Expo rithmo

RITHMOMACHIA
BATALLA R´ ´
ITMICA DE LOS NUMEROS

Tom´s Guardia, Douglas Jim´nez
a e

UCV. Escuela de Matem´ticas
a
UNEXPO. Vicerrectorado de Barquisimeto
tguardia@gmail.com
dougjim@gmail.com

Noviembre, 2012

Tom´s Guardia, Douglas Jim´nez (UCV. Escuela de Matem´ticasUNEXPO.R´
a e ´
RITHMOMACHIA BATALLA Vicerrectorado de Barquisimetotguardia@gmail.comdougjim@
a ITMICA DE LOS NUMEROS oviembre, 2012
N 1 / 47

Antecedentes Presentaci´n
o

Boecio

Anicio Manlio Severino Boecio Obra
(480–524)

a e ´
N 2 / 47

o

Boecio

(480–524) ˆ Traducci´n de Organon de
o
Arist´teles.
o

a e ´
N 2 / 47

o

Boecio

o
Arist´teles.
o
ˆ Traducciń y comentarios
o
a la Introducciń a las
o
“Categor´
ıas” de Porfirio.

a e ´
N 2 / 47

o

Boecio

o
Arist´teles.
o
o
o
“Categor´
ˆ Trabajos teol´gicos.
o

a e ´
N 2 / 47

o

Boecio

o
Arist´teles.
o
o
o
“Categor´
o
ˆ De Arithmetica.

a e ´
N 2 / 47

o

Boecio

o
Arist´teles.
o
o
o
“Categor´
o
ˆ De Arithmetica.
ˆ Dos libros de los Elemen-
tos de Euclides.

a e ´
N 2 / 47

o

Boecio

o
Arist´teles.
o
o
o
“Categor´
o
ˆ De Arithmetica.
ˆ Dos libros de los Elemen-
tos de Euclides.
ˆ La consolaciń de la filo-
o
sof´ (en prisiń).
ıa o

a e ´
N 2 / 47

o

Boecio

Aparentemente fue el primero en usar el t´rmino quadrivium como:
e

ˆ Aritm´tica.
e
ˆ M´sica.
u
ˆ Geometr´
ıa.
ˆ Astronom´
ıa.
a e ´
N 3 / 47

De Arithmetica Presentaci´n
o

Boecio, De Arithmetica

De Arithmetica

a e ´
N 4 / 47

o


De Arithmetica
ˆ Traducci´n libre de la Arithmetica de Nic´maco de Gerasa, el
o o
pitag´rico.
o

a e ´
N 4 / 47

o


De Arithmetica
o o
pitag´rico.
o
ˆ No es un libro de matem´tica (bajo los est´ndares actuales).
a a

a e ´
N 4 / 47

o


De Arithmetica
o o
pitag´rico.
o
ˆ No es un libro de matem´tica (bajo los est´ndares actuales).
a a
ˆ Es m´s bien un esfuerzo taxon´mico: clasiﬁca n´meros y proporciones.
a o u

a e ´
N 4 / 47

De Arithmetica N´meros
u


Clasiﬁcaciones de De Arithmetica

a e ´
N 5 / 47

u


ˆ N´meros pares e impares (clasiﬁcaci´n primaria).
u o

a e ´
N 5 / 47

u


u o
ˆ Pares seg´n la forma de sus factores.
u

a e ´
N 5 / 47

u


u o
u
ˆ Pares seg´n la suma de sus divisores: antecedente pitag´rico de los
u o
nombres de las secciones c´nicas.
o

a e ´
N 5 / 47

u


u o
u
ˆ Pares seg´n la suma de sus divisores: antecedente pitag´rico de los
u o
nombres de las secciones c´nicas.
o
ˆ Desigualdades entre enteros.

a e ´
N 5 / 47

u


Clasiﬁcaci´n de las desigualdades
o

a e ´
N 6 / 47

u


o
ˆ Multiples

a e ´
N 6 / 47

u


o
ˆ Multiples
20 es multiple de 4: lo contiene 5 veces

a e ´
N 6 / 47

u


o
ˆ Multiples
ˆ Superparticular

a e ´
N 6 / 47

u


o
ˆ Multiples
ˆ Superparticular
12 es sesquialter de 8: lo contiene vez y media (1 1 )
2

a e ´
N 6 / 47

u


o
ˆ Multiples
ˆ Superparticular
20 es sesquitertio de 15: lo contiene vez y un tercio (1 3 )
1

a e ´
N 6 / 47

u


o
ˆ Multiples
ˆ Superparticular
ˆ Superpartiente

a e ´
N 6 / 47

u


o
ˆ Multiples
ˆ Superparticular
ˆ Superpartiente
25 es superbipartiente de 15: lo contiene una vez y dos tercios (1 3 )
2

a e ´
N 6 / 47

u


o
ˆ Multiples
ˆ Superparticular
ˆ Superpartiente
42 es supertripartiente de 24: lo contiene una vez y tres cuartos (1 4 )
3

a e ´
N 6 / 47

u


o
ˆ Multiples
ˆ Superparticular
ˆ Superpartiente
ˆ Multiple superparticular
ˆ Multiple superpartiente

a e ´
N 6 / 47

u


o
ˆ Multiples
ˆ Superparticular
ˆ Superpartiente
ˆ Multiple superparticular
ˆ Multiple superpartiente

Cada una admite la deﬁnici´n opuesta (sub).
o
a e ´
N 6 / 47

De Arithmetica Proporciones


Clasiﬁcaci´n de las proporciones
o

a e ´
N 7 / 47



o
ˆ Los conceptos de raz´n y proporci´n fueron el leitmotiv de los estudios de la
o o
escuela pitag´rica.
o

a e ´
N 7 / 47



o
o o
o
ˆ Toda la matem´tica de la Grecia antigua se sustent´ sobre estos dos
a o
conceptos.

a e ´
N 7 / 47



o
o o
o
a o
conceptos.
ˆ La idea se expresa en la forma A es a B como C es a D y la posteridad la
escribi´ A : B :: C : D.
o

a e ´
N 7 / 47



o
o o
o
a o
conceptos.
o
ˆ Si tres n´meros enteros integran una proporci´n se dice que forman una
u o
progresi´n.
o

a e ´
N 7 / 47



o
o o
o
a o
conceptos.
o
u o
progresiń.
o
ˆ La escuela pitag´rica primitiva trabaj´ con tres tipos de progresiones, las
o o
cuales defin´ tres medias: aritm´tica, geom´trica y armńica.
ıan e e o

a e ´
N 7 / 47



o
o o
o
a o
conceptos.
o
u o
progresiń.
o
ˆ La escuela pitag´rica primitiva trabaj´ con tres tipos de progresiones, las
o o
cuales defin´ tres medias: aritm´tica, geom´trica y armńica.
ıan e e o
ˆ El pitagorismo posterior desarroll´ otras ocho distintas.
o
a e ´
N 7 / 47



Clasiﬁcaci´n de las proporciones: media aritm´tica
o e

a e ´
N 8 / 47



o e
Tres n´meros A, B y C est´n en progresi´n aritm´tica si el centro
u a o e
equidista de los extremos; esto es B ¡ A C ¡ B.

a e ´
N 8 / 47



o e
u a o e
En t´rminos de proporciones, se plantea as´
e ı:
pB ¡ Aq : pC ¡ B q :: A : A o pB ¡ Aq : pC ¡ B q :: B : B

a e ´
N 8 / 47



o e
u a o e
e ı:

Bajo estas premisas se cumple que B A C.
2

a e ´
N 8 / 47



o e
u a o e
e ı:

Bajo estas premisas se cumple que B A C.
2
Ejemplos: 2, 3, 4 5, 8, 11 22, 67, 112
a e ´
N 8 / 47



Clasiﬁcaci´n de las proporciones: media geom´trica
o e

a e ´
N 9 / 47



o e

Tres n´meros A, B y C estń en progresiń geom´trica si el centro es el
u a o e
t´rmino medio de la proporciń.
e o

a e ´
N 9 / 47



o e

u a o e
e o
e ı:

A : B :: B : C .

a e ´
N 9 / 47



o e

u a o e
e o
e ı:

A : B :: B : C .

Bajo estas premisas se cumple que B 2 AC .
a e ´
N 9 / 47



o e

u a o e
e o
e ı:

A : B :: B : C .

Bajo estas premisas se cumple que B 2 AC .
Ejemplos: 2, 4, 8 5, 15, 45 12, 18, 27
a e ´
N 9 / 47



Clasificaciń de las proporciones: media armńica
o o

a e ´
a ITMICA DE LOS NUMEROSNoviembre, 2012 10 / 47



o o

Tres n´meros A, B y C estń en progresiń armńica si las distancias del
u a o o
centro a los extremos estń entre s´ como los extremos.
a ı

a e ´



o o

u a o o
a ı
e ı:

pB ¡ Aq : pC ¡ B q :: A : C .

a e ´



o o

u a o o
a ı
e ı:

pB ¡ Aq : pC ¡ B q :: A : C .
Bajo estas premisas se cumple que B A2ACC .

a e ´



o o

u a o o
a ı
e ı:

pB ¡ Aq : pC ¡ B q :: A : C .
Bajo estas premisas se cumple que B A2ACC .

Ejemplos: 2, 3, 6 9, 16, 72 72, 90, 120
a e ´

Rithmomachia Presentaci´n
o

Rithmomachia

a e ´

o

Rithmomachia

ˆ Juego de cuadros y ﬁchas, con alg´n pare-
u
cido al ajedrez.

a e ´

o

Rithmomachia

u
cido al ajedrez.
ˆ Algunos comentaristas atribuyen su inven-
ci´n a Pit´goras.
o a

a e ´

o

Rithmomachia

u
cido al ajedrez.
ci´n a Pit´goras.
o a
ˆ No hay evidencias hist´ricas que apoyen es-
o
ta hip´tesis.
o

a e ´

o

Rithmomachia

u
cido al ajedrez.
ci´n a Pit´goras.
o a
o
ta hip´tesis.
o
ˆ Quedan pocas dudas de que se trata de un
juego medieval.

a e ´

o

Rithmomachia

u
cido al ajedrez.
ci´n a Pit´goras.
o a
o
ta hip´tesis.
o
juego medieval.
ˆ Juego ideado para apoyar el aprendizaje de
De Arithmetica de Boecio.

a e ´

o

Rithmomachia

u
cido al ajedrez.
ci´n a Pit´goras.
o a
o
ta hip´tesis.
o
juego medieval.
ˆ Juego ideado para apoyar el aprendizaje de
De Arithmetica de Boecio.
ˆ Las reglas parecen variar de acuerdo a par-
ticularidades regionales.

a e ´

o

Rithmomachia
ˆ Las piezas son redondas, triangulares y cua-
dradas y cada una tiene impreso un n´me-
u
ro.

a e ´

o

Rithmomachia
u
ro.
ˆ Cada jugador dispone de una pieza especial
llamada pir´mide, constituida por piezas de
a
las formas anteriores en tama˜os decrecien-
n
tes.

a e ´

o

Rithmomachia
u
ro.
a
n
tes.
ˆ La forma de las piezas corresponde a con-
cepciones pitag´ricas acerca de los n´me-
o u
ros.

a e ´

o

Rithmomachia
u
ro.
a
n
tes.
o u
ros.
ˆ Salvo las pir´mides, cada pieza tiene dos
a
caras con el mismo n´mero y diferente co-
u
lor.

a e ´

o

Rithmomachia
u
ro.
a
n
tes.
o u
ros.
a
u
lor.
ˆ Para el espectador actual la disposici´n ini-
o
cial de juego parece (salvo ciertas zonas)
una disposici´n num´rica arbitraria
o e

a e ´

o

Rithmomachia
u
ro.
a
n
tes.
o u
ros.
a
u
lor.
ˆ Para el espectador actual la disposiciń ini-
o
cial de juego parece (salvo ciertas zonas)
una disposiciń num´rica arbitraria
o e
. . . pero tiene su explicaciń.
o
a e ´

o

Rithmomachia

Disposici´n boeciana de las piezas
o

N´meros (n, Par Vs. Impar)
u

a e ´

o

Rithmomachia

o

u

Multiples (¢n)

a e ´

o

Rithmomachia

o

u

Multiples (¢n)

Superparticulares (1 n )
1

a e ´

o

Rithmomachia

o

u

Multiples (¢n)

1

1

a e ´

o

Rithmomachia

o

u

Multiples (¢n)

1

1

Superpartientes (1 n

n 1)

a e ´

o

Rithmomachia

o

u

Multiples (¢n)

1

1


n 1)


n 1)

a e ´

o

Rithmomachia

o

u

Multiples (¢n)

1

1


n 1)


n 1)
Pir´mide blanca
a

a e ´

o

Rithmomachia

o

u

Multiples (¢n)

1

1


n 1)


n 1)
Pir´mide blanca
a Pir´mide negra
a

a e ´

o

Rithmomachia

Disposiciń final del tablero
o

Se comienza colocando las piezas co-
mo en la disposiciń anterior pero en
o
orden inverso, esto es, de mayor a me-
nor.

a e ´

o

Rithmomachia

o

A continuaciń, los trińgulos de la
o a
primera fila de trińgulos suben a re-
a
forzar los flancos de las redondas in-
feriores.

a e ´

o

Rithmomachia

o

Pero tambiń lo hacen los trińgulos
e a
de la segunda fila de trińgulos.
a

a e ´

o

Rithmomachia

o

Y los que quedan de esta segunda fila
refuerzan los flancos de la primera fila
de trińgulos.
a

a e ´

o

Rithmomachia

o

Los cuadrados extremos de la primera
ﬁla de cuadrados suben a los ﬂancos
extremos de la retaguardia.

a e ´

o

Rithmomachia

o

Y los que quedan de esta ﬁla suben a
completar los espacios vac´
ıos.

a e ´

o

Rithmomachia

o

Los cuadrados de la ultima ﬁla se or-
´
denan en la parte ﬁnal de la retaguar-
dia.

a e ´

o

Rithmomachia

o

Los cuadrados de la ultima fila se or-
´
denan en la parte final de la retaguar-
dia.
Una versiń del juego arranca con esta
o
disposiciń final, pero algunas estra-
o
tegias se pierden con ella, de manera
que. . .

a e ´

o

Rithmomachia

o

. . . una mejor disposici´n se obtiene
o
replegando los ej´rcitos.
e
Y desde aqu´ comienza la partida.
ı

a e ´

Rithmomachia Reglas de juego: Movimiento de las piezas

Rithmomachia

Movimiento de las piezas

a e ´


Rithmomachia


ˆ No hay acuerdo absoluto sobre el movimiento de las piezas. El Club
Venezolano de Rithmomachia usa una mezcla de reglas de varias fuentes

a e ´


Rithmomachia


ˆ No hay acuerdo absoluto sobre el movimiento de las piezas. El Club
Venezolano de Rithmomachia usa una mezcla de reglas de varias fuentes. . .
y algo de interpretaci´n.
o

a e ´

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