1. Estudos de Controle
– Modelagem (2)
1

2. Controladores Automáticos
• Compara o valor real de saída da planta com a
entrada de referência.
• Produz sinal de controle que reduz o desvio.
• Ação de controle é a maneira pela qual isso é feito.
• Tipos:
• Duas posições (on-off)
• Proporcional
• Integral
• Proporcional-integral
• Proporcional-derivativo
• Proporcional-integral-derivativo
2

3. Duas posições (on-off)
• O elemento atuante tem somente duas posições
fixas.
• Simples e barato.
• Seja u(t) o sinal de saída do controlador e e(t) o
sinal de erro atuante:
𝑢 𝑡 =
𝑈1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒 𝑡 > 0
𝑈2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒 𝑡 < 0
onde 𝑈1 e 𝑈2 são constantes.
3

4. Duas posições (on-off)
• Intervalo diferencial é o intervalo no qual o sinal
de erro atuante deve variar antes de ocorrer a
comutação.
• Relacionado com a vida útil dos componentes.
4

5. Duas posições (on-off)
5

6. Proporcional
• Seja u(t) o sinal de saída do controlador e e(t) o
sinal de erro atuante:
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 𝑜𝑢
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝐾 𝑝
onde 𝐾𝑝 é o ganho proporcional.
6

7. Integral
• O valor da saída u(t) é modificado a uma taxa de
variação proporcional ao sinal de erro atuante
e(t).
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑖 𝑒 𝑡
𝑡
0
𝑑𝑡 𝑜𝑢
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
=
𝐾𝑖
𝑠
onde 𝐾𝑖 é o ganho integral.
7

8. Proporcional-integral
• Propriedades do controle proporcional e
integral.
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 +
𝐾𝑝
𝑇𝑖
𝑒 𝑡
𝑡
0
𝑑𝑡
𝑜𝑢
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝐾𝑝 1 +
1
𝑇𝑖 𝑠
onde 𝑇𝑖 é o tempo integrativo.
8

9. Proporcional-derivativo
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 + 𝐾𝑝 𝑇𝑑
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
𝑜𝑢
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑 𝑠
onde 𝑇𝑑 é o tempo derivativo.
9

10. Proporcional-integral-
derivativo
• Tem as vantagens individuais de cada uma das
três ações de controle
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 +
𝐾𝑝
𝑇𝑖
𝑒 𝑡
𝑡
0
𝑑𝑡 +𝐾𝑝 𝑇𝑑
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
𝑜𝑢
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝐾𝑝 1 +
1
𝑇𝑖 𝑠
+ 𝑇𝑑 𝑠
10

11. Distúrbios em malha fechada
• Como é um sistema linear, as entradas podem ser
tratadas independentemente. Considerando 𝐶 𝐷 𝑠 a
resposta somente ao distúrbio:
𝐶 𝐷(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝐺2(𝑠)
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
• E 𝐶 𝑅 𝑠 a resposta somente à entrada ao sistema:
𝐶 𝑅(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝐺1 𝑠 𝐺2(𝑠)
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
11

12. Distúrbios em malha fechada
• A resposta à aplicação simultânea das duas
entradas pode ser obtida somando as respostas
individuais:
𝐶 𝑠 = 𝐶 𝑅 𝑠 + 𝐶 𝐷 𝑠
𝐶(𝑠) =
𝐺2 𝑠
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠
(𝐺1 𝑠 𝑅 𝑠 + 𝐷(𝑠))
12

13. Distúrbios em malha fechada
• Reescrevendo a equação:
𝐶 𝐷(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝐺2(𝑠)
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
𝐶 𝐷(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
1
𝐺1 𝑠 𝐻(𝑠)
1
𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
+ 1
• Se 𝐺1 𝑠 𝐻 𝑠 ≫ 1 e |𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 | ≫ 1 o
efeito do distúrbio é suprimido. 13

14. Distúrbios em malha fechada
• Reescrevendo a equação:
𝐶 𝑅(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝐺1 𝑠 𝐺2(𝑠)
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
𝐶 𝑅(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
1
𝐻(𝑠)
1
𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
+ 1
• Se |𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 | ≫ 1 então a função de
transferência é inversamente proporcional a H(s)
e independe de 𝐺1(𝑠) e 𝐺2(𝑠).
14

15. Construção de diagramas de
bloco
• Descrever as equações que descrevem o
comportamento dinâmico de cada componente.
• Obter a transformada de Laplace dessas
equações, admitindo as condições iniciais como
nulas.
• Representar individualmente cada transformada
em um bloco.
• Agrupar os elementos.
15

16. Construção de diagramas de
bloco
• Exemplo: circuito RC.
• Equações do circuito:
𝑖 =
𝑒 𝑖−𝑒0
𝑅
e 𝑒0 =
𝑖𝑑𝑡
𝐶
• Transformada de Laplace:
𝐼 𝑠 =
𝐸 𝑖 𝑠 −𝐸0(𝑠)
𝑅
e 𝐸0 𝑠 =
𝐼(𝑠)
𝐶𝑠
16

17. Construção de diagramas de
bloco
• Exemplo: circuito RC
• Diagrama de blocos de cada transformada:
• Agrupado:
17

18. Redução do diagrama de
blocos
• Podem ser conectados em série.
• Podem ser substituídos por um único bloco, cuja
função de transferência é o produto das funções
de transferência individuais.
• Exemplo: circuito RC.
18
1
𝑅𝐶𝑠

19. Redução do diagrama de
blocos
• Simplificação facilita a análise posterior:
• O produto das funções de transferência no
sentido da ação deve permanecer o mesmo.
• O produto das funções de transferência ao
redor da malha deve permanecer o mesmo.
• Exemplo:
19

20. Redução do diagrama de
blocos
• Exemplo:
• G1:
• Realimentação H1:
20

21. Redução do diagrama de
blocos
• G3:
• Realimentação:
21

22. Obrigada!
ays@icmc.usp.br
www.lsec.icmc.usp.br
22