Este documento presenta el plan de estudios para un curso de Análisis Matemático III. El curso cubre propiedades topológicas de subconjuntos de Rn, continuidad y límites, diferenciabilidad, teoremas de funciones inversas, aplicaciones geométricas y ecuaciones diferenciales. El curso se divide en seis secciones que cubren estos temas y concluye con problemas de repaso.

1. CURSO DE
AN´ALISIS MATEM´ATICO III
Miguel Canela
Departament de Matem`atica aplicada i an`alisi, UB
canela@mat.ub.es
1. Propiedades topol´ogicas de los subconjuntos de Rn
. . . . . . . . . . . . . . . . 3
Producto escalar y norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Distancia, bolas y conjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
L´ımite de una sucesi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Interior, adherencia y frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Continuidad y l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
L´ımite de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Funciones continuas en conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Derivadas parciales y direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Diferencial, matriz jacobiana y gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Funciones de clase C1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
F´ormula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
M´aximos y m´ınimos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4. Teorema de la funci´on inversa y consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Teorema de la funci´on inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Teorema de la funci´on impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
M´etodo de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Curso de An´alisis matem´atico III/1

2. 5. Aplicaciones geom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Tangente y normal a una curva del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Ecuaci´on diferencial de un haz de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Ecuaciones en variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Curvas y superficies en Rn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6. Problemas de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Curso de An´alisis matem´atico III/2

3. 1. PROPIEDADES TOPOL´OGICAS
DE LOS SUBCONJUNTOS DE R
n
PRODUCTO ESCALAR Y NORMA
El producto escalar de x, y ∈ Rn
se define por
x · y =
n
i=1
xiyi.
La norma de x es
x = x · x
1/2
=
n
i=1
x2
i
1/2
.
Observa que, si n = 1, la norma es el valor absoluto. Para n = 2 y n = 3, coincide
con el m´odulo de un vector tal como se define en un curso de F´ısica.
Es inmediato, a partir de la definici´on, que, para x, y, z ∈ Rn
, α, β ∈ R, se cumple
(αx + βy) · z = α(x · z) + β(y · z).
Si u = 1, decimos que u es unitario. De la f´ormula
αx = |α| x
resulta que, si x = 0, u = x/ x es unitario.
Proposici´on. Sean x, y ∈ Rn
. Se cumple
x · y ≤ x y (desigualdad de Cauchy-Schwarz),
y la igualdad s´olo se da si x e y son linealmente dependientes.
Demostraci´on. Si x = 0 o y = 0, la desigualdad es trivial. En caso contrario,
podemos pasar x y y al primer miembro, y reducir el problema a ver que, si u, v
son unitarios, |u · v| ≤ 1, y que |u · v| = 1 s´olo puede ser si u = v o u = −v. Para
verlo, observamos
0 ≤ u − v
2
= (u − v) · (u − v) = u 2
+ v 2
− 2 u · v = 2(1 − u · v),
que implica u·v ≤ 1. Cambiando + por −, resulta u·v ≥ −1, y, en definitiva |u·v| ≤ 1.
Finalmente, u · v = 1 implica u = v, y u · v = −1 implica u = −v. ♠
Proposici´on. Sean x, y ∈ Rn
. Se cumple
x + y ≤ x + y (desigualdad triangular),
y la igualdad s´olo se da si y = αx, con α ≥ 0, o viceversa.
Demostraci´on. Si x = 0 o y = 0 la desigualdad es trivial. Si no, resulta de la
desigualdad de Cauchy-Schwarz en
x + y
2
= x 2
+ y 2
+ 2 x · y ≤ x 2
+ y 2
+ 2 x y = x + y
2
.
Si hay igualdad en la desigualdad triangular, tambi´en en la de Cauchy-Schwarz, y
entonces x e y son linealmente dependientes, o sea y = αx, y obviamente α > 0. ♠
Curso de An´alisis matem´atico III/3

4. En general, en un espacio vectorial real E, un producto escalar es una aplicaci´on
(x, y) → x · y a valores reales, que cumple:
(i) x · x ≥ 0 para todo x ∈ E, y x · x = 0 si y s´olo si x = 0.
(ii) x · y = y · x para x, y ∈ E.
(iii) (αx + βy) · z = α(x · z) + β(y · z), para x, y, z ∈ E, α, β ∈ R.
Hay otros productos escalares de inter´es en el An´alisis matem´atico. Por ejemplo, en
el espacio de las funciones continuas en [0, 1], podemos definir
f · g =
1
0
f(x) g(x) dx.
No obstante, el ´unico producto escalar con el que trabajamos en este curso es el de
Rn
. En el curso de An´alisis funcional aparecen otros productos, definidos en espacios
de funciones o en espacios de sucesiones.
Una norma en E es una aplicaci´on x → x a valores reales que cumple:
(i) x ≥ 0 para todo x ∈ E, y x = 0 si y s´olo si x = 0.
(ii) αx = α x para x ∈ E, α ∈ R.
(iii) x + y ≤ x + y , para x, y, z ∈ E.
A partir de un producto escalar siempre se puede definir una norma, haciendo x =
(x · x)1/2
, y los argumentos que hemos dado para probar la desigualdad de Cauchy-
Schwarz y la triangular valen en general. Hay otras normas de Rn
de inter´es en el
An´alisis matem´atico, aunque no todas se definen a partir de un producto escalar (v.
Ejercicio 3). Cuando se quiere distinguir entre las distintas normas de Rn
, se denota
la que hemos definido a partir del producto, que es la norma eucl´ıdea, por x 2. De
los espacios en los que hay definida una norma, los espacios normados, se ocupa el
curso de An´alisis funcional.
Otra norma interesante que s´ı vamos a usar este curso en alguna ocasi´on, es la norma
de una aplicaci´on lineal, o, equivalentemente, de una matriz. Primer probamos
una desigualdad fundamental de las aplicaciones lineales.
Proposici´on. Sea T : Rn
→ Rm
una aplicaci´on lineal. Existe K > 0 tal que
Tx ≤ K x , x ∈ Rn
.
Demostraci´on. Pasando x al primer miembro, el problema se reduce a ver que existe
K > 0 tal que, si u es unitario, Tu ≤ K. Supongamos que A es la matriz de T en
la base can´onica e1, . . . , en , de modo que
Tx =
m
j=1
n
i=1
aijxi ej.
Entonces, si u = 1,
Tu ≤
m
j=1
n
i=1
aijui ≤
m
j=1
n
i=1
|aij|. ♠
El argumento seguido en esta demostraci´on muestra que entre las constantes K > 0
que cumplen la desigualdad para una aplicaci´on T hay una que es la menor, y que
coincide con el supremo de Tu . Por definici´on, esta constante m´ınima es la norma
de T, es decir,
T = sup
u =1
Tu .
Curso de An´alisis matem´atico III/4

5. Ejercicios
1. Decimos que x e y son ortogonales si x · y = 0. Demuestra que, en ese caso,
x + y
2
= x 2
+ y 2
(teorema de Pit´agoras).
2. Demuestra que, para cualquier par x, y ∈ Rn
,
(a) x − y ≤ x − y .
(b) x + y
2
+ x − y 2
= 2 x 2
+ y 2
(identidad del paralelogramo).
(c) x + y x − y ≤ x 2
+ y 2
.
3. Para x ∈ Rn
, definimos
x 1 =
n
i=1
|xi|, x ∞ = max |x1|, . . . , |xn| ,
(a) Demuestra que estas f´ormulas definen normas en Rn
.
(b) Demuestra que se cumple
x ∞ ≤ x 2 ≤ x 1 ≤ n x ∞.
(c) Demuestra que estas normas no cumplen la identidad del paralelogramo.
4. Demuestra, que si T es una aplicaci´on lineal, se cumple
T = sup
u ≤1
Tu .
5. Sean T y S son aplicaciones lineales.
(a) Demuestra que se cumple T +S ≤ T + S , cuando la suma tiene sentido.
(b) Demuestra que se cumple T ◦ S ≤ T S , cuando la composici´on tiene
sentido. Muestra con un ejemplo que la igualdad no se da siempre.
DISTANCIA, BOLAS Y CONJUNTOS ACOTADOS
La distancia entre dos puntos x, y ∈ Rn
se define por
d(x, y) = x − y 1/2
=
n
i=1
(xi − yi)2
1/2
.
Proposici´on. Sean x, y, z ∈ Rn
. Se cumple:
(i) d(x, y) ≥ 0, y s´olo d(x, y) = 0 si x = y.
(ii) d(x, y) = d(y, x).
(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdad triangular).
Demostraci´on. Las dos primeras son evidentes. La tercera se deduce directamente de
la definici´on de la distancia y de la desigualdad triangular de la norma. ♠
Una distancia en un conjunto X cualquiera es una aplicaci´on (x, y) → R con las
propiedades (i)–(iii) de la proposici´on anterior. Un conjunto en el que hay definida
una distancia es un espacio m´etrico. En cualquier espacio normado se puede definir
una distancia haciendo d(x, y) = x − y 1/2
, pero no es la ´unica manera. Un ejemplo
muy artificial, que se usa a veces para construir contraejemplos en la teor´ıa de los
espacios m´etricos, es la distancia discreta, para la que d(x, y) = 1 si x = y, y
d(x, x) = 0. En este curso s´olo vamos a usar la distancia definida en Rn
mediante la
norma eucl´ıdea, que es la distancia eucl´ıdea.
La distancia entre un punto a ∈ Rn
y un conjunto X ⊂ Rn
se define por
d(a, X) = inf
x∈X
d(a, x).
Por convenio, se entiende que d(a, ∅) = ∞.
Curso de An´alisis matem´atico III/5

6. Ejemplo. La distancia de un punto a un conjunto no siempre es accesible, o, dicho
de otro modo, no siempre existe x ∈ X tal que d(a, x) = d(a, X). Un ejemplo sencillo,
en R, nos lo da a = 0, X = (1, 2].
La distancia entre dos conjuntos X, Y ⊂ Rn
se define por
d(X, Y ) = inf d(x, y) : x ∈ X y ∈ Y .
Una definici´on equivalente (la comprobaci´on es inmediata para quien tenga claro lo
que significa inf) es
d(X, Y ) = inf
x∈X
d(x, Y ) = inf
y∈Y
d(y, X).
Sean a ∈ Rn
y r > 0. La bola abierta de centro x y radio r se define por
B(a, r) = x ∈ Rn
: x − a < r .
An´alogamente, la bola cerrada de centro x y radio r se define por
B (a, r) = x ∈ Rn
: x − a ≤ r .
La esfera de centro x y radio r es
S(a, r) = x ∈ Rn
: x − a = r .
Ejemplo. Supongamos que n = 1. Entonces
B(a, r) = a − r, a + r , B (a, r) = a − r, a + r , S(a, r) = a − r, a + r .
El di´ametro de un conjunto X ⊂ Rn
se define por
δ(X) = sup d(x, y) : x, y ∈ X .
Se entiende, en esta definici´on, que el supremo puede ser infinito, y que el di´ametro
del conjunto vac´ıo es 0.
Ejemplo. Para a, b ∈ R, δ [a, b] = b − a, δ {a} = 0, y δ [a, +∞) = +∞.
Cuando el di´ametro de un conjunto es finito, decimos que es un conjunto acotado.
Todo subconjunto de un conjunto acotado es acotado, y la uni´on finita de conjuntos
acotados es un conjunto acotado. Cualquier bola es un conjunto acotado (v. Ejercicio
4), y que un conjunto es acotado si y s´olo existe una bola que lo contenga (v. Ejercicio
5). Por tanto, para n = 1, la definici´on de conjunto acotado que hemos dado aqu´ı
coincide con la del curso de An´alisis matem´atico I para subconjuntos de R (X ⊂ R
es acotado si existen a, b ∈ R tales que a ≤ x ≤ b para todo x ∈ X).
Decimos que f : X → Rn
es una aplicaci´on acotada cuando f(X) es un conjunto
acotado.
Ejercicios
1. Para a, b ∈ Rn
, X, Y, Z ⊂ Rn
, di cu´ales de las siguientes f´ormulas son v´alidas en
general:
(a) d(a, X) ≤ d(a, b) + d(b, X).
(b) d(a, Y ) ≤ d(a, X) + d(X, Y ).
(c) d(X, Z) ≤ d(X, Y ) + d(Y, Z).
Curso de An´alisis matem´atico III/6

7. 2. Considera en R2
la distancia definida por la norma · 1. ¿Qu´e es la bola de centro
(0, 0) y radio 1? ¿Y para la distancia definida por · ∞?
3. Define en R2
una norma cuyas bolas sean elipses.
4. Demuestra que siempre se cumple δ B(a, r) ≤ 2r. ¿Puedes imaginar una distancia
donde el di´ametro de una bola sea menor que el doble del radio? ¿Es posible que eso
pase en un espacio normado?
5. Demuestra que un conjunto es acotado si y s´olo existe una bola que lo contiene.
L´IMITE DE UNA SUCESI´ON
Sean (xk)k una sucesi´on de Rn
, y a ∈ Rn
. Decimos que a es el l´ımite de (xk)k, o que
(xk)k converge hacia a, cuando xk − a tiene l´ımite 0. Equivalentemente, cuando,
para todo > 0, existe k0 tal que, si k ≥ k0, entonces xk − a < . Esta definici´on
es la extensi´on directa de la del curso de An´alisis matem´atico I para sucesiones de
n´umeros reales. Como ya sabemos, no siempre hay l´ımite. Las sucesiones que tienen
l´ımite son las sucesiones convergentes. La expresi´on
a = lim
k→∞
xk
se interpreta igual que para sucesiones en R. Si no hay ambig¨uedad, se puede abreviar
a = limk xk, o incluso lim xk.
Proposici´on. Sea (xk)k una sucesi´on de Rn
. Se cumple:
(i) Si (xk)k tiene l´ımite, es ´unico.
(ii) Si (xk)k tiene l´ımite, todas las sucesiones parciales de (xk)k tienen el mismo
l´ımite.
(iii) Si (xk)k tiene l´ımite, es acotada.
Demostraci´on. Basta repasar la del curso de An´alisis matem´atico I. ♠
Proposici´on. Sea (xk)k una sucesi´on de Rn
. Designamos por xk,j la coordenada
j-´esima de xk. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) lim xk = a.
(ii) limk xk,j = aj, para j = 1, . . . , n.
Demostraci´on. Basta observar que, para x, y ∈ Rn
, se cumple
max
1≤j≤n
xj − yj ≤ x − y ≤
n
j=1
xj − yj . ♠
La condici´on de Cauchy tambi´en se extiende de forma natural a las sucesiones de
Rn
. Decimos que (xk)k cumple la condici´on de Cauchy, o que es una sucesi´on
de Cauchy, cuando, para todo > 0, existe k0 tal que, si k1, k2 ≥ k0, entonces
xk1 − xk2
< .
Proposici´on. Sea (xk)k una sucesi´on de Rn
. Las siguientes condiciones son equiva-
lentes:
(i) (xk)k tiene l´ımite.
(ii) (xk)k cumple la condici´on de Cauchy.
Demostraci´on. Para ver que toda sucesi´on con l´ımite cumple la condici´on de Cauchy,
el argumento es el mismo que para sucesiones de n´umeros reales, usando la desigualdad
xk1 − xk2
≤ xk1
− a + a − xk2
.
Curso de An´alisis matem´atico III/7

8. Rec´ıprocamente, supongamos que (xk)k cumple la condici´on de Cauchy. Por la de-
sigualdad de la demostraci´on de la proposici´on anterior, las sucesiones de coordenadas
(xk,j)k son sucesiones de Cauchy de n´umeros reales, que tienen l´ımite, y por tanto
(xk)k tiene l´ımite. ♠
Proposici´on (teorema de Bolzano-Weierstrass en Rn
). Sea (xk)k una sucesi´on
acotada de Rn
. Existe una sucesi´on parcial de (xk)k que tiene l´ımite.
Demostraci´on. Si (xk)k es acotada, tambi´en son acotadas las sucesiones de coorde-
nadas (xk,j)k, y podemos extraer de cada una parcial convergente, por el teorema de
Bolzano-Weierstrass para sucesiones de n´umeros reales (curso de An´alisis matem´atico
I). Si extraemos estas parciales ordenadamente, de forma que cada una sea una par-
cial de la anterior, obtenemos una sucesi´on (yk)k, parcial de (xk)k, tal que todas las
sucesiones de coordenadas (yk,j)k tienen l´ımite, y por tanto (yk)k tiene l´ımite. ♠
INTERIOR, ADHERENCIA Y FRONTERA
Sean X ⊂ Rn
y a ∈ Rn
. Decimos que a es un punto adherente a X cuando
d(a, X) = 0. El conjunto de puntos adherentes a X se llama adherencia o clausura
de X, y se designa por ¯X. Tal como hemos definido la distancia, todos los puntos son
adherentes a Rn
, y ninguno lo es a ∅. Siempre X ⊂ ¯X, pero puede ser X = ¯X. Es
f´acil encontrar ejemplos de ambas situaciones en R. Cuando ¯X = Rn
, se dice que X
es denso en Rn
Ejemplo. En R, (0, 1] = [0, 1] = (0, 1) = [0, 1].
Proposici´on. Sean X ⊂ Rn
y a ∈ Rn
. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) a es adherente a X.
(ii) Existe una sucesi´on (xk)k, contenida en X, con l´ımite a.
(iii) Para cada > 0 existe x ∈ X tal que x − a < .
(iv) Para cada > 0, B(a, ) ∩ X = ∅.
Demostraci´on. (i) implica (ii): para cada k ∈ N escogemos xk ∈ X con xk−a < 1/k,
y entonces lim xk = a.
(ii) implica (iii): Para cualquier > 0, infinitos t´erminos de la sucesi´on (xk)k cumplen
xk − a < .
(iii) implica (i): Para todo > 0, d(a, X) < , luego d(a, X) = 0.
Finalmente, (iii) y (iv) son trivialmente equivalentes. ♠
Proposici´on. Sean X, Y ⊂ Rn
, y a ∈ Rn
. Se cumple:
(i) Si X ⊂ Y , entonces ¯X ⊂ ¯Y .
(ii) X ∪ Y = ¯X ∪ ¯Y .
(iii) X ∩ Y ⊂ ¯X ∩ ¯Y .
(iv) d(a, X) = d(a, ¯X).
(v) ¯¯X = ¯X.
Demostraci´on. (i) Resulta directamente de la definici´on, ya que, si X ⊂ Y , entonces
d(a, X) ≥ d(a, Y ) .
(ii) Por (i), ¯X ⊂ X ∪ Y y ¯Y ⊂ X ∪ Y , luego ¯X ∪ ¯Y ⊂ X ∪ Y . Rec´ıprocamente, si a
es l´ımite de una sucesi´on contenida en X ∪ Y , hay infinitos t´erminos en uno de los
dos conjuntos, con lo cual a ∈ ¯X o a ∈ ¯Y , y por tanto a ∈ ¯X ∪ ¯Y .
(iii) Por (i), X ∩ Y ⊂ ¯X, y X ∩ Y ⊂ ¯Y , luego X ∩ Y ⊂ ¯X ∩ ¯Y .
Curso de An´alisis matem´atico III/8

9. (iv) Como X ⊂ ¯X, d(a, ¯X) ≤ d(a, X). Si no fuesen iguales, existir´ıa x0 ∈ ¯X tal que
x0 − a < d(a, X). Pero entonces tendr´ıamos, para todo x ∈ X,
x − x0 ≥ x − a − x0 − a ≥ d(a, X) − x0 − a ,
y por tanto
d(x0, X) ≥ d(a, X) − x0 − a > 0,
contradictorio, porque x0 es adherente a X.
(v) Resulta directamente de (i). ♠
Ejemplo. Si X = [−1, 0) e Y = (0, 1], ¯X ∩ ¯Y = {0}, pero X ∩ Y = ∅.
Sean X ⊂ Rn
y a ∈ Rn
. Decimos que a es un punto de acumulaci´on de X cuando
d a, X {a} = 0. Como para los puntos adherentes, tenemos varias definiciones
equivalentes (v. la proposici´on que sigue).
Proposici´on. Sean X ⊂ Rn
y a ∈ Rn
. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) a es un punto de acumulaci´on de X.
(ii) Existe una sucesi´on (xk)k, contenida en X {a}, con l´ımite a.
(iii) Para cada > 0 existe x ∈ X tal que 0 < x − a < .
(iv) Para cada > 0, B(a, ) ∩ X {a} = ∅.
Demostraci´on. Igual que para los puntos adherentes. ♠
Un punto adherente que no es de acumulaci´on pertenece necesariamente al conjunto,
y se llama punto aislado. De la proposici´on anterior se deduce que a es un punto
aislado de X si y s´olo si existe r > 0 tal que B(a, r) ∩ X = {a}.
Decimos que a es un punto interior a X cuando existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ X. El
conjunto de puntos interiores a X se llama interior de X, y se designa por X◦
. Por
definici´on, X◦
⊂ X, pero la igualdad no es siempre cierta (v. el ejemplo que sigue).
Por convenio, el interior del conjunto vac´ıo es vac´ıo.
Cuando a es interior a un conjunto, decimos que ´este es un entorno de a. En An´alisis
matem´atico, usamos con frecuencia expresiones del tipo “. . . se cumple en un entorno
de a”, sin m´as detalles, cuando no nos interesa precisar cu´al es ese conjunto. Decir que
algo se cumple “en un entorno de a”, equivale a decir que se cumple en B(a, r), para
un cierto r > 0 que no precisamos. Cuando una funci´on tiene una cierta propiedad
en un entorno de cada uno de los puntos de un conjunto A (aunque pueda no tenerla
en A), decimos a veces que tiene esa propiedad localmente en A. Esta manera de
expresarse confunde al principio, pero resulta pr´actica cuando uno se habit´ua.
Ejemplo. Si X = (0, 1], X◦
= (0, 1).
Proposici´on. Sea X ⊂ Rn
. Se cumple:
(i) Rn
X◦
= Rn
X.
(ii) Rn
¯X = Rn
X
◦
.
Demostraci´on. (i) a /∈ X◦
equivale a que no exista > 0 tal que B(a, ) ⊂ X, o sea a
B(a, ) ∩ (Rn
X) = ∅ para todo , y por tanto a que a sea adherente a Rn
X.
(ii) Resulta directamente de (i), cambiando X por su complementario. ♠
Proposici´on. Sean X, Y ⊂ Rn
. Se cumple:
(i) Si X ⊂ Y , entonces X◦
⊂ Y ◦
.
(ii) X◦
∪ Y ◦
⊂ (X ∪ Y )◦
.
Curso de An´alisis matem´atico III/9

10. (iii) (X ∩ Y )◦
= X◦
∩ Y ◦
.
(iv) X◦ ◦
= X◦
.
Demostraci´on. Estas propiedades se deducen directamente de las de la adherencia,
pasando al complementario. ♠
Ejemplo. Si X = [−1, 0] e Y = [0, 1], 0 es interior a X ∪ Y , pero no lo es a X ni a
Y . Por tanto, en este caso, (X ∪ Y )◦
= X◦
∪ Y ◦
.
Sean X ⊂ Rn
y a ∈ Rn
. Decimos que a es un punto frontera de X cuando a es
adherente a X y a Rn
X. El conjunto de puntos frontera de X se llama frontera
de X, y se designa por Fr(X) (tambi´en ∂X, o bX). Por definici´on, la frontera de
un conjunto coincide con la de su complementario. De las propiedades del interior
y la adherencia que hemos visto antes, resulta que un punto frontera es un punto
adherente que no es interior, es decir,
Fr(X) = ¯X X◦
.
Ejemplo. Si X = (0, 1], Fr(X) = {0, 1}.
Ejercicios
1. Demuestra:
(a) La adherencia de una bola (abierta o cerrada) es la correspondiente bola ce-
rrada.
(b) La adherencia de una bola (abierta o cerrada) es la correspondiente bola cer-
rada.
(c) La frontera de una bola (abierta o cerrada) es la correspondiente esfera.
2. Halla la adherencia y el interior de A = (x, y) ∈ R2
: 0 ≤ x < 1, xy < 1 .
3. Sea Q el subconjunto de R formado por los n´umeros racionales. Repasa lo que
sabes sobre R y Q hasta entender que Q y R Q son ambos densos en R. Deduce
de ah´ı que el interior de Q es vac´ıo y la frontera es R. Este ejemplo muestra que el
interior, la adherencia y la frontera, que son obvios para conjuntos sencillos, como las
bolas, pueden no serlo para conjuntos m´as complicados.
4. Sea Qn
el subconjunto de Rn
formado por los puntos de coordenadas racionales.
Demuestra que Qn
y Rn
Qn
son ambos densos en Rn
.
5. ¿Cu´ales son los puntos de acumulaci´on del conjunto de R2
X =
1
n
,
1
m
: n, m ∈ N ?
6. Demuestra que la adherencia de un conjunto acotado es un conjunto acotado.
CONJUNTOS ABIERTOS Y CERRADOS
Sea X ⊂ Rn
. Se dice que X es abierto cuando X◦
= X, y que X es cerrado cuando
¯X = X. Como el interior de X y la adherencia de Rn
X son complementarios, X
es abierto si y s´olo si Rn
X es cerrado. Rn
y ∅ son abiertos y cerrados.
Proposici´on. Los ´unicos subconjuntos abiertos y cerrados de Rn
son Rn
y ∅.
Demostraci´on. Supongamos que X ⊂ Rn
es abierto y cerrado, y X = Rn
, ∅. Escoge-
mos a ∈ X y b ∈ Rn
X, y definimos t0 = sup t ∈ [0, 1] : a+t(b−a) ∈ X . Como t0
Curso de An´alisis matem´atico III/10

11. es el supremo de este conjunto, es el l´ımite de una sucesi´on (tk)k contenida en ´el, con
tk ≤ t0. Pero entonces x0 = a + t0(b − a) = lim(a + tk(b − a)), y, por ser X cerrado,
x0 ∈ X, y por consiguiente t0 < 1.
Ahora bien, como X es abierto, hay una bola B(x0, r) contenida en X, y, escogiendo
t < 1 de forma que
t0 < t < t0 +
r
b − a
,
resulta a + t(b − a) − x0 = (t − t0) b − a < r, luego a + t(b − a) ∈ X, lo que
contradice que t0 sea el supremo. ♠
Proposici´on. Se cumple:
(i) La uni´on de una familia (Ai)i∈I de subconjuntos abiertos de Rn
es un conjunto
abierto.
(ii) La intersecci´on de una familia (Ci)i∈I de subconjuntos cerrados de Rn
es un
conjunto cerrado.
Demostraci´on. Como los conjuntos cerrados son los complementarios de los conjuntos
abiertos, basta con probar (i). Para ello hay que ver que todo punto a del conjunto
uni´on A es interior. Pero si a ∈ A, existe i0 ∈ I tal que a ∈ Ai0
, y, como este conjunto
es abierto, a es interior a Ai0 , y por tanto a A. ♠
Proposici´on. Se cumple:
(i) La uni´on de una familia finita C1, . . . , Cm de subconjuntos cerrados de Rn
es
un conjunto cerrado.
(ii) La intersecci´on de una familia finita A1, . . . , Am de subconjuntos abiertos de
Rn
es un conjunto abierto.
Demostraci´on. Como antes, s´olo probamos (i). Hay que ver que si a es un punto
adherente a la la uni´on C de estos conjuntos, entonces a ∈ C. Si a es adherente a
C, es el l´ımite de una sucesi´on contenida en C. Pero como C es una uni´on finita, esa
sucesi´on debe tener infinitos t´erminos en alguno de los conjuntos Ci. Como ´este es
cerrado, contiene a a, y por tanto a ∈ C. ♠
Ejemplo. Sea Am = − 1/m, 1/m , para m = 1, 2, 3, . . .. La intersecci´on de estos
conjuntos es {0}, que no es abierto. Esto prueba que, en (ii), el que la familia de
conjuntos abiertos sea finita no es una hip´otesis superflua. Un contraejemplo para (i)
se obtiene haciendo Cm = 1/m, 1 − (1/m) .
Sea X un conjunto cualquiera. Una topolog´ıa en X es una familia T de subcon-
juntos de X que contiene a X y a ∅, y es cerrada por uni´on y por intersecci´on
finita. Un espacio topol´ogico es un conjunto donde se ha definido una topolog´ıa.
Las proposiciones de esta secci´on muestran que los conjuntos abiertos forman una
topolog´ıa en Rn
, y, repasando lo que hemos hecho, puede se verificar sin dificultad
que se puede definir una topolog´ıa en cualquier espacio m´etrico siguiendo el mismo
proceso. Hay topolog´ıas que no se pueden definir con una distancia. Aqu´ı nos limita-
mos a la topolog´ıa definida en Rn
por la distancia eucl´ıdea. Los espacios topol´ogicos
se estudian en el curso de Topolog´ıa.
Ejercicios
1. Sea X ⊂ Rn
. Demuestra que:
(a) Fr(X) es cerrado.
(b) X es cerrado si y s´olo si Fr(X) ⊂ X.
(c) X es abierto si y s´olo si X ∩ Fr(X) = ∅.
2. Demuestra que:
Curso de An´alisis matem´atico III/11

12. (a) Si C ⊂ Rn
es cerrado, existe una sucesi´on decreciente de conjuntos abiertos
(Ak)k cuya intersecci´on es C.
Indicaci´on. Prueba Ak = x ∈ Rn
: d(x, C) < 1/k .
(b) Si A ⊂ Rn
es abierto y no vac´ıo, existe una sucesi´on creciente de conjuntos
cerrados (Ck)k cuya uni´on es A.
CONJUNTOS COMPACTOS
Sea C ⊂ Rn
. Decimos que C es compacto cuando toda sucesi´on contenida en C
tiene una parcial convergente hacia un punto de C.
Ejemplo. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, toda sucesi´on acotada de n´umeros
reales tiene una parcial convergente. Por consiguiente, un intervalo cerrado [a, b] de
R siempre es compacto. Sin embargo, un intervalo no cerrado no es nunca compacto.
Por ejemplo, si a < b, [a, b) no es compacto, porque la sucesi´on xk = b − (1/k) est´a
contenida en [a, b) (suprimiendo los primeros t´erminos si hace falta), pero no tiene
ninguna parcial que converja hacia un punto de [a, b). Se pueden obtener ejemplos
parecidos en Rn
, usando el teorema de Bolzano-Weierstrass para Rn
.
Proposici´on. Sea C ⊂ Rn
. C es compacto si y s´olo si es cerrado y acotado.
Demostraci´on. Supongamos que C es cerrado y acotado, y sea (xk)k una sucesi´on
contenida en C. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, hay una sucesi´on parcial que
tiene l´ımite, y por ser C cerrado, el l´ımite es un punto de C.
Rec´ıprocamente, supongamos que C es compacto. Para ver que es cerrado, consi-
deramos una sucesi´on (xk)k, contenida en C, y con l´ımite x ∈ Rn
. Hay una parcial
de (xk)k que converge hacia un punto de C, quea s´olo puede ser x, luego x ∈ C.
Para ver que C es acotado, razonamos por reducci´on al absurdo. Si no lo fuera,
podr´ıamos construir por recurrencia una sucesi´on (xk)k contenida en C, con xk1
−
xk2 > 1 para k1 = k2, que no tendr´ıa ninguna parcial que cumpliera la condici´on
de Cauchy. Para construir esta sucesi´on, empezamos con x1 arbitrario, y si C no
es acotado, C ⊂ B(x1, 1), y existe x2 ∈ C B(x1, 1). Ahora escogemos x3 ∈ C
B(x1, 1) ∪ B(x2, 1) , y as´ı sucesivamente. ♠
Proposici´on. Sea K ⊂ R compacto. Entonces existen max K y min K.
Demostraci´on. Vamos a ver que K tiene m´aximo. Como K es acotado, existe b =
sup K, y s´olo hay que ver b ∈ K. De la definici´on de supremo del curso de An´alisis
matem´atico I se deduce que hay una sucesi´on contenida en K con l´ımite b. Pero como
K es cerrado, b ∈ K. Para ver que hay m´ınimo se razona de forma parecida. ♠
En el curso de Topolog´ıa, donde se generalizan los conceptos de conjunto abierto,
cerrado, frontera, etc., los conjuntos compactos no se introducen como se ha hecho
aqu´ı, sino mediante recubrimientos abiertos. Las proposiciones que siguen muestran la
equivalencia en Rn
de la definici´on de compacto dada aqu´ı y la del curso de Topolog´ıa.
Los argumentos que usamos son v´alidos para cualquier espacio m´etrico.
Proposici´on. Sean K ⊂ Rn
compacto, y (Ai)i∈I una familia de subconjuntos abier-
tos de Rn
, de modo que la uni´on de esta familia contiene a K. Existe δ > 0 tal que
para todo x ∈ K existe i ∈ I que cumple B(x, δ) ⊂ Ai.
Demostraci´on. Razonamos por reducci´on al absurdo. Si no fuese cierto, habr´ıa una
sucesi´on (xk)k en K tal que B(xk, 1/k) ⊂ Ai para todo k ∈ N y todo i ∈ I. Susti-
tuyendo esta sucesi´on por una parcial si es preciso, podemos suponer que tiene l´ımite,
Curso de An´alisis matem´atico III/12

13. que ser´a un punto a ∈ K. Como los Ai son abiertos y su uni´on contiene K, existen
i ∈ I y r > 0 tales que B(a, r) ⊂ Ai. Ahora bien, como a = lim xk, existe k0 tal
que xk − a < r/2 para k ≥ k0, lo que nos lleva a una contradicci´on, ya que, por la
desigualdad triangular,
B(xk, r/2) ⊂ B(a, r) ⊂ Ai. ♠
Una familia de conjuntos abiertos cuya uni´on contiene un conjunto se llama re-
cubrimiento abierto de ese conjunto. El n´umero δ cuya existencia asegura esta
proposici´on se llama n´umero de Lebesgue del recubrimiento (Ai)i∈I. Si (Ai)i∈I
es un recubrimiento de un conjunto X y J ⊂ I es tal que (Ai)i∈J tambi´en es un
recubrimiento de X, decimos que es un subrecubrimiento.
Proposici´on. Sea K ⊂ R. Son equivalentes:
(i) K es compacto.
(ii) Si (Ai)i∈I es un recubrimiento abierto de K, existe un subrecubrimiento finito.
(iii) Si (Ci)i∈I es una familia de conjuntos cerrados, tal que
F ∩
i∈I
Ci = ∅,
existe una subfamilia finita (Ci1
, . . . , Cim
, tal que
F ∩


m
j=1
Cij

 = ∅.
Demostraci´on. Las condiciones (ii) e (iii) son equivalentes, pasando al complemen-
tario. Usando la existencia del n´umero de Lebesgue, para ver que (i) implica (ii)
basta probar que, para cada δ > 0, K podemos recubrir con una familia finita de
bolas de radio δ. Para probar esto, razonamos por reduci´on al absurdo. Si fuese
falso, podr´ıamos construir por recurrencia una sucesi´on (xk)k contenida en K, tal que
xk1
− xk2 para k1 = k2, y esta sucesi´on no tiene ninguna parcial convergente, lo
que contradice la hip´otesis de que K es compacto.
Veamos ahora que (iii) implica (i). Sea (xk)k una sucesi´on contenida en K, y hemos
de probar que tiene una parcial convergente. Para cada i ∈ N, llamamos Ci a la
adherencia de xj : j ≥ i . Tenemos as´ı una sucesi´on decreciente de conjuntos
cerrados, y Ci ∩ K = ∅ para todo i. Si (iii) es cierta,
∞
i=1
Ci ∩ K = ∅,
y si x pertenece a esta intersecci´on, para cada i se cumple B(x, 1/i)∩ xj : j ≥ i = ∅,
de donde se deduce f´acilmente la existencia de una parcial convergente hacia x. ♠
Ejercicios
1. Demuestra que
K = 0 ∪
1
n
: n ∈ N
es un subconjunto compacto de R.
2. Da un ejemplo de un recubrimiento abierto de (0, 1) para el que no haya un
subrecubrimiento finito.
Curso de An´alisis matem´atico III/13

14. 3. Demuestra que la uni´on de una familia finita de conjuntos compactos es un conjunto
compacto.
4. Demuestra que la frontera de un conjunto compacto es un conjunto compacto.
PROBLEMAS
1.1. Halla los puntos de acumulaci´on de los conjuntos
A = x ∈ R2
: 0 < x1 ≤ 1, x2 = sin(1/x1) ,
B = x ∈ R2
: 0 < x1 ≤ 1, x2 = x1 sin(1/x1) .
1.2. ¿Cu´ales son los puntos de acumulaci´on del conjunto
X =
1
n
+
1
m
: n, m ∈ N ?
1.3. Sean A ⊂ B ⊂ Rn
.
(a) Demuestra (B A)◦
= B◦
¯A.
(b) Demuestra B A ⊂ ¯B A◦
.
(c) Da un ejemplo donde B A = ¯B A◦
.
1.4. Sea X ⊂ Rn
. Demuestra que el di´ametro de X coincide con el de ¯X.
1.5. Sea G ⊂ Rn
. Demuestra:
(a) G es denso si y s´olo si G ∩ A = ∅ para todo conjunto abierto no vac´ıo A ⊂ Rn
.
(b) Si G es denso y A es abierto A ⊂ A ∩ G.
1.6. Demuestra que, si A ⊂ Rn
es abierto, la frontera de A tiene interior vac´ıo.
1.7. Demuestra que:
(a) Si X ⊂ Rn
y Y ⊂ Rm
son abiertos, X × Y es un subconjunto abierto de
Rn+m
.
(b) Si X ⊂ Rn
y Y ⊂ Rm
son cerrados, X × Y es un subconjunto cerrado de
Rn+m
.
1.8. Demuestra que, si K ⊂ Rn
y H ⊂ Rm
son compactos, K ×H es un subconjunto
compacto de Rn+m
.
1.9. Sean K ⊂ Rn
compacto y A ⊂ Rn
abierto, con K ⊂ A. Demostrar que existe
r > 0 tal que B(x, r) ⊂ A para todo x ∈ K.
1.10. Sea G ⊂ Rn
. Demuestra:
(a) Si G es abierto, no existen x, y ∈ G tales que x − y = δ(G).
(b) Si G es compacto, existen x, y ∈ G tales que x − y = δ(G).
Curso de An´alisis matem´atico III/14

15. 2. CONTINUIDAD Y L´IMITES
L´IMITE DE UNA FUNCI´ON
Sean D ⊂ X ⊂ Rn
, a ∈ Rn
, y f : X → Rm
, y supongamos que a es un punto
de acumulaci´on de D. Decimos que b ∈ Rm
es el l´ımite de f en a, relativo
a D, cuando, para cualquier sucesi´on (xk)k contenida en D {a}, con l´ımite a, la
sucesi´on imagen f(xk) k
tiene l´ımite b. Puede representarse esta situaci´on mediante
la f´ormula
b = limx→a
x∈D
f(x).
Cuando D = X, omitimos “x ∈ D”, y decimos que b es el l´ımite de f en a. As´ı
es en la mayor´ıa de los casos, aunque a veces usamos subconjuntos especiales de X,
como en los ejemplos de m´as abajo.
Observa que no es necesario que f est´e definida en a. En cualquier caso, el valor f(a)
no influye en el l´ımite. Observa tambi´en que, si podemos hallar subconjuntos D1, D2
de X de modo que
limx→a
x∈D1
f(x) = limx→a
x∈D2
f(x),
entonces el l´ımite de f en a no existe (v. ejemplos a continuaci´on)
Ejemplo. La definici´on que hemos dado generaliza la de los l´ımites laterales del curso
de An´alisis matem´atico I. Por ejemplo, si f(x) = x/|x|, escogemos
D+ = x ∈ R : x > 0 , D− = x ∈ R : x < 0 ,
y tenemos
lim
x→0
x∈D+
f(x) = lim
x→0+
f(x) = 1, lim
x→0
x∈D−
f(x) = lim
x→0−
f(x) = −1.
Ejemplo. Sea f : R2
{(0, 0)} → R definida por
f(x, y) =
xy
x2 + y2
.
Para α ∈ R, sea Dα = (x, y) ∈ R2
: y = αx . Entonces el l´ımite relativo a Dα,
lim
(x,y)→(0,0)
x∈Dα
f(x) = lim
x→0
f x, αx =
α
1 + α2
,
depende de α, y por tanto f no tiene l´ımite en (0, 0).
Ejemplo. Sea f : R2
{(0, 0)} → R definida por
f(x, y) =
xy2
x2 + y2
.
Como
y2
x2 + y2
≤ 1,
resulta |f(x, y)| ≤ |x|, y por tanto
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
Curso de An´alisis matem´atico III/15

16. Proposici´on. Sean D ⊂ X ⊂ Rn
, a ∈ Rn
, b ∈ Rm
, y f : X → Rm
, y supongamos
que a es un punto de acumulaci´on de D. Son equivalentes:
(i) b es el l´ımite de f en a, relativo a D.
(ii) Para cada > 0 existe δ > 0 tal que, si x ∈ D {a} y x − a < δ, entonces
f(x) − b < (definici´on − δ de l´ımite).
(iii) Para cada > 0 existe δ > 0 tal que f B(a, δ) ∩ (D {a} ⊂ B(b, ).
Demostraci´on. Basta repasar la del curso de An´alisis matem´atico I. ♠
Ejercicios
1. En R, una funci´on tiene l´ımite si y s´olo hay l´ımite por la derecha y por la izquierda,
y coinciden. Generaliza esta regla a funciones definidas en un subconjunto de Rn
: si
X = D1 ∪ D2, y a es un punto de acumulaci´on de D1 y de D2, existe el l´ımite de
f : X → Rm
en a si y s´olo si existen los l´ımites relativos a D1 y D2, y coinciden.
2. Sean X ⊂ Rn
, f : X → Rm
, y a ∈ Rn
un punto de acumulaci´on de X, tales que,
para toda sucesi´on (xk)k contenida en D, con l´ımite a, la sucesi´on imagen f(xk) k
tiene l´ımite. Demuestra que f tiene l´ımite en a.
3. Usa la f´ormula
lim
t→0
1 − cos t
t2/2
= 1
para calcular el l´ımite de la funci´on f : (x, y) ∈ R2
: xy > 0 → R definida por
f(x, y) =
1 − cos
√
xy
y
en un punto de la frontera.
4. Demuestra
lim
(x,y)→(0,0)
xy sin
1
x2 + y2
= 0.
5. Definimos f : R2
→ R por f(x, y) = x si y ≥ 0, y por f(x, y)) = −x si y < 0.
Demuestra que f no tiene l´ımite en ning´un punto del eje x, salvo en el origen.
6. Demuestra
lim
(x,y)→(0,0)
x5
y2
+ x3
yz3
(x2 + y2 + z2)3
= 0.
7. Sea f : (x, y) ∈ R2
: x = y → R definida por
f(x, y) =
xy
x − y
.
Usa una sucesi´on (xk, yk) k
con l´ımite (0, 0), para la que (xk − yk)k tienda a 0 m´as
r´apido que (xkyk)k, para ver que f no tiene l´ımite en (0, 0).
FUNCIONES CONTINUAS
Sean X ⊂ Rn
y f : X → Rm
. Decimos que f es una funci´on continua en un
punto a ∈ X cuando
f(a) = lim
x→a
f(x).
Una funci´on continua en un conjunto es una funci´on que es continua en todos los
puntos de ese conjunto. Cuando es continua en todos los puntos donde est´a definida,
decimos que es continua, a secas. Si f : X → Rm
es continua, entonces la restricci´on
f|Y es continua para todo Y ⊂ X, pero hay que ir con cuidado al aplicar esta idea en
sentido contrario (v. el segundo de los ejemplos que siguen).
Curso de An´alisis matem´atico III/16

17. Ejemplo. La funci´on f : R2
→ R definida por
f(x, y) =
xy
|x| + |y|
,
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0, es continua en (0, 0). Se puede deducir que el l´ımite
en (0, 0) es 0 de la desigualdad
|f(x, y)| =
|xy|
|x| + |y|
≤ |x|.
Ejemplo. Sean f : R2
→ R definida por
f(x, y) =
x2
− y2
x2 + y2
,
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0, y X = {(x, y) ∈ R2
: y = x}. La restricci´on f|X
es constante igual a 0, y por tanto continua, pero f no es continua, porque no tiene
l´ımite en (0, 0). Para verlo basta considerar Dα = (x, y) ∈ R2
: y = αx y observar
lim
(x,y)→(0,0)
x∈Dα
f(x) = lim
x→0
f x, αx =
1 − α2
1 + α2
.
Sea f : X → Rm
. Para cada j ∈ {1, . . . , m} podemos considerar la funci´on compo-
nente fj : X → R, que asigna a cada x ∈ X la coordenada j-´esima de f(x). Podemos
expresar f en funci´on de sus componentes, f = f1, . . . , fm . La continuidad (y la
diferenciabilidad, v. Cap´ıtulo 3) de f es equivalente a la de sus funciones componentes.
Proposici´on. Sean X ⊂ Rn
, a ∈ X, y f : X → Rm
. Son equivalentes:
(i) f es continua en a.
(ii) Las funciones componentes f1, . . . , fm son continuas. en a.
Demostraci´on. Supongamos lim xk = a. Entonces lim f(xk) = f(a) si y s´olo si
lim fj(xk) = fj(a) para 1 ≤ j ≤ m. ♠
Proposici´on. Sean X ⊂ Rn
, f : X → Rm
con l´ımite en un punto a ∈ X, g : Y → Rp
continua en f(a), con f(X) ⊂ Y ⊂ Rm
. Entonces g ◦ f tiene l´ımite en a, y se cumple
lim
x→a
g f(x) = g lim
x→a
f(x) .
Demostraci´on. Si (xk)k es una sucesi´on contenida en X, con l´ımite a, (f(xk))k con-
verge hacia el l´ımite de f en a, y al aplicar g se obtiene la f´ormula deseada. ♠
Resulta de esta proposici´on que podemos operar con los l´ımites de sumas, productos,
cocientes, etc., como en el curso de An´alisis matem´atico I en el caso de una variable.
Resulta tambi´en que, si f y g son continuas, g ◦ f es continua, y, por tanto, que
cualquier operaci´on continua con funciones continuas da una funci´on continua. Por
descontado, hay que tener cuidado con los cocientes cuando el denominador se anula.
Proposici´on. Sean D ⊂ X ⊂ Rn
, D denso en X y f, g : X → Rm
continuas, de
modo que f|D = g|D. Entonces f = g.
Demostraci´on. Sea x ∈ X. Existe una sucesi´on (xk)k contenida en D, con lim xk = x.
Como f es continua,
f(x) = lim f(xk) = lim g(xk) = g(x). ♠
NOTA. Si m = 1, se puede reemplazar la igualdad por ≤ o ≥ en la proposici´on
anterior, y la demostraci´on es muy parecida.
Curso de An´alisis matem´atico III/17

18. Proposici´on. Sean X ⊂ Rn
, y f : X → Rm
. Son equivalentes:
(i) f es continua.
(ii) Para todo G ⊂ X, f X ∩ ¯G ⊂ f(G).
Demostraci´on. (i) implica (ii): Si x ∈ ¯G, existe una sucesi´on (xk)k contenida en G,
con l´ımite x. Como f es continua, f(x) = lim f(xk), y por tanto f(x) ∈ f(G).
(ii) implica (i): Si f no es continua en un punto a, la condici´on -δ no es v´alida, y
existe > 0 para el que se puede construir por recurrencia (tomando δ = 1/k) una
sucesi´on (xk)k con l´ımite a, tal que f(xk) − f(a) ≥ . Si G es el recorrido de esta
sucesi´on, a ∈ G, pero f(a) /∈ f(G), ya que d f(a), f(G) ≥ . ♠
Proposici´on. Sean X ⊂ Rn
cerrado y f : X → Rm
. Son equivalentes:
(i) f es continua.
(ii) Para todo C ⊂ Rm
cerrado, f−1
(C) es cerrado.
Demostraci´on. (i) implica (ii): Partimos de f f−1
(C) ⊂ C. Usando la proposici´on
anterior, con G = f−1
(C), resulta
f f−1(C) ⊂ f f−1(C) ⊂ ¯C = C,
y por tanto f−1(C) ⊂ f−1
(C). La inclusi´on es sentido opuesto siempre es cierta.
(ii) implica (i): Partimos de G ⊂ f−1
f(G) . Como f(G) es cerrado, f−1
f(G) es
cerrado, y entonces
¯G ⊂ f−1 f(G) ⊂ f−1 f(G) = f−1
f(G) ,
luego f ¯G ⊂ f(G). ♠
Se deduce de esta proposici´on que, si f y g son funciones continuas definidas en un
conjunto cerrado X, el conjunto x ∈ X : f(x) = g(x) es cerrado. Para funciones a
valores en R, el conjunto x ∈ X : f(x) ≥ g(x) es cerrado. Esto resulta pr´actico para
ver que un conjunto definido por igualdades o desigualdades no estrictas es cerrado.
Ejemplo. El conjunto K = (x, y) ∈ R2
: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1 es compacto, ya
que es acotado (di´ametro
√
2) y cerrado, por ser la intersecci´on de los tres semiplanos
cerrados definidos por las desigualdades de x ≥ 0, y ≥ 0, y x + y ≤ 1.
Proposici´on. Sean X ⊂ Rn
abierto y f : X → Rm
. Son equivalentes:
(i) f es continua.
(ii) Para todo A ⊂ Rm
abierto, f−1
(A) es abierto.
Demostraci´on. (i) implica (ii): Sea x ∈ f−1
(A). Entonces f(x) ∈ A, y, si A es abierto,
existe > 0 tal que B(f(x), ). Por la definici´on − δ del l´ımite, existe δ > 0 tal que
B(x, δ) ⊂ X y f B(x, δ) ⊂ B f(x), ⊂ A, y en definitiva B(x, δ) ⊂ f−1
(A).
(ii) implica (i): B(a, ) es abierto, luego f−1
B(a, ) es abierto, y existe δ > 0 de
modo que B(a, δ) ⊂ f−1
B(a, ) , o sea f B(a, δ) ⊂ B f(a), . ♠
Se deduce de esta proposici´on que, si f y g son dos funciones reales continuas definidas
en un conjunto abierto X, el conjunto x ∈ X : f(x) < g(x) es abierto.
Ejemplo. El conjunto A = (x, y) ∈ R2
: x > 0, y > 0, x + y < 1 es abierto.
Curso de An´alisis matem´atico III/18

19. Sean X ⊂ Rn
, Y ⊂ Rm
, y f : X → Y biyectiva, de modo que f y f−1
sean
continuas. Decimos entonces que f es un homeomorfismo de X en Y . Si existe un
homeomorfismo entre dos conjuntos, decimos que son homeomorfos.
Ejemplo. Dos intervalos abiertos (cerrados) de la recta real son homeomorfos. De he-
cho, los homeomorfismos aparecen frecuentemente en el curso de An´alisis matem´atico
I, ya que hay un teorema que asegura que una aplicaci´on biyectiva y mon´otona es
continua, o sea que las funciones (estrictamente) crecientes o decrecientes son home-
omorfismos.
Ejemplo. f(x, y) = (ax, bx) define un homeomorfismo entre el disco unidad abierto
de R2
y el interior de la elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Ejercicios
1. Demuestra que toda aplicaci´on lineal T : Rn
→ Rm
y toda forma cuadr´atica
Q : Rn
× Rn
→ R son continuas.
2. Se define f : R2
→ R por
f(x, y) =
x2
+ y2
x − y
,
para x = y, y f(x, x) = 0. ¿En qu´e puntos es continua?
3. Demuestra que cualquier intervalo abierto de R es homeomorfo a R.
4. Demuestra que cualquier bola abierta de Rn
es homeomorfa a Rn
.
FUNCIONES CONTINUAS EN CONJUNTOS COMPACTOS
Proposici´on. Si C ⊂ Rn
compacto, y f : C → Rm
es continua, f(C) es compacto.
Demostraci´on. Sea (yk)k una sucesi´on contenida en f(C). Para cada k existe xk ∈ C
con yk = f(xk). Como C es compacto, (xk)k tiene una parcial con l´ımite en C, y, por
ser f continua, la imagen por f de esta sucesi´on es una parcial de (yk)k con l´ımite en
f(C). ♠
Proposici´on (teorema de Weierstrass en Rn
). Si C ⊂ Rn
es compacto y f :
C → R es continua, f tiene m´aximo y m´ınimo.
Demostraci´on. Por la proposici´on precedente, f(C) es un subconjunto compacto de
R, y, por tanto tiene m´aximo y m´ınimo (v. Cap´ıtulo 1). ♠
Sean X ⊂ Rn
y f : X → Rm
. Decimos que f es uniformemente continua cuando
para cada > 0 existe δ > 0 tal que, si x1, x2 ∈ X, y x1 − x2 < δ, entonces
f(x1) − f(x2) < .
Proposici´on (teorema de Heine en Rn
). Si C ⊂ Rn
compacto, y f : C → Rm
es continua, f es uniformemente continua.
Demostraci´on. Si f no es uniformemente continua, existen > 0 y una sucesi´on de
pares (xk, yk) tales que
xk − yk <
1
k
, f(xk) − f(yk) ≥ .
Sustituyendo, si es preciso, esta sucesi´on por una parcial, podemos suponer que (xk)k y
(yk)k tienen l´ımite, que debe ser el mismo para ambas. Si a es este l´ımite, lim f(xk) =
lim f(yk) = f(a) por la continuidad de f, lo que nos lleva a una contradicci´on. ♠
Curso de An´alisis matem´atico III/19

20. Ejercicios
1. Sea T : Rn
→ Rm
es lineal, demuestra que
T = max
u =1
Tu .
2. Sean K ⊂ Rn
compacto, y f : K → Rm
inyectiva y continua. Demuestra que f
define un homeomorfismo entre K y f(K).
3. La funci´on x → 1/x es el ejemplo cl´asico de funci´on continua que no es uni-
formemente continua. Despu´es de repasar este ejemplo, demuestra que la funci´on
f : R × (R {(0, 0)}) → R definida por f(x, y) = x/y no es uniformemente continua.
4. Sea A ⊂ Rn
. Demuestra la f´ormula
d(x, A − d(y, A) ≤ x − y ,
y, a partir de ella, que la funci´on ϕ : Rn
→ R definida por ϕ(x) = d(x, A) es
uniformemente continua.
5. Demuestra que f(x) = x2
es uniformemente continua en cualquier intervalo ce-
rrado, pero no en R.
6. Demuestra que una funci´on derivable con derivada acotada es uniformemente
continua.
PROBLEMAS
2.1. Demuestra que
lim
(x,y)→(0,0)
x3
x2 − y2
no existe.
2.2. Demuestra que
lim
(x,y)→(0,0)
sin(xy)
x2 + y2
no existe.
2.3. Demuestra que la funci´on f definida por f(x) = x 1/ x 2 x, si x = 0, y
f(0) = 0, define un homeomorfismo del hipercubo C = x ∈ Rn
: x 1 ≤ 1 en la
bola unidad B = x ∈ Rn
: x ≤ 1 .
Indicaci´on. Para ver que f y f−1
son continuas en 0, usa la desigualdad
1 ≤
x 1
x 2
≤ n(n − 1).
2.4. Sean ϕ : R → R derivable en 0, y f : R2
→ R la funci´on definida por
f(x, y) =
x ϕ(y)
x2 + y2
,
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0. Demuestra que f es continua en (0, 0) si y s´olo si
ϕ(0) = ϕ (0) = 0.
Curso de An´alisis matem´atico III/20

21. 2.5. ¿En qu´e puntos es continua la funci´on f : R2
→ R definida por
f(x, y) =
x3
− y5
x + y
,
si x + y = 0, y f(x, y) = 0 si x + y = 0?
2.6. Sea f : R2
→ R definida por
f(x, y) =
y
x
sin(x2
+ y2
),
si x = 0, y f(0, y) = 0. ¿En qu´e puntos es continua?
2.7. Definimos ϕ : R → R por ϕ(t) = 1 si t es racional y ϕ(t) = 0 en caso contrario,
y f : R2
→ R por f(x, y) = x ϕ(xy). ¿En qu´e puntos es continua f?
2.8. Sean f : R → R y G = (x, y) ∈ R2
: y = f(x) el grafo de f.
(a) Demuestra que, si f es continua, G es cerrado en R2
.
(b) Demuestra que, si f es acotada y G es cerrado, entonces f es continua.
Indicaci´on. Usa el siguiente hecho: una sucesi´on (xn)n de R tiene l´ımite a si
y s´olo si toda parcial de (xn)n tiene parcial con l´ımite a.
(c) Da un ejemplo de una funci´on discontinua con grafo cerrado.
2.9. Demuestra la siguiente versi´on del teorema del punto fijo: si f : Rn
→ Rn
cumple la condici´on
f(x) − f(y) ≤ λ x − y , x, y ∈ Rn
, x = y,
siendo λ una constante, con 0 < λ < 1, f tiene un punto fijo ´unico.
Indicaci´on. Partiendo de un punto x1 arbitrario, construye por recurrencia una
sucesi´on (xk)k tal que xk+1 = f(xk), y demuestra que cumple la condici´on de Cauchy.
El l´ımite ser´a el punto fijo.
2.10. Demuestra la siguiente versi´on del teorema del punto fijo: si K ⊂ Rn
es
compacto y f : K → K cumple la condici´on
f(x) − f(y) < x − y , x, y ∈ K, x = y,
f tiene un punto fijo ´unico.
Indicaci´on. Busca el m´ınimo de la funci´on ϕ(x) = x − f(x) .
Curso de An´alisis matem´atico III/21

22. 3. DIFERENCIABILIDAD
DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES
Sean A ⊂ Rn
abierto, f : A → R, y a ∈ A. Llamamos derivada parcial de f en a
respecto xi al l´ımite
Dif(a) = lim
t→0
f a1, . . . , ai−1, ai + t, ai+1, . . . , an − f a1, . . . , an
t
,
cuando existe. Por descontado, si n = 1, esta definici´on coincide con la de la derivada
de una funci´on de una variable del curso de An´alisis matem´atico I.
Se puede ver la derivada parcial como una generalizaci´on de la derivada de una funci´on
de una variable, aunque no es sino un caso particular, puesto que Dif(a) es la derivada,
en t = 0, de la funci´on t −→ f a1, . . . , ai−1, ai + t, ai+1, . . . , an . Por consiguiente,
se pueden aplicar a las derivadas parciales todas las propiedades de las derivadas del
curso de An´alisis matem´atico I, y en particular, las reglas del c´alculo de derivadas.
Para calcular una derivada parcial usando estas reglas, basta con aplicarlas a f(x),
considerando las variables xj, para i = i, como “constantes”.
La notaci´on ∂f/∂xi es cl´asica, y se usa cuando la derivada parcial existe para todos
los puntos de un subconjunto abierto B ⊂ A, de modo que se puede considerar la
derivada como una funci´on definida en B. Si se desea indicar el valor de la derivada
parcial en un punto x ∈ B, se puede usar ∂f/∂xi x
, en lugar de Dif(x).
Ejemplo. La funci´on f : R2
→ R definida por
f(x, y) =
xy
x2 + y2
,
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0, ya apareci´o en el cap´ıtulo anterior. f tiene derivadas
parciales en todos los puntos. Para (x, y) = (0, 0), podemos usar la regla para la
derivada de un cociente,
∂f
∂x
=
y y2
− x2
x2 + y2 2 ,
∂f
∂y
=
x x2
− y2
x2 + y2 2 .
Para (0, 0) no podemos usar esa f´ormula, y recurrimos a la definici´on,
D1f(0, 0) = lim
t→0
f(t, 0) − f(0, 0)
t
= 0, D2f(0, 0) = lim
t→0
f(0, t) − f(0, 0)
t
= 0.
Observa que f no es continua en (0, 0), puesto que no tiene l´ımite (v. cap´ıtulo anterior).
Esto quiere decir que, para funciones de varias variables, la existencia de derivadas
parciales en un punto no implica la continuidad en ese punto.
Observa que, si ei es el i-´esimo vector de la base can´onica de Rn
, la definici´on de la
derivada parcial se puede escribir
Dif(a) = lim
t→0
f(a + tei) − f(a)
t
.
Curso de An´alisis matem´atico III/22

23. Podemos generalizar esta definici´on, sustituyendo ei por un vector u = 0 cualquiera,
obteniendo la derivada de f seg´un u,
Duf(a) = lim
t→0
f(a + tu) − f(a)
t
.
Con esta notaci´on, Dif(a) = Dei
f(a). As´ı pues, las derivadas parciales son un caso
particular de esta nueva definici´on.Observa que, sustituyendo s = λt,
Dλu = lim
t→0
f(a + tλu) − f(a)
t
= λ lim
s→0
f(a + su) − f(a)
s
= λ Duf(a).
Por tanto, si existe Duf(a), existe Dλu para todo λ ∈ R{0}, y se obtiene a partir de
ella multiplicando por λ. Por eso se usa la expresi´on derivadas direccionales para
designar las derivadas Duf(a), y en algunos libros se define la derivada direccional
s´olo para vectores unitarios. Observa que D−uf(a) = Duf(a), y por tanto la derivada
no depende s´olo de la direcci´on, sino tambi´en del sentido.
Ejemplo (continuaci´on). Para u = (u1, u2) unitario,
Duf(0, 0) = lim
t→0
f(tu1, tu2)
t
= lim
t→0
u1 u2
t
,
y la derivada direccional no existe si u1 u2 = 0.
NOTA. Hemos definido las derivadas para funciones a valores en R, pero la definici´on
se extiende sin problemas a funciones a valores en Rm
. Por lo que hemos sobre
los l´ımites anteriormente, la derivada de una funci´on a valores en Rm
existen si y
solamente existen las derivadas de las funciones componentes, y las componentes de
la derivada coinciden con las derivadas de las componentes.
Ejercicios
1. Sean α > 0, y fα : R2
→ R definida por fα(x, y) = |xy|α
. ¿Para qu´e valores de α
tiene derivadas en (0, 0)?
2. Sea p : Rn
→ R una norma. Demuestra que p no tiene derivadas en 0.
3. Se define f : R2
→ R por f(x, y) = x2
/y si y = 0, y f(x, 0) = 0. Demuestra que f
no es continua en (0, 0), pero tiene derivadas en cualquier direcci´on.
DIFERENCIAL, MATRIZ JACOBIANA Y GRADIENTE
Sean A ⊂ Rn
abierto, a ∈ A, y f : A → Rm
. Decimos que f es diferenciable en a
cuando existe una aplicaci´on lineal T : Rn
→ Rm
tal que
lim
x→a
f(x) − f(a) − T(x − a)
x − a
= 0.
Es f´acil ver que f es diferenciable en a si y solamente si lo son las funciones compo-
nentes f1, . . . fm. Cuando f es diferenciable en todos los puntos de A, decimos que f
es diferenciable, a secas.
Sea u ∈ Rn
, con u = 0. Si en la f´ormula anterior hacemos x = tu tenemos
lim
t→0
f(a + tu) − f(a) − T(tu)
|t|
= lim
t→0
f(a + tu) − f(a)
|t|
− lim
t→0
t
|t|
Tu = 0,
y, examinando por separado estos l´ımites por la derecha y por la izquierda, resulta
Duf(a) = Tu. Esto implica, en primer lugar, que, si T existe, es ´unica. En tal caso
la llamamos diferencial de f en a, y la designamos por Df(a). En segundo lugar,
resulta la proposici´on siguiente.
Curso de An´alisis matem´atico III/23

24. Proposici´on. Sean A ⊂ Rn
abierto, a ∈ A, y f : A → Rm
. Si f es diferenciable en
a, existe la derivada direccional Du(a) para todo u, y Duf(a) = Df(a)u.
En particular, si hacemos u = ei, resulta que Df(a)ei, que es la columna i-´esima de la
matriz de Df(a) en la base can´onica, coincide con la derivada de f seg´un ei. Pero esta
derivada es un vector cuyas componentes son las derivadas parciales de las funciones
componentes fj. Por tanto, los t´erminos de la matriz de Df(a), que llamamos matriz
jacobiana de f en a, son las derivadas Difj(a), 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. Cada fila de
la matriz jacobiana corresponde a una componente.
Si n = m, la matriz jacobiana es cuadrada. Su determinante se llama determinante
jacobiano. Designamos la matriz jacobiana de f en a por Df(a), sin distinguir entre
ella y la diferencial, y el determinante jacobiano por det Df(a).
Ejemplo. Sea f : R2
→ R definida por
f(x, y) =
x3
|y|
x2 + y2
,
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0. Resulta, directamente de la definici´on de las derivadas
parciales, que D1f(0, 0) = D2f(0, 0) = 0. Por tanto, si f es diferenciable en (0, 0), la
diferencial debe ser 0. As´ı es, ya que
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) − f(0, 0)
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
x3
|y|
x2 + y2 3/2
= 0.
Proposici´on. Sean A ⊂ Rn
abierto, a ∈ A, y f : A → Rm
. Si f es diferenciable en
a, es continua en a.
Demostraci´on. Sea T la diferencial. Si (xk)k tiene l´ımite a, a partir de un cierto k0
se cumple
f(xk) − f(a) − T(xk − a)
xk − a
< 1,
luego
f(xk) − f(a) − T(xk − a) ≤ f(xk) − f(a) − T(xk − a) < xk − a ,
y, como lim T(xk − a) = 0 por ser T continua, lim f(xk) = f(a). ♠
Ejemplo. Sea f : R2
→ R definida por
f(x, y) =
x2
y
x2 + y2
,
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0. Es f´acil ver que f es continua en (0, 0), usando la
desigualdad f(x, y) ≤ 1. Como en el ejemplo anterior, D1f(0, 0) = D2f(0, 0) = 0.
Luego, si f es diferenciable en (0, 0), la diferencial debe ser 0. No obstante,
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) − f(0, 0)
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
x2
y
x2 + y2 3/2
no existe, ya que
lim
x→0
f x, αx =
α
1 + α2 3/2
.
As´ı pues, f no es diferenciable, pese a tener derivadas parciales y ser continua. M´as
a´un, f tiene derivada en cualquier direcci´on, ya que, si u es unitario,
Duf(0, 0) = lim
t→0
f(tu1, tu2)
t
= u2
1 u2.
Observa que, si f fuera diferenciable, como la diferencial ser´ıa 0, todas las derivadas
direccionales deber´ıan anularse.
Curso de An´alisis matem´atico III/24

25. Cuando f toma valores reales (m = 1), la matriz jacobiana tiene una fila, y la podemos
identificar con un vector de Rn
, que se llama vector gradiente. El s´ımbolo (nabla)
se usa en F´ısica (donde un campo conservativo es el gradiente de un potencial), y
tambi´en en muchos libros de Matem´aticas. Si f(a) es el gradiente de f en a, la
f´ormula para la derivada direccional se puede escribir
Duf(a) = f(a) · u.
Observa que esta derivada se anula cuando u y el gradiente son ortogonales, y toma
el valor m´aximo si tienen la misma direcci´on (v. la desigualdad de Cauchy-Schwarz).
Por eso se dice a veces que el gradiente da la direcci´on en la cual “la variaci´on de la
funci´on es m´axima”.
Ejercicios
1. Sean α > 0, y fα : R2
→ R definida por fα(x, y) = |xy|α
. ¿Para qu´e valores de α
es diferenciable en (0, 0)?
2. Sean p ∈ N, y fp : R2
→ R definida por
fp(x, y) =
xp
x2 + y2
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0. Demuestra que fp es continua en (0, 0) cuando p > 2,
y diferenciable cuando p > 3.
3. Demuestra que una aplicaci´on lineal es diferenciable, y que la matriz jacobiana
coincide con la matriz en la base can´onica.
FUNCIONES DE CLASE C1
Sean A ⊂ Rn
abierto, y f : A → Rm
. Si f tiene derivadas parciales en un entorno
de a ∈ A, y ´estas son continuas en a, decimos que f es una funci´on de clase C1
, o
que es continuamente diferenciable, en a. Cuando f es de clase C1
en todos los
puntos de A, decimos que es de clase C1
, a secas.
Proposici´on. Sean A ⊂ Rn
abierto, y f : A → Rm
. Si f es de clase C1
en a ∈ A, f
es diferenciable en a.
Demostraci´on. Podemos suponer m = 1. Sea U una bola abierta centrada en a,
donde f tenga derivadas parciales. Para x ∈ U, podemos escribir
f(x) − f(a) = f(x1, a2, . . . , an) − f(a1, a2, . . . , an) + f(x1, x2, a3 . . . , an)
− f(x1, a2, . . . , an) + · · · + f(x1, . . . , xn) − f(x1, . . . , xn−1, an).
Por el teorema del valor medio del curso de An´alisis matem´atico I, para cada i existe
ξi, situado entre xi y ai, tal que
f(x1, . . . , xi−1, xi, ai+1, . . . , an) − f(x1, . . . , xi−1, ai, ai+1, . . . , an)
= Dif(x1, . . . , xi−1, ξi, ai+1, . . . , an) xi − ai .
Entonces yi = (x1, . . . , xi−1, ξi, ai+1, . . . , an) pertenece a U, y yi − a ≤ x − a , y
se cumple
f(x) − f(a) − Df(a)(x − a)
x − a
=
n
i=1
Dif(yi) − Dif(a) xi − ai
x − a
≤
n
i=1
Dif(yi) − Dif(a) ,
Curso de An´alisis matem´atico III/25

26. y como yi − ai < xi − ai , la expresi´on de la derecha tiende a 0 cuando x → a,
por la continuidad de las derivadas. ♠
El rec´ıproco de este teorema no es cierto. Hay funciones diferenciables que no son de
clase C1
(v. Ejercicio 2 a continuaci´on).
Ejercicios
1. Se define f : Rn
→ R por f(x) = exp −1/ x 2
, si x = 0, y f(0) = 0. Demuestra
que f es de clase C1
.
2. Para p ∈ N, se define fp : R2
→ R por
fp(x, y) = x + y
p
sin
1
x2 + y2
,
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0. ¿Para qu´e valores de p es continua? ¿Y diferenciable?
¿Y de clase C1
?
REGLA DE LA CADENA
Proposici´on. Sean A ⊂ Rn
abierto, a ∈ A, f : A → Rm
, B ⊂ Rm
abierto, con
f(A) ⊂ B, y g : B → Rp
. Supongamos que f es diferenciable en a y g es diferenciable
en f(a). Entonces g ◦ f es diferenciable en a, y D(g ◦ f)(a) = Dg f(a) ◦ Df(a).
Demostraci´on. Designamos T = Df(a), S = Dg f(a) . Entonces
g f(x) − g f(a) − S T(x − a)
x − a
≤
g f(x) − g f(a) − S f(x) − f(a)
x − a
+ S
f(x) − f(a) − T(x − a)
x − a
.
El segundo sumando tiende a 0 si x → a, por la continuidad de S. Para ver que el
primero tambi´en tiende a 0, suponiendo f(x) = f(a) (en caso contrario, este sumando
se anula), multiplicamos y dividimos por f(x) − f(a) , y observamos que
f(x) − f(a)
x − a
≤
f(x) − f(a) − T(x − a)
x − a
+ T
x − a
x − a
es acotado. ♠
Proposici´on. Sean A ⊂ Rn
abierto, a ∈ A, y f, g : A → Rm
diferenciables en a.
Entonces f + g es diferenciable en a, y D(f + g)(a) = Df(a) + Dg(a).
Demostraci´on. f + g es la compuesta de (f, g) y ϕ : R2m
→ Rm
dada por ϕ(x, y) =
x + y, y por tanto es diferenciable. D(f, g)(a) es la matriz 2m × n formada al juntar
Df(a) (las m primeras filas) y Dg(a) (las m ´ultimas), y la matriz de ϕ es la matriz
m × 2m formada al juntar dos matrices identidad m-dimensionales. Entonces
D(f +g)(a) = Dϕ f(a), g(a) D(f, g)(a) = Im Im
Df(a)
Dg(a)
= Df(a)+Dg(a). ♠
Curso de An´alisis matem´atico III/26

27. Proposici´on. Sean A ⊂ Rn
abierto, a ∈ A, y f, g : A → R diferenciables en a.
Entonces fg es diferenciable en a, y D(fg)(a) = g(a) Df(a) + f(a) Dg(a).
Demostraci´on. fg es la compuesta de (f, g) y ϕ : R2
→ R definida por ϕ(x, y) = xy, y
por tanto es diferenciable. La matriz jacobiana de ϕ es Dϕ(x, y) = [ y x ]. Entonces
D(fg)(a) = Dϕ f(a), g(a) D(f, g)(a) = g(a) f(a)
Df(a)
Dg(a)
= g(a) Df(a) + f(a) Dg(a). ♠
Proposici´on. Sean A ⊂ Rn
abierto, a ∈ A, y f : A → R diferenciable en a, con
f(a) = 0. Entonces 1/f es diferenciable en a, y se cumple
D 1/f (a) = −
1
f(a)2
Df(a).
Demostraci´on. 1/f es la compuesta de f y ϕ(t) = 1/t. Entonces
D 1/f (a) = ϕ f(a) Df(a) = −
1
f(a)2
Df(a). ♠
De la regla de la cadena resulta que las derivadas de g ◦f se obtienen mediante sumas
y productos a partir de las de f y g, y, si f y g son de clase C1
, tambi´en g ◦ f. Por
tanto las sumas, productos, etc., de funciones de clase C1
dan funciones de clase C1
.
Proposici´on. Sea A ⊂ Rn
abierto, tal que, si a, b ∈ A, existe ϕ : [0, 1] → A de clase
C1
con ϕ(0) = a y ϕ(1) = b. Si f : A → Rm
es diferenciable en a, y Df(x) = 0 para
todo x ∈ A, f es constante.
Demostraci´on. Se puede suponer m = 1. Demostramos que, si a, b ∈ A, entonces
f(a) = f(b). Para ello aplicamos la regla de la cadena a f ◦ ϕ, de modo que
(f ◦ ϕ) (t) = Df ϕ(t) Dϕ(t) = 0.
Por el teorema del valor medio, f◦ϕ es constante, luego ϕ(1) = ϕ(0), o sea f(b) = f(a).
♠
Ejercicios
1. Se definen f : R2
→ R3
por f(x, y) = (x2
, ex+y
, x − y), y g : R3
→ R2
por
g(x, y, z) = x − y2
, ex
). Verifica la validez de la regla de la cadena para g ◦ f y para
f ◦ g, es decir, las f´ormulas
D(g ◦ f)(x, y) = Dg f(x, y) ◦ Df(x, y),
D(f ◦ g)(x, y, z) = Df g(x, y, z) ◦ Dg(x, y, z).
2. Sean f : R2
→ R2
definida por f(x, y) = ex
sin y, (ex
− 1) cos y , y g : R2
→ R2
diferenciable en (0, 0), tal que g ◦ f es la identidad en un entorno de (0, 0). Calcula
la matriz jacobiana de g en (0, 0).
3. Se define f : Rn
→ R por f(x) = exp −1/ x 2
, si x = 0, y f(0) = 0. Demuestra
que f es de clase C1
, usando la regla de la cadena.
Curso de An´alisis matem´atico III/27

28. TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Para a, b ∈ Rn
, designamos por [a, b] el segmento de extremos a y b, es decir, el
conjunto
[a, b] = a + t(b − a) : t ∈ [0, 1]}.
Sea A ⊂ Rn
, tal que, si x, y ∈ A, entonces [x, y] ⊂ A. Decimos en tal caso que A es
un conjunto convexo.
Proposici´on (primer teorema del valor medio). Sean A ⊂ Rn
abierto y convexo,
a, b ∈ A, y f : A → R diferenciable. Existe ξ ∈ [a, b] tal que
f(b) − f(a) = Df(ξ) b − a .
Demostraci´on. Consideramos h : [0, 1] → R definida por h(t) = f a + t(b − a) . Por
la regla de la cadena, la derivada de h es
h (t) = Df a + t(b − a)


b1 − a1
...
bn − an

 = Df a + t(b − a) (b − a).
Aplicando el teorema del valor medio para funciones de una variable, existe t0 ∈ (0, 1)
tal que h(1) − h(0) = h (t0), y basta poner ξ = a + t0(b − a) para obtener la f´ormula
del enunciado. ♠
El teorema del valor medio no es v´alido para funciones a valores en Rm
, con m > 1
(v. Ejercicio). Sin embargo, para este caso hay un teorema m´as d´ebil, como muestra
la proposici´on siguiente.
Proposici´on (segundo teorema del valor medio). Sean A ⊂ Rn
abierto y
convexo, a, b ∈ A, y f : A → Rm
diferenciable. Entonces
f(b) − f(a) ≤ sup
x∈[a,b]
Df(x) b − a .
Demostraci´on. Sea M este supremo. Si es infinito, no hay nada que probar. Si es
finito, vamos a ver que, para todo > 0, se cumple f(b) − f(a) ≤ (M + ) b − a .
Para ello consideramos
T = t ∈ [0, 1] : f a + t(b − a) − f(a) ≤ (M + )t b − a ,
y t0 = sup T. Como el primer miembro de esta desigualdad es una funci´on continua
de t, la desigualdad se cumple para t0, luego t0 ∈ T. Si t0 = 1, hemos acabado. Pero
si t0 < 1, podemos escoger t ∈ (t0, 1) tal que
f a + t(b − a) − f(x0) − Df(x0) (t − t0)(b − a)
(t − t0) b − a
< ,
donde designamos x0 = a + t0(b − a). Ahora,
f a + t(b − a) − f(x0) ≤ (t − t0) b − a + Df(x0) (t − t0) b − a
≤ (M + )(t − t0) b − a .
Aplicando la desigualdad triangular, f a + t(b − a) − f(a) ≤ (M + )t b − a , lo
que contradice la definici´on de t0. As´ı pues, t0 = 1. ♠
Ejercicio
Se define f : [0, 2π] → R2
por f(t) = (sin t, cos t). ¿Existe alg´un ξ ∈ (0, 2π) tal que
f (ξ) = f(2π) − f(0)?
Curso de An´alisis matem´atico III/28

29. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Sean A ⊂ Rn
, a ∈ A, y f : A → R, de modo que existe Dif(x) en un entorno
de a. Cuando esta funci´on tiene derivada respecto xj en a, es decir, cuando existe
Dj(Dif)(a), la llamamos derivada segunda, respecto a xi, xj, de f en a, y la
designamos por D2
i,jf(a). Tambi´en podemos usar la notaci´on cl´asica,
∂2
f
∂xj∂xi
=
∂
∂xj
∂f
∂xi
.
Cuando una derivada segunda existe en todos los puntos de un subconjunto B ⊂ A,
podemos considerarla como una funci´on Df
i,jf : B → R. Si todas las derivadas
segundas existen en un entorno de a y son continuas en a, decimos que f es una
funci´on de clase C2
en a. Si es de clase C2
en todos los puntos de A, decimos que
es de clase C2
, a secas.
Proposici´on (teorema de Schwarz). Sean A ⊂ Rn
abierto, a ∈ A, y f : A → R.
Si las derivadas segundas D2
i,jf y D2
j,if existen en un entorno de a, y son continuas
en a (en particular, si f es de clase C2
), se cumple D2
i,jf(a) = D2
j,if(a).
Demostraci´on. Es f´acil ver que basta demostrar el teorema en el caso en que n = 2,
a = (0, 0) y f(0, 0) = 0, y as´ı lo hacemos, para simplificar la notaci´on. Lo que vamos
a demostrar es que ambas derivadas, D2
1,2f(0, 0) y D2
2,1f(0, 0), coinciden con el l´ımite
lim
x→0
f(x, x) − f(x, 0) − f(0, x)
x2
.
Lo comprobamos s´olo para D2
2,1f(0, 0). El argumento se puede adaptar para la otra
derivada con cambios de notaci´on evidentes. Aplicando el teorema del valor medio
a ϕ(t) = f(x, t) − f(0, t), existe ξx, comprendido entre 0 y x, tal que ϕ(x) − ϕ(0) =
ϕ (ξx)x, o sea,
f(x, x) − f(0, x) − f(x, 0) = D2f(x, ξx) − D2f(0, ξx) x,
de modo que s´olo nos falta probar
D2
2,1f(0, 0) = lim
x→0
D2f(x, ξx) − D2f(0, ξx)
x
.
Aplicamos ahora el teorema del valor medio a ψ(t) = D2f(t, ξx), y existe ηx compren-
dido entre 0 y x, tal que
D2f(x, ξx) − D2f(0, ξx) = D2
2,1f(ηx, ξx)x.
Como ξx y ηx est´an entre 0 y x, cuando x → 0, tambi´en ξx, ηx → 0, y por la
continuidad de la derivada,
D2,1f(0, 0) = lim
x→0
D2
2,1f(ηx, ξx). ♠
Cuando existen todas las derivadas segundas de f en a, se puede formar con ellas
una matriz n × n, que se llama matriz hessiana de f en a. Su determinante es el
determinante hessiano. Designamos la matriz hessiana por Hf(a), o sea,
Hf(a) =








D2
1,1f(a) D2
1,2f(a) · · · D2
1,nf(a)
D2
2,1f(a) D2
2,2f(a) · · · D2
2,nf(a)
...
...
D2
n,1f(a) D2
n,2f(a) · · · D2
n,nf(a)








.
Curso de An´alisis matem´atico III/29

30. Si f es de clase C2
, la matriz hessiana es sim´etrica, y define una forma cuadr´atica.
Designamos por D2
f(a) esta forma cuadr´atica, con lo que tenemos
D2
f(a)x =
n
i,j=1
D2
i,jf(a) xi xj = x1 · · · xn Hf(a)


x1
...
xn

 .
Por recurrencia se pueden definir derivadas de cualquier orden de f,
Dm
i1,...,im
f(a) = Dim
Dm−1
i1,...,im−1
f)(a),
y, cuando son continuas, se puede aplicar el teorema de Schwarz, y no importa el
orden en que se deriva. Cuando todas las derivadas de orden m son continuas en a,
decimos que f es una funci´on de clase Cm
en a. Si es de clase Cm
para todo m,
decimos que es una funci´on de clase Cm
.
De la misma manera que Df(a) define una forma lineal y D2
f(a) una forma
cuadr´atica, D3
f(a) define una forma c´ubica, D4
f(a) una forma cu´artica, etc. En
general, escribimos
Dm
f(a)x =
n
i1,...,im=1
Dm
i1,...,im
f(a) xi1
· · · xim
.
Ejercicio
Se define f : R2
→ R por
f(x, y) =
xy(x2
− y2
)
x2 + y2
,
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0. Demuestra que D2
1,2f(0, 0) = 1 y D2
2,1f(0, 0) = −1.
¿Contradice esto el teorema de Schwarz?
F´ORMULA DE TAYLOR
Si una funci´on real f admite derivadas de orden m en un punto a, podemos considerar
Pm(x) = f(a) +
m
k=1
1
k!
Dk
f(a)(x − a),
que es un polinomio de grado m, el polinomio de Taylor de grado m de f en a.
El polinomio de Taylor de una funci´on de n variables se usa (al igual que en el caso
de una variable, visto en el curso de An´alisis matem´atico I) como aproximaci´on de f
en un entorno de a.
Ejemplo. Sea f : R2
→ R definida por f(x, y) = ex+y
. Entonces
Df(0, 0) = [ 1 1 ] , Hf(0, 0) =
1 1
1 1
,
luego el polinomio de Taylor de grado 2 de f en (0, 0) es
1 + x + y +
x2
2
+
y2
2
+ xy.
Observa que este polinomio se puede obtener seleccionando los t´erminos de grado
menor o igual que 2 en el producto de los polinomios de Taylor de ex
y ey
.
Curso de An´alisis matem´atico III/30

31. La diferencia f(x) − Pm(x), que ser´ıa el error de esa aproximaci´on, es el t´ermino
complementario, que, como para las funciones de una variable, se puede expresar
usando las derivadas de orden m + 1, si existen, como se ve en la proposici´on que
sigue.
Proposici´on (f´ormula de Taylor). Sea A ⊂ Rn
abierto, f : A → R de clase Cm+1
,
y x, a ∈ A tales que [a, x] ⊂ A. Existe ξ ∈ [a, x] tal que
f(x) = f(a) +
m
k=1
1
k!
Dk
f(a)(x − a) +
1
(m + 1)!
Dm+1
f(ξ)(x − a).
Demostraci´on. Definimos h : [0, 1] → R por h(t) = f a+t(x−a) , que es una funci´on
de clase Cm
, cuyas derivadas son
h (t) = Df a + t(x − a) (x − a) =
n
i=1
Di a + t(x − a) (xi − ai),
h (t) = D2
f a + t(x − a) (x − a) =
n
i,j=1
D2
i,j a + t(x − a) (xi − ai)(xj − aj),
etc´etera, y, en general, h(k)
(t) = Dk
f a + t(x − a) (x − a). Por la f´ormula de Taylor
del curso de An´alisis matem´atico I, existe t ∈ (0, 1) tal que
h(1) = h(0) +
m
k=1
h(k)
(0)
k!
+
h(m+1)
(t)
(m + 1)!
.
Llamando ξ = a + t(b − a) y expresando las derivadas de h en funci´on de las de f,
obtenemos la f´ormula del enunciado. ♠
El t´ermino complementario es el ´ultimo sumando en la f´ormula que hemos estable-
cido, que es una de las versiones de la f´ormula de Taylor para funciones de varias
variables. Existen otras expresiones del t´ermino complementario, pero no las veremos
aqu´ı, ya que la que hemos dado nos basta para justificar el m´etodo que vamos a dar
en la secci´on siguiente para identificar los m´aximos y m´ınimos locales. Asumiendo
ciertas hip´otesis sobre las derivadas de orden m + 1 de f en un entorno de a, por
ejemplo, que est´an uniformemente acotadas, se puede usar esta expresi´on se para ver
que f(x) − Pm(x) = o x − a m
, es decir,
lim
x→a
f(x) − Pm(x)
x − a m
= 0.
El polinomio de Taylor de grado 1, f(a) + Df(a)(x − a), es una funci´on lineal (con
t´ermino constante). En el caso n = 1, visto en el curso de An´alisis matem´atico I, la
gr´afica de esta funci´on es la recta tangente a la gr´afica de f en a. Para n = 2, se obtiene
un plano tangente, y para n ≥ 3, un hiperplano tangente. Nos ocuparemos m´as
adelante de esta interpretaci´on geom´etrica.
Ejercicios
1. Calcula el polinomio de Taylor de grado 2 de f(x, y) = sin(x + y) en (0, 0).
2. Calcula el polinomio de Taylor de grado 2 de f(x, y) = exy
en (0, 0).
3. Calcula el polinomio de Taylor de grado 2 de f(x, y) = x2
y2
+ xy en (1, 1).
Curso de An´alisis matem´atico III/31

32. M´AXIMOS Y M´INIMOS LOCALES
Sean A ⊂ Rn
abierto, f : A → R, y a ∈ A. Decimos que f tiene un m´aximo local
en a cuando existe un entorno U de a tal que f|U alcanza su m´aximo valor en a, es
decir, cuando f(x) ≤ f(a) para todo x ∈ U. El m´ınimo local se define de forma
an´aloga. Para n = 1, estas definiciones dan las de m´aximo y m´ınimo local de una
funci´on de una variable, vistas en el curso de An´alisis matem´atico I.
Proposici´on. Sean A ⊂ Rn
abierto, f : A → R. Si f tiene un m´aximo (m´ınimo)
local en a ∈ A, y existe la derivada parcial Dif(a), entonces Dif(a) = 0.
Demostraci´on. Si f tiene un m´aximo (m´ınimo) local en a, la funci´on h(t) = f(a+tei)
tiene un m´aximo (m´ınimo) local en t = 0, luego h (0) = Dif(a) = 0. ♠
Esta proposici´on es una consecuencia directa del hecho de que la derivada de una
funci´on de una variable se anula en un m´aximo o un m´ınimo local. En el curso de
An´alisis matem´atico I se ha visto que esta condici´on no es suficiente para que haya un
m´aximo o un m´ınimo local, y c´omo se puede aclarar lo que sucede en un punto donde
la derivada se anula, examinando el signo de la segunda derivada. A continuaci´on
presentamos la generalizaci´on de ese criterio a funciones de varias variables.
Proposici´on. Sean A ⊂ Rn
abierto, f : A → R de clase C2
, y a ∈ A tal que
Df(a) = 0.
(i) Si D2
f(a) es definida positiva, f tiene un m´ınimo local en a.
(ii) Si D2
f(a) es definida negativa, f tiene un m´aximo local en a.
(iii) Si D2
f(a) es indefinida, f no tiene ni un m´aximo ni un m´ınimo local en a.
Demostraci´on. (i) Probamos en primer lugar que, si D2
f(a) es definida positiva,
existen > 0 y un entorno U de a donde D2
f(x)u > para todo x ∈ U y todo
u ∈ S, siendo S = u ∈ Rn
: u = 1 . En particular, D2
f(x) ser´a definida
positiva para x ∈ U. Como S es compacto y D2
f(a)u > 0 en S, existe > tal que
D2
f(a)u > 2 para todo u ∈ S. Tomamos ahora r > 0 tal que B (a, r) ⊂ A. Como
(x, u) → D2
f(x)u es uniformemente continua (teorema de Heine) en el compacto
B (a, r) × S, existe δ > 0 tal que, si x − a < δ, se cumple D2
f(x)u − D2
f(a)u <
para todo u ∈ S. Tomando U = B(a, δ), resulta D2
f(x)u > , para x ∈ U y u ∈ S,
como quer´ıamos probar.
Pasemos ahora a demostrar (i). La f´ormula de Taylor en a nos da
f(x) = f(a) + D2
f(ξ)(x − a),
donde, si x ∈ U, tambi´en ξ ∈ U, de modo que D2
f(ξ)(x − a) > 0, y por tanto
f(x) ≥ f(a) para x ∈ U, y f|U alcanza su valor m´ınimo en a.
(ii) El argumento de (i) se adapta de forma obvia al caso en que D2
f(a) es definida
positiva.
(iii) Supongamos ahora que D2
f(a) es indefinida, y sean > 0 y u1, u2 ∈ S, tales
que D2
f(a)u1 > 2 y D2
f(a)u2 < −2 . Usando la continuidad uniforme como en la
demostraci´on de (i), vemos que existe un entorno U de a donde se cumple D2
f(x)u1 >
y D2
f(x)u2 < − para todo x ∈ U. Luego, si escogemos x de forma que x−a tenga
la direcci´on de u1, tenemos f(x) > f(a), y si lo escogemos de forma que x − a tenga
la direcci´on de u2, tenemos f(x) < f(a), con lo que f no tiene m´aximo ni m´ınimo
local en a. ♠
Ejemplo. Sea f : R2
→ R definida por f(x, y) = x3
+ y3
− 3xy. Entonces
Df(x, y) = 3x2
− 3y 3y2
− 3x , Hf(x, y) =
6x −3
−3 6y
.
Curso de An´alisis matem´atico III/32

33. Las derivadas primeras se anulan en (0, 0) y (1, 1). En estos puntos,
Hf(0, 0) =
0 −3
−3 0
, Hf(1, 1) =
6 −3
−3 6
.
Hf(1, 1) es definida positiva, y por tanto f tiene un m´ınimo local en ese punto. Sin
embargo, Hf(0, 0) es indefinida, con lo que (0, 0) es un punto de silla. Observa que
en (1, 1) hay un m´ınimo local, pero f no tiene m´ınimo, puesto que f(x, 0) = x3
no
est´a acotada.
Ejemplo. Sean K = (x, y) ∈ R2
: x, y ≥ 0, x + y ≤ 1 , y f(x, y) = xy. f tiene
m´aximo y m´ınimo en K, por el teorema de Weierstrass. Si el m´aximo o el m´ınimo
valor de f de f en K se alcanzasen en un punto interior, f tendr´ıa un m´aximo o un
m´ınimo local en ese punto. Pero Df(x, y) = [ y x ] no se anula en ning´un punto
del interior de K, y por tanto el m´aximo y el m´ınimo valor de f se alcanzan en la
frontera.
El m´ınimo valor de f es obviamente 0. f se anula sobre los segmentos (0, 0), (1, 0)
y (0, 0), (0, 1) , y por tanto el m´aximo se alcanza en el segmento (0, 1), (1, 0) . Para
ver d´onde, basta considerar ϕ(x) = f(x, 1 − x) = x − x2
, que tiene un m´ınimo en
x = 1/2.
Ejercicios
1. Se define f : R2
→ R por f(x, y) = x3
+xy2
−x Demuestra que f tiene un m´aximo
local y un m´ınimo local, pero no tiene m´aximo ni m´ınimo.
2. Se define f : R2
→ R por f(x, y) = x2
+ y2
+ 2xy + 1. Demuestra que f tiene
infinitos m´ınimos locales, y que la matriz hessiana es semidefinida en esos puntos.
3. Se define f : (x, y) ∈ R2
: x, y ≥ 0, x + y ≤ 2 → R por f(x, y) = (x − 1)(y + 1).
Halla el m´aximo y el m´ınimo valor de f, si existen.
4. Se define f : (x, y) ∈ R2
: x ≥ 2, x + y ≥ 4 → R por f(x, y) = x2
− xy + y2
.
Halla el m´aximo y el m´ınimo valor de f, si existen.
5. Se define f : (x, y) ∈ R2
: x, y ≥ 1, x+y ≤ 3 → R por f(x, y) = 5−4y−x2
−y2
.
Halla el m´aximo y el m´ınimo valor de f, si existen.
PROBLEMAS
3.1. Sea f : Rn
→ R tal que, si α > 0 y x ∈ Rn
, con x = 1, se cumple
f(αx) − f(0) ≤ e−1/α
.
(a) Calcula las derivadas parciales de f en 0.
(b) ¿Es diferenciable?
3.2. Sea f : (0, 1) × (0, 1) → R definida por
f(x, y) =
x 1 − y , si x ≤ y
y 1 − x , si x > y.
(a) ¿En qu´e puntos es continua?
(b) ¿En qu´e puntos es diferenciable? Calcula la diferencial en esos puntos.
Curso de An´alisis matem´atico III/33

34. 3.3. Sean g : {x ∈ Rn
: x = 1} → R, y f : Rn
→ R definida por
f(x) = x g x/ x ,
si x = 0, y g(0) = 0. Demuestra:
(a) La derivada direccional Duf(0) existe si y s´olo si g(u) = −g(−u).
(b) Si f es diferenciable en 0, f es lineal.
3.4. Sean A ⊂ Rn
abierto, a ∈ A, y f : A → Rm
diferenciable en a, tal que f(a) = 0,
y ϕ : A → R definida por ϕ(x) = f(x) . Demuestra que ϕ es diferenciable en a si y
s´olo si Df(a) = 0.
3.5. Sean f : Rn
→ Rn
diferenciable en a ∈ Rn
, con Df(a) invertible. Demuestra
que existe δ > 0 tal que, si x − a < δ, entonces f(x) = f(a).
Indicaci´on. Demuestra que si T : Rn
→ Rn
es lineal e invertible, existe η > 0 tal que,
si u = 1, entonces Tu > η.
3.6. Sean α > 0 y f : Rn
→ Rm
diferenciable, tal que
lim
x →∞
x Df(x) = 0.
Se define g : Rn
→ Rm
por g(x) = f(αx) − f(x). Demuestra que g es acotada.
Observaci´on. Df(x) es la norma de una aplicaci´on lineal, no la norma de un vector.
3.7. Sea f : Rn
{0} → R diferenciable, con derivadas parciales acotadas.
(a) Demuestra que, si n > 1, existe M > 0 tal que
f(x) − f(y) ≤ M x − y , x, y ∈ Rn
{0}.
(b) Demuestra que, si n > 1, f tiene l´ımite en 0.
(c) Muestra con un ejemplo que la afirmaci´on de (b) no siempre es cierta para
n = 1.
3.8. Se define f : R3
→ R por f(x, y, z) = cos(2x) + sin y + z2
. Demuestra que f no
tiene m´aximos locales, y que tiene un m´ınimo local en cualquier punto de la forma
nπ/2, (2m + 1)π/2, 0 , siendo n y m enteros impares.
3.9. Se define f : (0, 2π) × (0, 2π) → R por
f(x, y) = sin x 1 + cos y + sin y 1 + cos x .
Demuestra que f su valor m´aximo en (π/3, π/3) y su valor m´ınimo en 5π/3, 5π/3 .
3.10. Se define f : {(x, y) ∈ R2
: x, y ≥ 0, x2
+ y2
≤ 1} por f(x, y) = e−x
+ e−y
.
¿D´onde se alcanzan el m´aximo y el m´ınimo valor de f?
Indicaci´on. Para hallar el m´ınimo, considera h(t) = f(cos t, sin t), para t ∈ [0, π/4].
Curso de An´alisis matem´atico III/34

35. 4. TEOREMA DE LA FUNCI´ON
INVERSA Y CONSECUENCIAS
TEOREMA DE LA FUNCI´ON INVERSA
Proposici´on (teorema de la funci´on inversa). Sean A ⊂ Rn
abierto, f : A → Rn
de clase C1
, y a ∈ A, tal que det Df(a) = 0. Existen un entorno abierto U de a, y un
entorno abierto V de f(a), tales que f es biyectiva entre U y V , y la inversa de f|U
es de clase C1
en f(a). Se cumple, adem´as, Df−1
f(x) = Df(x)−1
para x ∈ U.
Demostraci´on. (a) Basta ver que f−1
existe y es diferenciable, ya que, por la regla
de la cadena, Df−1
(x) y Df(x) son inversas. La continuidad de las derivadas de f−1
resulta de la f´ormula mediante la cual se obtienen, invirtiendo Df(x).
(b) Podemos suponer Df(a) = I, ya que, si T = Df(a), la regla de la cadena da
D T−1
◦ f (a) = T−1
◦ Df(a) = I,
y, si el teorema vale para T−1
◦ f, tambi´en vale para f.
(c) Existe una bola abierta B, centrada en a, que cumple las cuatro condiciones
siguientes:
(1) f(x) = f(a), para x ∈ ¯B {a}.
(2) det Df(x) = 0, para x ∈ ¯B.
(3) Df(x) − I ≤ 1/2, para x ∈ B.
(4) x − x ≤ 2 f(x) − f(x ) , para x, x ∈ B.
En primer lugar, como Df(a) = I,
lim
x→a
f(x) − f(a) − (x − a)
x − a
= 0,
y existe r > 0 tal que f(x) = f(a) para x−a ≤ r. Por la continuidad de las derivadas
de f, podemos suponer que r es lo suficientemente peque˜no como para que (2) se
cumpla tambi´en. Como B (a, r) es compacto, podemos usar la continuidad uniforme
de (x, u) → Df(x)u para asegurar que existe δ > 0 tal que Df(x)u − u ≤ 1/2 para
x − a < δ, y u unitario, y por tanto se cumple (3) para B = B(a, δ).
Aplicando el segundo teorema del valor medio a g(x) = f(x) − x, tenemos Dg(x) =
Df(x) − I, y, por (3),
f(x) − x − f(x ) − x ≤
1
2
x − x ,
de donde resulta (4) usando la desigualdad triangular.
(d) Definimos ahora V . Por (1), existe δ > 0 tal que f(x) − f(a) ≥ δ > 0 para
x ∈ Fr(B), y definimos V = B f(a), δ/2 . Entonces
y − f(x) ≥ y − f(a) − f(x) − f(a) >
δ
2
,
y se cumple por tanto:
(5) y − f(a) < y − f(x) para y ∈ V , x ∈ Fr(B).
Curso de An´alisis matem´atico III/35

36. (e) Vemos ahora que, para cada y ∈ V , existe x ∈ B ´unico con f(x) = y. La unicidad
resulta de (4). Para probar la existencia, consideramos h(x) = y − f(x) 2
. Por (5),
el valor m´ınimo de h en ¯B se alcanza en un punto x ∈ B, que es un m´ınimo local, y
por tanto Dh(x) = 0. Como
Dh(x) = −2 y − f1(x) · · · y − fn(x) Df(x),
y Df(x) tiene inversa, debe ser y = f(x).
(f) Definimos ahora U = B ∩ f−1
(V ), y f es biyectiva entre U y V . Por (4), f−1
es
continua.
(g) Vamos a ver, para concluir, que f−1
es diferenciable. Designamos T = Df(x),
y = f(x), para evitar confusiones. Sea > 0. Escogemos δ > 0 tal que, si x − x <
2δ, se cumpla
f(x ) − f(x) − T(x − x )
x − x
<
2 T−1
.
Entonces, si y − y < δ, por (4) se cumple f−1
(y ) − f−1
(y) < 2δ, luego
y − y − T f−1
(y ) − f−1
(y)
f−1(y ) − f−1(y)
<
2 T−1
.
Por (4),
y − y − T f−1
(y ) − f−1
(y)
y − y
<
T−1
,
y, aplicando T−1
,
f−1
(y ) − f−1
(y) − T−1
(y − y)
y − y
= T−1 y − y − T f−1
(y ) − f−1
(y)
y − y
< ,
lo que prueba que f−1
es diferenciable en x y la diferencial es T−1
. ♠
NOTA. Por la relaci´on que existe entre las derivadas de f y las de f−1
, si f es de
clase Cm
, tambi´en f−1
.
Cuando f cumple la hip´otesis del teorema de la funci´on inversa en un conjunto abierto
A, decimos que f es un difeomorfismo local en A. Si adem´as f es inyectiva, decimos
que define un difeomorfismo de A en f(A). La inversa es entonces un difeomorfismo
de f(A) en A. Todo difeomorfismo es un homeomorfismo. El ejemplo que sigue ilustra
la distinci´on entre difeomorfismos y difeomorfismos locales.
Ejemplo. f : R2
→ R2
definida por f(x, y) = (ex
cos y, ex
sin y) es un difeomorfismo
local, con f(R2
) = R2
(0, 0) , pero no es inyectiva, ya que f(x, y + 2π) = f(x, y).
La restricci´on de f a la banda definida por −π < y < π es un difeomorfismo de esa
banda en el complementario de la semirrecta (u, v) ∈ R2
: u = 0, v < 0 .
Proposici´on. Si A ⊂ Rn
es abierto, y f : A → Rn
es un difeomorfismo local, f(A)
es abierto.
Demostraci´on. Sea b ∈ f(A). Escogemos a ∈ A con b = f(a). El entorno abierto
V de b, cuya existencia asegura el teorema de la funci´on inversa, est´a contenido en
f(A), luego b es un punto interior. ♠
Curso de An´alisis matem´atico III/36

37. Los difeomorfismos se llaman a veces cambios de variable. En R, el m´as conocido
es el cambio dado por la funci´on exponencial (o el logaritmo). En el curso de Proba-
bilidades aparecer´an otros cambios de variable. En R2
, el cambio de variable cl´asico
es el basado en las coordenadas polares. Para (x, y) = (0, 0), podemos escribir
x = r cos θ, y = r sin θ,
con r ≥ 0. r y θ son las coordenadas polares del punto (x, y). r es el m´odulo (es
decir, la norma eucl´ıdea), y θ el argumento. Observa que (r, θ) → (r cos θ, r sin θ) es
un difeomorfismo local de (0, +∞)×R en R2
{(0, 0)}, pero no es un aut´entico cambio
de variable (es decir, un difeomorfismo) si no restringimos el dominio del argumento,
ya que todo punto tiene infinitos argumentos. El determinante jacobiano es
cos θ −r sin θ
sin θ r cos θ
= r.
Los cambios de variable se usan frecuentemente para simplificar el c´alculo de inte-
grales, como se ver´a en el curso de An´alisis matem´atico IV.
Ejercicios
1. ¿Qu´e dice el teorema de la funci´on inversa sobre f(x) = x2
? ¿Y sobre f(x) = sin x?
2. Sea f : R → R definida por
f(x) =
x
2
+ x2
sin 1/x ,
si x = 0, y f(0) = 0. Demuestra que f (0) = 0, pero f no tiene inversa en ning´un
entorno de 0. ¿Contradice esto el teorema de la funci´on inversa?
3. D´onde hay que restringir la funci´on (u, v) → (x, y) dada por x = u2
− v2
, y = uv,
para que sea un difeomorfismo local? ¿Y para que sea un difeomorfismo?
4. Las coordenadas polares esf´ericas en R3
vienen dadas por las relaciones
x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ,
donde r ≥ 0 y −π/2 ≤ θ ≤ π/2. ¿Cu´al es la interpretaci´on geom´etrica de las
coordenadas r, ϕ, θ? ¿D´onde hay que restringir la funci´on (r, ϕ, θ) → (x, y, z), dada
por esta f´ormulas, para que sea un difeomorfismo local? ¿Y un difeomorfismo?
TEOREMA DE LA FUNCI´ON IMPL´ICITA
Por comodidad, usamos la notaci´on (x, y), con x ∈ Rn
, y ∈ Rp
, para los puntos de
Rn+p
= Rn
× Rp
. Para una funci´on f definida en un abierto de Rn+p
, designamos
por Dxf(x, y) la submatriz de la matriz jacobiana de f formada por las derivadas
Difj(x, y), con 1 ≤ i ≤ n, y por Dyf(x, y) la submatriz complementaria.
Proposici´on (teorema de la funci´on impl´ıcita). Sean f : G → Rp
de clase C1
,
G ⊂ Rn+p
abierto, y (a, b) ∈ G tal que f(a, b) = 0 y det Dyf(a, b) = 0. Existen
un entorno abierto A de a, un entorno abierto B de b, y una funci´on g : A → B de
clase C1
, tales que g(a) = b, y, para x ∈ A, g(x) es el ´unico punto de B que cumple
f x, g(x) = 0.
Demostraci´on. Sea F : G → Rn
× Rp
definida por F(x, y) = x, f(x, y) . Como
DF(x, y) =
I 0
Dxf(x, y) Dyf(x, y)
,
Curso de An´alisis matem´atico III/37

38. resulta det DF(x, y) = det Dyf(x, y), y podemos aplicar el teorema de la funci´on
inversa en (a, b), de modo que existen entornos abiertos U de (a, b) y V de (a, 0), donde
F : U → V es un difeomorfismo. Ahora, F−1
es de la forma F−1
(x, z) = (x, h(x, z)),
y, llamando g(x) = h(x, 0), resulta
x, f(x, g(x)) = F x, g(x) = F x, h(x, 0) = F F−1
(x, 0) = (x, 0),
y por tanto f(x, g(x)) = 0. Finalmente, escogemos dos bolas abiertas A y B, de modo
que (a, b) ∈ A × B ⊂ U. La unicidad de g(x) resulta de que F es inyectiva en U. ♠
Cuando se dan las condiciones del teorema de la funci´on impl´ıcita, decimos que
f(x, y) = 0 define y como funci´on impl´ıcita de x en un entorno de (a, b).
Si g es la funci´on impl´ıcita, la regla de la cadena para x → f x, g(x) da
Dg(x) = −Dyf(x, y)−1
◦ Dxf(x, y),
para y = g(x), lo que permite obtener las derivadas de g. Adem´as, esta relaci´on
asegura que, si f es de clase Cm
, tambi´en g. Las derivadas de g tambi´en se pueden
obtener tomando derivadas impl´ıcitas en la ecuaci´on f(x, y) = 0 (v. Ejemplo).
Ejemplo. El sistema
xu3
+ yv2
= 4, y2
u + 2xv = 0
define (u, v) como funci´on impl´ıcita de (x, y) en un entorno de (0, 1, 0, 2). Para verlo
aplicamos el teorema de la funci´on impl´ıcita a f(x, y, u, v) = xu3
+yv2
−4, y2
u+2xv ,
con
Df(0, 1, 0, 2) =
0 4 0 4
4 0 1 0
.
Como el determinante de orden 2 de la derecha de esta matriz es distinto de cero,
existe en un entorno de (0, 1) una funci´on g de clase C1
tal que g(0, 1) = (0, 2), y
f x, y, g(x, y) = 0. g es la funci´on impl´ıcita. La matriz jacobiana es
Dg(0, 1) = −
0 4
1 0
−1
0 4
4 0
= −
4 0
0 1
.
Las derivadas de g tambi´en se pueden obtener tomando derivadas impl´ıcitas en el
sistema de ecuaciones del principio, es decir, usando las reglas del c´alculo de derivadas,
pero considerando que u y v son dos funciones de (x, y). As´ı, derivando respecto a x
en las dos ecuaciones del sistema, resulta
u3
+ 3xu2 ∂u
∂x
+ 2yv
∂v
∂x
= 0, y2 ∂u
∂x
+ 2v + 2x
∂v
∂x
= 0.
Como u(0, 1) = 0, v(0, 1) = 2, resulta
4
∂v
∂x (0,1)
= 0,
∂u
∂x (0,1)
+ 4 = 0,
de donde que es la primera fila de la matriz jacobiana de g. Derivando respecto a y
obtenemos la segunda fila. Este m´etodo permite volver a derivar impl´ıcitamente, y
obtener las derivadas segundas, terceras, etc.
Ejercicios
1. ¿Qu´e dice el teorema de la funci´on impl´ıcita sobre la ecuaci´on x2
+ y2
= 1?
2. Comprueba que el sistema
xu6
+ y2
v3
= 1, xy3
+ v2
u2
= 0
define (x, y) como funci´on impl´ıcita de (u, v) en un entorno de (0, 1, 0, 1). Calcula la
matriz jacobiana y la hessiana de la funci´on impl´ıcita en (0, 1).
Curso de An´alisis matem´atico III/38

39. M´ETODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Proposici´on (teorema de Lagrange). Sean A ⊂ Rn
abierto, f : A → R y
g : A → Rp
de clase C1
, con Dg(x) de rango p (p < n), para todo x ∈ A. Sea
M = x ∈ A : g(x) = 0 , y supongamos que f|M tiene un m´aximo (m´ınimo) local en
a. Entonces f(a) depende linealmente de g1(a), . . . , gp(a).
Demostraci´on. Como en el teorema de la funci´on impl´ıcita, designamos los puntos de
Rn
= Rn−p
×Rp
por (x, y), con x ∈ Rn−p
, y ∈ Rp
. Si el rango de la matriz jacobiana
de g es p, hay p columnas independientes, y, para simplificar la notaci´on, suponemos
que, en a, las p ´ultimas lo son, de forma que det Dyg(a) = 0. Por el teorema de la
funci´on impl´ıcita, hay una funci´on impl´ıcita y = ϕ(x) en un entorno de a. La hip´otesis
del teorema de Lagrange supone que h(x) = f x, ϕ(x) tiene un m´aximo (m´ınimo)
local en (a1, . . . , an−p). Por la regla de la cadena, la matriz jacobiana de h es
Dh(x) = Df x, ϕ(x) ◦
I
Dϕ(x)
= Dxf x, ϕ(x) + Dyf x, ϕ(x) ◦ Dϕ(x).
Usando la expresi´on de la matriz jacobiana de la funci´on impl´ıcita que vimos antes,
y Dh(a1, . . . , an−p) = 0, tenemos Dxf(a) − Dyf(a) ◦ Dyg(a)−1
◦ Dxg(a) = 0, luego
Dxf(a) Dyf(a) = Dyf(a) ◦ Dyg(a)−1
◦ Dxg(a) Dyg(a) .
La matriz de Dyf(a) ◦ Dyg(a)−1
tiene dimensi´on 1 × p. Denotando por λ1, . . . , λp los
coeficientes de esta matriz, resulta
Df(a) = λ1 · · · λp ◦ Dg(a),
que es equivalente a f(a) = λ1 g1(a) + · · · + λp gp(a). ♠
Observa que, como g1(a), . . . , gp(a) son independientes, porque Dg(a) tiene rango
p, los λi son ´unicos. Son los multiplicadores de Lagrange. El m´etodo basado en
el teorema de Lagrange se presenta a veces como un m´etodo para hallar extremos
condicionados, contrapuesto al m´etodo que vimos en el cap´ıtulo anterior, que ser´ıa el
m´etodo para hallar extremos libres. Las p ecuaciones gi(x) = 0 son las ligaduras,
o restricciones. n − p es el n´umero de grados de libertad del problema.
En la presentaci´on cl´asica del teorema, se define una funci´on L : A × Rp
→ R, la
funci´on de Lagrange, haciendo
L(x, λ) = f(x) − λ1 g1(a) − · · · − λp gp(a),
y el teorema asegura entonces que DL(a, λ) = 0. Es f´acil ver que ambas versiones
son equivalentes. El lenguaje del ´Algebra lineal obvia la funci´on de Lagrange, que es
artificial. No obstante, en ciertos contextos, como la Mec´anica cl´asica, o la Microe-
conom´ıa, se puede dar una interpretaci´on de la funci´on de Lagrange (la lagrangiana
de los libros de F´ısica) o de los multiplicadores.
Ejemplo. Vamos a usar el m´etodo de Lagrange para hallar la distancia del punto
(1, −7/2) a la rama de la hip´erbola xy = 1 contenida en el primer cuadrante. Con-
sideramos
f(x, y) = x − 1
2
+ y + 7/2
2
, g(x, y) = xy − 1.
Los gradientes son
f(x, y) = 2(x − 1), 2(y + 7/2) , g(x, y) = (y, x),
Curso de An´alisis matem´atico III/39

40. y el m´ınimo de f sobre la curva xy = 1 debe cumplir
x − 1
y
=
y + 7/2
x
.
Sustituyendo y por 1/x, esta ecuaci´on se transforma en 2x4
− 2x3
− 7x − 2 = 0,
que tiene dos soluciones reales, una positiva y otra negativa. La soluci´on negativa
corresponde al punto de la otra rama de la hip´erbola m´as pr´oximo a (1, −7/2), y
la soluci´on positiva, que es x = 2, al punto (2, 1/2), que es el que nos interesa. La
distancia es
√
17.
Es f´acil ver que se llega al mismo resultado buscando el m´ınimo de
h(x) = x − 1
2
+
1
x
+
7
2
2
,
que resulta de sustituir y por 1/x en la f´ormula de la distancia al cuadrado.
Ejemplo. Calculamos los valores m´aximo y m´ınimo de
f(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
+ x + y + z
sobre la esfera x2
+ y2
+ z2
= 4. Para ello aplicamos el m´etodo de Lagrange, con
g(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
− 4. Los gradientes son
f(x, y, z) = (2x + 1, 2y + 1, 2z + 1), g(x, y, z) = (2x, 2y, 2z),
y en los puntos donde se alcanzan los valores extremos se cumple
2x + 1
x
=
2y + 1
y
=
2z + 1
z
,
lo que equivale a x = y = z. Hay dos puntos en estas condiciones, y en ellos se
alcanzan el m´aximo y el m´ınimo valor de f,
f − 2/
√
3, −2/
√
3, −2/
√
3 = 4 − 2
√
3, f 2/
√
3, 2/
√
3, 2/
√
3 = 4 + 2
√
3.
Ejemplo. Vamos a hallar los puntos a distancia m´axima y m´ınima del origen en la
curva definida por las ecuaciones
z = x2
+ y2
, x + y + z = 1.
En el cap´ıtulo pr´oximo veremos por qu´e llamamos curva al conjunto de puntos de R3
que cumple estas ecuaciones. En todo caso no es dif´ıcil ver que se trata de un conjunto
compacto (verif´ıcalo), y por tanto la norma tiene m´aximo y m´ınimo. Aplicamos el
m´etodo de Lagrange a
f(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
, g1(x, y, z) = x2
+ y2
− z, g2(x, y, z) = x + y + z − 1,
y el punto a distancia m´ınima debe cumplir
2x 2x 1
2y 2y 1
2z −1 1
= 0.
Curso de An´alisis matem´atico III/40

41. Tras operaciones elementales, llegamos a la ecuaci´on (x − y)(2z + 1) = 0.
• Consideramos primero el caso x−y = 0. Sustituyendo y por x en las ecuaciones
de la curva resulta z = 2x2
= 1 − 2x, y podemos hallar x resolviendo 2x2
+
2x − 1 = 0. Las soluciones son x = − 1 ±
√
3 /2. Resultan, pues, dos puntos,
(−1 +
√
3)/2, (−1 +
√
3)/2, 2 −
√
3 y (−1 −
√
3)/2, /(−1 −
√
3)/2, 2 +
√
3 .
• El caso 2z + 1 = 0, nos lleva, sustituyendo z por −1/2 en las ecuaciones de la
curva, al sistema
x + y =
3
2
, x2
+ y2
=
1
2
,
que no tiene soluci´on.
As´ı pues, los puntos que hemos hallado en primer lugar son los que busc´abamos, y
corresponden a la distancia m´ınima y m´axima, respectivamente.
Ejercicios
1. Halla la distancia del punto (0, 3) a la par´abola y = x2
, usando el m´etodo de
Lagrange.
2. En el problema 3.10 se hallaba el m´ınimo de f(x, y) = e−x
+e−y
en la circunferencia
unidad hallando el m´ınimo de una funci´on de una variable. Usa ahora el m´etodo de
Lagrange para llegar al mismo resultado.
3. Se define f : (x, y) ∈ R2
: 5x + 6xy = 8 → R por f(x, y) = x2
y2
. Halla el
m´aximo y el m´ınimo valor de f, si existen.
4. Se define f : (x, y, z) ∈ R3
: xyz = 27 → R por f(x, y, z) = xy + xz + yz. Halla
el m´aximo y el m´ınimo valor de f, si existen.
5. Se define f : (x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
≤ 1, x2
− y ≤ 1 → R por f(x, y) = y − x.
Halla el m´aximo y el m´ınimo valor de f, si existen.
PROBLEMAS
4.1. Se define f : R2
→ R2
por f(x, y) = (ex
+ ey
, ex
− ey
). Prueba que f define un
difeomorfismo de R2
en G = (u, v) ∈ R2
: −u < v < u .
4.2. Sean A ⊂ Rn
abierto, y f : A → Rn
de clase C1
, tal que, si x, y, x + y ∈ A, se
cumple
f(x + y) − f(x) − y ≤
y
2
.
(a) Prueba que se cumple Duf(x) − u ≤ 1/2 para u = 1, x ∈ A.
(b) Prueba que f define un difeomorfismo entre A y f(A).
4.3. Prueba que la ecuaci´on z cos x − y cos z = 0 define una funci´on impl´ıcita z(x, y)
en un entorno de (π/2, π/2, π/2). Halla el polinomio de Taylor de grado 2 de z(x, y),
centrado en (π/2, π/2).
4.4. Sean g : R2
→ R de clase C2
, y λ > 0, tales que
g(0, 0) = λ, D2
1,1g(0, 0) = D2
2,2g(0, 0) = D2
1,2g(0, 0) = −λ.
(a) Prueba que la ecuaci´on xz3
+ z g(x, y) = x2
+ y2
+ z2
define impl´ıcitamente
una funci´on z = h(x, y) de clase C1
en un entorno de (0, 0), con h(0, 0) = λ.
(b) Prueba que, si h tiene un extremo local en (0, 0), se cumple D2g(0, 0) = 0.
(c) ¿Es un m´aximo o un m´ınimo?
Curso de An´alisis matem´atico III/41

42. 4.5. Se define f : R3
→ R por f(x, y, z) = x + y + z − sin(xyz).
(a) Demuestra que la ecuaci´on f(x, y, z) = 0 define en un entorno de (0, 0, 0) una
funci´on impl´ıcita z = h(x, y).
(b) Calcula las derivadas segundas de h en (0, 0).
(c) ¿Hay alg´un entorno de (0, 0) donde la funci´on (x, y) → h(x, y), 2y tenga
inversa diferenciable?
4.6. Halla el m´aximo y el m´ınimo valor, si existen, de f(x, y, z) = xy(z + 1) en
D = (x, y, z) ∈ R3
: x2
+ y2
+ z2
≤ 1, z ≥ 0 .
4.7. ¿D´onde alcanza su m´aximo valor f(x, y, z) = ax2
+by2
+cz2
, con 0 < a < b < c,
en D = (x, y, z) ∈ R3
; x2
+ y2
+ z2
≤ 1, z ≥ 0 .
4.8. Halla el m´aximo y el m´ınimo valor, si existen, de f(x, y) = (x2
+ y2
)ex+y
en
D = (x, y) ∈ R2
; x2
+ y2
≤ 1, x + y ≤ −1 .
4.9. Halla el m´aximo y el m´ınimo valor, si existen, de f(x, y) = x2
− 3x + 4y2
− 4y
en D = (x, y) ∈ R2
; x2
+ 4y2
≤ 1, x ≥ 0 .
4.10. Halla el m´aximo y el m´ınimo valor, si existen, de f(x, y, z) = x2
+y2
+z2
+x+y
en D = (x, y, z) ∈ R3
; x2
+ y2
+ z2
≤ 4, z ≥ 0 .
Curso de An´alisis matem´atico III/42

43. 5. APLICACIONES GEOM´ETRICAS
TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA EN EL PLANO
Sea ϕ : (t1, t2) → R2
, inyectiva, de clase C1
, con Dϕ(t) = 0 para todo t. Diremos que ϕ
es una representaci´on param´etrica, o una parametrizaci´on de una curva en R2
.
ϕ es un homeomorfismo (¿por qu´e?) entre el intervalo abierto (t1, t2) y el recorrido
ϕ (t1, t2) . Distinguimos entre la curva, que es el recorrido de la parametrizaci´on,
y ´esta, porque una misma curva puede admitir diferentes parametrizaciones, como
muestra el ejemplo que sigue.
Ejemplo. ϕ : (0, π/2) → R2
, dada por ϕ(t) = (cos t, sin t), es una parametrizaci´on
del arco de la circunferencia unidad contenido en el primer cuadrante del plano. Otra
parametrizaci´on es ψ(t) = (cos 2t, sin 2t), con 0 < t < π/4.
Si ϕ es una parametrizaci´on de una curva del plano, decimos que el vector derivada
ϕ (t) = ϕ1(t), ϕ2(t) es un vector tangente a la curva en el punto ϕ(t). Este
vector tangente depende de la parametrizaci´on.
Ejemplo (continuaci´on). Para las parametrizaciones del arco de circunferencia del
ejemplo, tenemos
ϕ (t) = (− sin t, cos t), ψ (t) = (−2 sin 2t, 2 cos 2t),
con lo que el vector tangente en (1/
√
2, 1/
√
2) es, en un caso, (−1/
√
2, 1/
√
2), y, en
el otro, (−
√
2,
√
2). Observa que estos vectores definen la misma direcci´on.
Sea ϕ : (t1, t2) → R2
una parametrizaci´on de una curva del plano. Las expre-
siones cambio de par´ametro, o reparametrizaci´on, designan un difeomorfismo
h : (s1, s2) → (t1, t2). Entonces ψ = ϕ ◦ h es otra parametrizaci´on de la misma curva
(el recorrido de ϕ y ψ es el mismo). Por la regla de la cadena, ψ (t) = h (s)ϕ (h(s)),
y los vectores tangentes definen la misma direcci´on. Si h (s) > 0, tienen adem´as
el mismo sentido, y decimos que el cambio de par´ametro conserva el sentido. Si
h (s) < 0, decimos que invierte el sentido.
La recta que pasa por un punto ϕ(t) y tiene la direcci´on del vector tangente ϕ (t)
es la recta tangente a la curva en ese punto. La recta tangente no depende de la
parametrizaci´on. La recta perpendicular a la tangente en el punto ϕ(t) es la recta
normal. Un vector director de la recta normal es − ϕ2(t), ϕ1(t) .
Si f : (a, b) → R es una funci´on de clase C1
, con f (x) = 0 para todo x, se obtiene
de forma obvia una parametrizaci´on de la gr´afica de f tomando ϕ(x) = x, f(x) . El
vector tangente en x, f(x) es 1, f (x) . Observa que la pendiente de este vector
coincide con la derivada f (x).
Una curva de R2
es un subconjunto M ⊂ R2
tal que, para cada punto (x, y) ∈
M existen un entorno U y una parametrizaci´on ϕ : (t1, t2) → R2
de modo que
ϕ (t1, t2 = M ∩ U. Con esta definici´on de curva, la gr´afica de una funci´on f :
(a, b) → R como la del p´arrafo anterior es una curva, aunque no toda curva del plano
es la gr´afica de una funci´on de una variable (v. el ejemplo que sigue). Observa que,
si en entorno de un punto (x0, y0) ∈ M hay dos parametrizaciones ϕ y ψ, podemos
restringir ´estas a un arco de M de modo que ϕ ◦ ψ−1
sea un cambio de par´ametro.
Tiene sentido, pues, considerar las rectas tangente y normal a una curva en un punto,
ya que no dependen de la parametrizaci´on.
Curso de An´alisis matem´atico III/43

44. Ejemplo. La circunferencia unidad del plano es una curva. Para cada punto (x, y) de
la circunferencia existe θ ∈ [0, 2π) tal que x = cos θ, y = sin θ, y basta definir ϕ(t) =
(cos t, sin t) en θ−π/2, θ+π/2 para tener una parametrizaci´on de la circunferencia en
un entorno de ese punto. Esta parametrizaci´on da un vector tangente (− sin θ, cos θ)
(con sentido antihorario) y un vector normal (− cos θ, sin θ) (con sentido hacia el
origen).
Observa que no s´olo la circunferencia no es la gr´afica de ninguna funci´on de una
variable, sino que no es posible definir una parametrizaci´on ´unica para toda la cir-
cunferencia, puesto que es un subconjunto compacto de R2
, y toda parametrizaci´on
es un homeomorfismo.
Sea f : A → R de clase C1
, con A ⊂ R2
abierto, y supongamos que f(x, y) = 0 para
todo (x, y) ∈ A. Entonces M = (x, y) ∈ A : f(x, y) = 0 es una curva. En efecto,
por el teorema de la funci´on impl´ıcita, en un entorno de un punto (x0, y0) ∈ M
podemos expresar una coordenada como funci´on impl´ıcita de la otra, por ejemplo
y = g(x). Entonces x → x, g(x) es una parametrizaci´on en un entorno de (x0, y0).
Recuerda que la derivada de la funci´on impl´ıcita es
g (x) = −
∂f/∂x
∂f/∂y
y por consiguiente los vectores
−
∂f
∂y
,
∂f
∂x
,
∂f
∂x
,
∂f
∂y
son, respectivamente, tangente y normal a la curva. Si expresamos x como funci´on
impl´ıcita de y llegamos al mismo resultado.
As´ı pues, f(x, y) = 0, con f de clase C1
y f(x, y) == 0, define una curva en el
plano, y el gradiente f(x, y) da la direcci´on normal a la curva. Estas ecuaciones se
llaman ecuaciones impl´ıcitas.
Ejemplo. La circunferencia puede darse por la ecuaci´on impl´ıcita x2
+ y2
− 1 = 0.
En el punto (1/
√
2, 1/
√
2), por ejemplo, el gradiente es (
√
2,
√
2), la recta tangente
x + y =
√
2, y la recta normal x − y = 0.
Si A ⊂ R2
es abierto y f : A → R, un conjunto del tipo (x, .y) ∈ A : f(x, y) = C ,
con C ∈ R, es una isocuanta o curva de nivel de f. En distintos ´ambitos cient´ıficos,
las isocuantas reciben nombres adecuados al contexto: isobaras, isotermas, curvas de
potencial, etc.
Si f es de clase C1
y el gradiente no se anula, las isocuantas son curvas en el sentido
que hemos dado aqu´ı al t´ermino. El gradiente en un punto es un vector normal a
la isocuanta que pasa por ese punto. Recuerda que la derivada en la direcci´on del
gradiente es m´axima, y en la direcci´on perpendicular, nula. El que la derivada en
la direcci´on tangente a la curva sea nula, se corresponde con el que la funci´on sea
constante sobre esa curva.
El teorema de Lagrange tiene de esta forma una interpretaci´on geom´etrica atractiva.
En un punto en el que f tiene un m´aximo o m´ınimo local sobre la curva de ecuaci´on
g(x, y) = 0, el gradiente de f es normal a esta curva, lo que equivale a que ´esta sea
tangente a la isocuanta de f que pasa por ese punto. ´Esta es la base de los m´etodos
gr´aficos de optimizaci´on.
Ejemplo. El m´aximo de f(x, y) = xy sobre D = (x, y) ∈ R2
: x + y ≤ 1, x, y ≥ 0
se alcanza en (1/2, 1/2), que es la intersecci´on de la recta x + y = 1 con la isocuanta
xy = 1/4. La recta es tangente a la hip´erbola en este punto.
Curso de An´alisis matem´atico III/44

45. Ejercicios
1. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la hip´erbola x2
− y2
= 1 en
el punto
√
3,
√
2 .
2. Demuestra que la ecuaci´on y3
+ 3x2
y − x3
+ 2x + 3y = 0 define una curva. Halla
las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el origen.
ECUACI´ON DIFERENCIAL DE UN HAZ DE CURVAS
Una ecuaci´on diferencial es una ecuaci´on en la que intervienen una funci´on y sus
derivadas. Si se trata de una funci´on de una variable, tenemos una ecuaci´on dife-
rencial ordinaria, y si no, una ecuaci´on en derivadas parciales. Nos limitaremos
aqu´ı a las ecuaciones ordinarias. Si designamos por y una funci´on de x, y por y ,
y , etc., sus derivadas, una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden n es una
expresi´on del tipo f x, y, y , . . . , y(n)
= 0.
Las funciones que cumplen una ecuaci´on diferencial son sus soluciones. En este
cap´ıtulo incluimos algunos m´etodos para resolver ecuaciones ordinarias de primer
orden. En el curso de Ecuaciones diferenciales se ver´an otros m´etodos.
Ejemplo. y = x es una ecuaci´on de primer orden, con infinitas soluciones, que
podemos expresar en la forma y = x2
/2 + C, con C ∈ R.
En general, una ecuaci´on diferencial tiene infinitas soluciones. Una expresi´on como
la del ejemplo anterior, en la que las soluciones se obtienen al dar valores a uno o
varios par´ametros (C en el ejemplo), se llama soluci´on general de la ecuaci´on. Las
soluciones particulares pueden identificarse a trav´es de los par´ametros, o mediante
condiciones que se denominan gen´ericamente condiciones iniciales.
Ejemplo. Hallamos la soluci´on de y = x que es tangente a la recta y = x en el
origen. La soluci´on general es y = x3
/6 + C1x + C2, y la condici´on que imponemos
para seleccionar la soluci´on particular equivale a y(0) = 0, y (0) = 1, o sea a C1 = 1,
C2 = 0. Luego la soluci´on buscada es y = x3
/6 + x.
Si consideramos que la gr´afica de una soluci´on de una ecuaci´on diferencial ordi-
naria es una curva, podemos interpretar la soluci´on general como la ecuaci´on de
un haz de curvas. Entonces la ecuaci´on diferencial cuya soluci´on da el haz es la
ecuaci´on diferencial del haz. En general, no se exige que la ecuaci´on del haz d´e
expl´ıcitamente y como funci´on de x, sino que se admiten ecuaciones impl´ıcitas del
tipo g x, C1, . . . , Cn = 0 (v. Ejemplo).
Ejemplo. Consideremos el haz de circunferencias de ecuaci´on x2
+ y2
= C (C > 0).
Derivando impl´ıcitamente (all´ı donde y = 0), resulta la ecuaci´on diferencial del haz,
x+yy = 0. Se ve claro que, para cualquier soluci´on y(x) de esta ecuaci´on, x2
+y(x)2
es constante.
Observa que, en la ecuaci´on diferencial, y = 0 implica x = 0, y por consiguiente
ninguna soluci´on puede tomar el valor 0. Sin embargo, los puntos ±
√
C, 0 est´an
incluidos en la ecuaci´on del haz de circunferencias. Al expresar las soluciones en
forma impl´ıcita podemos incluir algunos puntos que no tienen sentido en la ecuaci´on
diferencial.
Curso de An´alisis matem´atico III/45

46. Cuando las rectas tangentes a dos curvas en un punto en el cual se cortan son per-
pendiculares, decimos que las curvas lo son. Si todas las curvas de un haz son per-
pendiculares a las de otro haz, all´a donde se corten, decimos que uno es el haz de
trayectorias ortogonales del otro. Para pasar de un haz al de trayectorias ortogo-
nales basta cambiar y por −1/y en la ecuaci´on diferencial.
Ejemplo. El haz de circunferencias x2
+ y2
= C y el haz de rectas y = Cx son
ortogonales (C no es lo mismo en las dos ecuaciones). Las ecuaciones diferenciales
son x + yy = 0 y xy − y = 0, respectivamente.
Ejercicios
1. ¿Cu´ales son las trayectorias ortogonales al haz de curvas exponenciales y = Ce−2x
,
con C ∈ R?
2. ¿Cu´ales son las trayectorias ortogonales al haz de hip´erbolas xy = C, con C ∈ R?
ECUACIONES EN VARIABLES SEPARABLES
Las ecuaciones diferenciales m´as sencillas son las que se pueden expresar en la forma
f(y)y = g(x). Se llaman ecuaciones en variables separables. Si F es una
primitiva de f y G una primitiva de g, se ve f´acilmente que la soluci´on general es
F(y) = G(x) + C. En algunos lugares, estas ecuaciones se presentan en la forma
cl´asica f(y) dy = g(x) dx. Entonces la soluci´on se presenta en forma de integral,
f(y) dy = g(x) dx + C.
Ejemplo. Hallamos la soluci´on de 1 + ex
yy = ex
que cumple y(0) = 0. Para ello
integramos en los dos miembros de
yy =
ex
1 + ex
,
obteniendo y2
/2 = log 1 + ex
+ C. Por la condici´on inicial, debe ser C = − log 2, y
en definitiva la soluci´on es
y = 2 log
1 + ex
2
.
A veces se puede transformar una ecuaci´on en otra en variables separables mediante
un cambio de variable. El caso m´as t´ıpico es el de una ecuaci´on homog´enea,
y = f(y/x). Con el cambio de variable u = y/x, esta ecuaci´on se convierte en
u x + u = f(u), que es una ecuaci´on en variables separables.
Ejemplo. Resolvemos la ecuaci´on
y =
y2
+ 2xy
x2 + 2xy
.
Con el cambio u = y/x, la ecuaci´on se transforma en
u x + u =
u2
+ 2u
1 + 2u
.
Curso de An´alisis matem´atico III/46

47. Separando las variables, tenemos
1 + 2u
u(1 − u)
u =
1
x
.
Suponiendo que todas las funciones que aparecen en esta expresi´on son positivas, la
integral es
log
u
(1 − u)3
= log x + C.
Operando y reemplazando u por y/x, podemos llegar a la soluci´on general
xy + C x − y
3
= 0.
Se puede comprobar, derivando impl´ıcitamente y eliminando C, que las curvas de este
haz satisfacen la ecuaci´on diferencial de partida, para cualquier C = 0, sin ninguna
suposici´on sobre el signo de las funciones que intervienen en la ecuaci´on del haz. Esto
valida nuestro argumento, a pesar del descuido con el que hemos colocado algunas
funciones en el denominador de una expresi´on, o manejado los logaritmos de otras sin
contar con que pod´ıan no ser positivas.
Una variante de este m´etodo se puede usar para ecuaciones del tipo
y = f
a1x + b1y + c1
a2x + b2y + c2
.
Si a1b2 = a2b1, se hace u = a1x+b1y y se obtiene una ecuaci´on en variables separables
(en u y x). Si a1b2 = a2b1, se escogen α y β de forma que a1α + b1β + c1 =
a2α + b2β + c2 = 0, y el cambio x = u + α, y = v + β da una ecuaci´on homog´enea (en
v y u).
Ejercicios
1. Resuelve la ecuaci´on xy − y = y3
.
2. Resuelve la ecuaci´on x + 4y y = x + y.
3. Resuelve la ecuaci´on
y =
x + y + 1
2x
.
4. Resuelve la ecuaci´on
y = −
x + y + 1
3x + 3y + 4
.
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Una ecuaci´on diferencial exacta es una ecuaci´on P(x, y) + Q(x, y)y = 0 tal que
existe una funci´on F(x, y), que se llama primitiva, tal que
∂F
∂x
= P,
∂F
∂y
= Q.
Entonces la soluci´on general es el haz de ecuaci´on F(x, y) = C. Basta derivar
impl´ıcitamente en esta ecuaci´on para obtener la ecuaci´on diferencial. Por el teorema
de Schwarz, una condici´on necesaria para que exista la primitiva es
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
.
Se puede demostrar que, en un subconjunto abierto del plano que cumple ciertas
condiciones topol´ogicas (simplemente conexo), esta condici´on es suficiente.
Curso de An´alisis matem´atico III/47

48. Ejemplo. 2x3
+ 3y + 3x + y − 1)y = 0 es una ecuaci´on exacta, y F(x, y) =
2x4
+ 3xy + y2
/2 − y es una primitiva.
Una funci´on H(x, y), tal que P(x, y)H(x, y)+Q(x, y)H(x, y)y = 0 es exacta, se llama
factor integrante. El factor integrante debe cumplir
∂(QH)
∂x
=
∂(PH)
∂y
.
Ejemplo. H(x) = 1/x2
es un factor integrante de x2
− y + xy = 0. En efecto, la
ecuaci´on 1 − y/x + y /x = 0 es exacta, y F(x, y) = x + y/x es una primitiva.
Se puede probar que, en ciertas condiciones, una ecuaci´on P(x, y) + Q(x, y)y = 0
admite un factor integrante, pero no siempre es sencillo hallarlo. No obstante, es f´acil
averiguar si hay un factor integrante que s´olo depende de una variable, x o y. Por
ejemplo, si hay un factor integrante H(x), la condici´on necesaria que hemos visto
anteriormente se convierte en
H(x)
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
H(x) + Q(x, y)H (x),
o sea
∂P
∂y
−
∂Q
∂x
Q(x, y)
=
H (x)
H(x)
y por tanto la expresi´on del primer miembro no depende de y. Integrando y aplicando
la funci´on exponencial tenemos el factor integrante.
Con un razonamiento an´alogo se puede ver que una condici´on necesaria (y en la
mayor´ıa de los casos suficiente) para que haya un factor integrante H(y) es que
∂P
∂y
−
∂Q
∂x
P(x, y)
s´olo dependa de y.
Ejemplo (continuaci´on). En la ecuaci´on x2
− y + xy = 0,
∂P
∂y
−
∂Q
∂y
Q(x, y)
= −
2
x
e integrando y aplicando la exponencial a esta expresi´on obtenemos H(x) = 1/x2
.
Ejercicios
1. Resuelve la ecuaci´on 3x2
+ 6xy2
+ 6x2
y + 4y3
y = 0.
2. Resuelve la ecuaci´on y2
exy2
+ 4x3
+ 2xyexy2
− 3y2
y = 0.
3. Resuelve x + y2
− 2xyy = 0 usando un factor integrante.
4. Resuelve 2xy4
ey
+2xy3
+y+ x2
y4
ey
−x2
y2
−3x y = 0 usando un factor integrante.
5. Resuelve y y + 2x + 1 − xy 2y + x − 1 = 0, usando un factor integrante del tipo
g(xy).
Curso de An´alisis matem´atico III/48

49. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Una ecuaci´on diferencial lineal es una ecuaci´on diferencial que es lineal en y y
en sus derivadas. Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se pueden
expresar en la forma y + P(x)y = Q(x).
Consideremos, en primer lugar, una ecuaci´on lineal del tipo y + P(x)y = 0. Estas
ecuaciones se llaman homog´eneas (no tienen nada que ver con las ecuaciones ho-
mog´eneas de la secci´on anterior). Una ecuaci´on lineal homog´enea es una ecuaci´on en
variables separables, y + P(x)y = 0, y ya sabemos c´omo resolverla.
Es interesante observar que el operador Ty = y +Py es lineal, con lo que las soluciones
de la ecuaci´on forman un espacio vectorial, el n´ucleo de T. En la soluci´on general de
una ecuaci´on de primer orden s´olo aparece un par´ametro, y por tanto la dimensi´on
del espacio de soluciones es 1.
Consideremos ahora la forma general de la ecuaci´on lineal, Ty = Q. Si y1 e y2
son dos soluciones, y1 − y2 es una soluci´on de la ecuaci´on homog´enea Ty = 0. Por
consiguiente, la soluci´on general de la ecuaci´on y + P(x)y = Q(x) es la suma
de la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea y + P(x)y = 0 y de una
soluci´on particular.
Ejemplo. Vamos a hallar la soluci´on general de y = 3y + x. En primer lugar, la
ecuaci´on homog´enea y − 3y = 0 se puede expresar como una ecuaci´on en variables
separables, y /y = 3, e integrando en ambos miembros (e ignorando el signo de y),
resulta log y = 3x + C, con lo que la soluci´on general es y = C e3x
. As´ı pues, las
soluciones forman un espacio vectorial de dimensi´on 1, generado por x → e3x
.
En este caso, es f´acil ver que un polinomio de primer grado puede ser una soluci´on de
la ecuaci´on completa. Ensayando y = ax + b, obtenemos a = −1/3, b = −1/9. Por
tanto, la soluci´on general de la ecuaci´on completa es y = C e3x
− x/3 − 1/9.
Se puede dar una f´ormula para obtener directamente la soluci´on general de una
ecuaci´on lineal de primer orden. En primer lugar, operando como en el ejemplo
anterior, podemos ver que la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea es
y = C e− P (x) dx
.
La soluci´on particular se puede obtener por tanteo, como hemos hecho en el ejemplo,
o por un m´etodo conocido como m´etodo de variaci´on de las constantes, del que
no nos vamos a ocupar aqu´ı. Otra v´ıa, que permite resolver la ecuaci´on de una vez, sin
necesidad de considerar primero la ecuaci´on homog´enea, es usar un factor integrante.
Aplicando lo que vimos en la secci´on anterior, podemos ver que P(x)y−Q(x)+y = 0
tiene un factor integrante que s´olo depende de x, concretamente
H(x) = e P (x) dx
.
Entonces la ecuaci´on
P(x)y − Q(x) e P (x) dx
+ y e P (x) dx
= 0
es exacta, y
F(x, y) = y e P (x) dx
− Q(x) e P (x) dx
dx
es una primitiva. Igualando a C y despejando y obtenemos una f´ormula general,
y = e− P (x) dx
C + Q(x) e P (x) dx
dx ,
que incluye, en el primer sumando, la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea.
Una ecuaci´on de Bernouilli es una ecuaci´on del tipo y + P(x)y = Q(x)yα
. Escri-
biendo esta ecuaci´on en la forma y−α
y + P(x)y1−α
= Q(x), se ve f´acilmente que se
puede convertir en una ecuaci´on lineal mediante el cambio u = y1−α
.
Curso de An´alisis matem´atico III/49

50. Ejemplo. y − y = xy6
es una ecuaci´on de Bernouilli, que, mediante la sustituci´on
u = y−5
, se transforma en u + 5u = −x. La soluci´on de ´esta es
u = e− 5 dx
C + −x e 5 dx
dx = Ce−5x
−
x
5
+
1
25
.
Ejercicios
1. Resuelve la ecuaci´on y + y = x2
.
2. Resuelve la ecuaci´on y + 2xy = xy3
.
3. Resuelve la ecuaci´on y + 4xy = 2x e−x2 √
y.
CURVAS Y SUPERFICIES EN Rn
Vamos a extender ahora a Rn
la definici´on de parametrizaci´on de una curva. Una
parametrizaci´on de una curva en Rn
es una funci´on ϕ : (t1, t2) → Rn
, inyectiva, de
clase C1
, con Dϕ(t) = 0 para todo t. ϕ es un homeomorfismo entre el intervalo abierto
(t1, t2) y el recorrido ϕ (t1, t2) . El vector derivada ϕ (t) = ϕ1(t), . . . , ϕn(t) es un
vector tangente a la curva en el punto ϕ(t). Este vector tangente depende de la
parametrizaci´on.
Si h : (s1, s2) → (t1, t2) es un cambio de par´ametro, ψ = ϕ◦h es otra parametrizaci´on,
con el mismo recorrido, y ψ (t) = h (s)ϕ (h(s)). El subespacio generado por el vector
tangente (dimensi´on 1) se llama subespacio tangente, y el subespacio ortogonal a
´este (dimensi´on n − 1), subespacio normal.
La recta que pasa por un punto ϕ(t), y tiene la direcci´on del vector tangente ϕ (t), es
la recta tangente a la curva en ese punto. El hiperplano perpendicular a la recta
tangente en ϕ(t) es el hiperplano normal. La recta tangente y el plano normal no
cambian al aplicar un cambio de par´ametro.
Ejemplo. ϕ(t) = (cos t, sin t, t), t ∈ R, es una parametrizaci´on de una h´elice circular.
Un vector tangente en (1, 0, 0), donde t = 0, es u = (0, 1, 1), y la recta tangente tiene
ecuaci´on
x = 1, y = z.
Los vectores v = (0, 1, −1) y w = (1, 0, 0) forman una base del subespacio normal. La
ecuaci´on del plano normal es y + z = 0.
Una curva de Rn
es un subconjunto M ⊂ R2
tal que, para cada punto x ∈ M existen
un entorno U y una parametrizaci´on ϕ : (t1, t2) → Rn
de modo que ϕ (t1, t2) =
M ∩ U. Si en un entorno de un punto de M hay dos parametrizaciones ϕ y ψ,
podemos restringir ´estas a un arco de M de modo que ϕ ◦ ψ−1
sea un cambio de
par´ametro, de modo que la recta tangente y el plano normal est´an bien definidos.
Sea f : A → Rn−1
una funci´on de clase C1
, con A ⊂ Rn
abierto, y supongamos que
Df(x) tiene rango n − 1 (equivalentemente, los gradientes de las componentes de f
son linealmente independientes) para todo x ∈ A. Entonces M = x ∈ A : f(x) = 0
es una curva. Por el teorema de la funci´on impl´ıcita, en un entorno de un punto de
M todas las coordenadas se pueden dar como funci´on impl´ıcita de una de ellas, y
tenemos una parametrizaci´on.
Sea, para simplificar la notaci´on, la funci´on impl´ıcita (x2, . . . , xn) = g(x1). Entonces
f x1, g(x1) = 0, y, por la regla de la cadena, Df(x) ◦ Dg(x1) = 0. Esto implica
que el subespacio tangente a la curva coincide con el n´ucleo de la diferencial Df(x),
o, si se prefiere, con el subespacio ortogonal a las filas de la matriz jacobiana (los
gradientes de las componentes de f), que forman una base del subespacio normal.
Curso de An´alisis matem´atico III/50

51. Ejemplo. Consideremos las ecuaciones
z = x2
+ y2
, x + y + z = 1,
que aparec´ıan en un ejemplo del cap´ıtulo anterior. Definiendo f : R3
→ R por
f(x, y, z) = (x2
+ y2
− z, x + y + z − 1), tenemos
Df(x, y, z) =
2x 2y −1
1 1 1
,
con rango 2 en todos los puntos para los que f(x, y, z) = 0. Por tanto estas ecuaciones
definen una curva en R3
.
Consideremos un punto de esta curva, por ejemplo 0, (
√
5−1)/2, (3−
√
5)/2 . Si u es
tangente a la curva en este punto, debe ser ortogonal a las filas de la matriz jacobiana
de f o sea √
5 − 1 u2 − u3 = u1 + u2 + u3 = 0.
Una soluci´on de este sistema es −
√
5, 1,
√
5 − 1 , y por tanto la recta tangente es
x
−
√
5
= y −
√
5 − 1
2
=
z − 3 −
√
5 /2
√
5 − 1
.
La ecuaci´on del plano normal es
−
√
5 x + y −
√
5 − 1
2
+
√
5 − 1 z −
3 −
√
5
2
= 0.
Una parametrizaci´on p-dimensional en Rn
es una funci´on inyectiva ϕ : T → Rn
,
de clase C1
, definida en un abierto T ⊂ Rn
, donde Dϕ(t) tiene rango p para todo t ∈ T.
Los vectores columna de la matriz jacobiana de ϕ, que son linealmente independientes,
generan un subespacio p dimensional que se llama subespacio tangente. El ortogonal
es el subespacio normal. Observa que, si fijamos todos los par´ametros menos uno, y
consideramos
s → t1, . . . , ti−1, s, ti+1, . . . , tp ,
obtenemos una parametrizaci´on de una curva. Un vector tangente es ∂ϕ/∂ti.
Un cambio de par´ametros es un difeomorfismo h : V → U. ψ = ϕ ◦ h es otra
parametrizaci´on, con el mismo recorrido. Por la regla de la cadena, Dψ(s) =
Dϕ (h(s) ◦ Dh(s). Como Dh(s) es invertible, las filas de Dψ(s) son combinaci´on
lineal de las de Dϕ (h(s) , y viceversa. Luego el subespacio tangente no cambia al
aplicar un cambio de par´ametros, ni tampoco el subespacio normal.
Ejemplo. ϕ : 0, π/2 × 0, π/2 → R3
definida por
ϕ(s, t) = cos s cos t, sin s, cos t, sin t
es una parametrizaci´on bidimensional, y el recorrido de ϕ es un octante de la esfera
de centro el origen y radio 1. Los vectores
∂ϕ
∂s
= − sin s cos t, cos s cos t, 0 ,
∂ϕ
∂t
= − cos s sin t, sin s sin t, cos t
son linealmente independientes y generan el subespacio tangente. En el punto
1/
√
3, 1/
√
3, 1/
√
3 , donde s = π/4 y t = arcsin(1/
√
3), los vectores tangentes son
u = − 1/
√
3, 1/
√
3, 0 , v = − 1/
√
6, −1/
√
6, 2/3 .
Curso de An´alisis matem´atico III/51

52. Una variedad diferenciable p-dimensional en Rn
es un conjunto M ⊂ Rn
, tal que
existe una familia (ϕ : Ui → Rn
)i∈I de parametrizaciones p-dimensionales, con M ⊂
∪i∈Iϕ(Ui), de forma que, si ϕi(Ui) ∩ ϕj(Uj) = ∅,
ϕ−1
j ◦ ϕi : ϕ−1
i ϕi(Ui) ∩ ϕj(Uj) −→ ϕ−1
j ϕi(Ui) ∩ ϕj(Uj)
es un un cambio de par´ametros. Las variedades de dimensi´on 1 son las curvas, y las de
dimensi´on 2 las superficies. Observa que, si un punto admite dos parametrizaciones,
el subespacio tangente no depende de la parametrizaci´on.
Las variedades se dan en forma impl´ıcita igual que las curvas, y el n´umero de ecua-
ciones, que en las curvas era n − 1, determina la dimensi´on. Si f : A → Rn−p
es una funci´on de clase C1
, con A ⊂ Rn
abierto, y Df(x) tiene rango n − p para
x ∈ A, el teorema de la funci´on impl´ıcita (p coordenadas como funci´on impl´ıcita
de las restantes) proporciona una parametrizaci´on p-dimensional. De este modo,
M = x ∈ A : f(x) = 0 es una variedad p-dimensional. El mismo argumento que
hemos usado para las curvas muestra que el subespacio tangente en un punto x ∈ M
coincide con el n´ucleo de Df(x), que es el subespacio formado por los vectores para
los que la derivada direccional se anula.
Vimos antes que los generadores del subespacio tangente dados por las derivadas
parciales ∂ϕ/∂ti eran vectores tangentes a una curva contenida en la variedad. Es
interesante observar que todo vector tangente a una variedad es tangente a una curva
contenida en ella, y rec´ıprocamente. En primer lugar, supongamos que γ : (s1, s2) →
Rn
es una parametrizaci´on de una curva contenida en M = {x ∈ Rn
: f(x) = 0}.
Entonces f γ(s) = 0 para todo s, y, por la regla de la cadena, Df γ(s) ◦ Dγ(s),
con lo que el vector derivada γ (s) pertenece al n´ucleo de Df γ(s) , y es tangente.
Rec´ıprocamente, si ϕ : U → M es una parametrizaci´on de un subconjunto de la
variedad, y
v = λ1
∂ϕ
∂t1
+ · · · + λp
∂ϕ
∂tp
es un vector tangente, γ(s) = ϕ λ1s, . . . , λps define una curva tangente a u.
Ejemplo (continuaci´on). Si f(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
− 1, f(x, y, z) = 0 es la
ecuaci´on de la esfera unidad. El gradiente es f(x, y, z) = 2x, 2y, 2z . Haciendo
x = y = z = 1/
√
3, obtenemos el vector w = 2/
√
3, 2/
√
3, 2/
√
3 , que es ortogonal
a los vectores tangentes que obtuvimos antes, usando la parametrizaci´on del primer
octante. La ecuaci´on del plano tangente es
2
√
3
x −
1
√
3
+
2
√
3
y −
1
√
3
+
2
√
3
z −
1
√
3
= 0,
o sea x + y + x =
√
3. La ecuaci´on de la recta normal es
x − 1/
√
3
2/
√
3
=
y − 1/
√
3
2/
√
3
=
z − 1/
√
3
2/
√
3
,
o sea x = y = z.
Ejemplo (continuaci´on). Volvemos a la curva del cap´ıtulo anterior, pero ahora
consideramos las dos superficies cuya intersecci´on da la curva. En primer lugar,
z = x2
+ y2
define una superficie (un paraboloide). Un vector normal en el punto
0,
√
5 − 1)/2, (3 −
√
5)/2 es v = 0,
√
5 − 1, −1 , y por tanto el plano tangente en
ese punto es
√
5 − 1 y −
√
5 − 1
2
− z −
3 −
√
5
2
= 0.
El plano x + y + z = 1 es otra superficie, que coincide con su plano tangente, y la
intersecci´on de ambos planos es la recta tangente a la curva que dan ambas ecuaciones
juntas, que es la intersecci´on del paraboloide y el plano, y que ya hemos hallado antes.
Curso de An´alisis matem´atico III/52

53. Ejercicios
1. Comprueba que el sistema
x2
+ y2
+ z2
= 1, x + y + z = 1
define una curva en R3
. Halla la ecuaci´on de la recta tangente y el plano normal en
(1, 0, 0).
2. Comprueba que el sistema
xy = 1, x2
+ y2
+ z2
+ z = 2
define una curva en un entorno de (1, 1, 0). Halla la ecuaci´on de la recta tangente en
ese punto.
PROBLEMAS
5.1. Halla la distancia de la curva dada por las ecuaciones
x2
+ y2
+ z = 4, x + y + z = 1
al plano tangente a la superficie x2
+ y2
− 4y + z = 0 en el punto (0, 4, 0).
5.2. De todas las rectas normales a la elipse x2
/4 + y2
= 1, ¿cu´al es la que est´a a
mayor distancia del origen?
5.3. Considera el sistema
2z = 16 − x2
− y2
, x + y = 4.
(a) Prueba que este sistema define una curva de R3
.
(b) Prueba que los puntos a distancia m´ınima del origen son (2 +
√
3, 2 −
√
3, 1) y
(2 −
√
3, 2 +
√
3, 1).
(c) Considera el arco de esta curva obtenido al restringir x, y ≥ 0. Prueba que el
punto de este arco a distancia m´axima del origen es (2, 2, 4).
5.4. Considera la ecuaci´on diferencial de primer orden e2x
− y2
+ yy = 0.
(a) Resuelve la ecuaci´on transform´andola previamente en una ecuaci´on exacta.
(b) Resu´elvela usando el cambio de variable z = y2
.
5.5. Considera una curva tal que si P es un punto cualquiera de ella, A es la inter-
secci´on de la tangente con el eje y, y B la intersecci´on de la normal con el eje x, la
recta y + x = 0 pasa por el punto medio de A y B. ¿Cu´al es la ecuaci´on de la curva?
5.6. Da la ecuaci´on de una curva tal que la intersecci´on del eje x y la recta normal a
la curva por un punto (x, y) est´a a la misma distancia de (x, y) que el origen.
Curso de An´alisis matem´atico III/53

54. 6. PROBLEMAS DE REPASO
6.1. Sea A ⊂ Rn
un conjunto convexo. Demostrar que ¯A y A◦
son convexos.
6.2. Sea (Cm)m una sucesi´on decreciente de subconjuntos compactos no vac´ıos de
Rn
, con lim δ(Cm) = 0. Demuestra que la intersecci´on de esta sucesi´on es un conjunto
que contiene exactamente un punto.
6.3. Sean A, B ⊂ Rn
, de modo que A sea compacto y B cerrado. Demuestra que
existen a ∈ A y b ∈ B tales que a − b = d(A, B). Muestra con un ejemplo que esto
no es cierto, en general, para dos conjuntos cerrados.
6.4. Sean A ⊂ Rn
abierto, a ∈ A, f : A → R continua en a, y g : A → R diferenciable
en a, con g(a) = 0. Demuestra que fg es diferenciable en a.
6.5. Sean A ⊂ Rn
, abierto y convexo, y f : A → Rm
diferenciable. Demuestra que
se cumple
sup
x=y
x,y∈A
f(x) − f(y)
x − y
= sup
z∈A
Df(z) .
Muestra con un ejemplo que si A no es convexo, esta f´ormula puede no ser v´alida.
Observaci´on. Df(x) es la norma de una aplicaci´on lineal, no la norma de un vector.
6.6. Hallar y clasificar, seg´un los valores del par´ametro α, los extremos locales de la
funci´on f : R2
→ R definida por
f(x, y) = α − x α − y x + y − α .
6.7. Prueba que el sistema
u = x3
, v = x + y
define un cambio de variable (x, y) → (u, v), en el primer cuadrante del plano xy.
¿En qu´e dominio del plano uv se transforma este cuadrante? ¿Cu´al es el jacobiano
del cambio?
6.8. Sean D = (x, y) ∈ R2
: x, y ≥ 0 y f : D → R definida por f(x, y) = x1/3
y2/3
.
(a) ¿Halla el m´aximo y el m´ınimo de f en
A = (x, y) ∈ D : x/
√
3 ≤ y ≤
√
3x, x2
+ y2
≤ 1 ,
si existen.
(b) Lo mismo para
B = (x, y) ∈ D : x/
√
3 ≤ y ≤
√
3x, x2
+ y2
≥ 1 .
6.9. Se define f : (x, y, z) ∈ R3
; x2
+ y2
+ z2
≤ 4, z ≤ 1 → R por f(x, y, z) =
x2
+ y2
+ z2
+ x + y + z. Halla el m´aximo y el m´ınimo valor de f, si existen.
Curso de An´alisis matem´atico III/54

55. 6.10. Sea r la recta intersecci´on del plano xy y el plano tangente a la superficie de
ecuaci´on z = x2
+ y2
en el punto (2
√
2, 1, 9).
(a) Halla una ecuaci´on de r.
(b) Si P es un punto de una curva del plano xy, sea Q la intersecci´on de r y la
normal a la curva en P. Da una ecuaci´on general para las curvas para las
cuales la abscisa en cada punto P es el doble de la ordenada en Q.
6.11. Halla la ecuaci´on de una curva del plano que pase por el punto (3, 2) y, en todo
punto (x, y), la ordenada de la intersecci´on de la recta tangente con el eje y sea igual
a x.
Curso de An´alisis matem´atico III/55