Ci ag

Cálculo I
Artemio González López
Madrid, febrero de 2003

Índice general
0. Preliminares 1
1. La recta real 4
1.1. Concepto de cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Consecuencias de los axiomas de cuerpo . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Cuerpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Consecuencias de los axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1. Relaciones entre ≤ y · . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2. Otras consecuencias de los axiomas de orden . . . . . 10
1.5. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.1. Máximo y m´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6. Axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7. Consecuencias del axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.1. La propiedad arquimediana de los números reales . . . 16
1.7.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.3. Existencia de ra´ıces n-ésimas . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8. Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2. Funciones reales de variable real 24
2.1. Definición. Dominio, imagen y gráfica. . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas . . . . . . . . 26
2.3. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Funciones monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6. Funciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6.1. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7. Operaciones algebraicas con funciones . . . . . . . . . . . . . 38
3. L´ımites y continuidad 40
3.1. L´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.1. L´ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2. L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
i

ÍNDICE GENERAL ii
3.1.3. Propiedades de los l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.1. Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2. Continuidad en intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.1. Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.2. Teorema de los valores intermedios . . . . . . . . . . . 55
3.3.3. Teorema de acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.4. Existencia de máximo y m´ınimo . . . . . . . . . . . . 57
3.4. Funciones monótonas y continuidad . . . . . . . . . . . . . . 57
4. Derivación 61
4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2. Cálculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.1. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.2. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.3. Derivada de la función inversa . . . . . . . . . . . . . 72
4.3. Teoremas de Rolle y del valor medio . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.1. Crecimiento, decrecimiento y extremos locales . . . . . 76
4.3.2. Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3.3. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4. Extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5. Reglas de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6. Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5. Integración 95
5.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3. Continuidad e integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4. El teorema fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . 111
5.5. Cálculo de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.5.1. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.5.2. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5.3. Integración de funciones racionales . . . . . . . . . . . 120
5.5.4. Integrales reducibles a integrales de funciones racionales122
5.6. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.6.1. Integrales impropias de primera especie . . . . . . . . 126
5.6.2. Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . 132
5.6.3. Integrales impropias de tercera especie . . . . . . . . . 134
5.7. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.7.1. Área limitada por la gráfica de una función . . . . . . 135
5.7.2. Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . 136
5.7.3. Volumen y área de un sólido de revolución . . . . . . . 138

ÍNDICE GENERAL iii
6. El teorema de Taylor 140
7. Sucesiones y series 147
7.1. Sucesiones numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.1.1. Teorema de Bolzano–Weierstrass . . . . . . . . . . . . 149
7.1.2. El criterio de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.2. Series numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.2.1. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.3. Sucesiones y series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.3.1. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.3.2. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.4. Series de Taylor y series de potencias . . . . . . . . . . . . . . 166

Cap´ıtulo 0
Preliminares
Aunque aceptaremos la noción de conjunto como un concepto primiti-
vo (es decir, no definido en término de otros conceptos más fundamentales),
la idea intuitiva de conjunto es la de una colección de objetos. Es esencial
que la pertenencia de un objeto a un conjunto determinado sea una no-
ción bien definida y no ambigua. Por ejemplo, A = 1, 2,
√
7, España es
un conjunto, al igual que B = {x : x es ciudadano español}, mientras que
C = {x : x es un pa´ıs desarrollado} no lo es. Usaremos la notación x ∈ A
(respectivamente x /∈ A) para denotar que x es (respectivamente no es) un
elemento del conjunto A. Denotaremos por ∅ al conjunto vac´ıo, definido
como aquél conjunto que no posee ningún elemento. Por ejemplo,
x ∈ N : x2
< 0 = ∅.
Dados dos conjuntos A y B, diremos que A está contenido en B (ó que
A es un subconjunto de B), y escribiremos A ⊂ B, si todo elemento de A
está también en B. Simbólicamente,
A ⊂ B ⇐⇒ (x ∈ A ⇒ x ∈ B).
La notación B ⊃ A significa lo mismo que A ⊂ B. Por definición, dos
conjuntos A y B son iguales (lo que será denotado por A = B) si A ⊂ B y
B ⊂ A. Equivalentemente,
A = B ⇐⇒ (x ∈ A ⇔ x ∈ B).
Utilizaremos a veces la notación A B para indicar que A ⊂ B y A = B.
Dado un conjunto A, denotaremos por P(A) al conjunto de las partes
de A, definido como el conjunto de los subconjuntos de A:
P(A) = {B : B ⊂ A} .
La relación de inclusión (⊂) es una relación de orden parcial en P(A),
ya que goza de las siguientes propiedades:
1

CAPÍTULO 0. PRELIMINARES 2
i) ∀B ∈ P(A), B ⊂ B (propiedad reflexiva)
ii) ∀B, C ∈ P(A), B ⊂ C y C ⊂ B =⇒ B = C (prop. antisimétrica)
iii) ∀B, C, D ∈ P(A), B ⊂ C y C ⊂ D =⇒ B ⊂ D (propiedad transitiva)
Evidentemente, cualquiera que sea A los conjuntos ∅ y A son subconjuntos
de A (i.e., son elementos del conjunto P(A)). A estos dos subconjuntos en
cierto modo triviales se les llama subconjuntos impropios de A, mientras
que un subconjunto propio de A es cualquier subconjunto de A distinto de
∅ y de A.
Dados dos conjuntos A y B, se definen los conjuntos A∩B (intersección
de A con B) y A ∪ B (unión de A y B) mediante
A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B} , A ∪ B = {x : x ∈ A ó x ∈ B} .
Obviamente, A∩B ⊂ A, B ⊂ A∪B. Denotaremos por A−B a la diferencia
de los conjuntos A y B, definida por
A − B = {x ∈ A : x /∈ B} = A ∩ {x : x /∈ B} .
La unión y la intersección de conjuntos gozan de las siguientes propie-
dades elementales:
i) A ∩ B = B ∩ A, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
ii) A ∩ B = A ⇐⇒ A ⊂ B
iii) A ∩ ∅ = ∅
iv) A ∪ B = B ∪ A, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
v) A ∪ B = A ⇐⇒ B ⊂ A
vi) A ∪ ∅ = A
vii) A ⊂ B =⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C, A ⊂ C, B ⊂ C =⇒ A ∪ B ⊂ C
La unión y la intersección verifican además las siguientes propiedades dis-
tributivas:
i) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
ii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Demostremos, por ejemplo, la primera de estas igualdades. En virtud
de la definición de igualdad de dos conjuntos, basta probar que el miembro
izquierdo está contenido en el miembro derecho y viceversa.
En primer lugar,
B, C ⊂ B ∪ C =⇒ A ∩ B ⊂ A ∩ (B ∪ C), A ∩ C ⊂ A ∩ (B ∪ C),

CAPÍTULO 0. PRELIMINARES 3
de donde se deduce que el miembro derecho está contenido en el miembro
izquierdo. Rec´ıprocamente, si x ∈ A ∩ (B ∪ C) entonces x ∈ A y x ∈ B ∪ C,
es decir x ∈ A y x ∈ B ó x ∈ A y x ∈ C , de donde se deduce que
x ∈ (A∩B)∪(A∩C). Esto prueba que el miembro izquierdo está contenido
en el miembro derecho.
En general, si I es un conjunto de ´ındices arbitrario (finito ó infinito)
tal que a todo i ∈ I le corresponde un conjunto Ai, se define la unión y la
intersección de la familia de conjuntos {Ai : i ∈ I} mediante las fórmulas
i∈I
Ai = {x : ∃j ∈ I tal que x ∈ Aj}
i∈I
Ai = {x : x ∈ Aj, ∀j ∈ I} .
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto
A × B = (x, y) : x ∈ A, y ∈ B .
Nótese que en esta definición (x, y) es un par ordenado. En otras palabras,
(x1, y1) = (x2, y2) ⇐⇒ x1 = x2 e y1 = y2.
De esto se deduce que A × B no tiene por qué ser igual a B × A. (Ejercicio:
¿cuándo es A×B = B×A?) Más generalmente, dados n conjuntos A1, . . . , An
definiremos su producto cartesiano mediante
A1 × A2 × · · · × An = (x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ Ai, ∀i = 1, 2, . . . , n .
En particular, si A1 = A2 = · · · = An = A escribiremos
A × A × · · · × A
n veces
= An
.
En otras palabras,
An
= (x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ A, ∀i = 1, 2, . . . , n .
Ejercicio. ¿Son iguales los conjuntos ∅, {∅}, {∅} ?

Cap´ıtulo 1
La recta real
1.1. Concepto de cuerpo
Definición 1.1. Un cuerpo es un conjunto F en el que hay definidas dos
operaciones + : F × F → F, · : F × F → F (suma y producto, respecti-
vamente) y dos elementos 0 = 1 que cumplen las propiedades siguientes:
I) (F, +) es grupo abeliano: si x, y, z ∈ F se tiene
i) x + y = y + x (propiedad conmutativa)
ii) (x + y) + z = x + (y + z) (propiedad asociativa)
iii) x + 0 = x, ∀x ∈ F (elemento neutro ó cero)
iv) ∀x ∈ F, ∃y ∈ F tal que x + y = 0 (inverso respecto de la suma)
II) (F − {0}, ·) es grupo abeliano: si x, y, z ∈ F se tiene
v) x · y = y · x (propiedad conmutativa)
vi) (x · y) · z = x · (y · z) (propiedad asociativa)
vii) 1 · x = x, ∀x ∈ F (elemento neutro ó unidad)
viii) ∀x ∈ F con x = 0, ∃y ∈ F tal que x · y = 1 (inverso respecto del
producto)
III) Propiedad distributiva de la suma respecto del producto:
ix) x · (y + z) = x · y + x · z, ∀x, y, z ∈ F
A partir de ahora, escribiremos xy en lugar de x · y.
Ejemplo 1.2. Los conjuntos N y Z no son cuerpos. El conjunto Q s´ı lo es.
El cuerpo más pequeño es el conjunto {0, 1} con la suma y multiplicación
usuales módulo 2.
4

CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 5
1.2. Consecuencias de los axiomas de cuerpo
Proposición 1.3. Si (F, + , · ) es un cuerpo entonces se cumple:
i) 0 es único: si x + 0 = x, ∀x ∈ F, entonces 0 = 0.
En efecto, 0 + 0 = 0 (por ser 0 cero) = 0 (por ser 0 cero) ⇒ 0 = 0 .
ii) El inverso respecto de la suma es único: x + y = 0 = x + y ⇒ y = y .
En efecto, y+(x+y) = y+(x+y ) ⇒ (y+x)+y = (y+x)+y ⇒ y = y .
• Debido a esta propiedad, podemos llamar a partir de ahora −x al
inverso de x respecto de la suma.
• De la unicidad del inverso respecto de la suma se deduce que −(−x) =
x, ∀x ∈ F.
• A partir de ahora, x − y denotará el número x + (−y).
iii) Si a, b ∈ F, la ecuación x + a = b tiene la solución única x = b − a.
iv) 1 es único: si 1 · x = x, ∀x ∈ F, entonces 1 = 1.
v) El inverso respecto del producto es único: si x = 0, xy = 1 = xy ⇒
y = y .
• Debido a esta propiedad, podemos llamar a partir de ahora x−1 =
1
x
al inverso de x respecto del producto.
• De la unicidad del inverso respecto del producto se sigue que x−1 −1
=
x, ∀x = 0, x ∈ F.
• A partir de ahora,
y
x
denotará el número y
1
x
.
vi) Si x, y = 0, entonces
1
xy
=
1
x
1
y
.
vii) Si a, b ∈ F y a = 0, la ecuación a x = b tiene la solución única x =
b
a
.
viii) ∀x ∈ F se tiene 0 · x = 0.
En efecto, 0·x = (0+0)·x = 0·x+0·x ⇒ 0·x = 0 (sumando −(0·x)).
Corolario 1.4. 0−1 no existe en ningún cuerpo.
En efecto, ∀x ∈ F se tiene x · 0 = 0 = 1.
Todo cuerpo incluye los elementos 1 = 0, 1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3, etc.,
análogos a los números naturales. La diferencia es que puede ocurrir que
k = 1 + 1 + · · · + 1
k veces
= 0. Por ejemplo, 2 = 0 en el cuerpo {0, 1}. Esto motiva
la siguiente definición:

Definición 1.5. La caracter´ıstica de un cuerpo es el número natural p
más pequeño tal que 1 + 1 + · · · + 1
p veces
= 0. Si 1+1+· · ·+1 es siempre distinto
de cero, diremos que la caracter´ıstica es cero.
Por ejemplo, {0, 1} tiene caracter´ıstica 2, mientras que Q tiene carac-
ter´ıstica 0. Todo cuerpo con caracter´ıstica 0 incluye el conjunto infinito
{1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, . . . }, que es equivalente a N y denotaremos sim-
plemente por N a partir de ahora. Por el mismo motivo, un cuerpo de
caracter´ıstica 0 contiene también (conjuntos equivalentes) a Z y Q.
Proposición 1.6. Si la caracter´ıstica de un cuerpo es distinta de cero,
entonces es un número primo.
Esto es consecuencia de la siguiente importante proposición:
Proposición 1.7. Sea F un cuerpo, y sean a, b ∈ F. Si ab = 0, entonces
a = 0 ó b = 0.
Demostración. Si a = 0, multiplicando por a−1 obtenemos b = 0. Análoga-
mente, si b = 0 multiplicando por b−1 obtenemos a = 0. Q.E.D.
En particular, si la caracter´ıstica de un cuerpo fuera un número natural
p = rs con 1 < r, s < p, entonces p = 0 ⇒ r = 0 ó s = 0, y por tanto habr´ıa
un número “natural” (r ó s) menor que p e igual a cero.
Nota: para todo numero primo p, hay un cuerpo de caracter´ıstica p. Un
ejemplo es el cuerpo {0, 1, . . . , p − 1} con la suma y el producto ordinario
módulo p.
1.2.1. Potencias
Dado x ∈ F, definimos x1 = x, x2 = x · x, . . . , xn = x · x · · · · · x
n veces
(ó, si se
quiere, x1 = x y xn+1 = x · xn, recursivamente). Esto define xn para todo
n ∈ N. Además, si n, m ∈ N se tiene
xn
xm
= xn+m
.
[Dem.: f´ıjese n y apl´ıquese inducción sobre m.]
Si x = 0, podemos definir xn para todo n ∈ Z imponiendo que la fórmula
anterior sea válida para todo n, m ∈ Z. En primer lugar, como xn+0 =
xnx0 = xn (n ∈ N), debemos definir x0 = 1. Análogamente, al ser x0 = 1 =
xn−n = xnx−n, debemos definir x−n =
1
xn
para todo n ∈ N. Definiendo de
esta forma xk para k ∈ Z, se demuestra que la fórmula anterior es válida
para todo par de enteros m y n:

Demostración. Si m ó n son cero, o si n, m ∈ N, la afirmación es trivial.
Sólo quedan por considerar los siguientes subcasos:
• n > 0, m = −p < 0, p ≤ n:
xn
xm
= xn−p
xp 1
xp
= xn−p
= xn+m
.
• n > 0, m = −p < 0, p > n:
xn
xm
= xn 1
xp−nxn
=
1
xp−n
= xn−p
= xn+m
.
• n < 0, m > 0: se reduce a los casos anteriores intercambiando n y m.
• n = −q < 0, m = −p < 0:
xn
xm
=
1
xq
1
xp
=
1
xqxp
=
1
xp+q
= x−(p+q)
= xn+m
.
Q.E.D.
Nótese que la definición x−1 = 1
x concuerda con el resultado que acaba-
mos de probar. Del mismo modo se demuestra que
x = 0 =⇒ (xn
)m
= xnm
, ∀n, m ∈ Z.
Obsérvese, sin embargo, que hemos evitado definir 0−n para todo n ∈ N∪{0}
(ya que 1
0 no está definido en un cuerpo). Por último, mencionaremos las
dos propiedades elementales pero útiles siguientes:
Si u = 0 y v = 0,
x
u
+
y
v
=
xv + yu
uv
.
∀x ∈ F, −x = (−1)x (=⇒ (−1)2 = 1).
1.3. Cuerpos ordenados
Recuérdese que una relación en un conjunto A es un subconjunto de
A × A. En Q, además de las operaciones de cuerpo hay una relación ≤ que
ordena los números racionales, y tiene propiedades bien conocidas. Estas
propiedades motivan la siguiente definición general:
Definición 1.8. Un cuerpo (F, + , · ) es un cuerpo ordenado si hay una
relación ≤ definida en F que cumple las propiedades siguientes:
i) ∀x ∈ F, x ≤ x (propiedad reflexiva)
ii) Si x, y ∈ F, ó bien x ≤ y ó bien y ≤ x (ó ambas). Además, si x ≤ y e
y ≤ x entonces x = y.
iii) Si x, y, z ∈ F, x ≤ y e y ≤ z =⇒ x ≤ z (propiedad transitiva)

iv) Si x, y ∈ F y x ≤ y, entonces x + z ≤ y + z, ∀z ∈ F
v) Si x, y ∈ F, 0 ≤ x y 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ xy
A la relación ≤ se la denomina relación de orden.
A partir de ahora, la notación x ≥ y será equivalente a y ≤ x. Por
definición, x < y si y sólo si x ≤ y y x = y. También utilizaremos la notación
y > x para indicar que x < y. Una consecuencia de estas definiciones y de
los axiomas de ≤ es la propiedad de tricotom´ıa: si x e y son elementos
cualesquiera de un cuerpo ordenado, se cumple exactamente una de las tres
relaciones x < y, x = y ó x > y.
Ejemplo 1.9. Evidentemente, Q es un cuerpo ordenado. No lo es sin em-
bargo {0, 1}. En efecto, si definimos 0 < 1 entonces el axioma iv) implica
1 ≤ 0, y como 1 = 0 obtendr´ıamos la contradicción 1 < 0. Del mismo modo,
si definiéramos 1 < 0 obtendr´ıamos 0 < 1. De forma análoga se prueba que
un cuerpo de caracter´ıstica no nula no puede ordenarse: basta sumar repeti-
damente 1 a ambos miembros de la desigualdad 0 < 1 ó 1 < 0. Esto prueba
la siguiente
Proposición 1.10. Todo cuerpo ordenado tiene caracter´ıstica cero.
Es interesante observar que no hay forma de introducir una relación ≤
en C de forma que (C, ≤) sea un cuerpo ordenado (más adelante veremos
la razón). En particular, no todo cuerpo de caracter´ıstica cero es un cuerpo
ordenado.
1.4. Consecuencias de los axiomas de orden
Proposición 1.11. Si (F, + , · , ≤ ) es un cuerpo ordenado, y x, y, z, . . .
denotan elementos de F, entonces se verifica:
i) (x < y, y ≤ z) =⇒ x < z
En efecto, x ≤ z por la propiedad transitiva. Si fuera x = z entonces
x ≤ y ≤ x ⇒ x = y por el axioma ii).
ii) x ≤ y ⇐⇒ 0 ≤ y − x ⇐⇒ −y ≤ −x ⇐⇒ x − y ≤ 0
Sumar sucesivamente −x, −y y x a la primera desigualdad.
iii) x < y =⇒ x + z < y + z, ∀z ∈ F
iv) xi ≤ yi ∀i = 1, . . . , n =⇒ n
i=1 xi ≤ n
i=1 yi; si además xj < yj para
algún j ∈ {1, . . . , n} entonces n
i=1 xi < n
i=1 yi
La primera es consecuencia de aplicar repetidamente el axioma iv),
mientras que la segunda es consecuencia de la propiedad i).

v) x < y ⇐⇒ 0 < y − x ⇐⇒ −y < −x ⇐⇒ x − y < 0
Se demuestra como ii) utilizando iii).
Definición 1.12. Sea (F, + , · , ≤ ) un cuerpo ordenado. Diremos que
x ∈ F es positivo si x > 0, no negativo si x ≥ 0, negativo si x < 0, no
positivo si x ≤ 0.
Por tanto, 0 es el único número no positivo y no negativo a la vez.
1.4.1. Relaciones entre ≤ y ·
Proposición 1.13. Si (F, + , · , ≤ ) es un cuerpo ordenado, y x, y, z son
elementos de F, entonces se cumple:
i) x > 0, y > 0 =⇒ xy > 0
Como x ≥ 0 e y ≥ 0, por el axioma v) xy ≥ 0. Si fuera xy = 0,
entonces x = 0 ó y = 0, contradiciendo la hipótesis.
ii) x ≤ y, z ≥ 0 =⇒ xz ≤ yz
(“Se pueden multiplicar las desigualdades por números positivos”.) En
efecto, y − x ≥ 0 y z ≥ 0 implica por el axioma v) que z(y − x) ≥ 0 ⇒
xz ≤ yz.
• Nótese que x < y, z > 0 =⇒ xz < yz (ya que xz = yz ⇒ x = y al
ser z = 0.)
iii) x ≤ 0, y ≥ 0 =⇒ xy ≤ 0; x ≤ 0, y ≤ 0 =⇒ xy ≥ 0
Para demostrar la primera, obsérvese que −x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ (−x)y ≥ 0.
Como (−x)y = −xy se obtiene −xy ≥ 0, que es equivalente a xy ≤ 0.
La segunda se demuestra a partir de la primera aplicada a x y a −y.
Corolario 1.14. Si F es un cuerpo ordenado y x = 0 es un elemento de F,
entonces x2 > 0.
En otras palabras, ∀x ∈ F se tiene x2 ≥ 0, y x2 = 0 ⇔ x = 0.
Corolario 1.15. 1 > 0.
En efecto, 1 = 12 y 1 = 0.
Ahora es fácil probar que no se puede introducir una relación de orden
en el cuerpo de los números complejos. En efecto, i2 = −1 > 0 ⇒ 1 < 0.
Si F es un cuerpo ordenado, hemos visto que la caracter´ıstica de F es
cero, y por tanto F contiene subconjuntos equivalentes a N, Z y Q. Además,
a partir de los corolarios anteriores se prueba por inducción que el orden
inducido por F en N (y por tanto en Z y en Q) coincide con el usual:
Proposición 1.16. Si F es un cuerpo ordenado, ∀k ∈ N ⊂ F se tiene
k + 1 > k > 0.

1.4.2. Otras consecuencias de los axiomas de orden
x > 1 ⇒ x2 > x; 0 < x < 1 ⇒ x2 < x
0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ z ≤ u =⇒ xz ≤ yu
En efecto x ≤ y, 0 ≤ z ⇒ xz ≤ yz, y z ≤ u, y ≥ 0 ⇒ yz ≤ uy.
Análogamente se demuestra que
0 ≤ x < y, 0 < z ≤ u =⇒ xz < yu; 0 ≤ x < y, 0 ≤ z < u =⇒ xz < yu
0 ≤ x < y =⇒ xn < yn, ∀n ∈ N
Basta aplicar repetidamente la segunda de las propiedades anteriores
con z = x, u = y.
Si x ≥ 0 e y ≥ 0 entonces x = y ⇐⇒ xn = yn (n ∈ N). Análogamen-
te, si x ≥ 0 e y ≥ 0 entonces x < y ⇐⇒ xn < yn (n ∈ N).
x > 0 ⇒ 1/x > 0 (pues x · 1/x = 1 > 0); además
0 < x < y =⇒ 0 <
1
y
<
1
x
=⇒ 0 < y−n
< x−n
, ∀n ∈ N.
En efecto, para probar la primera implicación basta observar que 1
x >
0, 1
y > 0 ⇒ 1
x
1
y > 0 y multiplicar la desigualdad x < y por 1
x
1
y . La
segunda es consecuencia de aplicar repetidamente la primera.
Si z ≥ 0 y z < x para todo x > 0, entonces z = 0.
En efecto, si z > 0 entonces haciendo x = z obtendr´ıamos z < z.
1.5. Valor absoluto
Sea, como siempre, F un cuerpo ordenado. Si x ∈ F, ó bien x ≥ 0 ó bien
x < 0 ⇔ −x > 0. Por tanto, si definimos el valor absoluto de x (denotado
por |x|) mediante
|x| =
x, x ≥ 0
−x, x < 0
entonces |x| ≥ 0 para todo x ∈ F, y |x| = 0 ⇔ x = 0. Claramente |x| ≥ x
y |x| ≥ −x. De la definición de |x| se sigue inmediatamente que |−x| = |x|.
Además, de (−x)2 = x2 se obtiene fácilmente que |x|2
= x2. Más general-
mente, veamos que
|xy| = |x| |y| , ∀x, y ∈ F.
En efecto, como ambos miembros son no negativos basta probar el cuadrado
de esta igualdad. Pero
|xy|2
= (xy)2
= x2
y2
= |x|2
|y|2
= (|x| |y|)2
.

Otra propiedad interesante del valor absoluto es que
|x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a.
En efecto, si x ≥ 0 ambas desigualdades se reducen a x ≤ a, ya que a ≥
|x| ≥ 0 ⇒ a ≥ 0 ⇒ −a ≤ 0 ≤ x trivialmente. Y si x < 0 entonces lo anterior
implica que
|x| ≤ a ⇔ |−x| ≤ a ⇔ −a ≤ −x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a.
Una desigualdad muy importante satisfecha por el valor absoluto es la lla-
mada desigualdad triangular:
|x + y| ≤ |x| + |y| , ∀x, y ∈ F.
Como ambos miembros de esta desigualdad son no negativos, basta probar
su cuadrado. Y, en efecto, se tiene
|x + y|2
= (x + y)2
= x2
+ 2xy + y2
≤ x2
+ 2 |xy| + y2
= |x|2
+ 2 |x| |y| + |y|2
= (|x| + |y|)2
.
Aplicando repetidamente la desigualdad triangular se demuestra la siguiente
generalización de dicha desigualdad:
n
i=1
xi ≤
n
i=1
|xi| , ∀x1, . . . , xn ∈ F.
1.5.1. Máximo y m´ınimo
Si x, y ∈ F, se define
m´ın(x, y) =
x, x ≤ y
y, x > y.
De la definición se sigue que m´ın(x, y) = m´ın(y, x), y m´ın(x, y) ≤ x, m´ın(x, y) ≤
y, para todo x, y ∈ F. Análogamente, definimos
máx(x, y) =
y, x ≤ y
x, x > y.
Evidentemente, máx(x, y) = máx(y, x), y máx(x, y) ≥ x, máx(x, y) ≥ y,
para todo x, y ∈ F. De hecho, las propiedades de máx se pueden deducir de
las de m´ın observando que
máx(x, y) = − m´ın(−x, −y).

El valor absoluto de x ∈ F se expresa mediante el máximo por la fórmula
|x| = máx(x, −x).
Rec´ıprocamente, m´ın y máx se expresan en términos de | · | por las fórmulas
m´ın(x, y) =
1
2
(x + y − |x − y|), máx(x, y) =
1
2
(x + y + |x − y|).
En general, si {x1, . . . , xn} es un subconjunto finito de F podemos definir
m´ın(x1, . . . , xn) y máx(x1, . . . , xn) por inducción. Al igual que antes, tanto
m´ın como máx no dependen de como ordenemos sus argumentos,
m´ın(x1, . . . , xn) ≤ xi ≤ máx(x1, . . . , xn), ∀i = 1, 2, . . . , n,
y
máx(x1, . . . , xn) = − m´ın(−x1, . . . , −xn).
1.6. Axioma del supremo
Un subconjunto A de un cuerpo ordenado F está acotado superior-
mente (resp. inferiormente) si ∃x ∈ F tal que
a ≤ x, ∀a ∈ A
(resp. x ≤ a, ∀a ∈ A).
A cualquier número x con la propiedad anterior le llamaremos una cota
superior (resp. cota inferior) de A. Diremos que A es un conjunto aco-
tado si A es acotado a la vez superior e inferiormente. Escribiremos A ≤ x
si x es una cota superior de A, y x ≤ A si x es una cota inferior de A. Es
importante observar que una cota inferior (o superior) de A no tiene por
qué existir, ni ser única, ni pertenecer a A.
Ejemplo 1.17.
El conjunto vac´ıo es acotado, ya que cualquiera que sea x ∈ F se
cumplen trivialmente las dos afirmaciones “ ∀a ∈ ∅, a ≤ x” y “ ∀a ∈
∅, x ≤ a” al no haber ningún a ∈ ∅. En particular, todo elemento de
F es a la vez una cota superior e inferior de ∅.
Si F es un cuerpo ordenado, entonces el conjunto F no está acotado ni
superior ni inferiormente. En efecto, si por ejemplo F estuviera acotado
superiormente entonces existir´ıa x ∈ F tal que a ≤ x, ∀a ∈ F. Esto es
claramente contradictorio si tomamos a = x + 1.

En el cuerpo Q, el conjunto A = {a ∈ Q : a < 1} está acotado supe-
riormente, siendo las cotas superiores de A los racionales x ≥ 1. En
particular, en este caso ninguna cota superior de A pertenece a A.
Además, es claro que A no está acotado inferiormente.
Definición 1.18. Si A ⊂ F es un conjunto acotado superiormente, una cota
superior m´ınima de A es un número x ∈ F tal que
i) x es una cota superior de A: a ≤ x, ∀a ∈ A
ii) Si y es cualquier cota superior de A, entonces x ≤ y
De la definición se deduce que si x e y son dos cotas superiores m´ınimas de
A entonces x = y. Por tanto, un conjunto acotado superiormente sólo puede
tener a lo sumo una cota superior m´ınima. Si tal cota superior m´ınima existe,
la denotaremos simplemente por sup A (supremo de A). Análogamente, si
A ⊂ F está acotado inferiormente una cota inferior máxima de A es un
número x ∈ F tal que
i) x es una cota inferior de A: x ≤ a, ∀a ∈ A
ii) Si y es cualquier cota inferior de A, entonces y ≤ x
Al igual que antes, un conjunto acotado inferiormente sólo puede tener a
lo sumo una cota superior m´ınima, a la que denotaremos por inf A (´ınfimo
de A). Se demuestra fácilmente que
inf A = − sup(−A),
si denotamos por −A el conjunto
−A = {−x : x ∈ A} = {x : −x ∈ A} .
Ejemplo 1.19. El conjunto vac´ıo (que está acotado superior e inferiormen-
te) no tiene ´ınfimo ni supremo. En efecto, si por ejemplo existiera x = sup ∅
entonces para todo a ∈ F se cumplir´ıa x ≤ a (ya que todo elemento de F es
una cota superior de ∅), y por tanto x ser´ıa una cota inferior de F.
Ejemplo 1.20. En el cuerpo Q hay subconjuntos no vac´ıos acotados supe-
riormente pero sin supremo. Por ejemplo, considérese el conjunto
A = {a ∈ Q : a ≤ 0} ∪ a ∈ Q : a2
≤ 2 .
Vamos a ver que este conjunto, que obviamente no es vac´ıo, está acotado su-
periormente pero no posee supremo. En primer lugar, es claro que A está aco-
tado superiormente; por ejemplo, A ≤ 2 (ya que 2 ≥ 0, y a > 2 ⇒ a2 > 4).
Intuitivamente, el hecho de que A no tiene supremo se debe a que el su-
premo “natural” de A, que ser´ıa
√
2, no es un elemento del cuerpo (no hay

ningún racional cuyo cuadrado sea 2). Veamos la demostración rigurosa de
este hecho.
Para ello utilizamos las siguientes identidades:
x ∈ Q, y =
x(x2 + 6)
3x2 + 2
=⇒ y − x =
2x(2 − x2)
3x2 + 2
, y2
− 2 =
(x2 − 2)3
(3x2 + 2)2
.
Nótese que x ∈ Q ⇒ y ∈ Q, ya que 3x2 + 2 ≥ 2 > 0. Supongamos que
existiera x = sup A. Si x ∈ A, entonces x ≥ 1 > 0 (ya que 1 ∈ A), de donde
se sigue que x2 ≤ 2, lo cual a su vez es equivalente a x2 < 2. Si tomamos y
como en la fórmula anterior, entonces y−x > 0, y2 −2 < 0 implica que y ∈ A
e y > x = sup A, lo que es contradictorio. Supongamos ahora que x /∈ A.
Entonces x2 > 2 y x > 0, y definiendo otra vez y como antes se tendrá y > 0,
y − x < 0, y2 − 2 > 0. De la primera y la tercera de estas desigualdades se
sigue que y es una cota superior de A, que es estrictamente menor que sup A
por la segunda desigualdad. De nuevo llegamos a una contradicción.
Es precisamente el hecho de que cualquier conjunto no vac´ıo acotado
superiormente posee supremo la propiedad esencial de la que carece el con-
junto de los números racionales, y que sirve para definir y caracterizar al
conjunto de los números reales:
Definición 1.21. El conjunto R de los números reales es un cuerpo orde-
nado que goza de la siguiente propiedad (axioma del supremo):
Si A ⊂ R está acotado superiormente y A = ∅, entonces existe el supre-
mo de A.
En otras palabras, R es un cuerpo ordenado en el que cualquier subcon-
junto no vac´ıo y acotado superiormente posee supremo. Naturalmente, para
que esta definición tenga sentido hacen falta dos cosas:
i) Que haya algún cuerpo ordenado en el que se cumpla el axioma del
supremo.
Esto se puede demostrar de varias formas, lo que equivale a otras
tantas construcciones expl´ıcitas de los números reales (sucesiones de
Cauchy, cortaduras de Dedekind, etc.)
ii) Que esencialmente haya un sólo cuerpo ordenado en el que se verifique
el axioma del supremo. En efecto, se demuestra que si R1 y R2 son dos
cuerpos ordenados en los que se verifica el axioma del supremo entonces
R1 y R2 son equivalentes (isomorfos, en el lenguaje matemático), en
el sentido de que existe una biyección entre R1 y R2 que respeta las
operaciones de cuerpo y la relación de orden (y, por tanto, la acotación
de los conjuntos y los supremos).
En otras palabras, lo esencial del cuerpo R de los números reales es que R
es un conjunto con dos operaciones + : R × R → R, · : R × R → R

y una relación ≤ , que verifican los axiomas i)–ix) de la Definición 1.1
junto con los axiomas del orden, y donde se cumple además el axioma del
supremo. A partir de ahora, llamaremos simplemente números (ó puntos)
a los elementos de R (números reales).
1.7. Consecuencias del axioma del supremo
En primer lugar, del axioma del supremo se sigue la siguiente propiedad
equivalente de los números reales (axioma o principio del ´ınfimo):
Proposición 1.22. Si A ⊂ R es un conjunto no vac´ıo acotado inferior-
mente, entonces A posee un ´ınfimo.
Demostración. Basta aplicar el axioma del supremo al conjunto −A, que
está acotado superiormente, y tener en cuenta que inf A = − sup(−A).
Q.E.D.
También es inmediato probar que si ∅ = A ⊂ B y B está acotado
superiormente, entonces A está acotado superiormente y se cumple
sup A ≤ sup B.
En efecto, es claro que cualquier cota superior de B es a la vez una cota
superior de A, por lo que A está acotado superiormente. En particular,
sup B es una cota superior de A, de donde sup A ≤ sup B. Del mismo modo
se demuestra que si A ⊂ B y B está acotado inferiormente, entonces A
está acotado inferiormente e inf A ≥ inf B.
Si A ⊂ R es un conjunto acotado superiormente y x = sup A resulta
pertenecer al conjunto A, diremos que x es el máximo de A, y escribiremos
x = máx A (aunque el conjunto A sea infinito). Equivalentemente,
x = máx A ⇐⇒ x ∈ A y a ≤ x ∀a ∈ A.
Es fácil comprobar que si A es un conjunto finito esta definición de máximo
coincide con la vista anteriormente. Nótese, sin embargo, que aunque ∅ =
A ⊂ R esté acotado superiormente el máximo de A no tiene por qué existir
(aunque, por supuesto, la existencia de sup A está garantizada). Del mismo
modo, si A ⊂ R está acotado inferiormente y x = inf A ∈ A diremos que x
es el m´ınimo de A, y escribiremos x = m´ın A. Equivalentemente,
x = m´ın A ⇐⇒ x ∈ A y x ≤ a ∀a ∈ A.
Al igual que antes, un subconjunto no vac´ıo de R acotado inferiormente no
tiene por qué tener un m´ınimo.

1.7.1. La propiedad arquimediana de los números reales
Es intuitivamente claro que el conjunto de los números naturales no
está acotado en R. La demostración rigurosa de este hecho es una conse-
cuencia inmediata de la siguiente propiedad fundamental de los números
reales, que como vamos a ver se deduce del axioma del supremo:
Propiedad arquimediana de los números reales. Si x > 0 (x ∈ R) e
y ∈ R, entonces hay un número natural n ∈ N tal que nx > y.
Demostración. Consideremos el conjunto A de los múltiplos de x, es decir
A = {nx ∈ R : n ∈ N} ,
que es obviamente no vac´ıo. El enunciado que queremos probar equivale
a que y no es una cota superior de A (ó, como y es arbitrario, a que A
no está acotado superiormente). Pero si A estuviera acotado superiormente
entonces, por el axioma del supremo, existir´ıa z = sup A, y se tendr´ıa
nx ≤ z, ∀n ∈ N.
Como n + 1 ∈ N para todo n ∈ N, de esto deducir´ıamos que
(n + 1)x ≤ z, ∀n ∈ N ⇐⇒ nx ≤ z − x, ∀n ∈ N.
Esto implicar´ıa que z − x < z ser´ıa una cota superior de A menor que
z = sup A, lo que es contradictorio. Q.E.D.
Tomando x = 1 en la proposición anterior obtenemos que N no es acota-
do superiormente (s´ı inferiormente, siendo inf N = m´ın N = 1), de donde se
sigue fácilmente que Z (y por tanto Q, que contiene a Z) es no acotado, ni
inferior ni superiormente. Una ligera extensión de la propiedad arquimedia-
na permite probar que dado un número x ∈ R existe un único entero n ∈ Z
tal que
n ≤ x < n + 1.
(Demostración: sea A el conjunto de los enteros mayores que x. A es no
vac´ıo por la propiedad arquimediana, y está acotado inferiormente por x.
Por el principio de inducción, A tiene un elemento m´ınimo que denotaremos
por n + 1. En particular, x < n + 1 por ser n + 1 ∈ A, y x ≥ n por ser n + 1
el m´ınimo elemento de A. Por último, si m ∈ Z y m ≤ x < m + 1 entonces
−m − 1 < −x ≤ −m, de donde se sigue que n − m − 1 < 0 < n − m + 1
ó, equivalentemente, n = m.) Al entero n lo denominaremos parte entera
del número real x, y lo denotaremos [x] (por ejemplo, [3] = 3, [π] = 3,
[−3] = −3, [−π] = −4).
Si en el enunciado de la propiedad arquimediana tomamos y > 0, enton-
ces
nx > y ⇐⇒ 0 <
y
n
< x,
lo que prueba la siguiente

Proposición 1.23. Si x > 0 e y > 0 son números reales, existe n ∈ N tal
que 0 < y
n < x.
En particular, esto prueba que dado y > 0 se tiene
inf
y
n
: n ∈ N = 0.
Hay también una propiedad arquimediana en la que interviene el producto
en lugar de la suma:
Proposición 1.24. Si x > 1 e y son números reales, entonces existe n ∈ N
tal que xn > y.
Demostración. Si y ≤ 0, podemos tomar n = 1. Si y > 0, basta considerar
el conjunto A = {xn : n ∈ N}. Q.E.D.
1.7.2. Intervalos
Un ejemplo muy importante de subconjuntos acotados (y, por tanto, que
poseen supremo e´ınfimo a la vez) es el de los intervalos. Por definición, dados
dos números reales a < b definimos el intervalo cerrado
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} ,
el intervalo abierto
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b} ,
y los dos intervalos semiabiertos
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} , (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} .
Los números a < b se llaman respectivamente extremo superior e inferior
del intervalo. Por convenio, si a = b definimos [a, a] = {a}. Es inmediato ver
que un intervalo I de cualquiera de los tipos anteriores está acotado, y que
se tiene
inf I = a, sup I = b.
A veces es también útil considerar intervalos no acotados, para los que uti-
lizamos la siguiente notación:
(−∞, b) = {x ∈ R : x < b} , (−∞, b ] = {x ∈ R : x ≤ b} ,
(a, ∞) = {x ∈ R : x > a} , [ a, ∞) = {x ∈ R : x ≥ a}
y (−∞, ∞) = R. Nótese que los s´ımbolos ±∞ se utilizan meramente por
conveniencia (no son números reales), de modo que las definiciones anteriores
se reduzcan formalmente a las de los intervalos acotados si convenimos que
x > −∞ y x < ∞ se satisface para todo número real.
Una consecuencia importante de la propiedad arquimediana es la siguien-
te

Proposición 1.25. Si a < b, todo intervalo (a, b) contiene un punto racio-
nal.
Demostración. En efecto, si h = b − a > 0 existe n ∈ N tal que 1
n < h. Si
m = [na] ∈ Z entonces
m ≤ na < m + 1 ⇐⇒
m
n
≤ a <
m + 1
n
.
Por otra parte
m + 1
n
=
m
n
+
1
n
≤ a +
1
n
< a + h = b.
Por tanto, hemos probado que a < m+1
n < b, lo que demuestra que m+1
n
pertenece a Q ∩ (a, b). Q.E.D.
Corolario 1.26. Todo intervalo de extremos a < b (abierto, semiabierto
ó cerrado) contiene infinitos puntos racionales.
Demostración. El caso más desfavorable es el de un intervalo abierto (a, b).
Por la proposición anterior, ∃q1 ∈ Q∩(a, b). Aplicando ahora la proposición
al intervalo abierto (a, q1) probamos que ∃q2 ∈ Q∩(a, q1) ⊂ Q∩(a, b). De esta
forma (aplicando reiteradamente la proposición anterior) se construye un
conjunto infinito {q1, q2, . . . , qn, . . . } de racionales contenido en el intervalo
(a, b) (y, por tanto, en cualquier intervalo de extremos a < b). Q.E.D.
En términos topológicos, la proposición anterior se formula diciendo que
Q es denso en R.
Nota: como el conjunto de los números racionales es numerable y el intervalo
de extremos a < b no lo es, se sigue que todo intervalo de extremos a < b
contiene también infinitos puntos irracionales. Por lo tanto, el conjunto de
los números irracionales R−Q también es denso en R. Esto se puede probar
fácilmente de forma directa: cf. Spivak, problema 8-6.)
1.7.3. Existencia de ra´ıces n-ésimas
Otra consecuencia no trivial del axioma del supremo es la existencia de
una ra´ız n-ésima de cualquier número real positivo, para todo n ∈ N:
Teorema 1.27. Si x > 0 es un elemento de R y n ∈ N, entonces hay un
único número y > 0 en R tal que x = yn.
Demostración. Consideremos el conjunto
A = {a ∈ R : a ≥ 0 y an
≤ x} .
Está claro que este conjunto es no vac´ıo (0 ∈ A) y está acotado superior-
mente: en efecto, si 0 < x ≤ 1 entonces A está acotado por 1 (ya que

a > 1 ⇒ an > 1 ≥ x), mientras que si x > 1 entonces A está acotado por x
(ya que a > x > 1 ⇒ an > xn > x). Si y = sup A, es claro que y > 0, ya que
si x ≥ 1 entonces 1 ∈ A, y si 0 < x < 1 entonces 0 < xn < x ⇒ x > 0, x ∈ A.
Veamos a continuación que efectivamente se cumple la igualdad yn = x.
En efecto, supongamos primero que fuera yn < x; entonces probaremos
que ∃a ∈ A tal que a > y, lo cual contradice el que y = sup A. Para ver esto,
sea = x − yn > 0, y sea 0 < h < 1. Por la fórmula del binomio de Newton
(y + h)n
= yn
+ h
n
k=1
n
k
hk−1
yn−k
≤ yn
+ h
n
k=1
n
k
yn−k
= yn
+ h [(y + 1)n
− yn
] .
Tomando h = m´ın 1
2, (y+1)n−yn entonces 0 < h < 1, por lo que a = y + h
cumple que a > y = sup A > 0 y an = (y + h)n ≤ yn + = x, lo cual implica
que a ∈ A y contradice la igualdad y = sup A.
Supongamos ahora que fuera yn > x; demostraremos a continuación que
hay una cota superior de A estrictamente menor que y, lo que de nuevo
contradice la definición y = sup A. En efecto, si = yn − x > 0 y 0 < h < 1
obtenemos como antes
(y − h)n
= yn
− h
n
k=1
n
k
(−1)k−1
hk−1
yn−k
≥ yn
− h
n
k=1
n
k
hk−1
yn−k
≥ yn
− h
n
k=1
n
k
yn−k
= yn
− h [(y + 1)n
− yn
] .
Tomando h = m´ın y, 1
2, (y+1)n−yn entonces 0 < h < 1, por lo que z = y−h
cumple que 0 ≤ z < y = sup A y zn = (y − h)n ≥ yn − = x, lo cual implica
que z es una cota superior de A y contradice la igualdad y = sup A.
Por último, para probar la unicidad basta notar que si 0 < y1 < y2
entonces yn
1 < yn
2 . Q.E.D.
Llamaremos al único número y > 0 tal que yn = x la ra´ız n-ésima de
x, y lo denotaremos por n
√
x ó x1/n. De la unicidad de la ra´ız n-ésima se
siguen todas las propiedades elementales del cálculo con ra´ıces. Por ejemplo
x > 0, y > 0 =⇒ (xy)
1
n = x
1
n y
1
n ;
en efecto,
x
1
n y
1
n
n
= x
1
n
n
y
1
n
n
= xy.
Otra propiedad elemental es que
x
1
m
1
n = x
1
mn ,

ya que
x
1
m
1
n
mn
= x
1
m
1
n
n m
= x
1
m
m
= x.
También es fácil comprobar la identidad
(xm
)
1
n = x
1
n
m
, ∀x > 0, ∀m, n ∈ N.
Sea, de nuevo, x > 0. Si n ∈ N es par (es decir, si n = 2m para algún
m ∈ N), la ecuación yn = x tiene exactamente dos soluciones:
y1 = x
1
n > 0, y2 = −x
1
n < 0.
En efecto, hemos visto que si y > 0 la ecuación anterior tiene una solución
única que es por definición x1/n, mientras que si y < 0 entonces poniendo
y = −z con z > 0 la ecuación se convierte en
(−1)n
zn
= (−1)2m
zn
= (−1)2 m
zn
= zn
= x,
que de nuevo tiene la solución única z = x
1
n , lo cual implica que y = −z =
−x
1
n . Por tanto
yn
= x ⇐⇒ y = ±x
1
n (x > 0, n par).
Si n es impar (es decir, n = 2m−1 para algún m ∈ N) y x > 0, entonces
la ecuación yn = x tiene la solución única y = x
1
n . En efecto, basta tener en
cuenta que si y < 0 y n = 2m − 1 es impar entonces
yn
= y2m−1
= y2(m−1)
y = ym−1 2
y < 0.
Por tanto se cumple
yn
= x ⇐⇒ y = x
1
n (x > 0, n impar).
Sea ahora x < 0. Si n es par, la ecuación yn = x no tiene ninguna
solución, ya que n par implica yn ≥ 0. Por tanto, en este caso el número x
no tiene ninguna ra´ız n-ésima:
x < 0, n par =⇒ y ∈ R tal que yn
= x.
Por el contrario, si n es impar entonces la ecuación yn = x tiene exactamente
una solución
y = −(−x)
1
n = − |x|
1
n < 0.
En efecto, al ser x < 0 ha de ser y = −z < 0. Sustituyendo en la ecuación
yn = x y teniendo en cuenta que n es impar obtenemos la ecuación zn =
−x > 0, lo que prueba nuestra afirmación. Definiremos en este caso n
√
x =
x1/n = y, es decir
yn
= x ⇐⇒ y = n
√
x = − n
√
−x = − n
|x| (x < 0, n impar).
En particular, si x > 0 entonces x1/n ≡ n
√
x > 0, mientras que si x < 0 y n
es impar entonces x1/n ≡ n
√
x < 0.

1.8. Potencias
Si r ∈ Q, podemos escribir r = p
q con p ∈ Z, q ∈ N. Si x > 0, definimos
entonces
xr
= x
1
q
p
= xp
1
q
.
Nótese que esta definición tiene sentido, ya que si m ∈ N
x
mp
mq = x
1
mq
mp
= x
1
q
1
m
m p
= x
1
q
p
.
Se demuestra fácilmente que con esta definición se cumplen las reglas
usuales de las potencias, es decir
xr+s
= xr
xs
=⇒
1
xr
= x−r
xrs
= xr s
∀r, s ∈ Q, ∀x > 0, ∀y > 0 (x, y ∈ R).
(xy)r
= xr
yr
Si x < 0, la definición anterior en general no funciona, ya que en este caso
n
√
x no existe si n ∈ N es par. En este caso sólo podemos definir xr con
r ∈ Q si al poner r en la forma p
q con p ∈ Z, q ∈ N y (|p| , q) primos
entre s´ı el número natural q es impar. Si r es de esta forma, definimos de
nuevo x
p
q = x
1
q
p
. Puede verse entonces que las reglas anteriores siguen
siendo válidas también en este caso si tanto r como s satisfacen la condición
anterior.
Utilizando lo anterior, se puede definir ax para todo a > 0 (a ∈ R) y
para todo x ∈ R. En efecto, empecemos por suponer que a > 1.
Lema 1.28. Si a ∈ R, a > 1, r, s ∈ Q y r < s, entonces ar < as.
Demostración. El número s−r > 0 es racional, por lo que existirán p, q ∈ N
tales que s − r = p/q. Si z = as−r = (ap)1/q, entonces z > 1, ya que si
fuera z < 1 llegar´ıamos a la contradicción zq = ap < 1. Multiplicando la
desigualdad as−r > 1 por ar > 0 llegamos a la desigualdad deseada. Q.E.D.
Definamos a continuación los conjuntos
A− = {ar
: r < x, r ∈ Q} , A+ = {ar
: r > x, r ∈ Q} .
Entonces A− < A+ (y tanto A− como A+ obviamente no vac´ıos) implica
(ejercicio) que A− está acotado superiormente, A+ está acotado inferior-
mente y sup A− ≤ inf A+. De hecho, puede probarse la siguiente
Proposición 1.29.
sup A− = inf A+.

Demostración. Basta probar que dado cualquier > 0 existen r, s ∈ Q tales
que r < x < s y as − ar < (dado que ar < sup A− ≤ inf A+ < as;
véase la última propiedad 1.4.2). Empecemos probando que para todo > 0
existe q ∈ N tal que a1/q − 1 < . Como ambos miembros de la desigualdad
a1/q < 1+ son positivos (mayores que 1), basta ver que existe q ∈ N tal que
a < (1+ )q. Pero esto último es consecuencia de la propiedad arquimediana
multiplicativa.
Dado > 0, sea t ∈ Q tal que t > x, sea q ∈ N tal que a1/q < 1 + a−t ,
y sea r ∈ Q ∩ (x − 1
q , x). Si s = r + 1
q entonces r < x < s y as − ar =
ar(a1/q − 1) < ara−t < . Q.E.D.
Por definición,
ax
= sup A− = inf A+.
Con esto hemos definido ax para a > 1. Si 0 < a < 1, guiados por las pro-
piedades básicas de las potencias de exponente racional definimos definimos
ax
=
1
(a−1)x
,
ya que 1/a > 1 si a < 1. De esta forma tenemos definido ax para 0 < a = 1.
Finalmente, definimos
1x
= 1, ∀x ∈ R
0x
= 0, ∀x ∈ R, x > 0.
Nótese, en particular, que 0x no está definido si x ≤ 0, y que tampoco se
ha definido ax cuando a < 0 y x es un real arbitrario (a menos que x sea
un número racional cuya expresión en forma de fracción irreducible tenga
denominador impar). Con estas definiciones, las propiedades de las potencias
son las mismas que ya vimos para potencias con exponente racional.
Nota. Es inmediato que si a > 0 y x ∈ Q la definición de ax que acabamos
de ver coincide con la definición de potencia de exponente racional dada
anteriormente.
Ejercicio. Sean a y x números reales. Probar que
a > 1, x > 0 =⇒ ax
> 1; 0 < a < 1, x > 0 =⇒ 0 < ax
< 1
a > 1, x < 0 =⇒ 0 < ax
< 1; 0 < a < 1, x < 0 =⇒ ax
> 1.
Solución. Si a > 1 y x > 0, tomando r ∈ Q∩(0, x) y aplicando el Lema 1.28
obtenemos
1 = a0
< ar
≤ sup A− = ax
.
Esto prueba la desigualdad pedida para a > 1 y x > 0. Las demás desigual-
dades son consecuencias inmediatas de ésta. Por ejemplo, si 0 < a < 1 y
x < 0 entonces

1
a
> 1, −x > 0 =⇒
1
a
−x
=
1
a−x
= ax
> 1 .
Ejercicio. Probar que si a, x, y ∈ R se cumple
a > 1, x < y =⇒ ax
< ay
; 0 < a < 1, x < y =⇒ ax
> ay
. (1.1)
Solución. Supongamos primero que a > 1. Al ser y − x > 0, por el ejercicio
anterior se verifica ay−x > 1. Multiplicando por ax > 0 se obtiene la pri-
mera desigualdad. La segunda desigualdad es consecuencia inmediata de la
primera.
Ejercicio. Probar que si a, b, x ∈ R se cumple
0 < a < b, x > 0 =⇒ ax
< bx
; 0 < a < b, x < 0 =⇒ ax
> bx
. (1.2)
Solución. Si 0 < a < b entonces b/a > 1 implica, por el primer ejercicio,
que (b/a)x = bx/ax > 1 si x > 0 y (b/a)x = bx/ax < 1 si x < 0. Multipli-
cando ambos miembros de estas desigualdades por ax > 0 se obtienen las
desigualdades propuestas.

Cap´ıtulo 2
Funciones reales de variable
real
2.1. Definición. Dominio, imagen y gráfica.
Informalmente, una función entre dos conjuntos A y B es una regla que
a ciertos elementos del conjunto A les asigna un elemento bien definido del
conjunto B. Por ejemplo, la regla que a cada ciudadano español le asigna su
estatura expresada en cent´ımetros es una función del conjunto A de todos
los ciudadanos españoles al conjunto R de los números reales. A nosotros
nos interesarán casi exclusivamente las funciones reales de variable real, para
las cuales A y B son subconjuntos de R. Por ejemplo, una tal función es
la función f que a cada número real x le asocia su cuadrado x2 (función
cuadrado), ó la función g que a cada número real x ≥ 0 le asocia su ra´ız
cuadrada
√
x (función ra´ız cuadrada).
Si f es una función entre A y B, escribiremos f : A → B; nótese que
esta notación no significa que f esté definida para todo elemento de A. Dado
un a ∈ A para el que f esté definida, denotaremos por f(a) (imagen de
a bajo f, ó valor de f en a) al elemento de B asignado por f al elemento
a ∈ A. Al subconjunto de A formado por todos los elementos a ∈ A para los
cuales f(a) está definido lo denominaremos dominio de la función f, y lo
denotaremos por dom f. Análogamente, al conjunto de todos los elementos
de B que son la imagen de algún elemento de A bajo f, es decir al conjunto
{y ∈ B : ∃a ∈ A tal que y = f(a)} = {f(a) : a ∈ dom f}
le denominaremos imagen de la función f, y lo denotaremos por im f ó f(A)
indistintamente. En particular,
dom f ⊂ A, im f ⊂ B.
Ejemplo 2.1. Sea f : R → R la función definida por f(x) =
√
x2 − 1.
24

CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 25
Entonces dom f es el subconjunto de R tal que x2 − 1 ≥ 0, es decir
dom f = {x : |x| ≥ 1} = (−∞, −1] ∪ [1, ∞).
Como
√
a ≥ 0 para todo a ≥ 0, la imagen de f está contenida en [0, ∞).
Para ver si la imagen de f coincide con este conjunto, hay que determinar
si para todo y ≥ 0 existe x ∈ dom f tal que
x2 − 1 = y.
Esto es cierto, ya que la ecuación anterior tiene obviamente las dos soluciones
x = ± 1 + y2 ∈ dom f. Luego en este caso
im f = [0, ∞).
Más formalmente (dado que el concepto de regla es un tanto impreciso),
podemos considerar una función como determinada por su valor en todos
los puntos de su dominio, es decir por todos los pares ordenados de la forma
(a, b), donde a es un elemento de A para el que f está definida y b =
f(a) es la imagen de a ∈ A bajo f. Por ejemplo, la función ra´ız cuadrada
está determinada por todos los pares de la forma (x,
√
x), donde x ∈ R es un
número real no negativo. Equivalentemente, la función ra´ız cuadrada queda
perfectamente definida por el conjunto
(x,
√
x) : x ∈ R, x ≥ 0 .
Evidentemente, si (a, b1) y (a, b2) son dos pares ordenados asociados a la
misma función f entonces
b1 = f(a), b2 = f(a) =⇒ b1 = b2.
Estas consideraciones justifican la siguiente definición formal de función:
Definición 2.2. Una función f : A → B es un subconjunto del producto
cartesiano A × B con la siguiente propiedad:
(a, b) ∈ f, (a, c) ∈ f =⇒ b = c.
Por ejemplo, el subconjunto
(x, x2
) : x ∈ R ⊂ R × R
define una función R → R (la función cuadrado), mientras que
(x, y) ∈ R × R : x2
+ y2
= 1 ⊂ R × R
no define una función de R en R, dado que por ejemplo tanto (0, 1) como
(0, −1) pertenecen a dicho conjunto.
Esta definición precisa de función implica que dos funciones f : A → B
y g : A → B son iguales si determinan el mismo conjunto de A × B, es
decir si

i) dom f = dom g
ii) f(x) = g(x), ∀x ∈ dom f = dom g
Por ejemplo, la función f : R → R definida por f(x) = x2 y la función
g : R → R definida por g(x) = (x + 1)2 − 2x − 1 son iguales.
Ejemplo 2.3. Sean f : R → R y g : R → R las funciones definidas
respectivamente por f(x) = x y g(x) =
√
x2. Entonces dom f = dom g = R,
y f(x) = g(x) para todo x ≥ 0. Sin embargo, f = g, ya que f(x) < 0 si
x < 0 y g(x) ≥ 0 para todo x ∈ R. De hecho, se tiene
√
x2 = |x|2
= |x| , ∀x ∈ R.
Si f : R → R es una función, su gráfica es el subconjunto del plano
R × R determinado por f, es decir el conjunto
x, f(x) : x ∈ dom f .
Por definición de función, este conjunto tiene la propiedad de que una recta
vertical x = a ó bien no lo corta (si a /∈ dom f) o bien lo corta en un sólo
punto (si a ∈ dom f).
x
x1/2
(x, x1/2)
Figura 2.1: gráfica de la función ra´ız cuadrada
2.2. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyecti-
vas
Una función f : A → B se dice inyectiva (ó uno-uno) si puntos distin-
tos de dom f tienen imágenes distintas:
x, y ∈ dom f, x = y =⇒ f(x) = f(y)
Equivalentemente, f es inyectiva si
∀x, y ∈ dom f, f(x) = f(y) =⇒ x = y.

La función f : A → B se dice suprayectiva (ó sobreyectiva) si todo punto
de B es la imagen bajo f de un punto de dom f:
∀y ∈ B, ∃x ∈ dom f tal que y = f(x).
En otras palabras,
f es suprayectiva ⇐⇒ im f = B.
Nótese que el ser f inyectiva ó suprayectiva depende de la elección de los
conjuntos A y B. Por ejemplo, si tomamos B = im f entonces f es automáti-
camente suprayectiva.
Nota. En términos de la gráfica, f : R → R es inyectiva si toda recta
horizontal corta a su gráfica a lo sumo en un punto, y es suprayectiva si
toda recta horizontal corta a la gráfica por lo menos en un punto.
Ejemplo 2.4. La función f : R → R definida por f(x) = x2 no es inyectiva,
ya que f(−x) = f(x), para todo x ∈ R. Tampoco es suprayectiva, ya que
im f = [0, ∞). Sin embargo, la función g : [0, ∞) → R definida por g(x) = x2
s´ı es inyectiva, ya que
x ≥ 0, y ≥ 0, x2
= y2
=⇒ x = y.
Nótese que f y g no son iguales, ya que dom f = dom g. De hecho, al
ser dom g ⊂ dom f y f(x) = g(x) para todo x ∈ dom g se suele decir
que g es la restricción de f al conjunto [0, ∞). Por último, la función
h : [0, ∞) → [0, ∞) definida de nuevo por h(x) = x2 es a la vez inyectiva y
suprayectiva.
Definición 2.5. Una función f : A → B es biyectiva si dom f = A, y f es
a la vez inyectiva y suprayectiva.
Por ejemplo, la función h del ejemplo anterior es biyectiva. En términos
de la gráfica, f : R → R es biyectiva si toda recta horizontal corta a su
gráfica exactamente en un punto. El ejemplo más obvio de función biyectiva
es la función identidad IA : A → A, definida por
IA(x) = x, ∀x ∈ A.
Cuando sea claro por el contexto (ó irrelevante) cuál es el conjunto A es-
cribiremos simplemente I en lugar de IA. Es inmediato probar el siguiente
resultado:
Proposición 2.6. Una función f : A → B es biyectiva si y sólo si f es
invertible, es decir si y sólo si existe g : B → A tal que
g f(x) = x, ∀x ∈ A y f(g(y)) = y, ∀y ∈ B. (2.1)

Diremos que la función g : B → A que cumple (2.1) es la inversa de la
función invertible f, y escribiremos
g = f−1
.
Nótese que según esta definición la función g también es invertible (y por
tanto biyectiva), siendo
g−1
= f.
En otras palabras, se cumple
f−1 −1
= f,
y análogamente para g. La relación entre f y f−1 se puede expresar conci-
samente en la forma siguiente:
y = f(x) ⇐⇒ x = f−1
(y), (x ∈ A, y ∈ B).
Ejemplo 2.7. Sea h : R → R la función definida para todo x ∈ R por
h(x) = x2 − x. Para ver si esta función es biyectiva, basta comprobar que la
ecuación en x
x2
− x = y
tiene una solución única para todo y ∈ R. (Si ésto es as´ı, para cada y la
solución de esta ecuación es precisamente h−1(y)). Completando el cuadrado
obtenemos la ecuación equivalente
x −
1
2
2
= y +
1
4
.
Esta ecuación tiene solución si y sólo si y ≥ −1/4; por tanto, im h =
[−1/4, ∞). Sin embargo, para y > −1/4 la ecuación anterior tiene dos solu-
ciones distintas
x =
1
2
± y +
1
4
,
una de las cuales es mayor que 1/2 y la otra menor que 1/2. Por tanto,
la función h no es ni inyectiva ni biyectiva. Sin embargo la función f :
[1/2, ∞) → [−1/4, ∞) definida de nuevo por f(x) = x2 − x es invertible,
siendo su inversa la función f−1 : [−1/4, ∞) → [1/2, ∞) definida por
f−1
(y) =
1
2
+ y +
1
4
, ∀y ≥ −
1
4
(y análogamente para la restricción de h al intervalo infinito (−∞, −1/2]
considerada como función (−∞, −1/2] → [−1/4, ∞).) Todo esto es muy
fácil de comprender intuitivamente dibujando la gráfica de h (fig. 2.2).

1/2
–1/4
Figura 2.2: gráfica de la función h(x) = x2 − x
2.3. Composición de funciones
Lo anterior se puede formular de manera más concisa utilizando el con-
cepto de composición de funciones. Por definición, si f : A → B y g : B → C
la composición de g con f es la función g ◦ f : A → C definida por
(g ◦ f)(x) = g f(x) .
El dominio de g ◦ f es el conjunto
dom(g ◦ f) = {x ∈ dom f : f(x) ∈ dom g} ⊂ dom f;
en particular, g ◦ f estará definida sólo si dicho conjunto es no vac´ıo. Por
ejemplo, si f : R → R y g : R → R están definidas respectivamente por
f(x) = −1−x2 y g(x) = 4
√
x entonces g ◦ f no está definida. Nótese también
que el orden es importante en la notación g ◦ f, ya que en general g ◦ f = f ◦ g.
Por ejemplo, en este caso
(f ◦ g)(x) = f g(x) = f(x1/4
) = −1 − (x1/4
)2
= −1 −
√
x, ∀x ≥ 0.
Utilizando el concepto de composición, podemos formular la Proposición
2.6 como sigue: f : A → B es invertible si y sólo si existe g : B → A tal que
f ◦ g = IB, g ◦ f = IA.
2.4. Funciones monótonas
Una función f : R → R es monótona creciente si
x, y ∈ dom f, x < y ⇒ f(x) < f(y),

y monótona no decreciente si
x, y ∈ dom f, x < y ⇒ f(x) ≤ f(y),
La función f es monótona decreciente ó monótona no creciente si −f
es monótona creciente o monótona no decreciente, siendo
(−f)(x) = −f(x), ∀x ∈ dom f.
En otras palabras, f es monótona decreciente ó monótona no creciente si
x, y ∈ dom f, x < y ⇒ f(x) > f(y)
ó
x, y ∈ dom f, x < y ⇒ f(x) ≥ f(y),
respectivamente. Finalmente, diremos que f es estrictamente monótona
si es monótona creciente ó decreciente. Es claro que una función estric-
tamente monótona es inyectiva, y por tanto será biyectiva si y sólo si es
suprayectiva.
Ejercicio. Probar que si f es estrictamente monótona e invertible entonces
f−1 es monótona del mismo tipo que f.
2.5. Logaritmos
Dado a > 0, consideremos la función fa : R → (0, ∞) definida por
fa(x) = ax para todo x ∈ R (obsérvese que ax > 0 para todo x ∈ R). Por
las propiedades de las potencias vistas en el cap´ıtulo anterior (ec. (1.1)),
si 0 < a < 1 fa es monótona decreciente, mientras que para a > 1 fa es
monótona creciente (f1 es la función constante 1). Por tanto, si 1 = a > 0 la
función fa es inyectiva. Se puede ver (cf. la gráfica de estas funciones) que
para estos valores de a la función fa es también suprayectiva, y por tanto
biyectiva:
Demostración. Supongamos, en primer lugar, que a > 1; hay que probar
que para todo y > 0 existe x ∈ R tal que ax = y. Para ello consideramos el
conjunto
A = t ∈ R : at
< y .
A es no vac´ıo por la propiedad arquimediana multiplicativa de R (al ser
a > 1, existe p ∈ N tal que ap > 1/y, y por tanto −p ∈ A). Además, A
está acotado superiormente, ya que (de nuevo por la propiedad arquimedia-
na multiplicativa) existe q ∈ N tal que aq > y, y al ser a > 1 de esto se sigue
que A < q. Por tanto, existe x = sup A; probaremos a continuación que
ax = y. En efecto, si fuera ax < y entonces podr´ıamos escoger (una vez más
por la propiedad arquimediana multiplicativa) n ∈ N tal que (y a−x)
n
> a.

Pero entonces se tendr´ıa ax+ 1
n < y, y por tanto x + 1
n > x ≡ sup A perte-
necer´ıa a A. Análogamente, si ax > y entonces la propiedad arquimediana
multiplicativa implicar´ıa la existencia de m ∈ N tal que y−1ax m
> a, lo
cual es equivalente a la desigualdad ax− 1
m > y. Esto implica (al ser a > 1)
que A < x − 1
m < x ≡ sup A, lo que de nuevo contradice la definición de
sup A. Luego ha de ser ax = y. Esto prueba la suprayectividad de fa para
a > 1. Si 0 < a < 1, la suprayectividad de fa se deduce de lo anterior
utilizando la igualdad fa(x) = f1/a(−x). Q.E.D.
ax (a>1)ax (a<1)
1
Figura 2.3: gráfica de la función ax
Si 0 < a = 1, a la función inversa de fa le llamaremos logaritmo en base
a, y la denotaremos por loga. En particular, nótese que loga : (0, ∞) → R.
Por definición,
Si y > 0, x = loga y ⇐⇒ y = ax
ó también
aloga x
= x, ∀x > 0; loga(ax
) = x, ∀x ∈ R.
En particular,
loga 1 = 0, loga a = 1; ∀a > 0.
La gráfica de la función loga se puede obtener fácilmente de la de la función
fa:

logax (a>1)logax (a<1)
11
Figura 2.4: gráfica de la función loga
Por el ejercicio 2.4, loga es monótona creciente (decreciente) si a > 1 (a < 1).
Nótese también que
log1/a x = − loga x, ∀a > 0, ∀x > 0.
En efecto,
log1/a x = y ⇐⇒ (1/a)y
= x ⇐⇒ a−y
= x ⇐⇒ −y = loga x
Las propiedades de la función loga se deducen de propiedades análogas de
fa. Por ejemplo, de
ax+y
= ax
ay
, ∀a > 0, ∀x, y ∈ R
se deduce que
x + y = loga(ax
ay
).
Si llamamos u = ax > 0, v = ay > 0 entonces x = loga u, y = loga v y
obtenemos una de las propiedades fundamentales de la función logaritmo:
loga(uv) = loga u + loga v, ∀u > 0, v > 0.
Análogamente, de
(ay
)x
= axy
obtenemos
loga(vx
) = x loga v, ∀v > 0, ∀x ∈ R.
Ejercicio. Utilizar las propiedades anteriores para probar que si a, b y x son
números reales positivos entonces se tiene:
logb x = logb a · loga x.
Deducir de esto que
loga b = (logb a)−1
.

Solución. Si y = loga x entonces
ay
= x, a = blogb a
=⇒ x = by logb a
=⇒ logb x = y logb a = logb a · loga x.
Haciendo x = b obtenemos la segunda igualdad.
2.6. Funciones periódicas
Una función f : R → R es periódica si existe algún número a > 0 tal
que
f(x + a) = f(x), ∀x ∈ dom f.
A cualquier número a > 0 que cumpla la condición anterior se le denomina
un per´ıodo de f. Es obvio que si a > 0 es un per´ıodo de f también lo es na,
para todo n ∈ N (de hecho, la igualdad anterior se verifica para todo n ∈ Z
si suponemos que dom f es invariante bajo la translación x → x − a). El
m´ınimo per´ıodo de f es el m´ınimo del conjunto de per´ıodos de f, si es que
dicho conjunto (que está acotado inferiormente por cero) posee un m´ınimo.
Cuando f posee un per´ıodo m´ınimo T, normalmente se dice que f es una
función de per´ıodo T, ó que el per´ıodo de f es T, aún cuando, estrictamente
hablando, cualquier número de la forma nT con n ∈ N también es un per´ıodo
de f.
Ejemplo 2.8. La función f : R → R definida por
f(x) =
0, si x es racional
1, si x es irracional
es periódica. En efecto, es fácil ver que cualquier racional positivo es un
per´ıodo de f. Esta función no tiene un per´ıodo m´ınimo, ya que el conjunto
de per´ıodos de f no tiene m´ınimo (su ´ınfimo es cero).
Ejemplo 2.9. La función f : R → R definida por f(x) = (−1)[x] es una
función periódica de per´ıodo 2 (cf. su gráfica).

1 2–1–2
1
–1
Figura 2.5: gráfica de la función f(x) = (−1)[x]
2.6.1. Funciones trigonométricas
Las funciones periódicas por antonomasia son las funciones trigonométri-
cas sen x, cos x, tan x = sen x/ cos x, sec x = 1/ cos x, cosec x = 1/ sen x y
cot x = cos x/ sen x. La “definición” geométrica de las funciones sen y cos
está resumida en la figura 2.6.
O A
P
R
Q
Figura 2.6: Funciones sen, cos y tan. Si OA = 1 y el arco AP tiene longitud
x, entonces el ángulo OAP mide x radianes1, OR = cos x, RP = sen x y
AQ = tan x.
Las funciones sen, cos, sec y cosec tienen per´ıodo m´ınimo 2π, mientras
que tan y cot tienen per´ıodo m´ınimo π, donde π = 3,141592653 . . . es la
mitad de la circunferencia de radio unidad. Las funciones sen y cos tienen
por dominio todo R, y están relacionadas por la identidad
sen2
x + cos2
x = 1, ∀x ∈ R.
1
Si el ángulo se mide en grados, 1◦
= π
180
rad. Por ejemplo, sen d◦
= sen
` πd
180
´
.

Nótese que (cos x, sen x) es siempre un punto de la circunferencia de centro
(0, 0) y radio unidad. En particular, se tienen las acotaciones
−1 ≤ sen x ≤ 1, −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R.
Los dominios de las demás funciones trigonométricas son los siguientes:
dom sec = dom tan = R − (2k + 1)π/2 : k ∈ Z ,
dom cosec = dom cot = R − kπ : k ∈ Z ,
Las gráficas de las funciones trigonométricas son como sigue:
2 4 6 8
-1
-0.5
0.5
1
Figura 2.7: gráfica de cos
2 4 6 8
-1
-0.5
0.5
1
Figura 2.8: gráfica de sen
2 4 6 8
-15
-10
-5
5
10
15
20
Figura 2.9: gráfica de sec
2 4 6 8
-15
-10
-5
5
10
15
Figura 2.10: gráfica de cosec
2 4 6 8
-30
-20
-10
10
20
30
Figura 2.11: gráfica de tan
2 4 6 8
-20
-10
10
20
Figura 2.12: gráfica de cot

Se observa a simple vista que las gráficas de sen y cos están relacionadas
por una traslación. En efecto, se cumple la relación
cos x −
π
2
= sen x = cos
π
2
− x , ∀x ∈ R.
Al ser periódicas, las funciones trigonométricas no pueden ser invertibles
en sus dominios “naturales” vistos anteriormente. Para poder invertirlas,
debemos restringirlas (al menos) a un intervalo de longitud menor que un
per´ıodo. Observando las gráficas anteriores, salta a la vista que todas las
funciones trigonométricas son inyectivas en un intervalo de longitud π ade-
cuado. Qué intervalo concreto se toma es algo convencional, aunque por
supuesto la función inversa obtenida depende de la elección del intervalo.
Además, para definir las funciones trigonométricas inversas hay que restrin-
gir las funciones trigonométricas a funciones de los intervalos anteriores a sus
imágenes. Por ejemplo, para definir la función arc sen ≡ sen−1 consideramos
a sen como una función −π
2 , π
2 → [−1, 1], lo que convierte a sen en una
función invertible. Se obtienen as´ı las siguientes funciones trigonométricas
inversas:
arc cos = cos−1
: [−1, 1] → 0, π]
arc sen = sen−1
: [−1, 1] → −
π
2
,
π
2
arctan = tan−1
: R → −
π
2
,
π
2
arcsec = sec−1
: R − (−1, 1) → [0, π] −
π
2
arccsc = cosec−1
: R − (−1, 1) → −
π
2
,
π
2
− {0}
arccot = cot−1
: R → (0, π)
Las gráficas de estas funciones son:
-1 -0.5 0.5 1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Figura 2.13: gráfica de arc cos
-1 -0.5 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
Figura 2.14: gráfica de arc sen

-10 -5 5 10
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
Figura 2.15: gráfica de arctan
-4 -2 2 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Figura 2.16: gráfica de arcsec
-4 -2 2 4
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
Figura 2.17: gráfica de arccsc
-10 -5 5 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Figura 2.18: gráfica de arccot
Es evidente a partir de estas gráficas que las funciones trigonométri-
cas inversas están relacionadas por identidades sencillas. En efecto, es fácil
probar que se cumplen las identidades siguientes:
arc cos x =
π
2
− arc sen x,
arccot x =
π
2
− arctan x,
arccsc x =
π
2
− arcsec x,
arcsec x = arc cos
1
x
,
arccsc x = arc sen
1
x
.
Debido a estas identidades, normalmente las funciones arcsec, arccsc y arccot
son poco utilizadas.
Ejercicio. Probar que para todo x = 0 se cumple
arctan
1
x
=
π
2
sig x − arctan x,
siendo sig la función signo, definida por sig x = 1 si x > 0, sig x = −1 si
x < 0, y sig x = 0 si x = 0.

2.7. Operaciones algebraicas con funciones
Las operaciones algebraicas con números reales se pueden extender a las
funciones entre subconjuntos de R de forma natural. En efecto, si f : R → R
y g : R → R son funciones, definimos las funciones f + g : R → R,
fg : R → R y f
g ≡ f/g : R → R como sigue:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(fg)(x) = f(x) · g(x)
f
g
(x) =
f(x)
g(x)
.
Los dominios de estas funciones son:
dom(f + g) = dom(fg) = dom f ∩ dom g,
dom
f
g
= (dom f ∩ dom g) − {x ∈ dom g : g(x) = 0} .
As´ı, por ejemplo, tan = sen / cos, cot = cos / sen, sec = 1/ cos, cosec =
1/ sen. Es evidente que las propiedades de la suma y el producto de funciones
son las mismas que las de la suma y el producto de números reales:
f + g = g + f, (f + g) + h = f + (g + h), f(g + h) = fg + fh,
etc. Una función es constante si su imagen consta sólo de un punto. En
otras palabras, f : R → R es constante si existe c ∈ R tal que f(x) = c para
todo x ∈ R. El producto cf del número real c por la función f : R → R se
define como el producto fg de f con la función constante g = c, es decir
(cf)(x) = c · f(x), ∀x ∈ dom f.
El conjunto de las funciones de R en R con dominio un subconjunto A ⊂
R es un espacio vectorial sobre el cuerpo R, con la suma de funciones y
el producto de funciones por números reales definidos anteriormente. El
elemento 0 de este espacio vectorial es la función constante 0, y la función
−f es la definida por
(−f)(x) = −f(x), ∀x ∈ dom f.
Las operaciones algebraicas con funciones, junto con la operación de
composición vista anteriormente, permiten construir funciones relativamente
complicadas a partir de funciones más sencillas. As´ı, por ejemplo, a partir de
la multiplicación de funciones podemos definir las potencias de una función
f : R → R mediante
(fn
)(x) = f(x)
n
, ∀x ∈ dom f, ∀n ∈ N.

Podemos extender esta definición a potencias enteras no positivas si ex-
cluimos del dominio de la función los puntos x ∈ R en que f(x) = 0 (en
particular, f0 = 1), y a potencias reales arbitrarias si exclu´ımos los puntos
x ∈ R tal que f(x) ≤ 0. Tomando las potencias enteras no negativas de
la función identidad I (I(x) = x para todo x ∈ R), multiplicándolas por
constantes y sumando obtenemos las funciones polinómicas:
p =
n
i=0
aiIi
.
En otras palabras,
p(x) =
n
i=0
aixi
, ∀x ∈ R.
Si an = 0, al número n se le denomina el grado del polinomio p. (Por
convenio, el grado del polinomio 0 no está definido.) Se puede demostrar
que dos funciones polinómicas son iguales si y sólo si tienen el mismo grado
e iguales coeficientes:
an = 0, bm = 0,
n
i=0
aixi
=
m
i=0
bixi
, ∀x ∈ R;
⇐⇒ bi = ai ∀i = 1, 2, . . . , n = m.
Definimos las funciones racionales como cocientes R = p/q de dos funcio-
nes polinómicas, siendo el polinomio q distinto del polinomio 0. El dominio
de la función R es el conjunto
dom R = {x ∈ R : q(x) = 0} .
Nótese que un polinomio es un caso particular de función racional (con de-
nominador igual al polinomio constante 1). Con las funciones racionales, las
funciones potenciales (f(x) = xa para todo x > 0, siendo a ∈ R arbitrario),
las exponenciales (f(x) = ax para todo x ∈ R, con a > 0), las logar´ıtmicas
(loga, a > 0) y las trigonométricas podemos construir multitud de funcio-
nes aplicando las operaciones algebraicas, la composición y la operación de
tomar la función inversa (cuando esta operación sea aplicable) un núme-
ro finito de veces. A las funciones obtenidas de esta forma les llamaremos
funciones elementales.
Ejemplo 2.10. La función f : R → R definida por
f(x) = log3 1 + arctan4
2x−x3
− x5 cot x2
es una función elemental. Su dominio es el conjunto
x ∈ R : x > 0, x2
= kπ con k ∈ N = (0, ∞) −
√
kπ : k ∈ N .
Su imagen, sin embargo, no es fácil de calcular.

Cap´ıtulo 3
L´ımites y continuidad
3.1. L´ımites
Un número real x es un punto de acumulación de un conjunto A ⊂ R
si cualquier intervalo abierto que contenga a x contiene algún punto de A
distinto de x. En otras palabras, si J es un intervalo abierto y x ∈ J entonces
(J − {x}) ∩ A = ∅. Nótese que para esto no hace falta que x pertenezca a
A. Es inmediato probar a partir de la definición que si x es un punto de
acumulación de A entonces cualquier intervalo abierto que contenga a x
contiene infinitos puntos de A (distintos de x).
Ejemplo 3.1.
a es punto de acumulación de cualquier intervalo con extremos a < b
Todo punto de un intervalo de cualquier tipo (excepto de la forma
[a, a]) es punto de acumulación de dicho intervalo
0 es un punto de acumulación del conjunto {1/n : n ∈ N}
Si ∅ = A ⊂ R está acotado superiormente (resp. inferiormente) y
sup A /∈ A (resp. inf A /∈ A), entonces sup A (resp. inf A) es punto de
acumulación de A
Ningún número real es punto de acumulación del conjunto Z de los
número enteros
Todo número real es un punto de acumulación del conjunto Q de los
números racionales
Sea f : R → R una función, y sea a ∈ R un punto de acumulación
de dom f; para esto no es necesario que a pertenezca a dom f, es decir que
f(a) tenga sentido, pero s´ı tiene que haber puntos distintos de a en los que
f esté definida arbitrariamente próximos a a. Intuitivamente, el l´ımite de f
40

CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 41
en a es l si f(x) está tan próximo como se quiera a l siempre que x = a
esté suficientemente próximo a a. La definición rigurosa de l´ımite no hace
más que formalizar ó expresar en términos matemáticamente precisos esta
definición intuitiva.
Definición 3.2. Sea f : R → R una función, y sea a ∈ R un punto de
acumulación de dom f. Diremos que el l´ımite de f en a es l, y escribiremos
l´ım
x→a
f(x) = l,
si para todo > 0 existe δ > 0 tal que
x ∈ dom f y 0 < |x − a| < δ =⇒ |f(x) − l| < .
En otras palabras, dado cualquier > 0 podemos conseguir que
l − < f(x) < l +
sin más que tomar
x ∈ dom f, a − δ < x < a + δ, x = a,
para algún δ cuyo valor dependerá en general de . (Por ejemplo, es razonable
pensar que cuanto más pequeño sea menor habrá de ser δ.) En términos
de la gráfica de la función f, l´ımx→a f(x) = l significa que dado cualquier
> 0 podemos encontrar un δ > 0 (que, en general, dependerá de ) de
forma que para 0 < |x − a| < δ la gráfica de la función f esté contenida en
el rectángulo de la fig. 3.1.
a a + δa – δ
l
l + ε
l – ε
f(x)
x
Figura 3.1: geometr´ıa de la definición de l´ımx→a f(x)
Nota. Es muy importante observar que la existencia y el valor de l´ımx→a f(x)
no dependen para nada de la existencia y el valor de f en el punto a.

Si f = c es una función constante entonces se cumple que l´ımx→a f(x) =
l´ımx→a c = c = f(a) para todo a ∈ R. En efecto, cualquiera que sea
> 0 podemos tomar como δ cualquier número positivo.
Otro ejemplo muy sencillo es la función identidad, cuyo l´ımite en cual-
quier punto existe y coincide con el valor de la función en dicho punto:
l´ım
x→a
x = a.
En efecto, dado > 0 arbitrario podemos conseguir que |x − a| <
para todo x que satisfaga 0 < |x − a| < δ tomando δ = .
Ejemplo 3.3. Veamos que la función f : R → R dada por f(x) = x2
cumple l´ımx→a f(x) = f(a) (es decir, l´ımx→a x2 = a2) cualquiera que sea
a ∈ R. En primer lugar, dom f = R, luego todo número real a es punto
de acumulación de dom f. Si > 0, supondremos que 0 < |x − a| < δ y
veremos cómo hay que tomar δ para que la desigualdad anterior implique
que x2 − a2 < . Para ello, obsérvese que
x2
− a2
= |x − a| |x + a| ≤ δ |x + a| .
El problema se reduce pues a probar que |x + a| no puede ser muy grande
si 0 < |x − a| < δ. En efecto,
|x + a| = |(x − a) + 2a| ≤ 2 |a| + |x − a| < δ + 2 |a| .
Luego
0 < |x − a| < δ =⇒ x2
− a2
< δ(δ + 2 |a|).
Debemos pues tomar δ > 0 tal que
δ(δ + 2 |a|) ≤ . (3.1)
Pero esto siempre es posible. En efecto, si tomamos 0 < δ ≤ 1 entonces
δ2 ≤ δ y por tanto
δ(δ + 2 |a|) = δ2
+ 2 |a| δ ≤ δ(2 |a| + 1) ≤ si δ ≤
2 |a| + 1
.
En resumen, cualquiera que sea > 0, si tomamos
δ = m´ın {1, /(2 |a| + 1)}
entonces
0 < |x − a| < δ =⇒ x2
− a2
< ,
como quer´ıamos demostrar.

-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
Figura 3.2: gráfica de la función sen 1
x
Nota. No hace falta conseguir el valor óptimo (es decir mayor) de δ para
el cual |f(x) − l| < si 0 < |x − a| < δ y x ∈ dom f. Por ejemplo, en este
caso el mayor δ para el que se cumple (3.1) es δ =
√
+ a2 − |a|.
Ejemplo 3.4. Veamos que no existe l´ımx→0 sen 1
x . Esto significa que cual-
quiera que sea el número l ∈ R se cumple
l´ım
x→0
sen
1
x
= l.
En primer lugar, veamos que el l´ımite que estamos estudiando tiene sentido.
Para ello, basta observar que en este caso el dominio de f es R − {0}, del
cual 0 (aunque no pertenece a dom f) es punto de acumulación. Sea ahora
l ∈ R arbitrario. En general, la afirmación
l´ım
x→a
f(x) = l,
es decir, la negación de la afirmación l´ımx→a f(x) = l, significa exactamente
lo siguiente:
∃ > 0 tal que ∀δ > 0 ∃x cumpliendo 0 < |x − a| < δ y |f(x) − l| ≥ .
En otras palabras: si > 0 se escoge suficientemente pequeño, para todo
δ > 0 siempre hay algún x ∈ dom f distinto de a en el intervalo (a−δ, a+δ)
tal que |f(x) − l| ≥ . En este caso concreto, observemos que si
xn =
2
(4n + 1)π
, yn =
2
(4n − 1)π
, ∀n ∈ N,
entonces
f(xn) = 1, f(yn) = −1, ∀n ∈ N.

Si tomamos = 1/2, cualquiera que sea δ > 0 podemos hallar un n ∈ N
suficientemente grande de modo que
0 < xn < yn < δ.
Es imposible, sin embargo, que se cumpla a la vez
|f(xn) − l| <
1
2
, |f(yn) − l| <
1
2
, (3.2)
porque f(xn)− f(yn) = 2 implica que f(xn) y f(yn) no pueden estar ambos
en el intervalo de longitud 1 l − 1
2 , l + 1
2 . En efecto, si se cumpliera (3.2)
se tendr´ıa
2 = |f(xn) − f(yn)| ≤ |f(xn) − l| + |f(yn) − l| <
1
2
+
1
2
= 1.
Ejercicio. Probar de la misma forma que no existe l´ımx→0 sig(x).
Ejercicio. Probar que l´ım
x→a
f(x) = 0 ⇐⇒ l´ım
x→a
|f(x)| = 0.
3.1.1. L´ımites infinitos
La definición de l´ımx→a f(x) se generaliza fácilmente al caso de l´ımites
infinitos.
Definición 3.5. Sea f : R → R una función, y supongamos que dom f no
está acotado superiormente. Diremos que el l´ımite de f(x) cuando x tiende
a infinito es l, y escribiremos
l´ım
x→∞
f(x) = l,
si para todo > 0 existe M ∈ R tal que
x ∈ dom f y x > M =⇒ |f(x) − l| < .
Análogamente,
l´ım
x→−∞
f(x) = l
si dom f no está acotado inferiormente, y para todo > 0 existe M ∈ R tal
que
x ∈ dom f y x < M =⇒ |f(x) − l| < .
Ejemplo 3.6. Veamos que
∀0 < a < 1, l´ım
x→∞
ax
= 0.
En efecto, aqu´ı dom f = R, que no está acotado. Hay que probar que cual-
quiera que sea > 0 existe M ∈ R tal que x > M implica |ax| = ax < . A

su vez, esta última desigualdad es equivalente a la desigualdad (1/a)x > 1/ .
Por la propiedad arquimediana multiplicativa de los números reales, al ser
1/a > 1 existe N ∈ N tal que (1/a)N > 1/ , y por ser la función (1/a)x
monótona creciente se cumple que (1/a)x > 1/ si x > N, es decir
ax
< , ∀x > N.
Luego tomando M = N se cumple la definición para este > 0, que era
arbitrario.
Otra forma de probar este resultado es utilizando que para 0 < a < 1
fa(x) = ax y su inversa loga son monótonas decrecientes en sus respectivos
dominios R y (0, ∞). Por tanto, cualquiera que sea > 0 se cumplirá la
desigualdad ax < sin más que tomar x > loga .
De forma análoga se define el l´ımite
l´ım
x→a
f(x) = ∞. (3.3)
En efecto, diremos que (3.3) se cumple si a es un punto de acumulación de
dom f, y para todo M ∈ R existe δ > 0 tal que
x ∈ dom f y 0 < |x − a| < δ =⇒ f(x) > M.
Por ejemplo, es fácil probar que
l´ım
x→0
1
x2
= ∞.
Ejercicio. Def´ınanse los l´ımites l´ımx→a f(x) = −∞ y l´ımx→±∞ f(x) = ±∞,
siendo a un número real.
Ejercicio. Probar que si a es un punto de acumulación de dom(1/f) entonces
l´ım
x→a
f(x) = 0 ⇐⇒ l´ım
x→a
1
|f(x)|
= ∞.
3.1.2. L´ımites laterales
Otro tipo de l´ımites que interesa definir son los l´ımites laterales.
Definición 3.7. Sea f : R → R, y sea a ∈ R un punto de acumulación de
(a, ∞) ∩ dom f (i.e., todo intervalo J que contiene a a contiene algún punto
x > a perteneciente al dominio de f). Diremos que el l´ımite lateral de
f(x) cuando x tiende a a por la derecha es l, y escribiremos
l´ım
x→a+
f(x) = l,
x ∈ dom f y a < x < a + δ =⇒ |f(x) − l| < .

Análogamente, si a ∈ R es un punto de acumulación de (−∞, a)∩dom f (i.e.,
todo intervalo J que contiene a a contiene algún punto x < a perteneciente
al dominio de f) diremos que el l´ımite lateral de f(x) cuando x tiende a a
por la izquierda es l, y escribiremos
l´ım
x→a−
f(x) = l,
x ∈ dom f y a − δ < x < a =⇒ |f(x) − l| < .
Por ejemplo, ya hemos visto (Ejercicio 3.1) que no existe l´ımx→0 sig(x).
Sin embargo, es fácil ver que
l´ım
x→0+
sig(x) = 1, l´ım
x→0−
sig(x) = −1.
En efecto, basta observar que para x > 0 ó x < 0 f es constante, respecti-
vamente igual a 1 ó −1.
Proposición 3.8. Si los dos l´ımites laterales de f en a existen y son igua-
les a un número l ∈ R, entonces l´ımx→a f(x) = l. Rec´ıprocamente, si a
es un punto de acumulación de dom f ∩ (−∞, a) y de dom f ∩ (a, ∞), y
l´ımx→a f(x) = l, entonces l´ımx→a+ f(x) = l´ımx→a− f(x) = l.
Ejemplo 3.9. Aunque l´ımx→0
√
x = 0 (pruébese esto a partir de la defini-
ción), no existe l´ımx→0−
√
x, ya que dom f ∩ (−∞, 0) = ∅ en este caso.
Los l´ımites laterales se extienden de forma obvia al caso de l´ımites infi-
nitos. Por ejemplo,
l´ım
x→a+
f(x) = ∞
si a es punto de acumulación de dom f ∩ (a, ∞), y para todo M ∈ R existe
δ > 0 tal que
x ∈ dom f y a < x < a + δ =⇒ f(x) > M.
As´ı, por ejemplo,
l´ım
x→0+
1
x
= ∞.
Ejercicio. Si a ∈ R, def´ınanse los l´ımites l´ımx→a− f(x) = ∞ y l´ımx→a± f(x) =
−∞. Pruébese que l´ımx→0− 1/x = −∞.

3.1.3. Propiedades de los l´ımites
Teorema (unicidad del l´ımite). Si existe el l´ımite de una función en un
punto, dicho l´ımite es único.
Demostración. Hay que probar que si
l1 = l´ım
x→a
f(x), l2 = l´ım
x→a
f(x)
entonces l1 = l2. Supongamos, en efecto, que l1 = l2. Tomando, entonces,
= |l1 − l2| /2 > 0 en la definición de l´ımite se deduce que existen dos
números positivos δ1 y δ2 tales que
x ∈ dom f y 0 < |x − a| < δi =⇒ |f(x) − li| < , i = 1, 2.
Si δ = m´ın(δ1, δ2) > 0 y x ∈ dom f es un número cualquiera que cumple
0 < |x − a| < δ entonces
|l1 − l2| ≤ |f(x) − l1| + |f(x) − l2| < 2 = |l1 − l2| ,
lo cual es absurdo. Q.E.D.
Nota. Idéntico resultado es válido para l´ımites laterales ó infinitos, con una
demostración análoga.
Probemos, en primer lugar, que si f tiene l´ımite (finito) en a ∈ R en-
tonces f está acotada en las proximidades del punto a:
Proposición 3.10. Si l´ımx→a f(x) existe, entonces f está acotada en
algún intervalo de la forma (a − δ, a + δ) con δ > 0.
Demostración. Hay que probar que existen δ > 0 y M > 0 tales que
|f(x)| < M, ∀x ∈ dom f ∩ (a − δ, a + δ).
Por la existencia de l = l´ımx→a f(x), existe δ > 0 tal que
|f(x) − l| < 1, ∀x = a tal que x ∈ dom f ∩ (a − δ, a + δ).
Si x = a y x ∈ dom f ∩ (a − δ, a + δ), entonces
|f(x)| ≤ |f(x) − l| + |l| < 1 + |l| .
Se obtiene por tanto la acotación deseada tomando (por ejemplo) M = 1+|l|
si a /∈ dom f, ó M = máx (1 + |l| , 1 + |f(a)|) > 0 si a ∈ dom f. Q.E.D.
Otro resultado importante acerca del l´ımite se refiere al comportamiento
del signo de una función que tiende a un l´ımite distinto de cero en un punto.
Más precisamente, se verifica el siguiente resultado:

Proposición 3.11. Si l´ımx→a f(x) = l > 0, entonces existen δ > 0 y c > 0
tales que 0 < c < f(x) para todo x = a en dom f ∩ (a − δ, a + δ).
Demostración. De la definición de l´ımite aplicada a = l/2 > 0 se deduce
la existencia de δ > 0 tal que
−
l
2
< f(x) − l <
l
2
, ∀x ∈ dom f ∩ (a − δ, a + δ), x = a.
El resultado se cumple por tanto tomando este δ > 0 y c = l/2 > 0. Q.E.D.
Si l´ımx→a f(x) = l < 0, aplicando la proposición anterior a −f se de-
muestra que existen δ > 0 y c > 0 tales que
f(x) < −c < 0, ∀x ∈ dom f ∩ (a − δ, a + δ), x = a.
Por tanto, si l´ımx→a f(x) = 0 existen δ > 0 y c > 0 tales que
|f(x)| > c > 0, ∀x ∈ dom f ∩ (a − δ, a + δ), x = a.
Corolario 3.12. Análogamente, si l´ımx→a f(x) = l = 0, entonces hay un
δ > 0 tal que el signo de f es constante e igual a sig l en el conjunto (a −
δ, a + δ) ∩ dom f − {a}.
La siguiente proposición proporciona un método muy útil para probar
que una función tiene l´ımite, “encajándola” entre dos funciones que tienden
al mismo l´ımite:
Proposición 3.13. Sean f, g1, g2 : R → R funciones tales que para algún
h > 0 se cumple
g1(x) ≤ f(x) ≤ g2(x), ∀x ∈ dom f ∩ (a − h, a + h), x = a.
Si a es punto de acumulación de dom f y l´ımx→a g1(x) = l´ımx→a g2(x) = l,
entonces l´ımx→a f(x) = l.
Demostración. Dado > 0, existen δ1 > 0 y δ2 > 0 tales que
x ∈ dom gi y 0 < |x − a| < δi =⇒ l − < gi(x) < l + , i = 1, 2.
Tomando δ = m´ın(δ1, δ2, h) > 0 y teniendo en cuenta que por hipótesis
dom f ∩ (a − h, a + h) − {a} ⊂ dom gi ∩ (a − h, a + h) − {a} (i = 1, 2) se
obtiene
x ∈ dom f y 0 < |x − a| < δ =⇒ l − < g1(x) ≤ f(x) ≤ g2(x) < l + .
Q.E.D.
Corolario 3.14. Si existe h > 0 tal que 0 ≤ |f(x)| ≤ g(x) para todo x ∈
dom g∩(a−h, a+h) con x = a, y l´ımx→a g(x) = 0, entonces l´ımx→a f(x) = 0.

El siguiente teorema describe el comportamiento de la operación de paso
al l´ımite en relación con las operaciones algebraicas entre funciones introdu-
cidas en el cap´ıtulo anterior:
Teorema (propiedades de los l´ımites). Sean f, g : R → R, y supongamos
que existen los l´ımites l´ımx→a f(x) = l1 y l´ımx→a g(x) = l2. Si a ∈ R es un
punto de acumulación de dom f ∩ dom g se cumple:
i) l´ım
x→a
[f(x) + g(x)] = l1 + l2
ii) l´ım
x→a
[f(x)g(x)] = l1l2
En particular, para todo c ∈ R se tiene
l´ım
x→a
cf(x) = c l1.
Si, además, l2 = 0, entonces
iii) l´ım
x→a
f(x)
g(x)
=
l1
l2
.
Demostración. Demostremos, por ejemplo, la última propiedad. Utilizando
la segunda, no se pierde generalidad tomando f = 1. Aplicando la Proposi-
ción 3.11 a |g| deducimos que existen δ1 > 0 y c > 0 tales que
|g(x)| > c > 0, ∀x ∈ dom g ∩ (a − δ1, a + δ1), x = a.
En particular, esto implica (¿por qué?) que a es un punto de acumulación
de dom 1
g . Además, cualquiera que sea > 0 existe δ2 > 0 tal que
|g(x) − l2| < , ∀x ∈ dom g ∩ (a − δ2, a + δ2), x = a.
Luego si δ = m´ın(δ1, δ2) y x = a pertenece a dom g ∩ (a − δ, a + δ) entonces
1
g(x)
−
1
l2
=
|g(x) − l2|
|l2| |g(x)|
<
c |l2|
≤
si tomamos ≤ c |l2| . Q.E.D.
Ejercicio. Probar que l´ımx→a f(x) = l =⇒ l´ımx→a |f(x)| = |l| .
3.2. Continuidad
3.2.1. Continuidad en un punto
Definición 3.15. Una función f : R → R es continua en a ∈ R si
l´ım
x→a
f(x) = f(a).

Para que f sea continua en a han de cumplirse por tanto las siguientes
condiciones:
i) f está definida en a, es decir a ∈ dom f.
ii) Existe l´ımx→a f(x). En particular, obsérvese que a ha de ser punto de
acumulación de dom f.
iii) l´ımx→a f(x) coincide con f(a).
Si alguna de las condiciones anteriores falla (por ejemplo, si a /∈ dom f)
entonces f es discontinua en a.
La definición de continuidad de f : R → R en a se puede expresar de
la forma siguiente:
∀ > 0, ∃δ > 0 tal que x ∈ dom f y |x − a| < δ =⇒ |f(x) − f(a)| < .
Las funciones constantes, la función identidad y la función cuadrado
(x → x2) son continuas en todo punto a ∈ R.
La función ra´ız cuadrada (x →
√
x) es continua en todos los puntos
de su dominio [0, ∞).
Las funciones sig y x → sen(1/x) no son continuas en x = 0 (en
ambos casos no existe l´ımx→0 f(x), mientras que para la segunda de
estas funciones 0 ni siquiera pertenece a dom f).
Ejercicio. Probar que f es continua en a si y sólo si l´ımh→0 f(a+h) = f(a).
El Teorema 3.1.3 acerca de las propiedades de los l´ımites proporciona inme-
diatamente el siguiente importante resultado:
Teorema 3.16. Si f, g : R → R son funciones continuas en a ∈ R, y a
es punto de acumulación de dom f ∩ dom g (por ejemplo, esto ocurrirá au-
tomáticamente si f y g tienen el mismo dominio), entonces f ± g y fg son
continuas en a. Si, además, g(a) = 0, entonces f/g es continua en a.
El teorema anterior nos permite probar fácilmente la continuidad de mul-
titud de funciones. Por ejemplo, de la continuidad de las funciones constantes
y de la función identidad en cualquier punto se sigue que los polinomios son
funciones continuas en todo R. A su vez, esto implica que si P y Q son
polinomios y Q = 0 la función racional P/Q es continua en todo punto de
su dominio (es decir, en todo punto a tal que Q(a) = 0).
Otra propiedad importante de la continuidad es su buen comportamiento
bajo la operación de composición:
Teorema 3.17. Sean f, g : R → R funciones tales que im g ⊂ dom f. Si g
es continua en a y f es continua en g(a), entonces f ◦ g es continua en a.

O A
P
Q
Figura 3.3: si el arco AP mide x, entonces PQ = 2 sen x < PAQ = 2x.
Demostración. En primer lugar, im g ⊂ dom f implica que dom(f ◦ g) =
dom g; en particular, a ∈ dom(f ◦ g) y a es un punto de acumulación de
dom(f ◦ g). Hay que probar que, dado un > 0 cualquiera, es posible encon-
trar un δ > 0 tal que
x ∈ dom(f ◦ g) y |x − a| < δ =⇒ f g(x) − f g(a) < . (3.4)
Al ser f continua en g(a), existe δ1 > 0 tal que
y ∈ dom f y |y − g(a)| < δ1 =⇒ f(y) − f g(a) < . (3.5)
Utilizando ahora la continuidad de g en a, podemos escoger δ > 0 tal que
x ∈ dom g y |x − a| < δ =⇒ |g(x) − g(a)| < δ1. (3.6)
Si x ∈ dom(f ◦ g) = dom g y |x − a| < δ entonces y = g(x) cumple y ∈ dom f
y |y − g(a)| < δ1 por (3.6), de donde, sustituyendo y = g(x) en (3.5), se
obtiene (3.4). Q.E.D.
Ejemplo 3.18. En este ejemplo probaremos que las funciones trigonométri-
cas son continuas en cualquier punto de su dominio. Nuestra discusión se
basará en la desigualdad elemental (véase la fig. 3.3)
0 ≤ |sen h| < h, ∀h > 0.
Si h < 0, entonces
0 ≤ |sen(−h)| = |− sen h| = |sen h| < −h = |h| .
Por tanto
0 ≤ |sen h| < |h| , ∀h = 0
(para h=0, las desigualdades anteriores se convierten obviamente en igual-
dades). Empecemos por probar la continuidad de sen en 0. En efecto,

0 ≤ |sen x − 0| = |sen x| ≤ |x| ,
y basta aplicar el Corolario 3.14. La continuidad de la función cos en 0 se
sigue observando que
0 ≤ |cos x − 1| = 2 sen2 x
2
≤
x2
2
y aplicando de nuevo el Corolario 3.14. De lo anterior se deduce la continui-
dad de sen en a ∈ R arbitrario, ya que
sen(a + h) = sen a cos h + cos a sen h −−−→
h→0
sen a · 1 + cos a · 0 = sen a
por las propiedades de los l´ımites. La continuidad de la función cos en cual-
quier punto se deduce de la fórmula cos = sen ◦ f, siendo f(x) = π
2 − x una
función continua en todo punto (es un polinomio). Del teorema 3.17 se sigue
que las funciones tan, cot, sec y cosec son continuas en todo punto de sus
dominios.
Ejercicio. Probar que la función loga (a > 0) es continua en todo punto de
su dominio (0, ∞).
Solución. Como log1/a = − loga, podemos tomar sin pérdida de generalidad
a > 1. Veamos, en primer lugar, que si a > 1 entonces loga es continua en
1. Hay que probar que, dado > 0, podemos encontrar δ > 0 tal que
1 − δ < x < 1 + δ =⇒ − < loga x < (3.7)
(tomamos también δ ≤ 1 para que (1−δ, 1+δ) ⊂ dom loga). Esta última de-
sigualdad es equivalente (al ser la función x → ax inversa de loga monótona
creciente) a la desigualdad
1
h
< x < h, si h = a > 0.
Como a > 1 y > 0, 0 < 1/h < 1 < h; por tanto, tomando δ = m´ın h −
1, 1 − 1
h > 0 obtenemos (3.7).
Para probar la continuidad de loga en un punto cualquiera x > 0, obser-
vamos que
loga(x + h) = loga x 1 +
h
x
= loga x + loga 1 +
h
x
.
Si h → 0, el primer término tiende a loga x (como función de h es constante)
y el segundo tiende a loga 1 = 0. Para probar esto último, basta observar
que la función h → loga 1 + h
x es la composición de la función loga con la
función polinómica h → 1 + h
x , continuas en 0 y 1, respectivamente.

3.2.2. Continuidad en intervalos
La continuidad de una función proporciona consecuencias importantes y
profundas cuando se cumple no en un punto aislado sino en todos los puntos
de un intervalo.
Definición 3.19. Una función f : R → R es continua por la derecha en
a ∈ R si l´ımx→a+ f(x) = f(a). Análogamente, diremos que f es continua
por la izquierda en a si l´ımx→a− f(x) = f(a).
Equivalentemente, f es continua por la derecha (resp. por la izquierda)
en a si la restricción de f al intervalo [a, ∞) (resp. (−∞, a]) es continua en
a.
La función ra´ız cuadrada es continua por la derecha pero no por la
izquierda en 0. En efecto, recuérdese que no existe l´ımx→0−
√
x.
En general, si f es continua en a y a es punto de acumulación de
dom f ∩ [a, ∞) y de dom f ∩ (−∞, a] entonces f es continua por la
derecha y por la izquierda en a. Rec´ıprocamente, si f es continua por
la derecha y por la izquierda en a entonces f es continua en a.
La función x → [x] es continua por la derecha, pero no por la izquierda,
en todos los puntos de Z.
La función sig no es continua ni por la derecha ni por la izquierda en
0.
Definición 3.20. Una función f : R → R es continua en un intervalo
cerrado [a, b] (siendo a < b números reales) si f es continua en x para todo
x ∈ (a, b), es continua por la derecha en a y es continua por la izquierda en
b.
Equivalentemente, f es continua en [a, b] si la restricción de f al inter-
valo [a, b] es continua en x para todo x ∈ [a, b].
En general, diremos que f es continua en un intervalo cualquiera cuan-
do f es continua en el correspondiente intervalo abierto, y es continua
por la derecha en el extremo inferior del intervalo y continua por la
izquierda en el extremo superior, si alguno de estos extremos pertenece
al intervalo.
Por ejemplo, la función parte entera es continua en los intervalos
[0, 1/2] y [0, 1), y no lo es en el intervalo [0, 1] (al no ser continua
por la izquierda en 1).

La función f : R → R definida por
f(x) =
1
x , x = 0
b, x = 0
no es continua en [−1, 1], ya que no es continua en 0 (cualquiera que
sea b ∈ R).
3.3. Teoremas fundamentales
La Proposición 3.11 y su Corolario 3.12 proporcionan inmediatamente la
siguiente propiedad importante de las funciones continuas, que utilizaremos
a menudo:
Teorema de conservación del signo. Si f : R → R es continua en a y
f(a) > 0, entonces existen δ > 0 y c > 0 tales que
f(x) > c > 0, ∀x ∈ dom f ∩ (a − δ, a + δ).
En particular, f es positiva en dom f ∩ (a − δ, a + δ). Un resultado análogo
es válido si f(a) < 0.
Este resultado es válido también cuando f es continua por la derecha
ó por la izquierda en a y f(a) = 0. Por ejemplo, si f es continua por la
derecha en a y f(a) > 0 entonces existen δ > 0 y c > 0 tales que
f(x) > c > 0, ∀x ∈ dom f ∩ [a, a + δ).
3.3.1. Teorema de Bolzano
Vamos a ver a continuación varios teoremas que encierran propiedades
fundamentales de las funciones continuas en intervalos. El primero de ellos
es una sencilla consecuencia del teorema de conservación del signo:
Teorema de Bolzano. Si f es continua en [a, b] (con a < b) y f(a)f(b) <
0, entonces existe x ∈ (a, b) tal que f(x) = 0.
Demostración. La hipótesis del teorema afirma que f(a) y f(b) son distintos
de cero y tienen signos opuestos. Podemos suponer, sin pérdida de genera-
lidad (¿por qué?), que f(a) < 0 y f(b) > 0. La idea de la demostración es
muy sencilla: si definimos el conjunto A mediante
A = {t ∈ [a, b] : f(t) < 0} ,
intuitivamente el supremo de este conjunto es el mayor número x ∈ [a, b] tal
que f(x) = 0. Para probar esto rigurosamente, observamos en primer lugar
que a ∈ A por ser f(a) < 0, luego A = ∅. Además, por construcción A ≤ b.

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