1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACION SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO TECNOLOGIA DEL OESTE
“MARISCAL SUCRE”
“TEORIA DE CONTEO”
Autor:
Carmelo Meneses, C.I.17.745.307
Reyna Ysabel Torres Martinez, C.I. 17.473.511
Wilfredo Rafael Flores Garcia, C.I. 5.890.675
PROFESOR: Manuel Lenin Velásquez
CARACAS, Febrero de 2013

2. INDICE
INTRODUCCIÓN………………………..…………………………..……………3
TEORÍA DE CONTEO………………..…………………………………….…….4
PRINCIPIO DEL PALOMAR………………………..…………………….5
VARIACIONES……….……………..………….....................................……8
PERMUTACIONES…………………..………………..………………….…9
COMBINACIONES… ………………...……………..……………..……….9
PROBABILIDAD………………………..……..…………………………….11
TEOREMA DE LAPLACE……………………………………..…………..14
CONCLUSIÓN……….………………………………….……..….….……………...19
BIBLIOGRAFÍA……………….……… …………………………….….…….…….20

3. INTRODUCCIÓN
Hoy en día todos sabemos que las afirmaciones matemáticas deben ser
demostradas, para ello es necesario utilizar herramientas que nos permitan esto unos de
ellos es la inducción. La inducción matemática es una herramienta de uso práctico y
teórico en las matemáticas y ciencias computacionales lo que hace que su estudio, sea
de vital importancia en el desarrollo de nuestra preparación.
Por otra parte este trabajo contara de tres temas muy importante que es la teoría
de conteo
Variaciones
Permutaciones y combinaciones
A continuación se describirá cada tema esperamos sea de agrado a todo lector.

4. En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una
infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro que toma
una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste
en el siguiente razonamiento:
Premisa mayor: El número entero tiene la propiedad .
Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero tenga la propiedad
implica que también la tiene (que se anota ).
Conclusión: Todos los números enteros a partir de tienen la propiedad .
TEORIA DE CONTEO
Principios básicos del conteo
Iniciaremos nuestro estudio enunciando los principios fundamentales del conteo
Proposición 2.1. Principio aditivo o Regla de la suma. Sean A y B son dos
sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente. Si el suceso A ocurre de m maneras
distintas y el B de n maneras distintas, entonces el suceso A o el B se podrá ocurrir de
m + n maneras distintas.
Ejemplo 2.1. Supongamos que en un cine se proyectan tres películas diferentes
por la mañana y cinco por la tarde. Si se desea ver una sola película. ¿ Cuántas opciones
tenemos?. Sea A el suceso: Ver una película por la mañana y B el suceso: Ver una
película por la tarde.
Como hay tres películas diferentes por la mañana y cinco por la tarde , el suceso
A se puede presentar de 3 maneras distintas y el B de 5. Como no ocurren
simultáneamente, o vas por la mañana o por la tarde . Aplicando la regla anterior, el
total de opciones de ver una sola película será: 3 + 5 = 8
Observación 2.1. la regla anterior se puede aplicar a más de dos sucesos siempre
que sean disjuntos dos a dos, es decir, que cada par de tareas no puedan ocurrir
simultáneamente.
Proposición 2.2. Principio multiplicativo o Regla del producto. Si un suceso A
puede ocurrir en m maneras e, independientemente, un segundo suceso B puede

5. ocurrir en n maneras, entonces el número de de maneras en que ambos, A y B, pueden
ocurrir es m ¢ n
Ejemplo 2.2. ¿ Cuántos números pares de tres cifras se pueden formar, usando
las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, si éstas pueden repetirse?
Al formar un número par de tres cifras A1A2A3 con ayuda de las cifras dadas, en
vez de A1 puede tomarse una cifra cualquiera, salvo el 0, es decir 6 posibilidades. En
vez de A2 pueden tomarse cualquier cifra, es decir 7 posibilidades, y en vez de A3
cualquiera de las cifras 0, 2, 4, 6, es decir 4 posibilidades.
De este modo, conforme a la Regla de Multiplicar existen 6¢7¢4 = 168
procedimientos. Así pues, con las cifras dadas pueden formarse 168 números pares de
tres cifras.
Veamos a estudiar a continuación agrupaciones de objetos admitiendo que no
hay repetición y que importa el orden en que estén situados los objetos dentro del grupo.
PRINCIPIO DEL PALOMAR
La inspiración para el nombre del principio: aves en un palomar. Aquí n = 7 y
m = 9.
El principio del palomar, también llamado principio de Dirichlet, establece que
si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un
palomar con más de una paloma. Otra forma de decirlo es que m huecos pueden
albergar como mucho m objetos si cada uno de los objetos está en un hueco distinto, así
que el hecho de añadir otro objeto fuerza a volver a utilizar alguno de los huecos. De
otra manera: si se toman trece personas, al menos dos habrán nacido el mismo mes.
El primer enunciado del principio se cree que proviene de Dirichlet en 1834 con
el nombre de Schubfachprinzip ("principio de los cajones"). No debe confundirse con
otro principio sobre funciones armónicas, también con el nombre de este autor.
Enunciado
Principio de distribución, del palomar o del cajón de la paloma de Dirichlet.
Sean m, n y p tres números naturales. Si se desean colocar np + m palomas en n cajas,
alguna caja debe contener al menos p + 1 objetos.

6. Formulación matemática
Técnicamente el principio del palomar, se corresponde con la aritmética
modular, por lo que se puede dirigir a dicho artículo para profundizar en aspectos
técnicos.
Si y son conjuntos finitos con > entonces no existe ninguna función
inyectiva de A en B.
Demostración por inducción
Paso base: Supongamos , es decir, . Entonces no existe
ninguna función , en particular no existe ninguna función inyectiva.
Hipótesis inductiva: no es inyectiva para todo conjunto finito y
para todo conjunto finito , que cumplan ,y , con .
Tesis inductiva: Para , no existe una función
inyectiva.
Demostración del paso inductivo: Como A no es vacío, elijamos un .
Pueden ocurrir dos cosas. O bien existe otro elemento distinto a en A, llamémosle
que cumpla . O bien no existe tal elemento. Si el caso es que existe, la
función f no es inyectiva y termina la demostración. Tomemos el caso que no existe,
entonces f(a) tiene solo una preimagen que es a. Consideramos la función
que coincide con f en todos los elementos de A − {a}.
Ahora aplicamos la hipótesis inductiva pues tiene n elementos y
, por lo tanto g no es
inyectiva. Como g no es inyectiva, f no es inyectiva, que es lo que queríamos demostrar.
Usos y aplicaciones
El principio del palomar es encontrado a menudo en informática. Por ejemplo,
las colisiones son inevitables en una tabla hash porque el número de posibles valores
que pueden tomar los elementos de un vector exceden a menudo el número de sus
índices. Ningún algoritmo de hashing, sin importar lo bueno que sea, puede evitar estas
colisiones. Éste principio también prueba que cualquier algoritmo de compresión sin

7. Demostración: Si cada caja contiene como mucho p objetos, el número total de
objetos que podemos colocar es np < np + 1 ≤ np + m.
En su versión más simple, este principio dice que no puede existir una aplicación
inyectiva entre un conjunto de m elementos y otro de n elementos, si m > n.
Equivalentemente, si se desean colocar m objetos en n cajas, con m > n, al menos una
caja debe contener al menos 2 objetos.
Aplicaciones
Aunque el principio del palomar puede parecer una observación trivial, se puede
utilizar para demostrar resultados inesperados. Por ejemplo, hay por lo menos 2
personas en Madrid con el mismo número de pelos en la cabeza. Demostración: la
cabeza de una persona tiene en torno a 150.000 cabellos y tener un millón de pelos
requeriría de una cabeza gigante (nadie tiene un millón de pelos en al cabeza).
Asignamos un palomar por cada número de 0 a 1.000.000 y asignamos una paloma a
cada persona que irá al palomar correspondiente al número de pelos que tiene en la
cabeza. Como en Madrid hay más de un millón de personas, habrá al menos dos
personas con el mismo número de pelos en la cabeza. De hecho se puede asegurar con
seguridad que en cualquier ciudad de más de un millón de personas hay más de 5
personas con el mismo número de pelos en la cabeza (por el principio de Dirichlet
generalizado).
Enunciado general
Una versión generalizada de este principio dice que, si n objetos discretos deben
guardarse en m cajas, al menos una caja debe contener no menos de
objetos, donde denota la función techo.
Además existirá otra caja que contendrá no más de
objetos, donde denota la función suelo.
Como ejemplo de aplicación en una ciudad de más de un millón de habitantes
habrá como mínimo 2733 personas que hayan nacido el mismo día del año, ya que:
Donde se ha tenido en cuenta que existen 366 posibilidades para la fecha de
aniversario de una persona contando la existencia de años bisiestos.

8. ocurrir en n maneras, entonces el número de de maneras en que ambos, A y B, pueden
ocurrir es m ¢ n
Ejemplo 2.2. ¿ Cuántos números pares de tres cifras se pueden formar, usando
las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, si éstas pueden repetirse?
Al formar un número par de tres cifras A1A2A3 con ayuda de las cifras dadas, en
vez de A1 puede tomarse una cifra cualquiera, salvo el 0, es decir 6 posibilidades. En
vez de A2 pueden tomarse cualquier cifra, es decir 7 posibilidades, y en vez de A3
cualquiera de las cifras 0, 2, 4, 6, es decir 4 posibilidades.
De este modo, conforme a la Regla de Multiplicar existen 6¢7¢4 = 168
procedimientos. Así pues, con las cifras dadas pueden formarse 168 números pares de
tres cifras.
Veamos a estudiar a continuación agrupaciones de objetos admitiendo que no
hay repetición y que importa el orden en que estén situados los objetos dentro del grupo.
PRINCIPIO DEL PALOMAR
La inspiración para el nombre del principio: aves en un palomar. Aquí n = 7 y
m = 9.
El principio del palomar, también llamado principio de Dirichlet, establece que
si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un
palomar con más de una paloma. Otra forma de decirlo es que m huecos pueden
albergar como mucho m objetos si cada uno de los objetos está en un hueco distinto, así
que el hecho de añadir otro objeto fuerza a volver a utilizar alguno de los huecos. De
otra manera: si se toman trece personas, al menos dos habrán nacido el mismo mes.
El primer enunciado del principio se cree que proviene de Dirichlet en 1834 con
el nombre de Schubfachprinzip ("principio de los cajones"). No debe confundirse con
otro principio sobre funciones armónicas, también con el nombre de este autor.
Enunciado
Principio de distribución, del palomar o del cajón de la paloma de Dirichlet.
Sean m, n y p tres números naturales. Si se desean colocar np + m palomas en n cajas,
alguna caja debe contener al menos p + 1 objetos.