Apuntes en clase_09_ago_2006_

CORPORACION UNIVERSITARIA DE LA COSTA
CUC
PROGRAMA
IDENTIFICACION:
ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS
SEMESTRE: VI
INTENSIDAD: CUATRO HORAS SEMANALES
PROFESOR: MARTÍN ENRIQUE ARZUZA ARZUZA
1. DESCRIPCION:
La MATEMATICA FINANCIERA ofrece un conjunto de conceptos
procedimientos y relaciones entre variables que inciden en las transacciones
propias del financiamiento y la inversión, necesarios al conocimiento de
quienes toman decisiones razonables durante el proceso de la administración
del dinero.
2. JUSTIFICACION:
Toda disciplina que apunte hacia la administración de los recursos de la
empresa entre los cuales se destaca el dinero, precisa del estudio de las
MATEMATICAS FINANCIERAS.
Cuando corresponde a una persona ejercer las funciones de Administrador
Financiero, cae bajo su responsabilidad hacer rendir los excedentes y hacer
menos costosa la consecución de recursos en casos de déficit.
Las decisiones en tales situaciones estarán mejor fundamentadas si se toman
haciendo uso del conocimiento y raciocinio que otorgan las MATEMATICAS
FINANCIERAS.
Su aplicación no está limitada al campo empresarial, es igualmente de gran
utilidad al individuo que invierte y/o toma recursos del crédito.
Las MATEMATICAS FINANCIERAS entregan además un valioso aporte a la
Evaluación Financiera de Proyectos de Inversión, cuando se utiliza en el
estudio de índices que permiten medir la bondad económica de los mismos.
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3. OBJETIVOS:
OBJETIVO GENERAL.
Capacitar al estudiante en los diferentes conceptos procedimientos y
relaciones matemáticas que rigen las transacciones donde se da valor al
dinero en el tiempo, con énfasis en los parámetros del mercado financiero
colombiano de manera que el estudio consulte la realidad nacional, empleando
para ello la tecnología disponible.
OBJETIVOS ESPECIFICOS.
Aprender los conceptos que sirven de marco al estudio de las MATEMATICAS
FINANCIERAS, así como las funciones financieras incluyendo las incorporadas
en las hojas electrónicas y las que se ingresan en ellas como definidas por el
usuario.
Desarrollar: analizando, interpretando, planteando y resolviendo, problemas
relacionados con el valor del dinero en el tiempo, fundamento de las
MATEMATICAS FINANCIERAS, y en general sobre situaciones de inversión y
financiamiento que involucren valores independientes, uniformes y/o variables,
con ayudas tanto de hoja electrónica como de calculadoras financieras y
convencionales.
Finalmente, estudiar los índices más utilizados en la evaluación de proyectos
de inversión y los casos relativos a las operaciones con papeles de renta
variable.
4. METODOLOGIA
El procedimiento adoptado, teniendo en cuenta la naturaleza de los temas es el
siguiente:
● Se motiva e ilustra al estudiante en la teoría de cada ítem del temario, al
tiempo que se presentan los respectivos ejemplos, abriendo espacios para
resolver inquietudes del alumnado.
● Los temas donde no se requiera la explicación en clase se suministran al
estudiante como material de lectura, y en fecha acordada se realiza el
respectivo control.
● Se mide la comprensión del estudiante planteando problemas en clase. En
caso de observarse alguna dificultad se presentan nuevos ejemplos y se
amplía la explicación.
● Se asignan temas de investigación que acerquen al estudiante a la realidad y
le permitan experimentar la teoría expuesta en el aula. La investigación será
sustentada en clase por el estudiante.
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● Se emplean como recursos en la solución de problemas, las calculadoras
convencionales o financieras y las hojas electrónicas, para lo cual los
estudiantes asisten a sala de cómputos dos horas semanales.
5. CONTENIDO
Capitulo 1. CONCEPTOS BÁSICOS
• I Semana:
Justificación. Reglas de juego
Situaciones de estudio.
Diagramas de valor
Valor del dinero en el tiempo
Variables que intervienen en las operaciones de inversión y crédito.
Capitulo 2. INTERÉS
Interés. Modalidades de cálculo. Funciones personalizadas en Excel.
• II Semana:
Estudio de casos: Diagramas simples.
Ecuaciones de valor.
• III Semana:
Estudio de casos: Diagramas con accidentes financieros.
Tasas equivalentes.
Tablas de amortización y de fondo de amortización en Excel.
• IV Semana:
Estudio de casos
Capitulo 3. ANUALIDADES
• V Semana:
Primer parcial
Calculo del valor futuro equivalente a un valor presente
Calculo del valor presente equivalente a un valor futuro
• VI Semana:
Calculo de la tasa de interés
Calculo del tiempo de una negociación
Ejercicios
PRIMER PARCIAL
Capitulo 4. CONVERSIÓN DE TASAS DE INTÉRES
• VII Semana:
Conversión de una tasa nominal en una tasa efectiva
Conversión de una tasa efectiva en una tasa efectiva
• VIII Semana:
Conversión de una tasa nominal en una tasa nominal
Tasas de interés anticipadas
Tasas de interés combinadas
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Ejercicios
• IX Semana:
Ejercicios conversión de tasas nominales a efectivas, de nominales a
nominales y de efectivas a efectivas vencidas y anticipadas.
Capitulo 5. SERIES UNIFORMES O ANUALIDADES ANTICIPADAS,
DIFERIDAS Y PERPETUAS
• X Semana:
Segundo parcial
Calculo del valor presente equivalente a una anualidad vencida, anticipada,
diferida y perpetua
Ejercicios
• XI Semana:
Calculo del valor futuro equivalente a una anualidad vencida, anticipada,
diferida y perpetua
Ejercicios
SEGUNDO PARCIAL
• XII Semana:
Ejercicios de Anualidades vencidas, anticipadas, diferidas y perpetuas.
Capitulo 6. SERIES VARIABLES O GRADIENTES LINEALES Y
EXPONENCIALES
• XIII Semana:
Calculo del valor presente equivalente a un gradiente lineal creciente y
decreciente
Calculo del valor futuro equivalente a un gradiente lineal creciente y
decreciente
• XIV Semana:
Calculo del valor presente equivalente a un gradiente exponencial
Calculo del valor futuro equivalente a un gradiente exponencial
Ejercicios de gradientes lineales y exponenciales
Ejercicios
Capitulo 7 . INDICES PARA EVALUAR ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN
• XV Semana:
Valor presente Neto (V. P. N)
Tasa interna de retorno (T. I. R)
Costo anual uniforme equivalente (C. A. U. E)
Relación beneficio-costo (B / C)
Tasa verdadera de rentabilidad (T. V. R)
Ejercicios
• XVI Semana:
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Repaso general
• XVII Semana:
FINALES
6. ACTIVIDADES
Se realizarán ejercicios modelos en el salón de clases por parte del docente en
cada uno de los temas.
Se desarrollarán ejercicios por parte de los alumnos bajo la supervisión del
docente.
7. COMPETENCIAS
Interpretativas
Identificar y comprender los conceptos fundamentales de las Matemáticas
Financieras y sus elementos, relacionándolos con el mercado financiero o de
capitales; analizar y explicar las diferentes operaciones del mercado financiero
y comentar los resultados matemáticos obtenidos en la solución de casos de
inversión o de crédito para tomar decisiones.
Argumentativas
Deducir las teorías, principios y leyes de las matemáticas financieras que
explican los cálculos de las operaciones financieras; proponer situaciones
reales para darle una solución analítica y racional y adquirir habilidad mental
para la toma de decisiones de Inversión o Financiación
Propositivas
Construir modelos de ecuaciones que resuelvan los distintos problemas
tratados en las operaciones de inversión y financiamiento.
8. BIBLIOGRAFIA
García, Jaime. Matemáticas financieras con ecuaciones de diferencia finita.
PEARSON.
García González, Enrique. Matemáticas financieras por medio de algoritmos,
calculadora
financiera y PC. MC GRAW HILL.
Alvarez, Alberto. Matemáticas financieras. MC GRAW HILL
Cardona, Alberto. Matemáticas financieras. EDITORIAL INTERAMERICANA.
Portus Govinden, Lincoyán. Matemáticas financieras. MC GRAW HILL.
Ayres, Frank Jr. Matemáticas financieras. MC GRAW HILL.
Montoya Durango, Leonel. Matemáticas financieras. INVESTIGAR EDITORES.
Ariel Trejos, Carlos. Ingeniería Económica, Enfoque Práctico. EDITORIAL
UNIVERSIDAD DEL VALLE.
Gómez Ceballos, Alberto. Matemáticas financieras. UNIVERSIDAD DEL
QUINDÍO.
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9. EVALUACION
Se evaluarán los siguientes criterios, determinantes del grado de desarrollo
académico alcanzado por el estudiante:
Logros; competencias; procesos de formación intelectual, social y de
habilidades; valores; compromiso y actitud participativa. Los resultados
obtenidos se traducen en tres notas parciales cuya participación en la nota
definitiva es la siguiente:
Primer parcial 30%; Segundo parcial 30%; Examen final 40%; Total
100%
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
APUNTES EN CLASE
PROFESOR: MARTÍN ARZUZA ARZUZA
1 LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS COMO HERRAMIENTA DE
DECISIÓN.
Quienes tienen la responsabilidad de administrar dinero, no pueden marginarse
del estudio de las MATEMÁTICAS FINANCIERAS, disciplina que le ofrece los
fundamentos necesarios para tomar las mejores decisiones cuando le
corresponda aprovechar una oportunidad de negocio, invertir excedentes de
tesorería, obtener recursos para invertir en un proyecto u obtener financiamiento
para cubrir el déficit del flujo de caja.
A través del manejo de conceptos, relaciones entre variables, procedimientos
matemáticos y uso de la tecnología, se logran resultados o cifras con las cuales el
interesado en resolver una situación de crédito o inversión se llena de razones
para actuar.
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2 SITUACIONES DE ESTUDIO.
Toda situación tratada en el módulo que nos ocupa, está relacionada de alguna
manera con inversión, financiamiento y / o equivalencia entre tasas de interés.
2.1 INVERSIÓN.
En materia de inversión, se plantean alternativas tales como:
a. INVERSIÓN EN CUENTA DE AHORROS. Consiste en depositar dineros en una
institución financiera, por lo cual se le reconocen al cuenta habiente unos
intereses.
b. INVERSIÓN EN PAPELES. Se refiere a la compra de documentos tales como:
acciones, bonos, certificados, papeles comerciales, títulos y en general todo papel
por el cual se perciban rendimientos al ser negociado.
c. INVERSIÓN EN PROYECTOS. Esta alternativa está relacionada con inversión
en actividades empresariales, como es el caso de la compra de activos fijos con el
propósito de generar ingresos.
2.2 CRÉDITO.
El déficit de caja en el borrador de presupuesto puede ser absorbido por
cualesquiera de estas posibilidades:
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a. EN DINERO. Esto es la financiación en efectivo, proveniente de acreedores
institucionales o no.
b. EN ESPECIE. Es decir crédito obtenido de un proveedor, del cual se recibe un
bien o servicio.
c. REFINANCIACIÓN. Contempla el replanteamiento de créditos vigentes, sobre
los cuales se pactan nuevas condiciones, especialmente de mayores plazos para
aliviar la carga del futuro flujo de caja.
2.3 TASAS EQUIVALENTES.
Al comparar tasas para elegir entre varias, se requiere unificarlas en sus tres
características como son:
a. PRESENTACIÓN. Las tasas pueden pactarse de dos formas en cuanto a su
presentación: nominales o efectivas.
b. PERIODICIDAD. En una negociación, la periodicidad de la tasa indica cada
cuánto tiempo el interés se convierte en capital. Entonces puede ser diaria,
mensual, bimestral, trimestral, etc.
c. VENCIMIENTO. Al efectuar una transacción donde se da valor al dinero en el
tiempo, la tasa podrá negociarse con pago de intereses anticipados o vencidos.
3 DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA.
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Un diagrama de flujo de caja es una representación de los valores implicados en
una operación de inversión o financiamiento, donde cada uno de ellos se dibuja
como una flecha dispuesta en orden a su respectivo vencimiento, sobre una línea
horizontal donde se grafica en escala el tiempo.
En nuestro estudio utilizaremos una convención muy empleada en los diagramas
de caja donde las flechas se dibujan hacia arriba cuando corresponden a entradas
y hacia abajo cuando se refieren a salidas.
Importante además al dibujar el diagrama: si se trata de una inversión, hacerlo
desde el punto de vista del inversionista y si concierne a una operación de crédito,
hacerlo desde el punto de vista del beneficiario del crédito.
Cuando se procede a dar solución a un problema planteado, conviene recurrir,
como primer paso, a un diagrama de caja, instrumento de gran importancia en los
cálculos, ya que facilita la construcción de la equivalencia entre los ingresos y los
desembolsos.
Al interpretar el enunciado del problema a través de un diagrama, se debe tener
como referencia un punto en la línea del tiempo que represente el día inicial de la
negociación y al que se le denomina el punto cero.
3.1 DIAGRAMA DE INVERSIÓN EN CUENTA.
-------- RETIROS ------- SALDO
0 1 2 3 n-1 n (número del período)
-------- DEPÓSITOS -------
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Desde la óptica de quien invierte en una cuenta, sus depósitos constituyen
desembolsos o salidas, mientras los retiros tienen el carácter de entrada.
Su respectivo diagrama, sin embargo, presenta una circunstancia especial en
cuanto a que el saldo debe estar representado al final del flujo, por una flecha de
entrada.
A pesar de que el saldo mantenido en una cuenta no es propiamente un ingreso
hasta tanto no se retire, éste deberá ser tomado como tal, a fin de equilibrar los
dos conjuntos de entradas y salidas.
Es en el equilibrio de los conjuntos de ingresos y desembolsos en que las
matemáticas financieras se apoya para dar solución a cada situación.
3.2 DIAGRAMA DE INVERSIÓN EN PAPELES.
---- INTERESES ---- VR. DE VENTA
0 1 2 3 n (número del período)
VR. DE COMPRA
DEL DOCUMENTO
La negociación con papeles solo demanda desembolso al comienzo de la
operación y su monto está dado por el valor de compra del documento.
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En algunos papeles puede pactarse pago de intereses durante la vigencia del
documento, en cuyo caso estos intereses se mostrarán en el flujo como flechas de
entrada.
Al negociarse, sea en fecha de redención o antes de la misma, el valor de venta
del documento se representará por flecha de ingreso.
3.3 DIAGRAMA DE INVERSIÓN EN PROYECTOS.
---- INGRESOS ---- VR. DE MERCADO
INV. -----COSTOS --------
INICIAL
Los proyectos, especialmente al evaluar su viabilidad económica, se estudian a
partir de un período que representa su vida útil, considerando en su flujo de caja,
la inversión inicial, los costos y los gastos como salidas, en tanto que los ingresos
y el valor que pueda recuperarse al final de su vida útil como entradas.
El valor que puede obtenerse por lo que queda del proyecto al final de su vida útil,
recibe los nombres de: valor de mercado, valor de salvamento, valor de desecho o
valor residual y es representado por flecha de entrada al final.
3.4 DIAGRAMA DE CRÉDITO EN DINERO.
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VR. DEL CRÉDITO
--------PAGOS --------
Para el beneficiario de un crédito, el dinero recibido al inicio de la transacción tiene
comportamiento de entrada, mientras que los pagos con los cuales cancela el
empréstito, el de salidas.
3.5 DIAGRAMA DE CRÉDITO EN ESPECIE.
VR. DE CONTADO
MENOS CUOTA INICIAL
--------PAGOS --------
En el caso de créditos donde se recibe un bien, el valor de contado de ese bien es
el valor de la entrada en el punto cero o inicio de la transacción. Para los casos en
que el proveedor demande cuota inicial, esta podrá indicarse como salida en el
mismo punto inicial o podrá restarse en la flecha correspondiente al valor de
contado como se recomienda en el gráfico, para efectos de simplificar los cálculos.
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En general, cuando se tengan en una misma fecha valores de entrada y de salida,
se podrá colocar solo uno, con un valor igual al resultado de la diferencia entre los
primeros y con la orientación de entrada o salida según lo indique el mayor valor.
3.6 DIAGRAMA DE REFINANCIACIÓN.
--- FORMA DE PAGO INICIAL ---
-- FORMA DE PAGO NUEVA --
En las operaciones de refinanciación se advierten claramente dos conjuntos como
son: el compromiso inicial y el que lo sustituye o nueva forma de pago; como
quiera que es esta última la que implica desembolsos, los pagos que a través de
ella se hayan pactado serán salidas en el flujo, mientras las cuotas anuladas de la
primera forma de pago se mostrarán como entradas en el flujo.
4 VARIABLES, CONCEPTOS Y FÓRMULAS INHERENTES A LAS
OPERACIONES DE INVERSIÓN Y CRÉDITO.
4.1 VARIABLES BÁSICAS.
Son las variables propias de la inversión y el financiamiento, tales como capital o
valor presente (P), número de períodos o cuotas (n), número de períodos por año
(m), tasa de interés efectiva periódica (i), tasa nominal (j), valor futuro (F), cuota o
pago (A), crecimiento en pesos de una cuota (G), crecimiento en tasa de cuotas
(K). Estas son las que denominaremos variables básicas.
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4.1.1 CAPITAL O VALOR PRESENTE. Simbolizado por P, corresponde al monto
cedido por el inversionista o acreedor al deudor, al comienzo de la
operación.
También representa el total en el cual se convierte un valor antes de la
fecha de su vencimiento, descontado a una tasa de interés(i), durante un
número de períodos(n).
4.1.2 NÚMERO DE PERÍODOS O NÚMERO DE CUOTAS. Simbolizado por n, se
refiere a la cantidad de períodos durante los cuales permanece expuesto un
capital a una tasa de interés para convertirse al cabo de ese tiempo en un
valor futuro. También se utiliza para simbolizar el número de cuotas o
valores periódicos involucrados en una negociación.
4.1.3 NÚMERO DE PERÍODOS POR AÑO. Simbolizado por m, es una variable
indispensable en la relación entre una tasa nominal y una efectiva.
Si los períodos de capitalización son diarios, m vale 360 o 365 según la
base acordada; si son mensuales, m vale 12; si son trimestrales, m vale 4;
si son semestrales, m vale 2; si son anuales, m vale 1.
4.1.4 TASA DE INTERÉS. Se le considera el pago por el uso del dinero que
realiza un deudor a su acreedor. Cada tasa pactada consta de tres
características: Presentación (Nominal o efectiva), periodicidad (diaria,
mensual, trimestral,...) y vencimiento (anticipada o vencida)
4.1.5 TASA DE INTERÉS EFECTIVA APLICADA POR PERÍODO. Simbolizada
por i, es la variable central, responsable de la equivalencia entre valores
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con diferentes fechas de vencimiento, la cual implica costo para el deudor y
rendimiento para el acreedor.
La tasa de interés efectiva periódica traduce la cantidad de dinero
reconocido por el deudor a su acreedor por cada $100 que utiliza durante
un período.
4.1.6 TASA NOMINAL. Simbolizada por j, es otra forma de presentar la tasa de
interés, en términos del promedio anual de la efectiva periódica; de esta
manera, el 2% efectivo mensual es equivalente al 24% nominal
capitalizable mensualmente.
La relación entre la nominal y la efectiva periódica está dada por:
j=m*i (1)
4.1.7 VALOR FUTURO. Simbolizado por F. Se considera valor futuro al valor en
el cual se convierte un capital (p), colocado a una tasa de interés efectiva
periódica (i), durante un número de períodos(n).
4.1.8 CUOTA O PAGO. Simbolizado por A. Se entiende como el valor de una
serie de cuotas o pagos iguales y periódicos, llamada anualidad. También
se emplea para designar el valor de la primera cuota o pago, de una serie
de cuotas o pagos variables con comportamiento periódico de progresión
aritmética o geométrica.
4.1.9 DIFERENCIA. Simbolizada por G. Denota la suma en que crece o
disminuye una serie de cuotas, llamada gradiente aritmético. G es positivo
si la serie es creciente y negativo si es decreciente. Cada cuota a partir de
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la segunda es la diferencia sumada a su anterior; por lo tanto, para que una
serie sea gradiente aritmético debe cumplirse que An – An-1 = An-1 – An-2
4.1.10 TASA DE CRECIMIENTO. Simbolizada por K. Se conoce así al crecimiento
porcentual que sufre una serie de cuotas, llamada gradiente geométrico. Si
K es positivo la serie es creciente y si es negativo la serie es decreciente.
4.1.11 RAZÓN. Simbolizada por 1 + K. Es en el gradiente geométrico el resultado
del cociente entre una cuota y su anterior, por lo que cualquier cuota a partir
de la segunda se obtiene multiplicando su anterior por 1 + K. Debe
cumplirse entonces que An / An-1 = An-1 / An-2
4.2 CONCEPTOS BÁSICOS.
4.2.1 VALOR ÚNICO. Un valor aislado, que no pertenezca a una serie, se le
llama valor único o independiente y puede hacer las veces de presente
cuando se traslada al futuro o de futuro cuando se traslada al presente.
4.2.2 SERIES DE VALORES. Las operaciones definidas como de inversión y
crédito se pactan con cuotas independientes, anualidades y / o gradientes,
estas dos últimas pueden ser: Diferidas, vencidas, anticipadas o perpetuas.
Al trasladar estos valores en el tiempo se requiere el empleo de
equivalencias entre las cuotas y un valor futuro o un valor presente.
4.2.3 ANUALIDADES. Serie de cuotas uniformes y periódicas.
Se emplean mucho en créditos donde el sistema de amortización determina
un pago fijo periódico, mediante el cual en la medida en que se abona al
capital el interés disminuye. En la constitución de fondos de amortización se
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utiliza cuando se decide hacer depósitos periódicos de un mismo valor a fin
de reunir una suma determinada al cabo de algún tiempo.
4.2.4 GRADIENTE. Serie de cuotas variables y periódicas con comportamiento
de progresión aritmética o Geométrica.
4.2.4.1 GRADIENTE ARITMÉTICO. Serie de cuotas variables y periódicas que
crecen o disminuyen en una suma fija g llamada diferencia.
4.2.4.2 GRADIENTE GEOMÉTRICO. Serie de cuotas variables y periódicas que
crecen o disminuyen en una tasa fija k denominada tasa de crecimiento.
4.2.5 PERPETUIDADES. Series que pueden ser anualidades o gradientes y se
caracterizan por un número de cuotas indeterminado o tan grande que se
asume tiende a infinito.
4.2.6 SERIES VENCIDAS. A las anualidades y los gradientes se les llama
vencidos cuando sus cuotas vencen al final de cada período.
ANUALIDADES VENCIDAS
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1 2 3 n-1 n (número de la cuota)
------------ A ----------
GRADIENTES ARITMÉTICOS VENCIDOS
1 2 3 n-1 n (número de la cuota)
4.2.7 SERIES ANTICIPADAS. Cuando las cuotas de una serie vencen al
comienzo de cada período, se les denomina anualidades o gradientes
anticipados según el caso.
ANUALIDADES ANTICIPADAS
1 2 3 4 n (número de la cuota)
------------ A ----------
GRADIENTES ANTICIPADOS
0 1 2 n-1 n (número del período)
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1 2 3 n (número de la cuota)
4.2.8 SERIES DIFERIDAS. Se refiere a los casos en los cuales la primera cuota
de la serie vence en fecha posterior al final del primer período. De ser así
se les conoce como anualidades o gradientes diferidos.
ANUALIDADES DIFERIDAS
0 1 2 3 n (número del período)
1 n-3 n-2 (número de la cuota)
------- A ------
GRADIENTES DIFERIDOS
1 2 n-2 n-1 (número de la cuota)
4.3 FÓRMULAS BÁSICAS.
Antes de entrar a definir cada una de las 24 fórmulas básicas sobre las cuales las
matemáticas financieras construye la solución a un problema planteado, es
conveniente definir el concepto de valor del dinero en el tiempo.
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4.3.1 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO. La equivalencia entre valores con
distintas fechas de vencimiento se apoya en el siguiente razonamiento:
Cuando un inversionista se desprende de su dinero, lo hace motivado por
la oportunidad de recibir una cantidad adicional como compensación por el
riesgo asumido cuando lo deja en manos de su deudor. El costo del dinero
nace entonces de la necesidad que de él tienen, demandantes dispuestos a
pagar por el uso de excedentes que poseen los oferentes.
Explica este concepto la razón de ser de las matemáticas financieras, es el
fundamento o naturaleza de las transacciones relacionadas con la inversión
y el crédito. Es el valor del dinero en el tiempo lo que permite establecer la
equivalencia entre valores con distintas fechas de vencimiento.
5 MODALIDADES DE CÁLCULO EN OPERACIONES DONDE SE DA
VALOR AL DINERO EN EL TIEMPO.
5.1 INTERES SIMPLE. Se caracteriza porque el capital permanece constante
durante toda la operación. Esta modalidad ha perdido vigencia en las
operaciones del mercado financiero, pues ningún inversionista está dispuesto
a pactar intereses donde el deudor los utilice sin reconocer pago por ello.
5.2 INTERES COMPUESTO. A diferencia del simple, el interés se convierte en
capital periódicamente. Es este el modo de cálculo más frecuente en las
operaciones del mercado financiero Colombiano.
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5.3 INTERES CONTINUO. Es la modalidad empleada en economías de inflación
acelerada, donde la capitalización es instantánea, lo que se traduce en un m
tan grande que tiende a infinito.
6 TASAS EQUIVALENTES
Dos tasas son equivalentes, si al actuar sobre un mismo capital y durante un
mismo período, producen un mismo valor futuro.
Se pueden encontrar dos tasas que tengan diferente presentación (nominal y
efectiva), o diferente periodicidad (Mensual y trimestral), o diferente vencimiento
(vencida y anticipada) y que produzcan el mismo efecto, resultando indiferente
invertir a la una o a la otra.
Es de mucha utilidad conocer cómo se cambian las características de una tasa, ya
que para poder comparar dos de ellas, se requiere que estén dadas con las
mismas características de presentación, periodicidad y vencimiento.
6.1 CAMBIO DE UNA CARACTERÍSTICA EN LA TASA.
Al utilizar una de las siguientes fórmulas para cambiar una característica a
una tasa de interés, tenga presente que éstas fórmulas solo le cambian una y
solo una característica.
6.1.1 PRESENTACION. Las tasas pueden ser presentadas nominal o efectiva y
se debe aprender a reconocerla de acuerdo con la expresión utilizada.
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El cambio de presentación utiliza las siguientes fórmulas: J = m * i; i = J /
m. Donde i es la tasa efectiva y J es la tasa nominal. EJEMPLO: Qué tasa
trimestral es equivalente al 36% ATV?.
SOLUCION: i = 0.36 / 4 = 0.09 = 9% trim.
Esta fórmula también es válida para cambiar de presentación a las
anticipadas.
6.1.1.1 EXPRESIONES QUE DEFINEN LAS TASAS NOMINAL Y EFECTIVA.
Es conveniente, antes de conocer las estructuras empleadas para enunciar
una tasa nominal o una tasa efectiva, recordar que cada tasa de interés
pactada lleva consigo tres propiedades como son: PRESENTACION
(Nominal o efectiva), PERIODICIDAD (Diaria, mensual, trimestral, etc.) Y
VENCIMIENTO (Anticipada o vencida).
6.1.1.1.1 EXPRESIONES UTILIZADAS EN LA TASA NOMINAL:
a) 36% nominal anual, capitalizable mensualmente.
b) 36% nominal capitalizable mensualmente.
c) 36% capitalizable mensualmente.
d) 36% convertible mensualmente.
e) 36% liquidable mensualmente
f) 36% AMV; 36% ASV; 40% ATA; 38% ATV.
g) 36% MV; 36% SA; 30% MA.
6.1.1.1.2 EXPRESIONES EMPLEADAS PARA ENUNCIAR LA TASA EFECTIVA:
a) 2% efectiva mensual.
b) 2% mensual
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c) 2% EM
6.1.2 PERIODICIDAD, Utiliza la siguiente fórmula: if = (1 + i0)
(m0 / mf)
– 1. Donde if
es la tasa efectiva vencida a calcular con nueva periodicidad; mf es el
número de capitalizaciones en un año de esa tasa final a calcular; i0 es la
tasa efectiva vencida a la que se va a cambiar la periodicidad, y m0 es el
número de capitalizaciones de i0. EJEMPLO:
Qué tasa mensual es equivalente al 15% semestral?
SOLUCION: i1 = 1.15
(2 / 12)
– 1 = 0.023567 mensual.
EL CAMBIO DE PERIODICIDAD SOLO SE DA ENTRE TASAS
EFECTIVAS VENCIDAS.
6.1.3 VENCIMIENTO, Utiliza las siguientes fórmulas:
ia = i / (1 + i); i = ia / (1 - ia)
EJEMPLO: Qué tasa semestral vencida es equivalente al 42% ATA?
SOLUCION: ia = 0.42 / 4 = 0.105 trimestral.
i =0.105/(1-0.105) = 0.117318435trim. i1 = 1.117318435
4/2
– 1 = 0.2484
semestral.
NOTA: EN UNA EXPRESION DONDE NO SE DIGA QUE LA TASA ES
ANTICIPADA SE DEBE ENTENDER COMO VENCIDA.
7 TRASLADO DE VALORES EN EL TIEMPO.
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7.1 ECUACIONES DE VALOR
La ecuación de valor es un mecanismo facilitador de los cálculos, planteada
para equilibrar dos conjuntos de valores en una fecha llamada FECHA
FOCAL, a fin de que exista conformidad entre las partes que intervienen en
la transacción (deudor y acreedor).
Para establecer la ecuación se siguen estos pasos:
1) Se interpreta el problema a través del diagrama de la línea del
tiempo, definiendo en él claramente cada conjunto de valores y sus
correspondientes vencimientos. El gráfico es simplificable en los casos
en que aparecen en una misma fecha valores de ingreso y
desembolso, las dos flechas se reemplazan por una cuyo valor será la
diferencia entre el ingreso y el desembolso, con el sentido del mayor
valor.
2) Se verifica que la periodicidad de la tasa corresponda con la unidad de
tiempo de los períodos en el diagrama, en caso de no ser así, se
convertirán las tasas hasta lograr tal correspondencia.
3) Se elige una fecha focal cualquiera, salvo en casos de refinanciación
donde el compromiso inicial de pagos se haya pactado a una tasa
diferente a la del nuevo compromiso, en cuyo caso la fecha focal no
podrá ser una distinta del punto cero.
4) Una vez elegida la fecha focal y verificada las tasa, se establece la
ecuación de valor, igualando la sumatoria de los valores del primer
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conjunto llevados hasta la fecha focal con los valores del otro
conjunto, trasladados igualmente hasta la fecha focal. Para el
traslado se deben seguir estas reglas:
a. Si un valor es trasladado a la derecha de la línea del tiempo, se
emplea la fórmula de valor futuro.
b. Si un valor es trasladado hacia la izquierda en la misma línea,
se emplea la fórmula de valor presente.
c. Si un valor se encuentra exactamente en la fecha focal no tiene
necesidad de traslado y en consecuencia en la ecuación tendrá
el mismo valor de su vencimiento.
El gráfico que se muestra a continuación indica hasta qué fecha
traslada la serie, cada una de las fórmulas:
Pv Pa Fv Fa
1 n
Pv: Es la fórmula del presente de una serie vencida la cual traslada
todos sus valores hasta un período antes del vencimiento de la
primera cuota.
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Pa: Es el presente de una anualidad anticipada que lleva todos sus
valores hasta exactamente el vencimiento de la primera cuota.
Fv: Es la del futuro de una anualidad vencida y traslada todos sus
valores hasta el vencimiento de la última cuota.
Fa: Es el valor futuro de una anualidad anticipada y con ella es
posible reemplazar todos sus valores por uno solo con vencimiento
un período después de la última cuota.
5) Se da solución a la ecuación despejando la incógnita.
7.2 FÓRMULAS BÁSICAS SOBRE EQUIVALENCIAS ENTRE VALORES.
F = P*(1+i)
n
Futuro de un presente
P = F*(1+i)
- n
Presente de un futuro
F = A*[(1+i)
n
-1] / i Futuro de una anualidad vencida
P = A*[1-(1+i)
- n
]/ i Presente de una anualidad vencida
F = {A*[(1+i)
n
-1]/ i }*(1+i) Futuro de una anualidad anticipada
P = {A*[1-(1+i)
- n
]/ i }(1+i) Presente de una anualidad anticipada
P = A / i
Presente de una anualidad perpetua
vencida
P = (A / i)*(1 + i) Presente de una anualidad perpetua
26

anticipada
F = A*[(1+i)
n
-1]/ i + G/ i*{[(1+i)
n
-1]/ i - n}
Futuro de un gradiente aritmético
vencido
P = A*[1-(1+i )
- n
]/i + G/ i*{[1-(1+i)
- n
]/ i – n / (1+i)
n
}
Presente de un gradiente aritmético
vencido
F = {A*[(1+ i)
n
–1]/i + G/ i*{[(1+ i)
n
-1]/ i - n}}*(1 + i)
Futuro de un gradiente aritmético
anticipado
P = {A*[1-(1+i )
- n
]/ i+G/ i*{[1-(1+i )
-n
]/ I - n/(1+i )
n
}}*(1+i)
anticipado
P = 1/i*(A+G/ i )
perpetuo vencido
P = 1/ i*(A+G/ i)*(1+ i)
perpetuo anticipado
F = A*[(1+i)
n
- (1+k)
n
] / (i - k)
Futuro de un gradiente geométrico
vencido si:(i<>K)
F = n*A*(1+i)
n-1 Futuro de un gradiente geométrico
vencido si:(i=K)
P = A*{1 - [(1+k)/(1+i)]
n
}/(i - k)
Presente de un gradiente geométrico
vencido si:(i<>K)
P = n*A/(1+ i)
vencido si:(i=K)
F = {A*[(1+i)
n
- (1+k)
n
] / (i - k)}*(1+ i)
Futuro de un gradiente geométrico
anticipado si:(i<>K)
F = n*A*(1+i)
n Futuro de un gradiente geométrico
anticipado si:(i=K)
P = A*{1 - [(1+k)/(1+i)]
n
}*(1+ i)
anticipado si:(i<>K)
P = n*A
anticipado si:(i=K)
P = A/(i – k)
perpetuo vencido si:(i>K)
P = A/(i - k)(1+ i)
perpetuo anticipado si:(i>K)
8 TABLAS DE AMORTIZACIÓN Y DE FONDOS DE AMORTIZACIÓN.
27

8.1 TABLAS DE AMORTIZACIÓN. Muestran los cambios generados por período,
en cuanto a intereses vencidos, abonos a capital y saldos finales; además de
convertirse en objeto de control, es de gran ayuda para los asientos
contables, donde se deben especificar la parte de gasto por intereses y de
pago de pasivos que de la cuota se destina a cada uno.
A continuación se muestra una tabla de amortización en Excel, indicándose
en ella la manera como debe formularse cada celda.
8.2 TABLAS DE FONDO DE AMORTIZACIÓN. Revelan las variaciones
producidas por período en los intereses devengados por una inversión, los
depósitos, los retiros y los saldos finales.
28

Obsérvese en la siguiente imagen la formulación de una tabla de fondo de
amortización:
9 SALDOS Y REFINANCIACIONES.
9.1 SALDOS. En las operaciones de crédito puede ser útil conocer como calcular
el saldo de una deuda en una fecha determinada, para esto se pueden
emplear dos métodos:
a) Una forma consiste en trasladar todas las cuotas no canceladas hasta la
fecha en la cual se desea establecer el saldo.
29

b) Una segunda lo calcula como la diferencia entre la deuda original y los
valores pagados, luego de trasladar ambos, tanto la primera como los
segundos hasta la fecha en cuestión. Por cualquiera de los métodos el
resultado debe ser el mismo.
9.2 REFINANCIACIONES. Como ya se mencionaba, las refinanciaciones
consisten en sustituir compromisos adquiridos a través de un crédito vigente,
por unos nuevos que satisfagan a deudor y acreedor. Su relación con los
saldos obedece a que los créditos se replantean a partir del saldo de la
deuda en el momento de la refinanciación; convirtiéndose este saldo en el
valor a financiar.
INTERÉS. DIAGRAMAS SIMPLES
1. 158875.001427. UN TÍTULO DE PARTICIPACIÓN SE ADQUIERE POR EL 89.75% DE
SU VALOR NOMINAL QUE ES DE $1,550,000 Y SE REDIME A LOS OCHO MESES POR EL 100%.
DETERMINAR EL DESCUENTO SIMPLE Y LA TASA DE INTERÉS MENSUAL SIMPLE,
EQUIVALENTE A ESTE DESCUENTO.
2. 000002. CUÁNTO TIEMPO SERÁ NECESARIO PARA QUE UNA INVERSIÓN DE
$1,200,000 SE CONVIERTA EN $1,950,750 CON UNA TASA DE INTERÉS DEL 27.5% ANUAL?
3. 002957. QUÉ TASA DE INTERÉS MENSUAL CONVIERTE AL CABO DE DOS AÑOS
$470,000 EN $950,000?
4. 002649. UN ARTÍCULO TIENE UIN VALOR DE CONTADO DE $158,500. SE ADQUIERE
A CRÉDITO CON UNA CUOTA INICIAL DEL 30% DEL VALOR DE CONTADO Y UN PAGO DE
$140,,397 DENTRO DE NUEVE MESES. HALLAR LA TASA DE INTERÉS QUE SE COBRA POR LA
FINANCIACIÓN.
5. 003729. QUÉ ES MEJOR: INVERTIR EN UNA EMPRESA QUE GARANTIZA TRIPLICAR
LA INVERSIÓN EN DOS AÑOS Y MEDIO O INVERTIR EN UNA CUENTA QUE PAGA EL 3.5%
MENSUAL?
6. 190000. LA SECCIÓN DE AHORROS DE UN BANCO COMERCIAL OFRECE UNA TASA
DE INTERÉS DE 2.15% MENSUAL A SUS AHORRADORES. AL CABO DE CUÁNTO TIEMPO EL
30

TOTAL DE LOS INTERESES DEVENGADOS POR UNA INVERSIÓN SERÁ IGUAL A LA MITAD DE
LA SUMA INVERTIDA INICIALMENTE?.
7. 002834. USTED DEBÍA CANCELAR HOY LA SUMA DE $820,000. SIN EMBARGO, SU
ACREEDOR LE PROPONE INCREMENTAR ESTE SALDO EN EL 15% Y QUE USTED LE PAGUE
ESA NUEVA SUMA DENTRO DE 5 MESES. HALLAR LA TASA DE INTERÉS MENSUAL QUE LE
COBRA POR LA REFINANCIACIÓN.
8. 050405. EL 5 DE ENERO DE 2004 USTED RECIBIÓ EN CALIDAD DE PRÉSTAMO
$385,000 Y FIRMA UN PAGARÉ POR $645,000. SI LA TASA DE INTERÉS DEL PRÉSTAMO ES DEL
3.5% MENSUAL, CUÁL SERÁ LA FECHA EN QUE SE REDIME EL PAGARÉ?.
9. 000038. UNA PERSONA TIENE HOY UNA DEUDA POR VALOR DE $650,000 Y LE
COBRAN UN INTERÉS DEL 3% MENSUAL. A SU VEZ DISPONE HOY DE $450,000, LOS CUALES
DEPOSITA EN UNA CUENTA AL 4% MENSUAL. DENTRO DE CUÁNTO TIEMPO EL MONTO QUE
TENGA EN LA CUENTA LE SERÁ SUFICIENTE PARA CANCELAR LA DEUDA EXISTENTE EN ESE
MOMENTO?
10. 006429. POR UNA INVERSIÓN DE $1,250,000 HACE 56 MESES, SE TIENE HOY UNA
SUMA EQUIVALENTE AL 320% DE LA CANTIDAD INVERTIDA. DETERMINAR LA TASA
TRIMESTRAL DE RENDIMIENTO DE ESE DINERO.
INTERÉS. DIAGRAMAS CON ACCIDENTES FINANCIEROS PARA RESOLVER CON
ECUACIONES DE VALOR
11. 1030073. FINANCIAR $3,500,000 A 24 MESES CON PAGOS IGUALES EN LOS MESES
6º. 10º, 20º, Y UN ÚLTIMO PAGO AL CABO DE DOS AÑOSIGUAL AL 50% DE LA DEUDA
ORIGINAL, SABIENDO QUE EL ACREEDOR COBRA UNA TASA DEL 28% EA.
12. 2251187. CUÁNTO DEBE DEPOSITAR HOY UNA PERSONA EN UNA CUENTA DE
AHORRO QUE PAGA EL 28.5% MV, PARA PODER RETIRAR 650,000 DENTRO DE 5 MESES,
$460,000 DENTRO DE OCHO MESES, LA MITAD DE LO DEPOSITADO DENTRO DE UN AÑO, Y
PARA QUE DENTRO DE UN AÑO Y MEDIO AÚN TENGA EN LA CUENTA DE AHORRO UNA
CANTIDAD IGUAL AL 30% DE LO DEPOSITADO?
13. 682229. UNA MÁQUINA TIENE UN VALOR DE CONTADO DE $4,000,000. SE DESEA
FINANCIAR EN TRES PAGOS A 6, 9 Y 15 MESES DE TAL MANERA QUE CADA PAGO SEA EL
31

DOBLE DEL ANTERIOR. HALLAR EL VALOR DEL PRIMER PAGO SABIENDO QUE SE COBRA UN
INTERÉS DEL 1.5% MENSUAL.
14. 561541. EN LA REFINANCIACIÓN DE UNA OBLIGACIÓN QUE CONSTA DE DOS
PAGARÉS ASÍ: UNO DE $450,000 A 3 MESES Y OTRO DE $300,000 A 8 MESES SE PLANTEA
SUSTITUIRLA POR SU EQUIVALENTE EN TRES PAGOS EN LOS MESES 2, 6 Y 12, TALES QUE
CADA UNO DE ELLOS SEA LA CUARTA PARTE ( EL 25% ) DE SU ANTERIOR. HALLAR EL
PRIMERO DE LOS PAGOS SI SE SABE QUE LA TASA APLICADA EN LA OPERACIÓN ES DEL 2%
BIMESTRAL.
15. 1440322. SE COMPRA A CRÉDITO UN ACTIVO QUE VALE DE CONTADO $5,500,000,
MEDIANTE CUOTA INICIAL DEL 30% SOBRE EL VALOR DE CONTADO Y TRES CUOTAS
TRIMESTRALES IGUALES CON TASA DE FINANCIACIÓN DEL 24% CONVERTIBLE TRIMESTRAL
16. 2650270. 2655500. EN ESTE MOMENTO SE TIENE $1.500.000 DISPONIBLES PARA
INVERTIR POR DOS AÑOS, Y PUEDEN DEPOSITARSE EN UNA CUENTA DE AHORROS O EN
UNA CORPORACION. LA PRIMERA PAGA EL 2.4% MENSUAL Y LA SEGUNDA EL 31% NOMINAL
TRIMESTRAL. EN LA CUENTA DE AHORROS NO SE PAGAN IMPUESTOS Y EN LA
CORPORACION SE DEBEN PAGAR AL FINAL DE CADA AÑO IMPUESTOS DEL 5% SOBRE LOS
INTERESES DEVENGADOS DURANTE TODO ESE AÑO; DETERMINAR LA MEJOR ALTERNATIVA
PARA INVERTIR EL DINERO.
17. 308611. 235847. USTED COMO DEUDOR, ¿CUÁL DE LAS DOS ALTERNATIVAS
SIGUIENTES PREFIERE PARA PAGAR, LA MISMA DEUDA? LA PRIMERA CONSISTE EN PAGAR
$150.000 HOY, $83.000 DENTRO DE 7 MESES Y $115.000 DENTRO DE UN AÑO, CON UNA TASA
DE INTERES DEL 7% TRIMESTRAL. LA SEGUNDA ALTERNATIVA ES HACER TRES PAGOS
IGUALES DE $95.000 EN LOS MESES 6, 9 Y 14 CON UNA TASA DEL 2% MENSUAL.
18. 13. UNA INSTITUCION BANCARIA LE HACE UN PRÉSTAMO A UNO DE SUS CLIENTES
POR VALOR DE $1.540.000 COBRÁNDOLE UNA TASA DE INTERÉS DEL 39% NOMINAL
MENSUAL Y CAPITALIZANDO LOS INTERESES. LA DEUDA SE DEBE CANCELAR CON DOS
PAGOS IGUALES DE $1.148.314 CADA UNO; SI UNO DE ELLOS SE HACE AL CABO DE UN AÑO.
¿DENTRO DE CUÁNTOS MESES SE DEBERA CANCELAR EL OTRO?
19. 36. ¿AL CABO DE CUÁNTOS MESES, AL HACER UNA INVERSIÓN DE $100.000 HOY Y
UN RETIRO DE $100.000 DENTRO DE DOS AÑOS, SE TIENE UN SALDO A FAVOR DEL
INVERSIONISTA LO MENOS MAYOR DE $100.000, SABIENDO QUE EL DINERO RINDE EL
28.55% CAPITALIZABLE MENSUALMENTE?
32

20. 162680.163255.163013. UNA PERSONA DEBE AMORTIZAR UNA DEUDA Y EL
ACREEDOR LE PROPONE LOS TRES PLANES SIGUIENTES:
PLAN A: CUATRO CUOTAS MENSUALES DE $45.000 CADA UNA, DEBIENDO PAGAR LA
PRIMERA DENTRO DE 3 MESES Y UN INTERÉS DEL 28% NOMINAL TRIMESTRAL.
PLAN B: TRES PAGOS ASI: $50.000 DENTRO DE DOS MESES, $60.000 DENTRO DE CUATRO
MESES Y $70.000 DENTRO DE SEIS MESES. TASA DE INTERÉS EL 30% NOMINAL SEMESTRAL.
PLAN C: CUATRO PAGOS ASI: $50.000 EN LOS MESES 3 Y 4 Y $40.000 EN LOS MESES 5 Y 6.
TASA DE INTERÉS DEL 27.5% CAPITALIZABLE MENSUALMENTE.
USTED DEBE ASESORAR AL DEUDOR SOBRE EL PLAN QUE MÁS LE CONVIENE.
ANUALIDADES
21. 573241. UNA PERSONA ADQUIERE $10,000,000 FINANCIADOS ASÍ: PLAZO DE 10
AÑOS, CUOTAS TRIMESTRALES, LA PRIMERA CON VENCIMIENTO EN SEIS MESES Y TASA
DEL 18% ATV, DETERMINE EL VALOR DE LOS PAGOS
22. 4446641, 8256791, 5021717. HACE UN AÑO AL COMPRAR FINANCIADO UN ACTIVO
FIJO CUYO VALOR DE CONTADO ERA DE $30,000,000, SE PACTÓ CON EL DISTRIBUIDOR
PAGAR BAJO LAS SIGUIENTES CONDICIONES: CUOTA INICIAL IGUAL AL 25% SOBRE EL
VALOR DE CONTADO, PLAZO DE 18 MESES, SEIS CUOTAS TRIMESTRALES IGUALES AL FINAL
DE CADA TRIMESTRE Y UNA TASA DE INTERÉS DEL 22% ANUAL. HOY, EXACTAMENTE
DESPUÉS DE CANCELAR LA CUARTA DE ESAS CUOTAS, SE ADQUIERE A CRÉDITO UN
NUEVO EQUIPO AL MISMO DISTRIBUIDOR POR VALOR DE $4,500,000. EL ACREEDOR CON EL
FIN DE HACER UNA SOLA CUENTA, SUMA EL VALOR DEL NUEVO CRÉDITO CON EL SALDO A
LA FECHA DEL PRIMER CRÉDITO Y DISTRIBUYE EL RESULTADO EN TRES CUOTAS
TRIMESTRALES IGUALES, LA PRIMERA CON VENCIMIENTO DENTRO DE SEIS MESES, CON EL
25% ANUAL DE INTERESES. SE PIDE DETERMINAR EL VALOR DE LAS NUEVAS CUOTAS.
23. 2831168, 26320595, 767047, 2064121. PARA EFECTOS CONTABLES DETERMINE
CUÁNTO SE DESTINA A INTERESES Y CUÁNTO A CAPITAL DE LA QUINTA DE QUINCE CUOTAS
MENSUALES IGUALES ANTICIPADAS CON LAS QUE SE CANCELA UN CRÉDITO POR
$35,000,000 RECIBIDO EL DÍA DE HOY, SI SE PACTA PAGARLO CON TASA DE FINANCIACIÓN
DEL 36% ATV.
24. 4566326, 890856. CON EL PROPÓSITO DE REUNIR LA SUMA DE $50,000,000 PARA
DENTRO DE DIEZ MESES SE CONSITUYE UN FONDO CON RENDIMIENTO DEL 24% AMV. EL
33

FONDO CONSTA DE DOCE DEPÓSITOS MENSUALES IGUALES. EL DEPARTAMENTO DE
CONTABILIDAD DE SU EMPRESA LE PIDE CALCULAR LOS INTERESES ABONADOS A SU
CUENTA CORRESPONDIENTES AL DÉCIMO PERÍODO.
25. 1838508. CUAL ES EL VALOR DE CONTADO DE UN ACTIVO, QUE SE CANCELA A
CRÉDITO MEDIANTE 10 CUOTAS SEMESTRALES IGUALES DE $250,000 CADA UNA, LA
PRIMERA DE ELLAS CON VENCIMIENTO EN UN AÑO?. CONSTRUYA LA TABLA DE
AMORTIZACIÓN SABIENDO QUE SE PAGA EL 5% SEMESTRAL DE INTERÉS.
26. 981310, 995450. SE FINANCIA EL DÍA DE HOY AL 10% EA UNA MÁQUINA QUE VALE
DE CONTADO $5,000,000 PAGANDO SEIS CUOTAS SEMESTRALES IGUALES. CON EL FIN DE
CANCELAR EN SU VENCIMIENTO EL VALOR DE CADA UNA DE ESTAS CUOTAS Y DE
DISPONER DE $3,000,000 PARA SU RECONSTRUCCIÓN DENTRO DE TRES AÑOS, SE
ESTABLECE UN FONDO CON DEPÓSITOS TRIMESTRALES ANTICIPADOS QUE SE HARÁN
DURANTE LOS PRÓXIMOS DOS AÑOS. CALCULE EL VALOR DE CADA UNO DE ESTOS
DEPÓSITOS, SABIENDO QUE EL FONDO PAGA EL 9% EA.
27. 129353, 2028080. UN AHORRADOR DEPOSITA HOY $250,000 EN UNA CUENTA DE
AHORROS QUE PAGA UN INTERÉS DEL 24% M.V.. CUATRO AÑOS MÁS TARDE (EN EL MES 48),
RETIRA LA QUINTA PARTE DEL SALDO EXISTENTE EN SU CUENTA DE AHORROS Y EMPIEZA
A DEPOSITAR POR TRIMESTRE VENCIDO (DESDE EL MES 51) LA SUMA DE $32,000 Y
DURANTE TRES AÑOS MÁS. UN AÑO DESPUÉS DEL ÚLTIMO DE ESTOS DEPÓSITOS RETIRA
TODO EL SALDO DE LA CUENTA. HALLAR EL VALOR DE LOS RETIROS.
28. 1357942, 141605. SUSTITUIR UNA OBLIGACIÓN QUE CONSTA DE TRES PAGARÉS
ASÍ $580,000, $430,000 Y $720,000 AL 5% ETV, CON VENCIMIENTOS EN 7, 15 Y 22 MESES
RESPECTIVAMENTE, POR SU EQUIVALENTE EN 15 PAGOS TRIMESTRALES IGUALES, EL
PRIMERO DE ELLOS CON VENCIMIENTO EL DIA DE HOY Y PACTADOS AL 5.5% ET.
GRADIENTES
29. 240222. UN BIEN QUE DE CONTADO VALE $2,500,000 SE ADQUIERE FINANCIADO AL
20% CAPITALIZABLE TRIMESTRALMENTE, CON CUOTA INICIAL DEL 20%, DOCE CUOTAS
MENSUALES QUE AUMENTAN EN $5,000 SIENDO LA PRIMERA DE $120,000 Y DOS CUOTAS
EXTRAORDINARIAS EN LOS MESES 6 Y 12 DE IGUAL VALOR.
34

30. 1256522. UNA SERIE DE PAGOS MENSUALES DE $25,000 CADA MES DURANTE EL
PRIMER AÑO, DE $26,000 CADA MES DURANTE EL SEGUNDO AÑO, DE $27,000 CADA MES
DURANTE EL TERCER AÑO Y ASÍ SUCESIVAMENTE Y POR ESPACIO DE DIEZ AÑOS, SE
DESEA CANCELAR CON PAGO ÚNICO EL DIA DE HOY. DETERMINE EL VALOR DE ÉSTE PAGO
SI LOS VALORES SE DESCUENTAN A UNA TASA DEL 24% CAPITALIZABLE MENSUALMENTE.
31. 17109104. DE AHORRAR EN UN FONDO QUE PAGA EL 29% LIQUIDABLE
TRIMESTRALMENTE, PARTE DE UNA RENTA MENSUAL DE $10,000 000 ASÍ: AL PRINCIPIO DEL
PRIMER MES LA MITAD, AL PRINCIPIO DEL SEGUNDO MES LA CUARTA PARTE, AL PRINCIPIO
DEL TERCER MES LA OCTAVA PARTE Y ASÍ SUCESIVAMENTE DURANTE DOS AÑOS. HALLAR
LA CANTIDAD QUE TENDRÁ AHORRADA AL FINAL.
32. 1866. UNA PERSONA NECESITA REUNIR $6,500,000 PARA DENTRO DE CINCO AÑOS,
CON TAL FIN ABRE UNA CUENTA EL DIA DE HOY EN UNA CORPORACIÓN QUE LE PAGA EL
30% AMV. LA CUENTA LA INICIA CON UN DEPÓSITO DE $350,000 Y LUEGO DEPÓSITOS ASÍ: $R
DENTRO DE CINCO MESES, $2R DENTRO DE SEIS MESES, $3R DENTRO DE SIETE MESES, Y
ASÍ SUCESIVAMENTE. HALLAR EL VALOR DE R PARA QUE DENTRO DE CINCO AÑOS SE
TENGA LA SUMA DESEADA.
33. 149792. QUÉ PAGO ÚNICO REALIZADO EL DÍA DE HOY REEMPLAZA AL 32% ANUAL
UNA SERIE DE VALORES MENSUALES LOS CUALES VENCEN DESDE HOY CON UN PAGO DE
$5,000 Y AUMENTAN EN UNA CANTIDAD FIJA DE DINERO HASTA LLEGAR A $11,000 DENTRO
DE DOCE MESES, A PARTIR DE ALLÍ DISMINUYEN EN OTRA SUMA FIJA DE DINERO HASTA
LLEGAR A $7,400 DIEZ MESES MÁS TARDE?.
34. 8431. UNA PERSONA DEBERÍA CANCELAR UNA DEUDA MEDIANTE CUOTAS
MENSUALES IGUALES DE $12,500 CADA UNA Y DURANTE CUATRO AÑOS CON UNA TASA DE
INTERÉS DEL 22% NOMINAL MENSUAL. ELLA DESEA SUSTITUIR LOS PAGOS ANTERIORES
POR CUOTAS MENSUALES VARIABLES QUE AUMENTEN CADA MES EN EL 2% DURANTE EL
MISMO TIEMPO, PERO PARA ESTE CASO CON TASA DE INTERÉS DEL 24% NOMINAL
MENSUAL. HALLAR EL VALOR DE LA PRIMERA CUOTA.
35. 341494. FINANCIAR UNA DEUDA DE $8,000,000 DE HOY, EN TREINTA Y SEIS CUOTAS
MENSUALES SABIENDO QUE LA PRIMERA DEBE PAGARSE DENTRO DE SEIS MESES Y DE
ALLÍ EN ADELANTE LAS CUOTAS AUMENTARÁN EN EL 3% CADA MES HASTA LA VIGÉSIMA
CUOTA Y A PARTIR DE ESE MOMENTO LAS CUOTAS PERMANECERÁN CONSTANTES. LA
35

TASA DE INTERÉS SERÁ DEL 3% MENSUAL PARA LOS PRIMEROS SEIS MESES Y DEL 4%
MENSUAL DE ALLÍ EN ADELANTE.
36. 649345. DESEA REUNIRSE LA SUMA DE DIEZ MILLONES DE PESOS PARA DENTRO
DE CUATRO AÑOS Y CON TAL FIN SE HARÁN DEPÓSITOS MENSUALES TALES QUE CADA
UNO SEA IGUAL A LA MITAD DE SU ANTERIOR DURANTE EL PRIMER AÑO. SI ESTOS MISMOS
DEPÓSITOS SE REPITEN EN CADA UNO DE LOS TRES AÑOS SIGUIENTES, DETERMINAR EL
VALOR DEL PRIMER DEPÓSITO DE CADA AÑO, SUPONIENDO UNA TASA DE INTERÉS DEL
30% ANUAL.
37. 149781530. UNA EMPRESA PRODUCE 200 UNIDADES DE UN ARTÍCULO AL MES. EL
PRECIO POR UNIDAD ES DE $12,500 EL PRIMER AÑO, DE $13,000 EN EL SEGUNDO AÑO, DE
$13,500 EN EL TERCER AÑO Y ASÍ SUCESIVAMENTE. EL COSTO POR UNIDAD DEL ARTÍCULO
ES $8,000 Y LA EMPRESA INVIERTE MENSUALMENTE LA CUARTA PARTE DE SUS UTILIDADES
EN UNA INSTITUCIÓN QUE PAGA EL 30% ANUAL DE RENDIMIENTOS. CUÁNTO TENDRÁ
AHORRADA LA EMPRESA AL CABO DE NUEVE AÑOS?
36

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