El Teorema de los Cuatro Colores afirma que para pintar cualquier mapa dibujado sobre un plano o esfera, de modo que países con frontera común no compartan el mismo color, sólo se necesitan cuatro colores. Este problema surgió de una pregunta realizada en 1734 y no fue demostrado matemáticamente hasta 1976 con la ayuda de ordenadores. A lo largo de los años hubo varios intentos fallidos de demostración y el teorema se convirtió en una famosa conjetura matemática.

1. CUATRO
El Teorema de los Cuatro Colores no fue demostrado hasta 1976, siendo hasta esa fecha una de
las conjeturas más famosas de las matemáticas. Surgida de una pregunta trivial realizada por un alum-
no a su profesor en 1734, mantuvo en vilo a los matemáticos más famosos de todos los tiempos. Su
demostración, en cualquier caso, fue posible con la colaboración de un ordenador.
COLORES BASTAN por Lolita Brain
Para Nueva Guinea
necesitaremos tres
colores.
El
Teorema de los
El caso más trivial es el de un
UN POCO DE HISTORIA mapa como el australiano. Cuatro Colores afirma
Dos colores nos bastan que para pintar cualquier
No parece que el problema de (¡no olvides el mar!) mapa dibujado sobre un plano o
los cuatro colores tenga ori- sobre una esfera, de modo que
gen cartográfico. Las pri - dos países con frontera común no
meras referencias aluden compartan el mismo color, sólo
al joven FRANCIS GUTHRIE, son necesarios cuatro colores.
quién realizando un mapa Ni uno más, ni uno
de Inglaterra, observó que menos.
sólo necesitaba cuatro co-
lores. Se preguntó entonces
si sólo serían necesarios cua-
tro colores para pintar cual- Francis
Guthrie
quier mapa. Su hemano Fre-
derick, a la sazón alumno del gran lógico bri-
tánico D E M ORGAN , l e t r a s l a d ó l a
pregunta al maestro, quien, en
1852, desesperado por no poder
encontrar una respuesta, es-
cribió al también famosísimo
HAMILTON, que tampoco pudo Incluso para casos extremos
como Zambia, con frontera
dar con la solución. De esta
común con 8 países, o de Austria,
guisa el problema llega a ma- Cuando se es - con 7 países fronterizos, se
nos del no menos importante tudian los ma- pueden usar sólo cuatro colores.
CAYLEY, del que data la primera pas en mate - ¿Te atreves a intentarlo?
máticas, se
8 Augustus referencia escrita a la CONJE-
modelizan
De Morgan TURA del Mapa de los Cuatro
AULA E
(1806-1871) Colores, haciéndose famosa para resaltar lo n TOPOLOGÍA, peque-
fundamental: ños cambios en un
entre la comunidad matemá- los vértices y
DE EL MUNDO tica. En 1878 KEMPE anunció en la revista Na- problema cambian
las fronteras.
ture que tenía una prueba de la veracidad de ¿Encuentras su dificultad de un
la conjetura... pero 11 años después, HEA- parecidos en - modo asombroso. Por
WOOD encontró un fatídico error en la de - tre los modelos ejemplo, si los ma pas
mostración de KEMPE que la invalidaba. TAIT de arriba y los estuvieran formados
dio en 1880 otra prueba falsa -reconocida mapas reales? sólo por líneas rectas -
como tal en 1891-. Sin embargo, los erro- como el de la ilustra-
res de ambos abrieron nuevos caminos de ción- con sólo dos co-
investigacción. No fue hasta 1976 cuando lores se pueden pintar
A PPEL y H AKEN d i e r o n l a p r i m e r a d e m o s - todos. Y además es un
tración de la veracidad de la conjetura teorema “sencillo”.
con ayuda de un potente ordenador
Si observas el mapa su-
P
que procesó en 2.000 horas todos los uedes hacerte una
posibles mapas que se sabían se po- perior “casi” todo él se idea del porqué del
dían trazar. Era la primera vez que puede iluminar con sólo siguiente modo: si
se necesitaba un ordenador para dos colores... excepto el disponemos de un
finalizar una demostración. La “país” o porción infe- mapa trazado sólo
conjetura era, por fin, un teorema, rior izquierda. Observa con rectas y trazamos
y la intuición de FRANCIS GUTHRIE, que hay un vértice im- una más, verás que to-
correcta. par ya que en él concu- dos los países que han
rren tres fronteras. sido cruzados por ella,
Arthur Cayley tienen ahora una fron-
(1821-1895) tera con otro país del
mismo color.
E
l problema de cómo colorear un mapa es un
B
problema TOPOLÓGICO, porque se refiere a las asta escoger una
posiciones relativas de los puntos de un de las dos mitades
cuerpo, no de sus distancias que los sepa- del plano debida a
ran. Las figuras que son TOPOLÓGICAMENTE la recta trazada, y cam-
EQUIVALENTES son las que se pueden trans- biar los colores de to-
formar unas en otras por estiramiento pero dos los países que es-
sin rotura -como si las figuras fueran de tén del mismo lado de
plastilina-. Los problemas topológicos tie- la recta (en el mismo
nen la misma solución en figuras equiva- semiplano), como si hi-
lentes. Por ejemplo, los mapas en el pla- cieras un negativo. ¡Y
no y en una esfera necesitan sólo cuatro ya está coloreado con
colores, porque son figuras equivalentes sólo dos colores!
topológicamente. En cambio, una rosquilla
(un TORO en matemáticas) no es equiva-
lente a una esfera. De este modo, en un mun- EL TEOREMA BICOLOR : UN MAPA SE PUEDE PINTAR CON SÓLO
DOS COLORES SI TODOS LOS VÉRTICES SON DE CLASE PAR , ES
do imaginario con forma de donut, necesi-
DECIR , LLEGAN UN NUMERO PAR DE FRONTERAS A CADA VÉRTICE
taríamos hasta siete colores para poder pintar
cualquier mapa sobre su superficie.
lolitabrain@hotmail.com