Racionales PSU Matemática

Oliver Rodrigo Henríquez Aracena http://oliverclases.4shared.com
Preparación PSU De Matemática
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Guía Nº5 De Contenido PSU Matemática 2010
Contenidos:
 Conjuntos Numéricos
 Números Reales
 Números Irracionales, Racionales

Introducción

Trabajar con números requiere tener un dominio sobre estos, ya que debemos reconocer a
que conjuntos pertenecen y así aplicar propiedades que corresponden y se cumplen dentro
de esos conjuntos, por esta razón este trabajo de investigación tiene como finalidad brindar
al estudiante las herramientas necesarias para poder trabajar con los números, tales
herramientas como saber reconocer los distintos conjuntos que se encuentran dentro de los
reales y saber cómo trabajar con ellos, dichos temas y otros más se profundizan este
trabajo.
Números Racionales (Q)

Representación de números racionales en la recta numérica.

Recordemos que el conjunto de los números enteros se denota por y se define de la
manera siguiente:

Podemos representar los números enteros como puntos de una recta de la manera siguiente:

El segmento de recta comprendido entre dos números enteros consecutivos se llama
"segmento unidad".

De manera similar, recordemos que el conjunto de los números racionales se denota por y
se define de la manera siguiente:

Debido a que si , , entonces se cumple que ; se conviene en
representar los números racionales preferentemente por medio de fracciones en las cuales el
denominador es un número entero positivo.

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Recordemos además que si , , , el número racional se puede considerar
como el cociente que se obtiene al dividir por ; en donde indica el número de partes en
que se divide la unidad y el número de partes que se toman.

De esta manera, si se divide en dos partes iguales cada segmento unidad en la recta
numérica, podemos representar los números racionales cuya representación fraccionaria
tiene como denominador 2, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo

Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:

a. b. c. d.

Solución:

De igual manera, si se dividen en tres partes iguales cada segmento unidad en la recta,
podemos representar los números racionales cuya representación fraccionaria tiene como
denominador 3, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo

Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:

a. b. c. d.

Solución:


Generalizando el procedimiento descrito anteriormente se puede representar cualquier
número racional en la recta numérica.

Nota: También se pueden representar los números racionales en la recta numérica,
considerando su expansión decimal y ubicándolos en forma aproximada en la recta
numérica, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo

Represente en una recta numérica los siguientes números racionales.

a. b. c. d.

Solución

Utilizando la calculadora se puede notar que:

a. c.

b. d.

De esta manera

Opuesto de un número racional

Para cada número racional , existe otro número racional que llamaremos opuesto de y
lo denotaremos por .

Ejemplo: El opuesto de es .



1. El opuesto de es .




Observación:

1. El número racional y su opuesto se representan en la recta numérica a la
misma distancia de cero, en sentidos opuestos.

2. Si es un números racional entonces se cumple que

Así

Nota:

Dada la última observación se deduce que un número racional y su opuesto tienen "signo
contrario". Por ejemplo:





Subconjuntos de los números racionales

Recordemos que si y son conjuntos y si todo elemento de es elemento de ,
entonces se dice que es subconjunto de

Notación

Si y son conjuntos y es subconjunto de se escribe . Si no es subconjunto
de se escribe .

Si es un elemento del conjunto , se escribe . Si no es un elemento del
conjunto se escribe .

Ejemplo

Considere los conjuntos y definidos por:

Como todo elemento de es elemento de entonces .

Note además que ¿Por qué?

Por otra parte observe que , , , , .


Algunos subconjuntos particulares de los números racionales

Note que el número natural 6 se puede representar como , por lo tanto .

En forma similar, el número natural 29 se puede representar como , por lo tanto .

En general, si , se puede representar como , por lo tanto todo número natural es
racional, es decir, .

De igual manera, el número se puede representar como , por lo tanto, .

En general, si , entonces se puede representar como , por lo tanto, todo número

entero es racional, es decir, .

Definición

Sea , , , se dice que el número racional es positivo si y sólo sí y son
ambos positivos o ambos negativos.

Al conjunto cuyos elementos son los números racionales positivos se le denota . Note

que .

Definición

Sea , , , se dice que el número racional es negativo si y sólo sí entre los
números enteros y , uno de ellos es positivo y el otro es negativo.


Al conjunto cuyos elementos son los números racionales negativos se le denota . Note

que .

Observación

Los números racionales positivos se representan en la recta numérica a la derecha de cero y
los números racionales negativos se representan a la izquierda de cero.

Ejemplo

1. Son números racionales positivos los siguientes:

a. b. c. d.

2. Son números racionales negativos los siguientes:

d. b. c. d.

Si se representan gráficamente estos números se tiene

Observación

ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NUMEROS RACIONALES

 Es un conjunto Infinito.
 Es un conjunto muy denso, entre dos números racionales siempre existe otro número
racional.
 Todo número racional tiene una expresión decimal equivalente.

 A cada número racional le corresponde un punto en la recta numérica, pero a todo
punto no le corresponde un número racional.
 Es un conjunto ordenado, entre dos números racionales diferentes, siempre es uno
mayor que el otro.

Las fracciones irreductibles, representan una clase de equivalencia y forman el
conjunto de los números racionales Q,

DE FRACCION A NUMERO DECIMAL

FRACCION TIPO
EXPRESIÓN DECIMAL

3 3 15 Exacto o
= = 1,5 limitado
2 2 10
5 5 Periódico
= 0,4545... puro
11 11
13 13 Periódico
= 2,1666... mixto
6 6

Además los números decimales se pueden clasificar en:
a) decimales finitos: son aquellos que tienen fin, es decir, no hay un número que se repita.
Ejemplos: 4,56 ; 0,0003 ; 2,9876 : 0,1 ; 3,42 , etc.
Siempre que se divida el numerador por el denominador, y la división termine y se obtenga
resto cero, la división es exacta y su resultado será un decimal finito.

Un decimal finito representa una fracción decimal.
b) decimales infinitos: son aquellos números que no se acaban, es decir, hay uno o varios
números que se repiten infinitamente. Por ejemplo: 0,333333..... Es infinito por que el 3 se
repite indefinidamente. Estos números son divisiones inexactas. No representan una
fracción decimal.


Los decimales infinitos pueden ser: infinitos puros, infinitos periódicos e infinitos
semiperiódicos.
Al conjunto de los números racionales sólo pertenecen los números decimales infinitos
periódicos y semiperiódicos. Los decimales infinitos puros pertenecen al conjunto de los
números irracionales, porque no pueden transformarse en fracción.
c) decimales infinitos periódicos: son aquellos que tiene una o más cifras que se repiten
sucesiva e infinitamente, formando el período. Se escribe en forma abreviada coronando
al período con un pequeño trazo.

d) decimales infinitos semiperiódicos: En estos decimales aparecen una o más cifras
antes del período. El número formado por dichas cifras se llama anteperíodo (es un
número que está entre la coma y la rayita).

Transformación de un decimal finito a fracción
Se convierte el número a fracción decimal y, si se puede, se simplifica. Para transformar el
número decimal a fracción decimal se utilizan potencias de diez (10, 100, 1.000, etc.). Se
colocan tantos ceros como cifras decimales tenga el número.
Ejemplo 1: 0,045 = 45 : 5 = 9 Se anota el número, en este caso 45.
1000 : 5 200 Se divide por 1.000, porque hay tres espacios
decimales ocupados, luego simplificamos por 5
Ejemplo 2: 1,2 = 12 :2 = 6
10 :2 5

Transformación de un decimal infinito periódico en fracción
Los pasos a seguir son los siguientes:
1) Se anota el número y se le resta él o los números que están antes del período (de la
rayita)


2) Se coloca como denominador un 9 por cada número que está en el período (si hay un
número bajo la rayita se coloca un 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99, etc.).
Si se puede simplificar, se simplifica.

Otro ejemplo: Expresar como fracción 57,1888888....
57,18¯ = 5.718 – 57= 5.661 : 9 = 629
99 99 : 9 11
Transformación de decimal infinito semiperiódico a fracción
1) El numerador de la fracción se obtiene, al igual que en el caso anterior, restando al
número la parte entera y el anteperíodo, o sea, todo lo que está antes de la “rayita”.
2) El denominador de la fracción se obtiene colocando tantos 9 como cifras tenga el
período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo. Como siempre, el resultado se expresa
como fracción irreductible (no se puede simplificar más) o como número mixto.

Operaciones con fracciones

Adición y sustracción:

Procedemos según sea el caso de los denominadores. Cabe destacar que los enteros pueden
ser positivos o negativos así que debe recordarse la Ley de los signos.
 Signos iguales se suman y se coloca el mismo signo + * + = + ; -* - = -

 Signos diferentes se restan y se coloca el signo del mayor +* - = - ; - *+ = -

Fracciones de igual denominador:


Para sumar fracciones con igual denominador, se suman los denominadores y se deja el
mismo denominador.

En general:

Ejemplo:

Fracciones con distintos denominadores:

Para esto de buscan dos fracciones equivalentes de los dados que tengan el mismo
denominador, después se suman dichas fracciones equivalentes.

 Método de las cruces:

El numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, el
numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción, luego el
denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción.



 Método del mínimo común múltiplo (m.c.m):

El m.c.m se define como elementos comunes y no comunes con su mayor exponente. Esto
quiere decir que los números son descompuestos en sus factores primos (2, 3,5 7, 11…) y
se toman en cuenta los de mayor exponente.

El m.c.m va a ser el denominador común y los numeradores el resultado del m.c.m entre el
denominador por el numerador.

Ejemplo:

 Método de la serpiente:


Viene dada de la siguiente forma:
Se multiplica el primer numerador por el segundo denominador y el tercer denominador;
luego se multiplica el segundo numerador por el primer denominador y el tercer
denominador; y el tercer numerador multiplicado por el segundo denominador y el primero
denominador; y se multiplican todos los denominadores.

Ejemplo:

Ejemplos de aplicación a problemas

1.- El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los
contables. A Cheo le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera
(1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total , ¿que parte del
trabajo tiene que realizar Cheo?

Solución:

Respuesta: Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo.

2.- A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella
dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la
tocó a María?

Solución:

Respuesta: A María le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre.
Multiplicaciones:


La multiplicación de dos números racionales es otro número racional cuyo numerador es el
producto de los denominadores es el producto de los denominadores, sean a/b y c/d dos
números racionales: donde b y d ≠ O se cumple que:

División:

Potenciación:

Viene dada de las siguientes maneras según el exponente.



5°) Potencia de una potencia:

Para toda fracción a/b donde a/b ≠O m, n E Z, se cumple que para calcular la
potencia de una potencia se deja la misma base y se multiplican los exponentes.



Multiplicación y división de potencia de igual base:

En este tipo de potencia se conservan las bases y se suman o se restan los exponentes.



Numero mixto:

Viene Dado de la siguiente forma:

No olvidar que el conjunto de los raciones son:


Números Irracionales (I)

Los números racionales se expresan mediante los números decimales exactos o periódicos.
En cambio, los números irracionales son números decimales ilimitados no periódicos o
semiperiodicos. Por ejemplo:

1,04004000400004000004...

-5,762576255762555762...

Es decir los números irracionales son aquellos números que no se pueden expresar como
una fracción.

La raíz cuadrada de 2 ( )

En la calculadora aparece: 1,414213562…….

Siempre aparecerá como una aproximación. Un ordenador tampoco conseguiría enseñarte
el número completo, ya que es infinito y no es periódico.

Otros ejemplos de raices son:

 3 = 1,732 050...
 5 = 2, 236 067 ...
 7 = 2, 645 751 ...
 11 = 3, 316 624 ...

Ejemplos de números importantes en los irracionales:

 El número Pi ( )

Es el número que más has utilizado. Es necesario para calcular la longitud de una
circunferencia, el área de un círculo o los volúmenes de los cuerpos de revolución.

El valor = 3'14 no es más que una aproximación. Un ordenador o calculadora te
proporciona una aproximación mejor.

= 3'141592654


 El número e

Posiblemente es uno de los números más importantes en el mundo científico tecnológico.
Apretando las teclas "1" y " " de la calculadora obtendremos lo siguiente:

e = 2,718281828

La constante matemática e es uno de los más importantes números reales. Se relaciona con
muchos interesantes resultados. Por ejemplo, la derivada de la función exponencial f(x) = ex
es esa misma función. El logaritmo en base e se llama logaritmo natural o neperiano.

El número e, conocido a veces como número de Euler o constante de Napier fue reconocido
y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el
concepto de logaritmo en el cálculo matemático.

Está considerado el número por excelencia del cálculo, así como π lo es de la geometría e i
del análisis complejo. El simple hecho de que la función ex coincida con su derivada hace
que la función exponencial se encuentre frecuentemente en el resultado de ecuaciones
diferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe el comportamiento de
acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas, como pueden ser la velocidad de
vaciado de un depósito de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el
movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio
metálico en caso de terremoto. De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la
ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un
condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento
de células, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y
muchos más.

 El número plateado:

El número plateado o razón plateada es una constante matemática. Su nombre es una
alusión a la razón áurea; análoga a la forma en que el número áureo es la proporción
limitante de la sucesión de Fibonacci, el número plateado es la proporción limitante de la
sucesión de Pell. El término número plateado a veces es confundido con el número plástico.

Se sigue de esta definición que:


 Constante de Apéry:

En matemáticas, la constante de Apéry es un número curioso que aparece en diversas
situaciones. Se define como el número ζ(3),

donde ζ es la función zeta de Riemann. Y tiene un valor de

Este valor debe su nombre a Roger Apéry (1916-1994), quien en 1977 probó que era
irracional. Este resultado es conocido como "Teorema de Apéry". La prueba original es
compleja y pruebas más cortas han sido halladas usando los Polinomios de Legendre.

El resultado ha permanecido bastante aislado: poco se sabe sobre ζ(n) para otros números
impares n.

 Constante de Copeland Erdös

La constante de Copeland-Erdős es una constante formada por la concatenación de "0," y
la sucesión ordenada de los números primos en base 10. Su valor es aproximadamente

0,235711131719232931374143… (sucesión A33308 en OEIS).

Esta constante es irracional. Por el Teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones
aritméticas, para cada m existen números primos de la forma

k10m + 1 + 1.

De esto se deduce que existen números primos cuya expresión decimal contiene al menos m
ceros seguidos de un uno. Por tanto, la expresión decimal de la constante de Copeland-
Erdős contiene secuencias arbitrariamente largas de ceros seguidos de un uno, y por tanto
no puede terminar nunca y tampoco puede ser periódica. La conclusión es que la constante
es irracional (Hardy y Wright, pág. 113).

Por un argumento similar, cualquier constante creada por la concatenación de "0," y todos
los primos de una progresión aritmética , donde a es coprimo con d y 10, es
irracional. Por ejemplo, la concatenación de los números primos de la forma 4n + 1 o 8n −
1. Por el teorema de Dirichlet, la progresión aritmética contiene primos


para todo m, y esos primos también están en , así que la concatenación de
primos contiene secuencias arbitrariamente largas de ceros.

En base 10 la constante es un número normal, un hecho demostrado por Arthur Herbert
Copeland y Paul Erdős en 1946 (de ahí el nombre de la constante).

La constante viene dada por esta fórmula:

donde p(n) es el n-ésimo número primo.

Su expresión en fracción continua es [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …]

 Constante de Erdös Borwein

La Constante Erdős–Borwein es la suma del recíproco de los números de Mersenne. Se le
llamó así en referencia a Paul Erdős y Peter Borwein.

Se define como:

Se puede demostrar que las siguientes formas son equivalentes a la anterior:


Donde σ0(n) = d(n) es la función divisor, una función multiplicativa que equivale al número
de divisores positivos del número n. Para probar la equivalencia de estas sumas, note que
todas toman la forma de la Serie de Lambert y puede ser resumida como tal.

Erdős probó en 1948 que la constante E es un número irracional.

Ya sabes cómo se representan los números racionales en la recta numérica (fig1.6)

A cada número racional le corresponde un punto en la recta pero en realidad éstos no
completan la recta, también la constituyen los irracionales. En general, representar un
número con infinitas cifras decimales no periódicas es imposible y por lo tanto nos
tendríamos que conformar con una aproximación. De todas maneras, hay métodos
geométricos que permiten representar algunos números irracionales en la recta numérica.

Veamos como se puede representar, por ejemplo, :

Hay que tener claro que =1,414..., es decir, 1< <2

Observa el cuadrado del dibujo, si ampliamos el teorema de Pitágoras para hallar su
diagonal comprendemos esto:

Con la ayuda de un compás podemos representar exactamente en la recta numérica.
Sabemos que es un número irracional, por lo tanto, el punto P de la recta no puede estar
ocupado por ningún otro número irracional.

En esta recta representamos los números irracionales y-

Historia de cómo se descubrieron los números Irracionales

La Escuela Pitagórica descubrió la existencia de números irracionales, es decir,
números que no eran naturales (1,2,3,...), ni enteros (...-3,-2,-1.0,1,2,3,...) ni
racionales (fracciones de números enteros).

Ellos los llamaron números inconmensurables.
Es posible que este descubrimiento se produjera al intentar resolver el problema
siguiente:
Si se traza un cuadrado cuyo lado mida la unidad, es decir 1, y se intenta calcular
lo que mide la diagonal utilizando el Teorema de Pitágoras, podemos dividir el
cuadrado en dos triángulos rectángulos cuya hipotenusa es la diagonal d del
cuadrado. En resumen tenemos dos triángulos rectángulos iguales con catetos que
miden 1.
Si ahora aplicamos el Teorema de Pitágoras tenemos que se verifica el siguiente
desarrollo despejando d en la relación pitagórica.

Y el número es irracional ("infinitas cifras decimales no
periódicas"), tal y como vamos a probar más adelante.
Los pitagóricos se sorprendieron mucho de la existencia de
este tipo de números "tan raros" que contradecía su doctrina
que preconizaba la adoración del número como ente perfecto
que gobernaba el universo y todo lo que en él existía. Al

parecer llegaron a decidir mantener en secreto su descubrimiento que mostraba la
fragilidad de sus creencias, pero uno de ellos lo reveló traicionando a la secta por
lo que fue ejecutado.
Euclides (300 a.C.) recoge en su obra Los Elementos una referencia a los
números irracionales y prueba el siguiente teorema que, posiblemente ya fue
probado casi 300 años antes por el propio Pitágoras o alguno de sus discípulos:

Teorema.- El número es irracional.
Demostración.-

Vamos a ver una prueba aplicando el método de reducción al absurdo, que
consiste en suponer cierto lo contrario de lo que afirmamos en el teorema para
llegar a una contradicción, es decir que este supuesto no es posible.

Supongamos entonces que no es un número irracional, es decir que es
racional y por tanto habrá una fracción irreducible (que no se puede simplificar
más), de modo que:

con p y q números enteros y entonces:

y si elevamos al cuadrado los dos miembros queda:

y por lo tanto es un número par, lo cual implica que también lo es, pues el
cuadrado de un número impar es impar y el cuadrado de un número par es par.

Por tanto, al ser un número par es múltiplo de 2, es decir será del
tipo , con m un número entero. Si ahora sustituimos en la igualdad
anterior y operamos:


con lo que es par y también, es decir con n un número entero,
luego la fracción irreducible inicial queda:

y se ha podido reducir, en contra de lo que habíamos supuesto al principio.
Concluimos que no puede ser una fracción, no puede ser racional.

Historia de cómo se descubrieron los números Irracionales

Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras
que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura,
la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado,
ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.

Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió
hasta la época medieval.

En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso, entre otras cosas por la
serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y
denominador en las fracciones.

A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de los números
decimales tal y como los conocemos hoy. A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló
y divulgó las fracciones decimales que se expresaban por medio de números decimales:
décimas, centésimas, milésimas, etc., pero los escribía de una forma complicada; así para
456, 765 escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3). A principios del siglo XVII, los números
decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una
coma la parte entera de la parte decimal. Los números decimales se impusieron, en casi
todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII, concretamente
en 1792.


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