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Clase N°7 - N°8 y N°9 Preparación PSU De Matemática 2009 Razón y Proporción Oliver Rodrigo Henríquez Aracena  Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases   http://oliver-clases.blogspot.com   http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com  77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com   http://oliver-clases-psu.blogspot.com
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PresentacióN N°9 Psu De MatemáTica Clase 7 RazóN Y ProporcióN

  • 1. Clase N°7 - N°8 y N°9 Preparación PSU De Matemática 2009 Razón y Proporción Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases http://oliver-clases.blogspot.com http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com
  • 2.
  • 3. http://oliver-clases.blogspot.com http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases Razón Definición La comparación por cuociente de dos cantidades que forman parte de una misma magnitud (longitud, tiempo, producción, ingresos etc.) se denomina razón. La primera de ellas llamada antecedente y la segunda llamada consecuente . Ejemplo 1    3 : 4 (se lee 3 es a 4 ), donde el 3  es el antecedente y el 4,  el consecuente. Esta razón también puede escribirse como .
  • 4. http://oliver-clases.blogspot.com http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases Ejemplo 2 Un maestro constructor prepara una mezcla con 40 paladas de arena y 24 de cemento. ¿Cuál es la razón entre cemento y arena? Solución: La razón nombra primero al antecedente y luego el consecuente. Por lo tanto, en este caso, el cemento es el antecedente y la arena el consecuente. La razón pedida es: Simplificando por 8, la razón queda en lo que significa que la mezcla está conformada por 3 partes de cemento por cada 5 partes de arena, o que por cada 8 partes de mezcla hay 3 de cemento y 5 de arena.
  • 5. http://oliver-clases.blogspot.com http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases Ejemplo 3   Repartir $ 125.000 entre Pedro  y Patricio en razón 2 : 3, respectivamente. Solución: La repartición debe ser en el orden dado, o sea, Pedro  ---> 2 partes y Patricio ---> 3 partes. Esto significa que: 2 partes + 3 partes = $125.000. Algebraicamente: 2p + 3p = 125.000 5p = 125.000 p = 25.000 O sea, cada parte es de $25.000. Por lo tanto a cada uno le corresponde: Pedro  = 2 partes = 2 · 25.000 = $ 50.000 Patricio = 3 partes = 3 · 25.000 = $ 75.000
  • 6. http://oliver-clases.blogspot.com http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases Ejemplo 4 Dos números están en la razón 5 : 2 y su diferencia es 60. ¿Cuáles son los números? Solución: 5p - 2p = 60 3p = 60 p = 20 Los números son: 5p = 5 ·20 = 100 y 2p = 2 ·20 = 40
  • 7. http://oliver-clases.blogspot.com http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases Proporción Definición Es la igualdad entre dos razones. Por ejemplo, tenemos las razones 3 es a 4 y 9 es a 12. Determinemos el valor de cada razón, efectuando las respectivas divisiones. 3 : 4 = 0,75  y 9 : 12 = 0,75 Como ambas tienen el mismo valor, podemos establecer una igualdad entre ellas. Así, se forma la proporción: 3 : 4 = 9 : 12 Que se lee: 3 es a 4 como 9 es a 12. Esta proporción también puede escribirse como:
  • 8. http://oliver-clases.blogspot.com http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases Propiedad fundamental de las proporciones Esta relación se conoce como el teorema fundamental de una proporción y es frecuentemente enunciada como “El producto de los medios es igual al producto de los extremos”.
  • 9. http://oliver-clases.blogspot.com http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases Tipos de proporciones Proporción Discontinua
  • 10. http://oliver-clases.blogspot.com http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases
  • 11. http://oliver-clases.blogspot.com http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases Cálculo del término desconocido de una proporción
  • 12. http://oliver-clases.blogspot.com http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases Propiedades de una proporción Componer una proporción Ejemplo : Hallar dos números cuya suma sea 55 y están en la razón 5 : 6. Solución 1: Sea X el primer número e Y el segundo. Entonces, se tiene que al interpretar el enunciado formamos la siguiente proporción:
  • 13. http://oliver-clases.blogspot.com http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases Componiendo y comparándola con el  numerador se tiene: Como en el enunciado, la suma de los números debe ser 55, se remplaza este valor en la igualdad, quedando: Resolviendo : Luego, el valor de X es 25 y el de Y es 30
  • 14. http://oliver-clases.blogspot.com http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases Solución 2 : Volviendo a la estrategia de razones, podríamos haber razonado que hay que repartir 55 en partes proporcionales, teniendo: Entonces la primera parte es  y el otro número es
  • 15. http://oliver-clases.blogspot.com http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases Descomponer una proporción Es comparar la diferencia entre el antecedente y el consecuente con su respectivo antecedente y consecuente. o bien:   Ejemplo : La  diferencia de las edades de un Padre y la de su Hijo es 20 años y están en la razón 7: 3. Solución : Edad del padre = x ; Edad del hijo = y Entonces, se tiene:  Al descomponer se tiene: Al sustituir  el enunciado se tiene.
  • 16. http://oliver-clases.blogspot.com http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases Lo que significa que el padre tiene 35 años, y como: , entonces, el hijo tiene 15 años. Componer y descomponer Es comparar suma y diferencia simultáneamente Serie de razones o serie de proporciones La serie de razones:  a : c : e = b : d : f Puede ser expresada como ; con k = constante.
  • 17. http://oliver-clases.blogspot.com http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases Entonces, se verifica que: Por ejemplo, en la serie de razones 2 : 4 : 6 = 3 : 6 : 9 o bien: se puede verificar que: Es decir que: constante.
  • 18. http://oliver-clases.blogspot.com http://henry-clasesparticularesdematematica.blogspot.com www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.esnips.com/user/oliverclases
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