1LógicConjunENCA.pdf

:':.:
1t
t
I
:i; : -{
-ffi-. ,
F;*ii
...+
:
dg'*
::
i,".?#
:l -'':-"=J
rc
E:'::l::::::':='':'
Fh -q
4F=,i,.
,-=i€:=r=-=hrrl
:=::j:: . ]rq4#E
j il
4;l
'1
)
I
--)
ffi>q-. i
=:
#+ i .-::
- +rFF
E -5: El4. _
'*r-- ==:
i E' t

1
ESCUEI.A NACIONAL CENTRAL DE AGRICULTURA
t'l ' Ar''
' Abrl Aluo fl/lnrales la'n^|'o
Cr/ ,lov' c/2 +
Aritm6tica y Algebra para estudiantes
de Agronomia y Dasonomia
Guia de Estudio
h:-'"-**

o
n
f+
Guia Matem6tica
..........,.....8
UNIDAD {
LoGICA SIMBOLICA Y CONJUNTOS
1.1 LOGTCA... ... .... 12
DEFIN|CION..... ...........12
UTILIDAD, PRINCIPIOS Y ESTRUCTURA, .......12
CONCEPTO... .. . .- 12
JUICIO. --..13
RAZONAMIENTO. , ... .,, . 13
LA LOGICA PROPOSICIONAL ... ,,. . 17
PROPOSTCIONES .. -....17
VALORES DE VERDAD... ......18
TIPOS DE PROPOSICIONES... ... ....18
NEGACION DE UNA PROPOSICION ,. .,... 18
POSIBILIDADES LOGICAS O INTERPRETACIONES.,. . . ,... 21
TABLA DE VERDAD...... ,.....,22
TIPOS DE PROPOSICIONES COMPUESTAS BINARIAS .. .,.23
A) LA CONJUNCION O PRODUCTO LOGICO ...-.....-.23
n) orsvuructoN o suMA LoGlcA. .---.....23
ci m tMpltcActoN o coNDlcloN LOGlcA ....25
vAIOn DE VERDAD DE LA IMPLICACION, ,.,..,25
D) DOBLE IMPLICACION O EQUIVALENCIA LOGICA. ..........27
SATISFACIBILIDAD Y VALIDEZDE PROPOSICIONES ,.,,,,29
COMPUESTAS., . ... 30
........ 33
VALOR DE VERDAD Y VALIDEZDE ARGUMENTOS DEDUCTIVOS.....36
METODOS PARA ANALIZAR LA VALIDEZDE
ARGUMENTOS DEDUCTIVOS.,. .;....,. ^...36
1.2 CONJUNTOS. .....-47
REpRESENTACION DE coNJUNTos Y sus ELEMENTos... . ... ...47
CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO....., ,.....,...47
PERTENENCIA. ...:.... ,.,,.,,,,..47
FORMA DE DEFINIR O DETERMINAR UN CONJUNTO. ...,..,47
TIPOS DE CONJUNTOS. .....,,49
SUBCONJUNTOS: .... '...' 51
CoNJUNTO POTENCIA... . -.. . 52
OPERACIONES CON CONJUNTOS... ...,,53
INDICE
a

Guia Matem6tica
B) TNTERSECCTON. .......54
E) PRODUCTO CARTESTANO. ....... 56
UNIDAD 2
CONJUNTOS NUMEruCOS
2.1 DESCRTPCTON... ....68
CoNJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES (N). .,.. 68
CoNJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS {Z).. . .... 6e
l-J coNJUNTgDE LOS NUMEROS RACTONALES (a). .,.. ...6e
r I A) NOTACION.. ...........7A
B) TERMTNOS DE UNA FRACCTON.. ........70
c) N0MENCLATURA . ... .71
D) INTERPRETAC1ON ..-......71
E) CLASES DE FRACCTONES.... .....71
F) NUMERO M|XTO.. .............71
CoNJUNTO DE LOS NUMEROS TRRACTONALES (r) ..... 72
CoNJUNTO DE LOS NUMEROS REALES (m) ........ 72
NUMEROS NATURALES...... 73
NUMEROS ENTEROS . ,,..,75
NUMEROS RACIONALES.. ,.,...,.,.76
NUMEROS REALES. .,...,76
2.3 FACTORIZACION DE NUMEROS.. ,,. 77
DlvtsoR- ........."...77
MULTIPLO .......77
FACTORTZACTON,.. .. .. 77
NUMERO UNITARIO ....77
NUMERO PRIMO. ....,., 77
NUMERO COMPUESTO... .....,.. 78
DtvtstBrLtDAD.. .........78
ALGUNOS CARACTERES DE DIVISIBILIDAD.. ...,-.....78
SIMPLIFICACION DE FRACCIONES. .....79
MiNrMo coMUN MULTTPLO . ... ...... 81
NUMEROS PRIMOS RELATIVOS ENTRE Sf.... ....,.... 83
2.4 oPERAC|ONES.. ............84
JERARQU|n OprRRrVA... . ... ... ....84
VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO... ........... 85
OPERACIONES CON NUMEROS NATURALES... . .. .....85
OPERACIONES CON NUMEROS RACIONALES., . ... ... 90
APROXIMACION DE UN NUMERO POR REDONDEO. ....... 97
H
t-t
l*, f;* rJ, _*--S

o
n
-{
ir-{
r!
F{
Gufa Matem5tica
UNIDAD 3
PROPOREIONALIDAD
3.1 DEF|N|C|ONES. .... 106
CANTIDAD 106
MAGNITUD...... .....106
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES... ,.107
3.2 VARIACION PROPORCIONAL. ... 108
VARIACION INVERSA..... ....1rc
3.3 REGLA DE TRES. .. 118
METoDoLocin GENERAL PARA SoLUCIoN DE
PROBLEMAS DE REGLA DE TRES. . ... ...,119
3.4 ANALISIS ESTEQUIOMETRICO Y CONVERSIONES ,.129
FACTOR DE CONVERSION. . 130
METODOLOGIA GENERAL AL UTILIZAR FACTORES
DE CONVERSION. ,.,.,,.131
3.5 TANTO POR CIENTO O PORCENTAJE.... ......... 136
3.6 INTERES SIMPLE...... .. 146
UNIDAD 4
EXPRESION ES ALG EBRAICAS
4.1 TERMrruolocln ... 1s3
TERMINOS SEMEJANTES. ... 154
GRADO DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA. . ... ... ... 155
4.2POTENCIAS Y RADICALES... ........ ,...156
A) POTENCTAS. .. ... ... . 156
PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES.. ,....... 156
B) RADICALES.. .. 160
PROPIEDADES DE LOS RADICALES.,. ,.. , ,,. .,. . 161
FORMA ESTANDAR DE UN RADICAL.... ....... 163
RADICALES SEMEJANTES. .. 163
RACIONALIZACION .....164
RESUMEN DE LAS PROPIEDADES DE LOS
EXPONENTES Y RADICALES...... .. 166
4,3 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ..,,..,.. 172
A) ADTCTON O SUMA . 172
B) SUSTRACCTON O RESTA. . ... ... 173
c) MULTTPLTCACTON ... 173
c.1) PRODUCTOS NOTABLES...... ....... 174
o1 olvrsr0N. .. . . . .. 17a
4,4 EVALUACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ......182
4.5 FACTORTZACION ...187
4) FACTOR COMUN .... 187
B) FACTORTZACTON DE B|NOM|OS... .....18e
c) FACTORTZACTON DE TRTNOMTOS. .... 1e1
D) COMPLETACTON A TRTNOMTO CUADRADO PERFECTO. . .... 197
E) FAcTontznctOr.r DE TETRANoMtos,. ......199
4.6 FRACCIONES ALGEBRAICAS. ...,....,,206
SIMPLIFICACION DE FRACCIONES. .......206
ulnrrrro coMUN MULTtpLo ALGEBRATCO.. .1...... ....208
f
+ & f*"o:"

-{
rI]
t-l
z
Guia MatemAtica
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES.. .. .... 2A8
MULTIPLICACION Y DIVISION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. ,,.....211
FRACCIONES COMPLEJAS. .. ... ... ..212
UNIDAD 5
ECUACIONES E INECUACIONES
s.1 TERMrruolooh . ... 217
TGUALDAD .........217
ECUACTON..... ....217
PARTES CONSTITUTIVAS DE UNA ECUACION..... ...217
GRADO DE UNA ECUACION..... .,..217
neicEs o SoLUCToNES DE UNA ECUAooN...... ... 21a
CONJUNTO SOLUCION DE UNA ECUACION. ,,218
ECUACIONES EQUIVALENTES.,.... -...,,218
PROPIEDADES BE LAS ECUACIONES. ,.,....218
SoLUCToNES EXTRANAS. ......... 221
METoDoLoclA GENERAL pARA RESoLVER ECUACToNES. ....222
5.3 ECUACIONES NO LINEALES CON UNA INCOGNITA. ,,.,,....,.225
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. ....225
5.4 ECUACIONES FRACCIONARIAS. .....231
5.5 ECUACIONES CON RADICALES... .......-235
5.6 ECUACIONES LITERALES...... ...,..236
5.TAplrcncr0rl DE ECUACToNES coN UNA rurc6crurrR ........242
5.8 DESIGUALDADES E INECUACIONES ,.....248
DESIGUALDAD. .248
TNECUACTON... ....,.....248
PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES. ,...249
e
PROPIEDAD DE INVERSION...... .....,.,249
MulTrplrcncrOn DE UNA TNECUACToN
POR UN NUMERO NEGATIVO,,.....,. ......249
DEFINICTON Y REPRESENTACION GRAFICA DE INTERVALOS... ---..-.25A
INECUACIONES DOBLES. ..., ,...... 252
SOLUCION DE INECUACIONES LINEALES .....253
SOLUCION DE INECUACIONES CUADRATICAS Y RACIONALES.. ..,...254
RESPUESTAS A EJERCICIOS PARES,,. ... . .. - .. 258
BrBLroGRnrln. ;. ;.....1....27s t
fX, f /na-f
_ -+*_r:&_

GLiia Matem6iica
La Escuela Nacional Central de Agricultura -ENCA- se complace en
presentar la Gufa de Clase del Curso Matemdtica l, prbparada pcir el
lngeniero Agr6nomo Carlos Esduardo Ard6n Lopez, catedrStico de
esta casa de estudios, de acuerdo con las politicas Editor;iales
aprobadas por el Honorable Consejo Directivo'de la ENCA:
"Las gulas de clase se conciben como documentos en proceso de
preparaci6n que son utilizadas como apoyo al docente que imparte
una clase. La participacion del docente es necesaria para que el
estudiante pueda interpretar el documento complementario. Para
que cuenten con el apoyo institucional para su reproducci6n y
circulacion entre estudiantes del sistema educativo de ta ENCA,
finicamente ser6 necesario la aprobacion del Comit6 Editorial en lo
que respeda a su forma. La responsabilidad del contenido es
exclusiva del autor. Su circulaci6n ser6 restringida para estudiantes
del Sistema Educativo de la ENCA, mn fines exclusivamente
acad6micos, no comerciales."
El autor y el ComitS Editorial de la ENCA, agradecen aquellas
observaciones y sugerencias que puedan ayudar al mejoramiento de
esta gula.
COMITE EDITORIAL
ESCUELA NACIONAL CENTRAL DE AGRICULTURA
PnrsENTACroN

Guia Matemdtica
CoNSEJo DrRECTrvo
3r,,.lrii:t:iriii;ii'r5-{l;1.11 !Bir..:J
il-$"rl€fi'i-!liit'i;,1i.i,r
ffiff#
ffi
ffi
ffir

Guia Matem6tica
CoMrrE EuroRtAL
8
.F.&l+,..sJ
'F,li#
;i.:
ii

INTRODUCCION
Guia Matemdtica
El eje tem6tico de la formacion matem6lica en el marco de la formaciin
agricola y forestal al nivel de t6cnico est6 conformado por conocimientos
sobre l6gica, eonjuntos, aritm6tiea, 6lgebra, geometria, funciones,
trigonometria y nociones de cilculo diferencial e integral. Para su
desarrollo, se parte las nociones de cantidad y su generalizaci5n, espacio y
forma, cambios y relaciones, modelizaci6n y de la matematizacion el
contexto para resolver problemas. Esto constituye la idea de competencia
matem6tica, que consiste en que el estudiante adquiera la capacidad para
analizar, razonar y comunicar, eficazmente, sus ideas al tiempo que se
plantean, formulan, resuelven e interpretan problemas matemdticos en una
variedad de 6mbitos de aplicaci6n agroforestal; en concordancia con Ia
relaci6n interdisciplinar, multidisciplinar y transdisciplinar del marco
epistemologico de formaci6n.
Todo proceso pedagogico (objetivos, contenido, m6todos, evaluacion)
eficiente y eficaz, requiere tomar en consideraci6n cuatro elementos: la
planificaci6n estrat6gica de la instruccion, la estructura de los
conocimientos que conforman elcun[culo, e[ modo en que 6ste se produce
y el entramado social en el que se desarrolla el hecho educativo; de
manera que el proceso de ensefranza-aprendizaie, en lugar de ser
solamente un acto transmisionista y memorlstico de conocimientos, de
espacio a la reflexion, a la construcci6n permanente del conocimiento y la
formacion integral del estudiante.
En el marco de esta estrategia de formaci6n en matemitica, las nuevas
metodologias de ensefranza prcmueven la utilizacion de recursos
did6cticos encaminados a facilitar el proceso de aprendizale, de manera
que el discente previo a discutir los temas en clase, pueda leer, analizar y
reflexionar sobre el contenido, y que, durante el discurso pedagogico, dirija
sus sentidos mis a la comprension de los temas y sustentacion de
procesos de cdlculo que a la toma de apuntes. Asi, se persigue fomentar el
anSlisis critico, crear un ambiente 6ulico dindmico y participativo, un
espacio de construccion del conocimiento.
La antipatfa y consecuente rechazo de la matem6tica por nuestros
alumnos, hace pertinente la elaboracion de textos orientados a un campo
del conocimiento en particular, para agregarle a cada tema matemdtico su
relevancia prdctica. Si bien, el conocimiento matem6tico en esencia es
abstracto, la competencia matemitica en dreas de formacion tecnol6gica,
precisa abordar los conceptos matem6ticos no s6lo en sus propiedades
formales sino tambi6n en su extension, puntualizar en aqueilos hechos
donde Ia matem6tica cobra sentido, en tanto que el objetivo de su inclusi6n
en los curriculos no lo constituye el c(mulo de conocimientos, per se, sino
la vinculacion de 6stos con el quehacer cotidiano de los estudiantes para
garantizar un desempeflo socio-laboral satisfactorio y trascendente. Es a
partir de este contexto y de la concepci6n de la finalidad de Ia formaci6n en
matemdtica que se ha elaborado esta abra, la cual estd dirigida a aquellos

Guia.Matemdtica
aclrrrlianloc r{a t^iannicc rnrinniee rr faractaiac ria arlttoeniAn mariia
sv,,vv,sr J ,v,r.rrs,vu ve
superior, con conocimientos exiguos de logica simbolica, antm6tica y
:l^^L-^ l^^ ^..^l^^ ^^^ :^J:^-^^^^Ll^^ F^-^ ^^^a:^ ^l ^^+..1:^ J^
cUgtrurd. tu5 ,LtdrcD DU, I ItutJPEttSduttrJ Pcilcr uuilililLrdt uulI tr, trituutu utr
esta ciencia y promover capacidades de razonamiento que faciliten su
aplicaeien prdctica.
f ^r^ ^, ,-^^ /^ *^r^*:..^^ ^^- ^r r^^^--^rl^ a^ ^,. ^^-l^-.1^
L)rE UUt5U Ue ilrcrttrlildU(-d Prgtciluc uulr trt ue5dltuilu ue su LUntgiltuu.
proporcionar los elementos fundamentales de la estructura logica del
razonamiento, del lenguaje matemdtico, de la aritmetica y ia generaiizacion
de sus propiedades a trav6s det 6tgebra. Asi mismo, desarrollar actitudes,
conocimientos y procesos bSsicos sobre los que se construye la educacion
agroforestal. Para que el alurnno tome conciencia del proceso constructivo
de las matem6ticas para intervenir en la realidad, se estructuran ejemplos
y ejercicios extraidos del mundo rea! y de la diversidad de contextos, se
ilustran aplicaciones de [os principios teoricos para que el aprendizaje no
se limite a la memorfzacion de informacion sin una comprension adecuada
de los conceptos.
Al inicio de cada unidad se.presentan los objetivos, los cuales determinan
ei ca16cter insosiayable de ios temas que necesariamente deberdn
abordarse. Los aspectos claves, que constituyen la importancia y el
ca16cter l0gico que faciiitan el aprendizaje significativo, y, finalmente, ias
competencias -La integracion de los conocimjentos, habilidades y
actitudes de los estudiantes- que describen el desempefro satisfactorio
esperado en aquellos aspectos de la vida diaria y laboral que involucren la
utilizacion de la matemdtica que por tanto, brindan las directrices en cuanto
a la estrat6gica metodologica docente y de evaluacion del aprendizaje.
Esta cbra se ha realizadc con esfuerzo y dedicacion, esperando que llene
las expectativas de cada uno de Ustedes. Es el resultado de la experiencia
adquii-ida como esti.idiante universitario y caiedratico de matemSticas en la
Escuela Nacional Central de Agricultura, la cual no hubiera sido posible sin
ios aportes cje mis caiedrdticos de la'Facuitad de Agronomia y clei
Departamento de Postgrado de la Facultad de Humanidades de la
Universidad de San Cados de Guatemala; a todos muchas gracias,
particutarmente a Nuflo Reyes, Erlck Jacobs, Romeo Ruano, Emilsa
Solares y Miriam Argueta.
El autor
10

Guia Matemdtica
UNIDAD 1
y de conjur
I
11
r...ff,.i-$
Fffiffiffi
lat de la
,c (Je ta uuiloao ge la
-=nto

Guia Matemdtica
LOGICA SIMBOLICA Y CONJUNTOS
1.1 LOGTCA
Definici6n
Ciencia que estudia la estructura y relaciones del pensamiento en el marco de los
m6todos y prlncipios para distinguir un razonamiento correcto del incorrecto y
determinar el valor probatorio de su eontenido en cuanto a los elementos de juicio.
Utilidad, principios y estructura
En la vida cotidiana el conocimiento emplrico es superficial, indeterminado y confuso,
que no dice nada sobre la naturaleza o esencia del ser (objetos). Para conocer
realmente ai objeto es necesai'io estudiarlo y comprenderlo en todos sus aspectos y en
todas sus conexiones. Para realizar este proceso de conocimiento se tiene que saber
cu6i es la cualidad del objeto, heeho o idea, es decir, cu6les son sus caracteristicas
peculiares, su estruciura, su foi-ma, en suma, qu6 es io que permiie determinar que sea
logico o ilogico aquello atribuible al objeto. Al proceder asl se est5 haciendo logica. Con
relacion a esto Herdcltto escribio: "La mayoria de hombres no reflexionan sobre lo que
se les presenta, e incluso una vez instruidos, no comprenden, viven en la apariencia".
Siendo as[, el estudio de la logica permite pasar de la mera opinion al conocimiento
fundado y estructurado. lnduce a pensar de un modo preciso, con argumentos exactos y
ponderados porque penetra en la esencia de las cosas. Usar logica permite tomar
conciencia de la realidad y cambiar la actitud de ser un receptor de conocimientos, a una
actitud activa, divergente, reflexiva y critrca. Si bien es crerto que la logica no nos
ensefia a pensar, si nos revela la forma como procedemos cuando razonamos. Desde
esta perspectiva, el pensamiento responde a una estructura logica y a determinados
principios. La estructura b5sica de la logica estS constituida por el concepto, eljuicio y
el razonamiento. Esas leyes o principios que el ser humano sigue, consciente o
inconscientemente son. el principio de identidad, no-contradircion, del tercero ercluido y
el de razon suficiente.
Concepto
Es la representacion o abstraccion de un objeto en el plano de la razon. cuyc
contenido y extension es posible exteriorizar a traves de imdgenes, slmbolos, sonidos
y su definicion. La formacion de un concepto es un proceso cognitivo por el cual
nuesi-ra mente se apropia de ta reatrdad. ya sea para descubrirta o redescubrirla Et
contenido de un concepto comprende el conjunto de conceptos que se hallan
incluidos en su comprension (esencia y cualidades del objeto). La extension, en
cambro, abarca el conjunto de conceptos o cosas concretas a las que puede aplicarse
o atribuirse el concepto (caractei'isticas cuantitativas del objeto). Por ejemplo, ia
definicion para "produccion de hortalizas" puede ser:
12

Guia Matemdtica
Proceso sostenible y sustentahle que en condiciones de agricultura intensiva permite
obtener alimento para consumo humano a travtls del manejo agronomico de
fenomenos fisicos, quimicos y biologicos asociados al establecimiento, crecimiento y
fructificacion de plantas herbaceas de ciclo corto con irnportancia economica.
Observe que la definicion de "produccion de hortalizas" permanecer[a en lo
indeterminado, en el plano de lo empirico, sin decir nada del concepto; en tanto que el
sujeto cognoscente no comprenda aquellos conceptos incluidos en las cualidades
e.senciales del objeto definido, entre ellos, los de tipo biologico, fisiologieo, quimico,
flsico, tc5cnico, econornico etc. Por otro lado, vea que en la definicion fresentada, Ia
extension conceptual se realiza cuando el contenido expresa potenciainrente la
totalldad de especies que abarca.
Juicio
Es una verdad atribuida a un objeto afirmando o negando un modo de ser, una
cualidad o una acci6n a partir de la relacion con otros conceptos (predicado y copuia).
El juicio es una consecuencia del concepto. A partir de la mediacion de la copula, el
predicado expresa el contenido del juicio y hace una determinacion particularmente
lirnitada del contenido conceptual del objeto. Lo verdadero o lo falso tiene su
fundamento en el contenido y la extension del concepto, es decir, en el valor de
verdad que [e corresponde en funcion de su vincutacion con io real. En et srguiente
juicio, el objeto (hortalizas) se retaciona con dos conceptos, la copula (son) y el
predicado (saludables), que en conjunto reflejan la toma de posicion en torno ai
objeto.
C6pula
x
Las hartalizas son saludables
Predicado o sentencia
0bjeto
Razonamiento
Es un proceso mental individual propio de nuestra naturaleza pensante, encaminado a
enlazar juicios y generar otros de acuerdo con una funcion cerebral que en forma de
agudeza, agilidad, memoria y organizacion nos permite avanzar de juicio en juicio
hasta establecer Ia validez inteligible de una inferencia. Todo razonamiento conlleva
una inferencia, es decir. la emision de un juicio a manera de conclusion. Los
razonamientos tienen estructura y contenido. La estructura se refiere a las
caracteristicas Cel razonamiento producto de la interrelacion y del grado de
generalidad o particularidad de los juicios que lo conforman, asimismo, su Contenido,
a los conceptos utilizados. Por ejemplo el siguiente razonamiento es un silogismo,
deductivamente, v6ltdo. "E{ tornate es una hortatiza economicamente rentab{e, Cuando
no es atacada por enfermedades fungosas. Para evitar daric por enfermedades es
necesario contar con conocimientos de fltopatologia. Por lo tanto, srn conocimientos
de fltopatologia el cultivo de tomate no seria una actividad rentable,,.
Juicio
13

Guia Matemdtica
Por otra parte, los principios logicos o principios directores de{ conocimiento son los
que gobiernan el entendimiento humano entero, cualesquiera que sean los objetos a
los que aplica su actividad pensante. Son generalizaciones razonables y,
necesariamente, verdaderas sobre la esencia natural de la realidad que no requiere
de evidencia sensorial para comprobarlas (verdades a priori). Pclr ejemplo, a priori, los
siguientes enunciados son, razonablemente, verdaderos porque negarlos implicarla
una incongruencia, algo ilogico:
- El hielo es agua o no es hielo.
- No es posible que un Srbol seavegetal y que, alavez, no sea un vegetal.
- Los peces son animales o no son animales.
- Los hongos son vegetales y no son vegetales, por eilo, los hongos pertenecen al
reino Fungi.
El principio de identidad puede formularse asi: "Un ente siempre es igual a sl
mismo". Este principio est5 inmerso en cada uno de nuestros juicios, de manera que
la cosa de la que hablamos sea y permanezca idOntica a s[ misma, al menos con
relacion a los atributos que constituyen la esencia del concepto (definicion). Este
principio permite reconocer lo igual en la diversidad, el patron de similrtud entre las
cosas que en apariencia son diferentes.
El principio de no'contradiccion: "Siempre que un ente posea una propiedad, no
puede, a la uez, no tener'ta". constltuye la formutaclon negativa de [a aftrmaclon
expresada en el principlc de identidad. Con base en este principio logico, en la
actividad de pensar sobre algo, existen caracterfsticas que le son diferentes,
desconectadas y mutuamente excluyentes respecto de aqueilas que en esencia lo
determinan. 'y' cuya distincion repercute, ya sea en la verdad o faisedad de los juicios,
pero no ambas a la vez.
El principio del tercero excluido plrede enunciarse as[: "A un ente le corresponde la
afirmacion o la negacion de cierto atributo, no existe tercera opcion". Esto significa
que entre dos juicios contradictorios para una cosa, solo uno de ellos es verdaderc, ya
sea el que afirma o, bien, el que niega, entre ellos no cabe posrbilidad intermedia" En
condiciones de contradlccion indeterminada sobre io que se dice de una cosa, el
prlncipio del tercero excluido da lugar a ta posibitidad logica de ser verdadero o falso.
Preguntar: 6Por qu6? revela una exigencia natural de la. razon humana por encontrar
explicacion a experiencias sensoriales. De aqui que el principio de raz6n suficiente
planiee. "Todo lo que existe debe tener una razon necesaria y suficiente de
existencia". Todo efecto tiene una causa, una razon de ser. Este principio hace
explicita la interdependencia de todas las cosas y de sus interrelaciones reciprocas.
La funcion ciei principio de .azon suficienie en t6rminos generaies es dirigir la
bfsqueda de lo que no se conoce, o, de sustentar lo ya conocido; mientras que los
otros principios se refieren al andlisis de lo que se afirma o niega de un objeto
conocido, para deternrinar la vei-dad o la falsedad de lo que se diee sobre aquel.
14

Gufa Matemitica
Enfoques del estudio de la l6gica
La logica tradicional (aristot6lica), la logica dialectica y la logica matem6rtica o
simbolica son tres enfoques del estudio de la logica. La dilerencia entre la logica
tradicional y dial6ctica estriba en la interpretacion que se hace de los pi-incipios
iogicos. La diai6ctica no niega los principios de ia logica tradlcional, sino que plantea
otra forma de interpretacion para utilizarlos en forma tal que nos lleve a una
comprension m6s certera de la realidad. Desde la perspectiva cje la logica tradicional,
el principio de identidad y el de no-contradiccion, brindan un car6cter eternamente
inmutable a las cosas; mientras que el del tercero excluido, descarta la posibilidad de
opcion intermedia entre lo que se afirma de una cosa y su correspondiente negacion.
En logica dialectica, la existencia misma de las cosas es un proceso ininterrumpido de
transformacion en el tiempo. La dial6ctica es el estudio de las contradicciones dentro
de la esencia misma de las cosas. Y es esa contradiccion que subyace en la
identidad, ese contrario que subsume; la responsable de Ia din6mica del conocirniento
(Ley de la Contradiccion y de la negacion de la negacion). Esta perspectiva ayuda a
luchar contra todo lo que se opone al progreso, contra todas aquellas manifestaciones
de estancamiento, conservadurismo y dogmaiismo (Todo debe explicarse a partir de
lo que ya existe). Parafinalizai-, gracias a que los ordenadores estdn engranados a un
mecanismo de si o no, es que a[in no tienen capacidad de aprender y por
consiguiente de transformar la realidad. Aun rnas, de nada sirve conocer ta realrdad si
no conlleva transformarla.
En la logica tradicional tanto la estructura como el contenido del razonamiento son
importantes e insepar"ables. El objetivo de la logica sirnbolica es expresar,
matemdticamente, ia naturaleza y con ella la realidad y el pensanriento. En su
b0squeda de precision y univocidad, para la logica matemitica, estructura y contenldo
son dos caracterlsticas del razonamiento las que pueden expresarse separadamente,
dando paso a las variables proposicionales, la negacion, ios conectivos logicos, los
simbolos de agrupacion y las tablas de verdad. Aun cuando Ia logica matemStica hace
referencia solamente a la estructura del razonamiento y en sus reglas deductivas,
esta se relaciona de modo paralelo con la tradicional, como en el caso del 6lgebra con
la aritm6tica. Por ejemplo, cuando se establece la relacion de equivalencia entre la
suma de dos naranjas (x) o tres manzanas (y). 2+3=S+2, en logica maternStica no
interesa que sean naranjas o manzanas, sino las relaciones formales o caracteristicas
generales como x+y=y+x; porque una vez establecidas, seran vSlidas para todos los
casos en que se efect0en mfitiples reemplazos de x y y Por ello, la logica
matematica constituye una ampliacion y profundizacion de la logica tradicional a
trav6s un lenguaje simbolico, sobre la base de los principios logicos y ias reglas de
inferencia deductiva. Consecuentemente, la logica matemStica proporciona una serre
de simbolos, un lenguaje que permite estudiar con seguridad Ia matematica. Los
slmbolos mas comunes del lenguaje rnatemdtico son.
l5

Guia MatemStica
iarl : -,.4 C':
a. Conectores logicos
e Si y solo si
t Si... entonces...
nY
v O inclusivo.
c. De Agrupaci6n
( ) Pardntesis
t I Corchetes
{ } Llaves
e. Operadores.
+ M6s
Menos
+ Dvisi6n
A Diferencia simdffica
{ Raiz cuadrada
n Intersecci6n
U uni6n
Negacion
b. Del alfabeto:
Castellano:
A, B, C, ... s, r, s, t, u, v, w, x,yrz
Griego:
0,Tc,?v,y,a,B, e, 5,$, Y, p, f)
d. Cuantificadores:
Para todo ...
Existe al menos 11110 ...
f. De relaci6n
lgual que
No es igual que
Es un subconjunto de ...
No es un subconjunto de
Pertenece a ...
No pertenece a ...
menor que
mayor que
V
f
=
C
C
€
*
Por ejemplo, en logica matemdtica, los cuatro principios logicos pueden enunciarse
as[. ldentidad. p<>p, no-contradiccion: -(pn-p), tercero excluido. (pv-p), razon
suficiente. (pn-p) =r.
El Smbito de estudio de ia logica matem6tica o simbolica comprende la logica
cuantificacional, ia logica de clases y la logica proposicional. Logica cuantificacional
trata de las proposiciones y de sus combinaciones considerando su composicion en
sujeto y predicado, dando especial atencion a aquellas proposiciones cuantificadas
que contienen t6rminos como tcdos, ningfn, algunos, etc., y a los simbolos que las
representan; los cuantificadores (x, !-x, Vx). Por ejemplo la proposiclon: "Algunas
frutas son sabrosas" si el sujeto "fruta" se i'epresenta con x y el predicado "sabroso"
con F, la proposiciQn en forma simboiica es: (3x) Fx. es decir, existe al menos una "x"
(fruta) tal que "x" (fruta) es sabrosa. En cambio, la funcion de la logica de clases es
auxiliar ei andlisis matemdtico de ia logica. La logica de clases estudia ia composicion
de las proposiciones, es decir. las relaciones formales existentes entre los t6rminos
dentro de sus proposiciones, no desde el punto de vista de su contenido sino de la
extension de los conceptos. En ese sentido por clase debemos entender la extension
de un concepto. Fue George Boolle quien desarrollo sus notaciones, por ello el
6lgebra de clases se ha liamado 6igebra Booleana, la cual consiste en la
slmbolizacion de los vlnculos o conexiones entre ciases.
ID

Guia Matem6tica
La l6gica proposicional
La l6gica proposicional es la manera m6s sencilla de logica simbolica, la cual parte del
uso de proposiciones o enunciados interrelacionados a trav6s de conectores u
operadores logicos, de manera que de proposiciones simples, construyamos
proposiciones compuestas. El objeto de estudio de la l6gica proposicional son las
proposiciones y los razonamientos, determinando, me'fodol6gicamente, la verdad,
falsedad o validez de los mismos. Estudia las relaciones permisibles entre juicios para
representar razonamientos deductivos de una manera formal y los fundamentos
relacionados con su validez, relativo a la estructura mds que al contenido semdntico.
Proposiciones
En matemdtica los razonamientos logicos se realizan utilizando cierto tipo de
oraciones llamadas proposiciones. En este sentido, la proposicion constituye la
expresion deljuicio.
,/
Definicion
Una proposiciSn es una oracion o enunciado que afirma o niega
algo, de Io que podemos decir, si es falso o verdadero; pero
nunca las dos cosas al mismo tiempo.
//
Algunos ejemplos son:
1. Todos los numeros primos son impares.
2. Me gusta estudiar Dasometria.
3. 9 es multiplo de 3.
4. De los 6rboles se obtiene madera.
5. El se fue al m6dulo de producci6n de ganado menor.
6.x+8=17
7. Ese Srbol es un ciprds.
Los enunciados 1,2,3 y 4 son proposiciones puesto que se caracterizan porque son
verdaderas o falsas, pero no las dos cosas al mismo tiempo. En cambio, los enunciados
como el 5,6 y 7, se denominan proposiciones abiertas, porque contienen t6rminos
imprecisos llamados variables. En este caso la verdad o falsedad depende de la
determinacion de la variable. En el caso particular de la ecuacion x + B = 17, Ssta
constituye una proposici6n abierta en forma de igualdad.
Una expresion de la cual no se pueda decir si es falsa o verdadera, no es una
proposicion ni tampoco una proposicion abierta. En estas no es posible sustituir una
variable o el elemento impreciso, por un elemento fijo. Ejemplos:
17
Definicion
Una pfqpgsteEn- abierta .es una oracion o enunciado que contiene terminos
desconocidos o imprecisos, que al ser sustituidos por un valor fijo o palabra
determinada, hacen que la oracion se convierta en proposici6n.

Guia Matem6tica
1. ; Ad6nde va usted?
2. Los frutos dbl 6rbol.
3. Las plagas de los cftricos.
4. a,Cuitl es la plaga de mayor importancia?
Valores de verdad x
La palabra verdadero {v) o falso (0 que pueden asignarse a una proposici6n reciben el
nombre de valores de verdad o valores de certeza. Las proposiciones se representan
con letras min(sculas como p, cl, r,... La proposici6n " 7 es un n(mero primo"
podemos simbolizarla por p asi:
p: 7 es un nfmero primo.
Tipos de proposiciones :
En la vida cotidiana, la matem6tica y la ciencia en general encontramos dos clases de
proposiciones: las proposiciones simples y las proposiciones compuestas o funciones
de verdad. Las proposiciones simples constan de una oracion gramatical
independiente; es decir, no contienen elementos de enlace como: y, o, ni, pero,. si y
s6lo si, entonces; los cuales son llamados conectivos l6gicos. En cambio, las
proposiciones compuestas constan de dos o mds proposiciones simples unidas o
conectadas por una o varias de las palabras anteriores. Las palabras o letras que se
emplean en el lenguaje corriente para conectar o ligar proposiciones simples, tambi6n .,
pueden expresarse en forma simbolica: y (n), o {v), si... entonces (=), si y s6lo si i
te/.
Por ejemplo, en la siguiente lista de proposiciones, algunas son simples y otras son
compuestas. Para el caso de proposiciones compuestas ;Cu5ntas y cudles son las
proposiciones simples?, representarlas en forma si mbdlica,
1. f. La chinche salivosa es un hom6ptero. (Simpfe)
2. tt De la leche se puede obtener queso o crema. (Compuesta)
3. h. El potasio es un elemento primario. {Simpte}
4. i Si sobre dosificamos al utilizar insecticidas, entonces, destruimos el ambiente y
se induce la resistencia genEtica. (Compuesta)
Negaci6n de una proposicion -1
La negaci6n de una proposicion es falsa, si la proposici6n es verdadera; pero si Ia
proposicion es falsa, la negaci6n es verdadera. En este sentido, la negaci6n cambia el
valor de verdad a la proposici6n. La negacion de una proposici5n es independiente al
hecho de negar o afirmar algo, es decir no debe conftrndirse lo afirmativo con lo
verdadero y lo negativo con lo falso.
Forma gramatical
No es verdad que..., No, Ni
Sfmbolo l6gico
-t t!
18

p -0
V f
t V
Gufa Matem6tica
Ejemplos.
1) Aflrmativa y verdadera
p: El nombre cientlfico de la lechuga es Lactuca sativa.
- p: El nombre cientifico de la lechuga es Macadamia integrifalia. (Afirmativa y falsa)
2) Afirmativa y falsa
q.Talar inacionalmente el bosque favorere al ambiente.
- q: Talor irracionalmente el bosque no favorece al ambiente. (Negativa y verdadera)
3i Negativa y verdadera
r. La abela no es un ariicnido.
- r. La abeja es un ardcnido. (afirmativa y falsa)
Al desarrollar demostraciones l6gicas, a veces es necesario hallar la negaci6n de
proposiciones universales como 6stas:
g: Todos los nfimeros primos son impares. ( f )
fi: Todo guatemalteco es centroamericano. ( v )
Naturalmente, la proposici6n g es falsa porque si analizamos detenidamente
encontraremos al menos un nfimero primo que es par (el 2). Por lo tanto, podriamos
formar su negaci5n escribiendo lo siguiente:
-'g: No todos los numeros primos son impares. ( v )
Sabemos que todos los guatemaltecos son centroamericanos, por etto, la negaci6n de h
podrfa ser:
rfi: Ningfin guatemalteco es centroamericano. ( f )
Veamos que la negaci6n de la proposici6n abierta p: Ese tractor es de color rojo, serla
--pr Ese tractor no es de color rojo, porque en el caso que Ia proposicidn p fuera
verdadera, -p tendr[a que ser falsa o al contrario- La lndeterminaci6n contenida en "ese
tractor'' hace imprescindible utilizar la palabra "no" en la negaciSn. Decir que la negaci5n
de p es -.,p: Ese trador es de color verde, seria un enor a,Por qu6?.
Ahora bien, si la proposici6n p es, p: Los insectos tienen tres pares de patas,
entonces la negacidn de la negaci6n de p serfa, gramaticalmente, la misma, lo que en
forma simb6lica serla. --(--p) = p.
Simbolos de agrupaci6n
Los slmbolos de agrupaci6n son los par6ntesis, corchetes, llaves o banas que se utilizan
para especificar la procedencia u orden de veriflcaci6n de los conectivos l6gicos en
proposicioRes compuestas formadas por un conjunto de proposiciones binarias (dos
proposiciones simples). El nombre de una proposlcion compuesta binaria estd en
funci6n del conectivo l6gico. Para el caso de una proposici6n compuesta por un
complejo de 6stas, el nombre queda definido por el conedivo l6gico principal. Para
referirnos conectamente a una proposiciSn compuesta compleja, debemos hacer uso de
19

Guia Matem5tica
los slmbolos de agrupaci6n que sean necesarios para que la interpretacion de la
proposici6n sea tinica y estd bien formada. Por ejemplo la proposici6n: - p Aq + rv s
no estS bien formada porque no define, claramente, cuSl es el conectivo l6gico principal.
En este caso hay varias posibilidades, veamos:
{ : (- p Aq)+ (rvs) El conectivo logico principale.r " + "
b:- pnl1+(rvs)f ft conecrivol1gico principal es"A"
. :
[ (- p n q)+
"]
v, El conectiva tdgico principal e,s
uV u
Como podemos apreciar en el ejemplo anterior, los sfmbolos de agrupaci6n son
auxiliares que permiten precisar el uso de los conectivos l6gicos, pero tambi6n
definen el alcance de la negacion de proposiciones. De acuerdo con el ejemplo
anterior:
$: - p A[a =+ (r v s)] La negaci6n s6lo afecta la proposicihn p
: (p n q) + ('-r V -s) La negaci*n ofr"to a las praposiciones : r,s
6 : -[ (r n a) =+ ,] v, La negacidn sdlo afecta al conecrivo " + "
{-l:-{[(pnq)*,]vr] Lanegaciilnsdloafecta al canectivo"V" (conectivo principal)
Cuando los simbolos de agrupaci6n estSn bien situados, a cada proposici6n
compuesta compleja le conesponde un 0nico Srbol sint6ctico y a cada drbol sintdctico
fnica proposici6n compuesta. Por ejemplo, el 6rbol sint6ctico que corresponde a la
proposici6n compuesta ri:;{-plr4}.+{rv;} es:
ler. mvel
nir,el
*/u*ro nirrd
Segun el conectivo logico principal (ultimo nivel), la proposicion compuesta anterior es
una implicacion. Se deja al estudiante elaborar los arboles sintdcticos de i y O Luego
obtenga Ia proposicion compuesta que corresponde a los siguientes drboles
sintdcticos.
s
I
I
/
P ada.
pq
lr
tt
{r} I
ot

II
6]l I
t
rr-+
f .s
r/ /
*"*/
p
p
,/l
fn

Guia Matemitica
Posibilidades l6gicas o interpretaciones
En l6gica proposicional resulta de inter6s analizar la estructura de proposiciones
compuestas y argumentos sin importar el contenido sem6ntico de las proposiciones
simples que las conforman. O bien, para interpretar el valor de verdad de las
proposiciones compuestas por proposicionales, en las cuales, el valor de verdad es
indeterminado. Proposiciones con valor de verdad conocido no generan posibilidades
l6gicas. En este sentido, las posibilidades logicas son las distintas combinaciones en
cuanto a valores de verdad que pueden presentarse cuando tenemos una, dos o mis
proposiciones simples sujetas a dos interpretaciones, ser falsas o verdaderas.
Veamos:
a. Si tenemos una proposici6n simple p, entonces, s6lo hay dos posibilidades, verdadero
o falso.
p Numero de posibilidades logicas
2
f
Si la proposlcion es compuesta, entonces, su valor de verdad se analiza teniendo en
cuenta el valor de verdad de cada una de las proposiciones simples que la fomran,
El cuadro siguiente nos muestra las posibles combinaciones en los valores de
verdad de una oroposicion compuesta de dos proposiciones simples p y g.
p q Combinaciones posibles Posibitidades logicas
Las dos son verdaderas
4
V f p es verdadera, g es falsa
t p es falsa, g es verdadera
f f Las dos son falsas
b.
Numero de posibilidades l69icas.
Para una proposicion compuesta por n proposicr'ones simpfes, el nrjmero de
posibilidades logicas (C) est6 dado por:
Compruebe el alumno que, si la proposicion compuesta tiene 3 proposiciones
simples, el nfimero de posibilidades l6gicas es 8.
1t

Gula MatemAtica
Tabla de verdad
Una tabla de verdad es un arreglo rectangular de filas y columnas que muestra si una
proposici6n es verdadera o falsa para cada posible combinaci6n de verdad o falsedad
de sus proposiciones simples (posibilidades l6gicas). TambiSn suele ser llamada matriz
l69ica.
por ejemplo, para una proposici6n compuesta formada por cuatro proposiciones
simples, las interpretaciones o nrjmero de posibilidades l6gicas (C), son:
C =2" :24 =2x2x2x2=16
De donde:
E=s- 9:q^ 4:2-
222
2 :l
2
Los resultados anteriores nos servirdn para iniciar la construccion de la tabla de verdad, en
Ia cual podremos apreciar las 16 posibllidades logicas. El significado de los resultados
anteriores es el siguiente:
./ el ocho indica que se colocan 8 verdaderas y 8 falsas seguidas, para la proposici6n p
{paraformar la columna de la proposicion p);
./ el cuatro indica que se colocan 4 verdaderas y 4 falsas seguidas,
(paraformar la columna de la proposieion g);
./ el dos indica que se colocan 2 verdaderas y 2 falsas seguidas,
(para formar la colurnna de la proposicion i),
./ el uno indica que se colocan alternadamente, 1 verdadera y una falsa, para la
proposici6n f (para formar Ia columna de la proposici6n f).
para la proposicion g
para la proposici6n r
Proposiciones simples
a
O
cr-)
.O
o
-o
tu
p q r t
v v Y Y
v v v f
v v f
v v f t
v f v v
v f V I
Y f f V
Y f f f
f v V v
f I v f
f 1r f trr
f v f f
f f v v
f f v f
f f f v
f f f f
2.2

Gufa Matem6tica
Tipos de proposiciones compuestas binarias
Una proposici6n compuesta es una funcion de verdad, porque como ya
mencionamos, su valor de verdad depende de la verdad o falsedad de las
proposiciones simples que la forman. En matemdtica, 6stos conectores generan
proposiciones compuestas llamadas: conjunci6n, disyuncion, implicacion, y, doble
implicaci6n. A continuaci6n estudiaremos detalladamente cada una de ellas.
a) La conjuncion o producto l6gico
Forma gramatical:
Y, pero, sin embargo,
Aunque, tarnbi6n.
Forma gramatical
o, u, o biefi
Simbolo logico
{^}
Consideremos dos proposiciones simples y veamos como se forma la conjunci6n de las
dos:
r 3 es un n*mero impar
s: t2 es divisible por4
rnsr 3 es un numero impar y 12 es divisible por 4
Pero, aCu6l es el valor de verdad de la conjuncion de dos proposiciones? El siguiente
caso asaciado al Smbito de aplieacion agricota nos ayudar6 a decidir acerca delvalor de
verdad de la conjunci6n de dos proposiciones:
pnq. La energia del sol y la cantidad de nutrimentos en el suelo, son indispensables
para el crecimiento de las plantas.
Obviamente, se entiende que el crecimiento de las plantas depende tanto de la radiaci6n
solar como de los nutrimentos presentes en el suelo. Por Io tanto:
dadas dos proposiciones simpies p y q, la proposicion p,rq es verdadera solo cuando
ambas proposiciones lo sean y es falsa en los dernAs cosos: Este analisis se puede
resumir en la siguienle tabla de verdad, asi'.
b) Disyunci6n o suma logica
b.1) Disyuncion inclusiva
Slrnbolo logico
(., )
consideremos dos proposiciones simples y veamos como se forma la disyuncion de las
dos:
p tl P trtl
V
f F
f F
t
I f F

Gu[a Matemdtica
r 15 es mfltiplo de 5
s: I es un n(mero primo.
rv s. 15 es multiplo de 5 6 9 es un ntimero primo.
Para analizar el valor de verdad de la'disyunci5n consideremos el siguiente caso de
aplicacion pecuaria:
p v q'. La produrcidn de leche de las vacas puede disminuir debido a la cantidad o a la
cal idad de alimento proporcionado d iariamente.
En esta ocasion se interpreta que la disminuci6n en la produccion de leche puede ser
provocada por al menos uno de los dos factores, sin descartar que pueda ser provocada
tanto por la cantidad, como por la calidad del alimento proporcionado. Por ello.
la disyunci6n de dos proposiciones p y cl es verdadera cuando lo sea, al menos, una
de las proposiciones simples y es falsa cuando ambas sean falsas; es decir;
b.2) Disyunci6n exclusiva
Forma gramatical
o, o bien, u
Simbolo logico
(v)
Para diferenciar entre disyunci6n inclusiva y exclusiva daremos el siguiente ejefirplo.
Dadas las proposiciones simples deflnidas como:
p: Ella naciS en Huehuetenango.
g Ella naciS en Guastatoya.
p v g: Ella nacio en Huehuetenango o en Guastatoya.
Al reflexionar entorno al lugar donde Ella naci6, es indudable que la interpretaci6n
exclusiva de la disyunci6n estd relacionada con eyentos mutuamente excluyentes; de
manera que al registrarse uno de ellos, la observacion del otro es inadmisible. Vea
que la proposici6n compuesta no puede ser verdadera cuando ambas proposiciones
simples son verdaderas, puesto que es imposible haber nacido tanto en Guastatoya
como en Huehuetenango- La disyunci6n exclusiva es falsa cuando ambas
proposiciones simples que la forman son verdaderas, y, es esto precisamente lo que
hace la diferencia respecto al valor de verdad de la disyunci6n inclusiva,
1.t
p cl P'"' q
V
V f
,r
V
f f F

Guia MatemStica
La disyuncion exclusiva de dos proposiciones p y q es falsa en los casos en que las
proposiciones simpfes que la forman posean igual valor de verdad^ es decir:
c) La implicaci6n o condici6n logica
Forma gramatical Slmbolo logico
$i ... entonces..., implica que ..., si..., (= )
consecuentemente ---, por consiguiente ---
Observemos la siguiente lista de oraciones y destaquemos alguna caracterlstica comfin
en ellas:
1. si 2x=8 entonces x = 4;
2. siaprueba elexamen, aprobard elcurso;
3. si un nrimero es par, entonoes, es divisible par 2;
4. un bovino implica un animal provisto de cuatro patas;
5. si usamos fertilizantes, se incrementa el rendimiento de los cultivos.
Todas estas oraciones son de la forma si... entonces.,. y se denominan implicaciones.
Definicion
Cualquier oracion de la forma "Si p entonres {'se denomina
implicaci6n y se simboliza as[: p
= g
Toda proposicion de implicaci6n p
= g consta de dos partes:
{ la primera es el antecedente: conesponde a Ia proposici6n "p";
{ Ia segunda es el consecuente: conesponde a la proposici6n "C'.
p=q
Antecedente Consecuente
Valor de verdad de Ia irnplicacirin
El valor de verdad de la proposici6n p>g depende del valor de verdad que tengan las
proposiciones p y g. Como son dos las proposiciones simples, tenemos cuatro
combinaciones en cuanto a los valores de verdad. Para analizar el valor de verdad en
cada una de esas posibilidades l6gicas consideremos elsiguiente ejemplo:
p q pv q
v v F
v f V
f V V
f f- F

Guia Matem6tica
p=q: Si utitizas Hemifutt@ como desparasitante, entonces tu ganado estare libre de
endoparisitos intestinales.
Ahora analicemos las siguientes posibilidades o interpretaciones l6gicas.
. Se suministra Hemifull@ al ganado y consecuentemente el ganado estd libre de
endopardsitos intestinales. En esie mso se obtuvo el resultado esperado en el
ganado, dado que se utiliz5 dicho desparasitante, por lo tanto, el valor de verdad de
la proposicion compuesta resulta ser verdadera. Simb6[icamente:
p=cl
v
I Se suministra Hemifull@ al ganado pero resulta que no estS libre de endoparfsitos
intestinales. En este caso no se obtuvo el resultado esperado en el ganado, a0n
cuando se utilizo dicho desparasitante, por lo tanto, el valor de verdad de la
proposici6n compuesta es falsa. Simb6licamente:
p=cl
f
I No se surninistra Hemifull@ al ganado pero resuita que est6 libre de endopardsitos
intestinales. En este caso, a[n cuando no se utilizo dicho desparasitante, cabe la
posibilidad de haber utilizado otro desparasiiante con la misma eflcacia de aquel.
Por lo tanto. el valor de verdad de la proposicion compuesta resulta ser verdadera
Simboiicamente:
p>q
v
Analice entonces que "ganado libre de endopardsitos" es una consecuencia ldgica de
suministrar Hemifull@, es decir, el uso de dicho desparasitante constituye calJsa
suficiente para que el ganado est6 libre de endoparSsitos, pero de ninguna manera
constituye necesariamente la irnica. Eslo significa que la implicadSn es una
consecuencia logica en un solo sentido, del antecedente al consecuente pero no al
contrario. Finalmente:
r No se suministra Hemifull@ y el ganado no estS libre de endopar6sitos intestinales.
En este caso, el hecho que el ganado no est6 libre de endopar6sitos se acepta
como consecuencia logica de no haber utilizado Hemifull@ como desparasitante.
Por lo tanto, el valor de verdad de la proposici6n compuesta resulta ser verdadera.
Simb6licamente.
p=q
v
A manera de sintesis, la proposicion implicacion p = q es falsa solo cuando el
aniecedente es verdacjero y el consecuente es falso; en ios dem6s casos es
verdadera; es decir.
pq
VV
pq
vf
pq
fv
pq
ff

Guia MatemStica
d) Doble implicacion o equivalencia logica
Forma gramatical
Sf y solo si, solo, equivale,
Unicamente siempre que. ... si
Simbolo logico
{e)
Consideremos las siguientes proposiciones cornpuestas:
1. Un 5ngulo es recto siempre que su medida conesponde a 90o.
2. Un tri6ngulo es equilStero siy solo sitiene los tres lados congruentes.
3. Un n0mero es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3.
4. Todo animal es insecto sitiene tres pares de patas.
Todas estas oraciones tienen algo en com0n: son de la forma sf y s6lo si.
Definicion
Cualquier oraci6n de la forma "p si y sri/o si g" es una proposici6n
compuesta llamada doble implicacion y se simboliza as[: p <> q
La doble implicacion se compone de dos implicaciones. En efecto, la proposicion.
p e cr: Un dngulo es recto si y s6lo si su medida es 90o.
Puede descomponerse formando dos proposiciones compuestas de implicaci6n:
'/ p > c{.Si un dngulo es recto, entonces su medida es 90o
{ q
= p: Si la medida de un 6ngulo es 90o, entonces es recto.
Esdecir, peg es lo mismoque (p= g)n( q= p ). Observe que la proposici6n
g es consecuencia l6gica de p, pero tarnbi6n ta proposici6n p es @nsecuencia l6gica
de q; esto indica que en la doble implicacion existe implicaci6n logica en ambos
sentidos.
Valor de verdad de la doble implicaci5n
Sean py q dos proposiciones simples:
p: EI periodo de germinacion de la semilla de durazno se puede reducir.
g: La semilla de.durazno se escarifica.
Partiendo de estas proposiciones simples, podemos formar dos proposiciones
compuestas de implicaci6n, as[:
27

Gula Matem6tica
p > q. Si e[ periodo de germinaci6n de Ia semilla de durazno se reduce, entonces
se ha escariflcado.
q=p: Si la semilla de durazno se escarifica, entonces el periodo de germinacion
se reduce.
Ahora formemos nuestra proposici5n de doble implicaci6n:
p € q : El periodo de germinacion de la semilla de durazno se reduce si y solo si
se escarifica
,' Para determinar el valor de verdad de la doble implicacion p <> q bastar6 determinar el
valordeverdad de la conjunci6n deambas implicaciones ( p=q)
^
(q = p ). Veamos.
p q p=ct q=p {p=q)n(q=}p)
v f F F
f V T
E
I
f f V V
Despu6s de todo la pregunta es: Si conocemos los valores de verdad para
( p
= a ) n (q = p ) y tambi6n de ( p
= e) n ( q
= p ) = p <> q, entonces iPara qu5
valores de verdad de las proposicion'es simples p y q; la groposicion compuesta p o q
es verdadera? Para responder a esta pregunta observemos el siguiente anadro, que
resume el andlisis anterior:
p cl p.j-q
v V
f F
T
I V V
f f
p cl ^,
---- n
V V V
v II
f F
t f
p q p€)q
,r
F
t F
f f
28

El resultado obtenido nos indica
. cuando las proposiciones simples
ambas verdaderas o ambas falsas.
Guia Matemdtica
que la doble implicacron es verdadera unicamente
que intervienen tienen el rnismo valor de verdad.
/t
De acuerdo con 1o expuesto sobre el valor de verdad de los diversos tipos
de proposiciones compuestas, podemos plantear la sigruente sintesis.
. Una conjunci6n es verdadera cuando ambas partes son verdaderas; de
1o conffario es falsa.
" Una disyuncion inclusiva es falsa cuando ambas partes sean falsas, de
io contrario es verdaderu.
. Lina disyuncion exclusiva es falsa cuando sus partes son iguales
respecto a la verdad o falsedad.
" LIna implicacion es falsa cuando su altecedente es verdadero y su
consecuente es falso; de 1o contrario es verdadera.
. Una doble implicacion es verdadera cuando sus partes son iguaies
respecto ala verdad o falsedad.
/
$atisfacibilidad y validez de proposiciones compuestas
Una proposici6n compuesta es tautqlqqia (logicamente vdlida), si es VerdaQlela-para
todas. las posibilidades l6gicas de interpretaci6n que se obtienen a partir de las
proposiciones simples que la integran. Es decir, es verdadera en todas las filas de la
tabla de verdad, en la columna del conectivo logico principal. En este caso se dice
que la proposicion compuesta es satisfactoria. Una proposici6n es una
gontradicci5n (l6gicamente invdlida), si es falsq qara todas las posibilidades logicas
de interpretacion que se obtienen a partir de las proposiciones simples que la
integran. Es decir, es falsa en todas las filas de la tabla de verdad, en la columna del
conectivo l6gico principal. En este caso se dice que Ia proposici6n compuesta es
insatisfactoria. Una proposicion es una contingencia (togicamente inv6tida), si es
yeEla-dera en algunas v falsa en las otras posibilidades l6gicas de su interpretaci6n.
Es decir, es verdadera en algunas y falsa en otras filas de la tabla de verdad, en la
columna del conectivo logico principal. En este caso se dice que la proposici6n
compuesta es satisfactoria. De lo anterior se deduce que toda proposici6n compuesta
es satisfactoria siempre que tenga, al menos, una posibilidad l6gica de su
interpretacion, para la cual es verdadera. Por ello, las tautologias y las contingencias
son proposiciones compuestas satisfactoria. Asimismo, toda proposici6n compuesta
es viilida siempre que sea una tautologia.
Ejemplo 1
a, b, c y d son proposiciones simples y sus valores de verdad son v, f, f y v,
respectivamente. Calcule el valor de verdad de las siguientes proposiciones
compuestas y n5mbrelas con base en el conectivo lSgico principal.
a) (oo d)nc
b) {--,c v o)u--(o
= d)
c) --Ko y'b)+ de [-c <+ (a n o)]
29

Solucion del inciso "a":
d C d aed (a<+dlnc
V f V V f
Rl La conjunci6n es falsa.
Solucion del inciso "b":
Guia Matemdtica
VV
R/ La disyuncion exclusiva es verdadera.
Solucion del inciso "c".
irrT"t) - f
,*r-1" ++ {lA
TJr
vf
+
v
VV
L ., I
I
v
Rl La doble implicacion es falsa.
Ejemplo 2
Elabore la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas e indique si es
tautologla, contradicci6n o contingencia; vdlida o inv6lida, satisfactoria o
insatisfactoria.
a)[( p = cr) A { q 4 p)]e(p # tr)
b){-r + ( s A cl ) I v -cl
Solucion del inciso "a":
Calculando el nrimero de posibilidades l6gicas:2n = 22 = 2 x2 = 4
Luego se elabora la tabla de verdad determinando el valor de certeza de la
proposici6n compuesta, iniciando por lo que aparece dentro del par6ntesis,
procediendo de los internos hacia los externos. Es necesario que identifique cudl es
el conector l6gico principal, el cual divide a la proposici6n compuesta en dos partes
(una a Ia izquierda y la otra a la derecha) ya que la columna del resultado final se
a b d -le -CvO b=d - (b=d) (--cva) v - (b=d)
f f V t v

Guia Matem6tica
obtiene uniendo la respuesta del lado izquierdo con el lado derecho por medio del
conectivo logico principal.
canectivo principal
I
t( p = q ) n ( q => p )l <+ ( p <, q)
Tabla de verdad.
p q p=q q=p (p=q)
^
(q=p) p<+q [(p=q)^(q=p)] e(p<+q)
V
t t v f I
I v
f V f f f V
f f V v V
R/ La doble implicaci6n es tautologia, satisfactoria y vdlida.
v Soluci6n del inciso "b":
Conxtivo principal.
/
[-r=fsAet)lv-e
Tabla de verdad
Rl La disyunci6n exclusiva es contingencia, satisfactoria e inv5lida.
Ejemplo 3
Dada la proposici6n compuesta:
"Un error en el cdlculo de Ia carga din6mica total o en la determinaci6n del di6metro
de tuberia a utilizar en un sistema de riego por aspersi6n, provoca fatlas de
funcionamiento."
Se pide:
a) Plantear Ia estructura simb6lica correspondiente.
b) Elaborar la tabla de verdad
c) lndicar cuSles son las posibilidades l6gicas para las cuales la proposici6n
compuesta es falsa.
r S q -r l' SnQ --r l"::) {snq) ---r O [-tf(sno)]v---ro
f V f V
V f f F V f
f f F V f
f f t
I F V f
f V V V f
f t F f
,f
f V F I f I
f I f V F { V v
31

Guia Matem6tica
Soluci6n:
Se determinan las proposiciones simples existentes; 6stas son:
p: Existe error en la determinaci6n de la carga hidr6ulica total.
g: Existe error en el cSlculo del diSmetro de la tuberfa. :
r Se dan fallas en elfuncionamiento del sistema por aspersi6n.
Estructura logica de la proposici6n compuesta: ( p v q ) = r
Elaborando la tabla de verdad:
Segun la tabla de verdad resultante, la proposici6n compuesta es falsa en las
siguientes posibilidades l69icas:
l. p(v), q(v), y r(fl
Il. p(v), q(f), y r(f)
lll. p(0, q(v), y (0
aCuSles son 6stas?
l. Hay eror en la determinaci6n de la carga hidr6ulica y en el diSmetro pero no
hay fallas de funcionamiento.
ll. Hay error en la determinaci6n de la carga hidrdulica, no hay error en el c6lculo
del di6metro y no hay fallas en el sistema de riego.
lll. No existe error en la determinacion de la carga hidrdulica, hay eror en el
c5lculo del diSmetro y no hay fallas en el funcionamiento del sistema de riego
por aspersi6n.
Se deja al estudiante dar una explicaci6n del por qu6 la posibilidad logica: p(0, q(0 y
r(v) (s6ptima fila de Ia tabla de verdad) es verdadera.
Sugerencia: Al pasar de una proposici6n compuesta expresada gramaticalmente a su
forma simb6lica correspondiente, se debe optar por plantear las proposiciones
simples en forma afirmativa y negarlas al estructurarse, simb5licamente, la
proposici6n compuesta. Aunque los resultados serlan equivalentes al no proceder de
esta manera, tiene Ia ventaja de uniformizar los resultados.
p q r DVq {pv a)= r
V v
f f
V
I
I V V
V I I
I v T
I
f v V V
T f f
f f v f
I 3
I f f V
32

Guia Matem6tica
Tipos de razonamiento
Como ya se indico, un razonamiento es la obtencion cle un juicio a manera de
inferencia a partir de otros. En un razonamiento a la inferencia se le llama conclusion
y a los juicios en que se sustenta se ies llama premisas. Cuando se analiza un
razonamiento desde el punto de vista de su contenido, las premisas deben pretender
ofrecer fundamentos de prueba, o, al menos, elementos de juicio favorables para
aceptar la verdad o verosimilitud de la conclusion; por esta razon, lo optimo es que las
premisas de un razonamiento sean sencillamente verdaderas o ser, al menos,
contextualmente y en su conjunto m5s plausibles que la misma conclusion. Todo
razonamiento est6 compuesto por una o mas premisas pero no tiene m6s que una
conclusion. De acuerdo con la estructura, es decir, la forma en que se pasa de juicio
en juicio para formular la inferencia; los razonamientos pueden ser. abductivos,
inductivos. deductivos y analogicos.
. Razonamiento abductivo
Cuando un hecho causa sorpresa demanda una hipotesis, una abduccion que haga
normal, algo corriente y razonable el fenomeno sorprendente. La abduccion es
determinar el rasgo relevante y caracterfstico de un evento no est6ndar para la
formulaci6n de una hip6tesis plausible (coherencla pragmdtica) que proporciona una
posible explicacion. Por ello, constituye un proceso de construccion creativa de
teorlas y cambio de paradigma, donde e[ pensamiento reflexlvc, dlvergente y crltico
representa un papel importante, La inferencia abductiva tiene el caracter de una
iluminacion repentina e instintiva que surge ante la contemplaclon de un contexto
dado, pero que, a la vez, es racional porque la capacidad de conjeturar no es ciega,
depende del modo en que el sujeto relaciona y procesa los conocimientos de que
dispone como producto de la experiencia. El carScter logico de la abduccion se
sustenta en el proceso mediante el cuat el sujeto se pereata del hecho sorprendente y
en la actividad de imaginacion que conlleva descubrir que si determinada explicacion
fuera verdadera, el hecho sorprendente dejaria de serlo. En la comprension cotidiana,
la abduccion tambi6n es un proceso de comprension e interpretacion para una
transformacion economica del conocimiento, que tiene la forma de un razonamiento
para Ia mejor explicacion, basada en los principios de coherencia y relevancia. Es
este caso, la competencia abductiva interactua con Ia economia de discurso y con el
principio de claridad. La estructura logica del razonamiento abductivo es:
Se observa un hecho sorprendente R;
Pero si E fuese verdadero, R seria una cosa corriente,
Por lo tanto, fiay razon para sospechar que E es verdadero.
Ejemplo.
Es sorprendente que los alumnos luego del primer afro de estudios pierdan el inter6s
individual por desarroliar sus capacidades cognitivas y afectivas, necesarias para
resolver problemas del entorno y crear alternativas para el bienestar de la sociedad.
Elio seria normal si la pr"6ctica docente fuera la causa de fijar en Ia comunidad
educativa una concepcion limitada de lo que es lnteligencia. Por lo tanto, hay razon
para creer que la supremacla conferida a la ensefranza sobre el aprendizaje es la
causa de que los alumnos reduzcan su actividad mental a memorizar y recuperar
informacion brindada por alguien.
-) -l

Guia Matem6tica
Este razonamiento es una hipotesis, es decir, la inferencia de un caso iE) a partir de
una regla general y un resultado (R). La inferencia hipoi6tica o abduciiva no tiene un
car5cter necesario sino meramente probable y explicativo. La conclusion que se
alcanza es siempre conjetural, pero al investigador le parece del todo plausible. Es
esa plausibilidad, ese car6cter instintivo y, a la vez, racional, en donde radica su
validez y no en su efeciiva probabilidad que tiene solo una influencia indirecta.
. Razonamiento inductivo.
Es la operacion mental que se utiliza para generalizar Ia experiencia, cuya
caracterlstica consiste en una enumeracion de todos los casos particulares, que luego
quedan englobados en el caso general. En otras palabras es el proceso de observar
datos, reconocer patrones y hacer generalizaciones basdndose en esos patrones. La
estructura logica del razonamiento inductivo es.
Se observan Cr, Cz, Cg ... casos con resultado R;
Ct, Cz, C: ... CSSOS SOn G;
Por lo tanto, para todo G el resultado es R"
Ejemplo
Al usar cebada como sustrato, la eficiencia biologica de Pleurotus osfrealus es
aceptable. Cuando se utiliza trigo como sustrato, la eficiencia biologica tambi6n es
aceptable. La cebada y el trigo son especies de la familia Poaceae. Por lo tanto, la
eficiencia biologica de Pleurotus ostreafus es aceptable cuando se utilizan como
substratos, especies de la familia Poaceae.
Este razonamiento es una induccion, es decir, la inferencia de una regla general a
partir de varios cascs y un resultaCo, es decir, Ce lo particular a lo general. El
razonamiento inductivo es ampliativo, puesio que lo que se dice en la conclusion no
estaba previamente en las premisas. Como en el caso de la abduccion, la induccion
tampoco tiene car6cter necesario sino meramente probable. La diferencia especifica
entre la induccion y la abduccion es que 'la abduccion forma parte del proceso de
descubrimiento, mientras que la induccion forma parte del proceso de probar los
descubrimientos.
. Razonamientodeductivo
El razonamiento deductivo es el proceso de mostrar que cierta afirmacion es el
resultado logico de hechos aceptados. Es la aplicacion de una regla a un caso para
establecer un resultado. La estructura logica del razonamiento deductivo es:
Para todo G el resultado es R:
C es un caso G;
Por lo tanto, en C el resultado es R;
34

Guia Matemdtica
Ejemplo
La eficiencia biologica de Pleuratus osfreafus es rnayol' al cien por ciento cuando se
utillzan como sustratos, especies de la familia Poaceae. El pasto estrella africana es
una especie de la familia Poaceae. Por lo tanto, si se utiliza pasto estrella africana, la
eficiencia biologica serd superior al cien por ciento.
Este razonamiento es una deduccion, la inferencia de un resultado, a parlir de una
regla general aplicada a un caso, es decir, de lo general a lo particular y constituye
una inversion del razonamiento inductivo. En este caso ia inferencia tiene un cardcter
necesario, dado que la regla es v6lida. EI razonamiento deductivo es descriptivo, en
tanto que ia conclusion no afrade nada a lo que ya est6 en las premisas.
. Razonamientoanalogico.
Es aquel que de la observacion de los caracteres comunes que poseen dss hechos,
se pasa a la afirmacion de otro supuestamente en comiin que ha sido observado en
solo uno de ellos. La conclusion se mantiene en el mismo grado de particularidad que
tienen sus premisas y se obserya claramente la progresividad del conocimiento ya
que pasa de lo conocido a lo desconocido, mediante un proceso de extrapolacion. La
estructura del razonamiento analogico es:
En A (El opimo), Cr, Cz, Ca y $ se verifican;
En B (El analogo), Cr, Cz, C:... S€ verifican;
Por lo tanto, S se verifica en B.
Ejemplo
La pulpa de caf6 puede utilizarse como sustrato en la produccion dei hongo ostra
porque posee caracteristicas fisicas como: bajo peso especifico y alta capacidad de
almacenamiento de humedad que favorecen su crecimiento. El pasto estrella tambien
posee bajo peso especlfico y alta capacidad de almacenamiento de humedad. Por lo
tanto, e! pasto estrella africana puede utilizarse como sustrato en la produccion de
hongo ostra.
El razonamiento analogico va de lo particular a lo particular, es analltico y sint6tico. La
la conclusion constituye una conjetura probable dado que la semejanza en ciertas
caracierlsticas de los objetos o en los nexos entre componentes estructurales, no es
garantla de la semejanza en otros no comprobados. Este tipo de razonamiento se
elabora en el plano de la extension conceptual de los objetos. EI grado de
verosimilitud de la conclusion esta en funcion de la relevancia y la dependencia de los
nexos entre componentes tomados como semejantes.
Cabe resaltar la diferencia entre una analogia y un razonamiento analogico. La
finalidad del razonamiento analogico es la prediccion, dado que ocurre extrapolacion
de conocimiento del opimo al anSlogo. En una analogia existe una transferencia de
conocimiento desde el anSlogo al opimo, con la intencion de hacer mds asequible a
otras personas una determinada idea o nocion que se considera compleja, a trav6s de
otra que resulta m6s conocida y familiai'. En este caso la relacion de semejanza
puede darse entre objetos distintos y su finalidad es la comprension de un
conoci miento circunstancialmente nuevo que precisa ser redescubierto. .

Guia Matem6tica
Valor de verdad y validez de argumentos deductivos
Un argurnento es un razonamiento expresado con palabras, ya sea oral o escrito, que
contiene premisas y una conclusion, a manera de proposiciones simples o
compuestas; en el cual la conclusion se deriva estrictamente de las premisas. Las
formas gramaticales para introducir la conclusion en un argumento son norntales, por
lo cual, de ello se deduce y por lo tanto, mientras que las premisas se introducen
com0nmente son vdlidas. Por ejemplo: ldentificar las proposictones simples, las
premisas, la conclusion y ia estructura simbolica correspondiente al siguiente
argumento deductivo:
"A todo alumno se le otor-ga beca completa de estudios solamente si aprueba el curso
proped6utico con nota superior a 80 puntos o comprueba que es de escasos recursos
economicos. Un alumno del curso proped6utico comprueba que es de escasos
recursos economicos, por lo tanto, se le otorgar5 beca cornpleta de estudios".
Las proposiciones sinrples son:
p: A todo alumno se le otorga beca compleia de estudios.
g: El alumno aprueba el curso proped6utico con nota superior a 80 puntos.
r El alumno comprueba que es de escasos recursos economicos.
Premisas:
O: po (q" r)
E-f
Conclusi6n:
Y:P
Estructura simb6lica del argumento:
P e(qv r)
r
P
El valor de verdad es una caracteristica que se relaciona con las premisas y las
conclusiones de los argumentos de manera aislada. La validez es una caracterfstica
de los argumentos en su totalidad. Ambas nociones estan interrelacionadas pero no
son la misma. En logiea matematica la validez de un argumento deductivo no
depende del contenido semSntico de sus expresiones, sino exclusivamente de su
estructura. La estructura es ia forma en que se relacionan las premisas con la
conc!usion en el marco dei valor de verdad de un conjunto de posibilidades logicas
analizadas en su totalidad, en las cuales la conclusion debe ser necesariamente
consecuencia logica de las premisas. Segrin lo anterior, un argumenfo es valido
cuando /as premisas apoyan una canclusi6n necesariamente verdadera. Un
argumento es invdlido cuando las premisas realmente pretenden apoyar una
conclusi1n falsa o, bien, no necesariamente verdadera.
M6todos para analizar la validez de argumentos deductivos
Podemos utilizar dos m6todos para determinar si un argumento es vSlido o inv5lido
en los cuales las tablas de verdad constituyen un papel importante; tistos son:
36

Guia Matem6tica
a) M6todo expllcito
b) M6todo implicativo de prueba
a) Metodo expllcito
Este m6todo se basa en el hecho que si cada una de las premisas del argumento son
verdaderas, entonces, su conclusion necesariamente tambi6n debe serlo, tal y como
se mencion6 anteriormente. lnicialmente, deben elaborarse las tablas de verdad de
las proposiciones compuestas del argumento, luego, se construye otra tabla de
verdad que contenga las proposiciones simples, premisas y la conclusi6n del
argumento. Para que el argumento sea vilido, debe observarse en Ia tabla de
verdad, que en ninguna de sus posibilidades l6gicas, las premisas sean verdaderas y
la conclusidn sea falsa. El argumento ser6 inv6lido cuando en, al menos, una de sus
posibilidades l6gicas, las premisas sean verdaderas y la conclusi6n sea falsa. Cuando
en las posibilidades donde las premisas son verdaderas, se da que en unas la
conclusi6n es falsa y en otras es verdadera; el argumento es invilido, porque en los
casos donde todas las premisas son verdaderas la conclusion no necesariamente lo
es. Ahora bien, cuando en todas las posibilidades l6gicas donde las premisas son
verdaderas, ocurre que la conclusion es falsa; el argumento es inv6lido, porque las
premisas intentan apoyar una conclusion falsa. Cuando los argumentos son invdlidos,
este m6todo tiene la particularidad de mostrar, explicitamente, el tipo de error en el
razonamiento. Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1
Se tendrdn plantas de calidad en el vivero forestal, siempre que el trasplante y la
fefiilizaciSn de las pldntulas se realicen correctamente. No se realiza conectamente el
trasplante, por lo tanto, no se obtendrdn plantas de buena calidad.
Soluci6n.
Designaremos las proposiciones p, g y rcomo:
p.'Se tendrSn plantas de buena calidad en elvivero forestal.
g,'En el vivero forestal se realiza correctamente el transplante de pl6ntulas.
r: En el vivero forestal se realiza correctamente la fertilizacion de las pldntulas.
Estructura simb6lica del argumento:
re(qnr)
-ql
-p
-'t I

Guia MatemStica
Tabla de verdad:
Proposiciones premisas conclusian
p q r p<.>tqnr) '-Q --F
V V f F
V f F f F
f F V F
V f f
I F v F
f V F f V
f V I f V
f f
f f f V
Si observamos !a: tabla de verdad anterior, Ias fltimas dos fitas son las ilnicas en las
que-las premiq-gS son todas verdaderas, y, en ambas, la conclusi6n tambi6n Io es; es
decir el argumento es vdlido.
Ejemplo 2
a) Argumento conjuntivo v6lido
El xilema y el floema son tejidos conduetivos de las plantas. El floema es tejido
conductivo, por lo tanto el xilema es un tejido conductivo de las plantas.
pAq
q
p
pAq
p
b) Argumento conjuntivo invSlido
EI xilema y el floema son tejidos conductivos en las plantas. El xilema es tejido v
conductivo, por lo tanto, el floema no es tejido conductivo en las plantas.
Proposiciones Premisas Conclusion
p q p Act q p
V
V
,f
F f V
I F V
c
I
f f F I t
p q p,/'q p -tQ
V V I
v f F v v
5
I
V F
{
I
t
I
f f F f V
aq
Error en el razonamiento: Las premisas pretenden apoyar una conclusi6n falsa.
38

Guia Matemdtica
Ejemplo 3
a) Argumento condicional v6lido
Si la plaga que afecta el cultivo es un dfptero, entonces es un insecto. La plaga que
afecta el cultivo no es un insecto, por lo tanto no es un dfptero.
b) Argumento condicional invdlido
v Si la plaga que afecta el cultivo es un diptero, entonces es un insecto. La plaga que
afecta el cultivo es un insecto, por lo tanto es un dfptero.
p+ qt
1{l
-p
p+q
q
p
p+ {t
-p
-q
p q o
=c,
--': (I
-O
v V f f
rl I f f
f v V f V
t {
I V V
p el p
=q
q p
V V
V {
I f f v
f V V f
f f V f {
I
p cl p+q 'zD -Q
V V f f
I f I V
f V V f
f { V V
Error en el razonamiento. La conclusion del argumento no es necesariamente
verdadera. Porque habiendo una interpretacion donde tanto las premisas como la
conciusion son verdaderas, hay otra interpretacion donde siendo las premisas
verdaderas, la conclusion es falsa. A este tipo de error en el razonamiento se le llama
"fafacia de afirmar el consecuente".
c) Argumento condicional invdlido
Si la plaga que afecta el cultivo es un diptero, entonces es un insecto. La plaga que
afecta el cultivo no es un diptero, por lo tanto no es un insecto.
Error en el razonamiento: La conclusion del argumento no es necesariamente
verdadera. A este tipo de error en el razonamiento se Ie conoce con el nombre de
"falacia de negar el antecedente".
39

Gu[a Matem6tica
Ejemplo 4
a) Argumento de equivalencia l6gicamente vdlido
Un nfrmero es par si y solo si es divisible por dos. Un n0mero no es divisible por dos,
por lo tanto no es par.
peq
-1 (l
-p
peq
p
-ql
b) Argumento de equivalencia logicamente invSlido
Un nfimero es par si y s5lo si es divisible por dos. Un n0mero es par, por lo tanto no
es divisible por dos.
Frnnnqicinnpq Premisas Conclusi6n
p cl o ec, -Cl -D
v f {
I
V f f V f
f V
,f
t
,f
f V V
Proposiciones Premisas Conclusi6n
p cl paq p -Q
V V f
,f I
I V
f f f f
f I V f
Error de razonamiento: Las premisas pretenden apoyar una conclusi6n falsa.
b) M6todo implicativo de prueba
Este segundo m6todo se fundamenta en el hecho que la implicaci6n resultante de un
argumento vSlido, no puede tener un antecedente verdadero y un consecuente falso
porque si las premisas son verdaderas la conclusi6n tambi6n debe serlo. Por ello, la
implicaci6n debe ser logicamente v6lida, es decir, una tautologla. Estia forma de
probar la validez de un argumento consiste en formar una implicaci6n cuyo
antecedente sea la conjunci6n de las premisas y cuyo consecuente sea la conclusi6n.
Luego se elabora la tabla de verdad para la implicaci6n. Si la implicacion resulta ser
tautologla, ellc demostrare que el argumento es vSlido; si no lo es, el argumento es
invdlido. Veamos mmo se comprueba la validez del ejemplo 1, utilizando este
m6todo.
Estructura simb6lica
n+(qnr)
-ql
-p
La implicacion que corresponde al argumento es.
{lo o (q nr)ln - q} + .- p

Guia Matem6tica
Ahora se procede a elaborar la tabla de verdad:
p q r q^r pe{qnr) --:Q lo<:}(qnilln--o -p {[ p<+(qnr] ln--re]D---r p
V V v V v { F f
V V f f f f F f v
V f I
I
iI V F f V
V I f f f F I V
f V V V f f F V
f V t f v f F V
f {
I t V V V
f f f f V V
En todas las filas de la tabla de verdad, la proposici6n compuesta de implicaci6n es
verdadera. Significa que la proposici6n compuesta es una tautologfa, es decir, el
argumento es vdlido.
Veamos c5mo se comprueba Ia invalidez del ejemplo 2, inciso "b", utilizando este
m6todo.
Estructura simb6lica Implicaci6n resultante
pyq [(rn q)n p)+ -e
p
-ql
Tabla de verdad:
p cl PACT {paq}rp -A ffp,tq)apJi-ct
V V v t t
,f
f f
f V f f f
f f f i V V
La implicacion es una contingencia, por lo tanto, se demuestra que el argumento es
invflido.
Se deja al estudiante comprobar la Invalidez del siguiente argumento. Determine el
error en el razonamiento.
Se tendrdn plantas de calidad en el vivero forestal, siempre que el transplante y la
fertilizaci6n de las pl1ntutas se realicen conectamente. Se reatizd correctamente el
transplante, por lo tanto, se obtendrdn plantas de buena catidad.
41

Guia Matem6tica
EJERCICIOS 1A
Indique el valor de'verdad y niegue las siguientes proposiciones.
1) p:15>3
2) q: La manzana es un frutal deciduo.
3) r.3 + 2*9
4) s: EIvolc6n de agua estd en el departamento de Huehuetenango.
5) f: Todos los suelos de Guatemala son ricos en potasio.
6) De acuerdo con el valor de verdad de las siguientes proposiciones simples:
a: B6rcena, no pertenece a Escuintla.
b: Una ecuacion es una proposicion abierta en forma de igualdad.
m. Una conjunci6n es equivalente a una disyunci6n.
n: El nfmero de posibilidades logicas de una proposicion, compuesta por
cuatro proposiciones simples es 32.
Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones compuestas:
a) nv(m=n)
b) my-n p b
c) =ifa(-lnv-b)
di 1J= ifr "fin
e) -'n,.(avn)
7 v?*
Determine cu5ntas y cu6les son las posibilidades logicas que se obtienen a partir de las
siguientes proposiciones simples.
07) p: La edad de un 5rbol puede determinarse contando los anillos de
'crecimiento
anual del fuste principal.
g. Elfruto de esa planta es una baya.
r Esa vaca es raza Jersey
, s: Esa planta herbacea perenne se reproduce por rizomas.
08) p: Esa planta produce su propio alimento a trav6s del proceso de
foiosintesis.
g: Esa vaca no es un herbfvoro.
r Ese fertilizante contiene alto contenido de nitrogeno.
09) p '.x eU LA) P'. )c 4U 11)
q:xe s q -x/a
y:)c€A r:x/A
. s:xeB ,s:xeB
p'.x €U 12) p'.x €a
q:)c€A q:xeA
r:x/B
A1

tsa - L a r<^' C*YIe-q"
407c ?3? s
Gu[a Matemdtica
EESe {€*tr
Construya la tabla de verdad de las siguientes proposiciones, n6mbrelas y determine
cudles son tautologfas, contradicciones o bien contingencias. lndique si son
satisfactorias o insatisfactorias, v6lidas o invdlidas.
13)
14)
15)
p<+q)e(prrq) 19) (pnQ) e -(-pv-'q)
p=q)e(q=p)
p=q)e(p^-q)
20) I(p e r) n q I y t(q n p)
= rl
21)tb v q) nq)l= - p
16) -(prrq)e(-p^-q) 22)fp+(q"r)lv[-,p=-'(qnr)]
17) I(p=Qln(q=r)l=(p=r) 23) |-pn -q)=-(pr.q)
18) (pyq)e(peq) 24 I$-+q)^-pl=-q
Demuestre utilizando cdlculo proposicionat que las siguientes equivalencias son
vdlidas.
/ 25) (pnq) = (qnp) 29) pr, (qv r) = (pvq) v r
26) (p yq) = (q y p) 30) pn(qnr) = (pnq) nr
27) (p <?q) = [(p=q) n{q=p)J 31) pn (qv r) = (pnq) v (pnr)
28) (p=q) = (- pvq) 32) pv (q,. r) = (pvq) n (pvr)
, Analice y resuelva tos siguientes cuestionamientos:
33) Dadas las proposiciones:
' P: x+3=9
q:8<4
Determlne qu6 valor debe tomar x en la proposici6n abierta. p para que la
proposicion compuesta de equivalencia, p e q, sea verdadera.
34) Si r es una proposicion tal, que para cualquier valor de verdad de la
proposiciSn f, es verdadera la proposici6n rv f. a,Qu6 puede decirse sobre el
_- valor de verdad de"f'?.
35) Si ur es una proposici6n tal, que para aralquier valor de verdad de la
proposici6n z, es verdadera la proposicion w
= z. aQu6 puede decirse
sobre el valor de verdad de W?.
36) Dado el enunciado abierto d. 3x + 6 = 12y la proposicion g . 1,f8 = 2 .
l,Cu1l debe ser el valor' de x en e[ enunciado abierto d para que la
proposicion compuesta d r, g sea falsa?.
Escriba en forma simb6lica las siguientes proposiciones compuestas, usando las
letras sugeridas y elabore et drbol sintdc{ico correspondiente.
37) Tomds y Pedro no colaborar6n en la reforestaci6n si Alberto no reforesta.
tp, q, y r).
43

Gu[a Matemitica
No es verdad que, si el manejo de los bovinos es correcto, la producci6n de
leche y el peso de los animates disminuyan. (p, q y fl.
Si la produccion de tomate es abundante, no hay demanda y los precios
disminuyen con relaci6n al precio normal, o, bien, si la producciSn de tomate
no es abundante, hay demanda y los precios no disminuyen con relaci6n al
precio normal. (p, q, y A"
Si la plaga de mi cultivo tiene tres pares de patas, entonces es un insecto,
pero si no tiene tres pares de patas; entonces es otra clase de animal. {p y q).
Escriba en forma simbolica. elabore la tabla de verdad, e, indique las posibllidades
logicas donde la proposicion compuesta es verdadera. Determine cu5les son
tautologlas, contradicciones o bien contingencias. lndique si son satisfacibles o
insatisfacibles, v6lidas o invdlidas. (utilice p,g,ry s)
41) La concentraci6n de iones hidrogeno en el suelo aumenta si y solo si se
utilizan fertilizantes con rearci6n 6cida y se siembran constantemente cultivos
con alta demanda de bases intercambiables como el calcio.
No es verdad que, si no apruebo el curso de matemiitica, no apruebe el
primer cuatrimestre; pero pasar6 al segundo cuatrimestre, solamente si
apruebo el primer cuatrimestre.
Si los precios de los productos de la canasta b5sica suben, el poder
adquisitivo de la moneda disminuye, si y sdlo si el precio de los combustibles
aumenta.
Si un hato de racas lecheras esti infectado con mastitis entonces existe la
posibilidad de encontrar va€s enfermas; y, no existir6n vaffis enfermas
solamente que el hato no est6 infedado con mastitis.
45) Si aplico m6todos de control de insectos y no hay ataque de
enfermedades en mi cultivo, logrard buena producci6n; pero, si atacan las
enfermedades o no realizo control de insectos, entonces no logiar6 buena
produccion
Si.llueve, 14 cosecha se anuina y si la cosecha se arruina, habrd hambre o
habr6 guenei.
Si disminuyen las tasas de inter6s, aumentar6 el mercado de valores, pero si
no disminuyen, se acelerarii la inflaci6n o, bien, ni aumentar6 el mercado de
valores ni se acelerarlla inflaci6n.
46)
47
48) Si en la elaboracicn de concreto se utiliza mayor cantidad de agua de lo
necesario, se obtiene un concreto de menordurabilidad y consistencia.
38)
3e)
40)
42)
43)
44)
44
a

Guia Matem6tica
Si aplicamos correctamente los plaguicidas, gana usted y gana la naturaleza.
Solamente si estudio bastante y cumplo con mis obligaciones aprobar6 el
curso de Matem6tica.
Analice la validez de cada uno de los argumentos siguientes. En caso de no ser vdlido,
determine el error en el razonamiento e indique si efectivamente el argumento es
deductivo, si no lo es, 4A quti tipo de razonamiento conesponde?
51) Si Sebasti5n entiende un problema, entonces es un problema sencillo. Este
problema no es sencillo. Por Io tanto, Sebasti5n no entiende este
problema.
52) Si Miguel utiliza el insecticida Peralcid, logra controlar satisfactoriamente las
plagas de su cultivo. En el cultivo se han logrado controlar satisfactoriamente
las plagas. Por lo tanto, Miguel utilizo el insecticida Peralcid.
53) La mora puede ser atacada por arafra roja o cenicilla. La mora se infesto con
arafia roja. Por lo tanto, no hubo infeccion de cenicilla.
54) Susana y Pedro no estudian. Susana estudia. Por lo tanto, Pedro no
estudia.
55) Si Mario aplica Nitrogeno en forma nltrica, obtiene altos rendirnientos. Por lo
tanto, si Mario obtiene altos rendimientos, entonces, utilizo Nitrogeno en
forma nftrica.
56) El es culpable o Ella es culpable. El es culpable. Por lo tanto, Ella no es
culpable.
57) El sombrero de Luis es de color cafe o negro. El sombrero es cafe. Por Io
tanto el sombrero no es neEro.
58) En el 5rea de produccion de frutales y en la seccion de pastos, no deben
uttlizar riego por microaspersion. El Area de frutales ulilizo microaspersion.
Por lo tanto, la seccion de pastos no utilizo microaspersion.
59) Si llenas bien las bolsas en el vivero, obtienes buenas plantas para la
venta. No obtienes buenas ptantas para [a venta. Por lo tanto, no has [enado
correctamente las bolsas en el vivero.
60) El toro es manso, si ei se le acerca despacio. El se le acerca despacio. Por
lo tanto el toro es manso.
Si ingreso a la ENCA, ir6 al campo. Si ltego a ser perito forestal, ir6 al campo.
Por lo tanto, si ingreso a la ENCA, sere perito forestal.
4e)
50)
61)
45

62)
64)
63)
65)
Guia Matemdtica
Un nutriente es esencial solamente si, es indispensable para completar el
ciclo de ia planta y no puede ser reemplazado por otro nutriente. Un nutriente
puede ser reemplazado por otro. Por lo tanto, dicho nutriente no es esencial.
Un nutriente es esencial solamente si, es indispensable para completar ei
ciclo de la planta y no puede ser reenrplazado por otro nutriente. Un nutriente
no es esencial. Por lo tanto, no es indispensable para completar el ciclo de la
planta.
La dureza de la madera se debe al alto contenido de lignina o celulosa. La
madera no tiene alto contenido de celulosa, por lo tanto tiene alto contenido
de lignina.
Si la zona de vida es bosque hrimedo tropical, la caducidad de la especie
Melina es parcial. La caducidad de la especie Melina no es parcial, por lo
tanto, lazona de vida no es bosque humedo tropical.
Al brindarle un manejo adecuado a la densidad de la plantacion, se reduce
el riesgo de desarrollo de enfermedades. Si el manejo de la densidad de la
plantacion es adecuado, hay mayor ventilacion y menor humedad relativa.
Por ello, el rlesgo de desarrollo de enfermedades disminutr6 siempre que
haya mayor ventilacion y menor humedad relativa en la plantacion.
Si llueve, prolongadamente, las plantas estardn con riesgo de ataque de
enfermedades; o, bien. habr6 riesgo de que sufran dati.-rs por quemadura de
tejidos, si ocure una helada. HabrS riesgo de darios por guemadura de
tejidos, slempre que no llueva continuamente. Por lo tanto, si l[ieve y ocLlrre
una helada, habr6 riesgo de ataque de enfermedades pero no habrd riesgo
de que sufran daflos por quemadura de tejidos.
Si una proposicion compuesta es v5lida, entonces, es satisfacible. Una
proposicion compuesta es satisfacible, por lo tanto es vSlida.
La abeja es insecto o arScnido. La abeja es ar6cnido, por lo tanto no es
insecto.
ooJ
67)
68)
6e)
4a)

Guia Matem6tica
1.2 CONJUNTOS
La verdadera historia de la teorfa de los conjuntos, es decir, el reconocimiento de su
importancia y su primera formulacion, data de George Cantor {1845-1917), quien
desarrollo la parte principal de esta disciplina. Su trabajo sobre Teoria de los Conjuntos
comenzo, aproximadamente, en 1870, como un subproducto de su investigaci6n sobre
aquella parie que estudia las series trigonometricas. Ripidamente se convirtio en una
disciplina independiente y qued6 reconocida por las matem6ticas como medio de
estudio de los fundamentos de todas las matem6ticas. Segun G. Cantor, un conjunto es
una colercion de objetos de nuestra intuici6n o de nuestra mente, definidos y
distinguibles, que concebimos como un todo.
Representaci6n de conjuntos y sus elementos
Se acostumbra emplear letras mayrisculas para representar conjuntos y minrisculas
para los objetos pertenecientes a los mismos. Si X={a,b,c,d}, entonces, a, b, c, y d se
llaman miembros o elementos de conjunto X. El orden en que se escriban los elementos
de un conjunto es indiferente. Por ejemplo, {1,2,3} y {3,1,2} deflnen el mismo conjunto.
No es necesario, aunque si conveniente, escribir los nrimeros en orden creciente.
Cuando se hace una lista de los miembros de un conjunto, cada elemento debe
escribirse solamente una vez, ya que de lo contrario se estaria haciendo referencia a un
mismo elemento o miembro en m6s de una ocasion. El conjunto de numerales del
n0mero 83837 es {3,7,8}.
Cardinalidad de un conjunto
La cardinalidad de un conjunto se refiere a la cantidad de elementos que forman dicho
conjunto, y, se denota por Card. Se llama asl porque se utiliza un n0mero cardinal o
natural para expresar la cantidad de elementos de conjunto.
Ejemplos
. El conjunto A={ O,y, r,*}, es de cardinalidad "4".
. El conjunloZ={5,7,8,a,b,c,e,f,g,h }, es de cardinalidad "10".
Pertenencia
Para escribir si un elemento pertenere a un conjunto dado, se emplea un slmbolo
especial de pertenencia (e). Por ejemplo, la notaci6n a e X se lee "a es un elemento del
conjunto X". Para denotar que un objeto "e" no es elemento de un conjunto X, se
escribe: e e X. O sea que para negar la pertenencia de un elemento, en un conjunto
dado, se usa el sfmbolo de pertenencia con una diagonal.
Forma de definir o determinar un conjunto
Definir o determinar un conjunto, significa decir cudles son sus elementos, o, sea, que,
un conjunto est6 bien determinado cuando se sabe cu6les son sus elernentos. Los
m5todos que se utilizan para determinar o definir conjuntos son los siguientes.

Guia Matem5tica
a) Por enumeraci6n, extensi6n o tabulaci6n.
b) Por comprensi6n o descripci6n.
c) Gr5fica.
a) Por enumeraci6n
Todos los elementos que pertenecen a un conjunto se enumeran, escribi6ndolos entre
llaves separados por comas. Ejernplos.
1. El conjunto de las vocales del alfabeto castellano.
V = {a,e,i,o,u}
2. El conjunto de los colo.res primarios.
3 = {rojo,amarillo,azul}
3. Los nrimero primos entre 7 y 17
C = {11,13 }
Hay casos en que pueden representarse los conjuntos usando puntos suspensivos
siempre que'los elementos sigan un orden, o, bien, que se pueda definir cuSl es el
primero, cuil es el se$undo,... y cu5l es el n-6simo elemento de ese conjunto.
Ejemplos.
1. El conjunto de las letras del alfabeto castellano.
A = {a, b, c,...x, y, z}
2. El conjunto de los numeros naturales de cero a cien.
' B = {AJ,2,3,4,5...96,97,98,99, 1 00}.
Tambi6n pueden representarse algunos conjuntos infinitos, de la siguiente manera,
siempre que no haya ambiguedad respecto a la pertenencia de un elemento dado del
conjunto. Ejemplo.
.v
1. 5 = {0,1 ,2,3,4,5,...} = conjunto de los nfmeros naturales.
2. Z= {...-3,-2, -1,A,1,2,3...I = el conjunto de los nfmeros enteros.
b) Forma descriptiva
Esta segunda manera de definir un conjunto consiste en proporcionar la regla que
identifi'ca a sus elementos, para Io cual se utiliza una variable y a continuaci6n una
proposici6n que depende de dicha variable (literal que adquiere distintos valores en un
problema dado). Por ejemplo, el conjunto G cuyos elementos x cumplen una propiedad
P, se denota por:
. G = l*l* tiene la propiedad P)
Lo cual se lee, "G es el conjunto de elementos x, tales que cada elemento x tiene la
propiedad P". La bana vertical empleada en la notaci6n anterior es una abreviatura de
la expresion "tales que". Ejemplos.
.
48

1.
Guia Matem6tica
Elconjunto de los meses detafro.
Z= {xlx es un mes del afio}
EI conj.unto de los nfimeros naturales mayores que2 y menores que 10.
N={xlZ.x<10n xe N}
Elementos:
pr-7:-l-7:-8
Pr-7 -0-7:-7
pr-7 :1_7 - -g
Elementos:
:3-4-3'l-4:-l
xr:3nr-4-3'?-4:2
:3h-4- 1'3- 4:5
xo:3fl0 -4- 3'4-4:8
c) Forma greflca
Para representar, gr6fic€mente, un conjunto se utilizan los diagramas de Venn, tos
cuales fueron inventados por el l6gico ingl6s John Venn en el siglo XlX. Estos.diagramas
son figuras de cualquier forma, que ademds de ser utilizados para representar,
gr5frcamente, conjuntos, tambi6n son usados para indicar respuestas de operaciones
entre conjuntos y para explicar un hecho determinado. En 6stos dos riltimos usos, los
diagramas de Venn pueden estar parcial o totalmente sombreados.
EJEMPLO. Representar grdficamente los siguientes conjuntos:
A = t1 ,2,3,4,51 .
B = {4,5,6,7,8,9}
C = {8,9,10,11,121
Tipos de conjuntos
a) Conjunto finito
Se dice que un mnjunto es finito, cuando el nfimero de sus elementos puede
determinarse afn cuando estos sean numerosos o muchos. Ejemplos:
1. El conjunto de los dias de la semana.
2. Elconjunto de los departamentos de la Rep0blica de Guatemala.
3, El conjunto de los habltantes de la repriblica de El Salvador-
4. El conjunto de los lagos del continente Americano.
5. El c,onjunto de los puntos cardinales.
3. p = {_2,2}
F={xlx2=4}
4. H={p-7i-t<p<ZnpeZ}
P1 = -1 , ?2=0, Y ps =1
H = {_8, _1, Sl
5. G={xl x=3n-4,0<n l.4nn€40
f11= 1, {'12= 2, Ilg = 3, Y fln= 4
G = t _1,2,5,91
C
It
49
2.

Gufa Matem6tica
b) Gonjunto infinito
El conjunto infinito es aquel, en el cual, NO se puede determinar la totalidad de sus
elementos. Ejemplos:
1. El conjunto de los n0meros enteros.
2. El conjunto de las estrellas delfirmamento,
3. El conjunto de los nrimeros racionales.
4. El conjunto de los nr.imeros reales,
5. El conjunto de puntos de la recta num6rica.
c) Conjunto Unitario
Cuando el conjunto estd formado por un solo elemento con caracterfsticas que lo hacen
fnico se trata de un conjunto unitario. Ejemplo:
1. El sat6lite naturalde la tiena. v
B = {x Ix es el sat6lite natural de la tiera]
B=tLuna)
2. lnstituci6n descentralizadarectora de la educacion agricola en Guatemala.
y=1ENCA)
d) Conjunto universo o referencial (U)
Ahora analizaremos a todo conjunto utilizado en forma limitada; 6ste siempre es parte de
otro mayor en el cual estdn considerados todos los elementos que pudieran existir del
asunto en cuestion. Se llama universo al conjunto de elementos que intervienen en una
teorfa. El conjunto universo abarca la totalidad de elementos que se han tomado eomo
referencia. Ejemplos:
. El conjunto de los nfimeros naturales.
. El conjunto de los seres vivos que existen en [a Tiena.
. El conjunto de los autom6viles construidos.
e) Conjunto complemento v
Se le llama complemento de un subconjunto del universo, a la diferencia entre el
universo y el subconjunto. El complemento de un conjunto A es A" = U-A, donde A" se
lee "A complemento'.
Definicion
A'={xlx e U n x*
Por ejemplo, dados los conjuntos universo y A, deflnidos asf:
l.J={xl,Z<^(9,n xeN}
A=txl x=2n, 0<n<4 n neN)
Conjuntos universo y A en forma enumerativa:
U = {2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {2,4,6,8}

Gula Matemdtica
Como A"= U-A, entonces:
4" = {3,5,7,9}
En forma gr1fica:
netf]=C
f) Conjunto vacfo o nulo
Conviene establecer, con toda daridad, aquella situaci6n en la que es necesario
considerar a un conjunto que carere de elementos y en mnsecuencia es vacfo. Por lo
tanto, todo conjunto sin elementos recibe el nombre de Vacio o Nula. Se representa en
forma descriptiva mediante el sfmbolo A, y si su representaci6n se hiciera por extensi6n,
se indicaria como { }, pues, la representacion {0} indica que el conjunto est6 formado
por un elemento llamado cero. Ejemplos:
1. Para representar el conjunto A de los habitantes de la luna.
A=A, obienA={}
2. B = { x lx es un n0mero primo divisible por 4 }
B= A (no existe un n0mero primo divisible por 4).
Subconjuntos
Si cada elemento de un conjunto A es tambi6n elemento de un conjunto B, decimos que
A es un suboonjunto de B. Se debe observar que la definici6n anterior permite que un
conjunto sea subconjunto de s[ mismo. Por ejemplo, el conjunto de todas las mujeres de
un srupo de estudia":
::',#" :: ::::j,;,i" -icamente:
La notaci5n A a B se lee "A no es subconjunto de 8". Esto significa que existe por lo
menos un elemento de A que no pertenece a B. El conjunto vacio o nulo es subconjunto
de todos los conjuntos.
Si dos conjuntos tienen exadamente los mismos elementos (sin importar el orden en
que se enumeren), se dice que ambos conjuntos son iguales. Simbolicamente:
A = B significa "A es igual a B"
Dos conjuntos A y B son iguales, si todo elemento de A es elemento de B y todo
elemento de B es elemento deA. A = B significa que las relacionesA c B y B cA se
cumplen simult6neamente. Con base en lo anterior, el siguiente argumento es vdlido:
51

Guia Matem6tica
AcB
BcA
A:B
Conjunto potencia
Al ctinjunto de todos los subconjuntos de un conjunto A, se le llama Conjunto Potencia
de A y se simboliza (Pn), EI nilmero de subconjuntos que se obtienen de un conjunto A,
es igual a 2n, donde n es igual al nrimero de elementos del conjunto A.
Ejemplo:
Si el conjunto referencial deflnido en forma descriptiva es U= {xl x < 19 n x e N}
y tres subconjuntos en Sste son, A, B, y C deflnidos como:
f,={$,6,16} B={A,4,7,11,18! C=t1,5,9,10,13,17I
v
El conjunto universo definido en forma enumerativa serfa:
y = {0, 1,2,3,4,5,6,7, 8,9, 1 0, 1 1,12,13,1 4,1 5,16,17,1 8I
El nfmero de subconjuntos y el conjunto potencia de A son.
2n =23 =2x2x2=8
('l
P*= 0,{3},t6i,{16},t3,6},t3,16},{6,16},t3,6,16} f
- L-- )
aCuSlserd el complemento del conjunto C?
cc - 10,2,3,4,6,7,8,1 1,12,1 4,15, 1 6, 1 8)
Recuerde que el comptemento de un subconjunto det universo, est6 formado. por los
elementos que pertenecen a universo pero que no pertenecen al subconjunto. En otras
palabras el complemento de un.conjunto es lo que le hace falta a dicho conjunto para Y
ser igual al conjunto universo.-
La rJpresentaci6n gr6,fica de los conjuntos de nuestro ejemplo es:
E
1-17
g 1318
-
14
12
d
0
18 11 7
52
U

Guia Materndtica
Por ultimo, observe que las siguientes proposiciones simples son verdaderas:
a.Se C d.9e B g:{4,5}a C
b: {3,16}€Pn ' e.C cU h.{4,5}cU.
c:U a B f.{Ic A i.11eU
Operaciones con conjuntos
Los conjuntos pueden relacionarse en funcion de sus elementos para obtener nuevos
conjuntos resultantes de las diferentes combindciones que se hacen entre ellos. Estas
combinaciones se conocen como operaciones entre conjuntos, las cuales son: Uni6n,
intersecci6n, diferencia, diferencia simStrica, producto cartesiano. Para ejemplificar cada
una de estas operaciones, tomaremos los siguientes conjuntos:
.v U - 10,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20)
A= {2,4,6,8J4,12,14}
B = {0,4,8,12,161
- Ejemplo:
A,.-, B = {0,2,4,6,8,10,12,14,16I
AB
a) Uni6n
La uni6n de dos conjuntos A y B, la cual se denota por A u B, es el conjunto de todos
los elementos que estdn en el conjunto A o (inc{usiva) en el conjunto B; es la suma de
los elementos contenidos en ambos conjuntos. Es el conjunto de elementos que
pertenecen, por lo menos, a uno de los dos conjuntos.
A*."rE}=
Definicion
txl*=Avxe
AB
*.et. W=A t, B
53

Gula Matem6tica
b) lntersecci6n
La intersecci6n de dos conjuntos A y B, Ia cual se denota por A n B, es el conjunto de
elementos que estdn alavez en ambos conjuntos A y B.
Deflnicion
I
AnB={xlxeAnxe
En algunos casos se da que no existen elementos mmunes en ambos conjuntos, en
dicho caso el resultado es conjunto vaclo y a los dos conjuntos en cuesti5n se dice que
son ajenos o disjuntas. Ejemplo:
AnB={4,i,121
Ret ffi= AnB
c) Diferencia
Esta operacion se denota A-8, la cual es igual a tomar todos los elementos que estSn
en el conjunto A, pero que no est6n en el conjunto B. De otra forma, A-B serS el
conjunto de elementos de A que quedan despu6s de haberle quitado al conjunto A,
todos los elementos qUe tambi6n pertenecen atconjunto B.
. Definici6n
A-B={xlxeAnx*B}
B*A={xixeBnxeA}
No estii de mds sefralar que A-B no es igual a B-A.
54
AB

Guia Matem6tica
Ejemplos:
A_B = t2,6,10,14)
Detinicion
AAB=lxlxeAvxeB)
AAB={(A-B) r-,(B-A)}
B_A = {0,16}
Ref. ffi = A-B Ref ffi = B-A
dl Diferencia simStrica
La diferencia simdtrica de dos conjuntos A y B, la cual se denota A A B, es otro mnjunto
formado por los elementos que estiin en el conjunto A o (exclusivo) en el conjunto B. Es
decir, es la suma de Ios elementos contenidos en ambos conjuntos sin considerar los de
la intersecci6n de A y B.
La discrepancia que existe en la soluci6n de la uni6n y una diferencia sim6trica de dos
conjuntos A y B, estriba en que Ia uni6n toma en cuenta'los elementos que est6n
contenidos en ambos conjuntos (los'de la intersecci6n) y la diferencia simdtrica no
considera a estos elementos. ,
Ejemplo.
AAB={4,2,6,10,14,161
Ref.ffi=AAB
55
AB AB
:rL:lii ,:'.=
AB

Guia Matem6tica
Finalmente, utilizando cdlculo proposicional se puede demostrar que la relaci6n de
equivalenciaA A g = { (A-B) u, (B-A) } es vdlida, asi:
ALB:rr€Avx€B
A-B:x€.A A x/B
B-A:x€B A x/A
Si p:Y64 y q:xeB, entonces'.
tp y-q)o I (p A- q)v (a n-r)l
Elaborando la tabla de verdad para la proposicion compuesta:
p q
-rr
Y Fn-..Q -p QN-P (pn-q)v(qn-p) pvq (pyq)e[{p".-Q) v (q,,r"-p)]
v f f f f t f V
V f v v f f , V
f V f f V V
f f V f f f f V
La doble implicaci6n es tautologfa, por Io tanto, la relaci6n de equivalencia es vdlida.
El resultado anterior significa que independientemente de los elementos que puedan
tener cualesquiera conjuntos A y B, en todos los casos, Ios elementos del conjunto AAB
ser5n los mismos que del conjunto {(A-B)u(B-A)}.
e) Producto cartesiano
Dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano del conjunto A por el conjunto
B, al.conjunto C, cuyos elementos son todos los pares ordenados (x,y), donde los
valores de "x" son elementos del conjunto A y los de 'Y' son los elementos que
pertenecen al conjunto B.
Definicion
AxB={(x,y)lxe A,r ye B}
BxA= li'e B ,.. iY e
Cada una de las parejas ordenadas obtenidas a partir del proCucto cartesiano puede
interpretarse como las coordenadas de un punto en el plano cartesiano o como el
area dei cuadril6tero formado por las componentes lineales y los ejes. Por la
definicion establecida y la interpretacion de sus elementos, el producto cartesiano no
es una operacion conmutativa, es decir, que A :* B + B x A. Por ejemplo el par
ordenado (3,8) no es iguat al par ordenado (8,3) porque los puntos tienen distinta
ubicaci6n en el planc cartesianc, aun cuandc arnbos definen !a misma 6rea. Las
siguientes figuras muestran la diferencia entre las parejas ordenadas (3,8) y (8,3).
56

Guia MatemStica
Ejemplo: DadoqueAnB= {4,8,121 y B-A={0,16}, entonces:
(A n B) x (B-A) = {( 4,0),(4,16),(8,0),(8,16),{12,0),(12,16)I Card. 6
(B-A) x (A n B) = {( 0,4),(0,8),(0,12),{16,4},(16,8),('16,12)} Card.6
Como se puede observar [(A'-, Bi x (B-A)] + (B-A) x (A n B]],
cardinalidad de ambos productos cartesianos es la misma. Ahora
resultados en un plano de coordenadas cartesianas:
sin embargo, la
graflquemos los
En la figura de la derecha se observa que el producto ffirtesiano delimita un cuadriliitero
que resulta de delinear los segmentos rectillneos definidos por las parejas ordenadas y
Ia union de Ia primera y ultima de ellas. Los puntos s6lidos representan los elementos
de [(A n B) x (B-A)]
$ubconjuntos y correspondencla a partir de[ producto cartesiano
De los elementos del producto cartesiano tambi6n pugden obtenerse subconjuntos que
establecen tres tipos de conespondencia, dependiendo de la manera en que se
estructuren las parejas ordenadas a partir de los elementos de los conjuntos. Cada uno
de los posibles subconjuntos tiene representaci6n gr6fica, ya sea delimitada o
Areg=24
unllades
ouadradas
Area: 24 widades cuadradas
t
(12,16)

1LógicConjunENCA.pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a 1LógicConjunENCA.pdf

Similar a 1LógicConjunENCA.pdf (20)

Más de CarlosLeverman

Más de CarlosLeverman (14)

Último

Último (20)

1LógicConjunENCA.pdf