EA. Elementos Básicos ymonjn jlnpmopores.pdf

ELECTRICIDAD CORRIENTE
ALTERNA
Unidad 2
Elementos básicos y fasores

Electricidad Corriente Alterna
2.- Elementos básicos y fasores
2.1.- Introducción
2.2.- Respuesta de los elementos R, L y C básicos aun voltaje o
corriente senoidal
2.3.-Potencia promedio y factor de potencia
2.4.- Números complejos
2.5.- Forma rectangular
2.6.- Forma polar
2.7.- Conversión entre formas
2.8.- Métodos de calculadora con números complejos
2.9.- Fasores

ELECTRICIDAD CORRIENTE ALTERNA
2.1.- INTRODUCCIÓN
OBJETIVO: Se familiariza con la respuesta de un R, L y C a la
aplicación de un voltaje o corriente senoidal.
• Aprende cómo se aplica el formato de fasor para sumar y restar
formas de onda senoidales.
• Entiende cómo se calcula la potencia real suministrada a
elementos resistivos y la potencia reactiva suministrada a
elementos inductivos y capacitivos.

2.1. Introducción.
Objetivo: Se familiariza con la respuesta de un R, L y C a la
En esta unidad se examina la respuesta de los elementos R, L y C básicos a un
voltaje o corriente senoidal, con una nota especial sobre cómo afecta la frecuencia
la característica “opositora” de cada elemento.
Luego se presenta la notación fasorial para establecer un método de análisis que
permita una correspondencia directa con varios métodos, teoremas y conceptos
que se presentaron en los capítulos de cd.

2.2 - Respuesta de los elementos R, L y C
básicos a un voltaje o corriente senoidal
OBJETIVO: Se familiariza con la respuesta de un R, L y C a la

Circuito
2.2 - Respuesta de los elementos R, L y C básicos
Objetivo: Se familiarizacon la respuesta de un R, L y C a la aplicación de un
voltaje o corriente senoidal.
Curva en el dominio
del tiempo
2.2.1.-RESISTOR
En un elemento puramente resistivo, el voltaje y corriente que pasan a través del elemento
están en fase, con sus valores pico relacionados por la ley de Ohm.
Ley de Ohm
2
R R
m
V I R
V

2
m
I

m m
R
V I R

R=Resistencia en ohms ()
VR=Voltaje rms o eficaz en volts (V)
IR= Corriente rms o eficaz en Amperes (A)
Vm=Voltaje Máximo (V)
Im=Corriente máxima (A)
( )
( )
Para que e esten
en fase, =
R m v
R m i
v i
v V sen t
i I sen t
v i
 
 
 
 
 

2.2.2.- INDUCTOR
I
L L L
m m L
V I X
V X


Ley de Ohm
Curva en el dominio
del tiempo
2
L
X L fL
 
 
2.2 - Respuestade los elementosR, L y C básicos
Objetivo:Se familiarizacon la respuestade un R, L y C a la aplicación de un
En un inductor, vL va 90° delante de iL, o bien iL va 90° detrás de vL.
Circuito
XL=Reactancia inductiva en ohms ()
L=Inductancia en Henrios (H)
VL=Voltaje rms o eficaz (V)
IL= Corriente rms o eficaz (A)
( )
( )
Para que esté 90°
delante de , 90
R m v
R m i
v i
v V sen t
i I sen t
v
i
 
 
 
 
 
  

2.2.3.- CAPACITOR
C C C
m m C
V I X
V I X


Ley de Ohm
Curva en el dominio
Del tiempo
1 1
2
C
X
C fC
 
 
En un capacitor, iC va 90° delante de vC, o vC va 90° detrás de iC.
Circuito
XC=Reactancia capacitiva en ohms ()
C=Capacitancia en Faradios (F)
VC=Voltaje rms o eficaz (V)
IC= Corriente rms o eficaz (A)
( )
( )
Para que esté 90°
delante de , 90
R m v
R m i
v i
v V sen t
i I sen t
i
v
 
 
 
 
 
   

Ejemplo 1.
Se indica el voltaje que pasa a través de un resistor. Determine la expresión senoidal para la corriente si el
Resistor es de 10 . Trace las formas de onda de v e i.
a)v=100 sen377t
b)v=25sen(377t+60°)
Solución:
100
10
10
y como =0° 10 377
m
m m m
v i
V V
V I R I A
R
i sen t A
 
    

  
)
10
100
0
?
m
v
a
R
V V
i

 

 

)
10
25
60
?
m
v
b
R
V V
i

 

 

25
2.5
10
y como =60° 2.5 (377 60 )
m
m m m
v i
V V
V I R I A
R
i sen t A
 
    

    

Ejemplo 2.
Se da la corriente que pasa a través de un resistor de 5 . Determine la expresión senoidal para el
voltaje que pasa a través del resistor de i=40sen(377t+30°).
Solución:
(40 )(5 ) 200
y como =30° 200 (377 30 )
m m
m
v i
V I R
V A V
v sen t V
 

  
    
5
40
30
?
m
i
R
I A
v

 

 


Ejemplo 3.
Se da la corriente que fluye a través de una bobina de 0.1 H. Determine la expresión senoidal para el voltaje a través
de la bobina. Trace las formas de onda de v e i.
a) i=10 sen377t
b) i=7sen(377t-70°)
Solución:
(377 / )(0.1 ) 37.7
(10 )(37.7 ) 377
y como en un inductor: =90° 90 0 90
377 (377 90 )
m m L
L
m
v i v
V I X
pero X L rad s H
V A V
v sen t V

  

   
  
       
   
)
0.1
10
377rad/s
0
?
m
i
a
L H
I A
v





 

(377 / )(0.1 ) 37.7
(7 )(37.7 ) 263.9
y como en un inductor: =90° 90 ( 70 ) 20
263.9 (377 20 )
m m L
L
m
v i v
V I X
pero X L rad s H
V A V
v sen t V

  

   
  
        
   
)
0.1
7
377rad/s
70
?
m
i
b
L H
I A
v





  


Ejemplo 4.
A continuación, se da el voltaje que pasa a través de una bobina de 0.5 H. ¿Cuál es la expresión senoidal para la
corriente?
v=100sen20t V
Solución:
0.5
100
20rad/s
0
?
m
v
L H
V V
i





 

(20 / )(0.5 ) 10
100
5
10
y como en un inductor: =90° 90 90
5 (20 90 )
m
m m L m
L
L
m
m
L
v i i v
V
V I X I
X
pero X L rad s H
V V
I A
X
i sen t A

   
  
   
  

       
   

Ejemplo 5.
A continuación, se da el voltaje que pasa a través de un capacitor de 1 μF. ¿Cuál es la expresión senoidal para la
corriente? Trace las formas de onda de v e i.
v=30sen400t V
Solución:
1
30
400rad/s
0
?
m
v
C F
V V
i






 

6
1 1
2500
(400rad/s)(1 10 )
30
0.012 12
2500
y como en un capacitor: = 90 90 0 90
12 (400 90 )
m
m m C m
C
C
m
m
L
v i i v
V
V I X I
X
pero X
C F
V V
I A mA
X
i sen t mA

   

  
   

   

          
   

Ejemplo 6.
Se da la corriente que pasa a través de un capacitor de 100 μF. Determine la expresión senoidal para el voltaje que
pasa por el capacitor.
i=40sen(500t+60°) A
Solución:
100
40
500rad/s
60
?
m
i
C F
V V
v






 

6
1 1
20
(500rad/s)(100 10 )
(40 )(20 ) 800
y como en un capacitor: = 90 90 60 90 30
800 (500 30 )
m m C
C
m m C
v i v i
V I X
pero X
C F
V I X A V
v sen t V

   


   

   
             
   

Ejemplo 7. Para los siguientes pares de voltajes y corrientes, determine si el elemento implicado es un
capacitor, un inductor, o un resistor. Determine el valor de C, L o R si los datos son suficientes (figura):
a) v = 100 sen (ωt + 40°)
i = 20 sen(ωt + 40°)
b) v = 1000 sen (377t + 10°)
i = 5 sen (377t – 80°)
c) v = 500 sen (157t + 30°)
i = 1 sen (157t + 120°)
d) v = 50 cos (ωt + 20°)
i = 5 sen (ωt + 110°)

a) v = 100 sen (ωt + 40°)
i = 20 sen(ωt + 40°)
b. v = 1000 sen (377t + 10°)
i = 5 sen (377t – 80°)
Como =40° las ondas de v e i estan en fase, por
lo que el elemento implicado se trata de un Resistor
100
5
20
v i
m
m m
m
V V
V I R R
I A
 

     
Solución:
100
20
40
40
?
m
m
v
i
V V
I A
Elemento




 
 

1000
5
377rad/s
10
80
?
m
m
v
i
V V
I A
Elemento






 
  

Como 10 ( 80 ) 90 indica que se adelanta 90° a
por lo que ele elemento implicado es un Inductor.
1000
200
5
200
0.53
377rad/s
v i
m
m m L L
m
L
L
v i
V V
V I X X
I A
X
pero X L L H
 


       
     

    

c. v = 500 sen (157t + 30°)
i = 1 sen (157t + 120°)
d. v = 50 cos (ωt + 20°)
i = 5 sen (ωt + 110°)
Como 30 (120 ) 90 indica que se adelanta 90° a
por lo que ele elemento implicado es un Capacitor.
500
500
1
1 1 1
12.74
(157rad/s)(500 )
v i
m
m m C C
m
C
C
i v
V V
V I X X
I A
pero X C F
C X
 

 
       
     
    

500
1
157rad/s
30
120
?
m
m
v
i
V V
I A
Elemento






 
 

Usando la identidad: cos ( 90 )
50cos( 20 ) 50 ( 20 90 )
50 ( 110 )
50
5
110
110
?
m
m
v
i
sen
v t sen t
v sen t V
V V
I A
Elemento
 
 



  
       
  


 
 

Como =110° las ondas de e estan en fase, por
lo que el elemento implicado se trata de un Resistor
50
10
5
v i
m
m m
m
v i
V V
V I R R
I A
 

     

2.3 – Potencia promedio y factor de
potencia
OBJETIVO: Entiende cómo se calcula la potencia real
suministrada a elementos resistivos y la potencia reactiva
suministrada a elementos inductivos y capacitivos.

2.3 – Potencia promedio y factor de potencia
Objetivo: Entiende cómo se calcula la potencia suministrada a
elementos resistivos, inductivos y capacitivos.
 Potencia promedio y factor de potencia.
¿Cómo puede un voltaje o corriente senoidal suministrar potencia a una
carga si parece que lo hace durante una parte de su ciclo y la retoma
durante la parte negativa del ciclo senoidal?
VT = Voltaje Total
P= R x I2 = (2v)(4 A)2 = 32 W

¿Cómo puede un voltaje o corriente senoidal suministrar potencia a una
carga si parece que lo hace durante una parte de su ciclo y la retoma
durante la parte negativa del ciclo senoidal?

 
v
m t
V
v 


 sen
Determinación de la potencia
entregada en una red senoidal de c.a.
CARGA
+
v
-
i
p
 
i
m t
I
i 


 sen
   
i
m
v
m t
I
t
V
vi
p 






 sen
sen
 
i
v
m
m
i
v
m
m
t
I
V
I
V
p 








 2
cos
2
)
cos(
2

La potencia promedio, o potencia real, es la potencia entregada a, y
disipada por, la carga.
 
i
v
m
m
i
v
m
m
t
I
V
I
V
p 








 2
cos
2
)
cos(
2
La magnitud de la potencia promedio entregada es independiente de si v
adelanta a i o i adelanta a v.

 cos
rms
rms I
V
P
Q= V x I x Sen Ø
Potencia Reactiva
Potencia promedio o real
( )
v i
  
 

Resistor
En un circuito puramente resistivo, dado que v e i están en fase, [Ɵv - Ɵi ] = Ɵ=0°, y cos Ɵ
= cos 0° = 1, de modo que
o, puesto que
entonces
(A)

Inductor
En un circuito puramente inductivo, puesto que v va 90° adelante de i, [Ɵv - Ɵi ] = Ɵ= [-90°]= 90°, por
consiguiente,
La potencia promedio, o potencia disipada por el inductor ideal (no asociada con la
resistencia), es de cero watts.
Capacitor
En un circuito puramente capacitivo, puesto que i va 90° delante de v |Ɵv - Ɵi | = Ɵ = |-90°|= 90°, por
consiguiente,
La potencia promedio o la potencia disipada por el capacitor ideal (no asociada con la
resistencia) es de cero watts.

Donde:
Para una carga puramente reactiva (inductiva o capacitiva), el ángulo de
fase entre v e i es de 90° y f.p. = cos 90°= 0


 cos
.
.
potencia
de
Factor p
f
Para una carga puramente resistiva, el ángulo de fase entre v e i es de 0°
y f.p. = cos θ=cos 0° = 1.
Cuando la carga es una combinación de elementos resistivos y reactivos,
el factor de potencia varía entre 0 y 1.
Cuanto más resistiva es la impedancia total, más se acerca a 1 el factor de
potencia;
Cuanto más reactiva es la impedancia total, más se acerca a 0 el factor
de potencia.

Factor de potencia
Pot. Aparente= S en KVA (kilo-volts-amperes)
Pot. Reactiva = Q en VAR (Volts-amperes-reactivos)
Pot. Activa o real= P en W (Watts)
(Todo valor que este por debajo 0.9 -1 se dice que tenemos un bajo factor de
potencia)
Factor de potencia EXCELENTE
1, 0.99, 0.98, 0.97, 0.96, 0.95, 0.94,
0.93, 0.92, 0.91……0.90……
Factor de potencia con una Penalización
Cos 
0.86, 0.82, 0.82, 0.78, 0.74, 0.73, 0.64………………0.00

En función de la potencia promedio y el voltaje y corriente terminales,
rms
rms I
V
P
p
f cos
.
. 


Las redes capacitivas tienen factores de potencia de adelanto, y las redes inductivas
tienen factores de retraso.

EJEMPLO 8. Determine la potencia promedio disipada en una red cuya corriente y
voltaje de entrada son los siguientes:

𝑃 =
𝑉 𝐼
2
=
(10𝑣)(5𝐴)
2
cos 0° = 25 𝑤
𝑅 =
𝑉
𝐼
=
10𝑣
5 𝐴
= 2 Ω
𝑃 =
𝑉
𝑅
=
(0.707)(10 𝑉)
5 𝐴
= 25 𝑤

EJEMPLO 9. Determine los factores de potencia de las siguientes cargas e indique si son
de adelanto o de retraso:
a. Figura 9.35

EJEMPLO 10. Determine los factores de potencia de las siguientes cargas e indique si
son de adelanto o de retraso:
b. Figura 9.36

En resumen:
Potencia promedio o real: Potencia suministrada a, y disipada por, la
carga durante un ciclo completo.
Reactancia: Oposición de un inductor o capacitor al flujo de carga que
resulta del intercambio continuo de energía entre el circuito y el campo
magnético de un inductor, o el campo eléctrico de un capacitor.
Factor de potencia (Fp): Indicación de qué tan reactivo o resistivo es un
sistema eléctrico. A mayor factor de potencia, más grande es el
componente resistivo.
elementos resistivos, inductivos y capacitivos.c

2.4 – Números complejos
OBJETIVO: Representará las corrientes y voltajes de c.a. en
el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.

Objetivo: Representará las corrientes y voltajes de c.a. en el
dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.
El propósito de éste tema es presentar un sistema de números complejos que
cuando se relacione con una forma de onda de c.a. sinusoidal dé por resultado una
técnica para determinar la suma algebraica de formas de onda sinusoidales que
sea rápida, directa y precisa.
Un número complejo representa un punto en un
plano bidimensional localizado con respecto a
dos ejes distintos. Este punto también puede
determinar un vector trazado del origen al
punto.
- j
Eje imaginario (j)
+
-
+ j
Eje real
Se utilizan dos formas para representar un
número complejo: rectangular y polar. Cada
una puede representar un punto en el plano o
un radio vector trazado del origen a dicho
punto.

El formato para la forma rectangular es:
jY
X
C 

Definición de la forma rectangular
- j
C = X + jY
+
-
j
Y
X
Define un punto en el plano complejo,
que incluye la magnitud del
componente real y la magnitud del
componente imaginario, el ultimo
componente se define con una letra j
asociada.

El formato para la forma polar es:


 Z
C
- j
C
z
θ
+
-
j
Definición de la forma polar
Define un punto en el plano complejo,
que incluye una sola magnitud para
representar la distancia al origen Z, y θ
siempre se mide en sentido contrario al
de las manecillas del reloj a partir del
eje real positivo.

2.7 – Conversión entre formas

 Conversión entre formas.
De rectangular a polar
De polar a rectangular
Conversión entre formas
2
2
Y
X
Z 

X
Y
1
tan



 cos
Z
X

 sen
Z
Y - j
C= Z  θ = X + jY
+
-
j
Y
X
θ
Z


 Z
C
jY
X
C 


EJEMPLO 11. Convierta lo siguiente de forma rectangular a forma polar:

EJEMPLO 12. Convierta el siguiente número de forma polar a forma rectangular:

 cos
Z
X

 sen
Z
Y

Conjugado complejo
El conjugado o conjugado complejo de un número complejo puede determinarse
simplemente cambiando el signo de la parte imaginaria en la forma rectangular, o utilizando
el negativo del ángulo de la forma polar. Por ejemplo, el conjugado de
es
como se muestra en la figura.

El conjugado de
es
como se muestra en la figura.

2.9 – Fasores

2.9 – Fasores
Objetivo: Representará las corrientes y voltajes de c.a. en el dominio
del tiempo y en el dominio de la frecuencia.
Proceso largo y tedioso con una precisión limitada.
La adición de voltajes y corrientes
senoidales se requiere con frecuencia
en el análisis de circuitos de ca. Un
método largo pero válido de realizar
esta operación es colocar ambas
formas de onda senoidales en el
mismo sistema de ejes, y sumar
algebraicamente las magnitudes de
cada una en cada punto a lo largo de
la abscisa, como se muestra para c =
a+b en la figura.

Suma de dos formas de onda sinusoidales utilizando fasores.







 43
.
63
V
236
.
2
90
V
2
0
V
1
Representación fasorial de
las formas de onda
senoidales de la izquierda.
2.9 – Fasores
donde V e I son valores rms y θ es el ángulo de
fase.

En resumen:
Fasor. Radio vector de magnitud constante que forma un ángulo fijo
con el eje real positivo, y que representa un voltaje o corriente
sinusoidal en el dominio de la frecuencia.
Diagrama fasorial. “Fotografía instantánea” de los fasores que
representan como magnitud y fase varias formas de onda sinusoidales
en el instante t = 0.
Si se requiere la suma de dos senoides, deberá convertirlas primero al
dominio de la frecuencia(fasorial) y determinar la suma con álgebra
compleja. Luego puede convertir el resultado al dominio de tiempo.
2.9 – Fasores

En general, en todos los análisis siguientes, la forma fasorial de un
voltaje o corriente sinusoidal será:
θ
V

V y θ
I

I
Donde V e I son valores rms (eficaces) y θ en el ángulo de fase. Es
importante observar que en notación fasorial la onda seno siempre es la
referencia, y la frecuencia no está representada.
El algebra fasorial para cantidades sinusoidales es aplicable sólo para
formas de onda que tienen la misma frecuencia.
2.9 – Fasores

2.9 – Fasores
EJEMPLO 13. Convierta los siguientes fasores del dominio de tiempo al dominio fasorial:

2.9 – Fasores
EJEMPLO 14. Escriba la expresión senoidal para los siguientes fasores si la frecuencia es
de 60 Hz:

Ejemplo 15. Determine el voltaje de entrada eent del circuito de la figura si:
 
 






60
377
sen
30
30
377
sen
50
t
v
t
v
b
a
f = 60 Hz
2.9 – Fasores

2.9 – Fasores

Ejemplo 16.
Determine la corriente i2 para la red de la figura:
2.9 – Fasores

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