FACULTAD DE TECNOLOGÍA 11UMSA.docx

FACULTAD DE TECNOLOGÍA UMSA
CARRERA: MECÁNICA AUTOMOTRIZ
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN N° 1
MECÁNICA DE FLUIDOS ITA -332
TEMA: Fundamento del Flujo de Fluidos.
DATOS REFERENCIALES
MATERIA Mecanica de Fluidos
NOMBRE DEL DOCENTE M.Sc. Víctor A. Apaza Flores
NOMBRE DEL ESTUDIANTE Fernando Raul Aranda Suxo
CURSO Mecanica de Fluidos “A”
FECHA DE ENTREGA 16 de Marzo del 2022
La Paz – Bolivia

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
INTRODUCCION:
La ecuación de continuidad o conservación de masa es una herramienta muy útil
para el análisis de fluidos que fluyen a través de tubos o ductoscon diámetro
variable. En estos casos, la velocidad del flujo cambia debido a que el área
transversal varía de una sección del ducto a otra.
Si se considera un fluido con un flujo a través de unvolumen fijo como un tanque
con una entrada y una salida, la razón con la cual el fluido entra en el volumen
debe ser igual a la razón con la que el fluido sale del volumen para que se cumpla
elprincipio fundamental de conservación de masa
CONCEPTO:
La ecuación de continuidad es un producto de la ley de conservación de la
masa, que manifiesta que en un conducto o tubería, sin importar su sección;
mientras no existan derivaciones, la cantidad de fluido que entra por uno de sus
extremos debe salir por el otro. O sea que se conserva el fluido a través de una
cañería.
Desarrollo teórico
El principal objetivo que tiene la química atmosférica es comprender de
forma cuantitativa cómo las diferentes concentraciones de las especies
dependen de los procesos de control entre los cuales tenemos
las emisiones, transporte, química y deposición. Esta dependencia se
expresa de forma matemática por medio de la ecuación de continuidad, que
se encarga de proporcionar la base necesaria para todos los modelos
de investigación de química con respecto a la atmósfera.

Desarrollo de modelos matemáticos
La ecuación de continuidad es la relación que existe entre el área y
la velocidad que tiene un fluido en un lugar determinado y que nos dice que
el caudal de un fluido es constante a lo largo de un circuito hidráulico.
Respuesta:
Explicación:
La ecuación de la continuidad está dada por:
Donde A es el área y v la velocidad del flujo en ese instante y lugar.
Ejemplos de cálculos aplicados
Ejemplo. Por el siguiente conducto circula un caudal de 1250 m³ cada hora ,
conociendo que el diámetro de la cañería en la sección 1 es de 12 cm y en la
sección 2 es de 8 cm . Calcular la velocidad del fluido en cada una de las
secciones. El fluido es agua.
Sección 1 Sección 2 Aplicando el principio de continuidad tenemos:
Q 1 = Q 2
Y como tenemos como dato que el caudal es de 1250 m³ / h, sustituimos la hora
por 60 minutos y cada minuto por 60 segundos y obtenemos:

1 Hora = 60 min = 60 x 60 seg = 3600 seg
Por lo tanto el caudal sería: Q = 1250 m ³ / h = 0,347 m ³ / seg
Y como el caudal es:
𝑄 = 𝑉 ∙ 𝐴
Teniendo como dato de partida el caudal nos faltaría conocer el área de la
sección para poder determinar la velocidad. Como la cañería es de sección
circular, el área de un circulo es :
𝐴𝐶 = 𝜋 ∙ 𝑑 2/4 ó 𝐴𝐶 = 𝜋 ∙ 𝑟 2
El área de la sección 1 por lo tanto será:
A 1 = 0,0113 m²
El área de la sección 2 será:
A 2 = 0,005 m ²
Teniendo el valor del área de las secciones 1 y 2 , volvemos a la ecuación de
continuidad:
Por lo que:
𝑄1 = 𝑉1 ∙ 𝐴1
𝑉1 = 𝑄1/𝐴1 = 0,347 𝑚3 ⁄𝑠𝑒𝑔 0,0113 𝑚2 = 30,7 𝑚⁄𝑠𝑒𝑔
Realizando los mismos cálculos en la sección 2, obtenemos:
𝑉2 = 𝑄2/𝐴2 = 0,347 𝑚3 ⁄𝑠𝑒𝑔 0,005 𝑚2 = 69,4 𝑚⁄𝑠𝑒𝑔
Respuesta: La velocidad del fluido en la sección 1 es de 30,7 metros por segundo
y en la sección 2 es de 69,4 metros por segundo.
BIBIOGRAFIA:
http://www.inacap.cl/web/material-apoyo-
cedem/profesor/Construccion/Mecanica-de-los-Fluidos/G02Mecanica-de-los-
Fluidos-Ecuacion-de-Continuidad.pdf

PDF DE MECANICA DE FLUIDOS
PDF DE ECUACION DE CONTINUIDAD
PDF DE EJERCICIOS BASICOS DE ECUACION DE CONTINUIDAD
¿Qué es la ecuación de energía?
Introducción
El Principio de conservación de la energía indica que la energía no se crea ni se
destruye; sólo se transforma de unas formas en otras. En estas transformaciones, la
energía total permanece constante; es decir, la energía total es la misma antes y
después de cada transformación.
En el caso de la energía mecánica se puede concluir que, en ausencia de
rozamientos y sin intervención de ningún trabajo externo, la suma de las energías
cinética y potencial permanece constante. Este fenómeno se conoce con el nombre
de Principio de conservación de la energía mecánica.
Historia
Los filósofos de la antigüedad, como Tales de Mileto (550 a.C.), ya tenían
indicios de la conservación de una sustancia subyacente de la que está hecho
todo. Sin embargo, no hay ninguna razón especial para identificar sus teorías
elástica e inelástica. Esto condujo a la disputa entre los investigadores
posteriores sobre cuál de estas cantidades conservadas era la más fundamental.
En su Horologium Oscillatorium, dio una afirmación mucho más clara sobre la
altura de ascenso de un cuerpo en movimiento, y relacionó esta idea con la
imposibilidad de un movimiento perpetuo. El estudio de Huygens sobre la
dinámica del movimiento pendular se basaba en un único principio: que el centro
de gravedad de un objeto pesado no puede elevarse por sí mismo.
Fue Leibniz quien, durante los años 1676-1689, intentó por primera con lo que
hoy conocemos como "masa-energía" (por ejemplo, Tales pensaba que era el
agua). Empédocles (490-430 a.C.) escribió que en su sistema universal,
compuesto por cuatro raíces (tierra, aire, agua y fuego), nada nace ni perece,10
sino que estos elementos sufren una continua reordenación. Por su
parte, Epicuro (c. 350 a.C.) creía que todo el universo estaba compuesto por

unidades indivisibles de materia -el antiguo precursor de los "átomos"- y también
tenía cierta idea de la necesidad de la conservación, afirmando que la suma total
de las cosas fue siempre tal como es ahora, y así seguirá siendo siempre.11
En 1605, Simon Stevin pudo resolver una serie de problemas de estática
basándose en el principio de que el movimiento perpetuo era imposible.
En 1639, Galileo publicó su análisis de varias situaciones -incluido el
célebre péndulo interrumpido- que pueden describirse (en lenguaje moderno)
como una conversión conservadora de energía potencial en energía cinética y
viceversa. Básicamente, señaló que la altura a la que se eleva un cuerpo en
movimiento es igual a la altura desde la que cae, y utilizó esta observación para
deducir la idea de inercia. Lo notable de esta observación es que la altura a la
que asciende un cuerpo en movimiento sobre una superficie sin fricción no
depende de la forma de la superficie.
En 1669, Christiaan Huygens publicó sus leyes de la colisión. Entre las
cantidades que enumeró como invariantes antes y después de la colisión de los
cuerpos estaban tanto la suma de sus momentos lineales como la suma de sus
energías cinéticas. Sin embargo, en aquella época no se comprendía la
diferencia entre colisión vez una formulación matemática del tipo de energía que
está relacionada con el movimiento (energía cinética). Utilizando el trabajo de
Huygens sobre la colisión, Leibniz observó que en muchos sistemas mecánicos
(de varias masas, mi, cada una con velocidad vi),
∑ 𝑚𝑖𝑣
2
𝑖
𝑖
se conservaba mientras las masas no interactuaran. Llamó a esta cantidad la vis
viva o fuerza viva del sistema. El principio representa una declaración precisa de
la conservación aproximada de la energía cinética en situaciones en las que no
hay fricción. Muchos físicos de la época, como Newton, sostenían que
la conservación del momento, que se mantiene incluso en sistemas con fricción,
como se define por el momento:
∑𝑚𝑖𝑣𝑖
𝑖

era la vis viva conservada. Más tarde se demostró que ambas magnitudes se
conservan simultáneamente, dadas las condiciones adecuadas, como
una colisión elástica.
En 1687, Isaac Newton publicó su Principia, que se organizó en torno al
concepto de fuerza e impulso. Sin embargo, los investigadores no tardaron en
reconocer que los principios expuestos en el libro, aunque estaban bien para las
masas puntuales, no eran suficientes para abordar los movimientos de los
cuerpos rígidos y fluidos. Se necesitaban también otros principios.
La ley de conservación de la vis viva fue defendida por el dúo de padre e
hijo, Johann y Daniel Bernoulli. El primero enunció en 1715 el principio
del trabajo virtual utilizado en la estática en toda su generalidad, mientras que el
segundo basó su Hydrodynamica, publicada en 1738, en este único principio de
conservación. El estudio de Daniel sobre la pérdida de vis viva del agua que fluye
le llevó a formular el principio de Bernoulli, que relaciona la pérdida con la
variación de la presión hidrodinámica. Daniel también formuló la noción de
trabajo y eficiencia para las máquinas hidráulicas; y dio una teoría cinética de los
gases, y relacionó la energía cinética de las moléculas del gas con la temperatura
del mismo.
Esta atención a la vis viva por parte de los físicos continentales condujo
finalmente al descubrimiento de los principios de estacionariedad que rigen la
mecánica, como el principio de D'Alambert, la Lagrangiana y las
formulaciones Hamiltoniana de la mecánica.
Émilie du Châtelet (1706-1749) propuso y comprobó la hipótesis de la
conservación de la energía total, a diferencia del momento. Inspirada por las
teorías de Gottfried Leibniz, repitió y dio a conocer un experimento ideado
originalmente por Willem's Gravesande en 1722 en el que se dejaban caer bolas
desde diferentes alturas en una lámina de arcilla blanda. Se demostró que la
energía cinética de cada bola -indicada por la cantidad de material desplazado-
era proporcional al cuadrado de la velocidad. Se comprobó que la deformación
de la arcilla era directamente proporcional a la altura desde la que se lanzaban
las bolas, igual a la energía potencial inicial. Los anteriores trabajadores,
incluidos Newton y Voltaire, creían que la "energía" (en la medida en que
entendían el concepto) no era distinta del momento y, por tanto, era proporcional

a la velocidad. De acuerdo con esta idea, la deformación de la arcilla debería
haber sido proporcional a la raíz cuadrada de la altura desde la que se lanzaron
las bolas. En la física clásica la fórmula correcta es , donde es la
energía cinética de un objeto, es la masa y su velocidad.
Sobre esta base, du Châtelet propuso que la energía debe tener siempre las
mismas dimensiones en cualquier forma, lo que es necesario para poder
relacionarla en diferentes formas (cinética, potencial, calor...).1213
Ingenieros como John Smeaton, Peter Ewart, Carl Holtzmann, Gustave-Adolphe
Hirn y Marc Seguin reconocieron que la conservación del momento por sí sola
no era adecuada para el cálculo práctico e hicieron uso del principio de Leibniz.
El principio también fue defendido por algunos químicos como William Hyde
Wollaston. Académicos como John Playfair se apresuraron a señalar que la
energía cinética claramente no se conserva. Esto es obvio para un análisis
moderno basado en la segunda ley de la termodinámica, pero en los siglos XVIII
y XIX aún se desconocía el destino de la energía perdida.
Poco a poco se llegó a sospechar que el calor generado inevitablemente por el
movimiento bajo la fricción era otra forma de vis viva. En 1783, Antoine
Lavoisier y Pierre-Simon Laplace revisaron las dos teorías rivales de la vis viva y
la teoría calórica.14 Las observaciones de 1798 de Count Rumford sobre la
generación de calor durante el mandrilado de los cañones añadieron más peso
a la opinión de que el movimiento mecánico podía convertirse en calor y (lo que
es igual de importante) que la conversión era cuantitativa y podía predecirse
(permitiendo una constante de conversión universal entre la energía cinética y el
calor). La vis viva empezó entonces a conocerse como energía, después de que
el término fuera utilizado por primera vez en ese sentido por Thomas Young en
1807.
Las observaciones de Count Rumford en 1798 sobre la generación de calor
durante el mandrilado de los cañones añadieron más peso a la opinión de que el
movimiento mecánico podía convertirse en calor y (lo que es igual de importante)
que la conversión era cuantitativa y podía predecirse (permitiendo una constante
de conversión universal entre energía cinética y calor). La vis viva empezó

entonces a conocerse como energía, después de que el término fuera utilizado
por primera vez en ese sentido por Thomas Young en 1807.
La recalibración de vis viva para
1
2
∑ 𝑚1𝑣
2
𝑖
𝑖
que puede entenderse como la conversión de la energía cinética en trabajo, fue
en gran medida el resultado de Gaspard-Gustave Coriolis y Jean-Victor
Poncelet durante el periodo 1819-1839. El primero llamó a la cantidad quantité
de travail (cantidad de trabajo) y el segundo, travail mécanique (trabajo
mecánico), y ambos defendieron su uso en el cálculo de ingeniería.
En un artículo titulado Über die Natur der Wärme (En alemán, Sobre la
naturaleza del calor), publicado en el Zeitschrift für Physik en 1837, Karl Friedrich
Mohr hizo una de las primeras afirmaciones generales de la doctrina de la
conservación de la energía: además de los 54 elementos químicos conocidos,
en el mundo físico hay un solo agente, que se llama Kraft [energía o trabajo].
Puede aparecer, según las circunstancias, como movimiento, afinidad química,
cohesión, electricidad, luz y magnetismo; y de cualquiera de estas formas puede
transformarse en cualquiera de las otras.
Desarrollo
La ley de la conservación de la energía afirma que la cantidad total
de energía en cualquier sistema físico aislado (sin interacción con ningún otro
sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energía
puede transformarse en otra forma de energía. En resumen, la ley de la
conservación de la energía afirma que la energía no se crea ni se destruye, solo
se transforma,1 por ejemplo, cuando la energía eléctrica se transforma
en energía térmica en un calefactor.2
En termodinámica, constituye el primer principio de la termodinámica (la primera
ley de la termodinámica).
En mecánica analítica, puede demostrarse que el principio de conservación de
la energía es una consecuencia de que la dinámica de evolución de los sistemas
está regida por las mismas características en cada instante del tiempo. Eso

conduce a que la "traslación" temporal sea una simetría que deja invariante
las ecuaciones de evolución del sistema, por lo que el teorema de Noether lleva
a que existe una magnitud conservada, la energía.
La conservación de la energía puede demostrarse rigurosamente mediante
el teorema de Noether como consecuencia de la simetría de traslación del
tiempo continuo; es decir, a partir del hecho de que las leyes de la física no
cambian con el tiempo.
Una consecuencia de la ley de conservación de la energía es que no puede
existir una máquina de movimiento perpetuo del primer tipo, es decir, ningún
sistema sin un suministro de energía externo puede entregar una cantidad
ilimitada de energía a su entorno.3 Para los sistemas que no tienen simetría de
traslación temporal, puede no ser posible definir la conservación de la energía.
Algunos ejemplos son los espacios-tiempo curvos en la relatividad general4 o los
cristales de tiempo en la física de la materia condensada.
a) Conceptos o definición
En física, el término conservación se refiere a algo que no cambia. Esto
significa que la variable en una ecuación que representa una cantidad
conservativa es constante en el tiempo. Tiene el mismo valor antes y
después de un evento.
En física hay muchas cantidades conservadas. A menudo son muy útiles
para hacer predicciones en las que de otra manera serían situaciones muy
complicadas. En mecánica hay tres cantidades fundamentales que se
conservan: la energía, el momento y el momento angular.
b) Clasificación
Hay dos tipos de energía mecánica que son:
 Energía cinética.
 Energía potencial.
La energía mecánica de un cuerpo es la suma de su energía cinética y
su energía potencial.

El principio de conservación de la energía relaciona ambas
energías. De acuerdo con este principio, la suma de la energía
cinética y la energía potencial de un cuerpo permanece
constante: la cantidad de energía se mantiene constante.
Energía cinética
La energía cinética es una forma de energía, que posee un cuerpo en
movimiento debido a la inercia de la masa.
La energía cinética es directamente proporcional a la masa del cuerpo
y al cuadrado de su velocidad. Además, la energía cinética de un
cuerpo en movimiento es igual al trabajo requerido para llevar el cuerpo
del estado de reposo al estado en el que se encuentra.
Se distinguen dos tipos:
Energía cinética de traslación, en la que el objeto se mueve de un punto
a otro
Energía cinética de rotación, en la que el objeto gira sobre sí mismo.
Energía potencial
La energía potencial es el trabajo que un objeto es capaz de realizar
como resultado del estado del objeto. Este estado puede ser la
ubicación en un campo de fuerza (por ejemplo, la gravedad) o la
configuración interna del objeto.
La magnitud de la energía potencial no está definida en sí misma. Solo
se ha determinado la diferencia de tamaño.
Existen diferentes tipos:
Energía potencial elástica, que depende de la energía almacenada en
su interior (por ejemplo, un muelle).

Energía potencial gravitatoria, que depende de la gravedad y, por lo
tanto, de la altura.
Energía potencial eléctrica.
Energía potencial química, cuando depende de su composición
química.
Desarrollo teórico
En física, el término conservación se refiere a algo que no cambia. Esto
significa que la variable en una ecuación que representa una cantidad
conservativa es constante en el tiempo. Tiene el mismo valor antes y
después de un evento.
La Ley de la conservación de la energía afirma que la cantidad total de
energía en cualquier sistema físico aislado (sin interacción con ningún otro
sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energía puede
transformarse en otra forma de energía. En resumen, la ley de la
conservación de la energía afirma que la energía no se crea ni destruye
solo se transforma, por ejemplo, cuando la energía eléctrica se transforma
en energía térmica en un calefactor.
c) Desarrollo de modelos matematicos
Principio de Conservación de la Energía Mecánica
La energía mecánica de un cuerpo se mantiene constante cuando
todas las fuerzas que actúan sobre él son conservativas.
Es probable que en numerosas ocasiones hayas oido decir que "la energía ni se
crea ni se destruye, solo se transforma". En realidad, tal afirmación es uno de los
principios más importantes de la Física y se denomina Principio de
Conservaciónde la Energía. Vamos a particularizarlo para el caso de la energía
mecánica.
Para ententer mejor este concepto vamos a ilustrarlo con un ejemplo. Imagina
una pelota colgada del techo que cae sobre un muelle. Según el principio de
conservación de la energía mecánica, la energía mecánicade la bola es siempre

la misma y por tanto durante todo el proceso dicha energía permanecerá
constante, tan solo cambiarán las aportaciones de los distintos tipos de energía
que conforman la energía mecánica.
Antes de caer, la energía mecánica de la bola está formada únicamente por
energía potencial gravitatoria. Al caer y adquirir una velocidad, la energía
potencial gravitatoria se convierte en energía cinética, dejando constante la
energía mecánica. Por último, al impactar contra el muelle, lo comienza a
comprimir, provocando que la energía mecánica se componga de energía
cinética, energía potencial gravitatoria
y energia potencial elástica.
comprobación del Principio de
Conservación de la Energía
Mecánica
Para comprobar el principio de
conservación de la energía
mecánica razonamos de la siguiente
manera:
1. El teorema de la energía
cinética establece que la variación de energía cinética ∆Ec entre dos
puntos (la cual se traduce en una variación de su velocidad) que sufre un
cuerpo es igual al trabajo realizado por la fuerza resultante que actua
sobre el cuerpo entre los puntos inicial y final. Esto se cumple tanto si las
fuerzas son conservativas como si no.
𝑤 = ∆𝐸𝑐
2. Por otro lado, en el caso de fuerzas conservativas, dicho trabajo coincide
con la variación de energía potencial cambiada de signo.
𝑤 = −∆𝐸𝑃
3. De lo anterior, y teniendo en cuenta que en ambos casos nos referimos al
mismo trabajo, podemos escribir:

∆𝐸𝐶 = −∆𝐸𝑃 ⇒ ∆𝐸𝐶 + ∆𝐸𝑃 = 0 ⇒ ∆(𝐸𝐶 𝐸𝑃 = 0;
∆𝐸𝑚 = 0;
1. Por tanto la energía mecánica no cambia, permanece constante
Principio de Conservación de la Energía con Fuerzas no Conservativas
En el caso general de que en nuestro sistema aparezcan fuerzas no
conservativas, la energía mecánica no se conserva. Existen dos
contribuciones para el trabajo total Wt:
1. Trabajo de fuerzas conservativas Wc
2. Trabajo de fuerzas no conservativas Wnc
Por tanto:𝑊
𝑡 = 𝑊𝐶 + 𝑊
𝑛𝑐
La fuerza de rozamiento es uno de los casos más destacados de fuerza no
conservativa o disipativa. Imagina el caso sencillo en que lanzas una canica
deslizándose por el suelo a cierta velocidad. Al cabo de un tiempo, esta acabará
por pararse.𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝
La energía mecánica de la canica está formada únicamente por su energía
cinética (Em=Ec+Ep ). Suponiendo la fricción con el aire despreciable, la fuerza
de rozamiento, disipativa, va a ser la responsable de que nuestra canica vaya,
poco a poco, perdiendo su energía mecánica (coincidente en este caso con la
cinética).
5 Areas de aplicación
6. ejemplos de cálculos aplicados

Desde la ventana de un edificio de 15 m de altura se lanza un objeto de
masa m = 400 g hacia la calle, utilizando el muelle de constante k=750 N/m,
como muestra la figura. El objeto a una distancia inicial de 80 cm se desplaza
10 cm comprimiendo el muelle y luego, se suelta. Calcular:
 La velocidad del objeto al final del plano inclinado.
 La distancia entre la base del edificio y el lugar de impacto del objeto
en el suelo.
7. bibliografía
ewton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/energia/conservacion.htm#:~:text=El
%20Principio%20de%20conservación%20de,y%20después%20de%20cada%2
0transformación.
https://es.khanacademy.org/science/physics/work-and-energy/work-and-
energy-tutorial/a/what-is-conservation-of-energy
https://energia-nuclear.net/energia/energia-
mecanica#:~:text=Hay%20dos%20tipos%20de%20energ%C3%ADa,Energ%C
3%ADa%20potencia
 Ecuación de Bernoulli
1. Introducción
El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o
Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose
a lo largo de una línea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su
obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal
(sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto
cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su

recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres
componentes:
1. Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.
2. Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido
posea.
3. Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión
que posee.
El Teorema de Bernoulli es un caso particular de la Ley de los grandes
números, que precisa la aproximación frecuencial de un suceso a la
probabilidad p de que este ocurra a medida que se va repitiendo el
experimento.
Historia
La historia comienza en 1598 cuando Benedetto Castelli refutó la forma de medir
el flujo en los ríos por parte de Giovanni Fontana, afirmando tomar en cuenta la
sección y la velocidad. También aclaró que en la medición en orificios, debía
considerarse la carga y el tamaño del orificio. En 1625, Castelli estableció la
ecuación que lleva su nombre (Q = AV). Galileo Galilei (1638), propuso que los
cuerpos experimentan una aceleración uniforme alcaer en el vacío. En 1641,
Evangelista Torricelli demostró que la forma de un chorro al salirde un orificio es
una hipérbola de 4º orden. Isaac Newton (1686), argumentó que el agua tiene
una caída efectiva en el interior de un tanque y que el orificio tiene encima una
carga real del doble de la altura del tanque. Daniel Bernoulli (1738), aclaró el
enigma de la doble columna y finalmente Johann Bernoulli, basado en los
trabajos de su hijo Daniel, presentóuna mejor explicación del escurrimiento en
un orificio y logró una clara deducción de la ecuación de una línea de corriente.
desarrollo del tema
La ecuación de Bernoulli expresa la igualdad del trabajo por unidad de volumen
de fluido (P2-P1) a la suma de las magnitudes energía potencial y cinética por

unidad de volumen que tienen lugar en el flujo. Esta ecuación también puede
interpretarse en función de presiones.
Definición
En dinámica de fluidos, el principio de Bernoulli, también
denominado ecuación de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido
moviéndose a lo largo de una línea de corriente. Fue expuesto por Daniel
Bernoulli en su obra Hidrodinámica(1738) y expresa que en un fluido ideal
(sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto
recorrido.) Aunque Bernoulli dedujo que la presión disminuye cuando aumenta la
velocidad del flujo, fue Leonhard Euler quien derivó la ecuación de Bernoulli en
su forma habitual en 1752.45 El principio solo es aplicable a los
flujos isentrópicos,es decir, cuando los efectos de los procesos irreversibles,
como la turbulencia, y los procesos no adiabáticos, como la radiación de calor,
son pequeños y pueden despreciarse.
El principio de Bernoulli se puede aplicar a varios tipos de flujo de fluidos que
dan como resultado varias formas de la ecuación de Bernoulli por lo que hay
diferentes formas de la ecuación de Bernoulli para diferentes tipos de flujo. La
forma simple de la ecuación de Bernoulli es válida para flujos incompresibles,
como la mayoría de los flujos de líquidos y gases que se mueven a un
bajo número de Mach. Se pueden aplicar formas más avanzadas a flujos
compresibles a números de Mach más altos (consulte las derivaciones de la
ecuación de Bernoulli).

Simulación numérica del efecto, se puede ver como aumenta la velocidad en el
centro del conducto, donde la sección es menor.

El principio de Bernoulli puede derivarse del principio de conservación de la
energía. Esto indica que, en un flujo constante, la suma de todas las formas de
energía en un fluido a lo largo de una línea de flujo es la misma en todos los
puntos de esa línea. Esto requiere que la suma de la energía cinética, energía
potencial y energía interna permanezca constante. Por lo tanto, un aumento en
la velocidad del fluido, que implica un aumento en su energía cinética, es decir,
de la presión dinámica, conlleva una disminución simultánea en la suma de su
energía potencial —incluida la presión estática— y energía interna. Si el fluido
sale de un depósito, la suma de todas las formas de energía es la misma en
todas las líneas de corriente porque en un depósito la energía por unidad de
volumen —la suma de la presión y el potencial gravitacional ρ g h— es la misma
en todas partes
de Bernoulli también puede derivarse directamente de la Segunda Ley del
Movimiento de Isaac Newton. Si un pequeño volumen de fluido fluye
horizontalmente desde una región de alta presión a una región de baja presión,
entonces hay más presión detrás que en el frente. Esto le da una fuerza neta al
volumen, acelerándolo a lo largo de la línea de corriente.
Las partículas fluidas están sujetas únicamente a la presión y su propio peso. Si
un fluido fluye horizontalmente y a lo largo de una sección de una línea de
corriente, donde la velocidad aumenta, solo puede ser porque el fluido en esa
sección se ha movido desde una región de mayor presión a una región de menor
presión; y si su velocidad disminuye, solo puede ser porque se ha movido de una
región de presión más baja a una región de presión más alta. En consecuencia,
dentro de un fluido que fluye horizontalmente, la velocidad más alta ocurre donde
la presión es más baja, y la velocidad más baja ocurre donde la presión es más
alta.
Clasificación
La primera forma de la clasificación de las ecuaciones es a traves del grado de
sus terminos, es decir, a través del mayor exponente que estan elevadas las
incognitas. La segunda es a través de la cantidad de incógnitas, es decir, a través
de las variables o letras que se pueden utilizar
Desarrollo teórico.

El principio de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido en reposo
moviéndose a lo largo de una corriente de agua. Expresa que un fluido ideal, es
decir sin viscosidad ni rozamiento, en un régimen de circulación por un conducto
recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de 3
componentes:
Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido
Potencial: es la energía debido a la altitud que posee el fluido
Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido
De manera que el teorema de Bernoulli se expresa como:
Donde:
ν = velocidad del flujo en la sección considerada
g = aceleración gravitatoria
y = altura geométrica en la dirección de la gravedad
P = presión a lo largo de la línea de corriente
ρ = densidad del flujo
Para aplicar la ecuación se debe realizar los siguientes supuestos:
Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la linea de corriente
sobre la cual se aplica se encuentra en una zona ¨no viscosa¨ del fluido.
Caudal Constante
Fluido incompresible = ρ es constante
la ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente
Al aplicar el principio de la conservación de la energía se obtiene la siguiente
ecuación en la que según el teorema de Bernoulli implica una relación entre los

efectos de la presión, la velocidad y la gravedad e indica que a velocidad
aumenta cuando la presión disminuye.
Desarrollo de modelos aplicados
Áreas de aplicación
Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluídos. Un fluído se caracteriza por
carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la
contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluídos no están rígidamente
unidas, como en el caso de los sólidos. Fluídos son tanto gases como líquidos.
Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que
nos limitan el nivel de aplicabilidad:
El fluído se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un
punto no varía con el tiempo.
Se desprecia la viscosidad del fluído (que es una fuerza de rozamiento interna).
Se considera que el líquido está bajo la acción del campo gravitatorio
únicamente.

Resolver la siguiente ecuación:
Bibliografías
https://www.monografias.com/trabajos-pdf4/ecuacion-bernoulli/ecuacion-
bernoulli -
:~:text=INTRODUCCI%C3%93N,de%20una%20l%C3%ADnea%20de%20corri
ente.
https://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Bernoulli
https://www.ecuacionesdiferenciales.jcbmat.com/id228.htm
http://mecanicadefluidos-lab.blogspot.com/2016/11/informe-de-laboratorio-
practica-1_6.html
Teorema de Torricelli
1. INTRODUCCIÓN.
Cuando un líquido se encuentra confinado dentro de un recipiente permanecerá
estático y sin ningún cambio físico hasta que un factor afecte tales condiciones.

El factor más comúnes la aplicación de una fuerza externa al arreglo, ya sea un
poco de viento tocando la superficie del líquido, un insecto, una bomba que se
ha encendido, etc. Al existir tal fuerza, se puede ver que el líquido se deforma
muy fácilmente y si una parte de este, o todo, cambia de posicióncontinuamente
se dice que está fluyendo. Otro factor interesante para que exista el flujo de un
líquido es la presión ejercida entre sus moléculas sobre
elrecipiente que lo contiene; imagínese que se perfora un orificio en alguna part
e delrecipiente y por debajo del nivel del líquido, este empezará a fluir como
producto del empuje de las moléculas que se encuentran por arriba. Por otro
lado, ese flujo tendrá una velocidad proporcional a la presión ejercida por el
líquido; es fácil darse cuenta como un líquido sale más rápidamente cuando
existe más cantidad de este que cuando un recipiente está casi vacío.
Evangelista Torricelli se dio cuenta de tal situación y experimentó cómo la
velocidad de un fluido era cada vez mayor mientras la presión lo era por igual, a
esto enunció el siguiente teorema: La velocidad del chorro que sale por un único
agujero en un recipiente es directamente proporcional a la raíz cuadrada de dos
veces el valor de la aceleración de la gravedad multiplicada por la altura a la que
se encuentra el nivel del fluido a partir del agujero. Matemáticamente se tiene:
𝑣 = √∁2 × 𝑔) × (ℎ)
HISTORIA:
Teorema de Torricelli
Torricelli descubrió y determinó el valor de la presión atmosférica y en 1643
inventó el barómetro. También comprobó que el flujo de un líquido por una
abertura es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del líquido, este resultado
es conocido ahora como el Teorema de Torricelli.
¿Qué es el teorema de Torricelli?
El teorema de Torricelli o principio de Torricelli afirma que la velocidad del
líquido que sale por el orificio en la pared de un tanque o recipiente, es idéntica
a la que adquiere un objeto que se deja caer libremente desde una altura igual a
la de la superficie libre del líquido hasta el orificio.
El teorema se ilustra en la figura siguiente:

Ilustración del Teorema de Torricelli. Fuente: elaboración propia.
Debido al teorema de Torricelli podemos afirmar entonces que la velocidad de
salida del líquido por un orificio que está a altura h por debajo de la superficie
libre del líquido viene dada por la siguiente fórmula:
Donde g es la aceleración de gravedad y h es la altura que hay desde el orificio
hasta la superficie libre del líquido.
Evangelista Torricelli fue un físico y matemático nacido en la ciudad de Faenza,
Italia en el año 1608. A Torricelli se le atribuye la invención del barómetro de
mercurio y como reconocimiento hay una unidad de presión llamada “torr”,
equivalente a un milímetro de mercurio (mm de Hg).
Demostración del teorema
En el teorema de Torricelli y en la fórmula que da la velocidad, supone que las
pérdidas por viscosidad son despreciables, al igual que en la caída libre se

supone que la fricción debida al aire que circunda al objeto que cae es
insignificante.
La suposición anterior es razonable en la mayoría de los casos y además implica
la conservación de la energía mecánica.
Para demostrar el teorema, en primer lugar encontraremos la fórmula de la
velocidad para un objeto que se suelta con rapidez inicial cero, desde la misma
altura que la superficie líquida en el depósito.
Se aplicará el principio de conservación de la energía para obtener la velocidad
del objeto que cae justo cuando haya descendido una altura h igual a la que hay
desde el orificio hasta la superficie libre.
Como no hay pérdidas por fricción, es válido aplicar el principio de conservación
de la energía mecánica. Supongamos que el objeto que cae tiene masa m y la
altura h se mide desde el nivel de salida del líquido.
Objeto que cae
Cuando el objeto se suelta desde una altura igual a la de la superficie libre del
líquido, su energía es solo potencial gravitatoria, ya que su rapidez es cero y, por
tanto, su energía cinética es nula. La energía potencial Ep está dada por:
Ep = m g h
Cuando va pasando frente al orificio su altura es cero, entonces la energía
potencial es cero, por lo que solo tiene energía cinética Ec dada por:
Ec = ½ m v2
Dado que la energía se conserva Ep = Ec de lo que se obtiene:
½ m v2 = m g h

Despejando la rapidez v se obtiene entonces la fórmula de Torricelli:
Líquido que sale por el orificio
A continuación encontraremos la velocidad de salida del líquido a través del
orificio, con el fin de demostrar que coincide con la que recién se calculó para un
objeto que cae libremente.
Para esto nos basaremos en el principio de Bernoulli, que no es más que la
conservación de la energía aplicada a fluidos.
El principio de Bernoulli se formula así:
La interpretación de esta fórmula es la siguiente:
El primer término representa la energía cinética del fluido por unidad de volumen
El segundo representa el trabajo realizado por la presión por unidad de área
transversal
El tercero representa la energía potencial gravitacional por unidad de volumen
de fluido.
Como partimos de la premisa que se trata de un fluido ideal, en condiciones no
turbulentas con velocidades relativamente bajas, entonces es pertinente afirmar
que la energía mecánica por unidad de volumen en el fluido es constante en
todas las regiones o secciones transversales del mismo.
En esta fórmula V es la velocidad del fluido, ρ la densidad del fluido, P la presión
y z la posición vertical.
En la figura que aparece más abajo se demuestra la fórmula de Torricelli
partiendo del principio de Bernoulli.

Aplicamos la fórmula de Bernoulli en la superficie libre del líquido que denotamos
por (1) y en el orificio de salida que denotamos por (2). El nivel de altura cero se
ha elegido a ras con el orificio de salida.
Bajo la premisa que la sección transversal en (1) es mucho mayor que en (2),
podemos suponer entonces que la velocidad de descenso del líquido en (1) es
prácticamente despreciable.
Por esto se ha colocado V1=0, la presión a la que está sometida el líquido en (1)
es la presión atmosférica y la altura medida desde el orificio es h.
Para la sección de salida (2) suponemos que la velocidad de salida es v, la
presión a la que está sometida el líquido a la salida también es la presión
atmosférica y la altura de salida es cero.
Se sustituyen los valores correspondientes al las secciones (1) y (2) en la
fórmula de Bernoulli y se igualan. La igualdad tiene validez porque suponemos
que el fluido es ideal y no hay pérdidas por fricción viscosa. Una vez simplificados
todos los términos, se obtiene la velocidad en el orificio de salida.
El recuadro anterior demuestra que el resultado obtenido es el mismo que el de
un objeto que cae libremente,
Clasificación
ECUACIÓN DE TORRICELLI

El teorema de Torricelli o principio de Torricelli es una aplicación del principio
de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través
de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad.
Desarrollo de modelos matemáticos
ECUACIÓN
 es la velocidad real media del líquido a la salida del orificio
 es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio.
 es la aceleración de la gravedad
COMO SALE LA ECUACIÓN
Areas de aplicación
SE USA MAS QUE TODO PARA CALCULAR LA VELOCIDAD DE UN FLUIDO
QUE SALE POR UN PEQUEÑO ORIFICIO DEL RECIPIENTE QUE LO
CONTIENE, O DE CUALQUIER COMPONENTE DE ESTA
Ejemplos de cálculos aplicados.
Ejercicio 1I) El pequeño tubo de salida de un tanque de agua está a 3 m por
debajo de la superficie del agua. Calcule la velocidad de salida del
agua.Solución:
En la figura siguiente se muestra como se aplica la fórmula de Torricelli a este
caso.

II) Suponiendo que el tubo de salida del tanque del ejercicio anterior, tiene un
diámetro de 1 cm, calcule el caudal de salida de agua.Solución:
El caudal es el volumen de líquido que sale por unidad de tiempo, y se calcula
simplemente multiplicando el área del orificio de salida por la velocidad de
salida.La siguiente figura muestra los detalles del cálculo.
BIBLIOGRAFIA :
PDF DE TEOREMA DE TORRICELLI BASICA
PDF DE EJERCIOS PROPUESTOS DE TORRICELLI
https://mauriciomedinasierra.wordpress.com/primer-corte/conceptos/teorema-
de-torricelli/

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