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UNIVERSIDAD DE HUÁNUCO MATEMÁTICA BÁSICA I
LA MEJOR VENGANZA DE LA POBREZA ES EL ESTUDIO
MATEMÁTICA BÁSICA I UDH- 2021
ÍNDICE
o Introducción
o Prólogo
o Introducción a la lógica……………………………….. Pág. 4
o Conjuntos ………..................................................... Pág. 16
o Teoría de números ……………………………………… Pág. 24
o Razones y proporciones……………………………… Pág. 55
o Regla de tres…………………………………………… Pág. 75
o Porcentaje …………………………….……………….. Pág. 77
o Teoría de exponentes …………………………………… Pág. 87
o Productos notables…………………….…………….. Pág. 93
o División de polinomios………………………………… Pág. 104
o Sistema de ecuaciones……………………………….. Pág. 117
o Bibliografía …………………………………………….. Pág. 224

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INTRODUCCIÓN
El propósito de estos apuntes es apoyarte en el estudio independiente de
Matemáticas Básicas I, ya que en este sistema debes preparar cada una de las
asignaturas del plan de estudios por tu cuenta, en el tiempo y lugar que tengas
disponibles. Este material forma parte del paquete de estudio autodirigido de la
asignatura y es una exposición sistematizada y resumida de cada unidad que
contiene, acompañada de ejercicios desarrollados paso a paso, así como
problemas de aplicación. Su función es permitirte reafirmar o completar, a través
del estudio de las lecturas básicas.
Estos 12 capítulos TEÓRICO – PRÁCTICOS, se han diseñado tratando que sean
de fácil entendimiento para el estudiante, conscientes en asumir el rol que hemos
adoptado como formadores de la sociedad de una manera decidida, respetando
los derechos y cumpliendo nuestros deberes, transitando por el alicaído camino
de la práctica de valores, por lo que contribuirá en un futuro no muy lejano a
formar profesionales disciplinados y responsables que se inserten a una
sociedad con dignidad y solidaridad.
la comprensión de algún tema que no hayas entendido plenamente. En primer lugar,
se te propone revisar con cuidado la guía de estudio para que tengas un panorama
general de la asignatura. Después, estudiar los temas de cada unidad en las lecturas
recomendadas. Luego, repasar el contenido en los apuntes y resolver el cuestionario de
las tareas académicas. Finalmente, trabajar con el cuaderno de actividades y resolver
los exámenes. Ten a la mano las herramientas necesarias: lápiz, hojas, cuaderno de
actividades de la asignatura.
El Editor, ha concebido con el propósito de ofrecer a los futuros profesionales,
MATEMÁTICA BÁSICA – I, donde se abordan temas básicos de la matemática
para la formación académica - profesional de nuestros estudiantes universitarios,
con el único fin de que el estudiantado en general sepa utilizar el raciocinio lógico
en la solución de problemas de la vida diaria.

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PRÓLOGO
La matemática es una ciencia que está presente en todos, o por lo menos en la mayoría
de los aspectos de nuestra vida: en nuestro hogar, en nuestro trabajo, cuando nos
alimentamos, cuando nos transportamos, cuando compramos o vendemos productos,
cuando jugamos, en fin, en todo lo que realizamos en forma cotidiana, silo entendemos
así, tenemos que valorarla, estudiarla, aprenderla y sobre todo saber aplicarla.
La matemática es una ciencia que ha contribuido, contribuye y seguirá contribuyendo
en el desarrollo de diversos campos del conocimiento como la medicina, la economía,
las comunicaciones, la contabilidad, la administración, el comercio, la estadística, la
ingeniería, la educación y los tantos otros; lógicamente, dependiendo del ámbito, se
requerirá un mayor o menor dominio del mismo. Por lo tanto, es un conocimiento
necesario porque de una u otra forma nos ordena la vida.
Es por ello que la matemática se considera como una materia de estudio en todos los
niveles educativos: inicial, primaria, secundaria y terciaria o universitaria y en todas las
carreras profesionales, porque nos ayuda a resolver problemas que se presentan en la
realidad, con la confianza en los resultados obtenidos por que son derivados de
principios, axiomas y procedimientos que son aceptados universalmente.
Pero entonces, ¿Por qué el estudio y el aprendizaje de la matemática es complicado y
hasta traumático para muchos estudiantes? ¿Por qué los alumnos de las diversas
instituciones educativas tienen un bajo rendimiento en esta materia? ¿Serán los
alumnos los únicos responsables? ¿Serán los profesores los únicos responsables?
¿Serán responsables las instituciones educativas? ¿Será el sistema en el que se
desenvuelve esta actividad? Lo cierto es que el proceso de enseñanza y aprendizaje de
la matemática no está funcionando bien y los menos responsables, a nuestro juicio, son
los alumnos, por lo tanto, recae en los docentes y las instituciones relacionadas, la
responsabilidad de proponer soluciones a este problema.
El docente de matemática es la persona que tiene la responsabilidad de impartir a los
alumnos, los conocimientos de esta ciencia, para ello, ha tenido una adecuada
formación académica, ha desarrollado habilidades pedagógicas, pero sobre todo su
comportamiento, debe ser ético, respaldado con la práctica constante de los valores
morales y con un deseo de superación como persona y como profesional mediante la
capacitación permanente. Pero todo esto no tendrá sentido, si el docente no tiene
vocación para hacerlo, si al desarrollar su actividad no despierta la curiosidad y el
interés de los estudiantes, proponiendo la solución de problemas que se presentan en
la realidad, mediante el razonamiento individual y colectivo.
Los docentes deben ejercer su profesión con vocación, con interés, con ganas de hacer
las cosas bien, para que los alumnos también tengan la predisposición y las ganas de
aprender. Tengamos presente que uno de los objetivos principales, es lograr que, el
estudio de la matemática no sea un trauma para los estudiantes.

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CAPÍTULO N° 1
Lógica
➢ Concepto de lógica
➢ Enunciado
➢ Proposición
➢ Clases de proposiciones lógicas
➢ Conectivos u operadores lógicos
➢ Operaciones básicas
• La negación
• La conjunción
• Disyunción inclusiva
• Disyunción exclusiva
• La condicional
• La bicondicional
➢ Tautologías, contradicciones y contingencia
• Tautología
• Contradicción
• Contingencia
➢ Ejercicios
➢ Tarea Académica
INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

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INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA
LÓGICA
CONCEPTO
La lógica es el estudio de los procesos validos del razonamiento humano.
La lógica es una ciencia y su objeto de estudio lo constituyen las formas,
estructuras o esquemas del pensamiento.
La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia las formas en
que se relacionan unas proposiciones con otras y sobre todo, la relación que se
da entre las proposiciones que componen un razonamiento.
ENUNCIADO
Es toda frase u oración que se expresa o emite. Algunos enunciados son
de carácter imperativo, exclamativo e interrogativo, otras en cambio se puede
afirmar que son verdaderos o falsos.
Ejemplos:
1. ¿qué hora es?
2. Buenos días
3. Prohibido fumar
4. ¡Viva la matemática!
5. La matemática es una ciencia fáctica
ENUNCIADOS ABIERTOS
Son expresiones que contienen variables (x, y, z, etc. y las palabras él o
ella) y no tienen la propiedad de ser verdadero o falso.
Ejemplos:
1. x + 5 = 30
2. y – z = 25
3. Él es estudiante de la facultad de Derecho y Ciencias Políticas.
4. Ella es deportista calificado.
PROPOSICIÓN
Una proposición es un enunciado cuya propiedad fundamental es la de
ser veranadero (V) o falso (F), pero no ambas simultáneamente. Su
representación simbólica es con una letra minúscula: p; q; r, s, t,…, etc.
Ejemplos:
p: 25 es un número primo.
q: Albert Einstein nació en Alemania.
r: Los números pares son divisibles por dos.
s: El triángulo es un polígono.
t: 23 + 32 = 15

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CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS
✓ Proposiciones simples o atómicas: Son aquellas que tienen un sujeto y un
predicado
Ejemplos:
1) p: La lógica es distinta a la filosofía.
2) q: El espacio es relativo.
3) r: 7 es mayor que 5.
✓ Proposiciones compuestas, moleculares o coligativas: Son aquellas que
están formadas por dos o más proposiciones simples y que a su vez
contienen al menos un conectivo lógico entre ellas.
Ejemplos:
1) El tiempo es absoluto o es relativo.
2) El número dos es par, pero el número tres es impar.
3) Susy es inteligente, sin embargo es floja.
CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS
Operación lógica
Conectivo
lógico
Notación Se lee:
Negación ~ ~ p No p
Conjunción ᴧ p ᴧ q p y q
Disyunción inclusiva ∨ p ∨ q p o q
Disyunción exclusiva ⊻
p ⊻ q
p ∆ q
p o q,
pero no ambas
Condicional → p → q Si p, entonces q
Bicondicional ↔ p ↔ q p, si y sólo si q
Negación Conjunta ↓ p ↓ q
No es cierto que,
p y q
Negación Alterna ‫ן‬ p‫ן‬ q
No es cierto que,
p o q

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OPERACIONES BÁSICAS
a) La Negación (~): Dado una proposición, se denomina la negación de p; a otra
proposición denotada por ~p, y que le asigna el valor veritativo opuesto de p.
Ejemplos:
Proposición Negación:
p: 8 es mayor que 5 ~p: 8 no es mayor que 5
q: El Perú es libre ~q: El Perú no es libre
Definición tabular:
p ~p
V F
F V
Observación: La cantidad de filas en una tabla es:
Donde “n” es la cantidad de proposiciones simples.
b) Conjunción (ᴧ): La conjunción vincula dos proposiciones mediante el
conectivo “y”, o por sus sinónimos: Como, pero, a la vez, además, incluso,
también, aunque, a pesar, sin embargo, ni, etc.
Ejemplo:
p: 25 tiene dos cifras
p ᴧ q: 25 tiene 2 cifras y termina en 5
q: 25 termina en 5
El resultado de la operación ᴧ es verdadera cuando las proposiciones que lo
conforman son verdaderas, en todos los demás casos es falsa.
p q p ᴧ q
V V
V F
F V
F F
V
F
F
F
c) Disyunción: Es la operación que vincula dos proposiciones mediante el
conectivo “O” u “o…o…”, son de dos tipos:
N° filas = 2n

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✓ Inclusiva o débil (∨): Cuando de las alternativas que se proponen se
cumplen todas ellas, ya sea al mismo tiempo o de manera alternada. Llamado
también suma lógica.
Ejemplo:
p: 10 es mayor que 6
p ∨ q: 10 es mayor o igual que 6
q: 10 es igual a 6
El resultado de la operación ∨, proposición disyuntiva débil (o inclusiva) es
falsa cuando las proposiciones que lo conforman son falsas, en los demás
casos es verdadero. Esta disyunción tiene el sentido inclusivo de y/o.
p q p ∨ q
V V
V F
F V
F F
V
V
V
F
✓ Exclusiva o fuerte (⊻ , ∆): Cuando de las alternativas que se proponen se
cumple sólo una y se excluye la otra.
Ejemplo:
p: N es par
p ⊻ q: N es par o impar
q: N es impar
El resultado de la operación ⊻, proposición compuesta disyuntiva fuerte es
falsa, cuando las proposiciones componentes tienen el mismo valor de
verdad, en los demás casos es verdadero. Se lee “p o q, pero no ambos”
p q p ⊻ q
V V
V F
F V
F F
F
V
V
F
1) p ⊻ q ≡ (p ᴧ ~q) ∨ (q ᴧ ~p)
2) p ⊻ q ≡ (p ∨ q) ᴧ (~q ∨ ~p)

9
d) La Condicional (→): Es la operación que vincula dos proposiciones mediante
el conectivo condicional si… entonces…, o sus equivalentes: luego, por lo tanto,
en conclusión, en consecuencia, de ahí, etc., la proposición resultante se llama
proposición condicional. Esta proposición indica una relación de causa - efecto,
(antecedente - consecuente).
Ejemplo:
p: 16 es par
p → q: si 16 es par entonces tiene mitad.
q: 16 tiene mitad
Toda proposición condicional es falsa cuando el antecedente es verdadero (V) y
el consecuente es falso (F), en cualquier otro caso es verdadero.
p q p → q
V V
V F
F V
F F
V
F
V
V
p → q ≡ (~p ∨ q)
e) La Bicondicional (↔): Es la operación que vincula dos proposiciones
mediante el conectivo “si y sólo si”, o sus equivalentes: cuando y sólo cuando,
entonces y sólo entonces, etc.
Ejemplo:
p: Juan es padre de Eva
p ↔ q: Juan es padre de Eva si y sólo si
q: Eva es hija de Juan Eva es hija de Juan
Toda proposición bicondicional es verdadera cuando las dos proposiciones
componentes (p y q) tienen el mismo valor de verdad. En los demás casos es
falso.
p q p ↔ q
V V
V F
F V
F F
V
F
F
V

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TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIA
a) Tautología: Un esquema molecular es tautológico cuando los valores de su
operador principal son todos verdaderos.
Ejemplo:
Sea el esquena molecular: (p ᴧ q) → (p ∨ q)
Evaluamos mediante la tabla de valores:
p q (p ᴧ q) → (p ∨ q)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F V F
Resultado
b) Contradicción: Un esquema molecular es contradictorio cuando en el
resultado todos sus valores son falsos.
Ejemplo:
Sea el esquema molecular: (p ᴧ q) ↔ [~ (p ᴧ q)]
p q ( p ᴧ q ) ↔ [ ~ ( p ᴧ q )]
V V V F F V
V F F F V F
F V F F V F
F F F F V F
Resultado

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c) Contingencia: Un esquema molecular es contingente o consistente cuando
en su resultado hay por lo menos una verdad y una falsedad.
Ejemplo:
Sea el esquema molecular: [p ᴧ (p → q)] ∨ (~p)
p q [p ᴧ (p → q)] ∨ (~p)
V V V V V F
V F F F F F
F V F V V V
F F F V V V
Resultado
EJERCICIO:
1. Demostrar que [p Λ (q ν r)] → r es una contingencia.
Solución:
Desarrollamos su tabla de verdad:
p q r [ p Λ ( q ν r ) ] → r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
V V V
V V F
V V V
F F V
F V V
F V V
F V V
F F V
Luego: Concluimos que [ p Λ ( q ν r ) ] → r es una contingencia
.

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1. Identifica y escribe en el
paréntesis (E) si la expresión sólo
es enunciado, (EA) si es
enunciado abierto y (P) si es
enunciado y proposición a la vez.
( ): 3x – 17 + 9x = 30 + 5x
( ): Nueve es divisor de 36
( ): 9x es múltiplo de 6; x = 4
( ): y + 5 ≠ 14
( ): ¡Hace mucho calor!
( ): Vaya a jugar; luego terminas
la tarea.
( ): Ella es más inteligente que
él.
2. ¿Cuántos de los siguientes
enunciados son proposiciones
lógicas?
I) El que estudia triunfa
II) x + 5 = 8
III) Las matemáticas son
agradables
IV) Hoy es martes
V) Buenos días
VI) 2 + 3 = 6
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
3. Evalúa y determina los valores de
verdad de las siguientes
proposiciones:
I) (3 + 5 = 8) ν (6 – 3 = 5)
II) (5 - 3 = 9) → (1 – 7 = 6)
III) (3 + 8 = 11) Λ (7 – 4 > 2)
IV) (4 + 5 = 9) ↔ (15 – 11 = 4)
a) VFVV
b) VVFV
c) VVVV
d) FFFV
e) VFFV
4. Siendo p los precios son bajos y
q los precios no suben, escribir
en lenguaje corriente las
expresiones simbólicas
siguientes:
a) ~q
b) p ᴧ q
c) p ᴧ ~q
d) ~p ᴧ ~q
e) ~(p ν ~q)
5. Sean p: “Ella es alta” y q: “Ella es
bonita”. Escribir los siguientes
enunciados en forma simbólica
en términos de p y q:
a) Ella es alta y bonita
b) Ella es alta pero no es bonita
c) Es falso que ella es baja y
bonita
d) Ella no es alta ni bonita
e) Ella es alta, o ella es baja y
bonita
f) No es verdad, que ella es baja
o que no es bonita.
6. Luego de formalizar la siguiente
expresión:
“Es falso que si Isabel no compra
su vestido entonces no irá al
bautizo, además bailará”,
podemos afirmar que:
a) El esquema molecular es
disyuntiva.
b) El esquema molecular es
implicativa.
c) El esquema molecular es
conjuntiva.
d) El esquema molecular es
negativa.
e) El esquema molecular es de
doble implicación.
TAREA ACADÉMICA
E.A.P. _________________________________Fecha de entrega:___/___/___
Apellidos y Nombres:__________________________________ Grupo:______

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7. Si se sabe que s ↔ t es
verdadero; r ᴧ s es falso; p → q
es falso y q ν r es verdadero.
Determina los valores de “p”, “q”,
“r”, “s” y “t”
a) VFVFF
b) VVVVF
c) VFFFF
d) VVFVV
e) FFFFV
8. Siendo p y q proposiciones
cualesquiera, la proposición, (p
→ q) ↔ [(p ν q) ↔ q],
a) ¿Es siempre verdadera?
b) ¿Es verdadera si y sólo si p
lo es?
c) ¿Es verdadera si y sólo si q
es falsa?
d) ¿Es verdadera si y sólo si p y
q lo son?
9. Luego de simplificar la
expresión: [(p → q)→q] → (p ν
q), podemos afirmar que:
a) La proposición es una
contingencia.
b) La proposición es una
contradicción.
c) La proposición es una
tautología.
d) Es un enunciado abierto.
10.Si la proposición compuesta: (p ᴧ
q) → (r ν t) es falsa.
Indicar las proposiciones que son
verdaderas.
a) p y r
b) p y q
c) r y t
d) q y t
e) p y t
11.Sabiendo que: [(s ↔ p) ∆ r) ν (p ᴧ
p) es verdadera y la proposición
(p → q) ν ~r es falsa, halla los
valores de “p”, “q” y “s”
a) VFV
b) VVV
c) VVF
d) FFF
e) VFF
12.Si la proposición:
No es cierto que estudiemos y no
aprobamos es verdadera,
entonces podemos afirmar:
a) Aprobamos y no estudiamos
b) Estudiamos y no aprobamos
c) Estudiamos y aprobamos
d) Estudiamos o aprobamos
e) Aprobamos o no estudiamos
13.Se sabe que:
Si Ricardo no es alumno de la
Facultad de Derecho o Carlos es
alumno de la Faculta de Derecho,
entonces Carlos es alumno de la
Facultad de Educación.
Si Ricardo es alumno de la
Facultad de Derecho y Carlos no
es alumno de la Facultad de
Educación, entonces Carlos es
alumno de la Facultad de
Derecho.
Se desea saber en qué facultad
estudia Carlos.
a) Carlos es alumno de la faculta
de Derecho
b) Carlos es alumno de la faculta
de Educación
c) Carlos es alumno de ambas
facultades
d) Carlos no es alumno de
ninguna de las dos facultades
14.Dadas las proposiciones p: Edgar
es profesor, q: Matías es
ingeniero, r: David es médico.
Hallar la expresión simbólica del
enunciado: “Si Matías no es
ingeniero y no es cierto que
Edgar sea profesor, porque David
es médico”.
a) ( ~q ᴧ p) → (p ν r)
b) (~q ᴧ ~p) → (p ν r)
c) r → (~q ᴧ ~p)
d) (q ν p) → r
e) (~p ᴧ ~q) → ~r

14
15.Si el valor de verdad del siguiente
esquema (p ᴧ q) → (p → r) es
falso; determina y halla el valor
de verdad del siguiente esquema:
[(p ᴧ q) ν (q ν ~r] ↔ (p ν ~r)
16.Por medio de una tabla de
valores, resuelve e infiere si cada
uno de los siguientes esquemas
moleculares respectivamente es
tautología, contradictoria a
contingencia.
I) [(p ν ~q) ᴧ ~p] ᴧ (~q → p)
II) [p → (q → r)] ↔ [(p ᴧ ~r) →
~q]
III) [~p ᴧ (q ν ~r)] ↔ [(~p ᴧ q) ν
~(p ν r)]
a) CFV
b) VCF
c) FCV
d) FVC
e) VFC
17.Si la siguiente proposición p ↔ q
es verdadera, determinar el valor
de verdad de las siguientes
proposiciones en el orden
indicado.
I) (p → r) ᴧ (p ∆ q)
II) ~(p → q) → r
III) [(~p ᴧ q) ν p] ∆ q
a) VVF
b) FFV
c) FVV
d) FVF
e) FFF
18.Si el valor de verdad de la
siguiente proposición: “O
Fernando es estudioso y alto, o
es estudioso” es verdadero;
entonces la afirmación verdadera
es:
a) No es cierto que Fernando
sea estudioso
b) Fernando es alto y estudioso
c) Fernando no es estudioso,
pero es alto
d) Fernando es alto, puesto que
es estudioso
e) Si Fernando es alto y
estudioso, entonces es
docente.
19.Inés miente a su prima Sofía
diciéndole: “Estudio matemática
financiera si y sólo si estudio
Matemática Básica, o si no
estudio Matemática Básica
entonces estudio Estadística. De
los cursos mencionados, ¿Cuál o
cuáles estudia Inés?
a) Matemática Financiera
b) Estadística
c) Matemática Básica
d) Matemática Financiera y
Estadística
e) Ninguno de los cursos
mencionados
20.Si el siguiente esquema es falso:
{[(p ν q) → r] ᴧ s} → (q ν r).
Determinar el valor de verdad
respectivamente de:
I) [(p ν s) ᴧ q] → (r ν s)
II) p → [q → (r ᴧ s)]
III) (~p ᴧ q) → [p ν (~q ν r)]
a) VVV
b) VFV
c) FVF
d) FFF
e) FFV
21.Por medio de una tabla de
valores, expresa si cada uno de
los siguientes esquemas
moleculares es tautología (V) ,
contradictoria(F) o
contingencia(C):
I) (p ᴧ ~q) → (~p ν ~q)
II) ~(p → ~q) ↔ (q → ~p)
III) (p ν ~p) ↔ p
a) CFV
b) VFC
c) FCV
d) FVC
e) FVV
22.De la falsedad de (p → ~q) ν (~r
→ s) deduce el valor de verdad
de:

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I) (~p ᴧ ~q) ν ~q
II) [(~r ν q) ᴧ q] ↔ [(~q ν r) ᴧ
s]
III) (p → r) → [(p ν q) ᴧ ~q]
a) VVV
b) VVF
c) FFV
d) FVV
e) FFF
23.Si la proposición ~[r → (~p ν q)] ᴧ
[(p → q) ν ~s] es verdadera, halla
los valores de verdad de cada
una de las proposiciones (p; q; r;
s) respectivamente.
a) VVVV
b) VFVF
c) FVFV
d) FFFV
e) VFFV
24.Si la proposición [(r → s) ν p] →
~(p ∆ q) es verdadera. Determina
los valores de “p”, “q”, “r” y “s”.
Además p ↔ q es falso.
a) FVVF
b) FFVF
c) FVFV
d) FFFV
e) VFVF
25.Indicar en cada una de las
siguientes proposiciones, si es
una tautología (V), contradicción
(F) o una consistencia (C)
I. ~(p → r) → [~(p → q) ν ~(q
→ r)]
II. {(p ᴧ ~q) → [(r ᴧ s) → r]} ᴧ [(p
ᴧ r)] ↔ ~(p ᴧ r)]
III. {[r ᴧ (p ᴧ q)] ν (r ᴧ p)} ν [p ν (q
ᴧ p)]
a) VFC
b) VVF
c) FFC
d) VVV
e) FFF

16
CAPÍTULO N° 2
Conjuntos
➢ Introducción
➢ Mapa conceptual
➢ Conceptos previos
• Idea de un conjunto
• Relación de pertenencia
• Determinación de conjuntos
• Cardinal de un conjunto
• Conjuntos especiales
• Relación entre conjuntos
➢ Representación gráfica de los conjuntos
• Ejercicios aplicativos
CONJUNTOS

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CONJUNTOS
I. INTRODUCCIÓN
La idea de conjunto se adquiere en los comienzos de la vida, al manifestarse
una de las virtudes primordiales del espíritu, la diferenciación, se empieza a
percibir distintamente los objetos del mundo exterior, y a tener conciencia de la
propia personalidad, originándose estos conceptos primarios, desarrollaremos
aquí , en forma breve y explícita, lo que suele llamarse “Teoría Intuitiva de
Conjuntos”, así como definiciones y consecuencias que derivan
inmediatamente de ellos y que servirán como preámbulo al desarrollo profundo
de la aritmética. Comenzaremos destacando el trabajo desarrollado por G.
Cantor, a quién con justicia se le reconoce como “Creador o padre de la teoría
de conjuntos”.
II. MAPA CONCEPTUAL
III. CONCEPTOS PREVIOS
1. IDEA DE CONJUNTO
En matemática Conjunto y Elemento, son conceptos primitivos que no se
definen y se consideran conceptos fundamentales. Intuitivamente, un Conjunto
es una colección o agrupación de objetos llamados Elementos.
Así, por ejemplo: El conjunto de vocales estará formado por las letras “a”, “e”,
“i”. “o” y “u” que se llaman elementos del conjunto de las vocales.
Generalmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas “A”, “B”, “C”, etc.
Y los elementos por letras minúsculas u otros símbolos, separados por comas y
encerrados entre llaves.
Ejm.:
Si llamamos “A” al conjunto de vocales, entonces:
A = a, e, i, o, u
Conjuntos
Finitos
Infinitos
Nulo o vacío
Unitario
Numerable
Innumerable

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2. RELACIÓN DE PERTENENCIA
Es un concepto primitivo que relaciona los elementos con los conjuntos; es decir,
si un elemento está en un conjunto o forma parte de él, diremos que “pertenece”
a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo “” y en el caso de no
pertenecer por “”.
Por ejemplo, para el conjunto: A = a, e, i, o, u; diremos:
a  A : Se lee “a” pertenece a “A”
b  A : Se lee “b” no pertenece a “A”
La pertenencia sólo se da entre elemento y conjunto.
3. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Se dice que un conjunto está determinado cuando se sabe con precisión que elementos
pertenecen al conjunto y que elementos no pertenecen al conjunto, existen 2 formas
principales para determinar conjuntos.
1) Por Extensión: Cuando sus elementos están indicados explícitamente, es decir, se
mencionan en forma completa los elementos del conjunto.
Ejm.:
A = {7; 8; 9; 10; 11};
Se lee: “A” es el conjunto cuyos elementos son: 7; 8; 9; 10 y 11.
2) Por comprensión: Cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a los
elementos de dicho conjunto. Así, por ejemplo, del ejercicio anterior:
A = {x/x  N ; 6 < x < 12}
Se lee: “A” es el conjunto de los elementos “x”, tal que “x” es un número natural,
además es mayor que 6 pero menor que 12.
4. CARDINAL DE UN CONJUNTO
Es el número de elementos diferentes que posee un conjunto finito.
Ejm.:
Sea: A = {a, e, i, o, u}
Entonces: n(A) = 5
Que se lee: El cardinal de “A” es 5
5. CONJUNTOS ESPECIALES
1) Conjunto Vacío o Nulo: Es aquel conjunto que no posee elementos. Se le representa
por: { } y se denota por el símbolo: .
Es decir: {x/x  x} = { } = 
Ejm.: {x/x  N; 5 < x < 6} = { }
No existe un “x  N”que sea mayor que 5 y menor que 6 a la vez.
2) Conjunto Unitario: Es aquel que está constituido por un solo elemento. Se le llama
también “SINGUETON”.
Ejm.:
{x/x  N; 5 < x < 7} = {6}

19
puesto que “6  N” es el único comprendido entre 5 y 7.
3) Conjunto Universal: Es un conjunto referencial que contiene a todos los conjuntos
considerados y se le denota generalmente por “U”.
Así por ejemplo, el conjunto “U” para los siguientes conjuntos:
A = {2; 4; 6; 8} y B = {1; 3; 5; 7; 9}
U = {x/x  N; 1  x  9} ó
U = {x/x  N; x < 10} ó
U = {x/x  Z}
6. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
1) Inclusión de Conjuntos:
A  B   x  A → x  B
Se lee: “A” está incluido en “B”, si y sólo si, para cualquier “x” que pertenece
a “A”, éste también pertenece a “B”.
 Además:
A  B
”A” está incluido en “B”
“A” está contenido en “B”
“A” es subconjunto de “B”
 B  A
“B” incluye a “A”
“B” contiene a “A”
“B” es superconjunto de “A”
 OBS: “” se lee: para todo
2) Igualdad de Conjuntos: Si todos los elementos del conjunto “A” pertenecen
al conjunto “B”, y todos los elementos del conjunto “B” pertenecen también
al conjunto “A”, entonces se dice que estos 2 conjuntos son iguales. Esta
igualdad de los conjuntos “A” y “B” se denota por: A = B.
Ejm.: Si:
A = {x/x es una letra de la palabra AROMA}
B = {x/x es una letra de la palabra MAROMA}
Entonces: A = {A, R, O, M}
B = {M, A, R, O}
Luego: A = B
3) Conjunto Potencia:
Sea: A = {a, b}; todos los subconjuntos de este conjunto son: {a}; {b}; {a, b}; 
Al conjunto cuyos elementos son los subconjuntos anteriores, se le llama también
conjunto de partes de “A” y se le denota:
P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}}
En general, el número de subconjuntos se halla con la siguiente relación: 2n
; donde
“n” es el número de elementos del conjunto.
n[P(A)] = 2n(A)

20
Ejm.: A = {m, a, r}; Entonces:
P(A) = { {m} , {a} , {r} , {m, a} , {m, r} , {a, r},
{m, a, r}, }
n[P(A)] = 23
= 8 subconjuntos.
 n[subconjuntos propios de “A”] = 2 – 1
7. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS
1) Diagrama de Venn – Euler: Es una forma ilustrativa y muy práctica para comprender
intuitivamente las relaciones entre conjuntos.
Ejm.: A = {2; 3; 5; 7}
B = {2; 3; 4; 5; 6}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Entonces:
La interpretación sería:
✓ {7} sólo pertenece a “A”
✓ {2; 3; 5} pertenecen a “A” y a “B”
✓ {4; 6} sólo pertenece a “B”
✓ {1; 8; 9} no pertenecen a los conjuntos “A” y “B”
2) Diagrama de Carroll: Se usa general-mente para representar conjuntos disjuntos.
Ejm.: Para 2 conjuntos cualesquiera:
✓ A → Puede representar a los mujeres
B → Puede representar a los hombres
✓ A → Puede representar capitalinos
B → Puede representar provincianos
A B
2
3
7 4
A B
1 8
U
9

21
3) DIAGRAMA LINEAL
Se utiliza para conjuntos comparables, es decir, para aquellos que cumple: A  B
Ejm.: A = {1; 2; 3}
B = {4; 5; 6}
C = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Su diagrama sería:
IV. EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1) A = {x/x es una flor}
 Rosa  A  Pedro  A
 Alamo  A  Clavel  A
 Geranio  A  Cedro  A
2) ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?
a) a  {a, b}
b)   {a, 5, }
c) 7  {5, 8, 11}
d) {a}  {a, 7, c}
e) {a}  {{a}, b, m}
Sol:
a) a  {a, b} (verdadero)
b)   {a, 5, } (verdadero)
c) 7  {5, 8, 11} (verdadero)
d) {a}  {a, 7, c} (falso)
e) {a}  {{a}, b, m} (verdadero)
C
A B

22
1. Hallar la suma de elementos de
cada conjunto:
A = {x/x  N; 6 < x < 12}
B = {x + 4/ x  Z ; 5 < x < 10}
C = {x2
+ 1/ x  Z; 3 < x < 8}
a) 40; 41 y 50 d) 47; 45 y 129
b) 43; 49 y 100 e) N.A.
c) 45, 46 y 130
2. Si el conjunto “A” es unitario,
hallar “a + b”:
A = {7- a ; b + 4; 5}
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
3. ¿Cuántos subconjuntos tiene un
conjunto que posee 5 elementos?
a) 30 b) 31 c) 32
d) 33 e) 34
4. Si los conjuntos “A” y “B” son
unitarios, hallar “a2
+ b2
”
A = {a + b; 12} ; B = {4; a
- b}
a) 79 b) 80 c) 81
d) 82 e) 83
5. Si los conjunto A y B son unitarios.
Halla “b - a”
A = { 2a + b; 13 } B = { b + 2; 3a - b }
a) 1 b) 2 c) 3
d) 0 e) 4
6. Si los conjuntos:
A = {2x + 3y ; 10} B = {29 ; x + y}
Son iguales. Calcula (y-x)
a) 10 b) 8 c) 7
d) 11 e) 4
7. Dado el conjunto: A = {1; 2;{ 3 }; 4;
{ 5} }
Indica cuántos son verdaderos:
1  A ( ) 2  A ( )
{4}  A ( ) {3}  A ( )
2;4 A ( ) {4}  A ( )
{5} A ( )   A ( )
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
8. Dado el conjunto A = {2; 3; 4; 5}
¿Cuántas proposiciones son
verdaderas?
I. xA / (2x + 1), es número primo.
II. xA ; 3x < 18
III. xA / x , es número entero.
IV.xA ; 4x, no es múltiplo de 4.
a) I, II y III b) II y III c) III y IV
d) I y II e) II y IV
9. Dado el Conjunto:
E = {9; 99; 999; 9999; 99999}
Determinarlo por comprensión:
a) {10x – 1 / x  N  N  x < 6}
b) {10x
+ 9 / x  N  x <6}
c) {10x
– 1 / x  N  0 < x < 6}
d) {10x
– 1 / x Z  x < 6}
e) T.A.
10. Si los conjuntos P y Q son iguales:
P={a2
+2a; b3
-b}
Q={15 ; 2a }
Halla “a.b”, siendo a y b naturales.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
11. Dado el conjunto:
A = {x2
+ 1/xZ  -3  x  4}; determínalo
por extensión y luego indica verdadero
(V) o falso (F) a cada una de las
siguientes premisas:
I. n(A) = ........................................( )
II. “A” tiene 16 Subconjuntos.........( )
III.“A” tiene 31 subconjuntos
propios....( )
a) VVV b) FFV c) VFF
d) VVF e) VFV
12. Si el siguiente conjunto C,
C = {a+b, 8, 2a – 2b+4}; es unitario
Halla a3
+b4
a) 145 b) 397 c) 80
d) 108 e) 206
TAREA ACADÉMICA

23
13. Si los conjuntos: A = {x-y ; 12}
B = {x-2y ; -3}
Son iguales, además: C = {a+2 ; 3b+7},
es unitario. Calcula : x2
+ y2
+ 2a - 6b
a) 546 b)581 c)662
d) 559 e)613
14. ¿Cuántos subconjuntos propios
tiene el conjunto?
M = { 2; 3; {2}; 3; 2; {2}; {3} }
a) 127 b) 63 c) 15
d) 7 e) 31
15. Si “A” es unitario, halla “x2
+ y”.
A = { x + y; 20; x – y + 10 }
a) 230 b) 130 c) 235
d) 144 e) 152
16. Dados los conjuntos unitarios :
A = {3a + 1; 7}, B = {3; b+c} y
C = {2; bc}
Donde: b > c
Calcula : a –2b + 3c
a) 2 b) 1 c) 3
d) 4 e) 6
17. Dados los conjuntos unitarios:
P={x+y ;8} Q={y+z ; 10}
S={x+z ;12}
Calcula: (x+y+z)
a) 10 b) 15 c) 20
d) 25 e) 30
18. Si :A = {1; 3; 5; 7; 9; 12}
B = {3; 9; 8; 10; 11}
Entonces indique si las siguientes
proposiciones son verdaderas (V) o
falsas(F).
I. 8  (A  B)
II. 12  (A  B)
III. n(AB) = 11
IV. (AB) - (AB) = {1; 5; 7; 8;10; 11}
a) FVFF b) FFFF c) VVVV
d) VVFF e) FVVV
19. Si los conjuntos A y B son iguales:
A = {n2
+1; -6} B = {2-m; 10}
Halla “m+n”
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
20. Dados los conjuntos:
A = {x + 1 / x  Z ; 4 < x < 12}
B = {x/3  Z / x  A}
a) 8 b) 6 c) 12
d) 15 e) 20
21. ¿Cuántos subconjuntos tiene “A”,
si
A = { 1
x
2 +  N / x  N; 2 < x <
15} ?
a) 8 b) 4 c) 16
d) 32 e) 64
22. Si los conjuntos:
G = {2a ;6} B = {4 ; 4b}
Son unitarios. ¿cuántos elementos
tiene:
A = {3a – 1; 7b; 2a + 1; ab; a + b}?
a) 1 b) 4 c) 7
d) 3 e) 5
23. Si el conjunto: R = {2p-r ; 18 ; p+r}
Es unitario, halla: (p/ r)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 1,5 e) 2,5
24. Si a y b son números enteros y
{a2
+9, b+2} = {-9, 10}
Halla el menor valor de “a+b”
a) 10 b) 11 c) -1
d) 12 e) –10
25. Si A = {1, 2, 3, 4 }, B = {2, 4, 6},
C = {2,4,3};
E = {(A – B)  (A – C) –(B – C)  (B – A)}
Dar el número de elementos de E.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
26. Dados los conjuntos A={xN / 2 <
x < 6}, B = {x2
+ 1 / x  N  1 < x <
4} y
C = {x - 2 / x  N  4 < x < 6}.
¿Cuántos elementos tiene la
operación:(BA)–(AC)?
a) 3 b) 2 c) 1
d) 4 e) 6

24
CAPÍTULO N° 3
Números Naturales (N)
➢ Números Naturales
➢ Adición de Números Naturales
➢ Propiedades
✓ Propiedad de clausura
✓ Propiedad conmutativa
✓ Propiedad asociativa
✓ Propiedad del elemento neutro
➢ Sustracción de Números Naturales
➢ Propiedad
➢ Complemento Aritmético (CA)
➢ Multiplicación de Números Naturales
➢ Propiedades
✓ Propiedad de clausura
✓ Propiedad conmutativa
✓ Propiedad asociativa
✓ Elemento neutro
✓ Elemento absorbente
✓ Propiedad distributiva
➢ División de Números Naturales
➢ Clases de División
✓ División exacta
✓ División inexacta
Números Enteros (Z)
➢ Números Enteros
➢ Recta numérica
➢ Valor absoluto
➢ Números enteros opuestos
➢ Comparación de números enteros
TEORÍA DE NÚMEROS

25
Números Racionales (Q)
➢ Concepto
➢ Propiedades
✓ Por comparación de sus términos
• Fracción propia
• Fracción impropia
• Fracción negativa
✓ Por su denominador
• Fracción ordinaria
• Fracción decimal
✓ Por comparación de los denominadores
• Fracción homogénea
• Fracción heterogénea
✓ Fracciones inversas
✓ Fracciones equivalentes
✓ Fracciones reductibles
✓ Fracciones irreductibles
✓ Simplificación de fracciones
✓ Igualdad de fracciones
✓ Desigualdad de fracciones
➢ Operaciones con Fracciones
✓ Adición de fracciones
✓ Sustracción de fracciones
✓ Multiplicación de fracciones
✓ División de fracciones
✓ Potenciación de fracciones
✓ Radicación de fracciones
➢ Clasificación de decimales
✓ Exactos o limitados
✓ Inexactas o ilimitadas
✓ Periódico puro
✓ Periódico mixto

26
NÚMEROS NATURALES (N)
HISTORIA DE LOS NÚMEROS NATURALES
La idea de números fue evolucionando poco a poco, y es difícil saber cómo
es que se llegó a esta idea de número y a su representación. Hace 30 000 años
aproximadamente, los nómades dejaron como evidencia en las cavernas, las
marcas de pequeñas rayas hechas en un hueso, las cuales posiblemente
sirvieron para llevar alguna cuenta.
La necesidad de contar era cada vez más importante, ya que el hombre
cuando transforma su vida nómada dedicada a la caza, pesca y recolección, en
una vida sedentaria, dedicada a la agricultura y el pastoreo, además, después
de tantas marcas y piedritas empleadas para contar, surge la idea de los
números, de cantidad, como algo que tienen en común grupos diferentes de
objetos, animales o piedritas.
Es así como los pueblos comenzaron a utilizar los números, dando un paso
muy importante, para pensar en la forma organizada en las diferentes situaciones
de la vida cotidiana. El emplear la Matemática representó, sin lugar a dudas, una
manera sencilla e imparcial de resolver disputas, en los pueblos antiguos, por las
cosas que se poseían, los rebaños de animales, los productos de la siembra, etc.
El desarrollo del comercio fue, sin duda, el que impulsó el desarrollo de la
Matemática, pues imaginemos la dificultad que tendríamos al vender arroz, trigo
o fríjol sin emplear números o, peor aún, las operaciones básicas (adición,
sustracción, multiplicación y división).
Algunos de los primeros pueblos que crearon la escritura también crearon
símbolos para representar los números (egipcios, babilónicos, romanos, mayas).
Los únicos que interpretaron al cero como símbolo que representaba a la nada,
fueron los mayas; sin embargo, los hindúes crearon los símbolos: 0; 1; 2; 3; 4; 5;
6; 7; 8; 9, empleando así el sistema decimal indo-arábigo, ya que fue engendrado
en la india y transmitido por los árabes a Europa.

27
ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES
A la acción de agregar, agrupar o añadir le llamamos adición.
Para efectuar una adición debemos tener en cuenta tres elementos claves:
1. Los números que queremos sumar reciben el nombre de Sumandos.
2. El signo para identificar la operación es una pequeña cruz (+).
3. El resultado de la operación se denomina Suma Total.
Ejemplo:
130
102
15
13 =
+
+
• 13, 15 y 102 son los sumandos
• (+) es el signo
• 130 es la suma total
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES
1. Propiedad de Clausura
“Si sumamos dos o más números naturales, el resultado también es otro
número natural”.
Se dice también que la adición es una operación cerrada. ¿Por qué?
Porque todas, absolutamente todas las adiciones entre números naturales,
tienen solución.
Es decir:
Si: a  N y b  N, entonces: (a + b)  N
Ejemplo:
Si: 7  N y 8  N entonces:
7 + 8 = 15  N
2. Propiedad Conmutativa
“El orden de los sumandos no altera la suma”.
Es decir:
Si: a  N y b  N, entonces: a + b = b + a
Ejemplo:
Si: 5  N y 7  N entonces:
5 + 7 = 7 + 5
12 = 12

28
3. Propiedad Asociativa
“La forma como agrupamos los sumandos no altera la suma”.
Es decir:
Si: a  N ; b  N y c  N , entonces:
(a + b) + c = a + (b + c)
Ejemplo:
Si: 2  N ; 6  N y 8  N entonces:
(2 + 6) + 8 = 2 + (6 + 8)
8 + 8 = 2 + 14
16 = 16
4. Propiedad del Elemento Neutro
“Si sumamos cualquier número natural con el cero, el resultado sigue
siendo el mismo número natural”.
Por lo tanto: El CERO es el elemento neutro de la Adición
Es decir:
Si: a  N, entonces: a + 0 = a
Ejemplo:
Si: 25  N entonces: 25 + 0 = 25
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES
A la acción de sacar, quitar o de extraer le llamamos sustracción, conocida
también como resta. Es una operación que no siempre es posible en el conjunto
de los números naturales.
Para realizar una sustracción debemos tener en cuenta cuatro elementos claves:
1. La cantidad mayor a la que se le realizará la resta se llama Minuendo.
2. La cantidad menor que es la que se va a restar se llama Sustraendo.
3. El signo con el cual se identifica la operación es (-).
4. El resultado de la operación se llama Diferencia.
Ejemplo:
75 – 30 = 45
Es decir:
M – S = D

29
M = S + D
Observaciones:
1. Si sumamos o restamos un mismo número natural al MINUENDO y al
SUSTRAENDO, la diferencia NO se altera.
Ejemplo:
25 – 12 = 13
Sumemos 8 a cada término de la sustracción:
(25 + 8) – (12 + 8)
33 – 20 = 13
¡La diferencia no se alteró!
2. Si sumamos o restamos un mismo número natural SÓLO al MINUENDO, LA
DIFERENCIA queda aumentada o disminuida en esa cantidad.
Ejemplo:
25 – 15 = 10
Aumentemos 7 sólo al minuendo:
(25 + 7) – 15
32 – 15 = 17
¡La diferencia quedó aumentada en 7!
3. Si sumamos o restamos un mismo número natural SÓLO al SUSTRAENDO,
la DIFERENCIA queda disminuida o aumentada, respectivamente, en esa
misma cantidad.
Ejemplo:
25 - 15 = 10
Aumentemos 5, sólo al sustraendo:
25 – (15 + 5)
25 – 20 = 5
¡La diferencia quedó disminuida en 5!
Propiedad:
“La suma de los tres términos de una sustracción es igual al doble del
Minuendo”.
M + S + D = 2 M

30
Ejemplo
La suma de los tres términos de una sustracción es 2048, halla el mayor
de los tres términos.
Solución:
Sabemos que el mayor término de una sustracción es el MINUENDO.
Del dato: M + S + D = 2 048
Es decir: 2 M = 2 048
M = 1 024
COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA)
Es la cantidad de unidades que le falta a un número para ser el menor
número de orden inmediato superior. Es decir, si el número es de dos cifras, su
complemento aritmético es la cantidad de unidades que le falta para ser el menor
número de tres cifras.
Ejemplos
• CA (4) = 10 – 4 = 6
• CA (9) = 10 – 9 = 1
• CA (10) = 100 – 10 = 90
• CA (73) = 100 – 73 = 27
• CA (501) = 1 000 – 501 = 499
• CA (45 801 274) = 100 000 000 – 45 801 274 = 54 198 726
EJEMPLOS
1. Halla la suma de los números que faltan
3 5 _ 3 _ + 3 5 7 3 8 +
2 _ 2 _ 7 2 2 2 7 7
_ 8 0 1 5 5 8 0 1 5
2. Calcula la cifra de la unidad del resultado:
8+88+888+8888+…(6 sumandos)
8
8 8
8 8 8
8 8 8 8
.
.
8 8 … 8 8 8 8
. . . 6 4 8
Σ = 8+7+7+2+5
Σ = 29
6 sumandos
1° 8x6 = 48; pongo el 8 y llevo 4
2° 8x5 +4 = 44; pongo el 4 y llevo 4
3° 8x4+4 = 36; pongo el 6 y llevo 3
4° Así sucesivamente
 La cifra de la unidad es 8

31
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales, que pueden
repetirse muchas veces.
Por ejemplo:
2 x 5 significa 5 veces el 2
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
Elementos:
En la multiplicación encontramos los siguientes elementos:
7 x 8 = 56
También: Si efectuamos por ejemplo 945 x 23
9
8
9
7
4
2
3
0
3
5
3
5
5
x
1
2
0
0
2
8
1
FACTORES
Multiplicando
Multiplicador
Primer Producto Parcial
Segundo Producto Parcial
Producto
PROPIEDADES
La multiplicación tiene propiedades muy parecidas a las de la adición.
Veamos:
1. CLAUSURA
Todas las multiplicaciones tienen un producto.
Si: a  N y b  N entonces: a . b  N
Así por ejemplo:
45 x 3 = 135  N
2. CONMUTATIVA
El orden de los factores NO altera el producto.
Así por ejemplo:
45 x 3 = 3 x 45
3. ASOCIATIVA
Si multiplicamos tres o más factores y los juntamos de a dos sin importar el
orden, el producto no varía.
Multiplicando
Multiplicador
Producto

32
Así por ejemplo:
(3 x 4) x 7 = 3 x (4 x 7)
12 x 7 = 3 x 28
84 = 84
4. Tiene como ELEMENTO NEUTRO al UNO (1). Cualquier número multiplicado
por UNO es igual al mismo número.
Así por ejemplo: 45 x 1 = 45
5. Su ELEMENTO ABSORBENTE es el CERO (0). Todo número multiplicado
por CERO es igual a CERO.
Así por ejemplo: 45 x 0 = 0
6. Es DISTRIBUTIVA con la adición y la sustracción.
Así por ejemplo:
* 45 x (7 + 2) = 45 x 7 + 45 x 2
45 x 9 = 315 + 90
405 = 405
* 45 x (7 - 2) = 45 x 7 - 45 x 2
45 x 5 = 315 - 90
225 = 225
TÉCNICAS OPERATIVAS DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS
NATURALES
Repasemos la técnica más conocida:
4
9
9
9
0
9
2
8
4
2
7
6
2
2
0
x
1
2
9
2
O también
6 unidades por 497
2 decenas por 497
Productos
Parciales
9
9
9
9
7
8
4
2
0
x
2
2
1
4
2
9
2
1
2 6
Producto Total

33
Al multiplicar la unidad seguida de ceros por un número natural,
escribimos este número y le agregamos tantos ceros como haya después de
la unidad. Ejemplos:
a) 153 x 100 = 15 300
b) 43 x 1 000 = 43 000
c) 91 x 10 000 = 910 000
Podemos también aplicar el cálculo mental en multiplicaciones sencillas,
aplicando la PROPIEDAD DISTRIBUTIVA.
Ejemplo:
a) 9 x 17 = 9 x (10 + 7)
= 9 x 10 + 9 x 7
= 90 + 63 = 153
b) 14 x 12 = 14 x (10 + 2)
= 140 + 28
= 168
DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Es una operación inversa a la multiplicación que consiste en que dados
dos números naturales llamados dividendo y divisor, se puede hallar un tercero
llamado cociente, que nos indica cuantas veces contiene el dividendo al divisor.
Elementos:
235
217
18
31
7
Divisor (d)
Cociente (q)
Dividendo
(D)
Residuo
(r)
También:
D
r
d
q
Algoritmo de la división: D d . q r

34
CLASES DE DIVISIÓN
• División exacta
Es cuando no tiene residuo (r = 0).
D
0
d
q
D = d . q
r = 0
Ejemplo:
1001 7
7 143
30
28
21
21
- -
0
0
0
00
00
00
 Dónde: 1 001 = 7 x 143
• División inexacta
Es cuando existe residuo, (r  1).
D d
r q
r  1
Ejemplo:
4 4 8 9 1 3
3 9 3 4 5
5 8
5 2
6 9
6 5
4
 4489 = 13 x 345 + 4
PROPIEDADES
1. 0 < residuo < divisor
2. rmáximo = divisor – 1
3. rmínimo = 1
Observaciones:
• 24 : 8 = 3 pues: 8 x 3 = 24
D = dq + r

35
• 24 : 1 = 24 pues: 1 x 24 = 24
• 24 : 24 = 1 pues: 24 x 1 = 24
• 0 : 24 = 0 pues: 24 x 0 = 0
• 24 : 0 = ¿? NO ESTÁ DEFINIDO porque no existe ningún número natural
que multiplicado por CERO dé 24.
• 0 : 0 = ¿? INDETERMINADO porque cualquier número natural multiplicado
por CERO da CERO.
Entonces hay que evitar:
D 0
y
0 0
EJEMPLOS:
1. Calcular la suma de cifras que van en los casilleros:
2 7
3
7
7
8
x
Resolución
• En el 1er. Producto parcial:
 UNIDADES:
pues: 7 x 9 = 63 (pongo 3 llevo 6)
 DECENAS:
9 x 2 + 6 = 24 → (pongo 4 llevo 2)
 CENTENAS:
pues: 9 x 8 + 2 = 74
• En el 2do. Producto parcial:
 Podemos observar que es igual al multiplicando.
PRODUCTO TOTAL:
Simplemente sumamos:

36
2 7
3
7
7
8
x
8
9
1
4 4
2
1 5 7 1 3
Nos piden:
Σ = 8+1+9+4+4+2+1+5+7+1+3
Σ= 45
2. Calcule el dividendo de una división donde el divisor es 23, el cociente 31 y
el residuo resultó ser mínimo.
Resolución
Los datos son:
d = 23
q = 31
rmín = 1 (por propiedad)
Luego, sabemos que:
D = d x q + r
D = 23 x 31 + 1
D = 713 + 1
D = 714
3. Halle la suma de cifras del dividendo:
3
2 8
4
1 0
6
9
4
8
SOLUCIÓN

37
3
2 8
4
1 0
6
9
4
8
ΣDividendo = 4 + 5 + 2
ΣDividendo = 11
1. Si: abc
ba
bca
bac =
+
+
Calcula: a + b + c = ?
a) 11 b) 12 c) 16
d) 14 e) 10
2. Si: UDH
HH
DD
UU =
+
+
Calcula: U + D + H
a) 18 b) 16 c) 19
d) 11 e) 17
3. Si se cumple que:
AMOR
MAS
DAME =
+
Además: “O” = cero
Podemos afirmar:
I. El valor de AMOR no se puede
precisar.
II. El máximo valor de la expresión
AMOR es 9107
III. El mínimo valor de la expresión
AMORes 9105.
a) Sólo I b) Sólo II c) I y II
d) II y III e) Todas
4. Si: 15000 < BASTA < 17000
Además: B + A + S + T + A = 30
Calcula B x A x S x T x A = ?
a) 2592 b) 2916 c) 2415
d) 2515 e) 2915
5. Hallar las cifras que debemos
escribir en los casilleros, para
que la operación sea correcta.
Dar la suma de las cifras
halladas.
7 2 6 +
7 6
0 5 1
a) 27 b) 26 c) 21
d) 18 e) 19
6. Dar la cifra más grande que se
obtiene al completar los
siguientes casilleros para que la
suma sea correcta:
TAREA ACADÉMICA
4 5 2
2
1 2
7
5
9
2
8

38
8 4 5 +
3 2 0 1 7
1 1 8 4 2
a) 4 b) 6 c) 5
d) 7 e) 9
7. Manuel y César tienen juntos
S/. 300. ¿Cuánto dinero tiene
César si se sabe que tiene S/. 40
menos que Manuel?
a) S/. 130 b) S/. 100 c) S/. 170
d) S/. 160 e) S/. 180
8. La suma de las edades de Víctor
y Elizabeth es 66. ¿Qué edad
tiene Víctor si dice ser 18 años
mayor que Elizabeth?
a) 36 b) 26 c) 52
d) 42 e) 44
9. Si sumamos las edades de
Rocío y Walter, obtenemos 78
años. Si hace 10 años la
diferencia de sus edades era 2
años, ¿qué edad tiene Rocío?
a) 36 b) 40 c) 28
d) 34 c) 30
10.Dentro de 7 años, mi edad será 8
años más que la de Ricardo. Si
actualmente nuestras edades
suman 56 años, ¿Cuál es la edad
de Ricardo?
a) 22 b) 20 c) 21
d) 23 e) 24
11.En el año 2 000, la edad del señor
Fernández excederá en 7 años a
la edad de su esposa. ¿Cuál es la
edad del señor Fernández si, en
la actualidad, su edad sumada
con la de su esposa da 75 años?
a) 41 b) 38 c) 42
d) 45 e) 51
12.Dos depósitos juntos tienen 86
litros de agua. Si uno de ellos
tiene 14 litros más que el otro,
¿cuántos litros tendría el que
contiene menos agua si le agrego
dos litros más?
a) 36 L b) 35 L c) 37 L
d) 38 L e) 39 L
13.Se reparte una herencia de S/.
300 000 entre dos personas.
¿Cuánto recibe la más
afortunada si se sabe que tendría
S/. 48 000 más que la otra?
a) S/. 170 000 d) S/. 186 000
b) S/. 182 000 e) S/. 172 000
c) S/. 174 000
14.Al dividir una regla de 80 cm en
dos pedazos, uno resulta 12 cm
más grande que el otro. ¿Cuánto
mide el pedazo más pequeño?
a) 30 cm b) 28 cm
c) 32 cm d) 34 cm
c) 31 cm
15. La suma de dos números es 24
y su diferencia es 8. ¿Cuál es el
menor de dichos números?
a) 6 b) 16 c) 8
d) 22 e) 4
16. ¿Qué ocurre con la suma de las
edades de tres hermanos si se
triplican dichas edades?
a) La suma se triplica
b) La suma queda aumentada en 3
c) La suma queda disminuida en 3
d) La suma queda multiplicada por 9
e) Sólo aumenta la suma

39
17.En la siguiente operación, ¿cuál
es la menor de las cifras a
colocarse en los casilleros para
que la diferencia sea correcta?
7 3 5 -
3 5 4 3
0 7 8 2
a) 5 b) 3 c) 1
d) 2 e) 4
18. Al sumar dos números se
obtiene 40. Si el mayor excede al
menor en 12, ¿cuál es el número
mayor?
a) 24 b) 26 c) 28
d) 27 e) 25
19. La diferencia de dos números
es 24. Si al minuendo y al
sustraendo les aumentamos 5,
¿cuál es la nueva diferencia?
a) 29 b) 19 c) 24
d) 14 e) 34
20. Juan es mayor que Jorge por 6
años. Si a ambas edades le
aumentamos 6 años, ¿cuál es la
nueva diferencia de sus edades?
a) 3 años b) 9 años
c) 6 años d) 18 años
e) 12 años
21.¿Qué ocurre con la diferencia de
dos números si al mayor de ellos
le aumentamos 125 y al menor lo
disminuimos en 125?
a) La diferencia no se altera.
b) La diferencia queda aumentada
en 125
c) La diferencia queda aumentada
en 250
d) La diferencia queda disminuida
en 125
e) La diferencia queda disminuida
en 250
22. La diferencia de dos números es
860. Si al menor le restamos 22 y
al mayor le aumentamos 35,
¿cuál será la nueva diferencia?
a) 803 b) 847 c) 873
d) 917 e) 890
23. Dar la suma de las cifras que
debemos escribir en los casilleros
en blanco para que la operación
sea correcta:
9 6 0 3 -
2 0 0 5
6 4 4 8
a) 13 b) 15 c) 19
d) 17 e) 21
24.En una operación de sustracción,
la suma del minuendo con el
sustraendo y la diferencia es
igual a 8 668. Calcular el
minuendo.
a) 4 352 b) 4 334 c) 2157
d) 4 278 e) 4 338
25. ¿Cuánto le costó a Susana lo
que al vender en S/. 23 762 le
deja una pérdida de S/. 1
603?
a) S/. 25 366 b) S/. 24 365
c) SI. 26 535 d) S/. 25 365
e) S/. 23 465

40
NÚMEROS ENTEROS (Z)
En el conjunto “N” no siempre es posible la operación de
sustracción, así por ejemplo.
13 – 9 = 4 ; pero: 9 – 13 no tiene solución en “N”. Esta dificultad se
resuelve ampliando “N” a otro conjunto llamado “Conjunto de los Números
Enteros” que lo representamos por “Z”.
Z = {…, -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3; +…}
En el conjunto “Z”, podemos distinguir los siguientes subconjuntos:
➢ ENTEROS POSITIVOS : Z+ = { +1; +2; +3; +4; +5; +6;…}
➢ ENTEROS NEGATIVOS : Z- = {…; -6; -5; -4; -3; -2; -1 }
➢ ENTEROS SIN EL CERO : Z* = {…, -3; -2; -1; +1; +2; +3…}
RECTA NUMERICA EN “Z”
….. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ......
VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS ENTEROS:
El valor absoluto del número entero “a” se denota por: a , se lee: “El
valor absoluto de a” o “módulo de a”
• El valor absoluto de “a” expresará en la recta numérica, la distancia siempre
positiva de “a” al origen “0”
EN GENERAL:
a) El valor absoluto de un número entero positivo, es el mismo número.
b) El valor absoluto de un número entero negativo, es el mismo número
c) El valor absoluto de cero, es cero.
Ejemplos:
1) 6
+ =6 2) 7
− =7 3) 0 =0

41
NÚMEROS ENTEROS OPUESTOS:
Dos números enteros son opuestos o simétricos cuando tienen el mismo
valor absoluto pero diferentes signos.
Ejemplo:
a) El opuesto de -3 es +3
b) El opuesto de +24 es …………
c) El opuesto de -57 es …………
d) +63 es opuesto de ……………..
COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS:
Al comparar dos números enteros en la recta numérica, se debe tener en
cuenta lo siguiente:
• Es mayor el que está a la derecha del otro.
• Es menor el que está a la izquierda del otro.
Ejemplos:
a) (+5) está a la derecha de (+2) 
b) (-3) está a la izquierda de (+1) 
c) (-5) está a la ………… de (-1) 
d) (+8) está a la ………….de (-4) 
Ejemplos:
Efectuar
 
 
 
 
 
E 50 50 3 3 (4 4 2) 5 5 x2
E 50 50 3 3 (4 8) 5 10
E 50 50 3 3 ( 4) 5
E 50 50 3 12 5
E 50 50 20
E 50 1000
E 950
= −  −  −  − +
= −  −  − − +
= −  −  − +
= −  + +
= − 
= −
= −
+5 > +2
-3 < +1

42
1. La suma de dos números es 32,
si su diferencia es 10, ¿cuál es el
menor de dichos números?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 14 e) 16
2. Al sumar dos números se obtiene
9. si el mayor excede al menor en
18, ¿cuál es el número mayor?
a) 55 b) 40 c) 65
d) 90 e) 35
3. Si en una multiplicación de tres
números enteros se duplica uno
de ellos, ¿qué sucede con el
producto?
a) queda multiplicado por 2
b) queda dividido por 2
c) queda multiplicado por 4
d) queda dividido por 4
e) no se altera
4. Si en una multiplicación de tres
enteros se duplica cada uno de
ellos, ¿qué sucede con el
producto?
b) queda multiplicado por 4
d) queda multiplicado por 8
e) no se altera
5. Luego de dividir el menor número
entero de dos cifras entre +9 el
cociente es:
a) +11 b) –11 c) +10
d) +9 e) +1
6. Al dividir el mayor número entero
de tres cifras diferentes entre el
opuesto de +3, el cociente es:
a) –333 b) +333 c) –329
d) +329 e) +309
7. Tengo S/. 101 y quiero dar S/. 15
de propina a cada uno de mis 7
sobrinos, ¿cuánto dinero me
falta?
a) S/. 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 105
8. Se tiene una multiplicación de 2
factores. Si se duplica uno de
ellos y se triplica el otro, ¿en
cuánto varía el producto inicial?
b) queda multiplicado por 6
d) queda dividido por 6
e) no se altera
9. El producto de dos números no
positivos es 18 y su cociente es
2. ¿Cuál es la suma de estos
números?
a) –12 b) –9 c) –6
d) –14 e) –8
10. Luego de multiplicar el triple de
(-24) con la mitad de (-24), el
producto es:
a) +864 b) –864 c) +3456
TAREA ACADÉMICA

43
d) –3456 e) 648
11. Tengo cierto número de pelotas
para vender. Si las vendo a S/. 17
cada una, gano S/. 12, pero si las
vendiera a S/. 15 cada uno
perdería S/. 6 en total. ¿Cuántas
pelotas tengo para vender?
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
12. Si un comerciante vendiera a
S/. 11 cada calculadora que
tiene, ganaría S/. 60 en total, pero
si decide venderlas a S/. 6 cada
una, pierde S/. 20 en total.
¿Cuántas calculadoras tiene
para vender?
a) 24 b) 8 c) 16
d) 12 e) 20
13. Indica el resultado de:
[-9+6-3-2-9+1]2
a) +128 b) –256 c) –128
d) +64 e) +256
14.Indica el resultado de:
[+24-18-9+6]3
a) –9 b) –27 c) +27
d) +8 e) –8
15.Indica el resultado del opuesto
del resultado (-2)5.
a) +24 b) –16 c) –32
d) +32 e) +16
16. Resuelva cada uno de los
ejercicios.
(-3)4 =
(-5)3 =
(-2)5 =
Dé como respuesta la suma de
los resultados.
a) –328 b) +228 c) +238
d) –128 e) –76
17.Complete el siguiente casillero
para que se verifique la siguiente
igualdad:
2
29
2
21
)
5
(
)
5
(
)
5
(
)
5
(
)
5
(
−
−
−
−
−
= (–5)2
a) 8 b) 10 c) 11
d) 7 e) 6
18.Indica verdadero (V) o falso (F)
según corresponda.
I. [[(-3)2]0]31 = -1 ........... ( )
II. –34 = +81..................... ( )
III. 3
)
3
(
)
9
(
3
2
−
=
−
+
................... ( )
a) VVF b) VFF c) FFF
d) FFV e) VVV
según corresponda:
I. (-5)2 = + 25…………( )
II. (-3)3 = -27 …………( )
III. (-7)3 = -243…………( )
IV. (+2)3 = -8 …………( )
a) VVFF b) VVVF c) VFVF
d) FVFV e) VVVV
20.Indicar el resultado de:
4 3
14
)
3
(
9
27
5 +
−
+
−
+
−
a) +2 b) –1 c) 0
d) +1 e) No existe en Z
21.Indica el resultado de restar A de
B si:
A = 5 2
)
2
(
36 −
+
−
B = 3 0
)
51
(
28 −
+
−

44
a) –3 b) +1 c) –5
d) –1 e) –2
según corresponda:
I. 10
1000
3
−
=
− …………( )
II. 4
81
− No existe en Z…...( )
III. 5
9
)
2
( 4
+
=
+
− …….……( )
a) VVV b) VFV c) FVV
d) FFV e) FFF
23.Completa el casillero con un
número entero para que la
igualdad sea correcta:
2
3
8
27 
=
−

−
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) no existe valor
24.Operar:
(-5)2 + ( )
( )0
2
9 9
2
)
3
3
(
)
2
( −
−
+
−
+
−
a) 20 b) 22 c) 23
d) 24 e) 25
25.Completar los casilleros con
números enteros para que la
igualdad sea correcta:
=
 49
225 
Dar como respuesta la suma de
valores encontrados:
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 24

45
b
a
b
a
:
Si −

−
NÚMEROS RACIONALES (Q)
CONCEPTO
Es la relación entre dos términos en donde uno de ellos llamado
denominador nos indica las partes en que se ha dividido una determinada
unidad llamada numerador.
Notación
F =
q
p
=
PROPIEDADES
Dada la fracción
r
Denominado
Numerador


b
a
A. POR COMPARACIÓN DE SUS TÉRMINOS
Fracción Propia.- Cuando el denominador es mayor que el numerador
D > N.
Ejemplo:
,
11
7
y
;
9
2
;
6
5
;
4
3
−
− son fracciones propias
Fracción Impropia.- Cuando el denominador es menor que el numerador
D < N.
Ejemplo:
4
5
;
3
7
;
2
3
, son fracciones impropias
Fracción Negativa.- Es aquel que tiene el numerador o denominador
negativo se puede escribir de la forma:

b
a
b
a
:
Si −

−

• Una fracción cuyo numerador y denominador son iguales, representa la
UNIDAD, así:
1
5
5
=
→ p: Numerador → partes tomadas
→ q: Denominador → división total

46
1
3
3
=
−
−
B. POR SU DENOMINADOR
Fracción Ordinaria.- Es aquella cuyo denominador es diferente de
una potencia de 10.
Ejemplo:
•
2
1
,
11
3
,
4
9
Fracción Decimal.- Es aquella cuyo denominador es una potencia de
10.
• ...
,
1000
19
,
100
13
,
10
7
C. POR COMPARACIÓN DE LOS DENOMINADORES
Fracción Homogénea.- Son aquellas cuyos denominadores son
iguales.
Ejemplo:
•
4
2
,
4
3
/
7
5
,
7
2
Fracción Heterogénea.- Son aquellas con denominadores
diferentes.
Ejemplo:
•
9
7
,
5
3
/
9
4
,
11
3
D. DOS FRACCIONES SON INVERSAS.- si el numerador de uno es
denominador de la otra y viceversa.
Ejemplo:
•
6
11
y
11
6
;
4
7
y
,
7
4
−
−
E. DOS FRACCIONES SON EQUIVALENTES.- Si los productos cruzados de
sus términos son iguales.
Ejemplo:
•
9
6
3
2
= porque 2 x 9 = 3 x 6

47
F. FRACCIÓN REDUCTIBLE
Es aquella cuyo numerador y denominador tienen un divisor común
diferente de la unidad, es decir se puede simplificar.
Ejemplo:
•
21
14
→ Simplificando →
3
2
→
3
2
21
14
=
•
24
8
→ Simplificando →
3
1
→
3
1
24
8
=
G. FRACCIÓN IRREDUCTIBLE.- Es aquella cuyos términos son primos
entre sí.
Ejemplo:
3
7
,
9
4
,
11
9
,
7
5
H. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.- Es el proceso de transformación de
una fracción reductible a irreductible mediante la divisibilidad.
Ejemplo:
3
2
60
40
5
3
25
15
=
•
=
•
I. IGUALDAD DE FRACCIONES.- Generalmente se usa para expresar la
equivalencia. Así
b
a
es equivalente a
d
c
y escribimos
d
c
b
a
= ad = bc
Ejemplo:
10
4
5
2
=  2 x 10 = 5 x 4
J. DESIGUALDAD DE FRACCIONES.- Se establece con las relaciones
“menor que” y “mayor que”.
3
2
5
3
El divisor común es 7
El divisor común es 8

48
Así:
•
d
c
b
a
 , si : ad < bc
Ejemplo:
6
5
4
3
 , porque 3 x 6 < 4 x 5 18 < 20
•
d
c
b
a
 , si : ad > bc
Ejemplo:
2
1
3
4
 , porque 4 x 2 > 3 x 1 8 > 3
OPERACIONES CON FRACCIONES
Sean las fracciones
d
c
y
b
a
ADICIÓN DE FRACCIONES.- La suma de fracciones se define:
Si las fracciones son homogéneas, se suman los numeradores y se escribe el
denominador común; si las fracciones son heterogéneas, se transforman en
otro, “dando” el mcm a los denominadores.
bd
bc
ad
d
c
b
a +
=
+
Ejemplo:
• 1
8
8
8
5
3
8
5
8
3
=
=
+
=
+
•
12
9
8
4
3
3
2 +
=
+ =
12
17
SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES.- Para restar fracciones se procede de
manera semejante que en la suma.
bd
bc
ad
d
c
b
a
d
c
b
a −
=
−
+
=
−
Ejemplo:
•
3
1
9
3
9
5
9
8
9
5
9
8 −
=
−
=
+
−
=
−
−
−
•
6
1
18
3
18
12
-
15
3
2
6
5
=
=
=
−

49
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Se define:
bd
ac
d
c
.
b
a
=
Para multiplicar fracciones se recomienda simplificar previamente.
Ejemplo:
15
28
5
7
.
3
4
=
DIVISIÓN DE FRACCIONES
Se define:
bc
ad
c
d
x
b
a
d
c
:
b
a
=
= c  0
Una división de fracciones puede expresarse como una fracción de fracción, o al
invertir el denominador se convierte en una multiplicación.
Ejemplo:
35
12
7
4
x
5
3
4
7
5
3
=
=

POTENCIACIÓN DE FRACCIONES.- cuando al numerador y denominador se
les multiplica tantas veces como nos indica el exponente.
Se define:
.
b
a
b
a
.
b
a
.
b
a
.
b
a
b
a
n
n
factores
n
n
=
=











.
b
a
es la base de la potencia y “n” es el exponente.
Ejemplo:
81
16
3
2
.
3
2
.
3
2
.
3
2
3
2
factores
4
4
=
=











Si n = 1, entonces
b
a
b
a
b
a
1
1
1
=
=






Ejemplo:
8
5
8
5
8
5
1
1
1
=
=






Si n = 0, entonces 1
1
1
b
a
b
a
0
0
0
=
=
=






Ejemplo:
1
1
1
4
7
4
7
0
0
0
=
=
=







50
NOTA: Toda potencia con exponente negativo se convierte en una fracción,
teniendo como numerador a la unidad y como denominador al número con su
respectivo exponente positivo.
Ejemplo:
64
1
4
1
4 3
3
=
=
−
49
81
7
9
7
9
9
7
2
2
2
2
=
=






=






−
RADICACIÓN DE FRACCIONES
Se define:
b
a
r
r
b
a
b
a n
n
n
n
=

=
=
4
3
64
27
64
27
3
3
3
=
=
CLASIFICACIÓN DE DECIMALES:
• Exactos o limitados
Cuando tiene un número finito de cifras decimales.
Ejemplo:
0,75 =
100
75
0,8 =
10
8
• Inexactos o Ilimitados
Periódicos Puro
Un número es periódico puro, cuando se indica los números que
están después de la coma decimal; y se les asigna tantos nueves como
existen números que se repiten después de la coma decimal.
abc
,
0 =
999
abc
Ejemplo:
2121
,
0 =
33
7
99
21
=

51
Periódicos Mixtos
Un número es periódico mixto, cuando existe una combinación de
números después de la coma decimal (un número entero y una
periodicidad), se pone el 9 tantas veces haya el número entero y ceros
tantas veces se repita los números de la periodicidad.
bbb
a
,
0 =
90
a
ab −
Ejemplo:
666
1
,
0 =
90
1
16−
=
90
15
=
6
1

52
26.Carlos hizo los
8
3
de una obra en
2 días y
8
1
de día. ¿Qué parte de
la obra puede hacer en x días?
a)
2
x
17
b)
3
x
17
c)
7
x
6
d)
x
7
6
e)
17
x
3
27.Pablo hizo los
y
x
de una obra en
z días. ¿Cuántos días demorará
para hacer toda la obra.?
a)
y
xz
b)
x
yz
c)
z
y
x
−
d) xy e) x
28.Cinco personas pueden hacer los
b
a
de una obra en un día.
¿Cuántos días demorarán para
hacer toda la obra?
a)
b
a
b) 





b
a
9 c)
b
5
a
d)
xap
b
e)
a
b
29.Ricardo puede hacer una obra en
“x” días y Carlos podrá hacerlo en
“y” días. Si trabajan juntos. En
cuántos días harán la obra
a)
)
y
x
(
y
x
+
−
b)
xy
)
y
x
( +
c)
y
x
xy
+
d)
)
y
x
(
xy
−
e)
x
xy
30.Juan en dos días podrá hacer
7
4
de una obra, pero Roberto en tres
días podrá hacer
5
2
de la misma.
Si trabajan juntos. ¿Cuántos días
emplearán?
a)
105
44
b)
44
105
c)
35
48
d)
35
8
e)
35
84
31.Si x hombres hacen los
q
p
de una
obra en un día, cuánto hace un
hombre en un día?.
a)
q
xp
b)
p
xq
c)
xq
p
d)
p
xq
e)
x
q
p
−
32.Si 4 hombres en 10 días hacen
17
10
de una obra. ¿Cuánto hacen
en un día?
a)
17
1
b)
17
4
c)
17
10
d)
170
1
e)
10
17
33.Simplifica:
E =
2452
,
398
2452
,
526
2̂
,
180
3̂
,
120
4̂
,
211
−
+
+
a) 1 b) 4 c) 8
d) 2 e) 3
TAREA ACADÉMICA

53
34.Simplifica:
E =
025
,
0
041
,
0
00125
,
0
00082
,
0
005
,
0
625
,
0




a) 1 b) 2 c) 4
d) 0,5 e) 1/4
35. Determina cuántas fracciones
menores que 7/12 y mayores que
1/4 existen, sabiendo que sus
denominadores son iguales a
144.
a) 36 b) 46 c) 48
d) 37 e) 47
36.Calcula una fracción, tal que al
sumar su cubo, resulta el cubo de
la misma fracción multiplicada
por 117/36.
a) 4/9 b) 5/2 c) 4/5
d) 2/3 e) 3/5
37.Una pelotita cae de cierta altura y
en cada rebote se eleva los 2/3
de la altura anterior. Si después
de 4 rebotes consecutivos logra
elevarse 32 cm., ¿de qué altura
cayó inicialmente?
a) 81 cm b) 162 cm
c) 124 cm d) 62 cm
e) 324 cm
38.¿Qué parte de 3 3
1 es lo que le
falta a 1/9 para ser igual a los 2/3
de 3/5?
a)
45
11
b)
150
9
c)
150
13
d)
5
2
e)
150
41
39.¿Cuánto se le debe restar a
2,252525..., para que sea igual a
0,323232...?
a) 90
,
1 b) 93
,
1 c) 97
,
1
d) 92
,
1 e) 95
,
1
40. Un automovilista observa que
5
1
de lo recorrido equivale a los
5
3
de lo que le falta recorrer.
¿Cuántas horas habrá viajado
hasta el momento, si todo el viaje
lo hace en 12 horas?
a) 9 b) 7 c) 5
d) 4 e) 2
41. Los
5
4
de las aves de una granja
son palomas, los
6
5
del resto son
gallinas y los 8 restantes son
gallos. ¿Cuántas aves hay en la
granja?
a) 320 b) 560 c) 420
d) 240 e) 244
42. Si me deben una cantidad igual
a los
8
7
de S/. 960 y me pagan los
4
3
de lo que me deben. ¿Cuánto
me deben aún?
a) 330 b) 840 c) 630
d) 210 e) 240

54
43.Pedro gana A soles y ahorra
4
B
soles al mes. En tres años ha
gastado:
a) 9A – 36B soles
b) 12 





−
4
B
A
3 soles
c) 36A – 9B soles
d) 12(3A - 3b) soles
e) 12 soles
4
B
A 





−
44.
3
2
de los profesores de la UDH
son mujeres. 12 de los profesores
varones son solteros, mientras
que los
5
3
de los mismos son
casados. ¿Cuál es el número de
mujeres?
a) 10 b) 20 c) 30
d) 60 e) N.A
45.En un ómnibus de la UDH parten
50 pasajeros, en el primer
paradero se quedan las
5
2
partes
y suben 15 pasajeros, en el
segundo paradero se quedan los
3
2
y suben 35. ¿Cuántos
pasajeros tenía el ómnibus para
llegar al tercer paradero?
a) 25 b) 30 c) 40
d) 50 e) 54
46. Se ha vendido un anteojo
astronómico en S/. 540. Se desea
saber lo que costó, sabiendo que
si se hubiera querido ganar los
9
4
del precio de compra hubiese
sido necesario aumentar en
S/.110 el precio de venta.
a) 430 b) 440 c) 450
d) 480 e) 500
47.¿Cuánto le falta a “E” para ser
igual a 3/5, si :
E =
6
1
6
4
1
4
3
1
3
2
1
2
+
+
a) 4/35 b) 7/20 c) 1/30
d) 1/25 e) 4/15
48. ¿Qué parte de 3/4 es 1/5?
a) 15/4 b) 20/3 c) 3/20
d) 4/15 e) 19/20
49. El cociente de la diferencia de
los números 3/4 y 5/8 entre la
suma de los mismos es :
a) 2/11 b) 3/22 c) 11/2
d) 1/11 e) 11
50. Simplifica :
E =






−






−






−






−






−






+






+






+






+






+
9
1
1
8
1
1
7
1
1
6
1
1
5
1
1
9
1
1
8
1
1
7
1
1
6
1
1
5
1
1
a) 2/9 b) 9/2 c) 3
d) 1 e) 1/3

55
CAPÍTULO N° 4
Razón
➢ Razón aritmética
➢ Razón geométrica
➢ Conceptos importantes
✓ Propiedad
✓ Ejercicios Propuestos
✓ Tarea Académica
Proporción
Clases de Proporción
➢ Proporción aritmética
• Discreta
• Continua
➢ Proporción geométrica
• Discreta
• Continua
✓ Propiedad
RAZONES Y PROPORCIONES

56
RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN
Es la comparación que se puede establecer entre dos cantidades.
Ejemplo:
Se tiene 2 hermanos: Miguel de 15 años y Luis de 5 años; se puede decir
que Miguel es 10 años mayor que Luis o que la edad de Miguel contiene 3 veces
la edad de Luis: De estas se desprende que las clases de razones son:
RAZÓN ARITMÉTICA
Es la comparación de dos cantidades mediante una sustracción.
En general para dos cantidades A y B se tiene:
A – B = r
RAZON GEOMÉTRICA
Es la comparación de dos cantidades mediante una división.
Para nuestro ejemplo anterior.
En general para dos cantidades A y B se tiene:
A
K
B
=
ELEMENTOS DE UNA RAZÓN
• Antecedente : 15 ; A
• Consecuente : 5 ; B
• Valor de la razón aritmética : 10 ; r
• Valor de la razón geométrica : 3 ; K
CONCEPTOS IMPORTANTES

57
• Cuando se tienen los enunciados como: “la razón de….” ; “la relación de….”
; “son entre sí …..” ; “son proporcionales ….” ; en cualquiera de los casos se
refiere a una razón geométrica.
• Cuando se tiene la relación:
A
B
se lee: “A es a B”
• Cuando se tiene la razón geométrica:
A 4
B 5
= 
A 4k
B 5k
=
=
• Cuando se tiene la razón geométrica:
A 2
B 7
= 
Cantidad Mayor B
Cantidad Menor A
=
=
• Cuando se tiene la razón geométrica
A B
4 5
= 
A 4k
B 5k
=
=
PROPIEDAD:
Cuando se tiene:
A B
5.n 7.n
= 
A 5k
B 7k
=
=
Ejemplo:
Si:
A B
50 32
= 
A B
5 2 4 2
= 
A B
5 4
=

58
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Las edades de Juan y Rocío están en relación de 5 a 9 y la suma de ellas
es 84. ¿Qué edad tiene Juan?
J = 5k
R = 9k
J + R = 84
5k + 9k = 84
14k = 84
k = 6
Entonces la edad de Juan es: J = 5k →J = 5(6) → J = 30
2. Si
9
5
n
m
= ; donde: 2m + 3n = 111. Hallar “m + n”
k
9
k
5
n
m
=
→ 2m + 3n = 111
2(5k) + 3(9k) = 111
10k + 27k = 111
37k = 111
K = 3
→ m + n
5k + 9k
5(3) + 9(3)
15 + 27
42
3. Tres números están en la misma relación que 5, 9 y 13, si la suma de ellos
es 216. Indica el mayor de ellos.
5k + 9k + 13k = 216
27k = 216
K = 8
→ Mayor = 13k
Mayor = 13(8)
Mayor = 104

59
1. ¿Cuál es el antecedente de una
razón aritmética
cuyo valor es 118 y su
consecuente es 29?
a) 147 c) 145 e) 148
b) 146 d) 149
2. ¿Cuál es el consecuente de una
razón geométrica
cuyo valor es 4/5 y el
antecedente es 76?
a) 91 c) 93 e) 95
b) 92 d) 94
3. La razón aritmética de las edades
de Ronald y
Humberto es 5. Si Humberto
tiene 24 años, ¿cuántos años
tendrá Ronald dentro de 6 años?
a) 34 c) 36 e) 30
b) 35 d) 29
4. La razón geométrica de dos
números es 13/10 y
su razón aritmética es 6. Calcula
la suma de dichos números.
a) 26 c) 46 e) 16
b) 20 d) 36
5. Dos números están en la relación
de 4 a 5, si la suma es 90. Halla
los números.
a) 18 y 44 b) 40 y 50
c) 16 y 40 d) 16 y 42
e) 16 y 44
6. Dos números suman 120 y ellos
son como 2 es a 13. Halla cada
uno de dichos números.
a) 18 y 44 b) 16 y 104
c) 16 y 40 d) 16 y 42
e) 18 y 40
7. Dos números están en la relación
de 5 a 7. Si suman
204, ¿cuál es el menor?
a) 119 c) 17 e) 95
b) 85 d) 37
8. Juan tiene 5 años más que
Manuel, y las edades de
ellos están en la relación de 6 a
5. ¿Qué edad tiene
Juan?
a) 30 c) 25 e) 18
b) 20 d) 27
9. Dos números son entre sí como 2
es a 5. Si su
producto es 1000, calcula la
diferencia de los nú-
meros.
a) 10 c) 30 e) 50
b) 20 d) 40
10.Si:
a
𝑏
=
2
3
y además 𝑎2
+ 𝑏2
= 52
calcula b – a.
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
11.Se tiene 3 números enteros A, B
y C tales que
A y B están relación de 5 a 6
respectivamente,
mientras que B y C se encuentran
en relación de
8 a 11. Si la diferencia entre C y
A es 910, calcula
el valor del mayor de estos tres
números.
TAREA ACADÉMICA

60
a) 1680 b) 2310 c) 1960
d) 2450 e) 2030
12.El sueldo de Santiago y el de
Catherine están en la relación de
3 a 5 respectivamente; pero si
Santiago ganase S/ 440 más
entonces la relación se invertiría.
Calcula cuánto más gana
Catherine que Santiago.
a) s/ 168 b) s/ 167 c) s/ 165
d) s/ 158 e) s/ 171
13.Nancy tiene, entre perros y gatos,
20 animales. Si le
regalan 8 gatos, el número de
perros y gatos estaría
en la relación de 3 a 4. ¿Cuántos
perros tiene Nancy?
a) 15 c) 13 e) 11
b) 14 d) 12
14. Las edades de dos hermanos
están en la relación de
3 a 2 y dentro de 3 años estarán
en la de 10 a 7. ¿Qué
edad tiene el mayor?
a) 18 c) 30 e) 20
b) 27 d) 21
15.Las edades de 2 personas son
entre sí como 3 es a
5. Si dentro de 6 años suman 60,
calcula la mayor
edad.
a) 40 c) 30 e) 35
b) 20 d) 25
16.Dos números son proporcionales
a 3 y 5. Determinar la suma de
ellos, si su producto es 240.
a) 20 b) 24 c) 42
d) 16 e) 32
17.Tres números son entre sí como
2; 3 y 5. Determinar el mayor de
estos, sabiendo que la diferencia
de los dos menores es 15.
a) 90 b) 100 c) 75
d) 64 e) 80
18. Los ángulos internos de un
triángulo son proporcionales a 2;
3 y 4. ¿Qué clase de triángulo
es?
a) Rectángulo
b) Equilátero
c) Acutángulo
d) Oblicuángulo
e) Mixtilíneo
19. La razón de dos números es 7/3.
¿Cuál será la razón de la suma
de sus cuadrados con la
diferencia de sus cuadrados?
a) 9/2 b) 49/5 c) 58/13
d) 29/20 e) 29/5
20.Las edades de dos personas son
18 y 21 años.
¿Dentro de cuántos años dichas
edades estarán
en la relación de 9 a 10?
a) 24 b) 18 c) 15
d) 12 e) 9

61
PROPORCIÓN
Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase.
CLASES DE PROPORCIONES
A) PROPORCION ARITMÉTICA
Es aquella que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones
aritméticas.
a) DISCRETA:
Cuando los valores de los términos medios son diferentes.
a – b = c – d
a ; d = Extremos
b ; c = Medios
d : Cuarta diferencial de a , b y c
b) CONTINUA:
Cuando los valores de los términos medios son Iguales
a – b = b – c
a ; c = Extremos
b ; b = Medios
b: Media diferencial de a y c
c: Tercera diferenciadle a y b
B) PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Es aquella que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones
geométricas.
a) DISCRETA
Cuando Los términos son diferentes
bc
axd
d
c
b
a
=

=
d : Cuarta proporcional de a , b y c

62
b) CONTINUA
2
b
c
.
a
c
b
b
a
=

=
b: Media proporcional de a y c.
c: Tercera proporcional de a y b
EJEMPLOS RESUELTOS
1. María tiene s/. 56 y Clara s/. 32. ¿En cuánto excede lo que tiene Maria
respecto a lo que tiene Clara?
Resolución:
María s/. 56
Clara s/. 32
Maria – Clara = x
56 – 32 = x
24 = x
2. Si la razón aritmética de dos números es 27 y el número menor es 18. Hallar
el número mayor.
Sea “x” el número x – 27 = 18
x = 18 + 27
x = 45
3. Hallar la media diferencial o medio aritmético de: 38 y 14
Sea “x” el número buscado 38 – x = x - 14
52 = 2x
26 = x
4. Calcular la tercia o tercera diferencial de 52 y 36.
Sea “x” el número buscado 52 – 36 = 36 - x
52 – 72 = -x
- 20 = -x
x = 20
5. Calcular la tercia o tercera proporcional de 28 y 14.
Sea “x” el número
buscado
bc
axd
x
14
14
28
=

=
28x = (14)(14)
x = 7

63
1. Halla la cuarta proporcional de:
9, 6 y 12.
a) 6 b) 8 c) 9
d) 10 e) 12
2. Halla la media proporcional de:
54 y 24.
a) 36 b) 12 c) 18
d) 15 e) 24
3. Halla la tercera proporcional de
8 y 12.
a) 10 b) Entre 9 y 10
c) 18 d) 12
e) Más de 18
4. Determina la cuarta diferencial de
85; 18 y 93.
a) 11 b) 26 c)31
d) 37 e) 41
5. Determina la media proporcional
de 7 y 28.
a) 14 b) 21 c) 35
d) 18 e) 7
6. Halla la media diferencial de:
47 y 13
a) 24 b) 30 c) 28
d) 25 e) 27
7. Si la media proporcional de a y c
es 6 y la suma de cuadrados de
los términos extremos es 97.
Halla a + c
a) 8 b) 6 c) 9
d) 12 e) 13
8. La suma de dos números es 570
y su razón es 7/12. Halla su
diferencia.
a) 140 b) 150 c) 30
d) 210 e) 360
9. El producto de los cuatro
términos de una proporción
geométrica
continua es 4096. Halla la media
proporcional.
a) 6 b) 8 c) 9
d) 12 e) 16
10. En una proporción geométrica
continua, el primer término es
1/9 del cuarto término. Si la suma
de los medios es 72, halla la
diferencia de los extremos.
a)60 b)72 c)84
d) 90 e) 96
11.En una proporción continua, la
suma de los extremos es 73 y la
suma de los cuadrados de los
extremos es 4177. Determina la
media proporcional.
a) 18 b) 22 c) 24
d) 28 e) 32
12.En una proporción geométrica
continua la suma de los extremos
es 145 y la diferencia de los
mismos es 105. Halla la media
proporcional.
a) 25 b) 45 c) 50
d) 75 e) 100
13.Halla la suma de la media
diferencial y la media
proporcional de : 25 y 49.
TAREA ACADÉMICA

64
a) 72 b) 27 c) 15
d) 25 e) 37
14.¿Cuál es la diferencia entre los
extremos de una proporción
geométrica continua, si la suma
de sus cuatro términos es 36 y la
razón entre la suma y diferencia
de los dos primeros términos es
3?
a)9 b) 14 c) 10
d) 16 e) 12
15.En una proporción geométrica,
los términos
medios son iguales y suman 10.
Si uno de los
extremos es 25, calcula el otro
extremo.
a) 25 c) 5 e) 2
b) 3 d) 1
16. ¿Cuánto vale la cuarta
proporcional 24; 12 y 18?
a) 11 c) 9 e) 18
b) 10 d) 12
17. Halla la media proporcional de
45 y 5.
a) 10 c) 225 e) 16
b) 15 d) 25
18. Si «x» es la media proporcional
de 24 y 6 y «n» es
la cuarta proporcional de 8, «x»
y 18, halla «x +n».
a) 12 c) 27 e) 39
b) 16 d) 30
19.Si los antecedentes de una
proporción geométrica
continua son 18 y 12, halla la
tercera proporcional.
a) 3 c) 12 e) 18
b) 8 d) 4
20. Si A es la media diferencial de
70 y 46 y B, la tercera
diferencial de 64 y 44, calcula A
– B.
a) 24 c) 36 e) 17
b) 58 d) 34

65
CAPÍTULO N° 5
➢ Regla de tres
➢ Regla de tres simple
✓ Directa
✓ Inversa
➢ Regla de tres compuesta
➢ Ejercicios propuestos
REGLA DE TRES

66
REGLA DE TRES
Es una operación que tiene por objeto, dados dos o más pares de cantidades
proporcionales siendo una cantidad la desconocida o la incógnita, hallar el valor
de esta última.
La regla de tres puede ser simple o compuesta.
1. REGLA DE TRES SIMPLE
Una regla de tres simple es cuando intervienen solamente dos magnitudes.
Siempre intervienen 3 cantidades conocidas o datos y una desconocida o
incógnita.
Puede ser:
A. DIRECTA
La regla de tres simple es directa cuando las magnitudes que intervienen
son directamente proporcionales.
Sean A y B dos magnitudes directamente proporcionales, con sus
respectivos valores correspondientes.
D.P. Como A es D.P. a B, se cumple
A B
a1 b1
a2 x
Ejemplo:
¿Cuánto valdrán 123 kg de trigo, si 15 kg valen 80 soles?
Resolución:
D.P Se cumple
# de kg Costo
15 S/ 80
123 x
x
a
b
a 2
1
1
=
15 123
80 x
= x = 656 soles

67
B. INVERSA
La regla de tres simple es inversa cuando las magnitudes que
intervienen, son inversamente proporcionales.
Sean A y B dos magnitudes inversamente proporcionales, con sus
respectivos valores correspondientes.
I.P. Como A es I.P. a B, se cumple:
A B
a1 b1
a2 x
Ejemplo:
Si 18 obreros hacen una obra en 30 días, ¿Cuánto tiempo invertirán 12 obreros
en hacer la misma obra?
Resolución:
I.P. Se cumple:
Obreros Días
18 30
12 x
2. REGLA DE TRES COMPUESTA
En la regla de tres compuesta intervienen tres o más partes de cantidades
proporcionales, siendo una la cantidad desconocida o incógnita.
MÉTODO PRÁCTICO
Para resolver los problemas de regla de tres, aplicamos el método llamado
“La ley de los signos”, que no es más que la consecuencia práctica de
magnitudes proporcionales y que consiste en lo siguiente:
Se colocan los valores correspondientes a la misma magnitud uno debajo de
otro, a continuación se comparan cada par de magnitudes proporcionales con el
par que contiene la incógnita; para saber si son directa o inversamente
proporcionales con la incógnita y:
* Si son directamente proporcionales
* Si son inversamente proporcionales
El valor de la incógnita viene dado por un quebrado cuyo numerador es el
producto de todas las cantidades afectadas del signo (+) y cuyo denominador es
arriba
abajo
−
+
arriba
abajo
+
−
1
2
1
1 x
a
b
a =
(30)(18) (12)( )
x
= x = 45 días

68
el producto de las cantidades afectada del signo (-) en todos los problemas sin
excepción, el valor numérico que es de la misma especie que la incógnita, llevará
signo (+).
REGLA PRÁCTICA
1. Se disponen los datos, de manera que los valores pertenecientes a una
misma magnitud estén en una misma columna.
2. Los valores de cada una de las magnitudes se compara con la magnitud
donde se halla la incógnita.
3. A las magnitudes que sean directamente proporcionales con la incógnita se
pone: debajo signo más y encima signo menos, y a los que son inversamente
proporcionales con la incógnita se pone: debajo signo menos y encima signo
más.
4. El valor de la incógnita será igual al valor conocido de su misma especie a la
cual siempre se le pone signo más multiplicado por todas las cantidades
que llevan signo (+) y dividido por el producto de todas las cantidades que
llevan signo menos (-).
Ejemplos:
1. Para pavimentar 180 metros de pista; 18 obreros tardan 21 días.
¿Cuántos días se necesitan para pavimentar 120 metros de la misma
pista con 4 obreros menos?
Solución:
Escribimos el supuesto y la pregunta; luego hacemos las comparaciones
para saber si las reglas de tres simples son directas o inversas.
Comparaciones:
 Metros con días: Para hacer menos metros de pista tardan menos
días; la Regla de tres es directa; colocando arriba de la columna de
metros la letra D.
 Obra con días: Menos obreros tardan más días, la Regla de tres es
inversa; colocando arriba de la columna de obreros la letra I.
Dónde:
D
+
_
I
_
+
Supuesto:
Pregunta:
180 metros
120 metros
18 obreros
14 obreros
21 días
x días
→
→
→
→

69
Luego; pasando a colocar los signos correspondientes:
La incógnita viene dado por un quebrado cuyo numerador es el producto
de todas las cantidades afectadas por el signo (+) y cuyo denominador es el
producto de todas las cantidades afectadas por el signo (-), Así:
ando)
(simplific
obreros)
metros)(14
(180
días)
1
obreros)(2
metros)(18
(120
=
x
x = 18 días
MÉTODO DE LAS RAYAS
Para este método, debemos tener en cuenta que se entiende por causa,
circunstancia y efecto.
1. Causa o acción: Es todo aquello que realiza o ejercita una obra pudiendo
ser efectuada por el hombre, animal o una máquina.
Ejemplo: 12 obreros hacen una obra.
2. Circunstancia: Es el tiempo, el modo, la forma, como se produce o como
se fabrica algo.
Ejemplo: En tantos días, en tantas horas diarias, tantas raciones diarias.
3. Efecto: Es todo lo hecho, lo producido, lo consumido, lo gastado, lo
debido, lo realizado, lo fabricado.
Ejemplo: Se hace un puente de 60 metros de largo y 30 metros de ancho.
Planeamiento y Resolución:
La distribución adecuada de los datos y la incógnita será siempre de la
siguiente manera:
Supuesto:
Pregunta:
180 metros
120 metros
18 obreros
14 obreros
21 días
x días
→
→
→
→
D I
Supuesto:
Pregunta:
180 metros
120 metros
18 obreros
14 obreros
21 días
x días
→
→
→
→
_
+
+
_
+
Acción Circunstancia Efecto
Hombres
Características
Rapidez, hr/día,
raciones/día
Trabajo realizado,
con su respectiva
dificultad

70
Una vez planteado el problema lo que interesa fundamentalmente es
reconocer cuál(es) es (son) la(s) columnas (s) del efecto para ello simplemente
se pregunta ¿Qué se ha hecho? y luego se trazan la rayas una por arriba hasta
ante de tocar a la primera columna del efecto para cambiar de dirección e ir por
abajo y la otra raya es simétrica a la anterior es decir, ya por abajo y antes de
tocar a la columna del efecto cambia de dirección es decir, pasa hacia arriba.
Supongamos que en el problema dado a continuación, la columna
g
d
sea el
efecto.
Para despejar “x” siempre las cantidades de la raya de “x” van abajo y las
cantidades de la raya donde no está “x” van arriba. O sea:
Si el efecto estuviera en las columnas:
x
c
;
g
d
A continuación pasamos a resolver los mismos problemas ya resueltos por el
Método de los signos.
1. Para pavimentar 180 metros de pista, 18 obreros tardan 21 días. ¿Cuántos
días necesitarán para pavimentar 120 metros de la misma pista con 4
obreros menos?
Resolución:
Efecto
c
→
x
b
f →
→
a
e →
d
g
→
→
a b c d
x
e f g
  
=
 
Efecto
c
→
x
b
f →
→
a
e →
d
g
→
→
e . f . c . d
a . b . g
x =
→

71
Dónde:
ando)
(simplific
metros)
80
obreros)(1
(14
metros)
días)(120
1
obreros)(2
(18
x =
x = 18 días
1. Si 180 hombres en 6 días; trabajando 10 horas cada día pueden hacer
una zanja de 200 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de profundidad. ¿En
cuántos días de 8 horas, harían 100 hombres una zanja de 400 m de
largo, 4 m de ancho y 3 m de profundidad?
Solución:
Comparaciones:
 Hombres con días: Menos horarios tardarán más días, luego la Regla de
tres es inversa. (Colocando arriba de la columna de hombres I)
 Horas de labor con días: Trabajando menos horas diarias tardarán más
días, la Regla de tres es inversa. (Colocando arriba de la columna de h/d
I)
 Metros con días: A más metros más días, luego la Regla de tres es
directa (Colocamos arriba de cada columna de metros la letra D)
Dónde:
Luego, pasamos a colocar los signos correspondientes:
Causa Circunstancia Efecto
18 obreros →
14 obreros →
21 días
x días
→
→
180 metros
120 metros
180 hombres
100 hombres
10 h/d
8 h/d
200 m de largo
400 m de largo
3m ancho
4m ancho
2m prof.
4m prof.
6 días
x días
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
180 hombres
100 hombres
10 h/d
8 h/d
200 m de largo
400 m de largo
3m ancho
4m ancho
2m prof.
4m prof.
6 días
x días
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
I I D D D
180 hombres
100 hombres
10 h/d
8 h/d
200 m de largo
400 m de largo
3m ancho
4m ancho
2m prof.
4m prof.
6 días
x días
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
+
_
+
_
_
+
_
+
_
+
+

72
Ahora llevamos el valor de la incógnita:
ando)
(simplific
00)(3)(2)
(100)(8)(2
6()
400)(4)(3)
(180)(10)(
x =
x = 54
2. Si un grifo, dando por minuto 100 litros de agua, llena en 8 horas un pozo;
cinco grifos, dando cada uno 40 litros por minuto. ¿En cuántas horas llenará
un pozo 6 veces al anterior?
Solución:
Dónde:
ando)
(simplific
(5)(40)(1)
)(6)
(1)(100)(8
x =
En 24 horas llenará un pozo de 6 veces el anterior.
Causa Circunstancia Efecto
1 grifo →
5 grifos →
100 l/min →
→
1 pozo
6 pozos
40 l/min
8 h
x h
→
→

73
1. Si 32 cartucheras cuestan 80
soles ¿Cuánto se pagará por 40
cartucheras?
a) 120 b) 100
c) 80 d) 140
2. Un motociclista tarda 9 horas en
recorrer un trayecto yendo a 60
km/h. ¿Cuánto tardará en
recorrer el mismo trayecto yendo
a 45 km/h?
a) 8 h b) 10 h
c) 12 h d) 14 h
3. Seis obreros hacen una obra en
15 horas, el triple de obreros
¿qué tiempo tomarán para hacer
la misma obra?
a) 5 h b) 10 h
c) 15 h d) 20 h
4. Si 16 carpinteros trabajando 9
horas diarias en 12 días hacen 60
mesas. ¿Cuántos días
necesitarán 40 carpinteros
trabajando 1 hora diaria menos
para hacer un ciento de las
mismas mesas?
a) 9 días b) 10 días
c) 12 días d) 14 días
5. Si 180 obreros en 6 días,
trabajando 10 horas cada día,
pueden hacer una zanja de 200
m de largo, 3m de ancho y 2 m de
profundidad. ¿En cuántos días,
de 8 horas, harían 100 obreros
una zanja de 400 m de largo, 4m
de ancho y 3m de largo?
a) 54 días b) 60 días
c) 80 días d) 50 días
6. Cierto número de conejos son
alimentadas por 60 kg de alfalfa.
Pero si disminuimos en 15 el
número de conejos, entonces se
necesitarán solamente 40 kg de
alfalfa. Determina el número de
conejos.
a) 30 b) 35
c) 40 d) 45
7. Una piscina puede ser hecha por
20 albañiles en 14 días.
¿Cuántos albañiles hay que
añadir para que la piscina se
termine en 8 días?
a) 12 b) 10
c) 15 d) 20
8. M y N recorren cierta distancia, y
los tiempos que emplean están
en la razón de 15 a 21. Si la
velocidad de M es de 56 km7h.
¿Cuál es la velocidad de N?
a) 25 km/h b) 30
km/h
TAREA ACADÉMICA

74
c) 35 km/h d) 40
km/h
9. Quería comprar 5 docenas de
pares de zapatos que importaban
780 soles, pero me faltó 91 soles
para el pago. ¿Cuántos pares
compré con el dinero que tenía?
a) 54 b) 53
c) 52 d) 51
10.Para sembrar un terreno
cuadrado de 15 m de lado, un
jardinero cobra 450 soles.
¿Cuánto cobrará por sembrar
otro terreno cuadrado de 10 m de
lado?
a) 300 b) 350
c) 400 d) 200
11.Un grupo de excursionistas
tenían víveres para 30 días, pero
como cinco de ellos no realizaron
la excursión los víveres
alcanzaron para seis días más.
¿Cuántas personas realizaron la
excursión?
a) 10 b) 15
c) 20 d) 25
12.Dos ruedas engranadas tienen,
respectivamente, 30 y 20 dientes.
¿Cuántas vueltas dará la
segunda al mismo tiempo de dar
200 vueltas la primera?
a) 300 b) 310
c) 120 días d) 210
13.Un obrero trabajó 16 días en
lugar de 12 por trabajar dos horas
menos cada día. ¿Cuántas horas
diarias trabajó el obrero?
a) 10 b) 9
c) 8 d) 6
14.Una cuadrilla de 30 obreros se
compromete a hacer una obra en
58 días trabajando 10 horas
diarias. 10 días después de
iniciado la obra se pidió que la
obra quede terminada “x” días
antes del plazo estipulado para lo
cual se aumentaron 10 obreros
más y todos trabajando 12 horas
diarias terminando la obra en el
nuevo plazo estipulado. Halla el
valor de “x”
a) 20 b) 18
c) 16 d) 15
15.15 obreros han hecho la mitad de
una obra en 20 días. En ese
momento abandonan el trabajo 5
obreros. ¿Cuántos días tardarán
en terminar el trabajo los obreros
que quedan?
a) 10 b) 15
c) 30 d) 25
16.En 24 días 15 obreros han hecho
¼ de una obra que les fue
encomendada. ¿Cuántos días
empleará otra cuadrilla de 30
obreros que tienen doble
rendimiento que los anteriores,
en terminar la obra?
a) 18 b) 21

75
c) 24 d) 25
17.Para construir 180 metros de
carretera, 15 obreros han tardado
12 días, trabajando a razón de 10
h/d ¿Cuántos días tardarán 40
obreros para hacer 600 metros
de carretera, si trabajan 10 h/d?
a) 10 b) 15
c) 20 d) 25
18.Si 36 obreros para pavimentar
una pista de 400 m de largo por
6m de ancho demoran 32 días.
¿Cuántos días tardarían si se
agrega 12 obreros más para
pavimentar otra pista de 30 m de
largo por 8 de ancho?
a) 20 b) 24
c) 28 d) 32
19. Un motociclista recorre una
distancia a 50 km por hora en 8
días de 9 horas diarias de
marcha. ¿En cuántos días cubrirá
la misma distancia corriendo a 60
km por hora y en jornadas de 10
horas diarias de marcha?
a) 5 b) 6
c) 7 d) 8
20.Un trabajo puede ser hecho por 8
hombres en 23 días trabajando 9
horas diarias. Si tres de los
hombres aumentan su
rendimiento en 2/5 ¿En qué
tiempo harán el trabajo si laboran
5 horas diarias
a) 18 b) 21
c) 24 d) 36
21.Cinco albañiles se proponen
hacer una obra en 21 días, pero
luego de 5 días de trabajo se les
unen 5 albañiles más ¿En cuánto
tiempo se hizo la obra?
a) 10 b) 11
c) 12 d) 13
22.Un tornillo que gira 40 veces por
minuto penetra 8 mm en una
pared. ¿Cuántos giros más debe
dar por minuto para que penetre
50 mm en la misma pared?
a) 20 b) 18
c) 16 d) 15
23.Un ingeniero puede construir 600
metros de carretera con 40
obreros en 50 días, trabajando 8
horas diarias. ¿Cuántos días se
tardará el ingeniero en construir
800 metros de carretera con 50
obreros doblemente eficientes
que los anteriores en un terreno
de triple dificultad trabajando 2
horas más por día?
a) 64 b) 50
c) 36 d) 48
24.Seis máquinas confeccionan seis
chompas en seis minutos.
¿Cuántas chompas
confeccionarán cuarenta
máquinas del mismo tipo en
dieciocho minutos?
a) 72 b) 240
c) 120 d) 108

76
25.Dos máquinas A y B tienen la
misma cuota de producción
semanal, operando 45 y 75
horas respectivamente. Si la
máquina A trabaja 18 horas y
se malogra debiendo hacer B
el resto de la cuota. Halla el
número de horas adicionales
que debe trabajar la máquina
B
a) 48 b) 54
c) 43 d) 50

77
CAPÍTULO N° 6
➢ Definición
➢ Notación
➢ Fórmulas frecuentes
➢ Descuentos Sucesivos
➢ Aumentos Sucesivos
➢ Variaciones porcentuales
➢ Tanto por ciento
➢ Ejercicios
PORCENTAJE
Definición
Se llama porcentaje o tanto por ciento a una determinada cantidad con relación
a 100 unidades
Notación
Observación
Para efecto de solución el % es un operador matemático que significa
Ejemplo:
➢ Hallar el 80% de 120
PORCENTAJE
𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑟% =
𝑟
100
% =
1
100

78
𝟖𝟎% 𝒅𝒆 𝟏𝟐𝟎 =
𝟖𝟎
𝟏𝟎𝟎
× 𝟏𝟐𝟎
Fórmulas frecuentes
✓ PARA HALLAR EL n% DE UN NÚMERO
Halla el 20% de 300
𝑥 = (
20
100
) × 300
✓ PARA HALLAR UN NÚMERO “N” CONOCIENDO EL X%
El 20% de qué número es 60
60 = (
20
100
) × 𝑁
✓ PARA HALLAR EL X% DE N QUE ES n
Qué porcentaje es 60 de 300
60 = (
𝑋
100
) × 300
Ejemplos:
❖ ¿De qué número 300 es el 6%?
𝟑𝟎𝟎 = (
𝟔
𝟏𝟎𝟎
) × 𝑵
𝑵 = 𝟓𝟎𝟎𝟎
❖ El 50% de 320 es:
𝒙 = (
𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎
) × 𝟑𝟐𝟎
𝒙 = 𝟏𝟔𝟎
❖ ¿Qué porcentaje de 200 es 6?
𝟔 = (
𝑿
𝟏𝟎𝟎
) × 𝟐𝟎𝟎
𝑿 = 𝟑%

79
DESCUENTOS SUCESIVOS
Un descuento es sucesivo cuando existen 2 o más descuentos al precio de un
producto.
Ejemplos:
• ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y
40%?
20% 40%
100%-20%=80% 100% - 40%=60%
80
100
(60%) =
48
100
= 48% = descuento sucesivo del 20% y 40%
AUMENTOS SUCESIVOS
Un aumento es sucesivo cuando existen 2 o más aumentos al precio de un
producto.
Ejemplos:
• ¿A qué aumento único equivalen dos aumentos sucesivos del 20% y 40%?
20% 40%
100%+20%=120% 100% +40%=140%
120
100
(140%) = 168% = aumento sucesivo del 20% y 40%
𝐃𝐄𝐒𝐂𝐔𝐄𝐍𝐓𝐎𝐒 𝐒𝐔𝐂𝐄𝐒𝐈𝐕𝐎𝐒
MONTO INICIAL- DESCUENTO SUCESIVO=DESCUENTO FINAL
MONTO INICIAL =100%
MONTO INICIAL-DESCUENTO SUCESIVO
100%-48%=52% DESCUENTO FINAL
𝐀𝐔𝐌𝐄𝐍𝐓𝐎𝐒 𝐒𝐔𝐂𝐄𝐒𝐈𝐕𝐎𝐒
AUMENTO SUCESIVO-MONTO FINAL=DESCUENTO FINAL
MONTO INICIAL =100%
AUMENTO SUCESIVO-MONTO FINAL
168%-100%=68% AUMENTO FINAL
𝑂𝐽𝑂 𝑒𝑙 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑠í𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 %
𝑂𝐽𝑂 𝑒𝑙 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑠í𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 %

80
VARIACIÓN PORCENTUAL
Se denomina así al cambio que experimenta una cantidad con relación a su
valor original y que es expresado en tanto por ciento
NOTA:
▪ Siempre al total se considera 100%
▪ Si una cantidad sufre un aumento del x%, entonces resultará al final (100+x)%
▪ Si una cantidad sufre un descuento del x% entonces al final tendremos (100-
x)%
Ejemplos:
1. Si un número aumenta en 20% ¿En qué tanto por ciento aumenta
su cuadrado?
SOLUCIÓN
 Un número “x” equivale al 100%
Al 100% se le aumenta un 20%
 100%+20%=120%
El cuadrado de 120%
(
𝟏𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
)
𝟐
= (
𝟏𝟒𝟒𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
) =
𝟏𝟒𝟒
𝟏𝟎𝟎
= 𝟏𝟒𝟒%
∴ 𝟏𝟒𝟒% − 𝟏𝟎𝟎% = 𝟒𝟒%
𝑬𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒂𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒆𝒏 𝒖𝒏 𝟒𝟒%
TANTO POR CIENTO
En la regla de porcentajes los considerandos se hacen en función a una base 100, pero
si en lugar de 100, se refiere a otro número cualquiera, se tiene la regla del tanto por
cuánto.
EJEMPLO:
Hallar el 4 por 7 del 5 por 3 de 168
4
7
×
5
3
× 168 = 160
OBSERVACIÓN: Las palabra POR y DEL significan

81
POR (división)
DE o DEL (multiplicación)
EJEMPLO:
El 5 por 6 de 120, sería
5
6
× 120
1. ¿ 𝐶𝑢á𝑙 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑢𝑦𝑜 10% 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠
2
3
𝑑𝑒 𝑠𝑢 21%
𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑙 20% 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠
3
10
𝑑𝑒 7?
Solución:
10
100
×
2
3
×
21
100
𝑁 =
20
100
×
3
10
× 7
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑟í𝑎 𝑁 = 30
2. ¿A qué descuento único equivalen tres descuentos sucesivos del
20%, 50% y 10%?
Solución:
100-20%=80% 100-50%=50% 100%-10%=90%
Multiplicamos
80
100
×
50
100
× 90% = 36%
𝑚𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑣𝑜 = 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
100% − 36% = 64%

82
1. Un concesionario tiene 120 coches,
el 35% de ellos son blancos y el 5%
rojos. ¿Cuántos coches de cada
color hay?
a) 42 y 6 b) 40 y 50
c) 16 y 40 d) 16 y 42
e) 16 y 44
2. De los 684 lanzamientos que realizó
Alberto, falló 513. ¿Qué porcentaje de
lanzamientos fallidos tiene Alberto?
a) 76% b) 92%
c) 84% d) 89%
e) 75%
3. Lara acertó el 85% de las preguntas
del test de inglés. Si el test tenía un
total de 160 preguntas, ¿en cuántas
preguntas no acertó?
a) 26 b) 24
c) 34 d) 22
e) 32
4. El 18% de los árboles del jardín de la
plaza mayor son almendros y el resto
son naranjos. Si en la plaza 45
almendros, ¿cuánto árboles hay en
total en la plaza?
a) 253 b) 454
c) 322 d) 250
e) 120
5. El sueldo mensual de Jonatan es de
1000$ y si le ascienden al rango
máximo de la empresa, su sueldo
aumentaría un 35%. ¿Cuál sería el
sueldo mensual de Jonatan si es
ascendido?
a) 1350 b) 1645
c) 1500 d) 1320
e) 1220
6. Según un estudio de 2017, en
España, 4 de cada 10 hogares tienen
alguna mascota. ¿Qué porcentaje de
hogares españoles tienen mascota?
En una población con 1600 hogares,
¿cuántos tienen mascota?
a) 260 b) 524
c) 640 d) 822
e) 320
7. Calcular los siguientes porcentajes:
• El 25% de 136.
• El 0.5% de 6800.
• El 50% 340.
a) 34,34 y 170 b) 52,54 y 74
c) 120,35 y 70 d) 82,24 y 172
e) 32,36 y 82
8. En una tienda deportiva hay balones
blancos (40%) y balones
multicolores (60%). Si hay 600
balones blancos, ¿cuántos hay en
total?
a) 1570 b) 1500
c) 1640 d) 1820
TAREA ACADÉMICA

83
e) 2320
9. El 25% de los videojuegos de Mario
son de acción, el 40% son de
estrategia y el resto son de deportes.
Si Mario tiene 70 videojuegos de
deportes, ¿cuántos tiene de acción?
a) 52 b) 15
c) 50 d) 18
e) 23
10. ¿30 es el 20% de qué número?
a) 520 b) 150
c) 600 d) 620
e) 230
11. Si al precio de una grabadora que
cuesta 300 soles se le hace dos
descuentos sucesivos del 20% y
10%, ¿Cuál será su nuevo precio?
a) 260 b) 524
c) 640 d) 216
e) 320
12. Hallar el Descuento único de dos
descuentos sucesivos de 28% y
30%
a) 49,6% b) 52,4%
c) 64,2% d) 21,6%
e) 32,3%
13. Se tienen 3 descuentos
sucesivos de 20%, 50% y 10%.
¿Cuál es el Descuento Único?
a) 64% b) 52,6%
c) 64,2% d) 23,6%
e) 32%
14. Si se tienen 3 descuentos
sucesivos de 20%, 30% y 40%.
¿Cuál es el Descuento Único?
a) 52,0% b) 15,2%
c) 66,4% d) 62,5%
e) 23,2%
15. Una Tablet cuesta 100 soles,
pero por los gastos de transporte
se le hacen los aumentos
sucesivos de 40% y luego de
20% ¿Cuál será su nuevo precio?
a) 168 b) 150
c) 600 d) 620
e) 230
16. Tres descuentos sucesivos del
20%,30% y 50% equivalen a un
descuento único de:
a) 53% b) 72% c) 62%
d) 45% e) 82%
17. Se hace los descuentos sucesivos
del 20%,60%,50% y 50%. Halla el
descuento equivalente?
a) 92% b) 24% c) 18%
d) 80% e) 75%
18. El área de un rectángulo se
disminuye un 30% y resulta 350
cm2 ¿Cuál era el área original?
a) 250 cm2 b) 420 cm2
c) 500cm2 d) 699 cm2
e) 700 cm2
19. Actualmente Carlos tienen x años,
dentro de 5 años su edad habrá
aumentado en 20% ¿Cuál es su
edad actual?
a) 10 años b) 15 años
c) 20 años d) 25 años
e) 30 años
20. Hace 1 mes el kg. de azúcar
costaba S/5; actualmente cuesta

84
S/. 7 ¿En qué porcentaje ha
aumentado el precio del azúcar?
a) 4% b) 20% c) 30%
d) 40% e) 50%
21. En una reunión se encuentran 20
hombre adultos, 30 mujeres adultas
y 75 niños ¿Qué porcentaje de los
reunidos no son niños?
a) 40% b) 50% c) 10%
d) 20% e) 30%
22. Un balde lleno de agua pesa 5kg.
Cuándo se extrae la mitad del
agua, el peso inicial queda reducido
en un 40% ¿Cuál es la capacidad
del balde?
a) 2 lt b) 4 lt c) 3 lt
d) 1 lt e) 5 lt
23. Un automóvil demora normalmente
un cierto tiempo para llegar de A a
B pero llegarían en 2 horas menos
si variase su velocidad en un 40%
¿Cuánto tarda ese automóvil en
llegar normalmente de A a B?
a) 4hr b) 5hr c) 6hr
d) 7hr e) 8hr
24. Un empleado gana 30% más de lo
que gana su ayudante. El sueldo
del empleado aumenta en 40% y el
de su ayudante en 20% Luego de
estos aumentos el sueldo de
ambos suman S/ 9060 ¿Cuál era el
sueldo del ayudante antes del
aumento?
a) S/ 200 b) S/ 2000
c) S/ 3000 d) S/ 2300
e) S/ 3200
25. En una reunión de 150 personas,
las mujeres constituyen el 60% de
los presentes ¿Cuántas parejas
deben llegar a esta reunión, para
que el número de hombre
constituyan el 45% de todos los
asistentes?
a) 50 b) 65 c) 70
d) 75 e) 80

85
CAPÍTULO N° 7
Definición
➢ Exponente
➢ Base
➢ Potencia
Leyes de Exponentes
➢ Multiplicación de bases iguales.
➢ Multiplicación de bases diferentes con igual exponente.
➢ División de bases iguales.
➢ División de bases diferentes con igual exponente.
➢ Potencia de potencia.
➢ Exponente negativo.
➢ Exponente cero.
➢ Raía de una potencia.
➢ Raíz de raíz.
Ecuaciones Exponenciales
➢ Propiedades.
Ejercicios Resueltos
Tarea Académica
TEORÍA DE EXPONENTES

86
TEORÍA DE EXPONENTES
1. DEFINICIÓN
Es un conjunto de fórmulas que relaciona a los exponentes de las expresiones
algebraicas de un sólo término cuando entre estas expresiones se realizan
operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación.
1.1. EXPONENTE
Es el número pequeño que se coloca en la parte superior derecha de la base
e indica las veces que se debe multiplicar dicha base por sí misma.
1.2. BASE
Es el número que se repite como factor.
1.3. POTENCIA
Es el resultado obtenido al tomar la base como factor.
Ejemplo:
En general:
an = a x a x a x a x a x....x a
n-veces
2. LEYES DE EXPONENTES
Son:
A). Multiplicación de bases iguales:
; m ; n  R
B). Multiplicación de bases diferentes con igual exponente:
am
.an
= am+n
Exponente
= 2 x 2 x 2 = 8
base potencia

87
; m  R
C). División de bases iguales:
𝑎𝑚
𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
a  0  m, n  R
D). División de bases diferentes con igual exponente:
b  0  m  R
E). Potencia de potencia:
m ; n  R
F). Exponente negativo:
a  0  b  0
Nota: n
n
a
a
1
=
−
G). Exponente cero (a0):
am
.bm
= (a.b)m
m
m
b
a
=
m
b
a






(am
)n
= am.n
n
n
a
b
b
a






=





 −
a0
= 1

88
Nota: 00 es indeterminado
H). Raíz de una potencia:
√𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛 m , n  R / n  0
I). Raíz de una raíz:
√ √𝑎
𝑛
𝑚
= √𝑎
𝑚.𝑛
Observación:
A =
2
7
0
5
2
ECUACIONES EXPONENCIALES
PROPIEDADES
1. Si: ax = an → x = n  a > 0 ; a  1
2. Si: xx = nn → x = n
Se comienza
a desarrollar
los dos

89
1
1. Calcula el valor de P : P =
( )
4
0
2
7
5














Solución:
0
4
0
2
7
5
5 =
= x
x
x
P → P = 1
2. Efectúa : A =
2
7
0
5
2
Solución:
2
7
0
5
2
=
A → A = 21 = 2
3. Resuelve : J = (912 x 98)  918
Solución:
J = (912 x 98)  918
J = 920 918 → J = 92
J = 81
4. Resuelve:
5
3 1
x
2 




 +
= 32
Solución:
( ) 3
5
1
x
2 +
= 25 3
1
x
2
+
= 21
3
1
x +
=1 → x = 2

90
5. Simplifica: 3
64
Solución:
6 6
6
3
2
64
64 =
= = 2
6. Resuelve:
3
2
27
Solución:
  9
3
27
27 2
2
3
3
2
=
=
=
7. Efectúa: 161/4 + (-32)2/5 + (81)3/4
Solución:
4 3
5 2
4 81
)
32
(
16 +
−
+
2 + (-2)2 + (3)3 → 2 + 4 + 27 = 33
8. Efectúa :
4
9
6
27
8
4
9
3
2


















Solución:
4
3
4
3
9
2
9
2
6
6
)
3
(
)
2
(
.
)
2
(
)
3
(
.
3
2
12
12
18
18
6
6
3
2
.
2
3
.
3
2
=
1
2
3
3
2
18
18
18
18
=
x
x
9. Resuelve:
5
3 5 6






x
Solución:
( ) =
5
6
5
3 6
x
x
x x
x =
30 30
10.Reduce : M =
2
3
3
3
3
32
4
.
.
.
.
4
.
4
.
4 −
15 factores
Solución:
M =
15
3
4 - 322 = 415/3 – 322 = 45 - 322
M = (25)2 - 322 = 322 – 322
M = 0

91
1. Reduce:
( ) ( )
( )
( )5
2
2
2
2
2
2
x
x
x 
a) x3 b) x2 c) x d) 1 e) 0
2. Evalúa :
1
5
1
2
2
2 2
4
2 −
+
a) 0 b) 32 c) 16 d) 14 e) 1
3. Reduce:
( )
  26
3
5
7
11
4
4
4
4 


a) 7 b) 2 c) 4 d) 16 e) 64
4. Reduce :
120
3 5 5
,
0
x 





a) x b) x2 c) x4 d) x5 e) x3
5. Efectúa :
2
5
0
7
2
2
3
a) 3 b) 9 c) 27 d) 81 e) 243
NIVEL II
6. Halla :
1
2
4
16
E
−
−
−
=
a) ½ b) ¼ c) 4 d) 2 e) -4
7. Reduce : 10
4
5
3
2
9
6
12


a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
8. Reduce :
veces)
61
.....(
x
x
x
)
veces
31
......(
x
x
x
4
4
4
a) x b) 4
x c) 3 2
x d) x61 e) x
9. Simplifica :
3
2
2
/
1
)
x
(
a) x3 b) x8 c) x4 d) x e)
x
10.Simplifica : ( ) 4
/
1
3
2
m
a) m3/2 b) m2 c) m4 d) m2 e) m
11. 40
10
5
4
81
9
.
9
.
9
es igual a:
a) 1 b) ½ c) 1/3 d) 2 e) 3
12. 6
3
4
5
20
a
a
a
a
.
a
es igual a:
a) 2
a
a
b) a-1/2 c) a d) 1 e)
1/a
13.
8
a - a + 2 es igual a:
a) aa b) 2aa c) 2 d) 2a
e) a2
14.
2
2
3 2
4
16
64 +
+
TAREA ACADÉMICA
E.A.P. ____________________________________Fecha de entrega: ___/___/___
Apellidos y Nombres: ______________________________________ Grupo: ______

92
es igual a:
a) 6 b) 8 c) 2 d) 4 e) 20
15.Resuelve :
2
2
4
3 −
−
+
a) 1 b) 5/12 c) 1/3 d) 2 e) 5/24
16.Simplifica, e indica el exponente de
“x”,
( ) ( )
( )8
7
20
6
5
4
2
x
x
.
x
.
x
a) 1 b) ½ c) 1/3 d) 2 e) 3
17. Calcula el valor de “R” en:
3
2
3
.
3
1
R 6
7
+






=
a) 1b) ½ c) 1/3 d) 2 e) 3
18. Resuelve: 









veces
15
veces
18
.......
x
.
x
.
x
........
x
.
x
.
x
a) 1 b) x c) x4 d) x2 e) x3
19. Simplifica :
( )
( )
( )
( )2
2
34
7
5
4
2
2
a) 6 b) 8 c) 2 d) 4 e)
20
20. Resuelve :
( )
( )
( )10
21
2
11
3
6
5
4
3
2
2
.
2
2
.
2 





a) 6 b) 28 c) 32 d) 64 e)
16
21. Resuelve:
3
x
2
8
1
x
7
2
4
2
+
−
=
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e)
12
22. Resuelve:
2
x
5
1
x
3
2
x
27
8
4
9
3
2
+
−
−
−






=












a) 2 b) 3/5 c) 2/3 d) 5/3 e)
1/5
23. Calcula:
x
2
x
1
x
2
x
3
x
2
2
2
2
2
+
−
+
+
+
+
+
a) 2 b) 4 c) 0,5 d) 0,25 e)
8
24. Reduce:
3 4 2
4
3
2
2
y
x
y
x
y
x
a) x b) xy2/3 c) y d) xy5/3 e)
y2/3
25.Efectúa:
1
3
1
1
2
1
1
2
1
5
1
13
1
7
−





 −
−





 −
−












+






+
a) 49 b) 7 c) 343 d) 21
e) 8

93
CAPÍTULO N° 8
Productos Notables
Grado del Producto
Término Independiente
Propiedades
➢ Cuadrado de un binomio.
➢ Cubo de un binomio
➢ Diferencia de cuadrados
➢ Suma y diferencia de cubos
➢ Multiplicación de binomios con término común
➢ Cuadrado de un trinomio
➢ Cubo de un trinomio
Identidades
➢ Identidad de Legendre
➢ Identidad de Lagrange
➢ Identidad de Gauss
➢ Identidad de Argand
Igualdades condicionales
➢ Propiedades.
Ejercicios Resueltos
Tarea Académica
PRODUCTOS NOTABLES

94
PRODUCTOS NOTABLES
Son multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede obtenerse en
forma inmediata sin recurrir a los procesos convencionales.
GRADO DEL PRODUCTO
El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores, en efecto:
Ejemplo.
Halla el grado de P(x). Si: P(x) = (x4+ 3) (x6–2x–3) (x3 – 4)
Solución:
Observemos que el grado en cada paréntesis es:
P(x) = (x4 + 3) (x6 – 2x – 3) (x3 – 4)
Gº = 4 Gº = 6 Gº = 3
 Gº [P (x)] = 4 + 6 + 3 = 13
TÉRMINO INDEPENDIENTE
El término independiente del producto es igual al producto de los términos
independientes de los factores, es decir:
T.I.= producto de los T.I., de cada factor
Ejemplo
Hallar el término independiente de P(x) en: P(x) = (x3 – x + 2) (x4 – x – 6) (x7 – 3)
Solución
El término independiente en cada paréntesis es:
P(x) = (x3 – x + 2) (x4 – x –6) (x7 – 3)
T.I = 2 T.I = -6 T.I = -3
 T.I. [ P(x)] = (2) (-6) (-3) = 36
PROPIEDADES
Gºproducto =  Gºfactores
T.I.(producto) = (T.I.(factores)

95
1. CUADRADO DEL BINOMIO
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Ejemplo
 (x + 1)2 = x2 + 2x(1) + 12
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1
 (m – 7 )2 = m2 - 2m(7) + 72
(m – 7 )2 = m2 - 14m + 49
2. CUBO DEL BINOMIO
• (a + b)3 = a3 + 3a2 b +3 ab2 + b3
• (a - b)3 = a3 - 3a2 b +3 ab2 - b3
Estas mismas fórmulas se pueden expresar bajo las formas:
• (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)
• (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab (a - b)
Ejemplo
 (x + 2m)3 = x3 + 3x2(2m) + 3x(2m)2 + (2m)3
(x + 2m)3 = x3 + 6mx2 + 3x(4m2) + 8m3
(x + 2m)3 = x3 + 6mx2 + 12m2x + 8m3
3. DIFERENCIA DE CUADRADOS
• (a + b) (a – b) = a2 – b2
Ejemplo
 (x + 5) (x – 5) = x2 - 52
(x + 5) (x – 5) = x2 - 25
4. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
• (a + b) (a2 – ab + b2) = a3+ b3
• (a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3
Ejemplo
 (x + 1) (x2 – x (1) + 12) = x3 + 1
 (x - 1) (x2 + x (1) + 12) = x3 – 1
5. MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO EN COMÚN.

96
• (x +a) (x + b) = x2 + (a +b) x + ab
• (x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + ac + bc) x + abc
Ejemplo
 (x + 4) (x - 7) = x2 - 3x - 28
 (x + 3) (x + 2) (x + 4) = x3+ (3 + 2 + 4) x2 + (6 + 12 + 8) x + 2(3)(4)
= x3 + 9x2 + 26x + 24
6. CUADRADO DEL TRINOMIO
• (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Ejemplo
 (x + y + 2)2 = x2 + y2 + 22 + 2(x)(y) + 2(x)(2) + 2(y)(2)
= x2 + y2 + 22 + 2xy + 4x + 4y
7. CUBO DEL TRINOMIO
Forma 1:
• (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a + b) (a + c) (b + c)
Forma 2:
• (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3 b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc
Ejemplo
 (a + m + n)3 = a3 + m3 + n3 + 3 (a + m) (a + n) (m + n)
IDENTIDADES
Son expresiones algebraicas que nos permite efectuar operaciones por simple
inspección, entre las de mayor importancia, tenemos:
1. IDENTIDADES DE LEGENDRE
• (a+b)2 + (a – b)2 = 2 (a2 + b2)
• (a+b)2 - (a – b)2 = 4 ab
Ejemplo
 (a+4)2 + (a – 4)2 = 2 (a2 + 42)
= 2(a2 + 16)
= 2 a2 + 32
 (a+7)2 - (a – 7)2 = 4(a)(7)
= 28ª

97
2. IDENTIDADES DE LAGRANGE
• (ax + by)2 + (ay – bx)2 = (a2 + b2) (x2 + y2)
• (ax + by + cz)2 + (ay – bx)2 + (az – cx)2 + (bz - cy)2 = (a2+b2+ c2) (x2 + y2 +z2)
Ejemplo
 (4x + 5y)2 + (4y – 5x)2 = (42 + 52) (x2 + y2)
= (16 + 25) (x2 + y2)
= 31(x2 + y2)
= 31x2 + 31y2
3. IDENTIDADES DE GAUSS:
• (a + b + c) (a2+ b2 + c2-ab-ac-bc) = a3 + b3 + c3 – 3abc
•
2
1
(a + b + c) [(a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2] = a3 + b3+ c3 – 3abc
Ejemplo
 (m + n + p) (m2+ n2 + p2-mn-mp-np) = m3 + n3 + p3 – 3mnp
4. IDENTIDADES DE ARGAND
• (x2 + xy +y2) (x2 – xy + y2) = x4 + x2 y2 + y4
• (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
Ejemplo
 (22 + 2y +y2) (22 – 2y + y2) = 24 + 22 y2 + y4
= 16 + 4 y2 + y4
IGUALDADES CONDICIONALES
PRIMERO:
Si: a + b + c = 0; se verifica que:
• a2 + b2 + c2 = - 2 (ab + ac + bc)
• a2b2 + a2c2 + b2c2 = (ab+ ac + bc)2
• a3 + b3 + c3 = 3abc
• 






 +
+
2
c
b
a 2
2
2







 +
+
3
c
b
a 3
3
3
=
5
c
b
a 5
5
5
+
+
• 






 +
+
2
c
b
a 2
2
2







 +
+
5
c
b
a 5
5
5
=
7
c
b
a 7
7
7
+
+

98
SEGUNDO:
Si: a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc
 a = b = c
TERCERO:
Si :
y
x
4
y
1
x
1
+
=
+  x = y
Ejemplo
 Si: a + b + c = 0, calcular:
E =
bc
ac
ab
c
b
a 2
2
2
+
+
+
+
)
bc
ac
ab
(
)
bc
ac
ab
(
2
E
+
+
+
+
−
=
Simplificando
E = - 2
1. Resolver:
k = (-11 – y)2
k = (-11)2 + 2(-11)(-y) + (-y)2
k = 121 + 22y + y2
2. Resolver:
(x - 2)3 = x3 – 3x2(2) + 3x(2)2 - 23
= x3 – 6x2 + 12x – 8
3. Resolver:
(2x + 5) (2x – 5)
(2x)2 – 52 = 4x2 – 25
4. Resolver:
(x - 1) (x2 + x + 1) – (x + 1) (x2 – x + 1)
(x3 – 13) - (x3 + 13)
 x3 – 1 – x3 – 1
 - 2

99
5. Si a + b = 5 ; ab = 4
Calcula: a2 + b2
Solución:
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
52 = a2 + b2 + 2(4)
25 – 8 = a2 + b2
17 = a2 + b2
6. Efectúa: E = (x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
Solución:
E = (x2-1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
= (x4-1)(x4+1)(x8+1)
= (x8 – 1)(x8 + 1)
= x16 – 1
7. Si: a + b = 4 ; a.b = 3
Halla: a3 + b3
Solución:
(a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) +b3
43 = a3 + 3(3)(4) + b3
64 = a3 + b3 + 36
28 = a3 + b3
8. Simplifica:
3 )
6
2
)(
2
6
(
5
)
2
3
)(
2
3
( −
+
+
+
−
Solución
3 [(√3)
2
− (√2)
2
] + 5 [(√2)
2
− (√6)
2
]
3(3 − 2) + 5(2 − 6)
3(1) + 5(−4)
3 − 20 = −17

100
9. Efectúa:
(x + 1) (x + 2) - (x + 3)2 + (x - 3)2 - (x - 4) (x - 5)
Solución
𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟐 − (𝒙𝟐
+ 𝟔𝒙 + 𝟗) + (𝒙𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟗) − (𝒙𝟐
− 𝟗𝒙 + 𝟐𝟎)
𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟐 − 𝒙𝟐
− 𝟔𝒙 − 𝟗 + 𝒙𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟗 − 𝒙𝟐
+ 𝟗𝒙 − 𝟐𝟎
= −𝟏𝟖
10.Efectúa:
(5x + 4) (4x + 5) – 20 (x + 1)2
Solución:
𝟐𝟎𝒙𝟐
+ 𝟐𝟓𝒙 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟐𝟎 − 𝟐𝟎(𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟏)
𝟐𝟎𝒙𝟐
+ 𝟒𝟏𝒙 + 𝟐𝟎 − 𝟐𝟎𝒙𝟐
− 𝟒𝟎𝒙 − 𝟐𝟎
= 𝒙
NIVEL I
1. Si: a + b = 5 ; ab = 2
Calcular: a2 + b2
a) 21 b) 17 c) 5 17 d) 17 e) 25
2. Sabiendo que: x + y = 8 ; xy = 4
Halla el valor de: P = x2 + y2
a) 3 2 b) 2 2 c) 52 d) 4 3 e) 56
3. Halla el equivalente de:
A = (a-1) (a+1) (a2+1) (a4+1) + 1
a) 1 b) a c) a8 d) a4 e) -1
4. Reduce:
(x + y) (x – y) (x2 + y2) + y4
a) 0 b) x2 c) x4 d) xy e) y2
5. Efectuar:
(x + 2)2 – 2(x + 1)2 + x2
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
NIVEL II
6. Efectúa:
(t + 2) (t2 - 2t + 4) - (t - 2) (t2 + 2t + 4)
a) 8 b) 10 c) 16 d) 20 e) 24
7. Efectúa:
TAREA ACADÉMICA
E.A.P. ____________________________________Fecha de entrega: ___/___/___
Apellidos y Nombres: ______________________________________ Grupo: ______

102
(x + 1)3 + (x – 1)3 – 2x3
a) 2x b) 3x c) 4x d) 5x e) 6x
8. Efectuar:
(x2 – 4x + 16) (x + 4) – x3
a) 66 b) 16 c) 32 d) 44 e) 64
9. Reduce:
(x + 3)2 - (x + 2)2 + (x + 4)2 - (x + 5)2
a) – 4 b) –3 c) –2 d) –1 e) 0
10.Calcula la diferencia entre:
2 )
1
2
)(
1
2
(
3
)
1
3
)(
1
3
( −
+
+
−
+ y
3 )
1
2
)(
1
2
(
2
)
1
3
)(
1
3
( −
+
+
−
+
a) –1 b) 2 c) -5 d) –6 e) –7
11.Efectúa:
(x + 8) (x + 4) - (x + 4) (x + 5)–3(4x - 3) + 9x
a) 18 b) 20 c) 21 d) 23 e) 25
12.Efectúa:
(2x-1) (2x+1) (4x2+1) (16x4+1) + 1- 256x8
a) 5 b) 3 c) 1 d) 0 e) -1
13.Siendo:
3
2
3
2 −
+
+
=
X
Hallar: x2
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
14.Resolver:
2 8
4
2 )
1
2
)(
1
2
)(
1
2
(
3
1

+
+
+
+
a) 2 b) 2 c) 1 d) 4 e) 8
15.Simplifica: ( ) ( )2
2
2
7
2
7 −
−
+
a) 7
2 b) 2
2 c) 14
2 d) 14
4 e) 14
16.Efectuar:
2
3
2
3
2
3
2
3
+
−
+
−
+
a) 2 b) 6 c) 10 d) 12 e) 15
17.Simplificar:
( )( )( ) 12
6
6
4
2
2
4
2
2
b
b
a
b
b
a
a
b
a
Q +
+
+
+
−
=
a) a b) a2 c) a4 d) a6 e) a8
18. Simplificar:
( ) ( )
1
x
3
1
x
3
1
x
3
2
2
2
+
−
+
+
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
19. Si se cumple que: a2 +b2 = 3ab.
Reducir:
( ) ( )
( ) ( )2
2
2
2
b
a
b
a
b
a
b
a
−
+
+
−
−
+
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6
20. Reducir:
( )( )( )
8 8
4
4
2
2
3
3
5
3
5
3
5
2 +
+
+
+
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5
21. Reducir:
(𝑥 − 2)4
− (𝑥2
− 4𝑥 − 4)2
− 4𝑥(𝑥 − 4)
− 12𝑥2
a)-8x b)-16x c)-24x d)-36x e)-48x

103
22. Si: m=1998 ; n= √2
Calcular:
(√𝑚√𝑚 + √𝑚3 − 𝑛6
3
) (√𝑚√𝑚 − √𝑚3 − 𝑛6
3
)
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32
23. Reducir:
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)2
+ (𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑑)2
+
2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)(𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑑) − 3𝑎2
a) a b) a2 c) a4 d) a6 e) a8
24. Si se cumple que:
𝑥+𝑦
𝑧
= −1
Hallar:
𝑥2
𝑦𝑧
+
𝑦2
𝑥𝑧
+
𝑧2
𝑥𝑦
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
25. Si: 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑥2
= 16
Reducir:
(𝑎 + 𝑏 + 𝑥)2
+ (𝑎 + 𝑏 − 𝑥)2
+
(𝑥 + 𝑎 − 𝑏)2
+ (𝑥 − 𝑎 + 𝑏)2
a) 2 b) 4 c) 8 d) 32 e) 64

104
CAPÍTULO N° 9
CONTENIDO
➢ División de Polinomios
➢ Elementos de una División
➢ Cociente Exacto e Inexacto
➢ Casos de la División
• Para el caso de dos monomios
• Para el caso de dos polinomios
➢ División por Horner
➢ División por Ruffini
➢ Teorema del Resto
DIVISIÓN DE POLINÓMIOS

105
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Es la operación inversa a la multiplicación que tiene por objeto hallar una
expresión algebraica llamado cociente; obtenida de otras dos expresiones
algebraicas llamadas dividendo y divisor.
ELEMENTOS DE UNA DIVISIÓN
Dividendo .............. : D
Divisor .............. : d
Cociente ............. : Q
Resto o Residuo ............. : R
COCIENTE EXACTO (R  0)
El resto de la división es un polinomio idénticamente nulo.
D = d Q ó
d
D
= Q
COCIENTE INEXACTO (R  0)
El resto de la división es un polinomio no nulo.
D = d.Q + R ó
d
D
= Q +
d
R
• En toda división algebraica el grado del cociente es igual al grado del
dividendo menos el grado del divisor.
Qº = Dº - dº
• En toda división algebraica el grado del residuo máximo ( es la sustracción
del dividendo menos uno); es una unidad menos que el grado del divisor.
Rº max = dº - 1
• En toda división algebraica el término independiente del dividendo es igual
al producto de los términos independientes del divisor por el cociente más
el termino independiente del residuo.
T.ID = T.Id x T.IQ+ T.IR
• Cuando se dividen polinomios homogéneos, el cociente y residuo,
también son homogéneos, pero el grado absoluto del residuo es igual al
grado absoluto del dividendo.
G.A. (R) = G.A. (D)

106
CASOS DE LA DIVISIÓN
1. PARA EL CASO DE DOS MONOMIOS
• Se dividen los signos de acuerdo a la regla de los signos
+
+
= +
−
+
= -
−
−
= +
+
−
= -
• Se dividen los coeficientes
• Se dividen las letras aplicando las leyes de exponentes
a)
n
m
n
m
a
a
a −
= b)
m
m
m
b
a
b
a








=
2. PARA EL CASO DE DOS POLINOMIOS
Podemos utilizar cualquiera de los siguientes métodos:
a) Método general o normal
b) Método de los coeficientes indeterminados.
c) Método de Horner
d) Regla de Ruffini
OBSERVACIÓN
En la división de dos polinomios estos deben ser completos y ordenados en
forma descendente, con respecto a una letra llamada ordenatriz; si faltase alguna
variable, ya sea en el dividendo o en el divisor, se completarán con ceros.
DIVISIÓN POR HORNER
Este método es aplicable para polinomios completos y ordenados en
forma descendente, con respecto a una de sus letras, llamada ordenatriz. Así
tenemos:
ESQUEMA DE HORNER
A continuación aplicamos los siguientes pasos:
1. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor,
obteniendo el primer término del cociente.
2. El primer término del cociente multiplica a los términos con signo cambiado
del divisor y el producto se escribe en la segunda fila debajo de los términos
de dividendo corriendo un lugar a la derecha.
3. Se reduce la siguiente columna y el resultado se divide entre el primer
término del divisor obteniendo el segundo término del cociente el cual
multiplica a los términos cambiados del divisor. El producto resultante se

107
escribe en la tercera fila, debajo de los términos del dividendo corriendo un
lugar a la derecha.
4. Se continúa este procedimiento hasta obtener un término debajo del último
término del dividendo.
5. Los coeficientes del resto o residuo, se obtienen directamente de cada una
de las columnas que le pertenecen.
ESQUEMA GENERAL DE HORNER
Dónde:
 1: Dividendo
 2: Divisor
 3: Cociente  Q(x)
 4: Residuo  R(x)
Ejemplo
1. Halla el residuo en:
1
x
2
x
2
x
7
x
6
x
4
x
2
2
3
4
+
+
+
−
+
+
1 1 4 6 -7 2
-2 -2 -1
-1 2 -4 - 2
1 - 2 -1
1 2 1 -11 +1
→ Q(x) = x2 + 2x + 1
R(x) = 1 – 11x
2. Divide :
1
x
2
x
3
b
x
)
2
a
(
x
6
x
4
x
2
2
3
4
+
+
+
+
+
−
+
−
LÍNEA DIVISORA
3 4
2
1

108
Halla (a + b) si la división deja por resto 27x-11
1 1 - 4 6 - (a+2) b+3
-2 - 2 -1
-1 - 6 12 6
17 - 34 - 17
1 - 6 17 27 - 11
→ - (a + 2) + 6 - 34 = 27
- a - 2 + 6 – 34 = 27
-a – 30 = 27
a = - 57
→b + 3 – 17 = -11
b – 14 = -11
b = 3
Por lo tanto : a + b = -57 + 3
a + b = - 54
3. Luego de dividir :
( )
1
x
x
3
x
x
x
2
x
3
3
4
5
6
+
−
+
+
+
+
. Se obtiene :
1
x
x
3
x
x
2
x
2
x
3
3
4
5
6
+
−
+
+
+
+
1
x
x
0
x
3
x
2
x
0
x
0
x
x
2
x
3
2
3
2
3
4
5
6
+
−
+
+
+
+
+
+
+
1 3 2 1 0 0 2 3
0 0 3 -3
1 0 2 -2
-1 0 4 -4
0 -1 1
3 2 4 -1 2 -3 4
→ Q(x) = 3x3 + 2x2 + 4x – 1
R(x) = 2x3 – 3x + 4

109
CÁLCULO DE COEFICIENTES EN EL DIVIDENDO O EN EL DIVISOR
En la solución de estos problemas debemos tener en cuenta las siguientes
reglas:
PRIMERO
Dos polinomios son divisibles, o uno de ellos es múltiplo de otro, o nos dicen que
la división entre ellos es exacta; cuando el resto o residuo de la división es un
polinomio nulo.
SEGUNDO
Si en una división nos dan como dato el resto, entonces el resto obtenido por
Horner y el resto que es dato son polinomios idénticos.
TERCERO
En toda división exacta los coeficientes del dividendo y del divisor se pueden
escribir en sentido contrario y al efectuar la división esta sigue siendo exacta.
Ejemplo
Calcula el valor de “a” y “b” en la división exacta:
2
x
x
b
ax
x
x
2
2
3
4
−
−
−
+
−
Por Horner tendríamos:
 1 2 - 1 + 0 + a - b
1 2 + 4
1 1 + 2
5
2 + 5 + 10
2 + 1 + 5 0 + 0
Aquí vemos que:
• a + 2 + 5 = 0  a = -7
• – b + 10 = 0  b = 10

110
DIVISIÓN POR RUFFINI
Este método es aplicable para divisores, binomios o transformables a binomios;
es un caso particular de la división por Horner. Se presentan dos casos:
PRIMER CASO: Cuando el denominador en un número real (R), se convierte en
una ecuación, para hallar divisor.
P(x)  x  b
Dividendo : P(x)
Divisor : x  b
ESQUEMA GENERAL DE RUFFINI
El primer elemento del dividendo se baja y corresponde al primer elemento del
cociente, se procede como en la división por Horner y el resultado de reducir la
última columna es el resto de la división.
Ejemplo:
Halla el coeficiente del término independiente del cociente de:
2
x
12
x
50
x
3 4
+
+
+
Por método Ruffini:
x + 2 = 0
x = -2
Luego:
3 0 0 50 12
-2 -6 12 -24 - 52
3 -6 12 26 - 40
T.I.Coef. = 26
Dividendo
Cociente
1 Lugar
Resto
x + b = 0
x = -b

111
SEGUNDO CASO: en este segundo caso el divisor es una fracción.
P(x)  ax  b
Dividendo : P (x)
Divisor : a x  b
Esquema de Ruffini
En este caso:
Ejemplo
Efectuar:
2
x
5
6
x
11
4x
-
x
15 2
3
+
+
+
Por Ruffini, se tendría:
5X +2 = 0 15 - 4 + 11 + 6
X =
5
2
− - 6 + 4 - 6
15 - 10 + 15 0
3
2
-
3
5
15
5
10
-
5
15
5
entre
cociente
el
divide
Se
+
=
+
Por lo tanto: Q(x) = 3x2 – 2x + 3 (cociente)
R (x) = 0 (residuo)
Resto
x =
ax  b = 0
C O C I E N T E
a

112
TEOREMA DEL RESTO
Este teorema es importante porque nos permite encontrar el resto de la división,
sin efectuarla.
ENUNCIADO
El resto de dividir un polinomio racional P(x) entre un divisor binomio de la forma
(a x  b) o cualquier otro divisor transformable a binomio; se obtiene al calcular
el valor numérico de P (
a
b
)
CASOS QUE PRESENTAN
PRIMER CASO:
b
ax
)
x
(
P

Reglas para determinar el Resto:
• Divisor igual a cero : a x  b = 0
• Hallamos el valor de x: x = 
a
b
• Reemplazamos el valor de “x” en el polinomio dividendo y el valor
obtenido es el resto de la división
Ejemplo:
Hallar el resto de la división:
1
x
6
x
7
x
5
x
3
x
2 4
5
9
+
+
−
+
−
Aplicando las reglas tendríamos:
• Divisor = 0 → x + 1 = 0
• Cálculo de x → x = -1
• Reemplazando en el dividendo;
x = -1, obtenemos:
R(x) = 2(-1)9 – 3(-1)5 + 5(-1)4 – 7(-1) + 6
Teniendo en cuenta que :
(-) Par
= +  (-) Impar
= -
Resto = -2 + 3 + 5 + 7 + 6
R(x) = 19

113
SEGUNDO CASO:
b
ax
)
x
(
P
n

; (n  2)
Reglas para determinar el resto:
• Divisor = 0 → axn  b = 0
• Cálculo de xn → xn =
a
b

• Reemplazamos el valor de xn en el polinomio dividendo y el valor
obtenido es el resto de la división:
Ejemplo
Halla el resto de la división:
2
x
2
x
3
x
5
x
2
x
2
2
3
5
+
−
+
−
+
Expresando el dividendo en función de “x2” se tendría:
2
x
2
x
3
)
x
(
5
x
)
x
(
2
x
)
x
(
2
2
2
2
2
+
−
+
−
+
Aplicando las reglas:
1º.- x2 + 2 = 0 → x2 = -2
2º.- Por consiguiente:
R(x) = (-2)2 x + 2 (-2) x – 5 (-2) + 3 x -2
R (x) = 4 x – 4 x + 10 + 3 x – 2
 R (x) = 3 x + 8

114
TAREA ACADÉMICA
Resuelve:
1).- Indica el cociente de:
x
1
x
x
2
3
x
3
x
x
2
3
6
4
5
−
+
+
+
+
+
a) x3-3x-1 b) 3x2+4x-1
c) 3x3+2x2+4x-1 d) 3x2+2x-1
e) x3+2x+1
2).- Al efectuar:
6
x
5
x
4
12
x
25
x
28
x
13
x
4
2
2
3
4
+
+
+
+
+
+
Indica su residuo:
a) –2x-6 b) –2x+6 c) x-2
d) 2x-6 e) 2x+6
3).- Halla “m” para que la división sea
exacta:
m
x
x
x
8
x
m
mx
2
2
2
2
4
−
−
−
−
a) 2 b) 4/3 c) -2
d) 1 e) N.A.
4).- Indica el residuo de la división:
1
x
3
x
5
x
x
2
x
3
x
2
2
3
4
+
−
−
+
+
−
a) –2 b) 4x c) -6
d) 4x-6 e) x2+1
5).- Indica la suma de coeficientes del
residuo de dividir:
1
x
2
x
1
x
3
x
2
x
5
x
4
2
2
3
4
−
−
−
+
−
−
a) 29 b) 11 c) 19
d) –27e) 21
6).- Divide:
1
x
21
x
3
x
6
x
5
x
2
2
3
4
+
+
+
−
−
Indica el término lineal del cociente
obtenido:
a) 2x b) –7x c) x
d) –2x e) –x
7).- Divide:
2
x
12
x
2
x
4 3
+
+
−
Indica el residuo:
a) 14 b) –16 c) -8
d) 6 e) 4
8).- Halla el término independiente
del cociente de:
x
3
1
x
2
x
4
x
10
x
6
2
3
4
+
+
−
−
+
a) 3 b) 4 c) –2
d) –6 e) 8
9).- Divide:
1
x
3
x
18
10
x
15
x
5
x
9 3
2
4
−
−
+
−
−
Indica el término cuadrático del
cociente:
a) –8x2 b) –12x2 c) 4x2
d) –4x2 e) x2
10).- Calcula el resto en:
1
x
1
x
x
3
x
x
x
2
2
5
7
8
12
+
−
−
+
+
+
a) 5 b) 3 c) x+2
d) x+1 e) x – 3

115
1
x
1
x
x
x
2
x
x
x
4
3
3
7
10
12
15
−
−
−
−
+
+
+
a) 2x+3 b) 2x – 3 c) 2x+1
d) 2x – 1 e) x+2
)
6
x
)(
2
x
(
21
)
7
x
)(
5
x
)(
3
x
)(
1
x
(
+
+
+
+
+
+
+
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
a
2
x
a
x
)
a
x
( 5
5
5
+
−
−
+
a) 34a5 b) 33 a5 c)
32a5
d) 31 a5 e) 30 a5
14).- Halla el resto en:
5
x
200
x
3
x
125
x
3
48
51
+
+
+
+
a) –135 b) –125 c) –175
d) 315 e) -375
15).- Halla el residuo de:
4
x
2
x
x
3
x
5
7
12
15
+
−
+
−
a) –25x2-33 b) 25x2-66
c) 5x2-66 d) –52x2-66 e) 66x2-33
16).- Halla el residuo en:
3
x
1
x
7
x
3
x
2
39
40
+
+
+
+
a) –62 b) 64 c) -69
d) –63 e) 62
3
x
9
x
4
)
4
x
(
)
5
x
2
( 23
64
+
−
−
+
+
+
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
( )( )( )
x x x x
x x
+ + + + +
+ +
1 2)( 3 4 10
5 7
2
a) 10 b) 12 c) 13
d) 15 e) 20
19).- Si el resto de la división:
1
x
3
x
3
b
ax
x
11
x
6
2
2
4
−
−
+
+
−
es R(x)  3x + 2, calcula “a – b”
a) 3 b) –2 c) 2
d) –1 e) 1
20).- Luego de dividir:
2
x
11
x
7
x
3
x
2
x
3 2
4
5
−
−
+
+
−
Proporciona el término independiente
del cociente.
a) 43 b) 49 c) 45
d) 46 e) 47
21).- Si el polinomio:
P(x)  x4 + 2x2 + bx + a
Es divisible por Q(x)  x2–x + 1,
calcula:
a + b
a) –2 b) 0 c) -1
d) 1 e) 2
22).- Si la división:
1
x
x
2
c
bx
ax
x
16
2
3
2
5
+
−
+
+
+
Es exacta, calcula: a + b + c
a) 10 b) 11 c) 12
d) 14 e) 17

116
23).- Calcula el resto luego de dividir:
2
3
4
4
14
31
20
12
2
2
3
4
5
+
−
+
−
+
−
−
x
x
x
x
x
x
x
a) 3x-2 b) 4x-3 c)
5x+2
d) 5x-2 e) 3x+3
24).- Halla la suma de los coeficientes
del residuo después de efectuar la
división:
3
2
4
5
1
6
2
3
2
)
x
(
x
x
x
x
−
+
−
+
−
a) 8 b) 6 c) 9
d) 16 e) 25
25).- Calcula (m + n + p) en la división
exacta:
6
2
3
14
9
12
3
2
3
4
5
−
+
−
+
−
+
−
x
x
p
nx
mx
x
x
x
a) 52 b) 34 c) 64
d) 39 e) 49
26).- Halla el resto de la división:
1
7
3
2 4
6
7
+
−
+
−
x
x
x
x
a) –3 b) –4 c) –5
d) –6 e) –7
27).- Indica el resto de:
1
x
5
1
x
7
x
9
x
8
x
15
2
3
4
−
+
+
−
−
a) 6 b) 4 c) 2
d) 8 e) 10
2
x
2
x
)
7
x
x
(
)
3
x
( 8
2
7
+
−
−
−
−
+
+
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 2
5
x
5
x
13
)
4
x
)(
3
x
)(
2
x
)(
1
x
(
2
+
+
+
+
+
+
+
a) 12 b) 6 c) 9
d) 16 e) 25
5
x
3
x
14
x
3
x
2
4
x
3
x
6
x
3
x
4
4
53
4
102
4
+
−
−





 −
−





 +
−
+





 +
−
a) -5 b) -3 c) -4
d) -9 e) -9
31).- Calcula el valor de “m” si el resto
de dividirse:
1
x
6
x
)
1
m
(
x
6 2
4
+
+
+
+
es 19
a) 5 b) 4 c) 6
d) 3 e) 2
32).- Calcula “a x b” en la división
exacta:
2
x
x
b
ax
x
x
2
2
3
4
−
−
−
+
−
a) 60 b) 70 c) –50
d) –60 e) –70

117
CAPÍTULO N° 10
CONTENIDO
➢ Definición
➢ Métodos para resolver Sistema de Ecuaciones Lineales
• Método de reducción
• Método de sustitución
• Método de igualación
➢ Clasificación de sistemas de ecuaciones
➢ Sistema Compatible
• Determinados
• indeterminados
➢ Sistemas Incompatibles, imposibles o Absurdos
SISTEMA DE ECUACIONES

118
SISTEMA DE ECUACIONES
DEFINICIÓN:
Un sistema de ecuaciones es una colección de dos o más ecuaciones,
cada una de las cuales contiene dos o más variables.
Así: a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Todo par de valores de x e y que satisfagan ambas ecuaciones
simultáneamente, constituye un sistema de4 ecuación lineal; por lo que recibe
el nombre de solución del sistema.
Por ejemplo, la solución del sistema:
x + y = 7
x – y = 3
los valores son: x= 5; y =2
MÉTODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODO DE REDUCCIÓN.
Cuando se pueden multiplicar las ecuaciones dadas por números, de
manera que los coeficientes de una de las variables en ambas ecuaciones sea
el mismo. Si los signos de los términos de igual coeficiente son distintos, se
restan las ecuaciones; en caso contrario, se suman. Consideremos el sistema:
(1) 2x – y = 4
(2) x + 2y = -3
Para eliminar “y” , se multiplica la Ecuación (1) por 2 y se suma con la ecuación
(2), obteniendo :
2 x (1): 4x – 2y = 8
(2): ... x + 2y = -3
5x = 5
x = 1
Sustituyendo x = 1 en la ecuación (1), se obtiene:
2 – y = 4
y = - 2
Por tanto, la solución del sistema es:
x = 1; y = - 2

119
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Consiste en despejar una variable en una de las ecuaciones y sustituir su
valor en la otra ecuación. Ejemplo:
Según el ejemplo anterior:
(1): 2x – y = 4
(2): x + 2y = -3
Despejamos “y” en la ecuación (1) y la reemplazamos en la ecuación (2).
2x – y = 4 → y = 2x – 4 .....(3)
En (2)
x + 2 (2x – 4) = -3
x +4x – 8 = -3
5x = 5
x = 1
Luego en (3)
y = 2x - 4
y = 2(1) - 4
y = -2
MÉTODO DE IGUALACIÓN
Se despeja la misma incógnita de cada ecuación para luego igualarla.
Sea el sistema
(1): 2x – y = 4
(2): x + 2y = -3
De (1) despejamos x :
x =
2
4
y +
..........()
De (2) despejamos x :
x = – 3 – 2y .......()
Luego : () = ()
2
4
y +
= - 3 –2y
Resolviendo: y + 4 = -6 – 4y
5y = -10
y = -2
Reemplazando: x = 1
 El valor de y = 2 en () o ()

120
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES (DE ACUERDO A SU
SOLUCIÓN)
Se tiene:
a1x + b1y = c1 ....L1
ax + by = c .......L2
SISTEMAS COMPATIBLES:
Son aquellas que admiten soluciones y a su vez pueden ser:
a) Determinados: Número de soluciones limitado.
b
b
a
a 1
1

b) Indeterminados: Números de soluciones ilimitado.
c
c
b
b
a
a 1
1
1
=
=
SISTEMAS INCOMPATIBLES, IMPOSIBLES O ABSURDOS:
Llamadas también inconsistentes, se caracterizan por que no tienen solución.
c
c
b
b
a
a 1
1
1

=
Ejemplos.
 Sea el sistema incompatible:
(n + 3)x + ny = 1
5x + 2y = 2. Indicar “n + 2”
Aplicando el sistema incompatible
2
n
5
3
n
=
+
2
n
n
3
6
n
5
6
n
2
=
=
=
+
 Sea el sistema compatible determinado:
(3m + 1)x + my = 2
12x + 3y = 1. Indicar lo correcto:
1
m
m
3
3
m
12
3
m
9
3
m
12
)
1
m
3
(



+

+

121
TAREA ACADÉMICA
Apellidos y Nombres:__________________________________ Grupo:_______
1).- Resuelve:
2x + 3y = 3
6y – 6x = 1
Halla (xy)
a) 1 b) 2 c) 1/3
d) ½ e) 2/3
2).- Halla (x + y) , si :
3xy + 2y = 40
2xy – 3y = 5
a) 2 b) 3 c) 5
d) 7 e)9
3).- Resuelve : 5x – y = 9
2x + 4y = 8
Indica : "
y
x
"
a) 4 b) 6 c) 5
d) 2 e) 3
4).- Resuelve:
3x - 4y = 41
11x + 6y = 47
a) –5; 7 b) 7; -5 c) –7; -5
d) 1; -5 e) –4; 2
5).- Resuelve:
9x + 11y = -14
6x - 5y = -34
a) 2; 4 b) 1; 2 c) –4; 2
d) 5; 2 e) 3; -2
6).- Resuelve:
10x - 3y = 36
2x + 5y = -4
a) 3; -2 b) 2; -3 c) 1; 3
d) 1; 5 e) N.A.
7).- Resuelve:
11x - 9y = 2
13x - 15y = -2
a) 1; 1 b) 2; 2 c) 1; 2
d) –1; -1 e) 2; 1
8).- Resuelve:
2x + 3y = 230
3x + 2y = 220
a) {50; 40} b) {40; 10} c){40; 50}
d) {4; 5} e) N.A.
9).- Resuelve:
x – y = 10
x + 10 = 2y – 20
a) {5; 4} b) {50; 40} c){40; 10}
d) {6; 3} e) N.A.
10).- Resuelve:
8x – 24 = y - 3
9x + 9 = 2y + 2
a) {7; 35} b) {6; 10} c) {2; 7}
d) {7; 5} e) N.A.
11).- Resuelve:
x + y = 7
3
y
2
x
− = 3
a)
5
3
;
5
32 b)
5
3
;
5
2 c) 6
;
3
32
d) 3
;
3
32 e) N.A.
12).- Resuelve:
5
6
x
2
y
=
+
1
1
x
y
=
−
a) {5; 4} b) {1; 4}c) {5; 6}
d) {3; 8} e) {4; 3}
13).- Resuelve :
5y = 3 - 2x
3x = 2y + 1 .
Halla (x + y)
a) 11/9 b) 19/18 c) 7/19
d) 1/3 e) 18/19
14).- Halla x + y en :
4x – y = 10
5x – 2y = 8
a) 4 b) 5 c) 6
d) 8 e)10

122
15).- Resuelve : 9x - 7y = -52
5x + 3y = -22
a) (0; 9) b) (-2, 7) c) (-1; 4)
d) (-5; 1) e) (-2; 0)
16).- Resuelve :
2x – 4y=-7
x + 8y=-1
Indica “x”
a) –2 b) –3 c) 5
d)-4 e)4
17).- Indica : x + y a partir de:
3x – 2y = -12
5x + 4y = 2
Indica el valor de “y”
a) 1 b) –4 c)–6
d)3 e)2
18).- Resuelve :
3(x + 1) = 16 + 2(y - 1)
1
17
y
4
17
x
5
=
−
Indica el valor de "
y
x
"
a) 5,5 b) 4,5 c) 1,5
d) 3,5 e) 2,5
19).- Calcula : xyz; si :
x + y = 18 ; x + z = 23; y + z = 25
a) 360 b) 720 c) 1200
d) 2000 e) 1000
20).- Calcula x/y al resolver el sistema.
3
4
x +
- y = 2
2
1
x −
+ 3y = 5
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
21).- Resuelve: 5x – y = 9
2x + 4y = 8
Indica: "
y
x
"
a) 4 b) 6 c) 5
d) 2 e) 3
22).- Resuelve:
x – 7 = -y
z – 8 = -x
y – 3 = -z
Indica: xyz
a) 12 b) 15 c) 18
d) 36 e) 24
23).- Resuelve: 9x - 7y = -52
5x + 3y = -22
a) (0; 9) b) (-2, 7) c) (-1; 4)
d) (-5; 1) e) (-2; 0)
24).- Resuelve: 31
2
y
5
3
x
3 =
+
+
−
31
2
y
7
3
x
2 −
=
+
−
−
Indica: x + y
a) 9 b) 30 c) 34
d) 29 e) 7
25).- Calcula: y
x− si :
39
xy
5
3
x
3
9
xy
3
x
5
=
+
−
=
−
−
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
26).- Resuelve: 13x + 17y = 133
17x + 13y = 137
Indica: xy
a) 8 b) 18 c) 20
d) 21 e) 30
27).- Resuelve:
5x + y = 125
3x - y = 81
Indica:
y
"
x
"
a) 5 b) 2 c) –7
d)-3 e)-2
28).- Resuelve:
3
,
1
2
y
5
x
=
−
2x – y = 1
Indica el valor de “y”.
a) 1 b) –4 c) –6
d) –3 e) 2
29).- Resuelve:
3(x + 1) = 16 + 2(y - 1)
1
17
y
4
17
x
5
=
−
Indica el valor de "
y
x
"
a) 5,5 b) 4,5 c) 1,5
d) 3,5 e) 2,5

123
30).- Resuelve:
10
y
7
x
9
2
y
4
x
6
=
−
−
=
+
Indica: “y”
a) 2 b) 1/3 c) -1
d) 1/2 e) 0
31).- Resuelve:
4
1
1
y
7
x
4
4
5
1
y
3
x
1
=
+
−
=
+
+
Indicando el valor de “x”.
a) –3 b) –1 c) 4
d) 3 e) 2
32).- Calcula: xyz; si :
x + y = 18 ; x + z = 23; y + z = 25
a) 360 b) 720 c) 1200
d) 2000 e) 1000
33).- Si: yz = 24; zx = 10; xy = 15
Halla: x + y + z
a) 11/2 b) 9/2 c) 25/2
d) 7/2 e) 5/2
34).- Si: x = y en el sistema:
ax + 4y = 119
5x – ay = 34
Halla “a”
a) 6 b) 7 c) 2
d) 3 e) –2
35).- Resuelve: 2
y
3
1
x
4
1
=
+
1
x
2
1
y
1
=
−
Indicando: 1/x2
a) 36 b) 16 c) 1/4
d) 4 e) 1/36
36).- Calcula x/y al resolver el sistema.
3
4
x +
- y = 2
2
1
x −
+3y = 5
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
37).- Resuelve:
6
y
2
x
8
4
y
3
x
2
=
−
=
+
Indicando el valor de x + y
a) 8 b) 9 c) 11
d) 4 e) 6
38).- Dado el sistema:





=
+
=
+
22
y
2
x
7
16
y
3
x
2
Halla y/x
a) 2 b) 4 c) 16
d) 8 e) 10
39).- Resuelve:
6
5
y
1
x
1
=
+
6
11
y
5
x
7
=
−
a) {2; 3} b) {3; 2}c) {-2; 3}
d) {2; 1} e) {-2; -3}
40).- Calcula: x – y , si :
1
y
x
7
4
y
x
3
1
=
−
+
+
5
8
y
x
7
9
y
x
3
1 −
=
−
−
+
a) 2 b) –1 c) –2
d) 0 e) 1

124
BIBLIOGRAFÍA
1. ARITMÉTICA
Baldor, Aurelio / Publicaciones Cultural S.A. / México D.F. 1978
2. ÁLGEBRA
Baldor, Aurelio / Publicaciones Cultural S.A. / México D.F. 1997
3. ARITMÉTICA
Goñi Galarza, Juan / Editorial Ingeniería EIRL / Lima 2003
4. ALGEBRA
Goñi Galarza, Juan / Editorial Ingeniería EIRL / Lima 2003
5. MATEMÁTICA
Coveñas Naquiche, Manuel /Editorial Monterrico / Perú 2010
6. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Ramos Zegarra, Jaime / Editora Kano S.R.L. / Lima 2004
7. MATEMÁTICAS
Salvat / Editores Barcelona /España 2000
8. ÁLGEBRA RECREATIVA
Y. Perelman / Editorial Mir / Moscú 1989
9. MATEMÁTICA PRÁCTICA
Varios / Editorial Voluntad / Cali 1996
10. JUEGOS MATEMÁTICOS
López – Luque / Editorial El Saber / Madrid 1992
11. APTITUD MATEMÁTICA
Pre Universitario / Editorial “Estudiantes de Chile” / Santiago 1999
12. TEORÍA DE LA ARTIMÉTICA
Petterson / Editorial LIMUSA / México 1991
13. ARITMÉTICA Y REPRESENTACIONES
Meza, Carlos / Paídos Ediciones / Barcelona 1995

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