kj

1. NÚMEROS
ENTEROS

2. CLASE 1: NÚMEROS ENTEROS
• Operatoria de números enteros
• Opuesto y recíproco
• Múltiplos y divisores
• Mínimo común múltiplo (mcm) y
máximo común divisor (MCD)
• Antecesor y sucesor, números
primos y compuestos, paridad
• Comprender el conjunto de los números
enteros.
• Aplicar la operatoria de números enteros.
• Analizar propiedades generales en el
conjunto de los números enteros.
• Aplicar técnicas para caracterizar
múltiplos y divisores de números enteros.
• Identificar paridad de números enteros.
• Resolver problemas asociados a números
enteros.

3. El conjunto de los números enteros (Z) se compone de los números naturales
(1, 2, …), los opuestos a estos (números negativos) y el cero.
Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Prioridad en operatoria
PAPOMUDAS
1° Paréntesis (interiores a exteriores)
2° Potencias
3° Multiplicación y división (izquierda a
derecha)
4° Adición y sustracción (izquierda a
derecha)
OPERATORIA DE NÚMEROS ENTEROS
Al sumar dos números enteros de distinto signo, el
signo del resultado estará determinado por el signo
del número de mayor valor absoluto.
Al sumar dos números enteros de igual signo, el signo
del resultado será igual al de ambos términos o
sumandos.
Al multiplicar dos números enteros de igual signo, el
signo del resultado será siempre positivo.
Al multiplicar dos números enteros de distinto signo,
el signo del resultado será siempre negativo.
CLASE 1: NÚMEROS ENTEROS
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

4. 1. El resultado de calcular 𝟖 · 𝟑 + 𝟐 − 𝟏𝟒 ÷ 𝟐 + 𝟏𝟐 es:
A) 25
B) 39
C) 31
D) 45
ALTERNATIVA
CORRECTA
C
8 · 3 + 2 − 14 ÷ 2 + 12
= (𝟖 · 𝟑) + 2 − (𝟏𝟒 ÷ 𝟐) + 12
= 𝟐𝟒 + 2 − 𝟕 + 12
= 31
CLASE 1: NÚMEROS ENTEROS

5. NÚMERO PRIMO
Es un número natural que posee
exactamente dos divisores
distintos entre sí: el 1 y él
mismo. Algunos de ellos son: {2,
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …}
Es un número natural que tiene al
menos algún otro divisor positivo,
además del 1 y de sí mismo.
Ejemplo: el 8 es compuesto
(divisores: 1, 2, 4 y el mismo 8)
-El 1 NO es primo NI compuesto (solo tiene un divisor: él mismo)
-El 2 es el único primo par (tiene por divisores al 1 y a si mismo)
Un número par es un entero que puede
escribirse como 2n
Nota: el 0 es par, ya que 0 = 2∙0
Un número impar es un entero que puede
escribirse como (2n+1)
(con n un número entero)
P = número par
I = número impar
P + I = I
P + P = P
I + I = P
P ∙ I = P
P ∙ P = P
I ∙ I = I
CLASE 1: NÚMEROS ENTEROS
NÚMERO COMPUESTO

6. SUCESOR Y ANTECESOR
Todo número entero tiene un sucesor (que se obtiene sumando 1 al
número) y un antecesor (que se obtiene restando 1 al número).
-Si a es un número par, se define su sucesor par como (a+2) y su
antecesor par como (a-2)
Ejemplo: el sucesor par de 10 es 12, y su antecesor par es 8
-Si b es un número impar, se define su sucesor impar como (b+2) y su
antecesor impar como (b-2)
Ejemplo: el sucesor impar de 15 es 17, y su antecesor impar es 13
CLASE 1: NÚMEROS ENTEROS

7. 5) Se tiene un número natural a. Al sumarle el doble de su
sucesor, y luego restarle su antecesor, el número obtenido será
A) El doble del número original, aumentado en 3 unidades
B) El número original, aumentado en 2 unidades
C) El mismo número
D) El doble del número original
ALTERNATIVA
CORRECTA
A
CLASE 1: NÚMEROS ENTEROS
Sucesor: 𝐚 + 𝟏
Antecesor: 𝐚 − 𝟏
𝐚 + 𝟐 𝐚 + 𝟏 − 𝐚 − 𝟏
= 𝐚 + 𝟐𝐚 + 𝟐 − 𝐚 − −𝟏
= 𝟐𝐚 + 𝟐 + 𝟏
= 𝟐𝐚 + 𝟑

8. MÚLTIPLOS
Un número a es múltiplo de b si
existe un entero k tal que a = b ∙ k
Ejemplo: 24 es múltiplo de 6, ya que
24 = 6 ∙ 4
INVERSO ADITIVO U
OPUESTO
Un número g es divisor de f si lo
divide de forma exacta (resto 0)
Ejemplo: 7 es divisor de 21, ya que
21 : 7 = 3
Estrategia: si vemos un ejercicio del tipo “Un número a es múltiplo de 8…”, es
recomendable escribir a como 8k (con k un número entero) .
CLASE 1: NÚMEROS ENTEROS
Si a es un número entero, entonces su
opuesto es –a (cambio de signo).
Ejemplo: el opuesto de 4 es (-4).
¡Importante! Los únicos números enteros que tienen
recíproco en el conjunto de los números enteros son el 1 y el -1.
Si a es un número entero, entonces su
recíproco es a-1 o
1
a
, a ≠ 0. Al multiplicarlos
se debe obtener el 1 (neutro multiplicativo).
Ejemplo: el recíproco de -1 es -1.
INVERSO MULTIPLICATIVO
O RECÍPROCO
DIVISORES

9. 4) En una prueba online de matemática, Constanza está
indecisa con la siguiente pregunta.
Entonces, ¿cuántas opciones no son correctas?
A) 3
B) 1
C) 2
D) 4
Pregunta 7: Se tiene que r es un número positivo múltiplo de 5. ¿Cuál(es) de las siguientes
opciones corresponde(n) a un múltiplo de 15?
• Opción A: r + 5
• Opción B: 10r
• Opción C: 5r + 5
• Opción D: 6r
ALTERNATIVA
CORRECTA
A
Si r = 5k, con k entero entonces
O1: r + 5 = 5k + 5
O2: 10r = 10 · 5k = 50k
O3: 5r + 5 = 5 · 5k + 5 = 25k + 5
O4: 6r = 6 · 5k = 30k = 15 · 2k
CLASE 1: NÚMEROS ENTEROS

10. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm)
El mcm entre dos números enteros positivos a y b es, como indica
su nombre, el menor número entero positivo que es múltiplo de a
y de b a la vez.
Ejemplo: el mcm entre 8 y 10 es 40
Técnica para encontrar mcm
entre dos números:
tabla con divisores primos
8 10 : 2
4 5 : 2
2 5 : 2
1 5 : 5
1
2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 = 40
mcm
CLASE 1: NÚMEROS ENTEROS

11. 2) Javier prepara dos queques para tomar once con su familia: uno
de naranja y otro de vainilla. De acuerdo con las recetas que obtuvo
de distintas páginas de internet, debe verificar el estado de los
queques, una vez puestos en el horno, de la siguiente forma:
-Revisar el queque de naranja cada 10 minutos
-Revisar el queque de vainilla cada 12 minutos
Si comenzó a hornear los queques a las 18:00 horas, ¿a qué hora
revisará simultáneamente el estado de ambas preparaciones?
A) 18:20 h
B) 19:00 h
C) 19:20 h
D) 20:00 h
Minutos de revisión queque de naranja:
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70…
Minutos de revisión queque de vainilla:
12, 24, 36, 48, 60, 72…
ALTERNATIVA
CORRECTA
B
CLASE 1: NÚMEROS ENTEROS

12. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
El MCD entre dos números naturales es el mayor número natural que
divide exactamente a ambos números a la vez.
Ejemplo: el MCD entre 8 y 12 es 4
Técnica para encontrar MCD entre dos números:
Descomponer en números primos
8 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 23
12 = 3 ∙ 2 ∙ 2 = 3 ∙ 22
El MCD es el producto de todos los
factores repetidos con el menor
exponente. En este ejemplo es 4.
CLASE 1: NÚMEROS ENTEROS

13. 3) En un pequeño granero se guardan 350 kilos de arroz y
500 kilos de harina para el invierno. Terminando el otoño
llega la hora de distribuir estos alimentos a las viviendas
cercanas. Para ello, se deben comprar sacos de la misma
capacidad.
¿Cuál es la máxima capacidad del saco que se debe
comprar para que no quede alimento sin almacenar?
A) 40 kg
B) 45 kg
C) 50 kg
D) 55 kg
ALTERNATIVA
CORRECTA
C
CLASE 1: NÚMEROS ENTEROS
Divisores de 350 = {1, 2, 5, 7, 10, 14, 25, 35, 50, 70, 175, 350}
Divisores de 500 = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, 500}
𝐃𝟑𝟓𝟎 = 𝟐 ∙ 𝟓𝟐 ∙ 𝟕 𝐃𝟓𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 ∙ 𝟓𝟑
𝐌𝐂𝐃 𝟑𝟓𝟎, 𝟓𝟎𝟎 = 𝟐 ∙ 𝟓𝟐 = 𝟓𝟎

14. NÚMEROS ENTEROS
OPERATORIA
PAPOMUDAS
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
CLASIFICACIÓN
ORDEN
ANTECESOR
(n-1)
SUCESOR
(n+1)
PARIDAD
IMPARES
(2n+1)
PARES
(2n)
CANTIDAD DE
DIVISORES
RELACIONES
ENTRE
ENTEROS
PRIMOS
COMPUESTOS
OPUESTO (-n)
MÚLTIPLOS
MÍNIMO COMÚN
MÚLTIPLO (mcm)
MÁXIMO COMÚN
DIVISOR (MCD)
DIVISORES
CLASE 1: NÚMEROS ENTEROS