1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD.
ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES
MÉTODOS MATEMÁTICOS
SEGUNDA UNIDAD: FORMULACIÓN INTEGRAL Y DIFERENCIAL
CAPÍTULO CINCO: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.
LECCIÓN TRECE.
El estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias puede ser tema de un curso completo. Para la revisión del
tema por parte del estudiante, en la carpeta del capítulo cinco ud. encontrará uno de los más completos
resúmenes en el área, que hace parte de una sección del apéndice B del texto:
TOSUN, Ismail. Modeling in transport phenomena: a conceptual approach. Amsterdam, 2002, Elsevier.
LECCIÓN CATORCE.
Para una revisión de la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias el estudiante podrá encontrar
en la carpeta del capítulo cinco, el capítulo nueve del texto:
SPIEGEL. Ecuaciones diferenciales aplicadas. 3 ed. México, 1893. McGraw Hill.
LECCIÓN QUINCE.
La parte correspondiente a la aplicación de las EDO, la podrá encontrar en la lección dieciocho del curso.
1

2. nueve
la de
ecuaciones diferenciales
1. SOLUCION NUMERICA DE
1.1 El método de constante o
método de Euler
1.2 El método de pendiente promedio o
método de Euler
1.3 Diagramas de computador
1.4 Análisis de errores
1.5 Algunas guías prácticas para la
numérica
2. EL DE RUNGE-KUTTA
420

3. En muchos campos de investigación científica el
número o una tabla de valores. Puesto que las ecuaciones diferenciales
gan una parte importante en las investigaciones científicas, naturalmente
parecería deseable aprender cómo las ecuaciones diferenciales se
solver numéricamente. Esto es de un valor aún mayor cuando nos damos
cuenta que ahora hay disponibles máquinas de computación maravillosas
que ayudan extraordinariamente en las laboriosas tareas de trabajo numéri-
co. Algunas de estas máquinas calculan tablas de valores y pueden aún
resultados en un porcentaje muy del tiempo que requeriría un
computador ordinario. El hecho de que las máquinas alivien el trabajo, sin
embargo, no significa que el operador necesite conocer menos acerca de los
métodos numéricos. Por el contrario él debería conocer mucho acerca de los
varios métodos puesto que él debe conocer la manera más eficiente de “ali-
mentar” las matemáticas dentro de la máquina.
Un estudio de las técnicas de análisis numérico es un campo extenso en
sí mismo. En un libro como este podemos dar sólo una breve introducción a
este importante tema.
Solución numérica de y)
En esta sección nos restringimos a estudiar la solución numérica de la
ecuación diferencial de primer orden* y y). Hacemos la
Pregunta. Dado que .una solución de f
(x, y) es tal que y es igual a
c donde x podemos determinar el valor de y cuando b?
Por integración de la ecuación diferencial con respecto a x tenemos
y es claro que y = cuando = a de modo que satisface la condición re-
querida. El valor de y cuando b debe estar dado por
Desafortunadamente, puesto que y ocurre bajo el signo de la integral de
no podemos seguir adelante sin alguna clase de aproximación. Cada tipo
de aproximación usada en (2) determina un método de análisis numérico. Pri-
mero examinamos uno de estos métodos, el cual llamamos el método de pen-
diente constante o método de Euler.
*Suponemos que satisface las condiciones del teorema fundamental de existencia y
unicidad de la página Si la solución no existe o es única no hay objeto en intentar una
solución numérica.
En la integral (1) estamos usando el símbolo como un símbolo mudo en la integración co-
mo también para la variable independiente. Podríamos por supuesto haber usado un símbolo di-
ferente, por ejemplo para denotar la variable muda y escribir
Sin embargo, no debería surgir confusión. Compare con el pie de página en la página
Solución numérica de ecuaciones diferenciales 421

4. 1.1 EL DE PENDIENTE CONSTANTE 0 EL DE EULER
Asumamos que el intervalo de a a = b se subdivide en n partes
iguales, cada una de longitud h, de modo que
o b = a + n h
n
Llamamos h el tamaño de paso y n el número de pasos. Entonces (2) llega a
ser
(4)
Si usamos solamente un paso, esto es, n= 1, esto llega a ser
La aproximación más simple para tomar en (5) es asumir que la pendiente
y) es constante sobre el intervalo a a + h e igual a la pendiente en
el punto donde a, y c, esto es, c). En este caso (5) llega a ser
= c + c)
Esto se llama el método de pendiente constante ó, puesto que fue primero usa-
do por Euler, el método de Euler. Claramente, (6) le dará una buena aproxi-
mación al valor de y en = a + h solamente si h es pequeña. El grado de pe-
queñez evidentemente depende del grado de precisión deseado. Por tanto la
palabra “pequeño” debe necesariamente ser vago hasta que se disponga de
mayor información.
La interpretación gráfica de (6) se ve en la Figura 9.1. La solución ver-
dadera se representa por la curva punteada Puesto que la distancia AD
h es fácil de ver que el valor de y correspondiente a (6) está representado por
la ordenada El error cometido está dado por BE. Esto se hace más
a medida que h se hace más pequeño. Si h es grande, el error cometido
es grande. Si la longitud del intervalo de a a b es grande, parecería natural
tomar valores más pequeños de h correspondiendo a un incremento en el
Y
Y
Figura 9.1
422 Capítulo

5. mero de pasos, esperando de esta manera disminuir el error involucrado.
esta idea en mente nos lleva a escribir (4) como
(7)
Usando la aproximación descrita en la página 422 para cada una de las inte-
grales en vemos que una aproximación a está dada por
= c + c) + + k, + + ... + (8)
donde c, es el valor de y cuando a j , n 1.
La interpretación geométrica de (8) está dada en la Figura 9.2. Por una
aplicación de vemos que A c), la ordenada del punto es-
tando dada por
= c + c)
Se computa ahora una nueva pendiente correspondiente al punto B,,
coordenadas son (a + h, el valor de esta pendiente está dado por
+ h, Usando esto, llegamos al punto la distancia dada
por + h, ). Puesto que la ordenada de es la ordenada de más
la distancia la ordenada de es
= c c) + k,
Similarmente, la ordenada del punto es
+ + . . . + + (j
y en particular
= + + + k, . . . + + (n
Y
Valor verdadero de
Error
Valor aproximado de
-- . .
a + 2h a nh
Figura 9.2
numérica de ecuaciones diferenciales 423

6. es la ordenada alcanzada después de n pasos, la cual es el valor de y dado en
(8). Si usamos la notación a, a + jh, j = 1, 2,. , esto se puede escribir sim-
plemente como
= + c) + +
A pesar de la simplicidad de este método los resultados obtenidos pue-
den ser buenos, llegando la precisión a ser mejor en general a medida que n
se escoge más grande. Para un valor grande de n, sin embargo, aunque la pre-
cisión puede ser mayor el cómputo llega a ser más laborioso y por tanto se de-
be alcanzar un compromiso. El método se adapta bien a computadores y no
es difícil de programarlo. Ilustremos el método en el siguiente
EJEMPLO ILUSTRATIVO
Dado encuentre el valor de y correspondiente a = 1 si y = 1
donde = 0.
Solución Aquí a = 0, b = 1. Nos gustaría escoger n para que h = (b
sea pequeño. Es conveniente escoger n = 10 para que h = El cómputo se
puede entonces organizar como en la Tabla 9.1.
La condición inicial = 0, y = 1 determina una pendiente (pri-
mera línea de la tabla). Puesto que el incremento en es el nuevo valor
de y, el cual denotamos por se obtiene del valor de y denotado por
como
Y + (pendiente) = 1,00 + =
Tabla 9.1
X y = + Y =
1,00
122
----- ---------
---
+
- - -
-<G d----
1,53 +
- -
__ ---
_____ ----------
2,19 +
--
=
--------
424 Capítulo nueve

7. Este valor de y se transfiere luego a la segunda línea de la tabla el
se repite. En la Tabla 9.1 hemos mantenido tres cifras significativas; el va-
lor obtenido para y correspondiente a = es Resolviendo exactamen-
te se puede verificar que el valor verdadero de y donde = 1 es error
es por tanto alrededor del 8 por ciento. Si hubiéramos usado n 20,
sión se hubiera incrementado considerablemente pero el cómputo involucra-
do hubiera sido el doble.
1.2 EL DE PENDIENTE PROMEDIO 0
MODIFICADO DE EULER
En el método anterior la pendiente y) sobre el intervalo + h
se remplazó por c) de modo que el valor de y en = + h = resultó
ser
= c +
Una mejor aproximación se obtiene si remplazamos y) por el promedio de
las pendientes en los puntos extremos correspondientes a y = =
+ h, los cuales están dados, respectivamente, por y c Así
+
pendiente promedio =
2
donde y está dado por (9). Usando (10) como el valor aproxi-
mado de el valor de y en está dado por
+
=
2 1
Este proceso de usar pendientes promedio se puede continuar para los inter-
valos sucesivos etc., hasta que fi-
nalmente se tenga el valor de y para = + nh = Por ejemplo, el inter-
valo h + el cual escribimos como se remplaza
pendiente promedio =
2
donde = +
y el valor de y en = 2h = está dado por
Resultados similares se pueden escribir para intervalos posteriores.
Por razones obvias este método se llama el método de pendiente prome-
dio, pero también se refiere como el método modificado de Euler.
EJEMPLO ILUSTRATIVO 2
Trabaje el Ejemplo ilustrativo 1, página 424, usando el método de pen-
diente promedio.
Solución numérica de ecuaciones diferenciales 425

8. Tabla 9.2
Pendiente Pendiente
diente derecha promedio
x Y izquierda =
p - - - - - - - - - -
p _---_------
+
+ =
- - - - - - - -
+
- - -
2.46 + 2.04
- - - - - - - - - -
+
- - - - - - - - - - - - - - -
+ -p--m--
_-~--- - - - - - -
- -
- -
- -
Solución En este caso escojamos también n = 10 de modo que h 0.1. Los
cómputos se pueden arreglar como en la Tabla 9.2 en la cual los primeros cua-
tro encabezamientos de columna son los mismos de la Tabla 9.1. Sin embar-
go, puesto que necesitamos dos pendientes, una a la izquierda del punto ex-
tremo de un intervalo y la otra a la derecha del punto extremo, para obtener
la pendiente promedio, el encabezamiento de la tercera columna de la Tabla
9.1 se ha modificado a pendiente izquierda. Las tres columnas restantes en
la Tabla 9.2 se usan para encontrar respectivamente, la pendiente derecha,
el promedio de las pendientes izquierda y derecha denotada por y el
valor corregido de y, denotado .
Para ver cómo el cómputo sigue, obtengamos las entradas en la primera
fila de la Tabla 9.2. Las primeras cuatro entradas se obtienen exactamente
como en la Tabla 9.1. La pendiente derecha (entrada de la quinta columna)
se obtiene calculando y’ = tomando como el punto extremo
derecho el cual llamamos y y como el correspondiente va-
lor aproximado de y, el cual hemos llamado (ya obtenido en la entrada
de la cuarta columna). Esta pendiente derecha está dada por ,
nuevo + Y = + =
Habiendo encontrado las pendientes derecha e izquierda, podemos deter-
minar la pendiente promedio (entrada de la sexta columna) como
= Finalmente el valor corregido de y denotado por (entrada de
la séptima columna) es el nuevo valor de y (cuarta columna) mas veces la
426 Capítulo nueve

9. pendiente promedio, esto es, = + = El valor corregido
de y se transfiere a la segunda fila de la tabla como se indica.
El mismo proceso usado para obtener las entradas en la primera fila se
puede usar ahora para obtener las entradas en la segunda fila y en todas las
filas siguientes hasta obtener el valor de y correspondiente a Como
muestra la Tabla 9.2, este valor es el cual sorprendentemente concuer-
da exactamente con el verdadero valor. Esto parecería indicar que todos los
pares restantes de valores (x, y) en la Tabla 9.2 son también correctos, po-
demos usar éstos para obtener un gráfico de la solución en el intervalo
1. Si deseamos continuaríamos el cálculo para valores de por encima
de 1, pero por supuesto no hay seguridad de que se mantendrá la misma pre-
cisión.
1.3 DIAGRAMAS DE COMPUTADOR
Es de interés presentar diagramas esquemáticos que muestren las eta-
pas sucesivas en los cálculos para los métodos de pendiente constante y pen-
diente promedio. Tales diagramas se llaman diagramas de computador o dia-
gramas de flujo. La Figura 9.3 presenta el diagrama de computador para el
método de pendiente constante. El par inicial de valores (x, y) proporcionan
una entrada la cual se alimenta en la primera caja, la cual calcula la pendien-
te en (x, y). Esta pendiente se alimenta dentro de otra caja que calcula el
nuevo valor de La salida final consiste del nuevo par de valores
Y Esto proporciona una nueva entrada o retroalimentación, y el mismo
proceso se repite una y otra vez hasta que se consiga el resultado final de-
Pendiente
ntrada
Retroalimentación
9.3 Diagrama de computador para método de pendiente constante.
Pendiente
Entrada
Retroalimentación
Pendiente
+ promedio
Figura 9.4 Diagrama de computador para método de pendiente promedio.
Solución numérica de ecuaciones diferenciales 427

10. En una manera similar podemos construir un diagrama de computador
que muestre el método de pendiente promedio como en la Figura 9.4. La pri-
mera fila en esta figura que conduce a , es por supuesto idéntica
con la de la Figura 9.3. La modificación consiste en tres cajas adicionales,
la primera proporciona el cómputo de la pendiente derecha a partir de
Y la segunda obtiene la pendiente promedio a partir de las pendientes
izquierda y derecha como se indica, y la tercera proporciona el valor corregi-
do de y. El par de valores ) es la salida, la cual sirve como una
nueva entrada, y el proceso se repite una y otra vez como antes.
1.4 DE ERRORES
Cada vez que se desarrolla una fórmula para obtener resultados aproxi-
mados, es natural buscar algún estimador del error que se puede cometer al
usarla. El proceso de estimar errores con frecuencia se llama análisis
de errores. Al tratar con estos errores, no nos preocuparemos de los errores
aleatorios, como errores de redondeo, e. g., redondeo de a
el cual puede ser debido por ejemplo a limitaciones en la capacidad de alma-
cenamiento de un computador. En vez estaremos interesados solamente en
el error producido al usar la fórmula particular. Si una fórmula produce resul-
tados más precisos que otra, ciertamente esperaríamos que esta precisión au-
mentada apareciera en un análisis de errores. Ilustraremos esto con un análi-
sis de errores de los métodos de pendiente constante y de pendiente promedio.
Análisis de errores para el método de pendiente constante.
De la página 422 vemos que una solución aproximada del problema de valor
inicial
= y(u) =
para y(a + está dada por
= + c)
Sin embargo, usando la serie de Taylor, asumiendo condiciones apropiadas
de diferenciabilidad sobre y), el verdadero valor de y(a + h) es
+ + + . = c + + y”(U) . . (17)
Comparando (16) y vemos que el error cometido en usar (16) en vez de
(17) es
donde los valores y”(a), y”‘(a), se encuentran por diferenciación sucesiva de
la ecuación diferencial en (15). Este error ocurre debido al hecho de que la
serie se ha cortado después de los primeros dos términos en (17). Por esta ra-
zón el error con frecuencia se llama un error de truncamiento (del Latinismo
truncare, que significa cortar).
Para valores de suficientemente pequeños, esperaríamos que el error
(18) fuera muy próximo igual al primer término, esto es, y”(a) desprecian-
do el resto de términos. Sin embargo, el estudiante puede con derecho sentir-
se molesto al despreciarse un número infinito de términos sin ninguna justi-
ficación apropiada. Afortunadamente, esto se puede justificar con el uso del
.
428 Capítulo nueve

11. teorema de Taylor con residuo, que el estudiante pudo haber estudiado en
cálculo. Este teorema dice que si y es al menos doblemente diferenciable
y) es al menos una vez diferenciable] , entonces
+ k) = + + f’(r), donde r está entre a y +
Aquí el último término a la derecha representa el residuo de la serie después
de los primeros dos términos, y (19) proporciona un decidido mejoramiento
sobre lo cual requiere la existencia de todas las derivadas. Usando
el error se puede escribir
E= y”(r), donde r está entre a y a + h
Puesto que este error es proporcional a o como a menudo decimos es
orden abreviado por vemos que reduciendo el tamaño de h po-
demos reducir considerablemente el tamaño del error. Puesto que y”(r) puede
ser positivo o negativo el error (20) puede también ser positivo o negativo. Si
denotamos por una constante positiva tal que para r entre a y
a + h, entonces
<
representando el lado derecho una cota superior para el error.
Puesto que el error está dado por si tenemos y(a) y buscamos y(a + h),
la pregunta que naturalmente surge es sería el error acumulado si pro-
cedemos en n pasos al cálculo de y(b), donde b = a + nh? Análisis adicional,
el cual es algo tedioso y que no haremos aquí, muestra que el error máximo
es n veces el dado en tal vez con un valor diferente de el cual llama-
remos K; esto es, para n pasos
o puesto que n = (b
lo cual muestra que el error acumulado es de orden h.
(b) Análisis de errores para el método de pendiente promedio.
De la página 425 vemos que una solución aproximada al problema de valor
inicial (15) para y(a + h) es
+ = + c) + k, c))]
la cual se debe comparar con el verdadero valor (17) o (19). El error cometido
en este caso es
Para ver cómo el lado derecho de (25) depende de h, usamos de nuevo la se-
rie de Taylor. Usaremos la serie infinita en vez de la serie con residuo por
simplicidad en la notación. Tenemos como antes
Solución numérica de ecuaciones diferenciales 429

12. Para hallar una serie para el último término a la derecha de usamos la
serie de Taylor para el caso de dos variables, la cual es análoga para el caso
de una variable. está dada por
c = + +
+ c,] + .
donde c) denota la derivada parcial de f (x, y) con respecto a
da en = a, y = c, denota la segunda derivada parcial de f (x, y)
con respecto a en a, y c, c) denota la derivada par-
cial de con respecto a y y en a, y c, etc.
Tomando = en (27) encontramos
+ + + c)] . . (28)
Sustituyendo (26) y (28) en (25) produce
= [y”(U) c) c)]
+ términos involucrando y superiores
Puesto que y(a) = de la condición inicial en mientras que y’(a) c)
de la ecuación diferencial en los primeros dos términos en (29) son cero.
Tomando la derivada de ambos lados de la ecuación diferencial en tene-
mos usando la regla de la cadena del cálculo elemental
De esto tenemos al evaluar las derivadas en a, y =
= +
de modo que el tercer término en (29) es también cero. El resultado muestra
que E involucra sólo términos en o superiores. Usando la serie de
con residuo como en el caso del método de pendiente constante, sigue que el
error es de orden esto es, E = Puesto que E = ) para el mé-
todo de pendiente constante, mientras que E = ) para el método de
diente promedio, podemos ver rápidamente por qué el segundo método es mu-
cho más preciso.
Como una ilustración de cómo se pueden usar las ideas anteriores de ana-
lisis de errores, consideremos el siguiente
430 Capítulo nueve

13. EJEMPLO ILUSTRATIVO 3
Dado el problema de valor inicial = 1. Estime el error co-
metido al calcular usando el método de pendiente constante con
Puesto que tenemos de
modo que
y”(r) = 1 + r + donde
Es razonable suponer que y 2. Así tenemos
1+ + 2 =
y de (20) o (21) vemos que
esto es, E 0,016
2
Puesto que el método de pendiente constante da (ver Tabla 9.1) mientras
que el verdadero valor es el error efectivo es el cual está de acuerdo
con el estimador anterior.
1.5 ALGUNAS GUIAS PRACTICAS PARA LA
Hay muchos métodos disponibles para la solución numérica de ecuacio-
nes diferenciales como puede darse cuenta el estudiante al leer la literatura
en el tema.* Para la mayoría de los métodos un análisis de errores es
como puede conjeturarse de la derivación en la página 428 para el caso rela-
tivamente simple del método de pendiente constante. También, aún en el ca-
so de que se disponga de un análisis de errores éste no proporciona un término
de error simple, tal como el dado en página 429, sino solo que su orden
es una función del tamaño del paso, como por ejemplo etc.
Una complicación adicional es que la precisión conseguida está limitada por
las características particulares de la ecuación diferencial considerada. Así,
por ejemplo, si se desea una solución cerca a una singularidad, aún el “mejor
método” puede dar una pobre precisión. Debido a estas dificultades no hay
una panacea simple para la solución numérica (lo cual puede servir para in-
dicar por qué hay tantos métodos disponibles). A pesar de esto hay algunas
guías prácticas que un científico puede seguir.
1. Escoja un método particular que involucre un tamaño de paso h el cual
parezca razonable en vista del tipo de la ecuación diferencial involucrada.
Por ejemplo, si la ecuación diferencial involucra una singularidad tal como
1 en el problema de valor inicial donde buscamos por caso, se ne-
cesitan tamaños de paso más pequeños cerca de que cerca de 0.
En tal caso podemos dividir el intervalo de 0 a en intervalos o ta-
maños de paso de longitud desigual.
Y =
1
2. Para chequear la precisión del valor numérico hallado en 1, repita el
método usando un tamaño de paso más pequeño, por ejemplo la mitad del
por ejemplo [
Solución numérica de ecuaciones diferenciales 431

14. maño de paso usado anteriormente. Si este procedimiento sólo produce un
cambio menor en las cifras significantes podemos estar seguros de aquellas
que no cambian. Así, si el valor repetido es por ejemplo en vez de
podemos al menos estar seguros de la precisión a tres cifras significantes da-
das por Si hay una discrepancia mayor, posiblemente tengamos que re-
ducir aún más el tamaño de paso.
3. La reducción del tamaño de paso, resultante de un incremento en el
número de pasos, puede conducir a errores de redondeo acumulativos los cua-
les afectan la precisión. Debido a esto, los cálculos se deben hacer con sufi-
cientes cifras significantes. Desafortunadamente, no se pueden dar reglas
puesto que esto de nuevo depende de las clases de cálculos involucradas. Así,
por ejemplo, aunque podamos tener = y y = cada una con
una precisión a seis cifras significantes, la mayoría de estas se pierden al to-
mar la diferencia = Sin embargo, en la mayoría de los casos que
surgen en la práctica no ocurren pérdidas en cifras significantes.
estos casos de “rutina” una regla razonable a seguir es usar al menos dos ci-
fras más de las requeridas en la respuesta.
EJERCICIOS A
Use (a) el método de pendiente constante y (b) el método de pendiente promedio
para determinar el valor indicado de y para cada uno de los siguientes problemas de
valor inicial tomando el número indicado de subdivisiones Si es posible compare
con el valor exacto.
1. y’ = 2x 0. Halle use 5.
2. = 0. Halle use n 6.
3. + y(2) = 3. Halle use = 4 y n = 8.
4. (x y(3) = 2. Halle y(l); use = 5 y = 10.
5. ; 2. Halle use 5 y
6. Halley(4); use y
7. use
EJERCICIOS B
1. Dado = encuentre numéricamente. puede usted usar es-
te resultado para calcular e?
2. Si y’= = 1, encuentre
3. (a) Use el problema de valor inicial 1 para calcular
de pendiente constante con (b) Estime el error del en (a)
usando página 429, y compare con el verdadero valor.
1
4. Dado el problema de valor inicial y , = (a) por el mé-
todo pendiente constante usando un valor apropiado para (b) Estime error.
en compare con el verdadero valor.
En Ejercicio 3 calcule usando el método de pendiente constante con
estimaría usted el error
(a) ecuación diferencial se va a resolver
dado y(0) = 0. son los valores numéricos obtenidos escogiendo
432 Capítulo nueve ,

15. 2, 5, puede uno estar seguro de tener una solución con
cifras decimales? (b) Resuelva la ecuación diferencial de (a) exactamente usando
la transformación +y v. Así encuentre y(2) exactamente y
7. Dado y’ 1, encuentre y(l) usando una calculadora o un manual que
tabule los varios valores de Obtenga una precisión de al menos con dos ci-
fras decimales.
Dado y’ = encuentre usando n = 5. Compare con la so-
lución exacta. precisión se obtiene usando n =
9. Dado el problema de valor inicial = 1 encuentre y compare
con el verdadero valor (ver página 431).
10. Dado 0, encuentre numéricamente. puede
usar sus resultados para calcular
EJERCICIOS C
1. El método de esta sección se limitó a la solución numérica de una ecuación dife-
rencial de primer orden. La ecuación diferencial de segundo orden y” y’)
sujeta a las condiciones y = c y’ = donde se puede escribir como dos
ecuaciones simultáneas de primer orden
=
sujeta a las condiciones y = v = donde = a. Puede usted idear un pro-
cedimiento para encontrar y y y’ cuando a + Sí así fuera, use el método en
la ecuación y = sujeta a las condiciones 0 para obtener y(l).
Compare con la solución exacta.
2. Use el método ideado en el Ejercicio 1 y encuentre y para la ecuación
diferencial = sujeta a las condiciones = 1, = 0.
3. Suponga que en la ecuación de la integral página 422 y) por
su valor en + y y c+ los cuales son los valores prornedios de
y y obtenidos por el método de pendiente constante. (a) Muestre que
= + + )
(b) Usando el análisis compare la precisión del resultado en con el
obtenido por los métodos de pendiente constante y de pendiente promedio. (c)
Trabaje algunos de los Ejercicios A en la página 432 por este método y compare
con los resultados de otros métodos. (d) Construya a diagrama de computador pa-
ra el método el cual algunas veces se llama el método de Runge.
El método de Runge-Kutta
Como ya hemos visto (página si nos dan la ecuación diferencial
= donde
entonces tomando n 1 de modo que b = + h, encontramos
+ = +
Solución numérica de ecuaciones diferenciales 433

16. También de la expansión en serie de Taylor tenemos
Expresando las derivadas indicadas en (2) en términos de y), Runge y
Kutta fueron capaces de obtener varias fórmulas para aproximar la serie en
(2). Una de fórmulas, la cual se encuentra que está en concordancia con
(2) hasta e incluyendo el término que involucra está dada por
+ = + +
donde = = + +
= + = + +
La verificación de esta fórmula es tediosa pero no difícil (ver Ejercicio 2C).
Otra fórmula está dada en el Ejercicio Para ver una aplicación del méto-
do Runge-Kutta, como a menudo se llama, consideremos el siguiente
EJEMPLO ILUSTRATIVO 1
Dado = 1, encuentre y(1).
Tenemos en este caso 1.
h = 1, encontramos
= = 1) = = + = = 2
= + = 2 ) = + + = =
y así = 1 + 1 + 4 + 5 + =
El hecho que esto esté en tan buen acuerdo con el verdadero valor aun
cuando se haya usado un tamaño de paso relativamente grande h 1, sirve
para indicar la superioridad del método de Runge-Kutta sobre el método de
pendiente promedio (y ciertamente el método de pendiente constante), el cual
requirió más cálculos, como se vió en los Ejemplos ilustrativos 1 y 2 en las pá-
ginas 424-427. El incremento en la precisión del ejemplo anterior se obtiene
usando valores más pequeños de h y aplicando el método más de una vez. Así,
por ejemplo, si escogemos h = y aplicamos el método dos veces, llegamos
al verdadero valor de
EJERCICIOS A
Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales y condiciones, determi-
ne el valor indicado de y usando el método de Runge-Kutta. Si es posible compare con
valores obtenidos resolviendo la ecuación exactamente
y(O)= 1. Encuentre 2. Encuentre
Y’ = 3. Encuentre 4. y’ x-y; 2. Encuentre
5. Trabaje los Ejercicios 1-7A en la página 432 usando el método de Runge-Kutta y
compare la precisión obtenida.
434 Capítulo nueve