Apuntes-MatematicasII

Índice
1 Funciones reales 1
1.1 Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Representación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Determinación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.4 Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Simetr´ıa de las gráficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5.1 Simetr´ıa respecto del origen. Funciones impares . . . . . . . . . . . . . 3
1.5.2 Simetr´ıa respecto del eje de ordenadas. Funciones pares . . . . . . . . 4
1.6 Funciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Funciones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7.1 Cotas superiores e inferiores. Acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7.2 Extremos: máximo y m´ınimo absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
T1 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 L´ımites 7
2.1 L´ımites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Propiedades de los l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Cálculo de algunos l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 L´ımites de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2 L´ımites de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.3 Funciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 As´ıntotas horizontales y verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 As´ıntotas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.2 As´ıntotas verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 As´ıntotas oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Continuidad 15
3.1 Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Propiedades de la continuidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Unicidad del l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Teorema del signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.3 Acotación de la función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.4 Continuidad y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.1 Discontinuidad evitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.2 Discontinuidad inevitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Continuidad en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5 Propiedades de la continuidad en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.1 Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.2 Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1

2 ÍNDICE
3.5.3 Teorema del valor intermedio. Teorema de Darboux . . . . . . . . . . 17
3.5.4 Imagen de un intervalo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.5 Continuidad y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Derivadas 21
4.1 Derivada de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.1 Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Interpretación geométrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.1 La derivada como pendiente de la recta tangente . . . . . . . . . . . . 21
4.2.2 Normal a una curva en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Función derivada. Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.1 Función derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.2 Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Derivadas de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5 Operaciones con derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Propiedades de las funciones derivables 29
5.1 Continuidad y derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Derivada en un punto máximo o m´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.4 Teorema del valor medio o de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.5 Consecuencias del Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.5.1 Caracterización de las funciones constantes . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.5.2 Relación entre funciones con igual derivada . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.6 Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.7 Ra´ıces de una ecuación o función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.8 Regla de L’Hôpital. Cálculo de l´ımites indeterminados . . . . . . . . . . . . . 32
6 Aplicaciones de las derivadas 36
6.1 Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2 Intervalos de monoton´ıa en funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3 Máximos y m´ınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4 Problemas sobre máximos y m´ınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.5 Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.6 Puntos de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7 Integrales indefinidas 43
7.1 Primitiva. Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.2 Propiedades lineales de la integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.3 Integrales inmediatas de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.4 Métodos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.4.1 Integral de un producto o método de integración por partes . . . . . . 45
7.4.2 Integral de la función compuesta o método de sustitución . . . . . . . 46
7.5 Integración de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

ÍNDICE 3
8 Integral definida 53
8.1 Area del trapecio mixtil´ıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.2 Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.3 Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.4 Teorema de la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.5 Función integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.6 Relación con la derivada. Teorema de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9 Aplicaciones de la integral definida 62
9.1 Área del recinto donde interviene una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.2 Área del recinto donde intervienen dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.3 Volumen de un cuerpo de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.4 Volumen de un cuerpo por secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10 Espacios Vectoriales 68
10.1 Definición de espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.2 Otras propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.3 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.4 Combinación lineal de vectores. Subespacio engendrado . . . . . . . . . . . . 70
10.4.1 Combinación lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.4.2 Subespacio engendrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.5 Dependencia e independencia lineal de vectores. Rango de un conjunto de
vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.5.1 Dependencia e independencia lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . 71
10.5.2 Rango de un conjunto de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.6 Base de un espacio vectorial. Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.6.1 Base de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.6.2 Dimensión de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.7 Coordenadas de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.8 Aplicaciones lineales entre espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11 Matrices y determinantes 74
11.1 Concepto de matriz o tabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11.2 Algunos tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11.2.1 Según su forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11.2.2 Según sus elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.3 El espacio vectorial de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.3.1 Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.3.2 Producto de un escalar por una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.4 Producto de matrices. Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.4.1 Producto de una matriz fila por una matriz columna . . . . . . . . . . 77
11.4.2 Producto de dos matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.5 Rango de una matriz. Cálculo por el método de Gauß . . . . . . . . . . . . . 78
11.5.1 Cálculo del rango por el método de Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4 ÍNDICE
11.6 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.6.1 Determinantes de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.6.2 Determinantes de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.7 Determinantes de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.8 Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.9 Cálculo de un determinante por el Método de Gauß . . . . . . . . . . . . . . 83
11.10Cálculo de un determinante por los elementos de una fila o columna . . . . . 84
11.11Cálculo del rango de un conjunto de vectores y de una matriz por determinantes 85
11.12Cálculo de la matriz inversa por determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12 Sistemas de ecuaciones lineales 91
12.1 Sistemas de ecuaciones lineales en general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12.2 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
12.3 Criterio de compatibilidad. Teorema de Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13 Espacio af´ın eucl´ıdeo 96
13.1 Los vectores fijos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
13.2 Los vectores libres en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
13.3 El espacio vectorial de los vectores libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
13.4 Bases en V 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
13.5 Producto escalar de dos vectores libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
13.6 Módulo de un vector. Ángulo de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
13.6.1 Módulo de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
13.6.2 Ángulo de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
13.7 Producto vectorial de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
13.8 Producto mixto de tres vectores libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
13.9 Espacio af´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
13.10Espacio af´ın eucl´ıdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
14 Ecuaciones de rectas y planos 105
14.1 Coordenadas de un vector libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
14.2 Coordenadas del punto medio de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
14.3 Ecuación de la recta. Determinación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
14.4 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
14.5 Ecuación del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
14.6 Ecuación normal del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
14.7 Ecuación del plano que pasa por tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
14.8 Ecuación del plano determinado por una recta y un punto exterior . . . . . . 110
15 Posiciones de rectas y planos 112
15.1 Posiciones de dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
15.2 Posiciones de tres planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
15.3 Haces de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
15.3.1 Haz de planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

0 ÍNDICE
15.3.2 Haz de planos secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
15.4 Posiciones de recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
15.5 Posiciones de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
16 Problemas métricos 121
16.1 Ángulo de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
16.2 Ángulo de dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
16.3 Ángulo de recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
16.4 Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
16.5 Distancia de un punto a un plano. Distancia entre planos paralelos . . . . . . 123
16.6 Distancia de un punto a una recta. Distancia entre rectas paralelas . . . . . . 124
16.7 Distancia entre rectas que se cruzan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
16.7.1 Perpendicular común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
16.8 Áreas de paralelogramos y triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
16.9 Volúmenes de paralelep´ıpedos y tetraedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Tema 1 Funciones reales
1.1 Funciones reales
Una función real de variable real es toda ley que asocia a cada elemento de un determi-
nado subconjunto de números reales uno y sólo un número real. Se representa por
f : D ⊆ IR −→ IR
x −→ f(x) = y
El subconjunto en el que se define la función recibe el nombre de dominio de definición
de la función o campo de existencia, y se designa por Dom(f) o simplemente D.
La letra x, que representa cualquier número del dominio, recibe el nombre de variable
independiente.
A la letra y, que representa el número al que f asocia a x, se le llama variable depen-
diente (porque “depende” de lo que valga x).
El conjunto de valores reales que puede tomar la variable y, recibe el nombre de reco-
rrido de la función, y se denota por f(D).
Toda función queda determinada por el conjunto de pares de números reales {(x, y)} =
{(x, f(x))}, donde x es la variable independiente de f.
Dos funciones reales f y g son iguales, y se denota f ≡ g, cuando tienen el mismo dominio
y coinciden para todo valor del mismo (es decir, f(x) = g(x) para todo x ∈ D).
1.2 Representación de funciones
Puesto que una función se puede reducir a un conjunto de pares de números {(x, y), x ∈ D},
su representación consiste en dibujar cada uno de ellos en el plano cartesiano.
Si f es una función real, a cada par {(x, f(x))} (ó {(x, y)}), determinado por la función
f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y).
Más rigurosamente, la gráfica de una función f es el lugar geométrico de los puntos del
plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación
y = f(x)
La construcción de unos cuantos puntos de la gráfica da idea de cómo var´ıa la función,
pero por muchos puntos que dibujemos, es arriesgado unirlos mediante trazos continuos sin
un estudio previo de la función.
1.3 Determinación de funciones
Existen al menos cuatro formas de determinar una función:
• Descriptivamente: explicando con palabras lo que hace la función. Ejemplo: “fun-
ción que a cada número real le asigna su doble”.
1

2 TEMA 1. FUNCIONES REALES
• Por fórmulas: la mayor´ıa de las funciones que se presentan en la práctica se expresan
generalmente por una fórmula algebraica. Es indudable que se trata de la mejor
manera de determinar una función, puesto que se facilita el estudio de sus propiedades
por métodos matemáticos rigurosos y exactos. Ejemplo: f(x) = 2x.
• Por gráficas: esta forma no exige conocer su correspondiente
expresión algebraica. Además la gráfica da una información más
rápida que la fórmula y muchas veces es suficiente para tener la
información descriptiva y global del fenómeno considerado.
• Por tablas de valores: la experimentación o la observación de
un fenómeno en el que intervienen dos magnitudes dependientes
nos da un conjunto de valores (x, y), es decir, una tabla. El estudio
de esta tabla y de su gráfica de puntos permite algunas veces hallar
una fórmula algebraica con la que se pueden obtener otros valores
no registrados en la misma.
x y = f(x)
1 2
2 4
...
...
1.4 Operaciones con funciones
Dadas dos funciones, f y g, se pueden definir las siguientes operaciones entre ellas
siempre que tengan el mismo dominio:
Función Definición
suma (resta) (f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
cero 0(x) = 0
opuesta (−f)(x) = −f(x)
producto (fg)(x) = f(x)g(x)
uno 1I(x) = 1
inversa (respecto al producto)
1
f
(x) =
1
f(x)
cociente
f
g
(x) =
f(x)
g(x)

1.5. SIMETRÍA DE LAS GRÁFICAS DE FUNCIONES 3
Función Definición
producto por un número (af)(x) = af(x)
compuesta (g◦ f)(x) = g(f(x))
identidad id(x) = x
rec´ıproca f−1
(x) es tal que (f◦ f−1
)(x) = x
o inversa es decir
(respecto a la composición) f−1
(y) = x ⇔ y = f(x)
Observaciones:
• La inversa (respecto al producto) de una función, as´ı como el cociente de dos funciones,
no están definidas en los puntos que anulan el denominador.
• El producto de una función por un número real es un caso particular del producto de
funciones, si convenimos que el número real a representa también la función constante
definida por f(x) = a.
• Para que pueda definirse la función rec´ıproca f−1
es necesario que la función directa f
sea inyectiva, es decir, que a valores distintos del dominio, f haga corresponder valores
distintos del recorrido.
x = y =⇒ f(x) = f(y)
Las funciones rec´ıprocas tienen la propiedad geométrica de que sus gráficas son simé-
tricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.
1.5 Simetr´ıa de las gráficas de funciones
1.5.1 Simetr´ıa respecto del origen. Funciones impares
Una función f es simétrica respecto del origen cuando para todo x del dominio se tiene
f(−x) = −f(x)
Las funciones simétricas respecto del origen reciben el nombre de funciones impares.
La gráfica de una función impar queda determinada si conocemos su forma para valores
positivos de x, ya que la parte de la gráfica correspondiente a valores negativos de x se
construye por simetr´ıa respecto del origen de coordenadas.

1.5.2 Simetr´ıa respecto del eje de ordenadas. Funciones pares
Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del
dominio se tiene
f(−x) = f(x)
Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones
pares. La gráfica de una función par queda determinada si conocemos su forma para
valores positivos de x, ya que la parte de la gráfica correspondiente a valores negativos de x
se construye por simetr´ıa respecto del eje de ordenadas.
1.6 Funciones periódicas
Una función f es periódica de periodo T si:
f(x + T) = f(x)
para todo x perteneciente al dominio de definición.
Las funciones periódicas más importantes son las funciones circulares seno, coseno y
tangente, ya que muchos fenómenos naturales son periódicos y vienen expresados matemá-
ticamente por ellas.
1.7 Funciones acotadas
1.7.1 Cotas superiores e inferiores. Acotación
Una función f está acotada inferiormente cuando existe un número real K tal que
todos los valores que toma la función son mayores que K.
f acotada inferiormente ⇐⇒ ∃K ∈ IR / f(x) > K ∀x ∈ Dom(f)
El número real K se llama cota inferior.
Una función f está acotada superiormente cuando existe un número real K tal que
todos los valores que toma la función son menores que K .
f acotada superiormente ⇐⇒ ∃K ∈ IR / f(x) < K ∀x ∈ Dom(f)
El número real K se llama cota superior.
Una función está acotada si lo está inferior y superiormente.
1.7.2 Extremos: máximo y m´ınimo absoluto
Se llama extremo superior de una función a la menor de las cotas superiores. Si este
valor lo alcanza la función se llama máximo absoluto.
Se llama extremo inferior de una función a la mayor de las cotas inferiores. Si este
valor lo alcanza la función se llama m´ınimo absoluto.

T1. EJERCICIOS Y PROBLEMAS 5
T1 Ejercicios y problemas
T1.1 Un rectángulo tiene de per´ımetro 40 m. Expresa la altura del rectángulo en función del lado
x de la base; lo mismo para el área.
T1.2 Se quiere construir un pozo cil´ındrico de 2 m de diámetro. Expresa el volumen del agua que
cabe en el pozo en función de su profundidad x.
T1.3 Expresa en función de la base el área de un rectángulo inscrito en un c´ırculo de radio r.
T1.4 Ídem el área de un triángulo isósceles inscrito en un c´ırculo de radio r.
T1.5 Se dispone de una cartulina de 100 × 40 cm y se quiere construir una caja sin tapadera
cortando un cuadrado en las cuatro esquinas. Halla la expresión del volumen en función del lado x
del cuadrado.
T1.6 Expresa el área de un triángulo equilátero en función del lado. ¿Qué tipo de función se
obtiene? Halla el valor de esa función si el lado mide 10 unidades.
T1.7 Halla el dominio de las funciones
(a) f(x) =
2x + 1
x2 − 5x + 6
(b) g(x) = x2 − 16 (c) h(x) = log(x2
− 4)
T1.8 La función f(x) =
x2
− 3x + 2
x2 − 5x + 4
es igual que otra función g, salvo en un punto. Halla g y el
dominio común de ambas.
T1.9 Llamamos ent(x) a la función que da la parte entera de cualquier número real. Por ejemplo,
ent(3 2) = 3, ent(−2 3) = −3. Represéntala en el intervalo [−4, 4].
T1.10 Llamamos dec(x) a la función que da la parte decimal de cualquier número real. Por
ejemplo, dec(3 2) = 0 2, dec(−2 3) = 0 7. Represéntala en el intervalo [−4, 4].
T1.11 Partiendo de la gráfica de la función y = 2x, dibuja mediante una traslación de la misma,
las gráficas de las funciones y = 2x + 1, y = 2x + 4, y = 2x − 3. Halla los puntos de corte con los
ejes de estas funciones.
T1.12 Calcular los coeficientes de la función f(x) = ax+b si los valores f(0) y f(1) son conocidos.
T1.13 Se consideran las funciones f(x) = ax + b y g(x) = cx + d. Halla una relación entre los
coeficientes a, b, c y d para que la composición de funciones sea conmutativa.
T1.14 Halla la función y = ax2
+ bx + c sabiendo que el vértice es V (1, 1) y pasa por el punto
P = (0, 2). Dibuja previamente el eje de simetr´ıa de la parábola y halla el punto simétrico de P
respecto a él.
T1.15 Representa la función y = x2
− |x| + 2, considerando las dos parábolas que la definen al
tomar valores positivos y negativos de x.
T1.16 Representa la función y = |x2
−5x+6|, dibujando previamente la función f(x) = x2
−5x+6,
y teniendo en cuenta a continuación la definición de valor absoluto.
T1.17 Estudia la simetr´ıa de las siguientes funciones:
1. f(x) = x3
+ sen x 2. f(x) = x2
+ cos x
3. f(x) = | sen x| + cos x 4. f(x) = x + x3
+ x5
5. f(x) = sec x 6. f(x) = x · sen x
7. f(x) = sen x + cos x 8. f(x) = sen2
x + cos2
x
T1.18 Dada la función f(x) = dec x, halla el extremo superior y el extremo inferior. ¿Tiene
máximo y m´ınimo absoluto? Haz un dibujo de esta función.

T1.19 Dada la función f(x) = arctg x, halla el extremo superior y el extremo inferior. ¿Tiene
máximo y m´ınimo absoluto? Haz un dibujo de esta función.
T1.20 Demostrar la veracidad o no de las siguientes proposiciones:
(1) La suma de dos funciones pares es una función par.
(2) El producto de dos funciones pares es una función par.
(3) La suma de dos funciones impares es una función impar.
(4) El producto de dos funciones impares es una función impar.
T1.21 Se conoce la gráfica de una función f. Dibuja razonadamente las gráficas de las funciones:
(a) y = f(x − 3) (b) y = f(x + 3) (c) y = f(x) + 3 (d) y = f(x) − 3
T1.22 Representa las siguientes gráficas por traslación a partir de la función f(x) = x2
:
(a) F(x) = x2
+ 2x + 1 (b) F(x) = x2
− 2x − 1
(c) F(x) = x2
+ 1 (d) F(x) = x2
− 1
T1.23 Representa las siguientes funciones a partir de la función y = |x|:
(a) y = |x + 1| (b) y = |x − 1|
(c) y = |x| + 1 (d) y = |x| − 1

Tema 2 L´ımites
2.1 L´ımites de funciones
Una función f tiene l´ımite L en el punto x = a, si para todo número real ε > 0, existe
otro número real δ > 0 tal que si
0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε
Es decir, ∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε
Se representa: lim
x→a
f(x) = L.
Otras definiciones de l´ımite
lim
x→a
f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) > M
lim
x→a
f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < −M
lim
x→a+
f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0 < x − a < δ ⇒ |f(x) − L| < ε
lim
x→a−
f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0 < a − x < δ ⇒ |f(x) − L| < ε
lim
x→a+
f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < x − a < δ ⇒ f(x) > M
lim
x→a+
f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < x − a < δ ⇒ f(x) < −M
lim
x→a−
f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < a − x < δ ⇒ f(x) > M
lim
x→a−
f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < a − x < δ ⇒ f(x) < −M
lim
x→+∞
f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃H > 0 / x > H ⇒ |f(x) − L| < ε
lim
x→−∞
f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃H > 0 / x < −H ⇒ |f(x) − L| < ε
lim
x→+∞
f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃H > 0 / x > H ⇒ f(x) > M
lim
x→−∞
f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃H > 0 / x < −H ⇒ f(x) < −M
2.2 Propiedades de los l´ımites
(1) Si una función tiene l´ımite en un punto, forzosamente es único.
(2) Si los l´ımites laterales de una función en un punto son distintos, entonces la función
no tiene l´ımite en ese punto.
Si lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) entonces ∃ lim
x→a
f(x)
(3) Si una función tiene l´ımite distinto de cero en un punto, entonces existe un entorno del
mismo en el que los valores que toma la función tienen el mismo signo que el l´ımite.
(4) Sean f y g dos funciones tales que existan lim
x→a
f(x) y lim
x→a
g(x) y sea c un número
real. Las siguientes relaciones son ciertas siempre que tengan sentido las operaciones
7

8 TEMA 2. LÍMITES
definidas ya sea en la recta real IR o en la recta completa IR = IR {−∞, +∞}. En
caso contrario no es posible obtener el l´ımite del primer miembro a partir de los l´ımites
del segundo. Cuando esto suceda diremos que se trata de un caso indeterminado.
Función Propiedades
suma (resta) lim
x→a
(f ± g)(x) = lim
x→a
f(x) ± lim
x→a
g(x)
opuesta lim
x→a
(−f)(x) = − lim
x→a
f(x)
producto lim
x→a
(fg)(x) = lim
x→a
f(x) lim
x→a
g(x)
inversa (respecto al producto) lim
x→a
1
f
(x) =
1
lim
x→a
f(x)
cociente lim
x→a
f
g
(x) =
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
producto por un número lim
x→a
(cf)(x) = c lim
x→a
f(x)
constante lim
x→a
c = c
compuesta (f continua) lim
x→a
f(g(x)) = f lim
x→a
g(x)
identidad lim
x→a
x = a
potencia lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
Los tipos de indeterminación para las operaciones anteriores son los siguientes:
k
0
(k = 0),
0
0
,
∞
∞
, 0 · ∞, ∞ − ∞, 1∞
, ∞0
, 00
Si al calcular un l´ımite se presenta alguna de estas indeterminaciones, es conve-
niente transformar la expresión de la función en otra equivalente a la que s´ı puedan
aplicarse las propiedades anteriores.
2.3 Cálculo de algunos l´ımites
2.3.1 L´ımites de funciones racionales
En las funciones racionales aparecen tres tipos de indeterminaciones, aunque en realidad
sólo dos de ellas son consideradas como tales:

2.3. CÁLCULO DE ALGUNOS LÍMITES 9
(1) Indeterminación tipo
k
0
(k = 0)
Para resolverla se calculan los l´ımites laterales; si son iguales, la función tiene l´ımite, en
caso contrario no existe. Sin embargo, este caso no suele tomarse como indeterminado
ya que el l´ımite, si existe, es siempre +∞ o −∞. Por ejemplo:
lim
x→1−
1
x − 1
= −∞
lim
x→1+
1
x − 1
= +∞



⇒ ∃ lim
x→1
1
x − 1
0
0
Esta indeterminación en funciones racionales desaparece descomponiendo en factores
el numerador y el denominador y simplificando. En general, si se anulan el numerador
y el denominador para x = a, ambos son divisibles por x − a. Por ejemplo:
lim
x→1
x3
− 1
x − 1
=
0
0
= lim
x→1
(x − 1)(x2
+ x + 1)
x − 1
= lim
x→1
(x2
+ x + 1) = 3
∞
∞
Esta indeterminación en funciones racionales desaparece dividiendo numerador y deno-
minador por la potencia máxima que aparezca. Por ejemplo:
lim
x→+∞
4x2
+ x − 1
x2 + 1
=
∞
∞
= lim
x→+∞
4x2
x2
+
x
x2
−
1
x2
x2
x2
+
1
x2
= lim
x→+∞
4 +
1
x
−
1
x2
1 +
1
x2
=
4 + 0 − 0
1 + 0
= 4
2.3.2 L´ımites de funciones irracionales
La indeterminación tipo
0
0
ó ∞ − ∞ de funciones con radicales de ´ındice 2 desaparece
multiplicando y dividiendo la función por la expresión radical conjugada. Por ejemplo:
lim
x→0
x
1 −
√
1 − x
=
0
0
= lim
x→0
x(1 +
√
1 − x)
(1 −
√
1 − x)(1 +
√
1 − x)
=
lim
x→0
x(1 +
√
1 − x)
1 − (1 − x)
= lim
x→0
(1 +
√
1 − x) = 2
2.3.3 Funciones equivalentes
Dos funciones son equivalentes en un punto si el l´ımite de su cociente en dicho punto
es 1.
Si en una expresión figura como factor o divisor una función, el l´ımite de la expresión no
var´ıa al sustituir dicha función por otra equivalente.
Tabla de l´ımites equivalentes:

10 TEMA 2. LÍMITES
sen x ∼ x
tan x ∼ x
arcsen x ∼ x
x → 0 arctan x ∼ x
1 − cos x ∼ x2
2
ex
− 1 ∼ x
ln(1 + x) ∼ x
ln x ∼ x − 1
x → 1
sen(x − 1) ∼ x − 1
2.4 As´ıntotas horizontales y verticales
2.4.1 As´ıntotas horizontales
La recta y = k es una as´ıntota horizontal de la función f si existe alguno de los l´ımites
siguientes:
lim
x→−∞
f(x) = k ó lim
x→+∞
f(x) = k
As´ı pues, para calcular las as´ıntotas horizontales de una función, si es que tiene, se hace
tender x hacia −∞ ó +∞ y se observa el valor de la y obtenido.
Observaciones:
• Una función puede tener como máximo dos as´ıntotas horizontales, correspondientes a
cada uno de los l´ımites en −∞ y +∞.
• La gráfica de la función puede cortar a la as´ıntota horizontal en uno o varios puntos. No
obstante, en la mayor´ıa de las funciones elementales la gráfica está permanentemente
por encima o por debajo de la as´ıntota considerada a partir de un punto.
• El conocimiento de la situación de la gráfica con relación a las as´ıntotas es esencial
para la representación de funciones. En el caso de la as´ıntota horizontal y = k es
conveniente estudiar si la función se acerca tomando valores mayores o menores.
2.4.2 As´ıntotas verticales
La recta x = a es una as´ıntota vertical de la función f si existe alguno de los l´ımites
siguientes:
lim
x→a
f(x) = +∞ ó − ∞, lim
x→a+
f(x) = +∞ ó − ∞, lim
x→a−
f(x) = +∞ ó − ∞,
As´ı pues, para calcular las as´ıntotas verticales de una función, si es que tiene, se localizan
los valores finitos de la variable x que hacen tender la variable y a +∞ ó −∞.
Observaciones:
• Una función puede tener infinitas as´ıntotas verticales.
• En la funciones elementales, la gráfica de la función nunca corta a la as´ıntota vertical,
ya que en los puntos donde existe as´ıntota no está definida la función.

2.5. ASÍNTOTAS OBLICUAS 11
• La situación de la gráfica de la función con relación a la as´ıntota x = a se obtiene
calculando los l´ımites laterales en x = a y viendo si valen +∞ ó −∞.
• En las funciones racionales, las as´ıntotas verticales se hallan tomando los puntos que
anulan al denominador pero no al numerador.
EJEMPLO:
Calcular las as´ıntotas horizontales y verticales de la función f(x) =
x + 1
x − 2
La recta x = 2 es la as´ıntota vertical.
lim
x→+∞
f(x) = 1+
lim
x→−∞
f(x) = 1− ⇒ La recta y = 1 es la as´ıntota horizontal
2.5 As´ıntotas oblicuas
La recta y = mx + n, m = 0 es una as´ıntota oblicua de la función f si existe alguno
de los l´ımites siguientes:
(1) lim
x→+∞
(f(x) − mx − n) = 0 As´ıntota oblicua en +∞.
(2) lim
x→−∞
(f(x) − mx − n) = 0 As´ıntota oblicua en −∞.
La as´ıntota y = mx + n quedará completamente determinada cuando conozcamos los
valores de m y n.
m = lim
x→±∞
f(x)
x
Según el valor de m obtenido al calcular el l´ımite en +∞ (respectivamente en −∞)
pueden darse tres casos:
a) Si m es un número real no nulo, la función tiene una as´ıntota oblicua en +∞ (resp.
en −∞).
b) Si m = ±∞, la función no tiene as´ıntota oblicua en +∞ (resp. en −∞).
c) Si m = 0, la función no tiene as´ıntota oblicua sino horizontal en +∞ (resp. en −∞).
Conocido m, se tiene:
lim
x→±∞
(f(x) − mx − n) = 0 ⇔ n = lim
x→±∞
(f(x) − mx)
Observaciones:
• Una función puede tener como máximo dos as´ıntotas oblicuas, correspondientes a cada
uno de los l´ımites.
• Si una función tiene as´ıntota oblicua en +∞ y −∞, no puede tener ninguna as´ıntota
horizontal.
• La gráfica de la función puede cortar a la as´ıntota oblicua en uno o varios puntos. No
obstante, en la mayor´ıa de las funciones elementales la gráfica está por encima o por
debajo de la as´ıntota a partir de un punto en adelante.
• La situación de la gráfica con relación a una as´ıntota se comprueba estudiando si la
función se aproxima a ella tomando valores mayores o menores.

T2.1 Calcula los siguientes l´ımites de funciones polin´omicas:
1. lim
x→2
(x2
− 5x + 6) 2. lim
x→1
(x − 1)7
3. lim
x→2
(x3
− x2
+ x + 1) 4. lim
x→+∞
(x2
− x + 1)
5. lim
x→+∞
(−x2
+ x + 25) 6. lim
x→−∞
(−x3
+ x2
+ 1)
T2.2 Calcula los siguientes l´ımites de funciones racionales, si existen; en caso contrario halla los
l´ımites laterales.
1. lim
x→1
x2
− 1
x + 1
2. lim
x→1
x − 1
x + 1
3. lim
x→1
1
x − 1
4. lim
x→1
x + 1
x2 − 1
5. lim
x→4
x2
− 6x + 8
x − 4
6. lim
x→1
x4
− 1
x − 1
7. lim
x→2
x2
− x − 2
x2 − 4x − 4
8. lim
x→1
x3
− 1
x2 − 1
9. lim
x→3
3
x − 3
10. lim
x→−1
x2
+ 2x + 1
x3 + 3x2 + 3x + 1
11. lim
x→2
x2
− 6x + 8
x − 2
12. lim
x→1
x4
− 1
x2 − 1
13. lim
x→0
(1 + x)2
− 1
x
14. lim
x→1
x5
− 1
x2 − 1
15. lim
x→+∞
x2
− 6x + 8
x2 − 2
16. lim
x→+∞
x4
− 1
x2 − 1
17. lim
x→+∞
(1 + x)2
− 1
x2
18. lim
x→1
x5
− 1
x7 − 1
T2.3 Calcula los siguientes l´ımites de funciones irracionales, si es posible:
1. lim
x→0
x
1 −
√
x + 1
2. lim
x→3
√
x + 1 − 2
x − 3
3. lim
x→1
√
x − 1
x − 1
4. lim
x→0
√
1 − x − 1
x
5. lim
x→0
√
1 − x −
√
1 + x
x
6. lim
x→0
1 −
√
1 − x2
x
7. lim
x→0
√
x + 9 − 3
√
x + 16 − 4
8. lim
x→1
√
x − 1 +
√
x + 1
√
x + 1 −
√
x − 1

9. lim
x→+∞
√
x + 1 − x 10. lim
x→+∞
√
1 + x −
√
x
11. lim
x→+∞
x2 + x − x 12. lim
x→+∞
√
x + 2 −
√
x − 2
13. lim
x→+∞
x2 + 1 − x2 − 1 14. lim
x→+∞
(x + 2)(x − 3) − x
T2.4 Calcula los siguientes l´ımites utilizando funciones equivalentes en x = 0:
1. lim
x→0
sen(8x)
4x
2. lim
x→0
sen(14x)
sen(7x)
3. lim
x→0
5 arcsen x
7x
4. lim
x→0
tg(2x)
sen(5x)
5. lim
x→0
tg(8x)
4x
6. lim
x→0
x arctg x
cos x sen(2x)2
7. lim
x→0
sen(tg(sen x)))
sen(tg x)
8. lim
x→0
x(1 − cos x)
sen3 x
9. lim
x→0
1 − cos x
x2
T2.5 Calcula los siguientes l´ımites utilizando funciones equivalentes en x = 1:
1. lim
x→1
sen(x − 1)
x − 1
2. lim
x→1
ln x
x − 1
T2.6 Calcula los siguientes l´ımites utilizando funciones equivalentes en x = +∞:
1. lim
x→+∞
3x2
+ x − 1
2x2 − x
2. lim
x→+∞
x3
− x2
+ 1
4x3 + x2 − x
T2.7 Hallar las as´ıntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones:
1. f(x) =
1
x2
2. f(x) =
1
x3
3. f(x) =
x2
+ 1
x2 − 1
4. f(x) =
x − 1
x + 1
5. f(x) =
1
x − 1
6. f(x) =
x + 1
x − 1
7. f(x) =
x2
− 6x + 8
x − 4
8. f(x) =
x4
− 1
x − 1
9. f(x) =
x2
− x − 2
x2 − 4x + 4
10. f(x) =
x3
− 1
x2 − 1

T2.8 Hallar por divisi´on las as´ıntotas obl´ıcuas de las siguientes funciones racionales:
1. f(x) =
x2
+ 1
x
2. f(x) =
x3
(x − 1)2
3. f(x) =
x2
x − 2
4. f(x) =
x3
1 − x2
5. f(x) =
x2
− 5x + 4
x − 5
6. f(x) =
x2
− 4x + 3
x + 1
7. f(x) =
x2
− 3x − 4
2x − 5
8. f(x) =
x3
+ x2
− 2x + 3
x2 − 3
T2.9 Dibuja las funciones f(x) = ex
y g(x) = ln(x), di si tienen as´ıntotas y de qu´e clase son.

Tema 3 Continuidad
3.1 Continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto si existe l´ımite en él y coincide con el valor
que toma la función en ese punto.
f es continua en x = a ⇔ lim
x→a
f(x) = f(a)
La continuidad de f en x = a implica que se cumplan estas tres condiciones:
(1) Existe el l´ımite de la función f(x) en x = a.
(2) La función está definida en x = a, es decir, existe f(a).
(3) Los dos valores anteriores coinciden.
Si una función no es continua en x = a, diremos que es discontinua en ese punto.
Si consideramos la definición métrica de l´ımite, la definición de continuidad queda como
sigue:
Una función f es continua en el punto x = a si a cada número real positivo ε se le puede
asociar otro número real positivo δ, tal que:
|x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ε
Es decir, “a puntos cercanos, f hace corresponder puntos cercanos”.
Una función es continua por la derecha en un punto si existe l´ımite por la derecha en
él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
f es continua en a+
⇔ lim
x→a+
f(x) = f(a)
Una función es continua por la izquierda en un punto si existe l´ımite por la izquierda
en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
f es continua en a−
⇔ lim
x→a−
f(x) = f(a)
Si una función es continua por la derecha y por la izquierda en un punto dado, entonces
es continua en ese punto.
3.2 Propiedades de la continuidad local
3.2.1 Unicidad del l´ımite
Si una función es continua en un punto, entonces tiene l´ımite en ese punto y es único.
3.2.2 Teorema del signo
Si una función es continua en un punto x = a y f(a) = 0, entonces existe un entorno
simétrico de x = a en el que los valores que toma f tienen el mismo signo que f(a).
15

16 TEMA 3. CONTINUIDAD
3.2.3 Acotación de la función
Si una función es continua en el punto x = a, entonces está acotada en ese punto, es
decir, existe un entorno simétrico de x = a en el que la función está acotada.
3.2.4 Continuidad y operaciones
Las operaciones con funciones continuas en x = a da como resultado otra función con-
tinua en un entorno simétrico de x = a, siempre que tenga sentido la operación. Esto es
consecuencia de las operaciones con l´ımites de funciones.
Por ejemplo, f(x) = x2
y g(x) = sen(3x) son continuas en toda la recta real, por tanto
f(x) + g(x) = x2
+ sen(3x) y f(g(x)) = f(sen(3x)) = sen2
(3x) son también funciones
continuas.
3.3 Discontinuidades
Una función es discontinua en un punto cuando no existe l´ımite en él o, existiendo, no
coincide con el valor de la función en ese punto.
3.3.1 Discontinuidad evitable
Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe l´ımite en
él y no coincide con el valor de la función en el mismo.
El valor que deber´ıamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él
se llama verdadero valor de la función en ese punto.
3.3.2 Discontinuidad inevitable
Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los
l´ımites laterales en él y son distintos.
Si f es discontinua en el punto x = a, el valor
lim
x→a+
f(x) − lim
x→a−
f(x)
se llama salto de la función en ese punto, y puede ser finito o infinito.
3.4 Continuidad en un intervalo
Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en cada uno de sus puntos.
Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en todos los puntos de
(a, b), y además es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.

3.5. PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 17
3.5 Propiedades de la continuidad en un intervalo
3.5.1 Teorema de Weierstrass
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], tiene máximo y m´ınimo en ese
intervalo.
Este teorema implica que la función definida en el intervalo [a, b] está acotada.
3.5.2 Teorema de Bolzano
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo opuesto
en los extremos, entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que f(c) = 0.
3.5.3 Teorema del valor intermedio. Teorema de Darboux
Si una función es continua en el intervalo [a, b], la función toma en ese intervalo todos
los valores comprendidos entre el m´ınimo y el máximo. Es una consecuencia inmediata del
Teorema de Bolzano.
3.5.4 Imagen de un intervalo cerrado
La imagen de un intervalo cerrado por una función continua es un intervalo cerrado.
Si la función está definida en [a, b], alcanza un valor máximo M y un valor m´ınimo m.
Por el teorema del valor intermedio, la función tomará todos los valores comprendidos entre
el m´ınimo y el máximo. Estos puntos pertenecen al intervalo [m, M].
Por ejemplo, la función f(x) = sen x definida en [0, 2π] tiene por imagen el intervalo
cerrado [-1,1].
3.5.5 Continuidad y operaciones
Las operaciones con funciones continuas definidas en el mismo intervalo dan como re-
sultado otra función continua en él siempre que tenga sentido la operación.
Esto es consecuencia de las operaciones con funciones continuas en puntos.

T3.1 Se define una función de la siguiente forma:
f(x) =
0 si x es un número entero
1 si x no es un número entero
Representa la función y di en qué puntos es discontinua.
T3.2 Se considera la función racional f(x) =
x2
− 1
x − 1
; calcula:
(1) Su dominio.
(2) ¿Es discontinua en algún punto? ¿Por qué?
(3) En x = 1 la función no está definida. Ampl´ıa esta función para que sea continua en todo IR.
T3.3 Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
(a) f(x) =
1
x
(b) f(x) =
1
x2 − 4
(c) f(x) =
x + 1 si x ≥ 0
x − 1 si x < 0
(d) f(x) =
x2
− 1 si x ≤ 0
2x − 3 si x > 0
(e) f(x) =
x + 1 si x ≥ 0
−x − 1 si x < 0
(f) f(x) =
x + 1 si x ≤ 2
2x − 1 si x > 2
(g) f(x) =
2 − x2
si x ≤ 2
2x − 6 si x > 2
(h) f(x) =



1
x
si x < 1
√
x + 1 si x ≥ 1
T3.4 Calcula cuánto debe valer a para que la función f sea continua:
f(x) =
x + 1 si x ≤ 1
3 − ax2
si x > 1
T3.5 Representa la siguiente función e indica si tiene algún punto de discontinuidad:
f(x) =
x + 1 si x < 3
x2
si 3 ≤ x < 4
0 si x ≥ 4
T3.6 Estudia la continuidad de la siguiente función:
f(x) =



2x2
+ 3x − 2
2x2 − 5x + 2
si x =
1
2
−
5
3
si x =
1
2
T3.7 Representa la siguiente función e indica si tiene algún punto de discontinuidad:
f(x) =
x − 1 si x ≤ 1
x2
− 1 si 1 < x ≤ 2
x2
si x > 2

T3.8 Prueba que la función
f(x) =
x2
− 1
x3 + 7x − 8
no es continua en x = 1 e indica qué tipo de discontinuidad presenta.
T3.9 La función
f(x) =
x3
+ x2
+ x + a
x − 1
no está definida en x = 1. Halla el valor de a para que sea posible definir el valor de f(1) y resulte
as´ı una función continua.
T3.10 Dada la función
f(x) =
x2
+ 2x − 1 si x < 0
ax + b si 0 ≤ x < 1
2 si x ≥ 1
halla a y b para que la función sea continua y dibuja su gráfica.
T3.11 Dadas las funciones f y g definidas en IR por:
f(x) =
x + |x|
2
g(x) =
x si x < 0
x2
si x ≥ 0
estudia la continuidad de la función compuesta dada por g◦ f.
T3.12 Sea f(x) la función que en el intervalo abierto (0,1) está dada por:
f(x) =
x2
− x
sen πx
¿Qué valores habr´ıa de tener en 0 y en 1 para que fuese continua en el intervalo cerrado [0, 1]?
T3.13 ¿Se puede asignar un valor a f(0) para que la función definida por:
f(x) = 1 − x sen
1
x
(para x = 0) sea continua en el punto x = 0?
T3.14 Dada la función:
f(x) =
x(log x)2
(x − 1)2
(1) Determina su dominio.
(2) ¿Se podr´ıa asignar a f(x) algún valor en los puntos de discontinuidad para que fuese continua
en el intervalo [0, +∞)?
T3.15 Utiliza el teorema de Bolzano para demostrar que la ecuación x3
+ x2
− 7x + 1 = 0 tiene
una solución en el intervalo [0, 1].
T3.16 Si f(x) es continua en [1, 9] y es tal que f(1) = −5 y f(9) > 0, ¿podemos asegurar que en
estas condiciones la función g(x) = f(x) + 3 tiene al menos un cero en el intervalo [1, 9]?
T3.17 ¿Se puede afirmar que la ecuación sen x + 2x − 1 = 0 tiene al menos una ra´ız real? Si es
as´ı, halla un intervalo en el cual se encuentre dicha ra´ız.
T3.18 Comprueba que la ecuación x2
= x sen x + cos x posee alguna solución real en [−π, π].
T3.19 Demuestra que la ecuación πx
= e tiene una solución en el intervalo (0, 1).
T3.20 Demuestra que la ecuación x = cos x tiene una solución en el intervalo (0, 1).

T3.21 Sea f(x) una función continua en [a, b], c, d ∈ [a, b] con f(c) = 10 y f(d) = 7. Demuestra
que la ecuación g(x) = f(x) + 7 tiene un valor p del intervalo [c, d] tal que g(p) = 15.
T3.22 Prueba que la función f(x) =
6
2 + sen x
alcanza el valor 4 en el intervalo [−
π
2
,
π
2
].
T3.23 De dos funciones F(x) y G(x) se sabe que son continuas en el intervalo (a, b), que F(a) >
G(a) y que G(b) > F(b). ¿Puede demostrarse que existe algún punto t del intervalo en el que se
corten las gráficas de las dos funciones?
T3.24 Utilizando el teorema de Bolzano acerca de las funciones continuas, indica cómo y en qué
intervalo se aplicar´ıa para saber que la ecuación log x = 1 − x tiene solución.
T3.25 Consideremos la función f(x) =
1
x − 1
(1) ¿Es f continua en el intervalo [1,2]?
(2) ¿Está acotada en tal intervalo?
(3) ¿Tiene algún m´ınimo o máximo absolutos?
(4) ¿Se contradice el teorema de Weierstrass?

Tema 4 Derivadas
4.1 Derivada de una función en un punto
Se llama derivada de la función f en el punto x = a, si es que existe a:
lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
Si el l´ımite existe se dice que la función es derivable en el punto x = a. La derivada de
una función en un punto es un número real.
Para designar la derivada de la función f en el punto x = a, se emplean diversas nota-
ciones: y (a), f (a), Df(a),
df
dx
(a).
Si hacemos x = a+h, entonces h = x−a, con lo que x → a cuando h → 0. Sustituyendo
estos valores en la fórmula anterior se obtiene una segunda forma de expresar la derivada:
f (a) = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
4.1.1 Derivadas laterales
Se llama derivada por la izquierda de la función f en el punto x = a al l´ımite
siguiente, si es que existe:
lim
h→0−
f(a + h) − f(a)
h
Se llama derivada por la derecha de la función f en el punto x = a al l´ımite siguiente,
si es que existe:
lim
h→0+
f(a + h) − f(a)
h
La derivada por la izquierda se designa por f (a)−
y la derivada por la derecha por
f (a)+
.
De otra forma:
f (a)−
= lim
x→a−
f(x) − f(a)
x − a
f (a)+
= lim
x→a+
f(x) − f(a)
x − a
Una función es derivable en un punto si y sólo si es derivable por la izquierda y por la
derecha en ese punto y las derivadas laterales coinciden.
Una función es derivable en un intervalo abierto (a, b) si lo es en cada uno de sus puntos.
Una función es derivable en un intervalo cerrado [a, b] si es derivable en cada punto de
(a, b) y derivable por la derecha en a y por la izquierda en b.
4.2 Interpretación geométrica de la derivada
4.2.1 La derivada como pendiente de la recta tangente
21

22 TEMA 4. DERIVADAS
x0 x1
f(x0)
f(x1)
y = f(x)
P0
P1
P2
P3
Sea P0(x0, f(x0)) un punto fijo y sea Pi(xi, f(xi))
un punto cualquiera de la gráfica correspondiente a
la función y = f(x)
La pendiente de la recta secante P0Pi es:
mi =
f(xi) − f(x0)
xi − x0
Si los puntos Pi se aproximan hacia el punto P0, sus abscisas xi tenderán a x0. Por
tanto, si indicamos por mt la pendiente de la recta tangente en P0, resulta:
mt = lim
xi→x0
f(xi) − f(x0)
xi − x0
que es la derivada de la función f en el punto x = x0, correspondiente al punto P0.
La recta tangente es el l´ımite de la secante, y su pendiente coincide con el l´ımite de las
pendientes de las secantes.
La pendiente de la tangente en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto:
mt = f (x0)
La ecuación de la recta tangente en el punto P0(x0, f(x0)) es:
y − f(x0) = f (x0)(x − x0)
4.2.2 Normal a una curva en un punto
La normal a una curva en un punto P0 es la perpendicular a la recta tangente en dicho
punto.
Si la pendiente de la tangente es mt = f (x0), la pendiente de la normal es:
mn = −
1
f (x0)
y la ecuación de la normal viene dada por:
y − f(x0) = −
1
f (x0)
(x − x0)
4.3 Función derivada. Derivadas sucesivas
4.3.1 Función derivada
Si una función f es derivable en un subconjunto D de su dominio D, es posible definir
una nueva función que asocie a cada número real de D su derivada en ese punto. Esta
función as´ı definida se llama función derivada, o simplemente, derivada. La notación de
la derivada de la función y = f(x) viene dada por y = f (x) o por Df(x).

4.4. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 23
4.3.2 Derivadas sucesivas
A partir de la función derivada primera se puede definir, si existe, también su derivada,
y recibe el nombre de derivada segunda. Se designa por y = f (x) ó D2
f(x).
Análogamente se definen las funciones derivadas tercera, cuarta, quinta,..., n-ésima, que
se designan por:
f (x), fIV
(x), fV
(x), ..., fn
(x) ó D3
f(x), D4
f(x), D5
f(x), ..., Dn
f(x)
4.4 Derivadas de las funciones elementales
Simples Compuestas
Función Derivada Función Derivada
xn
nxn−1
f(x)n
nf(x)n−1
· f (x)
√
x
1
2
√
x
f(x)
f (x)
2 f(x)
ln x
1
x
ln f(x)
f (x)
f(x)
loga x
1
x
loga e =
1
x · ln a
loga f(x)
f (x)
f(x) · ln a
=
f (x)
f(x)
loga e
ex
ex
ef(x)
ef(x)
· f (x)
ax
ax
ln a af(x)
af(x)
· f (x) · ln a
sen x cos x sen f(x) cos f(x) · f (x)
cos x − sen x cos f(x) − sen f(x) · f (x)
1 + tg2
x = (1 + tg2
f(x)) · f (x) =
tg x = sec2
x = tg f(x) = sec2
f(x) · f (x) =
=
1
cos2 x
=
f (x)
cos2 f(x)
arcsen x
1
√
1 − x2
arcsen f(x)
f (x)
1 − f(x)2
arccos x
− 1
√
1 − x2
arccos f(x)
− f (x)
1 − f(x)2
arctg x
1
1 + x2
arctg f(x)
f (x)
1 + f(x)2

4.5 Operaciones con derivadas
Operación Derivada
f(x) ± g(x) f (x) ± g (x)
f(x)g(x) f (x)g(x) + f(x)g (x)
f(x)
g(x)
f (x)g(x) − f(x)g (x)
(g(x))2
a · f(x) a · f (x)
g(f(x)) g (f(x)) · f (x)
f−1
(x)
1
f (f−1(x))
f(x)g(x)
g(x) · f(x)g(x)−1
· f (x)
potencial
+ f(x)g(x)
· ln f(x) · g (x)
exponencial
Observación: la derivación de la composición de funciones se llama regla de la cadena.
La fórmula de la composición de funciones se extiende a tres o más funciones aplicando la
regla de la cadena repetidamente.
Para derivar la función potencial-exponencial fg
se usa la derivación logar´ıtmica y resulta:
y = f(x)g(x)
tomando logaritmos
ln y = ln(f(x)g(x)
) por propiedades del logaritmo
ln y = g(x) ln f(x) derivando la igualdad
y
y
= g (x) ln f(x) + g(x)
f (x)
f(x)
despejando y
y = y · g (x) ln f(x) + g(x)
f (x)
f(x)
es decir
y = f(x)g(x)
· g (x) ln f(x) + g(x)
f (x)
f(x)
También podemos derivarla teniendo en cuenta que el primer sumando corresponde a la
derivada de la función considerada como potencial y el segundo como exponencial.
Dfg
= g · fg−1
· f
potencial
+ fg
· ln f · g
exponencial

T4.1 En la ecuación de la recta y = mx + b, explica cómo se determinar´ıan los números m y b
para que sea tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto de ésta de abscisa p.
T4.2 La función f(x) = |x + 1| no tiene derivada en un punto; ¿cuál es? Representa primero la
gráfica de la función f y, sobre ella, razona la respuesta.
T4.3 Dada la parábola de ecuación y = x2
+ x + 1, halla la pendiente de la recta tangente en el
punto de abscisa x = 2.
T4.4 Halla la ecuación de la tangente a las curvas en los puntos que se indican:
1. f(x) = 3x2
+ 8 en el punto P(1, 11)
2. f(x) = x4
− 1 en el punto P(0, −1)
3. f(x) = x5
+ 1 en el punto P(0, 1)
4. f(x) = 2x5
+ 4 en el punto P(−1, 2)
5. f(x) = 32x2
+1
en el punto de abscisa x = 0
T4.5 Escribe la ecuación de la recta tangente a la hipérbola xy = 1 en el punto de abscisa x = 3.
Razónalo.
T4.6 ¿En qué punto de la gráfica de la función f(x) = x2
− 6x + 8 la tangente es paralela al eje de
abscisas? ¿Qué nombre recibe ese punto de la parábola?
T4.7 ¿En qué punto de la gráfica de la función f(x) = x2
− 6x + 8 la tangente es paralela a la
bisectriz del primer cuadrante?
T4.8 Determina los puntos de la curva y = x3
+ 9x2
− 9x + 15 en los cuales la tangente es paralela
a la recta y = 12x + 5.
T4.9 Busca los puntos de la curva y = x4
− 7x3
+ 13x2
+ x + 1 que tienen la tangente formando
un ángulo de 45◦
con el eje de las abscisas.
T4.10 Obtén las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y = (x + 1) · 3
√
3 − x en el
punto P(2, 3).
T4.11 Demuestra que la curva y = |x − 2| no puede tener tangente en x = 2.
T4.12 Estudia la derivabilidad en x = 1 de la siguiente función y dibuja su gráfica
f(x) =
1 si x ≤ 1
2 si x > 1
T4.13 Dada la función
f(x) =
2 si x ≤ 0
x2
si x > 0
¿Es derivable en x = 0? ¿Es continua en x = 0? (aplica la definición de derivada).
T4.14 Dada la función f(x) =
mx2
− 1
x
, hallar m para que f (1) = 0. (Aplica la definición de
derivada).
T4.15 El espacio recorrido por un móvil viene dado por la ecuación s(t) = 3t + 5. Demuestra que
la velocidad media es constante en cualquier intervalo.
T4.16 La ecuación del espacio recorrido por un móvil en función del tiempo es s(t) = 3t2
− t + 1.
Halla la velocidad en el instante t = 2.

T4.17 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo potencial:
1. f(x) = x6
2. f(x) = x−6
3. f(t) = t2/3
4. f(t) = t−2/3
5. f(x) = x2
· x1/3
6. f(x) = x2
· x−1/3
7. f(m) = (m2
− 1)7
8. f(m) = (m2
+ 1)−1/3
9. f(x) =
x2
x1/2
10. f(x) = x1/2
· x1/3
· x1/4
11. f(x) =
√
x 12. f(x) = 3
√
x
13. f(x) =
√
x
x
14. f(x) =
x
√
x
15. f(t) = sen2
t 16. f(x) = sen−2
x
17. f(x) =
√
sen x 18. f(x) = 3
√
sen x
19. f(x) = cos2
x 20. f(x) = cos−2
x
21. f(t) =
√
cos t 22. f(x) = 3
√
cos x
23. f(x) = tg2
x 24. f(x) = tg−2
x
25. f(x) =
√
tg x 26. f(x) = tg−1/2
x
27. f(t) = cotg2
t 28. f(x) = cotg−2
x
29. f(t) =
√
cotg t 30. f(x) = cotg−1/2
x
T4.18 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo logar´ıtmico:
1. f(x) = ln(x2
− x + 1) 2. f(x) = ln(sen x)
3. f(t) = ln(cos t) 4. f(x) = ln(ex
)
5. f(x) = ln(tg x2
) 6. f(x) = ln(x2
+ 1)2
7. f(x) = ln(sen x)1/2
T4.19 Calcula las derivadas de las siguientes funciones de tipo exponencial:
1. f(x) = e4x
2. f(x) = e3−x2
3. f(x) = 5x2
+x+1
4. f(x) = 2x2
+1
5. f(x) = eeex
6. f(x) = 3x
· 5x
T4.20 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo potencial-exponencial:
1. f(x) = xtg x
2. f(x) = (sen x)cos x
3. f(x) = (sen x)sen x
4. f(x) = (sen x)x
T4.21 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo seno:
1. f(x) = sen 2x 2. f(x) = sen(−2x)
3. f(t) = sen(2t + 7) 4. f(x) = sen(−3x + 6)2
5. f(m) = sen(m2
+ 1) 6. f(x) = sen x−2
7. f(x) = sen(ex
) 8. f(x) = sen5
(x2
+ 1)7
9. f(x) = sen(ln(x2
+ 1)) 10. f(x) = sen(5x
)
11. f(p) = sen(cos p) 12. f(x) = sen(tg x)
13. f(x) = sen(cotg x) 14. f(x) = sen2
(x2
+ 1)2

T4.22 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo coseno:
1. f(x) = cos 2x 2. f(x) = cos(−2x)
3. f(s) = cos(2s + 7) 4. f(x) = cos(−3x + 6)2
5. f(t) = cos t2
6. f(x) = cos x−2
7. f(x) = cos(ln(x2
+ 1)) 8. f(x) = cos(5x
)
9. f(x) = cos(cos x) 10. f(x) = cos(cos(cos x))
11. f(x) = cos(tg x) 12. f(x) = cos(ex
)
13. f(x) = cos(cotg x) 14. f(x) = cos(x2
+ 1)2
T4.23 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo tangente:
1. f(x) = tg 2x 2. f(x) = tg(−2x)
3. f(t) = tg(2t + 7) 4. f(x) = tg(−3x + 6)
5. f(x) = tg x−2
6. f(x) = tg(ex
)
7. f(x) = tg(ln(x2
+ 1)) 8. f(x) = tg(5x
)
T4.24 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo cotangente:
1. f(x) = cotg 2x 2. f(x) = cotg(−2x)
3. f(t) = cotg(2t + 7) 4. f(x) = cotg(−3x + 6)
5. f(x) = cotg(x2
+ 1)2
6. f(x) = cotg x−2
T4.25 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo arcoseno:
1. f(x) = arcsen 2x 2. f(x) = arcsen(x2
+ 1)
3. f(x) = arcsen
√
x 4. f(x) = arcsen(cos x)
T4.26 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo arcotangente:
1. f(x) = arctg(x2
+ 1) 2. f(x) = arctg
√
x
3. f(x) = arctg(ln x) 4. f(x) = arctg(ex
)
5. f(x) = arctg x−1/2
T4.27 Calcula las derivadas de las siguientes funciones y expresa el resultado de la forma más
simple posible:
1. f(x) = ln(tg(x2 + 1)) 2. f(x) = arcsen(2x
√
1 − x2)
3. f(x) = (1 − cos x) cotg x 4. f(x) =
x + 1
x − 1
5. f(x) = ln(x + 1 +
√
x2 + 2x + 1) 6. f(x) = ln
1 + sen x
1 − sen x
7. f(x) = arctg
√
1 + x2 − 1
x
8. f(x) = eln sen2
x
9. f(x) = arctg
1 + x
1 − x
− arctg x 10. f(x) = arcsen(xcos2
x
)
11. f(x) =
ax + b
cx + d
12. f(x) = arctg
x
√
1 − x2
T4.28 Halla la derivada vigésimo tercera de y = a sen bx para a y b constantes.
T4.29 Deriva la función y = (cos x)ln x2
y halla el valor de la función en x =
π
2
y x = 1.
T4.30 Dada la función f(x) = esen x
, calcula y , y , y .

T4.31 Calcula y simplifica las derivadas de las siguientes funciones
1. f(x) = ln
√
1 + ex − 1
√
1 + ex + 1
f (x) =
1
√
1 + ex
2. f(x) =
√
a2 − x2 + a · arcsen
x
a
f (x) =
a − x
a + x
3. f(x) = ln(x +
√
a2 + x2) f (x) =
1
√
a2 + x2
4. f(x) = −
1
2 sen2 x
+ ln(tg x) f (x) =
1
sen3 x cos x
5. f(x) =
1
10
e−x
(3 sen 3x − cos 3x) f (x) = e−x
cos 3x
6. f(x) = 2 sen x cos x f (x) = 2 cos 2x
7. f(x) = (sen x)cos x
f (x) = (sen x)cos x cos2
x
sen x
− sen x · ln(sen x)
8. f(x) = ln(tg x) f (x) =
1
sen x cos x
9. f(x) =
1
2
ln(1 + x2
) f (x) =
x
1 + x2
10. f(x) = ln(sen x) f (x) = cotg x
11. f(x) = sen x − x cos x f (x) = x sen x
12. f(x) = 2 arctg(
√
x) f (x) =
1
(1 + x)
√
x
13. f(x) = −
√
x2 + 4
4x
f (x) =
1
x2
√
4 + x2
T4.32 Halla la derivada vigésimo cuarta de y = a sen bx para a y b constantes.
T4.33 Deriva la función y = ln(x2
)cos x
y halla el valor de la función en x =
π
2
y x = 1.
T4.34 Dada la función y = f(x) = etg x
, calcula y , y , y .

Tema 5
Propiedades de las funciones
derivables
5.1 Continuidad y derivabilidad
Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua en él. Veámoslo:
Sabiendo que f (a) = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
hay que probar que lim
x→a
f(x) = f(a).
lim
x→a
f(x) = f(a) ⇐⇒ lim
x→a
(f(x) − f(a)) = 0
Multiplicando y dividiendo por x − a:
lim
x→a
(f(x) − f(a)) = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
· (x − a) = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
f (a)
· lim
x→a
(x − a)
0
= 0
Sin embargo, el rec´ıproco de este teorema no es cierto. Cualquier función derivable es
continua, pero una función continua no es necesariamente derivable. Por ejemplo, la función
f(x) = |x| es continua pero no es derivable en x = 0.
De este teorema se deduce que las funciones derivables forman un subconjunto de las
funciones continuas.
5.2 Derivada en un punto máximo o m´ınimo
Sea f una función definida en un intervalo abierto (a, b). Si la función alcanza un máximo
o un m´ınimo en un punto c del intervalo y es derivable en él, entonces su derivada es nula.
La interpretación geométrica de este hecho es que la recta tangente en un punto máximo
o m´ınimo es paralela al eje de abscisas.
5.3 Teorema de Rolle
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en su interior (a, b)
y f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto interior c tal que f (c) = 0.
Geométricamente, este teorema expresa la existencia de un punto c de (a, b) tal que la
recta tangente en (c, f(c)) es paralela al eje de abscisas.
Demostración por ser f continua en [a, b] y debido al teorema de Weierstrass, la función
alcanza un máximo y un m´ınimo. De este hecho se obtienen tres posibilidades:
29

30 TEMA 5. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES
a bc a c b a b
Si el valor máximo o m´ınimo se presenta en un punto c de (a, b), entonces por el teorema
anterior de la derivada en un punto máximo o m´ınimo, es f (c) = 0.
Si los valores máximo y m´ınimo se presentan ambos en los extremos, son iguales, ya
que f(a) = f(b), luego la función f es constante. Por tanto, para todo punto c de (a, b) es
f (c) = 0.
5.4 Teorema del valor medio o de Lagrange
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en su interior
(a, b), entonces existe al menos un punto interior c de (a, b) tal que:
f(b) − f(a)
b − a
= f (c)
lo cual equivale a:
f(b) − f(a) = f (c) · (b − a)
que recibe el nombre de fórmula de incrementos finitos.
Demostración
c
Ts(x)
f(x)
g(x)
a b
Para demostrar este teorema aplicaremos el teorema
de Rolle a una función auxiliar s(x) que da la longi-
tud del segmento vertical, es decir:
s(x) = f(x) − g(x)
siendo g(x) la función cuya gráfica es la recta, lla-
mada secante, que une (a, f(a)) con (b, f(b)), es de-
cir:
g(x) =
f(b) − f(a)
b − a
· (x − a) + f(a)
Por tanto:
s(x) = f(x) −
f(b) − f(a)
b − a
· (x − a) − f(a)
Esta función verifica las condiciones del teorema de Rolle, pues es continua en [a, b],
derivable en (a, b) y s(a) = s(b) = 0. Por tanto, existe algún c en (a, b) tal que s (c) = 0.

5.5. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO 31
Pero:
s (c) = f (c) −
f(b) − f(a)
b − a
= 0 =⇒ f (c)
pendiente de la
tangente en (c, f(c))
=
f(b) − f(a)
b − a
pendiente de la secante
5.5 Consecuencias del Teorema del valor medio
5.5.1 Caracterización de las funciones constantes
Si una función f tiene derivada nula en todos los puntos de un intervalo abierto, es
constante.
Demostración tomemos dos valores x y x + h del intervalo (a, b) y aplicando el teorema
de Lagrange al intervalo [x, x + h], habrá un punto c del intervalo (x, x + h) que verifica:
f(x + h) − f(x) = f (c) · h
y como f (c) = 0, resulta:
f(x + h) − f(x) = 0 =⇒ f(x + h) = f(x) =⇒ f es constante
Este teorema no es válido si el dominio de la función no es un intervalo.
5.5.2 Relación entre funciones con igual derivada
Si dos funciones f y g tienen derivadas iguales en todos los puntos de un intervalo
abierto, difieren en una constante.
Demostración
D(f(x) − g(x)) = Df(x) − Dg(x) = 0
Luego, por el apartado anterior:
f(x) − g(x) = C
Gráficamente, esto significa que la curva g(x) se obtiene a partir de f(x) trasladándola
paralelamente al eje de las y.
Este teorema no es válido si el dominio de la función no es un intervalo.
5.6 Teorema de Cauchy
Si f y g son dos funciones continuas en un intervalo cerrado [a, b], derivables en su
interior (a, b), g(b) = g(a) y g (x) = 0 para todo x de (a, b), entonces existe al menos un
punto c de (a, b) tal que:
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
=
f (c)
g (c)
Nota: este teorema es una generalización del teorema del valor medio cuando g(x) = x.

5.7 Ra´ıces de una ecuación o función
Entre cada dos ra´ıces de una función derivable existe al menos una raiz de la función
derivada.
De este resultado se deduce cierta información sobre el número de ra´ıces reales de f
cuando conocemos las de f . Por ejemplo:
• Si f no posee ra´ıces reales, el número máximo de ra´ıces de f será uno.
• Si f sólo posee una raiz real, el número máximo de ra´ıces de f será dos, y as´ı sucesi-
vamente.
5.8 Regla de L’Hôpital. Cálculo de l´ımites indetermi-
nados
(a) Indeterminación
0
0
:
Supongamos que lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0, siendo g(x) = 0 en un entorno de a.
Si lim
x→a
f (x)
g (x)
existe, tanto si es finito como infinito, entonces:
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f (x)
g (x)
El valor de a puede finito o infinito.
En algunos casos el l´ımite del cociente de las derivadas vuelve a presentar la misma
indeterminación. Si sucede esto, se repite el proceso una vez que hayamos comprobado que
puede aplicarse la regla de L’Hôpital.
(b) Indeterminación
∞
∞
:
Supongamos que lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = ∞.
Si lim
x→a
f (x)
g (x)
existe, tanto si es finito como infinito, entonces:
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f (x)
g (x)
El valor de a puede finito o infinito.
(c) Otros tipos de indeterminación:
Las indeterminaciones tipo 0 · ∞, ∞ − ∞ se reducen a uno de los tipos anteriores trans-
formando adecuadamente las expresiones.
Para las indeterminaciones del tipo 1∞
, ∞0
, 00
, el truco consiste en considerar no las
expresiones que nos dan, sino sus logaritmos. De este modo, puede aplicarse la regla de
L’Hôpital, puesto que se reduce a uno de los tipos anteriores.
A = lim
x→a
f(x)g(x)

5.8. REGLA DE L’H ÔPITAL. CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS 33
Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros, se tiene:
ln A = lim
x→a
(g(x) · ln f(x))
de donde:
lim
x→a
f(x)g(x)
= eln A
Ejemplos:
(1) lim
x→0
x − sen x
x3
=
0
0
L’H
= lim
x→0
1 − cos x
3x2
=
0
0
L’H
= lim
x→0
sen x
6x
=
0
0
L’H
= lim
x→0
cos x
6
=
1
6
(2) A = lim
x→0
xx
⇒ ln A = lim
x→0
(x · ln x)(= 0 · ∞)
ln A = lim
x→0
(x · ln x) = lim
x→0
ln x
1
x
=
∞
∞
L’H
= lim
x→0
1
x
− 1
x2
= lim
x→0
(−x) = 0
Por tanto, A=e0
=1.

T5.1 Estudia la continuidad y derivabilidad de la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [−2, 2].
T5.2 Dada la función definida por
f(x) =
x2
sen
1
x
si x = 0
0 si x = 0
estudia su continuidad y derivabilidad.
T5.3 Estudia la continuidad y derivabilidad de la función
f(x) =
2 si x < 0
x − 2 si x ∈ [0, 4]
x2
− 8 si x > 4
T5.4 Calcula la derivada de la siguiente función e interpreta el resultado.
f(x) = arctg
1 + x
1 − x
− arctg x
T5.5 Dada la función f(x) = |x2
− 4|, confirma si se verifican las hipótesis del Teorema de Rolle
en [−3, 3].
T5.6 ¿Es aplicable el Teorema de Rolle a la función
f(x) =
x + 2 si 1 ≤ x < 3
7 − x si 3 ≤ x ≤ 5?
T5.7 Halla el punto c al que se refiere el teorema del valor medio para la función f(x) = x2
−x+3
en el intervalo [2, 5].
T5.8 Indica si las funciones f y g verifican las hipótesis del Teorema del valor medio y, en caso
afirmativo, encuentra los puntos c cuya existencia asegura el teorema:
f : [0, 1] −→ IR g : [0, π] −→ IR
x −→ x(x − 2) x −→ 2x + sen x
T5.9 Dadas las funciones f(x) = x2
− 1 y g(x) = x + 2 que cumplen las condiciones del Teorema
de Cauchy en [0, 4], halla el punto c al que se refiere el teorema.
T5.10 Dada la función f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4), halla tres intervalos tales que cada uno
de ellos contenga una ra´ız diferente de la ecuación f (x) = 0.
T5.11 Si el término independiente de un polinomio en x es igual a 3 y el valor que toma ese
polinomio para x = 2 es 3, prueba que su derivada se anula para algún valor de x; razona a qué
intervalo pertenece ese valor.
T5.12 Demuestra que la ecuación x3
+ 6x2
+ 15x − 23 = 0 no puede tener más de una ra´ız real.
T5.13 Demuestra que la ecuación x18
− 5x + 3 = 0 no puede tener más de dos ra´ıces reales.
T5.14 Comprueba, utilizando los teoremas de Bolzano y Rolle, que la curva y = x5
− 5x − 1 tiene
exáctamente tres puntos de intersección con el eje OX.
T5.15 Halla un intervalo no superior a
1
8
en el cual se anule la función definida por
f(x) =
x3
+ 2x − 1
x
(x = 0)
¿En cuántos puntos corta su gráfica al eje de abscisas?

T5.16 Sea f(x) = x2
− 1 y g(x) = x − 1. ¿Por qu´e lim
x→1
f(x)
g(x)
= 2?
T5.17 Calcula los siguientes l´ımites:
1. lim
x→1
x5
− 1
x3 − 1
2. lim
x→2
x3
− 3x − 2
x2 − 4
3. lim
x→0
(1 − cos x) sen x
x2
4. lim
x→0
x cos x − sen x
x3
5. lim
x→0
x − sen x
cos x − 1
6. lim
x→0
ex
− e−x
− 2x
x − sen x
7. lim
x→1
sen(x − 1)
x2 − 3x + 2
8. lim
x→0
ex
− esen x
x3
9. lim
x→0
x ln(1 + x)
1 − cos x
10. lim
x→0
(2 − x)ex
− x − 2
x2
11. lim
x→+∞
x2
+ x + 1
x2 − x
12. lim
x→2
(x − 2)(x + 1)
2x2 − 2x − 4
13. lim
x→0+
x · ln x 14. lim
x→0
x arcsen x
sen x cos x
15. lim
x→1
x3
− 3x + 2
x4 − 2x2 + 1
16. lim
x→0
1 − cos x
(ex − 1)2
17. lim
x→+∞
2x + 3
2x − 1
x
18. lim
x→0
1
ln(1 + x)
−
1
x
19. lim
x→+∞
cos
1
x
x
20. lim
x→0
cotg x −
1
x

Tema 6 Aplicaciones de las derivadas
6.1 Funciones crecientes y decrecientes
Una función f es estrictamente creciente en un intervalo si para dos valores cuales-
quiera del mismo x e y, se cumple:
x < y =⇒ f(x) < f(y)
Esta relación puede expresarse también en función de la tasa de variación media:
f(y) − f(x)
y − x
> 0 (tasa de variación media positiva)
Una función f es creciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del mismo x e
y, se cumple:
x < y ⇒ f(x) ≤ f(y)
o también:
f(y) − f(x)
y − x
≥ 0 (tasa de variación media positiva o nula).
Si tomamos x = a y se verifican las relaciones anteriores en un entorno simétrico del
mismo, se dice que la función es creciente en dicho punto.
Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo si para dos valores cua-
lesquiera del mismo x e y, se cumple:
x < y ⇒ f(x) > f(y)
o también:
f(y) − f(x)
y − x
< 0 (tasa de variación media negativa)
Una función f es decreciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del mismo
x e y, se cumple:
x < y ⇒ f(x) ≥ f(y)
o también:
f(y) − f(x)
y − x
≤ 0 (tasa de variación media negativa o nula).
Si tomamos x = a y se verifican las relaciones anteriores en un entorno simétrico del
mismo, se dice que la función es decreciente en dicho punto.
6.2 Intervalos de monoton´ıa en funciones derivables
Estudiar la monoton´ıa de una función es hallar los intervalos en los que es sólo creciente
o sólo decreciente.
De la tasa de variación media que aparece en la definición de monoton´ıa se pasa, tomando
l´ımite, a la derivada:
f (x) = lim
y→x
f(y) − f(x)
y − x
36

6.3. MÁXIMOS Y MÍNIMOS 37
Criterio 1: Derivada primera
• Si f > 0 en un intervalo, la función es estrictamente creciente en ese intervalo.
• Si f < 0 en un intervalo, la función es estrictamente decreciente en ese intervalo.
Criterio 2: Crecimiento en un punto
Sea x = a un punto donde se anula la primera derivada; se supone además que existe la
derivada de orden 2n + 1 (impar) en un entorno de dicho punto y que f (a) = f (a) = ... =
f(2n
(a) = 0.
• Si f(2n+1
(a) > 0 ⇒ f es estrictamente creciente en x = a.
• Si f(2n+1
(a) < 0 ⇒ f es estrictamente decreciente en x = a.
6.3 Máximos y m´ınimos
La función f tiene en x = a un máximo relativo si existe un entorno de a, (a−h, a+h),
tal que para todo x del intervalo (x − h, x + h) se tiene: f(x) ≤ f(a).
La función f tiene en x = a un m´ınimo relativo si existe un entorno de a, (a−h, a+h),
tal que para todo x del intervalo (x − h, x + h) se tiene: f(x) ≥ f(a).
Los puntos máximos o m´ınimos relativos se llaman también puntos cr´ıticos, estacio-
narios o singulares.
Teorema
Si una función tiene máximos o m´ınimos relativos y es derivable en ellos, entonces su
derivada se anula en esos puntos.
Demostración
La demostración la hicimos en el tema anterior, ya que la tangente en los puntos cr´ıticos
es paralela al eje de abscisas y, por tanto, su pendiente es cero.
Este teorema nos permite hallar los puntos candidatos a ser máximo o m´ınimo. Estos
puntos son las soluciones de la ecuación f (x) = 0. Obtenidos estos puntos, los siguientes
criterios precisan si en ellos existe máximo, m´ınimo o ninguna de las dos cosas.
Criterio 1: Variación de la función en el entorno del punto
Si sustituimos en la función x por a−h y a+h para un valor h suficientemente pequeño
y se verifica:
•
f(a + h) ≤ f(a)
f(a − h) ≤ f(a)
⇒ f tiene un máximo relativo en x = a.
•
f(a + h) ≥ f(a)
f(a − h) ≥ f(a)
⇒ f tiene un m´ınimo relativo en x = a.

38 TEMA 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Criterio 2: Variación del signo de la primera derivada en el entorno del punto
• Si a la izquierda de x = a es f > 0 (función creciente) y a la derecha es f < 0 (función
decreciente), entonces la función alcanza un máximo relativo en x = a.
• Si a la izquierda de x = a es f < 0 (función decreciente) y a la derecha es f > 0
(función creciente), entonces la función alcanza un m´ınimo relativo en x = a.
Criterio 3: Valor de la derivada segunda en el punto
• Si f (a) > 0 ⇒ f tiene un m´ınimo relativo en x = a.
• Si f (a) < 0 ⇒ f tiene un máximo relativo en x = a.
Criterio 4: Anulación de sucesivas derivadas en el punto
Sea x = a un punto donde puede existir un máximo o un m´ınimo relativo; se supone
que existe derivada 2n (par) en un entorno de dicho punto y además que: f (a) = f (a) =
... = f(2n−1
(a) = 0.
• Si f(2n
(a) > 0 ⇒ f tiene un m´ınimo relativo en x = a.
• Si f(2n
(a) < 0 ⇒ f tiene un máximo relativo en x = a.
6.4 Problemas sobre máximos y m´ınimos
El cálculo de máximos y m´ınimos por derivadas permite resolver de una manera sencilla
y rápida muchos problemas que aparecen en Matemáticas y en otras disciplinas cient´ıficas en
los que se trata de optimizar una función. Para resolverlos, seguiremos el esquema general
siguiente:
(1) Mediante los datos del problema se construye la función que hay que maximizar o
minimizar; la mayor´ıa de las veces en función de dos o más variables.
(2) Si la función tiene más de una variable hay que relacionar las variables mediante ecua-
ciones para conseguir expresar la función inicial planteada en el punto (1) utilizando
una sola variable.
(3) Se hallan los máximos y m´ınimos de esta función.
(4) Se interpretan los resultados obtenidos y se rechazan aquellos que por la naturaleza
del problema no sean posibles.
EJEMPLO:
Calcular las dimensiones del rectángulo de mayor área cuyo per´ımetro sea de 40 metros.
(1) Incógnitas: x largo, y ancho. Función a optimizar: S(x, y) = xy.
(2) P : 2x + 2y = 40 ⇒ x + y = 20 ⇒ y = 20 − x luego S = xy ⇒ S(x) = x(20 − x).
(3) S (x) = 20 − 2x = 0 ⇔ x = 10 ⇒ y = 10.
(4) Es un cuadrado de 10 metros de lado.

6.5. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 39
6.5 Concavidad y convexidad
Una función definida en un intervalo es convexa si “mira” hacia la parte positiva del
eje de ordenadas y, es cóncava, si “mira” hacia la parte negativa del eje de ordenadas.
Si la función es convexa, la gráfica de la función queda encima de la recta tangente en
cada uno de los puntos y si la función es cóncava, la gráfica de la función queda debajo de
la recta tangente en cada uno de los puntos.
Criterio 1: Derivada primera
Sea f una función definida en el intervalo I.
• Si f es creciente en el intervalo I, la función f es convexa en I.
• Si f es decreciente en el intervalo I, la función f es cóncava en I.
Criterio 2: Derivada segunda
• Si f > 0 en el intervalo I, la función f es convexa en I.
• Si f < 0 en el intervalo I, la función f es cóncava en I.
Criterio 3: Anulación de sucesivas derivadas
Sea x = a un punto donde la función puede ser convexa o cóncava; se supone que existe
derivada de orden 2n (par) en un entorno de x = a, y además que f (a) = 0 y f (a) = ... =
f(2n−1
(a) = 0.
• Si f(2n
(a) > 0, entonces la función es convexa en x = a.
• Si f(2n
(a) < 0, entonces la función es cóncava en x = a.
6.6 Puntos de inflexión
Una función f tiene un punto de inflexión en x = a si la función pasa de convexa
a cóncava o de cóncava a convexa en ese punto. Si la función pasa de convexa a cóncava,
diremos que x = a es un punto de inflexión convexo-cóncavo. Si la función pasa de
cóncava a convexa, diremos que x = a es un punto de inflexión cóncavo-convexo.
Si una función tiene puntos de inflexión, entonces su derivada segunda se anula en esos
puntos.
Este resultado nos permite calcular los puntos de la gráfica f que pueden ser de inflexión.
Las abscisas de estos puntos son las ra´ıces de la ecuación f (x) = 0.
Criterio 1: Signo de la derivada segunda en el entorno del punto
• Si a la izquierda de x = a es f > 0 (f convexa) y a la derecha de x = a es f < 0 (f
cóncava), entonces x = a es un punto de inflexión convexo-cóncavo.
• Si a la izquierda de x = a es f < 0 (f cóncava) y a la derecha de x = a es f > 0 (f
convexa), entonces x = a es un punto de inflexión cóncavo-convexo.

Criterio 2: Valor de la derivada tercera en el punto
• Si f (a) > 0, f tiene en x = a un punto de inflexión cóncavo-convexo.
• Si f (a) < 0, f tiene en x = a un punto de inflexión convexo-cóncavo.
Criterio 3: Anulación de derivadas sucesivas
Sea x = a un punto donde puede existir un punto de inflexión; se supone que existe derivada
de orden 2n + 1 (impar) en un entorno de x = a, y además que f (a) = 0 y f (a) = ... =
f(2n
(a) = 0.
• Si f(2n+1
(a) > 0, f tiene en x = a un punto de inflexión cóncavo-convexo.
• Si f(2n+1
(a) < 0, f tiene en x = a un punto de inflexión convexo-cóncavo.

T6.1 Halla los intervalos de monoton´ıa de la función f(x) = x7
. ¿Cómo es la función en el punto
x = 0? Estudia la monoton´ıa en este punto directamente por medio de la función, es decir, sin
utilizar la derivada.
T6.2 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = x8
. ¿Cómo es la
función en el punto x = 0? Estudia la monoton´ıa en x = 0 directamente por medio de la función f.
T6.3 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:
(1) f(x) = x + 5 − 2 sen x
(2) f(x) = sen x + cos x
T6.4 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:
(1) f(x) = x3
− 3x2
+ 1
(2) f(x) = x3
− 6x2
+ 9x − 8
T6.5 Estudia para qué valores de x está definida la función f(x) = ln((x − 1)(x − 2)) y en qué
valores es creciente o decreciente.
T6.6 Estudia los máximos y m´ınimos de la función f(x) = (x3
− 4x2
+ 7x − 6)ex
T6.7 Determina el máximo y el m´ınimo de la función f(x) = x5
+ x + 1 en el intervalo [0, 2].
T6.8 Determina el parámetro a para que el m´ınimo de la función y = x2
+ 2x + a sea igual a 8.
T6.9 Obtén los parámetros a y b para que la función y = x2
+ ax + b alcance un m´ınimo en el
punto P(−1, 2).
T6.10 La curva dada por y = x2
+ax+b pasa por el punto P(−2, 1) y alcanza un extremo relativo
en x = −3. Halla a y b.
T6.11 La función f(x) = x3
+ px2
+ q tiene un valor m´ınimo relativo igual a 3 en x = 2. Halla los
valores de los parámetros p y q.
T6.12 Halla a, b, c y d en la función f(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d para que tenga un máximo en el
punto M(0, 4) y un m´ınimo en el punto M (2, 0).
T6.13 Dada la función f(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d, halla el valor de a, b, c y d para que tenga un
máximo en el punto M(−2, 21) y un m´ınimo en el punto M (−1, 6).
T6.14 Halla b, c y d en la función f(x) = x3
+ bx2
+ cx + d para que tenga un máximo en x = −4,
un m´ınimo para x = 0 y tome el valor 1 para x = 1.
T6.15 Calcula los parámetros a, b, c y d para que la función f(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d tenga un
máximo relativo igual a 11 en x = −1, un m´ınimo relativo igual a -97 en x = 5 y tome el valor -17
para x = 1.
T6.16 Halla dos números cuya suma es 20, sabiendo que su producto es máximo. Razona el
método utilizado.
T6.17 Halla dos números cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por el cuadrado del
otro ha de ser máximo.
T6.18 Determina dos números cuya suma sea 24 y tales que el producto de uno por el cubo del
otro sea máximo.
T6.19 Halla las dimensiones de un campo rectangular de 3600 m2
de superficie para poderlo cercar
mediante una valla de longitud m´ınima.
T6.20 Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del
camino cuesta 8 /m y la de los otros 1 /m, halla el área del mayor campo que puede cercarse
con 2 880 .

T6.21 Un jardinero ha de construir un parterre en forma de sector circular con per´ımetro de 20
m. ¿Cuál será el radio que da el parterre de área máxima? ¿Cuál será la amplitud en radianes del
sector?
T6.22 Los barriles que se utilizan para almacenar petróleo tienen forma cil´ındrica y una capacidad
de 160 litros. Halla las dimensiones del cilindro para que la chapa empleada en su construcción sea
m´ınima.
T6.23 De todos los triángulos isósceles de 12 cm de per´ımetro, hallar las dimensiones de los lados
del que tenga área máxima.
T6.24 Entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 12 cm, calcula las
dimensiones del que tenga área máxima. Razona el proceso.
T6.25 Divide un segmento de 60 cm en dos partes, con la propiedad de que la suma de las áreas
de los triángulos equiláteros construidos sobre ellas sea m´ınima.
T6.26 Determina la distancia m´ınima del origen a la curva xy = 1.
T6.27 Halla los puntos de la curva y2
= 6x cuya distancia al punto P(4, 0) sea m´ınima.
T6.28 Halla los puntos de la curva y2
= 4x cuya distancia al punto P(4, 0) sea m´ınima.
T6.29 Entre todos los cilindros rectos de volumen fijo V , halla el de menor superficie.
T6.30 Una hoja de papel debe contener 18 cm2
de texto impreso. Los márgenes superior e inferior
deben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el
gasto de papel sea m´ınimo.
T6.31 Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de la curva y = x4
− 6x3
+ 12x2
− 5x + 1.
T6.32 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3
− 6x2
+ 16x − 11 en su punto de
inflexión.
T6.33 Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x3
−6x2
+4 en su punto de inflexión.
T6.34 Calcula los máximos, m´ınimos y puntos de inflexión de la función f(x) = 3 sen x − sen(3x)
en el intervalo [0, 2π].
T6.35 Halla b, c y d en la función f(x) = x3
+ bx2
+ cx + d para que tenga un punto de inflexión
de abscisa x = 3, pase por el punto P(1, 0) y alcance un m´ınimo en x = 1.
T6.36 Determina los parámetros a, b, c y d para que la función f(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d tenga
un punto de inflexión en P(−2, 6) con tangente en él paralela a la recta 8x + y + 10 = 0, y tome
además el valor -2 para x = 0.
T6.37 Halla a, b, c y d en la función f(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d para que pase por el punto P(−1, 1)
y tenga un punto de inflexión con tangente horizontal en Q(0, −2).
T6.38 ¿Qué valores deben tomar a, b, c y d para que f(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d tenga un punto
cr´ıtico en P(1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en el origen?

Tema 7 Integrales indefinidas
7.1 Primitiva. Integral indefinida
Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio. La función F es una
primitiva de f si F tiene por derivada a f.
F es primitiva de f ⇐⇒ F = f
La operación que permite obtener una primitiva F a partir de una función f recibe el
nombre de integración. Si existe la función F se dice que f es integrable.
Si F es una primitiva de f y C un número real cualquiera, la función F + C es también
una primitiva de f.
Por ejemplo F1(x) = x2
, F2(x) = x2
+ 5, F3(x) = x2
− 3, . . . son todas primitivas de la
función f(x) = 2x, ya que F1(x) = F2(x) = F3(x) = . . . = f(x).
Si el dominio de una función es un intervalo, entonces el conjunto de las primitivas de
f se representa por {F + C/C ∈ IR}.
El conjunto de las primitivas de una función se llama integral indefinida, y al número
real C constante de integración.
f(x)dx = F(x) + C
El s´ımbolo se lee “integral de f(x) con respecto a x”; dx nos indica la variable con
respecto a la cual integramos.
7.2 Propiedades lineales de la integración
Las siguientes propiedades de la integral indefinida son consecuencia inmediata de la deriva-
ción. Suponemos que todas las funciones utilizadas son integrables y definidas en el mismo
intervalo.
- Integral de la suma o diferencia
La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de
las integrales de las funciones.
(f ± g)(x)dx = f(x)dx ± g(x)dx
- Integral del producto de un número real por una función
La integral del producto de un número real por una función es igual al número por la
integral de la función.
af(x)dx = a f(x)dx
Esta relación permite introducir constantes dentro del signo de integración o sacarlas
fuera según convenga.
43

44 TEMA 7. INTEGRALES INDEFINIDAS
La utilización de estas dos propiedades constituye el método de descomposición. Conviene
descomponer lo más posible el integrando aplicando la propiedad distributiva, sustituyendo
la expresión de la función por otra equivalente, sumando o restando una cantidad o multi-
plicando y dividiendo por un mismo número.
(af ± bg)(x)dx = a f(x)dx ± b g(x)dx
7.3 Integrales inmediatas de funciones elementales
Tipo Simples Compuestas
Potenciales (n = −1) xn
dx =
xn+1
n + 1
fn
· f dx =
fn+1
n + 1
Logar´ıtmicas
1
x
dx = ln |x|
f
f
dx = ln |f|
Exponenciales ex
dx = ex
ef
· f dx = ef
ax
dx =
ax
ln a
af
· f dx =
af
ln a
sen x dx = − cos x sen f · f dx = − cos f
cos x dx = sen x cos f · f dx = sen f
Trigonométricas
sec2
x dx
(1 + tg2
x) dx
1
cos2 x
dx



= tg x
sec2
f · f dx
(1 + tg2
f) · f dx
f
cos2 f
dx



= tg f
− cosec2
x dx
−(1 + cotg2
x) dx
− 1
sen2 x
dx



= cotg x
− cosec2
f · f dx
−(1 + cotg2
f) · f dx
− f
sen2 f
dx



= cotg f
Inversas
1
√
1 − x2
dx =
arcsen x
− arccos x
f
1 − f2
dx =
arcsen f
− arccos f
de
1
1 + x2
dx =
arctg x
− arccotg x
f
1 + f2
dx =
arctg f
− arccotg f
Trigonométricas
1
a2 + x2
dx =
1
a
arctg
x
a
f
a2 + f2
dx =
1
a
arctg
f
a

7.4. MÉTODOS DE INTEGRACI ÓN 45
7.4 Métodos de integración
7.4.1 Integral de un producto o método de integración por partes
Sean u y v dos funciones derivables. La derivada del producto es
d(u · v) = u · dv + v · du
integrando ambos miembros
u · v = u · dv + v · du
despejando
u · dv = u · v − v · du
Fórmula fácil de recordar por la regla mnemotécnica “un d´ıa v´ı una vieja vestida de
uniforme”
Ejemplo:
x ex
dx = x ex
− ex
dx = x ex
− ex
= (x − 1)ex
u = x du = dx
dv = ex
dx v = ex
Como se ve, hay que derivar la función u e integrar la función dv, por lo que hay que elegir
dv de manera que sea fácilmente integrable.
Algunas veces, como ocurr´ıa con la regla de L’Hôpital, hay que repetir el proceso en la
parte v du.
También puede ocurrir que al cabo de una o dos integraciones sucesivas se obtenga en
el segundo miembro de la igualdad una integral que coincida con la de partida, es decir,
con la del primer miembro. En esta situación, basta despejar la integral para obtener una
primitiva.
Ejemplo:
ex
cos x dx = ex
sen x − ex
sen x dx
u = ex
du = ex
dx
dv = cos x dx v = sen x
Ahora hago por separado ex
sen x dx
ex
sen x dx = ex
(− cos x) − − cos xex
dx = −ex
cos x + ex
cos x dx
u = ex
du = ex
dx
dv = sen x dx v = − cos x
Volviendo a la expresión anterior
ex
cos x dx = ex
sen x − ex
sen x dx =
ex
sen x − (−ex
cos x + ex
cos x dx) = ex
sen x + ex
cos x − ex
cos x dx

De donde
ex
cos x dx + ex
cos x dx = ex
sen x + ex
cos x =⇒ 2 ex
cos x dx = ex
sen x + ex
cos x
Es decir
ex
cos x dx =
ex
sen x + ex
cos x
2
7.4.2 Integral de la función compuesta o método de sustitución
Es un método consecuencia de la derivación de la función compuesta.
Como su mismo nombre indica, se trata de sustituir la variable x por otra variable t, o
lo que es lo mismo, definir una función g tal que x = g(t), y transformar el integrando en
otro más sencillo.
(f◦ g) (x) = f (g(x)) · g (x)
Integrando
f(g(t)) dt = f (g(t)) · g (t) dt
Para terminar el proceso se halla la integral en t y se deshace el cambio.
Ejemplos:
2x(x2
+ 5)25
dx = 2x t25 dt
2x
= t25
dt =
t26
26
+ C =
(x2
+ 5)26
26
+ C
(x2
+ 5) = t
2x dx = dt dx =
dt
2x
1
x
√
x − 1
dx =
2t
(t2 + 1) · t
dt = 2
1
t2 + 1
dt = 2 arctg t = 2 arctg
√
x − 1 + C
t2
= x − 1 x = t2
+ 1 dx = 2t dt
7.5 Integración de funciones racionales
Las funciones racionales son de la forma f(x) =
p(x)
q(x)
, donde p(x) y q(x) son polinomios.
- Método directo
Algunas funciones racionales se pueden integrar comprobando si pertenecen a la forma
compuesta de alguna integral inmediata (ver cuadro)

7.5. INTEGRACI ÓN DE FUNCIONES RACIONALES 47
Potencial (n = −1) fn
· f dx =
fn+1
n + 1
Neperiana
f
f
dx = ln |f|
Arco tangente
f
a2 + f2
dx =
1
a
arctg
f
a
Neperiano - arco tangente
denominador irreducible, M = 0
Mx + N
ax2 + bx + c
dx = neperiano + arco tangente
Ejemplos:
2x + 1
(x2 + x + 1)3
dx = (x2
+ x + 1)−3
(2x + 1) dx =
(x2
+ x + 1)−2
− 2
x3
+ 1
x4 + 4x + 7
dx =
1
4
4x3
+ 4
x4 + 4x + 7
dx =
1
4
ln |x4
+ 4x + 7|
2x
1 + x4
dx =
2x
1 + (x2)2
dx = arctg x2
- Método de descomposición en fracciones simples
Cuando no es posible utilizar el método anterior, las funciones racionales se transfor-
man en sumas de fracciones llamadas simples, que tienen por denominador potencias
de polinomios de primer grado o bien de segundo grado pero irreducibles.
Además supondremos que el grado del numerador es menor que el del denominador,
pues en caso contrario, dividiendo se obtiene:
p(x) = q(x) · c(x) + r(x)
es decir,
p(x)
q(x)
= c(x) +
r(x)
q(x)
Ejemplo:
x3
x2 + 1
dx = x −
x
x2 + 1
dx = x dx −
x
x2 + 1
dx, que son conocidas.
El proceso a seguir consta de tres pasos

(1) Descomposición del denominador en factores
Todo polinomio se puede descomponer en un producto de factores lineales y
cuadráticos irreducibles. Pueden aparecer
- Factores lineales simples (x − 2), (x + 1) . . .
- Factores lineales dobles, triples ... (x − 2)2
, (x + 1)3
. . .
- Factores cuadráticos irreducibles simples (x2
+ 2), (x2
+ x + 1) . . .
- Factores cuadráticos irreducibles dobles, triples ... (x2
+2)2
, (x2
+x+1)3
. . .
(2) Descomposición de la función en factores simples
p(x)
q(x)
=
A
x − a
+
B
x − b
+
C
x − c
+ . . . (factores lineales)
+
P
(x − p)2
+
Q
x − p
+ . . . (factor lineal doble)
+
Mx + N
ax2 + bx + c
+ . . . (factor cuadrático)
La determinación de las constantes A, B, C . . ., P, Q . . ., M y N se hace por el
método de los coeficientes indeterminados o dando valores numéricos sencillos.
Ejemplo:
3x − 5
x3 − x2 − x + 1
dx
x3
− x2
− x + 1 = (x + 1)(x − 1)2
3x − 5
x3 − x2 − x + 1
=
A
x + 1
+
B
(x − 1)2
+
C
x − 1
3x − 5 = A(x − 1)2
+ B(x + 1) + C(x + 1)(x − 1)
Para x = 1 =⇒ 8 = 2B =⇒ B = 4
Para x = −1 =⇒ 2 = 4A =⇒ A = 1
2
Para x = 0 =⇒ 5 = A + B − C =⇒ C = −1
2
(3) Integración de los sumandos
Siguiendo con el ejemplo anterior
3x − 5
x3 − x2 − x + 1
dx =
1
2
1
x + 1
dx + 4
1
(x − 1)2
dx −
1
2
1
x − 1
dx =
1
2
ln |x + 1| −
4
x − 1
−
1
2
ln |x − 1| + C

T7.1 Determina la función F para la que F (x) =
1
x3
+ x y F(3) = 1.
T7.2 Hallar la función G tal que G (x) = 6x + 1, G(0) = 1 y G(1) = 0.
T7.3 Encontrar la función G para la que G (x) = 2x y además G(0) = 0, G(1) =
− 1
4
, G(2) =
2
3
.
T7.4 Halla la ecuación de la curva que pasa por los puntos P(0, 3) y Q(−1, 4) sabiendo que su
derivada segunda es y = 6x − 2.
T7.5 Calcula las siguientes integrales potenciales:
1.
1
x2
dx 2.
x5
6
dx 3. x2/3
dx
4.
1
x2/3
dx 5. x2
· x3
dx 6. x · x2/3
dx
7.
x3
x2
dx 8.
x2/3
x1/3
dx 9.
√
x 3
√
x dx
10.
3
√
x2 dx 11. (x2
)3
dx 12.
√
x
x
dx
13.
x
√
x
dx 14.
3
√
x
x
dx 15.
√
x 3
√
x 4
√
x dx
T7.6 Calcula las siguientes integrales de funciones potenciales compuestas:
1. (x + 1)2
dx 2. (7x + 5)2
dx 3. (x2
+ 1) · 2x dx
4. (x3
+ 1) · 3x2
dx 5. (x2
+ 3) · x dx 6. x2
· (x3
+ 2) dx
7. (2x + 1)−3
dx 8. x2
· (x3
+ 1)−7
dx 9.
1
(2x + 1)2
dx
10.
2x + 1
(x2 + x + 1)2
dx 11.
1
x2 + 2x + 1
dx 12.
1
x3 + 3x2 + 3x + 1
dx
13. x 1 + x2 dx 14. x 1 − x2 dx 15. (x + 1)(x2
+ 2x + 5)6
dx
16.
x2
(x3 + 1)4
dx 17.
1
√
3x + 1
dx 18. (16x + 1)(8x2
+ x − 5) dx
19.
√
x + 1
x + 1
dx 20.
x
√
x2 + 1
x2 + 1
dx 21. sen2
x cos x dx

22. cos2
x sen x dx 23.
arctg x
1 + x2
dx 24.
cos x
sen2 x
dx
25.
ln2
x
x
dx 26.
1
x ln2
x
dx 27.
ln x
x
dx
28.
arcsen2
x
√
1 − x2
dx 29.
1
√
1 − x2 arcsen2 x
dx 30.
arctg(x/2)
4 + x2
dx
T7.7 Calcula las siguientes integrales tipo logar´ıtmico:
1. 4x−1
dx 2.
1
x − 1
dx 3.
1
3x + 5
dx
4.
1
ax + b
dx 5.
x2
x3 + 2
dx 6.
2x2
6x3 + 1
dx
7.
2x + 1
x2 + x + 1
dx 8.
x − 1
3x2 − 6x + 5
dx 9.
ex
1 + ex
dx
10.
sen x − cos x
sen x + cos x
dx 11.
1
x ln x
dx 12.
1
(1 + x2) arctg x
dx
13.
1
√
1 − x2 arcsen x
dx 14.
sec2
x
1 + tg x
dx 15.
cos
√
x
√
x sen
√
x
dx
T7.8 Calcula las siguientes integrales tipo exponencial:
1. e−x
dx 2. e2x
dx 3. e−2x
dx
4. e2x+1
dx 5. e−2x+1
dx 6. ex2
+22
x dx
7. e−x2
x dx 8. ex3
+1
x2
dx 9. ex2
+x+1
(2x + 1) dx
10. esen x
cos x dx 11. eln x
·
1
x
dx 12. etg x
sec2
x dx
13.
earctg x
1 + x2
dx 14.
earcsen x
√
1 − x2
dx 15. 12x
dx
16. (6x
)2
dx 17.
7x
5x
dx 18. 5x
· 9x
dx
T7.9 Calcula las siguientes integrales tipo seno:
1. cos(−2x) dx 2.
1
3
cos x dx 3. cos
x
3
dx
4. cos(x + 1) dx 5. cos(2x + 5) dx 6. cos(−x + 1) dx
7. 3 cos(2x + 6) dx 8. x cos x2
dx 9. 2x cos(x2
+ 255) dx
10. x cos(3x2
+ 7) dx 11. x cos(−3x2
− 5) dx 12. 7x2
cos(4x3
+ 25) dx

13.
cos
√
x
2
√
x
dx 14.
cos
√
x
√
x
dx 15.
cos ln x
x
dx
16.
cos ln x
2x
dx 17.
cos(tg x)
cos2 x
dx 18.
cos(arctg x)
1 + x2
dx
T7.10 Calcula las siguientes integrales tipo coseno:
1. sen(−2x) dx 2.
1
3
sen x dx 3. sen
x
3
dx
4. sen(x + 5) dx 5. sen(2x + 5) dx 6. sen(x + 8) dx
7. 3 sen(2x + 6) dx 8. x sen x2
dx 9. 2x sen(x2
+ 2) dx
10. x sen(3x2
+ 7) dx 11. x sen(−3x2
− 5) dx 12. 7x2
sen(4x3
+ 25) dx
13.
sen
√
x
√
x
dx 14.
sen
√
x
2
√
x
dx 15.
sen(tg x)
cos2 x
dx
T7.11 Calcula las siguientes integrales tipo arco tangente:
1.
1
1 + (x + 1)2
dx 2.
1
1 + (3x + 27)2
dx 3.
x3
1 + x8
dx
4.
ex
1 + e2x
dx 5.
sec2
x
1 + tg2
x
dx 6.
ax
1 + a2x
dx
7.
2x
1 + 4x
dx 8.
3x
1 + 9x
dx 9.
1
√
x(1 + x)
dx
10.
1
x(1 + ln2
x)
dx 11.
3x + 27
1 + (3x + 27)4
dx 12.
1
x2 + 2x + 2
dx
13.
1
3 + x2
dx 14.
1
4x2 + 4x + 2
dx 15.
1
4x2 + 4x + 4
dx
T7.12 Calcula las siguientes integrales tipo neperiano-arco tangente:
1.
x + 1
25 + x2
dx 2.
x − 1
x2 + 2x + 2
dx
3.
x
x2 + 2x + 17
dx 4.
x + 1
x2 + x + 1
dx
T7.13 Calcula por partes las siguientes integrales:
1. x2
ex
dx 2. x sen x dx 3. x2
sen x dx
4. x ln x dx 5. x2
ln x dx 6. ln2
x dx
7. ln(x + 1) dx 8. arccos x dx 9. x2
cos x dx

T7.14 Integra las siguientes funciones racionales:
1.
1
x2 − 5x + 6
dx 2.
2x + 1
x2 − 5x + 6
dx
3.
1 + 2x
1 + x2
dx 4.
1 + x
1 − x
dx
5.
x2
+ x + 1
x + 1
dx 6.
x2
+ 1
x − 1
dx
7.
2x + 1
x2 + x − 6
dx 8.
x + 2
x2 − x − 6
dx
9.
x2
− 6x + 7
(x + 1)(x − 2)(x − 3)
dx 10.
2x2
− 8x − 1
2x2 − 7x + 3
dx
T7.15 Calcula las siguientes integrales trigonométricas haciendo cambios o transformando los in-
tegrandos:
1. cos5
x dx 2. sen5
x dx
3.
sen x + tg x
cos x
dx 4. sen2
x cos3
x dx
T7.16 Calcula por el método más adecuado las integrales siguientes:
1.
1
(x − 1)2
dx 2.
x − 1
3x2 − 6x + 5
dx
3. (x − 1)ex
dx 4. (x2
− 2x − 3) ln x dx
5.
1
x2 − 1
dx 6.
x + 5
x2 + x − 2
dx
7.
6x + 8
x2 + 2x + 5
dx 8.
x3
+ 1
x2 − 5x + 4
dx
9. sec3
x dx 10.
1 + sen2
x
sen x cos x
dx
11.
cos x
1 − cos x
dx 12. sen2
(3x) cos(3x) dx
13. x2
sen 3x dx 14. x arctg x dx
15. x2
e3x
dx 16.
x − 3
x2 + 49
dx
17.
x4
− 3x2
− 3x − 2
x3 − x2 − 2x
dx 18. x ln(1 + x) dx
19.
(ln x)3
x
dx 20. sen(ln x) dx
21.
1
√
x2 − 2
dx 22.
1
x(ln3
x − 2 ln2
x − ln x + 2)
dx
23. x[ln(1 + x2
) − e−x
] dx

Tema 8 Integral definida
8.1 Area del trapecio mixtil´ıneo
Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. La gráfica de la función f y
las rectas de ecuaciones x = a, x = b e y = 0 determinan una región del plano que se llama
trapecio mixtil´ıneo.
x = a x = b
f
a by = 0
El problema que se plantea ahora es hallar el área de ese trapecio mixtil´ıneo, área que
depende de la función f y del intervalo [a, b], por lo que se designa como R(f, a, b). Veamos
el proceso a seguir:
- Particiones del segmento [a, b]
Una partición del segmento [a, b] es un subconjunto ordenado y finito de números reales
P = (x0, x1, . . . , xn) tales que:
a = x0 < x1 < . . . < xn = b
a = x0 x1 x2 xi b = xn
. . . . . .
La partición P determina en el intervalo [a, b] los segmentos
[x0, x1], [x1, x2], . . . [xi, xi+1], . . . [xn−1, xn]
Una partición que tiene n + 1 puntos determina n segmentos.
- Sumas superiores e inferiores
Al ser f una función continua en [a, b], por el teorema de Weierstrass, alcanza el máximo
M y el m´ınimo m. Igualmente lo alcanza en cada intervalo [xi, xi+1] de una partición
cualquiera y se designan por
mi → m´ınimo de f en el intervalo [xi−1, xi]
Mi → máximo de f en el intervalo [xi−1, xi]
Se llama suma superior de f asociada a la partición P, y se designa por S(f, P) al
número real
S(f, P) = (x1 − x0)M1 + (x2 − x1)M2 + . . . + (xi − xi−1)Mi + . . . + (xn − xn−1)Mn
53

54 TEMA 8. INTEGRAL DEFINIDA
o abreviadamente S(f, P) =
n
i=1
(xi − xi−1)Mi
x0
a
x1 . . . xn
b
‚
‚
‚
M1
M2
Mn
Esta suma corresponde a la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos a la
gráfica de la función f. Es una aproximación por exceso del área del trapecio mixtil´ıneo.
Se llama suma inferior de f asociada a la partición P, y se designa por I(f, P) al
número real
I(f, P) = (x1 − x0)m1 + (x2 − x1)m2 + . . . + (xi − xi−1)mi + . . . + (xn − xn−1)mn
o abreviadamente I(f, P) =
n
i=1
(xi − xi−1)mi
x0
a
x1 . . . xn
b
‚
‚
‚
m1
m2
mn
Esta suma corresponde a la suma de las áreas de los rectángulos inscritos a la gráfica
de la función f. Es una aproximación por defecto del área del trapecio mixtil´ıneo.
- Definición del área del recinto R(f, a, b)
Si P1, P2, . . . , Pn, . . ., es una sucesión de particiones de [a, b] tales que
P1 ⊂ P2 ⊂ . . . ⊂ Pn ⊂ . . .
se obtienen las siguientes sucesiones
I(f, P1), I(f, P2), . . . , I(f, Pn), . . .
S(f, P1), S(f, P2), . . . , S(f, Pn), . . .

8.2. INTEGRAL DEFINIDA 55
siendo la primera creciente y acotada superiormente por cualquier suma superior y la segunda
decreciente y acotada inferiormente por cualquier suma inferior. Además la diferencia de
las dos tiende a cero, es decir
(S(f, Pn) − I(f, Pn))
n→∞
−→ 0
El l´ımite común de estas dos sucesiones es, por definición, el área del trapecio mix-
til´ıneo determinado por la función f y los puntos a y b.
. . .
. . . ···
n→∞
−→
···
n→∞
−→
S(f, P1) S(f, P2) S(f, Pn)
I(f, P1) I(f, P2) I(f, Pn)
8.2 Integral definida
- Integral definida como l´ımite de sumas superiores o inferiores
Si f es una función continua en el intervalo [a, b], para toda sucesión P1, P2, . . . , Pn, . . .
de particiones de [a, b], tanto las sumas superiores como las inferiores se aproximan a un
mismo valor (el valor del área del trapecio mixtil´ıneo), siempre que se cumpla que:
(1) P1 ⊂ P2 ⊂ . . . ⊂ Pn ⊂ . . .
(2) Las longitudes de los intervalos xi − xi−1 que determina la partición Pn tiendan a 0
(es decir, se hagan cada vez más pequeños).
En este caso, existen los dos l´ımites siguientes y son iguales
lim
n→∞
I(f, Pn) = lim
n→∞
S(f, Pn)
Este l´ımite común recibe el nombre de integral definida de la función f en [a, b] y se
designa por:
b
a
f(x) dx
Por tanto
b
a
f(x) dx = lim
n→∞
I(f, Pn) = lim
n→∞
S(f, Pn)
- Los números a y b se llaman l´ımites superior e inferior de integración, respectivamente.

- La función f se llama integrando.
- Una función, sea o no sea continua, en la que se verifica la relación
lim
n→∞
I(f, Pn) = lim
n→∞
S(f, Pn)
se dice que es integrable.
- Integral definida en función de un punto intermedio de cada subintervalo de la partición
Sea f una función continua en [a, b], y Pn = (x0, x1, . . . , xn−1, xn) una partición del
intervalo [a, b]. Si elegimos del interior de cada intervalo [x0, x1], [x1, x2], . . . [xn−1, xn] un
número real cualquiera c1, c2, . . . , cn, respectivamente, se tiene que:
mi ≤ f(ci) ≤ Mi donde i = 1, 2, . . . , n
Por tanto
n
i=1
(xi − xi−1)mi ≤
n
i=1
(xi − xi−1)f(ci) ≤
n
i=1
(xi − xi−1)Mi
I(f, P) S(f, P)
Entonces lim
n→∞
I(f, Pn) = lim
n→∞
n
i=1
(xi − xi−1)f(ci) = lim
n→∞
S(f, Pn)
Se tiene as´ı una nueva forma de calcular la integral definida de una función continua,
sin utilizar los máximos y m´ınimos que toman en cada subintervalo de la partición.
b
a
f(x) dx =
n
i=1
(xi − xi−1)f(ci)
- Signo de la integral
El signo de la integral depende de los valores que tome la función en el intervalo cerrado
[a, b]. Existen tres posibilidades:
(a) La función f es positiva en [a, b]:
f
a b0
Y
X
En este caso los valores intermedios que toma la función en cada
uno de los intervalos de la partición son positivos, luego la inte-
gral es positiva por serlo todas la sumas.
(b) La función f es negativa en [a, b]:
f
a b0
Y
X
Ahora los valores intermedios que toma la función en cada uno
de los intervalos de la partición son negativos, luego la integral
es negativa por serlo todas la sumas.

8.3. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 57
(c) La función f toma tanto valores positivos como negativos en [a, b]:
f
a b0
Y
X
+ + Cuando la función toma tanto valores positivos como negativos,
las sumas de la integral pueden ser positivas, negativas o nulas,
es decir, la integral puede ser positiva, negativa o nula.
8.3 Propiedades de la integral definida
(1) Si c es un punto interior de [a, b], entonces:
b
a
f(x) dx =
c
a
f(x) dx +
b
c
f(x) dx
(2) Si a = b, entonces:
a
a
f(x) dx = 0
(3) Si permutamos los l´ımites de integración, la integral cambia de signo:
b
a
f(x) dx = −
a
b
f(x) dx
(4) Integral de la suma o diferencia de funciones. Si f y g son dos funciones definidas en
[a, b], entonces:
b
a
(f ± g)(x) dx =
b
a
f(x) dx ±
b
a
g(x) dx
(5) Integral del producto de un número real por una función. Si f es una función definida
en [a, b] y k un número real, entonces:
b
a
(k · f)(x) dx = k ·
b
a
f(x) dx
8.4 Teorema de la media
Si f es una función continua en [a, b], existe un punto c en el interior de este intervalo
tal que:
b
a
f(x) dx = (b − a) · f(c)
Demostración Sean M y m los valores máximos y m´ınimos de la función f en el intervalo
[a, b] (que existen por el teorema de Weierstrass). Por definición de integral se tiene:
(b − a) · m ≤
b
a
f(x) dx ≤ (b − a) · M

Dividiendo esta desigualdad por (b − a) se obtiene:
m ≤
1
b − a
b
a
f(x) dx ≤ M
La función f, por ser continua, toma todos los valores comprendidos entre el valor m´ınimo
m y el valor M (teorema del valor intermedio), luego existe un punto c interior a [a, b] tal
que:
1
b − a
b
a
f(x) dx = f(c)
Es decir:
b
a
f(x) dx = (b − a) · f(c)
8.5 Función integral
- Función integral
Dada una función f integrable en el intervalo [a, b], existe para todo x ∈ [a, b] la
integral definida
F(x) =
x
a
f(t) dt
Si la función f y el l´ımite inferior de integración son fijos, esta integral definida puede
considerarse como un número real que depende de x, l´ımite superior de integración. Es
decir, F(x) es una función que tiene como dominio el intervalo [a, b]. Esta función F se
llama función integral.
- Si x = a, entonces F(a) =
a
a
f(t) dt = 0
- Si x = b, entonces F(b) =
b
a
f(t) dt
- Si f(x) > 0 para todo x, la función integral F nos da el área del recinto R(f, a, x) para
cada x del intervalo [a, b].
- Teorema fundamental del cálculo integral
Si f es continua en [a, b] y x pertenece a [a, b], entonces F es derivable en x y F (x) = f(x)
para todo x de [a, b].
Demostración Demostremos que la función integral F es una primitiva de f.
F (x) = lim
h→0
F(x + h) − F(x)
h
definición de derivada
= lim
h→0
x+h
a
f(t) dt −
x
a
f(t) dt
h
por definición de F
= lim
h→0
x+h
x
f(t) dt
h
por la aditividad de la integral definida
= lim
h→0
(x + h − x) · f(c)
h
c ∈ (x, x + h) por el teorema de la media

8.6. RELACI ÓN CON LA DERIVADA. TEOREMA DE BARROW 59
= lim
h→0
h · f(c)
h
c ∈ (x, x + h)
= lim
h→0
f(c) c ∈ (x, x + h)
= f(x) por la continuidad de f si h tiende a 0, f(c) tiende a f(x)
8.6 Relación con la derivada. Teorema de Barrow
- Teorema de Barrow
Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y G es una primitiva de f, entonces
b
a
f(x) dx = G(b) − G(a)
Demostración Sea F(x) =
x
a
f(t) dt la función integral primitiva de f. Entonces por ser
también G una primitiva de f, se diferencian en una constante, es decir,
F(x) = G(x) + C
El número C puede calcularse fácilmente, puesto que para x = a,
F(a) = G(a) + C
como F(a) = 0, entonces C = −G(a), es decir, F(x) = G(x) − G(a).
Esta relación se cumple para todo x del intervalo [a, b], luego, en particular, para x = b,
resulta:
b
a
f(x) dx = F(b) = G(b) − G(a)
La integral definida de una función en el intervalo [a, b], es decir, el área de la
región que encierran la gráfica de la función f y las rectas de ecuaciones x = a, x = b
e y = 0, es igual al valor que toma una primitiva cualquiera en el punto b menos el
valor que toma en el punto a.
La diferencia G(b) − G(a) se designa por [G(x)]b
a
b
a
f(x) dx = [G(x)]b
a = G(b) − G(a)
-Ejemplos:
1.-
4
0
(x2
− 4) dx =
4
0
x2
dx −
4
0
4 dx =
x3
3
4
0
− 4 x
4
0
=
64
3
− 16 =
16
3
2.-
e
1
1
x
dx = ln x
e
1
= ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1

T8.1 Calcula la integral definida
3
−3
|x| dx. Haz el dibujo del recinto y observa la simetr´ıa para
calcular la integral.
T8.2 Calcula las siguientes integrales definidas:
1.
π
2
0
sen3
x dx 2.
1
0
1
x2 − x − 2
dx 3.
π
0
cos xesen x
dx
4.
3
2
1
x(Lx)4
dx 5.
π
2
0
sen3
x cos4
x dx 6.
π
2
0
x2
sen x dx
7.
π
2
0
x4
sen x dx 8.
1
0
(x2
e−ax
− x2
) dx 9.
3
2
x
x2 − 1
dx
π
−π
sen 3x dx
¿Se podr´ıa dar directamente el resultado viendo que se trata de una función impar? Razona la
respuesta.
1
−1
(x3
+ sen x) dx.
¿Se podr´ıa dar directamente el resultado viendo que se trata de una función impar? Razona la
respuesta.
T8.5 Representa gráficamente la función f(x) =
1
(x + 1)(x + 2)
y calcula la integral definida de
f(x) entre 0 y 1. Dibuja el recinto y comprueba si coincide con el área.
1
x2 − 5x + 6
y calcula la integral definida de f(x)
entre -1 y 1. Dibuja el recinto y comprueba si coincide con el área.
1
0
1
x3 + 1
dx.
T8.8 Aplica el teorema de la media del cálculo integral para demostrar que
| sen x − sen y| ≤ |x − y|
√π
2
0
xsen(x2
) dx.
T8.10 Determina a y b para que la función
f(x) =
sen πx + a para x ≤ −1
ax + b para −1 < x ≤ 0
x2
+ 2 para x > 0
sea continua y después calcula la integral definida de f(x) entre -2 y 2.
T8.11 Determina a y b para que la función
f(x) =
2x
+ a para x ≤ −1
ax + b para −1 < x ≤ 0
3x2
+ 2 para x > 0
sea continua y después calcula la integral definida de f(x) entre -2 y 2.

π
0
ex
senx dx.
1
(x − 1)(x + 2)
y calcula la integral definida de
f(x) entre 2 y 3. Dibuja el recinto y comprueba si coincide con el área.
T8.14 Calcula razonadamente el valor de la integral definida
100
−100
(x25
+ sen35
x) dx.
T8.15 Halla el valor c del teorema del valor medio para integrales siendo la función f(x) = 3x2
y
el intervalo [−4, −1].
T8.16 Halla G (x) para cada función G:
(a) G(x) =
x
1
1
t2 + 1
dt (b) G(x) =
x2
1
1
t2 + 1
dt (c) G(x) =
x3
x
1
t2 + 1
dt
T8.17 Calcula la derivada G (x) de la función G(x) =
2x
x
e−t2
dt.
T8.18 Halla los máximos y m´ınimos relativos de la función G(x) =
x
1
ln t
t
dt.

Tema 9
Aplicaciones de la integral de-
finida
9.1 Área del recinto donde interviene una función
(a) La función es positiva en [a, b]:
Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a, b], es decir, f(x) ≥ 0
para todo x ∈ [a, b]. Las rectas de ecuaciones x = a, x = b e y = 0 y la gráfica de la
función f determinan en el plano un recinto cuya área tratamos de hallar.
R
f
a b0
Y
X
Según hemos visto en el tema anterior, el área del recinto R es
el área del trapecio mixtil´ıneo dada por la integral definida entre
a y b.
área(R) =
b
a
f(x) dx
- Ejemplo:
Halla el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = x2
, el eje OX,
la recta x = 2 y la recta x = 4.
R
2 4
4
16
y = x2
área(R) =
4
2
x2
dx =
x3
3
4
2
=
64
3
−
8
3
=
56
3
(b) La función es negativa en [a, b]:
Consideremos ahora una función f continua y negativa en el intervalo [a, b], es
decir, f(x) ≤ 0 para todo x ∈ [a, b]. Las rectas de ecuaciones x = a, x = b e y = 0 y
la gráfica de la función f determinan en el plano un recinto R situado debajo del eje
de abscisas.
− f(x)
a b
f(x)
R
R
Si tomamos la función opuesta −f el área del recinto R deter-
minado por esta función y las rectas dadas es igual al área del
recinto R, por ser simétricos respecto al eje de abscisas.
Por tanto, área(R) = área(R ), es decir
área(R) = −
b
a
f(x) dx
que es el valor absoluto de la integral definida.
62

9.1. ÁREA DEL RECINTO DONDE INTERVIENE UNA FUNCI ÓN 63
- Ejemplo:
Halla el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = −x2
, el eje OX,
la recta x = −2 y la recta x = 2.
− 2 2
4
R
y = −x2
R
área(R) = −
2
−2
−x2
dx =
2
−2
x2
dx =
=
x3
3
2
−2
=
8
3
− (−
8
3
) =
16
3
(b) La función toma valores positivos y negativos en [a, b]:
Cuando una función continua f no tiene signo constante en el intervalo [a, b], su
gráfica determina con el eje de abscisas varias regiones R1, R2, R3, . . .
a b
f(x)
R1
R2
R3
R4
c d e
En este caso el área del recinto
R = R1 + R2 + R3 + . . . no
viene dada por la integral defi-
nida entre a y b; aqu´ı es nece-
sario calcular las áreas de cada
una de las regiones Ri y sumar-
las luego atendiendo a los sig-
nos.
área(R) =
c
a
f(x) dx −
d
c
f(x) dx +
e
d
f(x) dx ± . . .
- Ejemplo:
Halla el área del recinto limitado por la gráfica de ecuación y = cos x y el eje OX
en el intervalo [0, 2π].
0
f(x) = cos x
R1
R2
R4
π
2
3π
2R3
π
R = R1 + R2 + R3 + R4
Sin embargo las 4 regiones son iguales, por
tanto:
área(R) = 4 área(R1) = 4
π
2
0
cos x dx = 4 sen x
π
2
0
= 4 − 0 = 4

64 TEMA 9. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
9.2 Área del recinto donde intervienen dos funciones
(a) Las dos funciones son positivas en [a, b] y no se cortan:
Rf(x)
g(x)
a b0
Y
X



R2
R1
En este caso el área del recinto R es igual a la diferencia de
las áreas de los trapecios mixtil´ıneos determinados por las dos
funciones. Es decir, área(R) = área(R2) − área(R1)
área(R) =
b
a
g(x) dx −
b
a
f(x) dx =
b
a
g(x) − f(x) dx
(b) Las dos funciones son negativas en [a, b] y no se cortan:
En este caso sigue siendo válida la fórmula anterior.
(c) Las dos funciones se cortan en [a, b]:
a bc0
Y
X
R1
R2
R
f(x)
g(x)~

Si las funciones se cortan se consideran los subintervalos
donde las funciones verifican las condiciones de los aparta-
dos (a) y (b). En este caso el área del recinto R es igual
a la suma de los recintos R1 y R2. Es decir,
área(R) = área(R1) + área(R2)
área(R) =
c
a
g(x) − f(x) dx +
b
c
f(x) − g(x) dx
- Ejemplo:
Halla el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = x2
, la recta
y = −x + 2 y el eje OX.
y = −x + 2
1 2
1
y = x2
R1
R2
B
Primero hay que hallar el punto de corte B = (1, 1) de
ambas gráficas, para ello se resuelve el siguente sistema:
y = x2
y = −x + 2
El área del recinto pedida se obtiene sumando la de los
recintos R1 y R2, es decir,
área(R) = área(R1) + área(R2) =
1
0
x2
dx +
2
1
−x + 2 dx =
x3
3
1
0
+
− x2
2
2
1
=
5
6

9.3. VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCI ÓN 65
9.3 Volumen de un cuerpo de revolución
Los cuerpos de revolución se engendran por un recinto al girar alrededor de una recta.
La recta fija se llama eje del sólido de revolución.
Los cilindros, conos y esferas son los cuerpos de revolución más conocidos. Aqu´ı daremos
un método general para hallar el volumen de éstos y de otros cuerpos de revolución.
0
f(x)
a b
R
X
Y
Consideremos una función continua f(x) definida
en el intervalo [a, b] cuya gráfica determina con las
rectas x = a, x = b e y = 0 el recinto R. Al girar
este recinto alrededor del eje de abscisas engendra
un cuerpo o sóido de revolución, tal como se indica
en la figura.
El volumen de este cuerpo de revolución engen-
drado por el recinto R viene dado por la fórmula:
Vol(f, a, b) =
b
a
πf2
(x) dx
9.4 Volumen de un cuerpo por secciones
Consideremos un sólido que tiene la propiedad de que la sección transversal a una recta
dada tiene área conocida. Esto equivale a decir intuitivamente que en cada corte que hacemos
conocemos el área de la sección correspondiente.
0 x h X
Y
…
A(x)
B
En particular, supongamos que la recta es el eje
OX y que el área de la sección transversal está
dada por la función A(x), definida y continua en
[a, b].
El volumen de este cuerpo viene dado por la
fórmula:
Vol(A,a, b) =
b
a
A(x) dx

66 TEMA 9. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
T9.1 Calcula el área del recinto limitado por las rectas y = 2x, x = 2, x = 4. Comprueba el
resultado utilizando alguna fórmula de geometr´ıa elemental.
T9.2 Calcula el área del recinto limitado por las rectas y + x = 10, y = 0, x = 2, x = 8.
Comprueba el resultado mediante la fórmula geométrica correspondiente.
T9.3 Calcula el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = x2
y la recta y = x.
T9.4 Calcula el área de la figura comprendida entre la parábola y = x2
y la recta y = x + 2.
T9.5 Halla el área comprendida entre la curva y = 2x2
y la recta y = 2x + 4.
T9.6 Calcula el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = 4−x2
y la recta y = x+2.
T9.7 Calcula el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = 9−x2
y el eje de abscisas.
− 4x y el eje de
abscisas.
T9.9 Calcula el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = 4x − x2
y el eje de
abscisas. ¿Cómo es este recinto en relación con el del ejercicio anterior?
−4x y la recta y = 5.
− 4x y la recta de
ecuación y = 2x − 5.
T9.12 Determina el área limitada por las gráficas de las funciones y = 3x − x2
e y = x − 3.
T9.13 Halla el área comprendida entre las curvas y = 5 − x2
e y = x2
.
T9.14 Calcula el área de la región del plano comprendida entre las curvas y = 4 − x2
e y = 3x2
.
T9.15 Halla el área comprendida entre las curvas y = x2
− 2x + 1 e y = −x2
+ 4x + 1.
T9.16 Halla el área comprendida entre las curvas y = 6x − x2
e y = x2
− 2x.
T9.17 Las parábolas y2
− 2x = 0 y x2
− 2y = 0 se cortan en dos puntos A y B. Hállalos y el área
de la región acotada limitada por los dos arcos de parábola que unen A y B.
T9.18 Halla el área del recinto limitado por las parábolas y2
− 4x = 0 y x2
− 4y = 0.
T9.19 Halla el área del recinto limitado por la curva de ecuación y = 2
√
x y la recta y = x.
T9.20 Calcula el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = 2(1 − x2
) y la recta de
ecuación y = −1.
T9.21 Calcula el área del recinto limitado por la bisectriz del I y IV cuadrante y la gráfica de la
función y = 27x4
.
T9.22 Calcula el área del recinto limitado por el eje OX y la gráfica de la función y = x
√
1 − x.
T9.23 Halla el área comprendida entre la curva y = x3
− 6x2
+ 8x y el eje OX.
T9.24 Se considera la gráfica cartesiana de la función dada por la expresión y = 3x2
−
x3
2
:
(1) Representa gráficamente la función.
(2) Halla el área de la figura que queda encerrada entre la curva y el eje y = 0.
T9.25 Calcula el área del triángulo formado por los ejes coordenados y la tangente en un punto
cualquiera de la hipérbola de ecuación xy = 1.
T9.26 El área comprendida entre las curvas y = xn
e y = n
√
x es
3
5
. Calcula n.

T9.27 Calcula el área de la región del plano limitada por el eje OX y la gráfica de y = xex
entre
las rectas x = 0 y x = 1.
T9.28 Calcula el área encerrada entre la curva y = ex
y la cuerda de la misma que tiene por
extremos los puntos de abscisas 0 y 1.
T9.29 Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y = ln x e y = 1 y los ejes
de coordenadas.
T9.30 Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y = log10x, y = 1 y los
ejes de coordenadas.
T9.31 Halla el área de la zona del plano limitada por las tres rectas y = 0, x = 1, x = e y la
gráfica de y = ln2
x.
T9.32 Calcula el área limitada por la curva y = tgx, el eje OX y la recta x =
π
4
.
T9.33 Halla el volumen de la región determinada por la curva de ecuación y = e−x
, el eje OX, el
eje OY y la recta x = 3 al girar alrededor del eje OX.
T9.34 Calcula el volumen encerrado por la superficie al girar la elipse
x2
4
+ y2
= 1
una vuelta completa alrededor del eje OX.
T9.35 Calcula el volumen limitado por el elipsoide de revolución generado por la elipse 2x2
+y2
= 1
al girar alrededor del eje OX.

Tema 10 Espacios Vectoriales
10.1 Definición de espacio vectorial
Consideremos un conjunto V, no vac´ıo, en el que definimos las siguientes operaciones:
Suma: u + v con u, v ∈ V
Producto por escalares: k · u con k ∈ IR, u ∈ V
El conjunto V , con las operaciones suma y producto por escalares es un espacio vectorial
si se verifican las siguientes propiedades:
(1) Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) con u, v, w ∈ V
(2) Conmutativa: u + v = v + u con u, v ∈ V
(3) Elemento Neutro: ∃ O / ∀u ∈ V se verifica u + O = u
(4) Elemento Opuesto: ∀u ∈ V ∃ − u ∈ V / u + (−u) = O
La suma de vectores es una operación interna en V , y por verificar estas cuatro propie-
dades, el par (V, +) se dice que tiene estructura de grupo abeliano o conmutativo.
(5) k · (u + v) = k · u + k · v con k ∈ IR, u, v ∈ V
(6) (k + h) · u = k · u + h · u con k, h ∈ IR, u ∈ V
(7) k · (hu) = (k · h)u con k, h ∈ IR, u ∈ V
(8) 1 · u = u ∀u ∈ V donde 1 es el elemento unidad del conjunto de los números reales IR
El espacio vectorial V definido sobre IR se designa por (V, +, ·, IR). A los elementos de
V se les llama vectores y a los elementos de IR se les llama escalares (de escala).
Observaciones:
(1) La diferencia de dos vectores u y v se representa por u − v y se define como la suma
de u con el opuesto de v, es decir, u + (−v).
(2) La operación ‘producto por escalares’ se llama también operación externa.
(3) El producto k · u también lo designaremos por ku.
10.2 Otras propiedades de las operaciones
Propiedades de los elementos neutros (ceros) 0 de IR y O de V
(1) 0 · u = O, ∀u ∈ V
(2) k · O = O, ∀k ∈ IR
68

10.3. SUBESPACIOS VECTORIALES 69
(3) k · u = O ⇐⇒ k = 0 ó u = O
Propiedades de los signos
(4) u − (+v) = u − v con u, v ∈ V
(5) u − (−v) = u + v con u, v ∈ V
(6) k(−u) = −ku con k ∈ IR, u ∈ V
(7) (−k)u = −ku con k ∈ IR, u ∈ V
(8) (−k)(−u) = ku con k ∈ IR, u ∈ V
Otras propiedades significativas
(9) u + v = u + w =⇒ v = w con u, v, w ∈ V
(10) ku = kv =⇒ u = v, si k = 0 con u, v ∈ V
(11) ku = hu =⇒ k = h, si u = O con k, h ∈ IR
10.3 Subespacios vectoriales
Sea V un espacio vectorial real, se dice que W es un subespacio vectorial de V si se
verifican las siguientes propiedades:
(1) W es un subconjunto no vac´ıo de V .
(2) La suma de dos vectores cualesquiera de W es otro vector de W
∀w, w ∈ W =⇒ w + w ∈ W
(3) El producto de un escalar cualquiera por un vector de W es otro vector de W
∀k ∈ IR, ∀w ∈ W =⇒ kw ∈ W
A partir de la definición de subespacio vectorial, se deduce inmediatamente que todo
espacio vectorial V admite, al menos, dos subespacios vectoriales: el propio V y el subespacio
formado únicamente por el vector nulo. A estos subespacios se les llama triviales o impropios.
A todos los demás, si existen, se les llama subespacios propios.
Ejemplo: Sea V el espacio vectorial de las funciones reales definidas en un intervalo I.
Demostrar que el subconjunto W formado por las funciones continuas definidas en I, es un
suespacio vectorial de V .
(1) W es un subconjunto de V no vac´ıo, ya que al menos contiene la función nula (f(x) =
0, ∀x ∈ I)
(2) La suma de funciones continuas en I es una función continua en I.
(3) El producto de un escalar cualquiera por una función continua en I es una función
continua en I.

70 TEMA 10. ESPACIOS VECTORIALES
10.4 Combinación lineal de vectores. Subespacio en-
gendrado
10.4.1 Combinación lineal de vectores
Un vector u de V es combinación lineal de los vectores u1, u2, . . . , un de V si puede
expresarse como
u = a1u1 + a2u2 + . . . + anun
siendo a1, a2, . . . , an números reales
Como consecuencia de la definición se tiene:
(1) Todo vector u de V es combinación lineal de s´ı mismo (u = 1u)
(2) El vector O es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores
(O = 0u1 + 0u2 + . . . + 0un)
Ejemplos:
(1) Demostrar que el vector u = (5, 7) es combinación lineal de los vectores v = (1, 1) y
w = (2, 3)
(5, 7) = a1(1, 1) + a2(2, 3). Por la igualdad de vectores en IR2
se tiene que
5 = a1 · 1 + a2 · 2
7 = a1 · 1 + a2 · 3
Resolviendo el sistema, a1 = 1 y a2 = 2 con lo que u = v + 2w.
(2) Expresar (3, 4, 5) como combinación lineal de los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).
La respuesta es 3(1, 0, 0) + 4(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1)
10.4.2 Subespacio engendrado
Sea S = {u1, u2, . . . , un} un conjunto de vectores de un espacio vectorial real V . Se
llama subespacio engendrado por S, y se designa por L(S), al subespacio vectorial de V
formado por todas las combinaciones lineales que se pueden hacer con los vectores de S; es
decir:
L(S) = {a1u1 + a2u2 + . . . + anun / ai ∈ IR, i = 1, 2, . . . n}
(L(S) también se denota por u1, u2, . . . , un )
Los vectores u1, u2, . . . , un se dice que forman un sistema generador del espacio L(S).
Si el sistema generador de un espacio es finito, lo llamaremos espacio finitamente en-
gendrado.

10.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. RANGO DE UN CONJUNTO DE VECTORES71
10.5 Dependencia e independencia lineal de vectores.
Rango de un conjunto de vectores
10.5.1 Dependencia e independencia lineal de vectores
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si uno cualquiera de ellos se puede
expresar como combinación lineal de los restantes.
En caso contrario se dice que son linealmente independientes.
Es decir, los vectores u1, u2, . . . , un son linealmente dependientes si existe una combina-
ción lineal de la forma
a1u1 + a2u2 + . . . + anun
con algún ai = 0 que sea igual al vector O.
Los vectores u1, u2, . . . , un son linealmente independientes si cualquiera que sea la com-
binación lineal de la forma
a1u1 + a2u2 + . . . + anun
que sea igual al vector O, todos los ai son nulos
Ejemplo: Estudiar la dependencia lineal del conjunto de vectores
{(1, 2, 3), (2, 1, 3), (1, 0, 1)}
Buscamos una combinación lineal de estos vectores que nos dé el vector nulo O = (0, 0, 0)
a1(1, 2, 3) + a2(2, 1, 3) + a3(1, 0, 1) = (0, 0, 0)
Por la igualdad de vectores en IR3
se tiene que



a1 · 1 + a2 · 2 + a3 · 1 = 0
a1 · 2 + a2 · 1 + a3 · 0 = 0
a1 · 3 + a2 · 3 + a3 · 1 = 0
Resolviendo el sistema, a1 = t, a2 = −2t y a3 = 3t, con lo que, para t = 1 por ejemplo,
tengo una combinación lineal de la forma
(1, 2, 3) + (−2)(2, 1, 3) + 3(1, 0, 1) = (0, 0, 0)
con lo que puedo expresar (1, 2, 3) = 2(2, 1, 3) + (−3)(1, 0, 1)
es decir, el conjunto de vectores en cuestión es linealmente dependiente.
Consecuencias de la Definición:
(1) Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo O es linealmente dependiente
O = 0u1 + 0u2 + . . . + 0un
(2) Un vector es linealmente independiente si y sólo si es no nulo
(3) En todo espacio vectorial V , si tenemos un sistema generador de V formado por p
vectores y un conjunto de vectores linealmente independiente formado por n vectores,
se verifica que n ≤ p.
Como consecuencia de este último apartado, se tiene que en IR2
, el número máximo de
vectores linealmente independientes es 2, en IR3
es 3 y en IRn
es n.

72 TEMA 10. ESPACIOS VECTORIALES
10.5.2 Rango de un conjunto de vectores
El rango de un conjunto de vectores es el número máximo de vectores linealmente
independientes que contiene.
10.6 Base de un espacio vectorial. Dimensión
10.6.1 Base de un espacio vectorial
Sea V un espacio vectorial y B un subconjunto de vectores de V . Se dice que B es una
base de V si se verifican las siguientes condiciones:
- B es un sistema generador de V
- B es linealmente independiente.
Veamos dos resultados importantes:
(1) Todo espacio vectorial real V , finitamente engendrado, posee al menos una base.
(2) Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de elementos
(Teorema de la Base).
10.6.2 Dimensión de un espacio vectorial
Sea V un espacio vectorial finitamente engendrado. Se llama dimensión del espacio V
al número de elementos que tiene cualquiera de sus bases.
A la dimensión del espacio V la designamos por dim(V ).
La base canónica del e.v. IR2
es B = {(1, 0), (0, 1)}
La base canónica del e.v. IR3
es B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
...
...
...
La base canónica del e.v. IRn
es B = {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)}
10.7 Coordenadas de un vector
Se V un espacio vectorial de dimensión n y B = {u1, u2, . . . , un} una base de V . Se
llaman coordenadas de un vector v de V respecto de la base B, al conjunto de números reales
a1, a2, . . . , an que permiten expresar el vector v como combinación lineal de los vectores de
la base, es decir:
v = a1u1 + a2u2 + . . . + anun
Proposición 10.7.1 Las coordenadas de un vector cualquiera respecto de una base son
únicas.
Demostración Supongamos que v tiene dos expresiones distintas respecto de la misma
base B, es decir:
v = a1u1 + a2u2 + . . . + anun
v = b1u1 + b2u2 + . . . + bnun

10.8. APLICACIONES LINEALES ENTRE ESPACIOS VECTORIALES 73
Igualando las dos expresiones, resulta
a1u1 + a2u2 + . . . + anun = b1u1 + b2u2 + . . . + bnun
de donde
(a1 − b1)u1 + (a2 − b2)u2 + . . . + (an − bn)un = O
Como los vectores u1, u2, . . . , un son linealmente independientes por ser base, se tiene
que
a1 − b1 = 0
a2 − b2 = 0
...
an − bn = 0



=⇒
a1 = b1
a2 = b2
...
an = bn
Por tanto, las coordenadas de v respecto de la base B son únicas.
10.8 Aplicaciones lineales entre espacios vectoriales
Sean V y V dos e.v. reales y f una aplicación de V en V . Se dice que la aplicación f
es lineal si:
f(u + v) = f(u) + f(v) ∀u, v ∈ V
f(ku) = kf(u) ∀u ∈ V ∀k ∈ IR
A las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales también se les llama homomorfismos.
Proposición 10.8.1 Sean V y V dos e.v. reales y f una aplicación lineal de V en V .
Entonces se tiene
(1) La imagen del vector nulo de V es el vector nulo de V
f(O) = O
(2) La imagen del vector opuesto es el opuesto del vector imagen
f(−u) = −f(u)
(3) La imagen del vector diferencia es la diferencia de los vectores imagen
f(u − v) = f(u) − f(v)
Ejemplo: Sea f una aplicación de IR3
en IR2
definida por
f(x, y, z) = (x + y, z)
Estudiar si f es una aplicación lineal
(1) f[(x, y, z) + (x , y , z )] = f(x + x , y + y , z + z ) = (x + x + y + y , z + z )
f(x, y, z) + f(x , y , z ) = (x + y, z) + (x + y , z ) = (x + x + y + y , z + z )
(2) f[k(x, y, z)] = f(kx, ky, kz) = (kx + ky, kz)
kf(x, y, z) = k(x + y, z) = (kx + ky, kz)
Luego, efectivamente, la aplicación es lineal.

Tema 11 Matrices y determinantes
11.1 Concepto de matriz o tabla
Una matriz de orden m × n tiene la forma





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





donde m indica el número de filas y n el número de columnas. El s´ımbolo (aij) designa la
matriz completa, mientras que aij representa el elemento que se encuentra en la fila i-ésima
y en la columna j-ésima.
El número de filas “por” el número de columnas recibe el nombre de dimensión de la
matriz.
Si m coincide con n se dice que la matriz es cuadrada de orden n.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan
el mismo lugar en ambas son iguales.
11.2 Algunos tipos de matrices
11.2.1 Según su forma
Matriz fila: es aquella que tiene una sola fila.
A = (3 2 5 1)
Matriz columna: es aquella que tiene una sola columna.


2
1
3


Matriz cuadrada: es aquella que tiene igual número de filas que de columnas; en caso
contrario se llama rectangular.


2 0 1
3 −2 6
5 2 7

 7 6 5
−3 4 3
cuadrada rectangular
El conjunto formado por los elementos de la forma aii de una matriz cuadrada se
llama diagonal principal
74

11.2. ALGUNOS TIPOS DE MATRICES 75
Matriz traspuesta: dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por
At
, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas.
A =
2 0 1
3 −2 6
At
=


2 3
0 −2
1 6


De la definición se deduce que que si A es de dimensión m × n, entonces la matriz
At
es de dimensión n × m.
Matriz simétrica: se llama as´ı a toda matriz cuadrada tal que aij = aji
A =


2 0 1
0 2 6
1 6 −3


Matriz antisimétrica o hemisimétrica: se llama as´ı a toda matriz cuadrada tal que
aij = −aji. Como consecuencia inmediata de ello se tiene que la diagonal principal de
una matriz antisimétrica está formada por ceros.
A =


0 2 −1
−2 0 6
1 −6 0


11.2.2 Según sus elementos
Matriz nula: es aquella en la que todos sus elementos son ceros.
Matriz diagonal: se llama as´ı a toda matriz cuadrada en la que todos los elementos que
no pertenecen a la diagonal principal son ceros. Es decir, aij = 0 si i = j
A =


1 0 0
0 3 0
0 0 4


Matriz escalar: es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal
iguales.
A =


2 0 0
0 2 0
0 0 2


Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar con todos los elementos de la diagonal
principal iguales a uno.
A =


1 0 0
0 1 0
0 0 1



76 TEMA 11. MATRICES Y DETERMINANTES
Matriz triangular: es una matriz cuadrada en la que todos los términos por encima (o
por debajo) de la diagonal principal son ceros.
A =


2 −4 1
0 −2 6
0 0 7

 B =


7 0 0
−3 4 0
3 −5 3


tr. superior tr. inferior
11.3 El espacio vectorial de las matrices
11.3.1 Suma de matrices
La suma de dos matrices A = (aij) y B = (bij) de la misma dimensión, es otra matriz
S = (sij) de igual dimensión y cuyo término genérico es:
sij = aij + bij
La suma de las matrices A y B se designa por A + B.
La suma de matrices cumple las siguientes propiedades:
1. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
2. Conmutativa: A + B = B + A
3. Elemento neutro: la matriz nula A + O = A
4. Elemento opuesto: el elemento opuesto de una matriz dada A, es la matriz −A, que
se obtiene cambiando de signo a todos los elementos de A. A + (−A) = O
A partir de ahora, representaremos por Mm×n(IR) al conjunto de todas las matrices de
m filas y n columnas en las que sus elementos son números reales.
Por verificar las propiedades anteriores, Mm×n(IR) con la suma es un grupo abeliano,
y se denota por
(Mm×n(IR), +)
La diferencia de las matrices A y B se representa por A − B y se define como
A − B = A + (−B)
La suma y la diferencia de dos matrices no está definida si sus dimensiones son diferentes.
Ejemplo:
A =
1 3 5
2 4 −1
B =
0 2 3
4 1 5
A + B =
1 5 8
6 5 4
A − B =
1 1 2
−2 3 −6

11.4. PRODUCTO DE MATRICES. MATRICES INVERTIBLES 77
11.3.2 Producto de un escalar por una matriz
El producto de un escalar k por una matriz A = (aij) es otra matriz B = (bij) de la
misma dimensión que A tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k.
Es decir,
bij = k · aij
El producto de un número real por una matriz verifica las siguientes propiedades:
- k · (A + B) = kA + kB
- (k + h) · A = kA + hA
- k · (hA) = (k · h)A
- 1 · A = A
donde A y B son matrices cualesquiera de la misma dimensión, k y h son números reales
y 1 es el elemento unidad de los números reales.
Con todo esto, se dice que Mm×n(IR) con la suma, y con el producto por escalar, es
un espacio vectorial real, llamado espacio vectorial de las matrices reales de dimensión
m × n, y se denota por
(Mm×n(IR), +, ·)
11.4 Producto de matrices. Matrices invertibles
11.4.1 Producto de una matriz fila por una matriz columna
Se define el producto de una matriz fila por una matriz columna o producto escalar
del siguiente modo:
(x, y, z)


x
y
z

 = xx + yy + zz
11.4.2 Producto de dos matrices
El producto de una matriz A = (aij) de dimensión m × n por la matriz B = (bij) de
dimensión n × p, es otra matriz P = (pij) de dimensión m × p tal que cada elemento pij
se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de la primera matriz por la columna j de la
segunda.
El producto de matrices verifica las siguientes propiedades:
1. Asociativa: A(BC) = (AB)C
2. No conmutativa: el producto de matrices, en general, no es conmutativo, es decir,
AB = BA
3. Si A es una matriz cuadrada de orden n, se tiene
A · In = In · A = A
si In es la matriz unidad de orden n.

4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, si existe otra matriz B también de orden n
tal que
A · B = B · A = In
entonces se dice que B es la matriz inversa de A y se denota por A−1
, es decir,
dos matrices cuadradas de orden n son inversas si su producto es la matriz unidad de
orden n.
Uan matriz cuadrada que posee inversa se dice que es regular o invertible; caso
contrario se dice que es singular.
5. El producto de matrices es distributivo respecto a la suma de matrices, es decir,
A(B + C) = AB + AC
Ejemplo:


0 1 3
2 −1 5
1 0 4


3×3
·


1 2
−1 0
2 3


3×2
=


5 9
13 19
9 14


3×2
11.5 Rango de una matriz. Cálculo por el método de
Gauß
El rango o caracter´ıstica de una matriz M es el número de filas o de columnas
linealmente independientes. Sean
F1 ≡ fila 1a
C1 ≡ columna 1a
F2 ≡ fila 2a
C2 ≡ columna 2a
...
...
...
...
Fm ≡ fila m Cm ≡ columna m
Se consideran las filas (o las columnas) como vectores. Entonces:
rg(M) = rg(F1, F2, . . . , Fm) = rg(C1, C2, . . . , Cm)
Ejemplo:
El rango de la matriz


1 2 3
4 5 6
7 8 9


es 2, ya que las dos primeras filas son linealmente independientes, y la tercera es igual al
doble de la segunda menos la primera. Obsérvese que se cumple la misma relación con las
columnas.

11.5. RANGO DE UNA MATRIZ. C ÁLCULO POR EL MÉTODO DE GAUß 79
11.5.1 Cálculo del rango por el método de Gauß
El rango de una matriz no var´ıa si se realizan las transformaciones elementales siguientes:
(1) si se permutan dos filas o dos columnas,
(2) si se multiplica o divide una fila o columna por un número real no nulo,
(3) si a una fila o a una columna se le suma o resta otra paralela.
El rango de una matriz no var´ıa si se suprimen:
(4) las filas o columnas nulas,
(5) las filas o columnas proporcionales a otras,
(6) las filas o columnas combinación lineal de otras.
Las transformaciones anteriores nos permiten calcular el rango de una matriz por el
método de Gauß.
Ejemplo: Hallar, utilizando el método de Gauß, el rango de la matriz:




1 0 −1 2 3
2 −1 0 1 3
3 −1 −1 3 6
5 −2 −1 4 9




La fila 4a
es igual a la suma de la 2a
y 3a
rg




1 0 −1 2 3
2 −1 0 1 3
3 −1 −1 3 6
5 −2 −1 4 9



 = rg


1 0 −1 2 3
2 −1 0 1 3
3 −1 −1 3 6

 =
La fila 3a
es igual a la suma de la 1a
y 2a
= rg
1 0 −1 2 3
2 −1 0 1 3
= 2 porque las filas no son proporcionales
Ejemplo: Utilizar el método de reducción para calcular el rango de:


1 0 −3
2 3 −6
4 6 −11


rg


1 0 −3
2 3 −6
4 6 −11

 = rg


1 0 −3
0 3 0
0 6 1

 = rg


1 0 −3
0 3 0
0 0 1

 = 3
↑
2a
→ 2a
− 2 × 1a
3a
→ 3a
− 4 × 1a
↑
3a
→ 3a
− 2 × 2a

11.6 Determinantes
11.6.1 Determinantes de segundo orden
Dada la matriz cuadrada de 2◦
orden
A =
a11 a12
a21 a22
se llama determinante de A al número real
det(A) = |A| =
a11 a12
a21 a22
= a11a22 − a12a21
Es decir, el determinate de una matriz cuadrada de 2◦
orden es igual al producto de
los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal
secundaria.
Ejemplo:
3 5
2 −1
= 3 · (−1) − 5 · 2 = −13
11.6.2 Determinantes de tercer orden
Dada la matriz cuadrada de 3er
orden
A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


se llama determinante de A al número real
det(A) = |A| =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31
−a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
Esta es una fórmula fácil de recordar mediante la llamada regla de Sarrus:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Productos positivos − Productos negativos
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
- Los productos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y
los de las dos diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.
- Análogamente, se forman los productos con signo − pero tomando como referencia la
diagonal secundaria.
Aplicando la regla de Sarrus se tiene que:
- el determinante de la matriz nula es 0.
- el determinante de la matriz unidad I3 es 1.

11.7. DETERMINANTES DE ORDEN N 81
- el determinante de una matriz diagonal o triangular es igual al producto de los elementos
de la diagonal principal.
Ejemplo:
3 2 1
5 4 0
2 −1 −3
= −36 + 0 − 5 − 8 − 0 + 30 = −19
11.7 Determinantes de orden n
Si pretendemos generalizar las definiciones dadas de determinantes de 2◦
y 3er
orden a
un determinante cualquiera de orden n, debemos analizar los dos principios básicos que han
guiado la definición de estos casos particulares que son:
- cada término del desarrollo del determinante es el producto obtenido al tomar un único
elemento de cada fila y de cada columna.
- El signo de cada término depende de la elección del orden de las columnas, ya que las filas
se pueden tomar ordenadamente.
Dada la matriz cuadrada de orden n
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
an1 an2 . . . ann





se llama determinante de A al número real obtenido al sumar todos los productos posibles
de n factores, elegidos entre los n×n elementos de la matriz dada, de modo que, en cada uno
de ellos aparezca un elemento, y sólo uno, de cada fila y de cada columna. Se antepondrá a
cada sumando (formado por el producto de n elementos) el signo + ó −, según la permutación
de columnas tenga un número par o impar de trasposiciones.
Ejemplo: en el determinante de orden 3, veamos qué signo tendr´ıan los sumandos:
• a11a22a33. Las columnas (los segundos sub´ındices) están colocadas en el orden (123),
es decir, cada número está en su sitio, no hay trasposiciones, hay un número par de
trasposiciones (0) con lo que le asignamos el signo +.
• a12a21a33. Las columnas tienen el orden (213). El 2 se antepone al 1, con lo que hay una
trasposición: signo −.
• a12a23a31. Las columnas son (231). El 2 está antes que el 1 y el 3 también. 2 trasposicio-
nes, signo +.
11.8 Propiedades de los determinantes
(1) Si los elementos de una fila o una columna se descomponen en dos sumandos, el deter-
minante es igual a la suma de los determinantes que tienen en esa fila o columna los

primeros y segundos sumandos respectivamente, y en las demás los mismos elementos
que en el inicial.
det(F1 + F1, F2, F3) = det(F1, F2, F3) + det(F1, F2, F3)
Ejemplo:
1 + 2 2 + 4 3 + 6
5 4 0
2 −1 −3
=
1 2 3
5 4 0
2 −1 −3
+
2 4 6
5 4 0
2 −1 −3
(2) Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un mismo número, el
determinante queda multiplicado por ese número.
det(kF1, F2, F3) = k det(F1, F2, F3)
Ejemplo:
2 4 6
5 4 0
2 −1 −3
= 2
1 2 3
5 4 0
2 −1 −3
(3) Si A y B son matrices cuadradas, entonces
det(A · B) = det(A) · det(B)
(4) Si se permutan dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, su determinante
cambia de signo con respecto al inicial.
Ejemplo:
1 2 3
3 4 5
1 1 0
= 10 + 9 − 12 − 5 = 2 ;
3 4 5
1 2 3
1 1 0
= 12 + 5 − 10 − 9 = −2
(5) Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna con todos los elementos nulos, su
determinante vale cero.
det(F1, F2, 0) = 0
(6) Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante vale
cero.
det(F1, F1, F3) = 0
(7) Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas proporcionales, su determinante
vale cero.
det(F1, kF1, F3) = 0
(8) Si una matriz cuadrada tiene una fila (columna) combinación lineal de las restantes filas
(columnas), su determinante vale cero.
det(F1, aF1 + bF3, F3) = 0

11.9. CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR EL MÉTODO DE GAUß 83
Las propiedades (5), (6), (7) y (8) se pueden enunciar diciendo:
“si el rango de una matriz cuadrada de orden n es menor que n, su determinante es cero”.
Reciprocamente:
“si el determinante de una matriz cuadrada de orden n es cero, su rango es menor que n.
(9) Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma una paralela, su determinante
no var´ıa.
det(F1 + F2, F2, F3) = det(F1, F2, F3) + det(F2, F2, F3)
0
= det(F1, F2, F3)
(10) Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma una paralela, multiplicada
por un número, su determinante no var´ıa.
det(F1 + kF2, F2, F3) = det(F1, F2, F3) + det(kF2, F2, F3) =
= det(F1, F2, F3) + k det(F2, F2, F3)
0
= det(F1, F2, F3)
11.9 Cálculo de un determinante por el Método de
Gauß
Utilizando conjuntamente las propiedades (4), (9) y (10) del apartado anterior, dado un
determinante se puede hallar otro que valga lo mismo pero con ceros en las filas o columnas
convenientemente colocados. El cálculo del determinante se realiza entonces aplicando la
definición.
Reducción total:
Repitiendo este proceso se puede obtener un determinante de valor igual al inicial con
la propiedad de que todos elementos bajo la diagonal principal son nulos. Este método es
el mismo que se utilizó para hallar el rango de un conjunto de vectores o el de una matriz.
El esquema final es:
a ∗ ∗ ∗
0 b ∗ ∗
0 0 c ∗
0 0 0 d
= a · b · c · d
El determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
Reducción parcial:
El proceso de reducción puede darse por terminado cuando el siguiente determinante a
reducir sea de 2◦
ó 3er
orden, ya que éstos se pueden calcular directamente. Los esquemas
finales son:
a * * * a * * *
0 b * * 0 b m n
0 0 c m 0 p c q
0 0 n d 0 r s d

El determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal del determi-
nante reducido por el determinante de 2◦
ó 3er
orden, sin reducir.
Ejemplo:
2 0 0 2
0 3 1 1
0 −3 −2 1
6 3 1 0
=
2 0 0 2
0 3 1 1
0 −3 −2 1
0 3 1 −6
=
2 0 0 2
0 3 1 1
0 0 −1 2
0 0 0 −7
= 42
↑
F4 → F4 − 3F1
↑
F3 → F3 + F2
F4 → F4 − F2
11.10 Cálculo de un determinante por los elementos
de una fila o columna
Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila
i y la columna j de la matriz A, se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre de
matriz complementaria del elemento aij.
Ejemplo:
A =




a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44



 M11 =


a22 a23 a24
a32 a33 a34
a42 a43 a44


es la matriz complementaria de a11
Se llama adjunto de aij, y se designa por Aij, al determinante de la matriz complemen-
taria Mij precedido del signo + ó − según la suma i + j de los sub´ındices sea par o impar
respectivamente.
Si A es una matriz cuadrada de 4◦
orden, el desarrollo del determinante de A puede
expresarse:
det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13 + a14A14
Este procedimiento es válido para cualquier fila o columna, por tanto:
“El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o
columna cualquiera multiplicados por sus adjuntos correspondientes”.
Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular a una unidad menos.
Para evitar el cálculo de muchos determinantes, conviene que haya el mayor número posible
de ceros en la fila o columna elegidas, y si no es as´ı, obtenerlos por el método de reducción.
Ejemplo: calcular el siguiente determinante:
1 0 1 2
−1 1 2 −1
1 3 2 2
2 −1 0 1
=
1 0 0 0
−1 1 3 1
1 3 1 0
2 −1 −2 −3
= 1 ·
1 3 1
3 1 0
−1 −2 −3
↑
C3 → C3 − C1
C4 → C4 − 2C1
= −3 − 6 + 1 + 27 = 19

11.11. CÁLCULO DEL RANGO DE UN CONJUNTO DE VECTORES Y DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES85
11.11 Cálculo del rango de un conjunto de vectores y
de una matriz por determinantes
Recordemos que:
- El rango de un conjunto de vectores es el número de vectores linealmente independientes
que contiene el conjunto.
- El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes.
El cálculo del rango de un conjunto de vectores y de matrices por determinantes se basa
en dos resultados rec´ıprocos:
- Si dos vectores fila o columna de una matriz cuadrada son linealmente dependientes,
su determinante es cero.
- Si el determinante de una matriz cuadrada es cero, al menos dos vectores fila y dos
vectores columna son linealmente dependientes.
Para calcular el rango de una matriz, normalmente se usa el método de “orlar” la matriz.
Se toma un elemento distinto de cero, seguidamente se consideran todos los determinantes
de orden 2 que “orlan” (rodean) al elemento no nulo considerado. Si todos los determinantes
de orden 2 son iguales a cero, el rango de la matriz es 1; si hay algún determinante de orden 2
distinto de cero, el rango de la matriz es por lo menos 2; se toma uno de los determinantes de
orden 2 y se sigue orlando a éste con los determinantes de orden 3. Si todos los determinantes
de orden 3 son iguales a cero, el rango de la matriz es 2; si hay algún determinante de orden
3 distinto de cero, el rango de la matriz es por lo menos 3; se toma uno de ellos como base
y se sigue orlando con los determinantes de orden 4, y as´ı sucesivamente.
Ejemplo: Calcular mediante determinantes el rango de la matriz:
A =


−1 2 3 4 5
1 2 1 3 3
0 4 4 7 7


−1 2 3
1 2 1
0 4 4
= −8 + 12 + 4 − 8 = 0
−1 2 4
1 2 3
0 4 7
= −14 + 16 + 12 − 14 = 0
−1 2 5
1 2 3
0 4 7
= −14 + 20 + 12 − 14 = 4
Hay un determinante de orden 3 distinto de cero, el rango de A es 3.
11.12 Cálculo de la matriz inversa por determinantes
Veremos en esta sección un método para hallar la matriz inversa que se basa en los
determinantes. Este método es bueno para matrices cuadradas de orden 2 ó 3, ya que para
órdenes superiores los cálculos son demasiado plúmbeos.

- Matriz adjunta:
Dada una matriz cuadrada A se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A)
a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto correspondiente Aij.
El adjunto Aij es el determinante de la matriz complementaria Mij precedido del signo
+ ó − según que la suma i + j sea par o impar respectivamente.
Ejemplo:
A =


2 −2 2
2 1 0
3 −2 2


M11 =
1 0
−2 2
A11 = +
1 0
−2 2
= 2
M21 =
−2 2
−2 2
A21 = −
−2 2
−2 2
= 0
...
...
...
...
M33 =
2 −2
2 1
A33 = +
2 −2
2 1
= 6
es decir
Adj(A) =


A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33

 =


2 −4 −7
0 −2 −2
−2 4 6


Las filas de la matriz A y de su adjunta Adj(A) verifican las dos siguientes propiedades:
- La suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es igual al valor
del determinante.
- La suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila
diferente es igual a cero.
Si trasponemos los elementos de Adj(A), las filas se transforman en columnas, y las
propiedades anteriores se pueden escribir mediante el producto
A · (Adj(A))t
=


2 −2 2
2 1 0
3 −2 2

 ·


2 0 −2
−4 −2 4
−7 −2 6

 =


−2 0 0
0 −2 0
0 0 −2


- Matriz adjunta:
El producto de una matriz por la traspuesta de su adjunta proporciona una matriz
escalar, en la que el valor constante es det(A). Para que aparezca la matriz unidad, basta
dividir los dos miembros por det(A). Esto sólo será posible si det(A) = 0. Por tanto si
det(A) = 0, se tiene que:
1
det(A)
· A · (Adj(A))t
= I
y por definición de matriz inversa:
A−1
=
1
det(A)
· (Adj(A))t

11.12. C´ALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES 87
Ejemplos:
(1) En el ejemplo anterior
A−1
=
1
det(A)
· (Adj(A))t
= −
1
2


2 0 −2
−4 −2 4
−7 −2 6

 =


−1 0 1
2 1 −2
7
2 1 −3


(2) Hallar la matriz inversa de
A =


1 −1 1
2 1 2
0 0 1


det(A) = 3
Adj(A) =


1 −2 0
1 1 0
−3 0 3

 (Adj(A))t
=


1 1 −3
−2 1 0
0 0 3


A−1
=
1
det(A)
· (Adj(A))t
=



1
3
1
3 −1
−2
3
1
3 0
0 0 1




T11.1 Pon ejemplos sencillos de la no conmutatividad de la multiplicación de matrices cuadradas.
Ídem de la de matrices rectangulares.
T11.2 Dada una matriz A, ¿existe una matriz B tal que el producto AB, o bien el BA, sea una
matriz de una sola fila? Aplica la conclusión obtenida a la siguiente matriz:
A =
3 1 4 −1
2 0 1 3
1 2 −1 5
T11.3 Sea A = (2 1 5) y B =
3
2
4
. Halla los productos AB y BA.
T11.4 Comprueba que el producto de matrices diagonales es otra matriz diagonal. Hazlo para
matrices de orden 3.
T11.5 Dadas las matrices A =
2 3
1 1
e I2 =
1 0
0 1
, calcula A2
− 3A − I.
T11.6 Demuestra que la matriz A =
1 1
1 1
satisface la relación de recurrencia An
= 2n−1
A.
T11.7 Calcula los siguientes determinantes de orden 3:
(a)
1 2 3
1 1 −1
2 0 5
(b)
3 −2 1
3 1 5
3 4 5
(c)
1 3 −1
5 4 6
2 2 3
(d)
1 3 −π
0 cos α sen α
0 − sen α cos α
T11.8 Halla las matrices inversas de:
(a)
2 3
1 1
(b)
−2 3
−1 1
(c)
2 0
0 2
(d)
3 −5
−6 10
(d)
cos α sen α
− sen α cos α
T11.9 Halla las matrices inversas de:
(a)
0 3 5
−1 3 4
0 1 −2
(b)
1 2 3
4 5 6
7 8 9
(c)
1 1 −1
−1 0 1
0 0 −1
(d)
3 −3 7
−2 8 9
5 4 −2
T11.10 Calcula los siguientes determinantes:
(a)
1 2 3 4
2 1 2 1
0 0 1 1
3 4 1 2
(b)
−1 4 0 2
5 −1 3 4
1 −2 0 7
−3 8 9 1
(c)
0 0 0 2
−4 5 6 −8
3 −2 9 1
1 1 1 1
(d)
0 0 0 1
0 −1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
T11.11 Dadas las matrices
A =
1 0 1
1 1 0
y B =
1 1
2 1
1 0
,
(1) Calcula C = AB y D = BA.
(2) Calcula el determinante de cada una de las matrices C y D obtenidas en el apartado anterior.
(3) Calcula las inversas de todas las matrices que puedas.

T11.12 Dada la matriz
A =
x 1 0
−1 x 2
1 0 1
,
(1) Determina para qué valores de x no existe la matriz inversa de A.
(2) Calcula la inversa de A cuando x vale 1.
T11.13 Averigua para qué valores del parámetro t, la matriz A no tiene inversa. Calcula la matriz
inversa de A para t = 2, si es posible:
A =
1 0 −1
0 t 3
4 1 −t
A =
1 0 0
1 m 0
1 1 1
, B =
0 1 1
1 0 0
0 0 0
y C =
1 0 0
0 1 0
1 0 1
(a) ¿Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial A · X + 2B = 3C?
(b) Resuelve la ecuación matricial dada para m = 1.
T11.15 Resuelve la ecuación matricial A · X = B + A, con:
A =
1 0 2
2 −1 4
1 1 0
B =
1 3 1
0 1 0
2 1 0
T11.16 Halla una matriz X tal que A · X + B = C, si
A =
0 2 7
1 0 2
−3 2 0
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
C =
3 0 0
2 5 2
0 1 3
A =
−2 −2 1
−2 1 −2
1 −2 −2
y X =
x
y
z
(a) Calcula los valores de λ para los que la matriz A + λI no tiene inversa.
(b) Resuelve el sistema A · X = 3X.
T11.18 Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale −2. ¿Cuánto vale
el determinante de la matriz 4A?
T11.19 Dada la matriz B =
1 2 0
λ 0 1
0 1 −2
, ¿para qué valores de λ la matriz 3B + B2
no tiene
inversa?
T11.20 Dadas las matrices A =
−1 1 0
3 −2 0
1 5 −1
y B =
−5 0 3
1 −1 1
−2 4 −3
Halla la matriz X que cumple A · X = (B · At
)t
.

T11.21 Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz
cuadrada A de orden tres cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices:
(a) |A3
|, |A−1
| y |2A|
(b) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son,
respectivamente, 3C1 − C3, 2C3 y C2.
T11.22 Sabiendo que |A| =
a b c
d e f
g h i
= 8, halla el valor de:
(a) |2A| (b)
3d + 3a 3f + 3c 3e + 3b
−d −f −e
g i h
(c)
f e d
c b a
i h g
T11.23 Halla el rango de la matriz A por el método que quieras y el determinante de la matriz B
por el método de Gauß
A =





1 0 1 0 1
−5 0 −3 0 1
2 2 2 2 −1
1 0 3 1 1
2 0 2 0 −1





B =



2 1 4 1
−1 −2 1 2
1 0 3 0
3 4 6 5



T11.24 Una matriz cuadrada A es ortogonal si cumple que At
· A = I, donde I es la matriz
identidad y At
es la traspuesta de A. Determina si la matriz siguiente es ortogonal
1 1 0
1 −1 1
1 0 −1
T11.25 Halla los valores de a para los que la matriz A no tiene inversa.
A =



0 1 1 a
−9 15 −32 47
0 a 2 −1
0 3 1 1



T11.26 Calcula los determinantes de T11.7 y T11.10 por el método de triangulación de Gauss.
T11.27 Si |B| =
a b c
d e f
g h i
= 6, calcula
(a) |2B| (b) | − 5B| (c)
a d 3g
b e 3h
c f 3i
(d)
g h i
a b c
d e f
(e)
2a 2b 2c
−d −e −f
1
2
g 1
2
h 1
2
i

Tema 12
Sistemas de ecuaciones linea-
les
12.1 Sistemas de ecuaciones lineales en general
Notación ordinaria:
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente
modo: 


a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
(1)
donde los aij son números reales llamados coeficientes del sistema; los bij también son
números reales y reciben el nombre de términos independientes; x1, x2, . . . , xn son las
incógnitas del sistema. Si todos los términos independientes son nulos, el sistema se llama
homogéneo.
Recordemos que los sistemas que tienen al menos una solución se llaman compatibles.
Si la solución es única, diremos que el sistema es compatible determinado. Si tiene más
de una solución (en este caso tendrá infinitas) el sistema será compatible indeterminado;
por último, si el sistema no tiene ninguna solución se llama sistema incompatible.
Notación matricial:
Llamaremos matriz del sistema (1) a la matriz de orden m×n formada por los coeficientes
del mismo:
M =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





La matriz ampliada del sistema (1) es de orden m × (n + 1) y se obtiene a partir de la
matriz M añadiéndole la columna formada por los términos independientes:
M∗
=





a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
...
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn bm





Si designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas y por B a la matriz
columna de los términos independientes, el sistema en forma matricial se escribe:





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





·





x1
x2
...
xn





=





b1
b2
...
bm





M · X = B
91

92 TEMA 12. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
12.2 Sistemas equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones; es
decir, toda solución del primer sistema lo es del segundo, y rec´ıprocamente. Si dos sistemas
de ecuaciones son equivalentes, entonces tienen el mismo número de incógnitas, aunque no
es necesario que tengan el mismo número de ecuaciones.
Recordemos los criterios de equivalencia:
Criterio 1: Producto o cociente por un número distinto de cero.
Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un
número real distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado.
Criterio 2: Suma o diferencia de ecuaciones.
Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, resulta un
sistema equivalente al dado.
Criterio 3: Reducción de ecuaciones.
Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es combinación lineal de otras, puede
suprimirse y el sistema resultante es equivalente al dado.
12.3 Criterio de compatibilidad. Teorema de Rouché
Teorema de Rouché:
Un sistema es compatible si y sólo si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al
rango de la matriz ampliada.
(1) es compatible ⇐⇒ rg(M) = rg(M∗
)
También se cumple lo siguiente:
• Si rg(M) = rg(M∗
) = n◦
de incógnitas ⇒ Sist. comp. det. (solución única)
) n◦
de incógnitas ⇒ Sist. comp. indet. (infinitas soluciones)
) ⇒ Sistema incompatible
Ejemplo:
Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales dependientes del
parámetro a: 


x + ay − z = 1
2x + y − az = 2
x − y − z = a − 1
M =


1 a −1
2 1 −a
1 −1 −1

 M∗
=


1 a −1 1
2 1 −a 2
1 −1 −1 a − 1


det(M) = −1 − a2
+ 2 + 1 − a + 2a = −a2
+ a + 2 = −(a2
− a − 2)
Este determinante vale cero cuando a = 2 y a = −1
a2
− a − 2 = 0, a =
1 ±
√
1 + 8
2
=
1 ± 3
2
=
2
−1

12.3. CRITERIO DE COMPATIBILIDAD. TEOREMA DE ROUCHÉ 93
• Si a = 2 y a = −1: ⇒ rg(M) = 3 = rg(M∗
) ⇒ Sist. comp. det. (solución única)
• Si a = −1
M =


1 −1 −1
2 1 1
1 −1 −1

 rg(M) = 2
M∗
=


1 −1 −1 1
2 1 1 2
1 −1 −1 −2

 rg(M∗
) = 3
Tenemos que rg(M) = rg(M∗
) ⇒ Sistema incompatible.
• Si a = 2
M =


1 2 −1
2 1 −2
1 −1 −1

 rg(M) = 2
M∗
=


1 2 −1 1
2 1 −2 2
1 −1 −1 1

 rg(M∗
) = 2
Tenemos que rg(M) = 2 = rg(M∗
) n◦
de incógnitas (3) ⇒ Sistema compatible
indeterminado (infinitas soluciones)
Para resolver un sistema con infinitas soluciones se procede del siguiente modo: sea
r el rango de la matriz del sistema (que coincide con el de la matriz ampliada por
ser éste compatible); se eligen r ecuaciones linealmente independientes y se pasan al
segundo miembro las últimas n − r incógnitas, obteniendo de esta manera un sistema
de r ecuaciones independientes con r incógnitas.
Las n − r incógnitas que se pasan al segundo miembro se suelen designar con los
s´ımbolos t1, t2, . . . , tn−r, y en este caso se dice que las soluciones dependen de los
parámetros t1, t2, . . . , tn−r, que pueden tomar cualquier valor real.
En el ejemplo anterior r = 2 y n = 3
Consideramos las dos primeras ecuaciones (que son linealmente independientes) y lla-
mamos t1 = z.
x + 2y − z = 1
2x + y − −2z = 2
=⇒
x + 2y = 1 + t1
2x + y = 2 + 2t1
−2x + 4y = −2 − 2z
2x + y = 2 + 2z
5y = 0 =⇒ y = 0 x = 1 + t1
Solución: (1 + t1, 0, t1)

94 TEMA 12. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
T12.1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
(a)
7x + 8y = 8
3x + 7y = 7
(b)
6x − 5y = 11
3x + 4y = −1
Sol : x = 0; y = 1 Sol : x = 1; y = −1
(c)
7x + 8y = 6
3x + 7y = 5
(d)
6x − 5y = 3
3x + 4y = 7
Sol : x =
2
25
; y =
2
25
Sol : x =
47
39
; y =
11
13
(e)
9x + 7y = 4
2x + 4y = 10
(f)
−7x − 11y = 3
6x + 5y = 15
Sol : x = −
27
11
; y =
41
11
Sol : x =
180
31
; y = −
123
31
(g)
x − 2y − z = 0
2x − y − 4z = −2
3x − 3y − 5z = −2
(h)
3x + 2y − z = −1
7x − y − 2z = −2
−5x − 8y + 3z = 3
Sol : x = 1; y = 0; z = 1 Sol : x = 0; y = 0; z = 1
(i)
3x − y + z = 3
− y + z = 1
x − 2y − z = 2
(j)
x + 3y − 2z = 4
2x + 2y + z = 3
3x + 2y + z = 5
Sol : x =
2
3
; y = −
7
9
; z =
2
9
Sol : x = 2; y = 0; z = −1
(k)
5x + 2y + 3z = 4
2x + 2y + z = 3
x + 2y + 2z = −3
(l)
3x + 2y − z = 3
x + y − 2z = −5
2x + y + 3z = 16
Sol : x =
13
5
; y =
3
5
; z = −
17
5
Sol : x = 1; y = 2; z = 4
(m)
x − 2y − 3z = 3
2x − y − 4z = 7
3x − 3y − 5z = 8
(n)
3x + 2y − z = 4
x + y − 2z = 0
2x + y + 3z = 6
Sol : x = 2; y = 1; z = −1 Sol : x = 1; y = 1; z = 1
(o)
3x + y − z = 1
2x − y + 2z = 2
x − 3y + 6z = 3
(p)
x + y − z = 2
2x + 3y + 5z = 11
x − 5y + 6z = 29
Sol : x =
3
5
; y = −
4
5
; z = 0 Sol : x =
307
49
; y = −
20
7
; z =
69
49
T12.2 Estudia la compatibilidad y el número de soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones:
(a)
x + 2y + z = 1
2x + y + 2z = 2
3x + 3y + 3z = 3
(b)
x + 2y + z = 1
2x + y + 2z = 2
3x + 3y + 3z = 4
T12.3 Dado el sistema de ecuaciones:
x cos α + y sen α = 1
x sen α − y cos α = 1
(a) Resuélvelo determinando x e y en función de α.
(b) Calcula α para que x + y = 1.

T12.4 Discute y resuelve según los distintos valores del parámetro a los siguientes sistemas de
ecuaciones:
(a)
ax + y + z = 4
x − ay + z = 1
x + y + z = a + 2
(b)
2x − 3y + z = 0
x − ay − 3z = 0
5x + 2y − z = 0
(c)
x + y + az = 1
2x + z = 2
(d)
4x + 12y + 4z = 0
2x − 13y + 2z = 0
(a + 2)x − 12y + 12z = 0
(e)
x + 2y + z = 2
2x − y + 3z = 2
5x − y + az = 6
(f)
2x + y − z = a − 4
(a − 6)y + 2z = 0
(a + 1)x + 2y = 3
(g)
a2
x + 3y + 2z = 0
ax − y + z = 0
8x + y + 4z = 0
(h)
x + 2y = 5
3x − ay = a
5x + ay = 7
T12.5 Dado el sistema de ecuaciones:
mx − y = 1
x − my = 2m − 1
Halla m para que:
(1) No tenga solución.
(2) Tenga infinitas soluciones.
(3) Tenga solución única.
(4) Tenga una solución en la que x = 3.
T12.6 Determina razonadamente los valores de m para los que el sistema de ecuaciones
2x + y + z = mx
x + 2y + z = my
x + 2y + 4z = mz
tiene más de una solución.
T12.7 Dado el sistema:
x − 3y + z = 1
3x − y + z = −1
πx − 2y + 7z = 0
(1) Añade una ecuación lineal, distinta de las dadas, al sistema de modo
que el sistema resultante sea compatible indeterminado.
(2) Añade una ecuación lineal al sistema dado de modo que el sistema
resultante sea incompatible.
(3) Añade una ecuación lineal al sistema dado de modo que el sistema
resultante sea compatible determinado.
T12.8 Estudia, según los valores de a, la compatibilidad del sistema y resuélvelo por el método
matricial de Gauss para a = 1.
3x + y + az = 4
x − y + 2z = 7
−2x + ay − 4z = −11

Tema 13 Espacio af´ın eucl´ıdeo
13.1 Los vectores fijos en el espacio
Se llama vector fijo del espacio a un segmento orientado cuyos extremos están deter-
minados. Designaremos por
−→
AB a un vector fijo del espacio que tiene su origen en el punto
A y su extremo en el punto B. Si en un vector su origen coincide con su extremo, se dice
que es el vector fijo nulo.
Se llama módulo del vector
−→
AB a la longitud del segmento de extremos los puntos A y
B. El módulo del vector
−→
AB se representa por |
−→
AB|.
Se llama dirección del vector
−→
AB a la dirección de la recta que pasa por A y por B.
Dos vectores fijos no nulos
−→
AB y
−→
CD tienen la misma dirección si las rectas AB y CD son
paralelas.
Se llama sentido del vector
−→
AB al de recorrido de la recta cuando nos trasladamos de
A a B.
Dos vectores fijos no nulos
−−→
MN y
−→
PQ son equipolentes si tienen el mismo módulo, la
misma dirección y el mismo sentido; se representa por
−−→
MN ∼
−→
PQ
Si dos vectores no nulos
−−→
MN y
−→
PQ son equipolentes y no están situados en la misma
recta, se verifica que el cuadrilátero que se obtiene al unir los or´ıgenes M y P y los extremos
N y Q es un paralelogramo.
13.2 Los vectores libres en el espacio
Si elegimos un vector cualquiera, por ejemplo el
−→
AB, y consideramos todos los vectores
fijos que son equipolentes al
−→
AB y los agrupamos, hemos formado la clase de equivalencia
determinada por el vector
−→
AB.
vector libre del espacio es cada una de las clases en que queda clasificado el conjunto de
los vectores fijos del espacio mediante la relación de equipolencia. Un vector libre se designa
por [
−→
AB] o por su representante
−→
AB. Todos los vectores fijos nulos forman el vector libre
cero. Un representante es
−→
AA, que se puede escribir O. Al conjunto de los vectore libres del
espacio los designaremos por V 3
.
Se llama módulo, dirección y sentido de un vector libre no nulo al módulo, dirección
y sentido de cualquiera de sus representantes. El vector libre O tiene módulo 0 y carece
de dirección y sentido. Los vectores [
−→
AB] y [
−→
BA] tienen el mismo módulo y dirección pero
distinto sentido.
Propiedad fundamental de los vectores libres:
Si [
−→
AB] es un vector libre del espacio y O un punto cualquiera del espacio, existe un
único representante de este vector que tiene su origen en el punto O.
96

13.3. EL ESPACIO VECTORIAL DE LOS VECTORES LIBRES 97
13.3 El espacio vectorial de los vectores libres
Suma de vectores libres
Dados dos vectores libres a y b del espacio, se llama suma de a y b al vector libre que
se obtiene del siguiente modo:
Se toma un punto arbitrario O del espacio, se traza
−→
OA como representante de a y a
continuación, desde A se traza
−→
AB como representante de b; el vector suma a + b es el que
tiene por representante el vector
−→
OB.
E
a
b
E
a
b
B

a + b
O A
B
La suma de vectores es independiente del punto O elegido. La suma de vectores es
una operación interna en V 3
que verifica las propiedades asociativa, conmutativa, existencia
de elemento neutro y existencia de elemento opuesto. Por ello se dice que el par (V 3
, +) es
un grupo conmutativo.
Multiplicación de un número real por un vector
Dado un vector libre a, no nulo, del espacio, y un número real k no nulo, se llama
producto de un número real por un vector al vector k · a que tiene:
módulo: |k| · |a|
dirección: la dirección del vector a
sentido: el mismo que a si k es positivo
el opuesto de a si k es negativo
Si a = O ó k = 0, el producto de k por a es el vector O.
El conjunto V 3
de los vectores libres del espacio, con las operaciones de suma y producto
por escalar tiene estructura de espacio vectorial.
13.4 Bases en V 3
Tres vectores libres u1, u2 y u3, no nulos y no coplanarios (que no están en un mismo
plano), forman una base de V 3
. Por tanto la dimensión del espacio V 3
es 3. Es decir, tres
vectores linealmente independientes forman una base de V 3
.
La descomposición de un vector en función de los vectores de la base es única. Los
números reales x, y, z que permiten descomponer cualquier vector x = xu1 + yu2 + zu3 en
función de los vectores de la base, se llaman coordenadas del vector x respecto de la base
B = {u1, u2, u1}.
En F´ısica, se identifican los vectores numéricos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) con los vectores
libres ı, , k respectivamente. Los primeros constituyen la base canónica del espacio IR3
y
los segundos la de V 3
.

98 TEMA 13. ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO
13.5 Producto escalar de dos vectores libres
El producto escalar de dos vectores u y v se designa por u · v y se obtiene del siguiente
modo:
u · v =
|u| · |v| · cos(u, v ) si u y v son no nulos
0 si u o v son nulos
Como |u|, |v| y cos(u, v ) son números reales, el producto escalar de dos vectores es un
número real que puede ser positivo, negativo o nulo.
Propiedades del producto escalar
(1) El producto escalar de un vector por s´ı mismo es un número positivo o nulo: u·u ≥ 0
(2) Conmutativa: u · v = v · u
(3) Homogénea: k(u · v) = (kv) · u = u · (kv)
(4) Distributiva respecto de la suma de vectores: u · (v + w) = u · v + u + w
Expresión anal´ıtica del producto escalar
Sea B = {u1, u2, u1} una base cualquiera del espacio V 3
, y sean u y v dos vectores
cualesquiera. Como cada vector del espacio se descompone de modo único en función de los
vectores de la base, se tiene:
u = xu1 + yu2 + zu3
v = x u1 + y u2 + z u3
Aplicando las propiedades del producto escalar resulta:
u · v = (xu1 + yu2 + zu1) · (x u1 + y u2 + z u1) =
+ xx (u1 · u1) + xy (u1 · u2) + xz (u1 · u3) +
+ yx (u2 · u1) + yy (u2 · u2) + yz (u2 · u3) +
+ zx (u3 · u1) + zy (u3 · u2) + zz (u3 · u3)
Esta expresión se puede escribir matricialmente del siguiente modo:
u · v = (x, y, z)


u1 · u1 u1 · u2 u1 · u3
u2 · u1 u2 · u2 u2 · u3
u3 · u1 u3 · u2 u3 · u3




x
y
z


Teniendo en cuenta que el producto escalar es conmutativo, la matriz del producto
escalar es simétrica.
- Si la base B es normada (es decir, u1 ·u1 = u2 ·u2 = u3 ·u3 = 1), la expresión anal´ıtica
del producto escalar es:
u · v = xx + yy + zz + (xy + yx )(u1 · u2) + (xz + zx )(u1 · u3) + (yz + zy )(u2 · u3)

13.6. M ÓDULO DE UN VECTOR. ÁNGULO DE DOS VECTORES 99
- Si la base B es ortogonal (es decir, u1 ·u2 = u1 ·u3 = u2 ·u3 = 0), la expresión anal´ıtica
del producto escalar queda:
u · v = xx (u1 · u1) + yy (u2 · u2) + zz (u3 · u3)
- Por último, si la base B es ortonormal (es decir, normada y ortogonal), entonces la
expresión anal´ıtica del producto escalar se reduce a:
u · v = xx + yy + zz
Se llama espacio vectorial eucl´ıdeo al par (V 3
, ·), donde V 3
es el espacio vectorial de
los vectores libres, y (·) es el producto escalar que acabamos de definir.
13.6 Módulo de un vector. Ángulo de dos vectores
13.6.1 Módulo de un vector
1.- Expresión vectorial
De la definición de producto escalar se tiene que:
u · u = |u|2
Por tanto: |u| = +
√
u · u
El módulo de un vector es la ra´ız cuadrada positiva del producto escalar del vector por
s´ı mismo.
2.- Expresión anal´ıtica
Sea B = {ı, , k} una base ortonormal del espacio V 3
y u un vector cualquiera de V 3
tal
que u = xı + y + zk, entonces:
u · u = xx + yy + zz = x2
+ y2
+ z2
Por tanto: |u| = + x2 + y2 + z2
Un vector se dice que es unitario cuando tiene módulo 1.
13.6.2 Ángulo de dos vectores
1.- Expresión vectorial
Ya hemos visto que u · v = |u| · |v| · cos(u, v )
Por tanto: cos(u, v ) =
u · v
|u| · |v|
El coseno del ángulo formado por dos vectores se obtiene al dividir su producto escalar
entre el producto de sus módulos.

2.- Expresión anal´ıtica
Sea B = {ı, , k} una base ortonormal del espacio V 3
y u y v dos vectores cualesquiera
de V 3
tales que:
u = xı + y + zk
v = x ı + y  + z k
Entonces se tiene:
cos(u, v ) =
xx + yy + zz
x2 + y2 + z2 · x 2 + y 2 + z 2
Como consecuencia, si u y v son dos vectores perpendiculares, su producto escalar es nulo.
u · v = |u| · |v| · cos(u, v )
= |u| · |v| · cos 90◦
= 0
Ejemplo
En una base ortonormal, los vectores u y v tienen coordenadas u = (1, 2, 3) y v =
(2, −1, 4). Calcular:
(1) Su producto escalar.
u · v = (1, 2, 3) · (2, −1, 4) = 2 − 2 + 12 = 12
(2) El módulo de cada vector.
|u| = (1, 2, 3) · (1, 2, 3) =
√
12 + 22 + 32 =
√
14
|v| = (2, −1, 4) · (2, −1, 4) = 22 + (−1)2 + 42 =
√
21
(3) El ángulo que forman u y v.
cos(u, v ) =
u · v
|u| · |v|
=
12
√
14 ·
√
21
≈ 0 699
⇒ (u, v ) ≈ arccos(0 699) ≈ 0 795603 radianes ≈ 45◦
39 11
(4) El valor de m para que w = (0, 3, m) sea ortogonal (perpendicular) al vector v.
v · w = (2, −1, 4) · (0, 3, m) = 0 ⇒ −3 + 4m = 0 ⇒ m =
3
4
13.7 Producto vectorial de dos vectores
El producto vectorial de dos vectores libres de V 3
, u y v es otro vector que se designa
por u × v o por u ∧ v y que se obtiene del siguiente modo:
(1) Si u y v son dos vectores no nulos y no proporcionales, u × v es un vector que tiene:
módulo: |u| · |v| · sen(u, v ).
dirección: perpendicular a los vectores u y v.
sentido: el del avance de un sacacorchos que gira desde u a v.

13.7. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES 101
j
B
u
v
u × vT
(2) Si u = 0 ó v = 0 ó u y v son proporcionales, se tiene que u × v = O
- Interpretación geométrica del producto vectorial
Sean u y v los vectores de la figura adjunta
E

C
B
O Au B
v
Se tiene que:
sen(u, v ) =
cateto opuesto
hipotenusa
=
|
−−→
BB |
|v|
⇒ |
−−→
BB | = |v| · sen(u, v )
⇒ (multiplicando por |u|) ⇒ |u| · |
−−→
BB | = |u| · |v| · sen(u, v ) = |u × v|
Por tanto, el módulo del vector producto vectorial de u y v es igual al producto de la
base (|u|) por la altura (|
−−→
BB |) del paralelogramo OACB, es decir
|u × v| = área del paralelogramo OACB.
- Propiedades del producto vectorial
(1) Anticonmutativa: u × v = −(v × u)
(2) Homogénea: (ku) × v = k(u × v) = u × (kv)
(3) Distributiva respecto a la suma de vectores: u × (v + w) = (u × v) + (u × w)
- Expresión anal´ıtica del producto vectorial
Sea B = {ı, , k} una base ortonormal de V 3
, u = (x, y, z), v = (x , y , z ) dos vectores
libres del espacio; el vector u × v tiene las siguientes componentes:
u × v =
y z
y z
,
z x
z x
,
x y
x y
es decir:
u × v =
ı  k
x y z
x y z

- Ejemplo:
(2, 1, 0) × (−1, 3, 2) =
ı  k
2 1 0
−1 3 2
= 2ı + 6k + k − 4 = 2ı − 4 + 7k = (2, −4, 7)
13.8 Producto mixto de tres vectores libres
El producto mixto de tres vectores libres de V 3
, u ,v y w es un número real que se
designa por [u, v, w] (ó también por (u, v, w)) y que se obtiene del siguiente modo:
[u, v, w] = u · (v × w)
- Interpretación geométrica del producto mixto
El valor absoluto del producto mixto de tres vectores u, v y w es igual al volumen del
paralelep´ıpedo que tiene por aristas los vectores u, v y w.
T
E

#
vO
w
u
v × w
- Expresión anal´ıtica del producto mixto
Sea B = {ı, , k} una base ortonormal de V 3
, u = (x, y, z), v = (x , y , z ) y v =
(x , y , z ) tres vectores libres del espacio; aplicando las expresiones anal´ıticas del producto
vectorial y del producto escalar, obtenemos las del producto mixto del siguiente modo:
[u, v, w] = u · (v × w) = (xı + y + zk) ·
y z
y z
ı +
z x
z x
 +
x y
x y
k
= x
y z
y z
+ y
z x
z x
+ z
x y
x y
=
x y z
x y z
x y z
= det(u, v, w)
As´ı pues: [u, v, w] = det(u, v, w).
- Propiedades del producto mixto
(1) [u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v]
(2) [u, v, w] = −[u, w, v] = −[v, u, w] = −[w, v, u]
(3) [u, v, w] = 0 si y sólo si u ,v y w son linealmente dependientes.
(4) [au, bv, cw] = abc[v, w, u]
(5) [u + u , v, w] = [u, v, w] + [u , v, w]

13.9. ESPACIO AFÍN 103
13.9 Espacio af´ın
El espacio af´ın es la terna (IR3
, V 3
, f) donde:
- IR3
= {A, B, C, . . .} puntos del espacio.
- V 3
= {a, b, c, . . .} espacio vectorial de los vectores libres.
- f es la aplicación que asocia a cada par de puntos (A, B) del espacio el vector libre que
tiene por representante
−→
AB. Esta aplicación f verifica las siguientes condiciones:
(1) f(A, B) = −f(A, B); es decir,
−→
AB = −
−→
BA.
(2) f(A, B) + f(B, C) + f(C, A) = O; es decir
−→
AB +
−→
BC +
−→
CA = O.
(3) Cualquiera que sea el punto A de IR3
, y cualquiera que sea v de V 3
, existe un
único punto B tal que f(A, B) =
−→
AB = v.
Al espacio V 3
se le llama espacio vectorial asociado al espacio af´ın. La dimensión del
espacio af´ın es la misma que la del espacio vectorial asociado. En consecuencia, la dimensión
del espacio af´ın (IR3
, V 3
, f) es tres.
Se llama sistema de referencia af´ın del espacio (IR3
, V 3
, f) al par R = (O, B), donde O
es un punto arbitrario que se elige como origen y B es una base del espacio vectorial V 3
.
13.10 Espacio af´ın eucl´ıdeo
El espacio af´ın eucl´ıdeo es un espacio af´ın en el que V está dotado de un producto escalar.
Es decir, es una terna (IR3
, (V 3
·), f), donde (·) representa el producto escalar. Se llama
sistema de referencia ortonormal del espacio al par R = (O, B), donde O es un punto
arbitrario que se elige como origen y B es una base ortonormal del espacio vectorial eucl´ıdeo
V 3
.
Con esta nueva estructura ya se puede hablar de propiedades derivadas de ella tales
como:
- distancias: entre puntos, rectas y planos.
- ángulos: entre rectas y planos; perpendicularidad.
- áreas: de triángulos, de paralelogramos, de pol´ıgonos.
- volúmenes: de tetraedros, de paralelep´ıpedos, de poliedros.

T13.1 Dados los vectores u = (2, −3, 5) y v = (6, −1, 0), halla:
(1) Los módulos de u y v.
(2) El producto escalar de u y v.
(3) El coseno del ángulo que forman.
(4) La proyección del vector u sobre v.
(5) La proyección de v sobre u.
(6) Halla m para que el vector (m, 2, 3) sea ortogonal a u.
T13.2 Comprueba si los vectores ı = (1, 0, 0),  = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) son ortogonales. Halla
sus módulos.
T13.3 Dados los vectores u = (3, 1, −1) y v = (2, 3, 4), halla:
(1) Los módulos de u y v.
(2) El producto vectorial de u y v.
(3) Un vector unitario ortogonal a u y v.
(4) El área del paralelogramo que tiene por lados los vectores u y v.
T13.4 Dados los vectores u = 3ı −  + k y v = ı +  + k, halla su producto vectorial. Comprueba
que el vector hallado es ortogonal a u y v.
T13.5 Calcula los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y
(2, 1, −1).
T13.6 Dados los vectores u1 = (2, 0, 0), u2 = (0, 1, −3) y u3 = au1 + bu2, ¿qué relación deben
satisfacer a y b para que el módulo de u3 sea la unidad?
T13.7 Halla dos vectores de módulo 1 y ortogonales a (2, −2, 3) y (3, −3, 2).
T13.8 Dados los vectores u = (2, 1, 3), v = (1, 2, 3) y w = (−1, −1, 0), halla el producto mixto
[u, v, w].
T13.9 Halla el volumen del paralelep´ıpedo que tiene por aristas los vectores del ejercicio anterior.
T13.10 Dada la base B = { 1√
5
, 0, 2√
5
, 0, −2√
5
, 1√
5
, −2√
5
, 1√
5
, 0 } comprueba si es normada,
ortogonal u ortonormal.
T13.11 Halla un vector perpendicular a u = (2, 3, 4) y v = (−1, 3, −5), y que, además, sea unitario.
T13.12 Dados los vectores u = (2, 4, 5) y v = (3, 1, 2), halla el módulo del vector u − v.
T13.13 Demuestra que el vector a = (b · c)d − (b · d)c es ortogonal al vector b.
T13.14 Demuestra que si dos vectores tienen el mismo módulo, entonces los vectores suma y
diferencia son ortogonales.
T13.15 Dados los vectores u = 3ı −  + k y v = 2ı − 3 + k, halla el producto u × v y comprueba
que este vector es ortogonal a u y a v. Halla el vector v × u y compáralo con u × v.
T13.16 Sean u y v dos vectores tales que (u+v)2
= 25 y (u−v)2
= 9. Calcula el producto escalar
de u y v.
T13.17 Sean u y v dos vectores tales que |u| = 9 y (u + v) · (u − v) = 17. Calcula el módulo de v.
T13.18 Dos vectores a y b son tales que |a| = 10, |b| = 10
√
3, y |a + b| = 20. Halla el ángulo que
forman los vectores a y b.
T13.19 ¿Puede ser el módulo de la suma de dos vectores de módulos 10 y 5, mayor que 15? ¿Y
menor que 4?
T13.20 Un vector de módulo 10 se descompone en suma de otros dos de módulos iguales y que
forman un ángulo de 45◦
. Halla el módulo de cada uno de los vectores sumandos.

Tema 14 Ecuaciones de rectas y planos
A lo largo del tema nos moveremos en el espacio eucl´ıdeo IR3
con el sistema de referencia
ortonormal R = {O, ı, , k} donde ı = (1, 0, 0),  = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1).
14.1 Coordenadas de un vector libre
Vamos a expresar las coordenadas de un vector libre
−→
AB en función de las coordenadas
de su origen A y su extremo B. Si representamos por a y b los vectores de posición de A y
B, respectivamente, se tiene:
T
E
©
0
QX
k

ı
a b
A=(x1,y1,z1)
B=(x2,y2,z2)
a +
−→
AB = b ⇒
−→
AB = b − a
Si A = (x1, y1, z1) y B = (x2, y2, z2) son las coordenadas
de A y B, sustituyendo en la expresión anterior se tiene:
−→
AB = (x2, y2, z2) − (x1, y1, z1) = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
14.2 Coordenadas del punto medio de un segmento
Sean A y B dos puntos distintos,
−→
AB el segmento que determinan, y M el punto medio
de dicho segmento. Entonces se verifica:
#
0Q
!
O
A
M
B
a
−→m b
−−→
AM =
1
2
−→
AB
Si representamos por a, b y −→m los vectores de posición de los puntos
A, B y M respectivamente, se tiene:
−→m = a +
−−→
AM = a +
1
2
−→
AB = a +
1
2
(b − a) =
1
2
(a + b)
es decir, −→m = 1
2 (a + b)
Si A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) y M = (xm, ym, zm) son las coordenadas de A, B y M,
sustituyendo en la expresión vectorial anterior se tiene:
(xm, ym, zm) =
1
2
[(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)], es decir:
xm =
1
2
(x1 + x2), ym =
1
2
(y1 + y2), zm =
1
2
(z1 + z2)
105

106 TEMA 14. ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS
14.3 Ecuación de la recta. Determinación lineal
Una recta r en el espacio queda determinada por un punto A y un vector u no nulo,
llamado vector director o vector de dirección de la recta; a la expresión r(A, u) se le llama
determinación lineal de la recta r.
- Expresión vectorial
B
A
u
X
r
Un punto cualquiera X pertenece a la recta r(A, u) si los
vectores
−→
AX y u son linealmente dependientes (proporcio-
nales). Por tanto:
−→
AX = tu, t ∈ IR
A
u
X
!

B
O
a x
Si a y x son los vectores de posición de los puntos A y X,
se tiene que:
x − a = tu, t ∈ IR
De donde:
x = a + tu, t ∈ IR es la ecuación vectorial de la recta.
- Expresión anal´ıtica
Si A = (x1, y1, z1) y X = (x, y, z) son las coordenadas de los puntos A y X, y u = (a, b, c),
sustituyendo estas coordenadas en la ecuación vectorial se tiene:
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c), t ∈ IR
De donde:
x = x1 + ta
y = y1 + tb
z = z1 + tc



t ∈ IR ecuaciones paramétricas de la recta.
Si despejamos el parámetro t de cada ecuación anterior, e igualamos, se obtiene:
x − x1
a
=
y − y1
b
=
z − z1
c
ecuaciones continuas de la recta.
Otra forma de determinar la recta es mediante un punto A y dos vectores n y n per-
pendiculares a r. El vector director de la recta se obtiene entonces haciendo el producto
vectorial n × n . As´ı, la recta queda determinada por r(A, n × n ).
- Puntos alineados
Tres o más puntos están alineados (o son colineales) cuando pertenecen a la misma
recta.
A1, A2, . . . , An están alineados ⇐⇒ Rango (
−−−→
A1A2,
−−−→
A1A3, . . . ,
−−−→
A1An) = 1

14.4. ECUACI ÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS 107
- Ejemplos
• Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A = (4, −3, 5) y tiene la dirección
determinada por el vector libre u = (2, −1, 7) en forma vectorial, paramétrica y continua:
- vectorial: (x, y, z) = (4, −3, 5) + t(2, −1, 7)
- paramétricas:



x = 4 + 2t
y = −3 − t
z = 5 + 7t
- continuas:
x − 4
2
=
y + 3
− 1
=
z − 5
7
• Comprobar si A1 = (1, 3, 2), A2 = (4, 2, 2) y A3 = (−2, 4, 2) están alineados:
−−−→
A1A2 = (4, 2, 2) − (1, 3, 2) = (3, −1, 0);
−−−→
A1A3 = (−2, 4, 2) − (1, 3, 2) = (−3, 1, 0)
Rango (
−−−→
A1A2,
−−−→
A1A3) = Rango ((3, −1, 0), (−3, 1, 0)) = 1; luego están alineados
14.4 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Recordemos que, dados dos puntos distintos, existe una única recta que pasa por ellos.
La recta r que pasa por dos puntos distintos A y B viene determinada por r = (A,
−→
AB)
B
A
X
r
B
Si X es un punto cualquiera de la recta, se verifica:
−→
AX = t
−→
AB, t ∈ IR
B
A
X
!

O
a
b x
B Si a y b son los vectores de posición de los puntos A y B, y
x el de un punto X cualquiera de la recta, se tiene:
x − a = t(b − a), t ∈ IR
De donde: x = a + t(b − a), t ∈ IR
es la ecuación vectorial de la
recta que pasa por dos puntos.
Si A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) y X = (x, y, z) son las coordenadas de los puntos A,
B, y X, sustituyendo estas coordenadas en la ecuación vectorial se tiene:
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t[(x2, y2, z2) − (x1, y1, z1)] t ∈ IR
De donde:
x = x1 + t(x2 − x1)
y = y1 + t(y2 − y1)
z = z1 + t(z2 − z1)



t ∈ IR
ecuaciones paramétricas de la

Despejando el parámetro t de las tres ecuaciones, e igualando, se obtiene:
x − x1
x2 − x1
=
y − y1
y2 − y1
=
z − z1
z2 − z1
ecuaciones continuas de la
14.5 Ecuación del plano
Un plano α en el espacio queda determinado mediante un punto A y dos vectores v y w
no nulos y no proporcionales que se llaman vectores direccionales del plano; a la expresión
α(A, v, w) se le llama determinación lineal del plano α.
jv
w
A
X X
Observando la figura, un punto cualquiera X pertenece
al plano α(A, v, w) si el vector
−→
AX depende linealmente
de v y w. Es decir:
−→
AX = tv + sw, t, s ∈ IR
o también: det(
−→
AX, v, −→w ) = 0
Si a y x son los vectores de posición de los puntos A y X respectivamente, se tiene que:
x − a = tv + sw, t, s ∈ IR
De donde:
x = a + tu + sw, t, s ∈ IR es la ecuación vectorial del plano.
Si A = (x1, y1, z1) y X = (x, y, z) son las coordenadas de los puntos A y X, y v = (a, b, c)
y w = (a , b , c ), sustituyendo estas coordenadas en la ecuación vectorial se tiene:
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) + s(a , b , c ), t, s ∈ IR
De donde:
x = x1 + ta + sa
y = y1 + tb + sb
z = z1 + tc + sc



t, s ∈ IR ecuaciones paramétricas del plano.
Si utilizamos la expresión vectorial det(
−→
AX, v, −→w ) = 0, se tiene:
x − x1 y − y1 z − z1
a b c
a b c
= 0
Desarrollando el determinante anterior, se llega a una expresión de la forma:
Ax + By + Cz + D = 0 que es la ecuación general o impl´ıcita del plano.

14.6. ECUACI ÓN NORMAL DEL PLANO 109
- Puntos coplanarios
Cuatro o más puntos son coplanarios cuando pertenecen a un mismo plano.
A1, A2, . . . , An son coplanarios ⇐⇒ Rango (
−−−→
A1A2,
−−−→
A1A3, . . . ,
−−−→
A1An) = 2
- Ejemplo
• Hallar la ecuación del plano determinado por el punto A = (6, 2, −1) y los vectores
v = (2, −1, 5) y w = (3, 2, 4) en forma vectorial, paramétrica y continua:
- vectorial: (x, y, z) = (6, 2, −1) + t(2, −1, 5) + s(3, 2, 4)
- paramétricas:



x = 6 + 2t + 3s
y = 2 − t + 2s
z = −1 + 5t + 4s
- general:
x − 6 y − 2 z + 1
2 −1 5
3 2 4
= 0
−4x + 24 + 4z + 4 + 15y − 30 + 3z + 3 − 10x + 60 − 8y + 16 = 0
−14x + 7y + 7z + 77 = 0 =⇒ −2x + y + z + 11 = 0
14.6 Ecuación normal del plano
Sea A un punto del plano α; cualquier punto X del plano α determina con A un vector
−→
AX. Si representamos por n un vector normal (perpendicular) al plano, se verifica:
n ·
−→
AX = 0 ⇐⇒ n · (x − a) = 0 que es la ecuación normal del plano.
La determinación normal del plano se representa por α(A, n)
Si A = (x1, y1, z1) y X = (x, y, z) son las coordenadas de los puntos A y X, y n =
(A, B, C) las de un vector normal al plano, sustituyendo en la ecuación vectorial se tiene:
A(x − x1) + B(y − y1) + C(z − z1) = 0
14.7 Ecuación del plano que pasa por tres puntos
Por tres puntos cualesquiera no alineados pasa un único plano. Sean A, B y C esos tres
puntos. El plano α en cuestión tiene por determinación lineal α(A,
−→
AB,
−→
AC).
Si X es un punto cualquiera del plano, se verifica:
det (
−→
AX,
−→
AB,
−→
AC) = 0

Si A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2), C = (x3, y3, z3) y X = (x, y, z) son las coordenadas
de los puntos A, B, C y X, se tiene:
x − x1 y − y1 z − z1
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
= 0
14.8 Ecuación del plano determinado por una recta y
un punto exterior
Sea r una recta del espacio af´ın eucl´ıdeo y P un punto no perteneciente a la recta r.
Entonces existe un único plano que pasa por P y contiene a la recta r.
Sea r(A, u) una determinación lineal de la recta r, y P un punto exterior a ella; la
determinación lineal del plano α ser´ıa:
α(A, u,
−→
AP)
Si X es un punto cualquiera del plano, se tiene:
det (
−→
AX, u,
−→
AP) = 0
Si A = (x1, y1, z1), P = (x2, y2, z2) y X = (x, y, z) son las coordenadas de los puntos
A, P y X, y u = (a, b, c), se tiene:
x − x1 y − y1 z − z1
a b c
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
= 0
Desarrollando este determinante se obtiene la ecuación impl´ıcita del plano.
- Ejemplo
Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P = (2, −1, 5) y por la recta dada por
la ecuación
x − 1
6
=
y + 3
7
=
z − 2
9
La recta dada pasa por A = (1, −3, 2) y tiene dirección u = (6, 7, 9). Por tanto el plano
pedido es:
x − 1 y + 3 z − 2
6 7 9
2 − 1 −1 + 3 5 − 2
=
x − 1 y + 3 z − 2
6 7 9
1 2 3
= 0
es decir, 21(x − 1) + 12(z − 2) + 9(y + 3) − 7(z − 2) − 18(x − 1) − 18(y + 3) = 0 ⇒
3x − 9y + 5z − 40 = 0

T14.1 Dado el vector
−→
AB = (2, 3, 4) y el punto B(5, −3, 7), halla las coordenadas del punto A.
T14.2 Comprueba si los vectores
−→
AB y
−→
CD son equipolentes, si A(2, 1, 3), B(5, 4, 1), C(2, 1, 5)
y D(3, 2, −1). En caso negativo, halla las coordenadas del punto D’ para que
−→
AB y
−−→
CD sean
equipolentes.
T14.3 Dados los puntos A(2, −1, 2) y B(3, 5, 7) halla las coordenadas del vector
−→
AB y su módulo.
T14.4 Dados los puntos A(3, −2, 5) y B(3, 1, 7), halla las coordenadas del punto medio del segmento
AB.
T14.5 Las coordenadas de dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1, 0, 0) y B(0, 1, 0).
Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Halla las coordenadas de los vértices C y D.
T14.6 Dados los vértices A(3, 3, 6) y B(6, 12, 18), que determinan el segmento AB, halla las coor-
denadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales.
T14.7 Las coordenadas de los puntos medios de los lados de un triángulo ABC son M(1, 0, 0),
N(0, 1, 0) y P(0, 0, 1). Halla las coordenadas de los vértices A, B y C.
T14.8 En un triángulo ABC el baricentro es G(1, 2, 1). El punto medio de BC es M(2, 4, 6) y el
punto medio de AC es N(3, 2, 1). Halla las coordenadas de los vértices A, B, y C.
T14.9 Halla el baricentro del tetraedro de vértices A(2, 1, 3), B(4, −1, 3), C(2, 2, 5) y D(8, −3, 5).
T14.10 Halla las ecuaciones de las medianas del triángulo de vértices A(2, 3, 4), B(1, −1, 5) y
C(5, 5, 4).
T14.11 Halla las coordenadas del baricentro del triángulo ABC del ejercicio anterior, as´ı como
el baricentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo anterior.
¿Cómo son ambos baricentros?
T14.12 Dados los puntos A(2, 3, 9) y B(1, −2, 6) halla tres puntos P, Q y R que dividen al segmento
AB en cuatro partes iguales.
T14.13 Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 3, 4) y B(8, −2, 3). Comprueba
si el punto C(2, 1, 3) está alineado con A y B.
T14.14 Comprueba si los puntos A(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2) están alineados.
T14.15 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (8, 2, 3) y lleva la dirección del vector
.
T14.16 Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(1, 0, 1) y tiene por vectores directores
v = 2ı −  y w = 3 + 2k.
T14.17 Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(2, 0, 0), B(0, 4, 0) y C(0, 0, 7).
T14.18 Comprueba si los planos que pasan por por los puntos A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, −1),
y por los puntos A (3, 0, 0), B (0, 6, 0) y C (0, 0, −3) tienen el mismo vector normal.
T14.19 Comprueba si los puntos A(1, 2, 3), B(4, 7, 8), C(3, 5, 5), D(−1, −2, −3) y E(2, 2, 2) son
coplanarios.
T14.20 Halla la ecuación del plano que pasa por la recta x = 2t, y = 3 + t, z = 1 − t, y por el
punto A(2, −1, 2).
T14.21 Escribe la ecuación del plano que pasa por el origen y por la recta de ecuaciones:
x − 3
3
=
y + 2
−2
=
z − 1
1

Tema 15 Posiciones de rectas y planos
15.1 Posiciones de dos planos
Las posiciones de dos planos en el espacio son tres:
• planos secantes: tienen en común los puntos de una recta.
• planos paralelos: no tienen ningún punto en común.
• planos coincidentes: tienen todos sus puntos en común.
Consideremos los planos dados por las ecuaciones generales:
α : Ax + By + Cz + D = 0
β : A x + B y + C z + D = 0
Estudiar las posiciones de estos planos equivale a discutir el sistema formado por sus
ecuaciones. Las matrices de coeficientes, M, y la ampliada, M∗
, son:
M =
A B C
A B C
M∗
=
A B C D
A B C D
Según los valores del rango de M y de M∗
, se presentan los siguientes tres casos:
- Caso 1: rango(M) = rango(M∗
) = 2
β
α
r
El sistema es compatible indeterminado (por el Teorema de
Rouché). Las infinitas soluciones dependen de un parámetro.
Por tanto los planos se cortan en una recta y son secantes.
De hecho, el sistema formado por los dos planos secantes
son las ecuaciones impl´ıcitas de la recta que determinan y su
vector direccional viene dado por:
−→ur = (A, B, C) × (A , B C )
- Caso 2: rango(M) = 1 y rango(M∗
) = 2
β
α El sistema es incompatible. Los planos no tiene ningún punto
en común, y por tanto son paralelos y distintos.
) = 1
α ≡ β
El sistema es compatible indeterminado. Las dos ecuaciones
son proporcionales y tienen las mismas soluciones, por tanto, los
planos tienen todos sus puntos en común, es decir, son coinciden-
tes.
112

15.2. POSICIONES DE TRES PLANOS 113
15.2 Posiciones de tres planos
Consideremos tres planos dados por sus ecuaciones generales:
α : Ax + By + Cz + D = 0
β : A x + B y + C z + D = 0
γ : A x + B y + C z + D = 0
Las matrices de coeficientes, M, y la ampliada, M∗
, son:
M =


A B C
A B C
A B C

 M∗
=


A B C D
A B C D
A B C D


Según los valores del rango de M y de M∗
, se presentan los siguientes casos:
) = 3
P
γ
β
α
El sistema es compatible determinado. Los tres pla-
nos se cortan en un punto que se obtiene resolviendo el
sistema.
) = 3
El sistema es incompatible. Los tres planos no tienen ningún punto en común. Las dos
posiciones posibles son:
Los planos se cortan dos a dos
βγ
α
(2a)
Dos planos son paralelos y el otro los corta
(2b)
β
α
γ
) = 2
El sistema es compatible indeterminado. Existen por lo tanto dos ecuaciones indepen-
dientes y la otra es combinación lineal de ellas. Los tres planos tienen infinitos puntos en
común. Si tomamos los dos planos independientes, se cortan en una recta, que son los infi-
nitos puntos solución del sistema. El otro plano pasará entonces por la misma recta común.
Es decir, los planos son secantes en una recta. Las dos posiciones posibles son:
(3a)
r
β
α
γ
(3b)
r
α
γ
β
Los tres planos son distintos y se cortan
en una recta
Dos planos son coincidentes y el otro los corta

114 TEMA 15. POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS
) = 2
El sistema es incompatible. Por ser rango(M)=1, los tres planos son paralelos pero no
coincidentes ya que rango(M∗
)=2. Las dos posiciones posibles son:
β
α
γ
βα
γ
Los tres planos son paralelos y distintos
dos a dos
Dos planos son coincidentes y el otro paralelo y
distinto
) = 1
α ≡ β ≡ γ
El sistema es compatible determinado. El sistema se reduce
a una sola ecuación y los planos son coincidentes.
15.3 Haces de planos
15.3.1 Haz de planos paralelos
Si tenemos un plano de ecuación general: Ax + By + Cz + D = 0
los planos paralelos al mismo son de la forma:
Ax + By + Cz + K = 0, con K ∈ IR
15.3.2 Haz de planos secantes
Si dos planos son secantes en una recta, la ecuación de un tercer
plano que pasa por esa recta es combinación lineal de las de los dos
anteriores, es decir, se puede escribir que:
A x + B y + C z + D = t(Ax + By + Cz + D) + s(A x + B y + C z + D ) = 0
Se llama haz de planos secantes al conjunto de planos que pasan por una recta que se llama
arista del haz. Éste queda determinado por dos planos distintos del mismo. Su ecuación es
t(Ax + By + Cz + D) + s(A x + B y + C z + D ) = 0, con s, t ∈ IR
15.4 Posiciones de recta y plano
Las posiciones de una recta y un plano en el espacio son:

15.4. POSICIONES DE RECTA Y PLANO 115
• recta y plano secantes: tienen un punto en común.
• recta y plano paralelos: no tienen ningún punto en común.
• recta contenida en el plano: todos los puntos de la recta pertenecen al plano.
Consideremos la recta y el plano dados por las ecuaciones generales:
r :
Ax + By + Cz + D = 0
A x + B y + C z + D = 0
α : A x + B y + C z + D = 0
Consideremos las matrices de coeficientes, M, y la ampliada, M∗
:
M =


A B C
A B C
A B C

 M∗
=


A B C D
A B C D
A B C D


) = 3
α
P
r
El sistema es compatible determinado. Los tres planos
(α y los dos que determinan la recta r) se cortan en un
único punto. Por tanto la recta y el plano son secantes.
El punto en común se obtiene resolviendo el sistema.
) = 3
α
r
El sistema es incompatible. Los tres planos no tiene
ningún punto en común, y por tanto la recta y el plano son
paralelos.
) = 2
r α
El sistema es compatible indeterminado. Los tres pla-
nos tienen una recta en común, contenida en los tres planos.
En la práctica, para ver la posición de una recta y un plano se observa la ortogonalidad
o no de los vectores ur (vector director de la recta) y nα (vector normal al plano α):
• Si ur y nα son no ortogonales, la recta y el plano son secantes.
• Si ur y nα son ortogonales, la recta y el plano son paralelos.

15.5 Posiciones de dos rectas
Las posiciones de dos rectas en el espacio son:
• rectas secantes: tienen un punto en común.
• recta paralelas: no tienen ningún punto en común y ambas rectas están en un mismo
plano.
• rectas cruzadas: no tienen ningún punto en común y ambas rectas no están en un
mismo plano.
• rectas coincidentes: tienen todos los puntos en común.
Consideremos las rectas r y s dadas por las ecuaciones generales:
r :
Ax + By + Cz + D = 0
A x + B y + C z + D = 0
s :
A x + B y + C z + D = 0
A x + B y + C z + D = 0
Las matrices de coeficientes, M, y la ampliada, M∗
son:
M =




A B C
A B C
A B C
A B C



 M∗
=




A B C D
A B C D
A B C D
A B C D




El rango m´ınimo que puede tener M es 2, ya que los dos primeros planos y los dos
últimos son secantes (si no, no formar´ıan las ecuaciones de una recta). Según los rangos de
M y M∗
se tienen los siguientes casos:
) = 4
Sistema incompatible. Las rectas se cruzan.
) = 3
Sistema compatible determinado. Las rectas se cortan en un punto; es decir, son secantes.
) = 3
Sistema incompatible. Las rectas son paralelas.
) = 2
Sistema compatible indeterminado. Las rectas son coincidentes.
A
r
s
α s rα r s α r
s
α
Rectas secantes Rectas paralelas Rectas cruzadas Rectas coincidentes

T15.1 Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(1, 0, 0) y es paralelo al plano dado por
x − 2y + 4z + 2 = 0.
T15.2 Halla la ecuación del plano determinado por las rectas:
r :
x − 1
1
=
y + 1
2
=
z − 2
3
y s :
x
1
=
y − 2
2
=
z − 3
3
T15.3 Halla la ecuación de la recta s que pasa por el punto A(1, 0, 1) y es paralela a la recta r
intersección de los planos:
α : x + y + z − 3 = 0
β : 2x − 2y + z − 1 = 0
T15.4 Escribe la ecuación del plano que pasa por el origen y es paralelo a las rectas
r :
x − 3
2
=
y − 7
3
=
z − 8
4
y s : x = y = z
T15.5 Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(1, 1, 2) y es paralelo a las rectas:
r :
3x + y = 0
4x + z = 0
y s :
2x − 2y = 4
y − z = −3
T15.6 Dados los puntos A(1, 0, 2), B(0, 1, 3), C(−1, 2, 0) y D(2, −1, 3), halla la ecuación del plano
α que contiene a la recta que pasa por AB y es paralelo a la recta que pasa por CD.
T15.7 Halla la ecuación del plano α que pasa por el punto A(1, 0, 0) y contiene a la recta
r :
x = 2 + t
y = 3 − 3t
z = 4 + 2t
T15.8 Determina la posición relativa del plano α : 3x − 2y + z − 3 = 0, y la recta de ecuación:
r :
x − 1
3
=
y
2
= z + 3
T15.9 Determina m y n para que los planos 6x − my + 4z + 9 = 0 y 9x − 3y + nz − n = 0 sean
paralelos.
T15.10 Indica qué posición especial respecto de los ejes tienen los planos en que uno o tres de los
coeficientes de la ecuación Ax + By + Cz + D = 0 sean nulos.
T15.11 ¿Pertenece el plano x + y + z + 2 = 0 al haz determinado por la recta
r :
x + 2y − z − 1 = 0
x − 3y + 4z + 2 = 0
?
T15.12 Estudia la intersección de los planos:
x − y + z = 0
3x + 2y − 2z = 1
5x = 1
especificando si es vac´ıa, o se trata de un punto, de una recta o de otra figura.

T15.13 Estudia la posición relativa de los planos:
2x + 3y − 5z + 7 = 0
3x + 2y + 3z − 1 = 0
7x + 8y − 7z + 13 = 0
T15.14 Discute la posición de los planos según el valor de k:
x + y + z = 2
2x + 3y + z = 3
kx + 10y + 4z = 11
T15.15 Discute la posición de los planos según los valores de a:
3x − ay + 2z − (a − 1) = 0
2x − 5y + 3z − 1 = 0
x + 3y − (a − 1)z = 0
T15.16 Estudia la posición relativa de los siguientes planos según los valores de a:
ax + y + z = 1
x + ay + z = 1
x + y + az = 1
T15.17 Estudia la posición relativa que ocupan en el espacio los siguientes planos:



7x + 8y − z = 0
x − y = −4
2x + 3y − 5z = −1
x + y = 0
T15.18 Estudia la posición relativa de los cuatro planos del espacio:



x − 2y + z = 0
−x + y + bz = 1
2x − 2y + z = 1
ax − 2y + z = −3
T15.19 Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(−1, 2, 0) y contiene a la recta
r :
x − 2y + z − 3 = 0
y + 3z − 5 = 0
T15.20 Halla la ecuación del plano que pasa por la recta
r :
x − 1
2
=
y − 1
3
=
z
1
y es paralelo a la recta s que pasa por los puntos B(2, 0, 0) y C(0, 1, 0).
T15.21 Halla la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y contiene a la recta
r :
x − 1
2
=
y − 1
3
=
z − 1
4

T15.22 Dada r, recta determinada por las ecuaciones:
x − 2y − 2z = 1
x + 5y − z = 0
y el plano α : 2x + y + mz = n; halla m y n de modo que:
(1) r y α sean secantes,
(2) r y α sean paralelos,
(3) r esté contenida en α.
T15.23 Determina un plano que contiene a la recta
r :
x + y − 1 = 0
2x − y + z = 0
y es paralelo a la recta
s :
x − 1
2
=
y
3
=
z + 2
−4
T15.24 Determina la posición relativa de las rectas
r : x = −y = −z y s : z = 2, y = x + 2
T15.25 Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen y corta a las rectas:
r : x = 2y = z − 1 y s :
x
2
=
y − 1
3
= z
T15.26 Dadas las rectas del espacio:
r :
x = z − 1
y = 2 − 3z
y s :
x − 4 = 5z
y = 4z − 3
(1) Decir si se cortan, son paralelas, o se cruzan.
(2) Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen y corta a las rectas dadas.
T15.27 Halla la ecuación y el vector direccional de la recta que pasa por el punto A(1, 1, 2) y corta
a las rectas:
r :
x − 1
3
=
y
2
=
z − 1
−1
y s :
x
2
=
y
1
=
z + 1
2
T15.28 Halla las ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por el punto A(0, 1, 2) y es paralela
a la recta:
r :
x − 1
2
=
y − 2
3
=
z − 1
5
T15.29 Estudia y resuelve el sistema:
x + 3y − 2z = 0
2x − y + z = 0
4x − 5y − 3z = 0
¿Qué figura forman los puntos que tienen por coordenadas las soluciones del sistema?
T15.30 Determina a y b para que los planos de ecuaciones
2x − y + z = 3
x − y + z = 2
3x − y − az = b
se corten en una recta r. Halla también la ecuación del plano que contiene a la recta r y pasa por
el punto P(2, 1, 3).

T15.31 Estudia si las siguientes rectas del espacio
r :
2x + z = 9
y = 1
y s :
x + y = 0
−x + 2y + 2z = 5
se cortan, son paralelas o se cruzan. Halla el plano que contiene a s y es paralelo a r.
T15.32 Se consideran las rectas:
r :
x − 3
2
=
y − 3
−1
=
z + a
2
y s :
x = 1 + 4t
y = −1 + 3t
z = −4 + 5t
Determina a para que las rectas r y s se corten. ¿Pueden ser coincidentes?
T15.33 Determina a para que las rectas
r :
x − 2z = 1
y − z = 2
y s :
x + y + z = 1
x − 2y + 2z = a
estén situadas en un mismo plano. Halla la ecuación de este plano.
T15.34 Averigua para qué valor de m la recta
r :
x + 2y + z − m = 0
2x − y − z + 2 = 0
se corta con la recta
s :
x − 1
2
=
y + 1
3
=
z − 4
5

Tema 16 Problemas métricos
16.1 Ángulo de dos rectas
El ángulo de dos rectas r y s que se cortan es el menor de los ángulos que forman en el
plano que determinan.
Ar
r
As
sus
ur
B
j
Sean las rectas r y s cuyas determinaciones lineales son
r(Ar, ur) y s(As, us) respectivamente. Se tiene:
cos(r, s) = | cos(ur, us)| =
|ur · us|
|ur| · |us|
para que salga el menor
de los ángulos
Si los vectores direccionales de las dos rectas son ur = (a, b, c) y us = (a , b , c ), sustitu-
yendo en la expresión anterior resulta:
cos(r, s) =
|aa + bb + cc |
√
a2 + b2 + c2 ·
√
a 2 + b 2 + c 2
- Ortogonalidad o perpendicularidad de rectas
Dos rectas r y s son perpendiculares cuando el ángulo que forman es de 90◦
. En este
caso el producto escalar de los vectores direccionales ur y us es cero:
r⊥s ⇐⇒ ur · us = 0 ⇐⇒ aa + bb + cc = 0
16.2 Ángulo de dos planos
El ángulo de dos planos secantes α y β es el menor de los ángulos diedros (formados por
dos caras) que determinan.
T
B
nα
nβ
α
β Sean los planos α y β cuyas determinaciones normales
son α(Aα, nα) y β(Aβ, nβ) respectivamente. Se tiene
cos(α, β) = | cos(nα, nβ)| =
|nα · nβ|
|nα| · |nβ|
para que salga el menor
de los ángulos
121

122 TEMA 16. PROBLEMAS MÉTRICOS
Si los planos vienen dados por las ecuaciones generales:
α : Ax + By + Cz + D = 0
β : A x + B y + C z + D = 0
entonces los vectores normales al plano son:
nα = (A, B, C) y nβ = (A , B , C )
y sustituyendo en la expresión anterior, resulta:
cos(α, β) =
|AA + BB + CC |
√
A2 + B2 + C2 ·
√
A 2 + B 2 + C 2
- Ortogonalidad o perpendicularidad de planos
Dos planos α y β son perpendiculares cuando el ángulo que forman los vectores normales
es de 90◦
. Es decir, cuando el producto escalar de los vectores nα y nβ es cero:
α⊥β ⇐⇒ nα · nβ = 0 ⇐⇒ AA + BB + CC = 0
16.3 Ángulo de recta y plano
El ángulo de una recta r y un plano α es el ángulo que forma la recta r con la recta r ,
proyección de la recta r sobre el plano α.
T
B
nα
ur
α
r
r
Estos dos ángulos
son complementarios
Si la recta r y el plano α tienen por determinaciones
r(Ar, ur) y α(Aα, nα) respectivamente, resulta que:
sen(r, α) = | cos(ur, nα)| =
|ur · nα|
|ur| · |nα|
Si ur = (a, b, c) y nα = (A, B, C), sustituyendo en lo anterior, resulta:
sen(r, α) =
|aA + bB + cC|
√
a2 + b2 + c2 ·
√
A2 + B2 + C2
- Ortogonalidad o perpendicularidad de planos
Una recta r y un plano α son perpendiculares cuando el vector director de la recta ur =
(a, b, c) y el vector normal del plano nα = (A, B, C) son paralelos, es decir, las coordenadas
de los vectores son proporcionales.
r⊥α ⇐⇒ rango(ur, nα) = 1 ⇐⇒
a
A
=
b
B
=
c
C
Una recta r y un plano α son paralelos si los vectores ur = (a, b, c) y nα = (A, B, C)
son ortogonales, es decir, cuando su producto escalar vale 0.
r α ⇐⇒ ur · nα = 0 ⇐⇒ aA + bB + cC = 0

16.4. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 123
16.4 Distancia entre dos puntos
Si A y B son dos puntos del espacio, la distancia entre ambos puntos coincide con el
módulo del vector
−→
AB, que es la longitud del segmento AB.
d(A, B) = |
−→
AB|
Si A = (x1, y1, z1) y B = (x2, y2, z2) son las coordenadas de los puntos A y B, entonces
las coordenadas del vector
−→
AB son:
−→
AB = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
y por tanto, la distancia de A a B es
d(A, B) = |
−→
AB| = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
16.5 Distancia de un punto a un plano. Distancia entre
planos paralelos
La distancia de un punto P a un plano α es la distancia medida desde P hasta el punto
más cercano de α. Esta distancia coincide con la longitud del segmento QP, donde Q es la
proyección ortogonal de P sobre α.
Q
nα
α
Aα
P
T
90◦

X
T
La distancia del punto P al plano α es el módulo
del vector
−→
QP, es decir,
d(P, α) = |
−→
QP|
En el triángulo rectángulo AαQP se tiene:
−−→
AαP =
−−→
AαQ +
−→
QP
Multiplicando escalarmente por el vector normal nα se tiene:
−−→
AαP · nα =
−−→
AαQ · nα
0
+
−→
QP · nα
|
−→
QP|·|nα|
=
−→
QP · nα
son ortogonales → ← forman un ángulo de 0◦
Por tanto
d(P, α) = |
−→
QP| =
|
−−→
AαP · nα|
|nα|

Sea la ecuación general del plano
Ax + By + Cz + D = 0
Sea A = (x0, y0, z0) un punto cualquiera perteneciente al plano, nα el vector normal al plano,
y P = (x1, y1, z1) el punto dado. Sustituyendo en la expresión anterior resulta:
d(P, α) =
|(x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0) · (A, B, C)|
|(A, B, C)|
=
|Ax1 + By1 + Cz1 − Ax0 − By0 − Cz0|
√
A2 + B2 + C2
Puesto que −Ax0 − By0 − Cz0 = D por ser A = (x0, y0, z0) un punto del plano se tiene
finalmente que:
d(P, α) =
|Ax1 + By1 + Cz1 + D|
√
A2 + B2 + C2
- Distancia entre planos paralelos
La distancia entre dos planos paralelos α y β es igual a la distancia de un punto cual-
quiera de un plano al otro plano.
d(α, β) = d(Pα, β) = d(Pβ, α)
16.6 Distancia de un punto a una recta. Distancia
entre rectas paralelas
La distancia de un punto P a una recta r es la distancia medida desde P hasta el punto
más cercano de r. Esta distancia coincide con la longitud del segmento QP, donde Q es la
proyección ortogonal de P sobre la recta.
Consideremos una recta r dada por la determinación lineal r(Ar, ur) y un punto P
exterior a ella.
T
E E
QurAr
P
r
La distancia del punto P a la recta r es el módulo
del vector
−→
QP, es decir,
d(P, r) = |
−→
QP|
En el triángulo rectángulo ArQP se tiene:
−−→
ArP =
−−→
ArQ +
−→
QP

16.7. DISTANCIA ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN 125
Multiplicando vectorialmente por el vector ur, resulta:
−−→
ArP × ur =
−−→
ArQ × ur
0
+
−→
QP × ur
← ya que son paralelos
⇒ |
−−→
ArP × ur| = |
−→
QP × ur|
|
−→
QP|·|ur|
← sen 90 = 1
d(P, r) = |
−→
QP| =
|
−−→
ArP × ur|
|ur|
Sea A = (x0, y0, z0) un punto de la recta r, ur = (a, b, c) el vector direccional de la
misma y P = (x1, y1, z1). Sustituyendo en la expresi´on anterior resulta:
d(P, r) =
|(x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0) × (a, b, c)|
|(a, b, c)|
- Distancia entre planos paralelos
La distancia entre dos rectas paralelas r y s es igual a la distancia de un punto cualquiera
de una de ellas a la otra.
d(r, s) = d(Pr, s) = d(Ps, r)
16.7 Distancia entre rectas que se cruzan
La distancia entre dos rectas r y s que se cruzan es la existente entre el plano paralelo
a s que pasa por r y el plano paralelo a r que pasa por s.
Sean las rectas r y s dadas por las determinaciones lineales r(Ar, ur) y s(As, us), res-
pectivamente.
α
β
r
s
La distancia de la recta r a la recta s es igual a la
distancia del punto As al plano α(Ar, ur, us), es decir,
d(r, s) = d(As, α)

Puesto que la ecuación vectorial de la distancia de un punto P a un plano α es:
d(P, α) =
|
−−→
AαP · nα|
|nα|
Tomando para este caso Aα = Ar, P = As y nα = ur × us, se tiene:
d(r, s) = d(As, α) =
|
−−−→
ArAs · (ur × us)|
|ur × us|
que, por definición de producto mixto, queda finalmente:
d(r, s) =
|det(
−−−→
ArAs, ur, us)|
|ur × us|
16.7.1 Perpendicular común
Se llama perpendicular común de dos rectas que se cruzan a la recta que corta
ortogonalmente a cada una de ellas.
p
b
T
E rur
Ar
s
us
As
α
β
ur × us
La perpendicular común a las rectas r y s que se cru-
zan queda determinada por la intersección de los planos:
α(Ar, ur, ur × us) y β(As, us, ur × us)
Por tanto la expresión anal´ıtica de la perpendicular co-
mún es:
p :
det(
−−→
ArX, ur, ur × us) = 0
det(
−−→
AsX, us, ur × us) = 0
- Otro método: puntos genéricos
p
b
T
E rur
Pr
s
us
Ps
α
β
−−→
PrPs
Con este método se calculan los puntos Pr y Ps, inter-
sección de la perpendicular común con las rectas r y s
respectivamente. Una vez hallados éstos, la perpendicu-
lar común es la recta PrPs y la distancia entre las rectas
coincide con |
−−→
PrPs|.
El punto Pr tiene por coordenadas genéricas las corres-
pondientes a las ecuaciones paramétricas de la recta r:
Pr = (x1 + ta, y1 + tb, z1 + tc) con Ar = (x1, y1, z1) y ur = (a, b, c)
De igual manera, las coordenadas de Ps son:
Ps = (x2 + sa , y2 + sb , z2 + sc ) con As = (x2, y2, z2) y us = (a , b , c )

16.8. ÁREAS DE PARALELOGRAMOS Y TRI ÁNGULOS 127
El vector
−−→
PrPs es perpendicular a los vectores ur y us, luego:
−−→
PrPs · ur = 0
−−→
PrPs · us = 0
Se obtiene as´ı un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (los parámetros t y s).
Calculadas éstas, se obtienen los puntos Pr y Ps.
16.8 Áreas de paralelogramos y triángulos
- Área del paralelogramo
A
C D
B
Sea ABCD un paralelogramo. Su área es la siguiente:
S(ABCD) = |
−→
AB ×
−→
AC|
- Área del triángulo
A
C
B
Sea ABC un triángulo. El área del triángulo es entonces la
mitad del área del paralelogramo.
S(ABC) =
1
2
|
−→
AB ×
−→
AC|
16.9 Volúmenes de paralelep´ıpedos y tetraedros
- Volumen del paralelep´ıpedo
A
C
D
B
!
E
B
Consideremos el paralelep´ıpedo cuyas aristas en el vér-
tice A determinan los vectores
−→
AB,
−→
AC y
−→
AD. El volu-
men del paralelep´ıpedo viene dado por:
V = |det(
−→
AB,
−→
AC,
−→
AD)|
- Volumen del tetraedro
A
C
D
B
!
E
B
El volumen del tetraedro es la sexta parte del volumen del
paralelep´ıpedo constru´ıdo sobre sus aristas.
V =
1
6
|det(
−→
AB,
−→
AC,
−→
AD)|

T16.1 Calcula el ángulo de las rectas
r :
x − 1
3
=
y + 1
4
=
z + 1
5
y s :
x + 1
−3
=
y + 2
−4
=
z − 1
5
T16.2 Dadas las rectas
r : 2x = y = z y s : 2x − 4 = y − 1 = z + 3
Halla el ángulo que forman y halla, si existe, el plano que las contiene.
T16.3 Halla el ángulo que forman los planos
x − y − 3z − 1 = 0
3x + 2y − z + 3 = 0
T16.4 Halla el ángulo que forman el plano α : 3x + y − 2z + 7 = 0 y la recta
r :
x − 2y − 8 = 0
3y + z + 8 = 0
T16.5 Un cubo tiene los vértices de una de sus caras en los puntos de coordenadas (cartesianas
regulares):
A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C(−3, 0, 0), D(0, −3, 0)
y los otros cuatro vértices A , B , C y D tienen su tercera coordenada positiva (siendo AA , BB , CC y
DD aristas del cubo).
(1) Determina razonadamente las ecuaciones de las seis caras del cubo y la de los planos ACB y
BDA .
(2) Determina el coseno del ángulo diedro formado por los dos últimos planos citados.
T16.6 Dada la recta de ecuación
x − 3
2
=
y
3
= z + 1
y los puntos A(1, 1, 0) y B(2, 0, −3), determina razonadamente:
(1) Las ecuaciones de los planos α y β que pasan por la recta r (es decir, la contienen) y, respec-
tivamente, por el punto A y por el punto B.
(2) El coseno del ángulo formado por las rectas r y AB.
T16.7 Determina razonadamente si las rectas
r :
x + y − 2z + 1 = 0
2x − y + z − 1 = 0
y s :
2x + y − z − 1 = 0
x − y − 2z + 1 = 0
se cortan o se cruzan. Halla también el coseno del ángulo que forman sus direcciones.
T16.8 Halla el ángulo que forma la recta r : x = y = z con la recta s :
x + z = 1
y = 0
T16.9 Dado el plano α de ecuación 2x−y+2z = 4 y el punto A(1, 3, −2), determina razonadamente:
(1) La distancia del punto al plano.
(2) Las coordenadas de la proyección ortogonal de A sobre α (es decir, del punto de intersección
con α de la recta perpendicular a α trazada por A.

T16.10 Halla la distancia entre los planos paralelos:
x + y + z − 3 = 0
3x + 3y + 3z − 5 = 0
T16.11 Halla la ecuación del plano paralelo al de ecuación
2x − 2y + z − 8 = 0
y que diste seis unidades del mismo.
T16.12 Dados los planos α y β de ecuaciones respectivas:
α : 2x − y + 2z = 2
β : −4x + 2y − 4z = 1
(1) Prueba que son paralelos y determina la distancia entre ellos.
(2) Determina la ecuación del plano perpendicular a ambos que pasa por el punto A en que el
plano α corta al eje OX y por el punto B en que el plano β corta al eje OY .
T16.13 Se considera el plano de ecuación x + 3y + z = 7, y los puntos A(1, 1, 1) y B(2, 1, −1).
(1) Comprueba que A y B están al mismo lado del plano.
(2) Encuentra el punto C situado sobre la perpendicular al plano que pasa por B, a igual distancia
del plano que B, pero al otro lado (es decir, C es simétrico de B respecto al plano).
(3) Determina el punto D en que la recta AC corta al plano.
(4) Comprueba que D es el punto del plano cuya suma de distancias a A y B es m´ınima.
T16.14 Determina un punto de la recta
r :
x − 1
2
=
y + 1
3
=
z + 2
2
que equidiste de los planos 3x + 4y − 1 = 0 y 4x − 3z − 1 = 0. ¿Es única la solución?
T16.15 Sea el punto A(1, 1, 3) y la recta r : x = t, y = 2 + t, z = 2t. Halla:
(1) La ecuación del plano perpendicular a la recta r que pasa por A.
(2) La intersección de este plano con la recta dada.
(3) El punto simétrico a A con respecto a r.

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