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MECANICA II
2010
I. ZABALZA VILLAVA

Mecánica II
i
INDICE
CAPÍTULO 1 – INTRODUCCIÓN................................................................ 1
1.1 – INTRODUCCIÓN.............................................................................................. 1
1.2 – CIENCIA DE LA MECÁNICA..........................................................................1
1.3 – SÍNTESIS Y ANÁLISIS.....................................................................................2
1.4 – TERMINOLOGÍA, DEFINICIONES E HIPÓTESIS........................................ 3
1.5 – MECANISMOS PLANOS, ESFÉRICOS Y ESPACIALES..............................5
1.6 – MOVILIDAD..................................................................................................... 5
1.7 – INVERSIÓN CINEMÁTICA............................................................................. 6
1.8 – LEY DE GRASHOF...........................................................................................7
1.9 – VENTAJA MECÁNICA.....................................................................................7
1.10 – CURVAS DEL ACOPLADOR........................................................................ 8
1.11 – MECANISMO DE LÍNEA RECTA................................................................ 9
1.12 – MECANISMO DE RETORNO RÁPIDO........................................................ 9
CAPÍTUL. 2 – POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO.................................. 11
2.1 – SISTEMAS DE COORDENADAS..................................................................11
2.2 – POSICIÓN DE UN PUNTO.............................................................................11
2.3 – DIFERENCIA DE POSICIÓN ENTRE DOS PUNTOS...................................12
2.4 – POSICIÓN ABSOLUTA Y POSICIÓN APARENTE DE UN PUNTO..........13
2.6 – ECUACIÓN DE CIERRE DEL CIRCUITO....................................................13
2.11 – DESPLAZAMIENTO DE UN PUNTO EN MOVIMIENTO........................14
2.12 – DIFERENCIA DE DESPLAZAMIENTO ENTRE DOS PUNTOS...............15
2.13 – ROTACIÓN Y TRASLACIÓN......................................................................16
2.14 – DESPLAZAMIENTO APARENTE Y DESPLAZAMIENTO ABSOLUTO16
CAPÍTULO. 3 – VELOCIDAD.................................................................... 19
3.1 – DEFINICIÓN DE VELOCIDAD..................................................................... 19
3.1.1 – Derivación de vectores en coordenadas cartesianas.................................. 20
3.2 – DEFINICIÓN DE VELOCIDAD ANGULAR................................................ 20
3.2.1 – Rotación alrededor de un punto fijo...........................................................21
3.3 – MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN.....................................22
3.3.1 – Movimiento plano cualquiera.................................................................... 22
3.4 – ANÁLISIS GRÁFICO DE LA VELOCIDAD. POLÍGONO DE
VELOCIDADES............................................................................................ 23
3.5 – VELOCIDAD APARENTE DE UN PUNTO EN UN SISTEMA DE
COORDENADAS EN MOVIMIENTO......................................................... 24
3.6 – VELOCIDAD ANGULAR APARENTE........................................................ 26
3.7 – CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR RODADURA....................... 26
3.7.1 – Contacto directo con deslizamiento........................................................... 26
3.7.2 – Contacto directo con rodadura.................................................................. 27
3.10 – CENTRO INSTANTÁNEO DE VELOCIDADES (Ó DE ROTACIÓN)..... 27
3.11 – TEOREMA DE LOS TRES CENTROS........................................................ 29
3.12 – LOCALIZACIÓN DE CENTROS INSTANTÁNEOS DE ROTACIÓN...... 30

Índice
ii
3.13 – ANÁLISIS DE VELOCIDAD USANDO CENTROS INSTANTÁNEOS... 30
3.14 – TEOREMA DE LA RAZÓN DE VELOCIDADES ANGULARES............. 31
3.16 – VENTAJA MECÁNICA................................................................................ 31
CAPÍTULO. 4 – ACELERACIÓN............................................................... 33
4.1 – DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN.................................................................33
4.1.1 – Cálculo de la aceleración por derivación................................................... 34
4.2 – DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN ANGULAR............................................34
4.2.1 – Rotación alrededor de un punto fijo.......................................................... 35
4.3 – MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN.....................................37
4.3.1 – Movimiento plano cualquiera........................................................................ 38
4.4 – ANÁLISIS GRÁFICO DE LA ACELERACIÓN. POLÍGONO DE
ACELERACIONES........................................................................................ 38
4.5 – ACELERACIÓN APARENTE DE UN PUNTO EN UN SISTEMA DE
COORDENADAS EN MOVIMIENTO......................................................... 40
4.6 – ACELERACIÓN ANGULAR APARENTE................................................... 42
4.7 – CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR RODADURA....................... 42
4.7.1 – Contacto directo con deslizamiento.......................................................... 42
4.7.2 – Rodadura sobre un eslabón fijo................................................................. 43
4.7.3 – Contacto directo con rodadura................................................................... 45
CAPÍTULO. 12 – FUERZAS ESTÁTICAS................................................ 47
12.1 – INTRODUCCIÓN......................................................................................... 47
12.2 – SISTEMAS DE UNIDADES......................................................................... 48
12.2.1 Sistema internacional................................................................................. 48
12.2.2 Sistema inglés............................................................................................ 48
12.3 – FUERZAS APLICADAS Y FUERZAS DE RESTRICCIÓN...................... 49
12.4 – CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO................................................... 49
12.5 – DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE.............................................................. 50
12.6 – FUERZAS DE RESTICCIÓN....................................................................... 50
12.7 – ELEMENTOS DE DOS Y TRES FUERZAS............................................... 50
12.8 – ELEMENTOS DE CUATRO FUERZAS..................................................... 52
12.9 – PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.............................................................. 52
CAPÍTULO. 13 – FUERZAS DINÁMICAS............................................... 53
13.1 – INTRODUCCIÓN......................................................................................... 53
13.2 – CENTROIDES Y CENTRO DE MASAS..................................................... 53
13.2.1 – Centro de masas de una serie de partículas en el espacio....................... 53
13.2.2 – Centroides de figuras geométricas planas compuestas........................... 54
13.2.3 – Centroides de figuras geométricas planas limitadas por una función..... 55
13.2.4 – Centro de masas de un cuerpo limitado por una función........................ 55
13.2.5 – Centro de masas de un cuerpo compuesto.............................................. 56
13.3 – MOMENTOS DE INERCIA......................................................................... 57
13.3.1 – Momento de inercia de superficies......................................................... 57
13.3.2 – Momento de inercia de superficies complejas........................................ 58
13.3.3 – Momento de inercia de masas................................................................. 59
13.3.4 – Momento de inercia de masas complejas................................................ 60
13.3.5 – Sentido físico del momento de inercia de masas..................................... 61

Mecánica II
iii
13.4 – CÁLCULO DE FUERZAS............................................................................ 61
13.5 – PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.............................................................. 62
13.7 – ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO............................................ 63
13.8 – CASOS DE ESLABONES ESPECIALES.................................................... 64
13.8.1 – Eslabón de salida en un cuadrilátero articulado...................................... 64
13.8.1 – Eslabón de entrada en un cuadrilátero articulado................................... 65
13.9 – CASO SENCILLO DE DINÁMICA DIRECTA.......................................... 68
13.10 – FUERZAS DE SACUDIMIENTO.............................................................. 71
CAPÍTULO 6 – SÍNTESIS DE LEVAS....................................................... 73
6.1 – INTRODUCCIÓN........................................................................................... 73
6.2 – CLASIFICACIÓN DE LAS LEVAS............................................................... 73
6.3 – DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO......................................................... 75
6.4 – DERIVADAS DEL DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO........................ 77
6.5 – MOVIMIENTOS ESTÁNDAR DE LAS LEVAS........................................... 78
6.6 – DISEÑO GRÁFICO DE PERFILES DE LEVAS............................................83
6.7 – FUERZAS EN LEVAS.................................................................................... 85
CAPÍTULO 7 – SÍNTESIS DE ENGRANAJES......................................... 89
7.1 – INTRODUCCIÓN............................................................................................ 89
7.2 – CLASIFICACIÓN DE LOS ENGRANAJES.................................................. 89
7.2.1 – Engranajes cilíndricos................................................................................ 90
7.2.2 – Engranajes cónicos.................................................................................... 92
7.2.3 – Engranajes hiperbólicos............................................................................. 94
7.3 – TEORÍA DE ENGRANE................................................................................. 97
7.3.1 – Engranajes cilíndricos rectos exteriores.................................................... 97
7.3.2 – Ley de engrane.......................................................................................... 98
7.3.3 – Tamaño del diente: Paso y módulo............................................................ 99
7.3.4 – Línea de engrane...................................................................................... 102
7.3.5 – Línea de acción o empuje y ángulo de presión........................................ 103
7.3.6 – Zona de engrane...................................................................................... 103
7.3.7 – Dimensiones de un engranaje normal..................................................... 105
7.3.8 – Dimensiones de un engranaje de diente corto......................................... 107
7.3.9 – Perfil del diente: Cicloidal y evolvente................................................... 107
7.3.10 – Engrane entre perfiles de evolvente...................................................... 109
7.3.11 – Engrane de dos ruedas con perfil de evolvente..................................... 112
7.3.12 – Cremallera de envolvente...................................................................... 112
7.3.13 – Engrane de rueda dentada y cremallera................................................. 114
7.3.14 – Engranaje cilíndrico recto interior......................................................... 114
7.4 – FUERZAS EN LOS ENGRANAJES RECTOS.............................................115
CAPÍTULO 9 – TRENES DE ENGRANAJES.......................................... 117
9.1 – INTRODUCCIÓN.......................................................................................... 117
9.2 – TRENES DE NEGRANAJES DE EJES FIJOS............................................. 117
9.3 – TRENES DE NEGRANAJES CON ALGÚN EJE MÓVIL, (TRENES
EPICICLOIDALES)..................................................................................... 119

Índice
iv
CAPÍTULO 15 – EQUILIBRADO............................................................. 121
15.1 – INTRODUCCIÓN........................................................................................ 121
15.2 – EQUILIBRADO TEÓRICO DE EJES......................................................... 121
15.2.1 – Equilibrado estático............................................................................... 122
15.2.2 – Equilibrado dinámico............................................................................ 124
15.3 – EQUILIBRADO PRÁCTICO DE EJES...................................................... 127
15.3.1 – Equilibrado estático práctico................................................................. 127
15.3.2 – Equilibrado dinámico práctico.............................................................. 129
CAPÍTULO 17 – DINÁMICA DE MÁQUINAS....................................... 131
17.1 – VOLANTE....................................................................................................131
17.2 – GIROSCOPIO.............................................................................................. 134
17.2.1 – Efecto giroscópico................................................................................. 135
17.3 – REGULADOR DE Watt.............................................................................. 136

Mecánica II
1
CAPÍTULO 1 - INTRODUCCIÓN
1.1 - INTRODUCCIÓN
El Consejo de Universidades propuso como asignatura troncal en la
carrera de Ingeniero Técnico Industrial Mecánico "Mecánica y Teoría de
Mecanismos", asignatura de 12 créditos con los descriptores siguientes:
Estática, cinemática y dinámica del sólido rígido y aplicaciones fundamentales
en la ingeniería. Análisis cinemático y dinámico de mecanismos y máquinas.
En la Universidad Pública de Navarra se ha divido en dos asignaturas:
Mecánica I, que trata los descriptores estática, cinemática y dinámica
del sólido rígido y aplicaciones fundamentales en ingeniería, asignatura de 6
créditos que se imparte en primer curso.
Mecánica II, que trata los descriptores análisis cinemático y dinámico
de mecanismos y máquinas, asignatura de 6 créditos que se imparte en segundo
curso.
1.2 - CIENCIA DE LA MECÁNICA
Máquinas
yMecanismos
aAplicada
)Dinámica(oCinética
Cinemática
Dinámica
Estática
Mecánica
Física






































En Mecánica II se estudiarán las relaciones entre la geometría y los
movimientos de las piezas de una máquina o mecanismo y las fuerzas que
generan tales movimientos. El estudio de movimientos y fuerzas se hará
preferente por métodos gráficos para que resulte más intuitivo.
La Mecánica II junto con la Ciencia de Materiales y la Elasticidad y
Resistencia de Materiales son la base para el Diseño y Cálculo de Máquinas.
En Mecánica II se estudian los movimientos y las fuerzas que aparecen en
determinados puntos de las piezas que forma el mecanismo o la máquina, por

Capítulo 1 - Introducción
2
medio de la Elasticidad y Resistencia de Materiales, y partiendo de las fuerzas
calculadas por medio de la Mecánica II, se determinan las tensiones que se
producen en los diferentes puntos de las piezas y finalmente la Ciencia de
Materiales indicará si el material de cual está construida la pieza es capaz de
soportar las tensiones calculadas.
Del párrafo anterior se deduce la importancia de la Mecánica II para el
ingeniero que se dedique al diseño de mecanismos y máquinas.
En Mecánica II se estudiarán también una serie de mecanismos cuyo
conocimiento facilitará el diseño de máquinas, ya que éstas están formadas por
mecanismos, y por lo tanto, cuantos más se conozcan, se tendrá más
posibilidades de escoger los más apropiados.
1.3 - SÍNTESIS Y ANÁLISIS
El proceso de diseño de un mecanismo o máquina se puede dividir en
dos partes: Síntesis y análisis.
En el proceso de síntesis, se diseña un mecanismo o máquina que sea
capaz de realizar el trabajo deseado, de forma aproximada. En el proceso de
análisis se calculan posiciones, desplazamientos, velocidades, aceleraciones y
fuerzas que aparecerán en las diferentes piezas que componen el mecanismo o
máquina y se comprueba si los movimientos son los previstos, y si las
dimensiones prefijadas son las adecuadas para soportar los esfuerzos a que se
verán sometidas las piezas. Caso de no ser así, se vuelve a rediseñar y analizar
en un proceso iterativo, hasta lograr un diseño de mecanismo o máquina que
realice los movimientos previstos y esté correctamente dimensionado.
El principal objetivo de la Mecánica II es realizar el análisis de
mecanismos previamente sintetizados, no obstante también se estudian
mecanismos, lo que facilitará la labor de síntesis al conocer un mayor número
de mecanismos.
Ejemplo:
Diseñar un mecanismo que realice un movimiento rectilíneo de una
determinada longitud.
Para realizar este tipo de movimiento se podría utilizar un cilindro
hidráulico o neumático, o una cadena cerrada montada entre dos piñones, o un
mecanismo de pistón-biela-manivela, etc.

Mecánica II
3
La síntesis comprendería la elección de uno de estos mecanismos (por
ejemplo el mecanismo de pistón-biela-manivela), y su predimensionamiento.
Fig. 1.1 - Mecanismo pistón-biela-manivela
Una vez predimensionado, por medio del análisis se determinarán:
posiciones, velocidades aceleraciones y fuerzas que aparecerán en los diferentes
puntos del mecanismo, se comprobará si los movimientos obtenidos son los
deseados y si las piezas están bien dimensionadas para soportar los esfuerzos a
que serán sometidas.
1.4 - TERMINOLOGÍA, DEFINICIONES E HIPÓTESIS
Máquina, combinación de cuerpos resistentes de tal manera que por
medio de ellos, las fuerzas mecánicas de la naturaleza se pueden encauzar para
realizar un trabajo acompañado de movimientos determinados. (Ejemplo, motor
de explosión).
Mecanismo, combinación de cuerpos resistentes conectados por medio
de articulaciones móviles para formar una cadena cinemática cerrada con un
eslabón fijo y cuyo propósito es transformar el movimiento. (Ejemplo,
mecanismo pistón-biela-manivela).
Existe cierta relación entre estructura y estática, mecanismo y
cinemática y máquina y dinámica.
Eslabón, una pieza de un mecanismo o máquina. Los eslabones
generalmente se consideran rígidos. En los mecanismos, los eslabones se deben
conectar entre sí para transmitir el movimiento desde el eslabón impulsor o de
entrada hasta el eslabón seguidor o de salida.

4
Pares cinemáticos, las conexiones entre eslabones, que restringen su
movimiento relativo, se llaman pares cinemáticos. Los eslabones también se
pueden considerar como uniones rígidas entre pares.
En los mecanismos, los eslabones se suelen esquematizar para facilitar
su estudio. El mecanismo equivalente debe tener las mismas características
cinemáticas y dinámicas que el mecanismo real.
Cadena cinemática, varios eslabones unidos por medio de pares
cinemáticos. Cadenas cinemáticas abiertas y cerradas.
Mecanismo, cadena cinemática cerrada con un eslabón fijo.
Pares superiores e inferiores, en los pares cinemáticos superiores el
contacto entre eslabones se produce por lo general en una línea o un punto (por
ejemplo el contacto entre una leva y el seguidor). En los pares inferiores el
contacto entre eslabones se produce en una superficie.
Fig. 1.2 - Pares cinemáticos
Los pares cinemáticos inferiores y los grados de libertad que permiten,
tanto en movimiento plano como espacial, figuran en la relación siguiente:

Mecánica II
5
Movimiento plano Movimiento espacial
a) Giratorio 1 1
b) Prismático 1 1
c) Tornillo - 1
d) Cilíndrico 1 2
e) Esférico 1 3
f) Plano - 3
1.5 - MECANISMOS PLANOS, ESFÉRICOS Y
ESPACIALES
Mecanismos planos son aquellos en los que todos los puntos del
mecanismo realizan trayectorias contenidas en planos paralelos entre sí. (Por
ejemplo el mecanismo de pistón-biela-manivela).
En los mecanismos esféricos todos los eslabones tienen un punto en
común de velocidad nula y las trayectorias de todos los puntos pueden estar
contenidas en esferas concéntricas con centro en el punto de velocidad nula.
(Por ejemplo la junta cardan).
En los mecanismos espaciales las trayectorias de los diversos puntos del
mecanismo pueden tener cualquier dirección en el espacio.
Los mecanismos más utilizados en la actualidad son mecanismos
planos, su estudio resulta más sencillo porque se pueden utilizar métodos
gráficos al poderse proyectar en verdadera magnitud sobre un plano paralelo a
los del movimiento y por ello serán los que se estudiarán en esta asignatura.
1.6 - MOVILIDAD
Movilidad es el número de diferentes movimientos que se pueden
introducir simultáneamente a un mecanismo. También se podría definir como el
número mínimo de coordenadas necesario para determinar la posición del
mecanismo.

6
En mecanismos planos la movilidad será:
m = 3 (n - 1) - 2 j1 - j2 (1.1)
Siendo: n = número de eslabones del mecanismo, j1 = números de pares
que permiten un grado de libertad y j2 = número de pares que permiten dos
grados de libertad.
En mecanismos espaciales la movilidad será:
m = 6 (n - 1) - 5 j1 - 4 j2 - 3 j3 - 2 j4 - j5 (1.2)
Siendo: n = número de eslabones del mecanismo, j1 = números de pares
que permiten un grado de libertad, j2 = número de pares que permiten dos
grados de libertad, j3 = números de pares que permiten tres grados de libertad,
j4 = número de pares que permiten cuatro grados de libertad y j5 = número de
pares que permiten cinco grados de libertad.
1.7 - INVERSIÓN CINEMÁTICA
Fig. 1.3 - Inversiones cinemáticas: a) y b) mecanismos de manivela-oscilador, c)
mecanismo de eslabón de arrastre y d) mecanismo de doble oscilador.

Mecánica II
7
Inversión cinemática es cada uno de los diferentes mecanismos que se
pueden lograr con una cadena cinemática al hacer fijo un eslabón diferente de la
cadena.
1.8 - LEY DE GRASHOF
En un cuadrilátero articulado, para que al menos un eslabón pueda girar
vueltas completas, se debe cumplir que la suma de las longitudes del eslabón de
mayor longitud más la del eslabón de menor longitud debe ser menor que la
suma de las longitudes de los eslabones de longitudes intermedias.
Es muy importante que se cumpla la condición expuesta en el párrafo
anterior ya que en muchos mecanismos basados en el cuadrilátero articulado, el
movimiento se introduce por medio de un motor giratorio.
1.9 - VENTAJA MECÁNICA
Ventaja mecánica de un mecanismo es la relación entre el par de salida
y el par de entrada.
En el cuadrilátero articulado, será la relación entre el par en el eslabón
seguidor y el par en el eslabón impulsor. Esta ventaja mecánica es proporcional
al seno del ángulo γ formado por los eslabones seguidor y acoplador e
inversamente proporcional al seno del ángulo β formado por los eslabones
impulsor y acoplador, (figura 1.4).
Fig. 1.4 - Ventaja mecánica.

8
Para lograr que la ventaja mecánica sea lo mayor posible, se debe
procurar que ángulo γ sea lo más próximo a 90º.
Cuando el ángulo β es 0º ó 180º, la ventaja mecánica se hace infinito.
A estas posiciones del mecanismo se les llama posiciones de volquete y se
corresponden con los límites de la oscilación del eslabón seguidor.
Estas posiciones tienen una serie de ventajas como: Gran precisión de
posición del eslabón seguidor, velocidad angular nula del seguidor y par nulo en
el eslabón impulsor.
1.10 - CURVAS DEL ACOPLADOR
Curvas del acoplador son las diferentes trayectorias que describen los
puntos del plano considerándolos solidarios al eslabón acoplador.
Estas curvas pueden variar desde una circunferencia que describe el
punto del acoplador unido al extremo de la manivela, hasta un arco que describe
el punto unido al extremo del seguidor, pasando por curvas parecidas a elipses.
Fig. 1.5 - Curvas del acoplador.

Mecánica II
9
1.11 - MECANISMOS DE LÍNEA RECTA
Mecanismos de línea recta son aquellos en los que algún punto del
mecanismo describe una parte de su trayectoria que se aproxima a una línea
recta. En la mayoría de los casos la trayectoria es una curva del acoplador, como
sucede en los mecanismos de Watt, Roberts y Chebychev, (figura 1.6).
Fig. 1.6 - Mecanismos de línea recta: a) Watt, b) Roberts, c) Chebychev y d) Peaucillier.
1.12 - MECANISMOS DE RETORNO RÁPIDO
Mecanismos de retorno rápido son aquellos en los que el tiempo
invertido en la carrera de ida es diferente al invertido en la carrera de vuelta,
(figuras 1.7 y 1.8).
La diferencia de tiempos entre la carrera de ida y la de retorno es debido
a que, suponiendo la velocidad angular del eslabón de entrada constante, el
eslabón de entrada debe recorrer un ángulo mayor durante la carrera de ida que
durante la de retorno. Los tiempos invertidos en las carreras de ida y de retorno

10
serán proporcionales a los ángulos girados por el eslabón de entrada durante
esas carreras.
La relación de tiempos será:
Q =
β
α
(1.3)
Fig. 1.7 - Mecanismo excéntrico de pistón-biela-manivela.
Fig. 1.8 - Mecanismo de retorno rápido de Whitworth.

Mecánica II
11
CAPÍTULO 2 - POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO
2.1 - SISTEMAS DE COORDENADAS
Para poder definir las posiciones de los diferentes puntos de un
mecanismo es necesario utilizar algún sistema de coordenadas.
Aunque existen diferentes sistemas de coordenadas como las cilíndricas
y esféricas, en esta asignatura se emplearán las coordenadas cartesianas.
2.2 - POSICIÓN DE UN PUNTO
La posición de un punto se determinará por medio del vector que va
desde el origen de coordenadas hasta el punto, (figura 2.1).
Fig. 2.1 - Posición de un punto.
kjiR
rrrr z
PO
y
PO
x
POPO RRR ++= (2.1)

Capítulo 2 – Posición y desplazamiento
12
El módulo del vector será:
2z
PO
2y
PO
2x
POPO RRR ++=R
r
(2.2)
Y los cosenos directores de los ángulos que forma el vector con los ejes
de coordenadas serán:
PO
x
POR
cos
R
r=α
PO
y
POR
cos
R
r=β
PO
z
POR
cos
R
r=γ (2.3)
2.3 - DIFERENCIA DE POSICIÓN ENTRE DOS
PUNTOS
La diferencia de posición entre dos puntos "P" y "Q" es el vector que va
del punto "Q" al punto "P", (figura 2.2).
Fig. 2.2 - Diferencia de posición entre dos puntos.
QOPOPQ RRR
rrr
−= (2.4)

Mecánica II
13
2.4 - POSICIÓN ABSOLUTA Y POSICIÓN APARENTE
DE UN PUNTO
La posición absoluta de un punto es su posición respecto de los ejes de
coordenadas que se toman como absolutos y la posición aparente es su posición
respecto de otros ejes de coordenadas que no son los absolutos, (figura 2.3).
Fig. 2.3 - Posición absoluta y posición aparente de un punto.
2PO1O2O1PO RRR
rrr
+= (2.5)
Donde:
1POR
r
es la posición absoluta.
2POR
r
es la posición aparente.
2.6 - ECUACIÓN DE CIERRE DEL CIRCUITO
Como un mecanismo es una cadena cinemática cerrada, la suma de los
vectores de posición de un extremo de los eslabones respecto del otro extremo
será nula, (figura 2.4).

14
Fig. 2.4 - Ecuación de cierre del circuito.
0ADDCCBBA =+++ RRRR
rrrr
(2.6)
2.11 - DESPLAZAMIENTO DE UN PUNTO EN
MOVIMIENTO
El desplazamiento de un punto "P" ( P∆R ) es el vector que va desde su
posición inicial hasta su posición final, (figura 2.5).
Fig. 2.5 - Desplazamiento de un punto.
P
'
PP RRR∆
rrr
−= (2.7)

Mecánica II
15
2.12 - DIFERENCIA DE DESPLAZAMIENTO ENTRE
DOS PUNTOS
La diferencia de desplazamientos entre dos puntos "P" y "Q"
pertenecientes a un sólido rígido ( PQ∆R ) es el desplazamiento del punto "P"
menos el desplazamiento del punto "Q", (figura 2.6).
QPPQ R∆R∆R∆
rrr
−= (2.8)
Fig. 2.6 - Diferencia de desplazamiento entre dos puntos.
La diferencia de desplazamiento entre dos puntos pertenecientes a un
sólido rígido se puede expresar también como:
PQ
'
PQPQ RRR∆
rrr
−= (2.9)
En la figura 2.6 se aprecia que la diferencia de desplazamiento entre los
dos puntos se debe a una rotación que realiza el sólido rígido alrededor de un
eje que pasa por el punto "Q*".
De la figura también se desprende el teorema de Euler: "Cualquier
movimiento de un sólido rígido se puede sustituir por una traslación ( QR∆
r
)
más un giro alrededor de un eje apropiado".

16
2.13 - ROTACIÓN Y TRASLACIÓN
Un sólido rígido sufre una traslación cuando el desplazamiento de dos
cualesquiera de sus puntos es el mismo, (figura 2.7 a).
Un sólido rígido sufre una rotación cuando el desplazamiento de dos
cualesquiera de sus puntos es diferente, (figura 2.7 b).
a b
Fig. 2.7 - a) Traslación, b) Rotación.
2.14 - DESPLAZAMIENTO APARENTE Y
DESPLAZAMIENTO ABSOLUTO
Fig. 2.8 - Desplazamiento aparente y desplazamiento absoluto.

Mecánica II
17
El desplazamiento absoluto es desplazamiento de un punto visto desde
el sistema de coordenadas absolutas y el desplazamiento aparente es el
desplazamiento del mismo punto visto desde un sistema de coordenadas que no
son las absolutas, (figura 2.8).
La relación entre el desplazamiento absoluto y el desplazamiento
aparente será la siguiente:
2/PPP 323
R∆R∆R∆
rrr
+= (2.10)
Siendo:
3PR∆
r
= Desplazamiento absoluto del punto "P3".
2/P3
R∆
r
= Desplazamiento aparente del punto "P3".
2PR∆
v
= Desplazamiento absoluto del punto "P2", punto coincidente con
el punto "P3".

18

Mecánica II
19
CAPÍTULO 3 - VELOCIDAD
3.1 - DEFINICIÓN DE VELOCIDAD
El la figura 3.1 se aprecia un punto “P” cuya posición viene definida por
el vector “ PR
r
”. Al cabo de un determinado espacio de tiempo “ t∆ ” el punto
“P” pasa a ocupar la posición “ P′ ” cuya posición vendrá definida por el vector
“ '
PR
r
”. El punto “P” ha sufrido un desplazamiento “ PR∆
r
” que vendrá definido
por:
P
'
PP RRR∆
rrr
−= (3.1)
La velocidad media durante el desplazamiento citado será:
mV
r
=
t
P
∆
R∆
r
(3.2)
Y la velocidad instantánea del punto “P” será:
PV
r
=
t0t
lim P
∆→∆
R∆
r
=
dt
d PR
r
(3.3)
Fig. 3.1 - Desplazamiento de un punto.

Capítulo 3 – Velocidad
20
3.1.1 - Derivación de vectores en coordenadas cartesianas
Si se tiene por ejemplo el vector de posición de un punto “ PR
r
”
expresado por medio de sus componentes en coordenadas cartesianas:
kjiR
rrrr Z
P
Y
P
X
PP RRR ++= (3.4)
La derivada respecto del tiempo de ese vector será el vector velocidad:
dt
d P
P
R
V
r
r
= (3.5)
La componente “X” del vector velocidad será la derivada de la
componente “X” del vector de posición, la componente “Y” de la velocidad será
la derivada de la componente “Y” del vector de posición y la componente “Z”
de la velocidad será la derivada de la componente “Z” del vector de posición:
kjikjiV
rrrrvrr
dt
dR
dt
dR
dt
dR
VVV
Z
P
Y
P
X
PZ
P
Y
P
X
PP ++=++= (3.6)
3.2 - DEFINICIÓN DE VELOCIDAD ANGULAR
En la figura 3.2 se tiene un sólido rígido, con movimiento plano, en una
determinada orientación indicada por el ángulo “θ”, al cabo de un instante de
tiempo “ t∆ ” el sólido ha realizado una rotación “ θ∆ ”.
Fig. 3.2 - Desplazamiento angular de un sólido rígido.

Mecánica II
21
Durante la rotación se puede definir una velocidad angular media como:
t
m
∆
θ∆
=ω
r
(3.7)
Y una velocidad angular instantánea como:
dt
d
t0t
lim θ
=
∆
θ∆
→∆
=ω
r
(3.8)
En este caso, por convenio, el vector velocidad angular “ω
r
” será
perpendicular al plano del movimiento, y aplicando la regla del sacacorchos,
será negativo si gira en el sentido de las agujas del reloj y positivo en sentido
contrario.
3.2.1 - Rotación alrededor de un punto fijo
En un sólido rígido que gire alrededor de un eje fijo la velocidad de uno
cualquiera de sus puntos viene expresado por la ecuación (3.9).
pp RωV
rrr
×= (3.9)
Fig. 3.3 - Rotación de un sólido rígido alrededor de un punto.
En un sólido rígido con movimiento plano como el representado en la
figura 3.3, como los vectores “ω
r
” y “ pR
r
” son perpendiculares, resultará que el
módulo de la velocidad del punto “P” será:
pp ·RωV
rrr
= (3.10)

22
La dirección de “ pV
r
” será perpendicular a “ω
r
”, por tanto contenida en
el plano del movimiento, y perpendicular a “ PR
r
”.
El sentido de “ pV
r
” será coherente con el sentido de “ω
r
” tal como se
observa en la figura 3.4.
Fig. 3.4 - Velocidad de un punto de un sólido rígido girando alrededor de un punto fijo.
3.3 - MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN
En el apartado (2-12) se expuso que un movimiento cualquiera de un
eslabón se puede descomponerse en una traslación más un giro, y que la
diferencia de desplazamientos entre dos puntos del eslabón se debía
precisamente al giro del eslabón. Por tanto, la relación entre las velocidades de
dos puntos será:
PQQP VVV
rrr
+= (3.11)
La velocidad " PQV
v
" es debida al giro y su valor será:
PQPQ RωV
rrr
∧= (3.12)
3.3.1 - Movimiento plano cualquiera
En un sólido rígido con movimiento plano cualquiera, como los
vectores “ω
r
” y “ PQR
r
” son perpendiculares, resultará que el módulo de la
velocidad del punto “P” respecto del punto “Q” será:

Mecánica II
23
PQPQ ·RωV
rrr
= (3.13)
La dirección de “ PQV
r
” será perpendicular a “ω
r
” por tanto contenida en
el plano del movimiento, y perpendicular a “ PQR
r
”. El sentido de “ PQV
r
” será
coherente con el sentido de “ω
r
” al igual que en el movimiento de rotación
alrededor de un eje fijo.
3.4 – ANÁLISIS GRÁFICO DE LA VELOCIDAD.
POLÍGONO DE VELOCIDADES
El método gráfico de análisis de velocidades se utiliza en movimiento
plano y consiste en representar las ecuaciones vectoriales que relacionan las
velocidades de los diferentes puntos de un mecanismo de forma gráfica. Es
sencillo e intuitivo ya que las velocidades quedan representadas en la dirección
y sentido que realmente tienen.
Fig. 3.5 – Análisis gráfico de velocidad. Polígono de velocidades.
Un ejemplo de análisis gráfico de velocidades de un eslabón triangular
puede apreciarse en la figura 3.5. Suponiendo conocida la velocidad del punto

24
“A” y la dirección de la velocidad del punto “B” (a), como la velocidad “ BAV
r
”
debe ser perpendicular al vector de posición “ BAR
r
” (c), inmediatamente quedan
determinadas las velocidades “ BV
r
” y “ BAV
r
” (b y d). De la velocidad “ BAV
r
” se
puede obtener la velocidad angular del eslabón:
BA
BA
R
V
ω r
r
r
= (3.14)
A partir de las velocidades de los puntos “A” y “B” se puede determinar
la velocidad del punto “C” (f) como:
CBBCAAC VVVVV
rrrrr
+=+= (3.15)
La velocidad “ CAV
r
” es perpendicular a “ CAR
r
” y la velocidad “ CBV
r
”
es perpendicular a “ CBR
r
” (e), en el punto de corte de ambas se encontrará el
punto “C”.
El polígono de velocidades es la representación gráfica de las
ecuaciones vectoriales que relacionan las velocidades de los diferentes puntos
del eslabón (b, d, e y g). Este polígono se dibuja a escala aparte del dibujo del
mecanismo a partir de un punto que es el “0” de velocidades. El vector que va
desde el “0” de velocidades hasta un punto representa su velocidad absoluta, el
vector que va desde un punto “A” hasta un punto “B” representa la velocidad
aparente de “B” respecto de “A”.
En el polígono de velocidades se forma una figura semejante al eslabón.
Por ejemplo en la figura 3.5 (g) se forma un triángulo cuyos lados son
perpendiculares a los lados del triángulo del eslabón, por lo tanto los dos
triángulos son semejantes. La relación de semejanza depende de escala del
polígono de velocidades y del valor de la velocidad angular.
3.5 – VELOCIDAD APARENTE DE UN PUNTO EN UN
SISTEMA DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO
En el Capítulo 2 se vio el desplazamiento absoluto y el desplazamiento
aparente de un punto en un sistema de coordenadas en movimiento (Figura 3.6).
La ecuación que relaciona estos desplazamientos es:

Mecánica II
25
2/PPP 323
R∆R∆R∆
rrr
+= (3.16)
Fig. 3.6 - Desplazamiento aparente y desplazamiento absoluto.
Dividiendo la ecuación (3.16) por “ t∆ ” y tomando límites cuando, se
obtiene:
t0t
lim
t0t
lim
t0t
lim 2/PPP 323
∆→∆
+
∆→∆
=
∆→∆
R∆R∆R∆
rrr
(3.17)
Los términos de la ecuación 3.17 representan:
2/PPP 323
VVV
rrr
+= (3.18)
La velocidad “ 2/P3
V
r
” representa la velocidad aparente del punto “P3”
en los ejes de coordenadas en movimiento y cuando 0t →∆ , como el vector
“ 2/P3
R∆
r
” tiende a confundirse con la trayectoria, resulta que dicha velocidad es
tangente a la trayectoria.
Teniendo en cuenta los términos de la ecuación 3.18, se puede decir que
esta ecuación relaciona las velocidades de puntos coincidentes de diferentes
eslabones.

26
3.6 – VELOCIDAD ANGULAR APARENTE
La velocidad angular aparente de un eslabón respecto de otro es la
velocidad angular con la que ve girar al primer eslabón un observador fijo en el
segundo eslabón. Esta velocidad angular aparente se representa como:
232/3 ωωω
rrr
−= (3.19)
3.7 – CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR
RODADURA
3.7.1 – Contacto directo con deslizamiento
En una transmisión de movimiento por contacto directo con
deslizamiento (Figura 3.7), las velocidades de los puntos en contacto de
diferentes eslabones son perpendiculares a sus respectivos radios desde los
puntos de giro de los eslabones.
Si se trazan una tangente y una normal a las superficies de los eslabones
en el punto de contacto y se descomponen las velocidades de los puntos en
contacto en una componente normal y otra tangencial, se debe cumplir que las
componentes normales de las velocidades de los puntos en contacto deben ser
iguales. Si no fuese así, los eslabones se separarían o se incrustarían uno en el
otro.
Fig. 3.7 – Contacto directo con deslizamiento.

Mecánica II
27
Al ser las componentes normales de las velocidades de los puntos en
contacto iguales, resulta que la velocidad aparente de un punto respecto del otro
debe tener la dirección de la tangente común en el punto de contacto.
3.7.2 – Contacto directo con rodadura
En una transmisión de movimiento por contacto directo con rodadura
(Figura 3.8), las velocidades de los puntos en contacto de diferentes eslabones
son iguales, o lo que es lo mismo, la velocidad aparente entre los puntos en
contacto es cero.
Fig. 3.8 – Contacto directo con rodadura.
3.10 – CENTRO INSTANTÁNEO DE VELOCIDADES (Ó
DE ROTACIÓN)
Un concepto muy interesante de la cinemática es que cualquier
movimiento diferencial de un sólido rígido equivale a un giro alrededor del eje
instantáneo de rotación y deslizamiento y de una traslación en la dirección de
dicho eje.
Si se considera un movimiento plano, como no se puede producir una
traslación en la dirección del eje, resultará que cualquier movimiento diferencial
equivale a un giro alrededor del eje instantáneo de rotación. Este eje es
perpendicular al plano del movimiento y normalmente se considera su
proyección, que es un punto llamado centro instantáneo de rotación o de
velocidades.

28
Los centros instantáneos de rotación pueden ser: Absolutos, si son de un
eslabón cualquiera respecto del eslabón fijo y relativos si son entre dos
eslabones móviles.
Una definición general del centro instantáneo de rotación es la
ubicación de dos puntos coincidentes de distintos eslabones cuya velocidad
absoluta es la misma.
De la definición anterior se desprende que los centros instantáneos
absolutos tendrán velocidad cero.
Para demostrar la existencia del centro instantáneo de rotación, por
ejemplo si se tiene el eslabón de la figura 3.9 del que se conoce la velocidad del
punto “A” y su velocidad angular, la ubicación de dicho centro se encontrará en
la perpendicular a la velocidad del punto “A” trazada por dicho punto y la
distancia desde “A” será:
ω
V
R r
r
r A
PA = (3.20)
Fig. 3.9 – Localización del centro instantáneo de rotación.
La velocidad del punto “P” será:
0AAPAAPAAP =−=×+=+= VVRωVVVV
rrrrrrrr
(3.21)
Queda demostrado que la velocidad del punto “P” es cero, por lo tanto
es el centro instantáneo de rotación del eslabón respecto de la base.
En la figura 3.10 se representan diferentes formas de localizar el centro
instantáneo de rotación de un eslabón respecto de la base: En (a) se determina la
distancia hasta el C.I.R. conociendo la velocidad de un punto y la velocidad

Mecánica II
29
angular del eslabón. En (b) se determina el C.I.R. por el punto de corte de las
perpendiculares a las velocidades de dos puntos trazadas por dichos puntos. En
(c) los dos puntos están sobre el mismo radio, por lo tanto sus velocidades son
paralelas, en este caso el C.I.R. se localiza en el punto de corte de la
perpendicular común a las dos velocidades por los puntos y la recta que pasa
por los extremos de las velocidades. En (d) el C.I.R. se encuentra en el punto de
contacto por rodadura. En (e) al tener el eslabón un movimiento de traslación el
C.I.R. se encontrará en el infinito en una dirección perpendicular al
movimiento. Finalmente en (f) el C.I.R. se encontrará en el centro de curvatura
de la trayectoria curva que describe el eslabón.
Fig. 3.10 – Métodos de localización del centro instantáneo de rotación de un eslabón.
3.11 – TEOREMA DE LOS TRES CENTROS
Si se toman tres eslabones cualesquiera de un mecanismo, los tres
centros relativos entre ellos se encuentran en una línea recta.
En la figura 3.11, por ejemplo la velocidad el punto “P23” centro
instantáneo de rotación relativo entre los eslabones “2” y “3” será la misma para
ese punto perteneciente al eslabón “2” y perteneciente al eslabón “3”, por lo
tanto, los centros absolutos de dichos eslabones respecto del eslabón fijo “P31” y
“P21” se deben encontrar en la misma perpendicular a la velocidad del punto
“P23” trazada por dicho punto, resultando de este modo que los tres centros
relativos a los eslabones “1”, “2” y “3” se encuentran en una línea recta. El
mismo razonamiento se puede hacer si se toma el centro instantáneo “P34”.

30
Fig. 3.11 – Teorema de los tres centros.
3.12 – LOCALIZACIÓN DE CENTROS
INSTANTÁNEOS DE ROTACIÓN
En principio se localizan los centros instantáneos que son evidentes
como los pares giratorios, puntos de rodadura y pares prismáticos. A partir de
los centros localizados a simple vista, aplicando el teorema de los tres centros,
se localizan los restantes.
3.13 – ANÁLISIS DE VELOCIDAD USANDO CENTROS
INSTANTÁNEOS
Para realizar el análisis de velocidades se deben localizar todos los
centros instantáneos de rotación absolutos, es decir todos los centros
instantáneos respecto del eslabón fijo.
Una vez conocidos todos los centros absolutos, la velocidad de un punto
de un eslabón será la velocidad angular del eslabón por la distancia desde el
punto hasta el centro instantáneo. La dirección de la velocidad será
perpendicular a la recta que une el punto con el centro instantáneo y el sentido
coherente con la velocidad angular. Si se conoce la velocidad de un punto, la
velocidad angular del eslabón será la velocidad del punto dividido por la
distancia de dicho punto al centro instantáneo absoluto del eslabón al que
pertenece el punto.

Mecánica II
31
3.14 – TEOREMA DE LA RAZÓN DE VELOCIDADES
ANGULARES
En el cuadrilátero articulado de la figura 3.12 la velocidad del centro
instantáneo de rotación “P24” es la misma para ese punto perteneciente al
eslabón “2” y perteneciente al eslabón “4”, por tanto se cumplirá:
41242124 PP4PP2 ·· RωRω = (3.22)
De la ecuación 3.22 se obtiene que relación de velocidades angulares
entre el eslabón de salida y el eslabón de entrada en un cuadrilátero articulado
será:
4124
2124
PP
PP
2
4
R
R
ω
ω
= (3.23)
Fig. 3.12 – Relación de velocidades angulares.
3.16 – VENTAJA MECÁNICA
La ventaja mecánica de un mecanismo es la relación entre el par de
salida y el par de entrada.
En el cuadrilátero articulado de la figura 3.13 será la relación entre los
pares “T4” y “T2”.
Despreciando rozamientos, la potencia de entrada debe ser igual a la de
salida, por tanto se cumplirá:
4422 ·· TωTω = (3.24)

32
Fig. 3.13 – Ventaja mecánica.
La ventaja mecánica será:
VM =
4
2
2
4
ω
ω
T
T
= (3.25)
Teniendo en cuenta la relación de velocidades angulares de entrada y
salida en un cuadrilátero articulado, ecuación 3.23, se tendrá:
VM =
β
γ
=
β
γ
====
sen
sen
·k
·sen
·sen
AB
DC
'AB
'DC
PA
PD
PP
PP
4
2
2124
4124
R
R
R
R
R
R
R
R
ω
ω
(3.26)
De la ecuación 3.26 se desprende que la ventaja mecánica en un
cuadrilátero articulado es proporcional al seno del ángulo formado por los
eslabones acoplador y seguidor e inversamente proporcional al seno del ángulo
formado por los eslabones de entrada y acoplador, tal como se había expuesto
en el apartado 1.9.

Mecánica II
33
CAPÍTULO 4 - ACELERACIÓN
4.1 - DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN
El la figura 4.1 se aprecia un punto “P” cuya velocidad viene expresada
por el vector “ PV
r
”. Al cabo de un determinado espacio de tiempo “ t∆ ” el
punto “P” pasa a ocupar la posición “ P′ ” cuya velocidad vendrá expresada por
el vector “ '
PV
r
”. La velocidad del punto “P” ha sufrido una variación “ PV∆
r
”
que vendrá definida por:
P
'
PP VVV∆
rrr
−= (4.1)
La aceleración media durante el desplazamiento citado será:
mA
r
=
t
P
∆
V∆
r
(4.2)
Y la aceleración instantánea del punto “P” será:
PA
r
=
t0t
lim P
∆→∆
V∆
r
= 2
P
2
P
dt
d
dt
d RV
rr
= (4.3)
Fig. 4.1 – Variación de la velocidad de un punto.

Capítulo 4 – Aceleración
34
4.1.1 – Cálculo de la aceleración por derivación
Si se tiene por ejemplo el vector velocidad de un punto “ PV
r
” expresado
por medio de sus componentes en coordenadas cartesianas:
kjiV
rrrr Z
P
Y
P
X
PP VVV ++= (4.4)
La derivada respecto del tiempo de ese vector será el vector aceleración:
dt
d P
P
V
A
r
r
= (4.5)
La componente “X” del vector aceleración será la derivada de la
componente “X” del vector velocidad, la componente “Y” de la aceleración será
la derivada de la componente “Y” del vector velocidad y la componente “Z” de
la aceleración será la derivada de la componente “Z” del vector velocidad:
kjikjiA
rrrrvrr
dt
dV
dt
dV
dt
dV
AAA
Z
P
Y
P
X
PZ
P
Y
P
X
PP ++=++= (4.6)
Y como la velocidad del punto “P” es la derivada del vector de
posición, resultará que la aceleración es la derivada segunda del vector de
posición:
kjiA
rrrr
2
Z
P
2
2
Y
P
2
2
X
P
2
P
dt
Rd
dt
Rd
dt
Rd
++= (4.7)
4.2 - DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN ANGULAR
En la figura 4.2 se tiene un sólido rígido, con movimiento plano, en una
determinada orientación indicada por el ángulo “θ” su velocidad angular es
“ω
r
”, al cabo de un instante de tiempo “ t∆ ” el sólido ha realizado una rotación
“ θ∆ ” y su nueva velocidad angular es “ 'ω
r
”.
La variación de velocidad angular será:
ωωω∆
vvv
−= ' (4.8)
Durante la rotación se puede definir una aceleración angular media
como:

Mecánica II
35
t
m
∆
∆
=
ω
α
r
r
(4.9)
Y una aceleración angular instantánea como:
2
2
dt
d
dt
d
t0t
lim θ
==
∆
∆
→∆
=
ωω
α
rr
r
(4.10)
Fig. 4.2 – Variación de la velocidad angular.
Como el vector velocidad angular “ω
r
”, por convenio, es perpendicular
al plano del movimiento, sus variaciones y por tanto la aceleración angular “α
r
”
también serán perpendiculares a dicho plano, y aplicando la regla del
sacacorchos, será negativa si acelera en el sentido de las agujas del reloj y
positiva en sentido contrario.
4.2.1 - Rotación alrededor de un punto fijo
En un sólido rígido que gire alrededor de un eje fijo la aceleración de
uno cualquiera de sus puntos viene expresado por la ecuación (4.11).
t
P
n
Pppppp )( AARαVωRαRωωA
rrrvvrrvrrrr
+=×+×=×+××= (4.11)
El primer término recibe el nombre de aceleración normal y el segundo
aceleración tangencial.
r
” y “ pV
v
módulo de la aceleración normal del punto “P” será:

36
p
2n
P ·RωA
rrr
= (4.12)
Fig. 4.3 - Rotación de un sólido rígido alrededor de un punto.
Su dirección será perpendicular a “ω
r
” y “ pV
v
el plano del movimiento y normal a la trayectoria (de ahí su nombre de
aceleración normal) y su sentido, analizando los dos posibles sentidos de “ω
r
”,
figura 4.4, resulta siempre del punto “P” hacia “O”.
Fig. 4.4 – Aceleración normal de un punto.
Como los vectores “α
r
” y “ pR
r
módulo de la aceleración tangencial del punto “P” será:
p
t
P ·RαA
rrr
= (4.13)
La dirección de “ t
PA
r
” será perpendicular a “α
r
el plano del movimiento, y perpendicular a “ PR
r
”, por tanto tangente a la

Mecánica II
37
trayectoria del punto “P” (de ahí su nombre de aceleración tangencial). Y el
sentido de “ t
PA
r
” será coherente con el sentido de “α
r
” tal como se observa en la
figura 4.5.
Fig. 4.5 – Aceleración tangencial de un punto.
4.3 - MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN
En el apartado (2-12) se expuso que un movimiento cualquiera de un
eslabón se puede descomponerse en una traslación más un giro, y que la
diferencia de desplazamientos entre dos puntos del eslabón se debía
precisamente al giro del eslabón. Por tanto, la relación entre las aceleraciones de
dos puntos será:
t
PQ
n
PQQPQQP AAAAAA
rrrrrr
++=+= (4.14)
La aceleración " PQA
r
" es debida al giro y se descompone en dos
términos:
Aceleración normal
PQPQ
n
PQ )( VωRωωA
rrrrrr
×=××= (4.15)
Y aceleración tangencial
PQ
t
PQ RαA
rrr
×= (4.16)

38
4.3.1 - Movimiento plano cualquiera
r
” y “ PQV
v
” son perpendiculares, resultará que
el módulo de la aceleración normal del punto “P” respecto del punto “Q” será:
PQ
2n
PQ ·RωA
rrr
= (4.17)
Su dirección será la del vector “ PQR
r
” y su sentido del punto “P” hacia
el punto “Q”.
Como los vectores “α
r
” y “ pR
r
módulo de la aceleración tangencial del punto “P” respecto del punto “Q” será:
PQ
t
PQ ·RαA
rrr
= (4.18)
La dirección de “ t
PQA
r
” será perpendicular a “α
r
”, por tanto contenida
en el plano del movimiento, y perpendicular a “ PQR
r
”. El sentido de “ t
PQA
r
”
será coherente con el sentido de “α
r
” tal como se observa en la figura 4.5.
4.4 – ANÁLISIS GRÁFICO DE LA ACELERACIÓN.
POLÍGONO DE ACELERACIONES
El método gráfico de análisis de aceleraciones se utiliza en movimiento
plano y consiste en representar las ecuaciones vectoriales que relacionan las
aceleraciones de los diferentes puntos de un mecanismo de forma gráfica. Es
sencillo e intuitivo ya que las aceleraciones quedan representadas en la
dirección y sentido que realmente tienen.
Un ejemplo de análisis gráfico de aceleraciones de un eslabón triangular
puede apreciarse en la figura 4.6. Suponiendo conocida la aceleración del punto
“A” y la velocidad y la aceleración angulares del eslabón, se determina la
aceleración del punto “B” (d) como:
t
BA
n
BAABAAB AAAAAA
rrrrrr
++=+= (4.19)

Mecánica II
39
La aceleración “ n
BAA
r
” tiene la dirección y el sentido de “B” hacia “A”
y la aceleración “ t
BAA
r
” es perpendicular a la recta de unión de los puntos y
coherente con la aceleración angular (c).
Fig. 4.6 – Análisis gráfico de aceleraciones. Polígono de aceleraciones.
A partir de las aceleraciones de los puntos “A” y “B” se puede
determinar la aceleración del punto “C” (f) como:
t
CB
n
CBB
t
CA
n
CAAC AAAAAAA
rrrrrrr
++=++= (4.20)
Se trazan las aceleraciones normales “ n
CAA
r
” y “ n
CBA
r
” con su módulo
dirección y sentido y las direcciones de las tangenciales “ t
CAA
r
” y “ t
CBA
r
”. En el
punto de corte de las tangenciales se encontrará el punto “C”.
El polígono de aceleraciones es la representación gráfica de las
ecuaciones vectoriales que relacionan las aceleraciones de los diferentes puntos
del eslabón (d, f y g). Este polígono se dibuja a escala, aparte del dibujo del
mecanismo a partir de un punto que es el “0” de aceleraciones. El vector que va
desde el “0” de aceleraciones hasta un punto representa su aceleración absoluta,
el vector que va desde un punto “A” hasta un punto “B” representa la
aceleración aparente de “B” respecto de “A”.

40
En el polígono de aceleraciones se forma una figura semejante al
eslabón. Por ejemplo en la figura 4.6 (g) se forma un triángulo cuyos lados
representan las aceleraciones “ BAA
r
”, “ CAA
r
” y “ CBA
r
”. Los módulos de estas
aceleraciones son:
BAA
r
= 24
BA
2
BA
22
BA
42t
BA
2n
BA RRR α+ω=α+ω=+ AA
rr
(4.21)
CAA
r
= 24
CA
2
CA
22
CA
42t
CA
2n
CA RRR α+ω=α+ω=+ AA
rr
(4.22)
CBA
r
= 24
CB
2
CB
22
CB
42t
CB
2n
CB RRR α+ω=α+ω=+ AA
rr
(4.23)
Como se aprecia en las ecuaciones 4.21, 4.22 y 4.23 los lados del
triángulo del polígono de aceleraciones son proporcionales a los lados del
triángulo del eslabón, por tanto, son triángulos semejantes.
4.5 – ACELERACIÓN APARENTE DE UN PUNTO EN
UN SISTEMA DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO
En la figura 4.7 se tiene un sistema de coordenadas fijo “X1” e “Y1” y
un sistema de coordenadas móvil “X2” e “Y2”. Sobre el sistema de coordenadas
móvil se tiene una ranura por la que se desplaza el punto “P3”. El punto “P2” es
un punto fijo en los ejes móviles cuya posición coincide con la posición inicial
del punto “P3”.
Fig. 4.7 – Aceleración aparente de un punto.

Mecánica II
41
La ecuación que relaciona las aceleraciones de estos dos puntos es la
siguiente:
c
P/P
t
P/P
n
P/PPP 23232323
AAAAA
vvvvv
+++= (4.24)
Esta ecuación también se puede decir que es la ecuación que relaciona
las aceleraciones de puntos coincidentes de diferentes eslabones.
La suma de las aceleraciones “ t
P/P
n
P/P 2323
AA
vv
+ ” se suele llamar
aceleración relativa y es la aceleración del punto “P3” que percibiría un
observador fijo en los ejes móviles.
La aceleración normal de “P3” respecto de “P2” ( n
P/P 23
A
v
) se debe al
cambio de dirección de la velocidad relativa del punto “P3” a causa de la
curvatura de la ranura y su valor será:
ρ
=
2
P/Pn
P/P
23
23
V
A
r
v
(4.25)
Siendo “ 23 P/PV
r
” la velocidad del punto “P3” respecto del punto “P2” o
velocidad relativa del punto “P3” en los ejes móviles, y “ρ” el radio de
curvatura de la ranura en el punto “P2”.
La dirección y sentido de esta aceleración normal es del punto “P2”
hacia el centro de curvatura de la ranura.
La aceleración tangencial de “P3” respecto de “P2” ( t
P/P 23
A
v
) se debe al
cambio de módulo de la velocidad relativa del punto “P3”. De esta aceleración
solo se conoce que su dirección es tangente a la ranura.
La aceleración de Coriolis de “P3” respecto de “P2” ( c
P/P 23
A
v
) se debe al
giro de los ejes móviles y a la velocidad relativa del punto “P3”. Su módulo
dirección y sentido viene definido por el producto vectorial siguiente:
2323 P/P2
c
P/P ·2 VωA
vrr
×= (4.26)

42
4.6 – ACELERACIÓN ANGULAR APARENTE
La aceleración angular aparente de un eslabón respecto de otro es la
aceleración angular con la que ve acelerarse al primer eslabón un observador
fijo en el segundo eslabón. Esta aceleración angular aparente se representa
como:
232/3 ααα
rrr
−= (4.27)
4.7 – CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR
RODADURA
4.7.1 – Contacto directo con deslizamiento
Fig. 4.9 – Contacto directo con deslizamiento.

Mecánica II
43
En un mecanismo como el representado en la figura 4.9 (a), formado
por tres eslabones, el punto de contacto “C” se debe producir deslizamiento ya
que la velocidad de este punto es diferente si se considera perteneciente al
eslabón “2” o al eslabón “3”, figura 4.9 (c).
La ecuación que relaciona las aceleraciones de puntos coincidentes de
diferentes eslabones, teóricamente se podría plantear en el punto “C”, pero
resulta que la trayectoria que describe el punto “C2” en unos ejes de
coordenadas solidarios al eslabón “3” y la trayectoria que describe el punto “C3”
en unos ejes de coordenadas solidarios al eslabón “2” no son conocidas. Al no
conocerse estas trayectorias, no se puede calcular la aceleración normal de un
punto respecto del otro y no se puede resolver el análisis de aceleraciones.
En este caso, si prolonga imaginariamente el eslabón “3”, figura 4.9 (b),
se observa que el punto “B2” describe una trayectoria recta sobre el eslabón “3”.
Por tanto la ecuación que relaciona las aceleraciones de puntos coincidentes de
diferentes eslabones se debe plantear en el punto “B” y será la siguiente:
c
B/B
t
B/B
n
B/BBB 32323232
AAAAA
vvvvv
+++= (4-31)
Se debe tener en cuenta que no se debe plantear la aceleración
desconocida en función de la conocida, sino que se debe plantear la aceleración
del punto cuya trayectoria se conoce en función del punto correspondiente al
eslabón en el que se desarrolla la trayectoria. En este caso la trayectoria que
describe el punto “B3” en unos ejes solidarios al eslabón “2” también sería
desconocida.
En la ecuación 4.31 la aceleración normal del punto “B2” respecto del
punto “B3” será nula. La aceleración tangencial del punto “B2” respecto del
punto “B3” tendrá la dirección de la trayectoria. Y la aceleración de Coriolis se
determinará por medio del producto vectorial.
Las ecuaciones que relacionan las aceleraciones de los diferentes puntos
del mecanismo están representadas en el polígono de aceleraciones, figura 4.9
(d).
4.7.2 – Rodadura sobre un eslabón fijo
En una rodadura sobre un eslabón fijo come el representado en la figura
4.8, la aceleración del punto “C” es horizontal y su valor será:
RαA
rrr
×=C (4.28)

44
La aceleración del punto “P3” será:
t
CP
n
CPCP 333
AAAA
rrrr
++= (4.29)
Fig. 4.8 – Rodadura sobre un eslabón fijo.
La aceleración “ n
CP3
A
r
” tiene la dirección de “P” hacia “C” por tanto es
perpendicular a la superficie de rodadura.
La aceleración “ t
CP3
A
r
” tiene el mismo módulo que la aceleración del
punto “C” y sentido contrario.
Teniendo en cuenta que la aceleración del punto “P2” es cero, de los dos
párrafos anteriores se deduce que la aceleración del punto “P3” respecto del
punto “P2” es perpendicular a la superficie de rodadura.
A la misma conclusión se llegaría planteando la ecuación que relaciona
las aceleraciones de los puntos en contacto:
c
P/P
t
P/P
n
P/PPP 23232323
AAAAA
vvvvv
+++= (4.30)
En esta ecuación, la aceleración del punto “P2” es cero, las
aceleraciones normal y de Coriolis del punto “P3” respecto del punto “P2” son
nulas debido a que es nula la velocidad del punto “P3” respecto del punto “P2”.
El único término no nulo es la aceleración tangencial del punto “P3”
respecto del punto “P2”. La dirección de esta aceleración es tangente a la
trayectoria que describe el punto “P3” que es una cicloide. La tangente a la
cicloide en el punto de contacto es perpendicular a la superficie de rodadura, por
tanto queda probada la dirección de la aceleración del punto “P3” respecto del
punto “P2”.

Mecánica II
45
La aceleración tangencial del punto “P3” respecto del punto “P2”, al
tener la dirección del radio de la rueda, se suele denominar aceleración radial
del punto “P3” respecto del punto “P2”.
4.7.3 – Contacto directo con rodadura
En un mecanismo como el representado en la figura 4.10 (a), formado
por cuatro eslabones, puede existir rodadura sin deslizamiento.
Fig. 4.10 – Contacto directo con rodadura.
En este caso las velocidades de los puntos “C3” y “C4” serán iguales. La
aceleración relativa entre estos dos puntos se sabe que es perpendicular a la
tangente en el punto de contacto, pero no se sabe su valor, por lo que no se
podrá plantear la ecuación que relaciona las aceleraciones en el punto “C”.

46
Al igual que en el apartado anterior, se debe prolongar imaginariamente
el eslabón “3”. El punto “B2” describe una trayectoria recta sobre el eslabón “3”
por lo que se puede plantear la ecuación de relación de aceleraciones en el punto
“B”, ecuación que será:
c
B/B
t
B/B
n
B/BBB 32323232
AAAAA
vvvvv
+++= (4.32)
La aceleración normal será nula, la tangencial tendrá la dirección de la
trayectoria y la de Coriolis vendrá dada por el producto vectorial.
En la figura 4.10 (c) queda representado el polígono de aceleraciones
del mecanismo.
Cabe destacar que tanto en el contacto con deslizamiento como con
rodadura, para poder realizar el análisis de aceleraciones, el contacto se debe
producir entre superficies rectas o circunferencias, ya que en estos casos es fácil
determinar el radio de curvatura de la trayectoria que describe un punto en unos
ejes de coordenadas solidarios al otro eslabón.

Mecánica II
47
CAPÍTULO 12 – FUERZAS ESTÁTICAS
En los capítulos precedentes se ha estudiado el movimiento de los
mecanismos sin tener en cuenta las fuerzas que los producen ni las fuerzas
originadas debidas al movimiento. A partir de este punto se estudiará las fuerzas
necesarias para producir un determinado movimiento, así como las fuerzas que
se originan debidas al movimiento de los mecanismos.
Fuerzas estáticas son todas las fuerzas que actúen sobre un cuerpo y que
no se deban al término de masa por aceleración.
Fuerzas dinámicas son las fuerzas debidas al término de masa por
aceleración.
Se pueden dar solamente fuerzas estáticas en mecanismos en
movimiento si se desprecia su masa.
En este capítulo se estudiarán mecanismos planos, por lo tanto las
fuerzas estarán contenidas en el plano del movimiento.
12.1 - INTRODUCCIÓN
A continuación se da la definición de algunos términos que se utilizarán
en este capítulo.
Fuerza es acción de un cuerpo que actúa sobre otro.
Materia, es el material o sustancia de la que está hecho el cuerpo.
Masa, cantidad de materia de un cuerpo.
Inercia, propiedad de la masa de oponerse a los cambios de
movimiento.
Peso, fuerza de la gravedad que actúa sobre una masa.
Partícula, cuerpo de dimensiones despreciables.
Cuerpo rígido, se puede considerar aquel cuerpo cuyas deformaciones
no afectan al cálculo cinemático y dinámico.

Capítulo 12 – Fuerzas estáticas
48
Cuerpo deformable, cuando se deben tener en cuenta las
deformaciones en el cálculo cinemático y dinámico.
Leyes de Newton
1ª - Si todas las fuerzas que actúan sobre una partícula están
equilibradas, la partícula permanecerá en reposo si estaba en reposo, o se
desplazará con movimiento rectilíneo constante.
2º - Si la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula no están
equilibradas, la partícula sufrirá una aceleración en la dirección y sentido de la
resultante de las fuerzas.
3º - Si sobre un cuerpo actúa una fuerza, este cuerpo devuelve una
reacción de igual módulo y dirección y de sentido contrario a la acción.
12.2 – SISTEMAS DE UNIDADES
12.2.1 Sistema internacional
En el sistema internacional se tiene como unidades fundamentales de
masa el kilogramo, de longitud el metro y de tiempo el segundo.
Como unidad derivada se tiene de fuerza el Newton que es la fuerza que
aplicada a una masa de un kilogramo le imprime una aceleración de un metro
segundo cuadrado. Sus dimensiones serán:
N = 2
s·m·Kg −
(12.1)
12.2.2 Sistema inglés
En el sistema inglés se tiene como unidades fundamentales de fuerza la
libra, de longitud el pie o la pulgada y de tiempo el segundo.
En España, en lenguaje popular, se habla del peso en kilogramos, así
por ejemplo, se dice que un cuerpo pesa X Kg. cuando ese cuerpo tiene una
masa de X Kg.
El sistema inglés se utiliza de forma similar al sistema popular en
España. Así un cuerpo pesará X libras cuando su masa sea de X libras.

Mecánica II
49
La unidad derivada en el sistema inglés será la de masa. Para determinar
cual será el valor de esta unidad se pueden plantear las siguientes relaciones.
1 “Kg.(fuerza)” a 1 Kg.(masa) le imprime una aceleración de 9.807
m/s2
.
1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 9.807 m/s2
.
Como un metro es igual a 3.28084 pies e igual a 39.37008 pulgadas.
1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 9.807 m/s2
=
= 9.807 x 3.28084 = 32.174 pies/s2
= 9.807 x 39.37008 = 386.088 pulgadas/s2
.
Aproximadamente
1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 32.2
pies/s2
.
1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 386 pulg/s2
.
Como la unidad de masa debe ser tal que la unidad de fuerza le imprima
una aceleración de valor unidad, si se utiliza como unidad de longitud el pie, la
unidad de masa será de 32.2 libras (Slug) y si la unidad de longitud es la
pulgada, la unidad de masa será de 386 libras.
12.3 – FUERZAS APLICADAS Y FUERZAS DE
RESTRICCIÓN
Fuerzas aplicadas son las fuerzas exteriores que normalmente son
conocidas y fuerzas de restricción son las que aparecen en los pares de unión de
los eslabones y son las encargadas de evitar que el mecanismo se descomponga.
12.4 – CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO
Para que se dé el equilibrio estático de un mecanismo se debe cumplir
en cualquier eslabón o conjunto de eslabones que la suma de fuerzas sea cero y
que la suma de momento respecto de un eje sea también cero.
En mecanismos planos se debe cumplir:
0Fx =Σ (12.2)

50
0Fy =Σ (12.3)
0Mz =Σ (12.4)
12.5 – DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
El diagrama de cuerpo libre es la esquematización de uno o varios
eslabones representando todas las fuerzas que actúan en los eslabones
considerados.
12.6 – FUERZAS DE RESTICCIÓN
Las fuerzas de restricción en los mecanismos aparecen en los pares de
unión los diferentes eslabones y tienen la dirección de los movimientos que
impide el par.
En los mecanismos planos los pares de unión de los eslabones más
comunes son: el par giratorio, el eje motriz, el par prismático y el contacto
directo.
En el par giratorio, como impide los desplazamientos y no impide el
giro, las fuerzas de restricción serán “Fx” y “Fy”.
En eje motriz, como impide los desplazamientos y el giro, las fuerzas de
restricción serán “Fx”, “Fy” y “Mz”.
El par prismático, si se desprecia el rozamiento, impide el movimiento
en sentido perpendicular al desplazamiento del par y también impide el giro, por
tanto la fuerza de restricción será perpendicular a la dirección de
desplazamiento del par y un momento “Mz”.
En el contacto directo con deslizamiento o por rodadura, si se desprecia
el rozamiento, la fuerza de restricción será perpendicular a la tangente en el
punto de contacto.
12.7 – ELEMENTOS DE DOS Y TRES FUERZAS
En el elemento representado en la figura 12.1 sometido a dos fuerzas
“FA” y “FB” se debe cumplir que la suma de fuerzas sea nula y la suma de
momentos sea igualmente nula.

Mecánica II
51
En la figura 12.1 (a) la suma de fuerzas no es cero.
En la figura 12.1 (b) la suma de fuerzas es cero pero la suma de
momentos no es nula, ya que las fuerzas forman un par.
Fig. 12.1 – Elemento sometido a dos fuerzas.
Para que en un elemento sometido a dos fuerzas la suma de fuerzas y
suma de momentos sean nulas se debe cumplir que las fuerzas sean iguales en
módulo, tengan la misma línea de acción y sentido contrario, tal como se
observa en la figura 12.1 (c).
En el elemento representado en la figura 12.2 sometido a tres fuerzas
“FA”, “FB” y “FC” se debe cumplir que la suma de fuerzas sea nula y la suma de
momentos sea igualmente nula. En la figura 12.2 (a) la suma de fuerzas no es
cero.
En la figura 12.2 (b) la suma de fuerzas es cero pero la suma de
momentos no es nula, ya que si se toma momentos respecto del punto de corte
de las fuerzas “FB” y “FC”, éste no será nulo, y al ser la suma de fuerzas nula
quiere decir que el sistema de fuerzas es equivalente a un par.
Para que un elemento sometido a tres fuerzas esté en equilibrio estático
se debe cumplir que la suma de fuerzas sea cero y que las tres fuerzas se corten
en un punto, figura 12.2 (c). Si la suma de fuerzas es cero, puede existir un par,
pero si las tres se cortan en punto, el momento respecto de ese punto será nulo,
por tanto no existe un par ya que el momento de un par es igual respecto de
cualquier punto del espacio.

52
Fig. 12.2 – Elemento sometido a tres fuerzas.
12.8 – ELEMENTOS DE CUATRO FUERZAS
Para resolver gráficamente el equilibrio estático de un elemento
sometido a cuatro o más fuerzas, se debe reducir a un elemento de dos o tres
fuerzas a base de sumar previamente algunas de las fuerzas a que está sometido.
12.9 – PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
En los problemas de fuerzas estáticas, si desprecia el rozamiento, existe
proporcionalidad entre las fuerzas aplicadas y las fuerzas de restricción, o sea
son problemas lineales. En los problemas lineales, los efectos finales producidos
por varias causas son iguales a la suma de los efectos producidos por cada una
de causas. Así las fuerzas de restricción finales producidas por todas las fuerzas
aplicadas serán la suma de las fuerzas de restricción producidas por cada una de
las fuerzas aplicadas, figura 12.3.
Fig. 12.3 – Principio de superposición.

Mecánica II
53
CAPÍTULO 13 – FUERZAS DINÁMICAS
13.1 – INTRODUCCIÓN
Fuerzas dinámicas son las fuerzas debidas al término de masa por
aceleración.
Los problemas de dinámica pueden ser de dos tipos:
- Dinámica directa, cuando se conocen las fuerzas y momentos
aplicados y se debe determinar la cinemática del mecanismo. Este
es un problema muy complejo que salvo en casos sencillos es de
difícil resolución.
- Dinámica inversa, cuando se conoce la cinemática del mecanismo y
se deben determinar las fuerzas y momentos a aplicar para lograrla.
13.2 – CENTROIDES Y CENTRO DE MASAS
13.2.1 – Centro de masas de una serie de partículas en el espacio
Fig. 13.1 – Centro de masas de una serie de partículas.
Si se tiene una serie de partículas en el espacio como la representada en
la figura 13.1, las coordenadas del centro de masas se determinarán:

Capítulo 13 – Fuerzas dinámicas
54
4321
44332211
i
ii
G
mmmm
x·mx·mx·mx·m
m
x·m
X
+++
+++
=
Σ
Σ
= (13.1)
4321
44332211
i
ii
G
mmmm
y·my·my·my·m
m
y·m
Y
+++
+++
=
Σ
Σ
= (13.2)
4321
44332211
i
ii
G
mmmm
z·mz·mz·mz·m
m
z·m
Z
+++
+++
=
Σ
Σ
= (13.3)
Si las partículas estuviesen en un plano, por ejemplo el plano “XY”,
bastaría con las coordenadas “XG” e “YG” para determinar la posición del centro
de masas. Y si estuviesen alineadas, entonces bastaría con una sola coordenada.
13.2.2 – Centroides de figuras geométricas planas compuestas
Los centroides de figuras geométricas planas son importantes ya que sus
posiciones coinciden con los centros de masas de cuerpos de espesor uniforme.
La posición de los centroides de superficies sencillas son conocidos o se
pueden encontrar con facilidad en cualquier libro de texto de mecánica.
Para localizar el centroide de una superficie cualquiera, se debe
descomponer ésta en superficies sencillas cuyas superficies y centroides sean
conocidas como por ejemplo la superficie representada en la figura 13.2.
Fig. 13.2 – Centroide de una superficie compuesta.

Mecánica II
55
Las coordenadas del centroide del conjunto serán:
321
G3G2G1
i
Gi
G
AAA
X·AX·AX·A
A
X·A
X 321i
−+
−+
=
Σ
Σ
= (13.4)
321
G3G2G1
i
Gi
G
AAA
Y·AY·AY·A
A
Y·A
Y 321i
−+
−+
=
Σ
Σ
= (13.5)
13.2.3 – Centroides de figuras geométricas planas limitadas por una
función
Fig. 13.3 – Centroide de una superficie limitada por una función.
Si se tiene una figura geométrica plana limitada por una función como
en la figura 13.3, para determinar la posición del centroide se pueden aplicar las
ecuaciones siguientes:
∫=
∫
∫
=
s
s
s
G dA·x
A
1
dA
dA·x
X (13.6)
∫=
∫
∫
=
s
s
s
G dA·y
A
1
dA
dA·y
Y (13.7)
13.2.4 – Centro de masas de un cuerpo limitado por una función
Si se tiene un cuerpo limitado por una función como el de la figura 13.4,
para determinar la posición del centro de masas se pueden aplicar las ecuaciones
siguientes:

56
∫=
∫
∫
=
v
v
v
G dm·x
m
1
dm
dm·x
X (13.8)
∫=
∫
∫
=
v
v
v
G dm·y
m
1
dm
dm·y
Y (13.9)
∫=
∫
∫
=
v
v
v
G dm·z
m
1
dm
dm·z
Z (13.10)
Fig. 13.4 – Centro de masas de un cuerpo limitado por una función.
Los centros de masas de cuerpos limitados por funciones sencillas
normalmente se pueden encontrar en textos de mecánica.
13.2.5 – Centro de masas de un cuerpo compuesto
Si se tiene un cuerpo complejo se puede descomponer en cuerpos
sencillos de los que se conozca su masa y su centro de masas. Cada cuerpo
sencillo se puede tratar como una partícula cuya masa sea la correspondiente al
cuerpo y que su posición sea el centro de masas del dicho cuerpo.
Las coordenadas del centro de masas del conjunto se pueden calcular
con las ecuaciones siguientes:

Mecánica II
57
i
i
Gi
i
Gi
G x·m
m
1
m
x·m
X Σ=
Σ
Σ
= (13.11)
i
i
Gi
i
Gi
G y·m
m
1
m
y·m
Y Σ=
Σ
Σ
= (13.12)
i
i
Gi
i
Gi
G z·m
m
1
m
z·m
Z Σ=
Σ
Σ
= (13.13)
13.3 – MOMENTOS DE INERCIA
13.3.1 – Momento de inercia de superficies
El momento segundo o momento de inercia de superficie, figura 13.5,
es el resultado de las ecuaciones siguientes:
dAyI
s
2
X ∫= (13.14)
dAxI
s
2
Y ∫= (13.14)
Fig. 13.5 – Momento de inercia de una superficie.
El momento de inercia polar es el resultado de la ecuación siguiente:
YX
s
22
s
2
Z IIdA)yx(dArJ +=∫ +=∫= (13.14)

58
Radio de giro “K” es la distancia desde un eje a la que debería estar
toda la superficie para que tuviese el mismo momento de inercia respecto de ese
eje. En este caso el momento de inercia sería:
AKI 2
= (13.15)
El radio de giro será:
A
I
K = (13.16)
Para calcular el momento de inercia respecto de unos ejes cualesquiera
se utiliza el teorema de Steiner que relaciona el momento de inercia respecto de
unos ejes cualesquiera con el momento de inercia respecto de unos ejes que
pasan por el centroide, figura 13.6.
Fig. 13.6 – Teorema de Steiner para superficies.
Las ecuaciones son las siguientes:
2
xXX d·AII G
+= (13.17)
2
yYY d·AII G
+= (13.18)
2
zZZ d·AJJ G
+= (13.19)
13.3.2 – Momento de inercia de superficies complejas
El momento de inercia de una superficie compleja respecto de un eje es
la suma de los momentos de inercia respecto de ese eje de las superficies
elementales en las que se puede dividir la superficie compleja.

Mecánica II
59
Lo normal es conocer los momentos de inercia de las superficies
elementales respecto de su centroide. En este caso se aplica el teorema de
Steiner para calcularlo respecto del eje deseado.
13.3.3 – Momento de inercia de masas
En dinámica el que tiene utilidad es el momento de inercia de masas.
Para calcular el momento de inercia de una masa, figura 13.7, se aplican
las ecuaciones siguientes:
∫ +=
m
22
X dm)zy(I (13.20)
∫ +=
m
22
Y dm)zx(I (13.21)
∫ +=
m
22
Z dm)yx(I (13.22)
Fig. 13.7 – Momento de inercia de masas.
Radio de giro “K” es la distancia desde un eje a la que debería estar
toda la masa para que tuviese el mismo momento de inercia respecto de ese eje.
En este caso el momento de inercia sería:
m·KI 2
= (13.23)
Por tanto el radio de giro será:

60
m
I
K = (13.24)
Para calcular el momento de inercia respecto de unos ejes cualesquiera
se utiliza el teorema de Steiner que relaciona el momento de inercia respecto de
unos ejes cualesquiera con el momento de inercia respecto de unos ejes que
pasan por el centro de masas, figura 13.8.
Las ecuaciones son las siguientes:
)ZY·(mId·mII 2
G
2
GX
2
xXX GG
++=+= (13.25)
)ZX·(mId·mII 2
G
2
GY
2
yYY GG
++=+= (13.26)
)YX·(mId·mII 2
G
2
GZ
2
zZZ GG
++=+= (13.27)
Fig. 13.8 – Teorema de Steiner para masas.
13.3.4 – Momento de inercia de masas complejas
El momento de inercia de una masa compleja respecto de un eje es la
suma de los momentos de inercia respecto de ese eje de las masas elementales
en las que se puede dividir la masa compleja.
Lo normal es conocer los momentos de inercia de las masas elementales
respecto de su centro de masas. En este caso se aplica el teorema de Steiner para
calcularlo respecto del eje deseado.

Mecánica II
61
13.3.5 – Sentido físico del momento de inercia de masas
Si se tiene una masa puntual como la figura 13.9 unida a un eje en
reposo con una aceleración angular “α ”, esta masa tendrá una aceleración
r·A α= (13.28)
Para conseguir esta aceleración habrá que aplicarle una fuerza
r··mA·mF α== (13.29)
Si en lugar de aplicarle la fuerza directamente a la masa se desea aplicar
un momento al eje, este momento será:
α=α== ·I·r·mr·FM 2
(13.30)
Fig. 13.9 – Sentido físico del momento de inercia de masas.
En la ecuación 13.30 se aprecia que el momento de inercia representa la
oposición a ser acelerada angularmente una masa unida a un eje.
13.4 – CÁLCULO DE FUERZAS
En este capítulo se estudiarán mecanismos planos, por lo tanto las
fuerzas estarán contenidas en el plano del movimiento.
En este apartado se va a realizar un análisis dinámico inverso, es decir
se supone conocida la cinemática del mecanismo, aceleraciones de los centros
de gravedad y aceleraciones angulares de todos los eslabones y se debe
determinar las fuerzas y momentos a aplicar para que se produzcan las
aceleraciones previstas. También se determinarán las fuerzas de restricción que
aparecerán en los pares de unión de los eslabones.
Suponiendo un eslabón como el representado en la figura 13.10 del que
se conoce la aceleración de su centro de gravedad y su aceleración angular, para

62
que se cumplan las leyes de la dinámica, habrá que aplicarle una serie de
fuerzas cuya resultante será:
G·m AR
rr
= (13.31)
La resultante “ R
r
” tiene la misma dirección y sentido que la aceleración
del centro de gravedad, por tanto sus líneas de acción son paralelas.
Fig. 13.10 – Dinámica inversa de un eslabón.
Y como el momento de las fuerzas respecto al centro de gravedad “G”
debe ser igual al momento de inercia respecto del eje “Z” que pasa por “G” por
la aceleración angular, se cumplirá que la línea de acción de la resultante “ R
r
”
estará desplazada del centro de gravedad una distancia
R
·I
h G α
= (13.32)
La fuerza “ R
r
” será la resultante de las fuerzas que le realicen los otros
eslabones a través de los pares de unión.
13.5 – PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
En los problemas de dinámica inversa se cumplen que las fuerzas y
momentos que se deben aplicar a un mecanismo para que tenga una
determinada cinemática son iguales a las sumas de fuerzas y de momentos que
se deben aplicar para todos los casos, suponiendo que en cada caso solamente
tenga masa un eslabón.
El principio de superposición se ilustra en la figura 13.11

Mecánica II
63
Fig. 13.11 – Principio de superposición.
13.7 – ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO
El eslabón de la figura 13.12 que gira alrededor de un punto “O” con
una velocidad angular “ω ” y que tiene una aceleración angular “α ”, tendrá una
aceleración del centro de gravedad “ GA
r
” que se puede descomponer una
aceleración normal y una tangencial cuyos valores serán:
G
2n
G r·A ω= (13.33)
G
t
G r·A α= (13.34)
Fig. 13.12 – Eslabón girando alrededor de un punto fijo.
Para conseguir la aceleración del centro de gravedad “ GA
r
” se deberá
aplicar un sistema de fuerzas cuya resultante sea “ R
r
” que también se podrá
descomponer en una componente normal y una tangencial, cuyos valores serán:
G
2n
G
n
r··mA·mR ω== (13.35)

64
G
t
G
t
r··mA·mR α== (13.36)
Como la componente normal “ n
R ” no produce momento respecto de
“G” se cumplirá
α=== ·Id·Rh·RM G
t
G (13.37)
Si el eslabón se mueve debido a un par introducido por el eje de giro, el
valor de ese par será:
α=α+=α+α=+== O
2
GGGGGG
t
O I)mrI(Irmr)dr(R´RdM (13.37)
Según la ecuación 13.37, el par a aplicar en el eje “O” será el momento
de inercia del eslabón respecto de ese punto por la aceleración angular del
eslabón.
La justificación del momento a aplicar en el eje que pasa por “O” puede
apreciarse en la figura 13.13 sustituyendo una fuerza por otra fuerza desplazada
y un par cuyo valor será la fuerza por la distancia desplazada.
Fig. 13.13 – Sustitución de una fuerza por una fuerza y un par.
13.8 – CASOS DE ESLABONES ESPECIALES
13.8.1 – Eslabón de salida en un cuadrilátero articulado
Si se tiene un cuadrilátero articulado en el que el centro de gravedad del
eslabón de salida, eslabón “4”, coincide con su centro de giro, figura 13.14,

Mecánica II
65
resultará que la aceleración del centro de gravedad de dicho eslabón será nula,
por lo que la suma de fuerzas que actúen sobre dicho eslabón deberá ser nula
también.
Fig. 13.14 – Eslabón de salida con el centro de gravedad y punto de giro coincidentes.
Al estudiar el caso de superposición en el que solamente tenga masa el
eslabón “4”, la fuerza “F34” tendrá la dirección del eslabón “3”. La fuerza
aplicada por el eslabón “1”, “F14”, deberá ser paralela, del mismo módulo y
sentido contrario a “F34”. El módulo de estas fuerzas será:
h
·I
FF
4G
3414
4
α
== (13.38)
Las fuerzas “F34” y “F14” deberán tener el sentido apropiado para que
sean un par en el mismo sentido que el de “ 4α ”.
13.8.1 – Eslabón de entrada en un cuadrilátero articulado
Al estudiar el caso de superposición en el que solamente tenga masa el
eslabón de entrada, eslabón “2”, resultará que las fuerzas y pares necesarios
para acelerar dicho eslabón se les deberá aplicar el eslabón “1”.
Se pueden dar cuatro casos:
- 1º - G2 = O2 y 2α = 0
- 2º - G2 = O2 y 2α ≠ 0
- 3º - G2 ≠ O2 y 2α = 0

66
- 4º - G2 ≠ O2 y 2α ≠ 0
En el primer caso, al ser la aceleración del centro de gravedad del
eslabón nula y la aceleración angular también nula, no se necesita fuerza ni par
alguno para que el eslabón permanezca indefinidamente con el movimiento que
tenga.
En el segundo caso, la fuerza a aplicar al eslabón será nula pero se le
deberá aplicar un par desde el eslabón “1”
2G12 ·I 2
αM
rr
= (13.39)
En el tercer caso, figura 13.15, al ser la aceleración angular nula, el
centro de gravedad tendrá una aceleración normal hacia el punto de giro del
eslabón.
Fig. 13.15 – Eslabón de entrada con velocidad angular constante.
La fuerza a aplicar por el eslabón “1” en el punto “O2” tendrá la
dirección y sentido de “G2” hacia “O2” y su valor será:
2G212 ·m AF
rr
= (13.40)
El cuarto caso, figura 13.16, el centro de gravedad del eslabón de
entrada, eslabón “2”, tendrá una aceleración “ 2GA
r
”. Para conseguir esta
aceleración habrá que aplicarle un sistema de fuerzas cuya resultante sea
2G22 ·m AR
rr
= (13.41)

Mecánica II
67
Aplicada de forma que el momento de “ 2R
r
” respecto del centro de
gravedad del eslabón tenga el mismo sentido que la aceleración angular de
dicho eslabón. El valor del descentramiento será:
2
2G
R
·I
h 2
α
= (13.42)
Fig. 13.16 – Eslabón de entrada con aceleración angular.
En el caso de superposición en el que se considera que solamente tiene
masa el eslabón “2”, a dicho eslabón solamente se le pueden aplicar fuerzas
desde el eslabón “1”, por tanto la resultante “ 2R
r
” se debe sustituir por una
fuerza “ 12F
r
”, del mismo módulo, dirección y sentido que “ 2R
r
” aplicada en
“O2” y un momento “M12” que será el momento de “ 2R
r
” respecto del punto
“O2” cuyo valor será:
d·RM 212 = (13.43)
La resolución de este caso también se puede plantear como que se debe
aplicar una fuerza en el punto “O2”
2G212 ·m AF
rr
= (13.44)
Y un momento
2O12 ·I 2
αM
rv
= (13.45)

68
13.9 – CASO SENCILLO DE DINÁMICA DIRECTA
Los problemas de dinámica directa, en los que se conocen las fuerzas o
pares aplicados y se debe determinar la cinemática del mecanismo, suelen ser
bastante complejos de resolución. No obstante, hay algunos casos sencillos, por
ejemplo cuando se trata de mecanismos formados por ejes y poleas o ruedas
dentadas en los que los centros de gravedad se encuentran en los ejes
geométricos de los ejes, figura 13.17.
Fig. 13.17 – Mecanismo formado por ejes y poleas o ruedas dentadas.
En una cadena cinemática como la de la figura 13.17 se pueden reducir
todos los ejes al eje del motor.
Llamando “Mi/j” al par a aplicar en el eje “i” para acelerar angularmente
al eje “j”, se tendrá:
111/1 ·IM α= (13.46)
222/2 ·IM α= (13.47)
333/3 ·IM α= (13.48)
444/4 ·IM α= (13.49)
Como en este ejemplo el par motor esta aplicado en eje “1”, teniendo en
cuenta que si se desprecia el rozamiento se conserva la potencia, resultará:
1/2221/22/2
1
2
2/22/1 i··Ii·M·MM α==
ω
ω
= (13.50)
1/3331/33/3
1
3
3/33/1 i··Ii·M·MM α==
ω
ω
= (13.51)

Mecánica II
69
1/4441/44/4
1
4
4/44/1 i··Ii·M·MM α==
ω
ω
= (13.52)
Siendo:
1
2
1/2i
ω
ω
= la relación de transmisión entre el eje “2” y el eje “1”
1
3
1/3i
ω
ω
1
4
1/4i
ω
ω
En la figura 13.18 se aprecia que la velocidad del punto “C”, centro
instantáneo de rotación relativo a las dos ruedas, es la misma para las dos
ruedas, por tanto se cumple:
3322C R·R·V ω=ω= (13.53)
3
2
2
3
2/3
R
R
i =
ω
ω
= (13.54)
Fig. 13.18 – Relación entre velocidades angulares y aceleraciones angulares.
Teniendo en cuenta que la aceleración relativa entre los puntos en
contacto en una rodadura tiene la dirección de la recta de unión de centros,
resulta que las aceleraciones tangenciales de los dos puntos en contacto es la
misma y de valor:
3322
t
C
t
C R·R·AA 32
α=α== (13.55)

70
La relación entre las velocidades angulares de las ruedas será:
2
3
2/3
3
2
2
3
i
R
R
ω
ω
===
α
α
(13.56)
Teniendo en cuenta la relación entre las aceleraciones angulares, las
ecuaciones 13.50, 13.51 y 13.52 se podrán escribir:
1
2
1/221/2221/22/2
1
2
2/22/1 ·i·Ii··Ii·M·MM α=α==
ω
ω
= (13.57)
1
2
1/331/3331/33/3
1
3
3/33/1 ·i·Ii··Ii·M·MM α=α==
ω
ω
= (13.58)
1
2
1/441/4441/44/4
1
4
4/44/1 ·i·Ii··Ii·M·MM α=α==
ω
ω
= (13.52)
El par a aplicar en el eje “1” será la suma de los pares en dicho eje para
acelerarse el mismo y acelerar a los ejes “2”, “3” y “4”.
1
2
1/44
2
1/33
2
1/221
4/13/12/11/1
)·i·Ii·Ii·II(
MMMMM
α+++=
=+++=
(13.53)
De la ecuación 13.53 se desprende que el conjunto de ejes se puede
sustituir, por ejemplo, por un volante colocado en el eje del motor y cuyo
momento de inercia sea la suma del momento de inercia del eje del motor más
los momentos de inercia de los otros ejes multiplicados por la correspondiente
relación de transmisión con el eje motor al cuadrado.
Incluso en un automóvil como el de la figura 13.19, se puede reducir la
masa del automóvil a un momento de inercia colocado en el eje del motor.
Fig. 13.19 – Reducción de la masa del automóvil a un momento de inercia.

Mecánica II
71
Si la cadena cinemática desde el motor a las ruedas experimenta una
aceleración, el automóvil adquirirá una aceleración lineal que será la
aceleración angular de las ruedas por el radio de las ruedas
11/RRRRG ·i·RR·A α=α= (13.54)
Para conseguir dicha aceleración, la pista efectuará sobre la periferia de
las ruedas una fuerza
GC A·mF = (13.55)
Para conseguir esta fuerza, el eje de las ruedas deberá aplicar un par
11/R
2
RCRR/R ·i·R·mR·FM α== (13.56)
Finalmente el par que deberá aplicar el motor en su eje para acelerar la
masa del automóvil será;
1
2
1/R
2
RC1/RRR/1 ·i·R·mi·R·FM α== (13.56)
De la ecuación 13.56 se desprende que la masa del coche se puede
sustituir por un volante cuyo momento de inercia sea “ 2
1/R
2
RC i·R·m ” colocado
en el eje del motor.
13.10 – FUERZAS DE SACUDIMIENTO
En el análisis de fuerzas estáticas, la suma de fuerzas y la suma de
momentos que actúan sobre cualquier eslabón deben ser cero. En particular la
suma de fuerzas y la suma de momentos que actúan sobre el eslabón fijo son
nulas.
En dinámica no ocurre lo mismo, la suma de fuerzas que actúan sobre
un eslabón deben ser igual al producto de su masa por la aceleración de su
centro de gravedad.
La suma de fuerzas que realiza el eslabón fijo sobre el resto de
eslabones será:
iGii1 ·m AF
rr
Σ=Σ (13.57)

72
Por el principio de acción y reacción, los eslabones móviles realizarán
sobre el eslabón fijo una serie de fuerzas cuya suma será:
iGi1i ·m AF
rr
Σ−=Σ (13.58)
A la suma de fuerzas que realizan los eslabones móviles sobre el
eslabón fijo se le llama fuerza de sacudimiento y es una fuerza que tiende a
hacer vibrar al chasis de la máquina donde está acoplado el mecanismo y que
por lo tanto interesa minimizarla.

Mecánica II
73
CAPÍTULO 6 - SÍNTESIS DE LEVAS
6.1 - INTRODUCCIÓN
Las levas son unos mecanismos compuestos generalmente por un
eslabón impulsor llamado "leva" y otro eslabón de salida llamado "seguidor"
entre los que se transmite el movimiento por contacto directo.
Son mecanismos sencillos, poco costosos, tienen pocas piezas móviles y
ocupan espacios reducidos. Además su principal ventaja reside en que se
pueden diseñar de forma que se obtenga casi cualquier movimiento deseado del
seguidor.
6.2 - CLASIFICACIÓN DE LAS LEVAS
Los mecanismos de leva se pueden clasificar teniendo en cuenta como
son la "leva" y el "seguidor".
Teniendo en cuenta la leva, (Fig. 6-1):
a) Leva de placa, llamada también de disco o radial.
b) Leva de cuña.
c) Leva cilíndrica o de tambor.
d) Leva lateral o de cara.
Teniendo en cuenta el seguidor, (Fig. 6-2):
a) Seguidor de cuña.
b) Seguidor de cara plana.
c) Seguidor de rodillo.
d) Seguidor de cara esférica o zapata curva.
Otra clasificación de las levas se puede hacer teniendo en cuenta el
movimiento del seguidor, pudiendo ser éste rectilíneo alternativo (traslación) u

Capítulo 6 – Levas
74
oscilante (rotación). Teniendo en cuenta la posición relativa entre el seguidor y
la leva, pueden ser de seguidor centrado, cuando el eje del seguidor pasa por el
centro de la leva o de seguidor descentrado.
Fig. 6-1 Tipos de levas: a) de placa, b) de cuña, c) de tambor y d) de cara.
Fig. 6-2 Tipos de seguidor: a) de cuña, b) de cara plana, c) de rodillo y d) de zapata.

Mecánica II
75
El tipo de leva más común es el formado por una leva de placa y un
seguidor de rodillo con movimiento rectilíneo alternativo.
6.3 - DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO
El diagrama de desplazamiento "y = f (θ)" (Fig. 6-3) representa, en el
caso más general, la posición del seguidor respecto de la posición de la leva. Por
ejemplo en una leva de placa con seguidor de movimiento rectilíneo alternativo,
representaría la posición del seguidor respecto del ángulo girado por la leva,
pero en otros casos, tanto "y" como "θ", pueden ser desplazamientos lineales o
angulares.
Fig. 6-3 Diagrama de desplazamiento.
Un movimiento muy típico a conseguir por medio de un mecanismo de
leva es el movimiento uniforme en el cual la velocidad del seguidor será
constante siempre que sea constante la velocidad de la leva, (quizás sería mejor
llamarlo movimiento proporcional). Este tipo de movimiento queda reflejado en
el diagrama de desplazamiento por medio de un segmento rectilíneo.
Fig. 6-4 Desplazamientos, velocidades y aceleraciones del seguidor

76
Si se tuviese una leva con la que se pretende, por ejemplo, realizar: una
subida con movimiento uniforme, una detención y finalmente un retorno, y no
se tomase ningún tipo de precaución resultaría que podrían aparecer
aceleraciones del seguidor tendiendo a infinito, tal como se ve en la figura 6-4.
Si la aceleración del seguidor tiende a infinito, también lo harán las
fuerzas de inercia, con lo que llegarían a romperse las piezas que componen la
leva. Como esto es inadmisible, se debe prever un diagrama de desplazamiento
que no produzca discontinuidades en el diagrama de velocidades.
Para suavizar el inicio o final de un movimiento uniforme se suele
utilizar una rama de parábola, consiguiendo que las pendientes de los tramos de
parábola coincidan con la pendiente del movimiento uniforme. (Fig. 6-5).
Fig. 6-5 Tramos de parábola. a) Unión de movimiento uniforme y b) dibujo del tramo.
Cuando se desea realizar un desplazamiento del seguidor de subida y
bajada sin detenciones, un movimiento muy adecuado es el armónico (Fig. 6-6),
ya que este tipo de movimiento tiene velocidades y aceleraciones que son
funciones continuas.
Fig. 6-6 Diagrama de desplazamiento con movimiento armónico

Mecánica II
77
Si se desea que el seguidor realice unos desplazamientos de subida y
bajada entre detenciones, un movimiento adecuado es el cicloidal (Fig. 6-7),
puesto que este movimiento tiene aceleraciones nulas al inicio y al final,
correspondiéndose con las aceleraciones nulas de las detenciones.
Fig. 6-7 Diagrama de desplazamiento con movimiento cicloidal
Cuando se precisen otros tipos de movimientos se ajustarán por medio
de curvas estándar, que se verán más adelante.
6.4 - DERIVADAS DEL DIAGRAMA DE
DESPLAZAMIENTO
En una leva de placa con seguidor de movimiento rectilíneo alternativo,
que es la más común, el diagrama de desplazamiento, ecuación (6-1), representa
la posición del seguidor en función del ángulo girado por la leva.
y = f(θ) (6-1)
El diagrama de desplazamiento (6-1) se puede derivar respecto de "θ" y
respecto de "t".
Derivando (6-1) respecto de "θ" se tendrá:
y' =
θd
dy
(6-2)
y" =
θd
yd
2
2
(6-3)

78
Estas derivadas dependen solamente del perfil de la leva y son
independientes de la velocidad de giro de la leva. La primera derivada (y')
representa la pendiente del diagrama de desplazamiento y sus unidades serían,
por ejemplo, milímetros / radian. La (y") representa la pendiente de la (y') y sus
unidades serían, por ejemplo, milímetros / radián2
.
Derivando (6-1) respecto de "t" se tendrá:
dt
dy
yV == & (6-4)
dt
yd
yA 2
2
== && (6-5)
Las derivadas primera y segunda del diagrama de desplazamiento
respecto de "t" representan la velocidad y aceleración del seguidor
respectivamente.
Entre las derivadas de (6-1) respecto de "θ" y respecto de "t" existen las
siguientes relaciones:
dt
dy
yV == & = 'y·
dt
d
·
d
dy
ω=
θ
θ
(6-6)
dt
yd
yA 2
2
== && = =
θ
θ
+
θ






θ
=




 θ
θ
=
dt
d
·
d
dy
dt
d
·
d
dy
dt
d
dt
d
·
d
dy
dt
d
dt
dv
2
2
= 'y·"y·
dt
d
·
d
dy
dt
d
·
dt
d
·
d
dy
d
d 2
2
2
α+ω=
θ
θ
+
θθ






θθ
(6-7)
Si la leva girase con velocidad constante, movimiento que es muy
común en las máquinas, la aceleración sería:
A = ω2
·y" (6-8)
6.5 - MOVIMIENTOS ESTÁNDAR DE LAS LEVAS
Para conseguir cualquier tipo de movimiento en el seguidor, no siempre
resultará suficiente con los movimientos que se han visto en el apartado
anterior, por ello, hay toda una serie de curvas estándar por medio de las cuales

Mecánica II
79
resultará más sencillo enlazar los movimientos deseados de forma que resulten
funciones continuas tanto el diagrama de desplazamiento como sus dos primeras
derivadas.
Este tipo de curvas están basados en curvas armónicas y cicloidales y
son las que se acompañan a continuación, primero las de subida completa.
Fig. 6-9 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armónico simple
de subida completa, ecuación (6-9).
Fig. 6-10 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento cicloidal de
subida completa, ecuación (6-10).
Fig. 6-11 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armónico
modificado de subida completa, ecuación (6-11).

80
A continuación las tres curvas estándar de retorno completo.
Fig. 6-12 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armónico simple
de retorno completo, ecuación (6-12).
Fig. 6-13 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento cicloidal de
retorno completo, ecuación (6-13).
Fig. 6-14 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armónico
modificado de retorno completo, ecuación (6-14).
Cuando no se tiene que realizar una subida o bajada completa, por
ejemplo desde una detención hasta un tramo de movimiento uniforme, se
utilizan trozos de movimiento armónico o cicloidal, tanto de subida como de
bajada y son los que se exponen a continuación.

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