Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

........................................................................................ 11
........................................................................................ 13
.............................................................................. 113
.......................................................................................... 141
– ....................................................................... 151
........................................................................................ 153
.............................................................................. 347
.......................................................................................... 391
............................................................... 401
........................................................................................ 403
.............................................................................. 477
.......................................................................................... 501
.................................................................................................... 507
................................................................................................ 569

101
63
z
4
z i z i *
i) z
x x
ii)
i) z x yi M x,y
4
z i z i
4
z i z i
4
z i z i
2 22 2
2 22 2
2 2
x y 1 i x y 1 i
x y 1 x y 1
x y 1 x y 1
y 2y 1 y 2y 1
4y 0
y 0,
H
4
z i z i
z i z i
M z
x x
x x

102
ii)
S z i z 3 2i
z i z 3 2i
MB M
i)
|
z, i 3 2i
2 2
MB M
3 2i i
3 3i
3 3
x x
2 1
3 0
x x
1z 1 0i
1z
4
1 i 1 i
22 2
1 i 1 i
22 2 2 2
1 i 2i 1 i 2i
2
2i 2i ,
S 3 2
, S
S MB M
1
x x
x x
1z 1
y
xM z

103
64
z
4z 3i 1
i) z
ii) z
iii)
1
z
i)
3
4z 3i 1 4 z i 1
4
3
4 z i 1
4
3 1
z i
4 4
1
4
z
3
i
4
3
K 0,
4
1
4
ii)
z OM
OM OA
i)
0,1
z
O
K
y
x
M z
O
K
y
x
z

104
iii)
2
z 11 zz 1
z z z
2 2
2
z 1 z 1
w
z z
z 1 1
z
z z z
1
x 2
x
x 0
1
z
z 1
z i,
ii)
w 2
z i
1
i
1
x 2
x
x 0
i)
A 0,1
z i
O 0,0
z
M z
O
K
y
x

105
65
z w
z 1 w 2 i z 4i
i) w
ii)
i)
w 2 i z 4i
w 4i 2 i z
w 4i
2 i
z 1
w 4i
1
2 i
w 4i
1
2 i
2 2
w 4i 2 1
w
4i K 0, 4
ii)
w z 2 i z 4i z 1 i z 4i
4i
1 i z
1 i 2 2
4i 1 i
1 i z
1 i
2
2 2
4 i i
1 1 z 2 z 2 i 1
2
2 z 2 2i 2 MN ,
y
x
5
P w
1

106
z 2 i
w z
MN
AN MN BN
2 2
c : x y 1
z
2 2
min MN AN ON OA
2 2 1 2 2 1
2 2
max MN BN ON OB
min w z min 2 MN
2 min MN
2 2 2 1
4 2
max w z max 2 MN
2 max MN
2 2 2 1
x
y
A
M z
N 2,2
z 2 2i
B
O
min w z
max w z
w
z
z
z
w
z
w
“ ”!
y
x
5
P w
w z
1

107
66
z w
3z 9i
z
22
1
i)
2
z 4 z z i 7 0
ii) w
2 2
2
iii)
i) z
22
1c : x y 4 9
K 0, 4
4i, 1
2
z 4i 3 z 4i 9
2
z 4i z 4i 9
zz 4zi 4zi 16 9
z 4 z z i 7 0
ii)
3z 9i3z 9i
1 1
z 5i z 5i
2 2
2
2
3z 9i z 5i
3z 9i 3z 9i z 5i z 5i
9zz 27zi 27zi 81 zz 5zi 5zi 25
8zz 32zi 32zi 56 0
8 z 32 z z i 56 0
z 4 z z i 7 0,
w 1
ii)

108
iii)
z w MN
z
w 1c
2c A 0,1
y y) B 0,7
0 MN B
0 z w 8
z i w i (1)
z 7i w i (2)
z i
3i 9i 6i
w 1 i
i 5i 6i
z 7i
21i 9i 12i
w 1 i
7i 5i 12i
(1) (2)
z
w
1c 2c
w
z
z
1c
w
2c
A 0,1
N w x
y
B 0,7
M z
K 0,4

109
67
z w
z 1
2z 1
z 2
i) N z w
c
ii) N z w z
iii) N w z
iv) N
i)
z 1
2z 12z 1
1 1
z 2 z 2
2 2
2z 1 z 2 2z 1 z 2
2z 1 2z 1 z 2 z 2
2z 1 2z 1 z 2 z 2
4zz 2z 2z 1 zz 2z 2z 4
3zz 3
2
z 1
z 1,

110
ii)
2 1
z
w z
1
w
z
2z 1 1
z 2 z
z 2z 1 z 2
2
2z z z 2
2
2z 2z 2 0
2
1,2
1 3i
z
2
1
1 3
z i
2 2
2
1 3
2 2
1 2z z 1 1 2z , z
iii)
w z MN
w, z
MN 2
c
z
w z z 1
ii)
1,2
1 3
2 2
y
x
N z
M w
O

111
w z 2
1 3
2 2
iii)
w z MK
w, z
MK 2
z
w z (1)
w z
2z 1
z 2z 1 z z 2
z 2
2
2z 1 z 2z 2
1,2
4 12
z 2 3
2
z (1) MK 2
y
x
M w
O
K z

112
0,0
68
1 2 3 4
1 2 3 4z z z z 10
1 2 2 3 3 4 4 1
1 2 3 4z z z z 10
1 2 3 4z ,z ,z ,z ,
O 0,0
10 ,
,
1 2 2 3 3 4 4 1z z z z z z z z
,
1 2 2 3 3 4 4 1
0,0
y
B
A
x

- 335
136
f :
x 1
f x 1
lim 1.
x 1
i)
2x 0
f x
lim
f x x
ii) f
iii) f.
iv) f
x
lim f x 4
i) u x 1.
x u
f u
lim 1
u
f x
lim 1.
x
2
f x
f x x xlim lim
f xf x x
x
x
f x
lim lim
x x
f x
lim lim x
x
1 1
2.
x
x
x

336
ii)
f x
x
.
f x
x
f x x
1 2
1 2
1 2
f
iii)
f x
limf x lim x
x
f x
lim lim x
x
f
f
f
1f x 2f x
1 2x x .
f

- 337
iv) H f
f x f x x .
x x
lim f x lim f x
x
lim f x 4.
u x
x u
.
x
lim f x 4
u
lim f u 4
x
lim f x 4.
f .
x x
f
x x
f
x
lim f x
x
lim f x

338
137
y y.
y 2.
MO MA MB
222 2 2 2
2 2
2 2
f
.
Bolzano
2 2
y
4 x

- 339
138
f : 1 1
2
i)
ii) f x 0
i)
2
f 1 1
2
22
2 2

340
ii)
f 1 f 2 .
f
2
.
f 1 1. Bolzano
f 1 1.

- 341
139
z w
2 2
2 z z
z z z
2
2
w z z i.
i) z
ii) z
0 Im z 1 Im w 0 .
iii) A w z 2.
i) z x yi
2 2
2 z z
z z z
2
2 2
2
2 2 x yi x yi
x y x yi x yi
2
2 2 2 2
2 2 x y 2xyi x y 2xyi
x y 2x
2
2 2
2 2 2x 2y
x y 2x
2
2 2 2 2
x y x y 2x
2
2y 2x 2
y x.
2

342
ii)
22
w z z i x yi x yi i
2 2
2 2
x y 2xyi x yi i
x y x 2xy y 1 i.
2
y x .
w y y y 2y y y 1 i y 2y y 1 i
1 2
1 2y y 1 22y 2y .
1 1 2 22y y 1 2y y 1
1 2f y f y .
f
Bolzano
f.
iii) w z x y i y
ii)
i) 2
y x . 2
z y y i
4 2
z y y 1 1 2.

- 343
140
z
2 2
2 z z
z .
2i
i) z
ii) z
0 Re z 1
i) z x yi
2 22 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
22 2
x yi x yiz z
z x y
2i 2i
x y 2xyi x y 2xyi
x y
2i
4xyi
x y x y 2xy
2i

344
ii) i)
z x xi
2 22 2 2 2
22 2
2 2
2 2
f
Bolzano
2 2

- 345
141
f :
f 0 2. z
fC
2
Im z z 1.
fC
.
fC
x
z x f x i
2
Im z z 1 (1)
22
2 2
2 2
z z x f x i x f x i
x f x 2x f x i x f x i
x x f x 2x 1 f x i.
(1)
1
2
1 1
2 2
.
Bolzano
1
2
2
2x 1 f x 1 Im z z 1.
fC

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