Este documento describe un experimento de laboratorio para el diseño y simulación de controladores PID analógicos. Los estudiantes usarán módulos analógicos para simular sistemas de primer orden e integradores y diseñar controladores PID usando diferentes métodos. El objetivo es estudiar las respuestas temporal y frecuencial de sistemas de control de primer y segundo orden.

1. Cap´
ıtulo 1
´
CONTROL PID DE MODULOS
´
ANALOGICOS
1.1 ´
Introduccion
El objetivo de esta pr´ctica es el estudio de las caracter´
a ısticas temporales y frecuenciales de
sistemas de primer y segundo orden, integradores etc. (tanto en bucle abierto como realimen-
tados) , as´ como el dise˜o de controladores cl´sicos: proporcional (P), proporcional+integral
ı n a
(PI) proporcional+derivativo (PD) y proporcional+integral+derivativo (PID).
Con esa finalidad se dispone de unos dispositivos de simulaci´n anal´gicos cuyo compor-
o o
tamiento se asimila al de sistemas de primer orden e integradores, as´ como al de controladores
ı
de los distintos tipos anteriormente mencionados.
Los aspectos b´sicos que debe desarrollar el alumno en el laboratorio son los siguientes:
a
1. Estudio e identificaci´n de la respuesta temporal de un sistema de primer orden en
o
bucle abierto.
2. An´lisis de la respuesta frecuencial de un sistema de primer orden en bucle abierto.
a
3. Estudio y caracterizaci´n de la respuesta temporal de un sistema de primer orden en
o
serie con un integrador en bucle cerrado.
4. An´lisis de la respuesta frecuencial de un sistema de segundo orden subamortiguado.
a
5. Dise˜o de controladores tipo PID por las reglas de Ziegler-Nichols.
n
6. Dise˜o de controladores tipo PID por m´todos anal´
n e ıticos o t´cnicas de cancelaci´n
e o
polo-cero.
1

2. 2 CAP´ ´ ´
ITULO 1. CONTROL PID DE MODULOS ANALOGICOS
7. Respuesta a las preguntas b´sicas que se exponen al final del cap´
a ıtulo.
Para generar las se˜ales de prueba (escalones, rampas, se˜ales senoidales, etc.) se dispone
n n
de generadores de se˜al de frecuencia variable. Cuando se quiera introducir un escal´n a
n o
la entrada de uno de los m´dulos se puede elegir una onda cuadrada de frecuencia m´
o ınima
para que le de tiempo al sistema en su evoluci´n a alcanzar el r´gimen permanente antes
o e
del siguiente cambio (lo mismo es aplicable a la rampa). Para analizar la evoluci´n de o
las variables del sistema (en general entrada y salida) se utilizar´n osciloscopios, escal´ndolos
a a
adecuadamente y situando las sondas en los puntos cuya evoluci´n temporal se desee analizar.
o
A lo largo de la descripci´n de la pr´ctica se van introduciendo a modo de ejemplo resultados
o a
experimentales obtenidos con los m´dulos para unos valores determinados de los par´metros
o a
que definen la evoluci´n del sistema. El alumno puede realizar la pr´ctica con dichos valores
o a
o bien vari´ndolos (recomendable). Los resultados obtenidos pueden diferir sensiblemente de
a
un m´dulo a otro para la misma elecci´n de los par´metros de dise˜o.
o o a n
1.2 ´
Requerimientos de la practica
• M´dulo de simulaci´n anal´gico de sistemas de primer orden e integradores (Fig. 1.1)
o o o
de LEYBOLD DIDACTIC, n´mero 734 09 (Simulated Control System).
u
• M´dulo de simulaci´n anal´gico de controladores PID (Fig. 1.2) de LEYBOLD DI-
o o o
DACTIC, n´mero 734 06 (PID Controller).
u
• Generador de se˜al.
n
• Osciloscopio.
• Cables de conexi´n.
o
• Fuente de alimentaci´n a +15, 0 y -15 V. (se pueden utilizar las de la marca FEEDBACK-
o
PS150E).
1.3 ´
Breve descripcion de los equipos
Para el correcto funcionamiento de los m´dulos de simulaci´n es preciso alimentarlos a +15,
o o
-15 y 0 V. (los operacionales internos necesitan tensiones positivas y negativas).

3. Laboratorio de Control de Procesos Industriales 3
14
15
1
9
2 10
11
3
12
4
5
13
6
8
7
16
17
Figura 1.1: M´dulo de simulaci´n de sistemas anal´gicos
o o o

4. 4 CAP´ ´ ´
ITULO 1. CONTROL PID DE MODULOS ANALOGICOS
20 15
19 16
1
8
2 9
3 10
4 11
5
12
6
13
7
17
14
18
Figura 1.2: M´dulo de control PID anal´gico
o o

5. Laboratorio de Control de Procesos Industriales 5
1.3.1 M´dulo de simulaci´n de sistemas anal´gicos
o o o
Descripci´n t´cnica
o e
1. Rango de tensi´n de la se˜al: −10... + 10 V.
o n
2. Este m´dulo puede ser utilizado como simulador de sistemas tipo proporcional (P), de
o
primer orden (PT1, PT2) e integradores (I, I2 ).
3. Las variables de perturbaci´n pueden ser alimentadas mediante un pulsador en la en-
o
trada Z (nodo (1) de la Fig. 1.1).
4. Poseen indicadores de saturaci´n.
o
5. Poseen una entrada adicional IOF F para efectuar la desconexi´n o descarga de los
o
integradores.
ısticas son: ganancia Ks : 0.2...1.5; constantes de
6. Los rangos de las variables caracter´
tiempo τ1,2 : 0.1 s...1000 s.
Descripci´n funcional
o
El sistema modular est´ representado en la Fig. 1.1. Se resumen a continuaci´n sus carac-
a o
ter´
ısticas funcionales principales:
1. Contiene b´sicamente dos elementos simuladores de sistemas de primer orden que
a
pueden ser tambi´n conectados como integradores actuando sobre los interruptores (4)
e
y (12).
2. El coeficiente de acci´n proporcional del sistema controlado Ks puede ser ajustado con
o
el bot´n (6) desde 0.2 (atenuaci´n) a 1.5 (amplificaci´n).
o o o
3. Las constantes de tiempo, medidas en segundos, se pueden ajustar (ajuste grueso) con
los botones (5) y (13) (×0, ×0.1, ×1, ×10, ×100) y el ajuste fino con (7) y (8) desde 1 a
10.
4. La variable de control u se introduce por el punto (2) como entrada. Una perturbaci´n
o
en forma de pulso de 2 V (DC) se obtiene pulsando el bot´n (1).
o
5. Los indicadores marcados como OVER (9) indican si los elementos de simulaci´n se
o
han saturado. Esto es importante cuando est´n operando como integradores.
a
6. La se˜al de reset de los integradores est´ accesible en la entrada IOF F (3) donde se les
n a
puede dar una condici´n (voltaje) inicial.
o
7. Las salidas de los m´dulos de simulaci´n pueden ser medidas en (10) (un solo elemento)
o o
y (11) (dos elementos en cascada).
8. La alimentaci´n viene dada por: 15 V. (14); 0 V. (16); −15 V. (17).
o

6. 6 CAP´ ´ ´
ITULO 1. CONTROL PID DE MODULOS ANALOGICOS
1.3.2 M´dulo de controladores PID anal´gicos
o o
Descripci´n t´cnica
o e
1. Controlador compacto est´ndar.
a
2. Rango de tensi´n de la se˜al: −10... + 10 V.
o n
3. 3 entradas con nodo de suma y nodo de prueba.
4. Indicador del rango de operaci´n frente al controlador.
o
5. Posee un nodo de suma a la salida para a˜adir o sustraer se˜ales de tensi´n.
n n o
6. Los controladores tipo I (acci´n integral) y D (acci´n derivada) pueden ser desconec-
o o
tados independientemente con el fin de obtener toda la gama (P, PI, PD, PID).
ısticas son: constante proporcional Kp : 0...1000;
7. Los rangos de las variables caracter´
tiempo derivativo Tv (Td en la notaci´n seguida): 0.2 ms...20 s; tiempo integral Tn
o
(Ti en la notaci´n seguida): 1 ms...100 s (todos con ajuste fino y grueso, adem´s de
o a
indicador de saturaci´n).
o
Nota: En lo que sigue, y dada la notaci´n empleada en los m´dulos, se denotar´ indis-
o o a
tintamente la constante de tiempo integral como Ti = Tn y la de tiempo derivativo como
T d = Tv .
Descripci´n funcional
o
Para el m´dulo PID (Fig. 1.2), al igual que con el m´dulo de simulaci´n, se describen a
o o o
continuaci´n sus caracter´
o ısticas funcionales principales:
1. Contiene los siguientes elementos:
(a) Un controlador proporcional (P), otro integral (I) y otro derivativo (D).
(b) Una entrada negativa (3) y otra positiva (2), que constituye un amplificador difer-
encial a la entrada del controlador. La se˜al de error puede ser medida en (19).
n
(c) Un indicador del signo de la se˜al de error (20).
n
(d) Un punto de suma (8) y otro de resta (9) a la salida.
2. La ganancia del controlador proporcional Kp puede ser ajustada - ajuste grueso - en
pasos ×0.1, ×1, ×10, ×100 con el bot´n (4) y de modo fino mediante un ajuste continuo
o
actuando sobre el bot´n (7) de 0 a 10.
o

7. Laboratorio de Control de Procesos Industriales 7
3. La acci´n integral, descrita por el tiempo integral Tn , medido en segundos, puede ser
o
activada con el interruptor I/OFF (5). El tiempo integral se puede ajustar - ajuste
grueso - con el bot´n (6) en pasos de ×0.01, ×0.1, ×1, ×10, ×100 y el ajuste fino viene
o
dado por el bot´n (14) de 0.1 a 1.
o
4. La acci´n derivada, descrita por el tiempo derivativo Tv , medido en segundos, puede
o
ser activada con el interruptor D/OFF (12). El ajuste grueso se consigue actuando
sobre el bot´n (11) y el ajuste fino sobre el (13) desde 0.02 hasta 0.2.
o
5. La se˜al de referencia se introduce por el punto (2), pudiendo utilizarse la entrada (3)
n
para realimentar la salida del sistema controlado y compararla con la referencia (bucle
de realimentaci´n). El indicador (20) se˜ala si la salida actual del sistema es mayor o
o n
menor que la referencia.
6. Las entradas (8) y (9) en el punto de suma a la salida del controlador permiten la
conexi´n de cargas para el estudio del efecto de las mismas en el bucle de realimentaci´n.
o o
Con la entrada (1) se puede descargar el t´rmino integral o darle un valor inicial (carga
e
del condensador interno).
7. La configuraci´n del controlador es la que se muestra en la Fig. 1.3. Como puede
o
observarse, la constante proporcional es com´n a los t´rminos proporcional, integral y
u e
derivativo (GP ID (s) = Kp (1 + 1/(Ti s) + Td s) = Kp (1 + 1/(Tn s) + Tv s)).
8. La alimentaci´n viene dada por: 15 V. (15); 5 V. (16); 0 V. (17); −15 V. (18).
o
Ki
I
Kp
E P U
Kd
D
Figura 1.3: Configuraci´n del controlador PID
o
1.4 Estudio de los sistemas a controlar
1.4.1 Sistema de primer orden
En este apartado se trata de caracterizar las respuestas temporal y frecuencial de un sistema
de primer orden. La respuesta temporal se puede estudiar analizando la evoluci´n del sistema
o
tras someterlo a una entrada en escal´n. Dicha respuesta se puede caracterizar por los
o
llamados tiempos de retraso (τd ), constante de tiempo del sistema (τ ) y ganancia est´tica
a
(K) que, como aparece en la Fig. 1.4, se definen:

8. 8 CAP´ ´ ´
ITULO 1. CONTROL PID DE MODULOS ANALOGICOS
• τd : Tiempo transcurrido desde que se da el escal´n a la entrada hasta que la salida
o
alcanza el 5 % del valor final de la respuesta.
• τ : Tiempo transcurrido desde τd hasta que se alcanza el 63 % del valor final de la
respuesta.
• K = Y /X, donde Y es el valor final de la respuesta y X es el valor del escal´n.
o
y
referencia
salida
valor final
63%
y x
5%
τd
τ t
Figura 1.4: Caracterizaci´n de la respuesta temporal de un sistema de primer orden
o
La caracterizaci´n del sistema en el dominio frecuencial vendr´ dada, por ejemplo, en forma
o a
de diagrama de Bode (magnitud y fase) o de Nyquist.
El estudio en frecuencia en sistemas lineales invariantes en el tiempo estables consiste en
excitar al dispositivo con una onda senoidal pura (u(t)) y observar en la salida la atenuaci´n
o
y el desfase producidos por el sistema (y(t)). Es decir, al introducir una entrada de la forma
u(t) = Asen(wt) a un sistema lineal invariante en el tiempo, la salida, en r´gimen permanente,
e
ser´ otra onda de la misma frecuencia desfasada y atenuada o amplificada y(t) = Bsen(wt+φ)
a
(ver Figura 1.5). De aqu´ se tiene que para cada frecuencia:
ı
B
|G(jw)| =
A
180o
|G(jw) = w Tdesf (1.1)
π
Donde el tiempo Tdesf es el retraso entre la onda de entrada y la de salida, como queda
definido en la Fig. 1.6. Los s´ ımbolos | | y | indican m´dulo y argumento respectivamente.
o
A la hora de convertir en la relaci´n (1.1) el desfase temporal, que puede medirse en el
o
osciloscopio, en desfase en grados, que ser´ el que se represente en el diagrama de Bode, lo
a

9. Laboratorio de Control de Procesos Industriales 9
que se ha hecho es usar una regla de proporcionalidad, haciendo corresponder el periodo de
la se˜al, en segundos, con un ciclo de 360 grados, y el desfase en segundos con el desfase en
n
grados:
T 360o
=
Tdesf desf o
Con todo esto, introduciendo consecutivamente se˜ales senoidales de distintas frecuencias w
n
se pueden ir obteniendo puntos para construir el diagrama de Bode en magnitud (midiendo
cociente entre amplitud de la onda de salida y la de entrada y expres´ndolo en dB) y fase
a
(midiendo desfase entre ondas de entrada y salida y pasando a grados).
Sistema Lineal
A sin(ω t) B sin(ω t + φ)
G (s )
Figura 1.5: Respuesta en r´gimen permanente ante senoide de un sistema lineal
e
T
Tdesf
A B
u(t) y(t)
t
Figura 1.6: Caracterizaci´n de la respuesta frecuencial de un sistema lineal
o
Caso pr´ctico
a
Respuesta temporal
Se trata de obtener los par´metros τd , τ y K experimentalmente utilizando los m´dulos de
a o
simulaci´n anal´gicos del laboratorio. Para ello se conecta uno de los m´dulos como sistema
o o o
de primer orden con ganancia Ks = 1 y constante de tiempo τ1 = 0.1 s. (el alumno puede

10. 10 CAP´ ´ ´
ITULO 1. CONTROL PID DE MODULOS ANALOGICOS
escoger estos mismo valores). La funci´n de transferencia que modela el sistema es:
o
Ks
G(s) =
(1 + s τ1 )
Tomando estos valores e introduciendo una onda cuadrada de frecuencia m´ ınima (0.2 Hz) y
amplitud 2 Vpp en (2), los resultados experimentales aproximados obtenidos para la respuesta
temporal - punto (10) - fueron los siguientes:
• τ1 = 1div · 0.1 segundos/div = 0.1 segundos. • τd = 0.01 s. • Ks = 1.
L´gicamente el resultado es el esperado. En los casos en que no est´ claro que exista retardo
o e
τd o ´ste sea muy peque˜ o no se tiene en cuenta.
e n
Respuesta frecuencial
Del mismo modo, introduciendo una entrada senoidal de distintas frecuencias y midiendo
cociente de magnitudes y desfase entre entrada y salida se obtuvo aproximadamente la tabla
siguiente:
FRECUENCIA (Hz) log10 (w) |G(jw)|dB |G(jw)
0.2 0.099 0.00 −6o
0.4 0.333 -0.44 −17o
0.6 0.576 -0.72 −21o
1.0 0.798 -1.93 −30o
2.0 1.099 -4.15 −50o
6.0 1.640 -12.04 −64o
10.0 1.798 -15.40 −72o
40.0 2.400 -20.00 −78o
0 0
−10
−5
−20
−10 −30
|_G(s) (grados)
|G(s)| (dB)
−40
−15
−50
−20 −60
−70
−25
−80
−30 −1 0 1 2 3
−90 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10 10 10 10
w (rad/s) w (rad/s)
Figura 1.7: Respuesta en frecuencia real y te´rica
o
En la Fig. 1.7 se comprueba que la respuesta en frecuencia coincide con la te´rica en la
o
mayor´ de los puntos, produci´ndose la mayor diferencia a altas frecuencias (aumenta la
ıa e

11. Laboratorio de Control de Procesos Industriales 11
incertidumbre sobre el sistema y los ruidos en la medida). La magnitud permanece aprox-
imadamente plana hasta llegar a la frecuencia de corte (1/τ1 rad/s ), en que comienza a
decrecer con una pendiente de -20 dB/d´cada como consecuencia de la existencia de un polo
e
en dicha frecuencia. La fase ser´ negativa y variar´ entre 0o y −90o , angulo este ultimo al
a a ´ ´
que tender´ asint´ticamente cuando la frecuencia tiende a infinito.
a o
1.4.2 Sistemas de segundo orden: modelado del motor de continua
Frecuentemente, los motores de corriente continua controlados por armadura, como se com-
probar´ en una pr´ctica posterior, tomando como salida la posici´n angular de los mismos,
a a o
se modelan como un sistema de primer orden en serie con un integrador. Si se realimenta
unitariamente el conjunto como aparece en la Fig. 1.8, se puede obtener la funci´n de trans-
o
ferencia t´
ıpica de un sistema de segundo orden.
θref ˙
θ 1 θ
Ks
1+τ1 s τ2 s
Figura 1.8: Modelo del motor de corriente continua realimentado unitariamente
La funci´n de transferencia de la cadena directa viene dada por:
o
Ks 1
Gcd (s) =
(1 + s τ1 ) τ2 s
En bucle cerrado:
Ks K wn 2
GBC (s) = = 2 2
Ks + τ2 s (1 + s τ1 ) s + 2 δ w n s + wn
Identificando par´metros se obtiene:
a
• Ganancia est´tica:
a
K=1
• Frecuencia natural del sistema:
Ks
wn =
τ1 τ2
• Factor de amortiguamiento:
τ2
δ = 0.5
Ks τ1

12. 12 CAP´ ´ ´
ITULO 1. CONTROL PID DE MODULOS ANALOGICOS
Especificaciones cl´sicas en el dominio del tiempo para el caso subamortiguado
a
Las especificaciones indican el comportamiento que se desea que tenga el sistema en bucle
cerrado. En el caso sencillo objeto de estudio, la cadena directa la constituye el sistema en
s´ (la posibilidad de elecci´n de la ganancia hace que sea equivalente a un sistema de control
ı o
con un controlador proporcional simple). Como se ha analizado en el cap´ ıtulo 3, dichas
especificaciones suelen ser definidas por una serie de par´metros:
a
−δ
√ π
• Sobreoscilaci´n: SO = e
o 1−δ 2
√
1−δ 2
• Tiempo de subida: ts = π−θ
√
wn 1−δ 2
, donde tan(θ) = δ .
• Tiempo de pico: tp = √π
wn 1−δ 2
.
• Tiempo de establecimiento (del 5 %): te = π
δ wn
En cuanto a la respuesta en frecuencia se puede obtener exactamente igual que en el caso de
primer orden.
Caso pr´ctico:
a
Respuesta temporal
Se escogen en los m´dulos los valores siguientes para la funci´n de transferencia:
o o
• Ks = 1.5.
• τ1 = 0.5 s
• τ2 = 0.1 s
Tomando estos valores y realizando el an´lisis anterior, cabe esperar que el sistema realimen-
a
tado unitariamente cumpla las siguientes especificaciones:
• Valores te´ricos (wn = 5.4772 rad/s, δ = 0.1826):
o
– SO% = 55.8% (lo normal es que se exija SO inferior al 30 %),
– ts = 0.3258 s,
– tp = 0.5834 s,
– te = 3.1416 s
Como se observa, con los valores escogidos se espera obtener una respuesta muy oscilatoria
(Fig. 1.9). Lo normal ser´ haber escogido un valor menor para Ks (que puede considerarse
ıa
como un controlador proporcional en serie con el sistema), de forma que se consiga disminuir

13. Laboratorio de Control de Procesos Industriales 13
Step Response
From: U(1)
1.6
1.4
1.2
1
Amplitude
To: Y(1)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6
Time (sec.)
Figura 1.9: Respuesta temporal del sistema realimentado unitariamente
la sobreoscilaci´n. Tambi´n puede conectarse el m´dulo PID y usar un s´lo controlador
o e o o
proporcional (se ha realizado el experimento s´lo con un m´dulo de simulaci´n por sencillez).
o o o
Dado que el sistema a la entrada no tiene ning´n punto en el que se puedan restar se˜ales,
u n
se utiliza el punto de suma que el otro m´dulo (PID) tiene en su salida. Para evitar ruidos,
o
se desconectan los t´rminos derivativo e integral de dichos m´dulos. La referencia en escal´n
e o o
se introduce por el punto (8) del m´dulo PID, y la se˜al de realimentaci´n procedente de la
o n o
salida del sistema (punto (11) del m´dulo de simulaci´n) se introduce en el punto de suma
o o
(9) del m´dulo PID. El error entre la salida y la referencia (10) se conecta con la entrada
o
del m´dulo de simulaci´n en (2), habiendo de esta forma realimentado el sistema. Si tras
o o
conectar de esta forma se introduce una onda cuadrada de baja frecuencia se obtiene en el
osciloscopio:
• Valores experimentales:
– SO% = 58%,
– ts = 0.3 s,
– tp = 0.57 s,
– te = 3.1 s
Respuesta frecuencial
La respuesta en frecuencia del sistema en bucle cerrado se obtiene por el mismo proced-
imiento empleado con el sistema de primer orden en bucle abierto. Los valores experimentales
obtenidos para los par´metros seleccionados fueron los siguientes:
a

14. 14 CAP´ ´ ´
ITULO 1. CONTROL PID DE MODULOS ANALOGICOS
Frec(Hz) Frec(rad/s) |G(jw)|dB |G(jw) (o )
0.2 1.2566 0.4827 -7.2
0.4 2.5133 0.9661 -14.4
0.6 3.7699 4.1777 -21.6
0.8 5.0265 9.3704 -63.36
1.0 6.2832 6.5171 -133.2
1.2 7.5398 0 -146.88
1.4 8.7965 -4.6090 -161.28
1.6 10.0531 -7.4022 -161.28
1.8 11.3097 -10.2058 -162.0
2.0 12.5664 -12.5678 -164.16
10
5
0
Magn(dB)
−5
−10
−15
−20
0 1
10 10
frec(rad/s)
0
−20
−40
−60
Fase(grados)
−80
−100
−120
−140
−160
−180
0 1
10 10
frec(rad/s)
Figura 1.10: Respuesta en frecuencia real y te´rica
o
En este caso, al tratarse de un sistema de segundo orden subamortiguado, se observa el efecto
de la resonancia cerca de la frecuencia natural del sistema. A partir de entonces la magnitud
decrece con una pendiente de 40 dB/d´cada.
e
La fase llega esta vez a alcanzar (w → ∞) los −180o debido a que el aporte de fase es de

15. Laboratorio de Control de Procesos Industriales 15
dos polos (complejos conjugados). Al igual que se hizo en el caso de un sistema de primer
orden, en la Fig. 1.10 aparece el diagrama de Bode obtenido comparado con el te´rico para
o
los par´metros seleccionados.
a
1.5 ´
Compensacion
En este apartado se van a analizar distintos algoritmos de control que se pueden implantar
usando el m´dulo PID.
o
1.5.1 Control por cancelaci´n de polos usando un controlador PI
o
Se va a utilizar un controlador PI para eliminar el error en r´gimen permanente ante entrada
e
en escal´n y aumentar la rapidez de respuesta de un sistema de primer orden controlado.
o
Como es bien sabido, al ser un sistema de primer orden de tipo cero, tiene en general, cuando
se realimenta unitariamente, un error en r´gimen permanente ante entrada escal´n no nulo.
e o
Por medio del controlador PI se elimina este error, consiguiendo adem´s una respuesta m´s
a a
r´pida. El esquema de control viene dado en la Fig. 1.11.
a
r(t) 1 Ks y(t)
Kp 1 + sTi 1+τ1 s
Figura 1.11: Esquema de control de un sistema de primer orden usando un controlador PI
La funci´n de transferencia de la cadena directa viene dada por:
o
Kp (1 + Ti s) Ks
Gba (s) =
s Ti (1 + τ1 s)
siendo Kp la ganancia del controlador PI y Ti el tiempo integral.
La compensaci´n por cancelaci´n de polos consiste en igualar el tiempo integral del PI con la
o o
constante de tiempo del sistema de primer orden (Ti = τ1 ). Con esto queda (si la cancelaci´n
o
es exacta):
Kp Ks
Gba (s) =
s Ti
Y cerrando el bucle:
1
Gbc (s) = Ti
1+ Kp Ks s

16. 16 CAP´ ´ ´
ITULO 1. CONTROL PID DE MODULOS ANALOGICOS
El sistema en bucle cerrado se reduce a un sistema de primer orden con constante de tiempo
equivalente τeq = Ti /(Kp Ks ) y ganancia est´tica unidad.
a
Caso pr´ctico
a
Tomando como valores para el sistema y el controlador PI:
• Ks = 1.5,
• τ1 = 1 s,
• Tn = 1 s (para cancelar),
• T´rmino derivativo desactivado.
e
Al aumentar la ganancia Kp , se consigue aumentar la rapidez de respuesta del sistema reali-
mentado.
• Te´ricamente:
o
Kp = 10 → τeq = 0.066 s
Kp = 0.66 → τeq = 1.0 s
Como se observa, tomando Kp menores de 0.66 no se consigue aumentar la rapidez de
respuesta del sistema realimentado respecto al sistema original. Sin embargo, el error en
r´gimen permanente ante entrada en escal´n s´ se anula siempre.
e o ı
• Valores experimentales:
Kp = 10 → τeq = 0.06 s
Kp = 0.66 → τeq = 0.95 s
Los resultados experimentales resultan muy pr´ximos a los te´ricos que se pueden observar
o o
en la Fig. 1.12 donde se muestra la salida del sistema realimentado con Kp = 10. Adem´s a
de una considerable mejora en la rapidez de respuesta, el sistema no tiene error en r´gimen
e
permanente.
1.5.2 Control PID por el M´todo de Ziegler-Nichols en bucle abierto y
e
Lugar de las Ra´
ıces
Los m´todos de Ziegler-Nichols [?] constituyen un mecanismo heur´
e ıstico para la compensaci´n
o
de sistemas. El m´todo de Z-N en bucle abierto, en particular, se utiliza cuando la respuesta
e

17. Laboratorio de Control de Procesos Industriales 17
1
0.9
0.8
0.7
0.6
salida
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
tiempo(s)
Figura 1.12: Respuesta a escal´n simulada del sistema de primer orden controlado con un PI
o
dise˜ado por cancelaci´n polo-cero.
n o
ante escal´n del sistema (en BA y sin compensar) es de tipo sobreamortiguado, es decir, no
o
presenta sobreoscilaci´n.
o
El m´todo consiste en aproximar la din´mica del sistema por un modelo de primer orden
e a
con constante de tiempo τ y ganancia K, y con un retardo puro τd , para despu´s aplicar
e
una regla heur´
ıstica que permite obtener una primera aproximaci´n para los par´metros del
o a
controlador. El procedimiento es el siguiente:
1. Tomar el sistema en bucle abierto y estudiar la respuesta temporal al escal´n. De esta
o
forma determinar una aproximaci´n al comportamiento de primer orden, calculando los
o
mencionados par´metros caracter´
a ısticos τd , τ y K.
2. Con estos datos se puede aproximar la funci´n de transferencia del sistema de la sigu-
o
iente forma:
K
G(s) = e−τd s
1+τs
3. Se aplica la regla heur´
ıstica seg´n el tipo de controlador que se vaya a utilizar en la
u
compensaci´n:
o
Controlador Kp Ti Td
τ
P Kτd – –
0.9 τ τd
PI Kτd 0.3 –
1.2τ
PID K τd 2 τd 0.5 τd

18. 18 CAP´ ´ ´
ITULO 1. CONTROL PID DE MODULOS ANALOGICOS
Caso pr´ctico
a
Considerar el sistema cuya funci´n de transferencia viene dada por:
o
1 1
G(s) = Ks
(1 + τ1 s) (1 + τ2 s)
Asignando a los par´metros del m´dulo de simulaci´n los valores:
a o o
• τ1 = 1 s,
• τ2 = 0.1 s,
• Ks = 1.5
se obtienen experimentalmente los equivalentes:
• τd = 0.1 s,
• τ = 0.9 s,
• K = 1.5
en la respuesta ante escal´n en bucle abierto.
o
Para compensar este sistema se pueden utilizar tres controladores en el m´todo de Ziegler-
e
Nichols:
a) Caso del controlador P. (Ver Fig. 1.13).
ref sal
Ks
Kp (1+τ1 s)(1+τ2 s)
Figura 1.13: Esquema con controlador proporcional P dise˜ado con las reglas de Ziegler-
n
Nichols
De acuerdo con la regla heur´ıstica dada, y para los valores antes determinados, resulta
Kp = 6. Con este dato se puede determinar el error en r´gimen permanente te´rico
e o
ante entrada en escal´n del sistema ya compensado:
o
1
erp = lim (sE(s)) = = 11%
s→0 (1 + Kp K)

19. Laboratorio de Control de Procesos Industriales 19
resultando el experimental del orden del 7%.
La funci´n de transferencia en bucle cerrado resulta:
o
1
Gbc (s) = Kp Ks
τ1 τ2 s2 + s(τ1 + τ2 ) + (1 + Kp Ks )
Identificando par´metros se obtiene:
a
τ 1 + τ2
δ= = 0.55
2 τ1 τ2 (1 + Kp Ks )
1 + Kp Ks
wn = = 10 rad/s
τ1 τ2
con los que se puede obtener unos valores te´ricos de sobreoscilaci´n y tiempo de subida:
o o
• SO% = 12%,
• ts = 0.26 s
Por otro lado, sobre el osciloscopio los datos obtenidos son:
• SO = 15.8%,
• ts = 0.3 s
Se observa que el tiempo de subida es bastante menor que la constante de tiempo
equivalente del sistema original. Adem´s, el error en r´gimen permanente ante entrada
a e
en escal´n ahora es s´lo del 7% frente al 40 % del sistema sin compensar. El resultado
o o
de la respuesta a escal´n del sistema compensado puede verse en la Fig. 1.14.
o
1
0.8
0.6
salida
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5
tiempo(s)
Figura 1.14: Respuesta del sistema controlado por un controlador proporcional dise˜ado con
n
el m´todo de Ziegler-Nichols
e
b) Caso del controlador PI. (Fig. 1.15).
El sistema es el mismo que en el caso anterior, s´lo que esta vez la regla heur´
o ıstica
permite calcular tanto la ganancia como el tiempo Ti .

20. 20 CAP´ ´ ´
ITULO 1. CONTROL PID DE MODULOS ANALOGICOS
ref sal
Kp (1+Ti s) Ks
Ti s (1+τ1 s)(1+τ2 s)
Figura 1.15: Sistema a controlar con el PI dise˜ado con las reglas de Ziegler-Nichols
n
• Kp = (0.9τ /(K · τd ) = 5.4
• Ti = τd /0.3 = 0.33
La ventaja de utilizar el PI es que anula por completo el error en r´gimen permanente
e
debido a su acci´n integral.
o
De la respuesta experimental obtener la sobreoscilaci´n y el tiempo de subida. Manip-
o
ular manualmente los par´metros Kp y Ti , para conseguir una mejora de la respuesta,
a
teniendo en cuenta los efectos que cabe esperarse de cada uno de ellos:
• Kp : Aumentar la ganancia proporcional permitir´, en general, aumentar la rapidez
a
de la respuesta, al tiempo que aumenta la sobreoscilaci´n.
o
• Ti : Un aumento del tiempo integral, provocar´ una disminuci´n del efecto integral.
a o
Como consecuencia se tardar´ m´s en anular el error en r´gimen permanente, pero
a a e
la respuesta ser´ menos sobreoscilante.
a
A continuaci´n, como m´todo alternativo para el dise˜o del PI, puede auxiliarse de la
o e n
herramienta rltool de matlab para ver el efecto que tendr´ sobre el lugar de las ra´
a ıces
una modificaci´n del par´metro Ti y para elegir un valor apropiado de la ganancia. En
o a
primer lugar, introducir en la ventana de comandos de matlab:
Ks = 1.5;
tau1 = 1;
tau2 = 0.1;
N = Ks;
D = conv([tau1,1],[tau2,1]);
sys = tf(N,D);
A continuaci´n, abrir la aplicaci´n de lugar de las ra´ interactivo para nuestro sistema
o o ıces
con:
rltool(sys)
1
A˜adir el polo en el origen y el cero en − Ti del controlador PI. Mover libremente
n
el cero, por ejemplo a la posici´n −1.5, y elegir un valor de ganancia apropiado, por
o
ejemplo K = Kp /Ti = 2. Ver la situaci´n de los polos y ceros en bucle cerrado. Aplicar
o
estos valores de los par´metros al sistema f´
a ısico (el valor de Ti es el inverso del valor
absoluto del cero), y caracterizar la respuesta obtenida.
c) Caso del controlador PID.
A partir de los datos conocidos, por la regla heur´
ıstica de la tabla, se pueden determinar
los par´metros del PID:
a

21. Laboratorio de Control de Procesos Industriales 21
• Kp = (1.2 τ /(K · τd ) = 7.2
• Ti = 2 τd = 0.2
• Td = 0.5 τd = 0.05
Medir la sobreoscilaci´n y el tiempo de subida de la respuesta obtenida en el osciloscopio.
o
Posteriormente, realizar un ajuste manual de los par´metros. A los comentarios que se
a
hicieron en el apartado anterior respecto a los efectos de una variaci´n en los par´metros
o a
Kp y Ti , cabe a˜adir que:
n
• Td : Un aumento del tiempo derivativo, significa un aumento del efecto derivativo,
que supondr´, en general, un mayor amortiguamiento de la respuesta. No podemos
a
abusar de esta acci´n porque se pueden producir amplificaci´n de los ruidos.
o o
Es interesante comentar que, como en el caso del PI, por la acci´n integral este sistema
o
tampoco tiene error en r´gimen permanente ante entrada en escal´n, mientras que
e o
su sobreoscilaci´n es menor que en el caso de controladores P y PI gracias al efecto
o
beneficioso en este caso del t´rmino derivativo.
e
Como segundo m´todo de dise˜o, se puede recurrir al lugar de las ra´
e n ıces. El dise˜o de
n
puede hacer de forma que los dos ceros que a˜ade el PID est´n en −6.5 y −0.3, y una
n e
ganancia de 7. Calcular los valores que corresponder´ a los par´metros Kp , Ti , Td :
ıan a
K (s + c1 ) (s + c2 ) Td Ti s2 + Ti s + 1
Gpid = = Kp
s Ti s
donde c1 = 6.5 y c2 = 0.3, para el caso particular visto. La correspondencia es:
c1 + c2
Ti =
c1 c2
1
Td =
c1 + c2
c1 + c 2
Kp = K
c2 c2
1 2
1.6 ´
Cuestiones sobre la practica
1. Comentar todos los resultados de los experimentos realizados.
2. Indique alguna posible causa por la que el esquema de control PI de sistemas de primer
orden por cancelaci´n de polos pueda provocar una respuesta que difiera de la esperada
o
te´ricamente.
o
3. Justifique si se puede controlar un sistema anal´gico constituido por un sistema de
o
primer orden en serie con un integrador por el m´todo de Ziegler-Nichols en bucle
e
cerrado.

22. 22 CAP´ ´ ´
ITULO 1. CONTROL PID DE MODULOS ANALOGICOS
4. Indique alg´n motivo por el que, en el caso considerado, el m´todo de Ziegler-Nichols
u e
en bucle abierto puede dar lugar a un sistema en bucle cerrado con un comportamiento
muy poco aceptable.