Εξαιρετικά θέματα από τους μιγαδικούς αριθμούς και τα όρια από ένα βιβλίο που ξεχωρίζει! Ο φίλος και συνάδελφος, συγγραφέας και εκδότης, Γιώργος Μαυρίδης, προσφέρει μερικά πολύ ωραία θέματα για τις τελικές επαναλήψεις. Περιλαμβάνονται και προτεινόμενα διαγωνίσματα.

1. 9 786188 021495
ISBN: 978-618-80214-9-5

2. 306
193. f : ,
f 0 f 0 1 f x 0 x .
i)
f 0, f 0 .
ii) N
f x x 1 x .
iii)
f x 0 x , :
) f
) f x 0 ,
1, 0 .
194. f : ,
x 2
f x 6
lim 3
x 2
f x 0 x
i) f 2 .
ii) f 2 .
iii) N
f x 3x x .
195. f : 0, ,
fC M ,f
y ln x . :
i) f x x ln x x x 0
ii) f
iii) xln x x 1 x 0
iv) 2 x 1 ln x 4x e 1 0 , -
1,e .

3. 307
196. f : ,
f 0 f 0 2 2
f x 6x f x 3x x .
:
i) x 3
f x 2e x x
ii) fC .
197. f : . -
:
i) f x f x 1 f x f x 1 f x x
ii) f 0x 2, -
1, 2 , f 1 f .
198. f : , ,
f 1 f 0 1
1
f 1.
2
:
i)
1
0,
2
, f 1
ii) g :
g x f x x x
iii) g .
199. f 1, 3 .
f 0x 2
f 1, 3 , :
i) 1 1, 2 2 2, 3 ,
1f f 1 2f f 3
ii) f 1 f 3 0.

4. 308
200. f : , . f -
0x , :
i) o 0x
ii) 0f x f.
201. f, . f
0x , 0 0M x , f x
.
202. f : , . -
:
i) g :
g x f x 2x x
1 1
ii) f
2
y x .
203. f : 0, , .
:
i) h : 0,
1
h x f x
x
x 0
1 1
ii) f g : 0,
g x ln x x 0
.

5. 326
4
1. f ’ ,
0x , f . f x 0 0,x
f x 0 0x , , 0f x
f.
2. f ’ -
. f ;
3. , ,
, -
, , .
) f ’ ,
f “ ”
.
) f ,
f x 0 x .
) f -
“ ” fC .
) 0 0A x , f x -
f f , 0f x 0.
) f ,
f , .
f :
1 2x
2
f x
1 e
x .
1. f .
2. f, .
3. , , f.
4.
1
f x x .
2

6. 327
f, ,
f 0 1, f 0 2 f x f x 2f x x .
:
1. g :
x
g x f x e x
2. y x 1
g A 0, g 0
3. x
f x x 1 e x .
f : , , :
•
x 1
f x 1
lim 1
x 1
• f x 1 x
• f .
1. f
0x 1.
2. f .
3.
x 1
1
lim .
f x x

7. 540
128. f :
4
44
x
f x
x 1 x
x .
i)
f x f 1 x 1 x .
ii) -
f , x x x 0, x 1.
129. f : 0,
2
f x 9x ln x x 0, .
i) E
f , x x 1
x , 1.
ii) 2,e , E 17.
130. *
f :
2
1
f x 2 x
x
*
x
1.
i)
f, xx x 1 x .
ii) 1, 2 , 3.
131.
x
f x e , x 0.
M , f , fC
O 0, 0 , A , 0 0, f
.

8. 541
132. f :
x
f x x 2 e 2 x .
i) fC .
x fC ;
ii) f
fC . ,
fC .
iii) N
xx 0
0
x
lim .
f t t dt
iv) N x 4 2 ,
, fC -
,
1
1 .
e
133. f : , ,
x
2
0
f x f t dt x 1 x .
i) N f
f x 2 f x 2x x .
ii) N f .
iii) N f .
iv) N Cf , -
fC 0, f 0 x 2.

9. 542
134. f, g ,
x
0
f x 1 x g t dt x
x
0
g x f x t dt x .
i) N f g .
ii) h :
x
h x e f x f x x
.
iii) f g.
iv) N -
f g, x x x 1.
135. f : , f ,
3
f x 3f x 4x x .
i) f.
ii) f .
iii) 1
f x
y x.
iv)
f 1
f x 0 x 1.
136. z ,
2
z 1 1 z 1 z 1 Im z 0.
i)
z 1 1 z 1 1.
ii) z
2
f x 2 x x , x 2, 2 .
iii)
2
2
f x dx .

10. 551
4
1. f , ,
f x 0 x , .
f x dx ;
2. , ,
, -
, , .
) f x dx 0.
) f, g , , ,
f x g x dx f x dx g x dx.
) f , .
f x 0 x ,
f ,
f x dx 0.
) F f
x
F x f t dt, x .
) f , ,
f t dx f f .

11. 552
f : 0, ,
2
1
2 3
f x xt f t dt
x 13
x 0, .
1. N
2
1
13
tf t dt .
3
2.
f, x x x , x 1 0
1 1
2ln 1
2
.
3. .
f,g : ,
g x 0 x
x x
1 0
f t dt x g t dt 1 x .
:
1.
1
0
g t dt 1
2. g x 0 x
3.
x
0
f x g t dt xg x x
4. f x g x 2 0,1
5. g 0 1, :
)
x
0
x 0
g t dt
lim 1
x
) y 2x fC -
0x 0.

12. 553
f : 1,1
1 2
1
x
dx,
1 f x
.
1.
1 2
1
x
dx,
1 f x
.
2. A
1
f x
f x
x 1,1 ,
:
)
1 2
1
x f x
dx
1 f x
,
)
1
2 1
, .
3.
1 100
x
1
x
dx.
1 e

13. 572
43. f,g : ,
x
1
g x f x f t dt x .
, h :
2x
1
1
h x f t dt
2
x .
g , :
i) h
ii) hC 0x 1
iii) h
iv) g.
44.
x
2
0
1
f x dt
1 t
, x g x x , x , .
2 2
:
i) f
ii) g
iii) f g x x x ,
2 2
iv)
1
2
0
1
dt .
41 t
45. f : , ,
1
0
f t dt 1
x
2
0
f t dt x x
:
i) f 0 0 f 1 2
ii) 0,1 , f 2
iii) f x 2 0,1
iv) f .

14. 573
46. f :
2
x
f x e x .
:
i) f 0,
ii) f
iii) f x 2ex e x
iv)
2
0
f x dx 2f 1
v) F f , 1, 2 ,
F 2 F 0 2f .
47. f : 0,
x
f x x 1 e x 0, .
i) f .
ii) , , fC .
iii)
x 1
x
f x 1 f t dt f x x 0.
iv) N
x 1
x
x
lim f t dt.
48. f :
31 6
f x x
7 7
x .
i) N f
.
ii) N 1
f f
.
iii) N f
1
f y x.
iv) N
1
f y x , x 1 x 2 .

15. 574
49. f : ,
1
x
0
f x e 1 x f xt dt x .
i) N
x
f x xe x .
ii) N
f, x x x 1
x 0 .
iii) .
50. f, g : ,
:
• f 0 1
• f x 3x 2 x
• g x f x 3x 2 x
•
23
3 f x 4x f x 3x 2 x .
:
i) g f
ii) f
iii) -
x
1
F x g t dt, x 0,
x x, y y x 1.