introducción En esta sección, se presentan dos técnicas alternativas. La primera es la Aproximación por la Potencia Instantánea o IPA por sus siglas en inglés (Instantaneous Power Approach), la cual tiene la ventaja de que los armónicos pueden ser más fácilmente diferenciados de la componente fundamental. Aplicando MCSA es difícil filtrar la componente fundamental de las corrientes estatóricas sin afectar las componentes laterales. Adicionalmente, la Potencia Instantánea puede dar más información y ser más tolerante a las distorsiones debido a que la potencia es el producto del voltaje y la corriente. [16,20,41,42]. La otra técnica es la Aproximación por el Vector de Park o PVA por sus siglas en inglés (Park´s Vector Approach). Esta técnica considera las tres corrientes de fase en términos de las componentes del eje d (eje directo) y el eje q (eje en cuadratura) obteniendo dos indicadores, la curva de Lissajou y los módulos de corriente. Monitoreando desviaciones en la curva de Lissajou se pueden detectar fácilmente algunas fallas. Sin embargo, no es posible identificar claramente el tipo de falla, por lo que se requieren los módulos de corriente. 1.3.2 Aproximación por la Potencia Instantánea Condición sin falla Consideremos un motor de inducción ideal alimentado por una fuente de voltaje ideal, la potencia de una fase puede expresarse como: ( )= ( ) ( ) ( ) Y la potencia instantánea puede expresarse como: ( )= cos( − ) cos( ) ( )
  55. 55. Donde; ( ): voltajes en cada fase, línea-neutro o línea-línea = √ ( ) ( ): corrientes de línea = √ ( − ) : ángulo de la carga Se observa que la potencia instantánea se compone de dos términos; uno en DC y otro sinusoidal con una frecuencia del doble de la fundamental. El primero representa la potencia real y el segundo la aparente. Por otro lado, algunas componentes adicionales de la potencia instantánea, causadas por la interacción de los primeros tres armónicos de la fuente de voltaje, también están presentes en las frecuencias [41]. Condición bajo falla De acuerdo a la sección anterior, las corrientes del estator contienen algunas componentes adicionales debido a anomalías en el motor. Por simplicidad, se puede asumir que son debidas a la amplitud y entonces, las corrientes en el estator bajo condición de falla se pueden expresar con la ecuación 55 [20,41,42]: ( )= ( ) [ cos( − )] = ( ) {cos[( ) −( )] cos[( − ) − ( − )]} ( ) √ Donde; : índice de modulación : frecuencia angular de modulación : ángulo de fase de modulación. La potencia instantánea modulada se puede expresar:
  56. 56. ( )= ( ) {cos[( ) −( )] cos[( − ) − ( − )] cos( ) cos( − )} ( ) En la ecuación anterior se observa que las componentes laterales continúan presentes en la potencia instantánea, pero se ubican a alrededor de la componente de DC y alrededor del doble de la frecuencia fundamental. Las componentes alrededor de la DC, llamadas componentes características, arrojan información adicional para el diagnóstico. De acuerdo a la sección anterior, los índices de falla para la IPA pueden derivarse de aquellas componentes que son afectadas por las corrientes estatóricas, como se muestra en la tabal 7: Condición Componentes IPA esperados Asimetría en el Rotor , Excentricidad Mixta , Cortocircuito entre espiras ( − ) = , (Eq. 3.23 con k=1) Tabla 7. Frecuencias inducidas para algunas fallas aplicando IPA En la anterior tabla se observa que la IPA no distingue entre una excentricidad mixta y un corto entre espiras. Sin embargo, sí considera las consecuencias del corto, el cual incrementa el contenido del tercer armónico en las corrientes del estator y provoca la aparición de componentes a en el espectro de la potencia instantánea. Sin embargo, la técnica IPA no brinda ninguna ventaja para detectar excentricidades estáticas o dinámicas. Además, como se basa en información de las corrientes del estator, cualquier ruido en las corrientes puede reflejarse en la potencia instantánea, lo que puede causar inconvenientes para detectar algunas componentes cuando la falla no es muy severa. No obstante, IPA es mejor que
  57. 57. MCSA debido a que normalmente la amplitud de la potencia es mucho más grande que la amplitud de la corriente. Mediante un filtro en DC se logra solucionar el inconveniente. 1.3.3 Aproximación por el Vector de Park La transformada de Park es usada para trasformar el sistema trifásico de las corrientes del estator (A-B-C) en un sistema de de dos fases (D-Q). La expresión para la transformación se presenta en [11,12,16,26,43,44]; =√ − − √ √ = − ( ) √ √ Además, la expresión para los módulos de corriente: = | | ( ) Condición sin falla Cuando el motor opera en condiciones normales, las tres corrientes pueden expresarse como se muestra en la ecuación 2. Por lo tanto, las corrientes en los ejes d y q pueden expresarse como: √ = s ( ) √ = s ( − ) ( ) La curva de Lissajou representa la función entre las componentes del eje d y el eje q: = ( ). En la ecuación anterior, la curva de Lissajou, para el motor sin falla, es un círculo perfecto con su centro en el origen y diámetro igual a (√ ⁄ ) , como
  58. 58. se puede observar en la figura 4.1a. Como el diámetro es proporcional a la amplitud de la corriente, la curva se hace más gruesa a medida que la carga del motor varía. Adicionalmente, los módulos de corriente, para el motor sin falla, solo poseen una componente en DC como se observa en la ecuación 58 y 59. Condición de falla Bajo la condición de falla, la curva de Lissajou se distorsiona debido a algunas componentes de las corrientes estatóricas influenciadas por la falla. En [11,43] se analiza la detección de asimetrías en el rotor (rotura de barras) por medio del monitoreo de la curva de Lissajou. El borde de la curva se torna más grueso cuando hay asimetría en el rotor, como se observa en la figura 14b (motor con 10 barras rotas). Esta ventaja permite detectar condiciones de falla observando el comportamiento de los patrones adquiridos. Resultados han demostrado que las componentes laterales de las corrientes estatóricas influenciadas por una asimetría en el rotor pueden aparecer a las frecuencias alrededor de la componente de DC en los módulos de corrientes [12]. También se ha demostrado que la curva de Lissajou no es muy útil para la detección de excentricidades [25,26] debido a que la curva no varía mucho para estos tipos de falla.
  59. 59. SANO 10 BARRAS ROTAS 80 80 40 40 Iq [A] Iq [A] 0 0 -40 -40 -80 -80 -80 -40 0 40 80 -80 -40 0 40 80 Id [A] Id [A] (a) (b) 40% Exc. Est. Y 40% Exc. Din. 6 Espiras en corto 80 100 40 50 Iq [A] Iq [A] 0 0 -40 -50 -80 -100 -80 -40 0 40 80 -100 -50 0 50 100 Id [A] Id [A] (c) Figura 14. Curva de Lissajou para varias condiciones. Para detectar cortocircuito entre espiras es necesario determinar los módulos de corriente y la curva de Lissajou. En condiciones normales (sin falla), las corrientes estatóricas sólo contienen la componente de secuencia positiva, por lo que la forma circular para la curva de Lissajou aún es válida. Sin embargo, bajo condición anormal, las impedancias de las fases se desbalancean por el desperfecto en los devanados, lo que causa corrientes desbalanceadas e introduce la componente de secuencia negativa. Debido a esta secuencia negativa, la curva de Lissajou puede presentar algunas distorsiones como tomar forma de elipse. Por ejemplo, en la figura 14d se muestra la curva para una falla de cortocircuito entre 6 espiras. Adicionalmente, la secuencia negativa se manifiesta en los módulos de corriente
  60. 60. por una componente al doble de la frecuencia fundamental como se muestra en la figura 15 [44,45]. En la tabla 8 se resumen los indicadores de falla aplicando EPVA. Módulo de Corriente del Vector de Park [A] Eje Q (√6/2)[i(+) + i(-)] (√6/2)[i(+) - i(-)] Eje D Nivel DC (√6/2)i(+) 1/(2f1) t(s) Figura 15. Relación entre las componentes simétricas y el vector de Park para una asimetría en el estator. Condición Curva de Lissajou Espectro de módulos de Park Sano Circulo DC Rotura de barras o Círculo más grueso DC, , anillos Excentricidad Mixta Círculo (más grueso para mayores grados DC, , de excentricidad) Falla en devanado Elipse DC, , , estatórico Tabla 8. Indicadores de falla según la curva de Lissajou y el espectro de los módulos de Park.
  61. 61. 1.3.4 Conclusión En esta sección se presentó la aproximación a través de la Potencia Instantánea (IPA) y el Vector de Park (EPVA). La ventaja de IPA es que transforma las componentes características para que se evidencien alrededor de la componente de DC y al doble de la frecuencia fundamental. La desventaja es que no es muy útil para excentricidades tanto estáticas como dinámicas. Para EPVA existen dos indicadores, la curva de Lissajou y los módulos de corriente. Monitoreando la curva de Lissajou es posible detectar condiciones de falla, pero para identificarla se hace necesario determinar los módulos de corriente. También presenta el inconveniente de no ser efectiva para excentricidades. Ambas técnicas requieren información de las tres fases como las corrientes rms (valor eficaz). 1.4 La impedancia de secuencia inversa [46] Se ha demostrado, que es posible diagnosticar la presencia de espiras en corto circuito en el devanado estatórico de un motor de inducción por medio de un parámetro denominado la impedancia efectiva de secuencia inversa. Este parámetro se apunta de gran utilidad como indicador de fallos en los devanados del estator de motores de inducción en funcionamiento. En la práctica, el sistema de tensiones que alimenta a un motor nunca es del todo equilibrado, siempre existen ligeras diferencias entre los valores eficaces de la tensión y/o de los ángulos de desfase. El comportamiento de un motor de inducción en buen estado, alimentado por un sistema desequilibrado, puede analizarse estudiando sus circuitos equivalentes de secuencia directa e inversa.
  62. 62. La figura 16 muestra el circuito equivalente de secuencia directa, donde Rs y Rr representan las reactancias de estator y rotor respectivamente. Las reactancias de dispersión de estator y rotor y la reactancia de magnetización corresponden a Xs, Xr y Xm respectivamente. Xs Rs Xr Rr I1 Rr(1-S) U1 E1 Xm S Figura 16. Circuito equivalente de secuencia directa. La componente variable de la resistencia del rotor RL1 (Ecuación 60), es la que permite calcular la potencia mecánica del motor como una función del deslizamiento del rotor (s). = (60) Este valor es muy sensible a los cambios de deslizamiento, como se puede apreciar en la función derivada (Ecuación 61). ( ) − = ( ) Dado que el campo de secuencia inversa gira en oposición al campo directo, el circuito equivalente para la secuencia inversa puede obtenerse sustituyendo el deslizamiento, s, en el circuito de secuencia directa por la cantidad (2-s). En la figura 17 se observa el circuito resultante.
  63. 63. Xs Rs Xr Rr I1 -Rr(1-S) U1 E1 Xm 2-S Figura 17. Circuito equivalente de secuencia inversa. Ahora, la componente variable de la impedancia se expresa como: − =− ( ) − Esta expresión ya no es tan sensible a los cambios del deslizamiento como se aprecia: ( ) − = ( ) ( − ) Teniendo en cuenta que la mayoría de los motores de inducción funcionan con deslizamientos muy bajos, del orden del 3%, se pueden hacer dos observaciones interesantes: La primera es que la impedancia de secuencia inversa es mucho menor que la impedancia de secuencia directa en un motor; por lo tanto, para niveles bajos de tensión de secuencia inversa, circulan niveles relativamente altos de corriente de secuencia inversa. Esto es un problema a la hora de monitorear la corriente de línea, ya que ésta se ve afectada por pequeños desequilibrios de tensión y por lo tanto se oculta cualquier síntoma de fallo incipiente.
  64. 64. Otra observación interesante es que, a diferencia de la impedancia de secuencia directa, la impedancia de secuencia inversa de un motor de inducción es poco sensible a los cambios de deslizamiento en consecuencia la impedancia de secuencia inversa es prácticamente constante frente a las variaciones de carga y al flujo de corriente de secuencia inversa. Este valor de impedancia puede calcularse como el cociente entre la componente de secuencia inversa de voltajes y la componente de secuencia inversa de corrientes, como se aprecia: = ( ) Donde: Vr 2 e I r 2 son las componentes de secuencia inversa de voltajes y las corrientes respectivamente, calculados con la teoría de componentes simétricas como se ve en las ecuaciones 65 y 66. = ( ) ( ) = ( ) ( ) Donde: Vr , Vs , Vt , son las tensiones de las fases r, s y t respectivamente. I r , I s , It , son las corrientes de las fases r, s y t respectivamente. a es el vector unitario e j120 . Cuando se comienza a poner de manifiesto alguna deficiencia en el estado del aislamiento del estator, la simetría se pierde y el motor deja de presentar un valor constante de la impedancia a la corriente de secuencia inversa. En este caso, las
  65. 65. componentes de distinta secuencia influyen entre sí, ocurriendo que las caídas de tensión pueden deberse a la circulación de componentes de corriente de cualquier Z 2ef secuencia. Debido a estos efectos, se altera durante una falla incipiente y puede utilizarse para propósitos de monitoreo de las fallas. Experimentos llevados a cabo con éste método concluyen que la impedancia de secuencia negativa presenta una tendencia de evolución determinada por la presencia de fallos en el aislamiento estatórico; es decir, su módulo cambia considerablemente de valor, incluso cuando aparece un cortocircuito que afecta tan sólo a un par de espiras.
  66. 66. CAPÍTULO 2 EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF) Y MODELOS DE FALLA 2.1 Introducción En este capítulo se presentan los detalles y consideraciones del software Flux2D®, así como los modelos implementados para simular cada tipo de falla por medio del MEF. Adicionalmente se presentan los detalles generales de la máquina bajo estudio. Entre las fallas modeladas se encuentran rotura de barras del rotor, excentricidad del rotor (dinámica y estática), cortocircuito entre espiras del estator. 2.2 Modelamiento en Elementos Finitos El método de los elementos finitos (M.E.F) se basa en dividir el cuerpo, estructura o dominio (medio continuo) sobre el que están definidas ciertas ecuaciones integrales que caracterizan el comportamiento físico del problema en una serie de subdominios no intersectantes entre sí denominados elementos finitos. El conjunto de elementos finitos forma una partición del dominio también denominada discretización. Dentro de cada elemento se distinguen una serie de puntos representativos llamados nodos. Dos nodos son adyacentes si pertenecen al mismo elemento finito, además un nodo sobre la frontera de un elemento finito puede pertenecer a varios elementos, el conjunto de nodos considerando sus relaciones de adyacencia se llama malla. Los cálculos se realizan sobre una malla o discretización creada a partir del dominio con programas especiales llamados generadores de mallas, en una etapa previa a los cálculos que se denomina pre- proceso. De acuerdo con estas relaciones de adyacencia o conectividad se relaciona el valor de un conjunto de variables incógnitas definidas en cada nodo y denominadas grados de libertad. El conjunto de relaciones entre el valor de una determinada variable entre los nodos se puede escribir en forma de sistema de
  67. 67. ecuaciones lineales (o linealizadas), la matriz de dicho sistema de ecuaciones se llama matriz de rigidez del sistema. El número de ecuaciones de dicho sistema es proporcional al número de nodos. Típicamente el método de los elementos finitos, se programa computacionalmente para calcular el campo de desplazamientos y posteriormente a través de relaciones cinemáticas y constitutivas las deformaciones y tensiones respectivamente, cuando se trata de un problema de a mecánica de sólidos deformable o más generalmente un problema de mecánica de medios continuos. El método de los elementos finitos es muy usado debido a su generalidad y a la facilidad de introducir dominios de cálculo complejos (en dos o tres dimensiones). Además el método es fácilmente adaptable a problemas de difusión del calor, de mecánica de fluidos para calcular campos de velocidades y presiones (fluido dinámica CFD) o de campo electromagnético. Dada la imposibilidad práctica de encontrar la solución analítica de estos problemas, con frecuencia en la práctica de la ingeniería los métodos numéricos, y en particular los elementos finitos se convierten en la única alternativa práctica de cálculo. Una importante propiedad del método es la convergencia, si se consideran particiones de elementos finitos sucesivamente más finas la solución numérica calculada converge rápidamente hacia la solución exacta del sistema de ecuaciones, [47]. Los programas para cálculo por elementos finitos disponen de tres módulos de trabajo: Pre-procesador: Donde se prepara el modelo para el cálculo, en el se realizan las operaciones de:

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