Este documento presenta un resumen de mecánica clásica. Incluye capítulos sobre sistemas de partículas, campos centrales de fuerza, sistemas de referencia no inerciales, scattering, rotaciones, sistemas rígidos de partículas, ecuaciones de Lagrange, oscilaciones pequeñas, ecuaciones de Hamilton, el principio variacional de Hamilton y transformaciones canónicas. El documento proporciona una introducción general a los principales temas y conceptos de la mecánica clásica.

1. MECANICA CLASICA
Luis Rodr¶³guez Valencia1
Departamento de F¶³sica
Universidad de Santiago de Chile
28 de julio de 2000
1email: lhrodrig@lauca.usach.cl
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2. ii
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3. Contenidos
Introducci¶on. xiii
1 Sistema de Part¶³culas. 1
1.1 Ecuaciones de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Sistema Inercial de referencia. . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Ecuaciones de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Torque en punto arbitrario. . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Teorema Energ¶³a Trabajo. . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Sistema de dos part¶³culas. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Campo Central de Fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Ecuaci¶on diferencial para la ¶orbita. . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Relaci¶on entre energ¶³a y excentricidad. . . . . . . . . . 13
1.2.3 Expresi¶on integral para la trayectoria. . . . . . . . . . 14
1.3 Sistemas de masa variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Sistema de referencia no inercial. 19
2.1 Ecuaciones de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Movimiento relativo a la tierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Vertical y aceleraci¶on de gravedad del lugar. . . . . . . 21
2.2.2 Ecuaci¶on de movimiento aproximada. . . . . . . . . . . 24
2.2.3 P¶endulo de Foucault. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.4 P¶endulo esf¶erico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Teorema de Larmor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Scattering. 33
3.1 ¶Angulo de scattering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Expresi¶on en t¶erminos del par¶ametro de impacto. . . . 34
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4. iv CONTENIDOS
3.1.2 Scattering de Rutherford. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.3 Secci¶on diferencial de Scattering. . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Coordenadas de Laboratorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Coordenadas y ¶angulo de scattering en el Laboratorio. 37
3.2.2 P¶erdida de energ¶³a del proyectil. . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.3 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Rotaciones. 41
4.1 Rotaciones de un sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.1 Rotaciones de un sistema de coordenadas. . . . . . . . 41
4.1.2 ¶Angulos de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.3 Par¶ametros de Cayley Klein. . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.4 Transformaciones de similaridad. . . . . . . . . . . . . 50
4.1.5 Relaciones entre matrices de Pauli. . . . . . . . . . . . 52
4.1.6 Par¶ametros de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Velocidad angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.1 Descomposici¶on del movimiento. . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.2 Teorema de adici¶on de velocidades angulares. . . . . . 55
4.3 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Sistema r¶³gido de part¶³culas. 59
5.1 Cantidades cinem¶aticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.1 Energ¶³a cin¶etica y momentum angular. . . . . . . . . . 61
5.1.2 Algunas propiedades de la matriz de inercia. . . . . . . 61
5.1.3 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1.4 El elipsoide de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Ecuaciones din¶amicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.1 Movimiento Plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.2 Un ejemplo en m¶as dimensiones, la bola de billar. . . . 73
5.3 Movimiento en tres dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.1 Ecuaciones de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.2 Torque nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.3 Cuerpo sim¶etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.4 Trompo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
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5. CONTENIDOS v
6 Ecuaciones de Lagrange. 93
6.1 Introducci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2 Restricciones o v¶³nculos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2.1 V¶³nculos holon¶omicos y coordenadas generalizadas. . . 94
6.2.2 Fuerzas de v¶³nculos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.3 Desplazamientos virtuales. . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3 Ecuaciones de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3.1 V¶³nculos no holon¶omicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3.2 Condici¶on de integrabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4 Sistemas Conservativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4.1 Momentos can¶onicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4.2 El hamiltoniano del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.4.3 Teoremas de conservaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4.4 Hamiltoniano y energ¶³a. . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.4.5 Fuerzas dependientes de la velocidad. . . . . . . . . . . 104
6.4.6 Teorema de Noether. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.5 Ejemplos y aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.5.1 Trompo sim¶etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.5.2 Bola que rueda sobre un plano, sometida en su centro
a una fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7 Oscilaciones peque~nas. 123
7.1 La energ¶³a cin¶etica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2 La energ¶³a potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.2.1 Posici¶on de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.2.2 Estabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3 Linealizaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4 El lagrangiano aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.5 Soluci¶on de las ecuaciones de movimiento. . . . . . . . . . . . 126
7.5.1 Diagonalizaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.5.2 Soluci¶on del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.6 Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8 Ecuaciones de Hamilton. 137
8.1 Variables can¶onicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.2 Espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.2.1 Sistemas aut¶onomos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
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6. vi CONTENIDOS
8.2.2 Puntos cr¶³ticos o de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . 138
8.3 Sistemas de un grado de libertad. . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.4 Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.4.1 Oscilador arm¶onico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.4.2 P¶endulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9 Principio variacional de Hamilton. 149
9.1 La Acci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.1.1 Principio variacional de Hamilton. . . . . . . . . . . . . 150
9.1.2 Naturaleza del extremo en el principio variacional. . . . 152
9.1.3 Curva C discriminante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.2 Forma hamiltoniana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.2.1 Variaci¶on de los extremos. . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.2.2 Naturaleza del extremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.3 Teorema de Noether. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.3.1 Variaci¶on unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.3.2 Variaci¶on en n dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.3.3 Formas del teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10 Transformaciones Can¶onicas. 167
10.1 De¯nici¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.1.1 Formas de la transformaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . 169
10.1.2 Condici¶on de existencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
10.2 Notaci¶on Simpl¶ectica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.3 Par¶entesis de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10.3.1 Propiedades de los Par¶entesis de Poisson. . . . . . . . . 172
10.4 Par¶entesis de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.5 Ecuaciones de Movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.6 Condici¶on necesaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.7 Invariancia de los par¶entesis de Poisson y de Lagrange. . . . . 176
10.8 Transformaci¶on dependiente del tiempo. . . . . . . . . . . . . 176
10.9 Caso general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10.10Existencia de la funci¶on generadora. . . . . . . . . . . . . . . . 180
10.11Forma bilineal invariante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.12Problemas y Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
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7. CONTENIDOS vii
11 M¶etodo de Hamilton Jacobi. 187
11.1 Soluci¶on de un problema din¶amico. . . . . . . . . . . . . . . . 187
11.1.1 Funci¶on principal de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . 188
11.1.2 Relaci¶on con la acci¶on S. . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
11.1.3 Funci¶on caracter¶³stica de Hamilton. . . . . . . . . . . . 191
11.1.4 El oscilador arm¶onico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.2 Variables de Acci¶on Angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
11.2.1 Sistemas peri¶odicos con un grado de libertad. . . . . . 195
11.3 Teor¶³a de perturbaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.3.1 Introducci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.3.2 El m¶etodo de transformaciones can¶onicas. . . . . . . . 197
11.4 El p¶endulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
11.4.1 Teor¶³a de perturbaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
11.5 Invariantes Adiab¶aticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
12 Sistemas continuos. 205
12.1 Introducci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
12.2 Oscilaciones longitudinales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
12.2.1 Extremos ¯jos (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
12.2.2 Condiciones peri¶odicas (b). . . . . . . . . . . . . . . . . 209
12.2.3 Soluci¶on alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
12.3 Oscilaciones transversales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
12.4 L¶³mite continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
12.5 Soluciones de la ecuaci¶on de onda. . . . . . . . . . . . . . . . . 213
12.5.1 Condiciones de frontera. . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
12.5.2 Condiciones iniciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
12.6 M¶etodo de las series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
12.7 Consideraciones adicionales. Soluci¶on de D'Alembert. . . . . . 219
12.7.1 Condiciones iniciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
12.8 Caso general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
12.9 Caso general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
12.10Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
12.11Consideraciones energ¶eticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
12.11.1Potencia en ondas arm¶onicas. . . . . . . . . . . . . . . 227
12.12Elementos de mec¶anica de Fluidos. . . . . . . . . . . . . . . . 228
12.12.1Cambio del volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.13Ecuaci¶on de movimiento de un °uido ideal. . . . . . . . . . . . 231
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8. viii CONTENIDOS
12.13.1Onda sonoras en un °uido. . . . . . . . . . . . . . . . . 232
12.13.2Algunas soluciones de la ecuaci¶on de onda. . . . . . . . 235
12.13.3A) Ondas planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
12.13.4B) Ondas esf¶ericas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
12.13.5Velocidad de grupo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.13.6Efecto Doppler cl¶asico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
12.13.7Efecto Doppler relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . 241
12.13.8Efecto Doppler para ondas luminosas. . . . . . . . . . . 242
12.14Ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
13 Problemas complementarios. 245
14 Problemas resueltos. 253
15 Ap¶endice 281
15.1 Una ecuaci¶on diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
15.2 Las funciones el¶³ptica Jacobianas. . . . . . . . . . . . . . . . . 283
15.3 El p¶endulo esf¶erico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
15.4 Operador r: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
15.4.1 Gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
15.4.2 Divergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
15.4.3 Rotor de un campo vectorial. . . . . . . . . . . . . . . 291
15.4.4 Algunas propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
15.4.5 El Laplaciano r2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
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9. ¶Indice de Figuras
1.1 Transformaci¶on de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Sistema de part¶³culas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Secci¶on c¶onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Tipos de c¶onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Sistema de referencia no inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Sistema de referencia ¯jo a la Tierra . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Gravedad local, tierra esf¶erica (a) y real (b) . . . . . . . . . . 24
3.1 ¶Angulo de scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Secci¶on diferencial de scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Scattering en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Adici¶on de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1 Rotaci¶on de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Rotaci¶on en torno de un eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Rotaci¶on activa de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Adici¶on de velocidades angulares . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1 Velocidades de un r¶³gido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Elipsoide de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 P¶endulo cuyo punto de suspensi¶on oscila . . . . . . . . . . . . 67
5.4 P¶endulo forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.5 Problema de barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.6 Disco que rueda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.7 Rueda tirada con una fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.8 Rueda sobre cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.9 Rueda sobre plataforma m¶ovil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
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10. x ¶INDICE DE FIGURAS
5.10 Esfera sobre un plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.11 Cuerpo r¶³gido sim¶etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.12 Trompo sim¶etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.13 Raices de f(u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.14 Precesi¶on uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.15 Trompo dormido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.16 Precesi¶on positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.17 Movimiento cuspidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.18 Movimiento con loops. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.19 Conos del espacio y del cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.20 Cono ¯jo y del espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.21 Choque de cuerpos r¶³gidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.1 Transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2 Trompo sim¶etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3 Esfera atra¶³da hacia el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.4 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.5 De un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.6 De un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.7 De un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.8 Disco que rueda sobre otro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.9 Part¶³cula sobre hemisferio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.1 Osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.2 Osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.1 Autovalores reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.2 Autovalores complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.3 Curvas de H constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.4 Oscilador arm ¶onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.5 Punto inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.1 Campo de extremales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
12.1 Osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
12.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
12.3 Soluci¶on de D'Alembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
12.4 Onda en una cuerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
12.5 Potencia en una onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Indice
página

11. ¶INDICE DE FIGURAS xi
12.6 Cambio de volumen debido a la velocidad. . . . . . . . . . . . 230
12.7 Onda plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
13.1 Cable °exible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.2 Un p¶endulo con extremo oscilando . . . . . . . . . . . . . . . . 248
13.3 Trompo dormido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
13.4 Precesi¶on uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
13.5 M¶inimo de una acci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
14.1 De un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
14.2 Scattering en pozo rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
14.3 Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
14.4 Colisi¶on de dos cuerpos r¶³gidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
14.5 Precesi¶on uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
14.6 Barra sobre un cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
14.7 Coordenadas el¶³pticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
14.8 Osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
15.1 Tipo de soluci¶on de una ecuaci¶on diferencial . . . . . . . . . . 282
15.2 P¶endulo esf¶erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
15.3 Signi¯cado de rotor no nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Indice
página

12. xii ¶INDICE DE FIGURAS
Indice
página

13. Introducci¶on.
Estos apuntes, en versi¶on preliminar, son un esfuerzo para ordenar los conte-
nidos que han formado parte de cursos ofrecidos a los alumnos del Magister de
F¶³sica y la Ingenier¶³a F¶³sica, en la Universidad de Santiago de Chile, duran-
te algunos a~nos. Existen innumerables buenos textos de Mec¶anica Cl¶asica,
que se citan al ¯nal de los apuntes, pero ocurre muchas veces que ellos no
se ajustan exactamente a lo que uno desea, o se tratan los t¶opicos en otro
orden, o en las clases se introducen problemas o ejemplos que se resuelven y
que casi nunca quedan escritos. Adem¶as creo que estos apuntes pueden ser
de alguna utilidad para los alumnos.
En algunos t¶opicos, he tratado de poner mi personal punto de vista o
enfoque, al tratarlo como en las clases, o al resolver alg¶un problema. Ob-
viamente, en muchas partes me he inspirado en alguno de los cl¶asicos, los
habr¶e reordenado, resumido o ampliado, en ¯n, as¶i lo he hecho. Esta primera
versi¶on, espero que no tenga demasiados errores. Mi intenci¶on es tratar de
mejorarla con la experiencia que se acumule, con los errores que se detecten,
y con las sugerencias que reciba de parte de los alumnos o de los profesores.
La parte m¶as dif¶icil es probablemente lo que viene, mantener estos apun-
tes vigentes, escribiendo sobre t¶opicos de actualidad, din¶amica de sistemas
ca¶oticos por ejemplo, incorporando problemas o t¶opicos de an¶alisis num¶erico
y otras cosas, seg¶un resulte posible y seg¶un sea tambi¶en su aceptaci¶on.
Buena parte de los resultados se establecen sin demostraci¶on dejando
como trabajo para el alumno la demostraci¶on de diversos teoremas a la vez
que se plantean problemas en el estudio de cada t¶opico y un conjunto de
problemas al ¯nal, como recapitulaci¶on.
Para hacer m¶as f¶acil el uso y difusi¶on de estos apuntes se acompa~na
un CD con la versi¶on de estos en formato PDF de Adobe que l¶ogicamente
permitir¶³a hacer m¶as copias impresas de ellos. No hay problema siempre
Indice
página

14. xiv Introducci¶on.
y cuando se mantenga el debido respeto a la autor¶³a de estos apuntes y
no se hagan actividades lucrativas con ello. El uso m¶as inmediato del CD
ser¶³a simplemente para poder leer estos en un PC para lo cual se incluye el
lector de archivos formato PDF, Acrobat Reader de Adobe 1
que debe ser
instalado en su PC de acuerdo a las instrucciones de ese programa. La versi¶on
en CD de estos apuntes, contiene explicaciones m¶as detalladas de algunos
aspectos, demostraciones no contempladas en el texto impreso y adem¶as de
otras soluciones de algunos ejercicios. Para ello existen hiperv¶³nculos que
permiten navegar en el CD.
Se solicita enviar comentarios, sugerencias o correcciones al autor, Luis
Rodr¶³guez Valencia, Departamento de F¶³sica Universidad de Santiago, e-mail
lhrodrig@lauca.usach.cl., o por correo a la direcci¶on postal, Avda. Ecuador
3493, Correo 2, Santiago
1
Acrobat R°Reader Copyright c° 1987-1996 Adobe Systems Incorporated. All rights
reserved. Adobe and Acrobat are trademarks of Adobe Systems Incorporated which may
be registered in certain jurisdictions."
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página

15. Cap¶³tulo 1
Sistema de Part¶³culas.
1.1 Ecuaciones de movimiento.
Esta parte de la Mec¶anica, se presenta en forma bastante resumida. Se
presentan las principales de¯niciones y relaciones cinem¶aticas as¶³ como las
ecuaciones cl¶asicas de movimiento para un sistema de part¶³culas puntuales
suponiendo interacciones que cumplan el principio de acci¶on y reacci¶on. Las
de¯niciones de cantidades F¶³sicas cinem¶aticas, que involucran las masas, las
posiciones, las velocidades, tales como la energ¶³a cin¶etica, momentum lineal,
momentum angular, son naturalmente relativas al sistema de referencia que
se escoja. Entre esos diversos sistemas de referencia, las relaciones que exis-
tan entre esas cantidades f¶³sicas, se desprender¶an de las transformaciones de
Galileo para sistemas, ¯gura (1.1), que se trasladan unos respecto de otros
con velocidad constante ~v
~r 0
= ~r ¡ ~vt:
M¶as en general para sistemas de referencia arbitrarios, admitiendo acele-
raciones y rotaciones de ellos respecto a uno supuesto ¯jo, las relaciones entre
velocidades y aceleraciones de part¶³culas son m¶as complicadas. Podemos
adelantar que las relaciones entre velocidades y aceleraciones son
~v = ~vA + ~! £ ~r 0
+ ~v rel
;
~a = ~aA + ~® £ ~r 0
+ 2~! £ ~v rel
+ ~! £ (~! £ ~r 0
) + ~a rel
;
siendo ~® = d~!=dt. Debe notarse que la velocidad y aceleraci¶on relativas son
las derivadas de los vectores posici¶on y velocidad relativos manteniendo ¯jas
Indice
página

16. 2 Sistema de Part¶³culas.
X
Y
Z
O
X'
Y'
Z'
O'
r
r '
Figura 1.1: Transformaci¶on de Galileo
las direcciones de los ejes m¶oviles, lo cual en algunos textos se indica por
~v rel
=
@~r 0
@t
; ~a rel
=
@~v rel
@t
:
1.1.1 Sistema Inercial de referencia.
En la formulaci¶on de la din¶amica cl¶asica, se supone la existencia de al menos
un sistema privilegiado de referencia, un Sistema inercial de referencia. Por
de¯nici¶on, un sistema inercial de referencia es aquel (hipot¶etico) sistema
relativo al cual una part¶³cula libre tiene velocidad constante o en particular
nula (vea p¶agina 5 de referencia [16]) . Como consecuencia de la transforma-
ci¶on de Galileo, todo sistema que se traslade con velocidad constante respecto
a uno inercial de referencia, es tambi¶en sistema inercial de referencia. La e-
xistencia de uno por lo menos, ser¶³a materia de validaci¶on experimental, con
las obvias di¯cultades que ello presenta. Se acepta que al menos aproxima-
damente, el marco de las estrellas ¯jas, lo es. Esta es una materia hoy en
d¶³a de acuerdo internacional. En efecto en Agosto de 1997, la Uni¶on As-
tron¶omica Internacional (IAU) decidi¶o que a partir del primero de Enero de
1998, el IAU sistema de referencia celestial sea el sistema (ICRS), en reem-
plazo del sistema FK5. Hay abundantes referencias en la WEB, por ejemplo
en http://hpiers.obspm.fr/webiers/general/syframes/icrsf/ICRS.html.
De¯niciones y notaci¶on
Indice
página

17. 1.1 Ecuaciones de movimiento. 3
m ifi j
X
Y
Z
O
sistema
ri
i
F
r
j
m j
Figura 1.2: Sistema de part¶³culas
Respecto a un determinado sistema de referencia, ver ¯g.(1.2) (no necesaria-
mente inercial), sean
~ri . . .. . . . . . . . . . . . . los vectores posici¶on de las N part¶³culas
mi . . . . . . . .. . . . . . . las masas de la part¶³culas
~vi = d~ri=dt .. . . . . la velocidad de la part¶³cula i.
~ai = d~vi=dt . . . . . . la aceleraci¶on de la part¶³cula i.
~Fi . . . . . . .. . . . . . . . la fuerza que act¶ua sobre la part¶³cula i producida por
agentes exteriores al sistema.
~fij . . .. . . . . . . . . . . . la fuerza que la part¶³cula j ejerce sobre la part¶³cula i.
~P =
P
mi~vi . . . . . el momentum lineal o cantidad de movimiento lineal
del sistema.
~LO =
P
mi~ri £ ~vi el momentum angular o cantidad de movimiento an-
gular del sistema respecto al origen O.
~rG =
P
mi~ri=M . la posici¶on del centro de masas del sistema.
M =
P
mi . . . . . . masa total del sistema
~Fext
. . .. . . . . . . . . . la fuerza externa resultante.
~¡ext
O . . . .. . . . . . . . . el torque o momento de las fuerzas externas resultan-
te, respecto al origen O.
En este resumen no se pretende discutir los fundamentos de la formulaci¶on
Newtoniana, cuya mayor di¯cultad radica en las de¯niciones (independien-
tes) de Fuerza, masa y aceleraci¶on, as¶³ como en los conceptos de espacio y
tiempo, que supondremos materias conocidas.
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página

18. 4 Sistema de Part¶³culas.
1.1.2 Ecuaciones de movimiento.
Con respecto a un sistema inercial de referencia, cada una de las N part¶³culas
cumple con la llamada segunda ley de Newton
mi ~ai = ~Fi +
X
j6=i
~fij: (1.1)
Si las fuerzas de interacci¶on ~fij satisfacen la llamada ley de acci¶on y reacci¶on,
es decir
~fij + ~fji = 0; y ~fij £ (~ri ¡ ~rj) = 0;
puede demostrarse a partir de las N ecuaciones de movimiento, las siguientes
dos importantes ecuaciones
d~P
dt
= ~Fext
; (1.2)
d ~LO
dt
= ~¡ext
O : (1.3)
La primera de ellas es bastante evidente. Para demostrar la segunda, basta
considerar que
X
j6=i
X
~ri £ ~fij =
X
j6=i
X
~rj £ ~fji =
1
2
X
j6=i
X
(~ri ¡ ~rj) £ ~fij = 0:
Las ecuaciones (1.2) y (1.3) son, en general, insu¯cientes para determinar las
posiciones de las part¶³culas siendo la excepci¶on m¶as notable un sistema r¶³gido
de part¶³culas, que tiene justamente 6 grados de libertad, o en otras palabras,
que su posici¶on puede especi¯carse con solo 6 coordenadas o par¶ametros. La
segunda de las ecuaciones anteriores, toma la misma forma en un sistema
especial, no necesariamente inercial, con origen en el centro de masas G y
tal que sus ejes no roten. Es decir, puede probarse que
d~LG
dt
= ~¡ext
G : (1.4)
Entre el sistema inercial y ese otro mencionado con origen en G, pueden
demostrarse las siguientes relaciones (relaciones de Koenig), consecuencias
simples de la transformaci¶on de Galileo
~LO = M~rG £ ~vG + ~LG
K =
1
2
Mv2
G + KG
Indice
página

19. 1.1 Ecuaciones de movimiento. 5
siendo KG y ~LG la energ¶³a cin¶etica y momentum angular relativos al sistema
con origen en G.
1.1.3 Torque en punto arbitrario.
En general, si se considera otro sistema con origen en un punto A, cuyos ejes
no roten, de¯nimos
~LA =
X
mi(~ri ¡ ~rA) £
d
dt
(~ri ¡ ~rA)
entonces considere el siguiente desarrollo
d~LA
dt
=
X
mi(~ri ¡ ~rA) £
d2
dt2
(~ri ¡ ~rA)
=
X
mi(~ri ¡ ~rA) £ (~ai ¡ ~aA)
=
X
mi~ri £ (~ai ¡ ~aA) ¡
X
mi~rA £ (~ai ¡ ~aA)
=
d~L0
dt
¡ M~rG £ ~aA ¡ ~rA £
X
~Fext
i + M~rA £ ~aA
=
X
(~ri ¡ ~rA) £ ~Fext
i + M(~rA ¡ ~rG) £ ~aA:
es decir
d~LA
dt
= ~¡ext
A ¡ M
¡!
AG £ ~aA; (1.5)
y de modo que, la relaci¶on entre derivada del momentum angular y torque,
es v¶alida para puntos (A) que cumplan una de las siguientes condiciones:
A = G; ~aA = 0; ~aA paralela a
¡!
AG:
La tercera condici¶on es de utilidad en algunos problemas de la din¶amica del
cuerpo r¶³gido, como se ilustra en ese cap¶³tulo, cuando se tiene informaci¶on
sobre el movimiento de un punto determinado.
Demostraremos adem¶as que adem¶as se tiene en general
~LO = M~rA £ ~vG + M
¡!
AG £ ~vA + ~LA:
En efecto
Indice
página

20. 6 Sistema de Part¶³culas.
~LO =
X
mi(~ri
0
+ ~rA) £ (~vi
0
+ ~vA)
=
X
mi( ~ri
0
£ ~vi
0
+ ~rA £ ~vi
0
+ ~ri
0
£ ~vA + ~rA £ ~vA);
=
X
mi( ~ri
0
£ ~vi
0
+ ~rA £ ~vi
0
+ ~ri
0
£ ~vA + ~rA £ ~vA);
siendo ahora
X
mi ~ri
0
= M
¡!
AG;
X
mi ~vi
0
= M(~vG ¡ ~vA);
de modo que
~LO = ~LA + M~rA £ ~vG +
X
mi(~rA £ ~vi
0
+ ~ri
0
£ ~vA)
= ~LA + M~rA £ ~vA + M~rA £ (~vG ¡ ~vA) + M
¡!
AG £ ~vA
= ~LA + M~rA £ ~vG + M
¡!
AG £ ~vA:
Ejercicio 1.1.1 Discuta la posible aplicaci¶on del tercer caso (~a paralela a
¡!
AG), cuando se trata de un cuerpo r¶³gido que rueda sin deslizar, conside-
rando el punto A como el punto de contacto. Es un error com¶un considerar
como argumento para el uso de lo anterior que dicho punto tiene velocidad
instant¶anea cero, pues en general tiene aceleraci¶on no nula.
1.1.4 Teorema Energ¶³a Trabajo.
De las ecuaciones de movimiento es posible escribir una primera integral de
ellas en la forma que sigue, donde, sin perder generalidad, se separan las fuer-
zas externas en sus posibles partes conservativa y no conservativa. Adem¶as
se supone que las fuerzas de interacci¶on son derivables de un potencial de in-
teracci¶on dependiente de la distancia entre las dos part¶³culas y posiblemente
de par¶ametros propios de ellas dos (masas, cargas, etc.). En el caso de un
sistema r¶³gido de part¶³culas, la ¶ultima suposici¶on no es necesaria, por cuan-
to el trabajo que realizan las fuerzas de interacci¶on es nulo, al mantenerse
constantes las distancias entre part¶³culas. Este teorema es
¢(K + V + V int
) = Wnc
1!2; (1.6)
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21. 1.1 Ecuaciones de movimiento. 7
donde el trabajo no conservativo (nc) externo (ext) es la integral de l¶³nea
Wnc
1!2 =
2Z
1
~Fext;nc
¢ d~r;
V es la energ¶³a potencial asociada a la posible parte conservativa de la
fuerza externa y V int
la energ¶³a potencial de interacci¶on. Si el lado derecho,
el trabajo realizado por la posible parte no conservativa de la fuerza exterior
es cero, entonces se conserva la energ¶³a mec¶anica total del sistema. En el caso
importante de un sistema r¶³gido de part¶³culas, al no variar las distancias entre
las part¶³culas, puede tomarse V int
= 0:
Ejercicio 1.1.2 Demuestre que la suma de los trabajos internos es cero si
las distancias entre las part¶³culas son invariables.
Ejercicio 1.1.3 Demuestre el teorema 1.6.
1.1.5 Sistema de dos part¶³culas.
El problema de¯nido por el conjunto de ecuaciones (1.1), es en general no
solucionable anal¶³ticamente, si N ¸ 3: La principal di¯cultad consiste en
la imposibilidad de separar variables. El sistema de dos part¶³culas interac-
tuando a trav¶es de una fuerza conservativa es un caso soluble de sistemas de
part¶³culas. Tomando en cuenta la validez del principio de acci¶on y reacci¶on,
las dos ecuaciones para ese caso son
m1~a1 = ~f(~r1 ¡ ~r2)
m2~a2 = ¡~f(~r1 ¡ ~r2):
Esas ecuaciones son f¶acilmente desacoplables utilizando como nuevas varia-
bles las posici¶on del centro de masa ~rG y la posici¶on relativa ~r = ~r1 ¡ ~r2
resultando
M~aG = 0;
¹~a = ~f(~r);
siendo ¹ la masa reducida del sistema de dos part¶³culas, es decir
¹ =
m1m2
m1 + m2
:
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22. 8 Sistema de Part¶³culas.
Entonces, el problema se ha reducido a resolver el problema de una part¶³cula
de masa reducida ¹ en presencia de una fuerza central, con centro de fuerza
en una de las part¶³culas. Este resultado es sorprendentemente simple consi-
derando que el origen (la posici¶on de una de las part¶³culas) est¶a acelerado.
Energ¶³a cin¶etica.
La energ¶³a cin¶etica de un sistema de dos part¶³culas tiene una expresi¶on que
separa el movimiento del centro de masas del movimiento relativo, esta es
K =
1
2
Mv2
G +
1
2
¹v2
:
En efecto, partiendo de
~r1 = ~rG +
m2
M
~r;
~r2 = ~rG ¡
m1
M
~r;
si derivamos respecto al tiempo, obtenemos las velocidades de las part¶³culas
~v1 = ~vG +
m2
M
~v;
~v2 = ~vG ¡
m1
M
~v;
por lo cual la energ¶³a cin¶etica ser¶a
K =
1
2
m1v2
1 +
1
2
m2v2
2
=
1
2
m1
µ
v2
G + 2
m2
M
~vG ¢ ~v +
³m2
M
v
´2
¶
+
1
2
m2
µ
v2
G ¡ 2
m1
M
~vG ¢ ~v +
³m1
M
v
´2
¶
=
1
2
Mv2
G +
1
2
µ
m1
³m2
M
v
´2
+ m2
³m1
M
v
´2
¶
=
1
2
Mv2
G +
1
2
m1m2
M
³m2
M
v2
+
m1
M
v2
´
;
que prueba el resultado.
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23. 1.2 Campo Central de Fuerza. 9
Ejercicio 1.1.4 Demuestre que las relaciones de transformaci¶on de varia-
bles pueden escribirse:
~r1 = ~rG +
m2
M
~r;
~r2 = ~rG ¡
m1
M
~r:
Ejercicio 1.1.5 Analice las di¯cultades que se presentan al tratar de sepa-
rar variables en el sistema de dos part¶³culas en el caso relativista, es decir
cuando las masas dependen de la velocidad en la forma m = m0=
p
1 ¡ (v=c)2:
Ejercicio 1.1.6 En el choque de dos part¶³culas, compruebe la equivalencia
entre conservaci¶on de energ¶³a y coe¯ciente de restituci¶on unidad.
Ejercicio 1.1.7 Suponga un asteroide esf¶erico de 1 Km de di¶ametro que
tiene una rapidez de 60 [Km/s], con una densidad (como el agua) de 1
[gm/cc]. Determine la energ¶³a que deber¶³a liberar una explosi¶on interna para
dividir al asteroide en dos trozos iguales, cada uno formando un ¶angulo de
un grado respecto a la direcci¶on de la velocidad original.
1.2 Campo Central de Fuerza.
Consideraremos una part¶³cula de masa ¹ sobre la cual act¶ua una fuerza cen-
tral conservativa cuya direcci¶on es paralela al vector posici¶on ~r: M¶as adelante,
al estudiar scattering entre dos part¶³culas consideraremos m¶as en detalle la
presencia de los dos cuerpos y la transformaci¶on entre coordenadas relativas
y coordenadas del laboratorio Por ahora, el vector posici¶on ~r representar¶a
el vector posici¶on relativo entre las dos part¶³culas. Si escribimos la fuerza
central como
~f(~r) = ¡
dV (r)
dr
^r;
de la ecuaci¶on de movimiento anterior, se tiene
¹~a = ~f(~r) = ¡
dV (r)
dr
^r;
y se deducen de aqu¶³, (demu¶estrelo)
Indice
página

24. 10 Sistema de Part¶³culas.
I Teorema 1.1
Se conserva el momentum angular ~lO = ¹~r £ ~v:
I Teorema 1.2
La trayectoria est¶a sobre un plano ¯jo, perpendicular al vector constante ~lO.
Por lo tanto, es su¯ciente utilizar coordenadas polares (r; µ) en el plano del
movimiento. En esas coordenadas, las ecuaciones de movimiento ser¶an
¹
µ
d2
r
dt2
¡ r_µ
2
¶
= ¡
dV (r)
dr
(1.7)
y
lO = ¹r2 _µ = constante: (1.8)
Eliminando _µ es posible escribir una ecuaci¶on radial para r(t) y su primera
integral que corresponde a la conservaci¶on de la energ¶³a E: Es decir
¹
µ
d2
r
dt2
¡
l2
O
¹r3
¶
= ¡
dV (r)
dr
y
1
2
¹ _r2
+
l2
O
2¹r2
+ V (r) = E = constante.
Si llamamos potencial efectivo para la coordenada radial a
Uef
=
l2
O
2¹r2
+ V (r);
este es diferente de cero para una part¶³cula libre. El efecto del primer t¶ermino
es siempre repulsivo lo cual se puede entender, para el caso de una part¶³cula
libre que se mueve en l¶³nea recta, simplemente porque la distancia r al origen
pasa siempre por un m¶³nimo. Para potenciales V (r) atractivos (negativos),
en general pueden haber m¶aximos y m¶³nimos de la distancia r, los llamados
puntos de retorno.
1.2.1 Campo Central de Fuerza.
La dependencia de las variables polares en el tiempo es compleja. Es m¶as
simple encontrar la dependencia de la distancia con el ¶angulo, es decir en-
contrar la ¶orbita. En efecto, haciendo uso de la conservaci¶on del momentum
Indice
página

25. 1.2 Campo Central de Fuerza. 11
angular, es posible eliminar el tiempo de la ecuaci¶on radial (1.7) mediante
d
dt
=
dµ
dt
d
dµ
=
l2
O
¹r2
d
dµ
;
resultando para s = 1=r la siguiente ecuaci¶on diferencial (ecuaci¶on de Binet):
d2
s
dµ2 + s = ¡
¹
l2
O
dV (1=s)
ds
:
Para un campo de fuerza inverso al cuadrado de la distancia, la integraci¶on
de la ¶ultima ecuaci¶on es simple. Es decir si
V (r) = ¡
K
r
;
siendo K > 0 para el caso atractivo y repulsivo en caso contrario, entonces
la ecuaci¶on se reduce a
d2
s
dµ2 + s =
¹
l2
O
K;
cuya soluci¶on general, en t¶erminos de dos constantes e y ® es
s =
¹K
l2
O
(1 ¡ e cos(µ ¡ ®));
o bien
r =
l2
O
¹K
1
1 ¡ e cos(µ ¡ ®)
;
con e la excentricidad de la ¶orbita y ® la orientaci¶on del semieje mayor
de la c¶onica resultante, que son constantes por determinar en t¶erminos de
condiciones f¶³sicas conocidas, inicialmente o en un punto de la trayectoria. Si
se considera la de¯nici¶on de una c¶onica en t¶erminos de un foco y su distancia
a la directriz p, como el lugar geom¶etrico de los puntos del plano tales que
la raz¶on de las distancias al foco y a la directriz es una constante e, la
excentricidad de la c¶onica, se obtiene una ecuaci¶on de la misma forma. En
efecto, con respecto a la ¯gura (1.3), puede obtenerse
r
p + r cos µ
= e =) r =
pe
1 ¡ e cos µ
:
En el caso atractivo, K > 0, la trayectoria es entonces una elipse si 0 · e < 1;
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página

26. 12 Sistema de Part¶³culas.
eje polar
directriz
O
foco
r
p
!
p + r cos !
Figura 1.3: Secci¶on c¶onica
O
"
O O
" "
parábolaelipse hipérbola
Figura 1.4: Tipos de c¶onicas
una par¶abola si e = 1 y una hip¶erbola si e > 1. Valores de e negativos no
son necesarios de considerar, pues ellos corresponder¶³a simplemente a rotar
la ¶orbita en 180 grados, lo cual es preferible hacer con un valor adecuado de
®, ver ¯g.(1.4).
En el caso repulsivo, K < 0, la soluci¶on deber¶³a escribirse
r =
l2
O
¹ jKj
1
e cos(µ ¡ ®) ¡ 1
;
es decir, en este caso, las trayectorias son hip¶erbolas.
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página

27. 1.2 Campo Central de Fuerza. 13
1.2.2 Relaci¶on entre energ¶³a y excentricidad.
Como veremos, la energ¶³a del sistema, determina la excentricidad. En efecto
considere
1
2
¹ _r2
+
l2
O
2¹r2
¡
K
r
= E;
y
r =
l2
O
¹K
1
1 ¡ e cos(µ ¡ ®)
:
Evaluemos la energ¶³a constante en el punto m¶as pr¶oximo al centro de fuerza,
el cual existe en todos los casos y corresponde a µ ¡ ® = ¼ siendo adem¶as
ah¶³ _r = 0. As¶³ resulta
l2
O
2¹r2
1
¡
K
r1
= E;
y
r1 =
l2
O
¹K
1
1 + e
:
Si se reemplaza r1 en la primera resulta
E =
l2
O
2¹
µ
¹K(1 + e)
l2
O
¶2
¡ K
¹K(1 + e)
l2
O
=
1
2
K2
¹
e2
¡ 1
l2
O
;
de donde sigue el resultado
e2
= 1 +
2El2
O
¹K2
:
Ejercicio 1.2.1 A pesar que la energ¶³a E es negativa para ¶orbitas cerradas,
demuestre que el lado derecho en el problema anterior es no negativo.
Indicaci¶on:
E =
1
2
¹ _r2
+
l2
O
2¹r2
¡
K
r
¸
l2
O
2¹r2
¡
K
r
¸ ¡
¹K2
2l2
O
;
debido a que l2
O=2¹r2
¡ K=r tiene un m¶³nimo.
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página

28. 14 Sistema de Part¶³culas.
Ejercicio 1.2.2 Para el caso de ¶orbita el¶³ptica, demuestre que los semiejes
mayor y menor de la elipse est¶an dados respectivamente por
a =
l2
O
¹K
1
1 ¡ e2
; b =
l2
O
¹K
1
p
1 ¡ e2
:
Ejercicio 1.2.3 Demuestre la ley de Kepler de los periodos, es decir de-
muestre que el periodo en el caso de movimiento el¶³ptico T est¶a dado por
T = 2¼
r
¹
K
a
3
2 :
Ejercicio 1.2.4 Una part¶³cula est¶a en ¶orbita circular de radio a en torno
a la tierra, supuesta esf¶erica, en reposo, de masa total M, de radio R; y sin
considerar roce con el aire. Demuestre que si la velocidad de la part¶³cula
es repentinamente cambiada por un factor f, la excentricidad de la ¶orbita
resultante es
e =
¯
¯f2
¡ 1
¯
¯ :
Ejercicio 1.2.5 Respecto a la situaci¶on del problema anterior, determine
el factor f para que la part¶³cula pase tangente a la super¯cie terrestre.
1.2.3 Expresi¶on integral para la trayectoria.
Una forma alternativa para obtener la ecuaci¶on de la ¶orbita o trayectoria,
consiste en considerar
_r =
r
2
¹
s
E ¡ V (r) ¡
l2
O
2¹r2
;
y
_µ =
lO
¹r2
;
de donde, eliminando el tiempo, se puede obtener
µ = µ0 +
lO
p
2¹
r(µ)Z
r0
1
r2
p
E ¡ V (r) ¡ l2
O=(2¹r2)
dr: (1.9)
expresi¶on integral para la trayectoria r(µ):
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página

29. 1.3 Sistemas de masa variable. 15
1.3 Sistemas de masa variable.
Con algunas consideraciones pueden tratarse sistemas que ganan o pierden
masa en forma aut¶onomo. Para ello considere un an¶alisis diferencial de lo
que ocurre cuando un sistema de masa inicial m(t) con una velocidad ~v(t) es
actuado por una fuerza externa ~F(t) e incorpora una cantidad in¯nitesimal
de masa dm(t) la cual tiene, justo antes de incorporarse, una velocidad ~u(t):
Transcurrido un tiempo dt, las masa del sistema es m(t) + dm(t). La cues-
ti¶on es >cu¶anto ha variado la velocidad del sistema en este proceso? Para
este efecto considere que el sistema total es de masa constante, por lo tanto
podemos usar el hecho que el cambio de la cantidad de movimiento total es
producido por la fuerza ~F(t) solamente, es decir
~F(t)dt = (m(t) + dm)(~v(t) + d~v(t)) ¡ (dm~u(t) + m(t)~v(t));
de aqu¶³, despreciando in¯nit¶esimos de segundo orden, se establece el resultado
~F(t) = m(t)
d~v(t)
dt
¡ (~u(t) ¡ ~v(t))
dm(t)
dt
: (1.10)
Aun cuando el an¶alisis ha sido hecho para sistemas que ganan masa, el mismo
resultado se obtiene para sistemas que pierden masa, pero en este ¶ultimo
caso ~u(t) representar¶a la velocidad de los elementos de masa justo despu¶es
de abandonar el sistema.
Ejemplo 1.3.1 Una cadena °exible de longitud total L y de masa total M
se suspende de modo que su extremo inferior est¶a justo al nivel del suelo y
se suelta. Determine la reacci¶on que ejerce el suelo sobre el mont¶on que se
acumula mientras la cadena cae. (Se supone que los eslabones son in¯nite-
simales y que no rebotan en el suelo).
Soluci¶on. Sea el sistema de masa variable el mont¶on acumulado, de
modo que aqu¶³, en la direcci¶on vertical
v(t) = 0; u(t) = ¡gt; F(t) = R(t) ¡ mg; m =
M
L
1
2
gt2
:
Por lo tanto, la ecuaci¶on (1.10) nos da
R(t) ¡ mg = ¡u
dm
dt
;
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página

30. 16 Sistema de Part¶³culas.
y ¯nalmente
R(t) =
3
2
M
L
g2
t2
:
N
Ejemplo 1.3.2 Una cadena °exible de longitud total L y de masa total M
viene deslizando sobre una super¯cie horizontal lisa con rapidez vo, en la
direcci¶on positiva del eje OX. Al llegar al origen se encuentra con un bloque
de masa M inicialmente en reposo. Determine la posici¶on del bloque en
funci¶on del tiempo mientras la cadena se acumula contra el. (Se supone que
los eslabones son in¯nitesimales y que no rebotan en el bloque).
Soluci¶on. Sea x la coordenada del bloque. La masa total del sistema,
bloque m¶as trozo acumulado ser¶a
m(t) = M +
M
L
(v0t ¡ x);
adem¶as u(t) = v0, v(t) = _x, F(t) = 0; de modo que la ecuaci¶on (1.10)
conduce a la siguiente ecuaci¶on diferencial
0 =
µ
M +
M
L
(v0t ¡ x)
¶
Äx ¡
M
L
(v0 ¡ _x)2
;
o bien, en t¶erminos de una variable auxiliar z = L + v0t ¡ x
0 = zÄz + _z2
;
con condiciones iniciales z(0) = L, _z(0) = v0: Integrando dos veces se obtiene
_z =
Lv0
z
;
1
2
z2
=
1
2
L2
+ Lv0t;
y ¯nalmente
x = L + v0t ¡
p
L2 + 2Lv0t; si t < L=v0:
M¶as tarde, el sistema contin¶ua movi¶endose con la rapidez constante alcanzada
al agotarse la cadena. (Ello ocurre cuando (v0t¡x)M=L = M, o bien z = 2L)
N
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página

31. 1.3 Sistemas de masa variable. 17
Ejemplo 1.3.3 Una cadena °exible de masa distribuida uniformemente ¸
[Kg=m] est¶a amontonada en el suelo y se aplica a uno de sus extremos, una
fuerza constante hacia arriba F. Determine la altura de la cadena levantada
en funci¶on del tiempo.
Soluci¶on. Sea y la altura. Aqu¶³ u = 0; v = _y, m = ¸y, de modo que la
ecuaci¶on de movimiento ser¶a
F ¡ ¸yg = ¸yÄy + ¸ _y2
=
1
2
¸
µ
y
d _y2
dy
+ 2 _y2
¶
la cual puede ser integrada mediante un factor integrante y. As¶³ resulta
2Fy ¡ 2¸y2
g = ¸
d
dy
(y2
_y2
);
entonces F ¡ 2
3
¸yg = ¸ _y2
de donde se obtiene
_y =
r
F
¸
¡
2
3
yg; t =
Z y
0
dy
q
F
¸
¡ 2
3
yg
;
y ¯nalmente
y = t
r
F
¸
¡
1
6
gt2
:
Aunque parezca paradojal, la rapidez inicial del extremo de la cadena despu¶es
de aplicada la fuerza no es cero, es
p
F=¸ cuesti¶on que se explica pues se
ha aplicado una fuerza ¯nita, a un elemento in¯nit¶esimo de masa. Adem¶as
puede observarse que la cadena se detiene cuando F = 2
3
¸yg, y para ese
instante el largo levantado tiene un peso ¸yg = 3
2
F, mayor que la fuerza
aplicada. Naturalmente despu¶es bajar¶a hasta que ¯nalmente sea ¸yg = F.
N
Ejemplo 1.3.4 Un dep¶osito cil¶³ndrico con base circular de ¶area A tiene
l¶³quido (agua por ejemplo) inicialmente hasta una altura h0. Al nivel del
suelo liso, se hace un peque~no agujero circular de ¶area a por el cual sale
agua horizontalmente. Determine la aceleraci¶on del dep¶osito producto de la
p¶erdida de masa.
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página

32. 18 Sistema de Part¶³culas.
Soluci¶on. Sea h(t) la altura del agua en el dep¶osito, ½ su densidad. Si
suponemos que la aceleraci¶on no afecta demasiado la super¯cie del agua,
podemos primero estimar la forma en que decrece la masa del l¶³quido en el
recipiente si a ¿ A, para el dep¶osito estacionario. La rapidez de salida por el
ori¯cio (relativa al recipiente) ser¶a de magnitud
p
2gh, de modo que el caudal
m¶asico de salida ser¶a ½
p
2gh a. Entonces la masa del l¶³quido disminuye de la
forma
dm
dt
= ¡½
p
2gh a;
dm
dt
= ¡
p
2½ga
p
m;
de donde integrando se obtiene
2
p
m ¡ 2
p
m0 = ¡
p
2½ga t:
Ahora planteamos la ecuaci¶on de movimiento suponiendo que la velocidad
relativa del agua que sale es
u ¡ v = ¡
p
2gh
as¶³ resulta
0 = m(t)
dv(t)
dt
¡
³
¡
p
2gh
´ dm(t)
dt
;
0 = m(t)
dv(t)
dt
¡
µ
¡
r
2g
m
½a
¶
dm(t)
dt
;
que al ser integrada conduce a
v(t) = ¡
r
2g
½a
(2
p
m ¡ 2
p
m0) = 2gt;
y ¯nalmente
a(t) = 2g
mientras quede l¶³quido en el recipiente. (Este resultado aun no lo creo) Otros
problemas y ejemplos pueden ser encontrados en el libro de Pars ([11]).
N
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página

33. Cap¶³tulo 2
Sistema de referencia no
inercial.
2.1 Ecuaciones de movimiento.
Las ecuaciones de Newton para un sistema de part¶³culas deben ser formuladas
respecto a un sistema inercial de referencia. De ser necesario utilizar un
sistema no inercial, ya sea porque est¶e acelerado o tenga rotaciones respecto
al inercial, podemos establecer las relaciones entre el movimiento absoluto,
respecto al sistema inercial, y el movimiento relativo respecto al sistema no
inercial en uso, como se explica a continuaci¶on. Respecto a la ¯gura (2.1) si
~r indica el vector posici¶on absoluto y ~r 0
indica el vector posici¶on relativo de
una de las part¶³culas del sistema, tenemos que
~r = ~rA + ~r 0
:
Para relacionar velocidades y aceleraciones, debemos considerar que la ve-
locidad relativa y aceleraci¶on relativas son las derivadas del vector posici¶on
relativo con vectores unitarios considerados constantes, entonces si
~r 0
= x0
^{0
+ y0
^|0
+ z0^k0
;
la velocidad y aceleraci¶on relativas son
~v rel
= _x0
^{0
+ _y0
^|0
+ _z0^k0
;
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página

34. 20 Sistema de referencia no inercial.
X
Y
Z
O
r
X'
Y'
Z'
A
r '
rA
Figura 2.1: Sistema de referencia no inercial
~a rel
= Äx0
^{0
+ Äy0
^|0
+ Äz0^k0
:
La existencia del denominado vector velocidad angular ~! del sistema m¶ovil,
ser¶a justi¯cada en el cap¶³tulo sobre rotaciones, por ahora bastar¶a aceptar
que las derivadas de los vectores unitarios m¶oviles est¶an dadas por ~!£ el
respectivo vector unitario, de modo que se puede obtener
~v = ~vA + ~! £ ~r 0
+ ~v rel
;
y
~a = ~aA + ~® £ ~r 0
+ 2~! £ ~v rel
+ ~! £ (~! £ ~r 0
) +~a rel
:
Esta expresi¶on es conocida como teorema de Coriolis. Aqu¶³ ~® representa
la aceleraci¶on angular o sea la derivada respecto al tiempo de la velocidad
angular. En esta expresi¶on los t¶erminos 2~!£~v rel
y ~aA +~®£~r 0
+~!£(~!£~r 0
)
son conocidos como la aceleraci¶on de Coriolis y la aceleraci¶on de arrastre de
la part¶³cula respectivamente. Considerando lo anterior, la Segunda Ley de
Newton en el sistema no inercial de referencia tiene la expresi¶on
m~a rel
= ~F ¡ m( ~aA + ~® £ ~r 0
+ 2~! £ ~v rel
+ ~! £ (~! £ ~r 0
)); (2.1)
que puede interpretarse diciendo que la part¶³cula obedece la segunda Ley
en un sistema no inercial, pero a la fuerza real ~F hay que agregarle fuerzas
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página

35. 2.2 Movimiento relativo a la tierra. 21
¯cticias dadas por
~Farrastre
= ¡m( ~aA + ~® £ ~r 0
+ ~! £ (~! £ ~r 0
));
y
~Fcoriolis
= ¡2m~! £ ~v rel
:
2.2 Movimiento relativo a la tierra.
Un ejemplo bastante cotidiano de sistema no inercial de referencia lo cons-
tituye la Tierra. Su no inercialidad se debe principalmente a la rotaci¶on
terrestre respecto a su eje, que es muy aproximadamente constante y equiva-
lente a una vuelta completa en 24 horas. Su valor en consecuencia es bastante
peque~no
! =
2¼
24 £ 3600
= 7: 272 2 £ 10¡5
s¡1
.
Ello justi¯ca la denominada aproximaci¶on !2
¼ 0, donde se desprecian los
t¶erminos en !2
. Si se considera como modelo a la tierra como perfectamente
esf¶erica de masa M y radio R, podemos elegir como sistema no inercial ¯jo
en la tierra un sistema con origen en la super¯cie terrestre en una latitud que
denominaremos ¸: El eje z se elije vertical{no necesariamente radial{el eje x
perpendicular a z dirigido hacia el Sur, el eje y perpendicular a los anteriores,
o sea hacia el Este, como se indica en la ¯gura (2.2). La desviaci¶on entre
la vertical del lugar y la direcci¶on radial " est¶a exagerada en la ¯gura. Su
estimaci¶on se hace en la secci¶on siguiente.
2.2.1 Vertical y aceleraci¶on de gravedad del lugar.
Un primer efecto de la no inercialidad del sistema de referencia terrestre
es que la vertical del lugar se desv¶³a de la direcci¶on radial terrestre y que
la aceleraci¶on de gravedad depende de la latitud. En efecto, la de¯nici¶on de
peso y de vertical se hacen de acuerdo a una plomada de masa m en situaci¶on
estacionaria en la Tierra. As¶³ la vertical es la direcci¶on de la plomada y el
peso es de magnitud de¯nida como la tensi¶on en el hilo de la plomada. Para
esa situaci¶on estacionaria, la aceleraci¶on y velocidad relativas son cero, por
lo tanto una aplicaci¶on de la ecuaci¶on 2.1 a esta situaci¶on implica
0 = ~T ¡
GMm
R2
^r ¡ m~aA;
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página

36. 22 Sistema de referencia no inercial.
X
Y
O
R
A
####
$$$$
%%%%
Z
Zo
Figura 2.2: Sistema de referencia ¯jo a la Tierra
donde se ha considerado que adem¶as de la fuerza gravitacional act¶ua la ten-
si¶on del hilo, la velocidad angular es constante y ~r 0
= 0. De acuerdo a lo
explicado la direcci¶on de ~T es el eje z y su magnitud se de¯ne como mg, el
peso del cuerpo y g la aceleraci¶on local de gravedad. Entonces tenemos que
mg^z =
GMm
R2
^r + m~aA: (2.2)
Adem¶as, la aceleraci¶on del origen A est¶a dada por
~aA = !^k0 £ (!^k0 £ R^r) = R!2
(sin ¸ ^k0 ¡ ^r): (2.3)
De modo que si se toma la magnitud de la ecuaci¶on (2.2) se obtiene
g =
sµ
GM
R2
¶2
¡
2GM
R2
R!2 cos2 ¸ + R2!4 cos2 ¸; (2.4)
=
sµ
GM
R2
¶2
¡ (
2GM
R
¡ R2!2)!2 cos2 ¸ (2.5)
que se reduce en el Polo a
gp =
GM
R2
;
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página

37. 2.2 Movimiento relativo a la tierra. 23
y en el Ecuador a
ge =
µ
GM
R2
¶
¡ R!2
:
La raz¶on entre la aceleraci¶on centr¶³peta en el ecuador R!2
y la aceleraci¶on
de gravedad en el polo usualmente designada por ¯ est¶a dada por
¯ =
R!2
GM=R2
= 3: 425 7 £ 10¡3
;
de modo que
ge = gp(1 ¡ ¯):
Para el caso de nuestro planeta (Serway, [17]), los valores num¶ericos para
radio promedio terrestre R = 6:37£106 m, masa de la tierra M = 5:98£1024
kg, constante de gravitaci¶on G = 6:67259 £ 10¡11
N m2
kg¡2
, ! = 2¼
24£3600
s¡1
permiten estimar gp, ge num¶ericamente y aproximar la expresi¶on (2.4) como
sigue
gp = 9: 833 7 m s¡2
ge = 9:8 m s¡2
g =
sµ
GM
R2
¶2
¡
2GM
R2
R!2 cos2 ¸ + R2!4 cos2 ¸ ((a))
=
GM
R2
s
1 ¡
2R!2 cos2 ¸
GM
R2
+
R2!4 cos2 ¸
G2M2
R4
= gp
q
1 ¡ 2¯ cos2 ¸ + ¯2
cos2 ¸
¼ gp(1 ¡ ¯ cos2
¸) = ge(1 + ¯ sin2
¸)
= 9:8(1 + 0:003 425 7 £ sin2
¸)
Sin embargo, la tierra no es esf¶erica y de acuerdo a la Uni¶on Internacional
de Geodesia y Geof¶³sica de 1967, (pag. [13]) el valor de g al nivel del mar
var¶³a con la latitud de acuerdo a
g = 9:780309(1 + 0:00530238 sin2
¸¡ 0:000005850 sin2
(2¸) + ((b))
0:00000032 sin2
¸ sin2
2¸):
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página

38. 24 Sistema de referencia no inercial.
9.78
9.79
9.8
9.81
9.82
9.83
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
(a)
(b)
Figura 2.3: Gravedad local, tierra esf¶erica (a) y real (b)
Ambas expresiones est¶an gra¯cadas en funci¶on de ¸ (de 0 ¡! ¼=2 = 1: 570 8)
por las curvas superior (a) e inferior (b) respectivamente en la ¯gura (2.3).
Para prop¶ositos pr¶acticos las antiguas f¶ormulas todav¶³a se usan, la llamada
f¶ormula de Cassinis se cita como referencia
g = 9:780490(1 + 0:0052884 sin2
¸ ¡ 0:0000059 sin2
(2¸)):
Desviaci¶on de la vertical.
Una estimaci¶on del ¶angulo " ; entre la vertical y la direcci¶on radial, puede
obtenerse de la misma ecuaci¶on referida anteriormente haciendo un producto
cruz de ella con ^r. El resultado que se obtiene es
sin " =
R!2
g
sin ¸ cos ¸; (2.6)
o sea desviaci¶on cero en el Ecuador y en el Polo y desviaci¶on m¶axima para la-
titud de 45 grados del orden de 0:1 grados. De acuerdo a los valores num¶ericos
se~nalados la ¶ultima expresi¶on puede ser aproximada a
" ¼ 0:003 sin ¸ cos ¸: (2.7)
2.2.2 Ecuaci¶on de movimiento aproximada.
Para movimientos en la vecindad del origen A, la ecuaci¶on (2.1) con la ayuda
de la ecuaci¶on (2.2) puede ser escrita como
m~a = ~F ¡ mg^k +
GMm
R2
^r ¡ m(~® £ ~r + 2~! £ ~v + ~! £ (~! £ ~r)):
Indice
página

39. 2.2 Movimiento relativo a la tierra. 25
Hemos suprimido las (0
) y se entiende que las posiciones, velocidades y ace-
leraciones son de ahora en adelante relativas a la Tierra. Adem¶as si con-
sideramos que ~® = 0 y denotamos por ~f la fuerza actuante, fuera de la
gravitacional, la aproximaci¶on considerada es
m~a = ~f ¡ mg^k ¡ 2m~! £ ~v: (2.8)
El movimiento de una part¶³cula bajo la in°uencia de la aceleraci¶on local de
gravedad solamente (~f = 0) dado por la ecuaci¶on (2.8) est¶a determinado en
esta aproximaci¶on (!2
¼ 0) por
~a = ¡g^k ¡ 2~! £ ~v;
de donde por integraci¶on
~v = ~v(0) ¡ gt^k ¡ 2~! £ (~r ¡ ~r(0));
que si es sustituida en la expresi¶on de la aceleraci¶on haciendo !2
= 0 e
integrada dos veces, conduce a
~a = ¡g^k ¡ 2~! £ (~v(0) ¡ gt^k)
= ¡g^k ¡ 2~! £ ~v(0) + 2gt~! £ ^k
de donde la velocidad est¶a dada por
~v = ~v(0) ¡ gt^k ¡ 2t~! £ ~v(0) + gt2
~! £ ^k;
y la posici¶on por
~r = ~r(0) + ~v(0)t ¡
1
2
gt2^k ¡ t2
~! £ ~v(0) +
1
3
gt3
~! £ ^k:
Esta expresi¶on constituye la soluci¶on para el movimiento de un proyectil en
las cercan¶³a de la Tierra para condiciones iniciales arbitrarias. Debe obser-
varse que para cualquier caso se tiene que
~! £ ^k = ! cos ¸^|
o sea ese t¶ermino contribuye siempre a desviar la part¶³cula hacia el Este. Ese
t¶ermino puede ser compensado para tiempos no muy grandes por el cuarto
t¶ermino si la part¶³cula parte hacia arriba.
Indice
página

40. 26 Sistema de referencia no inercial.
2.2.3 P¶endulo de Foucault.
Respecto al sistema de referencia Terrestre una masa puntual m se une
mediante una cuerda liviana inextensible L a un punto ¯jo de coordena-
das (0; 0; L) de modo que la part¶³cula est¶a en equilibrio relativa a la tierra
(estacionaria) en el origen del sistema. Para una perturbaci¶on peque~na de la
posici¶on m¶as baja, la ecuaci¶on de movimiento (2.8), escrita en coordenadas
cartesianas tiene por componentes
max = Tx ¡ 2m(¡!(sin ¸) _y);
may = Ty ¡ 2m((! sin ¸) _x ¡ (¡! cos ¸)) _z;
maz = Tz ¡ mg ¡ 2m(¡! cos ¸) _y:
La tensi¶on en la cuerda puede ser escrita como
~T =
µ
¡
x
L
T; ¡
y
L
T;
L ¡ z
L
T
¶
;
de modo que
Äx = ¡
x
mL
T + 2! _y sin ¸;
Äy = ¡
y
mL
T ¡ 2!( _x sin ¸ + _z cos ¸);
Äz =
L ¡ z
mL
T ¡ g + 2! _y cos ¸:
De la tercera ecuaci¶on del ¶ultimo grupo, si z es peque~no, entonces T ¼
mg ¡ 2m! _y cos ¸. De modo que las ecuaciones aproximadas de movimiento
en el plano xy ser¶an
Äx +
g
L
x ¡ 2! _y sin ¸ = 0;
Äy +
g
L
y + 2! _x sin ¸ = 0:
Si denotamos por ~­ = (¡! sin ¸)^k y por ~R = (x; y) al vector posici¶on en el
plano, las dos ¶ultimas ecuaciones pueden ser escritas en una sola como
d2
dt2
~R ¡ 2~­ £
d
dt
~R +
g
L
~R = 0; (2.9)
donde se derivan solamente las coordenadas. En t¶erminos simples, esas deri-
vadas son la velocidad y aceleraci¶on del punto del plano relativas al sistema
Indice
página

41. 2.2 Movimiento relativo a la tierra. 27
(x; y; z). Podemos relacionar con las velocidades y aceleraciones relativas a
otro sistema que tiene el mismo origen y rota con velocidad angular ~­, pero
despreciando t¶erminos en ­2
, de acuerdo a
d
dt
~R =
@
@t
~R + ~­ £ ~R;
d2
dt2
~R =
@2
@t2
~R + 2~­ £
@
@t
~R;
por lo tanto la ecuaci¶on para la variaci¶on relativa de las coordenadas es
@2
@t2
~R + 2~­ £
@
@t
~R ¡ 2~­ £
@
@t
~R +
g
L
~R ¼ 0;
o bien
@2
@t2
~R +
g
L
~R ¼ 0: (2.10)
Esto es, oscilaciones de frecuencia angular ! =
p
g=L respecto a un sistema
que rota respecto a la vertical del lugar con la frecuencia angular (precesi¶on de
Foucault) (¡! sin ¸)^k. El movimiento de este p¶endulo ha sido iniciado desde
el origen con alguna velocidad inicial peque~na. Si el movimiento es iniciado
desde un punto alejado de la vertical, se mani¯esta otro efecto (precesi¶on del
p¶endulo esf¶erico) que se describe en la secci¶on siguiente y con m¶as detalles
en el ap¶endice.
2.2.4 P¶endulo esf¶erico.
Un efecto similar al de Foucault pero de menor magnitud ocurre cuando
el movimiento del p¶endulo se inicia desde una posici¶on alejada de la vertical
con alguna velocidad inicial de precesi¶on o nula, aun cuando este movimiento
sea respecto a un sistema inercial. Este efecto de ¶area" es deducido en el
ap¶endice y en la referencia Synge, p.56 [19], la velocidad angular aerolar
es (3=8)®2
! sin ¸". En el movimiento relativo a la tierra que rota, si el
movimiento de la part¶³cula se inicia desde un punto alejado de la vertical
quemando un hilito que la sostiene (en reposo relativo a la tierra), la rotaci¶on
terrestre causa que exista una velocidad absoluta de precesi¶on inicial distinta
de cero, por lo cual el efecto de precesi¶on proporcional al ¶area de la elipse se
manifestar¶a. Sin rotaci¶on terrestre el movimiento estar¶³a en un plano vertical.
Considerando la rotaci¶on terrestre veremos que si la amplitud angular inicial
Indice
página

42. 28 Sistema de referencia no inercial.
es peque~na, la ¶orbita proyectada en un plano horizontal es una elipse que
precesa en torno de la vertical con una velocidad angular de precesi¶on mucho
menor que la de Foucault.
2.3 Teorema de Larmor.
Respecto a un sistema inercial, si parte de la fuerza que act¶ua sobre una
part¶³cula es perpendicular a la velocidad y a una direcci¶on ¯ja ^k0 de modo
que
~F = ~f + ®~v £ ^k0;
una simpli¯caci¶on de la ecuaci¶on de movimiento en el sistema de referencia
inercial se logra si se utiliza un sistema de referencia (no inercial) que rota
con velocidad angular constante en la direcci¶on ¯ja ^k0: La segunda ley de
Newton nos dar¶³a, para un origen A ¯jo
m~a rel
= ~f + ®~v £ ^k0 ¡ m(2~! £ ~v rel
+ ~! £ (~! £ ~r));
pero aqu¶³ conviene elegir ~! = !^k0; resultando
m~a rel
= ~f + ®(~v rel
+ !^k0 £ ~r) £ ^k0 ¡ 2m!^k0 £ ~v rel
¡ m!^k0 £ (!^k0 £ ~r));
o bien
m~a rel
= ~f + ®~v rel
£ ^k0 + ®!(^k0 £ ~r) £ ^k0 + 2m!~v rel
£ ^k0
¡m!^k0 £ (!^k0 £ ~r));
y si se escoge ! de modo que los t¶erminos dependientes de la velocidad
relativa se cancelen, o sea
! = ¡
®
2m
; (2.11)
se obtiene que la ecuaci¶on de movimiento en ese sistema rotante de referencia
es
m~a rel
= ~f +
®2
4
(^k0 £ (^k0 £ ~r));
ecuaci¶on que puede ser aproximada, si el t¶ermino en ®2
puede ser despreciado,
a la siguiente ecuaci¶on
m~a rel
= ~f:
Indice
página

43. 2.4 Ejercicios. 29
O sea, el efecto de una fuerza perturbadora peque~na (® n 1) del tipo
considerada equivale a resolver el problema dado por la fuerza ~f en un sistema
que rota con la velocidad angular adecuada (2.11). Un ejemplo lo constituyen
electrones o cargas e que est¶an describiendo ¶orbitas debido a la presencia
de alguna fuerza central ~f. Si se aplica un campo magn¶etico de magnitud
constante B en una direcci¶on ¯ja ^k0 la fuerza adicional llamada fuerza de
Lorentz est¶a dada por
e~v £ ~B = eB~v £ ^k0:
Por lo tanto, la in°uencia de un campo magn¶etico peque~no es hacer precesar
las ¶orbitas en torno a un eje en la direcci¶on del campo magn¶etico con la
velocidad angular de Larmor
! = ¡
eB
2m
;
si el campo magn¶etico es peque~no.
2.4 Ejercicios.
Ejercicio 2.4.1 Una barra lisa OM de largo 2a, ubicada en el plano vertical
que contiene al Este, est¶a inclinado en un ¶angulo respecto de la horizontal.
Por ella se desliza una argolla peque~na P, partiendo desde el extremo M.
Calcular la reacci¶on de la barra sobre la argolla cuando ella pasa por el punto
medio de la barra si se toma en cuenta la rotaci¶on de la tierra.
Ejercicio 2.4.2 Una part¶³cula se lanza verticalmente hacia arriba con ve-
locidad Vo en un punto de latitud ¸. Encontrar el punto sobre el que vuelve
a caer si se toma en cuenta la rotaci¶on de la tierra en la aproximaci¶on usual
de primer orden en !.
Ejercicio 2.4.3 Una part¶³cula se mueve, por la acci¶on de la gravedad, sobre
un plano inclinado en el ¶angulo respecto de la horizontal y que rota con
peque~na velocidad angular respecto de un eje vertical ¯jo, que intercepte el
plano en el punto 0. Tomando ejes rectangulares OXY ¯jos en el plano de
modo que el eje OX est¶a orientado a lo largo de la l¶³nea de m¶axima gradiente,
demostrar que si inicialmente la part¶³cula parte del reposo desde 0, que su
desviaci¶on desde OX, despu¶es de t segundos, viene dada aproximadamente
Indice
página

44. 30 Sistema de referencia no inercial.
por
1
6
!gt3
sen2®
siempre que se desprecien los t¶erminos en !2
:
Ejercicio 2.4.4 Una part¶³cula de masa unitaria se mueve en movimiento
arm¶onico simple x = a cos nt en una ranura suave orientada en E a 0 sobre la
super¯cie de la tierra en un punto de latitud ¸. Demostrar que, si desprecian
los t¶erminos que contienen el cuadrado de la velocidad angular de la tierra,
la reacci¶on de la ranura tiene una componente horizontal en ¶angulo recto
respecto al movimiento y de magnitud 2an! sin ¸ sin nt y una componente
vertical cuya magnitud °uct¶ua arm¶onicamente, con una amplitud 2an! cos ¸
.
Ejercicio 2.4.5 Una part¶³cula de masa m puede deslizar sin roce en el
interior de un tubo peque~no doblado en forma de un c¶³rculo de radio a. Ini-
cialmente se hace rotar en torno de un di¶ametro vertical el tubo con velocidad
!0 estando la part¶³cula en una posici¶on de¯nida por el ¶angulo µ0 respecto de
la vertical. Estudiar el movimiento subsiguiente de la part¶³cula.
Ejercicio 2.4.6 Una part¶³cula de masa m, puede deslizar, sin fricci¶on en
un tubo r¶³gidamente unido en un ¶angulo µ0 = 60o
con un eje vertical que gira
con velocidad constante !0 tal que !2
0 = 2g=r0. Si la part¶³cula se suelta con
las condiciones iniciales: r = r0; _r =
p
gr=2encontrar el menor valor que
alcanza el radio r en el movimiento de la part¶³cula.
Ejercicio 2.4.7 Un plano suave inclinado en un ¶angulo con respecto a la
horizontal est¶a r¶³gidamente conectado con un eje vertical en 0 (¯jo en el
espacio) alrededor del cual se mueve con una velocidad angular uniforme.
Una part¶³cula de masa unitaria se mueve bajo la acci¶on de la gravedad sobre
el plano. Pruebe que si x es el desplazamiento de la part¶³cula a lo largo de la
l¶³nea de m¶axima pendiente que pasa por 0, entonces:
d4
x
dt4
+ !2
(3 cos 2® ¡ 1)
d2
x
dt2
+ x!4
cos2
® = g!2
sen®:
Si se desprecian los t¶erminos en !2
, pruebe que:
y(t) = ¡
1
6
!gt3
sen2®
si la part¶³cula parte en reposo del origen.
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página

45. 2.4 Ejercicios. 31
Ejercicio 2.4.8 Una part¶³cula de masa m cae desde el reposo desde una
altura h. Determinar x, y, z en funci¶on del tiempo, tomando en cuenta la
rotaci¶on de la tierra, en la aproximaci¶on usual de primer orden en !.
Ejercicio 2.4.9 Una part¶³cula de masa m cae desde una altura h por el
interior de un tubo liso vertical. Determinar z en funci¶on del tiempo y la
reacci¶on del tubo debido a la rotaci¶on terrestre.
Ejercicio 2.4.10 Una part¶³cula de masa m est¶a vinculada a un plano liso
horizontal OXY sometida a una fuerza ¡kr hacia un origen O en el plano,
siendo k una constante, Determinar las coordenadas sobre el plano (x; y) y
la reacci¶on del plano en funci¶on del tiempo tomando en cuenta la rotaci¶on
de la tierra.
Ejercicio 2.4.11 Una part¶³cula de masa m est¶a vinculada a un plano liso
horizontal. Determinar las coordenadas sobre el plano (x; y), y la reacci¶on
del plano en funci¶on del tiempo tomando en cuenta la rotaci¶on terrestre.
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página

46. 32 Sistema de referencia no inercial.
Indice
página

47. Cap¶³tulo 3
Scattering.
3.1 ¶Angulo de scattering.
Estudiaremos m¶as en detalle el sistema de dos part¶³culas cuando la fuerza
de interacci¶on entre ellas es repulsiva. Como se sabe, podemos estudiar el
movimiento relativo entre ellas, es decir una de las part¶³culas (el blanco)
est¶a colocada en el origen de un sistema, y la otra (proyectil) interact¶ua con
ella. Considere entonces una part¶³cula de masa (reducida) ¹ que incide so-
bre un centro repulsivo de fuerza O, para lo cual, la ¯gura (3.1) de¯ne la
notaci¶on. Adem¶as en la ¯gura se muestra el llamado par¶ametro de impacto
s (ver.pag.siguiente). El ¶angulo £, formado por las as¶³ntotas a las direccio-
nes de incidencia desde muy lejos y la de scattering, mucho despu¶es de la
interacci¶on, se denomina ¶angulo de scattering.
rm in
min
s
i
f
&
!
r
eje polar
O
'
'
Figura 3.1: ¶Angulo de scattering
Indice
página

48. 34 Scattering.
Adem¶as rmin denota la distancia m¶³nima de la part¶³cula al centro de fuerza, y
aqu¶³ resulta conveniente elegir como eje polar al eje indicado en la ¯gura, que
coincide con la direcci¶on de la posici¶on de la menor distancia de la part¶³cula
al centro de fuerza y desde el cual se mide el ¶angulo µ. Entonces podemos
escribir la ecuaci¶on integral de la ¶orbita, estudiada en el cap¶³tulo anterior
(1.9), en la forma siguiente
µ = ª +
r(µ)Z
1
lO
p
2¹r2
p
E ¡ V ¡ l2
O=(2¹r2)
dr ; (3.1)
donde hemos considerado que en las as¶³ntotas, cuando r = 1, entonces
µ = ª: Si se observa adem¶as que cuando r = rmin , entonces µ = 0; se obtiene
ª =
1Z
rmin
lO
p
2¹r2
p
E ¡ V ¡ l2
O=(2¹r2)
dr ;
por lo cual el ¶angulo de scattering estar¶a dado por
£ = ¼ ¡ 2
1Z
rmin
lO
p
2¹r2
p
E ¡ V ¡ l2
O=(2¹r2)
dr : (3.2)
3.1.1 Expresi¶on en t¶erminos del par¶ametro de impac-
to.
Muy lejos del centro de fuerza podemos evaluar el momentum angular y
energ¶³a (que son constantes) de la siguiente forma
lO = ¹sv0; E =
1
2
¹v2
0 ;
o sea l2
O = 2¹s2
E siendo s el llamado par¶ametro de impacto. Podemos
entonces obtener
£ = ¼ ¡ 2s
1Z
rmin
1
r2
p
1 ¡ V (r)=E ¡ s2=r2
dr : (3.3)
Para un potencial de alcance limitado, digamos esf¶ericamente sim¶etrico y
nulo para r ¸ r0 la integral de¯nida en la expresi¶on anterior debe tener el
Indice
página

49. 3.1 ¶Angulo de scattering. 35
valor ¼=2s si s ¸ r0; pues en tal caso el ¶angulo de scattering debe ser nulo.
En efecto se tiene que
1Z
s
1
r2
p
1 ¡ s2=r2
dr =
¼
2s
:
Una expresi¶on para el ¶angulo de scattering que toma en cuenta autom¶aticamente
este hecho es entonces
£ = 2s
1Z
s
1
r2
p
1 ¡ s2=r2
dr ¡ 2s
1Z
rmin
1
r2
p
1 ¡ V (r)=E ¡ s2=r2
dr :
3.1.2 Scattering de Rutherford.
El potencial central repulsivo entre part¶³culas con cargas correspondientes
a n¶umeros at¶omicos Z; y Z0
es de la forma V = ZZ0
q2
=r: Para este caso,
resulta preferible utilizar la forma integrada de la trayectoria del problema
de Kepler, es decir
r =
l2
O
ZZ0q2
1
e cos(µ) ¡ 1
:
La distancia m¶³nima al centro de fuerza se obtiene en µ = 0: Adem¶as r = 1
corresponde a µ = ª: Luego
cos(ª) =
1
e
;
y si recordamos la relaci¶on entre excentricidad y energ¶³a, es posible obtener
cot
µ
£
2
¶
=
2Es
ZZ0q2
.
3.1.3 Secci¶on diferencial de Scattering.
Si se considera a distancia grande del blanco un haz incidente de muchas
part¶³culas, con intensidad uniforme I de part¶³culas por unidad de ¶area y
de tiempo, mucho despu¶es de la interacci¶on con el blanco, habr¶an algunas
part¶³culas que salen con direcci¶on de scattering en un ¶angulo s¶olido corres-
pondiente al rango entre µ y µ + dµ; como se indica en la ¯gura (3:2). La
secci¶on diferencial de scattering ¾(µ) se de¯ne de manera que
I¾(µ)d­ = n¶umero de part¶³culas en d­ por unidad de tiempo.
Indice
página

50. 36 Scattering.
!
d!
O
ds
s
d(
Figura 3.2: Secci¶on diferencial de scattering
Si la relaci¶on entre par¶ametro de impacto y ¶angulo de scattering es uno a uno,
podemos calcular la secci¶on diferencial de scattering determinando el n¶umero
de part¶³culas que cruzan el ¶area que hay entre s y s + ds: Caso contrario, si
m¶as de un par¶ametro de impacto da lugar a un mismo ¶angulo de scattering,
habr¶a que sumar las contribuciones de sectores anulares correspondientes a
los diversos valores del par¶ametro de impacto. As¶³ podemos obtener
¾(µ)d­ = 2¼s jdsj o bien ¾(µ)d­ =
X
i
2¼si jdsij :
Como d­ = 2¼ sin(µ)dµ , obtenemos en general
¾(µ) =
X
i
si
sin(µ)
¯
¯
¯
¯
ds
dµ
¯
¯
¯
¯
i
:
Scattering de Rutherford.
Demostraremos que la secci¶on diferencial para el scattering de Rutherford,
est¶a dada por:
¾(µ) =
1
4
µ
ZZ0
q2
2E
¶2
csc4
µ
µ
2
¶
:
Indice
página

51. 3.2 Coordenadas de Laboratorio. 37
En efecto La relaci¶on entre energ¶³a y excentricidad es
e2
= 1 +
2El2
O
¹K2
;
siendo aqu¶³
cos ª =
1
e
; K = ZZ0
q2
;
resultando
sec2
ª = 1 +
2El2
O
¹K2
;
o sea
tan2
ª =
2El2
O
¹K2
;
pero el ¶angulo de scattering est¶a dado por
£ = ¼ ¡ 2ª;
de donde
cot2 £
2
=
2El2
O
¹K2
;
siendo el momentum angular
l2
O = ¹2
v2
0s2
= 2¹Es2
;
entonces
cot2 £
2
=
4E2
s2
K2
;
de donde sigue el resultado.
3.2 Coordenadas de Laboratorio.
3.2.1 Coordenadas y ¶angulo de scattering en el Labo-
ratorio.
El an¶alisis anterior corresponde al movimiento relativo del proyectil respecto
al blanco. Respecto al Laboratorio ambos cuerpos se mover¶an, y el proceso
de scattering observado en el Laboratorio ser¶a esquem¶aticamente como se
indica en la ¯gura (3.3), donde:
Indice
página

52. 38 Scattering.
! &
Figura 3.3: Scattering en el laboratorio
~v1 : velocidad del proyectil mucho despu¶es del scattering respecto al Labo-
ratorio. Su direcci¶on corresponde a la del ¶angulo de scattering respecto
al laboratorio £L.
~v 0
1 : velocidad proyectil mucho despu¶es del scattering respecto al centro de
masas. La direcci¶on ¯nal de esta velocidad es la misma de la velocidad
relativa entre las part¶³culas. Su direcci¶on corresponde al ¶angulo de
scattering £:
~VCM : velocidad constante del centro de masas.
~v0 : velocidad inicial del proyectil respecto al Laboratorio.
~v : velocidad relativa del proyectil respecto al blanco (~v1 ¡~v2):
La relaci¶on de transformaci¶on de velocidades
~v1 = ~v 0
1 + ~VCM (3.4)
representada en la ¯gura (3.4), permite escribir
v0
1 sin(£) = v1 sin(µL) ; (3.5)
VCM + v0
1 cos(£) = v1 cos(µL) ;
Indice
página

53. 3.2 Coordenadas de Laboratorio. 39
y como la velocidad del centro de masas es
~VCM =
m1~v0
m1 + m2
=
m1~v0
M
;
y si se de¯ne
½ =
¹v0
m2v0
1
;
se puede escribir
tan(µL) =
sin(£)
½ + cos(£)
;
expresi¶on para el ¶angulo de scattering en el Laboratorio.
V '
1
!
& V
1
V
Figura 3.4: Adici¶on de velocidades
3.2.2 P¶erdida de energ¶³a del proyectil.
Para el scattering el¶astico, donde el blanco no absorbe ni pierde energ¶³a in-
terna, la velocidad relativa del proyectil tiene igual magnitud antes y despu¶es
del scattering. Sin embargo, para la situaci¶on en que inicialmente el blanco
est¶a en reposo respecto al Laboratorio, el proyectil en general pierde energ¶³a
cin¶etica respecto al Laboratorio, dependiendo del ¶angulo de scattering. Pa-
ra establecer una relaci¶on considere que en la relaci¶on (3.5) v0
1 = m2v0=M;
VCM = m1v0=M de modo que si sumamos los cuadrados de ambas compo-
nentes se obtiene
v2
1 =
³m1
M
v0
´2
+ 2
m1
M
v0
m2
M
v0 cos £ +
³m2
M
v0
´2
;
Indice
página

54. 40 Scattering.
que puede escribirse como
v2
1 = v2
0
µ³m1
M
´2
+ 2
m1m2
M2
cos £ +
³m2
M
´2
¶
;
o bien
1
2
m1v2
1 =
1
2
m1v2
0
³
1 ¡ 2
m1m2
M2
(1 ¡ cos £)
´
;
o sea, la p¶erdida de energ¶³a del proyectil est¶a dada por
¢E =
1
2
m1v2
0 ¡
1
2
m1v2
1 = m1v2
0¹(1 ¡ cos £):
Esta relaci¶on muestra claramente que la m¶axima p¶erdida de energ¶³a ocurre en
el scattering frontal £ = ¼; y la m¶³nima cuando el ¶angulo de scattering tiende
a cero, que corresponde en general a par¶ametro de impacto muy grande.
3.2.3 Problemas.
Ejercicio 3.2.1 Demuestre que
½ =
m1v0
m2v
:
Ejercicio 3.2.2 Demuestre que en el scattering el¶astico
½ =
m1
m2
:
Ejercicio 3.2.3 En el scattering inel¶astico, donde el blanco absorbe energ¶³a,
si se de¯ne el factor Q por
1
2
¹v2
=
1
2
¹v2
0 + Q ;
y si se denota por E la energ¶³a cin¶etica inicial del proyectil, demuestre que
½ =
m1
m2
1
q
1 + Q
E
m1+m2
m2
:
Indice
página

55. Cap¶³tulo 4
Rotaciones.
4.1 Rotaciones de un sistema.
Se estudiar¶an las rotaciones de un sistema. El sistema a rotar puede ser el
objeto f¶³sico, lo que se denomina punto de vista activo, o el sistema de coor-
denadas, punto de vista pasivo. Ambos puntos de vista di¯eren simplemente
en el sentido de la rotaci¶on.
4.1.1 Rotaciones de un sistema de coordenadas.
Entre los cambios de posici¶on o desplazamientos que puede experimentar
un sistema de coordenadas, o un cuerpo r¶³gido, son importantes los casos
particulares conocidos como traslaciones paralelas y rotaciones. En una tras-
laci¶on, todas las posiciones cambian en un mismo vector desplazamiento ~T
de modo que
~r 0
= ~r + ~T:
Por otro lado, una rotaci¶on, mantiene inalterada las posiciones de todos
los puntos pertenecientes al llamado eje de la rotaci¶on. Al respecto, cabe
destacar el siguiente teorema debido a Euler:
I Teorema 4.1
Todo cambio de posici¶on de un sistema que mantiene un punto ¯jo, puede
ser logrado en forma equivalente mediante una rotaci¶on.
Un enunciado equivalente es:
Indice
página

56. 42 Rotaciones.
I Teorema 4.2
Al cambiar de posici¶on un cuerpo r¶³gido (in¯nitamente extenso) manteniendo
¯jo uno de sus puntos, existe otro punto del cuerpo que recobra su posici¶on
original.
Una demostraci¶on simple de este teorema se encuentra en el libro de Mec¶anica
de Synge y Gri±th.[18]
X
Y
Z
X '
Y '
Z '
Figura 4.1: Rotaci¶on de un sistema
Consideremos un sistema cartesiano de ejes xi (o x, y, x) con vectores unita-
rios ortogonales ^ei y otro con el mismo origen (el punto que no ha cambiado
de posici¶on) de ejes x0
i (o x0
, y0
, z0
) con vectores unitarios ortogonales ^e0
i:. El
¶³ndice i variar¶a entre 1 y 3, ver ¯gura (4.1). Debido al teorema de Euler,
existe una rotaci¶on equivalente al cambio de posici¶on del sistema original al
nuevo sistema.
Cosenos directores.
Los cosenos directores de las direcciones ^e0
i, se de¯nen como sus proyecciones
sobre los vectores unitarios originales ^ei y se denotar¶an por ®i , ¯i, °i (i =
1; 2; 3), as¶³
^e0
1 = ®1^e1 + ®2^e2 + ®3^e3 ;
^e0
2 = ¯1^e1 + ¯2^e2 + ¯3^e3 ;
^e0
3 = °1^e1 + °2^e2 + °3^e3 ;
Indice
página

57. 4.1 Rotaciones de un sistema. 43
o, en notaci¶on matricial
0
@
^e0
1
^e0
2
^e0
3
1
A =
0
@
®1 ®2 ®3
¯1 ¯2 ¯3
°1 °2 °3
1
A
0
@
^e1
^e2
^e3
1
A :
De los nueve cosenos directores hay solo 3 independientes porque la orto-
gonalidad entre los vectores unitarios conduce a seis relaciones entre ellos.
Expl¶³citamente, dichas relaciones son, escritas matricialmente
0
@
®1 ®2 ®3
¯1 ¯2 ¯3
°1 °2 °3
1
A
0
@
®1 ¯1 °1
®2 ¯2 °2
®3 ¯2 °3
1
A =
0
@
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
A ; (4.1)
que adem¶as pueden escribirse
®i®j + ¯i¯j + °i°j = ±i j ;
siendo ±i j el delta de Kronecker. Preferiremos usar la notaci¶on
a1i = ®i; a2i = ¯i; a3i = °i ;
o sea
aij = ^e0
i ¢ ^ej ;
de manera que la relaci¶on (4.1) puede escribirse
AAT
= I; con A = faijg :
La matriz A llamada la matriz de rotaci¶on, por la propiedad anterior, es una
matriz ortogonal.
Rotaci¶on pasiva de un vector.
Aqu¶³ se consideran las rotaciones desde un punto de vista pasivo, es decir
se rota el sistema de coordenadas, y en consecuencia el vector permanece
inalterado pero se modi¯can sus componentes, es decir
~r =
X
i
xi^ei =
X
i
x0
i^e0
i ;
de donde, por la ortogonalidad de los vectores unitarios, se puede obtener
x0
i =
X
j
aijxj :
Indice
página

58. 44 Rotaciones.
Z
X
Y
!
!
O
Figura 4.2: Rotaci¶on en torno de un eje
Rotaci¶on activa de un vector.
Aqu¶³ se consideran las rotaciones desde un punto de vista activo, es decir se
rota el vector permaneciendo inalterado el sistema de referencia. Esencial-
mente se tiene el mismo resultado, pero ahora
~r =
X
xi^ei ;
~r 0
=
X
x0
i^ei :
Note que se modi¯can las componentes pero se mantienen los mismos vectores
unitarios. La idea es que el vector rotado tiene sus componentes en el sistema
original, iguales a las del vector original en un sistema rotado en sentido
contrario. De modo que
x0
i =
X
j
ajixj ;
donde se ha considerado que R¡1
= RT
:
Ejercicio 4.1.1 Demuestre que una transformaci¶on lineal con una matriz
ortogonal, transformaci¶on ortogonal, conserva el producto escalar entre dos
vectores y sus magnitudes.
Rotaci¶on en torno de los ejes cartesianos.
Una rotaci¶on del sistema en torno de los ejes cartesianos, en sentidos contrario
a los punteros de un reloj, mirando hacia el eje, ver ¯gura (4.2) es realizada
Indice
página

59. 4.1 Rotaciones de un sistema. 45
por las siguientes matrices
Rx(µ) =
0
@
1 0 0
0 cos µ sin µ
0 ¡ sin µ cos µ
1
A ;
Ry(µ) =
0
@
cos µ 0 ¡ sin µ
0 1 0
sin µ 0 cos µ
1
A ;
Rz(µ) =
0
@
cos µ sin µ 0
¡ sin µ cos µ 0
0 0 1
1
A :
Rotaci¶on de un vector en un ¶angulo Á respecto a un eje especi¯cado
por ^n:
Considere una rotaci¶on activa de un vector ~r en torno de un eje ^n en un
¶angulo Á en el sentido de avance de ^n: (Esto equivale a una rotaci¶on pasiva
con un ¶angulo de ¡Á: ) De la ¯gura (4.3) es posible demostrar que el vector
rotado ~r 0
puede escribirse
~r 0
= ~r + (sin Á)^n £ ~r + (1 ¡ cos Á)^n £ (^n £ ~r) : (4.2)
n^
)
C
O
C
)
r
r'
n^ x r
n^ n^x x( r )
Figura 4.3: Rotaci¶on activa de un vector
Indice
página

60. 46 Rotaciones.
La expresi¶on (4.2), puede escribirse en notaci¶on matricial. Para ello considere
la siguiente forma de realizar un producto cruz"
~a £~b =
0
@
aybz ¡ azby
azbz ¡ axbz
axby ¡ aybx
1
A =
0
@
0 ¡az ay
az 0 ¡ax
¡ay ax 0
1
A
0
@
bx
by
bz
1
A ;
o sea, en forma matricial, el producto cruz es realizado mediante multiplica-
ci¶on por una matriz 3 £ 3 que llamaremos (~a£)
(~a£) =
0
@
0 ¡az ay
az 0 ¡ax
¡ay ax 0
1
A ;
de modo que, en t¶erminos matriciales
~r 0
=
£
I + (sin Á)(^n£) + (1 ¡ cos Á)(^n£)2
¤
~r; (4.3)
por lo cual, la matriz de la rotaci¶on (activa) es
R^n(Á) =
£
I + (sin Á)(^n£) + (1 ¡ cos Á)(^n£)2
¤
:
Angulo y eje de la rotaci¶on.
Si la matriz de rotaci¶on es conocida, entonces el ¶angulo y el eje son calculables
de acuerdo a
Tr(R) = 1 + 2 cos Á ; (4.4)
R ¡ RT
= 2(sin Á)(^n£) : (4.5)
En efecto la expresi¶on de la matriz de rotaci¶on es
R = I + (sin Á) (^n£) + (1 ¡ cos Á)(^n£)2
:
Debemos recordar que la matriz (n£) es antisim¶etrica y dada por
(^n£) =
0
@
0 ¡nz ny
nz 0 ¡nx
¡ny nx 0
1
A ;
Indice
página

61. 4.1 Rotaciones de un sistema. 47
con traza nula. La matriz (n£)2
resulta sim¶etrica con expresi¶on
(^n£)2
=
0
@
¡n2
y ¡ n2
z nxny nxnz
nynx ¡n2
x ¡ n2
z nynz
nznx nzny ¡n2
x ¡ n2
y
1
A ;
y su traza es ¡2. As¶³ resulta entonces
Tr(R) = 3 + (1 ¡ cos Á)(¡2);
que prueba el primer resultado. Ahora considere
RT
= I ¡ (sin Á)(^n£) + (1 ¡ cos Á)(^n£)2
;
de modo que resulta
R ¡ RT
= 2 sin Á (^n£):
Ejercicio 4.1.2 Demuestre que (~a£)3
= ¡ j~aj2
(~a£) :
Ejercicio 4.1.3 Demuestre que formalmente puede escribirse:
R^n(Á) = eÁ (^n£)
:
Rotaciones in¯nitesimales y sus generadores.
Considere la siguiente descomposici¶on:
0
@
0 ¡az ay
az 0 ¡ax
¡ay ax 0
1
A = ax
0
@
0 0 0
0 0 ¡1
0 1 0
1
A+ay
0
@
0 0 1
0 0 0
¡1 0 0
1
A+az
0
@
0 ¡1 0
1 0 0
0 0 0
1
A :
Si se de¯nen
I1 = Ix =
0
@
0 0 0
0 0 ¡1
0 1 0
1
A ;
I2 = Iy =
0
@
0 0 1
0 0 0
¡1 0 0
1
A ;
I3 = Iz =
0
@
0 ¡1 0
1 0 0
0 0 0
1
A ;
Indice
página

62. 48 Rotaciones.
puede probarse directamente que
[Ii; Ij] = IiIj ¡ IjIi = "ijkIk : (4.6)
Las matrices Ii se denominan generadores de rotaciones in¯nitesimales y ellas
obedecen la denominada ¶algebra de Lie, de¯nida por la relaci¶on b¶asica (4.6).
En efecto, si el ¶angulo de rotaci¶on es in¯nit¶esimo, la relaci¶on (4.3) puede
escribirse
~r 0
= ~r + Á(^n£)~r;
es decir
~r 0
= [I + Á(^n£)]~r:
Si un ¶angulo ¯nito Á es descompuesto en n partes, puede obtenerse la expre-
si¶on para una rotaci¶on ¯nita activa al tomar el l¶³mite
~r 0
= lim
n¡!1
µ
I +
Á
n
(^n£)
¶n
~r;
o sea
~r 0
= eÁ(^n£)
~r:
4.1.2 ¶Angulos de Euler.
Una de las diversas formas de parametrizar una rotaci¶on de un sistema, es
mediante los ¶angulos de Euler que de¯niremos de acuerdo a lo siguiente, ver
¯gura (14.3).
² Primero una rotaci¶on en ¶angulo © en torno del eje z original.
² Segundo una rotaci¶on en ¶angulo £ respecto al nuevo eje x (eje n) y
² ¯nalmente una rotaci¶on en ¶angulo ª respecto a la posici¶on del eje z de
la rotaci¶on anterior y que es por lo tanto el eje z (z') ¯nal.
El mismo efecto puede ser logrado haciendo una sucesi¶on de tres rotaciones
en esos mismos ¶angulos pero respecto a los ejes originales. La demostraci¶on
anal¶³tica se deja como problema, aqu¶³ se establece el resultado desde un punto
de vista intuitivo
R = Rz0 (ª)Rn(£)Rz(©) = Rz(©)Rx(£)Rz(ª) ; (4.7)
Indice
página

63. 4.1 Rotaciones de un sistema. 49
Z
*
!
X
X '
Y
Y '
Z '
)
Figura 4.4: Angulos de Euler
de modo que la matriz de la rotaci¶on (activa) resultante ser¶a
0
@
cos © ¡ sin © 0
sin © cos © 0
0 0 1
1
A
0
@
1 0 0
0 cos £ ¡ sin £
0 sin £ cos £
1
A
0
@
cos ª ¡ sin ª 0
sin ª cos ª 0
0 0 1
1
A :
Note cuidadosamente que se trata de rotaciones de un punto de vista activo
(rotar el sistema f¶³sico). Si ellas son rotaciones de un punto de vista pasi-
vo (rotar el sistema de coordenadas), todos los ¶angulos involucrados deben
cambiarse de signo.
4.1.3 Par¶ametros de Cayley Klein.
Matrices unimodulares.
Hemos visto que una rotaci¶on depende de tres par¶ametros, por ejemplo cuan-
do est¶a expresada en t¶erminos de los ¶angulos de Euler. Sin embargo es
de inter¶es otra parametrizaci¶on que es interesante por presentar conceptos
te¶oricos importantes. Para ello, consideraremos transformaciones lineales en
un espacio bidimensional de n¶umeros complejos de la forma
u0
= ®u + ¯v; v0
= °u + ±v ;
siendo u; v; u0
; v0
; ®; ¯; °; ± complejos. Adem¶as restringiremos el estudio a
matrices de transformaci¶on Q del grupo SU(2), es decir matrices 2 £ 2,
Indice
página

64. 50 Rotaciones.
unitarias y de determinante +1; matrices que se denominan unimodulares.
Demostraremos luego que las transformaciones de similaridad generadas con
estas matrices, describen rotaciones. Las condiciones que de¯nen las matrices
unimodulares, restringen el n¶umero de par¶ametros reales de las cuales ellas
pueden depender, a s¶olo tres. En efecto, las condiciones son
Q =
µ
® ¯
° ±
¶
; QQy = I; det(Q) = +1 ; (4.8)
entonces
®®?
+ ¯¯?
= 1 ; (4.9)
°°?
+ ±±?
= 1 ; (4.10)
®°?
+ ¯±?
= 0 ; (4.11)
°®?
+ ±¯?
= 0 ; (4.12)
®± ¡ ¯° = 1 : (4.13)
Los par¶ametros ®; ¯; °; ± se denominan par¶ametros de Cayley Klein. Como
la matriz Q tiene en general 8 componentes reales, las 5 condiciones dejan
s¶olo 3 par¶ametros independientes. La eliminaci¶on expl¶³cita no es conveniente
llevarla a cabo completamente. Podemos se~nalar que las relaciones anteriores
conducen a
± = ®?
; ° = ¡¯?
; (4.14)
de modo que las matrices Q pueden expresarse mediante:
Q =
µ
® ¯
¡¯?
®?
¶
; con j®j2
+ j¯j2
= 1: (4.15)
4.1.4 Transformaciones de similaridad.
Consideremos el grupo de matrices P; 2 £ 2, herm¶³ticas con traza nula. La
forma m¶as general de esas matrices es:
P =
µ
z x ¡ iy
x + iy ¡z
¶
; (4.16)
con x; y; z reales. Las transformaciones de similaridad generadas por las
matrices Q, tienen las siguientes propiedades, que se dejan como problemas:
Indice
página

65. 4.1 Rotaciones de un sistema. 51
Ejercicio 4.1.4 Demuestre que la transformaci¶on de similaridad de una
matriz A, de¯nida por
A0
= QAQy
tiene las siguientes propiedades:
a) conserva el Lagrange de hermiticidad de A.
b) conserva el determinante de A.
c) conserva la traza de A.
Se desprende entonces que las transformadas de similaridad de las matrices
P; son de la misma forma, es decir
µ
z0
x0
¡ iy0
x0
+ iy0
¡z0
¶
= Q
µ
z x ¡ iy
x + iy ¡z
¶
Q y : (4.17)
Podemos entonces asociar a un punto de coordenadas x; y; z una matriz P.
Debido a que se conserva el determinante, tenemos que se cumple la relaci¶on
b¶asica que de¯ne una rotaci¶on
(x0
)2
+ (y0
)2
+ (z0
)2
= (x)2
+ (y)2
+ (z)2
:
Puede probarse que se trata de rotaciones propias y no hay inversiones de
los ejes. Para expresar expl¶³citamente la matriz de rotaci¶on tridimensional
asociada a una transformaci¶on de similaridad inducida por Q, analicemos lo
siguiente. Las matrices P; pueden escribirse utilizando matrices de Pauli, de
la siguiente manera
P = x
µ
0 1
1 0
¶
+ y
µ
0 ¡i
i 0
¶
+ z
µ
1 0
0 ¡1
¶
; (4.18)
o bien
P = ~r ¢ ~¾ :
siendo
~¾ = ^{¾x + ^|¾y + ^k¾z ;
donde las matrices de Pauli est¶an de¯nidas por
¾x =
µ
0 1
1 0
¶
; ¾y =
µ
0 ¡i
i 0
¶
; ¾z =
µ
1 0
0 ¡1
¶
: (4.19)
Indice
página

66. 52 Rotaciones.
4.1.5 Relaciones entre matrices de Pauli.
Demostraremos las siguientes relaciones que involucran matrices de Pauli:
¾l¾m = i"lmn¾n + I±lm ;
(~¾ ¢ ~a)(~¾ ¢~b) = ~a ¢~b I + i~¾ ¢ (~a £~b) :
En efecto Las matrices de Pauli est¶an de¯nidas por
¾1 =
µ
0 1
1 0
¶
; ¾2 =
µ
0 ¡i
i 0
¶
; ¾3 =
µ
1 0
0 ¡1
¶
:
de modo que simplemente multiplicamos
¾1¾2 =
µ
0 1
1 0
¶ µ
0 ¡i
i 0
¶
=
µ
i 0
0 ¡i
¶
= i¾3
¾2
1 =
µ
0 1
1 0
¶ µ
0 1
1 0
¶
=
µ
1 0
0 1
¶
= I
y as¶³ agotar todos los productos comparando con el resultado
¾l¾m = i"lmn¾n + I±lm :
Aqu¶³, el s¶³mbolo "lmn tiene valores
"lmn =
8
<
:
1 si lmn es permutaci¶on par de 123
¡1 si lmn es permutaci¶on impar de 123
0 si hay ¶³ndices repetidos
La otra relaci¶on. Usando convenci¶on de suma sobre ¶³ndices repetidos, sigue
que
(~¾ ¢ ~a)(~¾ ¢~b) = ¾lal¾mbm
= (i"lmn¾n + I±lm)albm
= i"lmn¾nalbm + I±lmalbm
= i¾n"nlmalbm + Ialbl
pero (~a £~b)n = "nlmalbm por lo tanto
(~¾ ¢ ~a)(~¾ ¢~b) = ~a ¢~b I + i~¾ ¢ (~a £~b):
Indice
página

67. 4.1 Rotaciones de un sistema. 53
4.1.6 Par¶ametros de Euler.
Por razones que se justi¯car¶an enseguida, las partes reales de ® y ¯; denomi-
nados par¶ametros de Euler conviene de¯nirlos mediante
® = ®0 + inz; ¯ = ny + inx : (4.20)
Entonces, las matrices Q pueden escribirse tambi¶en en t¶erminos de matrices
de Pauli (4.15)
Q = ®0I + i~n ¢ ~¾ ;
por lo cual la transformaci¶on de similaridad (4.17) puede escribirse
~r 0
¢ ~¾ = (®0I + i~n ¢ ~¾)(~r ¢ ~¾)(®0I ¡ i~n ¢ ~¾) ;
expresi¶on que, con las propiedades del problema anterior, puede reducirse a
la forma siguiente
~r 0
¢ ~¾ = (~r ¡ (2®0n)^n £ ~r + (2n2
)^n £ (^n £ ~r)) ¢ ~¾ ;
que cuando es comparada con la f¶ormula de la rotaci¶on ¯nita (4.3), conduce
a
n = ¡ sin
Á
2
; ®0 = cos
Á
2
: (4.21)
En resumen, la asociaci¶on de las matrices Q; con la rotaci¶on que ellas efect¶uan,
¶angulo Á y eje de la rotaci¶on ^n; puede escribirse
Q =
µ
cos
Á
2
¶
I ¡ i
µ
sin
Á
2
¶
^n ¢ ~¾ :
Ejercicio 4.1.5 Demuestre las relaciones (4.21).
Ejercicio 4.1.6 Demuestre que otra forma de la matriz Q es:
Q = e¡iÁ
2
^n¢~¾
:
Ejercicio 4.1.7 Demuestre que la matriz Q; asociada a una rotaci¶on activa
en t¶erminos de los ¶angulos de Euler es :
Q =
Ã
e¡i©
2 0
0 ei©
2
! µ
cos £
2
¡i sin £
2
¡i sin £
2
cos £
2
¶ Ã
e¡iª
2 0
0 eiª
2
!
; (4.22)
o bien
Q =
Ã
cos £
2
e¡i©+ª
2 ¡i sin £
2
e¡i©¡ª
2
¡i sin £
2
e¡i©¡ª
2 cos £
2
e¡i©+ª
2
!
:
Indice
página

68. 54 Rotaciones.
Aunque hemos analizado esta representaci¶on de dos dimensiones del grupo de
rotaciones, en el contexto de realizar rotaciones de vectores de 3 dimensiones,
esta representaci¶on adquiere todo su sentido, al considerar el grupo SU(2)
y su relaci¶on con el spin 1=2 en Mec¶anica Cu¶antica. M¶as sobre la conexi¶on
entre el grupo O(3) y SU(2); puede encontrarse en la siguiente referencia [8],
pag. 281.
4.2 Velocidad angular.
4.2.1 Descomposici¶on del movimiento.
Un cambio de posici¶on arbitrario de un sistema o de un cuerpo r¶³gido, puede
ser en general logrado en forma equivalente mediante una traslaci¶on pura, que
lleva alguno de sus puntos A a su posici¶on ¯nal A0
, seguido de una rotaci¶on
pura en torno de un eje que pasa por el punto A0
, en un cierto ¶angulo.
Entonces el cambio de todo vector posici¶on de un punto P perteneciente al
cuerpo r¶³gido, podr¶a escribirse:
±
¡!
OP = ±
¡!
OAtraslaci¶on + ±
¡!
AProtaci¶on :
Si el cambio de posici¶on es ¯nito, nada podemos decir de las posiciones
intermedias que ocup¶o el cuerpo para pasar de su posici¶on inicial a la ¯nal.
Sin embargo, si el intervalo de tiempo transcurrido entre ambas posiciones es
in¯nit¶esimo, dt; entonces la descomposici¶on anterior, nos describe en forma
continua las posiciones que ocupa el cuerpo mediante
d
¡!
OP = d
¡!
OA + d
¡!
AP ;
o sea
d
¡!
OP = d
¡!
OA + dÁ ^n £
¡!
AP ;
que si se divide por dt, constituye una relaci¶on entre velocidades de dos
puntos A; P del cuerpo r¶³gido, es decir
~vP = ~vA +
dÁ
dt
^n £
¡¡!
AP :
Si de¯nimos
~! =
dÁ
dt
^n ; (4.23)
Indice
página

69. 4.3 Problemas. 55
la denominada velocidad angular instant¶anea del cuerpo r¶³gido, se obtiene
~vP = ~vA + ~! £
¡!
AP : (4.24)
Lo anterior es algo enga~noso. La existencia del ¶angulo de rotaci¶on y de su
eje, est¶a garantizada por el teorema de Euler, sin embargo en la pr¶actica, su
determinaci¶on no es obvia. En este contexto, es ¶util el llamado teorema de
adici¶on de velocidades angulares.
4.2.2 Teorema de adici¶on de velocidades angulares.
Si se tienen dos sistemas de referencia, S0 y S1 con origen com¶un, y adem¶as
un cuerpo r¶³gido (CR) que mantiene un punto ¯jo en el origen com¶un, ver
¯gura (4.5), se deja como ejercicio probar el siguiente teorema que relaciona
velocidades angulares relativas (rel):
I Teorema 4.3
La velocidad angular puede descomponerse de la siguiente forma
~!CR rel S0
= ~!CR rel S1
+ ~!S1 rel S0
X
Y
Z
X '
Y '
Z '
CR
S
S1
o
Figura 4.5: Adici¶on de velocidades angulares
4.3 Problemas.
Ejercicio 4.3.1 Demuestre que las componentes de la velocidad angular de
un sistema r¶³gido, en t¶erminos de los ¶angulos de Euler, est¶an dadas por:
Indice
página

70. 56 Rotaciones.
a) En el sistema de ejes m¶oviles:
!x0 = _µ cos à + _Á sin µ sin à ;
!y0 = ¡_µ sin à + _Á sin µ cos à ;
!z0 = _Ã + _Á cos µ :
b) En el sistema de ejes ¯jos:
!x = _Ã sin µ sin Á + _µ cos Á ;
!y = ¡ _Ã sin µ cos Á + _µ sin Á ;
!z = _Ã cos µ + _Á :
Ejercicio 4.3.2 Si se considera un vector de magnitud constante ~r(t) obte-
nido mediante una rotaci¶on R(t) del vector inicial ~r(0), demuestre que existe
una matriz antisim¶etrica ­(t) tal que
d~r(t)
dt
= ­(t)~r(t) ;
y que ello equivale a
d~r(t)
dt
= ~!(t) £ ~r(t) ;
donde ~!(t) es llamado el vector velocidad angular.
Ejercicio 4.3.3 Determine las componentes del vector ~!(t) del problema
anterior, en t¶erminos de las componentes de la matriz R(t):
Ejercicio 4.3.4 Si las velocidades de tres puntos de un r¶³gido son conoci-
das, demuestre que:
~! =
(~vB ¡ ~vA) £ (~vC ¡ ~vA)
(~vB ¡ ~vA) ¢
¡!
AC
; si (~vB ¡ ~vA) ¢
¡!
AC 6= 0 :
Ejercicio 4.3.5 Obtenga una expresi¶on para la velocidad angular ~!, en el
caso en que no se cumpla la condici¶on (~vB ¡ ~vA) ¢
¡!
AC 6= 0 del problema
anterior. Indicaci¶on: Si (~vB ¡ ~vA) ¢
¡!
AC = 0; entonces ~! £
¡!
AB ¢
¡!
AC = 0, lo
que quiere decir que la velocidad angular est¶a en el plano ABC. Se puede
Indice
página

71. 4.3 Problemas. 57
entonces expresar la velocidad angular como una combinaci¶on lineal de
¡!
AB
y
¡!
AC con coe¯cientes determinables, obteni¶endose
~! =
(~vC ¡ ~vA) ¢ (
¡!
AB £
¡!
AC)
¡!
AB + (~vA ¡ ~vB) ¢ (
¡!
AB £
¡!
AC)
¡!
AC
¯
¯
¯
¡!
AB £
¡!
AC
¯
¯
¯
2
Ejercicio 4.3.6 Demuestre la equivalencia establecida en la ecuaci¶on (4.7).
Indice
página

72. 58 Rotaciones.
Indice
página

73. Cap¶³tulo 5
Sistema r¶³gido de part¶³culas.
5.1 Cantidades cinem¶aticas.
Las cantidades cinem¶aticas, que dependen de las velocidades de las part¶³culas
del cuerpo, adquieren una forma especial cuando se trata de un sistema r¶³gido
de part¶³culas. De acuerdo a lo estudiado en el cap¶³tulo sobre rotaciones, la
descripci¶on del movimiento de un cuerpo r¶³gido puede hacerse en t¶erminos
de tres coordenadas que den cuenta de los desplazamientos de un punto
del cuerpo y de tres ¶angulos o par¶ametros que den cuenta de las rotaciones
del cuerpo. Por esa raz¶on existen en general solo seis variables necesarias
en la descripci¶on del movimiento de un cuerpo r¶³gido y por lo tanto, es
su¯ciente considerar solamente las seis ecuaciones escalares (1.2) y (1.3), o
bien reemplazar alguna de ellas por el teorema de conservaci¶on de energ¶³a, si
ello corresponde. Aqu¶³ solamente indicaremos las consideraciones especiales
que permiten expresar tanto la energ¶³a cin¶etica y el momentum angular de
un cuerpo r¶³gido, en t¶erminos de su velocidad angular y la matriz de inercia.
Las ecuaciones din¶amicas aplicables son aquellas reci¶en citadas de un sistema
de part¶³culas. Considerando la relaci¶on b¶asica entre las velocidades de dos
puntos de un cuerpo r¶³gido, ver ¯g.(5.1)
~v = ~vA + ~! £ ~r;
Indice
página

74. 60 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
podemos expresar el momento angular de un sistema r¶³gido de part¶³culas que
mantiene un punto O ¯jo como
~LO =
X
i
mi~ri £ (~! £ ~ri); (5.1)
o bien, para un cuerpo r¶³gido continuo que mantiene un punto O ¯jo
~LO =
Z
dm~r £ (~! £ ~r ): (5.2)
O
A
dm
r
O
dm
r
v=v +% x r
A
v= % x r
Figura 5.1: Velocidades de un r¶³gido
Si se considera la siguiente forma de realizar un producto cruz (ver rotacio-
nes)
~a £~b =
0
@
0 ¡az ay
az 0 ¡ax
¡ay ax 0
1
A
0
@
bx
by
bz
1
A = (~a£)~b;
cualquiera de las dos expresiones (5.1) o (5.2) puede escribirse, al usar nota-
ci¶on matricial, de la siguiente forma
~LO = HO~!:
donde HO es una matriz 3 £ 3, la denominada matriz de inercia del sistema
relativa al origen O y que, para el caso de un cuerpo r¶³gido continuo, por
de¯nici¶on es
HO = ¡
Z
dm (~r£)2
:
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página

75. 5.1 Cantidades cinem¶aticas. 61
y para un sistema r¶³gido de part¶³culas
HO = ¡
X
mi (~ri£)2
:
5.1.1 Energ¶³a cin¶etica y momentum angular.
Se deja como ejercicio, en este resumen, probar que:
Ejercicio 5.1.1 En el movimiento general de un sistema r¶³gido de part¶³culas,
pruebe que:
~LO = M~rG £ ~vG + HG~!;
~LG = HG~!;
K =
1
2
Mv2
G +
1
2
~! ¢ HG~!
Ejercicio 5.1.2 En el caso que un punto 0 se mantenga ¯jo, pruebe que:
~LO = M~rG £ ~vG + HG~! = HO~!;
~LG = HG~!;
K =
1
2
Mv2
G +
1
2
~! ¢ HG~! =
1
2
~! ¢ H0~!:
5.1.2 Algunas propiedades de la matriz de inercia.
La expresi¶on expl¶³cita de la matriz de inercia (sus componentes), depende
del origen elegido, as¶³ como de la orientaci¶on de los ejes. Sus componentes
las indicaremos de acuerdo a
H =
0
@
Ixx Ixy Ixz
Iyx Iyy Iyz
Izx Izy Izz
1
A ;
siendo los elementos de la diagonal llamados momentos de inercia y los de
fuera de la diagonal, productos de inercia
Ixx =
Z
dm(y2
+ z2
); Iyy =
Z
dm(x2
+ z2
); etc.
Ixy = Iyx = ¡
Z
xydm; etc.
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página

76. 62 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
Por ser la matriz de inercia una matriz real sim¶etrica, ella puede ser dia-
gonalizada. Las direcciones para las cuales ella es diagonal, se denominan
direcciones o ejes principales de inercia del cuerpo, en el punto seleccionado.
Cuando hay dos valores propios repetidos, todos los ejes del plano corres-
pondiente a esos dos vectores propios, son ejes principales de inercia. Si los
tres valores propios son iguales, todo eje es en ese punto es principal de iner-
cia. En cualquier caso, siempre es posible escoger tres direcciones principales
de inercia ortogonales entre si. Las propiedades de simetr¶³a de un cuerpo,
cuando existen, ayudan en la determinaci¶on de las direcciones principales de
inercia. Para lo que sigue, consideraremos cuerpos r¶³gidos homog¶eneos de
modo que las propiedades de simetr¶³a del cuerpo coinciden con sus simetr¶³as
geom¶etricas. Pueden entonces probarse los siguientes teoremas:
5.1.3 Teoremas
I Teorema 5.1
Todo eje de simetr¶³a, es principal de inercia en todos sus puntos.
I Teorema 5.2
Un eje perpendicular a un plano de simetr¶³a de re°exi¶on, es principal de
inercia donde se intersectan.
I Teorema 5.3
Un eje paralelo a un eje de simetr¶³a, es principal de inercia donde lo corta
perpendicularmente el plano que contiene al centro de masas.
5.1.4 El elipsoide de inercia.
Las consideraciones anteriores admiten una visualizaci¶on gr¶a¯ca. La forma
cuadr¶atica
~r T
¢ HO~r = 1;
o bien desarrollada expl¶³citamente en la forma
x2
Ixx + y2
Iyy + z2
Izz + 2Ixyxy + 2Ixzxz + 2Iyzyz = 1
representa en general, un elipsoide centrado en el origen seleccionado del
cuerpo pero rotado respecto a los ejes elegidos, ver ¯gura (5.2). Los semiejes
del elipsoide ser¶an en consecuencia los ejes principales de inercia del cuer-
po en ese origen, puesto que para esos ejes, la forma cuadr¶atica no tiene
Indice
página

77. 5.1 Cantidades cinem¶aticas. 63
productos de inercia. Este elipsoide puede degenerar desde un cilindro de
secci¶on el¶³ptica si alg¶un momento de inercia es cero, hasta una esfera si los
tres momentos de inercia son iguales. Esta super¯cie, llamada elipsoide de
inercia, que est¶a ¯ja en el cuerpo, debe por lo tanto tener las mismas pro-
piedades de simetr¶³a del cuerpo. Por ejemplo, si uno de los ejes elegidos es
de simetr¶³a de rotaci¶on del cuerpo en el origen seleccionado, ese eje debe
ser uno de los semiejes del elipsoide, es decir un eje de simetr¶³a es principal
de inercia en todos sus puntos. Igualmente, si el origen est¶a en un plano
de simetr¶³a de re°exi¶on del cuerpo, el elipsoide debe tener ese mismo plano
como plano de simetr¶³a de re°exi¶on. Es decir dos semiejes del elipsoide est¶an
sobre ese plano y el tercero es perpendicular a ese plano. En consecuencia
todo eje perpendicular a un plano de simetr¶³a de re°exi¶on es principal de
inercia donde se intersectan con el plano. Otra consecuencia que se entiende
con claridad cuando se piensa en el elipsoide de inercia es la siguiente. Si el
origen est¶a en un eje de simetr¶³a de rotaci¶on en un ¶angulo distinto de 180o
,
el elipsoide debe tener esa misma propiedad, por lo tanto los dos semiejes del
elipsoide que son perpendiculares a ese eje deben ser iguales, o sea esos dos
correspondientes momentos de inercia deben ser iguales.
Z
X
X '
Y
Y '
Z '
Figura 5.2: Elipsoide de inercia
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página

78. 64 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
Rotaciones de los ejes.
Si la matriz de inercia H es conocida en componentes para un sistema ortogo-
nal de ejes en un punto de un cuerpo r¶³gido, podemos obtener la matriz en
componentes para ejes rotados ortogonales ^e1; ^e2; ^e3 en el mismo punto sim-
plemente proyectando la matriz de inercia sobre estos nuevos ejes de acuerdo
a
Ie1e2 = ^e T
1 ¢ H^e2 :
Debemos remarcar que la matriz de inercia en un punto de un cuerpo r¶³gido
es ¶unica. Lo que cambia al cambiar ejes en un punto, son sus elementos o
componentes.
Traslaciones de los ejes, Teorema de Steiner.
Si se consideran traslaciones (paralelas) de los ejes, la relaci¶on de transforma-
ci¶on de la matriz de inercia es particularmente simple si uno de los or¶³genes es
el centro de masas G: Tal relaci¶on de transformaci¶on, conocida como teorema
de Steiner sigue del siguiente an¶alisis. Considere que
HO = ¡
Z
dm (~r£)2
;
siendo
(~r£)2
=
0
@
¡y2
¡ z2
xy xz
yz ¡x2
¡ z2
yz
zx zy ¡x2
¡ y2
1
A :
Si consideramos coordenada (x0
; y0
; z0
) relativas a G con origen en el punto
(a; b; c) entonces
x = x0
+ a;
y = y0
+ b;
z = z0
+ b;
si consideramos adem¶as que
Z
x0
dm =
Z
y0
dm =
Z
z0
dm = 0;
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página

79. 5.1 Cantidades cinem¶aticas. 65
entonces podemos no considerar los t¶erminos que resulten lineales en x0
o y0
o z0
. As¶³ entonces (, signi¯ca equivalente bajo la integral)
xy = (x0
+ a)(y0
+ b) , x0
y0
+ ab;
y2
+ z2
= (y0
+ b)2
+ (z0
+ c)2
, (y0
)2
+ (z0
)2
+ b2
+ c2
;
por lo tanto
¡ (~r£)2
=
0
@
y2
+ z2
¡xy ¡xz
¡yz x2
+ z2
¡yz
¡zx ¡zy x2
+ y2
1
A
,
0
@
y02
+ z02
¡x0
y0
¡x0
z0
¡y0
z0
x02
+ z02
¡y0
z0
¡z0
x0
¡z0
y0
x02
+ y02
1
A +
0
@
c2
+ b2
¡ab ¡ac
¡ba a2
+ c2
¡bc
¡ca ¡cb a2
+ b2
1
A ;
de donde se obtiene el teorema
HO = HG + M
0
@
c2
+ b2
¡ab ¡ac
¡ba a2
+ c2
¡bc
¡ca ¡cb a2
+ b2
1
A ;
donde a; b; c son las coordenadas cartesianas de G respecto al origen O:
Ejercicio 5.1.3 Se tiene un s¶olido homog¶eneo en forma de un cono recto
circular de altura h, radio basal a, masa m y semi ¶angulo en el v¶ertice ®:
Demuestre que:
a) En el v¶ertice sus momentos principales de inercia son A = B =
3m
20
(a2
+ 4h2
); C = 3ma2
10
:
b) En el centro de su base son A = B = m
20
(3a2
+ 2h2
); C = 3ma2
10
:
c) El momento de inercia en torno de una generatriz es I = 3mh2
4
(1 +
1
5
sec2
®) sin2
®.
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página

80. 66 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
5.2 Ecuaciones din¶amicas.
Como se estableci¶o, ver ecuaciones (1.2, 1.3, 1.4) y m¶as generalmente en (??),
las ecuaciones din¶amicas aplicables a un sistema de part¶³culas y en particular
a un cuerpo r¶³gido son
d~P
dt
= ~Fext
;
para el movimiento del centro de masas, y
d ~LO
dt
= ~¡ext
O ;
o
d~LG
dt
= ~¡ext
G ;
es decir para punto ¯jo O de un sistema inercial, el centro de masas G o un
punto A arbitrario, siendo entonces
d~LA
dt
= ~¡ext
A ¡ M
¡!
AG £ ~aA: (5.3)
Aunque no es com¶un utilizar la ¶ultima forma, en una secci¶on m¶as adelante
mostraremos que bajo ciertas condiciones su uso simpli¯ca muchos proble-
mas.
5.2.1 Movimiento Plano.
Cuando todas las velocidades de un cuerpo r¶³gido son paralelas a un plano
¯jo, por ejemplo el plano xy, se tiene un movimiento plano. La velocidad
angular del cuerpo ser¶a de la forma
~! = !^k;
y en consecuencia el momentum angular en G estar¶a dado por
~LG =
0
@
Ixx Ixy Ixz
Iyx Iyy Iyz
Izx Izy Izz
1
A
0
@
0
0
!
1
A :
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página

81. 5.2 Ecuaciones din¶amicas. 67
A
G
Y
!
a sin(%t)
X
aA
Figura 5.3: P¶endulo cuyo punto de suspensi¶on oscila
Si se trata de una l¶amina (z = 0) o bien simplemente si los ejes son principales
de inercia entonces
~LG =
0
@
Ixx Ixy 0
Iyx Iyy 0
0 0 Izz
1
A
0
@
0
0
!
1
A = Izz!^k:
Presentaremos algunos ejemplos de din¶amica plana de un cuerpo r¶³gido, los
cuales permiten adem¶as una soluci¶on m¶as simple si se usa la relaci¶on general
(5.3). La utilizaci¶on de la ecuaci¶on (1.4) normalmente involucra calcular el
torque de alguna fuerza desconocida que debe ser ¯nalmente eliminada utili-
zando la ecuaci¶on de movimiento de centro de masas. Compare ese m¶etodo,
con el m¶etodo utilizado en los siguientes ejemplos.
.
Ejemplo 5.2.1 P¶endulo de longitud L, masa M cuyo punto de suspensi¶on
A oscila verticalmente de la forma yA = a sin !t:
Soluci¶on. Para este caso tenemos
IA
ĵ = ¡Mg
L
2
sin µ ¡ M(~rG ¡ ~rA) £ ~aA ¢ ^k;
pero puede f¶acilmente verse que (~rG ¡ ~rA) £ ~aA ¢ ^k = ¡L
2
a!2
sin !t sin µ
obteniendo en dos pasos
IA
ĵ = ¡Mg
L
2
sin µ + M
L
2
a!2
sin !t sin µ:
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página

82. 68 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
A
G
Y
!
a sin(%t)
Y
X
aA
Figura 5.4: P¶endulo forzado
N
Ejemplo 5.2.2 P¶endulo de longitud L, masa M cuyo punto de suspensi¶on
A oscila horizontalmente en la forma xA = a sin !t:
Soluci¶on. Para este caso
IA
ĵ = ¡Mg
L
2
sin µ ¡ M(~rG ¡ ~rA) £ ~aA ¢ ^k;
pero similarmente (~rG ¡~rA)£~aA ¢^k = ¡L
2
a!2
sin !t cos µ entonces obtenemos
en dos pasos
IA
ĵ = ¡Mg
L
2
sin µ + M
L
2
a!2
sin !t cos µ:
N
Ejemplo 5.2.3 P¶endulo de longitud L, masa M cuyo punto de suspensi¶on A
se mueve sobre una circunferencia vertical de radio R con velocidad angular
constante !:
Soluci¶on. Para este caso tenemos
IA
ĵ = ¡Mg
L
2
sin µ ¡ M(~rG ¡ ~rA) £ ~aA ¢ ^k;
Indice
página

83. 5.2 Ecuaciones din¶amicas. 69
A
G
Y
!%t
Y
X
R
aA
Figura 5.5: Problema de barra
pero (~rG ¡ ~rA) £ ~aA ¢ ^k = ¡L
2
a!2
sin(¼
2
¡ !t + µ) obteniendo
IA
ĵ = ¡Mg
L
2
sin µ + M
L
2
a!2
cos(!t ¡ µ):
N
Ejemplo 5.2.4 Movimiento de rodadura de una rueda exc¶entrica de radio
R y masa M sobre un plano horizontal. En este caso la aceleraci¶on del punto
de contacto A del cuerpo con el suelo es de magnitud aA = R_µ
2
hacia arriba.
Soluci¶on. Suponiendo que el centro de masas est¶a a distancia h del
centro geom¶etrico, tenemos
(~rG ¡ ~rA) £ ~aA ¢ ^k = j~rG ¡ ~rAj R_µ
2
sin Á;
pero
sin Á
h
=
sin µ
jrG ¡ rAj
;
entonces
(~rG ¡ ~rA) £ ~aA ¢ ^k = R_µ
2
h sin µ;
y ¯nalmente
IA
ĵ = ¡Mgh sin µ ¡ MR_µ
2
h sin µ:
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página

84. 70 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
Y
X
A
G
C h
R
!
aA )
Figura 5.6: Disco que rueda
El momento de inercia puede ser obtenido mediante el teorema de Steiner
IA = IG + M(h2
+ R2
¡ 2hr cos µ):
N
Ejemplo 5.2.5 El mismo ejemplo, pero la rueda es actuada por una fuerza
horizontal constante de magnitud F sobre su centro.
Soluci¶on. Simplemente agregamos el torque de F obteniendo
IA
ĵ = ¡Mgh sin µ ¡ FR ¡ MR_µ
2
h sin µ:
N
Ejemplo 5.2.6 Movimiento de rodadura de una rueda exc¶entrica de radio
a sobre un cilindro ¯jo de radio R.
Soluci¶on. En este caso, demuestre primero que la aceleraci¶on del punto
A del cuerpo en contacto con el cilindro es de magnitud aA = aR!2
=(R + a)
hacia el centro de la rueda. Aqu¶³ la velocidad angular de la rueda est¶a
relacionada con el ¶angulo µ mediante ! = (R+a)_µ=a y Rµ = aÁ. Si el centro
de masa est¶a a distancia h del centro geom¶etrico, podemos obtener
(~rG ¡ ~rA) £ ~aA ¢ ^k = aAh sin Á
=
aR!2
R + a
h sin Á;
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página

85. 5.2 Ecuaciones din¶amicas. 71
Y
X
A
G
C
hR !
aA
)
F
Figura 5.7: Rueda tirada con una fuerza.
!
R
a
hC
G
!
)
A
Figura 5.8: Rueda sobre cilindro.
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86. 72 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
Y
X
A
G
R
!aA
a sin(%t)
Figura 5.9: Rueda sobre plataforma m¶ovil.
entonces
IA® = ¡ Mg(h sin(µ + Á) ¡ a sin µ) ¡ M
aR!2
R + a
h sin Á;
R + a
a
IA
ĵ = ¡Mgh sin(1 +
R
a
)µ + Mga sin µ ¡ M
aR_µ
2
R + a
h
(R + a)2
a2
sin
R
a
µ;
IA
ĵ = ¡Mgh
a
R + a
sin
R + a
a
µ +
Mga2
sin µ
(R + a)
¡ MR_µ
2
h sin
R
a
µ;
N
Ejemplo 5.2.7 Movimiento de rodadura de una rueda de masa M y radio
R, sobre una plataforma que oscila de la forma a sin !t:
Soluci¶on. Aqu¶³ la aceleraci¶on del punto A tiene dos componentes, a!2
sin !t,
R_µ
2
pero solo la primera importa, dando por simple inspecci¶on (~rG ¡ ~rA) £
~aA ¢ ^k = Ra!2
sin !t lo cual conduce a
IA
ĵ = ¡MRa!2
sin !t:
N
Problema 5.2.1 Repita los ejemplos anteriores, pero momentando respecto
al centro de masas, es decir haciendo uso de la ecuaci¶on d~LG=dt = ~¡ext
G :
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87. 5.2 Ecuaciones din¶amicas. 73
5.2.2 Un ejemplo en m¶as dimensiones, la bola de billar.
Considere una esfera homog¶enea de masa M, radio R, que se mueve sobre un
plano horizontal con coe¯ciente de roce cin¶etico ¹ sometida a su peso y a la
reacci¶on del plano, ver ¯g.(5.10). Hay dos situaciones, el punto de contacto
P desliza o no lo hace. La matriz de inercia con origen en el centro de masas
es diagonal y tiene sus tres momentos de inercia iguales (I = 2MR2
=5):
Supondremos que inicialmente hay deslizamiento. Para ejes ¯jos OX,OY y
OZ vertical, las ecuaciones din¶amicas son
M~aG = ~f;
d~LG
dt
= I
d~!
dt
= (¡R^k) £ ~f;
Z
X
Y
P
R
G
P
Figura 5.10: Esfera sobre un plano horizontal
y adem¶as la fuerza de roce ~f est¶a dada por ~f = ¡¹Mg^vP ; siendo ~vP =
~vG + ~! £ (¡R^k): Si derivamos la ¶ultima ecuaci¶on respecto al tiempo y reem-
plazamos en ella ~aG y d~!=dt, se obtiene
d~vP
dt
=
1
M
µ
1 +
MR2
I
¶
~f = ¡¹g
µ
1 +
MR2
I
¶
~vP
vP
;
la cual nos dice, obviamente, que la direcci¶on de ~vP no cambia con el tiempo
y en consecuencia se tiene que
dvP
dt
= ¡¹g
µ
1 +
MR2
I
¶
;
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página

88. 74 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
que se integra trivialmente
vP = vP (0) ¡ ¹g
µ
1 +
MR2
I
¶
t: (5.4)
Si indicamos por ^e la direcci¶on ¯ja de ~vP ; podemos escribir
~aG = ¡
~f
M
= ¡¹g^e;
que tambi¶en es sencillo integrar dos veces, resultando
~vG = ~vG(0) ¡ ¹g^et
y
~rG = ~rG(0) + ~vG(0)t ¡
1
2
¹g^et2
;
siendo la direcci¶on de ^e determinables por las condiciones iniciales
~e = ~vP (0) = ~vG(0) ¡ ~!(0) £ (R^k):
En resumen, el centro de masas describe, en general, una par¶abola. El an¶alisis
realizado vale hasta el instante en que vP , se anula, es decir hasta que la
bola comienza a rodar sin deslizar. Ese tiempo puede ser determinado de la
ecuaci¶on (5.4) y est¶a dado por
¯
¯
¯~vG(0) ¡ ~!(0) £ (R^k)
¯
¯
¯ = ¹g
µ
1 +
MR2
I
¶
t
de all¶³ en adelante, es f¶acil ver que G sigue movi¶endose en l¶³nea recta con
velocidad constante. Note que el tiempo que tarda la bola en comenzar
a rodar es cero si la condici¶on de rodadura sin deslizamiento es satisfecha
inicialmente, y que al contrario, el tiempo es in¯nito si ¹ = 0:
² Estudio. Varios casos de esferas movi¶endose sobre super¯cies pueden
ser estudiados en el libro, Dynamics of Rigid Bodies, de William Dun-
can ([20]).
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página

89. 5.3 Movimiento en tres dimensiones. 75
5.3 Movimiento en tres dimensiones.
5.3.1 Ecuaciones de Euler.
Consideremos primero, un cuerpo que se mueve sostenido de uno de sus
puntos, bajo la acci¶on de la reacci¶on en el punto de suspensi¶on y alguna otra
fuerza que realice alg¶un torque respecto al punto ¯jo. Adem¶as considere ejes
principales OXY Z m¶oviles ¯jos al cuerpo r¶³gido con origen en el punto ¯jo
O. Como sabemos, podemos escribir
d~L0
dt
= ~¡0; (5.5)
pero, en ejes principales
~L0 = Ixx!x^{ + Iyy!y^| + Izz!z
^k;
y su derivada ser¶a
d~L0
dt
= Ixx _!x^{ + Iyy _!y^| + Izz _!z
^k +
~! £ ~L0;
de modo que si tomamos las componentes de la ecuaci¶on (5.5) se obtendr¶a
con alg¶un trabajo las llamadas ecuaciones de Euler
Ixx _!x ¡ (Iyy ¡ Izz)!y!z = ¡ext
x
Iyy _!y ¡ (Izz ¡ Ixx)!z!x = ¡ext
y
Izz _!z ¡ (Ixx ¡ Iyy)!x!y = ¡ext
z :
Estas ecuaciones determinan completamente las componentes de la velocidad
angular del cuerpo si el torque es conocido.
5.3.2 Torque nulo.
Consideremos segundo, un cuerpo que se mueve sostenido de su centro de
masa ¯jo, bajo la acci¶on de la reacci¶on en el punto de suspensi¶on solamente,
de modo que el torque de las fuerzas externas respecto al punto de suspensi¶on
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90. 76 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
es nulo. Adem¶as considere ejes principales m¶oviles ¯jos al cuerpo r¶³gido con
origen en el punto ¯jo O. Ahora tenemos que
Ixx _!x ¡ (Iyy ¡ Izz)!y!z = 0
Iyy _!y ¡ (Izz ¡ Ixx)!z!x = 0
Izz _!z ¡ (Ixx ¡ Iyy)!x!y = 0:
Adem¶as es de utilidad considerar que lo anterior es el re°ejo de ~L0 =
constante. O sea
~L0 = Ixx!x^{ + Iyy!y^| + Izz!z
^k = constante.
Si adem¶as no hay roce, se conserva la energ¶³a cin¶etica de modo que
K =
1
2
Ixx!2
x +
1
2
Iyy!2
y +
1
2
Izz!2
z = constante. (5.6)
Tambi¶en sigue de las ecuaciones anteriores que
~L0 ¢ ~! = 2K = constante,
de modo que la velocidad angular permanece sobre un plano ¯jo perpendicu-
lar a ~L0. Adem¶as la magnitud del momentum angular es constante, lo cual
agrega otra condici¶on (no es independiente)
L2
0 = I2
xx!2
x + I2
yy!2
y + I2
zz!2
z = constante. (5.7)
Ejercicio 5.3.1 A partir de las ecuaciones de Euler pruebe las ecuaciones
5.6 y 5.7.
Pensemos ahora como se ven las cosas para un observador que se mueve
junto con el cuerpo r¶³gido. Para ¶el las direcciones de los ejes permanecen
¯jas y observa que la velocidad angular var¶³a en esos ejes. De acuerdo a
¶el, la punta del vector velocidad angular se mueve en un punto que es la
intersecci¶on de dos elipsoides ¯jos al cuerpo.
Ixx!2
x + Iyy!2
y + Izz!2
z = 2K
y
L2
0 = I2
xx!2
x + I2
yy!2
y + I2
zz!2
z = L2
0;
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página

91. 5.3 Movimiento en tres dimensiones. 77
el primero de los cuales se denomina elipsoide de Poinsot. Adem¶as, como
explicamos, la punta de vector velocidad angular permanece sobre un plano
¯jo. Notemos adem¶as que la normal al elipsoide de Poinsot donde est¶a ~! es
~n = Ixx!x^{ + Iyy!y^| + Izz!z
^k o sea precisamente el momentum angular, de
modo que el plano invariable es tangente al elipsoide de Poinsot. El cuadro
que sigue de aqu¶³ es que el elipsoide de Poinsot, que se mueve junto con el
cuerpo, rueda sin deslizar sobre el plano invariable. Este movimiento, bas-
tante complicado, representa el movimiento de un cuerpo r¶³gido con torque
nulo. Desafortunadamente las ecuaciones para !x, !y, !z resultan el¶³pticas
(complicadas) por lo cual no ahondaremos m¶as aqu¶³. Si se interesa vea [18,
(pag.378)]. Sin embargo, el problema se simpli¯ca si el s¶olido r¶³gido es de
simetr¶³a de revoluci¶on.
5.3.3 Cuerpo sim¶etrico.
Supondremos ahora que el cuerpo tiene simetr¶³a de revoluci¶on de modo que
Ixx = Iyy = A;
Izz = C:
Ahora las ecuaciones de Euler se simpli¯can a
A _!x ¡ (A ¡ C)!y!z = 0
A _!y ¡ (C ¡ A)!z!x = 0
C _!z = 0:
de donde se desprende que
!z = constante,
!2
x + !2
y = constante.
Si denotamos por ® el ¶angulo que ~! forma con el eje z, ver ¯gura (5.11) sigue
que
! =
q
!2
x + !2
y + !2
z = constante,
!z = ! cos ®;
!x =
q
!2
x + !2
y = ! sin ®;
Indice
página

92. 78 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
z
x
y
" +
%
L
A > C
Figura 5.11: Cuerpo r¶³gido sim¶etrico.
de modo que si se coloca
!x = !x cos Á;
!y = !x sin Á;
cualquiera de las dos primeras ecuaciones de Euler conduce a
¡A!x sin Á _Á ¡ (A ¡ C)!x sin Á!z = 0;
o sea
_Á =
(C ¡ A)
A
!z;
Á =
(C ¡ A)
A
!zt:
de modo que
!x = !x cos
(C ¡ A)
A
!zt;
!x = !x sin
(C ¡ A)
A
!zt:
M¶as detalles se plantean como Ejercicios.
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página

93. 5.3 Movimiento en tres dimensiones. 79
5.3.4 Trompo.
Este caso del movimiento de un cuerpo r¶³gido sim¶etrico con un punto ¯jo, y
a diferencia del ¶ultimo caso sometido al torque que ejerce su peso. Considere
entonces un trompo sim¶etrico (Ixx = Iyy) que mantiene su p¶ua ¯ja. Para los
¶angulos µ; Á; Ã indicados en la ¯gura (5.12), siendo M su masa, h la distancia
de la p¶ua al centro de masa y Ixx = Iyy = A; Izz = C, los momentos de inercia,
para un eje perpendicular al eje de simetr¶³a y respecto al eje de simetr¶³a, en
el punto ¯jo, origen del sistema de coordenada. En el cap¶³tulo de ecuaciones
de Lagrange, este tema ser¶a tratado de otra forma. Aqu¶³, las ecuaciones de
movimiento ser¶an
M~aG = ~R + Mg^k;
d~L0
dt
= ~¡ext
0 :
Los ejes m¶oviles son z el eje de simetr¶³a, x en el plano que contiene z y z0, y
en el plano horizontal.La velocidad angular es
~! = _Á^k0 ¡ _µ^| + _Ã^k
= _Á(cos µ^k + sin µ^{) ¡ _µ^| + _Ã^k
= ¡_µ^| + _Á sin µ^{ + ( _Á cos µ + _Ã)^k
el momentum angular
~L0 = ¡A_µ^| + A_Á sin µ^{ + C(_Á cos µ + _Ã)^k;
el torque
~¡ext
0 = ¡Mgh sin µ^|:
La derivada del momentum angular puede hacerse con algo de manipu-
laci¶on algebraica. Sea s = _Á cos µ + _Ã, entonces
d~L0
dt
= ¡Aĵ^| ¡ A_µ
d^|
dt
+ AÄÁ sin µ^{ + A_Á_µ cos µ^{ +
A _Á sin µ
d^{
dt
+ C( _s)^k + C(s)
d^k
dt
:
Las derivadas de los vectores unitarios son
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página

94. 80 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
Mg
O
R
!
)
*
x
y
G
z
z
0
Figura 5.12: Trompo sim¶etrico
d^{
dt
= (¡_µ^| + ( _Á cos µ)^k) £ ^{
d^|
dt
= ( _Á sin µ^{ + ( _Á cos µ)^k) £ ^|
d^k
dt
= (¡_µ^| + _Á sin µ^{) £ ^k;
que se reducen a
d^{
dt
= _µ^k + ( _Á cos µ)^|
d^|
dt
= _Á sin µ^k ¡ (_Á cos µ)^{
d^k
dt
= ¡_µ^{ ¡ (_Á sin µ)^|;
de modo que
d~L0
dt
= ¡Aĵ^| ¡ A_µ(_Á sin µ^k ¡ (_Á cos µ)^{) + AÄÁ sin µ^{ + A_Á_µ cos µ^{ +
A_Á sin µ(_µ^k + ( _Á cos µ)^|) + C _s^k + Cs(¡_µ^{ ¡ _Á sin µ^|);
= ¡Aĵ^| + AÄÁ sin µ^{ + 2A _Á_µ cos µ^{ +
A_Á sin µ _Á cos µ^| + C _s^k + Cs(¡_µ^{ ¡ _Á sin µ^|);
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página

95. 5.3 Movimiento en tres dimensiones. 81
entonces las componentes de la ecuaci¶on del torque son
AÄÁ sin µ + 2A _Á_µ cos µ ¡ Cs_µ = 0
¡Aĵ + A_Á sin µ _Á cos µ ¡ Cs _Á sin µ = ¡Mgh sin µ
C _s = 0:
De la primera se obtiene
d
dt
(AÄÁ sin2
µ + Cs cos µ) = 0
de modo que se tienen dos cantidades conservadas
s ´ _Á cos µ + _Ã = constante;
® ´ A_Á sin2
µ + Cs cos µ = constante:
Ahora, en vez de trabajar la segunda ecuaci¶on es preferible considerar que la
energ¶³a se conserva, entonces
E =
1
2
A_µ
2
+
1
2
A(sin2
µ) _Á
2
+
1
2
C(s)2
+ Mgh cos µ = constante.
Al eliminar _Á a trav¶es de ® en la ecuaci¶on de la energ¶³a. Si se de¯ne u = cos µ,
se obtiene (ver ap¶endice)
_u2
= f(u) = (2E ¡ Cs2
¡ 2Mghu)
1 ¡ u2
A
¡
µ
® ¡ Csu
A
¶2
;
polinomio c¶ubico, cuyas dos ra¶³ces entre ¡1 y 1 tienen importancia en la
determinaci¶on de la inclinaci¶on del eje del trompo en su movimiento. En las
¯guras siguientes se muestran tres casos part¶³culares donde la forma de f(u),
la cual est¶a determinada por las condiciones iniciales, determina el tipo de
movimiento que se realiza.
En el primer caso, hay dos ra¶³ces en el intervalo ¡1; 1 y la tercera, como
es lo usual es mayor que uno. El eje el trompo oscila entre las inclinaciones
dadas por esas dos raices.
El segundo caso corresponde a una inclinaci¶on constante µ0 del eje del
trompo, caso llamado de precesi¶on uniforme que se caracteriza por ser f(u0) =
0 y f0
(u0) = 0:
El ¶ultimo caso corresponde al caso de trompo dormido estable, es de-
cir donde el eje del trompo permanece vertical y est¶a caracterizado por ser
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página

96. 82 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
-1 1
f(u)
u
caso genérico
Figura 5.13: Raices de f(u)
-1 1
f(u)
u
precesión uniforme
Figura 5.14: Precesi¶on uniforme.
-1 1
f(u)
u
trompo dormido
Figura 5.15: Trompo dormido.
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página

97. 5.3 Movimiento en tres dimensiones. 83
precesión positiva
Figura 5.16: Precesi¶on positiva.
movimiento cuspidal
Figura 5.17: Movimiento cuspidal.
f(1) = 0 y f0
(1) = 0:Otras caracter¶³sticas del movimiento del trompo se vi-
sualizan mejor siguiendo el movimiento del centro de masas, el cual se mueve
sobre una esfera, como se indica en la ¯gura siguiente para tres casos posibles.
En el primero _Á > 0
en el segundo _Á se anula en el punto m¶as alto y en el tercero _Á se anula y
por lo tanto cambia de signo entre las inclinaciones m¶aximas y m¶³nimas del
eje del trompo.
La soluci¶on completa para condiciones iniciales arbitrarias es complica-
da pero esbozaremos lo que se necesita hacer. Las condiciones iniciales de
posici¶on y velocidad del trompo determinan las constantes E, s y ®: La in-
clinaci¶on del eje polar µ se obtendr¶³a integrando la ¶ultima ecuaci¶on que tiene
la forma
dt =
du
p
f(u)
;
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98. 84 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
movimiento con loops
Figura 5.18: Movimiento con loops.
y que conduce a funciones el¶³pticas. En efecto que es un polinomio c¶ubico
puede escribirse
f(u) =
2Mgh
A
(u ¡ u1)(u ¡ u2)(u ¡ u3);
donde supondremos que hemos ordenado las ra¶³ces de acuerdo a
¡1 < u1 < u2 < 1 < u3:
Sea adem¶as z =
p
u ¡ u1 de modo que 2z _z = _u entonces
f(u) =
2Mgh
A
(z2
)(z2
+ u1 ¡ u2)(z2
+ u1 ¡ u3);
du = 2zdz
de modo que
dt =
s
2A
Mgh
dz
p
(z2 ¡ (u2 ¡ u1))(z2 ¡ (u3 ¡ u1))
;
que nos proponemos reducir a la forma can¶onica (ver ap¶endice)
µ
dy
dx
¶2
= (1 ¡ y2
)(1 ¡ k2
y2
); (0 < k2
< 1):
Para ello la escribimos
2A
Mgh
µ
dz
dt
¶2
= ((u2 ¡ u1) ¡ z2
)((u3 ¡ u1) ¡ z2
);
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página

99. 5.3 Movimiento en tres dimensiones. 85
sea adem¶as z =
p
(u2 ¡ u1)w entonces
2A
Mgh(u3 ¡ u1)
µ
dw
dt
¶2
= (1 ¡ w2
)(1 ¡
u2 ¡ u1
u3 ¡ u1
w2
);
de aqu¶³, puede obtenerse
w = sn(p(t ¡ t0);
donde p y el m¶odulo de la funci¶on el¶³ptica sn est¶an dados por
p2
=
Mgh(u3 ¡ u1)
2A
;
k2
=
u2 ¡ u1
u3 ¡ u1
:
As¶³ ¯nalmente la soluci¶on ser¶a
cos µ = u1 + z2
= u1 + (u2 ¡ u1)sn2
(p(t ¡ t0):
Ejemplo 5.3.1 Un trompo con momentos de inercia dados A, C y dados M
y h se coloca en movimiento con su eje inclinado en ¼=2. Con un movimiento
de spin s. Determine la precesi¶on inicial _Á(0) = ­ para el trompo pase por
µ = 0:
Soluci¶on. Podemos evaluar las constantes
s ´ _Á cos µ + _Ã = constante;
® ´ A_Á sin2
µ + Cs cos µ = A­
E =
1
2
A_µ
2
+
1
2
A(sin2
µ)_Á
2
+ Mgh cos µ +
1
2
Cs2
=
1
2
Cs2
+
1
2
A­2
entonces
f(u) = (A­2
¡ 2Mghu)
(1 ¡ u2
)
A
¡
µ
A­ ¡ Csu
A
¶2
:
Una ra¶³z es
u1 = 0;
y la otra debe ser u = 1 por lo tanto
A­ ¡ Cs = 0:
Indice
página

100. 86 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
N
Ejemplo 5.3.2 Un trompo con momentos de inercia dados A, C y dados M
y h se coloca en movimiento con su eje vertical hacia arriba. Con un movi-
miento de spin s solamente. Determine la condici¶on para que el movimiento
sea estable.
Soluci¶on. De acuerdo a las condiciones iniciales podemos evaluar las
constantes
s ´ _Á cos µ + _Ã = constante;
® ´ A_Á sin2
µ + Cs cos µ = Cs;
E =
1
2
A_µ
2
+
1
2
A(sin2
µ) _Á
2
+ Mgh cos µ +
1
2
Cs2
= Mgh +
1
2
Cs2
;
entonces
f(u) = (2Mgh ¡ 2Mghu)
(1 ¡ u2
)
A
¡
µ
Cs ¡ Csu
A
¶2
;
= 2Mgh(1 ¡ u)
(1 ¡ u2
)
A
¡
C2
s2
A2
(1 ¡ u)2
;
=
(1 ¡ u)2
A
µ
2Mgh(1 + u) ¡
C2
s2
A
¶
:
O sea hay dos ra¶³ces repetidas u = 1, y la tercera ra¶³z es
u3 =
C2
s2
2MghA
¡ 1:
Si la tercera ra¶³z fuera menor que 1 entonces el eje del trompo se mover¶³a
entre µ = 0 y el valor de cos µ = u3. Para que ello no ocurra, trompo estable,
debe ocurrir que u3 > 1 y eso impone
C2
s2
2MghA
> 2:
N
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página

101. 5.4 Ejercicios. 87
Ejemplo 5.3.3 Un trompo con momentos de inercia dados A, C y dados
M y h se coloca en movimiento con su eje inclinado en ¶angulo µ = ¼=2, Con
un movimiento de spin s y precesi¶on inicial _Á(0) = ­ solamente. Determine
la condici¶on para que en el movimiento µ no var¶³e.
Soluci¶on. Nuevamente, de acuerdo a las condiciones iniciales podemos
evaluar las constantes
s ´ _Á cos µ + _Ã = constante;
® ´ A_Á sin2
µ + Cs cos µ = A­;
E =
1
2
A_µ
2
+
1
2
A(sin2
µ)_Á
2
+ Mgh cos µ +
1
2
Cs2
=
1
2
A­2
+
1
2
Cs2
;
entonces
f(u) = (A­2
¡ 2Mghu)
(1 ¡ u2
)
A
¡
µ
A­ ¡ Csu
A
¶2
;
= (A­2
¡ 2Mghu)
(1 ¡ u2
)
A
¡
µ
­ ¡
Cs
A
u
¶2
:
Obviamente una soluci¶on es u = 0 correspondiente a µ = ¼=2. Para que µ
no var¶³e, f(u) debe ser negativo en la vecindad de u = 0 y eso requiere que
f(0) sea un m¶aximo relativo. Entonces la condici¶on es
f0
(0) = 0:
Haciendo el c¶alculo correspondiente resulta
(¡2Mgh)
1
A
+
2Cs
A
­ = 0
Cs­ = Mgh
N
5.4 Ejercicios.
Ejercicio 5.4.1 En el movimiento de un cuerpo r¶³gido sim¶etrico (es decir
con A = B) bajo la acci¶on de la reacci¶on en el centro de masas solamente,
ver ¯g.(5.19), pruebe que:
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página

102. 88 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
a) La magnitud de la velocidad angular del cuerpo permanece constante.
b) La velocidad angular ~! del cuerpo describe un cono en torno del eje
de simetr¶³a de cuerpo (eje z) con velocidad angular relativa al cuerpo
~n = (C ¡ A)!z
^k=A:
c) El eje de simetr¶³a del cuerpo (eje z) describe un cono en torno a la di-
recci¶on ¯ja del momentum angular ~LG, con velocidad angular de mag-
nitud ­ = !
p
sin2
® + (C=A)2 cos2 ® siendo ® el ¶angulo constante que
forma ~! con el eje z.
A > C
ZL
A < C
ZL
Figura 5.19: Conos del espacio y del cuerpo
Indicaci¶on: Para la parte (c) y de acuerdo a lo explicado, los ¶angulos ®,
y ¯ son constantes, siendo el momentum angular constante por ser nulo el
torque. Entonces, mirado desde un sistema inercial, ~! precesa en torno de
~L, formando un cono ¯jo en el espacio. Adem¶as el cono que forma ~! en
torno a z, rueda sin deslizar sobre el cono ¯jo al espacio. Rueda sin deslizar
porque todos los puntos del cuerpo r¶³gido a lo largo de ~! tienen velocidad
nula, ver ¯gura (5.20). Tenemos entonces, un problema de cinem¶atica. Sea
­ la velocidad angular de z en torno a ~L, entonces
vP = ­ ¢ PM = ! ¢ PQ
pero
PQ
PG
= sin ®;
PM
PG
= sin ¯;
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103. 5.4 Ejercicios. 89
L
z
%
"
+,"
G
P
Q
M
Figura 5.20: Cono ¯jo y del espacio.
por lo tanto
­ =
PQ
PM
! =
sin ®
sin ¯
!;
pero tan ¯ = (A=C) tan ®
­ =
sin ®
p
1 + tan2
¯
tan ¯
!;
= !
r
C2
A2
cos2 ® + sin2
®
que prueba el resultado el ¶ultimo resultado.
Ejercicio 5.4.2 (Synge y Gri±th, [18]) Un cono s¶olido de altura b y semi
¶angulo en el v¶ertice ® rueda en movimiento estacionario sobre un plano ru-
goso horizontal de modo que la l¶³nea de contacto rota con velocidad angular
­ en torno de la vertical. Demuestre que la reacci¶on de la super¯cie sobre el
cono equivale a una fuerza que corta la generatriz de contacto a distancia
3
4
b cos ® +
k2
­2
g
cot ®
de su v¶ertice, siendo k el radio de giro del cono (I = mk2
) en torno a la
generatriz. Deduzca que el valor m¶aximo posible de ­ es
1
2k cos ®
q
gb(1 + 3 sin2
®) sin ®:
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página

104. 90 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
Ejercicio 5.4.3 (Synge y Gri±th) Una placa delgada el¶³ptica de semieje
a; b (a ¸ b) puede moverse libremente en torno de su centro que est¶a ¯jo.
Es colocada en movimiento d¶andole una velocidad angular de magnitud n
en torno de un eje sobre su plano, igualmente inclinado respecto a ambos
semiejes de la elipse. Demuestre que el eje instant¶aneo de rotaci¶on, volver¶a
a estar sobre el plano de la elipse despu¶es de un tiempo
2
¸Z
0
1
p
¸4
¡ x4
dx;
siendo
¸2
=
n2
2
a2
¡ b2
a2 + b2
:
Ejercicio 5.4.4 Considere dos cuerpos r¶³gidos que chocan de modo que
existe una tangente com¶un a las super¯cies en el punto de contacto, don-
de se desarrolla una fuerza normal y posiblemente otra tangente (de roce),
ver ¯g.(5.21). Establezca la equivalencia entre conservaci¶on de energ¶³a (cho-
que el¶astico) y coe¯ciente de restituci¶on unidad (e = 1): Otros ejemplos
J J
P
G1
v2
G2
v1
1
%
2
%
Figura 5.21: Choque de cuerpos r¶³gidos
de la din¶amica de los cuerpos r¶³gidos, tales como el movimiento del trompo
sim¶etrico bajo la acci¶on de su peso y de la reacci¶on en su p¶ua, se estudiar¶an
en el cap¶³tulo sobre ecuaciones de Lagrange, pues ese m¶etodo tiene, en gene-
ral, ventajas respecto a la formulaci¶on newtoniana usual.
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105. 5.4 Ejercicios. 91
Ejercicio 5.4.5 Una semiesfera homog¶enea de radio a est¶a en reposo so-
bre un plano horizontal liso con su base paralela a una pared vertical lisa,
sobre la cual la super¯cie semi esf¶erica, se apoya. La semiesfera comien-
za a moverse partiendo del reposo, deslizando sobre el piso horizontal y la
pared, ambas sin roce. Demuestre que cuando la base alcanza la posici¶on ho-
rizontal, la rapidez angular y la rapidez del centro de masas de la semiesfera
son ! =
q
15
8
g=a; v = 3
8
a! respectivamente. Demuestre adem¶as durante el
movimiento siguiente, el ¶angulo entre la base y la horizontal no excede de
cos¡1
( 45
128
).
Ejercicio 5.4.6 Un disco uniforme de radio a que est¶a rotando con rapi-
dez angular inicial ­ alrededor de su eje, se coloca sobre un plano horizontal
donde el coe¯ciente de roce cin¶etico es ¹. Si la super¯cie se apoya unifor-
memente sobre el suelo, demuestre que el disco se detendr¶a en un tiempo
3
4
a­=(g¹).
Ejercicio 5.4.7 Un cilindro s¶olido de radio a, descansa sobre otro igual
que a su vez se apoya sobre el suelo, en equilibrio inestable. Si el sistema
se perturba levemente y no hay deslizamiento en las super¯cies de contacto,
demuestre que mientras los cilindros permanecen en contacto, el ¶angulo µ que
forma la l¶³nea que une los centros con la vertical satisface
_µ
2
=
12g(1 ¡ cos µ)
a(17 + 4 cos µ ¡ 4 cos2 µ)
:
Ejercicio 5.4.8 Un trompo con momentos de inercia A = 5Mh2
=4, C =
Mh2
=2 se coloca en movimiento con su eje horizontal µ = ¼=2. El spin s es
dado. Determine los valores de la precesi¶on inicial _Á(0) = ­ para los cuales
µ aumentar¶a, disminuir¶a o permanecer¶a constante.
Ejercicio 5.4.9 Un trompo con momentos de inercia A = 5Mh2
=4, C =
Mh2
=2 se coloca en movimiento con su eje horizontal µ = ¼=2. El spin s es
dado. Si la precesi¶on inicial es _Á(0) = 0 determine los extremos del ¶angulo
µ para el movimiento siguiente.
Ejercicio 5.4.10 Un trompo con momentos de inercia A = 5Mh2
=4, C =
Mh2
=2 se coloca en movimiento con su eje inclinado en µ = ¼=3. El spin s
es dado. Si la precesi¶on inicial es _Á(0) = 0 determine los extremos del ¶angulo
µ para el movimiento siguiente.
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página

106. 92 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
Ejercicio 5.4.11 Un trompo con momentos de inercia dados A, C y dados
M y h se coloca en movimiento con su eje inclinado en µ. Determine la
relaci¶on que debe haber entre el spin s y la precesi¶on inicial _Á(0) = ­ para
que el ¶angulo µ no var¶³e. (Precesi¶on uniforme)
Ejercicio 5.4.12 Un trompo con momentos de inercia dados A, C y dados
M y h se coloca en movimiento con su eje inclinado en µ0. Si el trompo tiene
spin solamente, determine los valores extremos del ¶angulo µ. (Movimiento
cuspidal)
Ejercicio 5.4.13 Un trompo con momentos de inercia dados A, C y dados
M y h se coloca en movimiento con su eje vertical hacia arriba (µ0 = 0). Si
el trompo tiene spin solamente, determine los valores del spin para los cuales
el trompo baila establemente. (Movimiento de trompo dormido)
Ejercicio 5.4.14 Un trompo con momentos de inercia dados A, C y dados
M y h baila en precesi¶on uniforme _Á = ­ con su eje inclinado un ¶angulo
µ. Si repentinamente el spin se duplica determine los ¶angulos extremos de
inclinaci¶on del eje del trompo.
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página

107. Cap¶³tulo 6
Ecuaciones de Lagrange.
6.1 Introducci¶on.
Presentaremos las ecuaciones de Lagrange que constituyen una formulaci¶on
alternativa a la formulaci¶on cl¶asica Newtoniana, con ventajas que explica-
remos. Las ecuaciones de Lagrange as¶³ como la funci¶on lagrangiano pueden
ser introducidas de diversas formas. La justi¯caci¶on ¶ultima de cualquiera
de los m¶etodos es que el formalismo conduzca a las ecuaciones correctas de
movimiento del sistema (cuando ellas son conocidas). De este punto de vista
pueden existir diversos lagrangianos que originen las mismas ecuaciones de
movimiento. Esos lagrangianos se denominan equivalentes. Una de las for-
mas modernas es partir del principio variacional de Hamilton buscando una
funci¶on lagrangiano que satisfaga el criterio anterior. Las simetr¶³as del siste-
ma pueden ser de ayuda en postular una determinada funci¶on lagrangiano.
En estos apuntes preferiremos partir de las ecuaciones cl¶asicas de Newton de
movimiento de un sistema y derivar de all¶³ la formulaci¶on lagrangiana, con
lo cual el principio variacional de Hamilton pasa a ser en realidad un teore-
ma de la Mec¶anica Cl¶asica. En esta formulaci¶on, el lagrangiano del sistema
estar¶a dado por L = K ¡ V , la energ¶³a cin¶etica menos la energ¶³a potencial
del sistema. Otros casos en que ello no sea as¶³ se considerar¶an en particular.
Indice
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108. 94 Ecuaciones de Lagrange.
6.2 Restricciones o v¶³nculos.
Una forma equivalente a la formulaci¶on newtoniana de la Mec¶anica, la cons-
tituye la formulaci¶on lagrangiana. La principal ventaja pr¶actica que tiene
esta formulaci¶on, es que de partida, el n¶umero de variables es el m¶³nimo
posible para determinar la con¯guraci¶on del sistema y adem¶as que no es
necesario conocer el detalle de las fuerzas de v¶³nculos para su formulaci¶on,
siempre que ellas satisfagan ciertos requisitos que se explican m¶as adelante.
6.2.1 V¶³nculos holon¶omicos y coordenadas generaliza-
das.
Normalmente sobre un sistema mec¶anico existen restricciones o v¶³nculos da-
dos. Por ejemplo si se tiene un sistema r¶³gido de part¶³culas, las distancias
entre ellas son invariables y por lo tanto las variables necesarias para su
descripci¶on ser¶an apenas 6, independientemente del n¶umero de part¶³culas
que constituye el sistema. Los v¶³nculos llamados de tipo hol¶onomos permi-
ten disminuir el n¶umero de variables de las inicialmente consideradas, por
constituir relaciones funcionales que permitir¶³an hacer la eliminaci¶on de va-
riables redundantes. Rara vez se procede a eliminar variables redundantes
expl¶³citamente. En vez, razonando se decide sobre cu¶antas variables son ne-
cesarias y se las elige. As¶³, para el caso de v¶³nculos hol¶onomos, si el sistema
tiene N part¶³culas, existen en principio N vectores posici¶on o 3N coordena-
das por determinar. La existencia de un cierto n¶umero de v¶³nculos constantes
o funciones conocidas del tiempo, hace que sea necesario un n¶umero menor
de coordenadas n (n < 3N). Denotaremos por qi a esas coordenadas ele-
gidas, llamadas coordenadas generalizadas del sistema. Todo los cambios
virtuales posibles de posici¶on del sistema corresponden a cambios arbitrarios
de las coordenadas generalizadas, supuestas independientes. El n¶umero de
coordenadas generalizadas n; es llamado el n¶umero de grados de libertad del
sistema. Los cambios reales del sistema son logrados mediante cambios vir-
tuales de las coordenadas generalizadas m¶as los cambios que se originen en
las variaciones con el tiempo de los v¶³nculos, en el caso en que hayan v¶³nculos
variables.
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página

109. 6.2 Restricciones o v¶³nculos. 95
6.2.2 Fuerzas de v¶³nculos.
La presencia de ciertos tipos de v¶³nculos equivalen a ciertas fuerzas, nor-
malmente desconocidas, actuando sobre algunas part¶³culas. Por ejemplo la
condici¶on para que una part¶³cula permanezca sobre una super¯cie lisa da-
da es equivalente a una cierta reacci¶on normal. La formulaci¶on lagrangiana
usual, exige que las llamadas fuerzas de v¶³nculos, realicen un trabajo total
nulo cuando las part¶³culas tienen desplazamientos (in¯nit¶esimos) compati-
bles con los v¶³nculos a tiempo ¯jo. Para el ejemplo anterior, suponga que la
super¯cie lisa tiene un movimiento dado. Si la part¶³cula es desplazada sobre
la super¯cie sin permitir su movimiento (a tiempo ¯jo), la reacci¶on normal
no realiza trabajo. Sin embargo, si el desplazamiento de la part¶³cula es sobre
la super¯cie que se mueve, la reacci¶on normal realiza trabajo distinto de cero.
Si las fuerzas que vinculan un sistema de part¶³culas para que este sea un sis-
tema r¶³gido de part¶³culas, obedecen el principio de acci¶on y reacci¶on, es muy
simple demostrar que el trabajo total que realizan esas fuerzas al desplazar
arbitrariamente el sistema, es nulo.
6.2.3 Desplazamientos virtuales.
Para sistematizar la discusi¶on llamaremos desplazamientos virtuales compa-
tible con los v¶³nculos, a los cambios de posici¶on in¯nit¶esimos ±~ri asociados
a cambios arbitrarios in¯nit¶esimos de las coordenadas generalizadas ±qi a
tiempo ¯jo.
La diferencia entre desplazamientos virtuales ±~ri y desplazamientos reales
d~ri debe estar clara. Si, por de¯nici¶on de coordenadas generalizadas se tiene
~ri = ~ri(q1; q2; : : : ; qn; t) ; (6.1)
la diferencia se~nalada es
d~ri =
X @~ri
@qj
dqj +
@~ri
@t
dt ;
y
±~ri =
X
j
@~ri
@qj
±qj : (6.2)
La diferencia puede ser importante en el caso que los v¶³nculos sean funciones
del tiempo, es decir cuando el tiempo aparezca expl¶³citamente en (6.1).
Indice
página

110. 96 Ecuaciones de Lagrange.
6.3 Ecuaciones de Lagrange.
Si se escriben las ecuaciones de Newton para las N part¶³culas, separando las
fuerzas que act¶uan sobre ellas en fuerzas de v¶³nculos y las de otro tipo
mi~ai = ~Fi + ~Fi
vinc:
:
La esencia de la formulaci¶on lagrangiana es que las fuerzas de v¶³nculos no
realizan trabajo virtual, es decir
X
i
~Fi
vinc:
¢ ±~ri = 0;
o sea
±W ´
X
mi~ai ¢ ±~ri =
X
i
(~Fi + ~Fi
vinc:
) ¢ ±~ri =
X
i
~Fi ¢ ±~ri (6.3)
El resto, la obtenci¶on de las ecuaciones de Lagrange, son detalles que veremos
a continuaci¶on.
Partiendo de (6.1), se deja como ejercicio demostrar la siguiente identidad.
Ejercicio 6.3.1 Si ~ri = ~ri(q1; q2; : : : ; qn; t); demuestre la identidad
d
dt
@
@ _qj
1
2
v2
i ¡
@
@qj
1
2
v2
i ´ ~ai ¢
@~ri
@qj
:
Si esa identidad se multiplica por mi; ±qj y se suma en i; j se obtiene
X
j
µ
d
dt
@
@ _qj
K ¡
@
@qj
K
¶
±qj ´
X
i; j
mi~ai ¢
@~ri
@qj
±qj ;
que sigue siendo una identidad. La F¶³sica reci¶en entra ahora, al utilizar (6.3)
X
j
µ
d
dt
@
@ _qj
K ¡
@
@qj
K
¶
±qj =
X
j
Qj±qj ; (6.4)
siendo K la energ¶³a cin¶etica y
X
i
~Fi ¢ ±~ri = ±W =
X
j
Ã
X
i
~Fi ¢
@~ri
@qj
!
±qj ´
X
j
Qj±qj ;
Indice
página

111. 6.3 Ecuaciones de Lagrange. 97
por ¶ultimo, si las coordenadas generalizadas son independientes, como se ha
supuesto, se obtiene
d
dt
@
@ _qj
K ¡
@
@qj
K = Qj : (6.5)
Este conjunto de ecuaciones se conoce como las ecuaciones de Lagrange del
sistema (en una primera versi¶on).
6.3.1 V¶³nculos no holon¶omicos.
Un cierto tipo de v¶³nculo no holon¶omico puede ser tratado con m¶³nimas va-
riaciones con lo explicado. El caso que analizaremos consiste en restricciones
adicionales lineales en las velocidades generalizadas del tipo
X
j
Aij _qj + Ai0 = 0; i = 1; 2; 3; : : : ; p ;
siendo los Aij ciertas funciones conocidas de las coordenadas generalizadas.
Por constituir relaciones en general no integrables, dichas relaciones no per-
miten a disminuir a priori el n¶umero de coordenadas generalizadas. Ellas
imponen restricciones a las variaciones virtuales de las coordenadas genera-
lizadas en uso, de la forma
X
j
Aij±qj = 0; i = 1; 2; 3; : : : ; p : (6.6)
Se supone tambi¶en que las fuerzas de v¶³nculos realizan trabajo total nulo
en los desplazamientos virtuales compatibles con los v¶³nculos holon¶omicos
originales, y con los adicionales (6.6) no holon¶omicos. As¶³ todo lo dicho
anteriormente vale, salvo en lo relativo a la independencia de las coordenadas.
Por lo tanto se tiene
X
j
µ
d
dt
@
@ _qj
K ¡
@
@qj
K
¶
±qj =
X
j
Qj±qj;
junto con X
j
Aij±qj = 0; i = 1; 2; 3; : : : ; p
de all¶³, utilizando p multiplicadores de Lagrange, ¸i; se obtiene
X
j
Ã
d
dt
@
@ _qj
K ¡
@
@qj
K +
X
i
¸iAij ¡ Qj
!
±qj = 0 ;
Indice
página

112. 98 Ecuaciones de Lagrange.
y considerando la idea del uso de los multiplicadores de Lagrange, se deduce
que
d
dt
@
@ _qj
K ¡
@
@qj
K +
X
i
¸iAij = Qj; j = 1; 2; 3; : : : ; n ;
que junto con
X
j
Aij _qj + Ai0 = 0; i = 1; 2; 3; : : : ; p;
constituyen n + p ecuaciones para las inc¶ognitas, qi; ¸i. Estas ecuaciones son
las llamadas ecuaciones de Lagrange para el sistema que tiene v¶³nculos del
tipo considerado.
Funci¶on Lagrangiano.
En la formulaci¶on presentada, las ecuaciones de Lagrange se han escrito en
t¶erminos de la energ¶³a cin¶etica K: Si algunas de las fuerzas que realizan
trabajo son conservativas, derivables de un potencial, la expresi¶on del trabajo
virtual puede escribirse
±W =
X
j
Qj±qj = ±WNC
¡ ±V =
X
j
QNC
j ±qj ¡
X
j
@V
@qj
±qj;
siendo QNC
j la llamada fuerza generalizada no conservativa". Por lo tanto,
para v¶³nculos holon¶omicos, las ecuaciones de Lagrange pueden escribirse:
d
dt
@
@ _qj
L ¡
@
@qj
L = QNC
j ; j = 1; 2; 3; : : : ; n: (6.7)
siendo el lagrangiano del sistema
L(q; _q; t) = K(q; _q; t) ¡ V (q; t):
Esta forma constituye la versi¶on m¶as conocida de las ecuaciones de Lagrange
para un sistema con v¶³nculos holon¶omicos. Se dar¶an ejemplos en que el
lagrangiano correcto no est¶a dado por K ¡ V: Naturalmente esos otros casos
corresponden a sistemas en que las ecuaciones cl¶asicas de movimiento no
est¶an dadas por las ecuaciones cl¶asicas de Newton.
Indice
página

113. 6.4 Sistemas Conservativos. 99
6.3.2 Condici¶on de integrabilidad.
El sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden, el conjunto de las
ecuaciones de Lagrange, requiere como condici¶on para su integrabilidad que
det
½
@2
L
@ _qi@ _qj
¾
6= 0: (6.8)
Esa condici¶on signi¯ca en el fondo poder despejar las aceleraciones del con-
junto de ecuaciones diferenciales de Lagrange. Quedan as¶³, excluidos en esta
formulaci¶on, los lagrangianos singulares o de primer orden en las velocidades
generalizadas _qi:
6.4 Sistemas Conservativos.
Por de¯nici¶on, un sistema ser¶a llamado conservativo, si QNC
j = 0; 8j: Para
ellos, las ecuaciones de Lagrange son
d
dt
@L
@ _qj
¡
@L
@qj
= 0; j = 1; 2; 3; : : : ; n: (6.9)
que, escritas expl¶³citamente son
X
i
@2
L
@ _qj@ _qi
Äqi +
X
i
@2
L
@ _qj@qi
_qi +
@2
L
@ _qj@t
¡
@L
@qj
= 0; j = 1; 2; 3; : : : ; n:
lo que explica el signi¯cado de la condici¶on de integrabilidad anterior. Es
esencialmente la condici¶on para poder despejar las aceleraciones del conjunto
de ecuaciones de movimiento.
6.4.1 Momentos can¶onicos.
Los momentos can¶onicos conjugados a las variable qi, se de¯ne por
pi =
@L(q; _q; t)
@ _qi
:
La inversi¶on de las ecuaciones anteriores, para despejar las velocidades gene-
ralizadas en t¶erminos de los momentos can¶onicos (teorema de la funci¶on
impl¶³cita), requiere la misma condici¶on anterior (6.8), de modo que hay una
segunda raz¶on para excluir lagrangianos singulares de este formalismo.
Indice
página

114. 100 Ecuaciones de Lagrange.
6.4.2 El hamiltoniano del sistema.
Transformaci¶on de Legendre.
Considere como ejemplo, en una dimensi¶on, una funci¶on convexa f(x) (con
f00
(x) > 0). La transformada de Legendre de f(x); se de¯ne por, (¯gura 6.1):
px
f(x)
X
px - f(x)
O
Figura 6.1: Transformada de Legendre
F(p) = min(px ¡ f(x)) :
Dado que el m¶³nimo ocurre cuando la derivada respecto a x sea nula, entonces
F(p) = px ¡ f(x) ;
siendo
p = f0
(x) ;
que esencialmente genera a partir de una funci¶on de variable independiente x,
una funci¶on de variable independiente p: (vea Arnold [2])
² Un ejemplo de la Termodin¶amica. En termodin¶amica se utilizan trans-
formaciones de Legendre para generar funciones termodin¶amicas. Con-
sidere la energ¶³a interna U = U(S; V ), la temperatura T =(@U=@S)V :
La transformada de Legendre de la energ¶³a interna es la funci¶on de
Helmholtz, funci¶on de el volumen y la temperatura:
A(V; T) = U ¡ TS :
Indice
página

115. 6.4 Sistemas Conservativos. 101
Funci¶on hamiltoniano.
Dado un lagrangiano L(q; _q; t); de¯nimos su transformada de Legendre res-
pecto a las velocidades generalizadas por
h =
X
pi _qi ¡ L(q; _q; t)
siendo
pi =
@L(q; _q; t)
@ _qi
:
Si las condiciones de invertibilidad se cumplen, podemos expresar las ve-
locidades generalizadas en t¶erminos de los momentos. As¶³, eliminando las
velocidades se tendr¶³a
H(q; p; t) =
X
pi _qi ¡ L(q; _q; t) ;
el denominado hamiltoniano del sistema.
Ejemplo 6.4.1 Si g(p) = Lpf(x) indica la transformada de Legendre de
f(x), demuestre que:
Lxg(p) = f(x):
Soluci¶on. Si g(p) = p¹x ¡ f(¹x); con p = f0
(¹x); entonces g0
(p) = ¹x +
¹x0
(p) ¡ f0
(¹x)¹x0
(p) = ¹x(p): Luego Lxg(p) = px ¡ g(p) con x = g0
(p) = ¹x(p):
N
Ejemplo 6.4.2 Dado un hamiltoniano H(p); indique una forma de deter-
minar un lagrangiano.
Soluci¶on.
L( _q) =
Z
(H0
)¡1
( _q)d _q :
N
Ejemplo 6.4.3 Si un sistema tiene como hamiltoniano H = c
p
p2 + m2
0c2;
determine el lagrangiano.
Soluci¶on.
L = ¡m0c2
r
1 ¡
_q2
c2
;
note que este lagrangiano relativista, no est¶a dado por K ¡ V:
N
Indice
página

116. 102 Ecuaciones de Lagrange.
6.4.3 Teoremas de conservaci¶on.
Escritas en t¶erminos de los momentos can¶onicos, las ecuaciones de Lagrange
para un sistema conservativo son
dpi
dt
=
@L
@qi
: (6.10)
Conservaci¶on del momento can¶onico.
I Teorema 6.1
Si el lagrangiano no contiene una coordenada (se dice que el lagrangiano es
c¶³clico en esa coordenada), se conserva el correspondiente momento can¶onico
conjugado, es decir
@L
@qi
= 0 =) pi = constante
Conservaci¶on del hamiltoniano.
De la de¯nici¶on del hamiltoniano y de las ecuaciones de Lagrange (6.10), se
puede obtener
dH =
X
_qjdpj ¡
X
_pjdqj ¡
@L
@t
dt ; (6.11)
de donde se deducen importantes ecuaciones
@H
@pj
= _qj ; (6.12)
@H
@qj
= ¡ _pj ; (6.13)
@H
@t
= ¡
@L
@t
:
Adem¶as, si (6.11) se divide por dt, se obtiene
dH
dt
=
X
_qj _pj ¡
X
_pj _qj ¡
@L
@t
;
es decir
dH
dt
= ¡
@L
@t
;
de aqu¶³ sigue un teorema de conservaci¶on:
Indice
página

117. 6.4 Sistemas Conservativos. 103
I Teorema 6.2
Si el lagrangiano no contiene el tiempo en forma expl¶³cita, se conserva el
hamiltoniano. Es decir, de la ¶ultima ecuaci¶on se desprende
@L
@t
= 0 =) H = constante. (6.14)
6.4.4 Hamiltoniano y energ¶³a.
Analizaremos la relaci¶on entre hamiltoniano y energ¶³a del sistema. Para
sistemas mec¶anicos cl¶asicos, donde L = K ¡ V , si el potencial no depende
de las velocidades, se tiene
H =
X @K
@ _qi
_qi ¡ K + V ;
luego la condici¶on su¯ciente para que la energ¶³a y el hamiltoniano sean iguales
es que
X @K
@ _qi
_qi = 2K :
De acuerdo al teorema de Euler de las funciones homog¶eneas, las funciones
homog¶eneas de grado 2 cumplen precisamente la ¶ultima condici¶on. Se se~nala
un importante teorema cuya demostraci¶on se deja como ejercicio.
² De¯nici¶on . Se de¯ne una funci¶on homog¶enea de grado p en n variables,
cuando ella cumple:
f(¸x1; ¸x2; : : : ; ¸xn) = ¸p
f(x1; x2; : : : ; xn) ;
siendo ¸ 6= 0: De aqu¶³, derivando respecto a ¸ y luego haciendo ¸ = 1, se
deduce que:
I Teorema 6.3
Si f es una funci¶on homog¶enea de grado p;entonces:
pf(x1; x2; : : : ; xn) =
X
i
@f
@xi
xi :
Indice
página

118. 104 Ecuaciones de Lagrange.
Con todos los antecedentes considerados, si la energ¶³a cin¶etica es una funci¶on
homog¶enea de grado 2 en las velocidades generalizadas, entonces el hamilto-
niano del sistema coincide con la energ¶³a del sistema. Es simple ir al fondo y
responder la pregunta. >Cu¶ando ocurre eso? Si se analiza la transformaci¶on
de coordenadas generalizadas a posiciones (6.1), la velocidad estar¶a dada por
~vi =
d
dt
~ri =
X @~ri
@qj
_qj +
@~ri
@t
;
de donde es evidente que la energ¶³a cin¶etica resultar¶a homog¶enea de grado dos
en las velocidades generalizadas cuando @~ri=@t = 0; 8i; es decir cuando los
v¶³nculos sean independientes del tiempo. Todo lo se~nalado se puede resumir
en:
I Teorema 6.4
Si un sistema tiene sus v¶³nculos independientes del tiempo, entonces H = E:
6.4.5 Fuerzas dependientes de la velocidad.
Para ciertos casos, donde la fuerza generalizada dependiente de la velocidad
satisface
Qj =
d
dt
@V (q; _q; t)
@ _qj
¡
@V (q; _q; t)
@qj
;
para un cierto V (q; _q; t); es posible de¯nir el lagrangiano L = K ¡V; de modo
que las ecuaciones correctas de movimiento son las ecuaciones de Lagrange.
Ejercicio 6.4.1 Un ejemplo notable lo constituye la fuerza de Lorentz ~F =
q(~E+~v£ ~B) donde los campos magn¶eticos y el¶ectricos satisfacen ~E = ¡r©¡
@ ~A=@t; y ~B = r £ ~A: Demuestre en este caso que
Fj =
d
dt
@V (q; _q; t)
@ _qj
¡
@V (q; _q; t)
@qj
; con V = q© ¡ q~v ¢ ~A :
Soluci¶on. La soluci¶on es directa considerando que los _q est¶an s¶olo en la
velocidad de modo que
@V (q; _q; t)
@ _qj
= ¡qAj;
d
dt
@V (q; _q; t)
@ _qj
= ¡q
d
dt
Aj;
Indice
página

119. 6.4 Sistemas Conservativos. 105
por otro lado
@V (q; _q; t)
@qj
= q
@
@qj
© ¡ q~v ¢
@
@qj
~A ;
de modo que se tiene
Fj = ¡q
d
dt
Aj ¡ q
@
@qj
© + q~v ¢
@
@qj
~A
= ¡q
@
@qj
© ¡ q
@
@t
Aj ¡ q~v ¢ rAj + q~v ¢
@
@qj
~A
Por otro lado la componente j de la fuerza de Lorentz es
Fj = ¡q
@
@qj
© ¡ q
@
@t
Aj + q
³
~v £
³
r £ ~A
´´
j
:
O sea son iguales pues
³
~v £
³
r £ ~A
´´
j
= ~v ¢
@
@qj
~A ¡ ~v ¢ rAj:
Podemos notar adem¶as que si la energ¶³a cin¶etica es
K =
1
2
mv2
;
el lagrangiano ser¶a
L =
1
2
mv2
¡ q© + q~v ¢ ~A;
entonces el momento can¶onico pj estar¶a dado por
pj = m _qj + qAj:
N
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página

120. 106 Ecuaciones de Lagrange.
6.4.6 Teorema de Noether.
Considere transformaciones continuas de las coordenadas generalizadas de
dependientes de un par¶ametro real s tales que para s = 0 se trata de la
transformaci¶on identidad, es decir
Qj = Qj(q; s); siendo qj = Qj(q; 0):
Aqu¶³ q representa el conjunto completo de coordenadas generalizadas. Si el
lagrangiano de un sistema aut¶onomo L(q; _q) es invariante bajo esa transfor-
maci¶on, es decir si
L(Q(q; s); _Q(q; s))
no depende de s, entonces se tiene una cantidad conservada, o integral del
movimiento. En forma m¶as precisa
I Teorema 6.5 (Noether)
Si
d
ds
L(Q(q; s); _Q(q; s)) = 0
entonces
I(q; _q) =
X
j
@L
@ _qj
d
ds
Qj(q; s)
¯
¯
¯
¯
s=0
= constante.
² La demostraci¶on (ver [16], pag. 102) sigue de
0 =
d
ds
L(Q(q; s); _Q(q; s));
o sea
0 =
X @L
@ _Qj
d _Qj
ds
+
X @L
@Qj
dQj
ds
;
donde
d _Qj
ds
=
d
dt
dQj
ds
;
y al hacer s = 0 tendremos que
@L
@ _Qj
!
@L
@ _qj
;
@L
@Qj
!
@L
@qj
=
d
dt
@L
@ _qj
;
Indice
página

121. 6.4 Sistemas Conservativos. 107
de modo que se obtiene
0 =
X @L
@ _qj
d
dt
dQj
ds
+
X d
dt
µ
@L
@ _qj
¶
dQj
ds
¯
¯
¯
¯
s=0
;
o bien
d
dt
X @L
@ _qj
dQj
ds
¯
¯
¯
¯
s=0
= 0;
que prueba el teorema.
Ejemplos.
² Si el lagrangiano de un sistema es L = L( _q) es dependiente de las velo-
cidades generalizadas solamente, entonces el es obviamente invariable,
en el sentido considerado m¶as arriba, ante la transformaci¶on
Qj = qj + saj;
siendo aj constantes arbitrarias. Entonces se conserva
I(q; _q) =
X
j
@L
@ _qj
aj;
y como los aj son arbitrarios, deben conservarse independientemente
todos los momentos can¶onicos
pj =
@L
@ _qj
:
² Si el lagrangiano L = L( _q; q) no depende de una de las coordenadas
generalizadas qk por ejemplo, o sea que es invariante bajo la transfor-
maci¶on
Qj = qj + s±jk;
entonces se conserva el momento can¶onico pk, puesto que
X
j
@L
@ _qj
d
ds
Qj(q; s)
¯
¯
¯
¯
s=0
=
X
j
@L
@ _qj
±j;k =
@L
@ _qk
= pk:
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página

122. 108 Ecuaciones de Lagrange.
² Si un lagrangiano L(~v;~r) es invariante bajo una rotaci¶on in¯nitesimal
~r 0
= ~r + dµ ^n £ ~r;
entonces se conserva
@L
@~_r
¢ ^n £ ~r;
o sea la cantidad conservada es
~r £ ~p ¢ ^n;
que es la componente ^n del momentum angular.
Nota 6.1 Volveremos sobre el teorema de Noether en el cap¶³tulo sobre el
principio variacional de Hamilton.
6.5 Ejemplos y aplicaciones.
6.5.1 Trompo sim¶etrico.
Ejemplo 6.5.1 Considere un trompo sim¶etrico que mantiene su p¶ua ¯ja.
Para los ¶angulos µ; Á; Ã indicados en la ¯gura (6.2), siendo M su masa, h la
distancia de la p¶ua al centro de masa y A; C, los momentos de inercia, para
un eje perpendicular al eje de simetr¶³a y respecto al eje de simetr¶³a, en el
origen. Escriba las ecuaciones de movimiento.
Soluci¶on. Se puede deducir que el lagrangiano es
L =
1
2
A_µ
2
+
1
2
A(sin2
µ)_Á
2
+
1
2
C(_Á cos µ + _Ã)2
¡ mgh cos µ ;
de all¶³
pµ = A_µ ;
pÁ = A(sin2
µ)_Á + C( _Á cos µ + _Ã) cos µ ;
pà = C( _Á cos µ + _Ã) ;
considerando que el lagrangiano es c¶³clico en Ã, y '; y que no contiene el
tiempo en forma expl¶³cita, se conservan H = E; pÃ; y pÁ: Por lo tanto,
tenemos
s ´ _Á cos µ + _Ã = constante,
Indice
página

123. 6.5 Ejemplos y aplicaciones. 109
Mg
O
R
G
Figura 6.2: Trompo sim¶etrico
A(sin2
µ)_Á + Cs cos µ = ® = constante,
E =
1
2
A_µ
2
+
1
2
A(sin2
µ)_Á
2
+
1
2
C(s)2
+ mgh cos µ = constante.
Una ecuaci¶on que determina los cambios de la inclinaci¶on del eje del trompo,
¶angulo µ, puede obtenerse al eliminar _Á a trav¶es de ® en la ecuaci¶on de la
energ¶³a. Si se de¯ne u = cos µ, se obtiene (ver ap¶endice)
_u2
= f(u) = (2E ¡ Cs2
¡ 2mghu)
1 ¡ u2
A
¡
µ
® ¡ Csu
A
¶2
;
polinomio c¶ubico, cuyas ra¶³ces entre ¡1 y 1 tienen importancia en la deter-
minaci¶on de la inclinaci¶on del eje del trompo en su movimiento.
N
Ejemplo 6.5.2 Considere un trompo sim¶etrico con momentos de inercia
C, A, masa m y distancia h de su p¶ua ¯ja al centro de masas, que durante
su movimiento tiene valores extremos para µ iguales a µ1 y µ2. Determine
valores iniciales adecuados de la precesi¶on en t¶erminos del spin s para que ello
ocurra, y analice la posibilidad de que la precesi¶on _Á se anule en el intervalo.
Soluci¶on. Dado que son conocidos los extremos del ¶angulo polar µ1 y µ2,
una primera condici¶on es que _µ se anule en µ1 y µ2, de donde las constantes
Indice
página

124. 110 Ecuaciones de Lagrange.
del movimiento son
2E ¡ Cs2
= A_Á
2
1 sin2
µ1 + 2mgh cos µ1
= A_Á
2
2 sin2
µ2 + 2mgh cos µ2
® = A(sin2
µ1) _Á1 + Cs cos µ1
= A(sin2
µ2) _Á2 + Cs cos µ2
de modo que al eliminar _Á2 y simpli¯cando se puede obtener
(cos µ1 + cos µ2)­2
¡ 2
Cs
A
­ +
2mgh
A
sin2
µ2
sin2
µ1
¡
C2
s2
(cos µ1 ¡ cos µ2)
A2 sin2
µ1
= 0;
ecuaci¶on de segundo grado que relaciona la precesi¶on inicial _Á1 = ­ con
el spin s para que en el movimiento se realicen los extremos de µ dados.
Si llamamos a = mghA=(Cs)2
la soluci¶on de la ecuaci¶on anterior puede
escribirse como
­ =
Cs
A (cos µ1 + cos µ2)
µ
1 ¨
sin µ2
sin µ1
p
1 ¡ 2a (cos µ1 + cos µ2)
¶
:
La condici¶on para que existan valores reales de ­ es cos µ1 +cos µ2 < 1
2
a: Pue-
de adem¶as observarse que si µ1 = µ2 se obtiene entonces una condici¶on para
el movimiento llamado de precesi¶on uniforme, donde µ permanece constante
­2
cos µ ¡
Cs
A
­ +
2mgh
A
= 0:
Adem¶as, si en un ¶angulo intermedio µ3, _Á se anula, condici¶on para que el eje
del trompo realice loops, entonces A(sin2
µ1)­ + Cs cos µ1 = Cs cos µ3, cuya
soluci¶on es
­ =
Cs cos µ3 ¡ Cs cos µ1
A sin2
µ1
=
Cs
A
1 § sin µ2
sin µ1
p
1 ¡ (cos µ1 + cos µ2)2a
(cos µ1 + cos µ2)
;
como cos µ3 < cos µ1 si s > 0 entonces debe ser ­ < 0;y adem¶as
cos µ3 =
1 + cos µ1 cos µ2 § sin µ1 sin µ2
p
1 ¡ (cos µ1 + cos µ2)2a
(cos µ1 + cos µ2)
Indice
página

125. 6.5 Ejemplos y aplicaciones. 111
donde debe cumplirse
cos µ2 <
1 + cos µ1 cos µ2 § sin µ1 sin µ2
p
1 ¡ (cos µ1 + cos µ2)2a
(cos µ1 + cos µ2)
< cos µ1:
El an¶alisis de los signos requiere colocarse en dos casos.
¥Primero Si cos µ1 + cos µ2 > 0; entonces sin µ1 < sin µ2 y
cos2
µ2 < 1 § sin µ1 sin µ2
p
1 ¡ (cos µ1 + cos µ2)2a < cos2
µ1;
que puede ser escrita como
sin µ1
sin µ2
< ¡(§)
p
1 ¡ (cos µ1 + cos µ2)2a <
sin µ2
sin µ1
En consecuencia vale s¶olo el signo inferior y entonces
sin µ1
sin µ2
<
p
1 ¡ (cos µ1 + cos µ2)2a;
de donde tenemos como condici¶on 2a < cos µ1¡cos µ2
sin2 µ2
y el ¶angulo donde la
precesi¶on se anula est¶a dado por
cos µ3 =
1 + cos µ1 cos µ2 ¡ sin µ1 sin µ2
p
1 ¡ (cos µ1 + cos µ2)2a
(cos µ1 + cos µ2)
:
¥Segundo si cos µ1 + cos µ2 < 0; entonces sin µ1 > sin µ2 y
cos µ2 <
1 + cos µ1 cos µ2 § sin µ1 sin µ2
p
1 ¡ (cos µ1 + cos µ2)2a
(cos µ1 + cos µ2)
< cos µ1;
de donde
sin µ2
sin µ1
< ¡(§)
p
1 ¡ (cos µ1 + cos µ2)2a <
sin µ1
sin µ2
;
por lo cual vale el signo inferior
cos µ3 =
1 + cos µ1 cos µ2 ¡ sin µ1 sin µ2
p
1 ¡ (cos µ1 + cos µ2)2a
(cos µ1 + cos µ2)
con la condici¶on
sin µ2
sin µ1
<
p
1 ¡ (cos µ1 + cos µ2)2a <
sin µ1
sin µ2
Indice
página

126. 112 Ecuaciones de Lagrange.
que se reduce a
p
1 ¡ (cos µ1 + cos µ2)2a <
sin µ1
sin µ2
;
de donde 2a < cos µ1¡cos µ2
sin2 µ2
. En consecuencia, las mismas condiciones aplican
a los dos casos.
N
Ejemplo 6.5.3 Considere un trompo sim¶etrico con momentos de inercia C,
A, masa m y distancia h de su pua ¯ja al centro de masas, que baila dormido
con µ = 0: Analice la estabilidad de este movimiento.
Soluci¶on. Aqu¶³
2E ¡ Cs2
= A_Á
2
1 sin2
µ + 2mgh cos µ = 2mgh;
® = A(sin2
µ)_Á + Cs cos µ = Cs;
de donde
_u2
= f(u) = (2mgh ¡ 2mghu)
1 ¡ u2
A
¡
µ
Cs ¡ Csu
A
¶2
;
o bien
f(u) =
2mgh
A
(1 ¡ u)2
µ
u ¡
µ
C2
s2
2mghA
¡ 1
¶¶
=
2mgh
A
(1 ¡ u)2
(u ¡ u3):
El movimiento del trompo ser¶a estable si f(u) < 0 en el rango ¡1 <
u < 1; por lo cual la tercera ra¶³z debe ser mayor que uno, o sea u3 =
C2
s2
=(2mghA) ¡ 1 > 1; entonces C2
s2
> 4mghA; es la condici¶on de esta-
bilidad del trompo dormido. Si esta condici¶on no se cumple, el trompo se
mover¶a de acuerdo a
du
dt
= ¡
r
2mgh
A
(1 ¡ u)
p
(u ¡ u3);
que integraremos como sigue
t = ¡
s
A
2mgh
Z u
1
du
(1 ¡ u)
p
u ¡ u3
:
Indice
página

127. 6.5 Ejemplos y aplicaciones. 113
Sea u = 1 ¡ (1 ¡ u3) sin2
Ã; du = ¡2(1 ¡ u3) sin à cos Ãdà entonces
t = ¡
s
A
2mgh
Z Ã
0
¡2(1 ¡ u3)dÃ
(1 ¡ u3) sin Ã
p
(1 ¡ u3)
;
o bien
t =
2A
p
2mghA
p
(1 ¡ u3)
Z Ã
0
dÃ
sin Ã
= 1;
o sea el trompo tarda in¯nito tiempo en alcanzar la inclinaci¶on dada por
cos µ = C2
s2
=(2mghA) ¡ 1:
N
6.5.2 Bola que rueda sobre un plano, sometida en su
centro a una fuerza.
Suponga que una bola homog¶enea de masa M; radio R; rueda sin deslizar
sobre un plano horizontal, plano OXY; actuada en su centro G por una
fuerza (el¶astica) hacia el eje OZ, ¡K~r; adem¶as del peso, la reacci¶on normal
y la fuerza de roce en el punto de contacto P, suponiendo que ella no realiza
trabajo en la situaci¶on de no deslizamiento, ver ¯gura (6.3). Utilizando
las componentes de la velocidad angular en los ejes ¯jo, en t¶erminos de los
¶angulos de Euler, µ; Á; y Ã; el lagrangiano es
L =
1
2
Mv2
G +
1
2
I!2
;
o sea
L =
1
2
M( _x2
+ _y2
) +
1
2
I(!2
x + !2
y + !2
z) ;
y las restricciones adicionales no holon¶omicas (punto de contacto con veloci-
dad cero) son
~vP = ~vP + ~! £ (¡R^k) = 0 ;
es decir
_x ¡ R!y = 0; _y + R!x = 0 : (6.15)
Considerando las componentes de la velocidad angular en t¶erminos de los
¶angulos de Euler
!x = _Ã sin Á sin µ + _µ cos Á ;
!y = ¡ _Ã cos Á sin µ + _µ sin Á ;
!z = _Ã cos µ + _Á ;
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página

128. 114 Ecuaciones de Lagrange.
Z
X
Y
P
R
G
Figura 6.3: Esfera atra¶³da hacia el origen
se puede escribir el lagrangiano
L =
1
2
M( _x2
+ _y2
) +
1
2
I( _Ã
2
+ _µ
2
+ _Á
2
+ 2 _Á _Ã cos µ) ¡
1
2
(x2
+ y2
) ;
y las dos relaciones de v¶³nculos
_x ¡ R(¡ _Ã cos Á sin µ + _µ sin Á) = 0 ;
_y + R( _Ã sin Á sin µ + _µ cos Á) = 0;
Al utilizar dos multiplicadores de Lagrange, se tiene
M Äx + Kx + ¸1 = 0 ; (6.16)
M Äy + Ky + ¸2 = 0 ; (6.17)
I(ĵ + _Á _à sin µ) ¡ ¸1R sin Á + ¸2R cos Á = 0 ; (6.18)
_!z =
d
dt
( _Ã cos µ + _Á) = 0 ; (6.19)
I(ÄÃ + ÄÁ cos µ ¡ _Á_µ sin µ) + ¸1R cos Á sin µ + ¸2R sin Á sin µ = 0 : (6.20)
De aqu¶³, el ¶algebra es algo tediosa. De la ecuaci¶on (6.19) obtenga ÄÁ y reem-
placemos en la ecuaci¶on (6.20). En seguida, de las ecuaciones (12.9) y (6.20)
obtenga ¸1 y ¸2: Compruebe que se obtiene
¸1 =
I
R
_!y; ¸2 = ¡
I
R
_!x ; (6.21)
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página

129. 6.5 Ejemplos y aplicaciones. 115
de all¶³ es f¶acil obtener, un sorprendentemente simple resultado para las ecua-
ciones de movimiento de las coordenadas del centro de masas de la esfera, es
decir µ
M +
I
R2
¶
Äx + Kx = 0 ; (6.22)
µ
M +
I
R2
¶
Äy + Ky = 0 ; (6.23)
que m¶as generalmente pudo escribirse (para I = 2
5
MR2
) como
M~aG =
5
7
~F ;
para una fuerza cualquiera ~F aplicada al centro, paralelamente al plano ho-
rizontal. Las ecuaciones diferenciales para los ¶angulos de Euler no las ana-
lizaremos aqu¶³. Es ilustrativo sin embargo, comparar con el planteamiento
usual, newtoniano.
Las ecuaciones din¶amicas son m¶as simples. Si ~f denota la fuerza de roce,
entonces
M~aG = ~F + ~f; (6.24)
I
d~!
dt
= ¡R^k £ ~f; (6.25)
adem¶as aplica la restricci¶on de no resbalamiento
0 = ~vG + ~! £ (¡R^k) : (6.26)
Derivando la (6.26) respecto al tiempo y reemplazando en ella las aceleracio-
nes, se obtiene
0 = ~F +
µ
I +
MR2
I
¶
~f ; (6.27)
de donde la ecuaci¶on de movimiento del centro de masas es:
M~aG =
~F
1 + I=(MR2)
:
Corolario 1 No siempre el m¶etodo de Lagrange simpli¯ca el problema.
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página

130. 116 Ecuaciones de Lagrange.
Ejercicio 6.5.1 Demuestre que entre el lagrangiano y el hamiltoniano de
un sistema se cumple que
X
l
@2
H
@pi@pl
@2
L
@ _ql@ _qj
= ±i j :
Ejercicio 6.5.2 Demuestre que si H es una funci¶on cuadr¶atica positiva de-
¯nida de los momenta, entonces L es una funci¶on cuadr¶atica positiva de¯nida
en las velocidades generalizadas y rec¶³procamente, es decir
X
i;j
@2
H
@pi@pj
±pi±pj ¸ 0 ()
X
i;j
@2
L
@ _qi@ _qj
± _qi± _qj ¸ 0:
6.6 Problemas
Ejercicio 6.6.1 Si se considera la transformaci¶on
~r = ~r(q1; q2; q3);
siendo los qi funciones del tiempo. Demuestre la identidad:
d
dt
@
@ _qj
v2
2
¡
@
@qj
v2
2
= ~a ¢
@~r
@qj
:
Ejercicio 6.6.2 Utilice la identidad se~nalada en el problema anterior para
obtener las componentes de la aceleraci¶on de una part¶³cula en coordenadas
cil¶³ndricas y en coordenadas esf¶ericas.
Ejercicio 6.6.3 Considere una barra de masa m, largo 2a que se mueve en
un plano vertical bajo acci¶on de su peso de modo que su extremo A puede
moverse libremente sobre una corredera lisa OX. Escriba las ecuaciones de
Lagrange para las coordenadas generalizadas x el desplazamiento del punto
A, y el ¶angulo µ que forma la barra con la vertical.
Ejercicio 6.6.4 Una barra de longitud 2l se balancea sin deslizarse sobre
un cilindro horizontal de radio a, como se indica en la ¯gura (6.4) de modo
el centro de la barra toca al cilindro en el punto m¶as alto. Demuestre que:
_µ
2
=
6g(h ¡ a cos µ ¡ aµ sin µ)
l2 + 3a2µ2
siendo h una constante.
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página

131. 6.6 Problemas 117
a
2l
!
Figura 6.4: Problema
Ejercicio 6.6.5 El extremo de una barra uniforme de largo l est¶a montado
sobre un eje de modo que la barra puede rotar libremente en un plano normal
al eje, como se indica en la ¯gura (6.5). Si el eje se hace rotar sobre un
plano horizontal con velocidad de rotaci¶on constante ­, permaneciendo ¯ja
la uni¶on de la barra al eje, demuestre que el ¶angulo que la barra forma con
la vertical descendente satisface:
!
(
Figura 6.5: De un problema
ĵ = ­2
sin µ cos µ ¡
3g
2l
sin µ:
Ejercicio 6.6.6 Considere un disco de masa m radio r que rueda sin des-
lizar con su plano vertical sobre un plano horizontal tirado de su centro con
una fuerza horizontal constante F.
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página

132. 118 Ecuaciones de Lagrange.
a) Resuelva el problema por el m¶etodo de Lagrange considerando que el
sistema es integrando con un grado de libertad.
b) Resuelva el mismo problema, tratando al sistema como si fuera no in-
tegrando con la restricci¶on adicional: _x ¡ r_µ = 0:
Ejercicio 6.6.7 Una argolla de masa 3m puede deslizarse horizontalmente
sin rozamiento por un alambre como se indica en la ¯gura. Unido a la argolla
hay un p¶endulo doble, formado por dos part¶³culas de masas m e hilos de largo
a. Si, en una posici¶on cercana a la de su equilibrio, se deja al sistema en
libertad, a partir del reposo, las masas oscilan en el plano de la ¯gura (6.6)
en torno de la vertical.
3m
m
m
a
a
Figura 6.6: De un problema
a) Escriba las ecuaciones de Lagrange del movimiento del sistema.
b) Determine las aceleraciones cuando los desplazamientos angulares y las
velocidades son peque~nas.
Ejercicio 6.6.8 Un p¶endulo formado por una barra liviana de longitud l,
unida a dos masas iguales a m una de ellas que puede oscilar en un plano
vertical, la otra restringida a moverse verticalmente unida a un resorte de
constante k, como se ve en la ¯gura (6.7). Escriba las ecuaciones de Lagrange
del movimiento del sistema.
Ejercicio 6.6.9 Una barra de longitud 2a y masa M se coloca horizontal-
mente sobre el punto m¶as alto de un hemisferio rugoso de radio R y masa
igual M que puede deslizar sobre un plano horizontal liso, y se perturba leve-
mente. Determine las ecuaciones de movimiento para el sistema. La barra
no desliza sobre el hemisferio.
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página

133. 6.6 Problemas 119
m
m
Figura 6.7: De un problema
Ejercicio 6.6.10 Una part¶³cula de masa m est¶a vinculada suavemente a un
tubo liso el cual se hace rotar en torno de la vertical con velocidad angular
­ constante, de modo que el ¶angulo de inclinaci¶on del tubo con la vertical es
constante ® . Para la coordenada generalizada r, la distancia de la part¶³cula
al punto ¯jo del tubo se pide
a) Escribir la ecuaci¶on de movimiento.
b) Determinar la posici¶on dentro del tubo donde la part¶³cula puede estar
estacionaria, es decir sin moverse respecto al tubo.
c) Si la part¶³cula es colocada dentro del tubo en el punto ¯jo, determine
la velocidad m¶³nima que debe d¶arsele respecto al tubo, para que ella
sobrepase la posici¶on determinada en la pregunta (b).
Ejercicio 6.6.11 Una part¶³cula de masa m est¶a en reposo en el punto m¶as
alto de un hemisferio liso ¯jo de radio R. Si ella es perturbada hol¶onomos,
comienza a resbalar sobre el hemisferio. Determine el punto donde ella aban-
dona el contacto con el hemisferio.
Ejercicio 6.6.12 Un disco de masa M y radio a est¶a inicialmente en reposo
apoyado en el punto m¶as alto de un hemisferio rugoso de radio R. Si el
disco es perturbado hol¶onomos, el comienza a rodar sin resbalar. Escriba
la ecuaci¶on de movimiento del disco, para el ¶angulo µ indicado en la ¯gura
(6.8). Determine adem¶as el ¶angulo para el cual el disco abandona el contacto
con el hemisferio.
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página

134. 120 Ecuaciones de Lagrange.
!
Figura 6.8: Disco que rueda sobre otro
Ejercicio 6.6.13 Una part¶³cula de masa M se coloca en reposo sobre el
punto m¶as alto de un hemisferio semicil¶³ndrico de masa M y radio R, el cual
descansa sobre un plano horizontal liso, como se indica en la ¯gura (6.9). Si
la part¶³cula se perturba l¶evemente, el sistema comienza a moverse. Determine
la expresi¶on que determina el ¶angulo para el cual la part¶³cula perder¶a contacto
con el hemisferio.
!
x
Figura 6.9: Part¶³cula sobre hemisferio
Ejercicio 6.6.14 Dos part¶³culas de masas m1 y m2 est¶an en reposo sobre
un plano horizontal liso unidas por una cuerda inextensible de largo L. Si
a una de ellas se le da una rapidez inicial v0 perpendicular a la l¶³nea que
une las part¶³culas, determine para el movimiento siguiente, la magnitud de
la tensi¶on en la cuerda.
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página

135. 6.6 Problemas 121
Ejercicio 6.6.15 Un cono recto de semi¶angulo en el v¶ertice ® y generatriz
de longitud l rueda sin deslizar sobre un plano inclinado un ¶angulo ¯ respecto
del plano horizontal. Si µ es el ¶angulo que forma la l¶³nea de m¶axima pendiente
con la generatriz de contacto, demuestre que:
ĵ +
5g sin ¯
l(1 + 5 cos2 ®)
sin µ = 0:
Indicaci¶on: Si H es la altura del cono, el momento de inercia respecto a su
generatriz en el v¶ertice es I = 3
4
mH2
(1 + 1
5
sec2
®) sin2
®; la magnitud de la
velocidad angular es ! = _µ cot ®; la energ¶³a del cono puede escribirse como
E = 1
2
I!2
+ mg3
4
H(sin ® cos ¯ ¡ sin ¯ cos ® cos µ) y de all¶³ derivando sigue el
resultado.
Indice
página

136. 122 Ecuaciones de Lagrange.
Indice
página

137. Cap¶³tulo 7
Oscilaciones peque~nas.
7.1 La energ¶³a cin¶etica.
Pondremos atenci¶on en el movimiento de sistemas conservativos holon¶omicos,
con v¶³nculos independientes del tiempo, en las vecindades de su posici¶on de
equilibrio estable. Como se sabe, la energ¶³a cin¶etica es
K =
X 1
2
mi j~vij2
;
que expresada en t¶erminos de coordenadas generalizadas qi de acuerdo a
~ri = ~ri(q);
permite escribir
K =
X
i;j;k
1
2
mi
@~ri(q)
@qj
¢
@~ri(q)
@qk
_qj _qk;
expresi¶on que escribiremos usando la convenci¶on de suma sobre ¶³ndices repe-
tidos
K =
1
2
mjk(q) _qj _qk; (7.1)
siendo
mjk(q) =
X
i
1
2
mi
@~ri(q)
@qj
¢
@~ri(q)
@qk
= mkj(q);
elementos de una matriz sim¶etrica, positiva de¯nida.
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página

138. 124 Oscilaciones peque~nas.
7.2 La energ¶³a potencial.
En t¶erminos de las coordenadas generalizadas qi, la energ¶³a potencial del
sistema ser¶a escrita
V (q) = V (q1; q2; : : : ; qn):
La condici¶on para que el sistema tenga una posici¶on de equilibrio estable,
es que V (q) tenga un m¶³nimo. Ello es consecuencia de las ecuaciones de
lagrange que para este caso son
d
dt
(mjk(q) _qk) +
@V
@qj
= 0: (7.2)
7.2.1 Posici¶on de equilibrio.
Con¯guraci¶on de equilibrio signi¯ca coordenadas iniciales qo
j tales que ellas
no var¶³an si inicialmente no var¶³an. Es decir que _q0
j (0) = 0 =) Äq0
j (0) = 0. De
las ecuaciones de lagrange se deduce entonces que tales puntos se caracterizan
por
@V
@qj
¯
¯
¯
¯
qo
j
= 0:
De acuerdo a lo que se analiza a continuaci¶on, si se trata de un punto de
equilibrio estable, ellos corresponden a m¶³nimos de la energ¶³a potencial.
7.2.2 Estabilidad.
El concepto de estabilidad est¶a relacionado al comportamiento del sistema
para condiciones iniciales pr¶oximas a la de equilibrio. El equilibrio se dice
estable si para condiciones iniciales qj(0) = q0
j + ±q0
j , _qj(0) = 0, con ±q0
j >
0, entonces Äqj(0) < 0, 8j, es decir las coordenadas deben variar hacia los
valores de equilibrio. Ello impone algunas condiciones a la energ¶³a potencial.
Desarrollando la ecuaci¶on (7.2), se tiene
@mjk(q)
@ql
_qk _ql + mjk(q)Äqk +
@V
@qj
= 0:
Si colocamos las condiciones iniciales se~naladas, se obtiene
mjk(q0 + ±qo
)Äqk(0) +
@V
@qj
¯
¯
¯
¯
qo+±qo
= 0;
Indice
página

139. 7.3 Linealizaci¶on. 125
y si se expande el segundo t¶ermino hasta primer orden resulta
@2
V
@qj@qk
¯
¯
¯
¯
qo
±qo
k = ¡mjk(q0 + ±qo
)Äqk(0) > 0;
de donde sigue que
@2
V
@qj@qk
¯
¯
¯
¯
qo
> 0; 8j; k;
es decir se trata de un m¶³nimo de la energ¶³a potencial.
7.3 Linealizaci¶on.
Para movimientos en una vecindad de una posici¶on de equilibrio estable,
qi = q0
i + ´i(t);
expandiremos la energ¶³a cin¶etica y potencial para tener las ecuaciones de
movimiento apropiadas para esta aproximaci¶on. As¶³ resulta hasta segundo
orden en las cantidades peque~nas ´
K =
1
2
mjk(q) _qj _qk =
1
2
mjk(q0
)_´j _´k;
V = V (q0
) +
@V
@qj
¯
¯
¯
¯
q0
´j +
1
2
@2
V
@qj@qk
¯
¯
¯
¯
qo
´j´k;
donde podemos olvidar el t¶ermino constante V (q0
), y los coe¯cientes de los
t¶erminos lineales en ´ son cero, de modo que la energ¶³a potencial aproximada
ser¶a
V =
1
2
@2
V
@qj@qk
¯
¯
¯
¯
qo
´j´k;
7.4 El lagrangiano aproximado.
Del desarrollo anterior, tenemos el lagrangiano
L =
1
2
mjk(q0
)_´j _´k ¡
1
2
@2
V
@qj@qk
¯
¯
¯
¯
qo
´j´k;
Indice
página

140. 126 Oscilaciones peque~nas.
que escribiremos en t¶erminos de elementos de matrices sim¶etricas
L =
1
2
Kjk _´j _´k ¡
1
2
Vjk´j´k;
siendo
Kjk = mjk(q0
); Vjk =
@2
V
@qj@qk
¯
¯
¯
¯
qo
;
elementos de matriz constantes, sim¶etricos Kjk positiva de¯nida y Vjk > 0: De
aqu¶³ resultan ecuaciones de movimiento, llamadas de oscilaciones peque~nas
KjkÄ´k + Vjk´k = 0; (7.3)
que son ecuaciones lineales acopladas, v¶alidas para ´, y _´ su¯cientemente
peque~nos.
7.5 Soluci¶on de las ecuaciones de movimien-
to.
Un primer paso hacia la soluci¶on del sistema (7.3) consiste en eliminar la
dependencia en el tiempo que puede adivinarse exponencial, de modo que
trataremos una soluci¶on de la forma
´k = ake¡i!t
;
siendo los ak complejos constantes y se entiende adem¶as que la soluci¶on ¯nal
es la parte real de la que se determine. Al reemplazar resulta
¡!2
Kjkak + Vjkak = 0;
que es un sistema lineal homog¶eneo que tiene soluci¶on distinta de la trivial
si los coe¯cientes (en realidad !) cumplen determinadas condiciones, que
determinaremos. En t¶erminos simples, alguna de las ecuaciones es una com-
binaci¶on lineal de las otras, lo que signi¯ca adem¶as que dichas ecuaciones
no pueden determinar todas las inc¶ognitas ak. En t¶erminos matriciales, si a
denota la matriz columna con elementos ak entonces el sistema de ecuaciones
es
!2
Ka = Va: (7.4)
Indice
página

141. 7.5 Soluci¶on de las ecuaciones de movimiento. 127
Los elementos de K y V son reales y sim¶etricos. Ello trae como primera
consecuencia que !2
debe ser real. En efecto considere
!2
Kjkak = Vjkak;
si conjugamos y usamos la realidad y simetr¶³a tenemos que
(!2
)¤
a¤
kKkj = a¤
kVkj;
de donde siguen
!2
a¤
j Kjkak = a¤
j Vjkak; (7.5)
y
(!2
)¤
a¤
kKkjaj = a¤
kVkjaj: (7.6)
Ahora, considere el siguiente desarrollo donde u, y v son las partes real
e imaginaria de a. (Despu¶es de este an¶alisis veremos que en realidad las
componentes de a son reales.) Desarrolle
a¤
j Kjkak = (uj ¡ ivj)Kjk(uk + ivk)
= Kjkujuk + Kjkvjvk + i(Kjkujvk ¡ Kjkvjuk)
= Kjkujuk + Kjkvjvk
= a¤
kKkjaj:
Que muestra que a¤
j Kjkak es real y positivo de¯nido. Similarmente resultar¶a
a¤
j Vjkak = a¤
kVkjaj;
de modo que si restamos (7.5) de (7.6) resulta
¡
!2
¡ (!2
)¤
¢
a¤
j Kjkak = 0;
de donde sigue
!2
= (!2
)¤
:
Si el sistema lineal se escribe
¡
!2
Kjk ¡ Vjk
¢
ak = 0;
los n valores reales de !2
est¶an determinados por la condici¶on de que el
determinante de los coe¯cientes sea cero, es decir
det
¡
!2
Kjk ¡ Vjk
¢
= 0:
Supondremos en lo que sigue que dichos valores son todos diferentes. Adem¶as,
debido a que los valores !2
son todos reales, el sistema (7.4) tiene soluciones
reales para todos los ak, si el que est¶a indeterminado se toma real. Por ello,
en los desarrollos que siguen se suponen todos los ak reales.
Indice
página

142. 128 Oscilaciones peque~nas.
7.5.1 Diagonalizaci¶on.
Para valores distintos de !, !k con k = 1; 2; : : : ; n, cada conjunto soluci¶on ak
dependen del valor de ! considerado. De modo que introducimos un segundo
¶³ndice que indica la dependencia en alguno de los !: As¶³ ajk indica la soluci¶on
aj para ! = !k. En t¶erminos m¶as precisos
!2
l Kjkakl = Vjkakl:
Si consideramos otro !m y conjugamos se obtiene similarmente
!2
makmKkj = akmVkj
de donde siguen
!2
l ajmKjkakl = ajmVjkakl;
!2
makmKkjajl = akmVkjajl;
y que en t¶erminos de la matriz A = (aij) pueden ser escritas (sin suma sobre
¶³ndices repetidos) como
!2
l
¡
AT
KA
¢
ml
=
¡
AT
VA
¢
ml
; (7.7)
!2
m
¡
AT
KA
¢
ml
=
¡
AT
VA
¢
ml
;
donde AT
indica la traspuesta de la matriz A. Si las dos ecuaciones anteriores
se restan, resulta ¡
!2
l ¡ !2
m
¢ ¡
AT
KA
¢
ml
= 0:
Esto signi¯ca que la matriz AT
KA es diagonal. Como cada columna de
la matriz A tiene un elemento indeterminado (el sistema es homog¶eneo),
podemos ¯jar arbitrariamente ese valor de modo que la matriz AT
KA tenga
unos en la diagonal principal, es decir
AT
KA = I: (7.8)
De la relaci¶on (7.7), se tiene que la matriz AT
VA tambi¶en es diagonal con
elementos !i en la diagonal principal, cuesti¶on que puede escribirse
¡
AT
VA
¢
ij
= !i±ij:
Indice
página

143. 7.5 Soluci¶on de las ecuaciones de movimiento. 129
7.5.2 Soluci¶on del sistema.
Supongamos entonces que se ha resuelto la ecuaci¶on de valores propios:
!2
Ka = Va;
donde la condici¶on para soluci¶on no trivial
det
¡
!2
Kjk ¡ Vjk
¢
= 0;
nos conduce a n diferentes !2
. En cada conjunto soluci¶on hay uno que
est¶a indeterminado y lo elegimos normalizando los vectores a (que son las
columnas de A) de modo que
¡
AT
KA
¢
ij
= ±ij;
¡
AT
VA
¢
ij
= !i±ij:
entonces la soluci¶on de nuestro problema es una combinaci¶on lineal de las
soluciones correspondientes a los diversos !.
´k = Re Cjakje¡i!jt
= akj Re Cje¡i!jt
;
faltando considerar las condiciones iniciales.
Condiciones iniciales.
Las condiciones iniciales son los 2n valores ´k(0), y _´k(0) que permiten de-
terminar ¯nalmente las 2n constantes, las partes real e imaginaria de Ck. As¶³
resultar¶a
´k(0) = akj Re (Cj) ;
_´k(0) = akj Re (¡i!jCj) = akj!j Im (Cj) :
Las propiedades de la matriz A, permiten escribir expresiones expl¶³citas para
la parte real e imaginaria de Ck en t¶erminos de las condiciones iniciales, como
explicamos a continuaci¶on. En efecto si de¯nimos una matriz columna c1 con
componentes Re (Cj) y otra matriz columna c2 con componentes !j Im (Cj),
las dos relaciones anteriores pueden escribirse en forma matricial
´(0) = Ac1; _´(0) = Ac2;
Indice
página

144. 130 Oscilaciones peque~nas.
de modo que al usar (7.8) se obtendr¶a
c1 = AT
K´(0); c2 = AT
K _´(0);
que al ser desarrolladas en componentes determinan
Re Cj =
X
k;l
akjKkl´l(0); Im Cj =
1
!j
X
k;l
akjKkl _´l(0);
donde se ha vuelto a la notaci¶on usual de sumatoria para que quede claro
que no se suma en el ¶³ndice j. As¶³ se tiene ¯nalmente la soluci¶on de nuestro
sistema
´k(t) = akj(Re Cje¡i!jt
) = akj (Re Cj cos !jt + Im Cj sin !jt) :
No se ahondar¶a aqu¶³ en el procedimiento a seguir cuando hay valores repeti-
dos de !k.
Coordenadas normales.
Recordando que la soluci¶on (sin tomar la parte real) es
´k = akjCje¡i!jt
y si llamamos
&j = Cje¡i!jt
tenemos que
´k = akj&j; _´k = akj _&j; (7.9)
de modo que en t¶erminos de estas variables resulta
K =
1
2
Kjk _´j _´k
=
1
2
Kjkajl _&lakm _&m
=
1
2
¡
AT
KA
¢
lm
_&l _&m
=
1
2
_&2
l ;
Indice
página

145. 7.6 Ejemplos. 131
y similarmente
V =
1
2
Vjk´j´k
=
1
2
Vjkajl&lakm&m
=
1
2
¡
VT
KV
¢
lm
&l&m
=
1
2
!2
l ±lm&l&m
=
1
2
!2
l &2
l :
De modo que en estas coordenadas &l, denominadas coordenadas normales,
el lagrangiano es
L =
1
2
_&2
l ¡
1
2
!2
l &2
l ;
que muestra que las coordenadas normales var¶³an independientemente cada
una con una de las frecuencias propias de oscilaci¶on del sistema, de acuerdo
a
Ä&l + !2
l &l = 0:
Las coordenadas normales en t¶erminos de las coordenadas originales se ob-
tiene invirtiendo la ecuaci¶on (7.9), es decir
& = AT
K´;
o
&k(t) = ajkKjm´m(t):
7.6 Ejemplos.
Ejemplo 7.6.1 Considere el p¶endulo doble indicado en la ¯gura (7.1), don-
de el largo natural del resorte sin masa es L0, que coincide con la separaci¶on
de las masas en su posici¶on de equilibrio. La constante el¶astica es k y la
longitud de los hilos es L. Estudie las oscilaciones peque~nas en torno a los
valores de equilibrio µ = 0 y Á = 0.
Soluci¶on. Para valores peque~nos de µ y Á, la energ¶³a cin¶etica es
K =
1
2
mL2
(_µ
2
+ _Á
2
);
Indice
página

146. 132 Oscilaciones peque~nas.
!
)
L
L
L0
Figura 7.1: Osciladores acoplados
y la energ¶³a potencial es
V =
1
2
mgL(µ2
+ Á2
) +
1
2
kL2
(µ ¡ Á)2
;
por lo cual las matrices K y V son
K =
µ
mL2
0
0 mL2
¶
;
V =
µ
mgL + kL2
¡kL2
¡kL2
mgL + kL2
¶
;
de aqu¶³ el sistema lineal de ecuaciones es
!2
µ
mL2
0
0 mL2
¶ µ
a1
a2
¶
=
µ
mgL + kL2
¡kL2
¡kL2
mgL + kL2
¶ µ
a1
a2
¶
;
y las frecuencias propias satisfacen
det
µ
!2
(mL2
) ¡ mgL ¡ kL2
kL2
kL2
!2
(mL2
) ¡ mgL ¡ kL2
¶
= 0;
con soluciones
!2
1 =
g
L
;
!2
2 =
g
L
+
2k
m
:
Indice
página

147. 7.6 Ejemplos. 133
Bajo estas condiciones, una ¯la del sistema de ecuaciones es redundante por
lo cual elegimos la primera, que es
!2
mL2
a1 = (mgL + kL2
)a1 ¡ kL2
a2
o bien, para cada frecuencia
g
L
mL2
a11 = (mgL + kL2
)a11 ¡ kL2
a21;
µ
g
L
+
2k
m
¶
mL2
a12 = (mgL + kL2
)a12 ¡ kL2
a22;
que se simpli¯can a
a11 = a21; a12 = ¡a22;
por lo cual la matriz A sin normalizar aun es
A =
µ
a11 a12
a11 ¡a12
¶
:
Normalizaci¶on requiere que
µ
a11 a11
a12 ¡a12
¶ µ
mL2
0
0 mL2
¶ µ
a11 a12
a11 ¡a12
¶
= I;
o bien
mL2
µ
a11 a11
a12 ¡a12
¶ µ
a11 a12
a11 ¡a12
¶
=
µ
1 0
0 1
¶
;
de donde sigue
mL2
a2
11 = 1; mL2
a2
12 = 1:
De donde ¯nalmente, la matriz A ha sido determinada
A =
1
p
mL2
µ
1 1
1 ¡1
¶
:
Condiciones iniciales permitir¶³an seguir con la rutina de expresar las coorde-
nadas µ y Á en funci¶on del tiempo. Nos limitaremos a dejarlas expresadas
como
µ =
1
p
mL2
Re(C1e¡i!1t
+ C2e¡i!2t
);
Á =
1
p
mL2
Re(C1e¡i!1t
¡ C2e¡i!2t
):
Indice
página

148. 134 Oscilaciones peque~nas.
Por ¶ultimo, las coordenadas normales, est¶an dadas por
& = AT
K´ =
1
p
mL2
µ
1 1
1 ¡1
¶ µ
mL2
0
0 mL2
¶ µ
µ
Á
¶
;
que se reducen (salvo un factor irrelevante) a
&1 = µ + Á;
&2 = µ ¡ Á:
Estos dos modos son independientes, por lo cual se puede establecer cada
uno de ellos independientemente, y variar¶an con las frecuencias propias !1 y
!2. Es decir
µ + Á = D cos
µr
g
L
t ¡ ±
¶
;
µ ¡ Á = E cos
Ãr
g
L
+
2k
m
t ¡ "
!
;
con constantes D; E, ±, " determinables con las condiciones iniciales que se
tengan. Debe notarse que la diferencia de los ¶angulos es el modo de mayor
frecuencia.
N
Ejemplo 7.6.2 Resuelva el problema anterior sin hacer uso de la teor¶³a
general elaborada.
Soluci¶on. En algunos casos sencillos como este ejemplo, una soluci¶on
directa puede ser m¶as simple. En efecto del lagrangiano
L =
1
2
mL2
(_µ
2
+ _Á
2
) ¡
1
2
mgL(µ2
+ Á2
) ¡
1
2
kL2
(µ ¡ Á)2
;
siguen ecuaciones de el¶³ptica
ĵ + (
g
L
+
k
m
)µ ¡
k
m
Á = 0;
ÄÁ + (
g
L
+
k
m
)Á ¡
k
m
µ = 0;
Indice
página

149. 7.6 Ejemplos. 135
de donde por simple inspecci¶on resultan
ĵ ¡ ÄÁ + (
g
L
+
2k
m
)(µ ¡ Á) = 0;
ĵ + ÄÁ +
g
L
(µ + Á) = 0;
que corroboran los resultados obtenidos por el m¶etodo general.
N
Ejemplo 7.6.3 Con relaci¶on a la ¯gura (7.2), dos part¶³culas de igual masa
m oscilan horizontalmente unidos a resortes iguales con constante el¶astica k,
de modo que los extremos exteriores de los resortes est¶an ¯jos. Analice las
oscilaciones peque~nas de las part¶³culas en torno a sus posiciones de equilibrio
estable.
Figura 7.2: Osciladores acoplados
Soluci¶on. Si x1 y x2 indican las desviaciones de las part¶³culas respecto
a sus posiciones de equilibrio, la energ¶³a cin¶etica es
K =
1
2
(m _x2
1 + m _x2
2);
y la energ¶³a potencial es
V =
1
2
kx2
1 +
1
2
k(x2 ¡ x1)2
+
1
2
kx2
2:
De all¶³ las matrices K y V son
K = m
µ
1 0
0 1
¶
;
V = k
µ
2 ¡1
¡1 2
¶
;
Indice
página

150. 136 Oscilaciones peque~nas.
por lo cual los valores propios satisfacen
det
µ
!2
m
µ
1 0
0 1
¶
¡ k
µ
2 ¡1
¡1 2
¶¶
= 0;
o bien
!4
m2
¡ 4!2
mk + 3k2
= 0;
de donde resulta
!2
1 =
k
m
; !2
2 = 3
k
m
:
El sistema de ecuaciones lineales es
!2
m
µ
1 0
0 1
¶ µ
a1
a2
¶
= k
µ
2 ¡1
¡1 2
¶ µ
a1
a2
¶
;
de donde se obtiene
a11 = a21;
a12 = ¡a22:
Normalizaci¶on requiere que AT
KA = I, por lo cual
m
µ
a11 a11
¡a22 a22
¶ µ
a11 ¡a22
a11 a22
¶
= I;
entonces 2ma2
11 = 1 y 2ma2
22 = 1, obteniendo
A =
1
p
2m
µ
1 ¡1
1 1
¶
;
de aqu¶³, las soluciones oscilatorias son
x1 =
1
p
2m
Re
¡
C1e¡!1t
¡ C2e¡!2t
¢
;
x2 =
1
p
2m
Re
¡
C1e¡!1t
+ C2e¡!2t
¢
:
Tambi¶en indicaremos los modos normales & = AT
K´ que resultan ser
&1 =
r
m
2
(x1 + x2) ;
&2 =
r
m
2
(¡x1 + x2) :
N
Indice
página

151. Cap¶³tulo 8
Ecuaciones de Hamilton.
8.1 Variables can¶onicas.
Aun cuando se puede hablar bastante sobre la relaci¶on entre hamiltoniano
y lagrangiano de un sistema, aqu¶³ se presentan las ecuaciones de Hamilton
en un contexto independiente de la formulaci¶on lagrangiana. Un sistema de
n grados de libertad es descrito, en esta formulaci¶on, por un conjunto de
n coordenadas y n momentos can¶onicos conjugados, que se conocen como
variables can¶onicas, que denotaremos por
qi; pi i = 1; 2; 3; : : : ; n:
El sistema se denomina hamiltoniano, si existe una funci¶on H(q; p; t), cono-
cida como el hamiltoniano del sistema, tal que se satisfacen las 2n ecuaciones
de primer orden que se presentaron en (6.12) y (6.13)
@H(q; p; t)
@pj
= _qj ; (8.1)
@H(q; p; t)
@qj
= ¡ _pj : (8.2)
A esta altura, uno podr¶³a pensar >en qu¶e realmente se distinguen los momen-
tos de las coordenadas? >Podemos intercambiar momentos y coordenadas?
M¶as adelante se estudiar¶an las denominadas transformaciones can¶onica, que
Indice
página

152. 138 Ecuaciones de Hamilton.
aclaran esos puntos. Considere como ejemplo dos sistemas hamiltonianos con
H1 =
p2
2m
+
1
2
kq2
;
H2 =
q2
2m
+
1
2
kp2
;
como puede veri¯carse ambos conducen a las mismas ecuaciones para q(t) y
p(t):
8.2 Espacio de fase.
Para un sistema de n grados de libertad, el espacio de fase se de¯ne como
el espacio de 2n dimensiones de las coordenadas y momentos can¶onicos. El
estado para un tiempo t, (q; p) de tal sistema queda entonces representado
por un punto en dicho espacio de fase. La evoluci¶on en el tiempo del siste-
ma, determinada por las ecuaciones de Hamilton, es representada entonces
por un punto en movimiento en el correspondiente espacio de fase. Podemos
distinguir los sistemas aut¶onomos donde H no depende del tiempo en forma
expl¶³cita y es por lo tanto constante de movimiento (en los sistemas conser-
vativos). En estos casos que consideraremos primero, la ¶orbita que describe
la evoluci¶on del sistema en el espacio de fase, est¶a con¯nada en el subespacio
H(q; p) = E = constante.
8.2.1 Sistemas aut¶onomos.
Para estos sistemas, conservativos, H = H(q; p) = E; las ecuaciones de
Hamilton
@H
@pi
= _qi y
@H
@qi
= ¡ _pi ;
determinan la evoluci¶on del sistema, con¯nado al subespacio de energ¶³a cons-
tante.
8.2.2 Puntos cr¶³ticos o de equilibrio.
En general, las ¶orbitas en el espacio de fase no pueden cortarse debido a que
entonces, en esos puntos tomados como condici¶on inicial del sistema, la evo-
luci¶on futura del sistema no est¶a determinada un¶³vocamente. La excepci¶on
Indice
página

153. 8.2 Espacio de fase. 139
la constituyen los puntos de equilibrio donde por de¯nici¶on son cero todas
las derivadas _qi y _pi: Esto corresponde a sistemas que est¶an en estados que
no evolucionan en el tiempo. En estos casos, la evoluci¶on futura depender¶a
de perturbaciones iniciales aplicadas al sistema.
Estabilidad de los puntos cr¶³ticos.
Una clasi¯caci¶on m¶as detallada de las caracter¶³sticas de los puntos cr¶³ticos
se desprender¶a del an¶alisis que se realiza a continuaci¶on, para un sistema
aut¶onomo con un grado de libertad, que puedan linealizarse en el sentido
explicado a continuaci¶on.
Linealizaci¶on.
Supongamos un sistema aut¶onomo correspondiente a un grado de libertad
_q =
@H(q; p)
@p
y _p = ¡
@H(q; p)
@q
: (8.3)
Si adem¶as hacemos un corrimiento del origen del espacio de fase de modo
que el punto cr¶³tico bajo estudio corresponde al origen, q = 0; p = 0; el
hamiltoniano puede expandirse en torno al origen de modo que se tendr¶a
@H(q; p)
@q
= q
@2
H(q; p)
@2q
¯
¯
¯
¯
0;0
+ p
@2
H(q; p)
@p@q
¯
¯
¯
¯
0;0
+ O(q2
; p2
) ;
@H(q; p)
@p
= q
@2
H(q; p)
@q@p
¯
¯
¯
¯
0;0
+ p
@2
H(q; p)
@p2
¯
¯
¯
¯
0;0
+ O(q2
; p2
) ;
y si solo se mantienen los t¶erminos lineales, el sistema aut¶onomo es, en la
vecindad del punto cr¶³tico
_q = q
@2
H(q; p)
@q@p
¯
¯
¯
¯
0;0
+ p
@2
H(q; p)
@p2
¯
¯
¯
¯
0;0
;
_p = ¡q
@2
H(q; p)
@2q
¯
¯
¯
¯
0;0
¡ p
@2
H(q; p)
@p@q
¯
¯
¯
¯
0;0
;
que puede ser escrito como sistema aut¶onomo lineal
d
dt
µ
q
p
¶
=
µ
H12 H22
¡H11 ¡H21
¶ µ
q
p
¶
: (8.4)
Indice
página

154. 140 Ecuaciones de Hamilton.
En el caso en que la parte lineal sea nula, el problema es m¶as complejo y
no ser¶a tratado aqu¶³. Note adem¶as que para el caso considerado H12 = H21:
Como veremos, una caracterizaci¶on de los puntos cr¶³ticos de estos sistemas
que pueden ser aproximados por un sistema lineal en la vecindad del punto
de equilibrio, o de alguno de ellos, depende crucialmente de los autovalores
de la matriz involucrada en la ¶ultima relaci¶on. Para no perder generalidad
supondremos solamente que sus elementos son reales, a; b; c y d: Adem¶as
cambiaremos a notaci¶on x = q; y = p de modo que el sistema a considerar
es:
d
dt
µ
x
y
¶
=
µ
a b
c d
¶ µ
x
y
¶
= A
µ
x
y
¶
: (8.5)
Los valores propios ¸ de la matriz A; est¶an dados por las ra¶³ces de la ecuaci¶on
de segundo grado
(a ¡ ¸)(d ¡ ¸) ¡ bc = 0 ;
que llamaremos ¸1; ¸2. Como est¶a bien establecido, se pueden distinguir los
siguientes casos cuando det(A) = ad ¡ bc 6= 0:
² Caso real 1. ¸1 < ¸2 < 0, nodo asint¶oticamente estable.
² Caso real 2. 0 < ¸1 < ¸2, nodo inestable.
² Caso real 3. ¸1 < 0 < ¸2, punto montura, inestable.
² Caso real 4. ¸1 = ¸2 < 0, nodo, asint¶oticamente estable.
² Caso real 5. 0 < ¸1 = ¸2, nodo, inestable.
² Caso complejo 1. Re(¸) < 0; espiral, asint¶oticamente estable.
² Caso complejo 2. 0 < Re(¸); espiral, inestable.
² Caso complejo 2. Re(¸) = 0; centro, estable.
Los tres casos reales pueden analizarse dentro del mismo contexto. Al
suponer soluciones particulares de la forma exp(¸t); se encuentra que la so-
luci¶on general es de la forma
µ
x(t)
y(t)
¶
= c1
µ
®1
¯2
¶
e¸1t
+ c2
µ
®2
¯2
¶
e¸2t
; (8.6)
Indice
página

155. 8.2 Espacio de fase. 141
donde los vectores de componentes ®; ¯ son los vectores propios asociados
a los valores propios ¸1 y ¸2: Enseguida, para esquematizar la conducta
cerca del punto cr¶³tico, x; y ! 0; es necesario ver que t¶ermino predomina
y en qu¶e tiempo ocurre eso. Por ejemplo en el caso real 1, predomina el
t¶ermino con ¸1 cuando t ! 1: Es decir el sistema, a la larga, se aproxima
asint¶oticamente al punto cr¶³tico por la direcci¶on de la recta de¯nida por el
correspondiente vector propio. Similarmente, en el caso real 3, si t ! 1
el sistema puede aproximarse asint¶oticamente al punto cr¶³tico por la recta
asociada al valor propio negativo. En cambio, puede alejarse a medida t ! 1
por la recta asociada al valor propio positivo. Para cualquier condici¶on inicial
fuera de la recta asociada al valor propio negativo, predominar¶a a la larga,
la parte asociada al positivo, ver ¯gura (8.1). Los valores propios complejos,
Real 1 Real 2 Real 3
Real 4 Real 5
Figura 8.1: Autovalores reales
de la forma ¸ = u § iv, merecen otra forma de an¶alisis. En este caso, es
conveniente reducir el problema a lo que se denomina su forma can¶onica".
Es conocido que todo problema bidimensional lineal con vectores propios
complejos, puede ser transformado mediante un cambio de coordenadas a su
llamada forma can¶onica
d
dt
µ
x
y
¶
=
µ
m n
¡n m
¶ µ
x
y
¶
= A
µ
x
y
¶
: (8.7)
Indice
página

156. 142 Ecuaciones de Hamilton.
Complejo1
Complejo2 Complejo3
Figura 8.2: Autovalores complejos
siendo en este caso los autovalores de la matriz A, ¸ = m § in: Si adem¶as se
utilizan coordenadas polares, x = r cos(µ) y y = r sin(µ), se puede obtener
dr
dt
= mr;
dµ
dt
= ¡n; (8.8)
con soluci¶on
r = r0emt
; µ = µ0 ¡ nt; (8.9)
por lo cual, la soluci¶on general de (8.7) est¶a dada por:
x(t) = r0emt
cos(µ0 ¡ nt); y(t) = r0emt
sin(µ0 ¡ nt); (8.10)
por lo cual, las trayectorias o curvas en el espacio de fase son espirales si
m =Re(¸) 6= 0 y c¶³rculos si m = 0: As¶³ se distinguen los tres casos, ver ¯gura
(8.2)
² Caso complejo 1. m = Re(¸) < 0; espiral, asint¶oticamente estable.
² Caso complejo 2. m = 0 < Re(¸); espiral, inestable.
² Caso complejo 3. m = Re(¸) = 0; centro, estable.
Ejemplo 8.2.1 Reduzca un sistema lineal de dos dimensiones a su forma
can¶onica.
Soluci¶on. Consideremos el sistema lineal
µ
x0
y0
¶
=
µ
a b
c d
¶ µ
x
y
¶
;
Indice
página

157. 8.2 Espacio de fase. 143
donde la matriz tiene valores propios complejo, es decir de
(a ¡ ¸)(d ¡ ¸) ¡ bc = 0;
se deduce
¸ =
1
2
a +
1
2
d §
1
2
i
p
¡ (a ¡ d)2 ¡ 4cb) = m § in:
Considere ahora la siguiente transformaci¶on lineal
µ
u
v
¶
=
µ
i 0
m¡a
in
¡ b
in
¶ µ
x
y
¶
;
con inversa µ
x
y
¶
=
µ
¡i 0
¡im¡a
b
¡i
b
n
¶ µ
u
v
¶
;
por lo tanto
µ
u0
v0
¶
=
µ
i 0
m¡a
in
¡ b
in
¶ µ
x0
y0
¶
=
µ
i 0
m¡a
in
¡ b
in
¶ µ
a b
c d
¶ µ
x
y
¶
=
µ
i 0
m¡a
in
¡ b
in
¶ µ
a b
c d
¶ µ
¡i 0
¡im¡a
b
¡i
b
n
¶ µ
u
v
¶
=
µ
m n
¡n m
¶ µ
u
v
¶
;
que prueba el teorema. Usted podr¶³a preguntarse >c¶omo es que se adivin¶o
la transformaci¶on lineal? En realidad, la soluci¶on del sistema original nos
orienta al respecto. Hagamos x = Ae¸t
, y = Be¸t
, luego debe tenerse
¸A = aA + bB;
¸B = cA + dB;
se obtienen los autovalores
¸ = ¸1; ¸2 = m § in;
y la raz¶on de amplitudes
B
A
=
¸ ¡ a
b
;
Indice
página

158. 144 Ecuaciones de Hamilton.
de donde la soluci¶on es
x = A1e¸1t
+ A2e¸2t
;
y =
¸1 ¡ a
b
A1e¸1t
+
¸2 ¡ a
b
A2e¸2t
=
m ¡ a
b
(A1e¸1t
+ A2e¸2t
) + i
n
b
(A1e¸1t
¡ A2e¸2t
);
y hacer
u = i(A1e¸1t
+ A2e¸2t
);
v = ¡(A1e¸1t
¡ A2e¸2t
);
de modo que
x = ¡iu
y = ¡i
m ¡ a
b
u ¡ i
n
b
v:
N
8.3 Sistemas de un grado de libertad.
Para sistemas aut¶onomos de un grado de libertad las ecuaciones de Hamilton
permiten visualizar el movimiento del punto representativo en el espacio de
fase. En efecto, de las ecuaciones (8.3), si se de¯ne la velocidad del punto
representativo como
~V =
d
dt
(q^{ + p^|) ;
entonces
~V =
µ
@H
@p
^{ ¡
@H
@q
^|
¶
) ;
o sea
~V =
µ
@H
@q
^{ +
@H
@p
^|
¶
£ ^k ;
es decir, la velocidad es tangente a las super¯cies (l¶³neas) de H constante,
y por las propiedades del gradiente, el sentido de ella es tal que los valores
mayores de H van quedando a la izquierda, ver ¯gura (8.3).
Indice
página

159. 8.4 Ejemplos. 145
q
p
superficies H constante
w
+
-
-
-
-
grad(H)
Figura 8.3: Curvas de H constante
8.4 Ejemplos.
Para ilustrar los conceptos anteriores, debemos considerar sistemas de un
grado de libertad. La representaci¶on de sistemas de m¶as dimensiones es
naturalmente m¶as dif¶³cil de lograr.
8.4.1 Oscilador arm¶onico.
Este es el ejemplo tradicional. Su hamiltoniano es
H =
p2
2m
+
1
2
kq2
;
las ecuaciones de Hamilton son
_q =
p
m
; y _p = ¡kq ;
o bien, escritas matricialmente
d
dt
µ
q
p
¶
=
µ
0 1=m
¡k 0
¶ µ
q
p
¶
;
por lo tanto los autovalores de la matriz, correspondiente al ¶unico punto
cr¶³tico o de equilibrio, q = 0; p = 0; son ¸ = §i
p
k=m; es decir corresponde
a un centro estable (caso complejo 3), vea ¯gura (8.4).
Indice
página

160. 146 Ecuaciones de Hamilton.
q
p
w
w
w
grad(H)
superficies H constante
Figura 8.4: Oscilador arm ¶onico
8.4.2 P¶endulo simple.
Consideremos a un p¶endulo, formado por una barra de masa M, largo L, y
momento de inercia I, que oscila en un plano vertical en torno a un extre-
mo, siendo µ el ¶angulo que la barra forma con la vertical descendente. El
lagrangiano de este sistema es
L =
1
2
I _µ
2
¡ Mg
L
2
(1 ¡ cos µ) ;
siendo el momento can¶onico
p = I _µ;
de modo que el hamiltoniano es
H =
p2
2I
+ Mg
L
2
(1 ¡ cos µ) ;
de modo que las ecuaciones de Hamilton son
_µ =
p
I
y _p = ¡Mg
L
2
sin µ ;
sistema que tiene dos puntos cr¶³ticos o de equilibrio (y peri¶odicamente en
2¼), (p = 0; µ = 0 ) y ( p = 0; µ = ¼):
La linealizaci¶on en torno a µ = 0 conduce a
d
dt
µ
µ
p
¶
=
µ
0 1=I
¡MgL=2 0
¶ µ
µ
p
¶
;
Indice
página

161. 8.4 Ejemplos. 147
con autovalores imaginarios ¸ = §i
p
MgL=2I, es decir se trata de un centro
estable.
Para analizar lo que ocurre en el otro punto cr¶³tico, alrededor de µ = ¼,
considere µ = ¼ + Á siendo Á peque~no. Por lo tanto
_Á =
p
I
;
_p = Mg
L
2
sin Á ;
y su linealizaci¶on para oscilaciones peque~nas conduce a
d
dt
µ
Á
p
¶
=
µ
0 1=I
MgL=2 0
¶ µ
Á
p
¶
;
siendo los autovalores de la matriz reales ¸ = §
p
MgL=2I; es decir se trata
de un punto montura inestable, que corresponde al caso real 3, ver ¯gura
(8.5).
p
w
superficies H constante
ww
w
w
w
w
0
-
2-
q
Figura 8.5: Punto inestable
Indice
página

162. 148 Ecuaciones de Hamilton.
Indice
página

163. Cap¶³tulo 9
Principio variacional de
Hamilton.
9.1 La Acci¶on.
La acci¶on de un sistema mec¶anico se de¯ne por:
S =
t2Z
t1
L(q(t); _q(t); t)dt ; (9.1)
es decir una integral sobre un posible camino qi(t) que permita al sistema pa-
sar entre los instantes de tiempo t1 y t2 en forma compatible con los v¶inculos,
y con las condiciones en t1 y t2 : La acci¶on, como veremos, tiene un doble e
importante rol:
² Primero, su variaci¶on a extremos ¯jos, supuesta nula conduce a las
ecuaciones de movimiento, ya sea en su forma lagrangiana o forma
hamiltoniana. Esto es los caminos f¶³sicos son caminos extremales.
² Segundo, su variaci¶on en los extremos, suponiendo satisfechas las ecua-
ciones de movimiento, conduce a las integrales de las ecuaciones de
movimiento.
De lo primero trata el principio variacional de Hamilton. De lo segundo,
que se ver¶a con m¶as detalle m¶as adelante, trata el m¶etodo de Hamilton
Jacobi.
Indice
página

164. 150 Principio variacional de Hamilton.
9.1.1 Principio variacional de Hamilton.
Un posible camino qi(t) compatible con los v¶inculos y las condiciones en t1
y t2 es la trayectoria f¶isica, soluci¶on de las ecuaciones de movimiento de un
sistema conservativo, s¶i y solo s¶i la acci¶on S es un extremo.
Demostraci¶on:
En lo que sigue, llamaremos caminos f¶isicos a los caminos extremales entre
los puntos extremos ¯jos y caminos variados a otros caminos, pr¶oximos a
los caminos extremales, entre los mismos puntos extremos. Se requieren
elementos de c¶alculo variacional que no estudiaremos aqu¶i, pero de los cuales
haremos uso (ver [5]). Para que la acci¶on sea un extremo se requiere que su
variaci¶on ±S sea cero, para variaciones ±qi(t) in¯nitesimal, compatibles con
los v¶inculos y nulas en los extremos y salvo por eso, arbitrarias entre ellos.
Como se sabe, usando la notaci¶on ±", se tiene que
±S =
t2Z
t1
X µ
@L
@qi
±qi +
@L
@ _qi
± _qi
¶
dt ;
como
± _q =
d
dt
±q; y ±qi(t1) = ±qi(t2) = 0 ;
la primera variaci¶on de la acci¶on puede escribirse
±S =
t2Z
t1
X µ
@L
@qi
¡
d
dt
@L
@ _qi
¶
±qidt : (9.2)
² Si se cumplen las ecuaciones de movimiento, ecuaciones de Lagrange
en su forma original, es decir
X µ
@L
@qi
¡
d
dt
@L
@ _qi
¶
±qi =
X
QNC
i ±qi ;
y si adem¶as se trata de un sistema conservativo, donde por de¯nici¶on
QNC
i = 0; 8i; entonces ±S = 0, lo que signi¯ca que S es un extremo.
Indice
página

165. 9.1 La Acci¶on. 151
² Si la acci¶on S es un extremo, o sea ±S = 0; tenemos
t2Z
t1
X µ
@L
@qi
¡
d
dt
@L
@ _qi
¶
±qidt = 0 ;
o bien
X
i
t2Z
t1
µ
@L
@qi
¡
d
dt
@L
@ _qi
¶
dt±qi = 0 :
Si las variaciones ±qi son arbitrarias en el intervalo, ser¶ian cero los inte-
grandos. Sin embargo admitimos la posibilidad de que hayan v¶inculos
no holon¶omicos de un cierto tipo, satisfaciendo
X
i
Aji _qi + Aj0 = 0; j = 1; 2; : : : ; r:
Como las variaciones virtuales son a tiempo ¯jo se tiene
X
i
Aji±qi = 0; j = 1; 2; : : : ; r;
y tambi¶en ser¶an cero sus integrales
X
i
t2Z
t1
Aji±qi = 0; j = 1; 2; : : : ; r; (9.3)
de modo que tenemos un problema de c¶alculo variacional, con restric-
ciones adicionales (9.3), por lo que, haciendo uso de la t¶ecnica de los
multiplicadores de Lagrange obtenemos
@L
@qi
¡
d
dt
@L
@ _qi
+
X
j
¸jAji = 0 ;
que son las ecuaciones correctas de Lagrange para sistemas conservati-
vos con v¶inculos adicionales no holon¶omicos del tipo que se estudiaron
en el cap¶itulo sobre ecuaciones de Lagrange.
Indice
página

166. 152 Principio variacional de Hamilton.
9.1.2 Naturaleza del extremo en el principio variacio-
nal.
Se puede probar que, para puntos ¯nales no demasiado lejanos del punto
inicial, la acci¶on del sistema alcanza un valor m¶inimo respecto a caminos
variados pr¶oximos. Partiendo de un punto inicial, el sistema evoluciona en
el tiempo de acuerdo a las ecuaciones de Lagrange por caminos extremales
que forman una familia de caminos extremales de acuerdo a las diversas
condiciones iniciales de velocidad posibles. Se tiene lo que se conoce como
un campo central de extremales". Probaremos en primer lugar que para
puntos no muy alejados del punto inicial, la segunda variaci¶on de la acci¶on
a lo largo de un camino extremal es positiva si el lagrangiano es una forma
positiva de¯nida de las velocidades generalizadas. Sin embargo, al alejarse
del punto inicial la segunda variaci¶on puede hacerse negativa. Naturalmente
primero debe hacerse cero. Si denotamos por P el punto inicial y por Q el
primer punto donde la segunda variaci¶on se hace cero. Como probaremos, un
camino variado entre esos mismos puntos extremos, es tambi¶en un camino
extremal o camino f¶isico posible. Ese punto Q donde se cortan dos o m¶as
caminos f¶isicos que partieron desde P, se conoce como punto conjugado de P.
Entonces, la propiedad minimal se perder¶a apenas el sistema pase a lo largo
de la trayectoria extremal por el primer punto conjugado. El an¶alisis ser¶a
hecho en primer lugar para sistemas conservativos con v¶inculos holon¶omicos
de un grado de libertad. La primera variaci¶on de la acci¶on puede escribirse
±S =
t2Z
t1
µ
@L
@q
±q +
@L
@ _q
± _q
¶
dt ; (9.4)
y la segunda variaci¶on como
±2
S =
t2Z
t1
µ
@2
L
@q2
±q2
+ 2
@2
L
@q@ _q
@q± _q +
@2
L
@ _q2
± _q2
¶
dt ;
pero adem¶as, por ser cero las variaciones en los extremos se tiene que
0 =
t2Z
t1
d
¡
!(t)±q2
¢
=
t2Z
t1
¡
_!(t)±q2
+ 2!(t)±q± _q
¢
dt:
Indice
página

167. 9.1 La Acci¶on. 153
Si sumamos esta ¶ultima ecuaci¶on a la segunda variaci¶on de la acci¶on, se
obtiene
±2
S =
t2Z
t1
µµ
_!(t) +
@2
L
@q2
¶
±q2
+ 2
µ
@2
L
@q@ _q
+ !(t)
¶
@q± _q +
@2
L
@ _q2
± _q2
¶
dt;
(9.5)
cuyo integrando puede ser reducido, salvo un factor, a un cuadrado perfecto
si !(t) se elije adecuadamente. En efecto, la ecuaci¶on (9.5) puede escribirse
±2
S =
t2Z
t1
@2
L
@ _q2
Ã
± _q +
s
@2L=@q@ _q + !(t)
@2L=@ _q2
±q
!2
dt;
por lo cual, si !(t) existe, el signo de la segunda variaci¶on coincide con el
signo de @2
L=@ _q2
: La condici¶on que debe cumplir !(t) es
µ
@2
L
@q@ _q
+ !(t)
¶2
=
@2
L
@ _q2
µ
_!(t) +
@2
L
@q2
¶
: (9.6)
Si se de¯ne una nueva variable u(t) mediante
!(t) = ¡
@2
L
@q@ _q
¡
@2
L
@ _q2
_u
u
; (9.7)
la condici¶on (9.6) puede escribirse
d
dt
µ
@2
L
@ _q2
_u
¶
=
µ
@2
L
@q2
¡
d
dt
@2
L
@ _q@q
¶
u;
que se conoce como la ecuaci¶on de Jacobi para la curva C{discriminante (sec-
ci¶on siguiente). En resumen, si existe una soluci¶on de la ecuaci¶on de Jacobi
u(t) que no se anule en el intervalo (t1; t2), condici¶on de Jacobi, entonces
existe la funci¶on !(t) que garantiza que el signo de la segunda variaci¶on
coincide con el de la segunda derivada @2
L=@ _q2
: Como veremos, esta condi-
ci¶on equivale a que no se haya alcanzado el primer punto conjugado al punto
inicial.
Indice
página

168. 154 Principio variacional de Hamilton.
9.1.3 Curva C discriminante.
Si se tiene una familia de caminos que dependen de un par¶ametro C, por
ejemplo la velocidad inicial, los puntos donde caminos con distinto par¶ametro
y que parten de un mismo punto, se cortan satisfacen
q = q(c; t); y q(c + dc; t) = q(c; t);
o equivalentemente
q = q(c; t); y
@q
@c
= 0:
Si la familia de curvas es el campo central de extremales, la ecuaci¶on que
satisface u(t) = @q=@c; puede ser obtenida derivando la ecuaci¶on de Lagrange
con respecto al par¶ametro, es decir
0 =
@
@c
µ
@L
@q
¡
d
dt
@L
@ _q
¶
=
@2
L
@q2
u +
@2
L
@q@ _q
_u ¡
d
dt
µ
@2
L
@ _q2
_u +
@2
L
@q@ _q
u
¶
;
que se reduce a la ecuaci¶on de Jacobi
d
dt
µ
@2
L
@ _q2
_u
¶
=
µ
@2
L
@q2
¡
d
dt
@2
L
@ _q@q
¶
u:
La condici¶on de Jacobi signi¯ca entonces que no se ha alcanzado el punto
conjugado del punto inicial. Para m¶as grados de libertad las ideas son las
mismas. Presentaremos otra forma del principio variacional expresando la
acci¶on del sistema en t¶erminos del Hamiltoniano del sistema.
9.2 Forma hamiltoniana.
Considerando la relaci¶on entre hamiltoniano y lagrangiano, la acci¶on puede
escribirse
S =
t2Z
t1
hX
pidqi ¡ Hdt
i
; (9.8)
o bien
S =
t2Z
t1
hX
pi _qi ¡ H
i
dt:
Indice
página

169. 9.2 Forma hamiltoniana. 155
Aqu¶i, las variaciones de las coordenadas y de los momentos son peque~nas y
arbitrarias, salvo en los extremos donde las variaciones de las coordenadas
son nulas, es decir ±qi(t1) = ±qi(t2) = 0. La primera variaci¶on conduce a
±S =
t2Z
t1
hX
(pi± _qi + ±pi _qi) ¡ ±H
i
dt ; (9.9)
o sea
±S =
t2Z
t1
X µ
pid±qi + ±pidqi ¡
@H
@qi
±qidt ¡
@H
@pi
±pidt
¶
; (9.10)
integrando por partes el primer t¶ermino de la sumatoria y considerando ex-
tremos ¯jos, se obtiene
±S =
t2Z
t1
X µ
¡dpi±qi + ±pidqi ¡
@H
@qi
±qidt ¡
@H
@pi
±pidt
¶
; (9.11)
y reordenado
±S =
t2Z
t1
X µµ
¡dpi ¡
@H
@qi
dt
¶
±qi +
µ
dqi ¡
@H
@pi
dt
¶
±pi
¶
; (9.12)
de modo que un extremo de S; ±S = 0 para variaciones arbitrarias ±qi; y
±pi; conduce a las ecuaciones de Hamilton
dpi +
@H
@qi
dt = 0; dqi ¡
@H
@pi
dt = 0 :
9.2.1 Variaci¶on de los extremos.
Supongamos ahora que el problema din¶amico dado por las ecuaciones de
Hamilton ha sido resuelto. Eso signi¯ca que se conocen las coordenadas y
momentos en t¶erminos de 2n constantes de integraci¶on, que llamaremos ci
con i = 1; 2; 3; : : : ; 2n: Entonces podemos escribir
Indice
página

170. 156 Principio variacional de Hamilton.
qi = qi(ci; t); pi = pi(ci; t); H = H(ci; t) ; (9.13)
por lo cual, la derivada del hamiltoniano respecto a una de esas constantes
puede escribirse
@H
@cj
=
X
i
@H
@pi
@pi
@cj
+
X
i
@H
@qi
@qi
@cj
;
y considerando las ecuaciones de Hamilton:
@H
@cj
=
X
i
_qi
@pi
@cj
¡
X
i
_pi
@qi
@cj
;
ecuaci¶on que puede ser ordenada como
@H
@cj
=
@
@cj
X
i
_qipi ¡
d
dt
X
i
pi
@qi
@cj
;
o sea
@
@cj
L =
d
dt
X
i
pi
@qi
@cj
;
que si es integrada entre t0 y t, nos conduce a
@
@cj
tZ
t0
Ldt =
@S
@cj
=
X
i
pi
@qi
@cj
%
t
¡
X
i
pi
@qi
@cj
%
t0
:
De aqu¶i se desprende que la variaci¶on total de S, cuando se var¶ian las cons-
tantes, satisfaciendo las ecuaciones de movimiento, es
±S =
X @S
@cj
±cj =
X
i
pi±qi
%
t
¡
X
i
pi±qi
%
t0
: (9.14)
Si consideramos que las 2n constantes de integraci¶on ci pueden expresarse en
t¶erminos de las coordenadas en t0 y en t (2n coordenadas), as¶i mismo puede
entonces expresarse la acci¶on
S = S(t; q(t); q(t0)) ;
que compar¶andola con la ecuaci¶on (9.14), conduce a
Indice
página

171. 9.2 Forma hamiltoniana. 157
@S(t; q(t); q(t0))
@qi(t0)
= ¡pi(t0);
@S(t; q(t); q(t0))
@qi(t)
= pi(t) ; (9.15)
y, sorprendentemente, si la acci¶on S es conocida, el primer grupo de n ecua-
ciones, permite conocer las coordenadas en funci¶on del tiempo, mediante un
despeje algebraico. M¶as detalles se estudiar¶an al estudiar las transformacio-
nes can¶onicas. Nos limitaremos a mostrar un paso m¶as hacia la soluci¶on del
problema. Si se deriva la funci¶on S, respecto al tiempo, puede obtenerse
dS
dt
= L =
@S
@t
+
X @S
@qi
_q ;
o bien
L =
@S
@t
+
X
pi _q ;
o, en t¶erminos de H(q; p; t)
@S
@t
+ H
µ
q;
@S
@q
; t
¶
= 0 : (9.16)
la llamada ecuaci¶on de Hamilton Jacobi, que estudiaremos con m¶as detalles
m¶as adelante.
9.2.2 Naturaleza del extremo.
Puede probarse que para tiempos su¯cientemente cortos, la acci¶on es en rea-
lidad un m¶inimo, vea Whittaker pag. 250 ([6]). Un ejemplo simple para
comprender el tipo de problema que surge, lo constituye una part¶icula que
puede moverse libremente sobre una circunferencia. Si la part¶icula se mueve
en un determinado sentido con rapidez constante, puede r¶apidamente com-
probarse que la acci¶on evaluada para el movimiento en sentido contrario es
menor que la para la soluci¶on f¶isica del problema, si los dos puntos est¶an
separados un ¶angulo mayor de 180 grados. Es decir, se presentan proble-
mas cuando el sistema tiene m¶as de un posible camino compatible con las
ecuaciones de movimiento para pasar de un punto a otro. En otras palabras,
cuando dos trayectorias extremales se intersectan. El sistema ir¶a por uno u
otro camino dependiendo de los momentos o velocidades iniciales, pero, del
Indice
página

172. 158 Principio variacional de Hamilton.
punto de vista del principio variacional de Hamilton, no hay diferencias entre
esas dos posibilidades.
Consideremos entonces un sistema que parte inicialmente en qi(t0): Si va-
riamos los momentos iniciales en un rango ±pi(t0); se formar¶a un rango de
trayectorias soluciones del problema f¶isico o extremales, al comienzo diver-
giendo del punto inicial. Al transcurrir un tiempo t, podemos calcular la
separaci¶on de las coordenadas ¯nales ±qi(t) usando las ecuaciones (9.15), de
la siguiente manera. Como
@S(t; q(t); q(t0))
@qi(t0)
= ¡pi(t0) ; (9.17)
entonces
X
j
@2
S(t; q(t); q(t0))
@qi(t0)@qj(t)
±qj(t) = ¡±pi(t0) ; (9.18)
expresi¶on lineal que permite despejar las desviaciones ±qj(t) en t¶erminos de
la matriz
Mij = ¡
@2
S(t; q(t); q(t0))
@qi(t0)@qj(t)
;
±qi(t) = M¡1
ij ±pj(t0) : (9.19)
A medida que la colecci¶on o familia de trayectorias evoluciona desde su punto
de partida, puede ocurrir que la matriz M¡1
; llegue a ser singular, o sea
con det(M¡1
) = 0 en determinados puntos de la trayectoria principal (vea
Gutzwiller pag.15 [9]), aquella para la cual se analiza si S es un m¶inimo o
un m¶aximo. Esos puntos se denominan puntos conjugados: En esos puntos,
el sistema (9.19) con ±qi(t) = 0; 8 i (sistema homog¶eneo) admite soluci¶on
distinta de la trivial, es decir hay soluciones con ±pi(t0) 6= 0 : Eso signi¯ca
precisamente que hay m¶as de un extremal pasando por los puntos inicial y
¯nal. Ambos entonces no pueden ser, en general, un m¶inimo.
Ejemplo 9.2.1 Aplique lo anterior al caso el caso del oscilador arm¶onico
unidimensional con hamiltoniano (vea pag 45 de [15])
H =
p2
2m
+
1
2
m!2
q2
:
Indice
página

173. 9.2 Forma hamiltoniana. 159
Soluci¶on. La soluci¶on en t¶erminos de condiciones iniciales en t = 0 es
q = q0 cos !t +
p0
m!
sin !t;
p = p0 cos !t ¡ m!q0 sin !t;
de modo que la acci¶on puede calcularse obteni¶endose
S(q; q0; t) =
Z t
0
Ldt =
m!
2 sin !t
¡
q2
cos !t + q2
0 cos !t ¡ 2q0q
¢
; (9.20)
de donde
M11 = ¡
@2
S(t; q(t); q(0))
@q0@q
=
m!
sin !t
;
cuya inversa se anula cada vez que sin !t = 0; es decir cada medio periodo.
Este resultado es trivial para este problema cuya soluci¶on es conocida, pues
con dos condiciones iniciales distintas en p0 las trayectorias se encuentran
cada vez que
q = q0 cos !t +
p0
m!
sin !t = q0 cos !t +
p0 + ±p0
m!
sin !t;
con ¶unica soluci¶on sin !t = 0. O sea el campo de extremales podr¶ia repre-
sentarse por la ¯gura (9.1)
N
t
543210
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
Figura 9.1: Campo de extremales
Una demostraci¶on simple de que la acci¶on es en realidad un m¶inimo, para
tiempos transcurridos su¯cientemente peque~nos, es la siguiente. Si los puntos
Indice
página

174. 160 Principio variacional de Hamilton.
in¯nitesimalmente cercanos en q(t0) y q(t1); se conectan con una extremal,
despreciando las variaciones del potencial, ella corresponde a la del movi-
miento libre. Otra trayectoria no extremal entre esos dos mismos puntos,
puede construirse con dos o m¶as segmentos extremales. En realidad bas-
ta considerar dos segmentos. Las rapideces generalizadas ser¶an constantes
y distintas en los tres segmentos, el camino extremal y los dos segmentos
extremales. En esencia entonces se trata de demostrar que:
tZ
t0
L1dt +
t1Z
t
L2dt ¸
t1Z
t0
Ldt ;
y m¶as simplemente que
(q(t) ¡ q(t0))2
t ¡ t0
+
(q(t1) ¡ q(t))2
t1 ¡ t
¸
(q(t1) ¡ q(t0))2
t1 ¡ t0
;
cuesti¶on que es cierta para (t ¡ t0)(t1 ¡ t) ¸ 0.
Ejemplo 9.2.2 Demuestre que:
®2
a
+
¯2
b
¸
°2
c
si ° = ® + ¯ y c = a + b y ab ¸ 0:
Soluci¶on. Si
f =
®2
a
+
¯2
b
;
df = 2
µ
®
a
¡
¯
b
¶
d® +
µ
¯2
b2
¡
®2
a2
¶
da ; (9.21)
siendo df = 0 en un extremo. Para averiguar si es un m¶aximo o m¶inimo de
f; en df = 0 se tiene
1
2
d2
f =
µ
1
a
+
1
b
¶
d®2
¡ 2
µ
®
a2
+
¯
b2
¶
dad® +
µ
®2
a3
+
¯2
b3
¶
da2
; (9.22)
de la expresi¶on (9.21), se tiene ®b = ¯a; que junto con ° = ® + ¯ y c = a + b
nos dicen que un extremo de f es °2
=c. Adem¶as, es simple probar que la
expresi¶on (9.22) es positiva de¯nida, por lo cual se trata de un m¶inimo de f:
Indice
página

175. 9.2 Forma hamiltoniana. 161
La expresi¶on: ud®2
+ 2wd®da + vda2
es positiva de¯nida si uv ¸ w2
: Para
este caso u = 1=a + 1=b; v = ®2
=a3
+ ¯2
=b3
; w = ®=a2
+ ¯=b2
; de modo que
uv =
®2
a4
+
¯2
b4
+
1
ab
µ
®2
a2
+
¯2
b2
¶
;
w2
=
®2
a4
+
¯2
b4
+
1
ab
µ
2®¯
ab
¶
;
que prueba lo anterior, para ab ¸ 0: M¶as en general, para una trayectoria
variada con puntos intermedios (qj
; tj
) la expresi¶on a extremar ser¶ia
S¤
(q1; q2; qj
; t1; t2; tj
) =
1
2
m
n¡1X
j=1
(qj+1
¡ qj
)2
tj+1 ¡ tj
;
donde q1
= q1; qn
= q2; t1
= t1 y tn
= t2: Para simpli¯car la notaci¶on,
escribamos aj = qj+1
¡ qj
y bj = tj+1
¡ tj
> 0 . Entonces
S¤
=
1
2
m
n¡1X
j=1
(aj)2
bj
; con
n¡1X
j=1
aj = q2 ¡ q1;
n¡1X
j=1
bj = t2 ¡ t1:
Usando la t¶ecnica de los multiplicadores de Lagrange, tenemos
±S¤
=
1
2
m
n¡1X
j=1
(¡
aj
2
b2
j
+ ¸2)±bj + m
n¡1X
j=1
(
aj
bj
¡ ¸1)±aj: (9.23)
Entonces S¤
es un extremo si
¡
aj
2
b2
j
+ ¸2 = 0;
aj
bj
¡ ¸1 = 0 ; (9.24)
y el extremo que corresponde al valor
¸1 =
aj
bj
=
q2 ¡ q1
t2 ¡ t1
; (9.25)
es, como era esperado
1
2
m
(q2 ¡ q1)2
t2 ¡ t1
;
y, la segunda variaci¶on es
±2
S¤
= m
X (±aj ¡ ¸1±bj)2
bj
¸ 0 (9.26)
que prueba que se trata de un m¶inimo.
Indice
página

176. 162 Principio variacional de Hamilton.
N
Nota 9.1 Volveremos sobre la naturaleza del extremo de la acci¶on, al estu-
diar el m¶etodo de Hamilton-Jacobi.
9.3 Teorema de Noether.
9.3.1 Variaci¶on unidimensional.
En el cap¶itulo de ecuaciones de Lagrange se present¶o una versi¶on simpli¯ca-
da del teorema de Noether. Aqu¶i consideraremos una forma m¶as general de
dicho teorema, cuando la acci¶on es invariante a variaciones de las coordena-
das generalizadas y de los extremos. Partiremos considerando una situaci¶on
unidimensional donde en una integral de¯nida, se var¶ian in¯nitesimalmen-
te el integrando as¶i como tambi¶en sus extremos. Considere entonces como
ejemplo, la integral
S =
Z t2
t1
q(t)dt;
donde se var¶ian
q(t) + ±q(t); t1 + ±t1; t2 + ±t2:
as¶i resultar¶a que la variaci¶on de S ser¶a
±S =
t2+±t2Z
t1+±t1
(q(t) + ±q(t))dt ¡
t2Z
t1
q(t)dt;
donde podemos escribir
t2+±t2Z
t1+±t1
(q(t) + ±q(t))dt =
t2Z
t1
(q(t) + ±q(t))dt +
t2+±t2Z
t2
(q(t) + ±q(t))dt ¡
t1+±t1
Z
t1
(q(t) + ±q(t))dt
y aproximarlo mediante el teorema del valor medio a
Indice
página

177. 9.3 Teorema de Noether. 163
t2+±t2Z
t1+±t1
(q(t) + ±q(t))dt =
t2Z
t1
(q(t) + ±q(t))dt + ±t2(q(t2)
+±q(t2)) ¡ ±t1(q(t1) + ±q(t1))
y a primer orden en las variaciones a
t2+±t2Z
t1+±t1
(q(t) + ±q(t))dt =
t2Z
t1
(q(t) + ±q(t))dt + ±t2q(t2) ¡ ±t1q(t1)
por lo tanto
±S =
t2Z
t1
(q(t) + ±q(t))dt + ±t2q(t2) ¡ ±t1q(t1) ¡
t2Z
t1
q(t)dt
=
t2Z
t1
±q(t)dt + ±t2q(t2) ¡ ±t1q(t1)
que puede ser escrita nuevamente como una integral
±S =
t2Z
t1
µ
±q(t) +
d
dt
(±tq(t))
¶
dt;
donde ±t es cualquier funci¶on del tiempo in¯nitesimal con valores en los
extremos ±t2 y ±t1.
9.3.2 Variaci¶on en n dimensiones.
Ahora consideraremos realmente la acci¶on para un sistema de n grados de
libertad
S =
Z t2
t1
L(q(t); _q(t); t)dt;
donde se hacen variaciones in¯nitesimales
q0
i(t) = qi(t) + ±qi(t); t1 + ±t1; t2 + ±t2:
Indice
página

178. 164 Principio variacional de Hamilton.
±S =
t2+±t2Z
t1+±t1
L(q0
(t); _q0
(t); t) ¡
t2Z
t1
L(q(t); _q(t); t)dt;
ahora
±S =
t2+±t2Z
t1+±t1
L(q(t) + ±q(t); _q(t) + ± _q(t); t)dt ¡
t2Z
t1
L(q(t); _q(t); t)dt;
que nos proponemos escribir como una integral de t1 a t2: Para ello considere
los pasos an¶alogos al caso unidimensional
t2+±t2Z
t1+±t1
L(q(t) + ±q(t); _q(t) + ± _q(t); t)dt
=
Z t2+±t2
t1+±t1
·
L(q(t); _q(t); t) +
X @L
@qi
±qi(t) +
X @L
@ _qi
± _qi(t)
¸
dt
=
Z t2
t1
·
L(q(t); _q(t); t) +
X @L
@qi
±qi(t) +
X @L
@ _qi
± _qi(t)
¸
dt
+
Z t2+±t2
t2
·
L(q(t); _q(t); t) +
X @L
@qi
±qi(t) +
X @L
@ _qi
± _qi(t)
¸
dt
¡
Z t1+±t1
t1
·
L(q(t); _q(t); t) +
X @L
@qi
±qi(t) +
X @L
@ _qi
± _qi(t)
¸
dt
si despreciamos t¶erminos de segundo orden y usamos las ecuaciones de La-
grange se obtendr¶a
±S =
Z t2
t1
µX d
dt
µ
@L
@ _qi
¶
±qi(t) +
X @L
@ _qi
d
dt
±qi(t) +
d
dt
(±tL)
¶
dt;
y ¯nalmente, la base del teorema de Noether
±S =
Z t2
t1
d
dt
µX µ
@L
@ _qi
¶
±qi(t) + L±t
¶
dt:
Ahora expresaremos esto en t¶erminos de variaciones del siguiente tipo
Indice
página

179. 9.3 Teorema de Noether. 165
±¹qi(t) = q0
i(t + dt) ¡ qi(t) = qi(t + ±t) + ±qi(t + ±t) ¡ qi(t):
Entonces se deduce que
±S =
Z t2
t1
d
dt
µX µ
@L
@ _qi
¶
±¹qi(t) ¡
µµ
@L
@ _qi
¶
_qi(t) ¡ L(q(t); _q(t); t)
¶
±t
¶
dt:
9.3.3 Formas del teorema.
I Teorema 9.1
Si la acci¶on es invariante (±S = 0) a transformaciones del tipo
±¹qi(t) = _qi(t)±t + ±qi(t);
entonces se conserva la cantidad
X
i
µ
@L
@ _qi
¶
±¹qi(t) ¡
Ã
X
i
@L
@ _qi
_qi(t) ¡ L
!
±t:
Una forma m¶as familiar se obtiene si se supone que las variaciones para ²r
arbitrarios son de la forma
±¹qi(t) =
X
r
²rªri; ±t =
X
r
²rXr;
entonces la cantidad conservada es
X
i
µ
@L
@ _qi
¶
ªri ¡
Ã
X
i
@L
@ _qi
_qi(t) ¡ L
!
Xr = constante.
Invariancia a traslaci¶on temporal.
Si Xr = 1; ªri = 0 entonces se conserva el hamiltoniano
X
i
@L
@ _qi
_qi(t) ¡ L
Indice
página

180. 166 Principio variacional de Hamilton.
Invariancia a variaci¶on de una coordenada qk:
Si Xr = 0; ªrk = ±rk; entonces se conserva el momento can¶onico
pk =
µ
@L
@ _qk
¶
:
Indice
página

181. Cap¶³tulo 10
Transformaciones Can¶onicas.
10.1 De¯nici¶on.
La elecci¶on de las coordenadas generalizadas y de los correspondientes mo-
mentos can¶onicos, no es ¶unica. Es entonces importante contestar la pregunta:
² >Es posible transformar las coordenadas y momenta de tal modo que se
preserve la estructura de las ecuaciones de Hamilton? Esto conduce
al concepto de transformaci¶on can¶onica.
La transformaci¶on
fq; pg ¡! fQ; Pg ; (10.1)
H(q; p; t) ¡! H(Q; P; t) ; (10.2)
se dice can¶onica si ella preserva la estructura de las ecuaciones de Hamilton,
es decir que si
_qi =
@H
@pi
; y _pi = ¡
@H
@qi
; (10.3)
entonces
_Qi =
@H
@Pi
; y _Pi = ¡
@H
@Qi
: (10.4)
Indice
página

182. 168 Transformaciones Can¶onicas.
Se usar¶a eventualmente en notaci¶on resumida q; p; Q ; P;que indican a todo
el conjunto de coordenadas y momenta. Una condici¶on su¯ciente para que
la transformaci¶on fq; pg ¡! fQ; Pg sea can¶onica, es que exista una funci¶on
F tal que
nX
i=1
(pidqi ¡ PidQi) ¡ (H ¡ H)dt = dF : (10.5)
Considerando la equivalencia entre el principio variacional de Hamilton y las
ecuaciones de Hamilton, la ecuaci¶on (10.5) equivale a
±
2Z
1
à nX
i=1
pidqi ¡ Hdt
!
= 0 () ±
2Z
1
à nX
i=1
PidQi ¡ H
!
dt = 0 : (10.6)
Est¶a impl¶³cito el hecho de que las variaciones son nulas en los extremos, es
decir que ±Ft=t2 = ±Ft=t1 = 0: Por razones que se comprender¶an enseguida,
llamaremos F1 a esa funci¶on. De la ecuaci¶on, (10.5) se desprende que
pi =
@F1(q; Q; t)
@qi
; Pi = ¡
@F1(q; Q; t)
@Qi
; (10.7)
y
H = H +
@F
@t
; (10.8)
raz¶on por lo cual se puede denominar a F una funci¶on generadora de la
transformaci¶on can¶onica. Naturalmente otra posibilidad es requerir que los
integrando di¯eran en una constante es decir que
a
nX
i=1
(pidqi ¡ Hdt) ¡
nX
i=1
(PidQi ¡ H)dt = dF: (10.9)
de donde se obtendr¶³a
pi =
1
a
@F
@qi
; Pi = ¡
@F
@Qi
; (10.10)
H = aH +
@F
@t
; (10.11)
Indice
página

183. 10.1 De¯nici¶on. 169
Para entender el signi¯cado de lo anterior, considere una transformaci¶on
de escala Qi = ¸qi y Pi = °pi. Esta transformaci¶on, puede veri¯carse, es
can¶onica con nuevo hamiltoniano dado por H(Q; P; t) = ¸°H(Q=¸; P=¸).
Para esa transformaci¶on se cumplir¶a
¸°
nX
i=1
(pidqi ¡ Hdt) ¡
nX
i=1
(PidQi ¡ H)dt = dF: (10.12)
De manera que con una transformaci¶on de escala siempre podremos lograr
tener a = ¸° = 1, que ser¶a lo que supondremos.
Ejercicio 10.1.1 Demuestre la a¯rmaci¶on anterior.
10.1.1 Formas de la transformaci¶on.
Mediante una transformaci¶on de Legendre es posible escribir la transfor-
maci¶on de otras maneras. Considerando transformaciones de Legendre de
F1(q; Q; t); la funci¶on generadora considerada hasta ahora, podemos generar
otras tres funciones generadoras equivalentes dadas por
F2(q; P; t) = F1(q; Q; t) +
nX
i=1
QiPi ; (10.13)
F3(p; Q; t) = F1(q; Q; t) ¡
nX
i=1
qipi ; (10.14)
F4(p; P; t) = F3(p; Q; t) +
nX
i=1
QiPi ; (10.15)
Para las cuales se cumplir¶a, en analog¶³a con (10.5)
nX
i=1
(pidqi + QidPi) ¡ (H ¡ H)dt = dF2 ; (10.16)
nX
i=1
(¡qidpi ¡ PidQi) ¡ (H ¡ H)dt = dF3 ; (10.17)
nX
i=1
(¡qidpi + QidPi) ¡ (H ¡ H)dt = dF4 ; (10.18)
Indice
página

184. 170 Transformaciones Can¶onicas.
y de las cuales se tienen las siguientes relaciones que de¯nen la transformaci¶on
can¶onica
pi =
@F2
@qi
; Qi =
@F2
@Pi
; (10.19)
qi = ¡
@F3
@pi
; Pi = ¡
@F3
@Qi
; (10.20)
qi = ¡
@F4
@pi
; Qi =
@F4
@Pi
; (10.21)
siendo en cada caso
H = H +
@F
@t
: (10.22)
10.1.2 Condici¶on de existencia.
De acuerdo al teorema de la funci¶on impl¶³cita, la transformaci¶on generada,
ya sea por (10.7), (10.19), (10.20) o (10.21), est¶a bien de¯nida si
det
µ
@2
F1
@qi@Qj
¶
6= 0; (10.23)
det
µ
@2
F2
@qi@Pj
¶
6= 0; (10.24)
det
µ
@2
F3
@pi@Qj
¶
6= 0; (10.25)
det
µ
@2
F4
@pi@Pj
¶
6= 0; (10.26)
pero adem¶as debe tenerse
Indice
página

185. 10.2 Notaci¶on Simpl¶ectica. 171
@pi
@Qj
=
@2
F1
@qi@Qj
= ¡
@Pj
@qi
; (10.27)
@pi
@Pj
=
@2
F2
@qi@Pj
=
@Qj
@qi
;
@qi
@Qj
= ¡
@2
F3
@pi@Qj
=
@Pj
@pi
;
@qi
@Pj
= ¡
@2
F4
@pi@Pj
= ¡
@Qj
@pi
;
ecuaciones que volveremos a considerar despu¶es de introducir la notaci¶on
simpl¶ectica.
10.2 Notaci¶on Simpl¶ectica.
Es conveniente introducir una nueva notaci¶on que trata en forma an¶aloga las
coordenadas y los momentos. As¶³
!i = qi si i = 1; 2; : : : ; n ; (10.28)
!i = pi si i = n + 1; n + 2; : : : ; 2n : (10.29)
En estas nuevas variables, las ecuaciones de Hamilton pueden escribirse
_!i = Jij
@H
@!j
; (10.30)
(suma sobre ¶³ndices repetidos), siendo los elementos de la matriz J los si-
guientes
Jij =
8
<
:
0 si ((i > n) y (j > n)) o ((n ¸ i) y (n ¸ j))
¡1 si (i > n; j = i ¡ n)
1 si (n ¸ i; j = i + n)
(10.31)
Podemos notar que, en notaci¶on matricial
J =
µ
0 I
¡I 0
¶
; (10.32)
Indice
página

186. 172 Transformaciones Can¶onicas.
y las siguientes propiedades b¶asicas de J
JJT
= I ; JJ = ¡I ; J¡1
= JT
: (10.33)
10.3 Par¶entesis de Poisson.
Los par¶entesis" de Poisson de dos funciones de las coordenadas y momentos,
se de¯nen por
fF; Gg =
nX
i=1
µ
@F
@qi
@G
@pi
¡
@G
@qi
@F
@pi
¶
; (10.34)
que en notaci¶on simpl¶ectica puede escribirse (suma sobre ¶³ndices repetidos)
como
fF; Gg =
@F
@!i
Jij
@G
@!j
: (10.35)
10.3.1 Propiedades de los Par¶entesis de Poisson.
Entre otras propiedades podemos se~nalar las siguientes, que se dejan para su
demostraci¶on
fF; Gg = 0 ; (10.36)
fF; Gg = ¡fG; Fg ; (10.37)
faF + bG; Wg = afF; Gg + bfG; Wg ;
siendo a; b constantes,
fFG; Wg = fF; WgG + FfG; Wg ; (10.38)
y
fU; fV; Wgg + fV; fW; Ugg + fW; fU; V gg = 0; (10.39)
la identidad de Jacobi.
Indice
página

187. 10.4 Par¶entesis de Lagrange. 173
10.4 Par¶entesis de Lagrange.
Otras cantidades importantes son los par¶entesis" de Lagrange. Si Al; con fl =
1; 2; 3; : : : ; ng, denotan funciones independientes de las coordenadas y mo-
menta, de¯nimos los par¶entesis de Lagrange por
[Al; Am] =
nX
i=1
µ
@qi
@Al
@pi
@Am
¡
@qi
@Al
@qi
@Am
¶
; (10.40)
que en notaci¶on simpl¶ectica puede escribirse (suma sobre ¶³ndices repetidos)
como
[Al; Am] =
@!i
@Al
Jij
@!j
@Am
: (10.41)
10.5 Ecuaciones de Movimiento.
Las ecuaciones de Hamilton pueden escribirse en t¶erminos de los par¶entesis
de Poisson como
_qi = fqi; Hg; _pi = fpi; Hg : (10.42)
Adem¶as, puede veri¯carse que para cualquier funci¶on de los momentos y de
las coordenadas, F(q; p; t); se tiene que
dF
dt
= fF; Hg +
@F
@t
: (10.43)
de aqu¶³ se puede deducir
I Teorema 10.1
Si una cantidad din¶amica F no depende del tiempo en forma expl¶³cita, es
decir si F = F(q; p), ella es conservada si y solo si fF; Hg = 0:
I Teorema 10.2
El hamiltoniano mismo es conservado cuando no depende expl¶³citamente del
tiempo, es decir si @H=@t = 0:
Indice
página

188. 174 Transformaciones Can¶onicas.
10.6 Condici¶on necesaria.
En t¶erminos de variables simpl¶ecticas, planteamos el problema de la siguiente
forma. Si el conjunto !i; H; es hamiltoniano, es decir si
d
dt
!i = Jij
@H
@!j
; (10.44)
y se tiene una transformaci¶on
!i = !i(!; t) ; (10.45)
>cu¶al es la condici¶on necesaria para que exista un nuevo hamiltoniano H de
modo que se tenga un sistema hamiltoniano en las nuevas variables?
Hemos visto que para que una transformaci¶on sea can¶onica es su¯ciente que
exista una funci¶on generadora F. Estableceremos ahora la condici¶on que
debe necesariamente cumplir una transformaci¶on para que ella sea can¶onica.
El problema es mucho mas simple de tratar cuando la transformaci¶on es
independiente del tiempo, por lo cual, dicho caso se tratar¶a primero. En una
transformaci¶on general el an¶alisis es m¶as complicado y se trata m¶as adelante.
Por ¶ultimo comprobaremos que la misma condici¶on que encontraremos, es
necesaria para la existencia de la funci¶on generadora.
Si la transformaci¶on can¶onica es independiente del tiempo, !i = !i(!) y
si se supone que el nuevo hamiltoniano es num¶ericamente igual al original,
H = H, es relativamente simple averiguar sobre cual es la condici¶on necesaria
para que una transformaci¶on sea can¶onica. Si los dos conjuntos !i , H y !i;
H son hamiltonianos se tiene que
d
dt
¹!i = Jij
@H
@!j
= Jij
@H
@!j
; (10.46)
y adem¶as
d
dt
!i = Jij
@H
@!j
; (10.47)
pero ambas derivadas est¶an relacionadas de acuerdo a la transformaci¶on
d
dt
¹!i =
@¹!i
@!j
d
dt
!j ; (10.48)
de manera que, con los ¶³ndices adecuados
Indice
página

189. 10.6 Condici¶on necesaria. 175
Jil
@!m
@!l
= Jlm
@¹!i
@!l
; (10.49)
que puede ser escrito de una variedad de formas. Si llamamos M la matriz
Jacobiano de la transformaci¶on, es decir
Mij =
@¹!i
@!j
; (10.50)
con inversa
M¡1
ij =
@!i
@¹!j
; (10.51)
se tienen equivalentemente
MJMT
= J ; (10.52)
MT
JM = J ; (10.53)
M¡1
J(M
¡1
)T
= J ; (10.54)
(M¡1
)T
JM¡1
= J ; (10.55)
Ejercicio 10.6.1 Demuestre que las cuatro relaciones anteriores, que cons-
tituyen cualquiera de ellas una condici¶on necesaria para que una transforma-
ci¶on independiente del tiempo sea can¶onica, pueden ser escritas como:
i ) f¹!i; ¹!jg! = Jij
ii ) [!i ,!j]¹! = Jij
iii ) f!i ,!jg¹! = Jij
iv ) [¹!i ,¹!j]! = Jij
Esas son las condiciones que deben cumplir necesariamente los par¶entesis de
Lagrange y de Poisson en las bases indicadas si la transformaci¶on es can¶onica.
Esas mismas condiciones se obtendr¶an m¶as adelante si la transformaci¶on
can¶onica depende del tiempo.
Indice
página

190. 176 Transformaciones Can¶onicas.
10.7 Invariancia de los par¶entesis de Poisson
y de Lagrange.
Los siguientes desarrollos muestran que tanto los par¶entesis de Poisson como
los par¶entesis de Lagrange de dos cantidades din¶amicas son invariables bajo
una transformaci¶on can¶onica.
a)
fF; Gg¹! =
@F
@¹!i
Jij
@G
@¹!j
=
@F
@!l
@!l
@¹!i
Jij
@G
@!m
@!m
@¹!j
=
@F
@!l
@G
@!m
f!l; !mg¹! =
@F
@!l
@G
@!m
Jlm = fF; Gg! :
b)
[Ai; Aj]! =
@!l
@Ai
Jlmj
@!m
@Aj
=
@!l
@¹!k
@¹!kl
@Ai
Jlm
@!m
@¹!n
@¹!n
@Aj
= [Ai; Aj]¹! :
10.8 Transformaci¶on dependiente del tiempo.
El ¶algebra puede realizarse directamente si se trata de un sistema de un grado
de libertad y lo haremos antes de entrar al caso general. En la notaci¶on usual
p; q tenemos
Q = Q(q; p; t); P = P(q; p; t) ; (10.56)
y las ecuaciones de movimiento son
_Q = fQ; Hg +
@Q
@t
; (10.57)
_P = fP; Hg +
@P
@t
; (10.58)
Imponemos como condici¶on que exista H tal que
@H
@Q
= ¡fP; Hg ¡
@P
@t
; (10.59)
Indice
página

191. 10.8 Transformaci¶on dependiente del tiempo. 177
@H
@P
= fQ; Hg +
@Q
@t
; (10.60)
la condici¶on de existencia de H para H arbitrario ser¶a
@2
H
@Q@P
=
@2
H
@P@Q
; (10.61)
siendo
@
@P
=
1
fQ; Pg
µ
@Q
@q
@
@p
¡
@Q
@p
@
@q
¶
; (10.62)
@
@Q
=
1
fQ; Pg
µ
¡
@P
@q
@
@p
+
@P
@p
@
@q
¶
: (10.63)
Si usamos estas relaciones , y la identidad de Jacobi, la condici¶on de existencia
de H (10.61) puede escribirse
ffQ; Pg; Hg + 2
@fQ; Pg
@t
= 0 ;
que implica que fQ; Pg no puede depender expl¶³citamente del tiempo ni de
la coordenada ni del momento, dado que H es arbitrario. En consecuencia
el par¶entesis de Poisson fQ; Pg debe ser constante si la transformaci¶on es
can¶onica. Si recordamos lo dicho anteriormente sobre transformaci¶on de
escala, podemos tomar como condici¶on necesaria que
fQ; Pg = 1 : (10.64)
Para este caso, de un grado de libertad, la condici¶on anterior puede escribirse
@Q
@q
@P
@p
¡
@Q
@p
@P
@q
= 1 ; (10.65)
o tambi¶en
det
Ã
@Q
@q
@Q
@p
@P
@q
@P
@p
!
= 1 : (10.66)
O sea, la transformaci¶on tiene determinante de la matriz jacobiano unidad.
Indice
página

192. 178 Transformaciones Can¶onicas.
10.9 Caso general.
Considere una transformaci¶on can¶onica general !i = !i(!; t) donde por
hip¶otesis los conjuntos (H; !) y (H; !) son hamiltonianos, es decir
d
dt
!i = f!i; Hg +
@!i
@t
= Jij
@H
@!j
: (10.67)
La condici¶on de existencia de H para H arbitrario ser¶a
@2
H
@!j@!i
=
@2
H
@!i@!j
: (10.68)
La relaci¶on anterior (10.67) puede invertirse
@H
@!i
= Jji
µ
f!j; Hg +
@!j
@t
¶
; (10.69)
y la condici¶on de integrabilidad para H la podemos escribir
@!k
@!i
@
@!k
@H
@!j
=
@!k
@!j
@
@!k
@H
@!i
; (10.70)
que si la multiplicamos por (@¹!i=@!l) (@¹!j=@!m) puede escribirse
@¹!i
@!m
@
@!l
@H
@!i
=
@¹!i
@!l
@
@!m
@H
@!i
;
o sea
@¹!i
@!m
@
@!l
Jji
µ
f¹!j; Hg +
@¹!j
@t
¶
=
@¹!i
@!l
@
@!m
Jji
µ
f¹!j; Hg +
@¹!j
@t
¶
;
si en el segundo miembro cambiamos i Ã! j, y pasamos todo al lado iz-
quierdo notando que Jij = ¡Jji, resultar¶a
@¹!i
@!m
@
@!l
Jji
µ
f¹!j; Hg +
@¹!j
@t
¶
+
@¹!j
@!l
@
@!m
Jji
µ
f¹!i; Hg +
@¹!i
@t
¶
= 0 ;
usando AfB; Cg = fAB; Cg ¡ BfA; Cg , obtenemos
Indice
página

193. 10.9 Caso general. 179
½
@¹!i
@!m
Jji
@
@!l
¹!j; H
¾
g ¡
@¹!j
@!l
Jji
½
@¹!i
@!m
; H
¾
+
@¹!i
@!m
Jji
½
¹!j;
@H
@!l
¾
+
@¹!i
@!m
@
@!l
Jji
@¹!j
@t
+
@¹!j
@!l
@
@!m
Jji
µ
f¹!i; Hg +
@¹!i
@t
¶
= 0 ;
que con un poco de ¶algebra puede escribirse
f[!l; !m]; Hg +
@¹!i
@!m
Jji
½
¹!j;
@H
@!l
¾
+
@¹!j
@!l
Jji
½
¹!i;
@H
@!m
¾
+
@[!l; !m]
@t
= 0 ;
y expandiendo y combinando el segundo con el tercer t¶ermino aparece de
nuevo la cantidad b¶asica, el par¶entesis de Lagrange
f[!l; !m]; Hg + [!l; !r]Jrn
@2
H
@!n@!m
¡
@2
H
@!l@!n
Jnr[!r; !m] +
@[!l; !m]
@t
= 0 :
Ecuaci¶on que podemos escribirla en t¶erminos matriciales. Si de¯nimos
^Lij = [!i; !j] ; ^Hij =
@2
H
@!i@!j
;
entonces
f^L; Hg + ^LJH ¡ ^HJ ^L +
@ ^L
@t
= 0 : (10.71)
Ahora podemos llegar al resultado ¯nal de este estudio. Como los t¶erminos de
la ecuaci¶on anterior involucran derivadas de distinto orden del hamiltoniano,
considerado arbitrario, ellos deben anularse independientemente. Es decir
f^L; Hg = 0;
@ ^L
@t
= 0 ; ^LJH ¡ ^HJ ^L = 0 :
Las dos primeras indican que el par¶entesis de Lagrange en base ¹! es inde-
pendiente de las coordenadas, momentos y del tiempo. La ¶ultima indica que
^L debe ser proporcional a la matriz J ( recuerde que J2
= I). La cons-
tante de proporcionalidad puede ser tomada como igual a 1 recordando las
observaciones que se hicieron al considerar transformaciones triviales de es-
cala. En consecuencia, la condici¶on necesaria para que una transformaci¶on
sea can¶onica es
[!i; !j]¹! = Jij : (10.72)
Indice
página

194. 180 Transformaciones Can¶onicas.
10.10 Existencia de la funci¶on generadora.
La condici¶on de existencia de la funci¶on generadora est¶a indicada por alguna
de las cuatro relaciones (10.52) a (10.55) que pueden escribirse en notaci¶on
simpl¶ectica, pero partiremos de cero. Si consideramos una de las expresiones
que de¯nen la funci¶on generadora
nX
i=1
(pidqi ¡ PidQi) ¡ (H ¡ H)dt = dF; (10.73)
podemos imponer la condici¶on de existencia de la funci¶on generadora, es decir
igualdad de derivadas cruzadas, en forma m¶as sim¶etrica. Considere entonces
la siguiente forma modi¯cada de la ¶ultima ecuaci¶on
nX
i=1
(d(piqi) ¡ qidpi ¡ d(PiQi) + QidPi) ¡ (H ¡ H)dt = dF: (10.74)
Por lo cual, si existe F , sumando las dos ¶ultimas, la siguiente expresi¶on debe
ser un diferencial exacto
nX
i=1
(qidpi ¡ pidqi ¡ QidPi + PidQi) + 2(H ¡ H)dt = dG ; (10.75)
que es preferible colocar en notaci¶on simpl¶ectica. Si denotamos por ! = (q; p)
y ! = (Q; P), resulta que la ¶ultima ecuaci¶on es equivalentemente a
!iJijd!j ¡ !iJijd!j + 2(H ¡ H)dt = dG : (10.76)
La condici¶on de igualdad de derivadas cruzadas para la existencia de G nos
conduce a
@2
G
@!l@!m
=
@
@!l
(¡!iJim) =
@
@!m
!iJil : (10.77)
Si se de¯nen la matriz jacobiano M y su inversa M¡1
de acuerdo a
Mij =
@¹!i
@!j
; M¡1
ij =
@!i
@¹!j
; (10.78)
la condici¶on (10.77) se puede escribir como
Indice
página

195. 10.11 Forma bilineal invariante. 181
¡MilJim = M¡1
im Jil (10.79)
o bien ¯nalmente
MT
JM = J ; (10.80)
que coincide con una de las formas equivalentes de la condici¶on necesaria
encontrada anteriormente, para que la transformaci¶on sea can¶onica. Es decir
si la transformaci¶on es can¶onica, la funci¶on generadora necesariamente existe.
10.11 Forma bilineal invariante.
I Teorema 10.3
Si ±! y 4! denotan variaciones peque~nas arbitrarias y distintas de las coor-
denadas simpl¶ecticas, la forma bilineal, de¯nida por:
Jij±!i4!j (10.81)
es invariante bajo una transformaci¶on s¶³ y solo s¶³ la transformaci¶on es can¶onica.
Demostraci¶on:
² Si se realiza una transformaci¶on can¶onica, el cambio de la forma bilineal
resulta ser
Jij±¹!i4¹!j = Jij
@¹!i
@!l
±!l
@¹!j
@!m
4!m = [!l; !m]¹!±!l4!m
o bien
Jij±¹!i4¹!j = Jlm±!l4!m;
o sea la forma bilineal es invariante.
² A la inversa, si la forma bilineal es invariante se tendr¶a
[!l; !m]¹!±!l4!m = Jlm±!l4!m ;
para variaciones arbitrarias ±!l y 4!m de las coordenadas simpl¶ecticas
por los cual debe tenerse
[!l; !m]¹! = Jlm;
que es la condici¶on necesaria para que la transformaci¶on sea can¶onica.
Indice
página

196. 182 Transformaciones Can¶onicas.
10.12 Problemas y Aplicaciones.
Ejercicio 10.12.1 Demuestre que las siguientes transformaciones son can¶onicas
(Goldstein [7]):
a) Q = ln(sin(p)=q); P = q cot(p):
b) Q = arctan (®q=p) ; P = ®q2
(1 + p2
=®2
q2
) =2
c) P = 1=q; Q = pq2
:
Ejemplo 10.12.1 Considere la transformaci¶on: Q = aq®
cos(¯p); P =
bq®
sin(¯p) con a; b; ®; ¯ constantes.
a) Determine valores de a; b; ®; ¯ de modo que la transformaci¶on sea
can¶onica.
b) Utilice la transformaci¶on para reducir el problema del oscilador arm¶onico.
c) Resuelva el problema del oscilador arm¶onico utilizando esa transforma-
ci¶on can¶onica.
Soluci¶on. Dado que el sistema tiene un grado de libertad, basta requerir
que la matriz jacobiano tenga determinante unidad. Es decir
det
µ
a®q®¡1
cos(¯p) ¡a¯q®
sin(¯p)
b®q®¡1
sin(¯p) b¯q®
cos(¯p)
¶
= 1
por lo cual
ab®¯q2®¡1
= 1
y entonces
® =
1
2
; y ab¯ = 2
Si adem¶as deseamos simpli¯car el problema del oscilador arm¶onico, con ha-
miltoniano dado por
H =
P2
2m
+
1
2
kQ2
;
considere que H = H puesto que la transformaci¶on es independiente del
tiempo y entonces
H =
b2
q sin 2
(¯p)
2m
+
1
2
ka2
q cos 2
(¯p) ;
Indice
página

197. 10.12 Problemas y Aplicaciones. 183
y una notoria simpli¯caci¶on se tiene si se requiere que b2
= 2m y ka2
= 2:
As¶i resulta
H = q ;
con obvia soluci¶on: p = ¡t + t0, y q = q0. Adem¶as la transformaci¶on se
reduce a
Q =
r
2q
k
cos
Ãr
k
m
p
!
; P =
p
2mq sin
Ãr
k
m
p
!
;
de modo que el problema din¶amico dado por H ha sido resuelto
Q(t) =
r
2q0
k
cos
Ãr
k
m
(t ¡ t0)
!
; P(t) = ¡
p
2mq0 sin
Ãr
k
m
(t ¡ t0)
!
:
N
Ejemplo 10.12.2 El problema anterior puede ser considerado un caso ge-
neral del siguiente problema. Dado H(q; p) deduzca una transformaci¶on
can¶onica donde el nuevo hamiltoniano sea H(Q; P) = Q:
Soluci¶on. El problema puede reducirse a encontrar una funci¶on genera-
dora que haga el trabajo. Para ello considere una funci¶on generadora F1(q; Q).
Dado que p = @F1=@q el problema se ha reducido a resolver la siguiente ecua-
ci¶on diferencial para F1(q; Q)
H
µ
@F1
@q
; q
¶
= Q :
N
Ejemplo 10.12.3 Considere la transformaci¶on
Q1 = q1 P1 = p1 ¡ 2p2
Q2 = p2 P2 = ¡2q1 ¡ q2
Demuestre directamente que ella es can¶onica y encuentre una funci¶on ge-
neradora. (Goldstein p.431 [7])
Indice
página

198. 184 Transformaciones Can¶onicas.
Soluci¶on. Es f¶acil establecer directamente que la matriz Jacobiano de la
transformaci¶on cumple con
MT
JM = J :
Sin embargo no resulta posible encontrar una funci¶on generadora de tipo 1, 2,
3 ¶o 4. En realidad hay otras posibilidades para de¯nir funciones generadoras
(mixtas). Para ello considere:
p1dq1 + p2dq2 ¡ (P1dQ1 + P2dQ2) ¡ (H ¡ H)dt = dF1 ;
que puede ser escrita como
¡q1dp1 ¡ q2dp2 ¡ P1dQ1 + Q2dP2 ¡ (H ¡ H)dt = dF5 ;
y la funci¶on generadora adecuada es
F5(p1; p2; Q1; P2) = ¡Q1p1 + p2P2 + 2Q1p2 :
N
Ejemplo 10.12.4 (Goldstein) Para la transformaci¶on puntual en un siste-
ma con dos grados de libertad
Q1 = q2
1; Q2 = q1 + q2 ;
encuentre la transformaci¶on m¶as general para P1 y P2 , consistente con que
la transformaci¶on completa sea can¶onica.
Soluci¶on. Aqu¶³
pi = @F2=@qi; Qi = @F2=@Pi ;
con
F2(q1; q2; P1; P2) = q2
1P1 + (q1 + q2)P2 + W(q1; q2) ;
siendo W(q1; q2) una funci¶on arbitraria de q1; q2 . Por lo tanto
P1 =
p1 ¡ p2
2q1
+
1
2q1
(
@W
@q2
¡
@W
@q1
) ;
y
P2 = p2 ¡
@W
@q2
:
Indice
página

199. 10.12 Problemas y Aplicaciones. 185
Note adem¶as que con la elecci¶on particular W = ¡(q1 + q2)3
=3; se tiene que
H =
µ
p1 ¡ p2
2q1
¶2
+ p2 ¡ (q1 + q2)2
=) H = P2
1 + P2 ;
siendo Q1; Q2 ignorables.
N
Ejercicio 10.12.2 Suponga que la forma:
X @2
H
@pi@pj
±pi±pj ¸ 0 ;
para ±pi, ±pj arbitrarios. Demuestre que esa propiedad es conservada si se
efect¶ua una transformaci¶on can¶onica (puntual) de¯nida por la siguiente fun-
ci¶on generadora
F2(q; P) =
X
fi(q)Pi :
Ejercicio 10.12.3 Considere una transformaci¶on can¶onica (in¯nitesimal)
generada por:
F2(q; P) =
X
qiPi ¡ dtH(q; P) ;
siendo H el hamiltoniano del sistema. Demuestre entonces que
qi(t) = Qi(t + dt)
pi(t) = Pi(t + dt)
Ejercicio 10.12.4 Si se hacen dos transformaciones can¶onicas sucesivas,
q; p ! Q; P ! q; p; generadas por F1(q; Q) y G1(Q; q), demuestre que la
funci¶on generadora de la transformaci¶on can¶onica equivalente est¶a dada por:
F(q; q) = F1(q; Q) + G1(Q; q) ;
debiendo eliminarse los Qi mediante las ecuaciones
@F1(q; Q)
@Qj
+
@G1(Q; q)
@Qj
= 0:
Indice
página

200. 186 Transformaciones Can¶onicas.
Ejercicio 10.12.5 Si se hacen dos transformaciones can¶onicas sucesivas
q; p ! Q; P ! q; p; generadas por F2(q; P) y G2(Q; p), demuestre que la
funci¶on generadora de la transformaci¶on can¶onica equivalente est¶a dada por:
F(q; p) = F2(q; P) + G2(Q; p) ¡
X
PiQi ;
debiendo eliminarse los Qi y los Pi mediante las ecuaciones
@F2(q; P)
@Pj
= Qj y
@G2(Q; p)
@Qj
= Pj :
Indice
página

201. Cap¶³tulo 11
M¶etodo de Hamilton Jacobi.
11.1 Soluci¶on de un problema din¶amico.
Una forma general de resolver (en principio) un problema din¶amico lo cons-
tituye el m¶etodo de Hamilton Jacobi. La idea de este m¶etodo consiste en
buscar una transformaci¶on can¶onica de modo que el hamiltoniano transfor-
mado sea nulo, problema reducido que tiene soluciones obvias de las ecuacio-
nes de movimiento. Si nos imaginamos que dicha transformaci¶on can¶onica
es generada por una funci¶on conocida F2(q; P; t) tendremos, por condici¶on
¹H = H(q; p; t) +
@F2
@t
= 0 ; (11.1)
y si adem¶as consideramos (10.19) tendremos
H
µ
q;
@F2
@q
; t
¶
+
@F2
@t
= 0 ; (11.2)
la llamada ecuaci¶on diferencial de Hamilton Jacobi, que permitir¶³a determi-
nar F2.
Si se obtiene la transformaci¶on can¶onica, ya sea resolviendo la ecuaci¶on de
Hamilton Jacobi o por cualquier medio, las nuevas ecuaciones de Hamilton
ser¶an
@ ¹H
@Pi
= 0 = _Qi ; (11.3)
Indice
página

202. 188 M¶etodo de Hamilton Jacobi.
@ ¹H
@Qi
= 0 = ¡ _Pi ; (11.4)
y entonces las nuevas coordenadas y momentos son todos constantes, que
designaremos por: Pi = ®i y Qi = ¯i: En consecuencia, la soluci¶on del
problema original se obtiene mediante la transformaci¶on inversa, es decir, de
pi =
@F2(q; ®; t)
@qi
; ¯i =
@F2(q; ®; t)
@®i
; (11.5)
mediante un despeje algebraico de las coordenadas qi del segundo grupo
de ecuaciones anteriores, que quedar¶an expresadas en t¶erminos de las 2n
constantes ®i; ¯i; las cuales deben ser ¯nalmente evaluadas de acuerdo a
condiciones iniciales conocidas.
11.1.1 Funci¶on principal de Hamilton.
No es en general posible, ni es necesario, encontrar una soluci¶on general"
de la ecuaci¶on de Hamilton Jacobi (11.2), problema complicado debido a su
car¶acter en general no lineal. En realidad es su¯ciente encontrar una soluci¶on
que dependa de n constantes independientes, ninguna de ellas aditiva. Tal
soluci¶on completa", se denomina funci¶on principal de Hamilton S . Los nue-
vos momentos conservados Pi pueden elegirse igual a esas constantes o bien
funciones independientes de ellas. En t¶erminos m¶as precisos se requiere una
soluci¶on de la ecuaci¶on de Hamilton Jacobi que dependa de las coordenadas
qj y de las constantes ®i de modo que
det
µ
@2
S
@®i@qj
¶
6= 0 :
Denotemos entonces la funci¶on principal de Hamilton por
S = S(q; ®; t) : (11.6)
Momentos iguales a las constantes de integraci¶on.
Aqu¶³, aplica lo dicho m¶as arriba. Es decir lo establecido en (11.5) :
pi =
@S(q; ®; t)
@qi
; ¯i =
@S(q; ®; t)
@®i
; (11.7)
Indice
página

203. 11.1 Soluci¶on de un problema din¶amico. 189
y la soluci¶on del problema din¶amico se obtiene invirtiendo el segundo grupo
de ecuaciones de transformaci¶on, despejando, si es posible, las coordenadas
qi(®; ¯; t).
Demostraci¶on de la su¯ciencia.
La demostraci¶on de que una soluci¶on completa de la ecuaci¶on(11.6) junto con
las relaciones (11.7), nos conduce a la soluci¶on de las ecuaciones de Hamilton,
es como sigue. Derivando la segunda de las ecuaciones (11.7) con respecto al
tiempo, se tiene
@2
S
@®i@t
+
X
j
@2
S
@®i@qj
_qj = 0 ; (11.8)
si las primeras de las ecuaciones (11.7) se introducen en la ecuaci¶on de Ha-
milton Jacobi se obtiene
H(q; p; t) +
@S
@t
= 0 ; (11.9)
que, si se deriva respecto de ®i observando que esas constantes entran a trav¶es
de los p solamente, se obtiene
X
j
@H
@pj
@2
S
@qj@®i
+
@2
S
@t@®i
= 0 ; (11.10)
si restamos (11.8) y (11.10) entonces
X
j
µ
_qj ¡
@H
@pj
¶
@2
S
@qj@®i
= 0 ;
sistema lineal homog¶eneo con determinante diferente de cero, por lo que se
ha demostrado que se cumple el primer grupo de ecuaciones de Hamilton, es
decir (la soluci¶on trivial)
_qj ¡
@H
@pj
= 0 :
Ahora, para probar el otro grupo de ecuaciones de Hamilton, derivamos la
segunda de las ecuaciones (11.7) con respecto al tiempo, obteniendo
_pi =
@2
S
@qi@t
+
X
j
@2
S
@qi@qj
_qj ; (11.11)
Indice
página

204. 190 M¶etodo de Hamilton Jacobi.
que puede escribirse
_pi =
@2
S
@qi@t
+
X
j
@2
S
@qi@qj
@H
@pj
: (11.12)
Si la ecuaci¶on de Hamilton Jacobi se deriva respecto a qi; recordando que en
virtud de (11.7), los p son funciones de los q, se obtiene
@2
S
@qi@t
+
@H
@qi
+
X
j
@2
S
@qi@qj
@H
@pj
= 0 ; (11.13)
por lo que, comparando (11.12) con (11.13), se tiene que se cumple el segundo
grupo de ecuaciones de Hamilton, es decir
¡ _pi =
@H
@qi
:
11.1.2 Relaci¶on con la acci¶on S.
Si recordamos la de¯nici¶on de la acci¶on
S(q(t1); q(t2); t1; t2) =
Z t2
t1
³X
pidqi ¡ Hdt
´
;
y la soluci¶on del problema din¶amicos mediante la funci¶on principal de Ha-
milton S(q; ®) donde se cumple que
pi =
@S(q; ®; t)
@qi
;
¯i =
@S(q; ®; t)
@®i
;
0 = H +
@S(q; ®; t)
@t
;
entonces podemos escribir
S(q(t1); q(t2)) =
Z t2
t1
µX @S(q; ®; t)
@qi
dqi +
@S(q; ®; t)
@t
dt
¶
=
Z t2
t1
dS(q; ®; t)dt);
Indice
página

205. 11.1 Soluci¶on de un problema din¶amico. 191
por lo cual la acci¶on est¶a dada por
S(q(t1); q(t2); t1; t2) = S(q(t2); ®; t2) ¡ S(q(t1); ®; t1); (11.14)
debiendo eliminarse los ® mediante las ecuaciones
@S(q(t1); ®; t1)
@®i
=
@S(q(t2); ®; t2)
@®i
:
11.1.3 Función principal de Hamilton.
Si el hamiltoniano no depende del tiempo en forma expl¶³cita H = H(q; p)
es posible separar el tiempo de la ecuaci¶on de Hamilton Jacobi. Para ello
hagamos
S(q; ®; t)) = W(q; ®) ¡ ®1t ;
as¶³ resulta que W, la funci¶on caracter¶³stica de Hamilton, satisface la siguiente
ecuaci¶on de Hamilton Jacobi independiente del tiempo
H
µ
q;
@W
@q
¶
= ®1 : (11.15)
Una soluci¶on de esta ecuaci¶on conteniendo n constantes, ninguna de ellas
aditiva siendo una de ellas ®1 se denomina funci¶on caracter¶³stica de Hamilton.
Considerada como una funci¶on generadora F2 con nuevos momentos iguales
a las constante ®i, la transformaci¶on can¶onica que ella genera ser¶a
pi =
@W(q; ®)
@qi
; Qi =
@W(q; ®)
@®i
; ¹H = H = ®1 ; (11.16)
y las ecuaciones de Hamilton son
_Qi =
@H
@®i
=
½
1 si i = 1
0 si i > 1
;
_®i = ¡
@H
@Qi
= 0 :
O sea los nuevos momenta son todos constantes y s¶olo una de las coordenadas
var¶³a y linealmente con el tiempo. Es decir
®i = constante,
Indice
página

206. 192 M¶etodo de Hamilton Jacobi.
Qi =
½
t + t0 si i = 1
¯i constantes si i > 1,
Arbitrariedad en la elecci¶on de los nuevos momentos.
En el m¶etodo de Hamilton Jacobi los nuevos momentos son constantes debido
a que el nuevo hamiltoniano o es nulo o depende s¶olo de los momentos. Si se
encuentra la funci¶on principal o la caracter¶³stica que dependa de n constantes
independientes, es posible escoger como nuevos momentos a esas constantes
o cualquier conjunto de constantes independientes que podemos imaginar
funciones de las anteriores. Para el caso de la funci¶on caracter¶³stica, el nuevo
hamiltoniano es entonces dependiente de los momentos a trav¶es de
H
µ
q;
@W
@q
¶
= ®1(P) ; (11.17)
y las ecuaciones de Hamilton ser¶an
_Qi =
@H
@Pi
=
@®1
@Pi
;
_Pi = ¡
@H
@Qi
= 0 ;
los nuevos momenta Pi son constantes y ser¶an denotados por °i, y las nuevas
coordenadas var¶³an linealmente con el tiempo
Qi(t) =
@H
@Pi
t + Qi(0) =
@®1(°)
@°i
t + Qi(0) ;
Pi = °i ;
y el problema din¶amico es resuelto invirtiendo (despejando q(t))
Qi(t) =
@®1(°)
@°i
t + Qi(0) =
@W(q; ®(°))
@°i
; H = H = ®1(°) :
(11.18)
Indice
página

207. 11.1 Soluci¶on de un problema din¶amico. 193
11.1.4 El oscilador arm¶onico.
A modo de ejemplo, se presenta el caso del oscilador arm¶onico con hamilto-
niano dado por
H =
p2
2m
+
1
2
kq2
: (11.19)
Para este caso la ecuaci¶on de Hamilton Jacobi para la funci¶on principal de
Hamilton est¶a dada por
1
2m
µ
@S
@q
¶2
+
1
2
kq2
+
@S
@t
= 0 ;
de la cual se puede separar el tiempo introduciendo la funci¶on Caracter¶³stica
W(q; ®) que satisface
1
2m
µ
@W
@q
¶2
+
1
2
kq2
= ® ;
siendo S = W ¡ ®t. De all¶³ pueden obtenerse
² La funci¶on caracter¶³stica y la transformaci¶on que ella genera
W =
p
mk
(
®
k
sin ¡1
Ã
q
p
2®=k
!
+
1
2
q
r
2®
k
¡ q2
)
;
y si colocamos !2
= k=m puede escribirse
W =
m!
2
(
2®
m!2
sin ¡1
(q) + q
r
2®
m!2
¡ q2
)
; (11.20)
y la transformaci¶on que ella genera , con P = ®; es
q =
r
2P
m!2
sin (!Q) ; (11.21)
p =
p
2mP cos (!Q) ; (11.22)
H = P:
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página

208. 194 M¶etodo de Hamilton Jacobi.
² La funci¶on principal de Hamilton. Similarmente, se encuentra
S =
m!
2
(
2®
m!2
arcsin
Ãr
m!2
2®
q
!
+ q
r
2®
m!2
¡ q2
)
¡ ®t ; (11.23)
q =
r
2®
m!2
sin (!(Q + t)) ;
p =
p
2m® cos (!(Q + t)) ;
H = 0 :
Debemos remarcar que las transformaciones se~naladas son can¶onicas
independientemente de que se trate o no del hamiltoniano del oscilador
arm¶onico, pero es en ese caso donde ellas tienen mayor utilidad.
² La acci¶on S. En el cap¶itulo (8), (9.20) se estableci¶o el resultado
S(q; q0; t) =
m!
2 sin !t
(q2
cos !t + q2
0 cos !t ¡ 2q0q);
resultando ilustrativo replantearlo utilizando la funci¶on principal y la
relaci¶on (11.14). Se tiene
S =
m!
2
(
2®
m!2
arcsin
Ãr
m!2
2®
q
!
+ q
r
2®
m!2
¡ q2
)
¡ ®t
¡
(
2®
m!2
arcsin
Ãr
m!2
2®
q0
!
+ q0
r
2®
m!2
¡ q2
0
)
;
debi¶endose eliminar ® mediante
arcsin
r
m!2
2®
q ¡ !t = arcsin
r
m!2
2®
q0:
El ¶algebra es tediosa pero se obtiene
2®
m!2
= q2
0 +
(q ¡ (cos !t) q0)2
sin2
!t
;
y de all¶i como era de esperar
S(q; q0; t) =
m!
2 sin !t
¡
q2
cos !t + q2
0 cos !t ¡ 2qq0
¢
:
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página

209. 11.2 Variables de Acci¶on Angular. 195
11.2 Variables de Acci¶on Angular.
11.2.1 Sistemas peri¶odicos con un grado de libertad.
Considere un sistema descrito por las variables can¶onicas q; p que recobran
sus valores cada vez que transcurre un tiempo llamado periodo T del sistema.
Supondremos adem¶as que se trata de un sistema peri¶odico aut¶onomo (con
hamiltoniano independiente del tiempo).
La ecuaci¶on de Hamilton Jacobi independiente del tiempo para la funci¶on
caracter¶³stica W es
H
µ
@W
@q
; q
¶
= ® :
Como se explic¶o, el nuevo momento P puede elegirse como alguna funci¶on
de ®: Se ver¶a la conveniencia de de¯nir como nuevo momento, la llamada
variable de acci¶on J
J =
I
p(q; ®)dq ; (11.24)
siendo la integral realizada sobre un periodo del movimiento. As¶³ entonces
® = H = ®(J) = H(J): La correspondiente nueva coordenada o variable
angular ser¶a denotada por £: La transformaci¶on generada por la funci¶on
caracter¶³stica W ser¶a
p =
@W(q; J)
@q
; (11.25)
£ =
@W(q; J)
@J
:
Las ecuaciones de Hamilton ser¶an
_J = ¡
@H
@£
= ¡
@H(J)
@£
= 0 ;
_£ =
@H
@J
=
dH(J)
dJ
= constante : (11.26)
Es decir J es constante y £ varia linealmente con el tiempo. Lo importante
del formalismo es que en el cambio de tiempo de un periodo T, el cambio en
£ es la unidad. En efecto, considere
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página

210. 196 M¶etodo de Hamilton Jacobi.
4£ =
I
@£
@q
dq =
I
@
@q
@W(q; J)
@J
dq ;
o sea
4£ =
I
@
@J
@W(q; J)
@q
dq =
@
@J
I
pdq = 1 ;
pero de acuerdo a (11.26) dicho cambio es
4£ = H0
(J)T = 1 :
Es decir, el per¶³odo del movimiento est¶a dado en t¶erminos de una derivada
del hamiltoniano
T =
1
H0(J)
: (11.27)
Ejemplo 11.2.1 Determine las variables de acci¶on angular para el caso par-
ticular del oscilador arm¶onico, con hamiltoniano H = p2
=2m + kq2
=2 = ®:
Soluci¶on. Tendremos
J =
I
pdq =
I
§
p
2m® ¡ mkq2dq ;
como los puntos de retorno (donde p = 0) son q1;2 = §
p
2®=k, la integral
puede reducirse a
J = 4
q1Z
0
p
2m® ¡ mkq2dq ;
que puede calcularse
J = 2¼
®
!
; con ! =
r
k
m
;
de all¶³, resultar¶a
H =
J!
2¼
=) T =
1
H0(J)
=
2¼
!
:
N
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página

211. 11.3 Teor¶³a de perturbaci¶on. 197
11.3 Teor¶³a de perturbaci¶on.
11.3.1 Introducci¶on.
En la soluci¶on del problema de los dos cuerpos, se demuestra que cada uno
de los cuerpos describe una elipse (m¶as generalmente una c¶onica) en torno
de su centro de masas, o tambi¶en, que cada uno describe una elipse en torno
del otro. Cuando un tercer cuerpo es involucrado, ninguno de los cuerpos
describe una c¶onica. Es decir, la ecuaci¶on de la c¶onica no es m¶as una soluci¶on
de las ecuaciones de movimiento. Sin embargo, es conocido desde mucho
tiempo que las ¶orbitas de los planetas son aproximadamente elipses, a pesar
de las perturbaciones que se ejercen entre s¶³. Las constantes que de¯nen las
elipses no son exactamente las mismas cada a~no, pero var¶³an poco. As¶³, en el
problema de los tres cuerpos, en particular el sistema Sol, Tierra, Luna, fue
analizado considerando que las constantes del problema de dos cuerpos, son
variables en el problema de los tres cuerpos. Fue Lagrange quien estableci¶o
las ideas b¶asicas del m¶etodo que se describe a continuaci¶on, sin embargo su
m¶etodo tiene limitaciones en especial cuando es aplicado al caso de la Luna.
11.3.2 El m¶etodo de transformaciones can¶onicas.
Supongamos que un problema din¶amico con hamiltoniano H0 ha sido resuelto
utilizando el m¶etodo de la funci¶on principal de Hamilton S0: Como se sabe,
los nuevos momentos ® y coordenadas ¯ son constantes. Si el hamiltoniano
tiene un t¶ermino adicional, que llamaremos perturbaci¶on, el siguiente m¶etodo
permite aproximar la soluci¶on. La transformaci¶on generada por S0 sigue
siendo can¶onica aunque el hamiltoniano se altere. Sin embargo no m¶as ser¶an
® y ¯ constantes. Su evoluci¶on temporal la dar¶a la perturbaci¶on 4H.
La funci¶on S0 genera la transformaci¶on
S0 : (p; q) ! (®; ¯) :
Llamaremos ®; ¯ los nuevos momento y coordenadas, ahora posiblemente
variables. El nuevo hamiltoniano ser¶a
H = H0 + 4H +
@S0
@t
;
pero H0 + @S0=@t = 0; por lo tanto
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página

212. 198 M¶etodo de Hamilton Jacobi.
H = 4H(®; ¯; t) ;
de donde se deduce que las ecuaciones din¶amicas que satisfacen ®; ¯ son
d®i
dt
= ¡
@4H
@¯i
;
d¯i
dt
=
@4H
@®i
:
La primera aplicaci¶on de importancia de este m¶etodo, fue llevada a cabo
por Charles Delaunay en 1846 para resolver el problema del movimiento
Lunar, trabajo que le signi¯c¶o la publicaci¶on de dos vol¶umenes de alrededor
de 900 p¶aginas cada uno, en los a~nos 1860 y 1867. Para tener una idea,
Delaunay llev¶o a cabo 505 transformaciones can¶onicas, eligiendo t¶erminos
de la perturbaci¶on a ser eliminados, de acuerdo a su intuici¶on respecto a la
importancia de cada uno. M¶as a¶un, retuvo 461 t¶erminos de la expansi¶on en
serie de Fourier de la perturbaci¶on, conservando cada n¶umero racional, siendo
algunos coe¯cientes polinomios en los varios par¶ametros peque~nos, algunos
de los cuales ocupaban varias p¶aginas al ser escritos. Trabajo que no ha sido
f¶acil de reproducir ni siquiera usando computadores modernos. ([3],[4])
11.4 El p¶endulo simple.
Estudiaremos el p¶endulo simple cuyo hamiltoniano escribiremos como
H =
p2
2ml2
+ mgl(1 ¡ cos(Á)) ;
primero en la forma usual y luego mediante teor¶³a de perturbaci¶on. Como
_Á =
p
ml2
;
E =
1
2
ml2
( _Á)2
+ mgl(1 ¡ cos(Á)) ;
con puntos de retorno satisfaciendo
1 ¡ cos(Á1) =
E
mgl
;
por lo que el periodo estar¶a dado por
Indice
página

213. 11.4 El p¶endulo simple. 199
T = 4
Á1Z
0
dÁ
_Á
= 4
Á1Z
0
dÁ
q
2E
ml2 ¡ 2g
l
(1 ¡ cos(Á))
;
que puede ser reducido a una funci¶on el¶³ptica completa K(k):
T = 4
s
l
g
¼
2Z
0
dÁ
q
1 ¡ E
2mgl
sin2
(Á)
;
considerando que la funci¶on el¶³ptica K(k) tiene la siguiente expansi¶on para
(k2
< 1) ;
K(k) =
¼
2Z
0
dÁ
p
1 ¡ k2 sin2
(Á)
=
¼
2
+
1
2 £ 1!
k2 ¼
4
+
1 ¢ 3
22 £ 2!
k4 6¼
8
+ ¢ ¢ ¢
se obtiene que el periodo del p¶endulo simple depende de la energ¶³a (o de la
amplitud), a trav¶es de
T = 4
s
l
g
¼
2
µ
1 +
1
2 £ 1!
E
2mgl
1
2
+
1 ¢ 3
22 £ 2!
(
E
2mgl
)2 6
4
+ ¢ ¢ ¢
¶
:
11.4.1 Teor¶³a de perturbaci¶on.
El hamiltoniano del p¶endulo simple se puede expandir, para oscilaciones no
muy grandes, en la forma
H =
p2
2ml2
+
1
2
mglÁ2
¡
1
4!
mglÁ4
+ ¢ ¢ ¢ ;
es decir como un oscilador arm¶onico m¶as una perturbaci¶on
4H = ¡
1
4!
mglÁ4
:
Si elegimos la funci¶on principal asociada a H0 tal que el nuevo momento es
la variable de acci¶on J, y llamando I = ml2
; !0 =
p
l=g, tenemos
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página

214. 200 M¶etodo de Hamilton Jacobi.
S = W ¡
!0J
2¼
t ;
Á =
r
J
¼I!0
sin(!0t + 2¼¯) ;
p =
r
JI!0
¼
cos(!0t + 2¼¯) :
Naturalmente ahora el nuevo momento o acci¶on J y la nueva coordenada
¯ no son necesariamente constantes. Expresando 4H en t¶erminos de estas
variables se obtiene
4H = ¡
1
4!
mglÁ4
= ¡
1
24¼2
J2
ml2
sin4
(!0t + 2¼¯) ;
resultando las siguientes ecuaciones (de Hamilton) de movimiento para J; ¯
d¯
dt
=
@4H
@J
= ¡
1
12¼2
J
ml2
sin4
(!0t + 2¼¯) ;
dJ
dt
= ¡
@4H
@¯
=
1
3¼
J2
ml2
sin3
(!0t + 2¼¯) cos(!0t + 2¼¯) :
Estas ecuaciones son exactas pero complicadas. La teor¶³a de perturbaci¶on
coloca en el lado derecho los valores no perturbados: J > 0; ¯ = 0; por
simplicidad. As¶³, en primer orden
d¯1
dt
= ¡
1
12¼2
J0
ml2
sin4
(!0t) ;
dJ1
dt
=
1
3¼
J2
0
ml2
sin3
(!0t) cos(!0t) ;
derivadas que son, en primer orden, peri¶odicas. Sus valores promedios en un
periodo no perturbado (asociado a !0) son
¿
d¯1
dt
À
= ¡
1
32¼2
J0
ml2
;
¿
dJ1
dt
À
= 0 ;
de modo que si aproximamos m¶as a¶un
¯1 = ¡
1
32¼2
J0
ml2
t; J1 = J0 ;
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página

215. 11.5 Invariantes Adiab¶aticos. 201
se obtiene como soluci¶on a este orden
Á =
r
J0
¼I!0
sin
µ
!0t + 2¼
µ
¡
J0t
32¼2ml2
¶¶
;
de modo que el cambio en la frecuencia respecto al p¶endulo no perturbado
resulta ser
! ¡ !0
!0
= ¡
E
8mgl
;
que corresponde a la misma correcci¶on encontrada en primer orden usando
funciones el¶³pticas
T = 4
s
l
g
¼
2
µ
1 +
E
8mgl
¶
:
11.5 Invariantes Adiab¶aticos.
Consideremos un sistema peri¶odico con un grado de libertad descrito por las
variables de acci¶on angular J , £: Imaginemos adem¶as que el hamiltoniano
depende de un par¶ametro a el cual, de pronto, se vuelve dependiente del
tiempo, pero que su variaci¶on es muy peque~na durante cada periodo no
perturbado. Es lo que llamaremos una variaci¶on adiab¶atica del par¶ametro.
As¶³ tenemos
H = H(J; a) : (11.28)
La transformaci¶on
W0 : (p; q) ! (J; £) ; (11.29)
generada por W sigue siendo can¶onica aunque el par¶ametro a sea funci¶on del
tiempo. Sin embargo si la transformaci¶on contiene el par¶ametro, el nuevo
hamiltoniano ser¶a distinto y posiblemente J y £ variar¶an de otra forma. Por
razones de la periodicidad en £; conviene usar como funci¶on generadora de
la transformaci¶on a la funci¶on (tipo F1)
W¤
(q; £; a) = W(q; J; a) ¡ £J ; (11.30)
de modo que el nuevo hamiltoniano ser¶a
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216. 202 M¶etodo de Hamilton Jacobi.
H = H(J; a) +
@W¤
@t
= H(J; a) +
da
dt
@W¤
@a
; (11.31)
y las correspondientes ecuaciones de Hamilton ser¶an
dJ
dt
= ¡
@H
@£
= ¡
da
dt
@
@£
@W¤
@a
; (11.32)
d£
dt
=
@H
@J
=
@H
@J
+
da
dt
@
@J
@W¤
@a
; (11.33)
que son exactas. Si recordamos que W =
R
pdq, vemos que su variaci¶on en un
periodo no perturbado es justamente J: El cambio de la variable angular en
el periodo lo podemos tomar 1, de manera que W¤
no cambia en el periodo.
Se concluye entonces que W¤
es una funci¶on peri¶odica para cambios enteros
de £; as¶³ tambi¶en lo ser¶an sus derivadas, por lo cual podemos expandir
@W¤
(J; a; £)
@a
=
1X
n=0
An(J; a)e2i¼n£
;
@
@£
@W¤
(J; a; £)
@a
=
1X
n=1
2i¼nAn(J; a)e2i¼n£
;
de manera que los valores promedios en un periodo no perturbado ser¶an
D
_J
E
= ¡
1
T
I
da
dt
@
@£
@W¤
@a
dt
' ¡
1
T
da
dt
I
@
@£
@W¤
@a
dt + O
µ
d2
a
dt2
¶
= O
µ
d2
a
dt2
¶
;
lo que de¯ne a J como un invariante adiab¶atico.
Ejemplo del oscilador arm¶onico.
Para el oscilador arm¶onico (caso acad¶emico) imaginamos que de pronto ! se
torna variable en forma adiab¶atica. El hamiltoniano es
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página

217. 11.5 Invariantes Adiab¶aticos. 203
H =
p2
2m
+
1
2
kq2
=
p2
2m
+
1
2
m!2
q2
; !2
=
k
m
;
las ecuaciones que satisfacen J; £ son (demu¶estrelo)
_J = ¡
_!
!
J cos(4¼£);
_£ =
!
2¼
+
_!
4¼!
sin(4¼£);
que son exactas, y pueden aproximarse en la forma indicada en la secci¶on
anterior.
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página

218. 204 M¶etodo de Hamilton Jacobi.
Indice
página

219. Cap¶³tulo 12
Sistemas continuos.
12.1 Introducci¶on.
En el cap¶³tulo anterior se explic¶o el m¶etodo para analizar oscilaciones pe-
que~nas de un sistema de un n¶umero ¯nito de grados de libertad. Cuando el
n¶umero de grados de libertad se hace muy grande, aunque en principio no
habr¶³a di¯cultades, la resoluci¶on de las ecuaciones de valores propios se torna
poco pr¶actica. Sin embargo hay casos, en que debido a ciertas simetr¶³as, el
problema puede resolverse para un n¶umero arbitrario de grados de libertad.
Pondremos atenci¶on en algunos casos particulares de soluci¶on simple y luego
generalizaremos los resultados a sistemas con in¯nitos grados de libertad, los
sistemas cont¶³nuos.
12.2 Oscilaciones longitudinales.
Considere un sistema unidimensional constituido por un conjunto de N part¶³culas
de igual masa que m que est¶an unidas en l¶³nea recta por resortes de cons-
tante el¶astica K; y largo natural a: Si denotamos por qi las desviaciones
longitudinales en torno a las posiciones de equilibrio, ver ¯gura (12.1).
El lagrangiano del sistema es
L =
X
i
1
2
m _q2
i ¡
X
i
1
2
K(qi ¡ qi¡1)2
;
Indice
página

220. 206 Sistemas continuos.
q
i
..... .....
m m m
Figura 12.1: Osciladores acoplados
de donde se deducen las ecuaciones de movimiento para cada masa
Äqj =
K
m
(qj+1 + qj¡1 ¡ 2qj); j = 1; 2; : : : ; N:
12.2.1 Extremos ¯jos (a).
Para el caso en que las part¶³culas de los extremos est¶an ¯jas tomaremos
q0; qN+1 = 0: Podemos adem¶as suponer dependencias temporales de la forma
qj(t) = Qjei ! t
resultando para las constante Qj las ecuaciones lineales
­2
(Qj+1 + Qj¡1 ¡ 2Qj) = ¡!2
Qj ; con ­2
=
K
m
; (12.1)
­2
Qj¡1 + (!2
¡ 2­2
)Qj + ­2
Qj+1 = 0 (12.2)
un sistema de ecuaciones homog¶eneo que admite soluci¶on distinta de la trivial
solo s¶³ el determinante de la matriz de los coe¯cientes es cero. Si hacemos
para simpli¯car
¸ =
2­2
¡ !2
­2
;
tenemos que
¡Qj¡1 + ¸Qj ¡ Qj+1 = 0
el sistema de ecuaciones puede escribirse
¸Q1 ¡ Q2+ = 0
¡Q1 + ¸Q2 ¡ Q3 = 0
...
¡Qj¡1 + ¸Qj ¡ Qj+1 = 0
¡QN¡1 + ¸QN = 0;
Indice
página

221. 12.2 Oscilaciones longitudinales. 207
es decir los ¸ satisfacen
det
2
6
6
6
6
6
4
¸ ¡1 0 ¢ ¢ ¢ 0
¡1 ¸ ¡1 0
0 ¡1 ¸
...
...
... ¡1
0 ¢ ¢ ¢ 0 ¡1 ¸
3
7
7
7
7
7
5
= 0:
Si llamamos
DN = det
2
6
6
6
6
6
4
¸ ¡1 0 ¢ ¢ ¢ 0
¡1 ¸ ¡1 0
0 ¡1 ¸ ¡1
...
... ¡1
... ¡1
0 ¢ ¢ ¢ 0 ¡1 ¸
3
7
7
7
7
7
5
;
podemos obtener una relaci¶on de recurrencia si desarrollamos el determinante
de acuerdo a
DN = ¸DN¡1 + det
2
6
6
6
4
¡1 ¡1 0
0 ¸ ¡1
...
... ¡1
... ¡1
0 0 ¡1 ¸
3
7
7
7
5
= ¸DN¡1 ¡ DN¡2;
siendo
D1 = ¸;
D2 = ¸2
¡ 1:
La relaci¶on de recurrencia puede resolverse suponiendo
DN = ApN
;
que conduce a
pN
= ¸pN¡1
¡ pN¡2
;
p2
¡ ¸p + 1 = 0;
Indice
página

222. 208 Sistemas continuos.
de donde
p =
¸
2
§ i
s
1 ¡
¸2
4
= e§iÁ
;
con
cos Á =
¸
2
:
de modo que
DN = A1eiNÁ
+ A2e¡iNÁ
:
Si consideramos los valores para D1 = ¸;y D2 = ¸2
¡ 1 se obtiene
¸ = 2 cos Á = A1eiÁ
+ A2e¡iÁ
;
¸2
¡ 1 = 4 cos2
Á ¡ 1 = A1e2iÁ
+ A2e¡2iÁ
:
que puede resolverse para A1 y A2 obteniendo
2 cos ÁeiÁ
= A1e2iÁ
+ A2;
4 cos2
Á ¡ 1 = A1e2iÁ
+ A2e¡2iÁ
:
A2 = ¡
e¡iÁ
2i sin Á
A1 =
eiÁ
2i sin Á
;
y ¯nalmente
DN =
eiÁ
2i sin Á
eiNÁ
¡
e¡iÁ
2i sin Á
e¡iNÁ
=
sin(N + 1)Á
sin Á
:
Entonces, DN = 0 implica
Á =
n¼
N + 1
con n = 1; 2; :::; N:
Indice
página

223. 12.2 Oscilaciones longitudinales. 209
Las frecuencias propias resultan entonces que satisfacen
2­2
¡ !2
­2
= ¸ = 2 cos
n¼
N + 1
;
entonces
!2
= 2­2
(1 ¡ cos
n¼
N + 1
)
= 4­2
sin2 n¼
2(N + 1)
;
y ¯nalmente
!n = 2­ sin
n¼
2(N + 1)
con n = 1; 2; :::; N:
12.2.2 Condiciones peri¶odicas (b).
Aqu¶³ tomaremos q0 = qN+1, q¡1 = qN de modo que tendremos
¡QN + ¸Q0 ¡ Q1 = 0
¡Q0 + ¸Q1 ¡ Q2 = 0
¡Q1 + ¸Q2 ¡ Q3 = 0
...
¡Qj¡1 + ¸Qj ¡ Qj+1 = 0
¡QN¡1 + ¸QN ¡ Q0 = 0
es decir las frecuencias admisibles satisfacen
det
2
6
6
6
6
6
4
¸ ¡1 ¢ ¢ ¢ ¡1
¡1 ¸ ¡1 0
0 ¡1 ¸ ¡1
...
...
... ¡1
¡1 0 ¢ ¢ ¢ ¡1 ¸
3
7
7
7
7
7
5
N+1
= 0;
que es m¶as di¯cil de resolver.
Indice
página

224. 210 Sistemas continuos.
12.2.3 Soluci¶on alternativa
Una alternativa sin embargo es encontrar soluciones no triviales de (12.1).
Para ello suponga con Á por determinar
Qj = Cei (j Á)
:
Si se reemplaza en el sistema de ecuaciones se tiene que
­2
ei (j¡1) Á
+ (!2
¡ 2­2
)ei (j Á)
+ ­2
ei (j+1) Á
= 0;
de donde se obtiene
­2
e¡i Á
+ (!2
¡ 2­2
) + ­2
ei Á
= 0;
o sea
!2
¡ 2­2
+ 2­2
cos Á = 0
entonces
! = 2­ sin
µ
Á
2
¶
:
y
Qj = Cei (j Á)
:
Debe adem¶as tenerse que
Q0 = QN+1
o sea
ei (N+1) Á
= 1;
por lo cual, las soluciones admisibles Á son
Á =
2¼n
N + 1
; con n = 0; 1; 2; :::; N:
luego
!n = 2­ sin
µ
¼n
N + 1
¶
; con n = 1; 2; :::; N:
Indice
página

225. 12.3 Oscilaciones transversales. 211
yi
T
T
ii
i
i+1
xiii
Figura 12.2:
12.3 Oscilaciones transversales.
Consideremos ahora part¶³culas de igual masa m unidas por resortes sin ma-
sa de la misma longitud natural y constante el¶astica k de modo que en la
situaci¶on de equilibrio ellas est¶an en l¶³nea recta, y los resortes sometidos a
una tensi¶on igual ¿: Si las part¶³culas se desplazan poco lateralmente, estar¶an
sometidos a fuerzas de modo que la segunda ley de Newton conduce a
mÄyi = Ti+i sin µi+1 ¡ Ti sin µi;
mÄxi = Ti+i cos µi+1 ¡ Ti cos µi
si no hay desplazamientos longitudinales y los transversales son peque~nos,
podemos aproximar, para ¶angulos peque~nos
mÄyi = Ti+i sin µi+1 ¡ Ti sin µi;
0 = Ti+i ¡ Ti
de modo que
Ti = ¿;
mÄyi = ¿(sin µi+1 ¡ sin µi)
¼ ¿(
yi+1 ¡ yi
a
¡
yi ¡ yi¡1
a
)
de modo que tenemos como ecuaci¶on de movimiento aproximada
Äyi =
¿
ma
(yi+1 + yi¡1 ¡ 2yi):
Indice
página

226. 212 Sistemas continuos.
Si los extremos est¶an ¯jos, tomaremos y0 = yN+1 = 0. Adem¶as si suponemos
para los modos normales de oscilaci¶on
yj = Cjei!t
;
tenemos que
(2 ¡
ma!2
¿
)Cj ¡ Cj+1 ¡ Cj¡1 = 0:
Si llamamos ahora
¸ = 2 ¡
ma!2
¿
;
tenemos el mismo problema, es decir un sistema de la forma
¡Cj¡1 + ¸Cj ¡ Cj+1 = 0;
que m¶as expl¶³citamente lee
¸C1 ¡ C2 = 0
¡C1 + ¸C2 ¡ C3 = 0
...
¡Cj¡1 + ¸Cj ¡ Cj+1 = 0
¡CN¡1 + ¸CN = 0
de modo que
det
2
6
6
6
6
6
4
¸ ¡1 0 ¢ ¢ ¢ 0
¡1 ¸ ¡1 0
0 ¡1 ¸
...
...
... ¡1
0 ¢ ¢ ¢ 0 ¡1 ¸
3
7
7
7
7
7
5
=
sin(N + 1)Á
sin Á
= 0;
con cos Á = ¸=2 de modo que
¸ = 2 cos
n¼
N + 1
= 2 ¡
ma!2
¿
;
de modo que
!2
n =
¿
m
2(1 ¡ cos
n¼
N + 1
);
!n =
r
4¿
m
sin
n¼
2(N + 1)
:
Indice
página

227. 12.4 L¶³mite continuo. 213
12.4 L¶³mite continuo.
Deseamos estudiar lo que sucede si hacemos N ! 1, a ! 0, y las masas
tender a cero de modo que
m
a
! ¾;
siendo ¾ una constante llamada la densidad lineal de masa. La ecuaci¶on de
movimiento
Äyi =
¿
ma
(yi+1 + yi¡1 ¡ 2yi);
pasar¶a a ser dependiente de una variable continua en la posici¶on
yi ! y(x; t);
siendo
yi+1 ! y(x + a; t) = y(x; t) +
@y(x; t)
@x
a +
1
2
@2
y(x; t)
@x2
a2
;
yi¡1 ! y(x ¡ a; t) = y(x; t) ¡
@y(x; t)
@x
a +
1
2
@2
y(x; t)
@x2
a2
;
de modo que obtenemos
@2
@t2
y(x; t) =
¿
ma
@2
y(x; t)
@x2
a2
=
a¿
m
@2
y(x; t)
@x2
;
y ¯nalmente, la llamada ecuaci¶on de onda para la cuerda el¶astica con masa
uniforme:
@2
y(x; t)
@t2
¡
¿
¾
@2
y(x; t)
@x2
= 0:
12.5 Soluciones de la ecuaci¶on de onda.
La ¶ultima ecuaci¶on puede escribirse
@2
y(x; t)
@t2
¡ v2 @2
y(x; t)
@x2
= 0: (12.3)
Indice
página

228. 214 Sistemas continuos.
I Teorema 12.1
Las soluciones de la ecuaci¶on de onda (12.3) son
y(x; t) = F(x + vt) + G(x ¡ vt);
con F y G funciones arbitrarias de una variable.
Demostracion 1
Si cambiamos a variables ³ = x + vt, Ã = x ¡ vt podemos escribir
@
@x
=
@³
@x
@
@³
+
@Ã
@x
@
@Ã
=
@
@³
+
@
@Ã
@
@t
=
@³
@t
@
@³
+
@Ã
@t
@
@Ã
= v
@
@³
¡ v
@
@Ã
;
y tambi¶en
@2
@x2
=
@2
@³2 +
@2
@Ã2 + 2
@2
@³@Ã
@2
@t2
= v2 @2
@³2 + v2 @2
@Ã2 ¡ 2v2 @2
@³@Ã
;
de modo que
@2
@t2
¡ v2 @2
@x2
= 4v2 @2
@³@Ã
:
Entonces, en estas variables, la ecuaci¶on de onda es
@2
y
@³@Ã
= 0;
que es trivial integrar obteniendo
@y
@³
= f(³);
y
y = F(³) + G(Ã)
= F(x + vt) + G(x ¡ vt):
Indice
página

229. 12.5 Soluciones de la ecuaci¶on de onda. 215
Las soluciones anteriores corresponden a una forma invariable que se pro-
paga hacia la derecha G(x ¡ vt) o hacia la izquierda F(x + vt) con velocidad
constante v =
p
¿=¾: Sin embargo en una cuerda, debemos hacer considera-
ciones adicionales pues debemos satisfacer por ejemplo que y(0; t) = y(L; t) =
0 en el caso de extremos ¯jos.
12.5.1 Condiciones de frontera.
Supongamos que queremos resolver la ecuaci¶on de onda sujeta a las condi-
ciones anteriores de extremos ¯jos y(0; t) = y(L; t) = 0 .
M¶etodo de separaci¶on de variables.
Suponga una soluci¶on de la forma
y(x; t) = X(x)G(t);
entonces si se sustituye se obtiene
X(x)G00
(t) ¡ v2
X00
(x)G(t) = 0
o bien
G00
(t)
G(t)
= v2 X00
(x)
X(x)
;
de modo que cualquiera de los lados no puede ser funci¶on ni de x ni de t, por
lo tanto
G00
(t)
G(t)
= v2 X00
(x)
X(x)
= ¡!2
;
de donde el signo se ha elegido de modo de tener soluciones oscilatorias
G(t) = Ce§i!t
y
X(x) = De§ikx
donde hemos llamado
k =
!
v
:
Para satisfacer las condiciones de frontera debemos tomar
X(x) = D sin kx;
Indice
página

230. 216 Sistemas continuos.
con
sin kL = 0;
de modo que hay un n¶umero discreto de valores de k permitidos, es decir
k =
n¼
L
con n = 1; 2; 3 ¢ ¢ ¢
de ese modo, la soluci¶on general, que satisface las condiciones de frontera es
y(x; t) =
1X
n=1
(D+
n ein¼
L
vt
+ D¡
n e¡in¼
L
vt
) sin
n¼x
L
:
12.5.2 Condiciones iniciales.
La determinaci¶on completa de los coe¯cientes Dn requiere de conocer la forma
inicial del hilo y su velocidad inicial, es decir supondremos conocidos
y(x; 0) = F(x);
@y(x; t)
@t
¯
¯
¯
¯
t=0
= V (x):
Considerando esto se obtiene
F(x) =
1X
n=1
(D+
n + D¡
n ) sin
n¼x
L
;
V (x) =
1X
n=1
i
n¼
L
v(D+
n ¡ D¡
n ) sin
n¼x
L
:
Pero las funciones sin n¼x=L son ortogonales en el intervalo (0; L) de modo
que podemos despejar
D+
n + D¡
n =
2
L
Z L
0
F(x) sin
n¼x
L
dx
D+
n ¡ D¡
n = ¡
2i
n¼v
Z L
0
V (x) sin
n¼x
L
dx;
Indice
página

231. 12.5 Soluciones de la ecuaci¶on de onda. 217
de donde
D+
n =
1
L
Z L
0
F(x) sin
n¼x
L
dx ¡
i
n¼v
Z L
0
V (x) sin
n¼x
L
dx
=
1
L
Fn ¡
i
n¼v
Vn
D¡
n =
1
L
Z L
0
F(x) sin
n¼x
L
dx +
i
n¼v
Z L
0
V (x) sin
n¼x
L
dx
=
1
L
Fn +
i
n¼v
Vn;
donde hemos llamado
Fn =
Z L
0
F(x) sin
n¼x
L
dx
Vn =
Z L
0
V (x) sin
n¼x
L
dx:
As¶³ ¯nalmente la soluci¶on es
y(x; t) =
1X
n=1
((
1
L
Fn ¡
i
n¼v
Vn)ein¼
L
vt
+
(
1
L
Fn +
i
n¼v
Vn)e¡in¼
L
vt
) sin
n¼x
L
;
que se reduce a
y(x; t) =
2
L
1X
n=1
(Fn cos
n¼
L
vt +
L
n¼v
Vn sin
n¼
L
vt) sin
n¼x
L
: (12.4)
Caso particular, la cuerda parte del reposo.
Para este caso, lo anterior se reduce a
y(x; t) =
2
L
1X
n=1
Fn cos
n¼vt
L
sin
n¼x
L
;
Fn =
Z L
0
F(x) sin
n¼x
L
dx
Indice
página

232. 218 Sistemas continuos.
Ejercicio 12.5.1 Demuestre que el resultado anterior puede escribirse:
y(x; t) =
1
L
1X
n=1
Fn
³
sin
³n¼
L
(x + vt)
´
+ sin
³n¼
L
(x ¡ vt)
´´
o sea, tal como se establece en el teorema.
12.6 M¶etodo de las series de Fourier.
Todas las funciones que se anulan en x = 0, x = L pueden expandirse en
serie de Fourier como
f(x) =
1X
n=1
bn sin
n¼x
L
donde
bn =
2
L
Z L
0
f(x0
) sin
n¼x0
L
dx0
de modo que la soluci¶on de la ecuaci¶on de onda para la cuerda con extremos
¯jos puede expandirse as¶³
y(x; t) =
1X
n=1
bn(t) sin
n¼x
L
;
que al sustituir en la ecuaci¶on de onda da
1X
n=1
b00
n(t) sin
n¼x
L
+ v2
1X
n=1
n2
¼2
L2
bn(t) sin
n¼x
L
= 0;
de donde por la independencia de las funciones base se obtiene
b00
n(t) +
v2
n2
¼2
L2
bn(t) = 0;
con soluciones
bn(t) = An cos
vn¼
L
t + Bn sin
vn¼
L
t
de modo que
y(x; t) =
1X
n=1
³
An cos
vn¼
L
t + Bn sin
vn¼
L
t
´
sin
n¼x
L
:
Indice
página

233. 12.7 Consideraciones adicionales. Soluci¶on de D'Alembert. 219
Para tomar en cuenta las condiciones iniciales considere
y(x; 0) = F(x) =
1X
n=1
An sin
n¼x
L
@y(x; t)
@t
¯
¯
¯
¯
t=0
= V (x) =
1X
n=1
vn¼
L
Bn sin
n¼x
L
;
de donde
An =
2
L
Z L
0
F(x) sin
n¼x
L
dx
Bn =
2
vn¼
Z L
0
V (x) sin
n¼x
L
dx
o sea se ha obtenido el mismo resultado de (12.4).
12.7 Consideraciones adicionales. Soluci¶on de
D'Alembert.
Podemos insistir en tratar de satisfacer las condiciones
iniciales y de frontera en una cuerda con extremos ¯jos usando la forma
m¶as general
y(x; t) = F1(x + vt) + F2(x ¡ vt):
12.7.1 Condiciones iniciales.
Cuerda parte del reposo.
Para tener un problema m¶as simples, imaginemos que la cuerda parte del
reposo. Entonces debemos imponer
y(x; 0) = F(x) = F1(x) + F2(x);
@y(x; t)
@t
¯
¯
¯
¯
t=0
= 0 = vF0
1(x) ¡ vF0
2(x);
y(0; t) = F1(vt) + F2(¡vt) = 0;
y(L; t) = F1(L + vt) + F2(L ¡ vt) = 0:
Indice
página

234. 220 Sistemas continuos.
La tercera impone que
F2(x) = ¡F1(¡x);
de modo que tenemos que satisfacer
F(x) = F1(x) ¡ F1(¡x);
0 = vF0
1(x) ¡ vF0
1(¡x);
y(L; t) = F1(L + vt) ¡ F1(¡L + vt) = 0:
si la segunda se integra respecto x se obtiene
0 = F1(x) + F1(¡x) ¡ 2F1(0)
F(x) = F1(x) ¡ F1(¡x);
de donde despejamos
F1(x) = F1(0) +
1
2
F(x);
F1(¡x) = F1(0) +
1
2
(¡F(x)) :
ambas son compatibles si
F(x) = ¡F(¡x)
lo cual requiere extender el rango de de¯nici¶on de F de modo que ella sea
impar. Luego la soluci¶on puede escribirse
y(x; t) = F1(x + vt) ¡ F1(¡(x ¡ vt))
=
1
2
(F(x + vt) + F(x ¡ vt)) :
La ¶ultima condici¶on es y(L; t) = 0 de modo que
F(L + vt) + F(L ¡ vt) = 0;
entonces
F(x) = ¡F(¡x)
F(L + x) = ¡F(L ¡ x)
Indice
página

235. 12.7 Consideraciones adicionales. Soluci¶on de D'Alembert. 221
o sea basta extender el rango de de¯nici¶on de F de modo que sea impar y
peri¶odica con periodo 2L. As¶³ la soluci¶on queda expresada en t¶erminos de
la forma inicial de la cuerda F(x), extendida peri¶odicamente a una funci¶on
impar de periodo 2L:
y(x; t) =
1
2
(F(x + vt) + F(x ¡ vt)) :
De este modo, en un punto ¯jo x la oscilaci¶on es peri¶odica con periodo T
dado por
vT = 2L;
o sea
T =
2L
v
:
Caso general, soluci¶on de D'Alembert.
Ahora las condiciones iniciales y de contorno son las siguientes
y(x; 0) = F(x) = F1(x) + F2(x);
@y(x; t)
@t
¯
¯
¯
¯
t=0
= V (x) = vF0
1(x) ¡ vF0
2(x);
y(0; t) = F1(vt) + F2(¡vt) = 0;
y(L; t) = F1(L + vt) + F2(L ¡ vt) = 0:
La tercera impone que
F2(x) = ¡F1(¡x);
y la cuarta
F1(L + x) = ¡F2(L ¡ x);
Adem¶as tenemos que satisfacer
F(x) = F1(x) ¡ F1(¡x);
V (x) = vF0
1(x) ¡ vF0
1(¡x);
si la segunda se integra respecto x se obtiene
Z x
0
V (x)dx = vF1(x) + vF1(¡x) ¡ 2vF1(0)
vF(x) = vF1(x) ¡ vF1(¡x);
Indice
página

236. 222 Sistemas continuos.
de donde despejamos
F1(x) = F1(0) +
1
2
F(x) +
1
2v
Z x
0
V (x)dx;
F1(¡x) = F1(0) ¡
1
2
F(x) +
1
2v
Z x
0
V (x)dx:
ambas son compatibles si
F(x) = ¡F(¡x);
y
V (x) = ¡V (¡x);
lo cual requiere extender el rango de de¯nici¶on de F y V de modo que ellas
sean impares. Luego la soluci¶on puede escribirse
y(x; t) = F1(x + vt) ¡ F1(¡(x ¡ vt))
=
1
2
F(x + vt) +
1
2v
Z x+vt
0
V (x)dx ¡
(¡
1
2
F(x ¡ vt) +
1
2v
Z x¡vt
0
V (x)dx)
=
1
2
(F(x + vt) + F(x ¡ vt)) +
1
2v
Z x+vt
x¡vt
V (x)dx:
Donde las condiciones de contorno y(L; t) = 0, y(0; t) = 0 se satisfacen si
F(x) = ¡F(¡x);
V (x) = ¡V (¡x);
y son de periodo 2L:
12.8 Caso general.
Para el caso general donde la forma inicial de la cuerda y su velocidad son
dadas, la soluci¶on la escribimos
y(x; t) =
1X
n=1
³
An cos
vn¼
L
t sin
n¼x
L
+ Bn sin
vn¼
L
t sin
n¼x
L
´
:
Indice
página

237. 12.9 Caso general.
223
siendo
An =
2
L
Z L
0
F(x) sin
n¼x
L
dx
Bn =
2
vn¼
Z L
0
V (x) sin
n¼x
L
dx
Ejercicio 12.8.1 Demuestre que si F(x) y V (x) representan extensiones
impares y de periodo 2L de la forma y de la velocidad inicial de la cuerda,
entonces la funci¶on
y(x; t) =
1
2
(F(x + vt) + F(x ¡ vt))
+
1
2v
Z x+vt
x¡vt
V (x)dx
satisface la ecuaci¶on de onda, las condiciones iniciales y de frontera.
12.9 Caso general.
Para el caso general donde la forma inicial de la cuerda y su velocidad son
dadas, la soluci¶on la escribimos
y(x; t) =
1X
n=1
³
An cos
vn¼
L
t sin
n¼x
L
+ Bn sin
vn¼
L
t sin
n¼x
L
´
:
siendo
An =
2
L
Z L
0
F(x) sin
n¼x
L
dx
Bn =
2
vn¼
Z L
0
V (x) sin
n¼x
L
dx
12.10 Ejemplos.
Ejemplo 12.10.1 Si la cuerda parte recta con un per¯l de velocidades ini-
ciales
V (x) = V0 sin
¼x
L
;
Indice
página

238. 224 Sistemas continuos.
V (x) es de antemano impar y de periodo 2T, por lo tanto
y(x; t) =
1
2v
Z x+vt
x¡vt
V (x)dx
=
V0L
¼v
sin
¼
L
vt sin ¼
x
L
=
V0L
2¼v
(cos ¼
x ¡ vt
L
¡ cos ¼
x + vt
L
):
Ejemplo 12.10.2 Si la forma inicial fuera una semi sinusoide
F(x) = A sin
¼x
L
esta funci¶on es de antemano impar y de periodo 2L: Entonces
y(x; t) =
A
2
µ
sin
¼(x + vt)
L
+ sin
¼(x ¡ vt)
L
¶
= A sin
¼
L
x cos
¼
L
vt:
Ejemplo 12.10.3 En general, una extensi¶on impar y de periodo 2L de F(x)
es
F(x) =
1X
n=1
bn sin
n¼x
L
bn =
2
L
Z L
0
F(x) sin
n¼x
L
dx;
luego
y(x; t) =
1
2
1X
n=1
bn
µ
sin
n¼(x + vt)
L
+ sin
n¼(x ¡ vt)
L
¶
=
1X
n=1
bn sin n¼
x
L
cos n
¼
L
vt:
Indice
página

239. 12.10 Ejemplos. 225
Ejemplo 12.10.4 Si la cuerda parte recta con un per¯l de velocidades ini-
ciales
V (x) = V0 sin
¼x
L
;
determine la soluci¶on de la ecuaci¶on de onda.
Soluci¶on. V (x) es de antemano impar y de periodo 2T, por lo tanto
y(x; t) =
1
2v
Z x+vt
x¡vt
V (x)dx
=
V0L
¼v
sin
¼
L
vt sin ¼
x
L
=
V0L
2¼v
(cos ¼
x ¡ vt
L
¡ cos ¼
x + vt
L
):
N
Ejemplo 12.10.5 Una cuerda de longitud L con extremos ¯jos comienza a
oscilar partiendo del reposo de manera que su forma inicial es:
F(x) =
½
Ax=L si x < L=2
A(1 ¡ x=L) si x > L=2
Determine y(x; t):
Soluci¶on. La soluci¶on ser¶a
y(x; t) =
1X
n=1
An cos
vn¼
L
t sin
n¼x
L
:
siendo
An =
2
L
Z L
0
F(x) sin
n¼x
L
dx
donde evaluamos
2
L
Z L=2
0
(Ax=L) sin
n¼x
L
dx +
2
L
Z L
L=2
A(1 ¡
x
L
) sin
n¼x
L
dx
resultando
y(x; t) = 4A
1X
n=1
sin 1
2
n¼
n2¼2
cos
vn¼
L
t sin
n¼x
L
= 4A
1X
k=0
(¡1)k
(2k + 1)2¼2
cos
v(2k + 1)¼t
L
sin
(2k + 1)¼x
L
:
Indice
página

240. 226 Sistemas continuos.
vt-vt
L L
L
Figura 12.3: Soluci¶on de D'Alembert.
Esta soluci¶on sin embargo dice poco de la forma que tiene la onda. Ana-
licemos la soluci¶on de D'Alembert
y(x; t) =
1
2
(F(x + vt) + F(x ¡ vt)):
En la ¯gura siguiente se ilustra la extensi¶on peri¶odica de F(x)
De modo que cuando ha transcurrido un tiempo t, F(x + vt) en el rango
de su argumento desde 0 ! L est¶a remarcado a la derecha y F(x ¡ vt) est¶a
remarcado en el rango de su argumento de 0 ! L a la izquierda. Ambas
curvas las debemos llevar al intervalo donde est¶a la cuerda, y superponer los
resultados, obteniendo la forma ilustrada en la ¯gura siguiente:
Es aparente que la forma de la onda ser¶a sim¶etrica respecto al punto me-
dio, y formada por segmentos rectos, a pesar de la aparentemente complicada
serie de Fourier de la soluci¶on anterior.
N
12.11 Consideraciones energ¶eticas.
Consideremos el trozo de cuerda desde x en adelante, como se indica en la
¯gura (12.5). Sobre ese trozo act¶ua la fuerza ejercida por la parte izquierda
de la cuerda es decir
F = ¡¿ sin µ ¼ ¡¿ tan µ = ¡¿
@y(x; t)
@x
:
Indice
página

241. 12.11 Consideraciones energ¶eticas. 227
Figura 12.4: Onda en una cuerda.
.
x
!
y(x,t)
Figura 12.5: Potencia en una onda.
Por otro lado la velocidad de ese extremo de la cuerda es
vy =
@y(x; t)
@t
;
de modo que la potencia entregada al lado derecho de la cuerda (por el
izquierdo) es
P = Fvy = ¡¿
@y(x; t)
@x
@
@t
y(x; t): (12.5)
12.11.1 Potencia en ondas arm¶onicas.
Para una onda arm¶onica senoidal del tipo
Indice
página

242. 228 Sistemas continuos.
y = A sin(kx ¡ !t);
resulta
P = ¿A2
k! cos2
(kx ¡ !t):
Aqu¶³ se tienen las relaciones
k =
2¼
¸
;
v =
!
k
= v =
r
¿
¾
;
de modo que la potencia puede escribirse
P = ¾!2
A2
v cos2
(kx ¡ !t):
o sea en una onda que viaja hacia la derecha hay una potencia positiva
entregada desde el lado izquierdo al derecho. La potencia promedio puede
calcularse y resulta
< P >=
1
2
¾!2
A2
v:
12.12 Elementos de mec¶anica de Fluidos.
Para estudiar la din¶amica de los °uidos, se han seguido dos caminos. Uno de-
bido a Lagrange intenta seguir las coordenadas de cada part¶³cula de °uido a
medida que transcurre el tiempo de acuerdo a las fuerzas que ella experimen-
ta. Otra forma debida a Euler consiste en abandonar el intento de precisar
las coordenadas de cada part¶³cula de °uido, y en vez, preocuparse de la den-
sidad y la velocidad del °uido en puntos ¯jos del espacio en cada instante
de tiempo. Este es el m¶etodo que describiremos resumidamente aqu¶³. As¶³ se
de¯nen ½(x; y; x; t) la densidad del °uido en un punto del espacio en tiempo
t y ~v(x; y; z; t) el vector velocidad de un elemento de °uido ubicado en ese
mismo punto y en ese mismo tiempo. A pesar de que nos concentraremos
en puntos ¯jos del espacio, las ecuaciones usuales de la mec¶anica aplican a
part¶³culas y por lo tanto ser¶a inevitable seguir el movimiento de las part¶³culas
al menos por intervalos de tiempos cortos. As¶³ estaremos interesados en dos
tipos de derivadas. Por ejemplo si p(x; y; z; t) representa la presi¶on en un
punto en un tiempo determinado
@p
@t
Indice
página

243. 12.12 Elementos de mec¶anica de Fluidos. 229
representar¶a la tasa a la cual est¶a cambiando la presi¶on en un punto ¯jo y
dp
dt
=
@p
@t
+
@p
@x
@x
@t
+
@p
@y
@y
@t
+
@p
@z
@z
@t
=
@p
@t
+ ~v ¢ rp;
representar¶a la tasa a la cual est¶a cambiando la presi¶on en un punto que sigue
el movimiento del °uido. Esto aplicar¶a a cualquier funci¶on de las coordenadas
y del tiempo, lo cual anotaremos simb¶olicamente como
d
dt
=
@
@t
+ ~v ¢ r:
12.12.1 Cambio del volumen.
Consideremos un elemento de volumen ±V que se mueve con el °uido de
modo que contiene siempre el mismo n¶umero de part¶³culas de °uido. Si el
°uido se mueve, ese elemento se mueve y en general cambiar¶a de volumen.
Supongamos que se trata de un elemento de volumen rectangular de lados
±x; ±y, ±z. Entonces sus caras tienen velocidades vx, vy, vz: As¶³ el cambio
de volumen debido al desplazamiento de las caras ±y ±z (una en x la otra en
x + ±x) ser¶a
d±V = ±y±z(vx(x + ±x; t)dt ¡ vx(x + ±x; t)dt)
= ±y±z±x
@vx
@x
dt;
o sea
d±V
dt
= ±y±z±x
@vx
@x
= ±V
@vx
@x
:
M¶as en general, si var¶³an las posiciones de las seis caras, se tiene
d±V
dt
= ±V (
@vx
@x
+
@vy
@y
+
@vz
@z
);
o sea
d±V
dt
= r ¢ ~v±V:
Indice
página

244. 230 Sistemas continuos.
n
vdt
Figura 12.6: Cambio de volumen debido a la velocidad.
Algunas propiedades del operador r se explican en el ap¶endice. M¶as en
general, como se explica en la ¯gura que sigue, el cambio de volumen que se
produce por el cambio del ¶area se puede expresar como (base£altura)
dV =
Z
S
~v ¢ ^ndtdS
dV
dt
=
Z
S
~v ¢ ^ndS:
Si se utiliza el teorema de la divergencia la ¶ultima expresi¶on puede escribirse
como
dV
dt
=
Z
V
r ¢ ~vdV:
Fluidos incompresibles.
Si el °uido es incompresible, es decir si el volumen de un n¶umero determinado
de part¶³culas no cambia con el tiempo, entonces del resultado anterior sigue
que
r ¢ ~v = 0:
Ecuaci¶on de continuidad.
La masa de un elemento de volumen que sigue el movimiento del °uido no
var¶³a. Eso se puede escribir utilizando el concepto de densidad volum¶etrica
de masa ½ como
±m = ½±V = constante,
Indice
página

245. 12.13 Ecuaci¶on de movimiento de un °uido ideal. 231
es decir
d½
dt
±V + ½
d
dt
±V = 0
d½
dt
±V + ½r ¢ ~v±V = 0
d½
dt
+ ½r ¢ ~v = 0:
pero
d½
dt
=
@½
@t
+ ~v ¢ r½;
luego
@½
@t
+ ~v ¢ r½ + ½r ¢ ~v = 0;
o
@½
@t
+ r ¢ (½~v) = 0: (12.7)
Esta ¶ultima relaci¶on se denomina la ecuaci¶on de continuidad de un °uido.
12.13 Ecuaci¶on de movimiento de un °uido
ideal.
En un °uido ideal, por de¯nici¶on, no act¶uan otras fuerzas de un elemento
sobre otro de °uido, m¶as que las fuerzas de presi¶on, que act¶uan normalmente
a las super¯cies de los elementos considerados. En los °uidos reales, act¶uan
adem¶as fuerzas tangenciales o de viscosidad que por ahora despreciaremos.
Aceptaremos adem¶as que pueden actuar fuerzas externas sobre cada elemento
de volumen, tal como el peso de aquel. La presi¶on es isotr¶opica de modo que
la fuerza que act¶ua sobre cada elemento de ¶area se obtiene simplemente
multiplicando la presi¶on sobre el ¶area por el ¶area en cuesti¶on. As¶³, si se trata
de un elemento de volumen como un paralelep¶³pedo rectangular de aristas
±x, ±y, ±z, la fuerza resultante en la direcci¶on x debida a la presi¶on ser¶a
±Fx = p(x; y; z)±y±z ¡ p(x + ±x; y; z)±y±z
= ¡
@p
@x
±x±y±z;
y en su forma vectorial
± ~F = ¡rp±V:
Indice
página

246. 232 Sistemas continuos.
Sea adem¶as ~f la fuerza externa que act¶ua por unidad de volumen. As¶³ la
fuerza resultante sobre el elemento de volumen ser¶a
± ~F = ¡rp±V + ~f±V:
La segunda ley de Newton establece que esta fuerza es la masa por la acele-
raci¶on del elemento de volumen, o sea
½±V
d~v
dt
= ¡rp±V + ~f±V;
o bien
½
d~v
dt
= ~f ¡ rp;
ahora, si realizamos la derivada total obtenemos
½(
@~v
@t
+ ~v ¢ r~v) = ~f ¡ rp;
y as¶³ obtenemos la ecuaci¶on de Euler para el movimiento de un °uido ideal:
@~v
@t
+ ~v ¢ r~v =
~f
½
¡
rp
½
: (12.8)
En este cap¶³tulo s¶olo estamos interesados en el tema de Ondas en medios
cont¶³nuos tales como los °uidos, por lo tanto no es necesario profundizar m¶as
en otros temas de la Mec¶anica de °uidos.
12.13.1 Onda sonoras en un °uido.
Supongamos un °uido en equilibrio a una presi¶on p0 una densidad ½0 y so-
metido a una fuerza externa volum¶etrica ~f0. Para esta situaci¶on, la ecuaci¶on
(12.8) se convierte en
~f0 = rp0: (12.9)
Supongamos ahora que el °uido se somete a una perturbaci¶on peque~na de
modo que la presi¶on y la densidad se alteran a
p = p0 + p0
½ = ½0 + ½0
;
Indice
página

247. 12.13 Ecuaci¶on de movimiento de un °uido ideal. 233
siendo p0
¿ p y ½0
¿ ½ y supondremos adem¶as que la velocidad u sus
derivadas son tambi¶en peque~nas. Si sustituimos en (12.8) se obtiene
@~v
@t
+ ~v ¢ r~v =
~f0
½0 + ½0
¡
r(p0 + p0
)
½0 + ½0
¼
~f0
½0
(1 ¡
½0
½0
) ¡
rp0 + rp0
½0
(1 ¡
½0
½0
)
si despreciamos t¶erminos cuadr¶aticos en ~v y en las cantidades peque~nas p0
y
½0
se obtiene
@~v
@t
¼
~f0
½0
¡
~f0½0
½2
0
¡
rp0 + rp0
½0
(1 ¡
½0
½0
);
o sea
@~v
@t
= ¡
rp0
½0
: (12.10)
Adem¶as si se sustituye en la ecuaci¶on de continuidad (12.7) se obtiene
0 =
@½0
@t
+ r ¢ ((½0 + ½0
)~v)
¼
@½0
@t
+ r ¢ (½0~v);
o sea
@½0
@t
= ¡½0r ¢ ~v ¡ ~v ¢ r½0. (12.11)
Finalmente supondremos que la densidad en equilibrio es pr¶acticamente cons-
tante de modo que la ¶ultima ecuaci¶on puede escribirse
@½0
@t
+ ½0r ¢ ~v = 0: (12.12)
La compresibilidad · y su rec¶³proco B.
En termodin¶amica se de¯nen la compresibilidad isot¶ermica
·T = ¡
1
V
µ
@V
@p
¶
T
=
1
BT
;
y la compresibilidad adiab¶atica
·S = ¡
1
V
µ
@V
@p
¶
S
=
1
BS
;
Indice
página

248. 234 Sistemas continuos.
donde T y S denotan la temperatura absoluta y la entrop¶³a del sistema.
Cuando una onda ac¶ustica pasa a trav¶es de una substancia los cambios de
volumen son en realidad adiab¶aticos en vez de isot¶ermicos, de modo que la
segunda de las anteriores es la que aplica. Ella puede ser escrita como
1
BS
= ·S = ¡
1
m=½
µ
@m=½
@p
¶
S
=
1
½
µ
@½
@p
¶
S
:
De este modo el incremento en la presi¶on y la densidad est¶an relacionadas
por
1
BS
= ·S =
1
½0
½0
p0
½0
=
½0p0
BS
:
As¶³ podemos eliminar ½0
de la ecuaci¶on (12.12) obteniendo
½0
BS
@p0
@t
= ¡½0r ¢ ~v (12.13)
@p0
@t
= ¡BSr ¢ ~v: (12.14)
Si derivamos respecto al tiempo y utilizamos (12.10) se obtiene ¯nalmente
@2
p0
@t2
= ¡BSr ¢
@
@t
~v
=
BS
½0
r ¢ rp0
;
es decir tenemos que las variaciones de la presi¶on p0
satisfacen la ecuaci¶on de
ondas en tres dimensiones
@2
p0
@t2
¡ v2
r2
p0
= 0; (12.15)
donde la velocidad de propagaci¶on est¶a dada por
v =
s
BS
½0
:
Indice
página

249. 12.13 Ecuaci¶on de movimiento de un °uido ideal. 235
12.13.2 Algunas soluciones de la ecuaci¶on de onda.
De acuerdo a las propiedades del operador r puede probarse que son solu-
ciones de la ecuaci¶on de onda tridimensional
@2
Á
@t2
¡ v2
r2
Á = 0:
12.13.3 A) Ondas planas.
Esta son soluciones de la forma
Á(x; y; x; t) = F(~k ¢ ~r ¡ !t);
donde F es una funci¶on arbitrartia (diferenciable), v es la velocidad y ~k
es un vector constante cuya magnitud se denomine n¶umero de onda. Para
demostrarlo basta considerar que
rF(~k ¢ ~r ¡ vt) = ~kF0
(~k ¢ ~r ¡ !t);
r2
F(~k ¢ ~r ¡ vt) = ~k ¢ rF(~k ¢ ~r ¡ !t)
r2
Á = k2
F00
(~k ¢ ~r ¡ !t);
@2
Á
@t2
= !2
k2
F00
(~k ¢ ~r ¡ !t);
que prueba lo establecido siempre y cuando
v =
!
k
:
Hay que observar, que los puntos donde F tiene un valor constante, digamos
F(0) est¶an sobre el plano
~k ¢ ~r = !t
^k ¢ ~r = vt;
es decir un plano que viaja precisamente con la velocidad de propagaci¶on de
la onda v = !=k, de all¶³ se justi¯ca la denominaci¶on de ondas planas.
Indice
página

250. 236 Sistemas continuos.
r
k
vt
Figura 12.7: Onda plana.
12.13.4 B) Ondas esf¶ericas.
En coordenadas esf¶ericas el Laplaciano puede escribirse (ver ap¶endice)
r2
=
1
r2
@
@r
r2 @
@r
+
1
r2 sin µ
@
@µ
sin µ
@
@µ
+
1
r2 sin2
µ
@2
@Á2
de modo que si buscamos soluciones de la ecuaci¶on de onda que dependan
de la distancia al origen solamente, la ecuaci¶on de onda ser¶a
@2
Á
@t2
¡ v2 1
r2
@
@r
r2 @
@r
Á = 0;
pero usted puede establecer que
1
r2
@
@r
r2 @
@r
Á =
1
r
@2
@r2
(rÁ);
de modo que la ecuaci¶on de onda es
@2
(rÁ)
@t2
¡ v2 @2
@r2
(rÁ) = 0;
de modo que
rÁ(r; t) = F(kr ¡ !t);
por lo cual una onda esf¶erica es de la forma
Á(r; t) =
F(kr ¡ !t)
r
;
donde la velocidad de propagaci¶on es ahora
v =
!
k
:
Indice
página

251. 12.13 Ecuaci¶on de movimiento de un °uido ideal. 237
Interferencia de ondas.
Consideremos ondas senoidales unidimensionales Ã(x; t) = A sin(kx¡!t+Á)
donde Á se conoce como la fase de la onda. Debido a que la ecuaci¶on de onda
es lineal, la superposici¶on de este tipo de ondas de la misma velocidad v =
!=k es tambi¶en soluci¶on de la ecuaci¶on de onda, La superposici¶on de ondas
de este tipo causa el fen¶omenos llamado de interferencia, en particular de
interferencia constructiva e interferencia destructiva. Considere por ejemplo
que la frecuencia sea la misma, entonces la longitud de onda tambi¶en es la
misma y el fen¶omeno que ocurre en la superposici¶on depende de la diferencia
de fase. En efecto, la superposici¶on ser¶a
à = A1 sin(kx ¡ !t + Á1) + A2 sin(kx ¡ !t + Á2):
Aqu¶³ conviene utilizar elementos de los n¶umeros complejos. Considere
A1ei(kx¡!t+Á1)
+ A2ei(kx¡!t+Á2)
= Aei(kx¡!t)
;
esto es cierto si
A = A1ei(Á1)
+ A2ei(Á2)
= ei(Á1)
(A1 + A2ei(Á2¡Á1)
):
Este n¶umero complejo puede colocarse en su forma polar de acuerdo a
A = jAj eiÁ
donde
jAj =
p
(A1 + A2 cos(Á2 ¡ Á1))2 + (A2 sin(Á2 ¡ Á1))2
=
q
A2
1 + A2
2 + 2A1A2 cos(Á2 ¡ Á1);
tan Á =
A2 sin(Á2 ¡ Á1)
A1 + A2 cos(Á2 ¡ Á1)
:
En resumen
A1ei(kx¡!t+Á1)
+ A2ei(kx¡!t+Á2)
= jAj eiÁ
ei(kx¡!t)
;
donde la superposici¶on de ondas senoidales es la parte imaginaria de la ¶ultima
expresi¶on, es decir
à = A1 sin(kx ¡ !t + Á1) + A2 sin(kx ¡ !t + Á2)
=
q
A2
1 + A2
2 + 2A1A2 cos(Á2 ¡ Á1) sin(kx ¡ !t + Á):
Indice
página

252. 238 Sistemas continuos.
Es decir la superposici¶on es una onda del mismo tipo, con otra fase Á y con
otra amplitud. La interferencia se llama constructiva si la amplitud de la
onda resultante es m¶axima y destructiva si es m¶³nima. Estos casos ocurren
evidentemente si
a) Contructiva: Á2 ¡ Á1 = 2n¼; n = 0; 1; 2:::;
à = jA1 + A2j sin(kx ¡ !t):
Destructiva: Á2 ¡ Á1 = (2n + 1)¼; n = 0; 1; 2:::;
à = jA1 ¡ A2j sin(kx ¡ !t):
Pulsaciones.
Otro fen¶omenos ocurre si las ondas que se superponen tienen la misma ve-
locidad pero diferentes longitudes de onda y en consecuencia diferentes fre-
cuencias. Suponiendo las mismas fases y amplitudes la superposici¶on es
à = A sin(k1x ¡ !1t) + A sin(k2x ¡ !2t);
que puede escribirse como
à = 2A sin
(k1 + k2)x ¡ (!1 + !2)t
2
cos
(k1 ¡ k2)x ¡ (!1 ¡ !2)t
2
;
esto es el producto de dos ondas que se propagan a velocidades diferentes
v1 =
!1 + !2
k1 + k2
;
v1 =
!1 ¡ !2
k1 ¡ k2
y que tienen frecuencias, una alta frecuencia
!1 + !2
y otra que puede ser muy peque~na
!1 ¡ !2
si las ondas que se superponen tienen frecuencias pr¶oximas. Este fen¶omeno
se puede escuchar como un batido de baja frecuencia cuando se pulsan dos
cuerdas de guitarra casi a¯nadas en la misma nota.
Indice
página

253. 12.13 Ecuaci¶on de movimiento de un °uido ideal. 239
12.13.5 Velocidad de grupo.
La superposicion de muchas ondas de casi la misma frecuencia y con longi-
tudes de onda parecidas tambien, causa el fen¶omeno de la formaci¶on de un
grupo que se dispersa. Para precisar las cosas supongamos que se superpo-
nen ondas con frecuencias en un cierto rango cont¶³nuo, donde esas frecuencias
dependen de la longitud de onda de alguna forma funcional tal como
! = !(k):
Esta relaci¶on se denomina relaci¶on de dispersi¶on.En otras palabras estamos
suponiendo que la velocidad de propagaci¶on v = !(k)=k es alguna funci¶on
de k es decir de la longitud de onda. Este caso tiene una representaci¶on
concreta en el caso de las ondas luminosas que se propagan en materiales
transparentes, donde la velocidad de propagaci¶on en ese medio es dependiente
de la longitud de onda. Bueno, para ver lo que ocurre considere entonces una
superposici¶on cont¶³nua para alg¶un rango cont¶³nuo de valores de k
à =
Z
Ak sin(kx ¡ !(k)t)dk:
Supongamos que la superposici¶on es hecha en un entorno a un valor k0. Si
expandimos hasta primer orden
!(k) = !0 + !0
0(k ¡ k0);
entonces
à =
Z k0+¢
k0¡¢
Ak sin(kx ¡ !(k)t)dk;
=
Z k0+¢
k0¡¢
Ak sin(kx ¡ (!0 + !0
0(k ¡ k0))t)dk;
=
Z k0+¢
k0¡¢
Ak sin(!0
0k0t ¡ !0t + k(x ¡ !0
0t))dk;
¼
2A0
x ¡ !0
0t
sin (¢(x ¡ !0
0t)) sin (k0x ¡ !0t)
donde hemos supuesto Ak ¼ Ak0
= A0: O sea, la resultante
à = 2A0
sin (¢(x ¡ !0
0t))
x ¡ !0
0t
sin (k0x ¡ !0t)
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página

254. 240 Sistemas continuos.
es una onda que viaja con la llamada velocidad de fase !0=k0 modulada por
otra onda que viaja con la llamada velocidad de grupo
vg = !0
0 =
d!(k)
dk
¯
¯
¯
¯
k=k0
:
Note que en esta aproximaci¶on la amplitud m¶axima de la modulaci¶on ocurre
en
x = !0
0t
Representaremos el grupo viajero para k0 = 10, ¢ = 1, A0 = 1; !0
0 = 1; !0 =
1, en dos tiempos, t = 0 y t = 2:
-2
-1
0
1
2
-6 -4 -2 2 4 6x
Grupo en t=0.
y para t = 2
-2
-1
1
2
-4 -2 2 4x
Grupo en t=2.
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página

255. 12.13 Ecuaci¶on de movimiento de un °uido ideal. 241
12.13.6 Efecto Doppler cl¶asico.
Suponga una onda viajera hacia la derecha del tipo arm¶onico de velocidad
de propagaci¶on v
Á(x; t) = A sin(kx ¡ !t):
Si otro observador se aleja hacia la derecha sobre el eje x con velocidad
u < v, >que onda es observada por el observador m¶ovil? Para el observador
m¶ovil llamaremos la coordenada x0
. Supondremos v¶alida la transformaci¶on
de Galileo, es decir obtendremos el denominado efecto Doppler cl¶asico. Esta
transformaci¶on puede escribirse
x0
= x ¡ ut;
t0
= t:
As¶³ resulta
Á0
(x0
; t0
) = Á(x; t) = Á(x0
+ ut; t0
);
= A sin(k(x0
+ ut) ¡ !t);
= A sin(kx0
¡ (! ¡ ku)t)
es decir una onda arm¶onica pero con frecuencia
!0
= ! ¡ ku;
= !(1 ¡
ku
!
);
= !(1 ¡
u
v
);
es decir una frecuencia menor. Si al contrario, el observador y la onda tienen
direcciones de movimiento de distinto sentido resultar¶a
!0
= !(1 +
u
v
);
una frecuencia mayor.
12.13.7 Efecto Doppler relativista.
Para velocidades del observador muy altas, cercanas a la velocidad de la luz,
debe aplicarse la transformaci¶on de Lorentz
x0
= °(x ¡ ut);
t0
= °(t ¡
ux
c2
);
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página

256. 242 Sistemas continuos.
donde c es la velocidad de la luz y ° = 1=
p
1 ¡ u2=c2: As¶³ resulta
Á0
(x0
; t0
) = Á(x; t) = Á(°(x0
+ ut0
); °(t0
+
ux0
c2
));
= A sin(k°(x0
+ ut0
) ¡ !°(t0
+
ux0
c2
));
= A sin(°(k ¡ !
u
c2
)x0
¡ °(! ¡ ku)t0
es decir
k0
= °(k ¡ !
u
c2
);
!0
= °(! ¡ ku) = °!(1 ¡
u
v
);
v0
=
!0
k0
=
! ¡ ku
k ¡ ! u
c2
=
v ¡ u
1 ¡ uv
c2
:
12.13.8 Efecto Doppler para ondas luminosas.
Si las ondas tienen la velocidad de la luz, entonces v0
= v = c y los resultados
anteriores se reducen a
!0
= °(! ¡ ku) =
1
q
1 ¡ u2
c2
!(1 ¡
u
c
);
!0
=
s
1 ¡ u
c
1 + u
c
!:
12.14 Ejercicios propuestos.
Ejercicio 12.14.1 Demuestre que si F(x) y V (x) representan extensiones
impares y de periodo 2L de la forma y de la velocidad inicial de la cuerda,
entonces la expresi¶on
y(x; t) =
1
2
(F(x + vt) + F(x ¡ vt))
+
1
2v
Z x+vt
x¡vt
V (x)dx
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página

257. 12.14 Ejercicios propuestos. 243
satisface la ecuaci¶on de onda y adem¶as
y(x; 0) = F(x);
@y(x; t)
@t
¯
¯
¯
¯
t=0
= V (x);
y(0; t) = 0;
y(L; t) = 0:
Esta soluci¶on se denomina de D'Alembert. Vea [1].
Ejercicio 12.14.2 Una cuerda el¶astica de largo L con extremos ¯jos parte
del reposo con una deformaci¶on inicial
y(0; x) =
½
cx si x < L=2
0 si x > L=2
Resuelva para y(x; t) en su desarrollo de Fourier. Esquematice cuidadosa-
mente la forma de la onda para t = T=4; T = T=2, mediante la soluci¶on de
D'Alembert.
Ejercicio 12.14.3 Repita el problema anterior si la cuerda parte tensa con
un per¯l de velocidades inicial
@y(x; t)
@t
¯
¯
¯
¯
t=0
=
½
v0x=L si x < L=2
v0(1 ¡ x=L) si x > L=2
Ejercicio 12.14.4 Obtenga la superposici¶on de las dos ondas
à = 2A sin(kx ¡ !t + ¼=4) + A sin(kx ¡ !t):
Ejercicio 12.14.5 Obtenga una expresi¶on general para la superposici¶on
à = A1 cos(kx ¡ !t + Á1) + A2 cos(kx ¡ !t + Á2):
Ejercicio 12.14.6 Determine la potencia promedio transmitida por la onda
del problema anterior.
Ejercicio 12.14.7 Demuestre que si un punto se mueve sobre un plano de
manera que sus dos coordenadas var¶³an como
x = A cos(!t ¡ ®);
y = B cos(!t ¡ ¯);
entonces el punto describe una elipse. Determine adem¶as la orientaci¶on de
esa elipse respecto al eje x.
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página

258. 244 Sistemas continuos.
Ejercicio 12.14.8 Demuestre que una superposici¶on de ondas de la forma
à =
Z
Ak sin(kx ¡ !(k)t)dk:
no satisface la ecuaci¶on de ondas a menos que
v =
!(k)
k
sea constante. Esto naturalmente cuestiona el hecho de superponer ondas que
no satisfacen una ecuaci¶on lineal. Las situaciones f¶³sicas donde se forman
grupos son complejas y est¶an fuera del alcance de estos apuntes. Vea([1,
pag.370] )
Ejercicio 12.14.9 Demuestre que si v denota la velocidad de fase de una
onda arm¶onica y vg la velocidad de grupo, entonces
vg = v + k
dv
dk
:
Ejercicio 12.14.10 Si n(¸) denota el ¶³ndice de refracci¶on de un material
transparente en funci¶on de la longitud de onda, demuestre que la velocidad
de grupo est¶a dada por
vg =
c
n
(1 ¡
¸
n
n0
(¸)):
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259. Cap¶³tulo 13
Problemas complementarios.
Ejercicio 13.0.11 Demuestre que el movimiento de una part¶³cula en un
campo central V (r) = ¡k=r + h=r2
con k y h constantes, es el mismo que
bajo el potencial de Kepler, cuando se expresa con respecto a un sistema de
referencia que rota en torno del centro de fuerza. Determine adem¶as para
energ¶³a negativa y cuando el t¶ermino adicional es muy peque~no, la velocidad
de precesi¶on de la ¶orbita cuasiel¶³ptica .
Ejercicio 13.0.12 Una part¶³cula es disparada desde la super¯cie de la tie-
rra, supuesta esf¶erica de masa M y radio R, con rapidez inicial V0, formando
un ¶angulo Á con la vertical del lugar. Despreciando la resistencia del aire, la
rotaci¶on terrestre y el movimiento de la tierra, demuestre que la excentricidad
de la trayectoria est¶a dada por
e2
= 1 +
R2
V 2
0 sen2
(Á)
G2M2
µ
V 2
0 ¡
2GM
R
¶
:
la trayectoria es
r =
R2
V 2
0 sen2
(Á)
GM(1 + e cos(µ))
:
>cu¶al es la ubicaci¶on del eje polar de la c¶onica?
Ejercicio 13.0.13 Un potencial frecuentemente encontrado en f¶³sica nu-
clear es el pozo rectangular, de¯nido por:
V (r) =
½
0 si r ¸ a
¡V0 si r < a
:
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página

260. 246 Problemas complementarios.
Demuestre que el scattering producido por tal potencial es id¶entico con la
refracci¶on de un rayo luminoso por una esfera de radio a y un ¶³ndice de
refracci¶on relativo
n =
r
E + V0
E
:
Demuestre adem¶as que la secci¶on diferencial de scattering est¶a dada por
¾(µ) =
n2
a2
(n cos(µ=2) ¡ 1)(n ¡ cos(µ))
4 cos(µ=2)(1 + n2 ¡ 2n cos(µ=2))2
:
Ejercicio 13.0.14 Determinar la secci¶on e¯caz para part¶³culas que caen en
el centro en un potencial (Landau, Mec¶anica [12])
U = ¡
®
r2
:
Ejercicio 13.0.15 Determinar la secci¶on e¯caz en el scattering para ¶angulos
peque~nos, en un potencial central
U =
a
rn
; con n > 0:
Ejercicio 13.0.16 Dos part¶³culas se mueven bajo la acci¶on de su atracci¶on
gravitacional, una en torno de la otra en ¶orbitas circulares, con periodo ¿:
Si su movimiento es repentinamente detenido, cayendo entonces una hacia
la otra, demuestre que ellas chocan en un tiempo dado por
t =
¿
4
p
2
:
Ejercicio 13.0.17 Un balde con l¶³quido se hace rotar en torno de la vertical
con velocidad angular constante. Si se supone que la situaci¶on estacionaria
corresponde a un m¶³nimo del hamiltoniano del sistema, determine la forma
de la super¯cie.
Ejercicio 13.0.18 Un cable °exible, cuyo peso por unidad de longitud es
uniforme, cuelga entre dos puntos dados bajo la acci¶on de la gravedad, ¯gura
(13.1). Determine la forma de dicho cable bajo la condici¶on de que la energ¶³a
potencial sea un m¶³nimo, compatible con la longitud ¯ja del cable.
Ejercicio 13.0.19 Si g(p) denota la transformada de Legendre de f(x);
demuestre entonces que si
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página

261. 247
Figura 13.1: Cable °exible
a) f(x) = x2
entonces g(p) = p2
=4:
b) f(x) = mx2
=2 entonces g(p) = p2
=2m:
c) f(x) = x®
=® entonces g(p) = p¯
=¯ con 1=® + 1=¯ = 1; si ® > 1 y
¯ > 1:
Ejercicio 13.0.20 Demuestre, con la notaci¶on del problema anterior que
px · f(x) + g(p)
la desigualdad de Young, v¶alida para x > 0; p > 0; ® > 1; ¯ > 1, y 1=® +
1=¯ = 1:
Ejercicio 13.0.21 Encuentre los hamiltonianos correspondientes a los la-
grangianos
L( _q) =
p
1 ¡ _q2;
L(q; _q; t) = e®t
( _q2
¡ !2
q2
)=2:
Ejercicio 13.0.22 Encuentre los lagrangianos correspondientes a los hamiltonia-
nos
H(q; p) = p2
=2 + p sin(q);
H(q; p) = p2
=2 + q2
=2:
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página

262. 248 Problemas complementarios.
Ejercicio 13.0.23 Considere un p¶endulo constituido por una barra unifor-
me de masa M y longitud L que oscila en un plano vertical bajo la acci¶on
de su peso. Considere adem¶as que el punto de suspensi¶on se hace oscilar
verticalmente con amplitud A y frecuencia angular ­, ¯gura (13.2): Escriba
la ecuaci¶on de Lagrange para el ¶angulo que forma el p¶endulo con la vertical.
!
O
M, L
A cos( (/t)
Figura 13.2: Un p¶endulo con extremo oscilando
Ejercicio 13.0.24 Con respecto a la situaci¶on del problema anterior, ana-
lice la posibilidad de que el movimiento sea estable cuando el p¶endulo est¶a
oscilando respecto a la posici¶on m¶as alta. (Vea [10])
Ejercicio 13.0.25 Para el movimiento de un trompo sim¶etrico con su p¶ua
¯ja, discuta la condici¶on que debe cumplir su spin para que su movimiento
dormido (trompo vertical, ¯g. (13.3)) sea estable. Considere dados sus mo-
mentos de inercia respecto a la p¶ua, A y C, su masa M y la distancia h
desde la p¶ua al centro de masas, adem¶as de la aceleraci¶on de gravedad.
Ejercicio 13.0.26 Considere el movimiento de un trompo sim¶etrico con su
p¶ua ¯ja, en precesi¶on uniforme, es decir con la inclinaci¶on de su eje respecto
de la vertical constante, ¯g. (13.4). Deduzca la condici¶on que deben cumplir
su spin s y su velocidad angular de precesi¶on _Á = ­ para que ello ocurra.
Considere dados los momentos de inercia respecto a la p¶ua, A y C, su masa
M y la distancia h desde la p¶ua al centro de masas, adem¶as de la aceleraci¶on
de gravedad.
Indice
página

263. 249
s
O
Figura 13.3: Trompo dormido
x
y
Figura 13.4: Precesi¶on uniforme
Indice
página

264. 250 Problemas complementarios.
Ejercicio 13.0.27 Considere una part¶³cula movi¶endose en un campo cen-
tral de fuerza atractivo inverso al cuadrado de la distancia, de modo que
L =
1
2
mv2
+
k
r
:
Demuestre que la energ¶³a, en t¶erminos de las variables de acci¶on angular,
para coordenadas r y µ en el plano del movimiento, est¶a dada por
E = ¡
2m¼2
k2
(Jr + Jµ)2
:
Ejercicio 13.0.28 Para la versi¶on relativista del problema anterior con la-
grangiano
L = ¡m0c2
p
1 ¡ (v=c)2 +
k
r
;
demuestre que para el caso estable, part¶³cula sin caer al origen
m0c2
E
= 1 +
(k=c)2
(Jr=2¼ +
p
(Jr=2¼)2 ¡ (k=c)2)2
:
Ejercicio 13.0.29 Si se indica con ® = e2
=(4¼²0~c) la constante de estruc-
tura ¯na y se imponen las reglas de cuantizaci¶on de Somerfeld Jµ = nµh; Jr =
nrh;con nµ = 1; 2; 3; :::; nr = 0; 1; 2; :::; demuestre que hasta orden en ®2
; la
energ¶³a est¶a dada por
E = m0c2
¡
m0c2
®2
2n2
µ
1 +
®2
n2
µ
n
nµ
¡
3
4
¶¶
;
siendo n = nr + nµ: Compare con los niveles predichos por la teor¶³a de Dirac
E = m0c2
¡
m0c2
®2
2n2
µ
1 +
®2
n2
µ
n
j + 1=2
¡
3
4
¶¶
;
siendo j el momentum angular total del electr¶on, incluido spin.
Ejercicio 13.0.30 Estudie la naturaleza de las ¶orbitas que son posibles en
el modelo relativista de campo central de fuerza considerado en los problemas
anteriores, en particular la condici¶on bajo la cual la part¶³cula cae al centro
de fuerza.
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265. 251
Ejercicio 13.0.31 Un lagrangiano est¶a dado por
L =
1
4
_q4
¡
®2
2
_q2
:
Para este caso, la de¯nici¶on del momento can¶onico
p = _q3
¡ ®2
_q
no permite resolver en forma un¶ivoca para _q: La evoluci¶on en _q(t) tiene una,
dos o tres soluciones dependiendo de p y ®. En el caso en que hayan tres
soluciones, demuestre que la acci¶on al ir entre dos punto en un tiempo T
alcanza su m¶inimo ¡1
4
®4
T para trayectorias zigzagueantes con _q = §®; ver
¯gura (13.5).Vea, Gravity in higher dimensions, M.Henneaux, C.Teitelboim,
q
T
Figura 13.5: M¶inimo de una acci¶on
J.Zanelli. [14]
Ejercicio 13.0.32 Si F denota una funci¶on de las coordenadas y momentos
can¶onicos, demuestre que los corchetes de Poisson con las coordenadas y
momentos son
fF; qig = ¡
@F
@pi
;
fF; pig =
@F
@qi
:
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266. 252 Problemas complementarios.
Ejercicio 13.0.33 Si ~L denota el momentum angular de una part¶³cula,
demuestre que
fLi; Ljg = "ijkLk;
½¯
¯
¯~L
¯
¯
¯
2
; ~L ¢ ^n
¾
= 0:
Ejercicio 13.0.34 Demuestre que si F(q; p; t) y G(q; p; t) son constantes
de movimiento, tambi¶en lo es su par¶entesis de Poisson.
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267. Cap¶³tulo 14
Problemas resueltos.
Ejemplo 14.0.1 Considere una part¶³cula de masa m que se coloca en el
punto m¶as alto de un hemisferio liso de radio R y masa M que puede deslizar
sobre un plano horizontal liso, ¯g. (14.1). Estando el sistema en reposo se
perturba levemente Discuta sobre la posibilidad de que la part¶³cula abandone
el contacto con el hemisferio.
Soluci¶on. Con relaci¶on a la ¯gura las ecuaciones de movimiento son
x
M m
R
Figura 14.1: De un problema
m
d2
(x + R sin µ)
dt2
= N sin µ;
m
d2
(R cos µ)
dt2
= N cos µ ¡ mg;
M
d2
x
dt2
= ¡N sin µ
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página

268. 254 Problemas resueltos.
: Si se elimina x y N se obtiene una ecuaci¶on diferencial para el ¶angulo µ que
integrada una vez conduce a
_µ
2
=
2g
R
1 ¡ cos µ
1 ¡ m
m+M
cos2 µ
:
Considerando que la condici¶on para que exista despegue de la super¯cie es
N = 0, o sea Äx = 0, se obtiene
d
dµ
(_µ
2
cos2
µ) = 0;
que desarrollada conduce a una ecuaci¶on de tercer grado para el cos µ. En
efecto se tiene
p cos3
µ ¡ 3 cos µ + 2 = 0; con p =
m
m + M
:
La existencia de una soluci¶on real en el intervalo (0; ¼=2) se deduce del hecho
que si evaluamos f(µ) = p cos3
µ ¡ 3 cos µ + 2 en 0 y 1 resulta
f(0) = p ¡ 1 < 0
f(¼=2) = 2 > 0:
Una forma trigonom¶etrica de solucionar esta ecuaci¶on se logra suponiendo
que
cos µ = A cos Á:
Si se compara la ecuaci¶on a resolver con la identidad
4 cos3
Á ¡ 3 cos Á ¡ cos 3Á = 0;
puede demostrarse que
A =
2
p
; cos 3Á = ¡
p
p:
De las tres soluciones para Á que se determinan num¶ericamente, si son reales,
debe escogerse aquella que conduzca a cos Á · 1: Por ejemplo si p = 1=2
resultan Á = 40o
; 160o
; 280o
. Sirve la ¶ultima para la cual se obtiene cos µ =p
3 ¡ 1; de donde el ¶angulo de despegue ser¶a µ = 42: 94o
N
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página

269. 255
Nota 14.1 Es de utilidad para un n¶umero de problemas, incluido el anterior,
el uso de la identidad
d2
dt2
f(s) =
1
2f0(s)
d
ds
[f0
(s) _s]
2
:
Ejemplo 14.0.2 Dos part¶³cula iguales de masa m se colocan una sobre el
suelo liso, otra unida por una cuerda liviana de longitud L a la primera de
modo que la cuerda est¶a vertical y recta pero sin tensi¶on inicial (T(0) = 0).
A la part¶³cula superior se le imprime una velocidad horizontal de magnitud
V0: Demuestre que si V 2
0 =gL < 1 la cuerda dejar¶a de estar tensa y que si
V 2
0 =gL > 2 la part¶³cula inferior despegar¶a del suelo.
Soluci¶on.
!
mg
mg
N
0
V
x
L
T
T
Las ecuaciones de movimiento suponiendo que la cuerda se tensa (al me-
nos al inicio) y que la part¶³cula inferior no se despega son
mÄx = T cos µ;
N + T sin µ ¡ mg = 0;
¡T cos µ = m
d2
dt2
(x + L cos µ);
¡mg ¡ T sin µ = m
d2
dt2
(L sin µ);
eliminando Äx se obtiene
¡2T cos µ = mL
d2
dt2
cos µ;
Indice
página

270. 256 Problemas resueltos.
la ¶ultima es
¡2T sin µ = 2mL
d2
dt2
sin µ + 2mg
eliminando la tensi¶on se obtiene
2 cos µ
d2
dt2
sin µ + 2
g
L
cos µ ¡ sin µ
d2
dt2
cos µ = 0;
despu¶es de algunas reducciones se obtiene
d
dµ
(cos µ_µ)2
+
1
2
d
dµ
(sin µ_µ)2
= ¡2
g
L
cos µ;
con condiciones iniciales
µ(0) = ¼=2;
_µ(0) = ¡
V0
L
;
de modo que se puede integrar obteniendo
(_µ)2
=
1
2
V 2
0
L2 + 2 g
L
(1 ¡ sin µ)
1 ¡ 1
2
sin2
µ
;
entonces
T = ¡
mL
2 cos µ
d2
dt2
cos µ
=
mL
4 cos µ sin µ
d
dµ
³
sin µ_µ
´2
N = mg ¡ T sin µ
entonces
T =
mL
2 cos µ sin µ
d
dµ
Ã
(1
2
V 2
0
L2 + 2 g
L
) sin2
µ ¡ 2 g
L
sin3
µ
1 + cos2 µ
!
:
Si hacemos sin µ = z; p = V 2
0 =gL; algo de manipulaci¶on algebraica conduce
a
t(p; z) =
T
mg
(1 + cos2
µ)2
= 4 + p ¡ 6z + z3
;
Indice
página

271. 257
n(p; z) =
N
mg
(1 + cos2
µ)2
= 4 + 2z2
¡ 4z ¡ pz:
La posibilidad de que N = 0 corresponde a
4 + 2z2
¡ 4z ¡ pz = 0;
tiene como posible soluci¶on menor que uno a
0 < z = 1 +
1
4
p ¡
1
4
p
(¡16 + 8p + p2) < 1;
esto requiere que
¡4 < p ¡
p
(¡16 + 8p + p2) < 0
o sea
p <
p
(¡16 + 8p + p2) < p + 4
p2
< p2
+ 8p ¡ 16 < p2
+ 8p + 16
o sea debe ser p > 2: Por otro lado que se anule la tensi¶on T = 0 requiere
que
t(p; 1) = 4 + p ¡ 6 + 1 = p ¡ 1 < 0
o sea p < 1: La soluci¶on puede misma tambi¶en obtenerse en este caso en
forma trigonom¶etrica. Sea
4 + p ¡ 6z + z3
= 0
4 cos3
Á ¡ 3 cos Á ¡ cos 3Á = 0
si z = A cos Á entonces
A3
cos3
Á ¡ 6A cos Á + 4 + p = 0
entonces
A3
4
= 2A = ¡
4 + p
cos 3Á
o sea
A =
p
8;
cos 3Á = ¡
4 + p
2
p
8
;
Indice
página

272. 258 Problemas resueltos.
Por ejemplo si p = 1=2
cos 3Á = ¡
9
4
p
8
3Á = (142:7020; 502:7020; 862:7020) luego Á = (47:5673; 167:5673; 287:5673)
entonces la tercera da z = 0:8537 y entonces µ = 58:615o
es el ¶angulo donde
la cuerda deja de estar tensa.
N
Ejemplo 14.0.3 Se desea disparar un proyectil, desde el Ecuador hasta el
Polo, sin considerar resistencia de aire o rotaci¶on terrestre. Analice las di-
versas posibilidades.
Soluci¶on. Suponiendo la tierra de masa M y radio R, y el proyectil es
disparado con rapidez inicial V0, formando un ¶angulo Á con la vertical del
lugar, se tiene
lO = mRV0 sin Á; E =
1
2
mV 2
0 ¡
GMm
R
;
de donde resulta
e2
= 1 +
2El2
O
mK2
= 1 +
R2
V 2
0 sen2
(Á)
G2M2
µ
V 2
0 ¡
2GM
R
¶
;
y la ecuaci¶on de la ¶orbita ser¶a
r =
l2
O
mK
1
1 ¡ e cos(µ ¡ ®)
=
R2
V 2
0 sen2
(Á)
GM(1 ¡ e cos(µ ¡ ®))
:
Si se coloca como condici¶on que r = R; en µ = 0; y en µ = ¼=2; se obtiene
® = ¼=4 y
1 ¡ e
1
p
2
=
RV 2
0 sen2
(Á)
GM
;
denotando V 2
e = 2GM=R y x = (Ve=V0)2
; puede obtenerse
q
1 ¡ 4x(1 ¡ x) sin2
Á =
p
2(1 ¡ 2x sin2
Á);
que puede resolverse para x (las soluciones positivas sirven)
x = (Ve=V0)2
=
1
2 cos 2Á
Ã
¡1 §
s
1 + cos 2Á
1 ¡ cos 2Á
!
;
Indice
página

273. 259
pero
cos 2Á = 2 cos2
Á ¡ 1 = 1 ¡ 2 sin2
Á
luego puede escribirse
(Ve=V0)2
=
1
2 sin Á
(¡ sin Á § cos Á)
cos2 Á ¡ sin2
Á
;
= ¡
1
2 sin Á
(cos Á + sin Á)
cos2 Á ¡ sin2
Á
=
1
2 sin Á
1
sin Á ¡ cos Á
=
1
2 sin2
Á ¡ 2 sin Á cos Á
=
1
1 ¡ cos 2Á ¡ sin 2Á
(Á > ¼=4)
¶o
=
1
2 sin Á
(cos Á ¡ sin Á)
cos2 Á ¡ sin2
Á
=
1
2 sin Á
1
cos Á + sin Á
=
1
1 ¡ cos 2Á + sin 2Á
en particular para Á = ¼=2 (¶orbita circular) resulta como era de esperar
x = 1=2, o sea V 2
0 = GM=R: Si Á = ¼=4, la soluci¶on es x = 1=4:
N
Ejemplo 14.0.4 Una part¶³cula se mueve en un campo central inverso al
cuadrado a la distancia en movimiento el¶³ptico. Determine los promedios
temporales en un periodo del movimiento de la energ¶³a cin¶etica y de la energ¶³a
potencial en t¶erminos de la constante de la ley de fuerza y del semieje mayor
de la elipse.
Indice
página

274. 260 Problemas resueltos.
Soluci¶on. Si T denota el periodo, los valores promedios a calcular son:
hKi =
1
T
TZ
0
1
2
m( _r2
+ r2 _µ
2
)dt ;
hV i =
1
T
TZ
0
¡
K
r
dt :
Ambas integrales pueden cambiarse a integrales respecto al ¶angulo si se utiliza
lO = mr2 _µ, de la siguiente forma
hKi =
1
T
2¼Z
0
1
2
m
õ
dr
dµ
_µ
¶2
+ r2 _µ
2
!
dµ
_µ
;
hV i = ¡
1
T
2¼Z
0
K
r
dµ
_µ
:
Si adem¶as se utiliza la expresi¶on para la trayectoria
r =
l2
O
mK
1
1 ¡ e cos µ
;
se puede obtener
hKi =
1
T
2¼Z
0
1
2
m(
µ
l2
O
mK
e sin µ
(1 ¡ e cos µ)2
¶2
+ r2
)
lO
mr2
dµ ;
hV i = ¡
1
T
2¼Z
0
K
r
mr2
lO
dµ = ¡
Km
TlO
2¼Z
0
l2
O
mK
1
1 ¡ e cos µ
dµ ;
que pueden ser simpli¯cadas a
hKi =
lO
2T
2¼Z
0
(
e2
sin2
µ
(1 ¡ e cos µ)2
+ 1)dµ ;
hV i = ¡
lO
T
2¼Z
0
1
1 ¡ e cos µ
dµ ;
Indice
página

275. 261
utilizando la integral conocida
2¼Z
0
1
1 ¡ e cos µ
dµ =
2¼
p
1 ¡ e2
;
e integrando por partes la expresi¶on para hKi, se obtiene
hKi =
l0
2T
2¼
p
1 ¡ e2
; hV i = ¡
l0
T
2¼
p
1 ¡ e2
:
Estos resultados pueden expresarse en t¶erminos de K; y a: Para ello recuerde
que
T =
¼abm
lO
; a =
l2
O
mK
1
1 ¡ e2
; b =
l2
O
mK
p
1 ¡ e2
1 ¡ e2
;
de donde resultar¶a
hKi =
K
a
; hV i = ¡
2K
a
:
N
Ejemplo 14.0.5 Un potencial frecuentemente encontrado en f¶³sica nuclear
es el pozo rectangular, de¯nido por:
V (r) =
½
0 si r ¸ a
¡V0 si r < a
:
Demuestre que el scattering producido por tal potencial es id¶entico con la
refracci¶on de un rayo luminoso por una esfera de radio a y un ¶³ndice de
refracci¶on relativo
n =
p
(E + V0)=E :
Soluci¶on. La ecuaci¶on de movimiento puede escribirse, en coordenadas
polares como
m(Är ¡ r_µ
2
) = ¡V0±(r ¡ a) ; mr2 _µ = l0 ;
lo que muestra que se conserva la velocidad transversal (a lo largo de ^µ) y la
componente radial cambia al pasar la esfera seg¶un
_r2
¯
¯
a+ ¡ _r2
¯
¯
a¡ = ¡
2V0
m
:
Indice
página

276. 262 Problemas resueltos.
De all¶³ es f¶acil demostrar lo pedido, pues, ver ¯gura (14.2), se tiene que
V1 sin µ1 = V2 sin µ2;
(V1 cos µ1)2
¡ (V2 cos µ2)2
= ¡2V0=m ; V 2
1 = 2E=m ;
luego
sin µ1 =
p
(E + V0)=E sin µ2 :
! 1
! 2
a
V1
V2
Figura 14.2: Scattering en pozo rectangular
N
Ejemplo 14.0.6 Dos part¶³culas de masa m1 y m2 se mueven bajo la acci¶on
de su atracci¶on gravitacional, una en torno de la otra en ¶orbitas circula-
res, con periodo ¿: Si su movimiento es repentinamente detenido, cayendo
entonces una hacia la otra, demuestre que ellas chocan en un tiempo dado
por
t =
¿
4
p
2
:
Soluci¶on. Para la situaci¶on inicial, ambas part¶³culas describiendo c¶³rculos
en torno de G, se puede establecer que
¿ =
2¼R
p
R
p
GM
;
siendo R = R1 +R2 ; M = m1 +m2: Para la situaci¶on din¶amica, una cayendo
hacia la otra, la segunda ley de Newton implica
Är = ¡
GM
r2
;
Indice
página

277. 263
siendo r = r1 + r2: Una primera integral conduce a
dr
dt
= ¡
p
2GM
r
1
r
¡
1
R
:
Separando variables e integrando nuevamente, se obtiene el tiempo para que
choquen, es decir para que r = R ! r = 0: Ese tiempo resulta
t =
R
p
R¼
2
p
2GM
;
de donde es f¶acil establecer lo solicitado.
N
Ejemplo 14.0.7 Se realizan tres rotaciones activas sucesivas en ¼=2 en tor-
no a los ejes cartesianos x; y; z en ese orden. Encuentre el eje y el ¶angulo de
la rotaci¶on equivalente.
Soluci¶on. La matriz de la rotaci¶on resultante ser¶a
0
@
0 ¡1 0
1 0 0
0 0 1
1
A
0
@
0 0 1
0 1 0
¡1 0 0
1
A
0
@
1 0 0
0 0 ¡1
0 1 0
1
A ;
es decir
R =
0
@
0 0 1
0 1 0
¡1 0 0
1
A ;
de donde 1 + 2 cos Á = Tr(R) = 1; por lo tanto Á = ¼=2: El eje se deduce de
R ¡ RT
=
0
@
0 0 2
0 0 0
¡2 0 0
1
A = 2 sin Á
0
@
0 ¡nz ny
nz 0 ¡nx
¡ny nx 0
1
A ;
de donde se deduce que es una rotaci¶on en noventa grados respecto al eje y.
N
Ejemplo 14.0.8 Pruebe la siguiente relaci¶on entre rotaciones, que genera-
liza el resultado del problema anterior
Rz(Á)Ry(¼=2)Rx(Á) = Ry(¼=2) :
Indice
página

278. 264 Problemas resueltos.
Soluci¶on. La matriz de rotaci¶on ¯nita ha sido escrita en t¶erminos de una
matriz que hemos llamado (^n£). Por una obvia propiedad de los vectores,
tenemos que
R~a £~b = R(~a £ R¡1~b) ;
lo que signi¯ca que la matriz cruz correspondiente a un vector rotado es
(R~a£) = R(~a£)R¡1
:
En consecuencia
RR^n(Á)R¡1
= RR^n(Á):
En particular se tiene
Ry(¼=2)Rx(Á) = Ry(¼=2)Rx(Á)R¡1
y (¼=2)Ry(¼=2)
= R¡z(Á)Ry(¼=2) ;
de donde es claro el resultado.
N
Ejemplo 14.0.9 Demuestre la siguiente relaci¶on de rotaciones que involu-
cran los ¶angulos de Euler, ecuaci¶on 4:7 con la notaci¶on all¶³ indicada:
R = Rz0 (ª)Rn(£)Rz(©) = Rz(©)Rx(£)Rz(ª) :
Soluci¶on. La demostraci¶on est¶a basada en las mismas propiedades del
problema anterior. Considere que
^n = Rz(©)^{ ; ^k0
= R^n(£)^k = RRz(©)^{(£)^k ;
por lo tanto se tiene
R = R^n(£)Rz(ª)R^n(¡£)Rn(£)Rz(©)
= Rz(©) Rx(£)Rz(¡©) Rz(ª)Rz(©)
= Rz(©) Rx(£) Rz(ª):
pues rotaciones en torno a un mismo eje conmutan.
N
Indice
página

279. 265
Z
*
!
X
X '
Y
Y '
Z '
)
Figura 14.3: Angulos de Euler
Ejemplo 14.0.10 Demuestre que las componentes de la velocidad angular,
en t¶erminos de los ¶angulos de Euler son
a) En el sistema m¶ovil
!x0 = _µ cos à + _Á sin µ sin Á ;
!y0 = ¡_µ sin à + _Á sin µ cos Á ;
!z0 = _Ã + _Á cos µ :
b) En el sistema de ejes ¯jos:
!x = _Ã sin µ sin Á + _µ cos Á ;
!y = ¡ _Ã sin µ cos Á + _µ sin Á ;
!z = _Ã cos µ + _Á :
Soluci¶on. De acuerdo al teorema de adici¶on de velocidades angulares se
tiene que
~! = _Á^k + _µ^{00
+ _Ã^k0
; (14.1)
siendo ^{00
= cos Á^{ + sin Á^| =cos Ã^{0
¡ sin Ã^|0
, entonces, para escribirla en
t¶erminos de las direcciones ¯jas basta considerar que
^k0
= cos µ^k + sin µ(sin Á^{ ¡ cos Á^|);
Indice
página

280. 266 Problemas resueltos.
entonces
~! = _Á^k + _µ(cos Á^{ + sin Á^|) +
_Ã(cos µ^k + sin µ(sin Á^{ ¡ cos Á^|));
= ( _Ã sin µ sin Á + _µ cos Á)^{ +
(¡ _Ã sin µ cos Á + _µ sin Á)^| +
( _Ã cos µ + _Á)^k:
Para escribirla en ejes m¶oviles considere de nuevo (14.1)
~! = _Á^k + _µ^{00
+ _Ã^k0
;
y ahora
^k = cos µ^k0
+ sin µ(cos Ã^|0
+ sin Ã^{0
);
entonces
~! = _Á(cos µ^k0
+ sin µ(cos Ã^|0
+ sin Ã^{0
)) +
_µ(cos Ã^{0
¡ sin Ã^|0
) + _Ã^k0
= ( _Á sin µ sin à + _µ cos Ã)^{0
+
(_Á sin µ cos à ¡ _µ sin Ã)^|0
+
(_Á cos µ + _Ã)^k0
N
Ejemplo 14.0.11 Considere una funci¶on escalar V (~r): Determine la nueva
funci¶on escalar U(~r) obtenida rotando la anterior en torno a un eje por el
origen, mediante una rotaci¶on en torno a un eje ^n en un ¶angulo Á.
Soluci¶on. Evidentemente, los valores de la funci¶on rotada U en un punto
~r son los valores de la funci¶on original en el punto R¡1
~r, es decir
U(~r) = V (R¡1
~r):
N
Ejemplo 14.0.12 Se tiene un elipsoide centrado y orientado de acuerdo a
los ejes cartesianos con ecuaci¶on:
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 :
Determine la ecuaci¶on del elipsoide que se obtiene al rotar el anterior en
torno a un eje que pasa por su centro en un ¶angulo Á y en un eje ^n:
Indice
página

281. 267
Soluci¶on. Es conveniente escribir la ecuaci¶on del elipsoide en una forma
matricial
~rT
M ~r = 1;
siendo
M =
0
@
1=a2
0 0
0 1=b2
0
0 0 1=c2
1
A :
De acuerdo al problema anterior, la ecuaci¶on del elipsoide rotado ser¶a
(R¡1
~r)T
M(R¡1
)~r = 1;
o bien
~rT
R^n(Á)MR^n(¡Á)~r = 1:
Falta realizar la multiplicaci¶on matricial indicada, que es un tanto complica-
da. Por ejemplo si, se trata de una rotaci¶on respecto al eje x, resultar¶a
x2
a2
+
µ
cos2
Á
b2
+
sin2
Á
c2
¶
y2
+
µ
sin2
Á
b2
+
cos2
Á
c2
¶
z2
+2 cos Á sin Á
µ
1
b2
¡
1
c2
¶
z y = 1
N
Ejemplo 14.0.13 En la colisi¶on de dos cuerpos r¶³gidos si se conserva la
energ¶³a en el choque, pruebe entonces que el coe¯ciente de restituci¶on es
unitario. Aqu¶³, el coe¯ciente de restituci¶on debe ser de¯nido respecto a la
direcci¶on en que se desarrolla la fuerza de interacci¶on impulsiva (J), ver
¯gura (14.4).
Soluci¶on. Si llamamos ~J a la interacci¶on impulsiva y P1(y P2) al punto
de contacto, 1 y 2 a los centros de masas e indicamos con + y¡ a valores de
las diversas cantidades justo despu¶es y justo antes de la colisi¶on, tenemos
que
M1(~v+
1 ¡ ~v¡
1 ) = ~J ; (14.2)
M2(~v+
2 ¡ ~v¡
2 ) = ¡ ~J ; (14.3)
H1(~!+
1 ¡ ~!¡
1 ) = ~G1P £ ~J ; (14.4)
Indice
página

282. 268 Problemas resueltos.
J J
P
G 1
v
2
G
2
v
1
1
%
2
%
Figura 14.4: Colisi¶on de dos cuerpos r¶³gidos
H2(~!+
2 ¡ ~!¡
2 ) = ¡ ~G2P £ ~J ; (14.5)
y conservaci¶on de energ¶³a
1
2
M1v+2
1 +
1
2
M2v+2
2 +
1
2
~!+
1 ¢ H1~!+
1 +
1
2
~!+
2 ¢ H2~!+
2 =
1
2
M1v¡2
1 +
1
2
M2v¡2
2 +
1
2
~!¡
1 ¢ H1~!¡
1 +
1
2
~!¡
2 ¢ H2~!¡
2 : (14.6)
De las ecuaciones (14.4) y (14.5) se obtiene
~!+
1 ¢ H1~!+
1 ¡ ~!¡
1 ¢ H1~!¡
1 = (~!+
1 + ~!¡
1 ) ¢ ~G1P £ ~J ;
~!+
2 ¢ H2~!+
2 ¡ ~!¡
2 ¢ H2~!¡
2 = ¡(~!+
2 + ~!¡
2 ) ¢ ~G2P £ ~J :
De aqu¶³, con algo de ¶algebra, puede obtenerse de la ecuaci¶on de conservaci¶on
de la energ¶³a
(~v+
1 + ~v¡
1 ) ¢ ~J ¡ (~v+
2 + ~v¡
2 ) ¢ ~J = ¡(~!+
1 + ~!¡
1 ) £ ~G1P ¢ ~J +
+(~!+
2 + ~!¡
2 ) £ ~G2P ¢ ~J ;
pero
~v+
P1
= ~v+
1 + ~!+
1 £ ~G1P ;
y similarmente las otras, entonces
(~v+
P1
+ ~v¡
P1
¡ ~v+
P2
¡ ~v¡
P2
) ¢ ~J ;
Indice
página

283. 269
es decir
(~v+
P1
¡ ~v+
P2
) ¢ ~J = ¡(~v¡
P1
¡ ~v¡
P2
) ¢ ~J :
que signi¯ca coe¯ciente de restituci¶on unidad, en la direcci¶on del impulso de
interacci¶on.
N
Ejemplo 14.0.14 Para el movimiento de un trompo sim¶etrico con su p¶ua
¯ja, discuta la condici¶on que debe cumplir su spin para que su movimiento
vertical sea estable. Considere dados sus momentos de inercia respecto a la
p¶ua, A y C, su masa M y la distancia h desde la p¶ua al centro de masas.
Soluci¶on. Las constantes para el movimiento de este trompo ser¶an
® = A_Á
2
sin2
µ + Cs cos µ = Cs; E =
1
2
Cs2
+ mgh:
Entonces, la ecuaci¶on para _u2
(u = cos µ) resulta
_u2
= f(u) = (2mgh ¡ 2mghu)
1 ¡ u2
A
¡
µ
Cs ¡ Csu
A
¶2
;
que admite como ¶³ndice u1 = 1; u2 = 1; y para la otra
2mhg
1 + u
A
¡
µ
Cs
A
¶2
= 0:
La condici¶on de estabilidad es que esta tercera ra¶³z, sea mayor que 1, es decir
µ
Cs
A
¶2
¸
4mhg
A
:
N
Ejemplo 14.0.15 Considere el movimiento de un trompo sim¶etrico con su
p¶ua ¯ja, en precesi¶on uniforme, es decir con la inclinaci¶on de su eje respecto
de la vertical constante. Deduzca la condici¶on que deben cumplir su spin S
y su velocidad angular de precesi¶on _Á = ­ para que ello ocurra. Considere
dados sus momentos de inercia respecto a la p¶ua, A y C, su masa M y la
distancia h desde la p¶ua al centro de masas, adem¶as de la aceleraci¶on de
gravedad.
Indice
página

284. 270 Problemas resueltos.
!
)
x
y
Figura 14.5: Precesi¶on uniforme
Soluci¶on. Aqu¶³ es preferible partir de cero. Para este caso en el mo-
mentum angular var¶³an s¶olo los vectores unitarios ^{ ; ^k: En efecto, ver ¯g.
(14.5)
~L0 = A_Á sin µ ^{ + Cs cos µ ^k ;
de donde
d~L0
dt
= A_Á sin µ
d^{
dt
+ Cs cos µ
d ^k
dt
= ¡mgh sin µ ^| :
Las derivadas son
d^{
dt
= _Á cos µ ^| ;
d ^k
dt
= ¡_Á sin µ ^| ;
por lo que resulta la condici¶on
A_Á
2
cos µ ¡ Cs_Á + mgh = 0:
Puede notarse que para un spin dado, existe uno, dos, o ni un valor de la
precesi¶on _Á seg¶un sea el signo del discriminante
C2
s2
¡ 4Amgh cos µ:
N
Ejemplo 14.0.16 Respecto al problema anterior, deduzca la condici¶on que
debe cumplir el spin s del trompo, para que el trompo pueda tener movimiento
de precesi¶on uniforme en cualquier ¶angulo µ.
Indice
página

285. 271
Soluci¶on. De la soluci¶on del problema anterior, basta requerir que C2
s2
¡
4Amgh cos µ ¸ 0 para todo µ. Por lo tanto debe ser
C2
s2
¸ 4Amgh:
N
Ejemplo 14.0.17 Considere una barra de largo 2a y masa m que se coloca
horizontalmente en equilibrio sobre el punto m¶as alto de una esfera de radio R
que permanece en reposo. Considerando s¶olo movimiento en el plano vertical
que contiene la barra, escriba la ecuaci¶on de movimiento para el ¶angulo que
gira la barra, considerando que ella no desliza sobre la esfera. Ver ¯gura
(14.6).
G
P
R
m, 2a
GP = R !
!
Figura 14.6: Barra sobre un cilindro
Soluci¶on. Con relaci¶on a la ¯gura, se tiene
xG = R sin µ ¡ Rµ cos µ ; yG = R cos µ + Rµ sin µ :
De all¶³ se obtiene
L =
1
2
mR2
µ2 _µ
2
+
1
2
I _µ
2
¡ mg(R cos µ + Rµ sin µ) ; I =
1
3
ma2
;
y
(I + mR2
µ2
)ĵ + mR2
µ_µ
2
+ mgR cos µ = 0 :
N
Indice
página

286. 272 Problemas resueltos.
Ejemplo 14.0.18 Considere una part¶³cula de masa m que se mueve en un
plano. Las coordenadas el¶³pticas ³ y ´ se de¯nen por:
³ = r1 + r2 ;
´ = r1 ¡ r2 ;
siendo r1 y r2 las distancias de la part¶³cula a dos puntos ¯jos en el plano
del movimiento. Demuestre que en t¶erminos de coordenadas el¶³pticas, el
hamiltoniano de la part¶³cula libre est¶a dado por:
H = 2p2
³
³2
¡ 4c2
³2
¡ ´2
+ 2p2
´
4c2
¡ ´2
³2
¡ ´2
;
siendo 2c la distancia entre los dos puntos ¯jos (focos), ver ¯gura (14.7 ).
!
2
2c
(x,y)
O
r 1 r2
!
1
Figura 14.7: Coordenadas el¶³pticas
Soluci¶on. Una soluci¶on elegante se encuentra en el libro de Arnold,
p¶agina 262 ([2]). Una soluci¶on m¶as de fuerza bruta ser¶³a la siguiente. Con
la notaci¶on indicada en la ¯gura, podemos escribir
r2
= r2
1 + c2
¡ 2r1c cos(µ1) ;
r2
= r2
2 + c2
+ 2r2c cos(µ2) ;
4c2
= r2
1 + r2
2
¡ 2r1r2 cos(µ2 ¡ µ1) ;
x = r1 cos µ1 ¡ c = r2 cos µ2 + c ;
y = r1 sin µ1 = r2 sin µ2;
Indice
página

287. 273
de las cuales se puede obtener
x =
r2
1 ¡ r2
2
4c
; y2
= r2
1 ¡ (x + c)2
;
x =
³´
4c
; y2
=
³2
+ ´2
2
¡
µ
³´
4c
¶2
¡ c2
;
de donde
ds2
= dx2
+ dy2
= a2
d³2
+ b2
d´2
;
con
a2
=
³2
¡ ´2
4(³2
¡ 4c2)
; b2
=
³2
¡ ´2
4(4c2 ¡ ´2)
:
Como L = mv2
=2; se obtiene
L =
1
2
m(a2 _³
2
+ b2
_´2
) ;
y ¯nalmente
H =
p2
³
2ma2
+
p2
´
2mb2
:
N
Ejemplo 14.0.19 Utilice el resultado anterior para escribir el hamiltoniano
de una part¶³cula que es atra¶³da inversamente al cuadrado de su distancias a
dos centros ¯jos.
Soluci¶on. El potencial atractivo hacia los dos centros ¯jos ser¶a de la
forma
V = ¡
k
r1
¡
k
r2
= ¡k
r1 + r2
r1r2
= ¡k
4³
³2
¡ ´2
;
por lo tanto
H =
p2
³
2m
4(³2
¡ 4c2
)
³2
¡ ´2
+
p2
´
2m
4(4c2
¡ ´2
)
³2
¡ ´2
¡ k
4³
³2
¡ ´2
:
N
Ejemplo 14.0.20 Separe e integre la ecuaci¶on de Hamilton Jacobi, para
una part¶³cula que es atra¶³da hacia dos centros ¯jos, utilizando coordenadas
el¶³pticas.
Indice
página

288. 274 Problemas resueltos.
Soluci¶on. La ecuaci¶on de Hamilton Jacobi para la funci¶on caracter¶³stica,
con el tiempo separado, ser¶a
H(³; ´;
@W
@³
;
@W
@´
) = ®1:
Utilizando el hamiltoniano anterior, resultar¶a
2
m
µ
@W
@³
¶2
(³2
¡ 4c2
) +
2
m
µ
@W
@´
¶2
(4c2
¡ ´2
) ¡ k4³
= ®1(³2
¡ ´2
) ;
por lo cual, separando variables se tiene
2
m
µ
@W
@³
¶2
(³2
¡ 4c2
) ¡ k4³ ¡ ®1³2
= ®2 ;
2
m
µ
@W
@´
¶2
(4c2
¡ ´2
) + ®1´2
= ¡®2 ;
que permiten escribir
W =
r
m
2
Z s
k4³ + ®1³2
+ ®2
³2
¡ 4c2
d³
+
r
m
2
Z s
¡®1´2 ¡ ®2
4c2 ¡ ´2
d´:
N
Ejemplo 14.0.21 Considere una part¶³cula movi¶endose en un campo central
de fuerza atractivo inverso al cuadrado de la distancia, de modo que
L =
1
2
mv2
+
k
r
:
Demuestre que la energ¶³a, en t¶erminos de las variables de acci¶on angular,
para coordenadas r y µ en el plano del movimiento, est¶a dada por
E = ¡
2m¼2
k2
(Jr + Jµ)2
:
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página

289. 275
Soluci¶on. Los momentos can¶onicos ser¶an
pr = m _r; pµ = mr2 _µ;
Para el movimiento peri¶odico, con energ¶³a negativa, las variables de acci¶on
son
Jµ = 2¼pµ ; Jr = 2
r2Z
r1
r
2mE ¡
p2
µ
r2
¡
2mK
r
dr ;
siendo r1 y r2 las ¶³ndice de la cantidad subradical. La integral puede calcu-
larse resultando
Jµ = ¡
2mK¼
p
¡2mE
¡ 2¼pµ ;
de donde sigue el resultado.
N
Ejemplo 14.0.22 Escriba y resuelva las ecuaciones de movimiento para un
conjunto de part¶³culas de igual masa que est¶an unidas en l¶³nea recta por
resortes de constante el¶astica K; y largo natural a; para las desviaciones
longitudinales en torno a las posiciones de equilibrio. Considere primero
un conjunto de N part¶³culas estando ¯jas las de los extremos y luego, un
conjunto in¯nito con condiciones de borde peri¶odicas, ver ¯gura (14.8).
q
i
..... .....
m m m
Figura 14.8: Osciladores acoplados
Soluci¶on. El lagrangiano del sistema es
L =
X
i
1
2
m _q2
i ¡
X
i
1
2
K(qi ¡ qi¡1)2
;
de donde se deducen las ecuaciones de movimiento para cada masa
Äqj =
K
m
(qj+1 + qj¡1 ¡ 2qj); j = 1; 2; : : : ; N:
Indice
página

290. 276 Problemas resueltos.
Para un caso (a) tomaremos q0; qN+1 = 0; y para el otro caso (b) tomaremos
q0 = qN ; qN+1 = q1: Para ambos casos, sean las dependencias temporales
qj(t) = Qjei ! t
resultando
¡!2
Qj = ­2
(Qj+1 + Qj¡1 ¡ 2Qj) ; con ­2
=
K
m
; (14.7)
un sistema de ecuaciones homog¶eneo que admite soluci¶on distinta de la trivial
solo s¶³ el determinante de la matriz de los coe¯cientes es cero. Aqu¶³, deben
distinguirse los dos casos. Es decir las frecuencias admisibles ! satisfacen
a)
det
2
6
6
6
6
6
4
!2
¡ 2­2
­2
0 ¢ ¢ ¢ 0
­2
!2
¡ 2­2
­2
0
0 ­2
!2
¡ 2­2 ...
...
... ­2
0 ¢ ¢ ¢ 0 ­2
!2
¡ 2­2
3
7
7
7
7
7
5
= 0
b)
det
2
6
6
6
6
6
4
!2
¡ 2­2
­2
0 ¢ ¢ ¢ ­2
­2
!2
¡ 2­2
­2
0
0 ­2
!2
¡ 2­2 ...
...
... ­2
­2
0 ¢ ¢ ¢ ­2
!2
¡ 2­2
3
7
7
7
7
7
5
= 0
Una alternativa sin embargo es encontrar soluciones no triviales de (14.7).
Para ello suponga
Qj = Cei (j Á)
:
Si se reemplaza en el sistema de ecuaciones se comprueba que ellas son efec-
tivamente soluciones si se cumple
! = 2­ sin
µ
Á
2
¶
:
Para el caso peri¶odico debe adem¶as tenerse
ei (N Á)
= 1;
Indice
página

291. 277
por lo cual, las soluciones admisibles para las frecuencias son
!n = 2­ sin
³¼n
N
´
; con n = 0; 1; 2; :::; N ¡ 1:
El caso de extremos ¯jos, es m¶as complicado y est¶a resuelto en el cap¶³tulo
de sistemas continuos
N
Ejemplo 14.0.23 Para el movimiento de una part¶³cula respecto a un siste-
ma ¯jo a la super¯cie de la tierra, que gira con velocidad angular constante
sometida a su peso y a otras fuerzas que no realizan trabajo virtual, demuestre
que despreciando t¶erminos en !2
las ecuaciones de Lagrange pueden escri-
birse como:
d
dt
@L
@ _qi
¡
@L
@qi
= ¡2m(~! £ ~v) ¢
@~v
@ _qi
:
Soluci¶on. De acuerdo al teorema de Coriolis, la aceleraci¶on absoluta
~aabs puede relacionarse con la aceleraci¶on y velocidades relativas (~a y ~v) de
acuerdo con
~aabs = ~aA + 2~! £ ~v + ~a ;
siendo A un punto origen en la super¯cie terrestre. Si se considera adem¶as
que
mg^k = m~aA +
GMm
R2
^R ;
entonces, la ecuaci¶on de movimiento, segunda ley de Newton, con una fuerza
~F adicional a la gravitacional ser¶a
m(~aA + 2~! £ ~v +~a) = ¡
GMm
R2
^R + ~F ;
entonces
m~a = ¡mg^k ¡ 2m~! £ ~v + ~F :
Ahora es necesario recordar que la siguiente es una identidad
d
dt
@
@ _qi
v2
2
¡
@
@qi
v2
2
= ~a ¢
@~r
@qi
;
luego si se multiplica por la masa y se reemplaza m~a, recordando que ~F ¢
@~r=@qi = 0 si la fuerza no realiza trabajo virtual, entonces
d
dt
@
@ _qi
K ¡
@
@qi
K = (¡mg^k ¡ 2m~! £ ~v) ¢
@~r
@qi
;
Indice
página

292. 278 Problemas resueltos.
adem¶as
@~r
@qi
=
@~v
@ _qi
;
de donde se establece el resultado
d
dt
@L
@ _qi
¡
@L
@qi
= (¡2m~! £ ~v) ¢
@~v
@ _qi
;
siendo el lagrangiano
L =
1
2
mv2
¡ mgz:
N
Ejemplo 14.0.24 Aplique lo anterior para escribir las ecuaciones de movi-
miento de una part¶³cula que oscila en un plano horizontal liso atra¶³da hacia
el origen por una fuerza el¶astica, con in°uencia de la rotaci¶on terrestre. Elija
los ejes x hacia el Sur, y hacia el Este, z vertical, en el punto de latitud ¸:
Soluci¶on. El lagrangiano es
L =
1
2
m( _x2
+ _y2
) ¡
1
2
K(x2
+ y2
) ;
~v = _x^{ + _y ^| ; ~! = ¡! cos ¸ ^{ + ! sin ¸ ^k ;
Äx +
K
m
x = 2! _y sin ¸ ; Äy +
K
m
y = ¡2! _x sin ¸ :
Alternativamente, si se hubieran usado coordenadas polares
L =
1
2
m( _r2
+ r2 _µ
2
) ¡
1
2
Kr2
;
Är ¡ r_µ
2
+
K
m
r = 2r_µ ! sin ¸ ;
d
dt
(r2 _µ + 2r2
! sin ¸) = 0 :
N
Ejemplo 14.0.25 Si el origen del sistema (no inercial) que rota con veloci-
dad angular ~! no est¶a acelerado, muestre que la ecuaci¶on de Lagrange puede
escribirse:
d
dt
@L
@ _qi
¡
@L
@qi
= 0;
si se toma como lagrangiano, el siguiente:
L =
1
2
mv2
¡ V (~r) + m~v ¢ ~! £ ~r +
1
2
m j~! £ ~rj2
:
Indice
página

293. 279
Soluci¶on. La aceleraci¶on absoluta est¶a dada por (Teorema de Coriolis)
~aabs = 2~! £ ~v + ~! £ (~! £ ~r) +
d~!
dt
£ ~r + ~a ;
luego se trata de demostrar que se obtiene correctamente la ecuaci¶on
µ
m2~! £ ~v + m~! £ (~! £ ~r) + m
d~!
dt
£ ~r + m~a + rV
¶
¢
@~r
@qi
= 0: (14.8)
Si denotamos por Li al operador
Li =
d
dt
@
@ _qi
¡
@
@qi
;
se tiene que
Li
1
2
mv2
= m~a ¢
@~r
@qi
;
similarmente
Li(¡V ) =
@V
@qi
= rV ¢
@~r
@qi
;
y
Li(m~v ¢ ~! £ ~r) =
µ
m
d~!
dt
£ ~r + 2m~! £ ~v
¶
¢
@~r
@qi
;
y ¯nalmente
Li
µ
1
2
m j~! £ ~rj2
¶
= (m~! £ (~! £ ~r)) ¢
@~r
@qi
;
que junto con la ecuaci¶on correcta (14.8), prueban que LiL = 0:
N
Indice
página

294. 280 Problemas resueltos.
Indice
página

295. Cap¶³tulo 15
Ap¶endice
15.1 Una ecuaci¶on diferencial.
En mec¶anica juega un papel importante una ecuaci¶on diferencial del tipo
µ
du
dt
¶2
= f(u);
donde supondremos que f(u) es una funci¶on dada, continua en u, positiva
en un intervalo a < u < b (intervalo fundamental) y cero en los extremos.
Un n¶umero importante de propiedades de las curvas integrales (reales) de
esa ecuaci¶on u(t), pueden ser deducidas por argumentos simples, ver ¯gura
(15.1).
² Si u = g(t) satisface la ecuaci¶on, entonces tambi¶en lo hace la curva tras-
ladada horizontalmente g(t+c), siendo c una constante arbitraria. Esto
es consecuencia que en una traslaci¶on no cambia ni la ordenada ni la
pendiente, de modo que si la relaci¶on es satisfecha originalmente, tam-
bi¶en se cumplir¶a al trasladar.
² Si una soluci¶on parte en el intervalo fundamental entonces no puede
tomar valores fuera de ese intervalo, pues si lo hiciera, f(u) ser¶³a ne-
gativa y la pendiente ser¶³a imaginaria.
² Cada curva integral u(t) en el intervalo fundamental toca tangencial-
mente las l¶³neas u = a y u = b y no tiene en otros puntos pendiente
Indice
página

296. 282 Ap¶endice
2T
t
u
T
u = a
u = b
Figura 15.1: Tipo de soluci¶on de una ecuaci¶on diferencial
cero. Esto es bastante evidente, pues por hip¶otesis du=dt > 0 en el
interior del intervalo, y du=dt = 0 en u = a y u = b.
² Una curva integral u(t) es sim¶etrica con respecto a los tiempos donde
la curva toca los extremos u = a y u = b:
Demostraci¶on: sea u(0) = a, un punto inicial en la frontera. Para u
disminuyendo con t aumentando du=dt = ¡
p
f(u) de donde
t = ¡
Z u(t)
a
du
p
f(u)
: (15.1)
Para u aumentando con t aumentando, entonces du=dt =
p
f(u) y
¡t =
Z a
u(t)
du
p
f(u)
;
lo cual implica
t = ¡
Z u(¡t)
a
du
p
f(u)
; (15.2)
luego, comparando 15.1 con 15.2 sigue que u(¡t) = u(t):
² El intervalo de tiempo entre contactos sucesivos de una curva integral
u(t) con un extremo est¶a dado por
T
2
=
Z b
a
du
p
f(u)
:
Indice
página

297. 15.2 Las funciones el¶³ptica Jacobianas. 283
Basta considerar u(T
2
) = b en la demostraci¶on del punto anterior.
² Toda soluci¶on u(t) de la ecuaci¶on diferencial es una funci¶on peri¶odica
con per¶³odo T, es decir
u(t + T) = u(t);
pues la curva es sim¶etrica respecto a los puntos de contacto.
² Si u(t) es una curva integral, la soluci¶on general de la ecuaci¶on dife-
rencial es
u(t + c);
siendo c una constante arbitraria. Note que la ecuaci¶on diferencial es
de primer orden luego la soluci¶on general depende de una constante
arbitraria.
15.2 Las funciones el¶³ptica Jacobianas.
Un caso particular lo constituye la ecuaci¶on diferencial
µ
dy
dx
¶2
= (1 ¡ y2
)(1 ¡ k2
y2
); (0 < k2
< 1):
Se de¯ne la funci¶on el¶³ptica Jacobiana sn(x) como la soluci¶on que satisface
las condiciones sn(0) = 0; sn0
(0) = 1: Por las propiedades generales de la
secci¶on anterior, tal funci¶on es peri¶odica con per¶³odo
T = 2
Z b
a
du
p
f(u)
= 2
Z 1
¡1
dy
p
(1 ¡ y2)(1 ¡ k2y2)
= 4K;
siendo
K =
Z 1
0
dy
p
(1 ¡ y2)(1 ¡ k2y2)
=
Z ¼
2
0
d'
p
1 ¡ k2 sin2
'
;
una integral el¶³ptica completa.
Indice
página

298. 284 Ap¶endice
15.3 El p¶endulo esf¶erico.
Consideremos el movimiento de una part¶³cula de masa m colgando unida
por un hilo de longitud a desde un punto ¯jo, con respecto a un sistema de
referencia inercial con origen en el punto ¯jo, z vertical, x; y horizontales,
ver ¯gura (15.2).
z
z
a
0)
y
x
Figura 15.2: P¶endulo esf¶erico
Considerando algunas aproximaciones, veremos que el movimiento del p¶endulo,
visto en una proyecci¶on sobre el plano horizontal, es una elipse que precesa
en torno a la vertical, con una velocidad angular proporcional al ¶area de la
elipse. Ese efecto de ¶area, puede enmascarar la precesi¶on de Foucault si no
se toman precauciones especiales. En coordenadas cil¶³ndricas, el lagrangiano
del sistema es :
L =
1
2
m( _z2
+ _½2
+ ½2 _Á
2
) ¡ mgz
siendo z2
+ ½2
= a2
de modo que ½_½ = ¡z _z . Entonces
L =
1
2
m
µ
_z2
+
z2
a2 ¡ z2
_z2
+ (a2
¡ z2
)_Á
2
¶
) ¡ mgz;
o sea
L =
1
2
m
a2
a2 ¡ z2
_z2
+
1
2
m(a2
¡ z2
)_Á
2
¡ mgz
Indice
página

299. 15.3 El p¶endulo esf¶erico. 285
de aqu¶³, la ecuaci¶on para Á resulta
(a2
¡ z2
)_Á = h;
adem¶as, podemos usar conservaci¶on de energ¶³a
1
2
m
a2
a2 ¡ z2
_z2
+
1
2
m(a2
¡ z2
)_Á
2
+ mgz = E;
y eliminando _Á, se obtiene
_z2
=
2g
a2
µ
(z2
¡ a2
)
µ
(z ¡
E
mg
¶
¡
h2
2g
¶
= f(z);
ecuaci¶on del tipo considerada en este ap¶endice. Factorizando el polinomio
c¶ubico en la forma
f(z) = (z2
¡ a2
)
µ
z ¡
E
mg
¶
¡
h2
2g
= (z ¡ z1)(z ¡ z2)(z ¡ z3); (15.3)
donde el intervalo fundamental es ¡z1 < z < z2 suponiendo que ¡a < z1 <
z2 < a < z3: Ahora, el cambio de Á cuando z pasa del m¶³nimo z1 al m¶aximo
z2 , llamado ¶angulo apsidal ®; puede obtenerse de
dÁ
dz
=
dÁ
dt
dt
dz
=
h
a2 ¡ z2
1
p
f(z)
=
ha
p
2g
1
a2 ¡ z2
1
p
(z ¡ z1)(z ¡ z2)(z ¡ z3)
;
de modo que
® =
ha
p
2g
Z z2
z1
1
a2 ¡ z2
dz
p
(z ¡ z1)(z2 ¡ z)(z3 ¡ z)
; (15.4)
De la expresi¶on (15.3), evaluada en z = ¡a, se obtiene
h
p
2g
=
p
(a + z1)(a + z2)(a + z3); (15.5)
Para realizar aproximaciones para oscilaciones peque~nas, consideremos que
z1 ¼ z2 ¼ ¡a. Como veremos para este caso debe ser z3 peque~no. En efecto,
la ra¶³ces del polinomio c¶ubico satisfacen
Indice
página

300. 286 Ap¶endice
z1z2z3 =
h2
2g
¡
a2
E
mg
;
z1 + z2 + z3 =
E
mg
;
z1z2 + z1z3 + z2z3 = ¡a2
;
o bien, de la ¶ultima
z3 =
¡a2
¡ z1z2
z1 + z2
;
que tiende a cero en esta aproximaci¶on. Considere adem¶as la expansi¶on en
potencias de z + a (que es peque~no)
1
p
z3 ¡ z
=
1
p
(a + z3 ¡ (z + a)
¼
1
p
(a + z3)
+
1
2
³p
(a + z3)
´3 (z + a);
de modo que, al reemplazar en (15.4), resulta
® =
ha
p
2g
Z z2
z1
1
a2 ¡ z2
dz
p
(z ¡ z1)(z2 ¡ z)
1
p
z3 ¡ z
=
® =
ha
p
2g
Z z2
z1
1
a2 ¡ z2
dz
p
(z ¡ z1)(z2 ¡ z)
0
B
@
1
p
(a + z3)
+
1
2
³p
(a + z3)
´3 (z + a)
1
C
A :
O sea
® =
ha
p
2g
1
p
(a + z3)
µ
I +
1
2(a + z3)
J
¶
;
siendo
I =
Z z2
z1
1
a2 ¡ z2
dz
p
(z ¡ z1)(z2 ¡ z)
;
y
Indice
página

301. 15.3 El p¶endulo esf¶erico. 287
J =
Z z2
z1
1
a ¡ z
dz
p
(z ¡ z1)(z2 ¡ z)
:
Ambas integrales pueden calcularse con la transformaci¶on
z = z1 cos2
µ + z2 sin2
µ;
obteni¶endose
I =
¼
2a
Ã
1
p
(a ¡ z1)(a ¡ z2)
+
1
p
(a + z1)(a + z2)
!
;
J =
¼
p
(a ¡ z1)(a ¡ z2)
;
® =
ha
p
2g
1
p
(a + z3)
(
¼
2a
Ã
1
p
(a ¡ z1)(a ¡ z2)
+
1
p
(a + z1)(a + z2)
!
+
1
2(a + z3)
¼
p
(a ¡ z1)(a ¡ z2)
):
Si adem¶as reemplazamos de (15.5) resulta
® =
¼
2
Ã
1 +
p
(a + z1)(a + z2)
p
(a ¡ z1)(a ¡ z2)
+
a
2(a + z3)
p
(a + z1)(a + z2)
p
(a ¡ z1)(a ¡ z2)
!
():
Recordando que z1 ¼ z2 ¼ ¡a y z3 ¼ 0 entonces
p
(a ¡ z1)(a ¡ z2) ¼ 2a; a + z3 ¼ a;
y resulta
® =
¼
2
(1 +
p
(a2 ¡ z2
1)(a2 ¡ z2
2)
4a2
+
1
2
p
(a2 ¡ z2
1)(a2 ¡ z2
2)
4a2
);
como ½1 =
p
a2 ¡ z2
1 y ½2 =
p
a2 ¡ z2
2 se obtiene
® =
¼
2
(1 +
3½1½2
8a2
) =
¼
2
+
1
2
3A
8a2
;
Indice
página

302. 288 Ap¶endice
de modo que la precesi¶on total de la elipse en una rotaci¶on completa ser¶a
4® ¡ 2¼ =
3A
4a2
;
siendo A = ¼½1½2 el ¶area de la elipse. La velocidad angular de precesi¶on ser¶a
! =
3A
4a2
1
T
=
3A
4a2
1
2¼
p
a=g
;
expresi¶on que puede colocarse en t¶erminos de condiciones iniciales adecuadas
z(0) = ¡a cos ®; _z(0) = 0; _Á(0) = ­;
de modo que h = a2
­ sin2
®: Adem¶as E = 1
2
m(a2
sin2
®)­2
¡ mga cos ® por
lo tanto, para evaluar el otro extremo de z hacemos f(z) = 0 es decir
(z2
¡ a2
)
µ
z ¡
1
2
m(a2
sin2
®)­2
¡ mga cos ®
mg
¶
¡
(a2
­ sin2
®)2
2g
= (z2
¡ a2
)(z + a cos ®) ¡ (z2
¡ a2
)
(a2
sin2
®)­2
2g
¡
(a2
­ sin2
®)2
2g
= (z2
¡ a2
)(z + a cos ®) ¡
1
2
a2
¡
sin2
®
¢
­2 z2
¡ a2
cos2
®
g
= (z2
¡ a2
) ¡
1
2
a2
¡
sin2
®
¢
­2 z ¡ a cos ®
g
= 0;
de donde una soluci¶on es z1 = ¡a cos ®; por lo cual
½1 = a sin ®;
y si llamamos a la otra ra¶³z
z2 = ¡a cos ¯;
resulta
sin2
¯ ¡
a
2g
¡
sin2
®
¢
­2
(cos ¯ + cos ®) = 0;
o aproximadamente
sin2
¯ =
a
g
¡
sin2
®
¢
­2
;
Indice
página

303. 15.4 Operador r: 289
por lo cual
½2 = a
r
a
g
­ sin ®;
y entonces
! =
3A
4a2
1
T
=
3A
4a2
1
2¼
p
a=g
=
3­
8
sin2
®;
lo cual coincide con lo establecido J.L.Synge, pag.56, Encyclopedia of Physics
([19]).
Para el caso de un p¶endulo movi¶endose en la tierra, en un punto de latitud
¸, adem¶as de la precesi¶on de Foucault ­ sin ¸; si el movimiento del p¶endulo
es iniciado quemando un hilito" que lo alejaba de la vertical del lugar,
la rotaci¶on terrestre inicialmente equivale a una precesi¶on inicial del p¶endulo
esf¶erico de magnitud _Á(0) = ­ sin ¸ por lo cual el efecto de ¶area se manifestar¶a
con magnitud
! =
3­ sin ¸
8
sin2
®;
la cual es mucho menor que la de Foucault si la amplitud angular inicial ®
es peque~na.
15.4 Operador r:
En coordenadas cartesianas se de¯ne el operador r mediante
r = ^{
@
@x
+ ^|
@
@y
+ ^k
@
@z
:
15.4.1 Gradiente.
Si se opera sobre una funci¶on escalar Á(x; y; z); rÁ se denomina el gradiente
y se representa por grad(Á), es decir
grad(Á) = rÁ = ^{
@Á
@x
+ ^|
@Á
@y
+ ^k
@Á
@z
:
Indice
página

304. 290 Ap¶endice
El signi¯cado del gradiente sale de considerar, el cambio de la funci¶on Á al
cambiar las coordenadas en cantidades in¯nitesimales dx, dy, dz. Resulta
dÁ =
@Á
@x
dx +
@Á
@y
dy +
@Á
@z
dz
= rÁ ¢ d~r:
Esta ¶ultima relaci¶on contiene todo el signi¯cado del gradiente. Es obvio que
si el cambio de posici¶on del punto ocurre sobre la super¯cie Á =constante
entonces dÁ = 0 y luego rÁ¢d~r = 0. Esto signi¯ca que rÁ es perpendicular a
la super¯cie Á = constante. Esto da cuenta de la direcci¶on del gradiente. Por
otro lado si el cambio de posici¶on ocurre hacia donde Á aumenta, entonces
dÁ > 0 y luego rÁ ¢ d~r > 0, es decir rÁ tiene el mismo sentido que d~r. En
otras palabras el gradiente apunta perpendicularmente a las super¯cies de
valor constante y hacia donde aumenta Á: Respecto a la magnitud considere
un cambio de posici¶on perpendicular hacia donde Á aumenta. Sea d~rx ese
cambio, entonces
dÁ = rÁ ¢ d~rx
= jrÁj jd~rxj ;
luego
jrÁj =
dÁ
jd~rxj
:
15.4.2 Divergencia.
Si se aplica r mediante el producto escalar sobre una funci¶on o campo vec-
torial ~A(x; y; z) se obtiene
div( ~A) = r ¢ ~A =
@Ax
@x
+
@Ay
@y
+
@Az
@z
:
El signi¯cado de la divergencia se obtiene considerando un teorema, llamado
teorema de la divergencia.
I Teorema 15.1
Si V es un volumen, rodeado por la super¯cie S y ^n indica el vector unitario
perpendicular a la super¯cie y hacia afuera del volumen entonces
Z
V
r ¢ ~AdV =
I
S
~A ¢ ^ndS:
Indice
página

305. 15.4 Operador r: 291
Si se considera un volumen muy peque~no entonces podemos aproximar,
y en el l¶³mite ser¶a un resultado exacto
Z
V
r ¢ ~AdV ¼ (r ¢ ~A)V =
I
S
~A ¢ ^ndS;
luego
r ¢ ~A = lim
V !0
1
V
I
S
~A ¢ ^ndS:
La integral I
S
~A ¢ ^ndS
se denomina el °ujo del campo vectorial hacia afuera de la super¯cie cerrada
S, lo cual en la representaci¶on de l¶³neas de un campo vectorial es igual al
n¶umero de l¶³neas que salen de la super¯cie cerrada. En otras palabras la
divergencia es el valor l¶³mite, o sea el °ujo que sale de un punto por unidad
de volumen.
Ausencia de fuentes o sumideros.
Si las l¶³neas del campo vectorial no nacen o terminan de puntos determinados
del espacio entonces
r ¢ ~A = 0:
15.4.3 Rotor de un campo vectorial.
Si se aplica r mediante el producto vectorial sobre una funci¶on o campo
vectorial ~A(x; y; z) se obtiene
rot( ~A) = r £ ~A = (
@Ay
@z
¡
@Az
@y
)^{ +
(
@Az
@x
¡
@Ax
@z
)^| +
(
@Ax
@y
¡
@Ay
@x
)^k:
En este caso la interpretaci¶on del rotor se logra mediante un teorema, llamado
teorema del rotor.
Indice
página

306. 292 Ap¶endice
I Teorema 15.2
Si C es un contorno orientado cerrado que encierra una super¯cie y ^n indica
el vector unitario perpendicular a esa super¯cie y de acuerdo al sentido del
contorno (regla de la mano derecha) entonces
I
c
~A ¢ d~r =
Z
S
r £ ~A ¢ ^ndS:
Si se considera un contorno cerrado muy peque~no, que encierra una ¶area
muy peque~na S podemos aproximar
Z
S
r £ ~A ¢ ^ndS ¼ (r £ ~A ¢ ^n)S =
I
c
~A ¢ d~r:
La integral I
c
~A ¢ d~r
se denomina la circulaci¶on del campo vectorial alrededor del contorno cerra-
do. De este modo tenemos una interpretaci¶on de la componente del rotor
perpendicular a una super¯cie in¯nitesimal mediante
r £ ~A ¢ ^n = lim
S!0
1
S
I
c
~A ¢ d~r;
donde S es perpendicular a ^n. Por lo menos indiquemos en una ¯gura dos
posibles formas (a) y (b) que tiene el campo vectorial en el plano xy de modo
que resulte rotor distinto de cero en la direcci¶on z
15.4.4 Algunas propiedades.
I Teorema 15.3
Si r £ ~F = 0 entonces ~F = ¡rÁ:
I Teorema 15.4
Si r £ ~F = 0 entonces
H
~F ¢ d~r = 0:
I Teorema 15.5
Si ~F = ¡rÁ entonces
R 2
1
~F ¢ d~r = ¡(Á2 ¡ Á1):
Indice
página

307. 15.4 Operador r: 293
(a) Gradiente transversal (b) Vórtice
Figura 15.3: Signi¯cado de rotor no nulo.
15.4.5 El Laplaciano r2
.
Este se de¯ne as¶³
r2
Á = r ¢ (rÁ);
o sea es la divergencia del gradiente.
El caso en que r2
Á = 0, es importante. Esto es cuando las l¶³neas del
gradiente no tienen fuentes ni sumideros. Si el Laplaciano de una funci¶on
escalar es cero en una regi¶on sea S la super¯cie cerrada que la rodea. Entonces
en su interior
0 = r2
Á =
@2
Á
@x2
+
@2
Á
@y2
+
@2
Á
@z2
;
o sea las segundas derivadas parciales en el interior no pueden tener el mismo
signo, o sea no hay m¶aximos ni m¶³nimos de Á donde el Laplaciano es nulo. por
lo tanto si Á constante en la super¯cie, entonces es constante en su interior.
Indice
página

308. 294 Ap¶endice
Indice
página

309. Bibliograf¶³a
[1] J. D. W. Alexander L. Fetter. Theoretical Mechanics of Particles and
Continua. Mac.Graw Hill, 1980.
[2] V. Arnold. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer
Verlag, 1978.
[3] Barton. Astronomical Journal, 71:438, 1966.
[4] Barton. Astronomical Journal, 72:1281, 1967.
[5] Elsgoltz. Ecuaciones Diferenciales y Calculo Variacional. 1969.
[6] E.T.Whittaker. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and
Rigir Bodies. Dover, New York, 1944.
[7] Goldstein. Mecanica Clasica.
[8] K. Gottfried. Quantum Mechanics. W.A.Benjamin, 1966.
[9] M. Gutzwiller. Chaos in Classical and Quantum Mechanics. Springer
Verlag, 1991.
[10] J.A.Blackburn. Stability and hopf bifurcations in an inverted pendulum.
American Journal of Physics, 60:903, 1992.
[11] L.A.Pars. Introduction to Dynamics. Cambridge at the University press,
1953.
[12] L. Y. Lifshitz. Fisica Teorica, Mecanica. Revert, 1965.
[13] S. Mares. Introduction to Applied Geophysics. D.Reidel Publishing Co,
1984.
Indice
página

310. 296 BIBLIOGRAF¶IA
[14] J. M.Henneaux, C.Teitelboim. Gravity in Higher Dimensions. VI Sym-
posium on Relativity and Gravitation, Brasil 1987.
[15] M.W.Dittrich. Classical and Quantum Dynamics. Springer-Verlag, 1992.
[16] F. Scheck. Mechanics. Springer Verlag, 1990.
[17] R. A. Serway. F¶³sica Tomo II. McGraw-Hill, 1982.
[18] J. L. Synge. Principles of Mechanics. Mac Graw Hill, New York, 1959.
[19] J. L. Synge. Encyclopedia of Physics, Classical Dynamics. Springer
Verlag, 1960.
[20] W.McMillan. Dynamics of Rigid Bodies. Dover, New York, 1936. Indice
página

311. ¶Indice de Materias
Acci¶on
de¯nici¶on de, 149
forma hamiltoniana, 154
Aceleraci¶on de arrastre, 20
Angulos de Euler, 48, 55
Area
efecto de, 289
Binet
ecuaci¶on de, 11
Bola
problema ejemplo, 113
Bola de billar
un ejemplo, 73
C¶onica
de¯nici¶on, 11
tipos de, 12
Campo central de extremales, 152
Can¶onica
formas de la transformaci¶on, 169
transformaci¶on, 167
Cassinis
f¶ormula de, 24
Condici¶on de existencia
de la funci¶on generadora, 170
Condiciones de frontera.
Ecuacin de onda., 215
Condiciones iniciales.
Ecuacin de onda., 216
Cono del cuerpo, 88
Cono del espacio, 88
Coordenadas de laboratorio, 37
Coordenadas el¶³pticas, 272
Coordenadas generalizadas, 94
Coordenadas normales, 130
Coriolis
aceleraci¶on de, 20
teorema, 20
teorema de, 277
Cosenos directores, 42
Cuerpo r¶³gido, 59
Curva
C-discriminante, 154
D'Alembert
Solucion de la ecuaci¶on de on-
da., 243
Diagonalizaci¶on
de matriz de inercia, 62
en oscilaciones peque~nas, 128
Ecuaci¶on
de Binet, 11
de Hamilton Jacobi, 157, 187
integral de la trayectoria, 14
Ecuaci¶on c¶ubica, 254
Ecuaci¶on de Jacobi, 154
Ecuaciones
de Euler, 75
de Hamilton, 137
de Lagrange, 93
Indice
página

312. 298 ¶INDICE DE MATERIAS
de movimiento, 4
Ecuaciones de Lagrange
para v¶inculos no holon¶omicos,
151
Ejes principales de inercia, 62
Elipsoide de inercia, 62
Energ¶³a
mec¶anica, 7
p¶erdida en el scattering, 39
potencial de interacci¶on, 7
Energ¶³a cin¶etica
en oscilaciones peque~nas, 123
Energ¶³a cin¶etica de un cuerpo r¶³gido,
61
Energ¶³a potencial
en oscilaciones peque~nas, 125
potencial, 7
Equilibrio
en oscilaciones peque~nas, 124
Espacio de fase, 138
Estabilidad
de posici¶on de equilibrio, 124
Estabilidad de puntos cr¶³ticos, 139
Euler
¶angulos de, 48
ecuaciones de, 75
par¶ametros de, 53
teoremas sobre rotaciones, 41
Excentricidad, 11
Fluidos incompresibles., 230
Forma bilineal invariante, 181
Foucault
p¶endulo de, 26
precesi¶on de, 27, 284
Fuerza
central, 9
de Lorentz, 29
dependiente de la velocidad, 104
gravitacional, 22
Fuerzas de v¶³nculos, 94
Fuerzas ¯cticias, 20
Funci¶on
homog¶enea de grado p, 103
Funci¶on caracter¶³stica de Hamilton,
191
Funci¶on el¶³ptica jacobiana, 283
Funci¶on generadora
condici¶on de existencia de, 180
Funci¶on principal de Hamilton, 188
Funciones generadoras, 169
Galileo
transformaci¶on de, 1
Generadoras
funciones, 169
Grados de libertad, 94
Gravedad
aceleraci¶on local, 22
en t¶erminos de la latitud, 23
Hamilton
ecuaciones de, 137
funci¶on caracter¶³stica de, 191
funci¶on principal de, 188
principio variacional, 93
principio variacional de, 150
Hamilton Jacobi
m¶etodo de, 187
Hamiltoniano, 100
teorema de conservaci¶on, 102
Identidad
relacionada con ecuaciones de
Lagrange, 116
Identidad ¶util, 255
introducci¶on, xi
Indice
página

313. ¶INDICE DE MATERIAS 299
Invariante adiab¶atico, 201
Jacobi
ecuaci¶on de, 154
ecuaci¶on para curva C- discri-
minante, 153
Kepler, 35
ley de, 14
Koenig
teoremas de, 4
Lagrange
ecuaciones de, 93, 97{99, 150
multiplicadores de, 97
par¶entesis de, 173
Lagrangiano, 98
Lagrangiano aproximado
en oscilaciones peque~nas, 125
Larmor
precesi¶on de, 29
teorema de, 28
Legendre
transformaci¶on de, 100, 169
transformada de, 246
Lie
algebra de, 48
Lorentz
fuerza de, 29
M¶etodo de Hamilton Jacobi, 187
Masa reducida, 8, 33
Masa variable, 15
Matrices de Pauli, 51
Matrices unimodulares, 49
Matriz
de inercia de un cuerpo r¶³gido,
60
Matriz de inercia
rotaci¶on de ella, 64
traslaci¶on de ella, 64
Momento can¶onico
teorema de conservaci¶on, 102
Momento de inercia, 61
Momentos can¶onicos, 99
Momentum angular de un cuerpo
r¶³gido, 60, 61
Movimiento cuspidal.
Trompo., 83
Newton
ley de acci¶on y reacci¶on, 4
segunda ley, 4, 28
en sistema no inercial, 20
No holonmico.
Vnculo., 97
Noether
ejemplos, 107
formas del teorema, 165
teorema de, 106, 162
Notaci¶on simpl¶ectica, 171
Ondas sonoras., 232
Orbita
cuasi el¶³ptica, 245
Oscilaciones peque~nas, 123
Oscilador arm¶onico
ejemplo de, 145
ejemplo Hamilton Jacobi, 193
ejemplo invariante adiab¶atico,
202
P¶endulo esf¶erico, 27, 284
P¶endulo simple, 146
un ejemplo de perturbaci¶on, 198
Par¶ametro de impacto, 33
Par¶ametros de Cayley Klein, 49
Par¶ametros de Euler, 53
Indice
página

314. 300 ¶INDICE DE MATERIAS
Par¶entesis de Lagrange, 173
Par¶entesis de Poisson, 172
Pauli
matrices de, 51
Per¶³odo del movimiento, 196
Peso
de¯nici¶on de, 21
Poinsot
Eliposide de, 77
Poisson
par¶entesis de, 172
Potencia en ondas., 227
Potencial efectivo, 10
Pozo rectangular de potencial, 245
Precesi¶on
efecto de ¶area, 27
Precesi¶on uniforme.
Trompo., 81
Producto de inercia, 61
Promedios temporales
en ¶orbita el¶³ptica, 260
Puntos conjugados, 158
Puntos cr¶³ticos, 138
Rotaci¶on
activa de un vector, 44
de un sistema, 41
en torno a ejes cartesianos, 44
¯nita de un vector, 45
in¯nitesimal, 47
pasiva de un vector, 43
Rutherford
scattering de, 35
Scattering, 33
¶angulo de, 33
secci¶on diferencial, 35
Scattering de Rutherford, 35
Secci¶on e¯caz, 246
Similaridad
transformaci¶on de, 50
Sistema
de dos part¶³culas, 7
de masa variable, 15
de referencia, 1
de referencia celestial, 2
de referencia no inercial, 19
inercial de referencia, 2
r¶³gido de part¶³culas, 59
Sistema cont¶³nuos, 205
Sistema continuos, 213
Sistemas aut¶onomos, 138
Sistemas conservativos, 138
Solucin de D'Alembert., 219
Steiner
teorema de, 64
Teor¶³a de perturbaci¶on, 197
Teorema
conservaci¶on momentum angu-
lar, 9
de adici¶on de velocidades angu-
lares, 55
de conservaci¶on del hamiltonia-
no, 104
de Coriolis, 20
de Larmor, 28
de Noether, 106
de Steiner, 64
energ¶³a trabajo, 6
Teorema de la divergencia.
Divergencia., 290
Teorema del rotor., 291
Teoremas
de conservaci¶on, 102
Indice
página

315. ¶INDICE DE MATERIAS 301
sobre ejes principales de iner-
cia, 62
Tierra
movimiento relativo a, 21
Transformaci¶on can¶onica, 167
Transformaci¶on de similaridad, 50
Trompo dormido, 112, 248, 269
Trompo dormido.
Estabilidad., 81
Trompo en precesi¶on uniforme, 248
Trompo sim¶etrico, 108
ecuaciones de movimiento, 79,
108
Unimodulares
matrices unimodulares, 50
V¶³nculos, 94
V¶³nculo no integrando, 97
Vnculo no holonmico., 97
Variable de acci¶on angular, 195
Variaci¶on
de los extremos en la acci¶on,
155
primera de la acci¶on, 152
segunda de la acci¶on, 152
Velocidad angular, 54
Velocidad de grupo., 239
Vertical del lugar, 21
Virtuales
cambios virtuales, 94
desplazamientos virtuales, 95
Indice
página