1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD.
ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES
MÉTODOS MATEMÁTICOS
PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL
CAPÍTULO TRES: SISTEMAS DE COORDENADAS
CURVILÍNEAS ORTOGONALES.
LECCIÓN OCHO.
Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano en coordenadas curvilíneas ortogonales.
Una de las principales ventajas de expresar una ecuación que gobierna determinado fenómeno, en términos del
gradiente, la divergencia, el rotacional o el laplaciano, es que un cambio en el sistema de coordenadas no
modifica la forma de la ecuación en cuestión. Por ejemplo, en un sistema cartesiano una ley dada se expresa por
&
la ecuación, div(q ) 0 , esta ecuación será invariante para cualquier sistema de coordenadas sea cartesiano o
&
curvilíneo. Lo que puede cambiar es la forma de la expresión de div(q ) . Así, es de mucha importancia el
conocimiento de las ecuaciones que expresan el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano en
sistemas de coordenadas curvilíneas. De ecuaciones ya vistas en el curso se puede obtener:
* Para el gradiente de una función escalar M M([ 1 , [ 2 , [ 3 ) :
&
a i wM
’M suma en i, i 1,2,3
h i w[ i
Donde el componente i de grad(M) es:
1 wM
(’M) i no es suma en i
h i w[ i
& &
*Para la divergencia de una función vectorial V V([ 1 , [ 2 , [ 3 ) :
w§ 1 2 3 i h ·
h h h V
& ¨ ¸ ª w( h 2 h 3 Vi ) w( h 1 h 3 Vi ) w( h 1 h 2 Vi ) º
’V
1 © i¹ 1
« »
h 1h 2 h 3 w[ i h 1h 2 h 3 ¬ w[ 1 w[ 2 w[ 3 ¼
* Para el rotacional de una función vectorial V V([ 1 , [ 2 , [ 3 ) :
’ u V

2. 1
h 1h 2 h 3
a i h i H ijk
w( h k Vk )
w[ j
suma en i, j y k de 1 a 3.
O escribiendo solamente el componente i del rotacional:
’uV i

3. 1
h 1h 2 h 3
h i H ijk
w( h k Vk )
w[ j
suma en j y k de 1 a 3, pero no suma en i
* Para el operador laplaciano:
1 w § h 1h 2 h 3 w ·
¨ ¸
’ ˜’ ’2 suma en i de 1 a 3
h 1 h 2 h 3 w[ i ¨ h i2
© w[ i ¸
¹
1 ª w § h2h3 w · w § h 1h 3 w · w § h 1 h 2 w ·º
’2 « ¨
¨ h ¸ ¨
¨ h w[ ¸ w[ ¨ ¸»
h 1h 2 h 3 « w[ 1
¬ © 1 w[ 1 ¸ w[ 2
¹ © 2
¸
2 ¹ 3
¨ h
© 3 w[ 3 ¹»
¸
¼
1