Guía n°9 de contenido psu matemática 2010 potencias

Oliver Rodrigo Henríquez Aracena http://oliverclases.4shared.com
Preparación PSU De Matemática
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Guía Nº9 De Contenido PSU Matemática 2010
Contenido: Potencias

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Propiedades de Las Potencias



1) ,

2)

3)

4) ,

5)

6) ,

7) ,

8)

9)

10)

10.1) Si y n par, entonces

Ejemplo:

10.2) Si y n impar, entonces

Ejemplo:



Problema 2

Nombrar y dar ejemplos de cada propiedad

Propiedad 1

,

Ejemplo:

Propiedad 2

Ejemplo:

Propiedad 3



Ejemplo:

Propiedad 4

,

Ejemplo:

Propiedad 5

Ejemplo:

Propiedad 6

,


Ejemplo:

Propuesto: Después de estudiar todas las propiedades presentes en esta guía, demostrar
esta propiedad.

Propiedad 7

Ejemplo:

Propiedad 8

Ejemplo:

Propiedad 9

Ejemplo:


Problema 2

El valor de es igual a:

A)
B)
C)
D)
E) Otro Valor

Solución:
Fijemonos en nuestra propiedad 6 donde y apliquemosla:

=

Ahora veamos nuestra propiedad 8 donde

Y apliquemos nuestra definición de potencia y nuestra propiedad 5 donde

Como el 64 no está dentro de las alternativas, veamos los factores de 64:

Entonces...


Alternativa Correcta: D

Problema 3

Con respecto a la potenciación se afirma siempre que:

I) Es una operación conmutativa

II) Es una operación asocitiva

III) Es distributiva con respecto a la multiplicación

A) Verdadera sólo la I
B) Verdadera sólo la II
C) Verdadera sólo la III
D) Las 3 son verdaderas
E) Las 3 son falsas

Solución:

Analicemos:

I) ??

Veamos nuestra definición de potencia, ¿será lo mismo multiplicar b "n veces" a
multplicar n "b veces"?, por ejemplo ¿es lo mismo multiplicar 1 un millón de veces a
multiplicar un millón una vez? o ¿es lo mismo multiplicar 2 veces el 2 a multiplicar 2
veces 2? (valga la redundancia).

Si nos damos cuenta con lo anteriormente dicho, la solución de este problema pasa por 2
casos, si y .

Veamos un ejemplo de con

Comprobamos en este caso, ¿pasará lo mismo con ?


Vemos otro ejemplo, ahora con y

Sacamos por conclusión de que en este caso no se cumple, por lo tanto la proposición es
falsa.

II) ??

Echemos un vistaso a nuestra propiedad 9 donde

Problema 4

El valor de es:

A)

B)

C)

D)
E) Otro Valor
Solución:

Fijemonos que el exponente de esta fracción es , donde lo que significa que

podemos usar la propiedad 7
y seguir operando:



Por último veamos nuestra propiedad 10.1, Si , y n par, entonces

Por lo tanto...

Alternativa Correcta: A

Problema 5

El valor de es:

A)
B)
C)
D)
E)

Solución:

Si han estudiado las propiedades se habrán dado cuenta que no hay ninguna propiedad que
nos permita operar con las potencias si no hay ni bases ni exponentes iguales, en este caso
podemos igualar bases.

Si nos fijamos:



Entonces:

Apliquemos entonces la propiedad 9

Ahora usaremos la propiedad 3
, entonces:

Con la
propiedad 4

.

Alternativa Correcta: B

Problema 6

es igual a:

A)

B)



C)

D)

E)

Solución:

La solución de este problema pasa por saber operar con fracciones y saber usar una

propiedad de las potencias en especial, que es la propiedad 7, ,
apliquemosla:

Que según la propiedad 5: ...

Operando...

Ahora simplificamos esta fracción compuesta...

Problema 7

Si , entonces ?

A) 24
B) 32
C) 48


D) 512
E) 1024

Solución:

Lo pedido es:

Según la propiedad 3

Entonces, como sabemos que , reemplazamos:

Alternativa Correcta: E

Problema 8

Si y , entonces es un´número:

A) Entero Par
B) Entero Impar
C) Racional Negativo
D) Irracional Positivo
E) Irracional Negativo

Solución:

Como se habrán dado cuenta 9 y 27 son potencias de 3, entonces:



Sacamos por conclusión que si las bases son iguales a ambos lados de la igualdad, sus
exponentes también deben ser iguales. Por lo tanto:

Como en número pedido es sumamos las 2 ecuaciones:

5: Entero Impar


Problema 9

Encontrar el valor de para:

Solución:
Para resolver este problema lo ideal sería igualar la base a ambos lados de la igualdad y
después igualar sus exponentes.

En problema podemos utilizar la


propiedad 4

, entonces:

Ya tenemos bases iguales, ahora igualemos los exponentes encontremos el valor de x:



Problema 10

El valor de es:

A)

B)

C)

D)

E)

Un método para resolver este ejercicio y no usar lo que podríamos llamar "fuerza bruta"
que sería multiplicar tantas veces un número decimal lo que implicaría un número con
varias cifras después de la coma (que podría ser causal de un error), es transformar estos
números en factores que tengan una potencia de 10, es decir:

Según la propiedad 2

Entonces:

Es aquí donde podemos factorizar por que es término común...


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