matematicas

1. MATEMÁTICA
Lic. Juan Carlos Ugas
Abril de 2023

2. 10.1 Objetivos Específicos 10.2 Contenidos
OBJETIVOS ESPECIFICOS
1.1 Explicar las propiedades básicas de
operatoria en los conjuntos numéricos Z,
Q y R, utilizando lenguaje matemático
básico, con el objeto de que el alumno sea
capaz de:
1.2 Explicar y Aplicar las propiedades de
las potencias y raíces en la solución de
problemas de carácter numérico o literal.
1.3 Analizar la función exponencial y
logarítmica como funciones de variable
real.
1.4 Resolver operatoria algebraica con
polinomios.
Unidad I: ALGEBRA BASICA EN R
CONTENIDOS
Potenciación.
1. Propiedades. Operatoria.
Notación científica.
Radicación. Propiedades. Operatoria.
Operatoria básica de polinomios.
Productos Notables y factorización.
Fracciones Algebraicas.
Racionalización.
Logaritmación.
Función Exponencial.
Función Logaritmo.
Propiedades. Operatoria.
Números complejos. Operatoria.

3. Conjuntos numéricos

4. Aprendizajes esperados:
• Utilizar y clasificar los distintos conjuntos
numéricos en sus diversas formas de expresión,
tanto en las ciencias exactas como en las ciencias
sociales y en el ámbito cotidiano.
• Percibir la matemática como una disciplina en
evolución y desarrollo permanente.
• Aplicar la operatoria básica en los números
naturales y enteros.

5. • Aplicar las operaciones básicas y propiedades de
los números racionales.
• Resolver problemas que involucren operaciones
con números enteros, decimales y fracciones.
• Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

6. 1. Números Naturales
1.1 Consecutividad numérica
1.2 Paridad e imparidad
1.3 Números primos
1.4 Múltiplos y divisores
1.5 Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor
1.6 Operatoria en los naturales
2. Números Cardinales
Conjuntos Numéricos
3. Números Enteros
3.1 Operatoria en los enteros
3.2 Propiedades
3.3 Prioridad de las operaciones

7. 4.Números racionales (Q)
4.1 Propiedades de los racionales
4.2 Operatoria en los racionales
4.3 Transformaciones de números racionales
4.4 Comparación de fracciones
5. Números irracionales (Q*)
6. Números reales ( R )
7. Números imaginarios ( II )
8. Números complejos ( C )
4.5 Secuencia numérica

8. 1. Números Naturales (N)
1.1 Consecutividad numérica
Conjunto de la forma:
IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito.
Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene
sumando 1 al número, es decir:
• Sucesor
Si n pertenece a IN, su sucesor será n + 1.

9. n - 1 n + 1
n
Naturales Consecutivos
• Antecesor:
Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un
antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es
decir: Si n pertenece a IN, su antecesor será n - 1
antecesor sucesor

10. 1.2 Paridad e imparidad
• Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n}
Son de la forma 2n, con n en los naturales.
Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número.
Si el número es 2n, entonces su
sucesor es 2n+2.
Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número.
Si el número es 2n, entonces su
antecesor es 2n-2.
2n - 2 2n + 2
2n
Antecesor par Sucesor par

11. Se obtiene sumando 2 al número.
Si el número es 2n-1, entonces
su sucesor es 2n+1.
• Números Impares {1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1}
Son de la forma 2n-1, con n en los naturales.
Sucesor impar:
Antecesor impar:
2n - 3 2n + 1
2n -1
Antecesor impar Sucesor impar
Se obtiene restando 2 al número.
Si el número es 2n-1, entonces
su antecesor es 2n-3.

12. 1.3 Números Primos
Son aquellos números que son sólo divisibles
por 1 y por sí mismos:
{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…}
Nota: El 1 no es primo.
1.4 Múltiplos y Divisores
• Múltiplos
Se llama “múltiplo” de un número, aquel que se obtiene
al multiplicar dicho número por otro cualquiera.
Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5.

13. • Divisores
Se llama “divisor” de un número, aquel valor que
lo divide exactamente.
(Está contenido en él, una cantidad exacta de
veces)
Por ejemplo:
Los divisores de 24 son los números que lo dividen
exactamente:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24}
Nota: El 5 no es divisor de 24, ya que al dividir
24 por 5 resulta 4,8.

14. • Mínimo Común Múltiplo
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más
números, corresponde al menor de los múltiplos
que tienen en común.
Ejemplo:
-Algunos múltiplos de 3 son:
{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60}
-Algunos múltiplos de 6 son:
{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60}
-Algunos múltiplos de 15 son:
{15, 30, 45, 60, 75,…}

15. m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30.
(Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es
el menor).
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a través
del siguiente método:
3 6 15 3
1 2 5 2
1 5 5
1
Se divide por números primos hasta que en cada
columna quede 1, y el producto de ellos
corresponde al m.c.m.

16. • Máximo Común Divisor
El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más
números, corresponde al mayor número que los
divide simultáneamente.
Ejemplo:
-Los divisores de 36 son:
{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
-Los divisores de 18 son:
{1, 2, 3, 6, 9, 18}
-Los divisores de 24 son:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

17. El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6.
(Dentro de los divisores que tienen en común, 6 es el
mayor).
El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a
través del siguiente método:
36 18 24 2
18 9 12 3
6 3 4
Se divide por números primos que sean divisores
de cada número, hasta que ya no se pueda dividir
a todos en forma simultánea.
M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6

18. 1.6 Operaciones en IN
• Adición, sustracción, multiplicación y
división
Propiedades de la Adición:
a) Clausura:
b)Conmutativa: Si a y b son números naturales,
entonces se cumple que:
La suma de dos números naturales
es siempre un natural.
Por ejemplo: 12 + 5 = 5 + 12
a + b = b + a

19. c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales,
entonces se cumple que:
a + (b+c) = (a+b) + c
Ejemplo: 13 + (5+9) = (13+5) + 9
13 + (14) =(18) + 9
27 = 27
Nota: En los naturales no existe neutro aditivo.
Propiedades de la Multiplicación:
a)Clausura: El producto de dos números naturales
es siempre un natural.

20. 4 ∙ (15) = (20) ∙ 3
Si a y b son números naturales,
entonces se cumple que:
Por ejemplo: 4 ∙ (5∙3) = (4∙5) ∙ 3
Por ejemplo: 34∙5 = 5∙34
a (b∙c) = (a∙b) c
b)Conmutativa:
c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales,
entonces se cumple que:
Nota: El elemento neutro de la multiplicación es el 1.
a∙b = b∙a
170 = 170
60 = 60

21. 2. Números Cardinales ( N0)
Conjunto de la forma:
IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito.
2.1 Operaciones en IN0
• Adición, sustracción, multiplicación y
división
Si a es un número cardinal, entonces:
En este conjunto se cumplen las mismas propiedades
que en los naturales.
La diferencia es que incluye al cero, y por tal razón
posee “elemento neutro aditivo”.
a + 0 = 0 + a = a

22. 3. Números Enteros (Z)
Conjunto de la forma:
Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, infinito.
Se puede representar como: Z = Z- U IN0
Z = Z- U {0} U Z+
Recta numérica:
Z- Z
+
0
-3 -2 -1 1 2 3

23. Valor absoluto:
El valor absoluto de un número representa la distancia
del punto al origen (cero de la recta numérica).
Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco
unidades, igual que la distancia del -5 al origen.
La notación es: |5| = 5 y |-5| = 5
-5 5
0
5 unidades 5 unidades
Luego,
|-20| = 20 |34| = 34 |-12| = 12…

24. 3.1 Operaciones en Z
Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones
en los enteros, debemos considerar algunas reglas
con respecto a los signos:
Si a y b son números enteros entonces, se cumple que:
a) a + -b = a – b Ejemplo:
5 + - 9 = 5 – 9 = -4
Ejemplo:
b) a – (-b) = a + b
12 – (-8) = 12 + 8 = 20

25. c) Al sumar enteros de igual signo, éste se mantiene.
Ejemplo:
25 + 8 = +33
d) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la
diferencia entre sus valores absolutos, conservando
el signo del mayor.
Ejemplo:
-10 + 7 = -3
75 + -9 = +66
-5 + - 9 = -14

26. -42 ∙ -8 = + 336
e) Si a y b son dos números enteros de igual
signo (positivos o negativos), entonces:
- El producto y el cuociente entre ellos es positivo.
f) Si a y b son dos números enteros de distinto signo,
entonces:
- El producto y el cuociente entre ellos es negativo.
Ejemplo:
Ejemplo:
28 : 7 = + 4
125 : -5 = -25
37 ∙ -5 = -185

27. 3.2 Propiedades
La suma de números enteros cumple con la propiedad
Conmutativa y Asociativa.
Ejemplo:
(-3) + 2 = 2 + (-3)
-1 = -1
La suma en los números enteros tiene “elemento
neutro”: el cero.
Ejemplo: (-8)+ 0 = -8

28. 3.3 Prioridad en las operaciones
Tanto en los números naturales como en los enteros,
hay operaciones que tienen prioridad sobre otras.
Existe un orden para resolver ejercicios como:
-5 + 15 : 3 - 3 = ?
¿Qué se resuelve primero?
El orden para ejecutar las operaciones que involucran
paréntesis y operaciones combinadas es:
1° Paréntesis
2° Potencias
4° Adiciones y sustracciones
3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha)

29. 4.Números Racionales (Q)
Es el conjunto de todos aquellos números que
se pueden escribir como fracción, es decir:
a
b
/ a y b son enteros, y b es distinto de cero
Q =
Ejemplos:
2; 17; 0; -6; -45; -2;
7
0,489; 2,18; -0,647
-1;
8
14;
3
15,
0
NO es racional
a: numerador y b: denominador

30. Por ejemplo:
3 es Natural (3 IN),
3 es Cardinal (3 IN0), y como
3 = , 3 es racional (3 Q).
3
1



IN IN0 Z Q
  
Todo número entero es racional.

31. 4.1 Propiedades de los racionales (pág. 23 del libro)
• Amplificar y simplificar fracciones
Ejemplo:
2∙
3∙
Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el
numerador como denominador por un mismo
número.
6
6
Al amplificar la fracción por 6 resulta:
2
3
=
12
18

32. Ejemplo:
Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el
numerador como denominador por un mismo
número.
3
3
=
9
15
Al simplificar la fracción por 3 resulta:
27
45
27 :
45 :
• Inverso multiplicativo o recíproco
de una fracción
El inverso multiplicativo, o recíproco de 2
9
es: 9
2
Ejemplo:

33. 4.2 Operatoria en los racionales
• Suma y resta
Ejemplos:
1. Si los denominadores son iguales:
4
15
+
7
15
=
11
15
2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:
2
15
+
7
45
=
2∙3 + 7∙1
45
=
6 + 7
45
=
13
45
4
15
-
7
15
=
-3
15
y

34. 3. Si los denominadores son primos entre sí:
5
12
+
7
18
=
5∙3 + 7∙2
36
15 + 14
36
= =
29
36
4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):
4
5
+
7
8
=
4∙8 + 5∙7
40
32 + 35
40
= =
67
40

35. -4
5
∙
8
7
=
-32
35
=
• Multiplicación:
Ejemplo:
-4
5
7
8
=
∙
-28
40
=
28
40
-
• División:
Ejemplo:
-4
5
:
7
8
=
32
35
-
• Número Mixto:
Ejemplo:
8
3
5 =
8∙5 + 3
5
=
43
5

36. 6. Números Reales (IR)
Es el conjunto formado por la unión entre los números
racionales y los números irracionales.
IR = Q U Q*
Ejemplos:
Diagrama representativo:
3, -89, -2;
7
2,18; ;
2
 23,491002

37. 7. Números imaginarios (II)
Todos aquellos números que NO son reales, son
imaginarios.
IR
U
II = O
Ejemplo:
Raíces de índice par y parte subradical negativa:
,
2
6

,
4
 4
16

,
25


38. OBJETIVO 1
ejemplos

39. 1.) Para escribir en notación exponencial el número 1,322, se observa que
1,322 1.322 1,000
  , de modo que
3
1,322 1.322 10
 
2.) Para escribir en notación exponencial el número 7,500,000,000, se
observa que
7,500,000,000 7.5 1,000,000,000
  , por lo que
9
7,500,000,000 7.5 10
 
3.) Para escribir en notación exponencial el número 64,100, se observa
que
64,100 6.41 10,000
  , así que
4
64,100 6.41 10
 

40. 3
5 5 5 5
  
1.) 125
 (3 factores)
       
5
2 2 2 2 2 2
      
2.) 32
 
(5 factores)
20
1 1 1 1 ... 1
    
3.) 1
 (20 factores)
2
3 3 3
4 4 4
  
    

    
    
4.)
9
16
 (2 factores)

41. 1.) Para evaluar
2
x
 si 3
x  , se calcula:
2
3 3
x   9

y luego se tiene 2
9
x
  
2.) Para evaluar
2
x
 si 3
x   , se calcula:
  
2
3 3
x    9

y luego se tiene
2
9
x
  

42. • Ley I.- Cuando se multiplican dos potencias de la misma base, su
resultado es la misma base elevada a una potencia igual a la suma
de las potencias de los factores.
• En otra palabras, para multiplicar expresiones exponenciales de la
misma base, se conserva la base común y se suman los
exponentes.
Objetivo 2.
  
m n m n
a a a 

OBJETIVOS

43. OBJETIVO 2
ejemplos

44. 3 5 3 5
x x x 
  8
x

1.)
2.)
2 4 2 4
3 3 3 
 
6
3

3.)
     
2 5 2 5
3 3 3
a a a

   
7
3a


45. • Para cualquier número real, a, distinto de cero, y cualquier número natural m:
• Si a es cualquier número distinto de cero, entonces:
Objetivo 3.
1
m
m
a
a


0
1
a 
OBJETIVOS

46. OBJETIVO 3
ejemplos

47. 3
3
1
2
2


1.)
1
2 2 2

 
1
8

4
4
1
x
x


2.)
0
3 1

3.)
3
3
1 1
1
x
x


4.)
3
 x

48. 3
3
1 1
1
1 x
x
 
3
1
1
x

3
x

Para entender mejor está última expresión, es conveniente
recordar que para dividir dos números basta con
multiplicar al dividendo por el inverso del divisor, de
modo que

49. 2
3
2
3
1
1
x
y x
y



5.)
Como en el ejemplo anterior, esta expresión se puede simplificar para dejar
2 3
2
3
1 1 1
1 x y
x
y
 
3
2
1
1
y
x

3
2
y
x

   
3
0 0 3
1
3 3
y
x x y


6.)
  3
1
1 y
 3
1
y


50. • Ley II.- Cuando se dividen dos potencias de la misma base, su cociente
es la misma base elevada a una potencia igual a la diferencia entre la
potencia del dividendo y la del divisor.
• Es decir, para dividir expresiones exponenciales de la misma base, se
conserva la base común y se resta al exponente del dividendo el
exponente del divisor.
Objetivo 4.
m
m n
n
a
a
a


OBJETIVOS

51. OBJETIVO 4
ejemplos

52. 7
7 4
4
x
x
x


1.)
3
x

2 7 2 7
5 5 5 
 
2.)
5
5
 5
1
5

3 4 3 ( 4)
a a a
    
 
3.)
3 4
a 

1
a

a


53. • Ley III.- Cuando una potencia de una base se eleva a otra potencia, el
resultado es un término de la misma base con un exponente igual al producto
de las dos potencias.
• Lo anterior indica que para elevar una potencia de una base a otra potencia,
se conserva la base y se multiplican los dos exponentes.
Objetivo 5.
 
n
m m n
a a

OBJETIVOS

54. OBJETIVO 5
ejemplos

55.  
2
3 3 2
2 2

1.)
6
2
 64

    
3 3 3
3
x x



2.)
9
x
 9
1
x

    
6 2 6
2
5 5
  


3.)
12
5

244,140,625


56. • Ley IV.- Cuando un producto de dos o más factores se eleva,
todo a la vez, a una potencia, el resultado es el mismo producto
pero con cada factor elevado a la potencia dada.
• Ley V.- Cuando un cociente se eleva, todo a la vez, a una
potencia, el resultado es el mismo cociente pero con el
dividendo y el divisor elevados a la potencia dada.
Objetivo 6.
 
m m m
ab a b

m m
m
a a
b b
 

 
 
OBJETIVOS

57. OBJETIVO 6
ejemplos

58. 1.) Para elevar el producto 3xy
a la cuarta potencia, es decir para obtener  
4
3xy
se eleva a la cuarta potencia cada uno de los factores y
se tiene
 
4 4 4 4
3 3
xy x y
 4 4
81x y

2.) Para elevar el cociente
2
5
al cuadrado, es decir para obtener
2
2
5
 
 
 
se elevan al cuadrado el dividendo y el divisor y queda
2 2
2
2 2
5 5
 

 
 
4
25


59. 3.) Para elevar el cociente al cubo,
es decir para obtener ,
se elevan al cubo el dividendo y el divisor para obtener
y, como tanto en el numerador como en el denominador se tienen
productos, se aplica la ley para elevar un producto a una potencia
y queda
2
3
a
b
3
2
3
a
b
 
 
 
 
 
3
3
3
2
2
3 3
a
a
b b
 

 
 
 
 
3 3 3
3 3 3
2 2
3
3
a a
b
b

3
3
8
27
a
b


60. La raíz cuadrada principal o positiva de un número
positivo n, que se escribe , es el número positivo
que al multiplicarse por sí mismo da como resultado n.
Si en lugar de buscar un número que al multiplicarse por
sí mismo dé como resultado n, se busca un número que
elevado a la tercera, cuarta o quinta potencia dé como
resultado n, se dice que dicho número es la raíz tercera
(o cúbica), cuarta o quinta de n, y así sucesivamente.
Objetivo 7.
n

61. En la notación de radicales lo anterior se escribe como ,
etcétera.
En otras palabras,
significa que
significa que
y, en general,
significa que
Objetivo 7.
3 5
4
, ,
n n n
x n
 2
n x

3
y n
 3
n y

m
a b

m
b a


62. • Al símbolo que sirve para indicar una raíz, se le llama
signo radical.
• El número o expresión dentro del signo radical es el radicando y al número
que sirve para indicar la raíz se le llama índice.
Objetivo 7.
m
n
Signo radical
radicando
índice
OBJETIVOS

63. OBJETIVO 7
ejemplos

64. 1.) En la expresión 3
8
el radicando es 8 y el índice es 3.
3
8 3
 significa que 3
8 2

.
2.) En la expresión 4
81
el radicando es 81 y el índice es 4.
4
3 81
 significa que
4
3 81

3.) En la expresión 49
el radicando es 49 y el índice, que en este caso no se
escribe, es 2.
49 7
 significa que
2
49 7


65. Objetivo 8.
Si 0
n  , se define: 1
n n
a a

De este modo, una base elevada a un exponente
fraccionario en el que el numerador es 1, es equivalente a
una expresión en notación radical, en la que la base es el
radicando y el denominador del exponente es el índice.

66. • Las leyes enunciadas anteriormente para exponentes enteros, son también
válidas para exponentes fraccionarios. Por tanto, de acuerdo con la ley para
elevar una potencia a otra potencia, se tiene:
 
1 m
n m m n n
a a a
 
,
   
1 m
m m
n n n
a a a
 
puesto que
1 1 m
m m
n n n
   
 
   
   
Objetivo 8.
OBJETIVOS

67. OBJETIVO 8
ejemplos

68. 1.) 1
2
3 3

2.)
1
5
5
x x

3.) 1
4 4
a a


69. 1.)  
1
3 2 2 3
62 62

2
3
62

2.)  
1
3 3 n
n
y y

3
n
y

3.)    
6
6 1
3 3
8 8

6
3
8

2
8

4.)
   
5
5 1
4 4
7 7

5
4
7


70. • Como ya se indicó, las leyes expuestas para exponentes enteros son ciertas
cualesquiera que sean la base y los exponentes m y n, tanto si son positivos
como negativos o nulos, enteros o fraccionarios.
• Para el caso de los exponentes fraccionarios, las leyes quedan así:
,
Objetivo 9.

71. Ley I.- puesto que, al
tomar común denominador,
Ley II.-
Ley III.- puesto que
,
Objetivo 9.
  
1 1 1 1
n m
m n m n mn
a a a a


 
1 1 n m
m n mn

 
1
1 1
1
n m
m
m n mn
n
a
a a
a


 
 
1
1 1
n
m mn
a a

1 1 1
m n mn
  

  
  

72. Ley IV.- ,
Objetivo 9.
Ley V.-
 
1 1
1
m m
m
a b a b

1
1
1
m
m
m
a a
b b
 

 
 

73. ,
Objetivo 9.
• Para el caso de los radicales es necesario tener en cuenta
que el índice del radical es el denominador de un
exponente fraccionario. Por ello, las leyes de exponentes
cuando se enuncian y escriben para la notación radical
son:
• Ley I.- Cuando se multiplican dos raíces del mismo
radicando, su resultado es una raíz con el índice igual al
producto de los índices de los factores, y el mismo
radicando elevado a la suma de los índices originales.
mn n m
m n
a a a 


74. • Ley II.- Cuando se dividen dos raíces del mismo radicando, su cociente es
una raíz con el índice igual al producto de los índices de los factores, y el
mismo radicando elevado a la diferencia del índice del divisor menos el del
dividendo.
Objetivo 9.
m
mn n m
n
a
a
a



75. Objetivo 9.
• Ley III.- Cuando a una raíz de un radicando se le toma otra raíz,
su resultado es una raíz del mismo radicando y un índice igual al
producto de los dos índices de los radicales aplicados.
• Ley IV.- Cuando se toma una raíz de un producto de uno o más
factores, su resultado es el producto de las raíces de cada factor.
n m nm
a a

m m m
ab a b


76. Objetivo 9.
• Ley V.- Cuando se toma una raíz de un cociente, su resultado es el cociente
de la raíz del dividendo entre la raíz del divisor.
m
m
n
a a
b a

OBJETIVOS

77. OBJETIVO 9
ejemplos

78. 1.)
2
1
2
1
2
1
4
27
4
27







2.)
3.)
4.)
8
1
4
1
2
1
6
6 






4
1
3
1
4
1
3
1

 y
y
y 12
3
4
 y 12
1
y

5
3
5
7
5
2
5
3
5
7
5
2
a
a
a
a
a

 5
3
5
7
5
2 

 a 5
3
7
2 

 a 5
6
a


79. 1.)
4
27
4
27

2.) 8
4
6
6 
3.) 12
12 3
4
4
3
y
y
y
y

 
4.)
5 3
5 7
2
5 3
5 7
5 2
a
a
a
a
a
a 

5 3
5 9
a
a
 5
3
9
a
a
 5 6
a


80. En la expresión , se dice que el radicando contiene una raíz n-ésima
perfecta si se puede encontrar en él algún factor que contenga una potencia
igual o múltiplo del índice n del radical.
,
Objetivo 10.
n m
a

81. ,
Objetivo 10.
Es claro que cuando el radicando contiene una raíz
n-ésima perfecta, la expresión radical puede
simplificarse extrayendo del mismo la raíz exacta
correspondiente, puesto que de acuerdo con las
leyes de exponentes y radicales
   
   
1 m
n
k n k n
n n
m m k k m
n
a a a a a a a a
  

82. • Racionalizar una fracción es eliminar los radicales que existan en su
denominador. Para racionalizar una fracción se multiplican el numerador y el
denominador por un radical que al multiplicarse con el del denominador lo
convierta en una raíz perfecta, y simplificar ésta por tener raíz exacta.
Objetivo 10.
OBJETIVOS

83. OBJETIVO 10
ejemplos

84. 1.)
2
1
2
1
2
1
4
27
4
27







8
1
4
1
2
1
6
6 






2.)
3.)
4.)
4
1
3
1
4
1
3
1

 y
y
y 12
3
4
 y 12
1
y

5
3
5
7
5
2
5
3
5
7
5
2
a
a
a
a
a

 5
3
5
7
5
2 

 a 5
3
7
2 

 a 5
6
a


85. 1.)La expresión contiene una raíz séptima perfecta puesto que
se puede escribir
2.)La expresión contiene una raíz tercera (o cúbica) perfecta
puesto que se puede escribir
7 22
x
7 7
22 21
x x x

 
3 7
7
x x
  
7
3
7 x x

3 5 7
a b
3 3
5 7 3 2 6
a b a a b b

 
2 3
3 3 2
a b a b

 
3
2 2
3 ab a b


86. 3.)La expresión contiene una raíz cuarta perfecta puesto que
se puede escribir 2
4
9
16x
y
2 4 2
4 4
9 8
16 2
x x
y y y
  
4 2
4
2 4
2 x
y y

 
4 2
4
2 4
2 x
y
y
  
   
 
 
4 2
4
2
2 x
y y
 
 
  
 
   

87. 1.) Como , se extrae la raíz exacta y queda
2.) , se extrae la raíz exacta y queda
3.) , se extrae la raíz exacta y
queda
 
7
7 22 3
7
x x x

7 22
x  
3 7
x x

 
3
3 5 7 2 2
3
a b ab a b

3 5 7
a b  3
2 2
ab a b

4
2 2
4
4
9 2
16 2
x x
y y y
 
 
  
 
   
2
4
9
16x
y
2
4
2
2 x
y y
 
  
 

88. 1.) La expresión: no está en forma simple, porque el
radicando incluye una raíz cúbica perfecta:
2.) La expresión:
está en forma simple.
3.) La expresión:
está en forma simple.
3 5 7
a b
 
3
5 7 2 2
a b ab a b

3 3 2
4
2
3
x xy z
2 3
6 5
x y z

89. 4.)La expresión:
no está en forma simple, porque el radicando contiene una
fracción y, además, contiene una raíz cuarta perfecta:
5.)La expresión:
no está en forma simple, porque aparece un radical en el
denominador.
2
4
9
16x
y
4
2 2
9 2
16 2
x x
y y y
 
  
 
3a
b

90. 1.)Para racionalizar la expresión se multiplican el
numerador y el denominador por para obtener
3a
b
b
3 3
a a b
b b b
 
 
  
  
  
3a b
b b

2
3a b
b

3a b
b


91. 2.)Para racionalizar la expresión
conviene observar que
de modo que ya incluye una raíz cuadrada perfecta (la
correspondiente a ), por lo que basta con multiplicar el
numerador y el denominador por para obtener:
2
18
2
18 2 9 2 3
   
2
3
2
2
2 2
18 2 3


2
2 2
2
2 3
 
 
  
  

   2
2 2
2 3 2

 2 2
2 2
2 3


2 2
2 2
2 3


2 2
2 3


2
3


92. 3.) Para racionalizar la expresión
es importante notar que en el radicando existen factores elevados a
diferentes potencias, por lo que es necesario buscar para cada uno
la potencia que hace falta multiplicar para obtener la raíz cuarta
perfecta que se necesita.
2
3 2 3
4
3 5
x
y xz w

93. Como está elevado a la primera potencia, debe multiplicarse
por ;
se multiplicará por sí misma;
y por
Por tanto, para racionalizar la expresión dada se multiplican el
numerador y el denominador por
para obtener:
5x
3 3
5 x
2
z 3
w
w
3 3 2
4
5 x z w

94. 2 2 3 3 2
4
3 2 3 3 2 3 3 3 2
4 4 4
5
3 5 3 5 5
x x x z w
y xz w y xz w x z w
 
 
  
 
  
  
2 3 3 2
4
3 2 3 3 3 2
4 4
5
3 5 5
x x z w
y xz w x z w

2 3 3 2
4
3 4 4 4 4
4
5
3 5
x x z w
y x z w

 
2 3 3 2
4
3
5
3 5
x x z w
y xzw

2 3 3 2
4
3
5
15

x x z w
y xzw
3 2
4
3
125
15
x x z w
y zw


95. Objetivo 11.
Muchas expresiones algebraicas se pueden simplificar aplicando las leyes de los
exponentes y los radicales.
En general, la simplificación consiste en efectuar las operaciones que estén
indicadas y escribir los resultados con potencias que no incluyan exponentes
negativos ni fraccionarios y con los radicales en la forma simple que se definió
anteriormente.
Para ello, los factores que tengan exponentes negativos se trasladan del numerador
al denominador de la expresión y los exponentes fraccionarios se convierten en
expresiones escritas en forma de radicales.
En caso de necesidad, se racionalizan las expresiones resultantes como se ha
indicado antes.
OBJETIVOS

96. OBJETIVO 11
ejemplos

97. 1.) Para simplificar la expresión
basta con tomar en cuenta que y trasladar el factor
al denominador para dejar
2.) Para simplificar la expresión
primero se elimina el exponente negativo
después, se toma en cuenta la ley
para elevar un cociente a una potencia para que quede
2 2 3
3 x y

2
3 9

3
y
2
2 2 3
3
9
3
x
x y
y
 
 
2
2
3
y
z

 
 
 
2
2
2
2
1
3
3
y
z y
z

 

 
   
 
 
2 2
2 4
2
1 1
3
3
y
y
z
z

 
 
 
4
2 2
2 4
1 9
3
z
y y
z


98. 3.) Para simplificar la expresión
se eleva cada factor a la potencia correspondiente
y luego se efectúan las operaciones indicadas para obtener
4
3 2
x y x
y z
 
 
 
 
   
4
3 2 3 8 4
3 4
x y x x y x
y z y z
    
 

    
 
      
3 8 4 3 4 8
3 4 3 4
x y x x x y
y z y z
  

  
  
7 8
3 4
x y
y z

7 5
4
x y
z


99. 4.)Para simplificar la expresión
en primer lugar se identifica que todas las raíces que aparecen son cúbicas, de
modo que se puede incorporar toda la expresión en un solo radical
luego se efectúan las operaciones indicadas en el radicando y queda
como el radicando es una raíz cúbica perfecta se obtiene
4 7
3
3
2 1
3
27 8
wy w y
w y
  
4 7
4 7
3
3
3
2 1
2 1
3
27 8
27 8 wy w y
wy w y
w y
w y



3 3 5 9
3
2
2 3 w y
w


3 3 3 9
3
2 3 w y
 
3 3 3 9 3
3
2 3 2 3
w y wy
   3
6wy


100. 5.)Para simplificar la expresión
primero se efectúan las operaciones con los exponentes
luego, se convierte el exponente fraccionario a la forma de radicales
y se racionaliza
3
2
3 5
4 2
3 5
x y
x y

3
2 2 4
3 5 3 3
4 2 3
2
3 5 5 5
x y x
x y y
 


2
3
x
y

 2
3
1
x y

2 3 2
3
1 1 1
y x
x y
 
  
 
3
3
3 3
2 2
1 1 1 1 x
y y x
x x
 
   
  
    
    
3
3 3
1 x
y x
 
  
 
 
3
1 x
y x
 
  
 
 
3
x
xy
