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ECONOMETRÍA APLICADA A FINANZAS
Prof. Elder Javier Nunes P., MSc., CRM
1
FUNDAMENTACIÓN
El contenido programático del curso tendrá como finalidad el de garantizar
el éxito académico de los estudiantes interesados en culminar el PMIF.
Este programa esta orientado, en primer lugar, a que el participante pueda
dominar los elementos institucionales matemáticos y estadísticos
necesarios para poder realizar modelación econométrica, y en segundo
término, a estimular las habilidades numéricas, teórico-económicas y
razonamiento abstracto, necesarios para la formulación correcta de
hipótesis y modelos econométricos de interés.
2
OBJETIVOS
II. Objetivos
II.1. Objetivos Generales
Asegurar que el estudiante a ingresar en el PMIF desarrolle las
competencias técnicas e instrumentales cuantitativas a la que va a
enfrentar durante su maestría y trabajo de investigación.
II.2. Objetivos Específicos
• Despertar en el estudiante el interés por los elementos matemáticos
formales, necesarios y requeridos, para el planteamiento y desarrollo
formal de modelos matemático-econométricos, tanto teóricos como
empíricos.
• Enseñar a los alumnos cómo se debe plantear, desarrollar, escribir y
presentar un trabajo econométrico aplicado sencillo, motivado por algún
interés personal, profesional o académico.
• Estimular sus habilidades y capacidades intelectuales para abordar temas
complejos a través del lenguaje matemático formal y científico.
3
ESQUEMA
Contenido Programático.
1.- Qué es econometría y para qué sirve. Es la econometría financiera
diferente de la econometría económica. Algunas características
importantes de los datos financieros. Tipos de datos. Retornos en los
modelos financieros. Pasos envueltos en formular un modelo
econométrico. Algunos puntos a considerar cuando se está leyendo
artículos en literatura empírica financiera. Uso del paquete econométrico
E-views y Risk Simulator para modelar datos financieros.
4
2.- Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Regresión versus
correlación. Regresión Simple y Múltiple. Algunos supuestos aplicados en
tales modelos. Propiedades. Precisión y errores estándares. Usos de la
prueba de una variable específica y pruebas de significancia global
(pruebas t y F, respectivamente) para probar una teoría en finanzas.
Estadísticas de Bondad de ajuste. Violaciones al modelo clásico de
regresión lineal: Multicolinealidad, Autocorrelación, Heteroscedasticidad,
adopción de una forma funcional errada, omisión de variables relevantes,
inclusión de variables irrelevantes. Pruebas de estabilidad de los
parámetros. Estrategias en la construcción de modelos econométricos.
3.- Modelos univariados de series de tiempo para estimación. Modelos
autorregresivos, promedios móviles, funciones de autocorrelación parcial,
Modelos ARMA, EWMA. Metodología de Box-Jenkins. Ejemplos de
modelos de series de modelos en finanzas. Suavización exponencial.
Estimación en econometría mediante la utilización de E-views.
ESQUEMA (CONT.)
5
4.- Modelos multivariados. Sesgo en Ecuaciones simultáneas y como
pueden ser válidamente estimadas. Ecuaciones simultáneas en Finanzas.
Definición de Exogeneidad. Procedimientos de estimación para sistemas
de ecuaciones simultáneas. Aplicaciones de las ecuaciones simultáneas.
Modelos de Vectores Autorregresivos, análisis de Impulso - Respuesta,
Descomposición de la Varianza. Ejemplos de usos de modelos de Vectores
Autorregresivos (VAR).
5.- Relaciones de largo plazo en finanzas. Pruebas de Raíces Unitarias y
Estacionariedad. Cointegración. Modelos de Corrección de Errores (ECM)
o Corrección de Equilibrio. Pruebas de Cointegración en regresiones.
Métodos de Estimación de parámetros en sistemas cointegrados.
Ejemplos. Pruebas de estimación de sistemas cointegrados usando la
técnica de Johansen basada en modelos VAR. Pruebas de Cointegración
y modelación de sistemas cointegrados usando Eviews.
ESQUEMA (CONT.)
6
6.- Modelando volatilidad y correlación. Motivaciones. Modelos aplicados
para volatilidad. Volatilidad Histórica. Modelos de volatilidad implícita.
Modelos EWMA, modelos de volatilidad autoregresiva, modelos
generalizados ARCH, GARCH, GJR, EGARCH, GARCH in mean, Usos de
estos modelos en la estimación de volatilidad.
7.- Modelos Binomiales (Logit y Probit). Motivaciones. Estacionalidad en
los mercados financieros y formas de modelar datos financieros. Modelos
Switching de Markov.
8.- Modelos de simulación de Monte Carlo. Técnicas de reducción de
varianzas. Técnica de Bootstraping. Generación de números aleatorios.
Desventajas de la simulación en soluciones a problemas financieros.
Ejemplos de simulación de Montecarlo en econometría.
ESQUEMA (CONT.)
7
Mediante el uso de la herramienta E-views y cálculos manuales (pen and
paper), se aplicarán los conocimientos a través de ejercicios prácticos y
laboratorios de computación en clase para usar las herramientas
econométricas E-views y Risk Simulator.
Estrategia de Evaluación
Exámenes: Dos (2) exámenes presenciales 30% c/u. Primero el
05/05/2016 y el segundo el 07/07/2016. El peso de los exámenes será
del 60% de la nota final.
Trabajo en equipo: El mismo será realizado por grupos de tres (3)
estudiantes y el peso será del 30% de la nota final. Entrega 30/06/2016.
Asistencia: La asistencia es obligatoria, por lo que la pérdida del 15%
de las horas de clases será suficiente para que éste pierda la materia.
Se dará un incentivo del 10% de la nota final por asistencia.
METODOLOGÍA
8
A QUIEN ESTÁ DIRIGIDO
El programa estará dirigido estudiantes con o sin
conocimientos previos en la aplicación de la Econometría
para las finanzas.
9
BIBLIOGRAFÍA
1.- Fabris Julio (2009). Econometría Financiera. Modelos y
Pronósticos utilizando Eviews. Editorial Omicron.
2.- Brooks, Chris (2007). Introductory Econometrics for Finance.
Cambridge University Press. 8ª. Edición
3.- Gujarati, Damodar N. (2006). Essential of econometrics. Third
Edition. McGraw-Hill Irwin.
Video Lectures. University of Oregon
http://freevideolectures.com/Course/2455/Introduction-to-
Econometrics#
Learners TV. http://www.learnerstv.com/Free-Economics-Video-
lectures-ltv385-Page1.htm
www.Bionicturttle.com www.softwareshop.com
10
CAPÍTULO I. QUÉ ES ECONOMETRÍA
 El término significa medición en economía. Sin embargo, las principales
técnicas para el estudio de los problemas económicos son de igual
importancia en las aplicaciones financieras
 Econometría Financiera es la aplicación de técnicas estadísticas para
problemas en finanzas, como:
.- Probar teorías en finanzas
.- Determinación de los precios o retornos de activos
.- Pruebas de hipótesis en la determinación de las relaciones entre
variables.
.- Examinar el efecto en los mercados financieros sobre cambios en las
condiciones económicas.
.- Estimación de futuros valores de variables financieras para la toma de
decisiones financieras.
.- Medición y estimación de la volatilidad de los retornos de los bonos.
11
CAPÍTULO I. QUÉ ES ECONOMETRÍA
.- Probar si los mercados financieros son débiles en la eficiencia de la
información.
.- Probar si los modelos CAPM y APT son superiores en la
determinación del retorno en activos de riesgo.
.- Medición y estimación de la volatilidad en los retornos de los bonos.
.- Explicar los determinantes de las calificaciones de riesgo de los bonos
usados por las agencias calificadoras de crédito.
.- Modelar las relaciones a largo plazo entre precios y tipo de cambio.
.- Determinar la relación óptima de hedge para una posición spot de
petróleo,
.- Probar reglas técnicas de trading las cuales podrían generar más
dinero.
.- Probar hipótesis de que las ganancias o anuncios de dividendos no
tienen efectos en los precios de las acciones.
12
CAPÍTULO I. QUÉ ES ECONOMETRÍA
.- Probar cuál de los mercados (Spot o de Futuros) reaccionan más
rápidamente a las noticias.
.- Estimación de la correlación entre los índices accionarios de dos
países.
13
CAPÍTULO I. Diferencias entre econometría Financiera y Econometría
aplicada a economía
En economía:
.- Small sample problem; falta de datos para probar teorías o hipótesis de
interés. (Data anual).
.- Errores de medición o revisiones de datos. Usos de datos estimados, los
cuales son revisables.
En finanzas:
 Las técnicas aplicadas son iguales, sin embargo, la data financiera
frecuentemente presenta menos diferencias con respecto a los datos
económicos (frecuencia de la data, precisión así como estacionalidad)
 Datos financieros son frecuentemente considerados como ruidosos
(noisy) lo que significa que presentan dificultad en separar tendencias o
patrones sobre características aleatorias y poco interesantes.
 Datos financieros generalmente no presentan una distribución normal, a
pesar de que en realidad la mayoría de las técnicas en econometría
asumen que se comportan como una normal. 14
CAPÍTULO I. Tipos de datos financieros.
Datos de series de tiempo:
Podrían ser cuantitativas (tipo de cambio, número de acciones colocadas)
Cualitativas: día de la semana, encuestas sobre productos financieros
adquiridos por individuales privados sobre un período de tiempo.
Series de datos Cross-seccional:
Datos unidimensionales obtenidos de una o más variables recolectadas
en un punto simple del tiempo. V.gr. calificaciones de créditos de un
grupo de bancos en un país específico.
Problemas que pueden ser resueltos usando cross sectional data:
Relaciones entre el tamaño de la compañía y el retorno de invertir en
estas acciones. Niveles de PIB y la probabilidad de que el gobierno
entre en default con su deuda soberana.
15
CAPÍTULO I. Tipos de datos financieros.
Panel Data:
El término de datos de panel se refiere a datos que combinan una
dimensión temporal con otra transversal (cross Sectional). Ejemplo: Precios
diarios de un número de acciones blue chip en los últimos 2 años. Un
conjunto de datos que recoge observaciones de un fenómeno a lo largo del
tiempo se conoce como serie temporal. Dichos conjuntos de datos están
ordenados y la información relevante respecto al fenómeno estudiado es la
que proporciona su evolución en el tiempo. Un conjunto transversal de
datos contiene observaciones sobre múltiples fenómenos en un momento
determinado. En este caso, el orden de las observaciones es irrelevante.
Un conjunto de datos de panel recoge observaciones sobre múltiples
fenómenos a lo largo de determinados períodos. La dimensión temporal
enriquece la estructura de los datos y es capaz de aportar información que no
aparece en un único corte.
La data más utilizada en finanzas es la de series de tiempo. Recuerden que
en datos de series de tiempo el orden de la data es de suma importancia ya
que la data está ordenada cronológicamente.
i= individuo t= tiempo
16
CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros.
En lugar de precios, es preferible utilizar rendimientos ya que éstos se
presentan como libres de la denominación unitaria, se presentan mejor
como porcentajes.
Existen dos métodos usados para calcular los retornos de una serie de
precios: Retornos simples o continuos:
Simples: Retorno compuestos en forma contínua
Rt=Pt / Pt-1*100-100 Pt = Pt-1 ert, donde t=1 día, mes, etc.
Rt = Pt – Pt-1 x 100% Rt = ln ( Pt ) x 100%
Pt-1 Pt-1 Retorno compuesto (logarítmico)+fácil mensualizar
Rt
m= ( Pt – Pt-1 ) / P t-1 Retorno simple neto
1+Rt
m= Pt / P t-1 Retorno simple bruto
17
CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros.
Cálculos de volatilidad periódica: PAG 45 LIBRO MUN RELATIVE RETURN= ln
(PT/PT-1). Squared Daily Returns proxy of Daily Volatility Estimate for day t.
Fórmula general ANUALIZACIÓN DE RETORNOS SIMPLES
18
PAG 45 LIBRO MUN RELATIVE RETURN= ln (PT/PT-1)
Squared daily returns proxy of daily volatility estimate for day t.
(Pt/Pt-1) ln(Pt/Pt-1) ln [(relative returns)-promedio]^2
Relative returns Ln (Relative returns) Square of (ln relative returns - average)
0 10,5
1 12,25 1,1667 0,1542 0,0101
2 11,5 0,9388 -0,0632 0,0137
3 13,25 1,1522 0,1417 0,0077
4 14,65 1,1057 0,1004 0,0022
5 15,65 1,0683 0,0660 0,0001
6 14,5 0,9265 -0,0763 0,0169
Sumatoria 0,3228 0,0507
Average (promedio) 0,0538
Desvest (Sigma or Standard Deviation) o periodic volatility (%) 10,073%
Sample standard Deviation and Variance
Sum of Square (Ln Relative returns - average) 0,0507
Volatility= square root of (sum of squere (Ln relative returns - average) / n-1) 10,0726% Periodic volatility
Annualized Volatility= Periodic volatility * square root (periods in a year) 34,893%
Prices (X)Months
10,0726 *
CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros.
Otro ejemplo de volatilidad periódica
Fórmula general ANUALIZACIÓN DE RETORNOS SIMPLES
19
ln [(relative returns)-promedio]^2
(Pt/Pt-1) ln(Pt/Pt-1)
Relative returns Ln (Relative returns)
2010 9,35
2011 9,46 1,176% 1,0118 0,0117 0,6280
2012 17,43 84,249% 1,8425 0,6111 0,0373
2013 64,10 267,757% 3,6776 1,3023 0,2481
2014 173,24 170,265% 2,7027 0,9942 0,0361
2015 836,00 382,568% 4,8257 1,5740 0,5926
2016abril 1.164,71 39,319% 1,3932 0,3316 0,2233
Sumatoria 4,82485 1,7654 σ2
(varianza)
Promedio (retorno) 2,5756 0,8041
Desvest (SigmaorStandard Deviation) o periodicvolatility (in %) 59,420%
Sample standard Deviation and Variance
Sum of Square (Ln Relative returns - average) 1,7654
Volatility=Square root of (sum of square (Ln relative returns - average) / n-1) 59,4202% Periodicvolatility
Annualized Volatility= Periodic volatility * square root (periods in a year) 59,4202%
Años (adicc/año) Tipo de cambio DT Square of (ln relative returns - average)retorno simple %
60,74 *
CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros.
En E-Views los retornos financieros se calculan así:
R_serie=@log(serie/serie(-1)) o R_serie=@log(serie)-@log(serie(-1)
O más sencillamente R_serie=dlog(serie)
Fabris, Julio (2009) Econometría Financiera. Pp. 95
20
CAPÍTULO I. Mensualización de un retorno simple anual.
Supongamos que el precio de Petrobras en enero fue de US$ 101 y en
diciembre US$ 123. Queremos calcular el retorno anual y mensual.
Retorno Anual: (123 -101) / 101 *100=21,78%
Retorno promedio mensual: Rmensual =[((1+0,2178))^(1/12)-1]*100=1,66%
mensual
Es decir, un rendimiento simple anual de 21,78% equivale a un rendimiento
simple uniforme de 1,66%.
Retorno simple multianual: Una inversión de 4 años en un activo ha rendido
un retorno simple neto de 36% ¿concluimos que rindió un 9% anual? No!!
Retorno promedio = [(1,36)^(1/4) -1 ]*100= 7,99%
21
CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros.
La literatura académica de finanzas generalmente emplea la formulación
log-return (o también denominada log-price relative ya que se calcula como
el cociente del logaritmo del precio t al precio del período previo o t-1)
motivado por: (en EViews se utiliza comúnmente dlog(Pt)).
a) Log return tiene la propiedad de que pueden ser interpretados como
retornos compuestos contínuamente. Así que la frecuencia de componer
contínuamente los retornos no tiene importancia siendo más fácil la
comparación.
b) Los retornos compuestos continuamente tienen la propiedad de ser
aditivos en el tiempo. Es decir, si se tiene en forma sencilla sumando los 5
retornos diarios.
lunes ln P1 – ln P0 jueves ln P4 – ln P3
martes ln P2 – ln P1 viernes ln P5 – ln P4
miércoles ln P3- ln P2 retorno semana (rt): ln P5 – ln P0 = ln (P5 / P0)
(Ojo pero no es aditivo en portafolios Rpt= sum (i=1 to N) wi x Rit)
En caso de datos pequeños diferencia
imperceptible
22
CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros y volatilidad.
Retornos promedios de los m últimos períodos:
m
rt = (1/m) ∑ r t-i
i=1
Cálculo de volatilidad:
Asumiendo un retorno promedio igual a 0, la varianza hoy es igual a un
promedio ponderado de los retornos al cuadrado de días anteriores
(ponderaciones iguales).
m
σ2
t = (1/m) ∑ r2
t-i
i=1
23
CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros.
Ejemplo: Suponga que observó los siguientes retornos diarios:
Retorno diario (tanto por uno) Retorno2
-0,14 0,0196
-0,15 0,0225
0,46 0,2116
-0,02 0,0004
0,09 0,0081
Prom 0,05244 Desviación Estándar 22,90%
Hallar la volatilidad ponderada aritmética de los últimos 5 días
5
σ2
t = (1/5) ∑ R2
t-i = (1/5) *0,2622 = 0,05244
i=1
σ = √ 0,05244 = sigma= 22,9% diaria
Nota: La volatilidad diaria
también se puede calcular a
través de modelos GARCH
usando Risk simulator.
24
CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros.
Para calcular los retornos de un portafolio se debe estimar el valor de un
portafolio para cada período de tiempo y luego determinar los retornos.
En los límites, como la frecuencia de la muestra de datos resulta
incrementada cada vez más (periodos cada vez más cortos) los retornos
simples y compuestos tenderán a ser idénticos.
En Eviews los cálculos de retornos implican la formulación:
R = log ( z / z(-1) ) log return o dlog(z)
25
CAPÍTULO I. Pasos que envuelven formular un modelo econométrico.
Análisis de un estudio previo de teoría financiera
Formulación de un modelo teórico estimable.
Recolección de data
Estimación del modelo.
El modelo es estadísticamente adecuado?
Si
No
Interpretar el modelo Reformular el modelo
Uso para análisis. 26
 Lo importante es que el proceso de construir un modelo empírico
robusto es interactivo, ya que no estamos hablando de una ciencia
exacta. Con mucha frecuencia el modelo final preferido podría diferir
mucho del modelo original propuesto.
CAPÍTULO I. Pasos que envuelven formular un modelo econométrico.
27
 Herramienta más importante a disposición de los econometristas.
 Es el intento de explicar movimientos de una variable (podríamos
denominarla y) por referencia de movimientos en una o más otras
variables (x).
y x
 Variable Dependiente Variable Independiente
 Regresando Regresores
 Variable Efecto Variable Causal
 Variable Explicada Variable Explicatoria
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
28
Regresión versus correlación
 Correlación implica el grado de asociación lineal entre las variables, [no
implica que cambios en x causan cambios en y (o al revés)], sino más
bien que existe evidencia de una asociación lineal entre las dos variables
y que los movimientos en las dos variables están en promedio
relacionadas en una cuantía expresada en el coeficiente de correlación.
 En toda regresión, la variable dependiente (y) y las variables
independientes (x) son tratadas en forma diferente. La variable y se
asume estocástica (i.e. que presenta una distribución de probabilidad)
mientras que las variables x se asumen que tienen valores fijos (no
estocásticas) en muestras repetidas.
 Regresiones como herramienta es más flexible y más poderosa que la
correlación.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
29
Propiedades de la correlación
 Es un número puro (implica una unidad de medida). Otras medidas como
varianza, covarianza depende de las unidades en las cuales las
variables originales son medidas.
 Si dos variables son estadísticamente independientes, su covarianza es
cero. Sin embargo, lo contrario no es necesariamente cierto. Ya que si el
coeficiente de correlación entre 2 variables es cero, no necesariamente
significa que estas variables son independientes. Ya que el coeficiente
de correlación es una medida de asociación lineal o relación lineal
entre 2 variables, Por ejemplo si Y=X2 la correlación entre las dos
variables podrían ser cero, pero no necesariamente independientes (ya
que Y es una función no lineal de X).
 Correlación no necesariamente implica casualidad. Si se encuentra
correlación positiva entre cáncer del pulmón y fumar, esto no
necesariamente significa que el fumar genera cáncer en el pulmón.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
30
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
Fuente: Gujarati, Damodar, 2006. pp. 62
31
Regresión simple.
 Caso extremo en simplicidad y sumamente restringido, en la que la variable
dependiente y depende únicamente de x.
Ejemplos que se pudieran aplicar:
1. Cómo los retornos de los activos varían de acuerdo a su nivel de riesgo de
mercado.
2. Medición de la relación a largo plazo entre los precios Spot y Futuros. Hedge
ratio, etc.
3. Los precios de una acción específica está determinado por los dividendos de la
compañía (si los dividendos son US$ 100.000 cual sería su precio de mercado).
4. Tipo de cambio y reservas internacionales (o inflación y tipo de cambio).
• Supongamos que se presume cierta relación entre dos variables y que las
teorías financieras sugieren que un incremento en x conlleva a un incremento
en y. Un primer paso en la determinación de la relación entre estas dos
variables sería graficar (scatter plot).
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
32
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
x
y
33
 Se observa una aproximación lineal positiva entre x y y del tipo:
Y = a + b x
• a= constante aditiva sumativa. b=factor de proporcionalidad (indica
cuánto varía y ante una variación unitaria y positiva de x)
• Sin embargo, esta ecuación pareciera ser no muy realista por la
exactitud que tendría la línea y el ajuste con los datos. Para hacerlo más
realista es necesario el término de error aleatorio u o lo que también se
denomina ruido blanco en las metodologías de series de tiempo (el cual
no se puede modelar)
Y = a + b x + u
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
34
 Como se determinan los valores apropiados de a y b ?
 Exactitud que tendría la línea y el ajuste con los datos. Para hacerlo más
realista es necesario el término de error aleatorio u (el cual no se puede
modelar)
Y = a + b X + u
• Las razones por las cuales existe el término u es motivado a algunos
determinantes de Y los cuales pudieron ser omitidos en el modelo, o que
algunos son no medibles (ataques terroristas, huracanes, fallas
computacionales, etc.) los cuales afectan los retornos de los activos
financieros, afectando su poder de predictibilidad o estimación. Es
importante saber que el comportamiento humano es aleatorio y no
pronosticable la mayoría de las veces.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
Componente determinístico
Componente estocástico
(random or noise component)
35
La naturaleza detrás del término de error estocástico (ut)
1. Representa la influencia de variables no incluidas en el modelo
2. A pesar de que están incluidas todas las variables que podrían explicar el
modelo, existe cierta aleatoriedad no predecible ni racional
(comportamiento humano).
3. Errores de medición.
4. Principio Ockam´s razor (William Ockham 1285-1349)… en vano hace
con más lo que se puede hacer con menos..Manténgalo el modelo de
regresión tan simple como se pueda, hasta que sea probado como
inadecuado (a pesar de que otras variables afectan Y, la influencia
combinada en Y podría ser tan pequeña que no vale la pena sino dejarla
incorporada en el término de error (menos es más).
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
36
 Como se determinan los valores apropiados de a y b ?
 El método más indicado par ajustar una línea a los datos se denomina
Mínimos cuadrados ordinarios (MCO o OLS). Otros métodos alternativos
es el método de los momentos (Hansen, 1982) y el de máxima
verosimilitud.
 MCO: Se toma cada distancia vertical desde el punto a la línea,
calculando su cuadrado y minimizando la suma de la áreas de los
cuadrados dibujados, desde los puntos para la línea.
 yt
 ỷt
 ủt = (yt-ỷt) El objetivo es minimizar la suma de los errores al cuadrado
(que la suma de los ut sean tan cercano al cero como sea posible).
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
37
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
x
y
38
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
x
y
ủt
ỷt
yt
xt
En la medida que un evento se
repite se hace más confiable el
promedio
39
RSS= ∑εt
2 = (yt -ỷt)2 = ∑ (yt – α – β xt ) 2 = Q
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
El objetivo es escoger α y β para minimizar Q ∂Q/∂α = 0 y ∂Q/∂β = 0
∂Q/∂α = ∑ 2 (yt – α – β xt )(-1) = 0
∂Q/∂α = ∑ yt – ∑ α – β ∑ xt = 0
∑ yt = n α + β ∑ xt = 0
α = Y - β X substituyendo α en Q
RSS= Q= ∑εi 2 = ∑ (yt – Y – β (xt-X) ) 2
∂Q/∂β = ∑ -2 [ (yt – Y – β (xt-X ) ] (xt-X) = 0
∂Q/∂β = ∑ ( (yt – Y ) (xt-X ) – β ∑ (xt - X) 2 = 0
β = ∑ ( (yt – Y ) (xt - X ) / ∑ (xt-X) 2 40
Syy = ∑ (yi-Y)2 = ∑ (yt
2 – n Y 2 )
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
Sxy = ∑ (xi- X) (yi – Y) = ∑ xi yi – n X Y
Sxx = ∑ (xi- X)2 = ∑ xi 2 - n X2
β = Sxy / Sxx
En el argot de Riesgo, el término alpha (α) es lo que se denomina Riesgo Sistémico y el
beta (β) como la correlación de un título con respecto al mercado (riesgo específico), el
cual se reduce a través de diversificación….O el porcentaje de volatilidad de un título
explicado por la volatilidad del mercado .
Otra forma de calcular el beta:
41
 ά = y - β x
 β = ∑ (xt yt - n x y ) / ∑ (xt
2 - n x 2 ) = [ ∑(Xt * Yi)/ ∑Xi
2]
Ejemplo 1: Pag. 49 (módelo de índice único (sharpe))1
Un portafolio de inversión ha generado durante los últimos 5 años los
siguientes retornos (archivo Excel) por encima de la tasa libre de riesgo.
Para efectos de comparación, se anexan los retornos por encima de la tasa
libre de riesgo de un índice de mercado.
Resultados: Beta positivo (1,64). Existe una relación positiva entre los
rendimientos que los analistas estiman para el mercado y nuestro portafolio
de inversión. Si los analistas estiman que el Índice de mercado sube el
próximo año en 1 unidad, el portafolio bajo análisis obtendría una ganancia
de 1,64. Con esta regresión se podría determinar cuánto sería la ganancia o
pérdida de nuestro portafolio (céteris páribus). (algo arriesgado 1,64 y saber
que sólo tiene 5obs) alpha(ά ) = -1.74 si el índice del mercado se estima no
tendrá ganancia en t+1 nuestro portafolio se reducirá en -1.74%,
1 Sharpe, William (1963). “A simplifyed model for portfolio analysis. Management Science.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
42
 Algo importante que notar es la confiabilidad de los estimadores del término
Alpha cuando no existen valores cercanos a cero (ejemplo nuestro), lo que
hace poco confiable el valor del intercepto en predicciones.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
x
y
43
Lineariedad
OLS es lineal pero no necesariamente algunas regresiones (y y x) tienen
un comportamiento lineal. Más específicamente el modelo puede ser
lineal en los parámetros (α y β) pero no necesariamente tiene que ser
lineal en las variables (y y x). Modelos que no son lineales en las
variables pueden linealizarse realizándose ligeras transformaciones o
manipulaciones. Por ejemplo el modelo de regresión exponencial:
Yt = α Xt
β e ut
Podría hacerse lineal aplicando logaritmos en ambos lados:
ln Yt = ln (α) + β ln Xt + ut donde α y β son los parámetros a ser
estimados. En estos casos los coeficientes estimados se denominan
elasticidades (v.gr. si β=1.2 un incremento en x de 1% generará en
promedio (céteris páribus) un incremento en y del 1,2%.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
44
Lineariedad
Similarmente, si la teoría sugiere que x está inversamente relacionado a
y de acuerdo con el siguiente modelo:
yt = α + (β / xt ) + ut
La estimación puede aplicarse OLS (MCO) haciendo:
zt = 1 / xt
No lineal en las variables. Modelos no pueden ser estimados usando
OLS (MCO). Ejemplo:
yt = α + βxt
Ω + ut (se debe usar métodos de estimación no lineal)
Estimadores versus estimados
Estimadores son las fórmulas usadas para calcular los coeficientes (ej α
y β), mientras los estimados son los valores obtenidos de los coeficientes
de la muestra.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
45
Lineamientos que se deben seguir para el modelo clásico de
regresión lineal. Teorema de Gauss-Márkov (BLUE)
Los datos de xt son observables, pero yt también depende de ut es
necesario ser específico acerca de cómo ut es generado. En razón de lo
anterior se asume lo siguiente:
Notación Técnica Interpretación
E(ut) = 0 Los errores tienen un promedio de 0
var(ut) = σ2 < ∞ La varianza de los errores es constante (varianza
común) y finita sobre todos los valores de xt
cov (ui , uj) = 0 Los errores son estadísticamente independientes.
cov (ut , xt) = 0 No hay relación entre el error y la variable x.
Normalidad de los errores : ut ~ N(0, σ2)
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
46
Fuente: Gujarati, Damodar (2006). Esentials of Econometrics. Third edition. Pp. 141 48
Lineamientos que se deben seguir para el modelo clásico de
regresión lineal. Teorema de Gauss-Markov (BLUE)
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
Gujarati, Damodar. Essentials of econometrics. (2006). Pp. 144
1
1
β2
β2
Yi= β1 + β2 Xi
La pendiente de β2 es la
misma a cada punto de la
curva
Y
XPrecio
Cantidad
1
1
β2
β2
Yi= β1 + β2 (1/Xi)
La pendiente de β2 varía de
punto a punto en la curva
Y
XPrecio
Cantidad
49
Propiedades de un estimador de MCO (OLS) lineal.
Que sean los mejores estimadores lineales insesgados (MELI). Esto
significa, lo siguiente:
Mejores Estimadores: Que los estimados de ά y β sean los valores
verdaderos de α y β.
a) Consistencia. Cuando la muestra tiende al infinito los valores de ά y β
tienden a su verdadero valor. La probabilidad de que
el estimador es diferente a su verdadero valor es cero.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
50
Propiedades de un estimador de MCO (OLS) lineal.
Que sean los mejores estimadores lineales insesgados (MELI). Esto
significa, lo siguiente:
Mejores Estimadores: Que los estimados de ά y β sean los valores
verdaderos de α y β.
b) Insesgado. En promedio, los valores estimados de ά y β son
iguales a sus verdaderos valores. Ej.: E(ά) = α
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
51
Propiedades de un estimador de MCO (OLS) lineal (cont.)
c) Eficiente. Cuando los estimados de ά y β tienen la varianza más
pequeña.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
Figura derecha: Cuando debemos elegir entre un estimador insesgado con mucha
varianza y otro con sesgo pero con menor varianza, el criterio de eficiencia no es
suficiente para determinar cuál es el mejor estimador. Podría suceder que el estimador
insesgado sea muy impreciso (disperso) mientras que el estimador sesgado sea muy
preciso y, en ese caso, podríamos llegar a preferir a este último si el sesgo es pequeño.
52
Propiedades de un estimador de MCO (OLS) lineal (cont.)
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
Dos estimadores del parámetro C. El estimador C2 es insesgado pero su distribución es
muy dispersa, mientras que la distribución de C1 está más concentrada, aunque no
alrededor del verdadero valor de C, sino alrededor de un valor cercano (es un estimador
sesgado).
En este caso se utiliza el criterio del error cuadrático medio mínimo, que consiste en
evaluar una expresión que pondera la varianza y el sesgo muestral o skewness (ambas
características indeseables) y permite elegir el estimador que las presente en menor
medida. Dicha expresión es el error cuadrático medio:
ECM(estimador θ) =E (θ - θ )2 = [sesgo(θ )]2 + Var(θ )
Por lo tanto, el criterio de minimizar el ECM toma en cuenta tanto la varianza como el
sesgo del estimador. Cuando el estimador es insesgado, como puede verse:
ECM(estimador θ) = Var(θ)
53
Precisión y Error Estándar (EE) de los estimados de ά y β.
Es importante tener una idea de cuan confiable (eficiente) son los
estimados de ά y β. Una buena medida de la confiabilidad de los
estimadores y si éstos varían mucho de una muestra a otra está en su
Error Estándar. Sin embargo, es importante saber que el EE no muestra
cuán precisos son un set particular de coeficientes estimados. Si el error
estándar es pequeño los coeficientes pueden ser precisos en promedio
pero no cuán precisos son para esta muestra particular. Es decir, muestra
una medida del grado de incertidumbre de los valores estimados para los
coeficientes. En la medida que más grande sea la muestra de datos
menor será el coeficiente EE. Cada observación de una serie representa
una pieza de información útil para determinar los estimados de los
coeficientes.
Estimación de la varianza del término de error (ut)
Medida amplia de la bondad de ajuste de una regresión. Si todo lo demás
permanece constante, a medida que este indicador sea más bajo, más
cercano es el ajuste de la línea a los datos reales.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
54
Efectos de los errores estándar de los estimados de los coeficientes
cuando (xt – x) tienen poca dispersión.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
x
y
y
x 55
Fórmulas Desviación Estándar
SE(α) = s √ ∑ xi2 = s√ ∑ xi
2
________
T ∑ (xi-x)2 T ((∑xi
2) –T x 2)
SE(β) = s √ 1 = s√ 1 =
∑ (xi-x)2 ∑xi
2 –Tx 2)
Donde s= desviación estándar residual
S= √ ∑ ui
2 . = ∑ √ (Xi –X)2
n-k n-k
k=parámetros (incluyendo la constante) A mayor desvío, mayor ruido estadístico en las
estimaciones y menos confiable el valor obtenido
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
56
Fórmulas Covarianza
Covarianza Muestral (X,Y) = ∑ [(Xi – X)(Yi – Y) ]
n-1
Covarianza = Correlación lineal entre X y Y (ρ) * σx * σy
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
57
Efectos de los errores estándar de los estimados de los coeficientes
cuando (xt – x) tienen dispersión elevada
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
x
y
y
x 58
Efectos de los errores estándar de los estimados de los coeficientes
cuando xt2 es grande
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
x
y
Dificultad de
estimación de ά
59
Efectos de los errores estándar de los estimados de los coeficientes
cuando xt2 es pequeña… Ejemplo 3.2 pag 63 libro Chris Brooks
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
x
y
60
Ejemplo 3.3. Pág. 65. Distribución normal y distribución t
Distribución Normal: Simetría alrededor de la media N ~ (0,1)
Distribución t: Tiene otro parámetro, los grados de libertad. Cuando una
distribución t tiene un infinito número de grados de libertad se convierte en
una distribución normal. (caso especial de una t). Grados de libertad
puede ser interpretado como el número de piezas de información
adicional más allá de los requerimientos mínimos. Si se estiman dos
parámetros ά y β se requieren un mínimo de dos observaciones para
ajustar la línea a los datos.
En la medida de que se incrementa
el número de grados de libertad (n-k-1),
los valores críticos decrecen ya que
se requiere menos precaución.
Y uno puede estar más seguro de que los resultados son apropiados
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
μ
Ƒ(x)
x
Distribución normal
Distribución t
Cola mas gorda y
menor peak
61
Fuente: Gujarati, Damodar. Esential of econometrics. Third Edition. Pp. 94. 62
K= variables del Modelo (grados de libertad o número de piezas de información más allá de los requerimientos mínimos)
En la medida que los
grados de libertad
aumentan los valores
críticos de la tabla
disminuyen ya que menos
precaución se requiere y
uno puede estar más
confiado de que los
resultados son más
apropiados
Distribución de Probabilidad de los estimadores de MCO (OLS). Pág.
67
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
Para probar hipótesis, el supuesto de que los errores están normalmente
distribuidos ut ~ N(0, σ2) hace más simple la inferencia estadística. Ya que yt
depende parcialmente de ut se puede decir que ut está distribuida
normalmente y yt también lo está. Así que:
α~ N(α, var(α)) y β~ N(β, var(β))
Si los coeficientes siguen una distribución normal, los errores también siguen
una distribución normal. Asumiendo que los demás supuestos de los MCO se
mantienen y la muestra es suficientemente larga, pero como no se puede
saber las varianzas de los coeficientes verdaderos se utiliza la distribución t
(para valores muestrales).
(α – α* ) ~ T t-2 (la diferencia es escalada o normalizada por su
SE (α ) error estándar del coeficiente estimado) si es bajo
el error estándar podría existir mayor precisión). 63
Pruebas de significancia. Teorías financieras sugieren que ciertos
coeficientes toman valores particulares o valores dentro de un rango
dado. Ejemplo yt = 20.3 + 0.5091 xt usados para hacer inferencias sobre
los parámetros de la población (v.gr. si la población podría estar en 0,5 o
1, etc.). Pasos:
1) Estimar ά y β y sus errores estándar SE(ά) SE(β)
2) Determinar el test =( β – β* ) / SE(β) Donde β* es el valor de la
hipótesis nula. (Ho = β =0 ; Ha = β ≠ 0 ) (las diferencias son normalizadas
por el error estándar del coeficiente estimado ya que mide precisión o
certeza). Si el SE es pequeño, el valor del estadístico será bueno
(grande, no se requiere prueba)
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
Ƒ(x)
95% región no
rechazo Ho
Estadísticame
no significante
*
2,5% Región rechazo Ho
2,5% Región rechazo Ho
Si ά y β prueban ser =0 y la variable
no ayuda a explicar las variaciones
en yt … remover de la ecuación
64
Pruebas de significancia (cont…)
3) Se requiere una distribución tabulada para comparar las pruebas
estadísticas requeridas. Los test estadísticos de esta manera puede ser
mostrada siguiendo una distribución t con T-2 grados de libertad: número
de piezas de información adicional más allá de los requerimientos
mínimos). En la medida que los grados de libertad aumentan los valores
críticos de la tabla disminuyen ya que menos precaución se requiere y
uno puede estar más confiado de que los resultados son más apropiados.
4) Se escoge el nivel de significancia N.S. (dos colas, una cola). N.S.=
tamaño del test. En una prueba de una cola, con valor crítico de 5% es
1,68 implica que el test estadístico debería esperar un valor más grande
que 1,68 en 5% del tiempo como consecuencia de un chance solo.
Tamaño del test: Si la muestra de datos es suficientemente grande
cualquier hipótesis nula puede ser rechazada.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
65
Valores críticos de una distribución normal versus distribución t
Nivel de significancia N(0,1) t40 t4
50% 0 0 0
5% 1,64 1,68 2,13
2,5% 1,96 2,02 2,78
0,5% 2,57 2,70 4,60 cola gorda
baja altura
En la medida que se incrementan los grados de libertad se incrementa la
altura de la distribución y se reduce las colas gordas (vamos hacia una
distribución normal).
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
66
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
μ
Ƒ(x)
x
Distribución normal
Distribución t
Cola mas gorda y
menor peak
67
Pruebas de significancia (cont…)
Se requiere calcular ά , β, así como sus errores estándares. Se escoge
el nivel de significancia (convención = 5%)
Intervalo de Confianza = 100 – N.S.= ej. 95% del tiempo que el verdadero
valor se encuentra en este intervalo. En muchas muestras repetidas, el
95% de las veces el valor verdadero de β estará contenido dentro de este
intervalo.
5% de nivel de significancia = 95% intervalo de confianza.
4) Intervalo de confianza de β : β - tcrit * SE(β ) ; β + tcrit * SE(β )
-tcrit = < ( β – β* ) < = + tcrit
SE(β)
Ejemplo 3.4. Pág 75 (Chris Brooks).
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
68
Fuente: Brooks; Chris. Introductory econometrics for finance. Cambridge (2007). Pp. 75
Ho=β=1
69
Fuente: Brooks; Chris. Introductory econometrics for finance . Cambridge (2007). Pp. 75 70
Fuente: Gujarati, Damodar (2006). Essentials of Econometrics. Pp. 183-184 71
Gujarati, Damodar (2006). Essentials of Econometrics. Pp. 181 72
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
-1σ 1σμ-2σ 2σ-3σ 3σ
68% de los datos (aprox).
95% de los datos (aprox).
99,68% de los datos (aprox).
Algunas propiedades de una distribución normal
Gujarati, Damodar (2006). Essentials of Econometrics. Pp. 79 73
Pruebas de significancia (cont…)
Si se requiere determinar si Ho = β = 0 o 2 etc. en estos casos se deberán
hacer pruebas para cada caso. Ejemplo Pág 76 (libro Chris Brooks)
cuando β = 2 cae fuera del intervalo estimado de confianza. En la mayoría
de los casos los resultados están bajo un tamaño de prueba del 5%. En
casos como por ejemplo cuando β = 1 cuando el t estadístico y el valor
crítico están cerca, las respuestas pueden variar dependiendo del tamaño
de la prueba. Ejemplo, supongamos que con un tamaño de la prueba del
10% del mismo ejemplo 3.4. explicado anteriormente:
(0.5091 – 1) / 0.2561 = -1.917 el valor crítico cambia a ±1.725 el test
estadístico cae en la zona de rechazo de la Ho
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
74
Pruebas de significancia (cont…)
Si la hipótesis nula (H0) es rechazada a un nivel de significancia del 5% se
podría decir que el resultado de la prueba es estadísticamente
significante. Si la Ho no es rechazada es no significante o insignificante.
Finalmente si la Ho es rechazada al 1% de nivel de significancia, el
resultado es estadísticamente significante.
Nótese que un resultado estadísticamente significante podría ser de
significación no práctica. Por ejemplo, si el beta estimado de una acción
bajo una regresión CAPM es 1.05 y la Ho es que el β = 1 es rechazada, el
resultado podría ser estadísticamente significante. Pero podría ser el caso
que un monto ligeramente superior de β no creará mucha diferencia en las
alternativas de inversión en comprar una determinada acción o no. El
resultado podría ser estadísticamente significante pero financieramente
insignificante.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
75
Clasificación de los errores que pueden ser hechos usando pruebas
de hipótesis.
La Ho es usualmente rechazada si la prueba estadística es significante
bajo un nivel de significancia. Existen dos errores posibles que pueden ser
hechos:
1) Rechazo de la Ho cuando realmente es verdadero…Error de tipo I o
Falso positivo (missed crises o no sirve cuando en realidad el modelo
sirve).
2) No rechazo de la Ho cuando en realidad es falso…Error de tipo II o
Falso negativo (falsa alarma, existe crisis cuando en realidad no sirve).
La probabilidad de un error de tipo I es α el nivel de significancia de la
prueba escogida. V.gr. existe sólo un 5% probabilidad que el resultado o
en forma más extrema podría ocurrir puramente por chance, o sólo 5% de
probabilidad de que la Ho se rechace cuando en realidad es verdadera.
Solución: reducir el tamaño de la prueba (ej. de 5% a 1%), incrementar la
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
76
El nivel exacto de significación.
También denominado p-value, indica el Nivel de Significancia (NS)
marginal donde uno puede ser indiferente entre rechazar o no la hipótesis
nula. Si el test estadístico es largo en valor, el p-value sería pequeño. Ej.:
si el p-value es 0,12 la H0 debería ser rechazada a un nivel de
significancia del 12% o más alto. P=0,0000 permite rechazar sin dudas
Ho=parámetro=0, en este caso resultó significativo… 0% probabilidad de caer en Ho.
Permite rechazar o aceptar fácilmente la hipótesis nula de que el
verdadero coeficiente es cero, contra la Ha de que es distinto a cero.
El p-value ofrece toda la información requerida para conducir test de
hipótesis sin requerir del investigador la necesidad de calcular un test
estadístico o encontrar un valor crítico de una tabla.
El p-value es también útil ya que evita requerir la especificación de un
nivel de significancia determinado. El análisis de sensibilidad del efecto
del nivel de significancia en la conclusión se produce inmediatamente.
Mientras mas pequeño es el p-value más poco probable es la Ho. Ej
Hedge ratio en EViews pag 115.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
77
Otro ejemplo de Hedge ratio o Índice de Cobertura utilizando regresión
simple:
• Supongamos que tenemos un portafolio de bonos T y queremos cubrir el
riesgo de una caída de precios. La estrategia es vender corto un número h
de contratos a futuro que minimice o elimine el riesgo.
• El cambio (Δ) de valor de nuestro portafolio conformado por dos tipos de
activos es el siguiente: ΔS + h ΔF. La varianza (v) del portafolio es la
siguiente:
• v= σ s
2 + h 2 σf
2 + 2 h ρ σs σf
• Como queremos minimizar la varianza del portafolio, ∂v / ∂h = 0
∂v 2 h σf
2 F + 2 ρ σs σ f = 0
∂h
h = ρ σs σ=desviación Estándar ρ=Coef. Correlación
σF
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
78
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
σ
h
h óptimo
VarianzadelPortafolio
79
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
σs
σF
El índice de Cobertura óptimo h es la pendiente de la curva que se obtiene
Mediante una regresión de σs y σF. El nivel óptimo de contratos a futuros N es:
N = h NA
QF
NA = Cantidad del activo a cubrir (unds.)
QF = Tamaño de cada contrato a Futuro (unds.) 80
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
Ejemplo: Santa Bárbara espera comprar 1 mill. de galones de Jet Fuel en
un mes (abril) y decide utilizar Heating Oil No. 2. Cuántos contratos debe
comprar a futuro? Caso de cross hedge
Tamaño de cada contrato heating oil: 42.000 galones
Ver ejemplo Excel
Otro ejemplo: El índice de Cobertura para un portafolio de acciones
utilizando Futuros sobre índices es el beta (β) del portafolio con respecto
al índice.
Hedge Ratio: h* = β = ρ σs
Mínima varianza (hedge ratio) σF
El número óptimo de contratos a futuros N es el siguiente:
Beta is a measure with many faces
https://www.youtube.com/watch?v=KPckXlXTLCw
Optimal Hedge
https://www.youtube.com/watch?v=p-bBbdvy7r8
81
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
N = β NA
QF  Valor spot de un contrato futuro (No. Contratos x precio spot
índice)
 Valor del activo a cubrir (US$)
Ejemplo No. 2 Excel: Hedge sobre índices
Ejemplo: Morgan Stanley compró US$ 5 millones en acciones de IBM para
colocarlas en el mercado en tres meses y decide utilizar el índice S&P 500
como cobertura. Cuantos contratos debe vender a futuro sobre el S&P 500?
Un contrato equivale a 250 veces el índice y el precio spot del índice es de
1.000
Β = ρ (σ ibm / σ s&p500)
82
Regresión Múltiple. Ejemplo EViews pág. 119 Acciones GEC UK otro en
Pag. 139 Hedonic Pricing Model
yt = α +β xt + ut t = 1, 2, 3 …..T
Ejemplo: El precio de una acción podría depender de su propia sensitividad
para cambios inesperados en:
1) Inflación
2) Diferencias en los retornos de los bonos a corto y a largo plazo
3) Producción Industrial
4) Riesgo default., etc.
Ejemplo: Puede un fondo mutual superar un Indice marcador? Necesidad α
para conocer si mejora o desmejora el índice de mercado. H0 = α = 0
(Jensen´s alpha) pág 93 y 112.
Ejemplo 2: Precio de un bono de que depende? Tasas de interés activas,
pasivas, inflación, PIB,….ejemplo 3: relación entre rendimientos y calificación
de riesgo.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
83
Regresión Múltiple. Ejemplo EViews pag 119 Acciones GEC UK otro en Pag.
139 Hedonic Pricing Model
yt = α +β xt + ut t = 1, 2, 3 …..T
Ejemplo 2: La inflación puede afectar variables CAMEL, o algunas
determinadas variables de Balance:
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
84
ActivosBancarios(var%)t.reales
+créditosdurables(hipotecario(lamayoríainclumple),consumo,comerciales)
+créditosalconsumo(t.reales) riesgosobreendeudamientoyposiblemorosidaddadalacaídadelpoderadquisitivodelosdeudores.
Patrimonio
Captacionest.reales(DV,DA,DPF)
Disponibilidades(t.reales)Reservasexcedentarias
Descalce
netodeIngresos-gastostotales(t.reales)
IngresosFinancieros(comisiones,otros)nocreoqueafecte
Desintermediaciónfinanciera
Brechaestructural(activosproductivos/pasivosconcosto)
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
89
Bondad de Ajuste estadístico (R2) ajustado
Uno de los problemas con el uso del estadístico R2 para medir la bondad
de ajuste es que éste nunca decrece con el agregado de nuevos
regresores. Desde un punto de vista teórico, siempre se podría obtener un
estadístico R2 igual a 1 agregando el número suficiente de variables
dependientes, lo cual tendencialmente haría disminuir el término RSS (o
suma al cuadrado de los residuos). Para atender este problema se ha
diseñado el R2 ajustado:
R2 = 1 – (1-R2) * [(T-1)/(T-k)] k=número parámetros incluyendo la constante
Si k=1 entonces R2 = R2
Si k>1 entonces R2 < o = R2
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
90
Coeficiente de correlación muestral (r) o rho (ρ)
ρ = cov (X.Y) / (σx σy)
Mide cuán fuerte las variables están relacionadas. Es simplemente la
medición del grado de asociación lineal entre las dos variables (cuán
fuertemente las dos variables están linealmente relacionadas).
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
91
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
92
F statistic: test de hipótesis cuya Ho es que todos los coeficientes
correspondientes a variables dependientes (distintas a la constante) son
nulos…(H0=β1=β2=….βn=0) relevancia conjunta de las variables
involucradas. La distribución del estadístico es una F de Snedecor, lo cual
le da su nombre al test.
Esta hipótesis establece que las variables explicatorias juntas no tienen
influencia en Y. Lo que es igual que establecer que: H0=R2=0 Las dos
pruebas de hipótesis son equivalentes.
Prob F statistic: Es el valor p del estadístico F antes explicado. Un valor
p=0,0000 indica que se rechaza la Ho de que todos los coeficientes de la
regresión son nulos (es decir, son estadísticamente significativos).
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
93
Normalidad de los residuos: Otro elemento importante para revisar es
verificar si 2/3 (66,66%) de los valores debería estar dentro de dichos
límites (límites definidos por una Desviación estándar). Los
procedimientos de pruebas estadísticas se basan en asumir que el
término de error está normalmente distribuido. Pruebas: Histograma de los
residuales (proxy sobre la probabilidad de distribución de los residuales).
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
94
Bondad de Ajuste estadístico (R2) = 1
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
x
y
y
95
Efectos de no incluir intercepto en una línea de regresión. Ojo R2 y R2
ajustado pueden resultar insignificantes bajo este contexto.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
x
y
96
Heterocedascicidad: Varianza de los errores se incrementa en la medida
que pasa el tiempo. Se reduce utilizando logs o agregar otra variable
explicatoria.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
x
y
97
Heteroscedascicidad: Test estadístico para verificar Heteroscedasticidad.
White test:
Ejemplo estimar una regresión
Y1 = β1 + β2 x2t + β3 x3t + ut para probar que la var(ut) = σ2 modelo 1
Se obtienen los residuales y se corre la regresión auxiliar del tipo:
Ut2 = α1 + α2 x2t + α 3 x3t + α 4 x2t
2 + α 5 x3t
2 +α 6 x2t x3t + vt
a) Donde el término de error vt esta distribuida como normal. Se corre
luego una regresión restringida donde ut
2 es regresada en función de una
constante sola (α) los RSS de cada especificación se usan como inputs
para las pruebas estándares F.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
99
Otra alternativa involucra verificar el R2 para la regresión auxiliar. Si uno o
más de los coeficientes en la regresión auxiliar es estadísticamente
significativo el valor del R2 será relativamente alto. El R2 se multiplica por
el número de observaciones T * R2 ~ X2(m) donde m es el número de
coeficientes en la regresión auxiliar (excluyendo la constante α1)
equivalente al número de restricciones en una prueba F (Ho= no
Heteroscedasticidad≈Homocedásticos).
La prueba es que en forma conjunta todos los coeficientes son
simultáneamente cero (Ho= α2 =α3 =α4 =α5 =α6 = 0 =no
heteroscedasticidad, es decir son homocedásticos) si el X2 estadístico del
paso a) es superior al de la correspondiente tabla estadística Chi2
entonces rechazamos la Ho de que los errores son homocedásticos, es
decir, existe heteroscedasticidad. Otra alternativa sería con el p-value del
Chi2 computado es razonablemente largo (sobre 5 o 10% del nivel de
significancia) no podemos rechazar la hipótesis nula de
homocedasticidad, es decir son homocedásticos. (no cumple con criterio
de eficiencia).
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
100
Ejemplo..suponemos que el modelo 1 ha sido estimado con 120
observaciones y el R2 de la regresión auxiliar es 0,234 el test estadístico
T*R2 = 120 * 0,234= 28,8 siguiendo Chi2(5) bajo la Ho el cual da por la
tabla 11,07 el test estadístico es superior al valor crítico lo que hace que la
Ho es rechazada de que los errores son homocedásticos. Se concluye que
hay evidencia significativa de heteroscedasticidad, por lo que no se
asume que la varianza es finita. Se reduce utilizando logs o agregando
otra variable explicatoria.
Consecuencias MCO (OLS) con heteroscedasticidad: estimadores serán
sesgados y no consistentes (no BLUE) no tienen la varianza mínima (ni
finita) entre la clase de estimadores insesgados. Así, la varianza de los
errores no juega parte importante en la prueba de que los estimadores
bajo MCO son consistentes e insesgados. Los errores estándares podrían
ser errados y en consecuencia cualquier inferencia hecha con esta
regresión no sirve. Errores estándares muy grandes para el intercepto
cuando los errores son heteroscedásticos.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
101
Ejemplo: Capítulo 5 Texto Julio Fabris
EXP=Gastos totales del gobierno estadal y local
(mill. US$ por año)
POP=Población del estado en Miles
AID=Ayuda Federal
INC=Ingresos población
Fuente: Fabris, Julio.Econometría Financiera. Pág. 140 y Modelos de Ejemplo Capítulo 5 Archivo Expend Resuelto
View / Residual Tests / White Heteroskedasticity
σεt proporcional a la variable
POP
102
Menú: View/Residual Tests / White heteroskedasticity
Ho=modelo Homocedástico
σεt proporcional a la variable POP
(por lo tanto el desvío estándar
es proporcional a POP)
103
La salida anterior incluye la regresión en que se basa el test, que no es
otra cosa que los residuos al cuadrado (proxy de σε
2 ) vs. las explicativas y
sus cuadrados.
Lo que nos aporta esta regresión es la impresión de que la varianza de la
perturbación es aproximadamente proporcional a la variable población al
cuadrado, ya que dicho coeficiente estimado es altamente significativo.
Esto es importante porque nos permitirá aplicar una variante del método
de mínimos cuadrados ordinarios denominado mínimo cuadrados
ponderados (weighted least squares o WLS).
WLS: Se basa en la idea de que si se conoce el valor de σεt para cada
momento t dividiendo toda la ecuación por dicho valor, el supuesto de
homoscedasticidad se cumple forzosamente (varianza constante) y puede
realizarse la regresión con los supuestos. Obviamente la regresión ha
cambiado, pero luego de estimar los coeficientes de la regresión
modificada, se pueden calcular los coeficientes de la regresión original.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
104
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
105
La regresión del test de White sugiere que la varianza es proporcional a
los cuadrados de los valores de la serie POP (y, por lo tanto, el desvío
estándar es proporcional a POP)
Quick / Estimate Equation… ventana de Equation Specification
introduciremos la fórmula expend c pop aid inc y en options
seleccionaremos Weighted LS (en EViews 8 cambia la forma)
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
106
Al 99% hay homoscedasticidad
Estimador (+ o -) robusto de White
107
108
Autocorrelación (o correlación serial):
Los errores del período se correlacionan (+, -) con los errores de los
períodos subsiguientes. Se produce a menudo en regresiones con series
de tiempo y puede deberse un alto grado de correlación en el tiempo en
las variables omitidas que influencia el término de error.
Ej. Optimismo generado por una buena noticia referida a la economía
puede perturbar el precio de una acción. En la regresión que explica el
valor de la misma, dicha noticia no estará en general representada, por lo
cual las noticias buenas y malas aparecerán como perturbaciones
aleatorias. Si el efecto de la novedad dura 3 días, por ejemplo, tendremos
una influencia al alza de 3 días, con lo cual la perturbación de hoy estará
correlacionada con la perturbación de mañana y pasado mañana.
εt=ρ * εt-1 + ut con Ut ̃ N(0, σ
2
u
)
Ejemplo de autocorrelación de primer orden AR(1) o esquema autoregresivo
de Markov (la más usual)
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
109
Autocorrelación(DW): Existe cov(ui, uj) para i = j. Ejemplo: Autocorrelación +
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
ut-1
ut
+
+
-
-
t
+
-
110
Autocorrelación: Existe cov(ui, uj) para i = j. Ejemplo: Autocorrelación -
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
ut-1
ut
+
+
-
-
t
+
-
111
Autocorrelación: Existe cov(ui, uj) para i = j. Ejemplo: Autocorrelación cero
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
ut-1
ut
+
+
-
-
t
+
-
112
Autocorrelación (o correlación serial): Detección por Durbin y Watson
prueba de autocorrelación de primer orden… test solo para probar
relación entre un error y su valor inmediatamente anterior. Los errores de
un período se relacionan con los del período anterior. Se produce a
menudo en regresiones con series de tiempo y puede deberse al alto
grado de correlación en el tiempo de las variables omitidas que influencian
el término de error. (ejemplo optimismo generado por una buena noticia
de la economía puede perturbar el precio de la acción)
ut = ρ ut-1 + vt donde vt ~ N(0, σv
2) DW Ho= ρ =0 Ha= ρ ≠ 0
ρ=coeficiente de autocorrelación H0=ρ=0 no existe autocorrelación
(independencia uno del otro).
ρ =0 DW=2 no autocorrelación en los residuales si DW tiende a ser
cercano a 2 existe una pequeña evidencia de autocorrelación
ρ =1 DW=0 Autocorrelación positiva perfecta en los residuales
ρ =-1 DW=4 Autocorrelación perfectamente negativa en los residuales.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
113
Ejemplo pág. 163 y 164 (numérico), Chris Brooks
Fuente: Gujarati, Damodar. Esentials of econometrics. Third edition. Pp 439
Fuente: Gujarati, Damodar. Esentials of econometrics. Third edition. Pp 438-439
Autocorrelación (o correlación serial):
DW de 2 indica ausencia de correlación serial de primer orden.
DW sensiblemente > 2 indica correlación serial negativa (poco usual)
DW sensiblemente < 2: presencia correlación serial positiva.
EViews provee el valor del estadístico por tradición. Pero no se
recomienda su uso por 3 razones:
1.- La distribución del estadístico bajo la Ho depende de los datos que se
utilizan en la regresión
2.- Cuando en el lado derecho de la ecuación hay valores rezagados de la
variable dependiente, el estadístico pierde validez.
3.- Sólo puede testearse autocorrelación de primer orden.
Se puede eliminar la Autocorrelación mediante el uso de rezagos (buscar
rezagos óptimos).
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
117
La correlación serial o auto correlación no afecta el insesgamiento ni la
consistencia de los estimadores MCO pero afecta su eficiencia. Para peor, la
pérdida de eficiencia quedará oculta por el hecho de que las estimaciones de los
errores estándar de los coeficientes estimados serán menores que los verdaderos,
lo cual puede conducir a la conclusión errónea de que los parámetros son más
precisos de los que son en realidad. Tendencia a rechazar Ho en los test de
significatividad individual (t test) cuando en realidad no debería ser rechazada.
Condiciones para ser válido un test DW.
1) Debe contener el intercepto o el término constante (α)
2) Los regresores deben ser no estocásticos asumiendo las reglas CLRM
(Classical Linear Regression Model).
3) Inexistencia de rezagos (lags) de la variable dependiente (yt) en la regresión.
Pero DW solo mide autocorrelación con el pasado inmediato corr(ut,ut-1)=0
pero no corr(ut, ut-2) ≠ 0 necesario el test de Breusch – Godfrey. (pág. 165).
Pruebas más Óptimas: Prueba test LM de Breusch-Godfrey si p value=0,48 hay
48% probabilidad de caer en zona Ho de no ACR (no existe autocorreación) entre
los residuos o estadístico Q. Arreglos para eliminar autocorrelación (pág. 167)
usando GLS (Cochrane-Orcutt).
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
118
Ho de no ACR (no existe autocorreación)
119
Otro ejemplo de ACR prueba Q statistics.. Incluir la
autocorrelación de las perturbaciones
Yt = α + βXt + εt con
εt = ρ εt-1 + ut
Prueba de normalidad de los residuos: ut ~ N(0,б2 ) Normalidad es
requerido para conducir test de hipótesis individual y conjunta sobre los
parámetros de los modelos (Bera–Jarque Chi2 test de
normalidad…terceros y cuartos momentos de la distribución: skewness,
kurtosis)… Primer momento E(X)=μx (o media) segundo momento
alrededor de la media o varianza: E(X- μx )2.
Tercer momento: Skewness (sesgo o medida de asimetría): Σ(X- μx )3.
Cuarto momento: Kurtósis: Σ(X- μx )4.
Kurtósis medida de tallness (pico) o flatness (meseta) de una función de
distribución de probabilidades (PDF) (Leptokurtica es característico de
series financieras. Una distribución normal se caracteriza por tener
kurtosis = 3 (Kurtosis – 3 = 0 es decir: distribución normal)
Si la probabilidad es mayor que 0.05 no se rechaza la Ho de normalidad a
un 5% (Ho=normalidad de los residuos). Si no es normal utilizar Dummy
lo cual hace que elimine esa observación (p.181-184). (Los residuos de la
regresión tienen media cero por construcción).
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
121
Gujarati, Damodar (2007). Essential of econometrics. Pp. 66 122

123
Fuente: Gujarati, Damodar. Esential of econometrics. 2006. pp.89 124
Ejemplo de outliers (genera kurtosis) en una estimación de MCO. Su
remoción incide en mejor R2 reduce el Error estándar, RSS y mejora el
ajuste del modelo a la data. Pero importante, son piezas fundamentales
de información. Una buena manera para mejorar las probabilidades de
errores en la normalidad es mediante el uso de variables Dummy (pág.
183)
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
x
y
125
126
Multicolinealidad: Relación entre variables explicatorias (x´s). En teoría no debe haber
ningún tipo de relación entre las variables x (ortogonal), Agregando o removiendo variables
en una regresión no debería causar cambios en los coeficientes de las otras variables, (pero
relativamente benigno ya que casi siempre ocurre y no causa mucha pérdida de precisión.
Multicolinealidad (X3 = 2X2). Medición: Ver matriz de correlación entre las x´s).
Problemas: R2 alto pero los coeficientes individuales podrían tener elevados errores
estándares o t pocos significativos (regresión se ve bien pero las variables individuales no
son significantes). No se sabe la contribución individual de cada variable en el ajuste total de
la regresión. No afecta insesgamiento ni eficiencia (sigue siendo MELI) pero estimación se
vuelve poco precisa (elevados errores estándares de los estimados) se puede comparar las
salidas de máquina de las regresiones individuales y conjunta. Muchos econometristas
consideran que es un problema con la data que con el modelo o el método de estimación.
Solución: Matriz correlación simple entre los regresores si es >0,8 existe multicolinealidad 1)
si el modelo es adecuado (signo apropiado, estadísticamente significante). Ignorelo! 2)
elimine una de las variables colineales (pero algunos casos inaceptable ya que la variable es
necesaria para comprobar la teoría. 3) Transformación de la data (usar un cociente entre las
dos…ratio) y no use las variables individuales en la regresión… a veces no aceptable en
teoría financiera CONCLUS: PROBLEMA CON LA DATA NO CON EL MODELO..
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
127
Ejemplo multicolinealidad
128
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
La multicolinealidad cuando se presenta no afecta insesgamiento ni eficiencia de los estimadores
(siguen siendo MELI) pero es poco precisa. Tabla supra se denotan elevados errores estándares de
los coeficientes estimados. Se puede comparar las salidas de máquina de las regresiones individuales
y conjunta.
129
Consecuencia sobre Omisión de variables importantes: Los coeficientes
estimados de todas las otras variables será sesgadas e inconsistentes a menos
que no exista correlación entre las variables (View / Coefficient Test / Omitted
Variables–Likelihood Ratio) Ho=No omisiòn una variable. p-value=0 0%
probabilidad de que no se omite una variable. Es decir, la especificación de la
variable es la correcta (ejemplo págs. 150-152 texto Julio Fábris) View /
Coefficients Tests / Omitted Variables – Likelihood Ratio.
Consecuencia de la inclusión de una variable irrelevante: El valor esperado
de su parámetro tiende a cero…estimador consistente e insesgado pero no
eficiente. (Errores estándares inflados). Ho= variable redundante si p-value = 0,63
hay 63% probabilidad de que la variable es redundante.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
130
Omitted Variables – Likelihood Ratio
View / Coefficient Tests / Omitted
Variables – Likelihood Ratio
Ho=No se está omitiendo la variable.
Redundant Variables – Likelihood Ratio
Ho = la variable consignada es
redundante
Especificaciòn de la variable: Ramsey RESET (Regression Specification Error
Test) … test que incluye:
Variable omitidas: la no inclusión de todas las variables relevantes
Forma funcional incorrecta: o sea que alguna de todas las variables debería ser
transformadas a logaritmos, potencias, recíprocos, etc.
Correlación entre las variables explicativas y el término de error: que puede
ser causada entre otras razones por errores de medición, presencia de variables
rezagados de la variable dependiente o correlación serial de las perturbaciones.
Cualquiera de estos errores determinará el sesgamiento e inconsistencia de los
estimadores MCO y la no validez de la inferencia estadística.
View- stability test / Ramsey RESET test…number of fitted: 2 es decir cuadrado y
al cubo de la variable dependiente pronosticada. Ho= especificación correcta p-
value=0,0000 0% probabilidad de que la especificaciòn es la correcta, es decir, no
es correcta.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
135
Especificaciòn de la variable: Ramsey RESET (Regression Specification Error
Test) … test que incluye:
Por ejemplo, probemos lo que sucedería de haber especificado nuestro modelo
como:
Yt= α * X1t
µ * X2t
λ* X3t
λ *εt
Lo cual puede linealizarse como:
Log Yt= log(α) + µ log(X1t) + λ log(X2t) + λ log(X3t) +log(εt)
Para estimar el modelo, se debe incluir en la ventana: Equation Specification:
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
136
Especificaciòn de la variable: Ramsey RESET (regresion specification error
test) … test que incluye:
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
137
Especificación de la variable: Ramsey RESET (Regression Specification Error
Tst) … test que incluye:
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
138
View-stability test / Ramsey Reset test…number of fitted: 2 es decir
cuadrado y al cubo de la variable dependiente pronosticada. Ho=
especificación correcta p-value=0,0000 0% probabilidad de que la
especificación es la correcta, es decir, no es correcta.
Aparte de las estimaciones de
los coeficientes que son
completamente distintas de las
utilizadas en la creación de la
variable Y, un test RESET de
especificación cuya
Ho=especificación regresada es
la correcta, indicaría rechazar
este supuesto.
Ramsey RESET Test
Ho = Correctamente especificado
Test general de especificación del
modelo.. Es decir, indicaría rechazar
este supuesto.
Ho=especificación regresada es la
correcta…indicaría rechazar este
supuesto.
Pruebas de estabilidad de las variables: los parámetros β1 β2 β3 deberían ser
constantes para la muestra entera para que sea eficiente las estimaciones. Dividir
la data en sub períodos y estimar hasta tres modelos
Prueba de Chow: Estimar la regresión sobre el período completo y por los dos
subperíodos separadamente (3 regresiones) obtener RSS. Prueba F Prob debe
ser cercano a cero para que el resultado sea rechazar la Ho de no shocks en la
data (Ho = no break: α10 =α20, α11 =α21, etc. Ha = break: α10 ≠ α20, α11 ≠ α21, ) .
Luego de hacer la regresión … opción View / Stability Diagnostics / Chow Break
Point test.
Se ajusta la regresión para cada muestra y se determina si hay diferencias
significativas en las ecuaciones estimadas. En caso de haber diferencias
significativas se indica que hay un cambio estructural en la relación…Ejemplo:
determinar si la función de demanda por energía es igual antes y después del
shock.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
Forecast
Quiebre=1996 Q1n1 n2 Quiebre=1996 Q1n1 n2
RSS3 / n2-k-1
140
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
Ejemplo:
p-value=0,3014 30,14% probabilidad de caer en Ho, es decir… no hay shocks!!!
Ejemplo:
p-value=0,0000 0,0% probabilidad de caer en Ho no hay shocks es decir hay shocks
141
Chow Forecast test: Similar Ho de no cambio estructural en la data o no shocks
(H0 = no break: α10 =α20, α11 =α21, etc. Ha=break: α10 ≠ α20, α11 ≠ α21, ). Luego de
hacer la regresión … opción View / Stability Diagnostics / Chow Forecast Test.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
Pvalue=0.8471 de probabilidad
de caer en Ho es decir no hay
cambio estructural.. Se puede
estimar
142
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
Pruebas: Hipótesis Nula – metodología Hipótesis Alterna
Prueba t Ho=α o β =0 Ha≠α o β≠0
Prueba F Ho=α=β=0 es como probar que H0: R2=0 Ha≠α≠β≠0
Multicolinealidad
(relación lineal entre
las variables
explicatorias)
a) R2 elevado pero pocas razones t
Significativas
b) Ver correlación entre regresores (>0,8 existe
multicolinealidad).
c) Efectuar regresiones auxiliares con las diferentes
variables explicatorias.
Nota: un R2 alto acompañado de
estadísticos t poco significativos podría
ser un síntoma de alta correlación entre
variables explicativas. Recomendación
eliminar alguna de las variables que
presentan alta correlación.
Cómo se elimina: Eliminando la
variable colindante.
Heteroscedasticidad
View/Residual Tests /
White
heteroskedasticity (no
cross terms)
Aunque sean insesgados y consistentes deben
tener σ2 mínima. σ2 es el ruido estadístico mientras
menos sea más confiable es el valor obtenido.
Prueba de White o graficar residuos y ver
comportamiento (patrones: Gujarati p.401)
Ho=Modelo Homocedástico
Ha=modelo Heteroscedástico
Cómo se elimina: Aplicando logs o
incluyendo otra variable explicatoria.
Autocorrelación
(ACR) Relación
entre los residuales
View/residual
test/Serial
correlation LM test
a) Resid=resid(-1) y ver R2 si es alta hay ACR (ver
también scatter plot, si hay concentración hay ACR)
b) Breusch Godfrey (N*R2) p-value (Ho=No ACR
entre residuos)
c) Otra prueba: Durbin y Watson (D&W)
Ho=No ACR entre residuos (a veces no muy
concluyente)
DW=0 ACR perfectamente (+)
DW=2 No autocorrelación en los
residuales
DW=4 ACR perfectamente (-)
Ha= existe ACR entre residuos
Cómo se elimina: Utilizando rezagos
(probar los más óptimos con los
criterios de Akaike y Shwarz) 143
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
Pruebas: Hipótesis Nula – metodología Hipótesis Alterna
Regresión Espúrea Diebold and Granger (Gujarati, 2006. pp 493)
R2 > d (estadístico Durbin y Watson) -- Regresión
espúrea
Rule of Thumb to suspect
nonsense regression (non
stationary time series).
Normalidad
Residuos
Jarque Bera test:
Ho= Normalidad residuos
Normalidad… Kurtosis tiende a 3. (Kurtosis-3=0)
Ha=No Normalidad residuos
Cómo se elimina: Extraer
outliers a través del uso de
variables Dummys.
144
Resumen de Ho (se recomienda la aplicación del p-value al 95% nivel de
significación)
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
Pruebas: Hipótesis Nula –
metodología
Hipótesis
Alterna
Especificación del error de la regresión
(Test general de especificación del modelo). Trata tres cosas: a) variables
omitidas b) Forma funcional correcta (alguna o todas las variables deben ser
transformadas a logs, potencias, recíprocos, etc.) y c) Correlación entre X´s y
término error causada por errores medición, presencia variables rezagadas de
la variable dependiente o correlación serial de las perturbaciones.
View- stability test / Ramsey Reset test…number of fitted: 2 es decir
cuadrado y al cubo de la variable dependiente pronosticada.
Ramsey RESET Test
Ho = Correctamente
especificado
Test general de especificación
del modelo
O
similarmente:Ho=especificación
regresada es la correcta
RAMSEY RESET
Test
Ha = No
correctamente
especificado
Cambio estructural (Chow Breakpoint test) Ho= No cambio estructural en la
data o no shocks (no break: α10
=α20, α11 =α21, etc. Ha=break:
α10 ≠ α20, α11 ≠ α21, )
Ha=break: α10 ≠ α20,
α11 ≠ α21, )
Raíces Unitarias
(prueba de estacionariedad de las variables). Necesario que sean
estables (media y varianza constante). Estacionarias.
Prueba ADF (Dickey Fuller
Aumentado)
Ho = Raíz Unitaria (dato no
estacionario).
ADF
Ha ≠ Raíz Unitaria
(dato estacionario).
Variables omitidas Ho=No se está omitiendo la
variable.
Ha = Se está
omitiendo la
variable
Variables redundantes Ho = la variable consignada es
redundante
Ho = la variable
consignada no es
redundante
145
Quick / Estimate Equation… y ajustemos en la
ventana Sample la muestra como 1993q1 a
2005q4 limitando nuestra muestra al 4 trim 2005
y con ella, realizamos la estimación de los
coeficientes del modelo
Para hacer pronóstico fuera de muestra:
Forecast .. forecast sample comenzamos con el
período siguiente al último de la muestra utilizada
para estimar los coeficientes.
Fuente: Fabris, Julio: ejemplo Capítulo 5 pbi resuelto capítulo 5.wf1
Pronóstico
146
Static Forecast
Static Forecast: El valor usado es el verdadero valor de la
variable (suponiendo que estén disponibles, con lo cual el
pronóstico, aunque se extienda por varios períodos, en
realidad es un pronóstico un período hacia adelante. (más
ajustado, ya que en realidad actualiza los verdaderos
valores del término AR(1) perído a período 147
Dinamic Forecast: Se usa el valor
pronosticado de la variable con lo cual los
errores aumentan. Tiene proporción de desvío
(bias) demasiado grande, con lo cual se
caracteriza por un mal pronóstico
Dinamic Forecast: Subestima sistemáticamente el valor de la variable pronosticada
148
Pronóstico
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
Mediciones de efectividad y error de pronóstico :
Error de pronóstico: Diferencia entre el valor pronosticado por el modelo y el
valor observado de la variable dependiente. Si llamamos T al último período
utilizado para estimar el modelo, los pronósticos se harán para los períodos
posteriores y, por lo tanto, el error de pronóstico se calculará para un período T+t
con t=1, 2, ….n Si el superíndice P refiere al valor pronosticado y el superíndice O
al valor efectivamente observado, el error de pronóstico será:
eT+t = YP
T+t- YO
T+t
Evaluación de pronósticos: La magnitud que se tiene en cuenta para la
evaluación de los pronósticos es la varianza del error del mismo, la cual puede
medirse mediante la llamada Raíz del Error Medio Cuadrático de Pronóstico (RMS
– Root Mean Squared Error), que es simplemente la raíz cuadrada de dicha
varianza evaluada en el horizonte de pronóstico. Si n son los períodos que
constituyen dicho horizonte:
Forecast U de Theil
U de Theil (econometrista) varia entre cero y uno, correspondiendo valor cero a un pronóstico perfecto.
Se descompone en tres partes:
a) Proporción de desvío (Bias Proportion): Cuánto difiere la media de los valores pronosticados, respecto
a la media de los valores observados
b) Proporción de Varianza: Cuando difiere la varianza de los valores pronosticados, respecto de la
varianza de los valores observados.
c) Proporción de Covarianza (las tres suman 1): mide los errores de pronóstico no sistemáticos
remanentes.
Si el pronóstico es bueno, la proporción de Covarianza debería concentrar la mayor parte del error, mientras
que las proporciones de desvío y de varianza deberían ser pequeñas. 149

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Capítulos i y ii econometría aplicada a finanzas

  • 1. ECONOMETRÍA APLICADA A FINANZAS Prof. Elder Javier Nunes P., MSc., CRM 1
  • 2. FUNDAMENTACIÓN El contenido programático del curso tendrá como finalidad el de garantizar el éxito académico de los estudiantes interesados en culminar el PMIF. Este programa esta orientado, en primer lugar, a que el participante pueda dominar los elementos institucionales matemáticos y estadísticos necesarios para poder realizar modelación econométrica, y en segundo término, a estimular las habilidades numéricas, teórico-económicas y razonamiento abstracto, necesarios para la formulación correcta de hipótesis y modelos econométricos de interés. 2
  • 3. OBJETIVOS II. Objetivos II.1. Objetivos Generales Asegurar que el estudiante a ingresar en el PMIF desarrolle las competencias técnicas e instrumentales cuantitativas a la que va a enfrentar durante su maestría y trabajo de investigación. II.2. Objetivos Específicos • Despertar en el estudiante el interés por los elementos matemáticos formales, necesarios y requeridos, para el planteamiento y desarrollo formal de modelos matemático-econométricos, tanto teóricos como empíricos. • Enseñar a los alumnos cómo se debe plantear, desarrollar, escribir y presentar un trabajo econométrico aplicado sencillo, motivado por algún interés personal, profesional o académico. • Estimular sus habilidades y capacidades intelectuales para abordar temas complejos a través del lenguaje matemático formal y científico. 3
  • 4. ESQUEMA Contenido Programático. 1.- Qué es econometría y para qué sirve. Es la econometría financiera diferente de la econometría económica. Algunas características importantes de los datos financieros. Tipos de datos. Retornos en los modelos financieros. Pasos envueltos en formular un modelo econométrico. Algunos puntos a considerar cuando se está leyendo artículos en literatura empírica financiera. Uso del paquete econométrico E-views y Risk Simulator para modelar datos financieros. 4
  • 5. 2.- Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Regresión versus correlación. Regresión Simple y Múltiple. Algunos supuestos aplicados en tales modelos. Propiedades. Precisión y errores estándares. Usos de la prueba de una variable específica y pruebas de significancia global (pruebas t y F, respectivamente) para probar una teoría en finanzas. Estadísticas de Bondad de ajuste. Violaciones al modelo clásico de regresión lineal: Multicolinealidad, Autocorrelación, Heteroscedasticidad, adopción de una forma funcional errada, omisión de variables relevantes, inclusión de variables irrelevantes. Pruebas de estabilidad de los parámetros. Estrategias en la construcción de modelos econométricos. 3.- Modelos univariados de series de tiempo para estimación. Modelos autorregresivos, promedios móviles, funciones de autocorrelación parcial, Modelos ARMA, EWMA. Metodología de Box-Jenkins. Ejemplos de modelos de series de modelos en finanzas. Suavización exponencial. Estimación en econometría mediante la utilización de E-views. ESQUEMA (CONT.) 5
  • 6. 4.- Modelos multivariados. Sesgo en Ecuaciones simultáneas y como pueden ser válidamente estimadas. Ecuaciones simultáneas en Finanzas. Definición de Exogeneidad. Procedimientos de estimación para sistemas de ecuaciones simultáneas. Aplicaciones de las ecuaciones simultáneas. Modelos de Vectores Autorregresivos, análisis de Impulso - Respuesta, Descomposición de la Varianza. Ejemplos de usos de modelos de Vectores Autorregresivos (VAR). 5.- Relaciones de largo plazo en finanzas. Pruebas de Raíces Unitarias y Estacionariedad. Cointegración. Modelos de Corrección de Errores (ECM) o Corrección de Equilibrio. Pruebas de Cointegración en regresiones. Métodos de Estimación de parámetros en sistemas cointegrados. Ejemplos. Pruebas de estimación de sistemas cointegrados usando la técnica de Johansen basada en modelos VAR. Pruebas de Cointegración y modelación de sistemas cointegrados usando Eviews. ESQUEMA (CONT.) 6
  • 7. 6.- Modelando volatilidad y correlación. Motivaciones. Modelos aplicados para volatilidad. Volatilidad Histórica. Modelos de volatilidad implícita. Modelos EWMA, modelos de volatilidad autoregresiva, modelos generalizados ARCH, GARCH, GJR, EGARCH, GARCH in mean, Usos de estos modelos en la estimación de volatilidad. 7.- Modelos Binomiales (Logit y Probit). Motivaciones. Estacionalidad en los mercados financieros y formas de modelar datos financieros. Modelos Switching de Markov. 8.- Modelos de simulación de Monte Carlo. Técnicas de reducción de varianzas. Técnica de Bootstraping. Generación de números aleatorios. Desventajas de la simulación en soluciones a problemas financieros. Ejemplos de simulación de Montecarlo en econometría. ESQUEMA (CONT.) 7
  • 8. Mediante el uso de la herramienta E-views y cálculos manuales (pen and paper), se aplicarán los conocimientos a través de ejercicios prácticos y laboratorios de computación en clase para usar las herramientas econométricas E-views y Risk Simulator. Estrategia de Evaluación Exámenes: Dos (2) exámenes presenciales 30% c/u. Primero el 05/05/2016 y el segundo el 07/07/2016. El peso de los exámenes será del 60% de la nota final. Trabajo en equipo: El mismo será realizado por grupos de tres (3) estudiantes y el peso será del 30% de la nota final. Entrega 30/06/2016. Asistencia: La asistencia es obligatoria, por lo que la pérdida del 15% de las horas de clases será suficiente para que éste pierda la materia. Se dará un incentivo del 10% de la nota final por asistencia. METODOLOGÍA 8
  • 9. A QUIEN ESTÁ DIRIGIDO El programa estará dirigido estudiantes con o sin conocimientos previos en la aplicación de la Econometría para las finanzas. 9
  • 10. BIBLIOGRAFÍA 1.- Fabris Julio (2009). Econometría Financiera. Modelos y Pronósticos utilizando Eviews. Editorial Omicron. 2.- Brooks, Chris (2007). Introductory Econometrics for Finance. Cambridge University Press. 8ª. Edición 3.- Gujarati, Damodar N. (2006). Essential of econometrics. Third Edition. McGraw-Hill Irwin. Video Lectures. University of Oregon http://freevideolectures.com/Course/2455/Introduction-to- Econometrics# Learners TV. http://www.learnerstv.com/Free-Economics-Video- lectures-ltv385-Page1.htm www.Bionicturttle.com www.softwareshop.com 10
  • 11. CAPÍTULO I. QUÉ ES ECONOMETRÍA  El término significa medición en economía. Sin embargo, las principales técnicas para el estudio de los problemas económicos son de igual importancia en las aplicaciones financieras  Econometría Financiera es la aplicación de técnicas estadísticas para problemas en finanzas, como: .- Probar teorías en finanzas .- Determinación de los precios o retornos de activos .- Pruebas de hipótesis en la determinación de las relaciones entre variables. .- Examinar el efecto en los mercados financieros sobre cambios en las condiciones económicas. .- Estimación de futuros valores de variables financieras para la toma de decisiones financieras. .- Medición y estimación de la volatilidad de los retornos de los bonos. 11
  • 12. CAPÍTULO I. QUÉ ES ECONOMETRÍA .- Probar si los mercados financieros son débiles en la eficiencia de la información. .- Probar si los modelos CAPM y APT son superiores en la determinación del retorno en activos de riesgo. .- Medición y estimación de la volatilidad en los retornos de los bonos. .- Explicar los determinantes de las calificaciones de riesgo de los bonos usados por las agencias calificadoras de crédito. .- Modelar las relaciones a largo plazo entre precios y tipo de cambio. .- Determinar la relación óptima de hedge para una posición spot de petróleo, .- Probar reglas técnicas de trading las cuales podrían generar más dinero. .- Probar hipótesis de que las ganancias o anuncios de dividendos no tienen efectos en los precios de las acciones. 12
  • 13. CAPÍTULO I. QUÉ ES ECONOMETRÍA .- Probar cuál de los mercados (Spot o de Futuros) reaccionan más rápidamente a las noticias. .- Estimación de la correlación entre los índices accionarios de dos países. 13
  • 14. CAPÍTULO I. Diferencias entre econometría Financiera y Econometría aplicada a economía En economía: .- Small sample problem; falta de datos para probar teorías o hipótesis de interés. (Data anual). .- Errores de medición o revisiones de datos. Usos de datos estimados, los cuales son revisables. En finanzas:  Las técnicas aplicadas son iguales, sin embargo, la data financiera frecuentemente presenta menos diferencias con respecto a los datos económicos (frecuencia de la data, precisión así como estacionalidad)  Datos financieros son frecuentemente considerados como ruidosos (noisy) lo que significa que presentan dificultad en separar tendencias o patrones sobre características aleatorias y poco interesantes.  Datos financieros generalmente no presentan una distribución normal, a pesar de que en realidad la mayoría de las técnicas en econometría asumen que se comportan como una normal. 14
  • 15. CAPÍTULO I. Tipos de datos financieros. Datos de series de tiempo: Podrían ser cuantitativas (tipo de cambio, número de acciones colocadas) Cualitativas: día de la semana, encuestas sobre productos financieros adquiridos por individuales privados sobre un período de tiempo. Series de datos Cross-seccional: Datos unidimensionales obtenidos de una o más variables recolectadas en un punto simple del tiempo. V.gr. calificaciones de créditos de un grupo de bancos en un país específico. Problemas que pueden ser resueltos usando cross sectional data: Relaciones entre el tamaño de la compañía y el retorno de invertir en estas acciones. Niveles de PIB y la probabilidad de que el gobierno entre en default con su deuda soberana. 15
  • 16. CAPÍTULO I. Tipos de datos financieros. Panel Data: El término de datos de panel se refiere a datos que combinan una dimensión temporal con otra transversal (cross Sectional). Ejemplo: Precios diarios de un número de acciones blue chip en los últimos 2 años. Un conjunto de datos que recoge observaciones de un fenómeno a lo largo del tiempo se conoce como serie temporal. Dichos conjuntos de datos están ordenados y la información relevante respecto al fenómeno estudiado es la que proporciona su evolución en el tiempo. Un conjunto transversal de datos contiene observaciones sobre múltiples fenómenos en un momento determinado. En este caso, el orden de las observaciones es irrelevante. Un conjunto de datos de panel recoge observaciones sobre múltiples fenómenos a lo largo de determinados períodos. La dimensión temporal enriquece la estructura de los datos y es capaz de aportar información que no aparece en un único corte. La data más utilizada en finanzas es la de series de tiempo. Recuerden que en datos de series de tiempo el orden de la data es de suma importancia ya que la data está ordenada cronológicamente. i= individuo t= tiempo 16
  • 17. CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros. En lugar de precios, es preferible utilizar rendimientos ya que éstos se presentan como libres de la denominación unitaria, se presentan mejor como porcentajes. Existen dos métodos usados para calcular los retornos de una serie de precios: Retornos simples o continuos: Simples: Retorno compuestos en forma contínua Rt=Pt / Pt-1*100-100 Pt = Pt-1 ert, donde t=1 día, mes, etc. Rt = Pt – Pt-1 x 100% Rt = ln ( Pt ) x 100% Pt-1 Pt-1 Retorno compuesto (logarítmico)+fácil mensualizar Rt m= ( Pt – Pt-1 ) / P t-1 Retorno simple neto 1+Rt m= Pt / P t-1 Retorno simple bruto 17
  • 18. CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros. Cálculos de volatilidad periódica: PAG 45 LIBRO MUN RELATIVE RETURN= ln (PT/PT-1). Squared Daily Returns proxy of Daily Volatility Estimate for day t. Fórmula general ANUALIZACIÓN DE RETORNOS SIMPLES 18 PAG 45 LIBRO MUN RELATIVE RETURN= ln (PT/PT-1) Squared daily returns proxy of daily volatility estimate for day t. (Pt/Pt-1) ln(Pt/Pt-1) ln [(relative returns)-promedio]^2 Relative returns Ln (Relative returns) Square of (ln relative returns - average) 0 10,5 1 12,25 1,1667 0,1542 0,0101 2 11,5 0,9388 -0,0632 0,0137 3 13,25 1,1522 0,1417 0,0077 4 14,65 1,1057 0,1004 0,0022 5 15,65 1,0683 0,0660 0,0001 6 14,5 0,9265 -0,0763 0,0169 Sumatoria 0,3228 0,0507 Average (promedio) 0,0538 Desvest (Sigma or Standard Deviation) o periodic volatility (%) 10,073% Sample standard Deviation and Variance Sum of Square (Ln Relative returns - average) 0,0507 Volatility= square root of (sum of squere (Ln relative returns - average) / n-1) 10,0726% Periodic volatility Annualized Volatility= Periodic volatility * square root (periods in a year) 34,893% Prices (X)Months 10,0726 *
  • 19. CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros. Otro ejemplo de volatilidad periódica Fórmula general ANUALIZACIÓN DE RETORNOS SIMPLES 19 ln [(relative returns)-promedio]^2 (Pt/Pt-1) ln(Pt/Pt-1) Relative returns Ln (Relative returns) 2010 9,35 2011 9,46 1,176% 1,0118 0,0117 0,6280 2012 17,43 84,249% 1,8425 0,6111 0,0373 2013 64,10 267,757% 3,6776 1,3023 0,2481 2014 173,24 170,265% 2,7027 0,9942 0,0361 2015 836,00 382,568% 4,8257 1,5740 0,5926 2016abril 1.164,71 39,319% 1,3932 0,3316 0,2233 Sumatoria 4,82485 1,7654 σ2 (varianza) Promedio (retorno) 2,5756 0,8041 Desvest (SigmaorStandard Deviation) o periodicvolatility (in %) 59,420% Sample standard Deviation and Variance Sum of Square (Ln Relative returns - average) 1,7654 Volatility=Square root of (sum of square (Ln relative returns - average) / n-1) 59,4202% Periodicvolatility Annualized Volatility= Periodic volatility * square root (periods in a year) 59,4202% Años (adicc/año) Tipo de cambio DT Square of (ln relative returns - average)retorno simple % 60,74 *
  • 20. CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros. En E-Views los retornos financieros se calculan así: R_serie=@log(serie/serie(-1)) o R_serie=@log(serie)-@log(serie(-1) O más sencillamente R_serie=dlog(serie) Fabris, Julio (2009) Econometría Financiera. Pp. 95 20
  • 21. CAPÍTULO I. Mensualización de un retorno simple anual. Supongamos que el precio de Petrobras en enero fue de US$ 101 y en diciembre US$ 123. Queremos calcular el retorno anual y mensual. Retorno Anual: (123 -101) / 101 *100=21,78% Retorno promedio mensual: Rmensual =[((1+0,2178))^(1/12)-1]*100=1,66% mensual Es decir, un rendimiento simple anual de 21,78% equivale a un rendimiento simple uniforme de 1,66%. Retorno simple multianual: Una inversión de 4 años en un activo ha rendido un retorno simple neto de 36% ¿concluimos que rindió un 9% anual? No!! Retorno promedio = [(1,36)^(1/4) -1 ]*100= 7,99% 21
  • 22. CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros. La literatura académica de finanzas generalmente emplea la formulación log-return (o también denominada log-price relative ya que se calcula como el cociente del logaritmo del precio t al precio del período previo o t-1) motivado por: (en EViews se utiliza comúnmente dlog(Pt)). a) Log return tiene la propiedad de que pueden ser interpretados como retornos compuestos contínuamente. Así que la frecuencia de componer contínuamente los retornos no tiene importancia siendo más fácil la comparación. b) Los retornos compuestos continuamente tienen la propiedad de ser aditivos en el tiempo. Es decir, si se tiene en forma sencilla sumando los 5 retornos diarios. lunes ln P1 – ln P0 jueves ln P4 – ln P3 martes ln P2 – ln P1 viernes ln P5 – ln P4 miércoles ln P3- ln P2 retorno semana (rt): ln P5 – ln P0 = ln (P5 / P0) (Ojo pero no es aditivo en portafolios Rpt= sum (i=1 to N) wi x Rit) En caso de datos pequeños diferencia imperceptible 22
  • 23. CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros y volatilidad. Retornos promedios de los m últimos períodos: m rt = (1/m) ∑ r t-i i=1 Cálculo de volatilidad: Asumiendo un retorno promedio igual a 0, la varianza hoy es igual a un promedio ponderado de los retornos al cuadrado de días anteriores (ponderaciones iguales). m σ2 t = (1/m) ∑ r2 t-i i=1 23
  • 24. CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros. Ejemplo: Suponga que observó los siguientes retornos diarios: Retorno diario (tanto por uno) Retorno2 -0,14 0,0196 -0,15 0,0225 0,46 0,2116 -0,02 0,0004 0,09 0,0081 Prom 0,05244 Desviación Estándar 22,90% Hallar la volatilidad ponderada aritmética de los últimos 5 días 5 σ2 t = (1/5) ∑ R2 t-i = (1/5) *0,2622 = 0,05244 i=1 σ = √ 0,05244 = sigma= 22,9% diaria Nota: La volatilidad diaria también se puede calcular a través de modelos GARCH usando Risk simulator. 24
  • 25. CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros. Para calcular los retornos de un portafolio se debe estimar el valor de un portafolio para cada período de tiempo y luego determinar los retornos. En los límites, como la frecuencia de la muestra de datos resulta incrementada cada vez más (periodos cada vez más cortos) los retornos simples y compuestos tenderán a ser idénticos. En Eviews los cálculos de retornos implican la formulación: R = log ( z / z(-1) ) log return o dlog(z) 25
  • 26. CAPÍTULO I. Pasos que envuelven formular un modelo econométrico. Análisis de un estudio previo de teoría financiera Formulación de un modelo teórico estimable. Recolección de data Estimación del modelo. El modelo es estadísticamente adecuado? Si No Interpretar el modelo Reformular el modelo Uso para análisis. 26
  • 27.  Lo importante es que el proceso de construir un modelo empírico robusto es interactivo, ya que no estamos hablando de una ciencia exacta. Con mucha frecuencia el modelo final preferido podría diferir mucho del modelo original propuesto. CAPÍTULO I. Pasos que envuelven formular un modelo econométrico. 27
  • 28.  Herramienta más importante a disposición de los econometristas.  Es el intento de explicar movimientos de una variable (podríamos denominarla y) por referencia de movimientos en una o más otras variables (x). y x  Variable Dependiente Variable Independiente  Regresando Regresores  Variable Efecto Variable Causal  Variable Explicada Variable Explicatoria CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 28
  • 29. Regresión versus correlación  Correlación implica el grado de asociación lineal entre las variables, [no implica que cambios en x causan cambios en y (o al revés)], sino más bien que existe evidencia de una asociación lineal entre las dos variables y que los movimientos en las dos variables están en promedio relacionadas en una cuantía expresada en el coeficiente de correlación.  En toda regresión, la variable dependiente (y) y las variables independientes (x) son tratadas en forma diferente. La variable y se asume estocástica (i.e. que presenta una distribución de probabilidad) mientras que las variables x se asumen que tienen valores fijos (no estocásticas) en muestras repetidas.  Regresiones como herramienta es más flexible y más poderosa que la correlación. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 29
  • 30. Propiedades de la correlación  Es un número puro (implica una unidad de medida). Otras medidas como varianza, covarianza depende de las unidades en las cuales las variables originales son medidas.  Si dos variables son estadísticamente independientes, su covarianza es cero. Sin embargo, lo contrario no es necesariamente cierto. Ya que si el coeficiente de correlación entre 2 variables es cero, no necesariamente significa que estas variables son independientes. Ya que el coeficiente de correlación es una medida de asociación lineal o relación lineal entre 2 variables, Por ejemplo si Y=X2 la correlación entre las dos variables podrían ser cero, pero no necesariamente independientes (ya que Y es una función no lineal de X).  Correlación no necesariamente implica casualidad. Si se encuentra correlación positiva entre cáncer del pulmón y fumar, esto no necesariamente significa que el fumar genera cáncer en el pulmón. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 30
  • 31. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Fuente: Gujarati, Damodar, 2006. pp. 62 31
  • 32. Regresión simple.  Caso extremo en simplicidad y sumamente restringido, en la que la variable dependiente y depende únicamente de x. Ejemplos que se pudieran aplicar: 1. Cómo los retornos de los activos varían de acuerdo a su nivel de riesgo de mercado. 2. Medición de la relación a largo plazo entre los precios Spot y Futuros. Hedge ratio, etc. 3. Los precios de una acción específica está determinado por los dividendos de la compañía (si los dividendos son US$ 100.000 cual sería su precio de mercado). 4. Tipo de cambio y reservas internacionales (o inflación y tipo de cambio). • Supongamos que se presume cierta relación entre dos variables y que las teorías financieras sugieren que un incremento en x conlleva a un incremento en y. Un primer paso en la determinación de la relación entre estas dos variables sería graficar (scatter plot). CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 32
  • 33. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. x y 33
  • 34.  Se observa una aproximación lineal positiva entre x y y del tipo: Y = a + b x • a= constante aditiva sumativa. b=factor de proporcionalidad (indica cuánto varía y ante una variación unitaria y positiva de x) • Sin embargo, esta ecuación pareciera ser no muy realista por la exactitud que tendría la línea y el ajuste con los datos. Para hacerlo más realista es necesario el término de error aleatorio u o lo que también se denomina ruido blanco en las metodologías de series de tiempo (el cual no se puede modelar) Y = a + b x + u CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 34
  • 35.  Como se determinan los valores apropiados de a y b ?  Exactitud que tendría la línea y el ajuste con los datos. Para hacerlo más realista es necesario el término de error aleatorio u (el cual no se puede modelar) Y = a + b X + u • Las razones por las cuales existe el término u es motivado a algunos determinantes de Y los cuales pudieron ser omitidos en el modelo, o que algunos son no medibles (ataques terroristas, huracanes, fallas computacionales, etc.) los cuales afectan los retornos de los activos financieros, afectando su poder de predictibilidad o estimación. Es importante saber que el comportamiento humano es aleatorio y no pronosticable la mayoría de las veces. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Componente determinístico Componente estocástico (random or noise component) 35
  • 36. La naturaleza detrás del término de error estocástico (ut) 1. Representa la influencia de variables no incluidas en el modelo 2. A pesar de que están incluidas todas las variables que podrían explicar el modelo, existe cierta aleatoriedad no predecible ni racional (comportamiento humano). 3. Errores de medición. 4. Principio Ockam´s razor (William Ockham 1285-1349)… en vano hace con más lo que se puede hacer con menos..Manténgalo el modelo de regresión tan simple como se pueda, hasta que sea probado como inadecuado (a pesar de que otras variables afectan Y, la influencia combinada en Y podría ser tan pequeña que no vale la pena sino dejarla incorporada en el término de error (menos es más). CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 36
  • 37.  Como se determinan los valores apropiados de a y b ?  El método más indicado par ajustar una línea a los datos se denomina Mínimos cuadrados ordinarios (MCO o OLS). Otros métodos alternativos es el método de los momentos (Hansen, 1982) y el de máxima verosimilitud.  MCO: Se toma cada distancia vertical desde el punto a la línea, calculando su cuadrado y minimizando la suma de la áreas de los cuadrados dibujados, desde los puntos para la línea.  yt  ỷt  ủt = (yt-ỷt) El objetivo es minimizar la suma de los errores al cuadrado (que la suma de los ut sean tan cercano al cero como sea posible). CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 37
  • 38. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. x y 38
  • 39. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. x y ủt ỷt yt xt En la medida que un evento se repite se hace más confiable el promedio 39
  • 40. RSS= ∑εt 2 = (yt -ỷt)2 = ∑ (yt – α – β xt ) 2 = Q CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. El objetivo es escoger α y β para minimizar Q ∂Q/∂α = 0 y ∂Q/∂β = 0 ∂Q/∂α = ∑ 2 (yt – α – β xt )(-1) = 0 ∂Q/∂α = ∑ yt – ∑ α – β ∑ xt = 0 ∑ yt = n α + β ∑ xt = 0 α = Y - β X substituyendo α en Q RSS= Q= ∑εi 2 = ∑ (yt – Y – β (xt-X) ) 2 ∂Q/∂β = ∑ -2 [ (yt – Y – β (xt-X ) ] (xt-X) = 0 ∂Q/∂β = ∑ ( (yt – Y ) (xt-X ) – β ∑ (xt - X) 2 = 0 β = ∑ ( (yt – Y ) (xt - X ) / ∑ (xt-X) 2 40
  • 41. Syy = ∑ (yi-Y)2 = ∑ (yt 2 – n Y 2 ) CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Sxy = ∑ (xi- X) (yi – Y) = ∑ xi yi – n X Y Sxx = ∑ (xi- X)2 = ∑ xi 2 - n X2 β = Sxy / Sxx En el argot de Riesgo, el término alpha (α) es lo que se denomina Riesgo Sistémico y el beta (β) como la correlación de un título con respecto al mercado (riesgo específico), el cual se reduce a través de diversificación….O el porcentaje de volatilidad de un título explicado por la volatilidad del mercado . Otra forma de calcular el beta: 41
  • 42.  ά = y - β x  β = ∑ (xt yt - n x y ) / ∑ (xt 2 - n x 2 ) = [ ∑(Xt * Yi)/ ∑Xi 2] Ejemplo 1: Pag. 49 (módelo de índice único (sharpe))1 Un portafolio de inversión ha generado durante los últimos 5 años los siguientes retornos (archivo Excel) por encima de la tasa libre de riesgo. Para efectos de comparación, se anexan los retornos por encima de la tasa libre de riesgo de un índice de mercado. Resultados: Beta positivo (1,64). Existe una relación positiva entre los rendimientos que los analistas estiman para el mercado y nuestro portafolio de inversión. Si los analistas estiman que el Índice de mercado sube el próximo año en 1 unidad, el portafolio bajo análisis obtendría una ganancia de 1,64. Con esta regresión se podría determinar cuánto sería la ganancia o pérdida de nuestro portafolio (céteris páribus). (algo arriesgado 1,64 y saber que sólo tiene 5obs) alpha(ά ) = -1.74 si el índice del mercado se estima no tendrá ganancia en t+1 nuestro portafolio se reducirá en -1.74%, 1 Sharpe, William (1963). “A simplifyed model for portfolio analysis. Management Science. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 42
  • 43.  Algo importante que notar es la confiabilidad de los estimadores del término Alpha cuando no existen valores cercanos a cero (ejemplo nuestro), lo que hace poco confiable el valor del intercepto en predicciones. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. x y 43
  • 44. Lineariedad OLS es lineal pero no necesariamente algunas regresiones (y y x) tienen un comportamiento lineal. Más específicamente el modelo puede ser lineal en los parámetros (α y β) pero no necesariamente tiene que ser lineal en las variables (y y x). Modelos que no son lineales en las variables pueden linealizarse realizándose ligeras transformaciones o manipulaciones. Por ejemplo el modelo de regresión exponencial: Yt = α Xt β e ut Podría hacerse lineal aplicando logaritmos en ambos lados: ln Yt = ln (α) + β ln Xt + ut donde α y β son los parámetros a ser estimados. En estos casos los coeficientes estimados se denominan elasticidades (v.gr. si β=1.2 un incremento en x de 1% generará en promedio (céteris páribus) un incremento en y del 1,2%. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 44
  • 45. Lineariedad Similarmente, si la teoría sugiere que x está inversamente relacionado a y de acuerdo con el siguiente modelo: yt = α + (β / xt ) + ut La estimación puede aplicarse OLS (MCO) haciendo: zt = 1 / xt No lineal en las variables. Modelos no pueden ser estimados usando OLS (MCO). Ejemplo: yt = α + βxt Ω + ut (se debe usar métodos de estimación no lineal) Estimadores versus estimados Estimadores son las fórmulas usadas para calcular los coeficientes (ej α y β), mientras los estimados son los valores obtenidos de los coeficientes de la muestra. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 45
  • 46. Lineamientos que se deben seguir para el modelo clásico de regresión lineal. Teorema de Gauss-Márkov (BLUE) Los datos de xt son observables, pero yt también depende de ut es necesario ser específico acerca de cómo ut es generado. En razón de lo anterior se asume lo siguiente: Notación Técnica Interpretación E(ut) = 0 Los errores tienen un promedio de 0 var(ut) = σ2 < ∞ La varianza de los errores es constante (varianza común) y finita sobre todos los valores de xt cov (ui , uj) = 0 Los errores son estadísticamente independientes. cov (ut , xt) = 0 No hay relación entre el error y la variable x. Normalidad de los errores : ut ~ N(0, σ2) CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 46
  • 47.
  • 48. Fuente: Gujarati, Damodar (2006). Esentials of Econometrics. Third edition. Pp. 141 48
  • 49. Lineamientos que se deben seguir para el modelo clásico de regresión lineal. Teorema de Gauss-Markov (BLUE) CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Gujarati, Damodar. Essentials of econometrics. (2006). Pp. 144 1 1 β2 β2 Yi= β1 + β2 Xi La pendiente de β2 es la misma a cada punto de la curva Y XPrecio Cantidad 1 1 β2 β2 Yi= β1 + β2 (1/Xi) La pendiente de β2 varía de punto a punto en la curva Y XPrecio Cantidad 49
  • 50. Propiedades de un estimador de MCO (OLS) lineal. Que sean los mejores estimadores lineales insesgados (MELI). Esto significa, lo siguiente: Mejores Estimadores: Que los estimados de ά y β sean los valores verdaderos de α y β. a) Consistencia. Cuando la muestra tiende al infinito los valores de ά y β tienden a su verdadero valor. La probabilidad de que el estimador es diferente a su verdadero valor es cero. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 50
  • 51. Propiedades de un estimador de MCO (OLS) lineal. Que sean los mejores estimadores lineales insesgados (MELI). Esto significa, lo siguiente: Mejores Estimadores: Que los estimados de ά y β sean los valores verdaderos de α y β. b) Insesgado. En promedio, los valores estimados de ά y β son iguales a sus verdaderos valores. Ej.: E(ά) = α CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 51
  • 52. Propiedades de un estimador de MCO (OLS) lineal (cont.) c) Eficiente. Cuando los estimados de ά y β tienen la varianza más pequeña. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Figura derecha: Cuando debemos elegir entre un estimador insesgado con mucha varianza y otro con sesgo pero con menor varianza, el criterio de eficiencia no es suficiente para determinar cuál es el mejor estimador. Podría suceder que el estimador insesgado sea muy impreciso (disperso) mientras que el estimador sesgado sea muy preciso y, en ese caso, podríamos llegar a preferir a este último si el sesgo es pequeño. 52
  • 53. Propiedades de un estimador de MCO (OLS) lineal (cont.) CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Dos estimadores del parámetro C. El estimador C2 es insesgado pero su distribución es muy dispersa, mientras que la distribución de C1 está más concentrada, aunque no alrededor del verdadero valor de C, sino alrededor de un valor cercano (es un estimador sesgado). En este caso se utiliza el criterio del error cuadrático medio mínimo, que consiste en evaluar una expresión que pondera la varianza y el sesgo muestral o skewness (ambas características indeseables) y permite elegir el estimador que las presente en menor medida. Dicha expresión es el error cuadrático medio: ECM(estimador θ) =E (θ - θ )2 = [sesgo(θ )]2 + Var(θ ) Por lo tanto, el criterio de minimizar el ECM toma en cuenta tanto la varianza como el sesgo del estimador. Cuando el estimador es insesgado, como puede verse: ECM(estimador θ) = Var(θ) 53
  • 54. Precisión y Error Estándar (EE) de los estimados de ά y β. Es importante tener una idea de cuan confiable (eficiente) son los estimados de ά y β. Una buena medida de la confiabilidad de los estimadores y si éstos varían mucho de una muestra a otra está en su Error Estándar. Sin embargo, es importante saber que el EE no muestra cuán precisos son un set particular de coeficientes estimados. Si el error estándar es pequeño los coeficientes pueden ser precisos en promedio pero no cuán precisos son para esta muestra particular. Es decir, muestra una medida del grado de incertidumbre de los valores estimados para los coeficientes. En la medida que más grande sea la muestra de datos menor será el coeficiente EE. Cada observación de una serie representa una pieza de información útil para determinar los estimados de los coeficientes. Estimación de la varianza del término de error (ut) Medida amplia de la bondad de ajuste de una regresión. Si todo lo demás permanece constante, a medida que este indicador sea más bajo, más cercano es el ajuste de la línea a los datos reales. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 54
  • 55. Efectos de los errores estándar de los estimados de los coeficientes cuando (xt – x) tienen poca dispersión. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. x y y x 55
  • 56. Fórmulas Desviación Estándar SE(α) = s √ ∑ xi2 = s√ ∑ xi 2 ________ T ∑ (xi-x)2 T ((∑xi 2) –T x 2) SE(β) = s √ 1 = s√ 1 = ∑ (xi-x)2 ∑xi 2 –Tx 2) Donde s= desviación estándar residual S= √ ∑ ui 2 . = ∑ √ (Xi –X)2 n-k n-k k=parámetros (incluyendo la constante) A mayor desvío, mayor ruido estadístico en las estimaciones y menos confiable el valor obtenido CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 56
  • 57. Fórmulas Covarianza Covarianza Muestral (X,Y) = ∑ [(Xi – X)(Yi – Y) ] n-1 Covarianza = Correlación lineal entre X y Y (ρ) * σx * σy CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 57
  • 58. Efectos de los errores estándar de los estimados de los coeficientes cuando (xt – x) tienen dispersión elevada CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. x y y x 58
  • 59. Efectos de los errores estándar de los estimados de los coeficientes cuando xt2 es grande CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. x y Dificultad de estimación de ά 59
  • 60. Efectos de los errores estándar de los estimados de los coeficientes cuando xt2 es pequeña… Ejemplo 3.2 pag 63 libro Chris Brooks CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. x y 60
  • 61. Ejemplo 3.3. Pág. 65. Distribución normal y distribución t Distribución Normal: Simetría alrededor de la media N ~ (0,1) Distribución t: Tiene otro parámetro, los grados de libertad. Cuando una distribución t tiene un infinito número de grados de libertad se convierte en una distribución normal. (caso especial de una t). Grados de libertad puede ser interpretado como el número de piezas de información adicional más allá de los requerimientos mínimos. Si se estiman dos parámetros ά y β se requieren un mínimo de dos observaciones para ajustar la línea a los datos. En la medida de que se incrementa el número de grados de libertad (n-k-1), los valores críticos decrecen ya que se requiere menos precaución. Y uno puede estar más seguro de que los resultados son apropiados CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. μ Ƒ(x) x Distribución normal Distribución t Cola mas gorda y menor peak 61
  • 62. Fuente: Gujarati, Damodar. Esential of econometrics. Third Edition. Pp. 94. 62 K= variables del Modelo (grados de libertad o número de piezas de información más allá de los requerimientos mínimos) En la medida que los grados de libertad aumentan los valores críticos de la tabla disminuyen ya que menos precaución se requiere y uno puede estar más confiado de que los resultados son más apropiados
  • 63. Distribución de Probabilidad de los estimadores de MCO (OLS). Pág. 67 CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Para probar hipótesis, el supuesto de que los errores están normalmente distribuidos ut ~ N(0, σ2) hace más simple la inferencia estadística. Ya que yt depende parcialmente de ut se puede decir que ut está distribuida normalmente y yt también lo está. Así que: α~ N(α, var(α)) y β~ N(β, var(β)) Si los coeficientes siguen una distribución normal, los errores también siguen una distribución normal. Asumiendo que los demás supuestos de los MCO se mantienen y la muestra es suficientemente larga, pero como no se puede saber las varianzas de los coeficientes verdaderos se utiliza la distribución t (para valores muestrales). (α – α* ) ~ T t-2 (la diferencia es escalada o normalizada por su SE (α ) error estándar del coeficiente estimado) si es bajo el error estándar podría existir mayor precisión). 63
  • 64. Pruebas de significancia. Teorías financieras sugieren que ciertos coeficientes toman valores particulares o valores dentro de un rango dado. Ejemplo yt = 20.3 + 0.5091 xt usados para hacer inferencias sobre los parámetros de la población (v.gr. si la población podría estar en 0,5 o 1, etc.). Pasos: 1) Estimar ά y β y sus errores estándar SE(ά) SE(β) 2) Determinar el test =( β – β* ) / SE(β) Donde β* es el valor de la hipótesis nula. (Ho = β =0 ; Ha = β ≠ 0 ) (las diferencias son normalizadas por el error estándar del coeficiente estimado ya que mide precisión o certeza). Si el SE es pequeño, el valor del estadístico será bueno (grande, no se requiere prueba) CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Ƒ(x) 95% región no rechazo Ho Estadísticame no significante * 2,5% Región rechazo Ho 2,5% Región rechazo Ho Si ά y β prueban ser =0 y la variable no ayuda a explicar las variaciones en yt … remover de la ecuación 64
  • 65. Pruebas de significancia (cont…) 3) Se requiere una distribución tabulada para comparar las pruebas estadísticas requeridas. Los test estadísticos de esta manera puede ser mostrada siguiendo una distribución t con T-2 grados de libertad: número de piezas de información adicional más allá de los requerimientos mínimos). En la medida que los grados de libertad aumentan los valores críticos de la tabla disminuyen ya que menos precaución se requiere y uno puede estar más confiado de que los resultados son más apropiados. 4) Se escoge el nivel de significancia N.S. (dos colas, una cola). N.S.= tamaño del test. En una prueba de una cola, con valor crítico de 5% es 1,68 implica que el test estadístico debería esperar un valor más grande que 1,68 en 5% del tiempo como consecuencia de un chance solo. Tamaño del test: Si la muestra de datos es suficientemente grande cualquier hipótesis nula puede ser rechazada. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 65
  • 66. Valores críticos de una distribución normal versus distribución t Nivel de significancia N(0,1) t40 t4 50% 0 0 0 5% 1,64 1,68 2,13 2,5% 1,96 2,02 2,78 0,5% 2,57 2,70 4,60 cola gorda baja altura En la medida que se incrementan los grados de libertad se incrementa la altura de la distribución y se reduce las colas gordas (vamos hacia una distribución normal). CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 66
  • 67. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. μ Ƒ(x) x Distribución normal Distribución t Cola mas gorda y menor peak 67
  • 68. Pruebas de significancia (cont…) Se requiere calcular ά , β, así como sus errores estándares. Se escoge el nivel de significancia (convención = 5%) Intervalo de Confianza = 100 – N.S.= ej. 95% del tiempo que el verdadero valor se encuentra en este intervalo. En muchas muestras repetidas, el 95% de las veces el valor verdadero de β estará contenido dentro de este intervalo. 5% de nivel de significancia = 95% intervalo de confianza. 4) Intervalo de confianza de β : β - tcrit * SE(β ) ; β + tcrit * SE(β ) -tcrit = < ( β – β* ) < = + tcrit SE(β) Ejemplo 3.4. Pág 75 (Chris Brooks). CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 68
  • 69. Fuente: Brooks; Chris. Introductory econometrics for finance. Cambridge (2007). Pp. 75 Ho=β=1 69
  • 70. Fuente: Brooks; Chris. Introductory econometrics for finance . Cambridge (2007). Pp. 75 70
  • 71. Fuente: Gujarati, Damodar (2006). Essentials of Econometrics. Pp. 183-184 71
  • 72. Gujarati, Damodar (2006). Essentials of Econometrics. Pp. 181 72
  • 73. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. -1σ 1σμ-2σ 2σ-3σ 3σ 68% de los datos (aprox). 95% de los datos (aprox). 99,68% de los datos (aprox). Algunas propiedades de una distribución normal Gujarati, Damodar (2006). Essentials of Econometrics. Pp. 79 73
  • 74. Pruebas de significancia (cont…) Si se requiere determinar si Ho = β = 0 o 2 etc. en estos casos se deberán hacer pruebas para cada caso. Ejemplo Pág 76 (libro Chris Brooks) cuando β = 2 cae fuera del intervalo estimado de confianza. En la mayoría de los casos los resultados están bajo un tamaño de prueba del 5%. En casos como por ejemplo cuando β = 1 cuando el t estadístico y el valor crítico están cerca, las respuestas pueden variar dependiendo del tamaño de la prueba. Ejemplo, supongamos que con un tamaño de la prueba del 10% del mismo ejemplo 3.4. explicado anteriormente: (0.5091 – 1) / 0.2561 = -1.917 el valor crítico cambia a ±1.725 el test estadístico cae en la zona de rechazo de la Ho CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 74
  • 75. Pruebas de significancia (cont…) Si la hipótesis nula (H0) es rechazada a un nivel de significancia del 5% se podría decir que el resultado de la prueba es estadísticamente significante. Si la Ho no es rechazada es no significante o insignificante. Finalmente si la Ho es rechazada al 1% de nivel de significancia, el resultado es estadísticamente significante. Nótese que un resultado estadísticamente significante podría ser de significación no práctica. Por ejemplo, si el beta estimado de una acción bajo una regresión CAPM es 1.05 y la Ho es que el β = 1 es rechazada, el resultado podría ser estadísticamente significante. Pero podría ser el caso que un monto ligeramente superior de β no creará mucha diferencia en las alternativas de inversión en comprar una determinada acción o no. El resultado podría ser estadísticamente significante pero financieramente insignificante. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 75
  • 76. Clasificación de los errores que pueden ser hechos usando pruebas de hipótesis. La Ho es usualmente rechazada si la prueba estadística es significante bajo un nivel de significancia. Existen dos errores posibles que pueden ser hechos: 1) Rechazo de la Ho cuando realmente es verdadero…Error de tipo I o Falso positivo (missed crises o no sirve cuando en realidad el modelo sirve). 2) No rechazo de la Ho cuando en realidad es falso…Error de tipo II o Falso negativo (falsa alarma, existe crisis cuando en realidad no sirve). La probabilidad de un error de tipo I es α el nivel de significancia de la prueba escogida. V.gr. existe sólo un 5% probabilidad que el resultado o en forma más extrema podría ocurrir puramente por chance, o sólo 5% de probabilidad de que la Ho se rechace cuando en realidad es verdadera. Solución: reducir el tamaño de la prueba (ej. de 5% a 1%), incrementar la CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 76
  • 77. El nivel exacto de significación. También denominado p-value, indica el Nivel de Significancia (NS) marginal donde uno puede ser indiferente entre rechazar o no la hipótesis nula. Si el test estadístico es largo en valor, el p-value sería pequeño. Ej.: si el p-value es 0,12 la H0 debería ser rechazada a un nivel de significancia del 12% o más alto. P=0,0000 permite rechazar sin dudas Ho=parámetro=0, en este caso resultó significativo… 0% probabilidad de caer en Ho. Permite rechazar o aceptar fácilmente la hipótesis nula de que el verdadero coeficiente es cero, contra la Ha de que es distinto a cero. El p-value ofrece toda la información requerida para conducir test de hipótesis sin requerir del investigador la necesidad de calcular un test estadístico o encontrar un valor crítico de una tabla. El p-value es también útil ya que evita requerir la especificación de un nivel de significancia determinado. El análisis de sensibilidad del efecto del nivel de significancia en la conclusión se produce inmediatamente. Mientras mas pequeño es el p-value más poco probable es la Ho. Ej Hedge ratio en EViews pag 115. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 77
  • 78. Otro ejemplo de Hedge ratio o Índice de Cobertura utilizando regresión simple: • Supongamos que tenemos un portafolio de bonos T y queremos cubrir el riesgo de una caída de precios. La estrategia es vender corto un número h de contratos a futuro que minimice o elimine el riesgo. • El cambio (Δ) de valor de nuestro portafolio conformado por dos tipos de activos es el siguiente: ΔS + h ΔF. La varianza (v) del portafolio es la siguiente: • v= σ s 2 + h 2 σf 2 + 2 h ρ σs σf • Como queremos minimizar la varianza del portafolio, ∂v / ∂h = 0 ∂v 2 h σf 2 F + 2 ρ σs σ f = 0 ∂h h = ρ σs σ=desviación Estándar ρ=Coef. Correlación σF CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 78
  • 79. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. σ h h óptimo VarianzadelPortafolio 79
  • 80. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. σs σF El índice de Cobertura óptimo h es la pendiente de la curva que se obtiene Mediante una regresión de σs y σF. El nivel óptimo de contratos a futuros N es: N = h NA QF NA = Cantidad del activo a cubrir (unds.) QF = Tamaño de cada contrato a Futuro (unds.) 80
  • 81. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Ejemplo: Santa Bárbara espera comprar 1 mill. de galones de Jet Fuel en un mes (abril) y decide utilizar Heating Oil No. 2. Cuántos contratos debe comprar a futuro? Caso de cross hedge Tamaño de cada contrato heating oil: 42.000 galones Ver ejemplo Excel Otro ejemplo: El índice de Cobertura para un portafolio de acciones utilizando Futuros sobre índices es el beta (β) del portafolio con respecto al índice. Hedge Ratio: h* = β = ρ σs Mínima varianza (hedge ratio) σF El número óptimo de contratos a futuros N es el siguiente: Beta is a measure with many faces https://www.youtube.com/watch?v=KPckXlXTLCw Optimal Hedge https://www.youtube.com/watch?v=p-bBbdvy7r8 81
  • 82. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. N = β NA QF  Valor spot de un contrato futuro (No. Contratos x precio spot índice)  Valor del activo a cubrir (US$) Ejemplo No. 2 Excel: Hedge sobre índices Ejemplo: Morgan Stanley compró US$ 5 millones en acciones de IBM para colocarlas en el mercado en tres meses y decide utilizar el índice S&P 500 como cobertura. Cuantos contratos debe vender a futuro sobre el S&P 500? Un contrato equivale a 250 veces el índice y el precio spot del índice es de 1.000 Β = ρ (σ ibm / σ s&p500) 82
  • 83. Regresión Múltiple. Ejemplo EViews pág. 119 Acciones GEC UK otro en Pag. 139 Hedonic Pricing Model yt = α +β xt + ut t = 1, 2, 3 …..T Ejemplo: El precio de una acción podría depender de su propia sensitividad para cambios inesperados en: 1) Inflación 2) Diferencias en los retornos de los bonos a corto y a largo plazo 3) Producción Industrial 4) Riesgo default., etc. Ejemplo: Puede un fondo mutual superar un Indice marcador? Necesidad α para conocer si mejora o desmejora el índice de mercado. H0 = α = 0 (Jensen´s alpha) pág 93 y 112. Ejemplo 2: Precio de un bono de que depende? Tasas de interés activas, pasivas, inflación, PIB,….ejemplo 3: relación entre rendimientos y calificación de riesgo. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 83
  • 84. Regresión Múltiple. Ejemplo EViews pag 119 Acciones GEC UK otro en Pag. 139 Hedonic Pricing Model yt = α +β xt + ut t = 1, 2, 3 …..T Ejemplo 2: La inflación puede afectar variables CAMEL, o algunas determinadas variables de Balance: CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 84 ActivosBancarios(var%)t.reales +créditosdurables(hipotecario(lamayoríainclumple),consumo,comerciales) +créditosalconsumo(t.reales) riesgosobreendeudamientoyposiblemorosidaddadalacaídadelpoderadquisitivodelosdeudores. Patrimonio Captacionest.reales(DV,DA,DPF) Disponibilidades(t.reales)Reservasexcedentarias Descalce netodeIngresos-gastostotales(t.reales) IngresosFinancieros(comisiones,otros)nocreoqueafecte Desintermediaciónfinanciera Brechaestructural(activosproductivos/pasivosconcosto)
  • 85.
  • 86.
  • 87.
  • 88.
  • 89. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 89
  • 90. Bondad de Ajuste estadístico (R2) ajustado Uno de los problemas con el uso del estadístico R2 para medir la bondad de ajuste es que éste nunca decrece con el agregado de nuevos regresores. Desde un punto de vista teórico, siempre se podría obtener un estadístico R2 igual a 1 agregando el número suficiente de variables dependientes, lo cual tendencialmente haría disminuir el término RSS (o suma al cuadrado de los residuos). Para atender este problema se ha diseñado el R2 ajustado: R2 = 1 – (1-R2) * [(T-1)/(T-k)] k=número parámetros incluyendo la constante Si k=1 entonces R2 = R2 Si k>1 entonces R2 < o = R2 CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 90
  • 91. Coeficiente de correlación muestral (r) o rho (ρ) ρ = cov (X.Y) / (σx σy) Mide cuán fuerte las variables están relacionadas. Es simplemente la medición del grado de asociación lineal entre las dos variables (cuán fuertemente las dos variables están linealmente relacionadas). CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 91
  • 92. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 92
  • 93. F statistic: test de hipótesis cuya Ho es que todos los coeficientes correspondientes a variables dependientes (distintas a la constante) son nulos…(H0=β1=β2=….βn=0) relevancia conjunta de las variables involucradas. La distribución del estadístico es una F de Snedecor, lo cual le da su nombre al test. Esta hipótesis establece que las variables explicatorias juntas no tienen influencia en Y. Lo que es igual que establecer que: H0=R2=0 Las dos pruebas de hipótesis son equivalentes. Prob F statistic: Es el valor p del estadístico F antes explicado. Un valor p=0,0000 indica que se rechaza la Ho de que todos los coeficientes de la regresión son nulos (es decir, son estadísticamente significativos). CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 93
  • 94. Normalidad de los residuos: Otro elemento importante para revisar es verificar si 2/3 (66,66%) de los valores debería estar dentro de dichos límites (límites definidos por una Desviación estándar). Los procedimientos de pruebas estadísticas se basan en asumir que el término de error está normalmente distribuido. Pruebas: Histograma de los residuales (proxy sobre la probabilidad de distribución de los residuales). CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 94
  • 95. Bondad de Ajuste estadístico (R2) = 1 CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. x y y 95
  • 96. Efectos de no incluir intercepto en una línea de regresión. Ojo R2 y R2 ajustado pueden resultar insignificantes bajo este contexto. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. x y 96
  • 97. Heterocedascicidad: Varianza de los errores se incrementa en la medida que pasa el tiempo. Se reduce utilizando logs o agregar otra variable explicatoria. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. x y 97
  • 98.
  • 99. Heteroscedascicidad: Test estadístico para verificar Heteroscedasticidad. White test: Ejemplo estimar una regresión Y1 = β1 + β2 x2t + β3 x3t + ut para probar que la var(ut) = σ2 modelo 1 Se obtienen los residuales y se corre la regresión auxiliar del tipo: Ut2 = α1 + α2 x2t + α 3 x3t + α 4 x2t 2 + α 5 x3t 2 +α 6 x2t x3t + vt a) Donde el término de error vt esta distribuida como normal. Se corre luego una regresión restringida donde ut 2 es regresada en función de una constante sola (α) los RSS de cada especificación se usan como inputs para las pruebas estándares F. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 99
  • 100. Otra alternativa involucra verificar el R2 para la regresión auxiliar. Si uno o más de los coeficientes en la regresión auxiliar es estadísticamente significativo el valor del R2 será relativamente alto. El R2 se multiplica por el número de observaciones T * R2 ~ X2(m) donde m es el número de coeficientes en la regresión auxiliar (excluyendo la constante α1) equivalente al número de restricciones en una prueba F (Ho= no Heteroscedasticidad≈Homocedásticos). La prueba es que en forma conjunta todos los coeficientes son simultáneamente cero (Ho= α2 =α3 =α4 =α5 =α6 = 0 =no heteroscedasticidad, es decir son homocedásticos) si el X2 estadístico del paso a) es superior al de la correspondiente tabla estadística Chi2 entonces rechazamos la Ho de que los errores son homocedásticos, es decir, existe heteroscedasticidad. Otra alternativa sería con el p-value del Chi2 computado es razonablemente largo (sobre 5 o 10% del nivel de significancia) no podemos rechazar la hipótesis nula de homocedasticidad, es decir son homocedásticos. (no cumple con criterio de eficiencia). CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 100
  • 101. Ejemplo..suponemos que el modelo 1 ha sido estimado con 120 observaciones y el R2 de la regresión auxiliar es 0,234 el test estadístico T*R2 = 120 * 0,234= 28,8 siguiendo Chi2(5) bajo la Ho el cual da por la tabla 11,07 el test estadístico es superior al valor crítico lo que hace que la Ho es rechazada de que los errores son homocedásticos. Se concluye que hay evidencia significativa de heteroscedasticidad, por lo que no se asume que la varianza es finita. Se reduce utilizando logs o agregando otra variable explicatoria. Consecuencias MCO (OLS) con heteroscedasticidad: estimadores serán sesgados y no consistentes (no BLUE) no tienen la varianza mínima (ni finita) entre la clase de estimadores insesgados. Así, la varianza de los errores no juega parte importante en la prueba de que los estimadores bajo MCO son consistentes e insesgados. Los errores estándares podrían ser errados y en consecuencia cualquier inferencia hecha con esta regresión no sirve. Errores estándares muy grandes para el intercepto cuando los errores son heteroscedásticos. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 101
  • 102. Ejemplo: Capítulo 5 Texto Julio Fabris EXP=Gastos totales del gobierno estadal y local (mill. US$ por año) POP=Población del estado en Miles AID=Ayuda Federal INC=Ingresos población Fuente: Fabris, Julio.Econometría Financiera. Pág. 140 y Modelos de Ejemplo Capítulo 5 Archivo Expend Resuelto View / Residual Tests / White Heteroskedasticity σεt proporcional a la variable POP 102
  • 103. Menú: View/Residual Tests / White heteroskedasticity Ho=modelo Homocedástico σεt proporcional a la variable POP (por lo tanto el desvío estándar es proporcional a POP) 103
  • 104. La salida anterior incluye la regresión en que se basa el test, que no es otra cosa que los residuos al cuadrado (proxy de σε 2 ) vs. las explicativas y sus cuadrados. Lo que nos aporta esta regresión es la impresión de que la varianza de la perturbación es aproximadamente proporcional a la variable población al cuadrado, ya que dicho coeficiente estimado es altamente significativo. Esto es importante porque nos permitirá aplicar una variante del método de mínimos cuadrados ordinarios denominado mínimo cuadrados ponderados (weighted least squares o WLS). WLS: Se basa en la idea de que si se conoce el valor de σεt para cada momento t dividiendo toda la ecuación por dicho valor, el supuesto de homoscedasticidad se cumple forzosamente (varianza constante) y puede realizarse la regresión con los supuestos. Obviamente la regresión ha cambiado, pero luego de estimar los coeficientes de la regresión modificada, se pueden calcular los coeficientes de la regresión original. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 104
  • 105. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 105
  • 106. La regresión del test de White sugiere que la varianza es proporcional a los cuadrados de los valores de la serie POP (y, por lo tanto, el desvío estándar es proporcional a POP) Quick / Estimate Equation… ventana de Equation Specification introduciremos la fórmula expend c pop aid inc y en options seleccionaremos Weighted LS (en EViews 8 cambia la forma) CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 106
  • 107. Al 99% hay homoscedasticidad Estimador (+ o -) robusto de White 107
  • 108. 108
  • 109. Autocorrelación (o correlación serial): Los errores del período se correlacionan (+, -) con los errores de los períodos subsiguientes. Se produce a menudo en regresiones con series de tiempo y puede deberse un alto grado de correlación en el tiempo en las variables omitidas que influencia el término de error. Ej. Optimismo generado por una buena noticia referida a la economía puede perturbar el precio de una acción. En la regresión que explica el valor de la misma, dicha noticia no estará en general representada, por lo cual las noticias buenas y malas aparecerán como perturbaciones aleatorias. Si el efecto de la novedad dura 3 días, por ejemplo, tendremos una influencia al alza de 3 días, con lo cual la perturbación de hoy estará correlacionada con la perturbación de mañana y pasado mañana. εt=ρ * εt-1 + ut con Ut ̃ N(0, σ 2 u ) Ejemplo de autocorrelación de primer orden AR(1) o esquema autoregresivo de Markov (la más usual) CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 109
  • 110. Autocorrelación(DW): Existe cov(ui, uj) para i = j. Ejemplo: Autocorrelación + CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. ut-1 ut + + - - t + - 110
  • 111. Autocorrelación: Existe cov(ui, uj) para i = j. Ejemplo: Autocorrelación - CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. ut-1 ut + + - - t + - 111
  • 112. Autocorrelación: Existe cov(ui, uj) para i = j. Ejemplo: Autocorrelación cero CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. ut-1 ut + + - - t + - 112
  • 113. Autocorrelación (o correlación serial): Detección por Durbin y Watson prueba de autocorrelación de primer orden… test solo para probar relación entre un error y su valor inmediatamente anterior. Los errores de un período se relacionan con los del período anterior. Se produce a menudo en regresiones con series de tiempo y puede deberse al alto grado de correlación en el tiempo de las variables omitidas que influencian el término de error. (ejemplo optimismo generado por una buena noticia de la economía puede perturbar el precio de la acción) ut = ρ ut-1 + vt donde vt ~ N(0, σv 2) DW Ho= ρ =0 Ha= ρ ≠ 0 ρ=coeficiente de autocorrelación H0=ρ=0 no existe autocorrelación (independencia uno del otro). ρ =0 DW=2 no autocorrelación en los residuales si DW tiende a ser cercano a 2 existe una pequeña evidencia de autocorrelación ρ =1 DW=0 Autocorrelación positiva perfecta en los residuales ρ =-1 DW=4 Autocorrelación perfectamente negativa en los residuales. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 113
  • 114. Ejemplo pág. 163 y 164 (numérico), Chris Brooks
  • 115. Fuente: Gujarati, Damodar. Esentials of econometrics. Third edition. Pp 439
  • 116. Fuente: Gujarati, Damodar. Esentials of econometrics. Third edition. Pp 438-439
  • 117. Autocorrelación (o correlación serial): DW de 2 indica ausencia de correlación serial de primer orden. DW sensiblemente > 2 indica correlación serial negativa (poco usual) DW sensiblemente < 2: presencia correlación serial positiva. EViews provee el valor del estadístico por tradición. Pero no se recomienda su uso por 3 razones: 1.- La distribución del estadístico bajo la Ho depende de los datos que se utilizan en la regresión 2.- Cuando en el lado derecho de la ecuación hay valores rezagados de la variable dependiente, el estadístico pierde validez. 3.- Sólo puede testearse autocorrelación de primer orden. Se puede eliminar la Autocorrelación mediante el uso de rezagos (buscar rezagos óptimos). CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 117
  • 118. La correlación serial o auto correlación no afecta el insesgamiento ni la consistencia de los estimadores MCO pero afecta su eficiencia. Para peor, la pérdida de eficiencia quedará oculta por el hecho de que las estimaciones de los errores estándar de los coeficientes estimados serán menores que los verdaderos, lo cual puede conducir a la conclusión errónea de que los parámetros son más precisos de los que son en realidad. Tendencia a rechazar Ho en los test de significatividad individual (t test) cuando en realidad no debería ser rechazada. Condiciones para ser válido un test DW. 1) Debe contener el intercepto o el término constante (α) 2) Los regresores deben ser no estocásticos asumiendo las reglas CLRM (Classical Linear Regression Model). 3) Inexistencia de rezagos (lags) de la variable dependiente (yt) en la regresión. Pero DW solo mide autocorrelación con el pasado inmediato corr(ut,ut-1)=0 pero no corr(ut, ut-2) ≠ 0 necesario el test de Breusch – Godfrey. (pág. 165). Pruebas más Óptimas: Prueba test LM de Breusch-Godfrey si p value=0,48 hay 48% probabilidad de caer en zona Ho de no ACR (no existe autocorreación) entre los residuos o estadístico Q. Arreglos para eliminar autocorrelación (pág. 167) usando GLS (Cochrane-Orcutt). CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 118
  • 119. Ho de no ACR (no existe autocorreación) 119
  • 120. Otro ejemplo de ACR prueba Q statistics.. Incluir la autocorrelación de las perturbaciones Yt = α + βXt + εt con εt = ρ εt-1 + ut
  • 121. Prueba de normalidad de los residuos: ut ~ N(0,б2 ) Normalidad es requerido para conducir test de hipótesis individual y conjunta sobre los parámetros de los modelos (Bera–Jarque Chi2 test de normalidad…terceros y cuartos momentos de la distribución: skewness, kurtosis)… Primer momento E(X)=μx (o media) segundo momento alrededor de la media o varianza: E(X- μx )2. Tercer momento: Skewness (sesgo o medida de asimetría): Σ(X- μx )3. Cuarto momento: Kurtósis: Σ(X- μx )4. Kurtósis medida de tallness (pico) o flatness (meseta) de una función de distribución de probabilidades (PDF) (Leptokurtica es característico de series financieras. Una distribución normal se caracteriza por tener kurtosis = 3 (Kurtosis – 3 = 0 es decir: distribución normal) Si la probabilidad es mayor que 0.05 no se rechaza la Ho de normalidad a un 5% (Ho=normalidad de los residuos). Si no es normal utilizar Dummy lo cual hace que elimine esa observación (p.181-184). (Los residuos de la regresión tienen media cero por construcción). CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 121
  • 122. Gujarati, Damodar (2007). Essential of econometrics. Pp. 66 122
  • 124. Fuente: Gujarati, Damodar. Esential of econometrics. 2006. pp.89 124
  • 125. Ejemplo de outliers (genera kurtosis) en una estimación de MCO. Su remoción incide en mejor R2 reduce el Error estándar, RSS y mejora el ajuste del modelo a la data. Pero importante, son piezas fundamentales de información. Una buena manera para mejorar las probabilidades de errores en la normalidad es mediante el uso de variables Dummy (pág. 183) CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. x y 125
  • 126. 126
  • 127. Multicolinealidad: Relación entre variables explicatorias (x´s). En teoría no debe haber ningún tipo de relación entre las variables x (ortogonal), Agregando o removiendo variables en una regresión no debería causar cambios en los coeficientes de las otras variables, (pero relativamente benigno ya que casi siempre ocurre y no causa mucha pérdida de precisión. Multicolinealidad (X3 = 2X2). Medición: Ver matriz de correlación entre las x´s). Problemas: R2 alto pero los coeficientes individuales podrían tener elevados errores estándares o t pocos significativos (regresión se ve bien pero las variables individuales no son significantes). No se sabe la contribución individual de cada variable en el ajuste total de la regresión. No afecta insesgamiento ni eficiencia (sigue siendo MELI) pero estimación se vuelve poco precisa (elevados errores estándares de los estimados) se puede comparar las salidas de máquina de las regresiones individuales y conjunta. Muchos econometristas consideran que es un problema con la data que con el modelo o el método de estimación. Solución: Matriz correlación simple entre los regresores si es >0,8 existe multicolinealidad 1) si el modelo es adecuado (signo apropiado, estadísticamente significante). Ignorelo! 2) elimine una de las variables colineales (pero algunos casos inaceptable ya que la variable es necesaria para comprobar la teoría. 3) Transformación de la data (usar un cociente entre las dos…ratio) y no use las variables individuales en la regresión… a veces no aceptable en teoría financiera CONCLUS: PROBLEMA CON LA DATA NO CON EL MODELO.. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 127
  • 129. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. La multicolinealidad cuando se presenta no afecta insesgamiento ni eficiencia de los estimadores (siguen siendo MELI) pero es poco precisa. Tabla supra se denotan elevados errores estándares de los coeficientes estimados. Se puede comparar las salidas de máquina de las regresiones individuales y conjunta. 129
  • 130. Consecuencia sobre Omisión de variables importantes: Los coeficientes estimados de todas las otras variables será sesgadas e inconsistentes a menos que no exista correlación entre las variables (View / Coefficient Test / Omitted Variables–Likelihood Ratio) Ho=No omisiòn una variable. p-value=0 0% probabilidad de que no se omite una variable. Es decir, la especificación de la variable es la correcta (ejemplo págs. 150-152 texto Julio Fábris) View / Coefficients Tests / Omitted Variables – Likelihood Ratio. Consecuencia de la inclusión de una variable irrelevante: El valor esperado de su parámetro tiende a cero…estimador consistente e insesgado pero no eficiente. (Errores estándares inflados). Ho= variable redundante si p-value = 0,63 hay 63% probabilidad de que la variable es redundante. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 130
  • 131. Omitted Variables – Likelihood Ratio View / Coefficient Tests / Omitted Variables – Likelihood Ratio
  • 132. Ho=No se está omitiendo la variable.
  • 133. Redundant Variables – Likelihood Ratio
  • 134. Ho = la variable consignada es redundante
  • 135. Especificaciòn de la variable: Ramsey RESET (Regression Specification Error Test) … test que incluye: Variable omitidas: la no inclusión de todas las variables relevantes Forma funcional incorrecta: o sea que alguna de todas las variables debería ser transformadas a logaritmos, potencias, recíprocos, etc. Correlación entre las variables explicativas y el término de error: que puede ser causada entre otras razones por errores de medición, presencia de variables rezagados de la variable dependiente o correlación serial de las perturbaciones. Cualquiera de estos errores determinará el sesgamiento e inconsistencia de los estimadores MCO y la no validez de la inferencia estadística. View- stability test / Ramsey RESET test…number of fitted: 2 es decir cuadrado y al cubo de la variable dependiente pronosticada. Ho= especificación correcta p- value=0,0000 0% probabilidad de que la especificaciòn es la correcta, es decir, no es correcta. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 135
  • 136. Especificaciòn de la variable: Ramsey RESET (Regression Specification Error Test) … test que incluye: Por ejemplo, probemos lo que sucedería de haber especificado nuestro modelo como: Yt= α * X1t µ * X2t λ* X3t λ *εt Lo cual puede linealizarse como: Log Yt= log(α) + µ log(X1t) + λ log(X2t) + λ log(X3t) +log(εt) Para estimar el modelo, se debe incluir en la ventana: Equation Specification: CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 136
  • 137. Especificaciòn de la variable: Ramsey RESET (regresion specification error test) … test que incluye: CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 137
  • 138. Especificación de la variable: Ramsey RESET (Regression Specification Error Tst) … test que incluye: CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. 138 View-stability test / Ramsey Reset test…number of fitted: 2 es decir cuadrado y al cubo de la variable dependiente pronosticada. Ho= especificación correcta p-value=0,0000 0% probabilidad de que la especificación es la correcta, es decir, no es correcta. Aparte de las estimaciones de los coeficientes que son completamente distintas de las utilizadas en la creación de la variable Y, un test RESET de especificación cuya Ho=especificación regresada es la correcta, indicaría rechazar este supuesto.
  • 139. Ramsey RESET Test Ho = Correctamente especificado Test general de especificación del modelo.. Es decir, indicaría rechazar este supuesto. Ho=especificación regresada es la correcta…indicaría rechazar este supuesto.
  • 140. Pruebas de estabilidad de las variables: los parámetros β1 β2 β3 deberían ser constantes para la muestra entera para que sea eficiente las estimaciones. Dividir la data en sub períodos y estimar hasta tres modelos Prueba de Chow: Estimar la regresión sobre el período completo y por los dos subperíodos separadamente (3 regresiones) obtener RSS. Prueba F Prob debe ser cercano a cero para que el resultado sea rechazar la Ho de no shocks en la data (Ho = no break: α10 =α20, α11 =α21, etc. Ha = break: α10 ≠ α20, α11 ≠ α21, ) . Luego de hacer la regresión … opción View / Stability Diagnostics / Chow Break Point test. Se ajusta la regresión para cada muestra y se determina si hay diferencias significativas en las ecuaciones estimadas. En caso de haber diferencias significativas se indica que hay un cambio estructural en la relación…Ejemplo: determinar si la función de demanda por energía es igual antes y después del shock. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Forecast Quiebre=1996 Q1n1 n2 Quiebre=1996 Q1n1 n2 RSS3 / n2-k-1 140
  • 141. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Ejemplo: p-value=0,3014 30,14% probabilidad de caer en Ho, es decir… no hay shocks!!! Ejemplo: p-value=0,0000 0,0% probabilidad de caer en Ho no hay shocks es decir hay shocks 141
  • 142. Chow Forecast test: Similar Ho de no cambio estructural en la data o no shocks (H0 = no break: α10 =α20, α11 =α21, etc. Ha=break: α10 ≠ α20, α11 ≠ α21, ). Luego de hacer la regresión … opción View / Stability Diagnostics / Chow Forecast Test. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Pvalue=0.8471 de probabilidad de caer en Ho es decir no hay cambio estructural.. Se puede estimar 142
  • 143. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Pruebas: Hipótesis Nula – metodología Hipótesis Alterna Prueba t Ho=α o β =0 Ha≠α o β≠0 Prueba F Ho=α=β=0 es como probar que H0: R2=0 Ha≠α≠β≠0 Multicolinealidad (relación lineal entre las variables explicatorias) a) R2 elevado pero pocas razones t Significativas b) Ver correlación entre regresores (>0,8 existe multicolinealidad). c) Efectuar regresiones auxiliares con las diferentes variables explicatorias. Nota: un R2 alto acompañado de estadísticos t poco significativos podría ser un síntoma de alta correlación entre variables explicativas. Recomendación eliminar alguna de las variables que presentan alta correlación. Cómo se elimina: Eliminando la variable colindante. Heteroscedasticidad View/Residual Tests / White heteroskedasticity (no cross terms) Aunque sean insesgados y consistentes deben tener σ2 mínima. σ2 es el ruido estadístico mientras menos sea más confiable es el valor obtenido. Prueba de White o graficar residuos y ver comportamiento (patrones: Gujarati p.401) Ho=Modelo Homocedástico Ha=modelo Heteroscedástico Cómo se elimina: Aplicando logs o incluyendo otra variable explicatoria. Autocorrelación (ACR) Relación entre los residuales View/residual test/Serial correlation LM test a) Resid=resid(-1) y ver R2 si es alta hay ACR (ver también scatter plot, si hay concentración hay ACR) b) Breusch Godfrey (N*R2) p-value (Ho=No ACR entre residuos) c) Otra prueba: Durbin y Watson (D&W) Ho=No ACR entre residuos (a veces no muy concluyente) DW=0 ACR perfectamente (+) DW=2 No autocorrelación en los residuales DW=4 ACR perfectamente (-) Ha= existe ACR entre residuos Cómo se elimina: Utilizando rezagos (probar los más óptimos con los criterios de Akaike y Shwarz) 143
  • 144. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Pruebas: Hipótesis Nula – metodología Hipótesis Alterna Regresión Espúrea Diebold and Granger (Gujarati, 2006. pp 493) R2 > d (estadístico Durbin y Watson) -- Regresión espúrea Rule of Thumb to suspect nonsense regression (non stationary time series). Normalidad Residuos Jarque Bera test: Ho= Normalidad residuos Normalidad… Kurtosis tiende a 3. (Kurtosis-3=0) Ha=No Normalidad residuos Cómo se elimina: Extraer outliers a través del uso de variables Dummys. 144
  • 145. Resumen de Ho (se recomienda la aplicación del p-value al 95% nivel de significación) CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Pruebas: Hipótesis Nula – metodología Hipótesis Alterna Especificación del error de la regresión (Test general de especificación del modelo). Trata tres cosas: a) variables omitidas b) Forma funcional correcta (alguna o todas las variables deben ser transformadas a logs, potencias, recíprocos, etc.) y c) Correlación entre X´s y término error causada por errores medición, presencia variables rezagadas de la variable dependiente o correlación serial de las perturbaciones. View- stability test / Ramsey Reset test…number of fitted: 2 es decir cuadrado y al cubo de la variable dependiente pronosticada. Ramsey RESET Test Ho = Correctamente especificado Test general de especificación del modelo O similarmente:Ho=especificación regresada es la correcta RAMSEY RESET Test Ha = No correctamente especificado Cambio estructural (Chow Breakpoint test) Ho= No cambio estructural en la data o no shocks (no break: α10 =α20, α11 =α21, etc. Ha=break: α10 ≠ α20, α11 ≠ α21, ) Ha=break: α10 ≠ α20, α11 ≠ α21, ) Raíces Unitarias (prueba de estacionariedad de las variables). Necesario que sean estables (media y varianza constante). Estacionarias. Prueba ADF (Dickey Fuller Aumentado) Ho = Raíz Unitaria (dato no estacionario). ADF Ha ≠ Raíz Unitaria (dato estacionario). Variables omitidas Ho=No se está omitiendo la variable. Ha = Se está omitiendo la variable Variables redundantes Ho = la variable consignada es redundante Ho = la variable consignada no es redundante 145
  • 146. Quick / Estimate Equation… y ajustemos en la ventana Sample la muestra como 1993q1 a 2005q4 limitando nuestra muestra al 4 trim 2005 y con ella, realizamos la estimación de los coeficientes del modelo Para hacer pronóstico fuera de muestra: Forecast .. forecast sample comenzamos con el período siguiente al último de la muestra utilizada para estimar los coeficientes. Fuente: Fabris, Julio: ejemplo Capítulo 5 pbi resuelto capítulo 5.wf1 Pronóstico 146
  • 147. Static Forecast Static Forecast: El valor usado es el verdadero valor de la variable (suponiendo que estén disponibles, con lo cual el pronóstico, aunque se extienda por varios períodos, en realidad es un pronóstico un período hacia adelante. (más ajustado, ya que en realidad actualiza los verdaderos valores del término AR(1) perído a período 147
  • 148. Dinamic Forecast: Se usa el valor pronosticado de la variable con lo cual los errores aumentan. Tiene proporción de desvío (bias) demasiado grande, con lo cual se caracteriza por un mal pronóstico Dinamic Forecast: Subestima sistemáticamente el valor de la variable pronosticada 148
  • 149. Pronóstico CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Mediciones de efectividad y error de pronóstico : Error de pronóstico: Diferencia entre el valor pronosticado por el modelo y el valor observado de la variable dependiente. Si llamamos T al último período utilizado para estimar el modelo, los pronósticos se harán para los períodos posteriores y, por lo tanto, el error de pronóstico se calculará para un período T+t con t=1, 2, ….n Si el superíndice P refiere al valor pronosticado y el superíndice O al valor efectivamente observado, el error de pronóstico será: eT+t = YP T+t- YO T+t Evaluación de pronósticos: La magnitud que se tiene en cuenta para la evaluación de los pronósticos es la varianza del error del mismo, la cual puede medirse mediante la llamada Raíz del Error Medio Cuadrático de Pronóstico (RMS – Root Mean Squared Error), que es simplemente la raíz cuadrada de dicha varianza evaluada en el horizonte de pronóstico. Si n son los períodos que constituyen dicho horizonte: Forecast U de Theil U de Theil (econometrista) varia entre cero y uno, correspondiendo valor cero a un pronóstico perfecto. Se descompone en tres partes: a) Proporción de desvío (Bias Proportion): Cuánto difiere la media de los valores pronosticados, respecto a la media de los valores observados b) Proporción de Varianza: Cuando difiere la varianza de los valores pronosticados, respecto de la varianza de los valores observados. c) Proporción de Covarianza (las tres suman 1): mide los errores de pronóstico no sistemáticos remanentes. Si el pronóstico es bueno, la proporción de Covarianza debería concentrar la mayor parte del error, mientras que las proporciones de desvío y de varianza deberían ser pequeñas. 149