Este documento presenta una introducción al estudio de la fiabilidad. Explica brevemente los antecedentes históricos del campo y la importancia creciente de la fiabilidad en la industria. Además, identifica varios temas clave en el estudio de la fiabilidad, como la medición de la fiabilidad, los modelos de fiabilidad y la estimación de parámetros a través de ensayos.

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INTRODUCCIÓN A LA FIABILIDAD
Book · January 2004
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2. -1-
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA
INTRODUCCIÓN A LA FIABILIDAD
ANDRÉS CARRIÓN GARCÍA
TERESA CAROT SÁNCHEZ
DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA
E INVESTIGACIÓN OPERATIVA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA

3. -2-
El tiempo es un niño que juega a los dados.
Heráclito

4. -3-
CONTENIDO
CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN .................................................................................5
1.1.- Introducción. Fiabilidad y Diseño.................................................................................................5
1.2. Antecedentes históricos del estudio de la fiabilidad. ....................................................................6
1.3. Importancia de la fiabilidad. ..........................................................................................................8
1.4. Temas de estudio en el campo de la fiabilidad.............................................................................9
1.5. Ejercicios.................................................................................................................................... 11
CAPÍTULO 2: FUNDAMENTOS ESTADÍSTICOS DE LA FIABILIDAD...................12
2.1. Probabilidad. .............................................................................................................................. 12
2.2. Probabilidad condicionada. Sucesos independientes. .............................................................. 15
2.3. Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes............................................................... 15
2.4. Variables Aleatorias. Valor medio.............................................................................................. 17
2.5. Distribuciones de probabilidad................................................................................................... 20
2.5.1. Distribución normal o gaussiana. ....................................................................................... 20
2.5.2. Distribución exponencial..................................................................................................... 22
2.5.3. Distribución de Weibull. ...................................................................................................... 24
2.5.4. Distribución 2
(Chi cuadrado) de Pearson. ....................................................................... 26
2.7. Ejercicios.................................................................................................................................... 27
CAPÍTULO 3: FIABILIDAD. CONCEPTO Y FUNDAMENTOS ................................29
3.1. Definición de Fiabilidad.............................................................................................................. 29
3.2. Cuantificación de la de Fiabilidad .............................................................................................. 32
3.3. Tasa de fallo............................................................................................................................... 34
3.4. Variación de la Tasa de Fallo .................................................................................................... 36
3.5. Ejercicios.................................................................................................................................... 39
CAPÍTULO 4: MODELOS DE FIABILIDAD..............................................................40
4.1. Modelo Normal (N(,))............................................................................................................. 40
4.2. Modelo Exponencial (EXP()).................................................................................................... 41
4.3. Modelo de Weibull...................................................................................................................... 44
4.4. Ejercicios.................................................................................................................................... 45
CAPÍTULO 5: ESTIMACIÓN Y ENSAYOS...............................................................47
5.1. Tipos de ensayos....................................................................................................................... 48
5.2. Análisis de los resultados de los ensayos. ................................................................................ 51
5.2.1. Ensayos de fiabilidad frente a fallos accidentales.............................................................. 52
5.2.2. Ensayos de fiabilidad frente a fallos por envejecimiento. .................................................. 53

5. -4-
5.3. Ensayos de estimación. ............................................................................................................. 54
5.3.1. Distribución Exponencial. ................................................................................................... 55
5.3.1.1. Estimación de parámetros............................................................................................... 55
5.3.1.2. Duración media de los ensayos. Número medio de fallos.............................................. 60
5.3.2. Distribución Normal. ........................................................................................................... 61
5.3.3. Distribución de Weibull. ...................................................................................................... 64
5.4. Ensayos de comparación........................................................................................................... 73
5.5. Ejercicios.................................................................................................................................... 78
CAPÍTULO 6: FIABILIDAD DE SISTEMAS..............................................................80
6.1. Sistemas en serie....................................................................................................................... 81
6.2. Sistemas redundantes en paralelo. ........................................................................................... 84
6.3. Sistemas compuestos serie-paralelo......................................................................................... 87
6.4. Sistemas generales.................................................................................................................... 88
6.4.1. Método de los pasos........................................................................................................... 89
6.4.2. Método de los cortes. ......................................................................................................... 91
6.4.3. Método de la partición. ....................................................................................................... 93
6.5. Ejercicios.................................................................................................................................... 95
Bibliografía básica sobre Fiabilidad. .....................................................................98
ANEXO A. TABLAS.
1. Tabla de la Distribución Normal.
2. Tabla de la Distribución 2
3. Tabla de la Función Gamma.

6. -5-
CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN
1.1.- Introducción. Fiabilidad y Diseño.
Calidad, fiabilidad y seguridad son conceptos que aparecen con fre-
cuencia confundidos en la mente de las personas poco familiarizadas con el
mundo de la ingeniería de la calidad y de las técnicas estadísticas. Y en cierto
modo esa confusión no es del todo incorrecta, pues todos ellos no son mas
que aspectos distintos de lo que, con un sentido cada vez más globalizador,
se viene denominando “Calidad”: para el usuario de un bien todos esos ele-
mentos son importantes y configuran el grado de aprecio que ese usuario tie-
ne por el bien. A ese grado de aprecio es al que, en definitiva, hemos llamado
“Calidad”.
Tradicionalmente se ha considerado la calidad con una perspectiva
fundamentalmente técnica, y aunque esa interpretación va cambiando progre-
sivamente en los últimos años (desde los años 70 hacia ahora), sigue consi-
derándose en buena parte como la calidad en la fabricación. Enfoques como
el de la Calidad Total sobrepasan esta noción buscando una mayor globaliza-
ción (como en el párrafo anterior se comentaba), pero podríamos simplificarlo
de ese modo: la calidad se refiere a la fabricación del bien.
El estudio de la seguridad de un producto debe abarcar todas las posi-
bilidades de daño sufrido por personas en todas las fases de la vida del pro-
ducto: desde su fabricación hasta su uso por el usuario final. Sin embargo, pa-
ra este usuario final la seguridad es un concepto relacionado con el uso del
mismo.
Así pues, entre los componentes de la “Calidad” que el usuario percibe
tenemos la seguridad, que se refiere al uso del producto, y la calidad, que se
refiere a la producción.
Falta un tercer componente que se refiera a la bondad del diseño del
producto. Un elemento clave para el estudio de esa idoneidad del diseño es la

7. -6-
fiabilidad, entendida como garantía de un funcionamiento correcto del pro-
ducto durante su utilización. Aunque la definición de fiabilidad que veremos
más adelante matiza esta impresión inicial, es cierto indudablemente que la
fiabilidad es una característica inseparablemente unida al diseño: es en la fa-
se de diseño del producto cuando se sientan las condiciones para que ese
producto satisfaga los requisitos del cliente en cuanto a rendimiento, presta-
ciones y durabilidad, como también los relativos a la seguridad. Quede dicho,
no obstante, que la calidad en el diseño abarca otros elementos además de la
fiabilidad.
En esta publicación se van a presentar las técnicas básicas empleadas
en el estudio cuantitativo de la fiabilidad, técnicas en su mayor parte de natu-
raleza estadística.
1.2. Antecedentes históricos del estudio de la fiabilidad.
La fiabilidad de los productos, planteada muchas veces como su simple
durabilidad, ha estado presente en la industria siempre de la mano de la cali-
dad y como un componente más de ella. En los años treinta, Shewhart y otros
desarrollaron técnicas que mostraron el interés que tenía para la industria el
uso de técnicas estadísticas en el campo de la calidad. De esa fecha datan
técnicas tan importantes, incluso hoy en día, como los gráficos de control es-
tadístico de procesos (los llamados gráficos de Shewhart) o el método de
Dodge-Romig para el control estadístico en recepción, si bien es cierto que su
uso no comenzó a extenderse de forma masiva hasta después de la Segunda
Guerra Mundial.
Se sitúa precisamente en ese entorno, el de la Segunda Guerra Mun-
dial, la aparición de los primeros desarrollos cuantitativos en el campo de la
fiabilidad. Los equipos alemanes que, bajo la dirección de Werner Von Braun,
estaban desarrollando los misiles (entonces llamados bombas volantes) V-1,
se encontraron con serios problemas: las diez primeras unidades ensayadas

8. -7-
fueron rotundos fracasos, al estallar las unidades en la propia rampa de lan-
zamiento o errar su objetivo de un modo escandaloso. A pesar de una cuida-
dosa revisión de la calidad de los componentes y piezas empleados, la situa-
ción estaba muy lejos de mejorar. Se recurrió entonces a dos consultores ma-
temáticos, Erich Pieruschka y Robert Lusser, y de su análisis se derivaron
rápidamente consecuencias (como la ley de producto de probabilidades en
componentes en serie, desarrollada por el segundo), que permitieron invertir
la situación, pasando del mencionado 100% de fallos a un 75% de éxitos.
Inmediatamente después de la Guerra, se aplicaron conceptos relacio-
nados con la fiabilidad en los análisis de duración y seguridad de los aviones
de uno, dos y cuatro motores. La creciente complejidad en multitud de produc-
tos, de uso industrial, privado o militar, hizo que estos temas fueran adqui-
riendo mayor importancia cada vez. En la Guerra de Corea, por ejemplo, los
problemas de mantenimiento y avituallamiento del ejercito norteamericano lle-
varon a Estados Unidos a promover una serie de estudios en los que se abor-
daban los temas de fiabilidad, mantenibilidad y simplicidad de equipos, en es-
pecial orientados a la industria electrónica.
Un papel no desdeñable en el impulso de los estudios de fiabilidad lo
tuvo el desarrollo de la guerra fría y de la carrera espacial. Es en los ámbitos
industriales relacionados con ambas ‘carreras’, la de armamentos y la espa-
cial, donde se establece la mayor parte de los conocimientos y técnicas que
hoy forman parte de la teoría de la fiabilidad. De hecho, buena parte de la
terminología que se emplea recuerda todavía ese origen, manejándose térmi-
nos tales como ‘misión’, ‘objetivo’, ‘unidad’, etc., cuyo significado será preci-
sado más adelante. La industria aeronáutica, tanto civil como militar, ha sido
también partícipe de estos desarrollos.
Otro ámbito que en los años 70 ha actuado como impulsor de los estu-
dios sobre fiabilidad ha sido la industria nuclear, por sus altos requerimientos
de seguridad y fiabilidad de sus instalaciones. También la industria petrolera
del Mar del Norte ha requerido el uso intensivo de técnicas de estudio de la
fiabilidad y de mejora de la misma para sus explotaciones submarinas (en

9. -8-
equipos que, por sus condiciones de funcionamiento guardan una cierta simili-
tud con los vehículos espaciales dado que el mantenimiento es difícil, si no
imposible).
En los últimos años la cada vez mayor exigencia de los clientes en los
más variados sectores, ha hecho que las empresas se planteen el incluir las
consideraciones sobre fiabilidad en sus políticas de diseño y desarrollo de
nuevos productos, así como el control de la misma en sus programas de ac-
tuación durante la producción. En especial la industria electrónica, junto con el
sector del automóvil, esta jugando un preponderante papel en este área.
1.3. Importancia de la fiabilidad.
La creciente importancia de la fiabilidad en todo tipo de productos y
sectores industriales se apoya en una serie de hechos (algunos de los cuales
fueron expuestos acertadamente por B. Sostkov en 1972, y siguen mante-
niendo su vigencia en la actualidad pese a haber sido formulados hace más
de veinte años). Podemos citar así
 El aumento de la complejidad de los sistemas técnicos, que incluyen con
frecuencia hasta 104
 106
componentes.
 La intensidad de los regímenes de trabajo o funcionamiento del sistema o
de alguna de sus partes: altas temperaturas, altas presiones, altas veloci-
dades, …
 La complejidad y dureza de las condiciones de explotación y uso de las
unidades. Por ejemplo temperaturas muy altas o muy bajas, humedad ele-
vada, vibraciones, aceleraciones fuertes, radiación, …
 La exigencia general en la calidad del trabajo: precisión, efectividad, …
 El aumento de la responsabilidad de las funciones desarrolladas por el sis-
tema, por ejemplo, con un alto valor económico asociado a un fallo, o con
graves consecuencias técnicas para otros sistemas.

10. -9-
 La automatización total o parcial, y la exclusión de la participación humana
en algunas tomas de decisión, al ser éstas realizadas por el equipo au-
tomáticamente.
 La creciente competencia en todos los sectores industriales, tanto de bie-
nes de consumo como de equipo.
 La necesidad consecuente que tienen las empresas de diferenciar sus pro-
ductos respecto a los de sus competidores, por la vía del diseño, la calidad
y, también, la fiabilidad.
 La cada vez mayor preparación de los consumidores y sus requisitos en
constante incremento.
 La existencia de regulaciones y normativas en algunos campos de actividad
concretos (medio ambiente, equipos electrónicos, etc. …).
En años recientes se está asociando cada vez con más frecuencia el
estudio de la Fiabilidad con el de la Mantenibilidad, dentro de un enfoque glo-
bal que pretende garantizar a usuario el uso del producto cuando así lo re-
quiera, dentro del concepto más amplio de disponibilidad (probabilidad de po-
der usar un bien cuando es requerido). Así mismo, al igual que ha ocurrido en
el campo de la Calidad, el énfasis se está desplazando hacia las áreas de
gestión, sin perder de vista la importancia de los modelos cuantitativos que se
manejan y que siguen siendo esencial fuente de información para la correcta
gestión.
1.4. Temas de estudio en el campo de la fiabilidad.
El estudio de la fiabilidad incluye una serie de problemas distintos, con
enfoques más o menos complejos desde el punto de vista matemático - es-
tadístico o de la gestión. Sin pretender hacer una relación exhaustiva, citare-
mos a continuación alguno de esos problemas.
 Problemas relacionados con la medida de la fiabilidad.
 Medida de la fiabilidad en componentes, es decir en productos “sen-
cillos”. Tenemos en este campo dos problemas: la sistemática a seguir en los

11. -10-
ensayos (toma de datos) y los métodos estadísticos empleados para su explo-
tación.
 Medida de la fiabilidad en sistemas, para productos producidos en
serie y con misiones prolongadas (no instantáneas). También aquí parecen
los mismos dos puntos del apartado anterior: recopilación de los datos (reali-
zación de ensayos) y análisis (explotación) de los mismos.
 Medida de la fiabilidad en sistemas, para productos de series muy o
cortas o producción única. Aquí el problema se complica por la imposibilidad
de realización de experiencias en la mayoría de los casos, quedando ahora
las siguientes tareas a desarrollar: recopilación de informaciones históricas en
productos similares, cálculos matemáticos de síntesis a partir de la informa-
ción sobre los componentes y realización de simulaciones.
 Disponibilidad de un software de apoyo para los análisis estadísticos
requeridos, en especial en el estudio de la fiabilidad de sistemas complejos.
 Definición de los objetivos de fiabilidad para un producto y asigna-
ción de los objetivos parciales de fiabilidad para sus diferentes subsistemas y
componentes.
 Análisis de los efectos sobre otros parámetros de la calidad y funcio-
nalidad del producto de las actuaciones que se han realizado orientadas a la
mejora de la fiabilidad.
 Integración de los resultados de los estudios de fiabilidad en las revi-
siones del diseño. Uso de herramientas de análisis y prevención de fallos,
como el AMFE (Análisis de los Modos de Fallo y de sus Efectos) y el FTA
(Fault Tree Analysis, Análisis del Arbol de Fallos).
 Organización de las actividades de la empresa en área de la fiabili-
dad. Desarrollo de un “programa de fiabilidad” que recoja y coordine acciones
de los diferentes departamentos la empresa implicados (diseño, compras, in-
geniería de proceso, ingeniería de producto, producción, marketing, …)
La resolución y estudio de estos problemas sobrepasa los fines pro-
puestos en esta publicación, que se centra en los problemas de tipo cuantita-
tivo, asociados a la medida de la fiabilidad y a los problemas estadísticos que

12. -11-
esa medida conlleva, quedando para un posterior publicación la incorporación
de los temas relacionados con la gestión de la fiabilidad en las empresas.
1.5. Ejercicios.
1. Localizar anuncios publicitarios, folletos de fabricantes, etc., en los que
aparezcan argumentos sobre fiabilidad, durabilidad, mantenibilidad, seguridad
de funcionamiento, etc..
2. Buscar normas (UNE, ISO, Mil Std, ...) que hagan referencia a temas de
fiabilidad, calidad, mantenibilidad y durabilidad.
3. Buscar servicios ofertados en el área de fiabilidad y mantenibilidad (por
ejemplo, a través de Internet).

13. -12-
CAPÍTULO 2: FUNDAMENTOS ESTADÍSTICOS DE LA FIABILIDAD
El estudio de la fiabilidad es en buena medida un estudio estadístico.
Ello es así por varios motivos:
 los modelos empleados para representar la vida de un producto hasta el fallo
son modelos estadísticos.
 la estimación de los parámetros de esos modelos se realiza mediante experi-
mentación, empleando un proceso de estimación estadística.
 el análisis del comportamiento de sistemas formados en base a distintos pro-
ductos requiere para la valoración de la fiabilidad de aquellos a partir de la de
estos el uso de técnicas basadas en el cálculo de probabilidades.
Por tanto, siendo la metodología estadística fundamental en el análisis
de la fiabilidad, se procederá a continuación a una breve revisión de aquellos
conceptos que sean aquí de interés.
2.1. Probabilidad.
Buscando una forma intuitiva de definir la probabilidad, podemos decir
que la probabilidad de un resultado en una cierta experiencia aleatoria (afec-
tada por el azar) es el límite de la frecuencia relativa con que se presenta ese
resultado en un número muy grande de repeticiones de la experiencia.
Sin ser la formulación ideal del concepto de probabilidad, pues deja
fuera todos aquellos casos en los que no es posible la realización de un
número “elevado” de experiencias, resulta al menos adecuado en cuanto a in-
terpretación del sentido que tiene la probabilidad dentro del campo de la fiabi-
lidad.

14. -13-
Por ejemplo, si nos planteamos la probabilidad de obtener un 5 al lan-
zar un dado, la conocida regla de Laplace (casos favorables/casos posibles)
predice que ese valor será 1/6, pero ello sólo será cierto si el dado esta per-
fectamente equilibrado, con lo cual todas sus caras son equiprobables. En
cambio, con esta definición que acabamos de ver, el cálculo de la probabilidad
se realizaría repitiendo muchas veces el lanzamiento y obteniendo el valor
límite de la frecuencia relativa. Si el dado es correcto, esa frecuencia debería
ser 1/6, pero con esta definición se obtendría el valor correcto de la probabili-
dad, aún con dados cargados, en los que los resultados no son equiproba-
bles.
Si deseáramos calcular la probabilidad que tiene un producto de super-
ar una cierta duración, con la definición de probabilidad que hemos visto, el
cálculo de la misma requeriría la realización de un ensayo con un gran núme-
ro de unidades y el control de la fracción de las que sobreviven.
En cualquier caso, e independientemente de qué interpretación se
otorgue a la probabilidad de un suceso, si que podemos definir con precisión
cuál es el concepto y cuales son sus propiedades desde un punto de vista
matemático.
Sea una experiencia aleatoria de la cual E es el conjunto de resultados
o espacio muestral, y sea A uno de los resultados de esa experiencia (AE).
Sea también F la clase de sucesos considerados, que son aquellos sobre los
que se ha definido probabilidad, teniendo este conjunto F una estructura de -
álgebra. Llamaremos probabilidad del suceso A a la aplicación definida desde
el espacio muestral E a la recta real:
p(A)
E 
que cumple los siguientes axiomas:

15. -14-
A1) La probabilidad de cualquier suceso es no negativa:
p(A)  0  AE
A2) La probabilidad del suceso seguro es uno:
p(E) = 1
A3) La probabilidad de la reunión de sucesos disjuntos es la
suma de sus probabilidades:
 A,B  F2
/ AB = 
p(AB) = p(A) + p(B)
A partir de estos axiomas, se pueden demostrar las siguientes propiedades:
1. Probabilidad del suceso contrario:
AF, p( A ) = 1- p(A)
2. Probabilidad del suceso imposible:
Si  es el suceso imposible, entonces p() = 0.
3. Si AB, A,B  F 2
entonces
p(A)  p(B)
4. La probabilidad de cualquier suceso está comprendida entre 0 y 1:
A  F, 0  p(A)  1
5. Probabilidad de la reunión de dos sucesos:
A,B  F 2
, p(AB) = p(A) + p(B) - p(AB)
y en general, para más de dos sucesos:
A1, A2,… An  F n
,
p(A1  A2 … An) = p(A1) + p(A2) + … + p(An) -
- p(A1 A2) - p(A1 A2) - …
+ p(A1 A2  A3) + p(A1 A2  A4) + …
- …

16. -15-
+ (-1)n-1
p(A1 A2  …  An)
2.2. Probabilidad condicionada. Sucesos independientes.
Sea un suceso B de probabilidad no nula, y sea A otro suceso del mis-
mo espacio muestral. Se define como probabilidad de A condicionada a B, y
se representa por p(A/B), al cociente:
p A B)
p A B)
p B)
( /
(
(


Tal expresión nos permite obtener el valor de la probabilidad de que
ocurra el suceso A, cuando sabemos que ha ocurrido el suceso B. Permite
pues incorporar el conocimiento parcial que tengamos sobre cuál ha sido el
resultado de una experiencia aleatoria, para obtener las probabilidades modi-
ficadas por esa información.
Diremos que dos sucesos son independientes cuando el conocimiento
de que se ha presentado uno de ellos no modifica la probabilidad del otro.
Haciendo uso del concepto y la definición de probabilidad condicionada arriba
presentados, podemos escribir que la condición necesaria y suficiente de in-
dependencia de dos sucesos A y B es que se cumpla una cualquiera de las
siguientes expresiones (que en realidad son equivalentes):
 p(A/B) = P(B)
 p(B/A) = p(A)
 p(AB) = p(A) p(B)
2.3. Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes.

17. -16-
Sea un suceso B y sean unos sucesos Ai, (i = 1, … n) que constituyan
una partición del espacio muestral E. Se puede demostrar que:
p(B) = p(BA1) + p(BA2) + … + p(BAn) =
= p(B/A1) p(A1) + p(B/A2) p(A2) + … + p(B/An) p(An)
o bien:
p(B) = p B A p A
i
i
n
i
( / ) ( )


1
Esta expresión es conocida como el teorema de la partición o de la
probabilidad total.
Uno de los teoremas básicos, sino el más importante, de teoría de la
probabilidad es el Teorema de Bayes, cuyo enunciado es el siguiente:
Considérese:
 un suceso B de probabilidad no nula y
 unos sucesos Ai, (i=1, … n) que constituyan una partición del espacio
muestral E.
Se puede demostrar que:
p(Ak/B) =
p B A p A
p B A p A
k k
i i
i
( / ) ( )
( / ) ( )

El verdadero interés de este teorema radica en la interpretación que
habitualmente tienen los Ai y el B, y en las probabilidades que nos permite ob-
tener. Con mucha frecuencia los Ai tiene la interpretación de causa u origen
de B, que resulta ser un efecto o consecuencia de las Ai. Tanto la noción de
causa como la de efecto deben tomarse con una interpretación muy amplia, y
muchas veces sólo se tratará de una precedencia temporal en la secuencia
de acontecimientos (Ai ocurre antes que B).

18. -17-
El teorema de Bayes, pues, nos permitirá obtener la probabilidad de
que, observado un efecto B, haya sido la causa Ak la que lo provocó, es decir,
la probabilidad de la causa visto el efecto. Es esta una probabilidad de la que
habitualmente no se dispone en un análisis descriptivo de un problema y su
cálculo, sin el teorema de Bayes, sería problemático.
2.4. Variables Aleatorias. Valor medio.
De un modo poco preciso pero bastante intuitivo, podríamos decir que
una variable es aleatoria cuando toma valores influida por el azar, por contra-
posición a lo que sería una variable determinista, en la que el resultado es
perfectamente predecible.
Con más formalidad diremos que una variable aleatoria es una aplica-
ción definida entre el espacio muestral E asociado a una cierta experiencia
aleatoria y la recta real , que cumple unas determinadas condiciones. Dicha
aplicación asocia a cada suceso A del espacio muestral un intervalo en , al
que a su vez habrá asociada una probabilidad con valor entre cero y uno, a la
que llamamos tanto probabilidad del elemento A de E, como probabilidad del
intervalo de la recta real asociado a este elemento (Figura 2.1).
E

[0, 1]
P(A) = p(IA)
IA
A

19. -18-
Figura 2.1.
Los dos principales tipos de variable aleatoria que nos interesan son las
variables aleatorias discretas y las continuas.
Las variables aleatorias discretas quedan caracterizadas cuando dis-
ponemos de una función de probabilidad p(x) que nos da el valor de la proba-
bilidad en cada uno de los posibles puntos de la distribución, cumpliéndose
que la suma de las probabilidades sea uno y que todas sean no negativas.
1
)
x
(
p
E
x
0
)
x
(
p
i
i 




En el caso de las variables continuas, la caracterización se hace a
través de una función no negativa f(x), llamada función de densidad, que des-
cribe cómo se distribuye la probabilidad entre los infinitos puntos (en modo
continuo) que configuran el campo de existencia de la variable. Se cumple
que la integral de esta función, extendida al campo de existencia de la varia-
ble, es la unidad.







1
dx
)
x
(
f
x
0
)
x
(
f
No entraremos aquí, por no ser el objetivo de esta publicación, en la
caracterización exacta de las variables aleatorias.
Tanto para el caso discreto como para el continuo, se define la función
de distribución, F(x), como la probabilidad que queda en o a la izquierda del
punto x:
F(x) = p(X  x)

20. -19-
dónde X (mayúscula) es la variable y x (minúscula) es un punto en el campo
de existencia de X.
Las funciones de probabilidad, caso de v. a. discreta, y de densidad,
caso de v. a. continua, son tales que podemos escribir:
 V. A. discreta: F(x) = p xi
x x
i
( )
 

 V. A. continua: F(x) = f x dx
x
( )


Obsérvese en el caso continuo que la función de distribución represen-
ta el área situada entre la función de densidad y el eje de abcisas, desde la
abcisa - hasta el punto x considerado.
Haciendo uso de las funciones de probabilidad y de densidad, podemos
definir el valor medio de una variable, E(x), del siguiente modo:
 V. A. discreta: E(x) = x p x
i i
i
( )

 V. A. continua: E(x) = x f x dx
( )



y en general podremos hablar también del valor medio de una función g(x) de
la variable aleatoria:
 V. A. discreta: E( g(x) ) = g x p x
i i
i
( ) ( )

 V. A. continua: E( g(x) ) = g x f x dx
( ) ( )



Valores medios especialmente importantes son:

21. -20-
 La media m de la variable: m = E(x)
 La varianza 2
de la variable: 2
= E(x-m)2
El primero de ellos, la media, actúa como indicador de la posición de la
variables, es decir del orden de magnitud que tienen los valores de la misma.
La varianza se interpreta como un indicador de la homogeneidad o dispersión
de la distribución: cuanto mayor sea el valor que toma más dispersa es la dis-
tribución y cuanto más pequeño mas homogénea (en el caso extremo, si el
campo de existencia de x se reduce a un solo valor, que coincide con la me-
dia, la varianza es nula). A la raíz cuadrada de la varianza se le llama desvia-
ción típica.
2.5. Distribuciones de probabilidad.
Una distribución de probabilidad no es más que un modo estándar de
comportamiento de una variable aleatoria, que por la frecuencia con que se
presenta en la naturaleza ha llegado a convertirse en un modelo. En este
apartado se van a estudiar algunas de las distribuciones de probabilidad más
usadas en el campo de la fiabilidad: normal, exponencial y de Weibull.
2.5.1. Distribución normal o gaussiana.
La distribución de probabilidad normal o gaussiana, pues de ambos
modos e indistintamente es conocida, es una distribución continua, definida en
toda la recta real, y cuya función de densidad es:
f x e
x m
( )
( )



1
2
2
2
2
 
 -  x  
donde m es la media de la variable y 2
es su varianza. Diremos que:
x  N(m, )

22. -21-
Su función de densidad presenta una característica forma conocida
como campana de Gauss, que es reflejada en la figura 2.2. La función de
densidad de la normal no tiene primitiva, por lo que el cálculo de probabilida-
des, que se hace a través de la función de distribución, requiere la integración
numérica o el manejo de tablas.
F x e dx
x
x
( )
( )








1
2
2
2
2
 


La función de distribución se encuentra tabulada para el caso de la
normal N(0,1), llamada normal tipificada. (Ver la Tabla 1, en el apéndice A).
Para poder hacer uso de esta tabla con una distribución normal distinta a la
N(0,1), es decir con una normal general con una media m cualquiera y una
varianza 2
cualquiera, deberá realizarse la operación llamada tipificación,
consistente en transformar la variable N(m, ) en la N(0,1).
Sea x  N(m, ), la variable z, definida como:
z =

 m
x
es una normal tipificada. Con ello el cálculo de la función de distribución (y a
partir de ella el de cualquier probabilidad) se realizaría del siguiente modo:
)
z
(
m
x
m
x
z
p
)
x
X
(
p 






















siendo (z) el valor de la función de distribución de la normal tipificada leído
en tablas.
m
0 x
f (x)

23. -22-
Figura 2.2.
La distribución Normal es una distribución simétrica en la que el valor
central es la media m. Se caracteriza por tener un área aproximadamente del
68% en las dos desviaciones típicas centrales (entre m- y m+), un área del
95% en las cuatro desviaciones típicas centrales (entre m-2 y m+2) y un
área del 99’73% en las 6 desviaciones típicas centrales (entre m-3 y m+3),
datos fácilmente calculables a partir de la tabla anterior (figura 2.3).
Obsérvese que a pesar de ser una variable definida entre – y +, en
la práctica el rango de valores entre los que oscila es muy limitado (entre m-
4 y m+4 tenemos el 99.99% de la población), los cual de gran importancia
pensando en la aplicabilidad práctica de la variable normal.
Figura 2.3.- Áreas de probabilidad de una distribución Normal
2.5.2. Distribución exponencial.
Una variable aleatoria continua y no negativa sigue una distribución ex-
ponencial cuando su función de densidad tiene la expresión:
f(t) =  e-t
t  0

24. -23-
siendo  una constante no negativa.
Diremos en tal caso que t  Exp(). Esta variable aleatoria suele repre-
sentar la vida o duración de las unidades de producto estudiadas.
Las características de esta distribución son las siguientes:
 Función de distribución:F(t) = 1 - e-t
 Valor medio: E(t) =  = 1/
 Varianza: D2
(t) = 1/2
Por existir una expresión explícita y sencilla para la función de distribu-
ción, esta variable no requiere el manejo de ningún tipo de tabla, pues el
cálculo del valor de la función de distribución y, a partir de él, el de la probabi-
lidad de cualquier intervalo es sencillo.
El aspecto que presenta su función de densidad es el que se puede ver
en la Figura 2.4. Otras peculiaridades de la distribución exponencial son las
siguientes:
 La probabilidad de que la variable supere su valor medio es del 36.79%, ya
que se trata (fig. 2.3) de una distribución claramente asimétrica.
 Se trata de una distribución sin memoria: la probabilidad de que la variable
tome valores en un cierto intervalo sólo depende de la longitud del intervalo,
no de punto inicial del mismo:
p(t[t1, t1+]) = p(t[t2, t2+]) t1, t2.

25. -24-
Figura 2.4. Distribución exponencial: función de densidad.
2.5.3. Distribución de Weibull.
Como en el caso exponencial consideramos ahora una variable aleato-
ria continua no negativa, que habitualmente interpretaremos como la vida de
la unidad estudiada.
Diremos que una tal variable sigue una distribución de Weibull si su
función de densidad es:
f(t) = 

 



 

( )
( )
t
e
t


 








1
t0
expresión en la cual:
 es la vida mínima de las unidades estudiadas (  0)
 es la vida característica de esas unidades (  )
 es el parámetro de forma o pendiente de Weibull ( > 0)
La vida mínima  es una edad que con seguridad van a alcanzar las
unidades estudiadas, y puede hacer referencia al hecho de que estas unida-
des no sean nuevas en el momento de iniciar el estudio. Con frecuencia, co-
mo luego se comenta, la vida mínima toma el valor cero.
0
0.00
0.00
0 1000 2000 3000
f(t)
t

26. -25-
La vida característica  es una edad tal que la probabilidad de que sea
superada esa duración es el 36.79%, o, lo que es equivalente, tal que un
63.21% de las unidades fallan antes de alcanzarla. Aunque la vida caracterís-
tica no es la media de la distribución de Weibull, puede interpretarse como un
indicador aproximado de posición (recuérdese que en la distribución exponen-
cial la probabilidad de que la media sea superada es precisamente el
36.79%).
Por último, el parámetro de forma  describe la forma de la distribución,
y según luego se verá es clave para entender el comportamiento de la varia-
ble vida o duración de las unidades estudiadas.
La función de distribución será:
F t e
t
( )  









1

 

Como ya se ha comentado, con frecuencia la vida mínima  toma el va-
lor cero, con lo cual las expresiones anteriores se simplificarían, quedando la
denominada distribución reducida de Weibull, cuya función de densidad es:
f(t) = 





t
e
t
 






1
y la función de distribución:
F t e
t
( )  







1 

En esta distribución reducida de Weibull, el valor medio resulta ser:
E(t) = 

 1
1














27. -26-
donde  es una función tabulada (o bien obtenida por integración numérica).
El aspecto que tiene la función de densidad de esta variable de Weibull
depende del valor de sus parámetros. En la figura 2.5 se recoge la forma de la
función de densidad para diferentes valores de .
t
f(t)
=3
=2
=1
=0’5
Figura 2.5.- Distribución reducida de Weibull: función de distribución.
Obsérvese que para valores elevados de  la forma de la distribución
se asemeja ala campana de Gauss, es decir a la distribución normal. En la
práctica a partir de =3.2 se aproxima la distribución de Weibull a la normal.
2.5.4. Distribución 2
(Chi cuadrado) de Pearson.
La distribución Chi cuadrado es una distribución derivada de la normal,
tal como ahora veremos, que se emplea en una gran variedad de pruebas es-
tadísticas.
Sea una variable aleatoria x. Diremos que x sigue una distribución Chi
cuadrado con n grados de libertad ( 2
n
 ), si se define como la suma de n varia-
bles normales tipificadas independientes:
x  



n
1
i
2
i
2
n z siendo zi= N(0, 1) i, independientes

28. -27-
La función de distribución de la variable 2
se encuentra tabulada. Habi-
tualmente las tablas que se manejan en realidad nos permiten obtener los
puntos porcentuales, es decir los valores de la variable que son superados
con una cierta probabilidad (ver Tabla en el Anexo A).
Figura 2.6. Funciones de densidad de distribuciones 2
.
Tal como se muestra en la figura 2.6 se trata de una distribución asimé-
trica, en la cual según aumentan los grados de libertad se produce una con-
vergencia a la distribución normal. Para grados de libertad mayores de treinta
se suele considerar correcta la aproximación.
2.7. Ejercicios.
1. La duración de las bujías del motor de explosión de cierto modelo de co-
che sigue una distribución normal de media 20000 Km. y desviación típica
6500. Si la especificación del fabricante es sustituirlas cada 10000 Km.,
¿qué porcentaje de las bujías incumplirá la especificación?. ¿Y en que por-
centaje de ocasiones fallara alguna de las cuatro que lleva un automóvil?.
n=5
n=1
n=3

29. -28-
2. La vida en horas de ciertos componentes usados en un equipo de comu-
nicaciones sigue un modelo exponencial de parámetro =0.005. Estos equi-
pos van instalados en condiciones que hacen difícil su reparación. Se desea
sin embargo mantener siempre una probabilidad de fallo inferior al 1%. Cal-
cular cada cuánto tiempo deberá realizarse una sustitución preventiva de di-
chos componentes. ¿Cuál es la vida media de los componentes?.
3. El elemento crítico para la duración de unas electrovalvulas es un resorte.
Su vida sigue un modelo de Weibull de parámetros =1000 y =2.5 (=0).
Obtener la probabilidad de que los resortes duren mas de 800 horas, y cal-
cular así mismo su vida media.

30. -29-
CAPÍTULO 3: FIABILIDAD. CONCEPTO Y FUNDAMENTOS
3.1. Definición de Fiabilidad
Si bien existe una noción común de fiabilidad, en la cual se interpreta
ésta como una combinación entre la duración de un producto y su seguridad
de funcionamiento, aquí necesitamos una definición más precisa de este
término, que va a ser objeto fundamental de análisis de las páginas siguien-
tes.
Se usa habitualmente la siguiente definición de fiabilidad:
LA FIABILIDAD DE UNA UNIDAD ES LA PROBABILIDAD DE
QUE CUMPLA CON ÉXITO CIERTA MISIÓN QUE TIENE ASIGNADA
CUANDO LA REALIZA BAJO UNAS CONDICIONES DADAS
Los elementos clave de la definición anterior son los de unidad, misión, éxito
(y su contrario, fallo), y las condiciones de realización de la misión. Aparecen
además otros términos cuando profundizamos en la naturaleza de la anterior
definición, que son edad y fecha. Veamos que entendemos por cada uno de
esos conceptos.
Llamamos unidad a cada uno de los elementos simples o compuestos
que son objeto de estudio. Una unidad puede ser, según su grado de comple-
jidad, simple o compuesta. Las unidades simples, denominadas componentes,
son aquellas que no pueden descomponerse en piezas más elementales, co-
mo podría ser el caso de un muelle o un cable eléctrico. Las unidades com-
puestas, denominadas sistemas, son aquellas que están integradas por com-
ponentes y por sistemas de orden menor, como por ejemplo un electrodomés-
tico o un ordenador. Con frecuencia ocurre que unidades que en realidad son
sistemas son tratadas y analizados como componentes, aplicando un principio
de “caja negra” para su análisis: sólo interesa el rendimiento global de la uni-
dad y no su comportamiento detallado al nivel de componentes o subsiste-
mas. Ese podría ser el caso del sistema electrónico de encendido de un au-

31. -30-
tomóvil, que si bien es un sistema, con frecuencia es tratado como componen-
te cuando su fiabilidad es analizada por el fabricante de coches, mientras que
para la empresa suministradora de esos equipos si que se trata claramente de
un sistema cuya estructura es de fundamental interés.
Se denomina misión al servicio u objetivo que debe ser cumplido por
las unidades estudiadas. A menudo la misión se formula en términos de dura-
ción, o al menos aparece ese elemento en su definición. Por ejemplo, la mi-
sión de un televisor puede ser funcionar de modo ininterrumpido durante 2000
horas. Al respecto es importante ver el comentario que se hace más abajo
sobre la edad de las unidades.
Se llama fallo a cualquier circunstancia que impide que una unidad
complete su misión. El éxito sería la ausencia de fallo en el desarrollo de la
misión. Ser podría distinguir entre fallos totales y fallos parciales, y en buena
lógica el tratamiento dado a ambos debiera ser distinto. Sin embargo ello so-
brepasa los límites de este trabajo, y consideraremos el fallo como una situa-
ción dicotómica, intentando que la definición de la misión sea lo suficiente-
mente clara como para que pueda definirse sin duda si hay o no cumplimiento
de la misma.
Las condiciones son las características del entorno en que la misión
debe desarrollarse. Pueden incluir temas tales como condiciones ambiente
(presión, temperatura, humedad,…), nivel de esfuerzo a que esta sometida
unidad, tipo de usuario del producto, etc. Estas condiciones son de extraordi-
naria importancia para la evaluación de la fiabilidad. No hace falta insistir mu-
cho en que un mismo producto, con una misma misión, pero realizada bajo
condiciones diversas, consigue fiabilidades diferentes.
Llamaremos edad de una unidad a cualquier forma de medir su activi-
dad pasada. Con frecuencia esa media se realizara a través del tiempo de
uso, como en ejemplo arriba comentado del televisor, pero no siempre será
así. Por ejemplo, en un neumático de coche la edad será medida mejor a
través de los kilómetros recorridos que a través del tiempo de uso; en un mue-

32. -31-
lle la edad se medirá mejor con el número de ciclos de compresión - extensión
que sufre; etc.
Si llamamos edad a cualquier forma de medir la actividad desarrollada
por la unidad, fecha será cualquier punto en la escala de edad.
Hay otra clasificación de lo que llamábamos unidad que distingue entre
unidades de funcionamiento continuado y unidades de funcionamiento ins-
tantáneo. Entre las primeras podemos citar un neumático de coche, que esta
funcionando de modo continuo durante toda su vida, y entre las segundas la
espoleta de contacto de un proyectil, que funciona sólo en el instante en que
éste hace impacto. Evidentemente en este segundo caso el concepto de
edad, tal como lo hemos visto, no es de aplicación y la fiabilidad no ira aso-
ciada a una vida (en el sentido de duración de la unidad) sino a la probabilidad
de éxito en ese instante en que el producto debe funcionar.
Los siguientes ejemplo muestran expresiones en las que aparecen los
conceptos arriba precisados.
 “El 98% de ciertos televisores deben ser capaces de funcionar ininte-
rrumpidamente durante dos mil horas, en un entorno doméstico”. La
edad se mide aquí en tiempo, la misión se formula términos de dura-
ción y de funcionamiento, se entiende que buen funcionamiento, y
las condiciones se asocian al entorno en que se desarrolla la misión.
Se establece además un objetivo cuantificado de fiabilidad, en forma
de una probabilidad de éxito requerida.
 “Un neumático debe poder circular por carretera asfaltada, a una ve-
locidad de 90 km./h, sin sufrir un pinchado debido a desgaste o fallo
interno durante 35000 km., con una probabilidad al menos del 99%”.
Ahora la edad es medida en Km recorridos, la misión se expresa en
términos de duración y de ausencia de fallo y se definen también las
condiciones de funcionamiento del producto (carretera asfaltada…).
También aquí se fija un objetivo numérico de fiabilidad.

33. -32-
 “El airbag de cierto modelo de coche no debe fallar más de un 0.5
por mil de las veces, ante un impacto de tipo normalizado”. Se trata
ahora de un producto de funcionamiento instantáneo, por lo cual no
existe el elemento edad que aparecía en los dos ejemplos anterio-
res. Si que esta presente la definición de la misión así como las con-
diciones de realización (impacto de tipo normalizado). También apa-
rece una cuantificación de la fiabilidad deseada.
3.2. Cuantificación de la de Fiabilidad
Los conceptos de unidad, misión, fallo, etc. introducidos en el apartado
anterior van a permitir dar una medida numérica de la seguridad de funciona-
miento de un producto, es decir, de la capacidad que tiene para cumplir con
éxito una misión determinada.
Una medida de ésta capacidad es la Función de Fiabilidad o Función
de Supervivencia, R(t1,t2), que se define como la probabilidad de que una
unidad cumpla con éxito una misión concreta, desde el instante t1 hasta el ins-
tante t2, bajo unas condiciones de servicio dadas. Otra medida de esta capa-
cidad es la desfiabilidad, F(t1,t2), que se define como la probabilidad de que
la unidad estudiada falle durante la misión, es decir,
F(t1,t2)=1-R(t1,t2)
En el caso de que t1=0, la función de desfiabilidad coincidirá con la fun-
ción de distribución de la variable vida de la unidad, siendo la probabilidad de
que esa vida no supere un cierto valor.
La representación del número de supervivientes en función del tiempo,
N(t), con respecto al número inicial de unidades, N(t1)=N1, facilita una interpre-
tación intuitiva del concepto de fiabilidad y de desfiabilidad. Esta representa-
ción se recoge en la figura 3.1.

34. -33-
N(t)/N1
t
1
t2
t1
R(t1,t2)
F(t1,t2)
Figura 3.1.- Función de Supervivencia
Así pues, podemos asociar la fiabilidad y la desfiabilidad, desde t1 has-
ta t2, a la frecuencia de supervivencia y fallo, respectivamente, que se obser-
van al registrar la evolución de la fracción de supervivientes a lo largo del
tiempo, cuando en el instante t1 se ponen en funcionamiento simultáneamente
N1 unidades:
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
N
)
t
(
N
1
)
t
(
N
)
t
(
N
1
)
t
,
t
(
F
N
)
t
(
N
)
t
(
N
)
t
(
N
)
t
,
t
(
R 





Se observa la función de fiabilidad es una función decreciente con t2,
indicando tal decrecimiento que para misiones de duración creciente la proba-
bilidad de éxito se reduce, tendiendo a cero. Por otro lado, vemos que F(t1,t2)
es una función creciente con t, verificándose que
1
)
t
,
t
(
F
lim 2
1
t



Si además llamamos T a la edad en la que se produce el fallo de una
unidad, obtenemos que
F(t1,t2)=P(Tt2-t1)
lo que muestra que la desfiabilidad, F(t1,t2), es la función de distribución de la
variable edad del fallo, T, o dicho de otro modo, es la probabilidad de que una
unidad falle antes del instante t2 cuando la misión ha comenzado en el instan-
te t1. Gráficamente podemos ver lo anterior en la figura 3.2.

35. -34-
T
1
t2
t1
F(t1,t2)
Figura 3.2.- Función de desfiabilidad
Para simplificar la nomenclatura llamaremos R(t) a la fiabilidad y F(t) a
la desfiabilidad de una pieza suponiendo que el comienzo de la misión t1=0 y
que, por lo tanto, t2 puede ser cualquier instante t perteneciente al eje de eda-
des T.
3.3. Tasa de fallo
Hasta ahora hemos visto que la desfiabilidad, F(t), indica la probabili-
dad de que una unidad falle antes del instante t, es decir,
F(t)=P(Tt)
donde T es la variable aleatoria que indica la edad a la que se produce el fallo
de dicha unidad, lo cual (como se comentó) es la función de distribución de la
variable vida.
Por lo tanto, si F(t) es la función de distribución de fallo, derivándola
con respecto a t podemos obtener la función de densidad de fallo f(t). Por ello,
teniendo en cuenta que F(0)=0, podemos escribir que
 



t
0
dt
)
t
(
f
)
t
T
(
P
)
t
(
F
y que








 t
dt
)
t
(
f
)
t
T
(
P
)
t
T
(
P
1
)
t
(
R

36. -35-
Veamos que se puede obtener la vida media de la unidad directamente
a partir de la función de fiabilidad. En efecto, es sabido que:





 0
dt
)
t
(
f
t
integrando por partes esa expresión:










 0
0
0
dt
)
t
(
F
)]
t
(
F
t
[
dt
)
t
(
f
t
como se da que:
si t t F(t)  t ( ya que F(t)1 )
y si t = 0 t F(t) = 0
es decir:


 0
0 ]
t
[
F(t)]
[t
y con ello:


















 0
0
0
0
0
dt
)
t
(
R
dt
))
t
(
F
1
(
dt
)
t
(
F
]
t
[
dt
)
t
(
f
t
Así pues, la vida media será:









 0
0
dt
)
t
(
R
dt
)
t
(
f
t
La Tasa de Fallo, (t), se define como la velocidad de extinción o la va-
riación relativa del número de supervivientes en el instante t y se relaciona
con el número de fallos por unidad de tiempo, siendo por tanto:
 
)
t
(
R
)
t
(
'
R
)
t
(
N
)
t
(
N
t
)
t
(
N
/
)
t
t
(
N
)
t
(
N
lim
)
t
(
0
t










 


es decir,
)
t
(
F
1
)
t
(
f
)
t
(
R
)
t
(
f
)
t
(




ya que
 





 t
t
dt
)
t
(
f
1
dt
)
t
(
f
)
t
(
R
y en consecuencia
R’(t) = - f(t)

37. -36-
Cuando la Tasa de fallo es constante (t)=.
La fiabilidad en función de la tasa de fallo se puede calcular como:
)
t
(
R
dt
/
)
t
(
dR
)
t
( 


)
t
(
R
)
t
(
dR
dt
)
t
( 



integrando a ambos lados de la igualdad se obtiene:
 

 






t
0
t
0
)
t
(
R
ln
)
t
(
dR
)
t
(
R
1
dt
)
t
(
y despejando la fiabilidad R(t) nos queda que
 



t
0
dt
)
t
(
e
)
t
(
R
3.4. Variación de la Tasa de Fallo
La tasa de fallo (t) de casi cualquier tipo de unidades varía en función
del tiempo, de forma que es frecuente que durante el primer periodo de vida
de las unidades la tasa de fallo sea decreciente (periodo de fallos precoces)
hasta que se alcanza un valor en el cual se mantiene sensiblemente constan-
te (periodo de fallos accidentales) y que es la zona llamada de vida útil del
producto. Finalmente, a partir de un determinado instante de tiempo, la tasa
de fallo crece, generalmente de un modo muy rápido (periodo de fallos por
envejecimiento). En la figura 3.3 se muestra la curva de la función tasa de fa-
llo.
t
(t)
Fallos por
envejecimiento
Fallos
accidentales
Fallos
precoces
Vida útil
b
a

38. -37-
Figura 3.3.- Evolución de la Tasa de fallo (t)
Los fallos precoces son los que se producen en el periodo inicial del
funcionamiento, por lo general en los primeros minutos u horas de funciona-
miento. Son fallos debidos a errores de diseño o de fabricación y una vez re-
sueltos no vuelven a ocurrir. Los fallos precoces pueden evitarse sometiendo
a las unidades a controles de “puesta a prueba”, depuración o purga (Burn-in):
en ocasiones se realiza un test en el 100% de la unidades para simular el fun-
cionamiento en esta etapa y eliminar este tipo de fallos. La eliminación de los
fallos precoces es necesaria para conseguir una buena fiabilidad, especial-
mente en los sistemas de misión única en los que un fallo puede provocar su
destrucción completa y, en general, por el devastador efecto que sobre el
cliente tiene el fallo de un producto recién adquirido.
El periodo de vida útil, que representa la vida efectiva del producto, se
caracteriza por tener una tasa de fallos constante en la que sólo se presentan
fallos accidentales debidos al azar, es decir, que no son producidos por un
uso indebido ni por defectos de fabricación. Entrarían en esta categoría de fa-
llos accidentales los debidos a sobre esfuerzos ocasionales, errores de ope-
ración del usuario y, en general, a las situaciones impredecibles no asociadas
al tiempo de uso o a la edad. Los fallos accidentales pueden ser controlados
con un buen procedimiento de operación y con un adecuado mantenimiento
preventivo.
Los fallos por envejecimiento son los asociados a mecanismos de fallo
debidos al uso o edad : fatiga del material, degradación de los componentes,
aislantes,...que se originan gradualmente con el funcionamiento de las unida-
des. La tasa de fallo podrá reducirse con planes de mantenimiento que eviten
el agotamiento de los componentes. En consecuencia, en un sistema, des-
pués de que las unidades hayan funcionado un tiempo b, si no se reemplazan
las unidades usadas por otras nuevas, depuradas de fallos precoces, el servi-
cio se hará inseguro y la fiabilidad descenderá a valores peligrosos. En gene-
ral, en la zona de envejecimiento, la velocidad de crecimiento de la tasa de fa-
llo depende del régimen de uso de la unidad en la época de su vida útil.

39. -38-
La tasa de fallo total de las unidades puede considerarse resultante de
la suma de las tasas de fallo originadas por fallos precoces, accidentales y de
envejecimiento (ver figura 3.4). Así pues, tenemos que:
(t)=p(t)+a+e(t)
Por lo tanto, la fiabilidad conjunta se halla como el producto de las fiabi-
lidades precoces, accidentales, y de envejecimiento:
 
)
t
(
S
)
t
(
S
)
t
(
S
e
)
t
(
S e
a
p
dt
)
t
(
)
t
(
t
0 e
a
p



  






Esta fórmula demuestra que las tres causas de fallo precoces, acciden-
tales, y por envejecimiento son independientes entre sí (si admitimos que las
tasas de fallo son aditivas).
t
 ( t)
 p ( t)
 a
 e ( t )
Figura 3.4.- Independencia de las causas de la Tasa de Fallo

40. -39-
3.5. Ejercicios.
1. Hacer un listado de productos cuya edad no se mida por tiempo, indicando
en cada caso qué unidad sería la empleada para medir el uso de los produc-
tos.
2. Considerar un producto de uso común. Identificar al menos una causa de
fallo precoz, una de fallo accidental y una de fallo por envejecimiento.
3. Si la duración o vida de un producto sigue un modelo exponencial de los
vistos en el capítulo anterior, calcular su tasa de fallo.
4. Para los siguientes productos, formular objetivos de fiabilidad en los que
estén recogidos: definición de la misión; definición de las condiciones de fun-
cionamiento; criterio para medir la edad (si procede); y valoración de la fiabili-
dad exigida. Los productos en cuestión son: una pila recargable; un tostador
de pan; un detector de humos de una alarma de incendios; un relé; y una pas-
tilla de freno de disco.

41. -40-
CAPÍTULO 4: MODELOS DE FIABILIDAD
Como se ha visto anteriormente, en unidades de funcionamiento conti-
nuado, la fiabilidad es la probabilidad de supervivencia a una cierta misión de
duración t, es decir, la probabilidad de que una unidad funcione más de un
tiempo t:
R(t)=P(T>t)
Por lo tanto, para poder medir o estimar esta probabilidad de funciona-
miento es preciso determinar la distribución de probabilidades de fallo, es de-
cir, la distribución de la variable vida de la unidad. Emplearemos para este es-
tudio las mismas tres distribuciones estadísticas que fueron introducidas en el
Capítulo 2: distribución normal, distribución exponencial y distribución de Wei-
bull.
4.1. Modelo Normal (N(,)).
Sea t la variable vida de una unidad. Si suponemos que esa variable
sigue la distribución normal con media  y desviación típica  (ya definida an-
teriormente), se tendrá que la función de fiabilidad es,
R(t)=1-F(t)= 


























  





 t
t
1
dt
e
2
1
1
t 2
)
t
(
2
2
siendo f(t) la función de distribución de la normal tipificada que se encuentra
tabulada (ver la correspondiente tabla en el Apédice A). La Tasa de fallo para
esta distribución es:






















t
e
2
1
)
t
(
R
)
t
(
f
)
t
(
2
2
2
)
t
(
que resulta ser una tasa de fallo creciente con t, lo cual quiere decir que pue-
de representar el comportamiento de esas unidades durante el envejecimien-
to, cuando la tasa de fallo aumenta.

42. -41-
La distribución Normal está definida para t  ]-,[ pero es evidente
que la vida de un componente comienza en el instante de su puesta en fun-
cionamiento, por ello como mínimo, si el componente es nuevo, podría co-
menzar en el instante t=0 y, por lo tanto, no podemos hablar de tiempos nega-
tivos. Así pues, solo podremos utilizar este tipo de distribución como repre-
sentante del fenómeno de envejecimiento, en el caso de que la vida media es-
te suficientemente alejada del origen de edades (t=0) de modo que la masa
de probabilidad a la izquierda de cero sea prácticamente nula. Se suele con-
siderar que ello es así si se cumple que -3>0, es decir, que />3, puesto
que por debajo de éste valor solo queda un 1’3 0
/00 de población y por lo tanto
R(0)1.
4.2. Modelo Exponencial (EXP()).
Como ya se vio, la expresión de la función de densidad cuando la vida
de la unidad sigue una distribución exponencial es
f(t)=·e-t
t0
donde  es una constante positiva (>0).
Como la función de distribución, es decir, su desfiabilidad será
F(t)=1-e-t
t0
la función de fiabilidad, probabilidad de supervivencia a una duración t, queda
como
R(t)=1-F(t)=e-t
t0
Un valor interesante es el que se da si t=1/, es decir cuando la dura-
ción de la misión coincide con la vida media, en cuyo caso:
R(1/)=0’37

43. -42-
Es decir, la vida media es alcanzada solamente por un 37% de la po-
blación, como consecuencia del carácter asimétrico de la distribución (ver
Capítulo 2).
La Tasa de fallo es:





 



t
t
e
e
)
t
(
R
)
t
(
f
)
t
( t0
Puede observarse que (t) no depende de t, en otras palabras, la tasa
de fallo es constante, por ello emplearemos la distribución exponencial duran-
te el periodo de vida útil del producto.
Es frecuente representar al parámetro 1/ por , vida media, así pues,
las fórmulas anteriores quedarían como:



 /
t
e
)
t
(
f F(t)=1-e-t/
R(T)=e-t/
= =
Si nos fijamos en las expresiones de las funciones de densidad, distri-
bución y fiabilidad (la que es aquí objeto de estudio), observamos que es la
relación entre duración de la misión y la vida media, el ratio t/, el que define
el valor de las mismas y no tanto el valor exclusivo de t.
Una propiedad importante del modelo exponencial es que es un modelo
sin memoria. En efecto, es fácil probar que si una vez que ha fallado acciden-
talmente una unidad, la reparamos y la volvemos a poner en funcionamiento
hasta que vuelva a fallar, la duración del intervalo aleatorio que separa estos
dos fallos accidentales consecutivos sigue también una ley exponencial de
parámetro =1/. La distribución exponencial es, así pues, una distribución
sin memoria porque la probabilidad de que una unidad falle en un lapso es-

44. -43-
pecífico de tiempo depende nada más de la duración de éste y no del instante
en el que comenzó la operación:
 
   
 
T
t
,
t
t
P
T
t
,
t
t
P 2
2
1
1 



  t1,t2
En efecto, sean t1, y t2 tales que t2>t1. Se cumple que:
   
)
t
t
(
R
e
e
e
)
t
T
(
P
)
t
T
(
P
)
t
T
(
P
)
t
T
t
T
(
P
)
t
T
/
t
T
(
P
1
2
)
t
t
(
t
t
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2






















Si llamamos t1=t, t2=t1+, resulta:
P(T>t+/T>t) = R()
Es decir, que la fiabilidad depende sólo de la duración de la misión, , y
no de la edad de la unidad al comienzo de la misma.
De esto se deduce que si =1/ es la vida media, desde el inicio de la
misión o del servicio, hasta que se produce un fallo accidental, pero además
también puede ser la duración media del tiempo que transcurre entre dos fa-
llos accidentales consecutivos en la misma unidad. Por esta última causa a 
se le llama tiempo medio hasta el fallo (Mean Time To Failure, MTTF) o tiem-
po medio entre dos fallos (Mean Time Between Failures, MTBF), según se tra-
te de unidades no reparables (MTTF) o reparables con restitución completa
(MTBF). Hay que hacer constar que estamos aquí suponiendo que la repara-
ción restituye a la unidad a un estado similar al que tenia antes del fallo. Si es-
to no fuera así, deberíamos entrar en la definición de otros parámetros, como
por ejemplo el tiempo medio hasta el primer fallo (Mean Time to First Failure
MTTFF).

45. -44-
4.3. Modelo de Weibull.
Si la variable vida de la unidad estudiada se modeliza mediante una
distribución de Weibull completa, de parámetros ,  y , la función de fiabili-
dad será:














t
e
)
t
(
R
Por lo tanto la tasa de fallo es:













)
(
)
t
(
)
t
(
R
)
t
(
f
)
t
(
1
Tal como se comentó en el Capítulo 2, el parámetro  suele ser nulo,
con lo cual nos queda la distribución reducida de Weibull , quedando para es-
te caso la desfiabilidad, la fiabilidad y la tasa de fallo con las siguientes expre-
siones:











t
e
1
)
t
(
F










t
e
)
t
(
R 







1
t
)
t
(
Obsérvese que si t=, entonces F()=0’63 y R()=0’37
A partir de la ecuación de la tasa de fallo podemos comprobar que ésta
crece o decrece en función del valor de , es decir, si <1 entonces la tasa de
fallo es decreciente, si >1 es creciente, y si =1, es constante. Por lo tanto, la
distribución de Weibull puede servir para explicar las distintas situaciones de
la vida de un producto, si <1 podremos utilizarla para explicar el periodo de
fallos precoces, si >1 servirá para el periodo de fallos por envejecimiento, y
si =1 la utilizaremos para explicar la zona de vida útil.
En este último caso, obsérvese que si en las expresiones de las fun-
ciones de distribución y fiabilidad hacemos =1, aparecen las correspondien-
tes al modelo exponencial, que resulta así ser un caso particular del modelo

46. -45-
de Weibull, con =0 y =1, quedando el tercer parámetro, , identificado con
la media de la distribución:
Exp(1/) = W(=0, , =1)
Una característica importante de la distribución de Weibull en compara-
ción con la exponencial es que ahora la fiabilidad si que depende de la edad
que tenga la unidad al comienzo de la misión, y no sólo de la duración de la
misma. Dicho en los mismos términos que empleábamos antes, la distribución
de Weibull si que tiene memoria de la actividad pasada de la unidad, lo cual,
por ejemplo, justifica su uso en el periodo de envejecimiento.
4.4. Ejercicios.
1. La vida de una unidad sigue un modelo de Weibull de parámetros =850
horas y =3.5, debiendo ser empleada en una misión de duración 150 horas.
Estudiar como evoluciona la fiabilidad en función de la edad inicial de la uni-
dad. Para ello usar las edades 0, 100, 200, 300, 400 y 500 horas.
2. Las bombillas de los faros halógenos de un automóvil tienen una vida me-
dia de 1200 horas. Asumiendo un modelo exponencial, cuál es la fiabilidad pa-
ra cinco años de uso del automóvil, asumiendo que en promedio las luces
están encendidas 0.5 horas por día.
3. La duración de un bolígrafo se mide por los metros de escritura que propor-
ciona. En un estudio realizado se ha visto que esa duración sigue una distri-
bución normal, con media 850 m y desviación típica 150 m. Su poniendo que
una página de texto requiere 8 m de trazo, cuál es número de páginas de es-
critura que podemos garantizar con una probabilidad del 95%.
4. La vida de unas unidades empleadas en un submontaje sigue una distribu-
ción exponencial. Sabemos que el 90% supera las 750 horas de funciona-
miento. ¿Cuál será la fiabilidad para una misión de duración 1500 horas?.

47. -46-

48. -47-
CAPÍTULO 5: ESTIMACIÓN Y ENSAYOS
Los modelos estadísticos que se han visto en capítulos anteriores no
son excesivamente complejos y permiten realizar con facilidad predicciones
sobre el comportamiento de las unidades estudiadas, en lo que hace a su fia-
bilidad. Ahora bien, el uso de las expresiones involucradas requiere el cono-
cimiento de una serie de parámetros que sólo es posible conseguir por la vía
de la experimentación y los ensayos. No existe ningún procedimiento deducti-
vo que permita conocer la fiabilidad o los parámetros de vida de las unidades
estudiadas a partir de sus características físicas, mecánicas, eléctricas, o de
cualquier otro tipo. Además, al estudiar las fiabilidades de los componentes
deben tenerse muy presentes las condiciones de trabajo a las que estarán
sometidos durante su servicio y en los periodos de reposo o de almacena-
miento, ya que la fiabilidad de un componente es función de las condiciones
que debe soportar.
Una vez determinadas estas condiciones, es conveniente estudiar por
separado las “condiciones dominantes”, es decir, las que tienen mayor in-
fluencia sobre la fiabilidad del componente, y las “no dominantes” que son
aquellas que pueden ser eliminadas o simplemente mejoradas bien por pe-
queñas modificaciones en el diseño del producto o con mejoras de fabrica-
ción. Estas últimas se tratarán de eliminar o al menos estabilizar lo más rápi-
damente posible.
Las condiciones dominantes son las que se someterán a un estudio lo
más completo posible midiéndose sus rangos de variación, la aparición de so-
brecargas accidentales, e incluso sus valores extremos. A partir de aquí ya
podemos proceder al diseño de los ensayos con el objeto de estimar las tasas
de fallo, los tiempos medios de servicio, etc., y en general, los parámetros ne-
cesarios para el ajuste a los modelos teóricos de las muestras obtenidas. El
motivo que nos lleva a considerar la realización de ensayos de fiabilidad como
necesaria es la imposibilidad, ya comentada, de obtener por algún método
analítico - deductivo información sobre la fiabilidad o duración de un producto:
Ante esa imposibilidad se reacciona realizando experiencias en las que se

49. -48-
pretende simular el comportamiento que tendrá el producto cuando sea real-
mente usado por sus usuarios, conociendo con ello características tales como
su duración, vida media, fiabilidad para cierta misión o servicio, etc..
De la observación de la vida real se deduce que componentes teórica-
mente iguales tienen comportamientos distintos al someterlos a unas mismas
condiciones de funcionamiento. Precisamente, estas variaciones obligan a un
tratamiento estadístico para la estimación de la fiabilidad, pero toda elabora-
ción estadística se basa en hechos reales medidos y observados y, por lo tan-
to, será necesario obtener los datos reales para la determinación de esta fiabi-
lidad.
Un procedimiento razonable que parecería lógico comenzaría fijando
en el valor nominal cada tipo de condición (valor recomendado para el funcio-
namiento normal del componente). Tomando una muestra aleatoria de tama-
ño n de los componentes, se hacen funcionar bajo este régimen y se registran
los tiempos en el que se producen los fallos, así como las causas que los mo-
tivan. Una vez realizado, se repite el ensayo con otra muestra aleatoria, pero
esta vez cambiando las condiciones de funcionamiento. De esta forma se ob-
tienen las curvas del componente para diversos regímenes de trabajo.
El método de ensayo anterior presenta grandes limitaciones lo que
hace necesario desarrollar otros métodos que permitan sustituirlo en beneficio
de una mayor rapidez. Precisamente, en este apartado vamos a desarrollar
algunos tipos de ensayos atendiendo a distintas clasificaciones según los ob-
jetivos perseguidos, a las cargas aplicadas y a consideraciones estadísticas.
5.1. Tipos de ensayos.
En primer lugar debe considerarse que el objetivo de los ensayos en
fiabilidad es conocer el comportamiento que tendrá el producto cuando sea
realmente utilizado. Ahora bien, las condiciones reales de uso pueden ser tan
variadas y complejas que es difícil reproducirlas todas en un solo ensayo o
batería de ensayos, dada la habitual limitación de tiempo y recursos con que

50. -49-
se van a encontrar las empresas. Ello ha obligado a desarrollar toda una serie
de ensayos orientados a captar aquellos aspectos más importantes, en cada
caso, del comportamiento de un producto. A continuación se presenta un cla-
sificación de esos ensayos, en función de distintos criterios.
a) Por los objetivos
1. Ensayos de medida: Utilizados para conocer el comportamiento de dise-
ños nuevos y analizar el cumplimiento de las metas de fiabilidad. Se reali-
zan prototipos para obtener la forma de la distribución de fallos, los pará-
metros que determinan la distribución y sus correspondientes intervalos
de confianza. El objetivo de estos ensayos es medir la fiabilidad del com-
ponente sin cuestionar las metas de fiabilidad previamente establecidas.
Los ensayos servirán además para dar validez al diseño del componente.
2. Ensayos de control: El objetivo de estos ensayos es mantener una conti-
nuidad de la fiabilidad en sucesivas fabricaciones o lotes, es decir, trata
de asegurar el mantenimiento de un determinado nivel de fiabilidad en el
dispositivo.
3. Ensayos de investigación: Se utilizan para mejorar los resultados de fiabi-
lidad investigando las posibles causas de fallos con el fin de estudiar las
modificaciones más apropiadas. Suelen orientarse hacia el estudio de
modos de fallos concretos.
4. Ensayos en condiciones reales de funcionamiento: El objetivo de este tipo
de ensayo es conocer el comportamiento real de los equipos de produc-
ción en serie. Son ensayos encaminados a conocer la fiabilidad en condi-
ciones reales de funcionamiento.
b) Por su naturaleza estadística
1. Ensayos de estimación: Orientados a conocer (estimar) el valor de alguno
de los parámetros que reflejan el comportamiento del producto, en cuanto
a su duración. Emplea métodos estadísticos de estimación, puntual o por
intervalos de confianza.
2. Ensayos de comparación: Se pretende con ellos comparar el comporta-
miento del producto en cuanto a su vida con un estándar previamente fi-

51. -50-
jado. Emplea técnicas estadísticas de contraste de hipótesis, habitualmen-
te paramétricas.
c) Por las cargas aplicadas
1. Ensayos bajo carga constante: Las cargas aplicadas son invariantes a lo
largo del ensayo.
 Ensayos normales: son ensayos en los que las cargas aplicadas son el
mismo orden que las de servicio.
 Ensayos acelerados: Con el fin de acortar el tiempo de ensayo, las car-
gas aplicadas son superiores a las de servicio.
2. Ensayos bajo carga variable: La intensidad de carga varía a lo largo del
ensayo
 Ensayos con crecimiento lineal de la carga.
 Ensayos con carga creciente escalonadamente.
 Ensayos con ciclos en el nivel de carga: La variación tiene lugar según
un ciclo previsto.
 Ensayos con carga aleatoria.
c) Por la criterio de detención de la prueba
1. Ensayos completos: Son aquellos que terminan cuando han fallado todas
las unidades ensayadas. Presentan el inconveniente de la larga duración
del ensayo, que hace que sean relativamente poco usados.
2. Ensayos de duración fija, truncados o limitados por tiempo: El ensayo du-
ra un tiempo prefijado. Suelen corresponder a ensayos de control, es de-
cir, a aquellos cuyo objetivo es asegurar una fiabilidad mínima.
3. Ensayos a número de fallo fijo, censurados o limitados por fallos: Finaliza
el ensayo cuando han fallado un número predeterminado de componen-
tes. La ventaja es no tener que esperar a que se estropeen todos los
componentes de la muestra. También se emplean como ensayos de con-
trol.
4. Ensayos progresivos o secuenciales: Son ensayos en los que se decide
en cada fallo si se continúa o no. Son también ensayos de control.

52. -51-
5. Ensayos progresivos limitados: Se limitan tanto la duración del ensayo
como el número de fallos ocurridos y se detiene según lo que ocurra ante-
s. La ventaja es que, en muchos casos, puede anticiparse la decisión.
Se ve, pues, que la variedad de ensayos disponibles hace que, a priori,
no se pueda establecer una recomendación general concreta, sino que la
elección del tipo de ensayo debe adaptarse a cada caso concreto y cada ne-
cesidad, actuándose según las características propias del estudio. Por ejem-
plo, mientras que en los ensayos de medida no conocemos el comportamien-
to de los dispositivos, en los ensayos de control tenemos cierta experiencia
por ensayos anteriores o por los resultados en el servicio, así pues, en el pri-
mer caso necesitaremos aplicar ensayos completos y en el segundo será su-
ficiente con un ensayo censurado o truncado. Por otra parte, si estamos en la
fase de estudio de un componente (medida, control e investigación) los ensa-
yos podrían ser de duración más corta y con condiciones de carga controlada,
mientras que para la clasificación definitiva del producto lo mejor es realizar el
estudio en condiciones de carga reales (aleatorias) y con duración más larga.
5.2. Análisis de los resultados de los ensayos.
Para realizar el análisis de los resultados será necesario tener en cuen-
ta dos puntos: en primer lugar, conocer las causas del fallo o avería, puesto
que nos servirá para determinar si el fallo es prematuro (precoz), accidental o
debido al envejecimiento, y en segundo lugar, tener en cuenta una serie de
consideraciones estadísticas. Así pues, conocimientos técnicos y estadísticos
deben ir a la par.
También es importante determinar con exactitud el estado de los com-
ponentes, puesto que, por ejemplo, el almacenamiento puede producir algún
tipo de degradación (p.e., problemas de oxidación) que provoque fallos pre-
maturos en el ensayo y sin embargo no podemos considerarlos fallos por en-
vejecimiento dada la rapidez de su aparición. Por ello, someteremos a ensa-
yo solo aquellas unidades que se encuentren dentro de los límites apropiados
en cuanto a las condiciones de trabajo se refiere.

53. -52-
5.2.1. Ensayos de fiabilidad frente a fallos accidentales
Para realizar ensayos en los que se quiere estudiar el comportamiento
del producto frente a fallos accidentales será necesario que hayamos elimina-
do los fallos precoces. Como en el periodo de fallos accidentales el compor-
tamiento de la variable vida de la unidad es independiente de la edad del pro-
ducto, podemos comenzar el ensayo en un instante de tiempo arbitrario sin
que los tiempos tengan que coincidir con la edad del producto. De todos mo-
dos es aconsejable usar unidades similares en cuanto a edad e historia pre-
via, pues el modelo exponencial no deja de ser una idealización de los com-
portamientos reales. Este tipo de ensayo estudia la duración del servicio, más
que la edad del producto.
Para que este tipo de ensayo sea válido será necesario diferenciar en-
tre fallos accidentales y fallos por envejecimiento. Para tener una cierta segu-
ridad de que los fallos producidos no son debidos a esta última causa debe-
mos asegurarnos que los ensayos se realicen durante el periodo de vida útil
de los componentes sometidos a estudio.
El problema que tendríamos que solucionar ahora es cómo determinar
el final del periodo de vida útil, que es precisamente donde comienza el fenó-
meno de envejecimiento, con el fin de no mezclar las dos posibles clases de
fallos. Para ello debemos recurrir al empleo de métodos estadísticos.
Como se demostró en apartados anteriores, en este periodo la vida tie-
ne una distribución exponencial, EXP(), en la que la tasa de fallo es constan-
te. Por otra parte, sabemos que el periodo de vida útil es aquel en el que los
componentes son útiles en cuanto a que sólo una causa accidental provocará
su fallo, y no problemas intrínsecos al propio producto. Si, trabajando con uni-
dades nuevas, observamos que algunos fallos se han producido en tiempos
de servicio (edades) anormalmente altos para una distribución Exp(), debe-
remos deducir que se trata de unidades que, superada la etapa de fallos acci-
dentales, han sufrido un fallo por envejecimiento.

54. -53-
Así pues, lo que se hace habitualmente es estimar  y calcular un tiem-
po de servicio b para el cual la fiabilidad alcance un valor pequeño  (con fre-
cuencia =0.00135):
R(b) = e-b
= 
b =   
1

  
ln ln
Las unidades cuya duración ha superado ese valor b debes ser elimi-
nadas de la muestra, debiéndose repetir el cálculo de b tantas veces cuantas
sea necesario hasta eliminar todos los fallos que no podemos considerar ac-
cidentales.
Por lo tanto, consideraremos que desde el comienzo del ensayo hasta
el instante b todos los fallos que se produzcan serán debidos al azar (acciden-
tales), a no ser que se demuestre lo contrario. En tal caso, y como ya vere-
mos más adelante, solo será necesario realizar una corrección de los cálculos
del ensayo.
Es posible que antes del instante b fallen solo una pequeña parte de
los componentes de la muestra. Si esta fuera muy reducida podría no haber
ningún fallo accidental, o un número de ellos de escasa significación. Por ello,
para obtener suficiente información los ensayos de fiabilidad, suelen hacerse
con muestras de tamaño bastante grande.
5.2.2. Ensayos de fiabilidad frente a fallos por envejecimiento.
Para realizar ensayos de envejecimiento será necesario depurar la
muestra estudiada de fallos precoces. Ello dificulta el que el ensayo comience
al inicio de la vida del producto (por la necesidad de depurar las unidades). Si
esas unidades anteriormente ya estuvieron sometidos a ensayo, con el objeti-
vo de eliminar los fallos precoces, los tiempos tendrán que sumarse a los del
ensayo actual.

55. -54-
Por otra parte, y como se comentó con anterioridad, es necesario que
diferenciemos los fallos accidentales de los fallos por envejecimiento, por ello,
si se decide que k de los fallos no han sido debido a esta última causa de-
berán excluirse del estudio, lo cual sería equivalente a realizar el ensayo con
n-k componentes.
No obstante, algunas veces será difícil eliminar de forma clara los fallos
que no sean debidos al envejecimiento, por esta causa será necesario recurrir
a consideraciones estadísticas. Por ejemplo, si el ensayo de envejecimiento
está asociado a una distribución Normal de media  y desviación típica ,
N(,), en el intervalo  3· se encuentra el 99’73% de las observaciones, es
decir, que por debajo del límite inferior solo se encuentra el 0’135%. Así pues,
la probabilidad de que un componente falle por envejecimiento antes de  -
3· es muy pequeña, y en promedio sólo 1’35 componentes de cada 1000
tendrán este tipo de fallo. Por ello, los fallos que ocurran antes de este límite,
salvo que se demuestre lo contrario, decidiremos que son fallos accidentales.
Este criterio puede aplicarse también a la distribución de Weibull cuando
>3’2 (con lo cual sería correcto aproximarla a la distribución normal).
Evidentemente, para aplicar el método estadístico anterior, es necesa-
rio conocer una estimación aproximada del valor de  y de . Una vez conoci-
das estas estimaciones, se rechazarán aquellos componentes que se encuen-
tren por debajo del límite. Puesto que eliminamos datos que han sido utiliza-
dos en la estimación de los parámetros anteriores será necesario volver a de-
terminar sus estimaciones a partir de los datos restantes para una mayor
exactitud, y así continuaremos hasta que no queden componentes con valo-
res por debajo de dicho límite.
5.3. Ensayos de estimación.
En los puntos anteriores se ha podido comprobar que algunos de los
métodos utilizados para determinar la diferencia entre los fallos accidentales y
de envejecimiento se basan en la estimación de los parámetros de una distri-
bución. También es muy frecuente que el objetivo del ensayo sea conocer la

56. -55-
ley de probabilidad de los componentes y obtener bien la estimación, bien el
contraste de los parámetros de estas distribuciones. Para ello se examina una
muestra de tamaño n de un mismo tipo de componentes con el fin de estudiar
dicha distribución estadística de la duración de la vida de las unidades.
En los apartados siguientes se muestran algunos métodos básicos pa-
ra realizar estas estimaciones, atendiendo al distinto tipo de distribución o
modelo estadístico empleado.
5.3.1. Distribución Exponencial.
Como hemos visto anteriormente, la ley exponencial expresada según
su función de densidad es:
f(t) = ·e-t
siendo su función de fiabilidad
R(t) = e-t
Como se observa, la ley exponencial depende de un único parámetro
que es la tasa de fallo, , que esta relacionada con  puesto que =1/, tam-
bién llamado tiempo medio entre fallos (MTBF) o tiempo medio hasta el fallo
(MTTF), según el caso. Por lo tanto, éste será el único parámetro que necesi-
tamos estimar para determinar la distribución de la vida en el periodo de fallos
accidentales o vida útil.
5.3.1.1. Estimación de parámetros.
 Estimación puntual:
La estimación puntual del MTBF (MTTF) para cualquier tipo de ensayo
es relativamente sencilla, siempre y cuando estemos es el periodo de vida útil,
pues en tal caso la vida media será:
r
T
r
t
ˆ
n
1
i
i


 

es decir, la suma de todas las vidas de las diferentes unidades ensayadas
(hayan terminado fallando o no) dividido por r, que es el número de compo-

57. -56-
nentes que han fallado. Si el tipo de ensayo realizado fuera un ensayo com-
pleto, el valor de r coincidiría con el tamaño de la muestra n. Al numerador T
se le llama “tiempo total acumulado de test” y representa la experiencia de
uso de ese tipo de unidad que se ha acumulado en el ensayo.
Ejemplo 5.1.
Considérese que se ha hecho un ensayo limitado por tiempo con diez unida-
des. La detención de la experiencia se produjo a las 250 horas de su inicio y,
hasta ese instante, habían fallado cuatro unidades en los tiempos 80, 145,
210 y 238. En este caso tendríamos:
r = 4
T = 80 + 145 + 210 + 238 + 6*250 = 2173
 .
  
2173
4
543 3 h
 Estimación mediante intervalos de confianza:
Otra forma de estimar la vida media es con intervalos de confianza. En
este caso, la estimación del parámetro  se realizará de forma distinta según
el tipo de ensayo utilizado. En las expresiones siguientes  es el llamado nivel
de significación.
 Ensayo completo o ensayo censurado (Test limitado por fallos):
- Intervalo bilateral: )
2
/
1
(
2
r
2
)
2
/
(
2
r
2
T
2
T
2










- Intervalo unilateral: )
(
2
r
2
T
2





 Ensayo truncado (Test limitado por tiempo):
- Intervalo bilateral: )
2
/
1
(
2
)
1
r
(
2
)
2
/
(
2
)
1
r
(
2
T
2
T
2




 






- Intervalo unilateral: )
(
2
)
1
r
(
2
T
2







58. -57-
Téngase en cuenta que lo que se ha llamado aquí arriba intervalo unila-
teral es en realidad una cota mínima que se esta dando para el valor de la vi-
da media de la unidad, a la vista de la información recogida en el ensayo y
con cierto nivel de confianza.
 Estimación mediante métodos gráficos:
Podemos utilizar un método de estimación gráfica para determinar el
parámetro de la ley exponencial, y a su vez, poder comprobar que los datos
se distribuyen según esta ley. Este método es adecuado para ensayos com-
pletos.
Para la realización de estimaciones gráficas en ensayos incompletos,
se empleará el mismo procedimiento descrito más adelante, para la distribu-
ción de Weibull con datos incompletos, puesto que la distribución exponencial
es una caso particular de la de Weibull.
El procedimiento es un gráfico donde en el eje de abcisas, colocamos
los instantes de fallo de cada componente y en el eje de ordenadas (con es-
cala logarítmica) dibujamos los valores de 1/R(t). Si la duración del compo-
nente obedece a una distribución exponencial los puntos que representan a
cada componente deben quedar más o menos alineados (Figura 5.1).

59. -58-
1/Ri
2’72
1
10
100
Figura 5.1.- Papel probabilístico exponencial
La F(ti) estimada, para el caso de tamaño de muestra reducida, como:
1
n
i
)
t
(
F i
i


donde i es el número total de componentes que ha fallado hasta ese instante ti
(orden en el que han fallado) y n es el tamaño de la muestra del ensayo.
Si n es relativamente grande podemos hallar F(ti) como:
n
i
)
t
(
F i
i 
Por lo tanto, usando las dos expresiones anteriores, el valor de la fiabi-
lidad será:
R t
i
n
n i
n
i i
( )  


 

1
1
1
1

60. -59-
o bien R t
i
n
n i
n
i i
( )   

1
según sea el tamaño de la muestra.
Una vez realizada la gráfica y comprobado que los puntos quedan sen-
siblemente alineados, lo que significa que la vida de los componentes se pue-
den distribuir como una exponencial, el valor de la estimación de la vida media
corresponde a la proporción a R()=0’37, es decir, 1/R()=e1
=2.72.
Ejemplo 5.2.
Se han ensayado 37 componentes cuya duración se supone que sigue
una distribución exponencial. Las duraciones respectivas se resumen en la
tabla 5.1.
 Estimación puntual:
Vida media: 221.46 horas
 Estimación por intervalos de confianza:
Intervalo bilateral ( = 5%): [153.73, 286.5]
Cota inferior ( = 5%): 160.82
 Gráficamente (ver figura 5.2).
i ti (horas) Si 1/Si i ti (horas) Si 1/Si
1
2
3
4
5
10
15
20
22
32
0’974
0’947
0’921
0’895
0’868
1’027
1’056
1’086
1’118
1’152
21
22
23
24
25
172
195
207
219
238
0’447
0’421
0’395
0’368
0’342
2’235
2’357
2’533
2’714
2’923
6
7
8
9
10
40
42
46
48
51
0’842
0’816
0’789
0’763
0’737
1’188
1’226
1’267
1’310
1’357
26
27
28
29
30
260
300
342
382
435
0’316
0’289
0’263
0’237
0’211
3’167
3’455
3’800
4’222
4’750
11
12
13
14
15
60
71
76
87
93
0’710
0’684
0’658
0’631
0’605
1’407
1’462
1’520
1’583
1’652
31
32
33
34
35
460
490
520
600
630
0’184
0’158
0’132
0’105
0’079
5’429
6’333
7’800
9’500
12’667
16 105 0’579 1’727 36 670 0’053 19’000

61. -60-
17
18
19
20
112
116
127
131
0’553
0’526
0’500
0’474
1’810
1’900
2’000
2’111
37 770 0’026 38’000
Tabla 5.1.
Figura 5.2.
Ri
1/Ri
0’37
2’72
1 1
0.5
0.2
10 0.1
100 0.01
t
800
700
600
500
400
300
200
100
0
En la que se puede comprobar que la estimación de la media es similar a la
obtenida por métodos numéricos de estimación puntual.
5.3.1.2. Duración media de los ensayos. Número medio de fallos.
Por otra parte, para el caso de la distribución exponencial podemos
realizar las estimaciones de la duración esperada del ensayo o del número
esperado de fallos en función de tipo de ensayo, valores ambos que son de
gran interés en la fase de diseño del test, para ajustar su duración (caso de
los ensayos truncados) o el número de fallos permitidos (caso de los ensayos
censurados), así como el número de unidades empleadas.
 Ensayos censurados:

62. -61-
 Si el ensayo es sin reemplazamiento de las componentes que fallan, la
duración media del ensayo será:

 




r
1
i i
r
n
1
)
t
(
E
donde n es el tamaño de la muestra y r es el número de componentes que
pueden fallar hasta la detención del ensayo.
 Si el ensayo es con reemplazamiento de los componentes que fallan, la
duración media de ensayo será:
n
r
)
t
(
E



En los dos casos anteriores el valor de  debe ser conocido para poder realizar las
estimaciones. Ello requiere el uso de información histórica previa a la realización
del test, la formulación de hipótesis sobre el valor esperado de o la realización
de un test de tanteo.
 Ensayos truncados
 Si el ensayo es sin reemplazamiento, el número medio de fallos será:
E(r)=(1-e-T/
)·n
donde T es la duración del ensayo
 Si el ensayo es con reemplazamiento, podremos obtener el número me-
dio de fallo como:



T
n
)
r
(
E
Cabe decir aquí lo mismo que en los ensayos censurados respecto al valor de la vi-
da media,, de las unidades estudiadas.
5.3.2. Distribución Normal.
Como ya hemos podido comprobar, la distribución Normal depende de
dos parámetros  y , donde  es la media y  es la desviación típica de las
duraciones o vida de las unidades objeto de estudio.

63. -62-
La estimación de estos dos parámetros se realiza de forma distinta
según el tipo de ensayo utilizado:
 Ensayos completos:
Las estimaciones de los parámetros  y  mediante una estimación puntual
serán:





n
1
i
i
n
t
t
ˆ 
( )
  




S
t t
n
i
i
n 2
1 1
donde ti son los instantes de fallo de cada componente.
Si realizamos la estimación de estos parámetros mediante intervalos de
confianza, suponiendo que no conocemos ningún parámetro, tendremos
que:
P t t
S
n
t t
S
n
n n
     





  
 
1
2
1
2
1
 
 
/ /
P
n S n S
n n
( ) ( )
,( / ) ,( / )
 
 
 







  
  
1 1
1
2
1 2
2
2
2
1 1 2
2




 
que son los intervalos de confianza que tienen una probabilidad de 1- de
contener al parámetro poblacional.
La estimación de esos parámetros también puede realizarse gráficamente
mediante el papel probabilístico Normal. Este papel, pautado ortogonal-
mente, tiene una escala lineal en el eje de abcisas, donde se representan
los tiempos ti, y otra escala de probabilidades acumuladas (función de dis-
tribución) rectificada en el eje de ordenadas, para que al dibujar los valores
de la función de distribución Normal correspondientes a cada ti, los datos
queden alineados formando más o menos una recta (Figura 5.3).

64. -63-
Con los puntos anteriores, trazamos la recta que “explique” mejor a los da-
tos, de forma que podamos, a través de esta recta estimar los parámetros
 y . De ésta obtenemos los valores de ti que corresponden a las desfiabi-
lidades 0’16, 0’5, 0’84 que a su vez equivalen a los valores de la distribu-
ción Normal t -s, t , y t +s, de los cuales se puede despejar la t y la s, es-
timaciones de  y  respectivamente.
0.1
1
5
20
50
80
95
99
99.9
Figura 5.3.- Papel probabilístico Normal
Ejemplo 5.3.
Se han ensayado 10 unidades respecto a cierto tipo de esfuerzo que genera
problemas de envejecimiento (lo cual justifica el uso de la distribución normal).

65. -64-
Los instantes de fallo observados han sido los siguientes: 185, 210, 225, 235,
248, 260, 275, 298, 318 y 322. Con ello la estimación de los parámetros de la
distribución normal sería:

   

t
ti
i 10
257.6

( )
  




S
t t
n
i
2
1
45.87
y los intervalos de confianza quedarían:
 Para la media (224.79, 290.41)
 Para la varianza (31.57, 83.75)
5.3.3. Distribución de Weibull.
Como hemos visto anteriormente, la distribución reducida de Weibull
depende de dos parámetros,  y , de forma que su función de densidad es:

















t
1
e
t
)
t
(
f
La estimación de estos dos parámetros mediante métodos numéricos
se realiza linealizando la función de distribución y ajustando a ese modelo, por
mínimos cuadrados, los resultados muestrales obtenidos. Sin ser muy com-
plejo, éste método de cálculo no se suele utilizar, a no ser que se haga me-
diante un software estadístico como el Statgraphics, SPSS, etc. o un paquete
específico de fiabilidad, como QuickRel, y las estimaciones se realizan me-
diante herramientas gráficas como el papel probabilístico de Weibull. Con to-
do, en el siguiente apartado se presenta ese método numérico.
La estimación de los parámetros de una distribución de Weibull me-
diante el papel probabilístico de Weibull se realizará dependiendo del tipo de

66. -65-
ensayo utilizado, es decir, si el ensayo es completo o incompleto (truncado o
censurado).
5.3.3.1. Método numérico.
Recuérdese que en el modelo de Weibull la fiabilidad de una unidad en
una misión de duración t, tiene la expresión:










t
e
)
t
(
R
con lo que operando:



























t
)
t
(
R
1
ln
bien
o
t
)
t
(
R
ln
tomando nuevamente logaritmos





















ln
t
ln
)
t
(
R
1
ln
ln
expresión que resulta lineal en ln t. Si tenemos además en cuenta que
R(t) = 1 - F(t)
podemos obtener estimaciones de  y  haciendo un ajuste a las parejas de
valores:
x t
y
F t
i i
i
i















ln
ln ln
( )
1
1
y si escribimos como y=a+mx la recta ajustada, como estimaciones de los
parámetros buscados tendremos:





a
e
m

67. -66-
5.3.3.2. Métodos gráficos I. Ensayos completos.
Comencemos con los ensayos completos: el papel probabilístico de
Weibull es un papel pautado ortogonal que presenta una escala logarítmica,
en el eje de abcisas, para la duración de los componentes, ti, y otra escala
doble logarítmica, en el eje de ordenadas, para la función de distribución
muestral F(ti) o su correspondiente función de fiabilidad R(ti) (Figura 5.4).
La desfiabilidad o la fiabilidad se calcularán como:
4
'
0
n
3
'
0
i
)
t
(
F i
i



4
'
0
n
1
'
0
i
n
)
t
(
R i
i




donde i es el número total de componentes que han fallado hasta el instante ti
(si en cada ti sólo se ha producido un fallo, es orden en el que han fallado) y n
es el tamaño de la muestra. La función de distribución muestral no es más
que la frecuencia de fallos acumulada pero considerando una serie correccio-
nes, entre otras cosas para evitar el desbordamiento, es decir, que el resulta-
do llegue a ser igual a 1. Existen varios métodos de cálculo de F(ti) que con-
ducen a estimaciones similares, el que aquí hemos presentado es uno de
ellos.

68. -67-
Figura 5.4.- Papel probabilístico de Weibull para ensayos completos
Los pares de puntos (ti, F(ti)) se representan en el papel de Weibull.
Una vez dibujados los valores en la gráfica debemos comprobar si los puntos
forman aproximadamente una recta, si no es así es que los tiempos de vida
no son una distribución de Weibull. Si comprobamos que si que se cumple es-
PENDIENTE
DE WEIBULL
VIDA

69. -68-
ta condición podemos estimar los parámetros de dicha distribución de la for-
ma siguiente:
 Trazaremos una recta que represente bien la nube de puntos.
 El parámetro de forma , pendiente de la recta, se obtiene mediante el arco
circular graduado situado en la parte superior izquierda del papel. Trazando
por su centro una recta paralela a la que representa la ley de probabilidad y
leyendo en la escala del arco, obtenemos el valor de .
 El parámetro  se obtiene leyendo, a partir de la recta, el instante t para el
cual la función de distribución es 0’63 ó la fiabilidad 0’37.
A partir de los parámetros anteriores podemos estimar la media y la va-
rianza de esta distribución aplicando las siguientes fórmulas:
 






 1
1
ˆ    
 










 1
2
2
2
2
1
1
ˆ
donde () es la función Gamma.
Ejemplo 5.4.
Se han ensayado hasta su fallo 12 resortes de acero, registrándose el
número de ciclos de compresión – extensión en que cada uno de los fallos se
ha producido.
Con los valores obtenidos preparamos una tabla, en la que además se
calculan las funciones de distribución muestrales empleadas en este método,
resultando:
Ti
11680
0
13850
0
15550
0
15770
0
15800
0
17100
0
17150
0
19130
0
22080
0
22900
0
24590
0
26230
0
Fi 5.6 13.7 21.8 29.8 37.9 46.0 54.0 62.1 70.2 78.2 86.3 94.4

70. -69-
Y representándolo gráficamente, tenemos la Figura 5.5, en la que po-
demos leer las estimaciones de los valores de los dos parámetros de la distri-
bución de Weibull:
 = 4.5  = 195000
Figura 5.5.
5.3.3.3. Métodos gráficos II. Ensayos incompletos.
Para el caso de ensayos incompletos tomamos los instantes de tiempo,
ti, en los que han fallado r unidades de una muestra de tamaño n. Estas r uni-
dades puede ser, o bien, el número de fallos que hemos fijado para un ensayo
PENDIENTE
DE WEIBULL
VIDA

71. -70-
censurado, o bien, el número de unidades que han fallado hasta el instante tr
en un ensayo truncado.
El papel probabilístico de Weibull que se emplea aquí es un papel pau-
tado ortogonal donde en el eje de abcisas inferior se pone la tasa de fallos
acumulados (o función de azar acumulada) y en las ordenadas el instante del
fallo, con ello obtenemos la función de la tasa de fallo. En la abcisa superior
se encuentra la función de distribución en función de los instantes de fallo (Fi-
gura 5.6).
Figura 5.6.- Papel probabilístico de Weibull para ensayos incompletos
Calculamos la tasa de fallo como:
K
100
ht 