Este documento presenta el índice de un libro de texto sobre Mecánica II. El índice incluye 17 capítulos que cubren temas como posición y desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerzas estáticas y dinámicas, síntesis de levas y engranajes, trenes de engranajes, equilibrado y dinámica de máquinas como volantes y giróscopos. El objetivo del libro es estudiar las relaciones entre la geometría y los movimientos de piezas de máquinas y mecanismos, así como

1. MECANICA II
2010
I. ZABALZA VILLAVA

3. Mecánica II
i
INDICE
CAPÍTULO 1 – INTRODUCCIÓN................................................................ 1
1.1 – INTRODUCCIÓN.............................................................................................. 1
1.2 – CIENCIA DE LA MECÁNICA..........................................................................1
1.3 – SÍNTESIS Y ANÁLISIS.....................................................................................2
1.4 – TERMINOLOGÍA, DEFINICIONES E HIPÓTESIS........................................ 3
1.5 – MECANISMOS PLANOS, ESFÉRICOS Y ESPACIALES..............................5
1.6 – MOVILIDAD..................................................................................................... 5
1.7 – INVERSIÓN CINEMÁTICA............................................................................. 6
1.8 – LEY DE GRASHOF...........................................................................................7
1.9 – VENTAJA MECÁNICA.....................................................................................7
1.10 – CURVAS DEL ACOPLADOR........................................................................ 8
1.11 – MECANISMO DE LÍNEA RECTA................................................................ 9
1.12 – MECANISMO DE RETORNO RÁPIDO........................................................ 9
CAPÍTUL. 2 – POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO.................................. 11
2.1 – SISTEMAS DE COORDENADAS..................................................................11
2.2 – POSICIÓN DE UN PUNTO.............................................................................11
2.3 – DIFERENCIA DE POSICIÓN ENTRE DOS PUNTOS...................................12
2.4 – POSICIÓN ABSOLUTA Y POSICIÓN APARENTE DE UN PUNTO..........13
2.6 – ECUACIÓN DE CIERRE DEL CIRCUITO....................................................13
2.11 – DESPLAZAMIENTO DE UN PUNTO EN MOVIMIENTO........................14
2.12 – DIFERENCIA DE DESPLAZAMIENTO ENTRE DOS PUNTOS...............15
2.13 – ROTACIÓN Y TRASLACIÓN......................................................................16
2.14 – DESPLAZAMIENTO APARENTE Y DESPLAZAMIENTO ABSOLUTO16
CAPÍTULO. 3 – VELOCIDAD.................................................................... 19
3.1 – DEFINICIÓN DE VELOCIDAD..................................................................... 19
3.1.1 – Derivación de vectores en coordenadas cartesianas.................................. 20
3.2 – DEFINICIÓN DE VELOCIDAD ANGULAR................................................ 20
3.2.1 – Rotación alrededor de un punto fijo...........................................................21
3.3 – MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN.....................................22
3.3.1 – Movimiento plano cualquiera.................................................................... 22
3.4 – ANÁLISIS GRÁFICO DE LA VELOCIDAD. POLÍGONO DE
VELOCIDADES............................................................................................ 23
3.5 – VELOCIDAD APARENTE DE UN PUNTO EN UN SISTEMA DE
COORDENADAS EN MOVIMIENTO......................................................... 24
3.6 – VELOCIDAD ANGULAR APARENTE........................................................ 26
3.7 – CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR RODADURA....................... 26
3.7.1 – Contacto directo con deslizamiento........................................................... 26
3.7.2 – Contacto directo con rodadura.................................................................. 27
3.10 – CENTRO INSTANTÁNEO DE VELOCIDADES (Ó DE ROTACIÓN)..... 27
3.11 – TEOREMA DE LOS TRES CENTROS........................................................ 29
3.12 – LOCALIZACIÓN DE CENTROS INSTANTÁNEOS DE ROTACIÓN...... 30

4. Índice
ii
3.13 – ANÁLISIS DE VELOCIDAD USANDO CENTROS INSTANTÁNEOS... 30
3.14 – TEOREMA DE LA RAZÓN DE VELOCIDADES ANGULARES............. 31
3.16 – VENTAJA MECÁNICA................................................................................ 31
CAPÍTULO. 4 – ACELERACIÓN............................................................... 33
4.1 – DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN.................................................................33
4.1.1 – Cálculo de la aceleración por derivación................................................... 34
4.2 – DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN ANGULAR............................................34
4.2.1 – Rotación alrededor de un punto fijo.......................................................... 35
4.3 – MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN.....................................37
4.3.1 – Movimiento plano cualquiera........................................................................ 38
4.4 – ANÁLISIS GRÁFICO DE LA ACELERACIÓN. POLÍGONO DE
ACELERACIONES........................................................................................ 38
4.5 – ACELERACIÓN APARENTE DE UN PUNTO EN UN SISTEMA DE
COORDENADAS EN MOVIMIENTO......................................................... 40
4.6 – ACELERACIÓN ANGULAR APARENTE................................................... 42
4.7 – CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR RODADURA....................... 42
4.7.1 – Contacto directo con deslizamiento.......................................................... 42
4.7.2 – Rodadura sobre un eslabón fijo................................................................. 43
4.7.3 – Contacto directo con rodadura................................................................... 45
CAPÍTULO. 12 – FUERZAS ESTÁTICAS................................................ 47
12.1 – INTRODUCCIÓN......................................................................................... 47
12.2 – SISTEMAS DE UNIDADES......................................................................... 48
12.2.1 Sistema internacional................................................................................. 48
12.2.2 Sistema inglés............................................................................................ 48
12.3 – FUERZAS APLICADAS Y FUERZAS DE RESTRICCIÓN...................... 49
12.4 – CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO................................................... 49
12.5 – DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE.............................................................. 50
12.6 – FUERZAS DE RESTICCIÓN....................................................................... 50
12.7 – ELEMENTOS DE DOS Y TRES FUERZAS............................................... 50
12.8 – ELEMENTOS DE CUATRO FUERZAS..................................................... 52
12.9 – PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.............................................................. 52
CAPÍTULO. 13 – FUERZAS DINÁMICAS............................................... 53
13.1 – INTRODUCCIÓN......................................................................................... 53
13.2 – CENTROIDES Y CENTRO DE MASAS..................................................... 53
13.2.1 – Centro de masas de una serie de partículas en el espacio....................... 53
13.2.2 – Centroides de figuras geométricas planas compuestas........................... 54
13.2.3 – Centroides de figuras geométricas planas limitadas por una función..... 55
13.2.4 – Centro de masas de un cuerpo limitado por una función........................ 55
13.2.5 – Centro de masas de un cuerpo compuesto.............................................. 56
13.3 – MOMENTOS DE INERCIA......................................................................... 57
13.3.1 – Momento de inercia de superficies......................................................... 57
13.3.2 – Momento de inercia de superficies complejas........................................ 58
13.3.3 – Momento de inercia de masas................................................................. 59
13.3.4 – Momento de inercia de masas complejas................................................ 60
13.3.5 – Sentido físico del momento de inercia de masas..................................... 61

5. Mecánica II
iii
13.4 – CÁLCULO DE FUERZAS............................................................................ 61
13.5 – PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.............................................................. 62
13.7 – ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO............................................ 63
13.8 – CASOS DE ESLABONES ESPECIALES.................................................... 64
13.8.1 – Eslabón de salida en un cuadrilátero articulado...................................... 64
13.8.1 – Eslabón de entrada en un cuadrilátero articulado................................... 65
13.9 – CASO SENCILLO DE DINÁMICA DIRECTA.......................................... 68
13.10 – FUERZAS DE SACUDIMIENTO.............................................................. 71
CAPÍTULO 6 – SÍNTESIS DE LEVAS....................................................... 73
6.1 – INTRODUCCIÓN........................................................................................... 73
6.2 – CLASIFICACIÓN DE LAS LEVAS............................................................... 73
6.3 – DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO......................................................... 75
6.4 – DERIVADAS DEL DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO........................ 77
6.5 – MOVIMIENTOS ESTÁNDAR DE LAS LEVAS........................................... 78
6.6 – DISEÑO GRÁFICO DE PERFILES DE LEVAS............................................83
6.7 – FUERZAS EN LEVAS.................................................................................... 85
CAPÍTULO 7 – SÍNTESIS DE ENGRANAJES......................................... 89
7.1 – INTRODUCCIÓN............................................................................................ 89
7.2 – CLASIFICACIÓN DE LOS ENGRANAJES.................................................. 89
7.2.1 – Engranajes cilíndricos................................................................................ 90
7.2.2 – Engranajes cónicos.................................................................................... 92
7.2.3 – Engranajes hiperbólicos............................................................................. 94
7.3 – TEORÍA DE ENGRANE................................................................................. 97
7.3.1 – Engranajes cilíndricos rectos exteriores.................................................... 97
7.3.2 – Ley de engrane.......................................................................................... 98
7.3.3 – Tamaño del diente: Paso y módulo............................................................ 99
7.3.4 – Línea de engrane...................................................................................... 102
7.3.5 – Línea de acción o empuje y ángulo de presión........................................ 103
7.3.6 – Zona de engrane...................................................................................... 103
7.3.7 – Dimensiones de un engranaje normal..................................................... 105
7.3.8 – Dimensiones de un engranaje de diente corto......................................... 107
7.3.9 – Perfil del diente: Cicloidal y evolvente................................................... 107
7.3.10 – Engrane entre perfiles de evolvente...................................................... 109
7.3.11 – Engrane de dos ruedas con perfil de evolvente..................................... 112
7.3.12 – Cremallera de envolvente...................................................................... 112
7.3.13 – Engrane de rueda dentada y cremallera................................................. 114
7.3.14 – Engranaje cilíndrico recto interior......................................................... 114
7.4 – FUERZAS EN LOS ENGRANAJES RECTOS.............................................115
CAPÍTULO 9 – TRENES DE ENGRANAJES.......................................... 117
9.1 – INTRODUCCIÓN.......................................................................................... 117
9.2 – TRENES DE NEGRANAJES DE EJES FIJOS............................................. 117
9.3 – TRENES DE NEGRANAJES CON ALGÚN EJE MÓVIL, (TRENES
EPICICLOIDALES)..................................................................................... 119

6. Índice
iv
CAPÍTULO 15 – EQUILIBRADO............................................................. 121
15.1 – INTRODUCCIÓN........................................................................................ 121
15.2 – EQUILIBRADO TEÓRICO DE EJES......................................................... 121
15.2.1 – Equilibrado estático............................................................................... 122
15.2.2 – Equilibrado dinámico............................................................................ 124
15.3 – EQUILIBRADO PRÁCTICO DE EJES...................................................... 127
15.3.1 – Equilibrado estático práctico................................................................. 127
15.3.2 – Equilibrado dinámico práctico.............................................................. 129
CAPÍTULO 17 – DINÁMICA DE MÁQUINAS....................................... 131
17.1 – VOLANTE....................................................................................................131
17.2 – GIROSCOPIO.............................................................................................. 134
17.2.1 – Efecto giroscópico................................................................................. 135
17.3 – REGULADOR DE Watt.............................................................................. 136

7. Mecánica II
1
CAPÍTULO 1 - INTRODUCCIÓN
1.1 - INTRODUCCIÓN
El Consejo de Universidades propuso como asignatura troncal en la
carrera de Ingeniero Técnico Industrial Mecánico "Mecánica y Teoría de
Mecanismos", asignatura de 12 créditos con los descriptores siguientes:
Estática, cinemática y dinámica del sólido rígido y aplicaciones fundamentales
en la ingeniería. Análisis cinemático y dinámico de mecanismos y máquinas.
En la Universidad Pública de Navarra se ha divido en dos asignaturas:
Mecánica I, que trata los descriptores estática, cinemática y dinámica
del sólido rígido y aplicaciones fundamentales en ingeniería, asignatura de 6
créditos que se imparte en primer curso.
Mecánica II, que trata los descriptores análisis cinemático y dinámico
de mecanismos y máquinas, asignatura de 6 créditos que se imparte en segundo
curso.
1.2 - CIENCIA DE LA MECÁNICA
Máquinas
yMecanismos
aAplicada
)Dinámica(oCinética
Cinemática
Dinámica
Estática
Mecánica
Física






































En Mecánica II se estudiarán las relaciones entre la geometría y los
movimientos de las piezas de una máquina o mecanismo y las fuerzas que
generan tales movimientos. El estudio de movimientos y fuerzas se hará
preferente por métodos gráficos para que resulte más intuitivo.
La Mecánica II junto con la Ciencia de Materiales y la Elasticidad y
Resistencia de Materiales son la base para el Diseño y Cálculo de Máquinas.
En Mecánica II se estudian los movimientos y las fuerzas que aparecen en
determinados puntos de las piezas que forma el mecanismo o la máquina, por

8. Capítulo 1 - Introducción
2
medio de la Elasticidad y Resistencia de Materiales, y partiendo de las fuerzas
calculadas por medio de la Mecánica II, se determinan las tensiones que se
producen en los diferentes puntos de las piezas y finalmente la Ciencia de
Materiales indicará si el material de cual está construida la pieza es capaz de
soportar las tensiones calculadas.
Del párrafo anterior se deduce la importancia de la Mecánica II para el
ingeniero que se dedique al diseño de mecanismos y máquinas.
En Mecánica II se estudiarán también una serie de mecanismos cuyo
conocimiento facilitará el diseño de máquinas, ya que éstas están formadas por
mecanismos, y por lo tanto, cuantos más se conozcan, se tendrá más
posibilidades de escoger los más apropiados.
1.3 - SÍNTESIS Y ANÁLISIS
El proceso de diseño de un mecanismo o máquina se puede dividir en
dos partes: Síntesis y análisis.
En el proceso de síntesis, se diseña un mecanismo o máquina que sea
capaz de realizar el trabajo deseado, de forma aproximada. En el proceso de
análisis se calculan posiciones, desplazamientos, velocidades, aceleraciones y
fuerzas que aparecerán en las diferentes piezas que componen el mecanismo o
máquina y se comprueba si los movimientos son los previstos, y si las
dimensiones prefijadas son las adecuadas para soportar los esfuerzos a que se
verán sometidas las piezas. Caso de no ser así, se vuelve a rediseñar y analizar
en un proceso iterativo, hasta lograr un diseño de mecanismo o máquina que
realice los movimientos previstos y esté correctamente dimensionado.
El principal objetivo de la Mecánica II es realizar el análisis de
mecanismos previamente sintetizados, no obstante también se estudian
mecanismos, lo que facilitará la labor de síntesis al conocer un mayor número
de mecanismos.
Ejemplo:
Diseñar un mecanismo que realice un movimiento rectilíneo de una
determinada longitud.
Para realizar este tipo de movimiento se podría utilizar un cilindro
hidráulico o neumático, o una cadena cerrada montada entre dos piñones, o un
mecanismo de pistón-biela-manivela, etc.

9. Mecánica II
3
La síntesis comprendería la elección de uno de estos mecanismos (por
ejemplo el mecanismo de pistón-biela-manivela), y su predimensionamiento.
Fig. 1.1 - Mecanismo pistón-biela-manivela
Una vez predimensionado, por medio del análisis se determinarán:
posiciones, velocidades aceleraciones y fuerzas que aparecerán en los diferentes
puntos del mecanismo, se comprobará si los movimientos obtenidos son los
deseados y si las piezas están bien dimensionadas para soportar los esfuerzos a
que serán sometidas.
1.4 - TERMINOLOGÍA, DEFINICIONES E HIPÓTESIS
Máquina, combinación de cuerpos resistentes de tal manera que por
medio de ellos, las fuerzas mecánicas de la naturaleza se pueden encauzar para
realizar un trabajo acompañado de movimientos determinados. (Ejemplo, motor
de explosión).
Mecanismo, combinación de cuerpos resistentes conectados por medio
de articulaciones móviles para formar una cadena cinemática cerrada con un
eslabón fijo y cuyo propósito es transformar el movimiento. (Ejemplo,
mecanismo pistón-biela-manivela).
Existe cierta relación entre estructura y estática, mecanismo y
cinemática y máquina y dinámica.
Eslabón, una pieza de un mecanismo o máquina. Los eslabones
generalmente se consideran rígidos. En los mecanismos, los eslabones se deben
conectar entre sí para transmitir el movimiento desde el eslabón impulsor o de
entrada hasta el eslabón seguidor o de salida.

10. Capítulo 1 - Introducción
4
Pares cinemáticos, las conexiones entre eslabones, que restringen su
movimiento relativo, se llaman pares cinemáticos. Los eslabones también se
pueden considerar como uniones rígidas entre pares.
En los mecanismos, los eslabones se suelen esquematizar para facilitar
su estudio. El mecanismo equivalente debe tener las mismas características
cinemáticas y dinámicas que el mecanismo real.
Cadena cinemática, varios eslabones unidos por medio de pares
cinemáticos. Cadenas cinemáticas abiertas y cerradas.
Mecanismo, cadena cinemática cerrada con un eslabón fijo.
Pares superiores e inferiores, en los pares cinemáticos superiores el
contacto entre eslabones se produce por lo general en una línea o un punto (por
ejemplo el contacto entre una leva y el seguidor). En los pares inferiores el
contacto entre eslabones se produce en una superficie.
Fig. 1.2 - Pares cinemáticos
Los pares cinemáticos inferiores y los grados de libertad que permiten,
tanto en movimiento plano como espacial, figuran en la relación siguiente:

11. Mecánica II
5
Movimiento plano Movimiento espacial
a) Giratorio 1 1
b) Prismático 1 1
c) Tornillo - 1
d) Cilíndrico 1 2
e) Esférico 1 3
f) Plano - 3
1.5 - MECANISMOS PLANOS, ESFÉRICOS Y
ESPACIALES
Mecanismos planos son aquellos en los que todos los puntos del
mecanismo realizan trayectorias contenidas en planos paralelos entre sí. (Por
ejemplo el mecanismo de pistón-biela-manivela).
En los mecanismos esféricos todos los eslabones tienen un punto en
común de velocidad nula y las trayectorias de todos los puntos pueden estar
contenidas en esferas concéntricas con centro en el punto de velocidad nula.
(Por ejemplo la junta cardan).
En los mecanismos espaciales las trayectorias de los diversos puntos del
mecanismo pueden tener cualquier dirección en el espacio.
Los mecanismos más utilizados en la actualidad son mecanismos
planos, su estudio resulta más sencillo porque se pueden utilizar métodos
gráficos al poderse proyectar en verdadera magnitud sobre un plano paralelo a
los del movimiento y por ello serán los que se estudiarán en esta asignatura.
1.6 - MOVILIDAD
Movilidad es el número de diferentes movimientos que se pueden
introducir simultáneamente a un mecanismo. También se podría definir como el
número mínimo de coordenadas necesario para determinar la posición del
mecanismo.

12. Capítulo 1 - Introducción
6
En mecanismos planos la movilidad será:
m = 3 (n - 1) - 2 j1 - j2 (1.1)
Siendo: n = número de eslabones del mecanismo, j1 = números de pares
que permiten un grado de libertad y j2 = número de pares que permiten dos
grados de libertad.
En mecanismos espaciales la movilidad será:
m = 6 (n - 1) - 5 j1 - 4 j2 - 3 j3 - 2 j4 - j5 (1.2)
Siendo: n = número de eslabones del mecanismo, j1 = números de pares
que permiten un grado de libertad, j2 = número de pares que permiten dos
grados de libertad, j3 = números de pares que permiten tres grados de libertad,
j4 = número de pares que permiten cuatro grados de libertad y j5 = número de
pares que permiten cinco grados de libertad.
1.7 - INVERSIÓN CINEMÁTICA
Fig. 1.3 - Inversiones cinemáticas: a) y b) mecanismos de manivela-oscilador, c)
mecanismo de eslabón de arrastre y d) mecanismo de doble oscilador.

13. Mecánica II
7
Inversión cinemática es cada uno de los diferentes mecanismos que se
pueden lograr con una cadena cinemática al hacer fijo un eslabón diferente de la
cadena.
1.8 - LEY DE GRASHOF
En un cuadrilátero articulado, para que al menos un eslabón pueda girar
vueltas completas, se debe cumplir que la suma de las longitudes del eslabón de
mayor longitud más la del eslabón de menor longitud debe ser menor que la
suma de las longitudes de los eslabones de longitudes intermedias.
Es muy importante que se cumpla la condición expuesta en el párrafo
anterior ya que en muchos mecanismos basados en el cuadrilátero articulado, el
movimiento se introduce por medio de un motor giratorio.
1.9 - VENTAJA MECÁNICA
Ventaja mecánica de un mecanismo es la relación entre el par de salida
y el par de entrada.
En el cuadrilátero articulado, será la relación entre el par en el eslabón
seguidor y el par en el eslabón impulsor. Esta ventaja mecánica es proporcional
al seno del ángulo γ formado por los eslabones seguidor y acoplador e
inversamente proporcional al seno del ángulo β formado por los eslabones
impulsor y acoplador, (figura 1.4).
Fig. 1.4 - Ventaja mecánica.

14. Capítulo 1 - Introducción
8
Para lograr que la ventaja mecánica sea lo mayor posible, se debe
procurar que ángulo γ sea lo más próximo a 90º.
Cuando el ángulo β es 0º ó 180º, la ventaja mecánica se hace infinito.
A estas posiciones del mecanismo se les llama posiciones de volquete y se
corresponden con los límites de la oscilación del eslabón seguidor.
Estas posiciones tienen una serie de ventajas como: Gran precisión de
posición del eslabón seguidor, velocidad angular nula del seguidor y par nulo en
el eslabón impulsor.
1.10 - CURVAS DEL ACOPLADOR
Curvas del acoplador son las diferentes trayectorias que describen los
puntos del plano considerándolos solidarios al eslabón acoplador.
Estas curvas pueden variar desde una circunferencia que describe el
punto del acoplador unido al extremo de la manivela, hasta un arco que describe
el punto unido al extremo del seguidor, pasando por curvas parecidas a elipses.
Fig. 1.5 - Curvas del acoplador.

15. Mecánica II
9
1.11 - MECANISMOS DE LÍNEA RECTA
Mecanismos de línea recta son aquellos en los que algún punto del
mecanismo describe una parte de su trayectoria que se aproxima a una línea
recta. En la mayoría de los casos la trayectoria es una curva del acoplador, como
sucede en los mecanismos de Watt, Roberts y Chebychev, (figura 1.6).
Fig. 1.6 - Mecanismos de línea recta: a) Watt, b) Roberts, c) Chebychev y d) Peaucillier.
1.12 - MECANISMOS DE RETORNO RÁPIDO
Mecanismos de retorno rápido son aquellos en los que el tiempo
invertido en la carrera de ida es diferente al invertido en la carrera de vuelta,
(figuras 1.7 y 1.8).
La diferencia de tiempos entre la carrera de ida y la de retorno es debido
a que, suponiendo la velocidad angular del eslabón de entrada constante, el
eslabón de entrada debe recorrer un ángulo mayor durante la carrera de ida que
durante la de retorno. Los tiempos invertidos en las carreras de ida y de retorno

16. Capítulo 1 - Introducción
10
serán proporcionales a los ángulos girados por el eslabón de entrada durante
esas carreras.
La relación de tiempos será:
Q =
β
α
(1.3)
Fig. 1.7 - Mecanismo excéntrico de pistón-biela-manivela.
Fig. 1.8 - Mecanismo de retorno rápido de Whitworth.

17. Mecánica II
11
CAPÍTULO 2 - POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO
2.1 - SISTEMAS DE COORDENADAS
Para poder definir las posiciones de los diferentes puntos de un
mecanismo es necesario utilizar algún sistema de coordenadas.
Aunque existen diferentes sistemas de coordenadas como las cilíndricas
y esféricas, en esta asignatura se emplearán las coordenadas cartesianas.
2.2 - POSICIÓN DE UN PUNTO
La posición de un punto se determinará por medio del vector que va
desde el origen de coordenadas hasta el punto, (figura 2.1).
Fig. 2.1 - Posición de un punto.
kjiR
rrrr z
PO
y
PO
x
POPO RRR ++= (2.1)

18. Capítulo 2 – Posición y desplazamiento
12
El módulo del vector será:
2z
PO
2y
PO
2x
POPO RRR ++=R
r
(2.2)
Y los cosenos directores de los ángulos que forma el vector con los ejes
de coordenadas serán:
PO
x
POR
cos
R
r=α
PO
y
POR
cos
R
r=β
PO
z
POR
cos
R
r=γ (2.3)
2.3 - DIFERENCIA DE POSICIÓN ENTRE DOS
PUNTOS
La diferencia de posición entre dos puntos "P" y "Q" es el vector que va
del punto "Q" al punto "P", (figura 2.2).
Fig. 2.2 - Diferencia de posición entre dos puntos.
QOPOPQ RRR
rrr
−= (2.4)

19. Mecánica II
13
2.4 - POSICIÓN ABSOLUTA Y POSICIÓN APARENTE
DE UN PUNTO
La posición absoluta de un punto es su posición respecto de los ejes de
coordenadas que se toman como absolutos y la posición aparente es su posición
respecto de otros ejes de coordenadas que no son los absolutos, (figura 2.3).
Fig. 2.3 - Posición absoluta y posición aparente de un punto.
2PO1O2O1PO RRR
rrr
+= (2.5)
Donde:
1POR
r
es la posición absoluta.
2POR
r
es la posición aparente.
2.6 - ECUACIÓN DE CIERRE DEL CIRCUITO
Como un mecanismo es una cadena cinemática cerrada, la suma de los
vectores de posición de un extremo de los eslabones respecto del otro extremo
será nula, (figura 2.4).

20. Capítulo 2 – Posición y desplazamiento
14
Fig. 2.4 - Ecuación de cierre del circuito.
0ADDCCBBA =+++ RRRR
rrrr
(2.6)
2.11 - DESPLAZAMIENTO DE UN PUNTO EN
MOVIMIENTO
El desplazamiento de un punto "P" ( P∆R ) es el vector que va desde su
posición inicial hasta su posición final, (figura 2.5).
Fig. 2.5 - Desplazamiento de un punto.
P
'
PP RRR∆
rrr
−= (2.7)

21. Mecánica II
15
2.12 - DIFERENCIA DE DESPLAZAMIENTO ENTRE
DOS PUNTOS
La diferencia de desplazamientos entre dos puntos "P" y "Q"
pertenecientes a un sólido rígido ( PQ∆R ) es el desplazamiento del punto "P"
menos el desplazamiento del punto "Q", (figura 2.6).
QPPQ R∆R∆R∆
rrr
−= (2.8)
Fig. 2.6 - Diferencia de desplazamiento entre dos puntos.
La diferencia de desplazamiento entre dos puntos pertenecientes a un
sólido rígido se puede expresar también como:
PQ
'
PQPQ RRR∆
rrr
−= (2.9)
En la figura 2.6 se aprecia que la diferencia de desplazamiento entre los
dos puntos se debe a una rotación que realiza el sólido rígido alrededor de un
eje que pasa por el punto "Q*".
De la figura también se desprende el teorema de Euler: "Cualquier
movimiento de un sólido rígido se puede sustituir por una traslación ( QR∆
r
)
más un giro alrededor de un eje apropiado".

22. Capítulo 2 – Posición y desplazamiento
16
2.13 - ROTACIÓN Y TRASLACIÓN
Un sólido rígido sufre una traslación cuando el desplazamiento de dos
cualesquiera de sus puntos es el mismo, (figura 2.7 a).
Un sólido rígido sufre una rotación cuando el desplazamiento de dos
cualesquiera de sus puntos es diferente, (figura 2.7 b).
a b
Fig. 2.7 - a) Traslación, b) Rotación.
2.14 - DESPLAZAMIENTO APARENTE Y
DESPLAZAMIENTO ABSOLUTO
Fig. 2.8 - Desplazamiento aparente y desplazamiento absoluto.

23. Mecánica II
17
El desplazamiento absoluto es desplazamiento de un punto visto desde
el sistema de coordenadas absolutas y el desplazamiento aparente es el
desplazamiento del mismo punto visto desde un sistema de coordenadas que no
son las absolutas, (figura 2.8).
La relación entre el desplazamiento absoluto y el desplazamiento
aparente será la siguiente:
2/PPP 323
R∆R∆R∆
rrr
+= (2.10)
Siendo:
3PR∆
r
= Desplazamiento absoluto del punto "P3".
2/P3
R∆
r
= Desplazamiento aparente del punto "P3".
2PR∆
v
= Desplazamiento absoluto del punto "P2", punto coincidente con
el punto "P3".

24. Capítulo 2 – Posición y desplazamiento
18

25. Mecánica II
19
CAPÍTULO 3 - VELOCIDAD
3.1 - DEFINICIÓN DE VELOCIDAD
El la figura 3.1 se aprecia un punto “P” cuya posición viene definida por
el vector “ PR
r
”. Al cabo de un determinado espacio de tiempo “ t∆ ” el punto
“P” pasa a ocupar la posición “ P′ ” cuya posición vendrá definida por el vector
“ '
PR
r
”. El punto “P” ha sufrido un desplazamiento “ PR∆
r
” que vendrá definido
por:
P
'
PP RRR∆
rrr
−= (3.1)
La velocidad media durante el desplazamiento citado será:
mV
r
=
t
P
∆
R∆
r
(3.2)
Y la velocidad instantánea del punto “P” será:
PV
r
=
t0t
lim P
∆→∆
R∆
r
=
dt
d PR
r
(3.3)
Fig. 3.1 - Desplazamiento de un punto.

26. Capítulo 3 – Velocidad
20
3.1.1 - Derivación de vectores en coordenadas cartesianas
Si se tiene por ejemplo el vector de posición de un punto “ PR
r
”
expresado por medio de sus componentes en coordenadas cartesianas:
kjiR
rrrr Z
P
Y
P
X
PP RRR ++= (3.4)
La derivada respecto del tiempo de ese vector será el vector velocidad:
dt
d P
P
R
V
r
r
= (3.5)
La componente “X” del vector velocidad será la derivada de la
componente “X” del vector de posición, la componente “Y” de la velocidad será
la derivada de la componente “Y” del vector de posición y la componente “Z”
de la velocidad será la derivada de la componente “Z” del vector de posición:
kjikjiV
rrrrvrr
dt
dR
dt
dR
dt
dR
VVV
Z
P
Y
P
X
PZ
P
Y
P
X
PP ++=++= (3.6)
3.2 - DEFINICIÓN DE VELOCIDAD ANGULAR
En la figura 3.2 se tiene un sólido rígido, con movimiento plano, en una
determinada orientación indicada por el ángulo “θ”, al cabo de un instante de
tiempo “ t∆ ” el sólido ha realizado una rotación “ θ∆ ”.
Fig. 3.2 - Desplazamiento angular de un sólido rígido.

27. Mecánica II
21
Durante la rotación se puede definir una velocidad angular media como:
t
m
∆
θ∆
=ω
r
(3.7)
Y una velocidad angular instantánea como:
dt
d
t0t
lim θ
=
∆
θ∆
→∆
=ω
r
(3.8)
En este caso, por convenio, el vector velocidad angular “ω
r
” será
perpendicular al plano del movimiento, y aplicando la regla del sacacorchos,
será negativo si gira en el sentido de las agujas del reloj y positivo en sentido
contrario.
3.2.1 - Rotación alrededor de un punto fijo
En un sólido rígido que gire alrededor de un eje fijo la velocidad de uno
cualquiera de sus puntos viene expresado por la ecuación (3.9).
pp RωV
rrr
×= (3.9)
Fig. 3.3 - Rotación de un sólido rígido alrededor de un punto.
En un sólido rígido con movimiento plano como el representado en la
figura 3.3, como los vectores “ω
r
” y “ pR
r
” son perpendiculares, resultará que el
módulo de la velocidad del punto “P” será:
pp ·RωV
rrr
= (3.10)

28. Capítulo 3 – Velocidad
22
La dirección de “ pV
r
” será perpendicular a “ω
r
”, por tanto contenida en
el plano del movimiento, y perpendicular a “ PR
r
”.
El sentido de “ pV
r
” será coherente con el sentido de “ω
r
” tal como se
observa en la figura 3.4.
Fig. 3.4 - Velocidad de un punto de un sólido rígido girando alrededor de un punto fijo.
3.3 - MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN
En el apartado (2-12) se expuso que un movimiento cualquiera de un
eslabón se puede descomponerse en una traslación más un giro, y que la
diferencia de desplazamientos entre dos puntos del eslabón se debía
precisamente al giro del eslabón. Por tanto, la relación entre las velocidades de
dos puntos será:
PQQP VVV
rrr
+= (3.11)
La velocidad " PQV
v
" es debida al giro y su valor será:
PQPQ RωV
rrr
∧= (3.12)
3.3.1 - Movimiento plano cualquiera
En un sólido rígido con movimiento plano cualquiera, como los
vectores “ω
r
” y “ PQR
r
” son perpendiculares, resultará que el módulo de la
velocidad del punto “P” respecto del punto “Q” será:

29. Mecánica II
23
PQPQ ·RωV
rrr
= (3.13)
La dirección de “ PQV
r
” será perpendicular a “ω
r
” por tanto contenida en
el plano del movimiento, y perpendicular a “ PQR
r
”. El sentido de “ PQV
r
” será
coherente con el sentido de “ω
r
” al igual que en el movimiento de rotación
alrededor de un eje fijo.
3.4 – ANÁLISIS GRÁFICO DE LA VELOCIDAD.
POLÍGONO DE VELOCIDADES
El método gráfico de análisis de velocidades se utiliza en movimiento
plano y consiste en representar las ecuaciones vectoriales que relacionan las
velocidades de los diferentes puntos de un mecanismo de forma gráfica. Es
sencillo e intuitivo ya que las velocidades quedan representadas en la dirección
y sentido que realmente tienen.
Fig. 3.5 – Análisis gráfico de velocidad. Polígono de velocidades.
Un ejemplo de análisis gráfico de velocidades de un eslabón triangular
puede apreciarse en la figura 3.5. Suponiendo conocida la velocidad del punto

30. Capítulo 3 – Velocidad
24
“A” y la dirección de la velocidad del punto “B” (a), como la velocidad “ BAV
r
”
debe ser perpendicular al vector de posición “ BAR
r
” (c), inmediatamente quedan
determinadas las velocidades “ BV
r
” y “ BAV
r
” (b y d). De la velocidad “ BAV
r
” se
puede obtener la velocidad angular del eslabón:
BA
BA
R
V
ω r
r
r
= (3.14)
A partir de las velocidades de los puntos “A” y “B” se puede determinar
la velocidad del punto “C” (f) como:
CBBCAAC VVVVV
rrrrr
+=+= (3.15)
La velocidad “ CAV
r
” es perpendicular a “ CAR
r
” y la velocidad “ CBV
r
”
es perpendicular a “ CBR
r
” (e), en el punto de corte de ambas se encontrará el
punto “C”.
El polígono de velocidades es la representación gráfica de las
ecuaciones vectoriales que relacionan las velocidades de los diferentes puntos
del eslabón (b, d, e y g). Este polígono se dibuja a escala aparte del dibujo del
mecanismo a partir de un punto que es el “0” de velocidades. El vector que va
desde el “0” de velocidades hasta un punto representa su velocidad absoluta, el
vector que va desde un punto “A” hasta un punto “B” representa la velocidad
aparente de “B” respecto de “A”.
En el polígono de velocidades se forma una figura semejante al eslabón.
Por ejemplo en la figura 3.5 (g) se forma un triángulo cuyos lados son
perpendiculares a los lados del triángulo del eslabón, por lo tanto los dos
triángulos son semejantes. La relación de semejanza depende de escala del
polígono de velocidades y del valor de la velocidad angular.
3.5 – VELOCIDAD APARENTE DE UN PUNTO EN UN
SISTEMA DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO
En el Capítulo 2 se vio el desplazamiento absoluto y el desplazamiento
aparente de un punto en un sistema de coordenadas en movimiento (Figura 3.6).
La ecuación que relaciona estos desplazamientos es:

31. Mecánica II
25
2/PPP 323
R∆R∆R∆
rrr
+= (3.16)
Fig. 3.6 - Desplazamiento aparente y desplazamiento absoluto.
Dividiendo la ecuación (3.16) por “ t∆ ” y tomando límites cuando, se
obtiene:
t0t
lim
t0t
lim
t0t
lim 2/PPP 323
∆→∆
+
∆→∆
=
∆→∆
R∆R∆R∆
rrr
(3.17)
Los términos de la ecuación 3.17 representan:
2/PPP 323
VVV
rrr
+= (3.18)
La velocidad “ 2/P3
V
r
” representa la velocidad aparente del punto “P3”
en los ejes de coordenadas en movimiento y cuando 0t →∆ , como el vector
“ 2/P3
R∆
r
” tiende a confundirse con la trayectoria, resulta que dicha velocidad es
tangente a la trayectoria.
Teniendo en cuenta los términos de la ecuación 3.18, se puede decir que
esta ecuación relaciona las velocidades de puntos coincidentes de diferentes
eslabones.

32. Capítulo 3 – Velocidad
26
3.6 – VELOCIDAD ANGULAR APARENTE
La velocidad angular aparente de un eslabón respecto de otro es la
velocidad angular con la que ve girar al primer eslabón un observador fijo en el
segundo eslabón. Esta velocidad angular aparente se representa como:
232/3 ωωω
rrr
−= (3.19)
3.7 – CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR
RODADURA
3.7.1 – Contacto directo con deslizamiento
En una transmisión de movimiento por contacto directo con
deslizamiento (Figura 3.7), las velocidades de los puntos en contacto de
diferentes eslabones son perpendiculares a sus respectivos radios desde los
puntos de giro de los eslabones.
Si se trazan una tangente y una normal a las superficies de los eslabones
en el punto de contacto y se descomponen las velocidades de los puntos en
contacto en una componente normal y otra tangencial, se debe cumplir que las
componentes normales de las velocidades de los puntos en contacto deben ser
iguales. Si no fuese así, los eslabones se separarían o se incrustarían uno en el
otro.
Fig. 3.7 – Contacto directo con deslizamiento.

33. Mecánica II
27
Al ser las componentes normales de las velocidades de los puntos en
contacto iguales, resulta que la velocidad aparente de un punto respecto del otro
debe tener la dirección de la tangente común en el punto de contacto.
3.7.2 – Contacto directo con rodadura
En una transmisión de movimiento por contacto directo con rodadura
(Figura 3.8), las velocidades de los puntos en contacto de diferentes eslabones
son iguales, o lo que es lo mismo, la velocidad aparente entre los puntos en
contacto es cero.
Fig. 3.8 – Contacto directo con rodadura.
3.10 – CENTRO INSTANTÁNEO DE VELOCIDADES (Ó
DE ROTACIÓN)
Un concepto muy interesante de la cinemática es que cualquier
movimiento diferencial de un sólido rígido equivale a un giro alrededor del eje
instantáneo de rotación y deslizamiento y de una traslación en la dirección de
dicho eje.
Si se considera un movimiento plano, como no se puede producir una
traslación en la dirección del eje, resultará que cualquier movimiento diferencial
equivale a un giro alrededor del eje instantáneo de rotación. Este eje es
perpendicular al plano del movimiento y normalmente se considera su
proyección, que es un punto llamado centro instantáneo de rotación o de
velocidades.

34. Capítulo 3 – Velocidad
28
Los centros instantáneos de rotación pueden ser: Absolutos, si son de un
eslabón cualquiera respecto del eslabón fijo y relativos si son entre dos
eslabones móviles.
Una definición general del centro instantáneo de rotación es la
ubicación de dos puntos coincidentes de distintos eslabones cuya velocidad
absoluta es la misma.
De la definición anterior se desprende que los centros instantáneos
absolutos tendrán velocidad cero.
Para demostrar la existencia del centro instantáneo de rotación, por
ejemplo si se tiene el eslabón de la figura 3.9 del que se conoce la velocidad del
punto “A” y su velocidad angular, la ubicación de dicho centro se encontrará en
la perpendicular a la velocidad del punto “A” trazada por dicho punto y la
distancia desde “A” será:
ω
V
R r
r
r A
PA = (3.20)
Fig. 3.9 – Localización del centro instantáneo de rotación.
La velocidad del punto “P” será:
0AAPAAPAAP =−=×+=+= VVRωVVVV
rrrrrrrr
(3.21)
Queda demostrado que la velocidad del punto “P” es cero, por lo tanto
es el centro instantáneo de rotación del eslabón respecto de la base.
En la figura 3.10 se representan diferentes formas de localizar el centro
instantáneo de rotación de un eslabón respecto de la base: En (a) se determina la
distancia hasta el C.I.R. conociendo la velocidad de un punto y la velocidad

35. Mecánica II
29
angular del eslabón. En (b) se determina el C.I.R. por el punto de corte de las
perpendiculares a las velocidades de dos puntos trazadas por dichos puntos. En
(c) los dos puntos están sobre el mismo radio, por lo tanto sus velocidades son
paralelas, en este caso el C.I.R. se localiza en el punto de corte de la
perpendicular común a las dos velocidades por los puntos y la recta que pasa
por los extremos de las velocidades. En (d) el C.I.R. se encuentra en el punto de
contacto por rodadura. En (e) al tener el eslabón un movimiento de traslación el
C.I.R. se encontrará en el infinito en una dirección perpendicular al
movimiento. Finalmente en (f) el C.I.R. se encontrará en el centro de curvatura
de la trayectoria curva que describe el eslabón.
Fig. 3.10 – Métodos de localización del centro instantáneo de rotación de un eslabón.
3.11 – TEOREMA DE LOS TRES CENTROS
Si se toman tres eslabones cualesquiera de un mecanismo, los tres
centros relativos entre ellos se encuentran en una línea recta.
En la figura 3.11, por ejemplo la velocidad el punto “P23” centro
instantáneo de rotación relativo entre los eslabones “2” y “3” será la misma para
ese punto perteneciente al eslabón “2” y perteneciente al eslabón “3”, por lo
tanto, los centros absolutos de dichos eslabones respecto del eslabón fijo “P31” y
“P21” se deben encontrar en la misma perpendicular a la velocidad del punto
“P23” trazada por dicho punto, resultando de este modo que los tres centros
relativos a los eslabones “1”, “2” y “3” se encuentran en una línea recta. El
mismo razonamiento se puede hacer si se toma el centro instantáneo “P34”.

36. Capítulo 3 – Velocidad
30
Fig. 3.11 – Teorema de los tres centros.
3.12 – LOCALIZACIÓN DE CENTROS
INSTANTÁNEOS DE ROTACIÓN
En principio se localizan los centros instantáneos que son evidentes
como los pares giratorios, puntos de rodadura y pares prismáticos. A partir de
los centros localizados a simple vista, aplicando el teorema de los tres centros,
se localizan los restantes.
3.13 – ANÁLISIS DE VELOCIDAD USANDO CENTROS
INSTANTÁNEOS
Para realizar el análisis de velocidades se deben localizar todos los
centros instantáneos de rotación absolutos, es decir todos los centros
instantáneos respecto del eslabón fijo.
Una vez conocidos todos los centros absolutos, la velocidad de un punto
de un eslabón será la velocidad angular del eslabón por la distancia desde el
punto hasta el centro instantáneo. La dirección de la velocidad será
perpendicular a la recta que une el punto con el centro instantáneo y el sentido
coherente con la velocidad angular. Si se conoce la velocidad de un punto, la
velocidad angular del eslabón será la velocidad del punto dividido por la
distancia de dicho punto al centro instantáneo absoluto del eslabón al que
pertenece el punto.

37. Mecánica II
31
3.14 – TEOREMA DE LA RAZÓN DE VELOCIDADES
ANGULARES
En el cuadrilátero articulado de la figura 3.12 la velocidad del centro
instantáneo de rotación “P24” es la misma para ese punto perteneciente al
eslabón “2” y perteneciente al eslabón “4”, por tanto se cumplirá:
41242124 PP4PP2 ·· RωRω = (3.22)
De la ecuación 3.22 se obtiene que relación de velocidades angulares
entre el eslabón de salida y el eslabón de entrada en un cuadrilátero articulado
será:
4124
2124
PP
PP
2
4
R
R
ω
ω
= (3.23)
Fig. 3.12 – Relación de velocidades angulares.
3.16 – VENTAJA MECÁNICA
La ventaja mecánica de un mecanismo es la relación entre el par de
salida y el par de entrada.
En el cuadrilátero articulado de la figura 3.13 será la relación entre los
pares “T4” y “T2”.
Despreciando rozamientos, la potencia de entrada debe ser igual a la de
salida, por tanto se cumplirá:
4422 ·· TωTω = (3.24)

38. Capítulo 3 – Velocidad
32
Fig. 3.13 – Ventaja mecánica.
La ventaja mecánica será:
VM =
4
2
2
4
ω
ω
T
T
= (3.25)
Teniendo en cuenta la relación de velocidades angulares de entrada y
salida en un cuadrilátero articulado, ecuación 3.23, se tendrá:
VM =
β
γ
=
β
γ
====
sen
sen
·k
·sen
·sen
AB
DC
'AB
'DC
PA
PD
PP
PP
4
2
2124
4124
R
R
R
R
R
R
R
R
ω
ω
(3.26)
De la ecuación 3.26 se desprende que la ventaja mecánica en un
cuadrilátero articulado es proporcional al seno del ángulo formado por los
eslabones acoplador y seguidor e inversamente proporcional al seno del ángulo
formado por los eslabones de entrada y acoplador, tal como se había expuesto
en el apartado 1.9.

39. Mecánica II
33
CAPÍTULO 4 - ACELERACIÓN
4.1 - DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN
El la figura 4.1 se aprecia un punto “P” cuya velocidad viene expresada
por el vector “ PV
r
”. Al cabo de un determinado espacio de tiempo “ t∆ ” el
punto “P” pasa a ocupar la posición “ P′ ” cuya velocidad vendrá expresada por
el vector “ '
PV
r
”. La velocidad del punto “P” ha sufrido una variación “ PV∆
r
”
que vendrá definida por:
P
'
PP VVV∆
rrr
−= (4.1)
La aceleración media durante el desplazamiento citado será:
mA
r
=
t
P
∆
V∆
r
(4.2)
Y la aceleración instantánea del punto “P” será:
PA
r
=
t0t
lim P
∆→∆
V∆
r
= 2
P
2
P
dt
d
dt
d RV
rr
= (4.3)
Fig. 4.1 – Variación de la velocidad de un punto.

40. Capítulo 4 – Aceleración
34
4.1.1 – Cálculo de la aceleración por derivación
Si se tiene por ejemplo el vector velocidad de un punto “ PV
r
” expresado
por medio de sus componentes en coordenadas cartesianas:
kjiV
rrrr Z
P
Y
P
X
PP VVV ++= (4.4)
La derivada respecto del tiempo de ese vector será el vector aceleración:
dt
d P
P
V
A
r
r
= (4.5)
La componente “X” del vector aceleración será la derivada de la
componente “X” del vector velocidad, la componente “Y” de la aceleración será
la derivada de la componente “Y” del vector velocidad y la componente “Z” de
la aceleración será la derivada de la componente “Z” del vector velocidad:
kjikjiA
rrrrvrr
dt
dV
dt
dV
dt
dV
AAA
Z
P
Y
P
X
PZ
P
Y
P
X
PP ++=++= (4.6)
Y como la velocidad del punto “P” es la derivada del vector de
posición, resultará que la aceleración es la derivada segunda del vector de
posición:
kjiA
rrrr
2
Z
P
2
2
Y
P
2
2
X
P
2
P
dt
Rd
dt
Rd
dt
Rd
++= (4.7)
4.2 - DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN ANGULAR
En la figura 4.2 se tiene un sólido rígido, con movimiento plano, en una
determinada orientación indicada por el ángulo “θ” su velocidad angular es
“ω
r
”, al cabo de un instante de tiempo “ t∆ ” el sólido ha realizado una rotación
“ θ∆ ” y su nueva velocidad angular es “ 'ω
r
”.
La variación de velocidad angular será:
ωωω∆
vvv
−= ' (4.8)
Durante la rotación se puede definir una aceleración angular media
como:

41. Mecánica II
35
t
m
∆
∆
=
ω
α
r
r
(4.9)
Y una aceleración angular instantánea como:
2
2
dt
d
dt
d
t0t
lim θ
==
∆
∆
→∆
=
ωω
α
rr
r
(4.10)
Fig. 4.2 – Variación de la velocidad angular.
Como el vector velocidad angular “ω
r
”, por convenio, es perpendicular
al plano del movimiento, sus variaciones y por tanto la aceleración angular “α
r
”
también serán perpendiculares a dicho plano, y aplicando la regla del
sacacorchos, será negativa si acelera en el sentido de las agujas del reloj y
positiva en sentido contrario.
4.2.1 - Rotación alrededor de un punto fijo
En un sólido rígido que gire alrededor de un eje fijo la aceleración de
uno cualquiera de sus puntos viene expresado por la ecuación (4.11).
t
P
n
Pppppp )( AARαVωRαRωωA
rrrvvrrvrrrr
+=×+×=×+××= (4.11)
El primer término recibe el nombre de aceleración normal y el segundo
aceleración tangencial.
En un sólido rígido con movimiento plano como el representado en la
figura 4.3, como los vectores “ω
r
” y “ pV
v
” son perpendiculares, resultará que el
módulo de la aceleración normal del punto “P” será:

42. Capítulo 4 – Aceleración
36
p
2n
P ·RωA
rrr
= (4.12)
Fig. 4.3 - Rotación de un sólido rígido alrededor de un punto.
Su dirección será perpendicular a “ω
r
” y “ pV
v
”, por tanto contenida en
el plano del movimiento y normal a la trayectoria (de ahí su nombre de
aceleración normal) y su sentido, analizando los dos posibles sentidos de “ω
r
”,
figura 4.4, resulta siempre del punto “P” hacia “O”.
Fig. 4.4 – Aceleración normal de un punto.
Como los vectores “α
r
” y “ pR
r
” son perpendiculares, resultará que el
módulo de la aceleración tangencial del punto “P” será:
p
t
P ·RαA
rrr
= (4.13)
La dirección de “ t
PA
r
” será perpendicular a “α
r
”, por tanto contenida en
el plano del movimiento, y perpendicular a “ PR
r
”, por tanto tangente a la

43. Mecánica II
37
trayectoria del punto “P” (de ahí su nombre de aceleración tangencial). Y el
sentido de “ t
PA
r
” será coherente con el sentido de “α
r
” tal como se observa en la
figura 4.5.
Fig. 4.5 – Aceleración tangencial de un punto.
4.3 - MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN
En el apartado (2-12) se expuso que un movimiento cualquiera de un
eslabón se puede descomponerse en una traslación más un giro, y que la
diferencia de desplazamientos entre dos puntos del eslabón se debía
precisamente al giro del eslabón. Por tanto, la relación entre las aceleraciones de
dos puntos será:
t
PQ
n
PQQPQQP AAAAAA
rrrrrr
++=+= (4.14)
La aceleración " PQA
r
" es debida al giro y se descompone en dos
términos:
Aceleración normal
PQPQ
n
PQ )( VωRωωA
rrrrrr
×=××= (4.15)
Y aceleración tangencial
PQ
t
PQ RαA
rrr
×= (4.16)

44. Capítulo 4 – Aceleración
38
4.3.1 - Movimiento plano cualquiera
En un sólido rígido con movimiento plano como el representado en la
figura 4.3, como los vectores “ω
r
” y “ PQV
v
” son perpendiculares, resultará que
el módulo de la aceleración normal del punto “P” respecto del punto “Q” será:
PQ
2n
PQ ·RωA
rrr
= (4.17)
Su dirección será la del vector “ PQR
r
” y su sentido del punto “P” hacia
el punto “Q”.
Como los vectores “α
r
” y “ pR
r
” son perpendiculares, resultará que el
módulo de la aceleración tangencial del punto “P” respecto del punto “Q” será:
PQ
t
PQ ·RαA
rrr
= (4.18)
La dirección de “ t
PQA
r
” será perpendicular a “α
r
”, por tanto contenida
en el plano del movimiento, y perpendicular a “ PQR
r
”. El sentido de “ t
PQA
r
”
será coherente con el sentido de “α
r
” tal como se observa en la figura 4.5.
4.4 – ANÁLISIS GRÁFICO DE LA ACELERACIÓN.
POLÍGONO DE ACELERACIONES
El método gráfico de análisis de aceleraciones se utiliza en movimiento
plano y consiste en representar las ecuaciones vectoriales que relacionan las
aceleraciones de los diferentes puntos de un mecanismo de forma gráfica. Es
sencillo e intuitivo ya que las aceleraciones quedan representadas en la
dirección y sentido que realmente tienen.
Un ejemplo de análisis gráfico de aceleraciones de un eslabón triangular
puede apreciarse en la figura 4.6. Suponiendo conocida la aceleración del punto
“A” y la velocidad y la aceleración angulares del eslabón, se determina la
aceleración del punto “B” (d) como:
t
BA
n
BAABAAB AAAAAA
rrrrrr
++=+= (4.19)

45. Mecánica II
39
La aceleración “ n
BAA
r
” tiene la dirección y el sentido de “B” hacia “A”
y la aceleración “ t
BAA
r
” es perpendicular a la recta de unión de los puntos y
coherente con la aceleración angular (c).
Fig. 4.6 – Análisis gráfico de aceleraciones. Polígono de aceleraciones.
A partir de las aceleraciones de los puntos “A” y “B” se puede
determinar la aceleración del punto “C” (f) como:
t
CB
n
CBB
t
CA
n
CAAC AAAAAAA
rrrrrrr
++=++= (4.20)
Se trazan las aceleraciones normales “ n
CAA
r
” y “ n
CBA
r
” con su módulo
dirección y sentido y las direcciones de las tangenciales “ t
CAA
r
” y “ t
CBA
r
”. En el
punto de corte de las tangenciales se encontrará el punto “C”.
El polígono de aceleraciones es la representación gráfica de las
ecuaciones vectoriales que relacionan las aceleraciones de los diferentes puntos
del eslabón (d, f y g). Este polígono se dibuja a escala, aparte del dibujo del
mecanismo a partir de un punto que es el “0” de aceleraciones. El vector que va
desde el “0” de aceleraciones hasta un punto representa su aceleración absoluta,
el vector que va desde un punto “A” hasta un punto “B” representa la
aceleración aparente de “B” respecto de “A”.

46. Capítulo 4 – Aceleración
40
En el polígono de aceleraciones se forma una figura semejante al
eslabón. Por ejemplo en la figura 4.6 (g) se forma un triángulo cuyos lados
representan las aceleraciones “ BAA
r
”, “ CAA
r
” y “ CBA
r
”. Los módulos de estas
aceleraciones son:
BAA
r
= 24
BA
2
BA
22
BA
42t
BA
2n
BA RRR α+ω=α+ω=+ AA
rr
(4.21)
CAA
r
= 24
CA
2
CA
22
CA
42t
CA
2n
CA RRR α+ω=α+ω=+ AA
rr
(4.22)
CBA
r
= 24
CB
2
CB
22
CB
42t
CB
2n
CB RRR α+ω=α+ω=+ AA
rr
(4.23)
Como se aprecia en las ecuaciones 4.21, 4.22 y 4.23 los lados del
triángulo del polígono de aceleraciones son proporcionales a los lados del
triángulo del eslabón, por tanto, son triángulos semejantes.
4.5 – ACELERACIÓN APARENTE DE UN PUNTO EN
UN SISTEMA DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO
En la figura 4.7 se tiene un sistema de coordenadas fijo “X1” e “Y1” y
un sistema de coordenadas móvil “X2” e “Y2”. Sobre el sistema de coordenadas
móvil se tiene una ranura por la que se desplaza el punto “P3”. El punto “P2” es
un punto fijo en los ejes móviles cuya posición coincide con la posición inicial
del punto “P3”.
Fig. 4.7 – Aceleración aparente de un punto.

47. Mecánica II
41
La ecuación que relaciona las aceleraciones de estos dos puntos es la
siguiente:
c
P/P
t
P/P
n
P/PPP 23232323
AAAAA
vvvvv
+++= (4.24)
Esta ecuación también se puede decir que es la ecuación que relaciona
las aceleraciones de puntos coincidentes de diferentes eslabones.
La suma de las aceleraciones “ t
P/P
n
P/P 2323
AA
vv
+ ” se suele llamar
aceleración relativa y es la aceleración del punto “P3” que percibiría un
observador fijo en los ejes móviles.
La aceleración normal de “P3” respecto de “P2” ( n
P/P 23
A
v
) se debe al
cambio de dirección de la velocidad relativa del punto “P3” a causa de la
curvatura de la ranura y su valor será:
ρ
=
2
P/Pn
P/P
23
23
V
A
r
v
(4.25)
Siendo “ 23 P/PV
r
” la velocidad del punto “P3” respecto del punto “P2” o
velocidad relativa del punto “P3” en los ejes móviles, y “ρ” el radio de
curvatura de la ranura en el punto “P2”.
La dirección y sentido de esta aceleración normal es del punto “P2”
hacia el centro de curvatura de la ranura.
La aceleración tangencial de “P3” respecto de “P2” ( t
P/P 23
A
v
) se debe al
cambio de módulo de la velocidad relativa del punto “P3”. De esta aceleración
solo se conoce que su dirección es tangente a la ranura.
La aceleración de Coriolis de “P3” respecto de “P2” ( c
P/P 23
A
v
) se debe al
giro de los ejes móviles y a la velocidad relativa del punto “P3”. Su módulo
dirección y sentido viene definido por el producto vectorial siguiente:
2323 P/P2
c
P/P ·2 VωA
vrr
×= (4.26)

48. Capítulo 4 – Aceleración
42
4.6 – ACELERACIÓN ANGULAR APARENTE
La aceleración angular aparente de un eslabón respecto de otro es la
aceleración angular con la que ve acelerarse al primer eslabón un observador
fijo en el segundo eslabón. Esta aceleración angular aparente se representa
como:
232/3 ααα
rrr
−= (4.27)
4.7 – CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR
RODADURA
4.7.1 – Contacto directo con deslizamiento
Fig. 4.9 – Contacto directo con deslizamiento.

49. Mecánica II
43
En un mecanismo como el representado en la figura 4.9 (a), formado
por tres eslabones, el punto de contacto “C” se debe producir deslizamiento ya
que la velocidad de este punto es diferente si se considera perteneciente al
eslabón “2” o al eslabón “3”, figura 4.9 (c).
La ecuación que relaciona las aceleraciones de puntos coincidentes de
diferentes eslabones, teóricamente se podría plantear en el punto “C”, pero
resulta que la trayectoria que describe el punto “C2” en unos ejes de
coordenadas solidarios al eslabón “3” y la trayectoria que describe el punto “C3”
en unos ejes de coordenadas solidarios al eslabón “2” no son conocidas. Al no
conocerse estas trayectorias, no se puede calcular la aceleración normal de un
punto respecto del otro y no se puede resolver el análisis de aceleraciones.
En este caso, si prolonga imaginariamente el eslabón “3”, figura 4.9 (b),
se observa que el punto “B2” describe una trayectoria recta sobre el eslabón “3”.
Por tanto la ecuación que relaciona las aceleraciones de puntos coincidentes de
diferentes eslabones se debe plantear en el punto “B” y será la siguiente:
c
B/B
t
B/B
n
B/BBB 32323232
AAAAA
vvvvv
+++= (4-31)
Se debe tener en cuenta que no se debe plantear la aceleración
desconocida en función de la conocida, sino que se debe plantear la aceleración
del punto cuya trayectoria se conoce en función del punto correspondiente al
eslabón en el que se desarrolla la trayectoria. En este caso la trayectoria que
describe el punto “B3” en unos ejes solidarios al eslabón “2” también sería
desconocida.
En la ecuación 4.31 la aceleración normal del punto “B2” respecto del
punto “B3” será nula. La aceleración tangencial del punto “B2” respecto del
punto “B3” tendrá la dirección de la trayectoria. Y la aceleración de Coriolis se
determinará por medio del producto vectorial.
Las ecuaciones que relacionan las aceleraciones de los diferentes puntos
del mecanismo están representadas en el polígono de aceleraciones, figura 4.9
(d).
4.7.2 – Rodadura sobre un eslabón fijo
En una rodadura sobre un eslabón fijo come el representado en la figura
4.8, la aceleración del punto “C” es horizontal y su valor será:
RαA
rrr
×=C (4.28)

50. Capítulo 4 – Aceleración
44
La aceleración del punto “P3” será:
t
CP
n
CPCP 333
AAAA
rrrr
++= (4.29)
Fig. 4.8 – Rodadura sobre un eslabón fijo.
La aceleración “ n
CP3
A
r
” tiene la dirección de “P” hacia “C” por tanto es
perpendicular a la superficie de rodadura.
La aceleración “ t
CP3
A
r
” tiene el mismo módulo que la aceleración del
punto “C” y sentido contrario.
Teniendo en cuenta que la aceleración del punto “P2” es cero, de los dos
párrafos anteriores se deduce que la aceleración del punto “P3” respecto del
punto “P2” es perpendicular a la superficie de rodadura.
A la misma conclusión se llegaría planteando la ecuación que relaciona
las aceleraciones de los puntos en contacto:
c
P/P
t
P/P
n
P/PPP 23232323
AAAAA
vvvvv
+++= (4.30)
En esta ecuación, la aceleración del punto “P2” es cero, las
aceleraciones normal y de Coriolis del punto “P3” respecto del punto “P2” son
nulas debido a que es nula la velocidad del punto “P3” respecto del punto “P2”.
El único término no nulo es la aceleración tangencial del punto “P3”
respecto del punto “P2”. La dirección de esta aceleración es tangente a la
trayectoria que describe el punto “P3” que es una cicloide. La tangente a la
cicloide en el punto de contacto es perpendicular a la superficie de rodadura, por
tanto queda probada la dirección de la aceleración del punto “P3” respecto del
punto “P2”.

51. Mecánica II
45
La aceleración tangencial del punto “P3” respecto del punto “P2”, al
tener la dirección del radio de la rueda, se suele denominar aceleración radial
del punto “P3” respecto del punto “P2”.
4.7.3 – Contacto directo con rodadura
En un mecanismo como el representado en la figura 4.10 (a), formado
por cuatro eslabones, puede existir rodadura sin deslizamiento.
Fig. 4.10 – Contacto directo con rodadura.
En este caso las velocidades de los puntos “C3” y “C4” serán iguales. La
aceleración relativa entre estos dos puntos se sabe que es perpendicular a la
tangente en el punto de contacto, pero no se sabe su valor, por lo que no se
podrá plantear la ecuación que relaciona las aceleraciones en el punto “C”.

52. Capítulo 4 – Aceleración
46
Al igual que en el apartado anterior, se debe prolongar imaginariamente
el eslabón “3”. El punto “B2” describe una trayectoria recta sobre el eslabón “3”
por lo que se puede plantear la ecuación de relación de aceleraciones en el punto
“B”, ecuación que será:
c
B/B
t
B/B
n
B/BBB 32323232
AAAAA
vvvvv
+++= (4.32)
La aceleración normal será nula, la tangencial tendrá la dirección de la
trayectoria y la de Coriolis vendrá dada por el producto vectorial.
En la figura 4.10 (c) queda representado el polígono de aceleraciones
del mecanismo.
Cabe destacar que tanto en el contacto con deslizamiento como con
rodadura, para poder realizar el análisis de aceleraciones, el contacto se debe
producir entre superficies rectas o circunferencias, ya que en estos casos es fácil
determinar el radio de curvatura de la trayectoria que describe un punto en unos
ejes de coordenadas solidarios al otro eslabón.

53. Mecánica II
47
CAPÍTULO 12 – FUERZAS ESTÁTICAS
En los capítulos precedentes se ha estudiado el movimiento de los
mecanismos sin tener en cuenta las fuerzas que los producen ni las fuerzas
originadas debidas al movimiento. A partir de este punto se estudiará las fuerzas
necesarias para producir un determinado movimiento, así como las fuerzas que
se originan debidas al movimiento de los mecanismos.
Fuerzas estáticas son todas las fuerzas que actúen sobre un cuerpo y que
no se deban al término de masa por aceleración.
Fuerzas dinámicas son las fuerzas debidas al término de masa por
aceleración.
Se pueden dar solamente fuerzas estáticas en mecanismos en
movimiento si se desprecia su masa.
En este capítulo se estudiarán mecanismos planos, por lo tanto las
fuerzas estarán contenidas en el plano del movimiento.
12.1 - INTRODUCCIÓN
A continuación se da la definición de algunos términos que se utilizarán
en este capítulo.
Fuerza es acción de un cuerpo que actúa sobre otro.
Materia, es el material o sustancia de la que está hecho el cuerpo.
Masa, cantidad de materia de un cuerpo.
Inercia, propiedad de la masa de oponerse a los cambios de
movimiento.
Peso, fuerza de la gravedad que actúa sobre una masa.
Partícula, cuerpo de dimensiones despreciables.
Cuerpo rígido, se puede considerar aquel cuerpo cuyas deformaciones
no afectan al cálculo cinemático y dinámico.

54. Capítulo 12 – Fuerzas estáticas
48
Cuerpo deformable, cuando se deben tener en cuenta las
deformaciones en el cálculo cinemático y dinámico.
Leyes de Newton
1ª - Si todas las fuerzas que actúan sobre una partícula están
equilibradas, la partícula permanecerá en reposo si estaba en reposo, o se
desplazará con movimiento rectilíneo constante.
2º - Si la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula no están
equilibradas, la partícula sufrirá una aceleración en la dirección y sentido de la
resultante de las fuerzas.
3º - Si sobre un cuerpo actúa una fuerza, este cuerpo devuelve una
reacción de igual módulo y dirección y de sentido contrario a la acción.
12.2 – SISTEMAS DE UNIDADES
12.2.1 Sistema internacional
En el sistema internacional se tiene como unidades fundamentales de
masa el kilogramo, de longitud el metro y de tiempo el segundo.
Como unidad derivada se tiene de fuerza el Newton que es la fuerza que
aplicada a una masa de un kilogramo le imprime una aceleración de un metro
segundo cuadrado. Sus dimensiones serán:
N = 2
s·m·Kg −
(12.1)
12.2.2 Sistema inglés
En el sistema inglés se tiene como unidades fundamentales de fuerza la
libra, de longitud el pie o la pulgada y de tiempo el segundo.
En España, en lenguaje popular, se habla del peso en kilogramos, así
por ejemplo, se dice que un cuerpo pesa X Kg. cuando ese cuerpo tiene una
masa de X Kg.
El sistema inglés se utiliza de forma similar al sistema popular en
España. Así un cuerpo pesará X libras cuando su masa sea de X libras.

55. Mecánica II
49
La unidad derivada en el sistema inglés será la de masa. Para determinar
cual será el valor de esta unidad se pueden plantear las siguientes relaciones.
1 “Kg.(fuerza)” a 1 Kg.(masa) le imprime una aceleración de 9.807
m/s2
.
1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 9.807 m/s2
.
Como un metro es igual a 3.28084 pies e igual a 39.37008 pulgadas.
1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 9.807 m/s2
=
= 9.807 x 3.28084 = 32.174 pies/s2
= 9.807 x 39.37008 = 386.088 pulgadas/s2
.
Aproximadamente
1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 32.2
pies/s2
.
1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 386 pulg/s2
.
Como la unidad de masa debe ser tal que la unidad de fuerza le imprima
una aceleración de valor unidad, si se utiliza como unidad de longitud el pie, la
unidad de masa será de 32.2 libras (Slug) y si la unidad de longitud es la
pulgada, la unidad de masa será de 386 libras.
12.3 – FUERZAS APLICADAS Y FUERZAS DE
RESTRICCIÓN
Fuerzas aplicadas son las fuerzas exteriores que normalmente son
conocidas y fuerzas de restricción son las que aparecen en los pares de unión de
los eslabones y son las encargadas de evitar que el mecanismo se descomponga.
12.4 – CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO
Para que se dé el equilibrio estático de un mecanismo se debe cumplir
en cualquier eslabón o conjunto de eslabones que la suma de fuerzas sea cero y
que la suma de momento respecto de un eje sea también cero.
En mecanismos planos se debe cumplir:
0Fx =Σ (12.2)

56. Capítulo 12 – Fuerzas estáticas
50
0Fy =Σ (12.3)
0Mz =Σ (12.4)
12.5 – DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
El diagrama de cuerpo libre es la esquematización de uno o varios
eslabones representando todas las fuerzas que actúan en los eslabones
considerados.
12.6 – FUERZAS DE RESTICCIÓN
Las fuerzas de restricción en los mecanismos aparecen en los pares de
unión los diferentes eslabones y tienen la dirección de los movimientos que
impide el par.
En los mecanismos planos los pares de unión de los eslabones más
comunes son: el par giratorio, el eje motriz, el par prismático y el contacto
directo.
En el par giratorio, como impide los desplazamientos y no impide el
giro, las fuerzas de restricción serán “Fx” y “Fy”.
En eje motriz, como impide los desplazamientos y el giro, las fuerzas de
restricción serán “Fx”, “Fy” y “Mz”.
El par prismático, si se desprecia el rozamiento, impide el movimiento
en sentido perpendicular al desplazamiento del par y también impide el giro, por
tanto la fuerza de restricción será perpendicular a la dirección de
desplazamiento del par y un momento “Mz”.
En el contacto directo con deslizamiento o por rodadura, si se desprecia
el rozamiento, la fuerza de restricción será perpendicular a la tangente en el
punto de contacto.
12.7 – ELEMENTOS DE DOS Y TRES FUERZAS
En el elemento representado en la figura 12.1 sometido a dos fuerzas
“FA” y “FB” se debe cumplir que la suma de fuerzas sea nula y la suma de
momentos sea igualmente nula.

57. Mecánica II
51
En la figura 12.1 (a) la suma de fuerzas no es cero.
En la figura 12.1 (b) la suma de fuerzas es cero pero la suma de
momentos no es nula, ya que las fuerzas forman un par.
Fig. 12.1 – Elemento sometido a dos fuerzas.
Para que en un elemento sometido a dos fuerzas la suma de fuerzas y
suma de momentos sean nulas se debe cumplir que las fuerzas sean iguales en
módulo, tengan la misma línea de acción y sentido contrario, tal como se
observa en la figura 12.1 (c).
En el elemento representado en la figura 12.2 sometido a tres fuerzas
“FA”, “FB” y “FC” se debe cumplir que la suma de fuerzas sea nula y la suma de
momentos sea igualmente nula. En la figura 12.2 (a) la suma de fuerzas no es
cero.
En la figura 12.2 (b) la suma de fuerzas es cero pero la suma de
momentos no es nula, ya que si se toma momentos respecto del punto de corte
de las fuerzas “FB” y “FC”, éste no será nulo, y al ser la suma de fuerzas nula
quiere decir que el sistema de fuerzas es equivalente a un par.
Para que un elemento sometido a tres fuerzas esté en equilibrio estático
se debe cumplir que la suma de fuerzas sea cero y que las tres fuerzas se corten
en un punto, figura 12.2 (c). Si la suma de fuerzas es cero, puede existir un par,
pero si las tres se cortan en punto, el momento respecto de ese punto será nulo,
por tanto no existe un par ya que el momento de un par es igual respecto de
cualquier punto del espacio.

58. Capítulo 12 – Fuerzas estáticas
52
Fig. 12.2 – Elemento sometido a tres fuerzas.
12.8 – ELEMENTOS DE CUATRO FUERZAS
Para resolver gráficamente el equilibrio estático de un elemento
sometido a cuatro o más fuerzas, se debe reducir a un elemento de dos o tres
fuerzas a base de sumar previamente algunas de las fuerzas a que está sometido.
12.9 – PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
En los problemas de fuerzas estáticas, si desprecia el rozamiento, existe
proporcionalidad entre las fuerzas aplicadas y las fuerzas de restricción, o sea
son problemas lineales. En los problemas lineales, los efectos finales producidos
por varias causas son iguales a la suma de los efectos producidos por cada una
de causas. Así las fuerzas de restricción finales producidas por todas las fuerzas
aplicadas serán la suma de las fuerzas de restricción producidas por cada una de
las fuerzas aplicadas, figura 12.3.
Fig. 12.3 – Principio de superposición.

59. Mecánica II
53
CAPÍTULO 13 – FUERZAS DINÁMICAS
13.1 – INTRODUCCIÓN
Fuerzas dinámicas son las fuerzas debidas al término de masa por
aceleración.
Los problemas de dinámica pueden ser de dos tipos:
- Dinámica directa, cuando se conocen las fuerzas y momentos
aplicados y se debe determinar la cinemática del mecanismo. Este
es un problema muy complejo que salvo en casos sencillos es de
difícil resolución.
- Dinámica inversa, cuando se conoce la cinemática del mecanismo y
se deben determinar las fuerzas y momentos a aplicar para lograrla.
13.2 – CENTROIDES Y CENTRO DE MASAS
13.2.1 – Centro de masas de una serie de partículas en el espacio
Fig. 13.1 – Centro de masas de una serie de partículas.
Si se tiene una serie de partículas en el espacio como la representada en
la figura 13.1, las coordenadas del centro de masas se determinarán:

60. Capítulo 13 – Fuerzas dinámicas
54
4321
44332211
i
ii
G
mmmm
x·mx·mx·mx·m
m
x·m
X
+++
+++
=
Σ
Σ
= (13.1)
4321
44332211
i
ii
G
mmmm
y·my·my·my·m
m
y·m
Y
+++
+++
=
Σ
Σ
= (13.2)
4321
44332211
i
ii
G
mmmm
z·mz·mz·mz·m
m
z·m
Z
+++
+++
=
Σ
Σ
= (13.3)
Si las partículas estuviesen en un plano, por ejemplo el plano “XY”,
bastaría con las coordenadas “XG” e “YG” para determinar la posición del centro
de masas. Y si estuviesen alineadas, entonces bastaría con una sola coordenada.
13.2.2 – Centroides de figuras geométricas planas compuestas
Los centroides de figuras geométricas planas son importantes ya que sus
posiciones coinciden con los centros de masas de cuerpos de espesor uniforme.
La posición de los centroides de superficies sencillas son conocidos o se
pueden encontrar con facilidad en cualquier libro de texto de mecánica.
Para localizar el centroide de una superficie cualquiera, se debe
descomponer ésta en superficies sencillas cuyas superficies y centroides sean
conocidas como por ejemplo la superficie representada en la figura 13.2.
Fig. 13.2 – Centroide de una superficie compuesta.

61. Mecánica II
55
Las coordenadas del centroide del conjunto serán:
321
G3G2G1
i
Gi
G
AAA
X·AX·AX·A
A
X·A
X 321i
−+
−+
=
Σ
Σ
= (13.4)
321
G3G2G1
i
Gi
G
AAA
Y·AY·AY·A
A
Y·A
Y 321i
−+
−+
=
Σ
Σ
= (13.5)
13.2.3 – Centroides de figuras geométricas planas limitadas por una
función
Fig. 13.3 – Centroide de una superficie limitada por una función.
Si se tiene una figura geométrica plana limitada por una función como
en la figura 13.3, para determinar la posición del centroide se pueden aplicar las
ecuaciones siguientes:
∫=
∫
∫
=
s
s
s
G dA·x
A
1
dA
dA·x
X (13.6)
∫=
∫
∫
=
s
s
s
G dA·y
A
1
dA
dA·y
Y (13.7)
13.2.4 – Centro de masas de un cuerpo limitado por una función
Si se tiene un cuerpo limitado por una función como el de la figura 13.4,
para determinar la posición del centro de masas se pueden aplicar las ecuaciones
siguientes:

62. Capítulo 13 – Fuerzas dinámicas
56
∫=
∫
∫
=
v
v
v
G dm·x
m
1
dm
dm·x
X (13.8)
∫=
∫
∫
=
v
v
v
G dm·y
m
1
dm
dm·y
Y (13.9)
∫=
∫
∫
=
v
v
v
G dm·z
m
1
dm
dm·z
Z (13.10)
Fig. 13.4 – Centro de masas de un cuerpo limitado por una función.
Los centros de masas de cuerpos limitados por funciones sencillas
normalmente se pueden encontrar en textos de mecánica.
13.2.5 – Centro de masas de un cuerpo compuesto
Si se tiene un cuerpo complejo se puede descomponer en cuerpos
sencillos de los que se conozca su masa y su centro de masas. Cada cuerpo
sencillo se puede tratar como una partícula cuya masa sea la correspondiente al
cuerpo y que su posición sea el centro de masas del dicho cuerpo.
Las coordenadas del centro de masas del conjunto se pueden calcular
con las ecuaciones siguientes:

63. Mecánica II
57
i
i
Gi
i
Gi
G x·m
m
1
m
x·m
X Σ=
Σ
Σ
= (13.11)
i
i
Gi
i
Gi
G y·m
m
1
m
y·m
Y Σ=
Σ
Σ
= (13.12)
i
i
Gi
i
Gi
G z·m
m
1
m
z·m
Z Σ=
Σ
Σ
= (13.13)
13.3 – MOMENTOS DE INERCIA
13.3.1 – Momento de inercia de superficies
El momento segundo o momento de inercia de superficie, figura 13.5,
es el resultado de las ecuaciones siguientes:
dAyI
s
2
X ∫= (13.14)
dAxI
s
2
Y ∫= (13.14)
Fig. 13.5 – Momento de inercia de una superficie.
El momento de inercia polar es el resultado de la ecuación siguiente:
YX
s
22
s
2
Z IIdA)yx(dArJ +=∫ +=∫= (13.14)

64. Capítulo 13 – Fuerzas dinámicas
58
Radio de giro “K” es la distancia desde un eje a la que debería estar
toda la superficie para que tuviese el mismo momento de inercia respecto de ese
eje. En este caso el momento de inercia sería:
AKI 2
= (13.15)
El radio de giro será:
A
I
K = (13.16)
Para calcular el momento de inercia respecto de unos ejes cualesquiera
se utiliza el teorema de Steiner que relaciona el momento de inercia respecto de
unos ejes cualesquiera con el momento de inercia respecto de unos ejes que
pasan por el centroide, figura 13.6.
Fig. 13.6 – Teorema de Steiner para superficies.
Las ecuaciones son las siguientes:
2
xXX d·AII G
+= (13.17)
2
yYY d·AII G
+= (13.18)
2
zZZ d·AJJ G
+= (13.19)
13.3.2 – Momento de inercia de superficies complejas
El momento de inercia de una superficie compleja respecto de un eje es
la suma de los momentos de inercia respecto de ese eje de las superficies
elementales en las que se puede dividir la superficie compleja.

65. Mecánica II
59
Lo normal es conocer los momentos de inercia de las superficies
elementales respecto de su centroide. En este caso se aplica el teorema de
Steiner para calcularlo respecto del eje deseado.
13.3.3 – Momento de inercia de masas
En dinámica el que tiene utilidad es el momento de inercia de masas.
Para calcular el momento de inercia de una masa, figura 13.7, se aplican
las ecuaciones siguientes:
∫ +=
m
22
X dm)zy(I (13.20)
∫ +=
m
22
Y dm)zx(I (13.21)
∫ +=
m
22
Z dm)yx(I (13.22)
Fig. 13.7 – Momento de inercia de masas.
Radio de giro “K” es la distancia desde un eje a la que debería estar
toda la masa para que tuviese el mismo momento de inercia respecto de ese eje.
En este caso el momento de inercia sería:
m·KI 2
= (13.23)
Por tanto el radio de giro será:

66. Capítulo 13 – Fuerzas dinámicas
60
m
I
K = (13.24)
Para calcular el momento de inercia respecto de unos ejes cualesquiera
se utiliza el teorema de Steiner que relaciona el momento de inercia respecto de
unos ejes cualesquiera con el momento de inercia respecto de unos ejes que
pasan por el centro de masas, figura 13.8.
Las ecuaciones son las siguientes:
)ZY·(mId·mII 2
G
2
GX
2
xXX GG
++=+= (13.25)
)ZX·(mId·mII 2
G
2
GY
2
yYY GG
++=+= (13.26)
)YX·(mId·mII 2
G
2
GZ
2
zZZ GG
++=+= (13.27)
Fig. 13.8 – Teorema de Steiner para masas.
13.3.4 – Momento de inercia de masas complejas
El momento de inercia de una masa compleja respecto de un eje es la
suma de los momentos de inercia respecto de ese eje de las masas elementales
en las que se puede dividir la masa compleja.
Lo normal es conocer los momentos de inercia de las masas elementales
respecto de su centro de masas. En este caso se aplica el teorema de Steiner para
calcularlo respecto del eje deseado.

67. Mecánica II
61
13.3.5 – Sentido físico del momento de inercia de masas
Si se tiene una masa puntual como la figura 13.9 unida a un eje en
reposo con una aceleración angular “α ”, esta masa tendrá una aceleración
r·A α= (13.28)
Para conseguir esta aceleración habrá que aplicarle una fuerza
r··mA·mF α== (13.29)
Si en lugar de aplicarle la fuerza directamente a la masa se desea aplicar
un momento al eje, este momento será:
α=α== ·I·r·mr·FM 2
(13.30)
Fig. 13.9 – Sentido físico del momento de inercia de masas.
En la ecuación 13.30 se aprecia que el momento de inercia representa la
oposición a ser acelerada angularmente una masa unida a un eje.
13.4 – CÁLCULO DE FUERZAS
En este capítulo se estudiarán mecanismos planos, por lo tanto las
fuerzas estarán contenidas en el plano del movimiento.
En este apartado se va a realizar un análisis dinámico inverso, es decir
se supone conocida la cinemática del mecanismo, aceleraciones de los centros
de gravedad y aceleraciones angulares de todos los eslabones y se debe
determinar las fuerzas y momentos a aplicar para que se produzcan las
aceleraciones previstas. También se determinarán las fuerzas de restricción que
aparecerán en los pares de unión de los eslabones.
Suponiendo un eslabón como el representado en la figura 13.10 del que
se conoce la aceleración de su centro de gravedad y su aceleración angular, para

68. Capítulo 13 – Fuerzas dinámicas
62
que se cumplan las leyes de la dinámica, habrá que aplicarle una serie de
fuerzas cuya resultante será:
G·m AR
rr
= (13.31)
La resultante “ R
r
” tiene la misma dirección y sentido que la aceleración
del centro de gravedad, por tanto sus líneas de acción son paralelas.
Fig. 13.10 – Dinámica inversa de un eslabón.
Y como el momento de las fuerzas respecto al centro de gravedad “G”
debe ser igual al momento de inercia respecto del eje “Z” que pasa por “G” por
la aceleración angular, se cumplirá que la línea de acción de la resultante “ R
r
”
estará desplazada del centro de gravedad una distancia
R
·I
h G α
= (13.32)
La fuerza “ R
r
” será la resultante de las fuerzas que le realicen los otros
eslabones a través de los pares de unión.
13.5 – PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
En los problemas de dinámica inversa se cumplen que las fuerzas y
momentos que se deben aplicar a un mecanismo para que tenga una
determinada cinemática son iguales a las sumas de fuerzas y de momentos que
se deben aplicar para todos los casos, suponiendo que en cada caso solamente
tenga masa un eslabón.
El principio de superposición se ilustra en la figura 13.11

69. Mecánica II
63
Fig. 13.11 – Principio de superposición.
13.7 – ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO
El eslabón de la figura 13.12 que gira alrededor de un punto “O” con
una velocidad angular “ω ” y que tiene una aceleración angular “α ”, tendrá una
aceleración del centro de gravedad “ GA
r
” que se puede descomponer una
aceleración normal y una tangencial cuyos valores serán:
G
2n
G r·A ω= (13.33)
G
t
G r·A α= (13.34)
Fig. 13.12 – Eslabón girando alrededor de un punto fijo.
Para conseguir la aceleración del centro de gravedad “ GA
r
” se deberá
aplicar un sistema de fuerzas cuya resultante sea “ R
r
” que también se podrá
descomponer en una componente normal y una tangencial, cuyos valores serán:
G
2n
G
n
r··mA·mR ω== (13.35)

70. Capítulo 13 – Fuerzas dinámicas
64
G
t
G
t
r··mA·mR α== (13.36)
Como la componente normal “ n
R ” no produce momento respecto de
“G” se cumplirá
α=== ·Id·Rh·RM G
t
G (13.37)
Si el eslabón se mueve debido a un par introducido por el eje de giro, el
valor de ese par será:
α=α+=α+α=+== O
2
GGGGGG
t
O I)mrI(Irmr)dr(R´RdM (13.37)
Según la ecuación 13.37, el par a aplicar en el eje “O” será el momento
de inercia del eslabón respecto de ese punto por la aceleración angular del
eslabón.
La justificación del momento a aplicar en el eje que pasa por “O” puede
apreciarse en la figura 13.13 sustituyendo una fuerza por otra fuerza desplazada
y un par cuyo valor será la fuerza por la distancia desplazada.
Fig. 13.13 – Sustitución de una fuerza por una fuerza y un par.
13.8 – CASOS DE ESLABONES ESPECIALES
13.8.1 – Eslabón de salida en un cuadrilátero articulado
Si se tiene un cuadrilátero articulado en el que el centro de gravedad del
eslabón de salida, eslabón “4”, coincide con su centro de giro, figura 13.14,

71. Mecánica II
65
resultará que la aceleración del centro de gravedad de dicho eslabón será nula,
por lo que la suma de fuerzas que actúen sobre dicho eslabón deberá ser nula
también.
Fig. 13.14 – Eslabón de salida con el centro de gravedad y punto de giro coincidentes.
Al estudiar el caso de superposición en el que solamente tenga masa el
eslabón “4”, la fuerza “F34” tendrá la dirección del eslabón “3”. La fuerza
aplicada por el eslabón “1”, “F14”, deberá ser paralela, del mismo módulo y
sentido contrario a “F34”. El módulo de estas fuerzas será:
h
·I
FF
4G
3414
4
α
== (13.38)
Las fuerzas “F34” y “F14” deberán tener el sentido apropiado para que
sean un par en el mismo sentido que el de “ 4α ”.
13.8.1 – Eslabón de entrada en un cuadrilátero articulado
Al estudiar el caso de superposición en el que solamente tenga masa el
eslabón de entrada, eslabón “2”, resultará que las fuerzas y pares necesarios
para acelerar dicho eslabón se les deberá aplicar el eslabón “1”.
Se pueden dar cuatro casos:
- 1º - G2 = O2 y 2α = 0
- 2º - G2 = O2 y 2α ≠ 0
- 3º - G2 ≠ O2 y 2α = 0

72. Capítulo 13 – Fuerzas dinámicas
66
- 4º - G2 ≠ O2 y 2α ≠ 0
En el primer caso, al ser la aceleración del centro de gravedad del
eslabón nula y la aceleración angular también nula, no se necesita fuerza ni par
alguno para que el eslabón permanezca indefinidamente con el movimiento que
tenga.
En el segundo caso, la fuerza a aplicar al eslabón será nula pero se le
deberá aplicar un par desde el eslabón “1”
2G12 ·I 2
αM
rr
= (13.39)
En el tercer caso, figura 13.15, al ser la aceleración angular nula, el
centro de gravedad tendrá una aceleración normal hacia el punto de giro del
eslabón.
Fig. 13.15 – Eslabón de entrada con velocidad angular constante.
La fuerza a aplicar por el eslabón “1” en el punto “O2” tendrá la
dirección y sentido de “G2” hacia “O2” y su valor será:
2G212 ·m AF
rr
= (13.40)
El cuarto caso, figura 13.16, el centro de gravedad del eslabón de
entrada, eslabón “2”, tendrá una aceleración “ 2GA
r
”. Para conseguir esta
aceleración habrá que aplicarle un sistema de fuerzas cuya resultante sea
2G22 ·m AR
rr
= (13.41)

73. Mecánica II
67
Aplicada de forma que el momento de “ 2R
r
” respecto del centro de
gravedad del eslabón tenga el mismo sentido que la aceleración angular de
dicho eslabón. El valor del descentramiento será:
2
2G
R
·I
h 2
α
= (13.42)
Fig. 13.16 – Eslabón de entrada con aceleración angular.
En el caso de superposición en el que se considera que solamente tiene
masa el eslabón “2”, a dicho eslabón solamente se le pueden aplicar fuerzas
desde el eslabón “1”, por tanto la resultante “ 2R
r
” se debe sustituir por una
fuerza “ 12F
r
”, del mismo módulo, dirección y sentido que “ 2R
r
” aplicada en
“O2” y un momento “M12” que será el momento de “ 2R
r
” respecto del punto
“O2” cuyo valor será:
d·RM 212 = (13.43)
La resolución de este caso también se puede plantear como que se debe
aplicar una fuerza en el punto “O2”
2G212 ·m AF
rr
= (13.44)
Y un momento
2O12 ·I 2
αM
rv
= (13.45)

74. Capítulo 13 – Fuerzas dinámicas
68
13.9 – CASO SENCILLO DE DINÁMICA DIRECTA
Los problemas de dinámica directa, en los que se conocen las fuerzas o
pares aplicados y se debe determinar la cinemática del mecanismo, suelen ser
bastante complejos de resolución. No obstante, hay algunos casos sencillos, por
ejemplo cuando se trata de mecanismos formados por ejes y poleas o ruedas
dentadas en los que los centros de gravedad se encuentran en los ejes
geométricos de los ejes, figura 13.17.
Fig. 13.17 – Mecanismo formado por ejes y poleas o ruedas dentadas.
En una cadena cinemática como la de la figura 13.17 se pueden reducir
todos los ejes al eje del motor.
Llamando “Mi/j” al par a aplicar en el eje “i” para acelerar angularmente
al eje “j”, se tendrá:
111/1 ·IM α= (13.46)
222/2 ·IM α= (13.47)
333/3 ·IM α= (13.48)
444/4 ·IM α= (13.49)
Como en este ejemplo el par motor esta aplicado en eje “1”, teniendo en
cuenta que si se desprecia el rozamiento se conserva la potencia, resultará:
1/2221/22/2
1
2
2/22/1 i··Ii·M·MM α==
ω
ω
= (13.50)
1/3331/33/3
1
3
3/33/1 i··Ii·M·MM α==
ω
ω
= (13.51)

75. Mecánica II
69
1/4441/44/4
1
4
4/44/1 i··Ii·M·MM α==
ω
ω
= (13.52)
Siendo:
1
2
1/2i
ω
ω
= la relación de transmisión entre el eje “2” y el eje “1”
1
3
1/3i
ω
ω
= la relación de transmisión entre el eje “3” y el eje “1”
1
4
1/4i
ω
ω
= la relación de transmisión entre el eje “4” y el eje “1”
En la figura 13.18 se aprecia que la velocidad del punto “C”, centro
instantáneo de rotación relativo a las dos ruedas, es la misma para las dos
ruedas, por tanto se cumple:
3322C R·R·V ω=ω= (13.53)
3
2
2
3
2/3
R
R
i =
ω
ω
= (13.54)
Fig. 13.18 – Relación entre velocidades angulares y aceleraciones angulares.
Teniendo en cuenta que la aceleración relativa entre los puntos en
contacto en una rodadura tiene la dirección de la recta de unión de centros,
resulta que las aceleraciones tangenciales de los dos puntos en contacto es la
misma y de valor:
3322
t
C
t
C R·R·AA 32
α=α== (13.55)

76. Capítulo 13 – Fuerzas dinámicas
70
La relación entre las velocidades angulares de las ruedas será:
2
3
2/3
3
2
2
3
i
R
R
ω
ω
===
α
α
(13.56)
Teniendo en cuenta la relación entre las aceleraciones angulares, las
ecuaciones 13.50, 13.51 y 13.52 se podrán escribir:
1
2
1/221/2221/22/2
1
2
2/22/1 ·i·Ii··Ii·M·MM α=α==
ω
ω
= (13.57)
1
2
1/331/3331/33/3
1
3
3/33/1 ·i·Ii··Ii·M·MM α=α==
ω
ω
= (13.58)
1
2
1/441/4441/44/4
1
4
4/44/1 ·i·Ii··Ii·M·MM α=α==
ω
ω
= (13.52)
El par a aplicar en el eje “1” será la suma de los pares en dicho eje para
acelerarse el mismo y acelerar a los ejes “2”, “3” y “4”.
1
2
1/44
2
1/33
2
1/221
4/13/12/11/1
)·i·Ii·Ii·II(
MMMMM
α+++=
=+++=
(13.53)
De la ecuación 13.53 se desprende que el conjunto de ejes se puede
sustituir, por ejemplo, por un volante colocado en el eje del motor y cuyo
momento de inercia sea la suma del momento de inercia del eje del motor más
los momentos de inercia de los otros ejes multiplicados por la correspondiente
relación de transmisión con el eje motor al cuadrado.
Incluso en un automóvil como el de la figura 13.19, se puede reducir la
masa del automóvil a un momento de inercia colocado en el eje del motor.
Fig. 13.19 – Reducción de la masa del automóvil a un momento de inercia.

77. Mecánica II
71
Si la cadena cinemática desde el motor a las ruedas experimenta una
aceleración, el automóvil adquirirá una aceleración lineal que será la
aceleración angular de las ruedas por el radio de las ruedas
11/RRRRG ·i·RR·A α=α= (13.54)
Para conseguir dicha aceleración, la pista efectuará sobre la periferia de
las ruedas una fuerza
GC A·mF = (13.55)
Para conseguir esta fuerza, el eje de las ruedas deberá aplicar un par
11/R
2
RCRR/R ·i·R·mR·FM α== (13.56)
Finalmente el par que deberá aplicar el motor en su eje para acelerar la
masa del automóvil será;
1
2
1/R
2
RC1/RRR/1 ·i·R·mi·R·FM α== (13.56)
De la ecuación 13.56 se desprende que la masa del coche se puede
sustituir por un volante cuyo momento de inercia sea “ 2
1/R
2
RC i·R·m ” colocado
en el eje del motor.
13.10 – FUERZAS DE SACUDIMIENTO
En el análisis de fuerzas estáticas, la suma de fuerzas y la suma de
momentos que actúan sobre cualquier eslabón deben ser cero. En particular la
suma de fuerzas y la suma de momentos que actúan sobre el eslabón fijo son
nulas.
En dinámica no ocurre lo mismo, la suma de fuerzas que actúan sobre
un eslabón deben ser igual al producto de su masa por la aceleración de su
centro de gravedad.
La suma de fuerzas que realiza el eslabón fijo sobre el resto de
eslabones será:
iGii1 ·m AF
rr
Σ=Σ (13.57)

78. Capítulo 13 – Fuerzas dinámicas
72
Por el principio de acción y reacción, los eslabones móviles realizarán
sobre el eslabón fijo una serie de fuerzas cuya suma será:
iGi1i ·m AF
rr
Σ−=Σ (13.58)
A la suma de fuerzas que realizan los eslabones móviles sobre el
eslabón fijo se le llama fuerza de sacudimiento y es una fuerza que tiende a
hacer vibrar al chasis de la máquina donde está acoplado el mecanismo y que
por lo tanto interesa minimizarla.

79. Mecánica II
73
CAPÍTULO 6 - SÍNTESIS DE LEVAS
6.1 - INTRODUCCIÓN
Las levas son unos mecanismos compuestos generalmente por un
eslabón impulsor llamado "leva" y otro eslabón de salida llamado "seguidor"
entre los que se transmite el movimiento por contacto directo.
Son mecanismos sencillos, poco costosos, tienen pocas piezas móviles y
ocupan espacios reducidos. Además su principal ventaja reside en que se
pueden diseñar de forma que se obtenga casi cualquier movimiento deseado del
seguidor.
6.2 - CLASIFICACIÓN DE LAS LEVAS
Los mecanismos de leva se pueden clasificar teniendo en cuenta como
son la "leva" y el "seguidor".
Teniendo en cuenta la leva, (Fig. 6-1):
a) Leva de placa, llamada también de disco o radial.
b) Leva de cuña.
c) Leva cilíndrica o de tambor.
d) Leva lateral o de cara.
Teniendo en cuenta el seguidor, (Fig. 6-2):
a) Seguidor de cuña.
b) Seguidor de cara plana.
c) Seguidor de rodillo.
d) Seguidor de cara esférica o zapata curva.
Otra clasificación de las levas se puede hacer teniendo en cuenta el
movimiento del seguidor, pudiendo ser éste rectilíneo alternativo (traslación) u

80. Capítulo 6 – Levas
74
oscilante (rotación). Teniendo en cuenta la posición relativa entre el seguidor y
la leva, pueden ser de seguidor centrado, cuando el eje del seguidor pasa por el
centro de la leva o de seguidor descentrado.
Fig. 6-1 Tipos de levas: a) de placa, b) de cuña, c) de tambor y d) de cara.
Fig. 6-2 Tipos de seguidor: a) de cuña, b) de cara plana, c) de rodillo y d) de zapata.

81. Mecánica II
75
El tipo de leva más común es el formado por una leva de placa y un
seguidor de rodillo con movimiento rectilíneo alternativo.
6.3 - DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO
El diagrama de desplazamiento "y = f (θ)" (Fig. 6-3) representa, en el
caso más general, la posición del seguidor respecto de la posición de la leva. Por
ejemplo en una leva de placa con seguidor de movimiento rectilíneo alternativo,
representaría la posición del seguidor respecto del ángulo girado por la leva,
pero en otros casos, tanto "y" como "θ", pueden ser desplazamientos lineales o
angulares.
Fig. 6-3 Diagrama de desplazamiento.
Un movimiento muy típico a conseguir por medio de un mecanismo de
leva es el movimiento uniforme en el cual la velocidad del seguidor será
constante siempre que sea constante la velocidad de la leva, (quizás sería mejor
llamarlo movimiento proporcional). Este tipo de movimiento queda reflejado en
el diagrama de desplazamiento por medio de un segmento rectilíneo.
Fig. 6-4 Desplazamientos, velocidades y aceleraciones del seguidor

82. Capítulo 6 – Levas
76
Si se tuviese una leva con la que se pretende, por ejemplo, realizar: una
subida con movimiento uniforme, una detención y finalmente un retorno, y no
se tomase ningún tipo de precaución resultaría que podrían aparecer
aceleraciones del seguidor tendiendo a infinito, tal como se ve en la figura 6-4.
Si la aceleración del seguidor tiende a infinito, también lo harán las
fuerzas de inercia, con lo que llegarían a romperse las piezas que componen la
leva. Como esto es inadmisible, se debe prever un diagrama de desplazamiento
que no produzca discontinuidades en el diagrama de velocidades.
Para suavizar el inicio o final de un movimiento uniforme se suele
utilizar una rama de parábola, consiguiendo que las pendientes de los tramos de
parábola coincidan con la pendiente del movimiento uniforme. (Fig. 6-5).
Fig. 6-5 Tramos de parábola. a) Unión de movimiento uniforme y b) dibujo del tramo.
Cuando se desea realizar un desplazamiento del seguidor de subida y
bajada sin detenciones, un movimiento muy adecuado es el armónico (Fig. 6-6),
ya que este tipo de movimiento tiene velocidades y aceleraciones que son
funciones continuas.
Fig. 6-6 Diagrama de desplazamiento con movimiento armónico

83. Mecánica II
77
Si se desea que el seguidor realice unos desplazamientos de subida y
bajada entre detenciones, un movimiento adecuado es el cicloidal (Fig. 6-7),
puesto que este movimiento tiene aceleraciones nulas al inicio y al final,
correspondiéndose con las aceleraciones nulas de las detenciones.
Fig. 6-7 Diagrama de desplazamiento con movimiento cicloidal
Cuando se precisen otros tipos de movimientos se ajustarán por medio
de curvas estándar, que se verán más adelante.
6.4 - DERIVADAS DEL DIAGRAMA DE
DESPLAZAMIENTO
En una leva de placa con seguidor de movimiento rectilíneo alternativo,
que es la más común, el diagrama de desplazamiento, ecuación (6-1), representa
la posición del seguidor en función del ángulo girado por la leva.
y = f(θ) (6-1)
El diagrama de desplazamiento (6-1) se puede derivar respecto de "θ" y
respecto de "t".
Derivando (6-1) respecto de "θ" se tendrá:
y' =
θd
dy
(6-2)
y" =
θd
yd
2
2
(6-3)

84. Capítulo 6 – Levas
78
Estas derivadas dependen solamente del perfil de la leva y son
independientes de la velocidad de giro de la leva. La primera derivada (y')
representa la pendiente del diagrama de desplazamiento y sus unidades serían,
por ejemplo, milímetros / radian. La (y") representa la pendiente de la (y') y sus
unidades serían, por ejemplo, milímetros / radián2
.
Derivando (6-1) respecto de "t" se tendrá:
dt
dy
yV == & (6-4)
dt
yd
yA 2
2
== && (6-5)
Las derivadas primera y segunda del diagrama de desplazamiento
respecto de "t" representan la velocidad y aceleración del seguidor
respectivamente.
Entre las derivadas de (6-1) respecto de "θ" y respecto de "t" existen las
siguientes relaciones:
dt
dy
yV == & = 'y·
dt
d
·
d
dy
ω=
θ
θ
(6-6)
dt
yd
yA 2
2
== && = =
θ
θ
+
θ






θ
=




 θ
θ
=
dt
d
·
d
dy
dt
d
·
d
dy
dt
d
dt
d
·
d
dy
dt
d
dt
dv
2
2
= 'y·"y·
dt
d
·
d
dy
dt
d
·
dt
d
·
d
dy
d
d 2
2
2
α+ω=
θ
θ
+
θθ






θθ
(6-7)
Si la leva girase con velocidad constante, movimiento que es muy
común en las máquinas, la aceleración sería:
A = ω2
·y" (6-8)
6.5 - MOVIMIENTOS ESTÁNDAR DE LAS LEVAS
Para conseguir cualquier tipo de movimiento en el seguidor, no siempre
resultará suficiente con los movimientos que se han visto en el apartado
anterior, por ello, hay toda una serie de curvas estándar por medio de las cuales

85. Mecánica II
79
resultará más sencillo enlazar los movimientos deseados de forma que resulten
funciones continuas tanto el diagrama de desplazamiento como sus dos primeras
derivadas.
Este tipo de curvas están basados en curvas armónicas y cicloidales y
son las que se acompañan a continuación, primero las de subida completa.
Fig. 6-9 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armónico simple
de subida completa, ecuación (6-9).
Fig. 6-10 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento cicloidal de
subida completa, ecuación (6-10).
Fig. 6-11 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armónico
modificado de subida completa, ecuación (6-11).

86. Capítulo 6 – Levas
80
A continuación las tres curvas estándar de retorno completo.
Fig. 6-12 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armónico simple
de retorno completo, ecuación (6-12).
Fig. 6-13 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento cicloidal de
retorno completo, ecuación (6-13).
Fig. 6-14 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armónico
modificado de retorno completo, ecuación (6-14).
Cuando no se tiene que realizar una subida o bajada completa, por
ejemplo desde una detención hasta un tramo de movimiento uniforme, se
utilizan trozos de movimiento armónico o cicloidal, tanto de subida como de
bajada y son los que se exponen a continuación.

87. Mecánica II
81
Fig. 6-15 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semiarmónico
de subida, parte baja, ecuación (6-15).
Fig. 6-16 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semiarmónico
de subida, parte alta, ecuación (6-16).
Fig. 6-17 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semiarmónico
de retorno, parte alta, ecuación (6-17).
Fig. 6-18 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semiarmónico
de retorno, parte baja, ecuación (6-18).

88. Capítulo 6 – Levas
82
Fig. 6-19 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semicicloidal de
subida, parte baja, ecuación (6-19).
Fig. 6-20 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semicicloidal de
subida, parte alta, ecuación (6-20).
Fig. 6-21 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semicicloidal de
bajada, parte alta, ecuación (6-21).
Fig. 6-22 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semicicloidal de
bajada, parte baja, ecuación (6-22).

89. Mecánica II
83
Una vez escogidos los movimientos estándar más apropiados para cada
tramo, se debe intentar conseguir que tanto el diagrama de desplazamiento
como las velocidades y aceleraciones sean funciones continuas, para
conseguirlo se pueden variar la elevación y la amplitud de los movimientos
estándar.
La continuidad es imprescindible en los diagramas de desplazamiento y
de velocidades cuando son levas que giran a gran velocidad, aunque es
recomendable siempre.
6.6 - DISEÑO GRÁFICO DE PERFILES DE LEVAS
Una vez establecido como debe ser el diagrama de desplazamiento, se
debe dibujar el perfil de la leva que haga que se cumpla el diagrama previsto. El
perfil de la leva será diferente en función del seguidor sobre el que actúe.
Para dibujar el perfil de la leva se inicia dibujando el seguidor en la
posición correspondiente al punto "0" del diagrama de desplazamiento. Se
realiza una inversión cinemática haciendo girar el seguidor en sentido contrario
al del giro de la leva y dibujándolo en varias posiciones de acuerdo con el
diagrama de desplazamiento. El perfil de la leva será la curva envuelta por las
diferentes posiciones que alcance el seguidor.
Cuanto en mayor número de posiciones se dibuje el seguidor, mayor
será la precisión del perfil de la leva.
Fig. 6-23 Diseño del perfil de una leva con seguidor de rodillo centrado. Superficie de la
leva desarrollada manteniéndola estacionaria y haciendo girar al seguidor en sentido
contrario al del giro de la leva.

90. Capítulo 6 – Levas
84
Fig. 6-24 Trazado del perfil de una leva de placa con seguidor de rodillo descentrado
Fig. 6-25 Trazado del perfil de una leva de placa con seguidor de cara plana

91. Mecánica II
85
Fig. 6-26 Trazado del perfil de una leva de placa con seguidor de rodillo oscilante
6.7 - FUERZAS EN LEVAS
En las levas se pueden considerar dos tipos de fuerzas:
- Estáticas, debidas a las fuerzas exteriores que actúan sobre el
seguidor y a la fuerza del muelle.
- Dinámicas, debidas a la masa del seguidor.
Si no se toma ningún tipo de precaución, la fuerza entre el seguidor y la
leva debe ser positiva, ya que sino se perdería el contacto entre ellos dejando de
ser un mecanismo.
En la figura 6-27 pueden verse las fuerzas estáticas en una leva de placa
y seguidor de rodillo que es una de las levas más comunes.
En la figura 6-28 se pueden observar las fuerzas dinámicas cuando la
aceleración del seguidor es positiva.
Finalmente, en la figura 6-29 se muestran las fuerzas dinámicas cuando
la aceleración del seguidor es negativa.

92. Capítulo 6 – Levas
86
Fig. 6-27 Fuerzas estáticas en una leva de placa y seguidor de rodillo

93. Mecánica II
87
Fig. 6-28 Fuerzas dinámicas en una leva de placa y seguidor de rodillo siendo la
aceleración del seguidor positiva

94. Capítulo 6 – Levas
88
Fig. 6-29 Fuerzas dinámicas en una leva de placa y seguidor de rodillo siendo la
aceleración del seguidor negativa

95. Mecánica II
89
CAPÍTULO 7 - SÍNTESIS DE ENGRANAJES
7.1 - INTRODUCCIÓN
Para transmitir movimiento entre dos ejes el mecanismo más sencillo es
el formado por poleas de fricción. Estas poleas transmiten el movimiento por
medio de la rodadura de una con otra.
Para transmitir una determinada potencia por medio de rodadura debe
aparecer una fuerza tangencial a las poleas de fricción en el punto de contacto y
para conseguir una fuerza tangencial, que será una fuerza de rozamiento, será
necesaria una fuerza normal.
Teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento en unas poleas de
fricción puede ser en algunos casos un valor tan bajo como 0.1, resulta que la
fuerza normal deberá ser 10 veces superior a la fuerza tangencial necesaria.
Además con las poleas de fricción puede existir deslizamiento, con lo
que la relación de transmisión no será exacta.
Para evitar estos problemas se utilizan los engranajes en los que se
produce una transmisión de movimiento por contacto directo con deslizamiento,
similar al de las levas. El diente de rueda dentada motora se puede considerar la
leva y el diente de la rueda conducida el seguidor, lo que ocurre en los
engranajes es que los dientes van entrando en contacto de forma sucesiva.
7.2 - CLASIFICACIÓN DE LOS ENGRANAJES
Los engranajes se pueden clasificar en función de la posición relativa de
los ejes entre los que se transmite el movimiento, clasificándose en los tipos
siguientes:
- Engranajes cilíndricos, cuando transmiten el movimiento entre ejes
paralelos.
- Engranajes cónicos, transmiten el movimiento entre ejes que se
cortan.
- Engranajes hiperbólicos, transmiten el movimiento entre ejes que se
cruzan.

96. Capítulo 7 – Engranajes
90
El nombre lo reciben de la forma geométrica de los axoides relativos a
las ruedas dentadas que forman el engranaje. En los cilíndricos los axoides son
cilindros, en los cónicos son conos y en los hiperbólicos, los axoides son
hiperboloides de revolución.
7.2.1 - Engranajes cilíndricos
Los engranajes cilíndricos pueden ser:
- Exteriores, cuando las dos ruedas tienen dentado exterior (Fig. 7-1).
- Interiores, cuando la rueda mayor tiene dentado interior (Fig. 7-2).
Fig. 7-1 Engranaje cilíndrico exterior
Fig. 7-2 Engranaje cilíndrico interior

97. Mecánica II
91
Otra clasificación de los engranajes cilíndricos, teniendo en cuenta la
forma del diente, es la siguiente:
- Rectos, cuando los dientes son paralelos a las generatrices de los
cilindros axoides (Fig. 7-3).
- Helicoidales, cuando los dientes forman una hélice sobre el cilindro
axoide. En este tipo de engranajes, el valor del ángulo de la hélice
sobre el cilindro axoide debe ser el mismo en las dos ruedas, pero en
una a derechas y otra a izquierdas (Fig. 7-4).
Fig. 7-3 Rueda dentada cilíndrica recta
Fig. 7-4 Rueda dentada cilíndrica helicoidal

98. Capítulo 7 – Engranajes
92
7.2.2 - Engranajes cónicos
En los engranajes cónicos, el ángulo formado por los ejes puede ser:
- Menor de 90º (Fig. 7-5).
- Igual a 90º (Fig. 7-6).
- Mayor de 90º, siendo el axoide de la rueda mayor un plano
(Fig. 7-7).
- Mayor de 90º, con el axoide de la rueda mayor un cono interior
(Fig. 7-8).
Fig. 7-5 Engranaje cónico con ángulo entre ejes menor de 90º
Fig. 7-6 Engranaje cónico con ángulo entre ejes igual a 90º

99. Mecánica II
93
Fig. 7-7 Engranaje cónico con ángulo entre ejes mayor de 90º y rueda grande plana
Fig. 7-8 Engranaje cónico con ángulo entre ejes mayor de 90º y rueda grande cónica
interior
De la clasificación de los engranajes cónicos se aprecia que éstos
pueden abarcar toda la gama de ángulos entre ejes desde 0º hasta 180º, es decir,
desde los engranajes cilíndricos exteriores hasta los cilíndricos interiores. Por lo
tanto, los engranajes cilíndricos exteriores e interiores se pueden considerar los
extremos de la gama posible de engranajes cónicos.

100. Capítulo 7 – Engranajes
94
7.2.3 - Engranajes hiperbólicos
Los engranajes hiperbólicos más comunes son:
- Ruedas cilíndricas helicoidales montadas sobre ejes que se cruzan.
En este caso, los ángulos de las hélices sobre los cilindros axoides
pueden tomar cualquier valor e incluso pueden tener el mismo valor
pero ser los dos a derechas o los dos a izquierdas (Fig. 7-9).
Fig. 7-9 Engranaje helicoidal entre ejes que se cruzan
- Cuando una de las dos ruedas del párrafo anterior tiene pocos dientes
(1, 2, 3 ó 4) se les llama tornillo sinfín y corona por la similitud de
apariencia de la rueda de pocos dientes con un tornillo (Fig. 7-10).
Fig. 7-10 Tornillo sinfín y corona

101. Mecánica II
95
- Engranajes hipoides, tienen la apariencia de ruedas cónicas, pero
como sus ejes no se cortan, realmente son hiperbólicos (Fig. 7-11).
Fig. 7-11 Engranaje hipoide
7.2.3.1 - Engranajes tornillo sinfín y corona
Los engranajes de tornillo sinfín y corona, atendiendo a la forma del
tornillo y de la corona se pueden clasificar como:
- Tornillo sinfín y corona cilíndricos (Fig. 7-10).
- Tornillo sinfín cilíndrico y corona glóbica (Fig. 7-12).
Fig. 7-12 Tornillo sinfín cilíndrico y corona glóbica

102. Capítulo 7 – Engranajes
96
- Tornillo sinfín glóbico y corona cilíndrica (Fig. 7-13).
- Tornillo sinfín y corona glóbicos (Fig. 7-14).
Fig. 7-13 Tornillo sinfín glóbico y corona cilíndrica
Fig. 7-14 Tornillo sinfín glóbico y corona glóbica

103. Mecánica II
97
7.3 - TEORÍA DE ENGRANE
7.3.1 - Engranajes cilíndricos rectos exteriores
Para estudiar la teoría de engrane, lo más sencillo es realizarla sobre los
engranajes rectos exteriores, ya que al tener los dientes paralelos a las
generatrices de los cilindros axoides, se pueden estudiar en el plano.
La transmisión de movimiento en un engranaje recto se realiza por
medio de contacto directo con deslizamiento entre los dientes de las dos ruedas
que forman el engranaje. Esta transmisión, si las ruedas están bien diseñadas, es
equivalente a una rodadura sin deslizamiento entre dos poleas de fricción cuyos
cilindros de rodadura coincidan con los cilindros axoides (Fig. 7-15).
Fig. 7-15 Axoides en un engranaje cilíndrico exterior
Como la velocidad del centro instantáneo de rotación "I" debe ser la
misma para las dos ruedas se cumplirá la ecuación (7-1).
2211 r·r· ω=ω (7-1)
De aquí se obtiene que la relación de transmisión será
2
1
1
2
r
r
=
ω
ω
=µ (7-2)

104. Capítulo 7 – Engranajes
98
Si se conoce la distancia entre centros de las ruedas "a" y la relación de
transmisión "µ ", como la distancia entre centros debe ser igual a la suma de los
radios de los axoides o radios primitivos, se cumplirá:
a = r1 + r2 (7-3)
a·
1
r1
+µ
µ
= (7-4)
a·
1
1
r2
+µ
= (7-5)
7.3.2 - Ley de engrane
La ley de engrane o condición de engrane dice que la relación de
transmisión de un engranaje debe ser constante.
Suponiendo que la velocidad angular de una rueda dentada de un
engranaje sea constante, para conseguir que la velocidad angular de la otra
rueda sea constante y no aparezcan aceleraciones angulares que produzcan
vibraciones, se debe conseguir en todo momento que la relación de transmisión
sea constante. Es decir que se cumpla la ley de engrane.
En la ecuación (7-2) se observa que para que la relación de transmisión
sea constante se deben mantener constantes los radios primitivos de las ruedas
dentadas. Los axoides deben ser circunferencias.
Para que los radios primitivos se mantengan constantes, el centro
instantáneo de rotación relativo a las dos ruedas, punto "I", se debe mantener
fijo (Fig. 7-16).
Según el teorema de los tres centros, si se tiene tres eslabones "0", "1" y
"2", los centros relativos entre ellos están en línea recta, por lo tanto, el centro
instantáneo "I" debe estar en la recta de unión de los centros de las ruedas. Por
otro lado, cuando se tiene una transmisión de movimiento por contacto directo
con deslizamiento, el centro instantáneo relativo a esos eslabones se encuentra
en la perpendicular a la tangente común a las dos superficies en el punto de
contacto.
Del párrafo anterior se desprende que cuando la perpendicular trazada
en todo momento a la tangente de los perfiles de los dientes en el punto de

105. Mecánica II
99
contacto corta a la recta de unión de centros en un punto fijo, se cumple la ley
de engrane.
Fig. 7-16 Ley de engrane, I debe ser fijo
A los perfiles que cumplen la ley de engrane se les llama perfiles
conjugados.
7.3.3 - Tamaño del diente: Paso y módulo
El paso se define como la distancia entre flancos homólogos de dientes
consecutivos medida sobre la circunferencia primitiva o axoide, por lo tanto su
valor será:
p =
z
d·
z
r·2 π
=
π
(7-6)
Siendo "r" y "d" el radio y diámetro de la circunferencia primitiva
respectivamente y "z" el número de dientes.

106. Capítulo 7 – Engranajes
100
Con el fin de no manejar continuamente el número " π " se define el
módulo como:
m =
π
p
=
z
r2
=
z
d
(7-7)
Para que dos ruedas dentadas puedan engranar correctamente además de
cumplir la ley de engrane deben tener el mismo paso, o lo que es equivalente, el
mismo módulo, por lo tanto se cumplirá:
m =
2
2
1
1
2
2
1
1
z
d
z
d
z
r2
z
r2
=== (7-8)
Y la relación de transmisión será:
2
1
2
1
2
1
1
2
d
d
z
z
r
r
===
ω
ω
=µ (7-9)
Con el fin de reducir el número de herramientas de tallado de ruedas
dentadas se han normalizado los módulos según se puede ver en la tabla (7-1),
aunque se pueden encontrar ruedas dentadas con módulos no normalizados.
MÓDULOS NORMALES (mm)
(0.875) 1 (1.125) 1.25 (1.375) 1.5
(1.75) 2 (2.25) 2.5 (2.75) 3
(3.5) 4 (4.5) 5 (5.5) 6
(7) 8 (9) 10 (11) 12
Evitar los números entre paréntesis.
Los números mayores o menores se obtienen multiplicando o dividiendo los
de la tabla por 2, 4, 8, 16, etc...
Tabla 7-1 Módulos normalizados

107. Mecánica II
101
Aunque los piases que utilizaban medidas inglesas van adoptando el
sistema internacional de medidas, todavía se puede encontrar ruedas dentadas
en las que el tamaño del diente viene determinado por el "Paso Diametral" o
"Diametral Pitch" (Pd) que representa el número de dientes dividido por el
diámetro primitivo expresado en pulgadas. No confundir el paso diametral (Pd)
con el paso entre dientes (p)
Pd =
( )adaslgpuend
z
(7-10)
Su relación con el módulo será:
m =
dd P
4.25
P
adalgpu1
= (7-11)
Evitar los números entre paréntesis
Tabla 7-2 Pasos Diametrales normalizados

108. Capítulo 7 – Engranajes
102
En la tabla 7-2 se exponen pasos diametrales normalizados y su
equivalencia aproximada con el módulo correspondiente.
7.3.4 - Línea de engrane
La línea de engrane está formada por los diferentes puntos que va
ocupando el punto de contacto entre los dientes de dos ruedas dentadas respecto
del eslabón fijo.
Como cada diente tiene dos flancos de posible contacto, un engranaje
tendrá dos posibles líneas de engrane en función del sentido de giro y de la
rueda que sea la motora según se ve en la figura (7-17).
Fig. 7-17 Líneas de engrane

109. Mecánica II
103
7.3.5 - Línea de acción o empuje y ángulo de presión
La línea de acción o de empuje es la dirección de las fuerzas que se
transmiten entre las dos ruedas dentadas que forman el engranaje. Si no se tiene
en cuenta el rozamiento, estas fuerzas serán perpendiculares a la tangente a los
perfiles de los dientes en el punto de contacto "P", y si estos cumplen la ley de
engrane, pasará por el centro instantáneo de rotación "I" según se ve en la figura
(7-18).
Fig. 7-18 Línea de acción o de empuje y ángulo de presión
El ángulo de presión "α " es el formado entre la línea de acción o
empuje y la tangente común a los axoides en el punto "I".
7.3.6 - Zona de engrane
El contacto entre las ruedas dentadas de un engranaje se produce entre
los flancos de sus dientes. En la figura (7-19) se pueden apreciar las
circunferencias de fondo y cabeza que limitan al diente, la circunferencia axoide
o primitiva, el paso "p", la altura de cabeza ha y la altura de fondo hf.
La zona de contacto entre los dientes está limitada por las
circunferencias de cabeza, por lo que las líneas de engrane representadas en la
figura (7-17) quedan reducidas a la porción de ellas que queda dentro de dicha
zona como puede apreciarse en la figura (7-20).

110. Capítulo 7 – Engranajes
104
Fig. 7-19 Dimensiones del diente de una rueda dentada
Fig. 7-20 Zona de engrane entre dos ruedas dentadas
Cuando el engrane se produce entre una rueda dentada y una cremallera,
la zona de engrane queda limitada por la circunferencia de cabeza de la rueda y
la recta de cabeza de la cremallera, tal como se ve en la figura (7-21).

111. Mecánica II
105
Fig. 7-21 Zona de engrane entre rueda dentada y cremallera
7.3.7 - Dimensiones de un engranaje normal
Un engranaje se puede considerar totalmente normal cuando está
formado por dos ruedas en las que:
- El módulo "m" tiene un valor normalizado, se expresa en milímetros.
- El ángulo de presión "α" es de 20º.
- La altura de cabeza "ha" es igual a 1 módulo.
- La altura de fondo "hf" es igual a 1.25 módulos.
- El espesor del diente "s" y del hueco "e" son iguales a la mitad del
paso.
- La distancia entre centros de las ruedas "a" es la correcta.
También se puede considerar casi normal un engranaje en el que ángulo
de presión sea diferente de 20º, si se cumplen las otras condiciones.

112. Capítulo 7 – Engranajes
106
Las dimensiones de una rueda normal pueden verse en la figura (7-22).
Fig. 7-22 Dimensiones de una rueda dentada normal
En una rueda dentada normal cuyo número de dientes sea "z" y su
módulo "m", se tendrán las dimensiones siguientes:
d = z·m (7-12)
p = π·m (7-13)
e = s =
2
p
(7-14)
a =
2
dd 21 +
(7-15)
ha = 1·m (7-16)
hf = 1.25·m (7-17)
h = ha + hf = 2.25·m (7-18)
da = d + 2·ha = d + 2·m = (z + 2)·m (7-19)
df = d - 2·hf = d - 2 x 1.25·m = d - 2.5·m (7-20)
α = 20º

113. Mecánica II
107
7.3.8 - Dimensiones de un engranaje de diente corto
Un engranaje que se puede considerar casi normal es el formado por
ruedas dentadas de diente de corto, figura (7-23), en el que solamente varía
respecto de los normales la altura de cabeza "ha", la altura de fondo "hf" y por lo
tanto la altura del diente "h", el diámetro de cabeza "da" y el diámetro de fondo
"df". En estas ruedas son válidas las ecuaciones de la (7-12) a la (7-15),
quedando de (7-16) a la (7-20) de la forma siguiente:
ha = 0.75·m (7-21)
hf = 1·m (7-22)
h = ha + hf = 1.75·m (7-23)
da = d + 2·ha = d + 2 x 0.75·m = d + 1.5·m (7-24)
df = d - 2·hf = d - 2 x 1·m = d - 2·m (7-25)
α = 20º
Fig. 7-23 Dimensiones del diente corto
7.3.9 - Perfil del diente: Cicloidal y evolvente
Según se vio en el apartado (7.3.2), para que las dos ruedas dentadas
que forman un engranaje transmitan bien el movimiento deben cumplir la ley
engrane, es decir, los perfiles de sus dientes deben ser conjugados.
Aunque teóricamente existen infinitos perfiles conjugados, en la
práctica se han utilizado muy pocos, y de éstos cabe destacar los siguientes:
- Perfil cicloidal.

114. Capítulo 7 – Engranajes
108
- Perfil de evolvente o involuta.
Los dientes de perfil cicloidal están formados: en la cabeza por un trozo
de epicicloide y en el pie por un trozo de hipocicloide, figura (7-24).
Fig. 7-24 Perfil del diente cicloidal
La epicicloide de la cabeza del diente de una rueda es perfil conjugado
de la hipocicloide del pie de la otra rueda siempre que estas curvas estén
generadas por circunferencias del mismo diámetro girando sin deslizamiento
sobre y bajo la circunferencia axoide respectivamente.
El perfil cicloidal se utilizó mucho a principios del siglo XX, pero en la
actualidad está prácticamente desechado por la serie de ventajas que ofrece el
perfil de evolvente o involuta que es el que más se utiliza en la actualidad.
En las ruedas de perfil de evolvente todo el flanco del perfil del diente
está formado por un trozo de evolvente.
La evolvente es la curva que describe el extremo de una cuerda que
desarrolla, manteniéndose tensa, de una circunferencia que recibe el nombre de
circunferencia base. También sería la trayectoria que describe un punto de una
regla que rueda sin deslizamiento sobre la circunferencia base, figura (7-25).

115. Mecánica II
109
Por la forma en que se dibuja, se cumple que la perpendicular trazada a
la tangente de la evolvente en cualquier punto de la evolvente, es tangente a la
circunferencia base.
Según se verá en los próximos apartados, el perfil de evolvente tiene
una serie de ventajas, como son:
- El perfil de evolvente es conjugado de sí mismo.
- Sigue siendo conjugado aunque varíe la distancia entre centros de las
ruedas.
- La línea de engrane es recta.
- El ángulo de presión es constante.
- La cremallera de evolvente tiene los flancos rectos.
Fig. 7-25 Evolvente de círculo
7.3.10 - Engrane entre perfiles de evolvente
La figura (7-26) muestra el engrane entre los perfiles de evolvente de
dos ruedas dentadas en los que el contacto se produce en el punto "P".
Al ser evolvente el perfil de la rueda "1", la perpendicular trazada a la
tangente al perfil de la rueda "1" en el punto "P" será tangente a la
circunferencia base de la rueda "1". Al ser también evolvente el perfil de la
rueda "2", la perpendicular trazada a la tangente del perfil de la rueda "2" en el
punto "P" será tangente a la circunferencia base de la rueda "2".

116. Capítulo 7 – Engranajes
110
Fig. 7-26 Engrane entre perfiles de evolvente
Como la tangente a los dos perfiles en el punto "P" es única, su
perpendicular también lo será, y por lo tanto, la perpendicular trazada por el
punto "P" a la tangente a los perfiles en el punto de contacto es tangente a las
dos circunferencias base. De aquí se desprende que:
- La perpendicular trazada a la tangente común a los perfiles de los
dientes en el punto de contacto corta siempre a la recta de unión de
centros en un punto fijo que será el centro instantáneo de rotación
relativo a las dos ruedas "I", por lo que se cumple la ley de engrane.
Resultando que el perfil de evolvente es conjugado de sí mismo.
- El contacto se produce siempre sobre la tangente común a las dos
circunferencias base, por lo que la línea de engrane es recta.
- Al ser la línea de engrane recta, el ángulo de presión será constante
durante toda la línea de engrane.
Así quedan demostradas tres de las ventajas del perfil de evolvente
enumeradas en el apartado (7.3.9).

117. Mecánica II
111
De la figura se desprende que los radios de las circunferencias
primitivas serán:
r1 =
αcos
r 1b
(7-26)
r2 =
αcos
r 2b
(7-27)
De las ecuaciones (7-26) y (7-27) se desprende que
2b
1b
2
1
r
r
r
r
= (7-28)
Y la ecuación (7-9) se podrá ampliar a
2b
1b
2
1
2
1
2
1
1
2
r
r
d
d
z
z
r
r
====
ω
ω
=µ (7-29)
De la ecuación (7-29) se obtiene que
2b21b1 r·r· ω=ω (7-30)
La ecuación (7-30) indica que las velocidades lineales de los puntos de
las circunferencias base de las dos ruedas son iguales. De esta ecuación se
deduce que el movimiento de dos ruedas con perfil de evolvente es equivalente
al movimiento de dos carretes en los que en uno se desenrolla una cuerda y en el
otro se enrolla y cuyos radios son los radios de base de las ruedas.
De la figura (7-26) también se deduce que el deslizamiento en el punto
de contacto será:
Deslizamiento = )·(PI 12 ω+ω (7-31)

118. Capítulo 7 – Engranajes
112
7.3.11 - Engrane de dos ruedas con perfil de evolvente
En la figura (7-27) se aprecia que la distancia entre centros "a" a la que
se pueden montar dos ruedas dentadas con perfil de evolvente puede variar, y el
perfil de evolvente sigue siendo conjugado. Al variar la distancia entre centros
"a" lo que ocurre es que varía el ángulo de presión "α".
Fig. 7-30 Una pareja de ruedas puede engranar con diferentes distancias entre centros
En la figura (7-27) se observa que
a
rr
rr
rr
r
r
r
r
cos 2b1b
21
2b1b
2
2b
1
1b +
=
+
+
===α (7-32)
a
rr
cos 2b1b
′
+
=α′ (7-33)
7.3.12 - Cremallera de evolvente
La cremallera de evolvente se puede considerar como el límite a que
tiende una rueda dentada cuando su diámetro tiende a infinito conservando el
paso y el ángulo de presión.
En la figura (7-28) se aprecia que el radio de curvatura del perfil de
evolvente en el punto "P" es la distancia "TP". En la cremallera como el punto

119. Mecánica II
113
"T" se va al infinito, resulta que el radio de curvatura del perfil se hace infinito
por lo tanto el flanco del perfil del diente de la cremallera de evolvente es recto.
Fig. 7-28 Cremallera, límite cuando el radio de una rueda tiende a infinito
En la figura (7-29) se aprecian las dimensiones de una cremallera que
son:
- Ángulo de presión "α".
- Paso "p".
- Espesor del diente en la línea de referencia "s".
- Altura de cabeza "ha".
La línea de referencia se suele tomar a una altura del diente en el que el
espesor del diente "s" es igual al espesor del hueco "e".
Fig. 7-29 Dimensiones de una cremallera de evolvente

120. Capítulo 7 – Engranajes
114
En la cremallera, al igual que en las ruedas dentadas la relación entre el
paso y el paso base será:
pb = p·cos α (7-34)
7.3.13 - Engrane de rueda dentada y cremallera
Para que puedan engranar una rueda dentada y una cremallera, figura
(7-30), deben tener las dos el mismo paso base
pb (cremallera) = pb (rueda) = p (cremallera) cos α (7-35)
Fig. 7-30 Engrane de rueda y cremallera
Y el radio primitivo de la rueda será
r =
)cremallera(
b
cos
r
α
(7-36)
7.3.14 - Engranaje cilíndrico recto interior
Un engranaje interior, figura (7-31), está formado por una rueda dentada
exterior y otra rueda dentada interior.
El hueco de los dientes de la rueda interior tiene la misma forma que los
dientes de una rueda dentada exterior del mismo módulo y número de dientes.
En un engranaje interior las velocidades angulares de las dos ruedas que
lo forman tienen el mismo sentido.

121. Mecánica II
115
Fig. 7-31 Engranaje cilíndrico recto interior
El engranaje interior de ruedas dentadas con perfil de evolvente, figura
(7-32), cumple la ley de engrane, ya que la perpendicular trazada a la tangente
de los perfiles de los dientes en el punto de contacto es tangente a las dos
circunferencias base y por lo tanto corta a la recta de unión de centros en un
punto fijo.
Fig. 7-32 Engrane de un diente interior con un diente exterior
7.4 - FUERZAS EN LOS ENGRANAJES RECTOS
La fuerza que aparece entre los dientes de las ruedas dentadas, si se
desprecia el rozamiento, es perpendicular a la tangente a los perfiles de los
dientes en el punto de contacto. Esta fuerza forma un ángulo "α " con la
tangente a la circunferencia primitiva.

122. Capítulo 7 – Engranajes
116
Fig. 7-33 Diagrama de cuerpo libre de las ruedas dentadas.
La componente de la fuerza que contribuye a la transmisión de potencia
es la tangencial, por tanto se tendrá:
V
W
Ft
= (7-37)
Siendo:
- W = Potencia en vatios.
- V = Velocidad de un punto de la circunferencia primitiva en m/s.
t
32
t
23 FF = (7-38)
α= tgFF tr
(7-39)
r
32
r
23 FF = (7-40)
F =
2r2t
FF + (7-41)
13233212 FFFF === (7-42)
2
t
3212 r·FM = (7-43)
3
t
2313 r·FM = (7-44)

123. Mecánica II
117
CAPÍTULO 9 - TRENES DE ENGRANAJES
9.1 - INTRODUCCIÓN
Se llaman trenes de engranajes a las combinaciones de ruedas dentadas
en las que el movimiento de salida de una pareja de ruedas es el movimiento de
entrada de otra pareja.
Los trenes de engranajes se pueden clasificar en:
- Trenes de engranajes de ejes fijos.
- Trenes de engranajes con algún eje móvil, (trenes epicicloidales).
En los trenes de engranajes es importante determinar su relación de
transmisión para calcular el movimiento de salida en función del de entrada.
9.2 – TRENES DE ENGRANAJES DE EJES FIJOS
El mecanismo más sencillo de engranajes es el engranaje formado por
dos ruedas dentadas como el representado en la figura 9.1.
Fig. 9-1 Engranaje de dos ruedas dentadas
La velocidad del punto “C” es la misma para ese punto perteneciente a
cada una de las ruedas dentadas, por tanto se cumple
3322 R·R· ω=ω (9.1)
La relación de transmisión de esta pareja de ruedas se define como

124. Capítulo 9 – Trenes de engranajes
118
3
2
3
2
3
2
2
3
3232
Z
Z
d
d
R
R
ui ===
ω
ω
== (9.2)
En este caso la relación de transmisión del mecanismo “ 32i ” es igual a
la relación de engrane “ 32u ”.
Fig. 9-2 Tren de engranajes de ejes fijos.
En un tren de engranajes como el representado en la figura (9.2) en el
que la rueda “3” y la rueda “4” son el mismo eslabón, la relación de engrane
entre las ruedas “2” y “3” será:
3
2
2
3
32
Z
Z
u =
ω
ω
= (9.3)
La velocidad angular de las ruedas “3” y “4” es la misma ya que son la
misma pieza.
43 ω=ω (9.4)
La relación de engrane entre las ruedas “4” y “5” será:
5
4
4
5
54
Z
Z
u =
ω
ω
= (9.5)
La relación de transmisión del tren será:
53
42
24
35
2
5
52
Z·Z
Z·Z
·
·
i =
ωω
ωω
=
ω
ω
= (9.6)

125. Mecánica II
119
De la ecuación 9.6 se desprende que la relación de un tren de engranajes
es el producto del número de dientes de las ruedas conductoras dividido por el
producto del número de dientes de las ruedas conducidas.
9.3 – TRENES DE ENGRANAJES CON ALGÚN EJE
MÓVIL, (TRENES EPICICLOIDALES)
En la figura 9.3 está representado el tren epicicloidal más sencillo. En
este tren la rueda dentada “4” puede tener un movimiento de rotación alrededor
de su eje y además un movimiento de traslación, ya que está montada sobre el
brazo “3” y éste puede girar alrededor del eje de la rueda “2”. Por tanto este tren
tiene móvil el eje de la rueda “4”.
Fig. 9-3 Tren de engranajes epicicloidal.
Un observador fijo sobre el eslabón “3” verá pasar por el agujero de
este eslabón el mismo número de dientes de la rueda “2” que de la “4”. Es decir
que las velocidades relativas respecto del eslabón “3” de los puntos de las dos
ruedas que pasan por el agujero son iguales. Las velocidades de estos puntos
serán:
434232 R)·(R)·( ωωωω
rrrr
−−=− (9.7)
Esta ecuación se puede expresar
42
4
2
4
2
32
34
u
Z
Z
R
R
)(
)(
=−=−=
−
−
ωω
ωω
rr
rr
(9.8)
Esta ecuación es la que establece la relación de transmisión del tren.

126. Capítulo 9 – Trenes de engranajes
120
De la ecuación 9.8 se puede obtener el proceso a seguir para determinar
la relación de transmisión de un tren epicicloidal:
- Primero se determina la relación de transmisión “u” del tren como si
se tratase de un tren de ejes fijos teniendo en cuenta el signo de esta
relación.
- Se plantea la relación de velocidades relativas y se iguala a la
relación obtenida en el punto primero.
- Se obtiene una ecuación que relaciona tres velocidades, por tanto el
tren epicicloidal tiene dos grados de libertad, se deben conocer dos
velocidades para que quede determinada la tercera.
Al resolver el problema, como las velocidades angulares son
vectoriales, se debe establecer un convenio de signos de las velocidades al
sustituirlas en la ecuación. Para determinar el sentido de giro de la velocidad
obtenida se aplicará el convenio de signos establecido.

127. Mecánica II
121
CAPÍTULO 15 - EQUILIBRADO
15.1 - INTRODUCCIÓN
El equilibrado consiste en añadir o quitar cierta cantidad de masa de
algún eslabón con el fin de minimizar las fuerzas de sacudimiento.
15.2 – EQUILIBRADO TEÓRICO DE EJES
Si se tiene un eje cuyo centro de gravedad no coincide con el eje
geométrico del eje, éste se comportará como si se tuviera un eje con una masa
desplazada, tal como se ilustra en la figura 15.1.
Fig. 15.1 – Eje desequilibrado
Al girar el eje, la masa tendrá una aceleración normal
r·A 2
ω= (15.1)
Al estar la masa unida al eje aparecerán sobre la masa y sobre el eje las
fuerzas que se ilustran en la figura 15.2.
r··m·m 2
ω== AF
rr
(15.2)
L
L·F
R B
A = (15.3)
L
L·F
R A
B = (15.4)

128. Capítulo 15 – Equilibrado
122
Fig. 15.2 – Diagrama de cuerpo libre del eje y la masa
El problema principal es que al girar el eje, gira la masa y por tanto las
reacciones en los apoyos son giratorias produciendo vibraciones en el
mecanismo o máquina en el que vaya acoplado el eje desequilibrado.
Un eje estará completamente equilibrado cuando se cumpla para todas
las masas que producen desequilibrio que:
0F =Σ (15.5)
0M =Σ (16.6)
15.2.1 – Equilibrado estático
Un eje está desequilibrado estáticamente cuando su desequilibrio se
puede detectar sin necesidad de girar al eje. Por ejemplo, si el eje de la figura
15.1 se coloca apoyado por los puntos “A” y “B” sobre unas reglas horizontales
y se deja libremente, girará hasta que la masa quede en la parte inferior.
Al colocar un eje sobre unas reglas horizontales y dejarlo libremente, si
siempre queda en la parte inferior el mismo punto del eje, es señal de que el eje
está desequilibrado. Por el contrario, si el eje queda en cualquier posición, es
señal de que el eje está equilibrado.
En el equilibrado estático solamente se utiliza la ecuación
0F =Σ (15.7)
Para que al utilizar la ecuación 15.7 se tenga la garantía de que el eje
está totalmente equilibrado se debe cumplir que todas las masas que originan el
desequilibrio se encuentren en un plano perpendicular al eje. En este caso, como

129. Mecánica II
123
las fuerzas son concurrentes en el punto de corte del eje por el plano, al
cumplirse que la suma de fuerzas es cero también se cumple que la suma de
momento es cero.
En un eje como el de la figura 15.3, en el que se conocen las masas que
producen desequilibrio, así como sus posiciones sobre un plano perpendicular al
eje, se puede realizar un equilibrado estático teórico.
Fig. 15.3 – Equilibrado estático teórico de un eje.
Al girar el eje, cada masa producirá una fuerza sobre el eje en dirección
radial hacia el exterior. Los valores de estas fuerzas serán:
11
2
111 r·m·r·mF ≈ω= (15.8)
22
2
222 r·m·r·mF ≈ω= (15.9)
33
2
333 r·m·r·mF ≈ω= (15.10)
Representando estas fuerzas en la figura 15.3, se observa que su suma
no es nula, por lo que se debe añadir una masa de equilibrado “me” a una
distancia del eje “re” en el mismo plano que las otras masas de forma que
produzca una fuerza
ee
2
eee r·m·r·mF ≈ω= (15.11)

130. Capítulo 15 – Equilibrado
124
Y de este modo la suma de fuerzas sea nula, tal como se aprecia en la
figura 15.3.
También se puede equilibrar el eje eliminando masa en el lado opuesto
del eje.
15.2.2 – Equilibrado dinámico
Se puede dar el caso, como en la figura 15.4, que el eje esté equilibrado
estáticamente pero al girar producirá reacciones giratorias sobre los apoyos,
como se observa en la figura 15.5. Esto es debido a que el eje no está
equilibrado dinámicamente.
Fig. 15.4 – Eje desequilibrado dinámicamente.
Fig. 15.5 – Diagrama de cuerpo libre del eje y las masas.
Cuando se tenga un eje con masas que no estén contenidas en un plano
perpendicular al eje se debe realizar un equilibrado dinámico.
En un eje como el de la figura 15.6, en el que se conocen las masas que
producen desequilibrio, así como sus posiciones en varios planos
perpendiculares al eje, se puede realizar un equilibrado dinámico teórico.

131. Mecánica II
125
Para realizar el equilibrado dinámico se deben escoger dos planos en los
que añadir dos masas de equilibrado, como se muestra en la figura 15.6.
Fig. 15.6 – Equilibrado dinámico.
Al girar el eje las masas producirán unas fuerzas centrífugas cuyos
valores serán:
11
2
111 r·m·r·mF ≈ω= (15.12)
22
2
222 r·m·r·mF ≈ω= (15.13)
33
2
333 r·m·r·mF ≈ω= (15.14)
En primer lugar se determinan los momentos de estas fuerzas respecto
del punto de corte del plano “C” con el eje. Los valores de estos momentos
serán:
1111
2
111 L·r·mL··r·mM ≈ω= (15.15)
2222
2
222 L·r·mL··r·mM ≈ω= (15.16)
3333
2
333 L·r·mL··r·mM ≈ω= (15.17)

132. Capítulo 15 – Equilibrado
126
Estos momentos se representan en la figura 15.6 no en las direcciones
que realmente tienen sino que por convenio se representan en las direcciones de
las fuerzas correspondientes. Como para todas las masas la velocidad angular es
la misma, se pueden representar los vectores proporcionales a los momentos
despreciando la velocidad angular.
Si la suma vectorial de los momentos no es cero, el eje tenderá a
volcarse en la dirección de la resultante de los momentos. Este vuelco lo
evitarán los apoyos a base de realizar unas fuerzas giratorias sobre el eje.
Para evitar la tendencia al vuelco se debe añadir una masa en el plano
“D” que produzca un momento de vuelco “MED” de forma que haga que la suma
de los momentos respecto del punto de corte del plano “C” con el eje sea nulo.
L·r·mL··r·mM EDED
2
EDEDED ≈ω= (15.18)
El valor del momento se determina gráficamente en la figura 15.6 y
suponiendo un radio en el que se debe añadir la masa, se determina la masa a
añadir en el plano “D”.
Esta masa añadida producirá una fuerza centrífuga
EDED
2
EDEDED r·m·r·mF ≈ω= (15.19)
Una vez añadida la masa en el plano “D”, puede ocurrir que la suma de
fuerzas centrífugas de las masas no sea cero. Caso de ocurrir esto, la resultante
de estas fuerzas estará en el plano “C”.
Se representan vectorialmente la suma de las fuerzas centrífugas de
todas las masas, incluida la masa añadida, caso de no ser nula dicha suma, se
debe añadir una masa en el plano “C” para conseguirlo. Al igual que en la suma
de momentos se puede eliminar la velocidad angular del eje.
ECEC
2
ECECEC r·m·r·mF ≈ω= (15.20)
El valor de la fuerza se determina gráficamente y suponiendo un radio
en el que se debe añadir la masa, se determina el valor de la masa a añadir en el
plano “C”.
Siguiendo este proceso se consigue que la suma de fuerzas sea nula y
que la suma de momentos también sea nula.

133. Mecánica II
127
15.3 – EQUILIBRADO PRÁCTICO DE EJES
Un eje sobre el que se ha realizado un equilibrado teórico o que por su
geometría debiera estar equilibrado, puede que no esté realmente equilibrado
debido a imperfecciones del material o del proceso de fabricación.
En este caso se debe realizar un equilibrado práctico.
15.3.1 – Equilibrado estático práctico
El equilibrado estático práctico se puede realizar sobre ejes que tienen
la mayor parte del material sobre un plano perpendicular al eje de giro.
El método más sencillo es el representado en la figura 15.7. Se coloca el
eje sobre unos prismas triangulares horizontales y se abandona en cualquier
posición. Si el eje se detiene en cualquier posición, es señal de que está
equilibrado. Por el contrario, si siempre se detiene en la misma posición, es
señal de que tiene un exceso de masa en la parte inferior.
Fig. 15.7 – Equilibrado estático.
Para realizar el equilibrado se añade masa en la parte superior o se
elimina de la parte inferior hasta lograr su perfecto equilibrado.
Un equilibrado estático más sencillo se puede realizar por medio de la
máquina representada en la figura 15.8.
Esta máquina consiste en un péndulo con forma de vaso que está
equilibrado. Si sobre el péndulo se coloca un eje que no está equilibrado, el

134. Capítulo 15 – Equilibrado
128
péndulo se ladeará y por medio del nivel representado en la figura 15.9 se podrá
saber el valor del desequilibrio y la dirección en la que está localizado.
Fig. 15.8 – Máquina de equilibrado estático.
Fig. 15.9 – Nivel de la máquina de equilibrado estático.
Otro método sencillo de equilibrado estático se puede aplicar por medio
de la balanza representada en la figura 15.10. En esta balanza se va girando el
eje hasta que el exceso de masa esté en la parte superior o en la inferior. En este
momento la balanza estará equilibrada. Si a partir de esa posición se gira el eje

135. Mecánica II
129
90º, el desequilibrio de la balanza será máximo. Por medio de un cursor que se
desplaza hasta restablecer el equilibrio de la balanza se puede determinar el
valor del desequilibrio.
Fig. 15.10 – Balanza de equilibrado estático.
15.3.2 – Equilibrado dinámico práctico
El equilibrado dinámico se puede realizar sobre cualquier eje. Para
detectar el desequilibrio dinámico es necesario hacer girar al eje y medir las
reacciones que produce en los apoyos.
Para realizar el equilibrado dinámico se utiliza un tipo de máquinas
cuyo esquema está representado en la figura 15.11.
A la máquina se le debe introducir los datos de la geometría del eje y
los planos donde se debe añadir o eliminar material.
La máquina hace girar al eje. La posición y velocidad del eje la detecta
por medio de una célula fotoeléctrica o inductiva. Por medio unos sensores se
miden las reacciones en los apoyos. Analizando las señales de los sensores y de
la célula por medio de un computador, determina las masas que se beben añadir
en los planos de equilibrado así como la posición angular en cada plano.

136. Capítulo 15 – Equilibrado
130
Fig. 15.11 – Máquina de equilibrado dinámico.
Las máquinas de equilibrado dinámico también suelen tener la opción
para realizar el equilibrado estático.

137. Mecánica II
131
CAPÍTULO 17 - DINÁMICA DE MÁQUINAS
En este capítulo se estudiarán el volante, el efecto giroscópico y como
curiosidad, ya que forma parte del escudo de los Ingenieros Industriales, el
regulador de Watt.
17.1 - VOLANTE
El volante (Fig. 17-1) es un dispositivo que se introduce solidario a un
eje de máquina y cuyo objetivo es reducir las variaciones de la velocidad
angular del eje sobre el que está montado.
También se puede considerar como un almacén de energía cinética de
rotación. Absorbe energía aumentando su velocidad angular y la devuelve
cuando disminuye dicha velocidad.
Fig. 17-1. Volante.
La ecuación aplicable al volante es:
oi TT·I −=α (17-1)
Donde “I” es el momento de inercia del volante, “α” La aceleración
angular del eje, “Ti” es el par de entrada o motor y “To” es el par de salida o
resistente.
De la ecuación (17-1) se desprende que si el par de entrada y de salida
son constantes o siempre coinciden los dos en valor, no es necesario el volante.
El volante será necesario, por ejemplo, si el par de entrada es constante
y el de salida variable y viceversa o si los dos pares varían de forma diferente.

138. Dinámica de Máquinas
132
De la ecuación (17-1) también se desprende que para una determinada
diferencia entre los pares de entrada y salida, el valor de la aceleración angular
será tanto menor cuanto mayor sea el momento de inercia del volante. Por tanto,
cuanto mayor sea el momento de inercia del volante menor será la variación de
la velocidad angular del eje sobre el que está colocado.
Para simplificar el cálculo del volante se suponen unos pares de entrada
y salida constantes (Fig. 17-2).
Fig. 17-2. Pares de entrada y resistente y velocidades angulares.
El ciclo, que se repite con cada revolución del volante, se inicia con una
velocidad angular constante “ 1ω ” hasta el ángulo de giro “ 1θ ”. A partir de este
ángulo se le aplica al eje un par de entrada constante “Ti” hasta el ángulo “ 2θ ”,
el par de entrada hará que el eje se acelere y alcance una velocidad angular
“ 2ω ” que se mantendrá constante hasta el ángulo “ 3θ ”. A partir de este ángulo
se le aplica al eje el par resistente constante “To” hasta el ángulo “ 4θ ”, el par
resistente hará que la velocidad angular disminuya hasta el valor “ 4ω ”.
La energía suministrada al volante por el par de entrada será:
Ui = θ∫
θ
θ dT2
1 i = )(T 12i θ−θ (17-2)
Y la energía absorbida del volante por el par resistente será:
Uo = θ∫
θ
θ dT4
3 o = )(T 34o θ−θ (17-3)
- Si Ui = Uo, se cumplirá que 4ω = 1ω , la velocidad media se mantiene.
- Si Ui > Uo, se cumplirá que 4ω > 1ω , el eje se acelera.
- Si Ui < Uo, se cumplirá que 4ω z 1ω , el eje se frena.

139. Mecánica II
133
Lo normal es que la energía suministrada al volante durante un ciclo sea
igual a la absorbida con lo que el ciclo se repite y la velocidad media se
mantiene constante.
Las energías cinéticas del volante serán:
- Al inicio del ciclo
E1 = 2
1·I
2
1
ω (17-4)
- Después de aplicado el par de entrada
E2 = 2
2·I
2
1
ω = E3 = 2
3·I
2
1
ω (17-5)
- Al final del ciclo
E4 = 2
4·I
2
1
ω (17-6)
La energía suministrada al volante por el par de entrada será igual a la
diferencia de energías cinéticas antes y después de aplicar el par de entrada.
Ui = E2 - E1 (17-7)
La energía absorbida del volante por el par resistente será igual a la
diferencia de energías cinéticas antes y después de aplicar el par resistente.
Uo = E4 - E3 (17-8)
Dada una determinada máquina, lo normal es que se conozcan los pares
de entrada y resistente, por lo tanto se pueden determinar las energías absorbida
y cedida por el volante.
Ui = E2 - E1 = ))·((I
2
1
)(I
2
1
1212
2
1
2
2 ω−ωω+ω=ω−ω (17-9)
Si se considera que la velocidad angular media es
2
12 ω+ω
=ω

140. Dinámica de Máquinas
134
Y se define el coeficiente de regularidad de la velocidad Cs =
ω
ω−ω 12
,
suponiendo que la velocidad media se mantiene, resulta:
Ui = Uo = Cs·I· 2
ω (17-10)
El coeficiente de regularidad suele estar tabulado en función del tipo de
máquina de diseñar, con lo que dados unos determinados pares de entrada y
resistente y una determinada velocidad angular del eje, solo falta determinar el
momento de inercia que debe tener el volante para que se cumpla el coeficiente
de regularidad de velocidad deseado.
17.2 - GIRÓSCOPO
El giróscopo o giroscopio (Fig. 17-3) consiste en un rotor girando,
montado a través de unos balancines articulados sobre una base de forma que no
se puede introducir ningún par desde la base hasta el rotor.
Fig. 17-3. Giróscopo o giroscopio.
Al tener el rotor un momento cinético debido al giro y no poderle
introducir ningún par desde la base, el momento cinético se mantendrá
constante, con lo que la dirección del eje del rotor no variará
independientemente de las variaciones de dirección que sufra la base. Esta
propiedad ha hecho que el giróscopo se utilice como brújula para navegación
aérea y marítima.

141. Mecánica II
135
17.2.1 - Efecto giroscópico
En el diseño de máquinas apenas tiene utilidad el giróscopo, lo que
realmente tiene importancia es el efecto giroscópico que aparece cuando en una
máquina se obliga a variar la dirección del momento cinético de un rotor.
En la figura (17-4) se representa un rotor montado sobre una plataforma
giratoria donde aparecerá el efecto giroscópico.
Fig. 17-4. Efecto giroscópico.
El rotor del motor, al girar con una velocidad angular “ sω ” posee un
momento cinético “H”
ssIH ω=
rr
(17-11)
Al girar la plataforma, variará la dirección del momento cinético. Al
cabo de un instante de tiempo “ t∆ ” habrá girado un ángulo “ θ∆ ”.
La variación del momento cinético será:
H'HH
rrr
−=∆ (17-12)
El módulo de la variación del momento cinético será:
θ∆ω=θ∆=∆ ssI·HH (17-13)

142. Dinámica de Máquinas
136
La variación del momento del momento cinético se debe al impulso
angular causado por un par “T” aplicado durante un tiempo “ t∆ ”.
El valor del par medio será:
t
H
Tmed
∆
∆
=
r
r
(17-14)
Y el valor instantáneo del módulo del par será:
pss
ss
I
t
·I
0t
lim
t
H
0t
lim
T ωω=
∆
θ∆ω
→∆
=
∆
∆
→∆
= (17-15)
Y vectorialmente, como el par debe tener la misma dirección de la
variación del momento cinético, resultará:
sps ·IT ω∧ω=
rrr
(17-16)
Este par debido al efecto giroscópico se lo deberán hacer los
rodamientos al rotor por medio de unas fuerzas que se transmitirán a las patas
del motor. Si el momento de inercia del rotor y las velocidades angulares de la
plataforma y del rotor son elevadas, harán que las fuerzas sean elevadas como
para ser tenidas en cuenta.
17.3 - REGULADOR DE WATT
El regulador de Watt es un mecanismo que se utilizó para regular la
velocidad angular de las máquinas, sobre todo máquinas de vapor y turbinas
hidráulicas, desde su invención a mediados del siglo XVIII hasta casi finales del
siglo XX.
Su importancia fue tal que los Ingenieros Industriales lo incluyeron en
su escudo en representación de la especialidad Mecánica.
Hoy en día, debido a la facilidad del control con dispositivos
electrónicos, ha caído en desuso.
En la figura 17-5 se representa un regulador de Watt, con el resto de
accesorios, para regular el chorro de agua de una turbina Pelton.

143. Mecánica II
137
Su funcionamiento se basa en el equilibrio entre la fuerza centrífuga y
el peso de unas bolas giratorias. Si aumenta la velocidad, la fuerza centrífuga
aumenta y las bolas se elevan desplazando a un collarín que acciona sobre el
sistema de regulación de la velocidad disminuyéndola. Si la velocidad angular
disminuye las bolas descienden accionando sobre el sistema de regulación.
Fig. 17-5. Regulador de Watt y accesorios.
En la figura 17-6 se representa un sistema de regulación actual basado
en componentes electrónicos.
Fig. 17-6. Sistema de regulación actual.

144. Dinámica de Máquinas
138
Fig. 17-7. Regulador de Watt.