Libro matematica basica

MATEMÁTICA BÁSICA I

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ

Vice Rectorado de Investigación

"MATEMÁTICA BÁSICA I"

TINS Básicos

DERECHO, ADMINISTRACIÓN, CONTABILIDAD Y CIENCIAS DE LA
COMUNICACIÓN

TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP

Lima - Perú
2007

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© MATEMÁTICA BÁSICA I
Desarrollo y Edición: Vice Rectorado de Investigación

Elaboración del TINS: • Dr. Juan José Sáez Vega

Diseño y Diagramación: • Julia María Saldaña Balandra

• Fiorella Zender Espinoza Villanueva

Soporte académico: Instituto de Investigación

Producción: Imprenta Grupo IDAT

Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación
de esta obra.

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PRESENTACIÓN

La matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el concierto
de las Ciencias, desde los albores de la civilización humana sigue
siendo la base del desarrollo científico y tecnológico de nuestro
mundo.

De allí, que en la formación académica, la UTP privilegia el estudio
de la matemática, en la convicción de dotar a sus estudiantes
firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador.

En esta proyección se ha desarrollado el presente texto de
instrucción, dirigido a estudiantes de las Carreras de: Derecho,
Administración, Contabilidad y Ciencias de la Comunicación,
para la Asignatura de Matemática Básica I.

Plasma la preocupación institucional de innovación de la
orientación del aprendizaje en educación universitaria, que en
acelerada continuidad promueve la producción de materiales
educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de
estos tiempos.

La estructura del contenido del texto permitirá lograr
conocimientos de Matemática; progresivamente modelada en
función del syllabus de la Asignatura acotada líneas arriba;
contenido elaborado mediante un proceso acucioso de

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recopilación de temas, desarrollados en diferentes fuentes
bibliográficas.

La conformación del texto ha sido posible gracias al esfuerzo y
dedicación académica del Profesor: Dr. Juan José Sáez Vega. La
recopilación aludida de temas pertinentes, consistentes y
actualizados, para estudiantes del primer ciclo, tiene el siguiente
ordenamiento temático:

Conjuntos básicos y numéricos que permiten aclarar las nociones
de números y su clasificación en naturales, enteros, racionales,
irracionales hasta completar los reales.

Ecuaciones e inecuaciones que son básicas para el estudio del
Álgebra.

Relaciones binarias que son fundamentales para la comprensión
de las funciones básicas al estudio de la Geometría Analítica.

Los lugares geométricos: rectas y circunferencias conectadas a
nociones algebraicas con problemas diversos dentro de la
carrera.
Al cerrar esta presentación debemos reconocer el esfuerzo y
trabajo de los profesores que han permitido la elaboración del
presente texto y la dedicación paciente del Dr. José Reategui
Canga en la revisión de los contenidos.
Vice-Rectorado de Investigación

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INDICE

CAPITULO I: LOGICA SIMBOLICA Y CALCULO PROPOSICIONAL
SEMANA 01
1. Enunciados ………………………………………………………. 8
2. Proposiciones Simples …………………………………………. 8
3. Relaciones Proposicionales ……………………………………. 10
SEMANA 02
4. Proposiciones Compuestas: Leyes del Algebra Proposicional 16
5. Regla de Inferencia ……………………………………………… 20
6. Cuantificadores ………………………………………………….. 24
7. Negación de Cuantificadores ………………………………….. 25

CAPITULO II: ALGEBRA DE CONJUNTOS
SEMANA 03
1. Determinación de un Conjunto ………………………………… 31
2. Clases de Conjuntos ……………………………………………. 33
3. Relaciones entre conjuntos ……………………………………. 36
4. Representación gráfica de los Conjuntos ……………………. 40
SEMANA 04
5. Operaciones con los conjuntos ………………………………… 43
SEMANA 05
6. Problemas con los conjuntos …………………………………… 47

CAPITULO III: ALGEBRA DE NUMEROS
1. Teoría de los Números ………………………………………….. 63
SEMANA 06
2. Exponentes y Radicales ………………………………………… 76

CAPITULO IV: MATRICES
1. Definición. Generalidades ………………………………………. 113
2. Suma de matrices ……………………………………………….. 114
SEMENA 07
3. Multiplicación de matrices por una escalar……………………. 115
4. Multiplicación de matrices ………………………………………. 115
SEMANA 08
5. La matriz de identidad ………………………………….……….. 117
6. Problemas de matrices ...………………………………………… 121
SEMANA 09
7. Determinación de la matriz A …………………………………… 127
8. Problemas de determinantes ….……………………………….. 131
SEMANA 11

CAPITULO V: ALGEBRA DE ECUACIONES
1. Desigualdad: Propiedades ……………………………………… 188
2. Inecuaciones ……………………………………………………... 190
3. Resolución de ecuaciones con radicales ……………………… 194

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SEMANA 12
4. Ejercicios: Ecuaciones Exponenciales ……………………….. 196
5. Ejercicios: Ecuaciones Logarítmicas …………………………. 203

CAPITULO VI: RELACIONES
SEMANA 13
1. Relación binaria: propiedades …………………………………. 205
2. Relaciones de equivalencia ……………………………………. 207
3. Partición de un Conjunto ……………………………………….. 208
SEMANA 14
4. Postulado de Cantor-Dedekind ………………………………… 212
5. Sistema Cartesiano Rectangular ……………………………… 214
6. Carácter de la Geometría Analítica …………………………… 218
SEMANA 15
7. Distancia entre puntos ………………………………………….. 219
8. Pendiente de una recta …………………………………………. 224
9. Discutir y graficar una recta ……………………………………. 231

CAPITULO VII: LA CIRCUNFERENCIA
SEMANA 16
1. Ecuación de la Circunferencia …………………………………. 269
2. Familias de Circunferencias .……………………………….….. 289

CAPITULO VIII: LA PARABOLA
SEMANA 17
1. Definiciones ……………………………………………………… 305
2. Ecuación de la Parábola ……………………………………….. 306
SEMANA 18
3. Ecuación de la Tangente a una Parábola ……………………. 325

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CAPÍTULO I

LÓGICA SIMBÓLICA Y
CÁLCULO PROPOSICIONAL

El autor que definió por primera vez en la historia fue Russell: “Una
proposición es todo lo que es cierto o lo que es falso”. Uno de los fines
del cálculo de proposiciones es la solución de ciertas contradicciones de
la matemática; así, apela al llamado principio del circulo vicioso de todo
lo que afecta a una colección total y no, a una parte de la misma; tal
como lo indica Burali-Forti: “Si una colección tuviera un total, tendrá
miembros que sólo se podrían definir en función de ese total, y por tanto
dicha colección no tiene total”.

Partiendo de esto, los autores de los Principia (diremos de pasada que
ese es un tipo de “descripción” ampliamente analizado en su obra)
separaron las funciones proporcionales en tipos según posibles
argumentos. Pero para los que prefieren expresar el axioma en el
lenguaje de la lógica clásica, los autores dicen que su “axioma de
reducibilidad es equivalente a la hipótesis de que „toda combinación o
desintegración de predicados es equivalente a un solo predicado„” en la
inteligencia de que “la combinación o desintegración se supone dada en
contenido”.

Algunos hechos trascendentes y singularmente importantes; como es la
estructura matemática supone la necesidad de razonar en forma válida.
Es necesaria una absoluta claridad y distinguir todo lo concerniente al

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razonamiento deductivo válido; significado de palabras usuales,
proposiciones, definiciones, teoremas, eliminación de complicaciones,
eliminar falacias y ambigüedades.

La prestancia y calidad de la matemática es necesaria para evitar el
rechazo del estudiante a esta ciencia formal, básico para el desarrollo de
otras ciencias, denominadas fácticas. Es la misión de todo maestro:
Educar y formar sin rechazo al estudiante.

1.1 ENUNCIADOS
Son palabras que se emiten para comunicarse con otras
personas. Ej:
1. ¿Estuviste de viaje?
2. Pase adelante y siéntese.
3. El clima está fresco.
4. 8 es un número impar.
5. Vamos al estadio.
6. Antonio es amigo de Lizet.

Se trata de 6 proposiciones: una pregunta, una orden y cuatro
declarativas. Las primeras no son verdaderas, ni falsas; las cuatro
últimas pueden ser verdaderas o falsas; a las que se conocen
como: proposiciones.

1.2 PROPOSICIONES
Son enunciados de las que podemos afirmar, sin errores, que son
verdaderas o falsas.

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Podemos decir con propiedad que: Proposición es el
significado de toda oración declarativa. Toda proposición se
representa con una letra minúscula: p; q; r; s; t ................

Ejemplos:
p : El sol está radiante.
q : Carlos es estudioso.
r : Fernando es un buen profesional.
s : Lizet es bonita.
t : La rosa es bella.
u : Está lloviendo.
De todas las oraciones declarativas podemos afirmar: si son
verdaderas o falsas.

Negación de Proposiciones.- La negación de la proposición p es
~ p (no p); obtenida anteponiendo el adverbio “no” a la primera.
Ejemplo:
p : Hace frío
~p : No hace frío.
~q : Carlos no es deportista.
q : Carlos es deportista.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Indique 10 ejemplos de enunciados.
2. Diga cuáles son proposiciones y represente con una letra.
3. Niegue las proposiciones indicadas.

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1.3 RELACIONES PROPOSICIONALES
1.3.1 EL CONECTIVO CONJUNCIÓN ( ).- Se dice que, dos o
más proposiciones quedan relacionadas mediante el conectivo
conjunción ( ) si se les interponen la letra “y”. Ejemplo.
p : Está lloviendo.
q : Hace frío.
p q: Está lloviendo y hace frío.
q : Carlos estudia.
s : Carlos es deportista.
q r : Carlos estudia y es deportista.

Principio del valor de verdad.- La conjunción es verdadera, sí y
sólo si, ambas proposiciones son verdaderas.
Considera la corriente eléctrica; si pasa la corriente es verdadera y
sí se interrumpe es falsa.

p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F

La conjunción es verdadera, sí y sólo sí, ambas proposiciones son
verdaderas.

Ejemplo: Demostrar el valor de verdad de las proposiciones:
1) p ~q 3) p q
2) ~ p ~q 4) ~ p q

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1.3.2 EL CONECTIVO DISYUNCIÓN ( ).- Se dice, que, dos o
más proposiciones forman una disyunción, si se les interponen la
letra “o”, con sentido incluyente. Ejemplo:
p : me compro zapatillas.
q : me compro una camisa.
pvq : me compro zapatillas o una camisa.

Principio del valor de verdad.- La relación de disyunción es
falsa, sí y sólo sí, ambas proposiciones son falsas.

V

V
V
V

V
F
F

V
V
F

F
F

p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F

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La disyunción es falsa, sí y sólo sí, ambas proposiciones son
falsas.

1.3.3 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ( ).- Dos o más proposiciones
forman una disyunción exclusiva ( ) si se les interponen la letra
“o” y al final se agregan las palabras “pero no ambos” (as).

Principio del valor de verdad
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F
El conectivo disyunción exclusiva; es verdadera sí y sólo sí, una
de las proposiciones es verdadera (V) y la otra es falsa (F).

1.3.4 EL CONECTIVO IMPLICACIÓN O CONDICIONAL ().-
Con las proposiciones p y q; se denomina relación de implicación
o condicional (pq); cuando se le antepone a la primera
proposición la palabra “si” y se les interponen la palabra
“entonces”.

Ejemplo:
p : Estudio mis asignaturas.
q : Aprobaré mis exámenes.
pq: Sí, estudio entonces aprobaré mis exámenes.
p : Antecedente
q : Consecuente

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Para demostrar el principio del valor de verdad, utilicemos un
ejemplo muy humano con un niño:
p : Juanito se porta bien.
q : Le regalaré un chocolate.
pq : Sí, Juanito te portas bien entonces te regalaré un
chocolate.

- Juanito se portó bien (V); se le regala el chocolate (V) es
verdadera (V).
- Juanito se portó bien (V); no se le regala el chocolate (F); es
injusto, luego es falsa (F).
- Juanito se portó mal (F); como se le quiere y engríe, se le
regala el chocolate (V); es verdadero (V).
- Juanito se portó mal; no se le regala el chocolate; es justo,
luego es verdadero (V).

p q pq
V V V
V F F
F V V
F F V

La implicación o condicional, es falsa (F) sí y sólo sí; la primera
proposición (antecedente) es verdadera (V) y la segunda
(consecuente) es falsa (F).

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1.3.5 EL CONECTIVO BICONDICIONAL O DOBLE
IMPLICACIÓN ( ).- Dadas las proposiciones p y q, se denomina
bicondicional o doble implicación a la proposición
(p  q) (q  p).

p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V

La bicondicional o doble implicación es verdadera (V) sí y sólo sí,
ambas proposiciones son verdaderas (v) o falsas (F).
1.3.6 EL CONECTIVO CONJUNCIÓN NEGATIVA ( ).- Dadas las
proposiciones p y q; se dice que forman una conjunción negativa
sí y sólo sí; en el conectivo p q se niegan ambas proposiciones:
(~p ~q) (p q)

p q p q ~p ~q ~p ~q p q p q
V V V F F F V V F
V F F F V F V F F
F V F V F F F V F
F F F V V V F F V
La conjunción negativa ( ) es verdadera (V) sí y sólo sí, ambas
proposiciones son falsas (F).

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1. Dadas las siguientes proposiciones:
Si: p : Hace frío
q : La manzana es agradable
r : Juan es inteligente
s : Lorena es bonita

Representar con oraciones declarativas las proposiciones:
1. p q 7. ~p q
2. r s 8. s ~r
3. ps 9. ~p  s
4. s q 10. s ~q
5. q s 11. ~q s
6. r q 12. r ~q

3. Indique (5) cinco ejemplos de proposiciones:
Niegue los (5) cinco ejemplos que propuso.
Con los ejemplos indicados represente con oraciones declarativas:
a) p q g) ~p q
b) t r h) ~r t
c) sp i) ~s  ~p
d) q s j) q ~s
e) p q k) ~q p
f) s t r) ~s ~t

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1.4. PROPOSICIONES COMPUESTAS
Si una proposición compuesta, se relaciona con otras
proposiciones simples o compuestas mediante signos de
colección: paréntesis ( ); llaves { }; corchetes [ ]; o barras / / se
les separan con punto y coma (;).

Ejemplos:
p : está lloviendo.
q : La fruta es deliciosa.
r : Juan es estudioso.
(p ~q)  r

Si está lloviendo y la fruta no es deliciosa; entonces Juan es
estudioso.
p (q ~r)
Está lloviendo; o, la fruta es deliciosa sí y sólo sí Juan no es
estudioso.

p : está nevando.
q : Antonio es inteligente.
r : La rosa es bella.

Representar con oraciones declarativas:
1. p  (q r)
2. (r ~q) v p
3. (p ~r) v (q p)
4. (p r) (q ~p)

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TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIÓN, CONTINGENCIA Y LEYES DEL
ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

A. TAUTOLOGÍA.- Se dice que una proposición compuesta es
tautológica; sí y sólo sí; en sus tablas de verdad, todas son
verdaderas sin que interesen las tablas de verdad de las
proposiciones simples.

B. CONTRADICCIÓN.- Se dice que una proposición compuesta,
forma una contradicción, sí y sólo sí, sus tablas de verdades,
todas son falsas, sin que interesen las tablas de verdades de las
proposiciones simples.

C. CONTINGENCIA.- Se dice que una proposición compuesta, forma
una contingencia, sí y sólo sí, sus tablas de verdades, no son
tautológicas ni contradictorias.


Demostrar sus tablas de verdades, si son: tautológicas,
contradictorias o son una contingencia.
1. (~ p q) (p ~ q)
2. ~ (p q) (~p ~q)
3. ~ (p  ~q) (p q)
4. [(p  q) (p  q)] p q
5. ~ [~ (p q)] (~p ~ q)

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1.4.1 LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
1. Idempotencia
p p p
p p p

2. Involución
~ (~p) p

3. Asociativa
(p q) r p (q r)
(p q) r p (q r)

4. Conmutativa
p q q p
p q q p

5. Distributiva
(p q) r (p r) (q r)
(p q) r (p r) v (q r)

6. Identidad
6.1 p f f 6.2 p v p
6.3 p f p 6.4 p V v

7. Complemento
7.1 p ~p f 7.2 p ~p v
7.3 ~~p p 7.4 ~f v
7.5 ~v f

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8. Leyes de Morgan
a) La negación de la conjunción es equivalente, sí y sólo sí, a
las negaciones de la disyunción
~ (p q) ~p ~q

b) La negación de la disyunción es equivalente, sí y sólo sí, a
las negaciones de la conjunción ~ (p q) ~p ~q

c) La negación de la implicación es equivalente, sí y sólo sí, a
la primera proposición y la segunda proposición negada.
~ (p  q) p ~q

9. Implicaciones asociadas
Directa pq
Recíproca qp
Contraria ~p~q
Contra-recíproca ~q~p

pq Recíproca qp
Contrarias

Contrarias

~p~q Recíprocas ~q~p

Se puede demostrar, mediante tablas de verdades que las contra-
recíprocas: son tautológicas.

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Demostrar:
1) (p  q) (~ q  ~ p)
2) (~ p  ~ q) (q  p)

Si la implicación directa es verdadera, no se puede asegurar
respecto a la verdad o falsedad de la implicación: recíproca o
contraria.

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO VÁLIDO
Lo más importante en la matemática es el razonamiento
deductivo; los teoremas se enuncian mediante una implicación,
cuyo antecedente es la hipótesis y el consecuente la tesis; de
acuerdo con lo establecido al analizar las condicionales
conjugadas se puede afirmar la validez del teorema directo, el
contra recíproco también se cumple; nada se puede asegurar del
teorema recíproco y contrario.
El razonamiento es deductivo, sí y sólo sí las premisas son
evidentes para una conclusión evidente. No tiene sentido afirmar
que un razonamiento es verdadero o falso; debe expresarse que
es válido o no.

1.5. REGLA DE INFERENCIA
Se denomina Regla de inferencia a todo esquema válido de
razonamiento independientemente de la interpretación de las
proposiciones simples; es decir, toda regla de inferencia es
tautológica; y son:

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a) Inferencia de la separación (modus ponens)

pq
p .

q

b) Principio de la inferencia negativa (modus tolens)
pq
q
p

c) Principio del silogismo
pq
qr
pr

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a) Utilizando las leyes del Álgebra Proposicional, simplificar las
siguientes proposiciones:

1. (p F) (p p)

2. (p V) (p ~p)

4. (p F) (p V)
5. p (p q)

6. p (~p q)

7. Es falso que, si Carlos es estudioso entonces Juana es
inteligente.
8. No es cierto que, la fruta es madura y el árbol es alto.
9. No es cierto que, el río es caudaloso o María no es bonita.
10. No es verdad que, si las aves vuelan entonces las flores no
son bellas.
11. No es verdad que, Carlos es buen estudiante y María no es
bonita.
12. Demostrar que si el siguiente Silogismo es Tautológico:
- Si Carlos es deportista y Ana es estudiosa; entonces las
flores son bellas; y,
- Si las flores no son bellas; entonces Carlos no es
deportista y Ana es estudiosa;
Entonces:
Si, Ana no es estudiosa ni Carlos es deportista; entonces
las flores son bellas.

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13. - Si, está lloviendo; entonces hace frío o está nevando; y,
- Si, no está nevando o hace frío, pero no ambos,
entonces no está lloviendo.
Entonces:
Si, hace frío sí y sólo sí está nevando; entonces no está
lloviendo; y,
Si, no llueve ni hace frío; entonces está nevando.
14. Escriba la contrarrecíproca de la proposición:
Si, hace frío entonces está lloviendo.
Si, no está nevando entonces está lloviendo.
Si, las flores no son bellas entonces la fruta no es
agradable.
Antonio es deportista y Ana no es estudiosa.
15. Demostrar la validez de las inferencias:
15.1 [ (p  q) p] ↔ p
15.2 [ (p  q) ~p] ↔ ~q
15.3 [ { (p q)  (q r) } { (~p q)  r } ] ↔ ~p
15.4 [ {p  (q ~r) } {q (r  p) } ] ↔ ~ (p q)

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1.6. FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES
Toda proposición expresa una cualidad o característica a un
sujeto particular. Una misma, cualidad, calidad o característica
puede predicarse para varios sujetos; en cada caso se obtendrá
una proposición. Si P es una cualidad, calidad o característica;
denotaremos con p(x) al conjunto de todas las proposiciones
singulares obtenidas al sustituir x por un sujeto; quedando definida
la función preposicional con una variable. p(x) no es una
proposición.
A partir de funciones preposicionales es posible obtener
proposiciones generales que se conocen como cuantificadores.
Una proposición queda cuantificada; sí y sólo sí, alguna cualidad o
característica se cumple para algunos o todos los sujetos.

1. Cuantificador Universal [ x : p(x)]
Cuando una cualidad o característica se cumple para todos
los sujetos:
x : p(x) Todos los hombres son mortales.
x : q(x) Todas las tortugas tienen caparazón.

2. Cuantificador Existencial [ x : p(x)]
Una proposición queda cuantificada existencialmente; sí y
sólo sí, alguna cualidad o característica se cumple para
algunos sujetos.
x : p(x) Algunas damas son virtuosas.
y : q(y) Algunos jóvenes son deportistas.
z : r(z) Algunos perros muerden.

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1.7. NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES
1. La negación del cuantificador universal es, sí y sólo sí,
existencial; y la proposición queda negada
~ [ x: p(x)] ↔ x : ~ p (x)

2. La negación del cuantificador existencial, es Universal y la
proposición queda negada.
~ [ x : p(x)] ↔ x: ~ p (x)

Ejemplos:
1. Negar todos los jóvenes son deportistas.
Rpta. Algunos jóvenes no son deportistas.

2. Algunas aves vuelan.
Rpta. Todas las aves no vuelan.

3. Si algunas damas son virtuosas entonces todos los días está
lloviendo.
~ [ x : p (x)]  y: q(y)]  x : p (x) y : ~ q (y)
Rpta. Algunas damas son virtuosas y algunos días no está
lloviendo.

4. Todos los jóvenes son deportistas y algunas aves tienen
plumas.
~( x: p(x) y: q(y)] ↔ x: ~ p(x) y: ~ q(y)
Rpta. Algunos jóvenes no son deportistas, o todas las aves
no tienen plumas.

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Enunciados
1. Indicar diez ejemplos de enunciados.
2. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes a la universidad.
3. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes al Perú.
4. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes al sistema solar.
5. Proposiciones
De los ejemplos indicados anteriormente, indique cuáles son
proposiciones y anteponga una letra: p; q; r ..................
6. Negación de proposiciones
Los ejercicios anteriormente citados, negar y anteponer: ~ p; ~ q;
~ r; ...................
7. Con los ejercicios del grupo II, relacionar mediante el conectivo
conjunción. Represente sus tablas de verdades.
8. Los ejercicios del grupo III relacionar, mediante el conectivo
disyunción. Representar las tablas de verdades.
9. Ponga ejemplos de proposiciones compuestas con los conectivos:
conjunción y disyunción. Demuestre sus tablas de verdades.
Ejemplo:
9.1. (p q) r
p (q r)
Responda con oraciones declarativas.
10. Indique ejemplos con oraciones declarativas de proposiciones
compuestas con los conectivos: conjunción, disyunción e
implicación.

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Ejemplo:
10.1. (p q)  (q r)
10.2. (p  q) (p r)
Responda con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas de
verdades.
11. Indique ejemplos de proposiciones compuestas con los
conectivos: conjunción, disyunción, implicación y doble
implicación.
Ejemplo:
11.1. (p q)  (r ↔ q) } (p  r)
11.2. { p ↔ ~(q r) }  (r q)
Responda con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas de
verdades.
conectivos: conjunción, disyunción, implicación, doble implicación
y conjunción negativa, ejemplo:
Ejemplos:
12.1. { (p ↓ q)  (q ~ r) } ↔ (p ~ q)
12.2. { (p ↔ q) ↓ (r ~ p) } ↔ (~ q p)
Responda sus ejemplos con oraciones declarativas. Demuestre
sus tablas de verdades.
conectivos; conjunción, disyunción, implicación, doble implicación;
conjunción negativa y disyunción exclusiva.
Ejemplos:
{ (p q) ↓ (q  r) } ↔ { (p ~ r) v (q ~ p)
{ (p  ~q) v (r ~p) } ↓ { (r ~q) ↔ (q r) }

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CUANTIFICADORES

1. Cuantificar universalmente y existencialmente las proposiciones:
p : Las flores son bellas
q : Carlos es deportista
r : María es estudiosa
s : Antonio es libre

Representar con oraciones declarativas, utilizando las
proposiciones indicadas.
1.1 x : p(x) 1.2 x : p(x)
1.3 y : ~ q(y) 1.4 y : q(y)
1.5 z : r(z) 1.6 z : ~ r(z)
1.7 u : s (u) 1.8 u : ~ s (u)

Las proposiciones:
(1.1) y (1.3) relacionar mediante la conjunción.
(1.2) y (1.4) relacionar mediante la disyunción.
(1.5) y (1.4) relacionar mediante la implicación.
(1.6) y (1.8) relacionar mediante la doble
implicación.
(1.7) y (1.2) relacionar mediante la conjunción
negativa.
(1.5) y (1.1) relacionar mediante la disyunción
exclusiva.

Utilizar las Leyes de Morgan en las relaciones proposicionales
anteriores libremente.

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Representar con oraciones declarativas las proposiciones:
x : p(x)  y : ~ q (y)
y : q (y)  p z ~ r (<)
x ~ p (x) ↔ {q  z: ~ r(2)}
{p y : q(y)} v { y: ~ q(y)  ~ p}
{p u : ~ s(y) } ↔ {q ↓ z : ~ r(z) }

Con las proposiciones:
p : las flores son bellas.
q : El caballo es de paso.
r : Fernando es buen profesional.
s : Lizeth es bonita.

Negar las proposiciones compuestas y representar con oraciones
declarativas la respuesta:
x : p (x) y : ~ q (y)
x : ~ p(x) y : q (y)
x : p(x) ↔ z : ~ r (z)
z : r(z)  y : ~ q (y)
u : s(u) z : ~ r (z)
u : ~ s(z)  z : r (z)
z : ~ r(z) u : s (u)

Simplificar las proposiciones, utilizando las leyes del Álgebra
Proposicional.
1) ~ (p ~ q) 2) ~ (~ p  q)
3) ~ (p ~ q) 4) ~ (~ p ~ q)
5) ~ (~ p  ~ q) 6) ~ (~ p  ~ q)

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Simplificar las siguientes proposiciones:
1. No es verdad que, si las rosas son rojas entonces las
violetas son azules.
2. No es verdad que, hace frío y está lloviendo.
3. No es verdad que, él es bajo o galán.
4. No es verdad que, hace frío está lloviendo.
5. No es verdad que, si está lloviendo entonces hace frío.
6. No es verdad que, si las rosas son rojas entonces las
violetas no son azules.

Con las leyes del Álgebra Proposicional simplificar:
1. (p q) ~p
2. p (p q)

3. ~ (p q) (~p q)

Demostrar los siguientes silogismos:
1. Si, Carlos es inteligente o Lizeth es bonita; entonces Ana es
responsable; y
Ana no es responsable y Carlos es inteligente; sí y sólo sí,
Lizeth es bonita; entonces
Ana no es responsable ni Carlos es inteligente; sí y sólo sí,
Lizeth es bonita.

2. Está lloviendo o hace calor, pero no ambos; y hace frío; y
Si, no hace frío ni calor; entonces está lloviendo; entonces
hace calor o hace frío, pero no ambos; sí y sólo sí, no está
lloviendo.

30


CAPÍTULO II
ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

CONCEPTO PRIMITIVO
Son palabras que se aceptan sin definir por ser naturales al ser humano.

2.1. CONJUNTO
En 1772 Kurt Grrellng escribió el primer libro referente a la teoría
de los conjuntos. Por su resonancia mundial, el rey condecoró con
el titulo de caballero a Kurt Grrellng. Sin embargo nadie le
entendió y todos les repetían que estaba loco. Efectivamente Kurt
Grrellng llegó a un estado de esquizofrenia y murió en un
sanatorio psiquiátrico. En 1942 los aviones alemanes se apoderan
del cielo Europeo al no poder ser derribados por la artillería aliada.
Lo que llevó a la formación de un equipo de científicos que
estudiaron la cibernética y la telemetría; con lo que los aviones
alemanes fueron derribados fácilmente y el ejército Alemán y sus
aliados fueron derrotados.

La noción conjunto, es un concepto primitivo, se acepta sin
definir. Sin embargo, los jugadores de un equipo de fútbol;
lapiceros; alumnos en el aula; un cesto de naranjas; los
departamentos del Perú; los países de Europa; etc. Nos dan ideas
de conjuntos. Los conjuntos se representan con letras
mayúsculas: A; B; C; D; E; .......

31


Cada jugador; cada lapicero; cada alumno; cada naranja; cada
departamento; cada país; son elementos del conjunto y se
representa con letras minúsculas, entre llaves.

A= {a; b; c; d; e}
B= {a; b; c; d;...}
C= {a; b; c; d;...}

Se puede también representar con palabras:
D= {Jorge, Manuel, Javier, Antonio}
E= {España, Inglaterra, Francia, Holanda, Italia}

DETERMINACIÓN POR EXTENSIÓN
Un conjunto se determina, por extensión; nombrando a cada uno
de sus elementos.

Números pares : N = {2; 4; 6; 8;10;12;..... }
Polígonos : P = {cuadrado, rombo, rectángulo,
Trapecio,.......}
Damas : Q = {Rosa, Sara, Lizet, Alexandra,......}

DETERMINACIÓN POR COMPRENSIÓN
Un conjunto se determina por comprensión, mediante una
cualidad o calidad; que especifique si un elemento pertenece o no
pertenece al conjunto. Se representa con la sigla x/x y se lee: x tal
que x; la primera x representa la cualidad o calidad y el segundo,
al elemento del conjunto:

32


A= {x/x países del Asia}
B= {y/y departamentos del Perú}
C= {z/z capitales de los países Americanos}

Si representamos por extensión:
A= {Japón, China....}
B= {Lima, La Libertad, Ayacucho.....}
C= {Lima, Quito, La Paz}

2.2. CLASES DE CONJUNTOS
Para un estudio más detallado, encontramos los siguientes tipos o
clases de conjuntos:

2.2.1 CONJUNTO NULO O VACÍO: { } ,
Es aquel que carece de elemento; mediante una cualidad, calidad
o característica.

Ejemplo:
A = {x/x, Hombres que tiene alas}

Eso no significa que no exista Lima o Francia. Sin embargo con
las características del ejercicio: no existe y se representa, en
cualquiera de las dos formas:

A={} A = ; de ninguna manera A = { }, el cual
representaría a un conjunto unitario.

33


Podemos indicar otros ejemplos:
1. A = {x/x; 7 < x < 8} para un número natural. No existe
ningún número entre 7 y 8; que sea natural. Para los
números racionales, no sería nulo.
El ejemplo dado se representa:
A={ } A=
2. B = {y/y, fábrica de aviones en el Perú}
3. C = {z/z, automóviles en el salón}
4. También se puede representar: P(x) : Un extraterrestre en
la Universidad.
D = {x/x; p(x)} D={ }

2.2.2 CONJUNTO UNITARIO
Es aquel que contiene un solo elemento,
Ejemplos:
A= { a}
B= {x/x; Bandera del Perú}
C= {y/y; Rector de la U.T.P.}
D= {z/z; g < x < 11} para los números naturales.

2.2.3 CONJUNTO FINITO
Es aquel que se puede determinar por extensión a todos sus
elementos.
Ejemplos:
A = {a, b, c, d}
B = {x/x; 2 x 10} B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
C = {y/y, países americanos}
D = {z/z, polígonos}

34


2.2.4 CONJUNTO INFINITO
Son aquellos que no se pueden determinar por extensión a todos
sus elementos (se le recomienda leer el texto: “Matemáticas e
imaginación” por Edward Cassner).
Por lo general ejemplos de conjuntos infinitos se dan con
expresiones matemáticas;
Ejemplos.
1. A = {x/x números naturales}
A = {0; 1; 2; 3 ................. + }
B = {y/y números enteros}
B = {- ...... –2; -1; 0; 1; 2 ..........+ }
C = {2/2 puntos en una Recta}
C = {a, b, c, d, e, f, g, .......}

2.2.5 CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL (  )
Es un conjunto que incluye a los conjuntos para un análisis
particular. Se deja constancia, que un conjunto universal; no es
una totalidad, mucho menos un universo.
Ejemplo:
1. Si: A = {0; 1; 2; 3}
B = {2; 3; 5; 6}
C = {4; 6; 7; 8}
 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8};ó; U = Numeros naturales

2. A = {x/x; Ayacuchanos}
B = {y/y; Piuranos}
C = {z/z; Tacneños}
 = {u/u; Peruanos}

35


3. A = {x/x; estudiantes sanmarquinos}
B = {y/y; estudiantes villarrealinos}
C = {z/z; estudiantes Utepinos}
U = {u/u; estudiantes universitarios}

2.3. RELACIONES ENTRE LOS CONJUNTOS
2.3.1 SUB-CONJUNTO ( )
Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto B es
subconjunto de A; y se representa B A; si todos los elementos
de B; pertenecen al conjunto A.
Ejemplo:
1. A = {0; 1; 2; 3}
B = {0; 1; 2; 3}

2. A = {a; b; c; d}
B = {b; c; d}
A B (A no es sub-conjunto de B)

3. A = {x/x frutas}
B = {y/y naranjas, uvas, limas}
B A

2.3.2 SUB-CONJUNTO PROPIO O PARTE PROPIA ( )
Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto B es parte
propia de A; y se representa B A todos los elementos de B son
elementos de A; que contiene todos los elementos de B, que
pertenecen al conjunto A, existen elementos del conjunto A, que
no pertenecen a B.

36


Ejemplo:
A = {0; 1; 2; 3; 4} B = {2; 3; 4} C = {2; 3; 4}
En la relación sub-conjunto; no, necesariamente algunos
elementos de A pertenecen a B.

Ejemplos:
1. A = {11; 12; 13; 14} y B = {11; 12; 13; 14}
B A = {11; 12; 13; 14}
A B
Este ejemplo especifica que la relación sub-conjunto es
amplia.

2. A = {a; b; c; d} y B = {a; b}
B A

2.3.3 CONJUNTOS IGUALES (=)
Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto A es igual al
conjunto B; y se representa A = B; sí A y B tienen elementos
comunes.

{A B B A}  A = B

Ejemplo:
A = {0; 1; 2; 3} B = {0; 1; 2; 3}
A=B

2.3.4 CONJUNTO POTENCIA (2)
Se denomina así, al conjunto formado por todos los sub-conjuntos,
del conjunto A.

37


Ejemplo:
A = {a; b; c}
2A = {A {a; b}; {a, c}; {b,c} ; {a}, {b} ; {c}; }
23 = 8 sub-conjuntos

2.3.5 CONJUNTOS COORDINABLES ( )
Dados los conjuntos A y B; se dice que existe una relación de
coordinabilidad entre los elementos de A y B; si y sólo sí, todos los
elementos de A se relacionan de uno a uno con los elementos de
B; sin que falten ni sobren dichos elementos. A este tipo de
conjuntos, se les dice que están en relación Bionívoca [No
necesariamente deben tener elementos comunes]
Ejemplo:
1. A = {0; 1; 2; 3}

B = {a; b; c; d}
A B Coordinables

( B)
Disjuntos
A B

2. A = {x/x ciudadanos peruanos}
B = {y/y número del DNI}

2.3.6 CONJUNTOS DISJUNTOS ( )
Dados los conjuntos A y B; se dice que los elementos de A y B;
son disjuntos, si A no contiene ningún elemento B; B tampoco
contiene ningún elemento de A.

38


Ejemplo:
1. A = {0; 1; 2; 3}

B = {a; b}
A B Disjuntos

2. A = {x/x damas}
B = {y/y caballeros}
A B Disjuntos

2.3.7 PERTENENCIA ( )
Es la relación de elemento a conjunto.
Ejemplo:
A = {0; 1; 2}
0 A (cero pertenece al conjunto A)
1 A (uno pertenece al conjunto A)
2 A (dos pertenece al conjunto A)
3 A (tres no pertenece al conjunto A)

No se puede representar:
{1} A {no es correcto; porque, {1} es un conjunto}
{1} A {es lo correcto}

2.3.8 CONJUNTOS COMPARABLES
Dos o más conjuntos son comparables, sí y sólo si A B
B A; no son comparables si A B v B A.

39


Ejemplo:
1. Si A = {0; 1; 2} B = {0; 1} .- Entonces B es comparable
con A; pues, B es un sub-conjunto de A.
B A.

2. Si C = {0; 1} y D = {1; 2; 3}; C y D no son comparables;
pues O CyD D; 3 Dy3 C.

2.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS

2.4.1 DIAGRAMAS DE VENN - EULER
Es la representación gráfica de los conjuntos, mediante
polígonos. Estos diagramas están sujetos a las siguientes
premisas:

1 Premisa N° 1.- El conjunto Universal o Referencial se
representa con el rectángulo.

U

2 Premisa N° 2.- Los otros polígonos se pueden representar al
interior del rectángulo; jamás al contrario.

A
A B

U U

40


A B

C

U

3 Premisa N° 3.- Los otros polígonos se representan
intersecados; jamás separados, así sean disjuntos.

A B
A B

C

CORRECTO

A B

C

INCORRECTO

41


DIAGRAMAS LINEALES
Se utilizan para los sub-conjuntos.
Ejemplo:
1. A B B

A

C
2. A B B C
B

A

3. A = {1} B = {1; 2} C = {1; 2; 3}
D = {1; 2; 4}
C D

B

A

4. A = {1} B = {2} C = {1; 2}

C

A B

42


5. A = {1} B = {2} C = {1;2} D = {1;2;3}
E = {1;2;4}

D E

C

A B

2.5. OPERACIONES CON LOS CONJUNTOS
2.5.1 REUNIÓN O UNIÓN ( )
Dados los conjuntos A y B; se denomina reunión entre los
elementos de A y B, se representa A B = C; al conjunto C, que
contiene por lo menos un elemento de A o de B. (No existe
reunión entre conjuntos nulos).
Ejemplo:
1. A = {a} B={} A B=

A

B

2. A = {a; b; c} B = {c; d}
A B = {a; b; c; d}

A a B
cc d
b A B

43


En la reunión se marcan todos los polígonos
Por comprensión se puede definir:

A B = {x/x, x A v x B}

a) Cumplen con la propiedad conmutativa.

A B = B A

Concretamente: A (A B) B (A B)
b) Cumplen con la propiedad asociativa.

(A B) C = A (B C)

A B
A B

C C

2.5.2 INTERSECCIÓN (A B)
Dados Los conjuntos A y B; se denomina intersección entre los
elementos de A y B; y, se representa A B = C; al conjunto C,
que contiene los elementos comunes de A y B.
Ejemplo:
Si A = {a; b; c; d} y B = {d; e; f}
A B = {d}

44


 A B
a e
b d
c f

A B = {d/d , d A d B} por comprensión.

1. Cumplen con la propiedad conmutativa.
A B = B A  (A B) A = (A B) B
2. Cumplen con la propiedad asociativa.
(A B) C = A (B C)

A B A
B

=
C C

3. Cumplen con la propiedad distributiva con relación a la
reunión.
A (B C) = (A B) (A C)

A B A
B

=
C
C

45


2.5.3 DIFERENCIA (–) O COMPLEMENTO RELATIVO
Dados los conjuntos A y B; se denomina diferencia entre los
elementos de A y B; y, se representa A – B = C; al conjunto C, que
contiene los elementos de A, que no pertenecen al conjunto B.
Notación: A – B, ó , A B, ó , C
Ejemplo:
1. A = {0; 1; 2; 3} y B = {3; 4; 5}
A – B = {0; 1; 2}

0 4
A 3 B
1
2 5

2.5.4 COMPLEMENTO (A’)
Dados el conjunto Universal (U) y el conjunto A, se denomina
Complemento y se representa A‟ = U – A; a los elementos del
conjunto universal que no pertenecen al conjunto A.
Ejemplo: U = {a; b; c; d} A = {a; b}
A‟ = {c; d}

A‟ = {x/x, x U x A A’ A

U
A A‟ = U
A A‟ =
U‟ =

(A‟)‟ = A

46


2.5.5 DIFERENCIA SIMÉTRICA ( )
Dados los conjuntos A y B; se denomina diferencia simétrica y se
representa A B = C; al conjunto que contiene todos los
elementos de (A – B) U (B – A)

A–B B–A

A B


1. Diga, por qué las nociones: Elemento “Conjunto” “pertenencia”
son términos no definidos.

2. Las afirmaciones siguientes, represente connotaciones:
A no incluye a B.
B contiene al conjunto de A.
a no pertenece a B.
e es elemento de A.
C no es sub-conjunto de B.
B es parte propia de A.

3. Discuta y aclare las siguientes afirmaciones:
3.1 Si A = {x/x, 4x = 12} b = e entonces ¿b = A?
3.2 Si se tiene A = {a; b; c; d} Qué afirmaciones son correctas y
cuáles incorrectas?

47


3.2.1. a A 3.2.5 {b} A
3.2.2. c A 3.2.6 d A
3.2.3. d A 3.2.7 c A
3.2.4 {b} A 3.2.8 b A

4. En las siguientes expresiones enuncia con oraciones declarativas;
luego, representa en forma tabular:
A = {x/x; x3 = 64}
B = {x/x; x – 5 = 8}
C = {x/x; x es un número positivo y x es un número
negativo}
D = {z/z; z es un elemento de la palabra AYACUCHO}

Representar los siguientes conjuntos, constructivamente:
A : está formado por las letras a; b; c; d
B : es un número par positivo.
C : es un país sudamericano.
D = {x/x, x – 2 = 7}
E = {x/x, Presidente del Perú luego de Alan García}

¿Cuáles son conjuntos finitos y cuáles son infinitos?
A = {2; 3; 4 ........... 99; 100}
B = {x/x, meses del año}
C = {y/y, departamento del Perú}
D = {z/z, habitantes de la tierra}
E = {u/u, número par}
F = {x/x,0 < x 5 para todo número racional}
G = {y/y, 3 y 20}

48


¿Cuáles de estos conjuntos son iguales?. Explique:
A = {x/x, es una letra de la palabra TOCATA}
B = {x/x, las letras de la palabra TACTO}
C = {x/x, es una letra de la palabra COTA}
D = {a; c; o; t}

Indique la similitud o diferencia entre las palabras: “vacío” “cero” y
“nulo”.

Entre las expresiones que siguen ¿cuáles son diferentes?
; {o} ; { }; p

Cuáles de estos conjuntos son nulos:
A = {x/x, en el alfabeto, letra después de z}
B = {x/x, x2=9 3x=5}
C = {y/y; y y}
D = {z/z, 2 + 8 = 8}

Hallar todos los sub-conjuntos de: A = {a; b; c; d}

Definir los siguientes conjuntos de polígonos en el plano Euclidiano y
cuáles son sub-conjuntos propios.
A = {x/x, es un cuadrado}
B = {x/x, es un rectángulo}
C = {x/x, es un rombo}
D = {x/x, es un cuadrilátero}

49


Todo conjunto A tiene un sub-conjunto propio?. Analice.

Conjunto vacío , entonces A = .

Si se tienen los conjuntos A = { }; B = {c, d} ; C = {a; b; c}
D = {a; b} ; E = {a; b; d}

Establecer la verdad o falsedad de las afirmaciones:
1. D C 6. E C
2. B A 7. A C
3. B E 8. D E
4. E D 9. C=B
5. E A 10. B D

Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {4; 5; 6; 7; 8; 9} C = {2; 4; 8; 9}
D = {4; 5} ; E = {2; 4} ; F = {2}

Sea x un conjunto desconocido.- Cuáles de los conjuntos:
A; B; C; D; E; F pueden ser iguales al conjunto x con las
siguientes relaciones:
1. x A y x B 3. x A y x C
2. x Byx C 4. x B y x C.

Si se tienen las relaciones:
A subconjunto de B; B sub-conjunto de C; suponiendo a
A; b Byc C; además de A; e B, f C; cuáles
de las afirmaciones son verdaderas:

50


1. a C 4. d B
2. b A 5. e A
3. c A 6. e A

Graficar el diagrama lineal para los conjuntos:
A = {a; b; c} B = {a; b} C = {a; c}

Trazar un diagrama lineal para los conjuntos:
A = {a; b; c} B = {a; b} C = {b}

Trazar un diagrama lineal para los conjuntos:
R = {r; s; t} S = {s} T = {s; t; u}

Sean los conjuntos:
Q = {x/x, es un cuadrilátero}
R = {x/x, es un rectángulo}
H = {x/x, es un rombo}
S = {x/x, es un cuadrado}
Trazar el diagrama lineal.

Se tienen los conjuntos:
V = {d} ; W = {c; d} ; X = {a, b, c}
Y = {a; b} ; Z = {a; b; d}

Sean los conjuntos: V = {d} ; W = {e, d} ; X = {a; b; c} ;
Y = {a; b} y, Z = {a; b; d}

51


Sea S un conjunto cualquiera. Construir el diagrama lineal para los
conjuntos:{ }; S, y U

Si se tienen los conjuntos:
(1) A B; (2) A B ; (3) A=B
(4) A B; (5) A B
Trazar los diagramas de Venn-Euler correspondiente.

Examinar el siguiente diagrama lineal de los conjuntos: A; B; C y D.

A

B

C D

Determinar seis afirmaciones del ejercicio anterior.

Construir diagramas de Venn-Euler para los
conjuntos: A; B; C; D del diagrama lineal en el ejercicio
(4.23)

Qué se puede afirmar del ejercicio { {2; 3} }

Dado el conjunto A = {2; {3; 4}; 3} cuáles son
afirmaciones incorrectas y por qué?

52


1. {3; 4} A ; 2. {3; 4} A
3. { {3; 4} } A; 4. 4 A
5. {4} A ; 6. 4 A

Hallar el conjunto potencia del conjunto
S = {3; {1; 4} }

Cuáles de las afirmaciones se definen en un desarrollo
axiomático de la teoría de conjuntos:
1. Conjunto ; 2. Sub-conjunto ; 3. Disjunto ; 4. Elemento;
5. Es igual a ; 6. Pertenece a ; 7. Superconjunto.

Representar en notación conjuntista, las afirmaciones:
1. x no pertenece al conjunto A.
2. R es subconjunto de S.
3. d es elemento de E.
4. F no es sub-conjunto de C.
5. H no incluye a D.
6. A es subconjunto de D.
7. A y B son coordinables.
8. A y B son disjuntos.

Si B = {0; 1; 2} hallar todos los sub-conjuntos de B.

Si F = {0 {1; 2} }. Hallar todos los sub-conjuntos de F.

Si A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4; 6; 8} C = {3; 4; 5; 6}
Hallar y graficar con los diagramas de Venn-Euler.

53


1. A B 2. A C 3. B C
4. B B 5. A B 6. A C
7. B C 8. U

Si A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4; 6; 8} C = {3; 4; 5; 6}
Hallar y graficar con el diagrama de Venn-Euler y el
diagrama lineal.
1. (A – B) ; 2. (C – A) 3. (B – C)
4. (B – A) ; 5. (A – A) 6. (A B)
7. (A C) ; 8. (B C)

Si U = {1; 2; 3 ………8; 9}
A = {1; 2; 3; 4} ; B = {2; 4; 6; 8}
C = {3; 4; 5; 6}
Hallar y graficar con el diagrama de Venn-Euler:
1. A‟ 2. B‟ 3. C‟
4. (A C)‟ 5. (A C)‟ 6. (A – B)‟
7. (C – B)‟ 8. (A B)‟ 9. (B C)‟
10. (A C‟)‟ 11. (A B)‟ 12. (B C‟)‟
13. (B‟ – C‟)‟

Si A = [4; 8[ ; B = [7; 12]
C = {3; 4; 7; 13; 14}
Hallar y graficar las operaciones:
1. (A‟ – B‟) 2. (C‟ A) 3. (B‟ A)‟
4. (A‟ B)‟ (A C‟)‟
5. (A‟ B)‟ (C‟ B)

54



1. Una persona consume café y té durante el mes de mayo, toma
café 20 días y té 23 días. Cuántos días consume café y té
simultáneamente. El mes de marzo tiene 31 días.
Observemos y graficamos.

té x café

Sumamos: 20 + 23 =43
43 x 31
43 31 x
12 x

Rpta: 12 días tomo té y café

2. Se han realizado 200 informaciones entre los estudiantes de San
Marcos, 103 estudian matemática; 90 Física y 89 Química,
Matemática y Física 32; Matemática y Química 48; Física y
Química 26. Cuántos estudian las 3 asignaturas y cuántos una
sola asignatura.
Grafiquemos y analicemos:
90
103
103 73 x 200
45+x 32-x 10+x
x 24
26-x 48-x
x
15-x 69 8 34
24
2 24
89
39

Rpta: 24 las tres asignaturas y 142 una sola asignatura

55


3. A y B son dos conjuntos: A B = 58, A – B = 23. Hallar A B.
4. En una Academia trabajan 72 personas. 40 hablan Inglés y 56
Alemán. Cuántos hablan un solo idioma y cuántos ambos idiomas.

5. De 120 amas de casa; 72 compran arroz; 64 verduras y 36 carne,
12 los tres productos. Cuántos han comprado exclusivamente dos
productos.

6. Se tienen los conjuntos A y B. A = 3x+ y; B = 2y + 3; y
A B = x + y = 4. Cuántos elementos tiene A B?

7. Se ha realizado una encuesta entre 10,000 personas. 70%
sintonizan radio; el 40% leen periódico, y el 10% observan
televisión. Entre los que sintonizan radio, el 30% leen periódico y
el 4% observa televisión; el 90% de los que observan televisión,
lee periódicos; del total 2% lee periódico, observa televisión y
sintoniza radio. Cuántos no leen periódico, no sintonizan radio, ni
observan televisión. Cuántos leen periódico únicamente?

8. Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3;4};
B = {1; 4; 13; 14} ;
C = {2; 8} ;
D = {10; 11; 12} ;
Hallar: graficar los resultados:
8.1) A B 8.13) (A B) – D
8.2) A C 8.14) (A – B)‟ (B – D)
8.3) (D C)‟ 8.15) (A B)‟ (B – D)‟
8.4) B‟ D 8.16) (A B) – (A B)‟
8.5) (C A)‟ 8.17) (A B)‟ – (C D)
8.6) (C A)‟ B 8.18) (A‟ C) (B – D‟)‟
8.7) (C A)‟ (C B) 8.19) (A – B‟)‟ (C‟ – D)
8.8) C‟ (A B) 8.20) (A B‟)‟ – (C‟ D)‟
8.9) (C A)‟ (C D)
8.10) C (A D)‟
8.11) C |(A B)‟
8.12) (A B) – D‟

56


9. Sean A y B dos conjuntos de tal modo:
A B = 34; A – B = 20; B – A = 16.
Hallar: 5 {A – 4B}

10. Se hizo una encuesta entre 200 persona: sabían 56 Español; 60
Alemán y 84 Francés. Español y Alemán 16; Español y Francés
20 y Alemán y Francés 10. Los tres idiomas 6.
a. Cuántos no estudiaban idiomas;
b. Cuántos exclusivamente Francés.

11. De 134 personas encuestadas. 94 conocen Inglés; 70 Alemán y
46 ambos idiomas. Cuántos no conocen ambos idiomas.

12. Si se tienen los conjuntos:
A = 3x + y; B = 3y + 3; y A B=x+y
Hallar: A B.

13. Entre 240 estudiantes: 144 estudian Análisis Matemático; 128
Biología; 72 Ciencias Sociales; y 24 las tres asignaturas. Cuántos
estudian exclusivamente dos asignaturas.

14. Se tienen los conjuntos:
A = {a; c; d} ; B = {e; f; g} y C = {c; e; p; k}
Hallar: A (B C)

15. Si U = {a; b; c; d; e}
A B = {a; b; c; d} ; A B = {a; c} y A – B = {6}. Hallar A y B.

A = {5; 6; 7; 8} B = {6; 7; 1; 2}
C = {4; 5; 7; 9}
Hallar:
16.1) A B.
16.2) (A B) C

57


16.3) A (B – C)
16.4) C – (A‟ B)‟

17. Si A B = {1; 2; 3; 4}
A B = {1; 3} y A – B = {2}
Hallar A y B.

18. Si A B = {a; b; c; d}
A B = {a; c} y A – B = {b}
Hallar A y B.

19. Si A = {-1; 0; 1} B = {-2; -1; 0; 1; 2}
C = {-3; 1; 2}.
Hallar y graficar.
19.1) B‟
19.2) A‟
19.3) (A B)‟
19.4) A‟ B‟
19.5) B C‟
19.6) A‟ c
19.7) (B C)‟
19.8) (A‟ B)‟

20. Se tienen los conjuntos:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
A = {1; 2; 3; 4; 5} ; B = {2; 4; 6; 8; 10}

Hallar y graficar:
20.1) A B
20.2) A B
20.3) A – B
20.4) B – A
20.5) A‟
20.6) B‟
20.7) (A B)‟

58


20.8) A‟ B‟
20.9) (A B‟)‟
20.10) (A B‟)‟

21. Si U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
A = {1; 4; 5; 6} ; B = {2; 4; 6}
Hallar y graficar:
21.1) A‟
21.2) B‟
21.3) A‟ – B
21.4) B‟ – A
21.5) A‟ B‟
21.6) (A‟ B‟)‟
21.7) A B‟
21.8) A‟ B‟

22. Si U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10;11; 12; 13; 14}
A = {1; 2; 3; 4} B = {1; 4; 13; 14} C = {2; 8}
Hallar y graficar:
22.1) A B 22.9) A‟ C‟
22.2) A C 22.10) (A D)‟
22.3) B D 22.11) (A C)‟
22.4) D C 22.12) (A B) – C
22.5) A‟ 22.13) (A – B) (B – A)
22.6) A‟ B 22.14) (A B) - (A B)
22.7) A‟ B‟ 22.15) (A – B) (B – A)
22.8) (A B)‟

A = {1; 2; 5; 7; 8} B = {2; 3; 4; 7; 9}
C = {1; 3; 5; 6; 8} U = {x/x x N; x 9}
Hallar y graficar:
23.1) [ (A B) – (A C) ]‟
23.2) [ (A B) – (A C) ]‟
23.3) [ (A - B) (A – C) ]‟

59


23.4) [ (A‟ – B) (A – C) ]‟
23.5) [ (C – B‟) – (A‟ C) ]‟
23.6) (A‟ – B‟) (B‟ C)‟

24. Si se tienen las relaciones entre los conjuntos A y B
A B = {1; 2; 3; 4; 5} ; A‟ = {2; 3; 5; 7}
B‟ = {1; 4; 7} ; U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
Hallar y graficar:
AyB

25. Graficar las siguientes operaciones con los conjuntos: A; B y C.
25.1) A B.
25.2) A C.
25.3) (A B) C.
25.4) (A B) C.
25.5) A‟ B‟
25.6) A – B
25.7) (A B)‟
25.8) (A B)‟
25.9) A A‟
25.10) A A‟
25.11) A (B C)
25.12) A (B C‟)

26. Demostrar gráficamente que, sí se cumplen las propiedades con
los conjuntos: A; B y C.
26.1) A B=B A.
26.2) A B = B A.
26.3) (A B) C = A (B C).
26.4) (A B) C=A (B C).
26.5) A (B C) = (A B) (A C).
26.6) A‟ B‟ = (A B)‟
26.7) A – B = A B‟
26.8) A‟ B‟ = (A B)‟
26.9) (A B) C = (A C) (B C)

60


26.10) (A B) – C = (A – C) (B – C)
26.11) (A B) – C = (A – C) (B – C)
26.12) A (A B)
26.13) B (A B)
26.14) (A B) A
26.15) (A B) B
26.16) A (B C) = (A B) (A C)

27. En un Instituto de Idiomas estudian 200 alumnos: Italiano 56;
Inglés 60; Francés 84; Italiano e Inglés 16; Italiano y Francés 20;
Inglés y Francés 20; Italiano y Francés 10; los tres idiomas 6.
1. Cuántos no estudiaban ningún idioma.
2. Cuántos estudiaban un solo idioma.
3. En un salón de 68 estudiantes 48 juegan fútbol; 25 básket; y
30 natación. 6 de ellos practican los tres deportes.
4. Cuántos practican un solo deporte.
5. Cuántos practican dos deportes.
6. De 240 alumnos, 144 estudian Matemática; 128 Física y 72
Química; 24 estudian los tres cursos. Cuántos estudian dos
cursos.

61


62


VECTORES

CONCEPTOS BÁSICOS

PAR ORDENADO.- Llamaremos par ordenado a dos objetos cualquiera
a y b; que denotaremos por (a,b), donde “a” es llamado la primera
componente y “b” la segunda componente.

Ejemplo.-
Son pares ordenados (1,4), (-2,3), (Pedro , María), (hombre, mujer).
Dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son iguales si sus primeras
componentes son iguales y las segundas también.

En forma simbólica es:

PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.-
Consideremos dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y
B, al conjunto de los pares ordenados (a,b) donde “a” pertenece al
conjunto A, y “b” pertenece al conjunto B y denotaremos por A x B.
Es decir :

Sean y , el producto cartesiano de A y B es:

63


=
Si , denotaremos y para nuestro caso tomaremos ,
es decir y a sus elementos llamaremos pares ordenados de
números reales.

Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas de ejes X e Y, y a
los puntos de este sistema de coordenadas cartesianas, denotaremos
por , etc.

Gráfico:

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.-
Consideremos dos puntos y , a la distancia de a
denotaremos por y es dado por la fórmula:

Es decir: En él , por

Pitágoras si tiene:

Además se tiene:

64


Reemplazando (2) en (1) se tiene:

SUMA DE ELEMENTOS EN RxR=R2
Dado dos puntos y de , la suma de elementos de
se define del modo siguiente:

MULTIPLICACIÓN DE UN NUMERO REAL POR UN ELEMENTO DE
R2
Sean R y , el producto de un escalar r por un elemento
de que denotamos por y se define como:

ESPACIO TRIDIMENSIONAL

EJES CORDENADOS.- Los ejes de coordenadas son generalmente
identificados por las letras X, Y, Z y hablaremos frecuentemente del eje
X, del eje Y y del eje Z.

La dirección positiva se indica por medio de una flecha, los ejes de
coordenadas tomados de dos en dos determinan tres planos llamados
planos coordenados; planos XY, plano XZ y plano YZ, estos planos
dividen al espacio tridimensional en ocho regiones llamadas octantes.

65


Considere un punto p cualquiera en el espacio tridimensional, a través de
p se construye planos perpendiculares a cada de los ejes coordenados.

Sea A el punto en el cual el plano perpendicular al eje X intercepta en
dicho eje.
Sea B el punto en el cual el plano perpendicular al eje Y intercepta en
dicho eje.
Sea C el punto en el cual el plano perpendicular al eje Z intercepta en
dicho eje.
Los números , son las coordenadas de p y representa
al punto p.

66


DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.-
La distancia no dirigida entre dos puntos y en el
espacio tridimensional está dado por:

Dentro de las aplicaciones de la matemática a la física e ingeniería se
usan frecuentemente cantidades que poseen magnitudes y direcciones;
por ejemplo tenemos la fuerza, velocidad, y aceleración y
desplazamiento, a estas cantidades se representan geométricamente por
un segmento de recta dirigida al cual llamaremos vector.

Consideremos un punto P u un punto Q y al segmento de recta dirigido
de P a Q denotaremos por se llama vector de P a Q y denotaremos
por: .

67


VECTORES BIDIMENSIONALES.-

DEFINICION.-
Un vector bidimensional es una pareja ordenada de números reales
, donde “x” se llama la primera componente y, “y” se llama la
segunda componente.

a) OBSERVACION
1) A los vectores bidimensionales se le representa por letra
minúsculas y en la parte superior se le coloca un segmento de
recta o una flecha, es decir:

2) Al conjunto de los vectores bidimensionales denotaremos por ,
tal que:

3) Al vector cero simbolizaremos por .

4) Si , entonces el opuesto del vector quedará

definido por: .
5) El vector fila, sus componentes se escriben una a continuación de

la otra: .
6) El vector columna, sus componentes se escriben una debajo de la
otra:

Donde es la primera componente.

es la segunda componente.

68


REPRESENTACIÓN GEOMETRICA DE UN VECTOR
BIDIMENSIONAL

Un vector bidimensional es representado, mediante un

segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es cualquier punto
del plano cartesiano y el extremo final es el punto cuyas coordenadas

son , tal como se muestra en la figura.

VECTOR DE POSICION O RADIO VECTOR.-
Al vector cuyo punto inicial se encuentra en el origen del sistema de
coordenadas y el extremo libre puede ubicarse en cualquier cuadrante
del plano cartesiano, se denomina, vector de posición o radio vector, así
como se muestra en la figura.

OBSERVACIÓN.- Al vector lo representaremos por cualquier punto
siendo su dirección indefinida.

69


Ejemplo.- Representar gráficamente al vector , cuyo punto inicial es

, sabiendo que su representación de posición es:

1)
2)
3)

VECTOR TRIDIMENSIONAL

DEFINICION.-
Un vector tridimensional es una terna ordenada de números reales
, donde son las componentes del vector.

Así como las ternas ordenadas , determinan a los

vectores en donde 3,4,5 y 1,-3,2, son sus componentes.

a) OBSERVACIONES.-
1) A los vectores tridimensionales se denota por:

, , , …, etc.

2) Al conjunto de vectores tridimensionales denotaremos por: , de
modo que:

3) Al vector cuyas componentes son llamaremos vector cero y
simbolizaremos por: .

70


4) Si , al puesto del vector quedara definido
por: .

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN VECTOR
TRIDIMENSIONAL.-
Sea un vector en el espacio, al cual lo representaremos

mediante un segmento dirigido tal como ; donde es el punto
inicial y es el extremo libre del vector (tal como
se muestra en la figura).

VECTOR DE POSICIÓN O RADIO VECTOR.-
Un vector es de posición, si el punto inicial coincide con el
origen de coordenadas y el extremo del vector está ubicado en cualquier
punto del espacio, tal como se muestra en la figura.

71


VECTOR n-DIMENSIONAL.-
Un vector n-dimensional es una n-upla ordenada de números reales que
denotaremos por , donde ,

Al conjunto de vectores n-dimensional representaremos por , es decir:

Si

Al vector cero denotaremos por:
El vector opuesto de n-dimensiones quedara definido por:

OPERACIONES CON VECTORES.-

IGUALDAD DE VECTORES.-
Dos vectores son iguales si y sólo si, sus componentes correspondientes
toman los mismos valores.

Es decir: Si entonces escribimos:

Si , y escribiremos
así:

Si no son iguales, entonces escribiremos:

para algún

72


INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA IGUALDAD DE
VECTORES.-

VECTORES IGUALES.- Dos vectores son iguales si tienen la misma
dirección, el mismo sentido, el mismo tamaño, el mismo punto inicial y al
mismo punto terminal se denota por =

VECTORES EQUIVALENTES.- Dos vectores son equivalentes si
tienen la misma dirección, el mismo sentido, el mismo tamaño pero
diferente punto inicial y se denota

Ejemplo.- Calcular el valor M = 7x + 5y si donde =
(5x + 3y, 4x-y-4),

73


Solución
Aplicando el concepto de igualdad de vectores.
≠ ⟺ (5x + 3y, 4x – y -4) = (4x +2y + 5, 3x + y +7)
5x + 3y = 4x + 2y + 5 x=7
4x – y -4 = 3x + y +7 de donde y = -2
M = 7X + 5Y = 7(7) + 5(-2) = 49 -10 = 39 M = 39

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.-
Sea λ un escalar (λ € R) y sea un vector cualquiera entonces
llamaremos producto de λ por denotado por: λ. , al vector
resultante cuyas componentes deben ser multiplicadas por λ, esto es:

Si € ⇒ = ( luego λ = λ.( = (λ λ
Si € ⇒ =( , luego λ = λ.( = (λ λ

en general si € luego λ = λ.( = (λ λ

Ejemplo.- Sea = un vector donde:
1. A(1,1), B(4,3), λ = 2 graficar los vectores y λ

74


Solución

= = – A = (4,3) – (1,1)
= (3,2)
λ = 2(3,2) = (6,4)
λ = -2(3,2) = (-6,-4)

2. Si = (2,3) graficar 3 y -3
Solución

3 = 3(2,3) = (6,9)
-3 = -3(2,3) = (-6,-9)

PROPIEDADES.-
Para todo es escalar r,s € R y los vectores , se verifican las
siguientes propiedades.

1) r. es un vector. 2) (r + s) =r + s

3) r( + )= r + r 4) r(s. =

5) 1. =

75


SUMA DE VECTORES.-
Dados los vectores y , el vector resultante suma + se obtiene
sumando sus correspondientes componentes, esto es:

Si , € ⇒ =( , =(

= (

Si , € ⇒ =( , =(

= (

Si , € ⇒ =( , =(

= (

Ejemplo.-
Si = (3,5) y = (1,4) entonces: = (3,5) + (1,4) = (3 + 1,
5 + 4) = (4,9)

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE VECTORES.-
En la interpretación geométrica de la suma de vectores consideramos los
métodos siguientes:

1er. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.-
Se dibujan las representaciones de los vectores desde el mismo

punto (se hace coincidir los puntos terminal de y inicial de ) y se

76


completa el paralelogramo. La diagonal trazada desde el punto común
representa .

2do. MÈTODO DEL TRIÀNGULO.-
Los vectores se grafican uno a continuación del otro, luego el

vector resultante se obtiene del punto inicial del vector con el

punto final del vector .

3er. MÈTODO DEL POLIGONO VECTORAL.-
La resultante de la suma de varios vectores se obtiene llevando los
vectores una a continuación de otro haciendo coincidir el extremo de uno
con el origen del otro, para finalmente determinar la resultante uniendo el
origen del primer vector con el extremo del último vector.

77


PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES
Para todo vector se verifica las siguientes propiedades:

1) es un vector.

2) = , conmutativa
3) , asociativa

4) vector, existe un único vector tal que , neutro
aditivo.
5) vector, existe un único vector tal que ,
inverso aditivo.

DIFERENCIA DE VECTORES
Consideremos los vectores ; a la diferencia de estos vectores se

define de la siguiente manera:

Si =( , =( , de donde:

Si =( , =( , de donde:

78


     
Ejemplo.- Sean a ( 1,3) y b (4,8). Hallar 3.( b 2a ) 6a 2b

Solución
 
b 2a (4,8) 2.( 1,3) (4,8) ( 2,6) (6,2)
 
6a 2b 6.( 1,3) 2(4,8) ( 6,18) (8,16) ( 14,2)
   
3(b 2a ) 6a 2b 3.(6,2) ( 14,2) (18,6) ( 14,2) (4,8)

INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DIFERENCIA DE
VECTORES.-
 
A los vectores a, b lo representamos por los segmentos dirigidos

PQ y PR con la condición de tener el tener es decir el origen
   
común en el punto P, entonces la diferencia de a, b es decir: a b
quedara representado por el segmento dirigido QR puesto que
   
b (a b ) a .

   
Ejemplo.- Dado la representación de a y b dibuje a b , usando la
definición de resta y la regla del triangulo para la suma.

79


Solución
 
Dibujando los vectores a AB, b AC , desde el mismo punto inicial A.


Ahora dibujamos b

 
Empleando la regla del triangulo para la suma se dibuja a b

LONGITUD O MÓDULO O NORMA DE UN VECTOR.-

La longitud o módulo de un vector a es el número real no negativo,

representado por a y es definido por la raíz cuadrada de la de los

cuadrados de sus componentes, esto es:

  
i) Si a V2 a (a1 , a2 ) de donde: a a12 2
a2

cuya representación gráfica es:

80



Si a (a1 , a2 ) es un vector de posición cuyo módulo y
representación gráfica es:

ii) Si  
a V3 a (a1 , a2 , a3 ) de donde:

a a12 2
a2 2
a3

cuya representación gráfica es:


Si a (a1 , a2 , a 3 ) V3 es un vector de posición cuyo

módulo y representación gráfica es:

81



Sobre el plano XY se tiene d (a1 , a2 ) donde su módulo

es: d a12 2
a 2 . De donde al incluir el eje Z se tiene el

módulo del vector a (a1 , a2 , a 3 ), es decir:

 2
2 
a d a3 a12 2
a2 2
a3 a a12 2
a2 2
a3
 
En general si a Vn a (a1 , a2 , …, a n ) de donde su
módulo es:
n

a a12 2
a2 2
... a n ai2
i 1


Ejemplo 1.- Si a (3 ,4) su módulo es:

a 32 42 9 16 25 5


Ejemplo 2.- Si a ( 1, 3, 4) su módulo es:

a 1 9 16 26


Ejemplo 3.- Si a ( 2, 4) y b ( 3, 5) entonces:

2a 3b 2. 2,4 3 3,5 4,8 9,15 4 9,8 15 5, 7
2 2
5 7 25 49 74

Ejemplo 4.- Hallar el valor de M= 2x + 6y- 3z si el módulo

de a 8 2x,5x 3z,2 y z es igual a cero.

82


Solución

Como a

V3 y a

0 a 0 0,0,0 , es decir:

a 0,0,0 8 2x,5x 3z,2 y z de donde

2

Luego

PROPIEDADES DEL MODULO DE UN VECTOR
Se verifican las siguientes propiedades:
1. vector

2.
3. vector,
4. (desigualdad triangular)

Demostración
1. Si =(

, como entonces
En forma similar si
=(

83


2. Si

Si =( entonces

. Por lo tanto

En forma similar si ⇒ =( entonces

Por tanto
Si

Si

Si

3. Si =( entonces: su módulo
es:

Por lo tanto

Si =( , entonces:

. Por lo tanto:

4. La desigualdad triangular lo demostraremos posteriormente en
base a la desigualdad de CAUCHY-SCHWARZ.

84


VECTOR UNITARIO.-
Se llama vector unitario cuyo módulo es la unidad, es decir: es un
vector unitario si y solo si = 1.

Ejemplo.- El vector es unitario por que =

TEOREMA
Dado un vector entonces el vector es un vector unitario.

Demostración

Sea =( entonces:

es unitario si

Es decir

Por lo tanto como entones es unitario.
En forma similar para los vectores

Ejemplo.- Si , por lo tanto:

es unitario.

DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN R2
Cada vector no nulo =( y su representación como radio vector le
corresponde una dirección dad por la medida del ángulo formado por el
vector y el eje X positivo en sentido antihorario.

85


Si =(

... (1)

además y de (1) se tiene:
=(

Por lo tanto, un vector queda determinado por su magnitud y su
dirección.

Si es un vector unitario es decir

Luego si es un vector unitario se puede expresar en función de es

decir:

Y el ángulo se denomina ángulo de inclinación o ángulo de dirección
del vector

OBSERVACION.- la medida del ángulo se obtiene de la forma
siguiente.
Mediante un ángulo de referencia y haciendo uso de una tabla de

valores se halla el valor de con para el cual ,

86


Si 1er. cuadrante:

, 2do. cuadrante:

, 3er. cuadrante:

, 4to. cuadrante:

Ejemplo.- Hallar un vector de longitud y que tiene la misma
dirección de un vector que forma un ángulo de 30° con el sentido positivo
del eje X.

Solución

=

87


Ejemplo.- Expresar el vector en términos de su magnitud y
su ángulo de inclinación o dirección.

Solución

Como , de donde

Calculando se tiene 4to. Cuadrante

Donde

Luego
Por lo tanto

CONBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.-

Sea un conjunto de vectores, llamaremos combinación
lineal de los vectores , a la expresión siguiente:

Donde

DEFINICION
Diremos que el vector esta expresado en combinación lineal de los

vectores y si existen escalares , tal que:

88


Ejemplo.- Expresar al vector en combinación lineal de los vectores y
siendo

Solución

El vector es expresado en combinación lineal de los vectores y si
existen , R tal que: .
(2,2)=

De donde resolviendo el sistema si tiene ,

Luego la combinación lineal es:

DEFINICION
Un conjunto de n vectores se dice que son linealmente
independiente, si toda combinación lineal igualada al vector nulo.

, , implica que

Cuando los vectores no son linealmente independiente se dice que son
linealmente dependientes.

89


OBSERVACION
1) Los vectores , son linealmente dependiente cuando los

vectores y son colineales.

2) Los vectores , son linealmente independiente cuando los

vectores y son no colineales.

Ejemplo
1) Determinar la dependencia o independencia lineal de los vectores
, .

Solución
Utilizando la definición correspondiente, formularemos la
combinación lineal y determinaremos las escalares respectivos
siempre que sea posible.
, de donde

por igualdad

90


resolviendo el sistema se tiene , donde es

arbitrario.

Entonces , y son linealmente dependiente.

2) Determinar la dependencia o independencia lineal de los vectores

Solución
En forma similar al ejemplo anterior expresaremos a los vectores
, y en combinación lineal.

de donde
por igualdad

resolviendo el sistema se tiene:

Entonces los vectores , y son linealmente independiente.

VECTORES FUNDAMENTALES
Consideremos los vectores y en al cual denotaremos así:
, estos vectores son unitarios y se representan a partir
del origen de coordenadas, situadas sobre los ejes coordenados en
sentido positivo al de los ejes; a estos vectores se les
denomina vectores fundamentales.

91


Todo vector de se puede expresar en combinación lineal de los
vectores fundamentales ,
Sea pero

de donde: =

A los números , se denominan componentes escalares de y los
vectores se denomina componentes vectoriales del vector .

En forma similar consideremos los vectores y en

al cuál denotaremos así:

Estos vectores son unitarios y se representan a partir del origen de
coordenadas, situada sobre los ejes coordenados en sentido positivo al
de los ejes; a estos vectores se les denomina vectores fundamentales.
Todo vector de es decir:

, puede expresarse como
combinación lineal de los vectores
fundamentales. En efecto:

Ejemplo.- Expresar el vector como combinación lineal de los

vectores y , siendo , .

92


Solución

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
El producto escalar (o producto interno) de dos vectores está dado
por la suma de los productos de sus componentes correspondientes.
Es decir: Sí

Si

En general para se tiene:

Ejemplo.- Sí y entonces

-

OBSERVACION.- El producto de dos vectores es un número real.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
Consideremos tres y un número real cualquiera; entonces:
1)

93


2)

3)

4)

5)

6)

Ejemplo.- Sí , y . Hallar

Solución

VECTORES PARALELOS Y ORTOGONALES
a) Dos vectores y son paralelos si uno de ellos es igual al otro

vector multiplicando por un número real, es decir:

tal que

Ejemplo.- Sí , , entonces , tal que

Ejemplo.- Los vectores y no son paralelos porque

, tal que

94


OBSERVACIÓN.- El vector nulo es paralelo a todos los vectores, en
efecto: , vector, , entonces: y son paralelos.

CONSECUENCIA.- Si entonces ,

, ahora si y son diferentes de cero, se tiene de la

igualdad.

de donde ,

Luego tenemos que:

es decir si entonces existe proporcionalidad entre las componentes

correspondientes.

Ejemplo.- Determinar si los vectores y son
paralelos.

Solución
Si debe existir proporcionalidad entre las componentes

correspondientes:
. Luego y son paralelos.

CRITERIO DE COLINEALIDAD.- Un conjunto de punto A, B y C son
colineales si y sólo si pertenecen a una misma recta.

95


Por lo tanto, tomando de dos en dos se obtienen vectores paralelos,
.

Ejemplo.- Determinar si los puntos y son
colineales.

Solución
Los puntos A, B y C son colineales situados de dos en dos se generan
vectores paralelos

Luego los puntos A, B y C son colineales.

b) Dos vectores y son ortogonales si se verifica la siguiente
relación.

Así por ejemplo, los vectores y son ortogonales,
en efecto:
…(1)

(2)

Comparando (1) y (2) se tiene:

96


Si los vectores y son ortogonales entonces denotaremos por

, es decir:

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA ORTOGONALIDAD DE
VECTORES

Como los vectores y son las
diagonales del paralelogramos cuyos lados
son y , entonces si los vectores y son
ortogonales esto significa que el
paralelogramos es un rectángulo, por lo
tanto sus diagonales son congruentes.

Otro modo de interpretar la ortogonalidad de los vectores y es:

TEOREMA.- Los vectores y son ortogonales sí y sólo sí

Demostración

i) Si (por demostrar)

Por hipótesis se tiene que y son ortogonales entonces
(por definición de ortogonalidad).

97


Luego desarrollando los cuadrados de la

igualdad se tiene: de donde

ii) Si (por demostrar)

Como

De donde

Esta relación nos indica que los vectores a y b son ortogonales
(por definición de ortogonalidad).

Ejemplo.- Determinar cuáles de los pares de vectores dados son
ortogonales.

1)

entonces y son
ortogonales.

2)

3) entonces y
no son ortogonales.

TEOREMA

Los vectores son ortogonales sí y solo sí

98


PROYECCION ORTOGONAL Y COMPONENTE
Consideremos dos vectores y no nulos, construyamos un triángulo

rectángulo cuya hipotenusa sea el vector y su base sea el vector

(donde ) paralelo al vector de modo que los lados del triángulo
quedará representado así:

Hipotenusa al vector y por catetos a los vectores , donde

Como o lo que es lo mismo entonces

. , de donde es el único número real, como ,

significa que el triángulo cuya hipotenusa es el vector tendrá por

catetos a los vectores: ; En consecuencia: al vector

que es paralelo al vector , llamaremos proyección ortogonal del vector

sobre el vector .

Al vector expresaremos en la forma siguiente: , de

donde es el vector unitario en la dirección del vector , en tanto que el

número es la longitud dirigida del vector proyección, al número

llamaremos componente del vector en la dirección del vector .

99


DEFINICIONES
i) Sean y dos vectores, donde , definimos la

proyección ortogonal del vector sobre el vector y los
representamos del modo siguiente:

ii) Sean y dos vectores, donde , al número que es

la longitud dirigida del vector le llamaremos la

componente del vector en la dirección del vector y

denotaremos así:

RELACIÓN ENTRE PROYECCIÓN Y COMPONENTE
Consideremos dos vectores y donde por definición sabemos
que:

Al vector expresaremos en la forma siguiente:

, como

Entonces se tiene:

100


i) Si la , la y tienen la misma dirección.

ii) Si la , la y tienen direcciones opuestas.

iii) Si la quiere que .

OBSERVACION.- La diferencia entre proyección ortogonal y
componente radica en que la proyección ortogonal es un vector y la
componente es un número real.

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES

TEOREMA.- Demostrar que el ángulo formado entre dos vectores y
no nulos corresponden a la siguiente relación.

101


Demostración

Como y son dos vectores no nulos y es el ángulo formado por estos

dos vectores , de modo que el campo de variabilidad está

dado por .

Por definición de componente sabemos que:

… (1)

del gráfico se sabe que de donde

… (2)

reemplazando (2) en (1) se tiene:

Ejemplo.- Dados los vectores , . Hallar:

102


a) La proyección de sobre .

b) La componente de en la dirección de .
c) El ángulo entre los vectores propuestos.

Solución

a)

b)

c)

LA DESIGUALDAD DE CAUCHY – SCHWARZ.-

TEOREMA.- Demostrar que: para todo vector y se verifica la
siguiente relación.

Demostración
Veremos primero para el caso en que

Por Pitágoras del gráfico se tiene:

, lo que es mismo

103


, además

por lo tanto … (1)

Ahora veremos el caso cuando es decir:

Si tal que

Por lo tanto:

Luego de (1) y (2) se tiene:

APLICACIÓN.- Como aplicación de este teorema, demostraremos la
desigualdad triangular.

, de donde

por lo tanto:

OBSERVACIÓN.- Consideremos el vector
definiremos un vector ortogonal al vector al cual denotaremos por
cuyos componentes son y que es obtenido aplicando un giro de
90° sobre el vértice del vector en sentido antihorario, el vector
así definido es ortogonal al vector .

En efecto: =
Luego

104


Ejemplos.-
Sean su ortogonal es
Sean su ortogonal es

ANGULOS DIRECTORES, COSENOS DIRECTORES Y NÚMEROS
DIRECTORES.-

Sea entonces:

Definimos los siguientes ángulos: , , ,
entonces:
a) A los números se les llama números directores del vector
.

105


b) A los ángulos formados por los ejes positivos y el vector ,
se les llaman ángulos directores del vector .

Los ángulos directores toman valores entre y es decir:
.

c) A los cosenos de los ángulos directores se les llama cosenos
directores del vector . Es decir:

Como , de donde

, de donde

, de donde

como
, tomando módulo en ambos lados se
tiene:

AREA DE: TRIANGULOS Y PARALELOGRAMOS.-
Consideremos un paralelogramo cuyos lados son los vectores y .

106


La altura del paralelogramo es:

como área del paralelogramo es:

pero

En consecuencia el área del triángulo cuyos lados son los vectores y
esta dado por:

Ejemplos.-
1) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(-3,2),
B(3,-2), C(4,5).

Solución

Si

107


PRODUCTO VECTORIAL
Para calcular un vector ortogonal a otro vector en se definió en la
forma siguiente.

Si , que se obtenía de hacer girar al vector
un ángulo de en sentido antihorario.

Pero para el caso de a un vector su ortogonal no se define por ,
puesto que, para el vector fijo , existen infinitas direcciones en las

que un vector es ortogonal al vector .

Por lo tanto definiremos una operación entre dos vectores y en , de
tal manera que resulte un vector que sea perpendicular tanto al vector

como el vector .

108


DEFINICION
Considerar dos vectores de , ; entonces el

producto vectorial de y se define por:

Ejemplo.-
Sean y

Como se puede observar es ortogonal tanto a como a .

PROPIEDADES
Sean

1) es ortogonal tanto como a .

2) (el producto vectorial no es conmutativo)
3)

4)

5)

6)

La demostración de estas propiedades son directas mediante la
definición.

109


Vectores fundamentales
del espacio

usando la definición de producto vectorial obtenemos

Usando las propiedades de (*) obtenemos la definición de .
Es decir: Si

= que es el producto esperado.

110


De igual manera podemos obtener desarrollando el determinante de
tercer orden propuesto de la propiedad (6).

Esta propiedad es muy importante, porque permite calcular el producto
vectorial sin necesidad de recordar la definición.

Ejemplo.- Sean , entonces:

OBSERVACIÓN.- El desarrollo del determinante de tercer orden es
como sigue.

Este procedimiento se denomina, desarrollo por menores
complementarios de la primera fila y es la técnica recomendada para
calcular el producto vectorial.

TEOREMA.- Demostrar que:

Donde es el ángulo entre los vectores y ;

111


Demostración

Sean y por definición de
tenemos:

Efectuando operaciones en el segundo miembro y factorizando se tiene:

… (1)

Pero , de donde: … (2)

Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:

De donde: , por tanto

NOTA.-
Cual es el significado geométrico de .

Consideremos un paralelogramo cuyos lados son los vectores y .

112


La altura h es igual a: , es decir:

, además el área de un paralelogramo es:

Por lo tanto es el área del paralelogramo formado por los

vectores y .

Ejemplo.-

1) Hallar el área del paralelogramo formado por los vectores
y

Solución

113


TEOREMA.-
Demostrar que dos vectores son paralelos si solo si

Demostración

i) Si (por demostrar)

como o

pero

ii) Si (por demostrar)

como

además , ,

Entonces o

Por lo tanto, y son paralelos.

2) Dados los vectores y . ¿Son paralelos
estos vectores?

Solución

Si , entonces:

y no son paralelos.

114


PRODUCTO MIXTO O PRODUCTO TRIPLE ESCALAR.-
Sea , y tres vectores de , al producto mixto de , y que

denotaremos por se define como el producto escalar de y .

Es decir:

PROPIEDADES DEL PRODUCTO TRIPLE ESCALAR
Consideremos los vectores , entonces se verifica:

1)

2)

3)

Ejemplo.- Si , y , entonces

mediante el producto mixto, se puede describir la orientación (tal como
se observa en los siguientes gráficos).

La flecha indica la La flecha indica la
orientación orientación
Positiva (LEVOGIRA). Negativa (DESTROGIRA).
115


En general: Si , entonces decimos que están orientados

positivamente y que los vectores y tienen la misma

dirección, es decir que los vectores y están en un mismo plano P

que contiene al paralelogramo formado por y .

Si , entonces decimos que están orientados positivamente

y que los vectores y tienen direcciones opuestas, ósea que

los vectores y están en el lado opuesto del espacio con respecto

al plano P que contiene al paralelogramo formado por los vectores y .

VOLUMEN DE PARALELEPÍPEDO
Consideremos el paralelepípedo formado por los vectores .

116


por que ,

entonces:

por lo tanto si representa el volumen del

paralelepípedo de aristas para el caso en que entonces

es el volumen del paralelepípedo.

Ejemplo.-
Determinar el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los vectores
, y

Solución

VOLUMEN DEL TETRAEDRO.-
Consideremos el tetraedro formado por los vectores .

,

117


Ejemplo.- Determinar el volumen del tetraedro cuyas aristas son los
vectores , y

Solución

118


EJERCICIOS DESARROLLADOS

1) Dados los puntos y . Hallar las
componentes de los vectores y

Solución
De la interpretación geométrica de un vector se tiene:

2) Hallar el punto con el que coincide el extremo del vector
si su punto inicial es .

Solución
Como de donde

por lo tanto .

3) Si , hallar el valor de x sabiendo que el módulo de
es 13.

Solución
Como , de donde
entonces y por lo tanto o .

119


4) Hallar el vector que tiene la misma dirección del vector
, sí ( es el vector que tiene la misma

dirección que ).

Solución

Como y tienen la misma dirección entonces

Como

5) Si A, B y C son puntos de una misma recta, hallar el vector
sabiendo que B se encuentra entre A y C donde y
y .

Solución
Como y tienen la misma dirección entonces

Pero

=
De donde

Como

6) Demostrar para qué valores de e los vectores y

son paralelos.

120


Solución
Si tal que al reemplazar por sus
componentes se tiene:
de donde , ,

,

Luego

Por lo tanto los valores de e es:

7) Si y . Hallar para que sea
paralelo a

Solución

Si tal que: , dé donde:
por igualdad se tiene:
entonces

Igualando se tiene:

de donde

8) Para que valores de “a”, los vectores , y

son ortogonales.

121


Solución
Si (ortogonales)

son los valores de a.

9) Hallar las coordenadas de los vectores y , conociendo los
puntos y

Solución

10)Los extremos del vector coinciden con los punto y
. Determinar las coordenadas del punto , sabiendo que el
punto es el origen y sus coordenadas son

Solución

de donde:

Luego

122


11)Determinar el origen del vector si su extremo libre
coincide con el punto .

Solución

, igualando se tiene:

Por lo tanto:

12)Determinar para que valores de m y n los vectores
y son colineales.

Solución
Como y son colineales y son paralelos, es decir:
, de donde:

entonces:

13)Determinar para qué valores de los vectores ; son
perpendiculares entre sí, sabiendo que , .

Solución
Como

14)Calcular sabiendo que: , y

123


Solución
, elevando al cuadrado tenemos:

169+361+2 2

15)Los vectores y forman un ángulo , se sabe además que:
y . Determinar: y .

Solución

16)Los vectores y forman entre sí un ángulo de 45° y el módulo

de es 3. Hallar el módulo de , de modo que ( sea
perpendicular a .

Solución
Como y además por hipótesis:

También sabemos que: como

De donde

124


17)Los vectores y forman entre sí un ángulo de 45° y el módulo

de es 3. Hallar el módulo para que forme con un ángulo
de 30°.

Solución
Por hipótesis tenemos y

Determinamos , para que , de donde:

elevando al cuadrado y simplificando

, resolviendo la ecuación:

18)Sean y dos

vectores. Demostrar que y son ortogonales.

Solución

(ortogonales)

Como

125


19)Calcular los cosenos directores del vector

Solución

de donde tenemos:

20)Demostrar que: y
determinar los ángulos formados por

el vector con las
direcciones positivas de los ejes
coordenados.

Solución
Se conoce que: sí entonces

sumados se tiene:

21)Demostrar que y son ortogonales sí solo sí .

126


Solución
i) son ortogonales sí y solo sí .

Como

ii) sí

como

(ortogonales)

22)Si , y son las aristas de un paralelepípedo rectangular,
entonces determinar los ángulos formados entre las aristas y
diagonales respectivamente (caso particular del cubo).

Solución

i) Sea

como entonces:

de donde

ii) Sea

127


Luego de donde

iii) Sea

Luego de donde

En particular del cubo se tiene:

por lo tanto:

Luego:

Análogamente se puede determinar la medida de los otros
ángulos tomando cualquier otra diagonal del paralelepípedo
rectangular.

23)Un vector ha formado los ángulos de y con los ejes OX,
OZ respectivamente, determinar el ángulo formado con el eje OY.

128


Solución
Sea el ángulo por calcular
Por cosenos directores tenemos: ,
respectivamente se tiene:
reemplazando

24)Demostrar que: si dos vectores son unitarios, entonces la suma es
un vector unitario si y solo si el ángulo formado por dichos
vectores es de .

Solución
i) sean a, b vectores unitarios de modo que:

ii) Sí

Como es unitario

25)Probar que la suma de vectores es conmutativa, es decir:

129


Solución
Se observa que: por definición

de suma de donde: … (1)
por definición de

Suma de donde: … (2)
Comparando (1) y (2) se tiene

26)Demostrar que la suma de vectores es asociativa, es decir:
.

Solución
Se observa que:

Por definición de suma de
vectores, de donde:
… (1)
por definición de
suma de vectores, de donde:
… (2)
por definición de suma de vectores, de donde:
… (3)

por definición de suma de vectores, de donde:
… (4)

Comparando (3) y (4) se tiene:

130


27)Demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos
lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a la mitad
de su longitud.

Solución
Sea , de modo que:
, ,

como entonces:

A continuación se debe comprobar que el segmento que une los
puntos medio de dos lados de un triangulo es igual a la mitad de la
longitud del tercer lado del triangulo, para ello sabemos que:
, por lo tanto:

28)Sean y dos vectores que tienen distinta dirección. Hallar la

expresión de cualquier vector del plano determinado por y .

Solución
Sabemos que el vector es

paralelo al Vector
análogamente el vector es
paralelo al vector , y
aplicando la regla del
paralelogramo tenemos:
que es la expresión pedida.

131


29)Demostrar que en un triángulo isósceles, la mediana es igual a la
altura.

Solución
Por hipótesis tenemos que:

Debemos demostrar que:
Según el gráfico sabemos que:
… (1)

Igualmente según el gráfico se tiene:
… (2)

30)Si los extremos de tres vectores distintos , y , de origen común
son colineales. Demuéstrese que se cumple la relación
siendo y números reales distintos de cero.

Solución
Consideremos tres vectores , y distintos con extremos
colineales y origen común.
Del gráfico se tiene: … (1)

tal que: … (2)

reemplazando (2) en (1) se tiene:

132


, de donde

en general

31) Demuéstrese que si tres vectores distintos , y , cumple la
relación siendo y números reales
distintos de cero, entonces los extremos de los

vectores , y son colineales.

Solución
Como ,
reemplazando:

de donde

se observa que es un vector que se obtiene sumando el vector
y el vector que es paralelo al vector y esto nos

implica que el extremo de se encuentra en la línea que une A y
C.

32)Demostrar que el triángulo inscrito en un semicírculo es un
triángulo rectángulo.

133


Solución
Se observa que por ser radio de un circulo.
Por demostrar que:
es decir que:
Luego

pero como entonces:

En consecuencia

33)Si k es un punto interior del triángulo MNP y M‟, N‟, P‟ son los
puntos medios de los lados del triángulo. Demostrar que
.

Solución
Por hipótesis tenemos:

y

Además en la figura se observa que:

134


Luego … (1)

Igualmente de los otros lados deducimos:
Además en la figura se observa que:

Luego … (2)

Luego … (3)

Ahora sumando (1), (2) y (3) se tiene:

Por lo tanto:

34)Sean , dos vectores de un mismo origen y sus extremos los
puntos A y B respectivamente. Expresar un tercer vector en
términos de los vectores dados, tal que comparta del mismo
origen y su extremo se encuentra en el punto medio del segmento
.

135


Solución
debe expresarse en términos de , por hipótesis se sabe que:
, además se tiene:

sumando se tiene: por los
tanto:

35)Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en
su punto medio.

Solución
Consideremos el paralelogramo OABC.
cuyas diagonales se cortan
en el punto P,
además en la gráfica se
observa que:

i) entonces y o
puesto que y son paralelos.

136


ii) y o puesto que

y son paralelos.
iii) reemplazando i), ii) y iii) se tiene:

, de donde

, como y no son paralelos
Se tiene que: por tanto

Se tiene que: por tanto

con lo que se afirma que P es el punto medio de la
diagonales.

36)Demostrar que el polígono resulta de unir los puntos medios de
los lados de un cuadrilátero, es un paralelogramo.

Solución
Consideremos el cuadrilátero OABC siendo E, F, D, G los puntos
medios de sus lados. En la figura que:

137


i) , , ,

ii) (trayectoria cerrada)

iii) de (ii)

Luego de donde

por lo tanto tenemos que: (ii), (iii)
de modo que el cuadrilátero resultante es un
paralelogramo.

37)En un triángulo cualquiera, demostrar que existe otro triángulo
cuyos lados son iguales y paralelos del primero.

Solución
La condición para que tres vectores , y formen un triangulo es:

138


En la figura (b) se tiene:

Sumando se tiene:

Luego cumple la condición de formar un triángulo.

38)Demostrar vectorialmente que: si el cuadrado de la longitud de un
lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las
longitudes de los otros dos lados entonces el triángulo es un
triángulo rectángulo.

Solución

Se sabe que:

Y como la trayectoria es cerrada entonces

, pero

de donde

por lo tanto ; como son ortogonales, por consiguiente el
triángulo es un triángulo rectángulo.

139


39)Demostrar vectorialmente que un triángulo hay dos medianas de
igual medida.

Solución
Sabemos por hipótesis que por ser

triángulo isósceles:
además del grafico se tiene:

por definición de suma de vectores

por definición de suma de

vectores.
luego demostraremos que

, como

Entonces … (1)

, como

entonces: … (2)

ahora comparando (1) y (2) se tiene:

por lo tanto las dos medianas de un triángulo isósceles, sus
medianas son iguales.

40)Demostrar que si las magnitudes de la suma y la diferencia de dos
vectores son iguales, entonces los vectores son perpendiculares.

140


Solución
Consideremos dos vectores , entonces por condición del
problema se tiene:

, de donde , desarrollando

tenemos:

, ahora simplificando

, esto indica que los vectores son
perpediculares.

41)Demostrar que si la suma y la diferencia de dos vectores son
perpendiculares, entonces los vectores tienen magnitudes iguales.

Solución
Consideremos dos vectores de tal manera que:

Ahora desarrollamos el producto escalar se tiene:

de donde:

42)Si A, B y C son puntos de una misma recta, el punto C divide al
segmento AB en la razón r, si . Determinar C, si C divide
al segmento AB en la razón r.

Solución
En el gráfico se observa que:
si

141


De donde … (1)
Como C divide al segmento AB en la razón r,
Entonces
Ósea que: … (2)

, de donde

43)Consideremos cuatro puntos A, B, C y P, de tal manera, que si P
está en la recta que pasa por los puntos A, B y C, y que divide a
los segmentos y en las razones r, s y t respectivamente.
Demostrar que r.s.t=1

Solución
De los datos del problema se tiene que:
P divide al segmento en la razón r … (1)
P divide al segmento en la razón s … (2)
P divide al segmento en la razón t … (3)
De (2) … (4)
De (3) … (5)

Ahora reemplazando (5) en (4) se tiene: … (6)

, como entonces

142


44)Los vectores , y son distintos con origen común.
Encuéntrese la condición necesaria y suficiente para que sus
puntos extremos sean coplanares.

Solución
Los puntos A, B, C y D (extremos de los vectores , y ), serán
coplanares cuando uniéndolos dos a dos, cualesquiera de ellas,
las rectas resultantes se corten o sean paralelas.

Supongamos que conectamos A con B y C; si ambas se cortan,
los puntos A, P y B estarán en línea recta (P punto de intersección
de las rectas y extremo del vector ), y lo mismo sucederá con P y
D por lo tanto.

Del ejercicio (7) se tiene:

De los sistemas se tiene: , de donde:

La condición necesaria, es pues: … (1)

143


Si las rectas AB y CD son paralelas entonces: , se
donde
, también se cumple la relación (1)

Por lo tanto si P es punto común de AB y CD, entonces A, B, C y
D son coplanares.
45)Demuéstrese que las tres alturas de un triángulo coinciden en
punto.

Solución
La relación siguiente se cumple
… (1)

Como se puede demostrar por simple desarrollo.
Si los vectores y tienen

la dirección de las alturas
correspondientes y son, por lo tanto,
perpedicular, respectivamente, y
resulta que: ,

y teniendo en cuenta

la parte (1) se tiene:

Luego es perpendicular a ; y tendrá la

dirección de la altura resultante: por tanto, las tres alturas
coinciden en el punto H.

46)Si P es el punto de intersección de las medianas del triangulo
ABC, O es punto cualquiera del espacio demuestre que:
.

144


Solución
Sea M el punto medio de A y C … (1)

Además por la propiedad de las medianas:

… (2)

Reemplazando (1) en (2) tenemos:

Luego

47)Sumar gráficamente y analíticamente los vectores , y que se
muestran en la figura.

145


Solución
Analíticamente: ,

Luego

48)Dado un paralelogramo de vértices los puntos A, B, C y D si M es
el punto medio de y P está en a de la distancia de A a P,

demostrar vectorialmente que: .

Solución
,

De donde

Por demostrar , de donde:

Por lo tanto:

146


49)Dado un paralelogramo cuyos vértices son los puntos A, B, C y D
siendo P y Q los puntos medios de los lados y
respectivamente. Demostrar que y trisecan a la diagonal .

Solución
Sean E y F los puntos de intersección de y con la diagonal
.
Por demostrar que:

Del gráfico se tiene:

… (1)

… (2)

Igualando (1) y (2) se tiene:
, de donde

Pero como y son vectores no paralelos y diferentes del
vector nulo y por el ejercicio (1) se tiene:

Por lo tanto de (1) se tiene:

147


50)Un automóvil recorre 5 km. Hacia el norte, luego 8 km. hacia el
noreste; representar gráficamente y hallar la resultante del
recorrido.

Solución
(Representa el desplazamiento
de 5 km. hacia el norte)
(Representa el desplazamiento
de 8 km. hacia el noreste)
(Representa a la resultante

del recorrido, es decir: ).

En el triangulo OAB los lados son los vectores y cuyas
longitudes son:

Para determinar la longitud de aplicamos la ley del coseno, es
decir:

, de modo que es el ángulo comprendido entre

, cuyo valor es:

. Luego reemplazando

kms.

148


CAPÍTULO III
ALGEBRA DE NÚMEROS

3.1 TEORÍA DE NÚMEROS
Los números aparecen en las diferentes civilizaciones, cuyo
estudio histórico se pierde en el tiempo.

Una de las civilizaciones más importantes fueron los Sumerios,
que se desarrollaron en la actual zona del IRAK; quienes 1700
años A.C. idearon el sistema de Numeración Decimal; utilizados
mundialmente y representados en las cuevas, mediante el arte
Rupestre. Los Babilonios invadieron y aprendieron el sistema de
Numeración Decimal y llevaron al Asia; Norte de África y Europa.
Los árabes invadieron a los Babilonios, por transculturización
aprendieron el sistema de Numeración Decimal y siguieron dando
a conocer, a los países donde comerciaban. Injustamente se les
conoce como Números Arábigos; cuando, los inventores fueron
los Sumerios.

En un principio no se pudo definir los números y se trato de
considerar como concepto primitivo. Inclusive en la Teoría de
Inducción completa; se considera: Cero, Número y sucesivo como
concepto primitivo.

Posteriormente, se descubre la “Teoría de Conjuntos” por Kurt
Grelling quien había escrito 200 años antes con relación a los
conjuntos; recién se define (1940) los números teniendo como
base los conjuntos estudiados por el inglés Kurt Grelling. Es

149


conveniente reconocer los estudios realizados por los incas (1000
años después de Cristo) referente a los números (Yupay) en el
sistema de Numeración Decimal; representados en los Quipus y el
Yupana; como estupendos representantes de la matemática del
flujo.

Los incas en los “Yachay wasi” (Casa del aprendizaje) orientaban
el aprendizaje de los números (Yupay) en base decimal, conocían
las operaciones básicas: Yapay (suma), Quechuy (resta), Merachy
(multiplicación) y Cheqta (División) se desarrollan fácilmente en el
Quipu (para anular) y el yupana (para contar números). Los niños
aprenden por tres canales: tacto (qapispa); vista (qawaspa), oido
(uyarispa). Según la moderna NEUROPEDAGOGÍA; el más
científico y completo sistema de aprendizaje para la matemática.

3.1.1 NÚMERO NATURAL (N)
Es el signo que representa a los conjuntos coordinables
A = {a} A = {a; b} A = {a; b; c}
B = {b} B = {c; d} B = {d; e; f}
C = {c} C = {e; f} C = {g; h; i}
. . .
. . .
. . .
. . .
1(uno) 2 (dos) 3 (tres) ..............

Representación lineal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ....

150


Los números naturales cumplen con la propiedad conmutativa
(cerrados) para la suma y la multiplicación. No se cumple para la:
resta y división.

3.1.2 NÚMEROS ENTEROS (Z)
Como los números naturales son cerrados, es necesario ampliar
los números y tenemos, los números enteros en Z; que contienen
a todos los números naturales con signo positivo y todos los
números negativos; son el resultado de comparar dos números
naturales por sustracción.

Representación lineal
● ● ● ● ● ● ● ●
- ...-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4.......+

Los números enteros cumplen con la propiedad conmutativa para
las operaciones de: suma, resta y multiplicación; en cambio para
la división no se cumple; por lo que es necesario ampliar.

3.1.3 NÚMEROS RACIONALES (Q)
Que son el resultado de comparar los números enteros por
división: Los números racionales cumplen con la propiedad
conmutativa (cerrados) para la: suma, resta, multiplicación y
división, siendo el segundo diferente de Cero.
Diagrama lineal

- ............... -3 -2 -1 0 1 2 3 ................... +
3 5
-
2 8

151


3.1.4 NÚMEROS IRRACIONALES (Q’)

Se denomina así, a todos los números que no son racionales.
Ejemplo:

(3.1416..) 3 3 5 (3.1416..)

- ..................... -3 -2 -1 0 1 2 3............ +
E (2.71) E (2.71)

Diagrama Lineal (Q’)

3.1.5 NÚMEROS REALES (R)
Se denomina así a todos los números estudiados: naturales,
enteros, racionales e irracionales.

Si en los números racionales se desarrolla la operación de
división; a estos números se les conocen como números
Racionales decimales. Ejemplo:

3
= 0.374999........
8
1
= 0.5
2
8
= 1.6
5

3.1.6 NÚMEROS IMAGINARIOS (I)
Son los números que se presentan como la raíz par (2; 4; 6........)
de los números negativos. Ejemplo:

2 = 2 ( 1) = 2 i; ( 1 ) = i ; 1.41 i

4 = 4 ( 1) = 2 1 = 2i

152


Representación gráfica

I

2i

i

- R
-3 -2 -1 0 1 2 3

-i

-2i
.
.
-i

3.1.7 NÚMEROS COMPLEJOS (C)
Es un par formado por un número Real (R) y un número
imaginario (I); C (R; I).

153


Sistema Cartesiano Rectangular en el campo complejo

I
coi
.
.
.
- 3i ( 19 ; 3i)

C (- ; 2i) - 2i

-i

- 0

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-i

-2i C ( ; -2i)

-3i

C (- ; - 15 ) - 15
.
.
-i

154


SISTEMA DE NÚMEROS COMPLEJOS

Números Complejos

Números Reales N. Imaginarios

N. Racionales N.
Irracionales

N. Enteros

Ent. Negativos Cero Ent. Positivos

Naturales

N. Primos

155


1. En los ejercicios siguientes reconozca si es verdadero o falso para
los números: Naturales (N); Enteros (Z); Racionales (Q);
Irracionales (Q‟); Imaginarios (i) ; Complejos (C).
1.1) -7 Є N 1.9)
1
ЄZ
2
1.2) 2 Є R‟
1.10) 5 Є Q‟
1.3) 4 Є Q
1.11) 3 8 Є N
1.4) 9 Є R
9
1.5) 3 Є Q 1.12) Є Q‟
4
1.6) –6 Є Q 1.13) –2 Є Z
1.7) 11 Є C 1.14) ЄR
1.8) (-3; 2 3 ) Є C 1.15) 4 ЄR

2. Desarrollar un diagrama lineal de los conjuntos: R; N y Q‟.

3. A cuál de los conjuntos: N; Z; Q; Q‟; R; I; C; pertenecen los
números:
3 3
3.1) - 3.3) 5 3.5) ; 13
4 4
3.2) 26 3.4) 4 3.6) 9

4. En los conjuntos; N; P; Q‟; Q; Z y R; cuáles son cerrados a la
Suma; Resta; Multiplicación y División; indique ejemplos:

5. Con notación conjuntista, escriba las afirmaciones:
5.1) 5 es menor que 8.
5.2) a no es mayor e igual que b.
5.3) a no es menor que b.
5.4) a es mayor o igual que b.
5.5) a no es mayor que b.

156


6. Entre los siguientes números, indicar el signo de relación que los
representa adecuadamente:
6.1) -9 ....................... 7 6.5) 52 ................. 25
6.2) -12 ..................... –3 6.6) - ................. 2
6.3) 5 ........................ 32 6.7) Є ..................
2
6.4) -8 ....................... 8 6.8) ................. 7
5

7. Representar las siguientes relaciones con los signos de
desigualdades correspondientes:
7.1) y está a la derecha de 12.
7.2) Z está a la izquierda de 5.
7.3) X está entre –9 y 9.
7.4) W está entre –4 y 6.
7.5) Y está entre –9 y –2.

8. Desarrollar los siguientes ejercicios:
8.1) /3 + 5/
8.2) /-3 –6/
8.3) /+8 + 4/ - / -3 – 2 /
8.4) / -3 / + / -8 /
8.5) / -9 / - / -7 /
8.6) - / -7+2 /
8.7) – 4 - / -7 /
8.8) /4 – 3/ + /9 – 12/
8.9) - / -6 / - / -8 /
8.10) / 4 / - / -12 + 4 /

9. Representar X; entre desigualdades:
9.1) 3<x–4<8
9.2) –1 < x + 3 < 2
9.3) –9 < 3 x < 12
9.4) –6 < -2x < 4

157


9.5) 3 < 2x – 5 < 7
9.6) –7 < -2x + 3 < 5

10. Representar sin el signo de valor absoluto:
10.1) / x / < 3
10.2) / x – 8 / < 5
10.3) /2x + 3/ < 7

11. Representar con el signo de valor absoluto
11.1) -2 < x < 6
11.2) 4 < x < 10

12. Indicar el signo de desigualdad correspondiente
12.1) 1 ............ –7
12.2) –2 ........... –9
12.3) 23 ............ 8
12.4) 3 ............. 7
12.5) 32 ............ 9
12.6) 32 ............ –11

13. Representar en forma conjuntista los intervalos:
13.1) M = [-8 ; 5 [
13.2) S = ] 7; 14 [
13.3) T = [ 4; 9 ]
13.4) W = ] -8; -3 ]

14. Desarrollar los siguientes intervalos en líneas rectas:
14.1) R = ] -9; 4 ]
14.2) S = [ -4; 4 [
14.3) T = ] 5; 8 [
14.4) W = [ 7; 12 ]

158


15. Las siguientes desigualdades representar en la recta y escribir en
conjuntos los intervalos correspondientes.

15.1) A = {x/x, x < 3}
15.2) B = {x/x, x 2}
15.3) C = {x/x, x -4}
15.4) D = {x/x, x > -1}

16. Con los intervalos:
A = [-8; 5[ y B = [-5; 8]
Representar en la misma recta A y B.
Representar en la recta:
16.2.1) A B
16.2.2) A B
16.2.3) A – B
16.2.4) A B

17. Representar en notación de intervalos: A B; A B y A – B.

18. Representar y dar ejemplos de intervalos, cuya reunión o unión
es un intervalo.

19. Representar en una recta y escribir el conjunto que resulta en
notación de intervalos.
19.1) {x/x; x -1} {x/x ; - 3 < x < 2}
19.2) {x/x; x < 2} {x/x ; x 2}
19.3) {x/x; -3 < x 1} {x/x ; x > 2}
19.4) {x/x; -2 < x 3} {x/x ; x < 1}
19.5) {x/x; -3 x 0} {x/x ; - 2 < x < 3}

20. En las siguientes expresiones, indique: cuál es Verdadero o Falso:
20.1) a Z; b Q y (a – b) N
20.2) a P; b Q‟ y ab Q.
20.3) a N; b Z y ab Z.

159


a
20.4) a N, b Q‟ y Q.
b
20.5) a P, b P y (a + b) P.
20.6) a N, b Q‟ y (a + b) Q‟.
a
20.7) a Z, b Q y N.
b
b
20.8) a P, b Z y Q.
a

21. Representar las siguientes afirmaciones con la notación de la
relación de orden:

21.1) x no es mayor que y.
21.2) El valor absoluto de x es menor que 4.
21.3) r no es menor que y.
21.4) r es mayor o igual que t.

22. Entre los siguientes números indicar la relación correcta:

22.1) 5 .................. –8 22.5) 23 .................. 19
22.2) / x / .............. –3 22.6) - / x / .............. 1
22.3) 23 ................. 8 22.7) – 7 ................. 4
22.8) – 2 ................. –5
22.4) - ................
3

23. Representar en la recta la relación de los números:
23.1) a está a la derecha b.
23.2) x está a la izquierda de y
23.3) r está entre –5 y –8.

24. Calcular:
24.1) /4–7/ 25.6) / -2 / + / 1 – 5 /
24.2) / -4 – 7 / 25.7) /3–8/-/2–1/
24.3) /4+7/ 25.8) / -3 / - / -9 /
24.4) / 3 / - / -5 / 25.9) /2–6/ - /1–9/
24.5) / 2 – 3 / + / -6 /

160


25. Representar las desigualdades en función de “x”
25.1) -2 < x – 3 < 4
25.2) –5 < x + 2 < 1
25.3) –12 < 4x < - 8
25.4) 4 < -2x < 10
25.5) –1 < 2x – 3 < 5
25.6) –3 < 5 – 2x < 7

26. Representar sin el signo de valor absoluto:
26.1) / x / 8
26.2) / x – 3 / < 8
26.3) / 2x + 4 / < 8

27. Representar con signo de valor absoluto:
27.1) -3 < x < 9
27.2) 2 x 8
27.3) –7 < x < -1

28. Representar los siguientes intervalos como conjuntos y en la
recta:
28.1) A = [-3 ; 1[
28.2) B = [1: 2]
28.3) C = ]-1; 3]
28.4) D = ]-4; 2[

29. Representar como intervalos las siguientes relaciones y en la
recta:
29.1) R = {x/x, x 2}
29.2) S = {x/x, x > -1}
29.3) T = {x/x, x < -3}

161


30. Sean los intervalos. Hallar y representar como intervalos:

A = [ -4 ; 2 [
B = ] -1; 6 [
C = ]- ; 1]

30.1) A B 30.7) A - C
30.2) A B 30.8) C - A
30.3) A–B 30.9) B C
30.4) B–A 30.10) B C
30.5) A C 30.11) B - C
30.6) A C 30.12) C – B

3.2 EXPONENTES Y RADICALES

EXPONENTES
Es la operación que consiste en hallar un número; que,
multiplicado otro número, tantas veces como indica otro número
denominado exponente es igual al número buscado.

exponente

an = a x a x a ............. (n veces)
base

PROPIEDADES
1. Para multiplicar expresiones exponenciales de la misma
base, se suman los exponentes.
an x am = an + m

2. Para dividir expresiones exponenciales de la misma base; se
restan los exponentes:
an : am = an - m ; para n > m

162


3. Para elevar una expresión exponencial a una potencia
cualquiera, se multiplica el exponente por la potencia (a n)m =
an x m

4. Para elevar un producto , a una potencia cualquiera; cada
una de las expresiones, se eleva a la potencia indicada.
(a x b)n = an x bn
5. Para elevar a una potencia cualquiera, un cociente; el
dividendo y divisor se eleva a la potencia indicada.
n
a an
b bn

6. Toda expresión con exponente cero; es igual al número uno.
a0 = 1 para a 0

7. Toda expresión con exponente negativo, es igual al inverso
de la expresión con exponente positivo.

8. Toda expresión positiva elevada a una potencia par o impar;
siempre es positiva.

9. Toda expresión negativa elevada a una potencia par es
positiva; y, elevada a una potencia impar es negativa.

163


3.3 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES
EXPONENCIALES

EJERCICIOS RESUELTOS
4 2
2x 3 y 4 3y 2 z 3
1.
z3 2x 2
Solución:
24 x12 y16 32 y 4 z 6 22 32 x8 y 20 36 x8 y 20
z12 22 x 4 z6 z6

3 3
2a 2 c 3 30b 6
2.
15b 4 4a 2 c 2
Solución:
3
2a 2 c 3 30b 6 b 2c
b6c 3
15b 4 4a 2 c 2 1

1 1 1
3. a ; a
a a1

2n 2n 1
4. a a 2n ; a a 2n 1

2n 2n 1
5. a a 2n ; a a 2n 1

EJERCICIO PROPUESTO

4
12 x 2 a 2 1
1.
6xa 2 2 x 2a

164


DESARROLLAR LAS OPERACIONES INDICADAS CON
EXPONENCIALES.

1. (2a2) (3a4) (a5) = 6a11

2. (-3a2) (-5a5) = 15a 7 |


1. 34 x 32 102
10.
52
2. 52 x 52

6 253
3 11. 3
3. 5
34
2
3
35 12.
4. 4 4
3
4
25 2
5. 3 13.
2 3

4
45 1
6. 2 14.
4 5

57 15. (42 )3
7.
55
2 2
16. (23 x 32)2
8. 5 x 2
3 3
17. (24 x 3)2
9. 3 x 4
18. (42 x 2)3

165


19. (3a6) (2a4) 18 x 5 y 7
24.
3x 2 y 3
20. (4x4) (3x3)

2 25. (3x3)2
4
21.
5 a7
26.
a3
b9
22.
b5 27. (5a4)3

20 c 4 d 2 28. (-4b2)3
23.
5c2d
29. (-a3 b2 c4)2

SIMPLIFICAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

42 h 9 y 7 k 4
1. 5 4 3
= 7h 4 y 3k
6h y k

5
36 x 5 y 6 z 3 5
2. 2 xy3 z 2 32x5 y15z10
4 3
18 x y z
=

24 x 4 y 5 z 2 28 a 7 b8 d 3
1. 3.
3x 2 y 3 z 2 4a 2 b 4 d 3

3
27 c 5 d 4 e 5 9 a 4 b6 c8
2. 4.
3c 4 d 2 e 3 3 a3 b4 c5

166


4
18 a 4 b 2 7c 3 d 4 18c 4 e7
5. 13.
6a 3 b 2 6e5 21d 5

27 h3 k 3 27 r 4 s 2 t 2
6. 14.
16h5 k 3 12 r 2 s 2 t 5

3 5
4 x3 y 3 2 r 3 s5
7. 15.
2 y2 3 r 5 s3

48 a 7 b3 c5 4
8. 12a 7 b 3 c 6
32a 5 b 4 c 16.
18 a 5 b 6 c 10

81 x 8 y 6 z 4
9. 14 x 5 y 4 z 9
5
36 x 4 y 7 z 5 17.
7 x2 y7 z8

3a 2 b3 4a 3 c 2
10. 18. (3a3)2 (4a4)2
2c 4 9b 2

3
4 3 5 5 2 6h 4 k 7
6x y z 10w x 19.
11. 9h 3 k 9
5w 2 9 y5 y7

12h3 y 4 15h 4 k 3
12.
5k 5 8 y6

Si los exponentes son iguales se multiplican las bases y se indica
el exponen común.

20. (2a2 bc3)2 (4a 3b2c)2 21. (5h4 y3 k2)4 (h2 y4 k)4

167


Si los exponentes son iguales se dividen las bases y se indica el
exponente común.


5 5 5
4 c 3 d2 3 e5
5
4c 3d 2 3e5 ce c 5e5
1. =
3 e4 8c 2 d 2 3e 2 8c 2 d 2 2 32

3 3 3 3 3
4h 2 9h 4 6k 6 4h 2 9h 4 6k 6 2h 6 8h18
2.
3k 3 2k 2 18k 7 3k 3 2k 2 18k 7 k6 k 18
3. a3y+2 a2y-4 a2-5y= a 0 1

a 3n 4 b 2n 1 a 3n b 2 n a 2nb n
4. = a 2 n 6b n 2

a n 2 1 n
b a n 6b n 2 a 6b 2


2 2 3 3 3
3r2 4r2 3d 2 2d 5 c
5. 9.
2r2 3r3 d3 3c 3 d6

3 2
3 a2 b c4
6.
2c3 3a 2 b 2 3x 3
4
4y
4
2x
4
10.
4 4
2y 2 3x 3 y
2x 3 y 2 6 z5
7.
3 x4 2x 4 y

2 2 (5a 4b 2 c3 ) 4 (4a 3b 4 c 2 ) 4
2 11.
2a 2 3b a2 (10a8b5 c5 ) 4
8.
b3 a3 6b

168


(8h 4 j 3 k 2 )5 (2h3 j 2 k 3 )5 (h 3 h 2 ) 3 (h 3 k 2 ) 4
12. 21.
(16h 6 j 6 k 6 )5
(h 3 k 2 ) 5

13. a3n + 5 a2n-5
(2a 3 x 4 ) 2 ( 4a 2b) 3
22.
14. b2x+3 bx-1 bx-2 (2a 2 x 3 ) 3

15. c2x-1 cx+2 c1-5x
( 4c 2 de 2 ) 3 (2c 3 d 2 e 4 ) 3
23.
a n 2 x 2n 1 (6c 3 d3 e 7 ) 3
16.
a n 2 x 1 2n
a 5n 4 b 3n 8
24.
(a 2 b 3 ) 2 (ab 2 ) 2 a 2n 1
17.
(h 2b) 3
(a n 1 b n 2 ) 2
25.
(2x 3 y 2 z 3 ) 2 (6x 4 yz 2 ) 2 a 2n b 4
18.
(12x 5 y 4 z 5 ) 2
(a 2n 1 b n 1 ) 3
26.
a n 2 x 3n 1 an 3 b3
19.
a n 4 x1 n

(a 2 x 3 ) 4
20.
(ax 2 ) 2 (a 2 x 3 ) 2

3.4 EXPONENTES NEGATIVOS

Encuéntrese el valor de las expresiones en los problemas 6 a 24.

0
1. (-2) = 1

0
2
2. = 1
3

169


3. (3-2)-1 (22) – 1= 3 2
2 2
1 62 1 36 1 35

-2 3 -2 4 6 54 625
4. (5 8 ) = 5 8
86 262144

1 1
5. (4-2)2 = 4 4

44 256


6. 4-1 15. 3-4

7. 5-2 16. (3-1) (3-2)

0 17. (2-4) (2-2)
3
8.
4 18. (4-5) (42)

9. (2-3)-3 19. (3-8) (35)

10. (32)-1 (22) – 1 20. (3 – 122)3

11. (32)-1 (2-2)-1 21. (42 3-3)-2

12. (3-2)-1 (2-2)-1 22. (2-2 43)-3

13. [ (3) (5)]0 23. (32)-1

14. 2-3 24. (5-1)2

170


Mediante el uso de exponentes negativos, escríbanse sin
denominadores las expresiones de los problemas 30 a 36.

4x 2
25. = 4x2 y 3
3
y

4x2 y
26. = 4 3 1 x2 y 2 z 2

3 y3 z 2

x2
27. = 3 1x 5

3x 2 x 5


2a 2 35.
3 a 2 b3 c
30.
b 2 1 a 1 b4 c 2

3h 2 k 36.
2h 3 j 2 k 4
31.
k 2 j3 3 2 h 4 jk 2

4a 2 b3 4r 3 s 1 t 2
32. 37.
2cd 2 1 r4 s 2 t 1

3a 2b 4 8x3 y 3 z
33. 38.
40 a 3 b 5 4 1 x4 y 2 z3

7 x2 y 2
34.
3x 5 y 3

171


Simplifíquense las siguientes expresiones:

1
1. c0z-3 =
z3

1
2. x-2 x-3 =
x5

3 3
x 3 1 1
3. = 3 2
y 2 x y x y6
9

2 3 2 5
4. 3x-a + a
= a
x x Xa xa
2
c3 1 2
5. = c 3d 2 c6d 4
d2 c d2
3

2 3 2b 3x
6. 2x-1 + 3b-1 =
x b bx

1 1 y x
x 1
y 1
x y xy x 2 y 2 ( y x) xy
7. =
x2 y 2
1 1 y 2
x 2
xy( y x)( y x) y x
x2 y2 x y 2 2

1 1 x3 y 3
3 3
y x x3 x3 x3 y 2
8. 2 3 3 2
x y x y 1 1 x y
2 3 3 2
x y x y x3 y 3

x3 y 3 ( x3 y3 ) y( x 2 xy y 2 )( x y)
y( x 2 xy y2 )
x3 y 2 ( x y) x y

172



9. x0 y-2 2r 2 3 3
22.
4 1 r3 s 2
10. by-4

3 2 a 2 b2
e0 f 1 23.
11. 2 1 a2 b 1
g 3
1
a b
12. x-3 x 24. 1
b a
13. a-1 x-1
a b
25.
a2
2
b1 a1
14.
b 3
26. a-1 + b-1
2
a 2
62 x 2 y 3 z 1
15. 27.
b 3
23 xy 2 z 3

24 p 4 q 2 r 4 50 h 2 k 1
16. 28. 2 1 2
15 p 3 q 4 r 5 2 j k

18 x 3 y 2 z 0 12 x 3 y 2 z 0
17. 29.
12 x 1 yz 2 8 x 1 yz 2

4 2 a 1 b2 c 3 9c 1 d 3 e 2
18. 3 2 3 30.
2 a b c 2 12bc 2 d 1 e0

19. a-1 b-2 2 2 a 3 b2 c 1
31.
3 2 ab 2 c 3
a 2c 2
20.
a 1
2
y x 1y 1
32. 2
y x1y1
x 1y 3
21.
x 4 10 2

173


y1 x2 x 1
y 2
33. 38.
x 1 y 1 x 2y y 1

2 2 1
y 2x 1 y 1 x 2
x y
34. 39. 3
x 1y 2 x 2 y 1 x

3 2
35. 3x-1y + 2xy-1 40.
z z
4
z
-1 -1 -1
36. a b c – abc

a 3 b 2
37.
a 1

x1 y 1
41.
x2 y 2

2
y 3x 1 y 1 2 x 2
42.
x 1y 2 x 2 y 1

2 1
xy x
43. 2 1 1
y x y

44. -3 (x + 1) (x – 1)-4 + (x – 1)-3

45. -2 (2x + 5)2 (x + 1)-3 + 4(2x – 5) (x + 1)-2

46. –2 (2x – 1)2 (x – 3)-3 + 4(2x – 1) (x - 3)-2

47. 2(3x + 1)-1 (x + 2)-3 + 3(3x – 1)-2 (x + 2)-2

174


3.5 EXPONENTES RACIONALES

3
1. 25 2 = 253 56 52 125

2
2
8 3 82 23 22 4
2. = 3 3
27 27 2 3 2 32 9
3

1
27 2 125 52 5 5 5 5 15 5 15
3. =
125 27 32 3 3 3 3 3 9

1
125 2 32 3 3 3 5 3 15
4. =
27 5 2
5 5 5 5 25


5. 93 1
10. 8 5
1
6. 01 3 2
11. (.001) 3
1
7. 64 3 3
12. (100) 2
1
8. 64 4 3
13. 16 4
3
9. 32 5 5
4 3
14.
9

175


5 3
81 2 20. 32 8
15.
16
3
3 21. 81 4
4 2
16.
25 1
22. (001) 3
1
17. 8 3 3
4 2
23.
1 25
18. 25 2

1
19. 64 2

Escríbanse sin radicales los valores de las expresiones de los
problemas 26 a 43.


9x 2 y 4 3 xy 2
24. 1
1
2 5z 4
25z

3 4 8 1 1 2
4 8
27a x 3 a x12 12 12 4
3 a x3 3
25. 12 6 9 18 1 3 3
64b 9 y 18 2 b y12 12 12
22 b4 y 2

176


26. 25 36. 3 25a 3 b 2

27. 3 64
37. 8x 3 y 4
5
28. 5 5
38. 3 16a 5 b 0 c 3
n
29. 3 n
39. 4 4a 2 b 3
30. 4 3
16 x 3 y 4
40. 6
3
31. 8 2 9z 2

32. 4 4 41. 64 x 4 y 6

33. 6 32
42. 3 27a 6 b 9

34. 5 32h10 k 5
9p 3 q 4
43. 8
16 r 6 s 0
35. 4 256r 8 s12

Escríbanse en su forma más simple y sin emplear exponentes
negativos o fraccionarios, las expresiones de los problemas
47 a 59.


3 6 3 1 1
3a 4 b 2 3a 4 2
3a 4 34 a
44. 6
1
2
b3 b3
b
a2

177


3 2 3
a8 y 8 a8 a3
45. 3 2
8
3
8 8
x3 y 2
x y
x8

2 1
46. c 4 = c 2 c


3 1 3 5
47. x 2 54. 4 2 a2 b2

2 3 3 3
48. b 3 32 6 h 8 k 2
55.
3 3 1
4 3
88 h 8 k 2
x 7 b 7
49.
3 1 2
c 7 2 x 3 y2
56. 8
3 2 2 1 1
a 2 y 6
50. 57. 8 3 x 3 y 3
7
c8 2 3 1
58. 32 8 a 8 b 8
2 3
51. x 4 y 4 3 1 1
59. 9 2 x5 y 5
3
52. a 2

1 2 1
42 x 3 y 2
53.
1 1
8 2 x3

178


Elimínense de los radicales en los problemas 13 a 68, todos los
factores racionales.

1
1. 32 = 16 2 4 2 4 22

3 3 3
2
2. 8x 2 = 2 2x 2
2 2x 2

1
3. 3 81 = 3
3 3
3 3 3
3 3 3 3

1
4. 4 162 = 4
3 4
2 3 2 3 2 2

3
5. a 2nb 3n = a nb 2n

1
6. 450 = 9 25 2 3 5 2 15 2 2

3
7. 4r 3 3s 6 = 3
43356 3
12x3 56 x52 3 12

48a 7 2 3 6a 6 a 2a 2
8. 3 = 3 6a
b9 b9 b9

4
9. 80a 5b 8 c 6 = 5
2 4 5b8c 4 c 2 2b 2 c 4 5c 2

10. 5 243p 20 q7r 12 = 5
35 p 20q 5 q 2 r10 r 3 p 4 qr 2 q 2 r

x 1 x 2 x 3 x 2
11. ( x 2 3x 2) ( x 2 x 6) =
x 2 x2 2x 3

179


12. 3 (a b) (a 2 b 2 ) (a 3 b3 )

3
a b a b a b a b a2 ab b 2
a b 3
a b a2 ab b 2

13. 96 27. 2x 2

14. 128
28. 5x 2 y 4

15. 162
29. 27a 2 b 5
16. 150
30. 7a 2 b 2
17. 320
31. 3h 4 k 6
18. 588

32. 45 x 5 y 4
19. 3 16
3
20. 3 250 33. 54a 4 b 7

21. 3 108 34. 3 192x 5 y 8

22. 4 32 35. 3 48u 7 v 10

23. 4 384 36. 3 725r 11s10

24. 4 324 3
37. 6u 9 v 6

25. 8 x 3
38. 3 2p 9 q12

26. 12y 5

180


3
39. 16a 2 b15 40a 5 b 6
52. 3
54c 7
40. 5 64x 7 y15 z11
128 x 7 y 12
53. 4
41. 4 625r 16 s12 t 7 162z 8

42. 5 294a 9 b10c 13 128u 9 v 6
54. 5
486w 20
43. 396x 8 y12 z15
81b 9
55. 4
44. 768h17 j 8 k 5 c 12

45. 960u9v11w10 8a 7
56. 3
b9
9x
46.
4y 2 50e 5 f 4
57.
64g 8
20a 5
47.
b6 72x 6 y 7
58.
49z 10
4
27a
48. 3
b7 40a 5 b 6
59. 3
54c 7
3
16 x
49. 3
y5 3
3
60. 8x 4
16b 3 4
50. 3 3
c6 61. 16a 3

98r 9 s 8 256c 6 d12
51. 62. 4
25t 12 625e 8

181


63. (a b) (a 2 b2 )

64. (2a b) (4a 2 b2 )

2 5
65. 9x 3 y 8

66. a 2nb 3n

67. n a 2n b 3n

68. 4 a 4n b 8n

Redúzcase el orden de los radicales de los problemas 69 a 84, y
elimínense de los radicales obtenidos todos los factores posibles.


6
69. 8 = 6
23 2

70. 4 64x 6 = 4
26 x 6 23 x3 2x 2x

71. 9 27 = 9
33 3
3

72. 6 x 2 6 2 3
2x 1= x 1 x 1


73. 4 25 76.
10
x2

74. 6 4 77. 6 8x 3
12
75. x6

182


78. 4 16a 8 b 2 82. 8 16r 2 s 4

79. 6 27x 3 y 6 83. 12 27h 6 k 9

4 a2
80. 4 81u 8 v 10 84. 4a 4

81. 9 64a 3 b12

Redúzcanse los radicales de los problemas 88 a 92 a expresiones
que contengan sólo un signo de radical. Redúzcase de ser posible
el orden de los radicales obtenidos.


85. 3 a3 = 6
a3 a

3
86. 5 32a15 = 15
25 a15 a15 25 a3 2

87. 4 8 81x 6 y 12 = 32
34 x 6 y12 16
32 a 3 y 6 16
9a 3 y 6


3
88. 4 x2 91. 4 6 25a 2 b12

4
89. 8a 3 92. 3 6 27a 6 b 9

90. 3 9a 3

183


Simplifíquense las siguientes expresiones radicales.


3 3
1. 3 9 = 3
3 32 3
33 3

2. 3 27 = 3 33 34 32 9

3
1 3
16 1 16 23 2
3. 3 3
2 27 2 27 33 3

4. 2a 3 b 6ab 2 = 12a 4b3 22 3a 4b 2b 2a 2b 3b

1 28 28 1 6
2 2
1 128 2 32 2 32 3
5.
2 9 23 2 8 2
3 3

3x 2 6x 1 1 1 1
6. = 2
4y 3xy 12 xy 2 2y2 y 2 2y

72u 3 v 9 72u 2 v 9 v2
7. =
27u 5 w 5 32v 7 w 3 27 32u 5v 7 w8 12u 2 w8

(a b ) a b a b a b
8. = a b a b 2
a 2
b 2 a b a b a b

a b
a b
a b

u2 v2 1 u v u v u v
9.
(u v) u v u v u v u v

184


3 (w 2 z 2 ) ( w z) w z w z w z w z
10. 3
2 2
3
2
3 (w z) 2 ( w z) 2 w z w z w z

w z w z w2 z 2
3
2
w z w z


11. 2 8 4
80
21.
4
5
12. 3 75
3
500
22.
13. 3 4 3
54 3
4

14. 3 9 3
81 5
288
23.
5
9
15. 8 32
2
16. 3 4 3
16 24.
3

2 27 5
17. 25.
3 32 8

18. 3 4 3
54 7
26.
12
3 1
19. 3 3
4 8 4
27.
5
243
20.
3 28. 8u 3 uw 5 12uv 7

29. 15r 4 s 3 15a 2b

185


30. 8h 3 k 6h 5 k 44.
18 32
24
31. 6c 5 d7 12cd3
60
45.
20 30
32. 5a 5 b 3 15a 2b
30
5 3 46.
33. 8x y 4xy 27 15

3
34. 3 16u 2 v 4 4uv 3 12r 5 s 2
47.
5 7 3 4
24rs 7
3
35. 6c d 9cd
28x 3 y
36. 4p3 4
q2 3 2p q 7 5 48.
35x 5 y 3

37. 3 9x 2 y 1z 3 12xy 4 z
3
32c 4 d 2
49.
3
38. 10xy 5 48c 2 d 7
6x 3 y 2
4
3 5 48uv 6
2a 9b 50.
39. 4
64u 6 v 2
3b 8a 5
3
72t5 6 u 2
6c 5 10d 2 51.
40. 3
5d 8 5c 7 27tu 7

12u 3 20v 7 531x 4 y 2
41. 52.
5v 5
27u 4 59x 1y 2

4 243x 3 y 9 3
3 36 x 2 y 9xz 4
42. 53.
4
6x 5 v 2 3 12y 5 z 7

12 24
43.
8

186


416 x 3 y 5 3 (x y) 2
54. 58.
1 3 (x 2
52xy y 2 ) ( x y)

540a 5 b 3
c2 3 c2 d2
55. 59.
15abc 3 (c d) 2 (c d)

816c 3 de 4 (x 2 y2 ) x y
56. 60.
1 3
34c d e x y

3 a b
57.
3 (a 2 b 2 ) (a b )

Simplificar los radicales de las expresiones siguientes y efectúense las
adiciones posibles.


1. 45 20 5 125

9 5 4 5 5 25 5 3 5 2 5 5 5 5 5

3 3 3 3
2. 432 343 128 54

3
2 3 33 2 3
73 3
26 2 3
32 2
63 2 7 43 2 33 2 73 2 7 7 3 2 1

187


3. 12a 4b a 2 27b 2a 12a 2b

2a 2 3b 3a 2 3b 8a 2 3b 3a 2 3b

4. 48x 7 y x 27x 5 y x 2 12x 3 y

2 4 3x 6 xy x 32 3x 4 xy x 2 2 2 3x 2 xy
4 x 3 3xy 3x 3 3xy x 3 3xy 3x 2 3xy

2 5u 2 80u 3 25u 2
5.
v v v 5u

2u 2 4 5u 2u 25u 2 2u 5 5u 25u 2 5u
5 4u
v v v 5u v v 5uv
2u 5 4 5uv 5u 5u 2u 5 4 5uv 5u 5u
v v v v

6. 3 54x 2 y 10 3 24x 5 y 4 y 3 2x 2 y 7 2x 3 24x 2 y 4

3
33 2 x 2 y 5 y 3
23 3x 3 x 2 y 2 y y3 2 x 2 y 6 y 2 x3 23 3x 2 y 3 y
3y3 3 2x2 y 2 xy 3 3xy y3 3 2x2 y 4 x 2 y 2 3x 2 y
2 y3 3 2x2 y y3 3 2x2 y 4 x 2 y 2 3 3x 2 y

a b a b
7.
a b a b

a b a b a b a b a2 b2 a 2 b2
2 2
a b a b a b a b
a b a2 b2 a b a2 b2 2a a 2 b 2
a2 b2 a2 b2

188


8. x2y 2 2x y2 x2y 1 2xy y3

x2 x2
x2 y 2
2x y2 x2 y 1
2 xy y3 2x y2 2 xy y3
y2 y
2 2
x2 2 xy 2 y4 x2 2 xy 2 y4 x y2 x y2
y2 y y2 y
x y2 x y2 x y2 x y2 y x y2 1 y
y y y y y


3 3 3 3
9. 3 12 48 18. 54 32 16 256

10. 8 18 50 19. x 8x 2 y 18x 4 y x 2 32y

11. 75 48 108 12
20. 6 5u e v u 20u 4 v u 2 45u 2 v
3 3 3
12. 16 54 250
4a 9a 3 4
21.
13. 3
32 3
108 3
256
a a2 a

14. 3
24 3
192 3
375 3
81 18x 32x 3 4
22.
x 2 2x
x
3 3
15. 50 24 192 8
a 27a 3a 3 6a 2
4 3 4
23.
16. 32 108 1250 72 b b2 b 3a

17. 32 45 72 20 24. 9a 2 b 25ab 2 16ab 2 4a 2 b

189


25. 8r 3 2 27r 2 3 2r 3 2 3r 2 3

26. 3 8u 2 v 7 3 27u10 v 2 y 3 8u 7 v 2 v 3 u2 v 4

cd 2 16c 2 d 9cd 2 c 2d
27.
2 3 2 3

25p 4 2q p 2q
28. 3
2q 3 p 2q 9p

3h 3h 3k 3h 3 3 3k 7
29. 5k 2
2 k 4h k 2k h

3a 3b 1 2a 1 3b
30. 3
3 3 b 3b 2a 2a
2b 8a

4 6
31. 2ab 4a 2b 2 8a 3b 3

32. 3 8x 4 y x 6 x2y2 2 9 x 12 y 3

81a 4 729a 2 75a
33. 8 4
4 2 2b
16b 4b

64 x 2 y 2 512x y 3 3
x4y4
34. 6 29 12
4z 2 8z 3 16z 4

x y x y x2 3y 2
35. x y
x y x y x2 y2

36. x 18 81 x 1 x2y 1 18xy 1 81y 1

190


OPERACIONES CON EXPRESIONES IRRACIONALES

1. ( 2 3 5) ( 2 3 5)
2 3 5
2 3 5
3 6 10
9 6 15
5 10 15
6 2 6

2. (2 2 3 ) (7 2 3 )
2 2 3
7 2 3
14 14 3
12 4 3
2 10 3

3. ( h k )3

3 2 2 3
h 3 h k 3 h k k
h h 3h k 3k h k k

4. ( a 2b c) ( a 2b c)

a 2b c
a 2b 6
a 2ab ac
2ab 2b 2bc
c ac 2bc
a c 2 2ab 2b

191



5. ( 3 2) ( 3 2) 3 3 3 5
10.
8 8 8 8
6. (2 2 3 ) (7 2 3)
11. ( a b) ( a b)
7. (5 6) ( 2 3)
12. ( x y )2
1 3 1 3
8.
2 2 2 2 13. (u w v) ( u v)

3 5 3 5
9.
4 4 4 4

14. ( r s rs ) ( r s rs )

15. ( xy xz yz ) ( xy xz yz )

16. (2x 3x x 2x ) ( x 2x x 2x )

En los problemas 19 a 29, introdúzcanse debajo del signo radical los
factores externos y luego ordénense los radicales en orden de su
magnitud.

17. 2 4 33 , 3 4 6 , 4 4 2 18. 6 17 , 10 6 , 7 13

4
528; 4 486 ; 512 612 ; 600 ; 637
4
528; 4 512 ; 4 486 637 ; 612 ; 600

192



19. 4 3, 3 6 , 2 10 6 3
25. 3 3 5 , 5 3 ,7 3
5 7
20. 3 3 4 , 2 3 6 , 4 3 2
1 1 1
26. a , a5 5
, a3 ,a 1
21. 2 70 , 3 30 , 5 10 a a a3

22. a 2 , a 2a , a 2a 3 , a 1 27. 5 13 , 2 2 , 7 6 , 8 5

23. 2ab 6b , 3a 3b3 , 2b 7a 2b 28. 6 3 5 , 4 3 17 , 7 3 3 , 8 3 2

1 2 1 29. 3 2560; 3 1088; 3 1029; 3 1024
24. 6 ,3 ,4
3 3 2

Redúzcanse al mismo orden los radicales de los problemas 33 a 37.

4 3
3 2 4 3
12
4ab 2 ; 12 2a 3b
30. 4ab , 2a b
12
256a 4b8 ; 12 8a 9b 3

31. 3 2a 2b3 , 6
3a 5b , 8 4a 5b7

8 4 3
24
2a 2b 3 ; 24 3a 5b ; 24 4a 5b 7

1 1 1 2 1
4 6
32. x 2 y 8 , x2 y3 , x2 y

1 1 6 1 2 3 1 2
2 8 2 3 2
12 x y ; 12 x y ; 12 x y

3 3
12 4 12
x y ; x y 2 ; 12 xy 2
3 2

193


33. 3x , 3 4 x 2

34. 2x , 3 3 x 2 y , 4 x 3 y 2

3
35. ab 2c , 4
2a 3bc , 6 3a 5b 4c 2

1 1 2
3 4
36. 6
a , 3a , 2
2a 3

3
37. r 2 s , 6 3r 5 s 2 , 9
2r 7 s 5

Redúzcanse al mismo orden los radicales de los problemas 39 a 45
y luego efectúense las operaciones indicadas.

38. 3 4a 2 8a 3

26 3
6
4a 2 8a 3 6
16a 4 512a 9
6
2 4 2 9 a13 6
212 2a12a
2 6 a 6 6 2a 64a 6 6 2a

39. 2 34 2ab
4
8a 3 b 5
43.
3
34 48 4a 2 b
40.
3 3 x 2 y 4 27 xy 3
3 4 2 44.
41. 3b 27b
6 243 xy 5

2x 3 4
42. 3
4 2ab 4a 5 b 4
4x 3 45.
6
2ac 5

194


Racionalícense los denominadores de los problemas 49 a 66.


14 8 14 8 2 7 10 7 15 2
46. 2 2
2 7 2 7 2 7 2 7

14 8
2 7
a. 28 8 2
98 8 7
2 7 8 2 7 2 8 7

10 7 15 2 10 7 15 2
47. 3 2 2 7
2 7 5

3 6 1 3 6 1 3 2 1
48.
1 2 3 1 2 3 3 2 1
3 6 1
3 2 1
3 18 3
6 12 2
1 3 6
2 3 2 2 3 2
a.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 2 6
3 3 6
2 2 2

195


2 4 2 2 3 2 2 2 4 8 2 4 3 4 2 16 4 6
2 2 2 2 2 2 4 8
b.
12 4 2 4 3 4 6
3 2 3 6
4


2 14 7
49. 56.
3 1 2 1

6 3 6 4
50. 57.
3 2 2 3

1 14 4 15
51. 58.
5 2 5 3

2
52. 14 10
6 2 59.
2 5

3
53. x y 2 xy
7 2 60.
x y

5 5
54. 3 2
1 5 61.
3 2

3 3
55. 2a b ab
3 1 62.
2 a b

196


x3 x x 65.
2 6
63.
x x 3 2 5

2 2 6 3 1
64. 66.
1 2 3 1 2 3

Encuéntrese los valores de la siguiente expresiones, con una

aproximación de milésimas.

1 1
67. 71.
3 5

1 2
68. 72.
1 2 3 1

1 3 5 3
69. 73.
1 3 5 3

5 7 2
70. 74.
3 1 7 2

197


198


CAPÍTULO IV

ALGEBRA DE MATRICES

Se denomina “MATRIZ”, a un conjunto de números ordenados y
dispuestas en filas (horizontal), y, columnas (vertical), entre barras; que
verifican ciertas reglas del ALGEBRA. Los números o funciones a i,j se les
conoce como elementos. El primero sub – índice indica: La fila y la
segunda: La columna, esquemáticamente la matriz se puede representar
“matriz ai,j m x n” donde m representa a la fila, y n a la columna. Si no
existen dudas del orden de una matriz, se representa por una letra
mayúscula. Ejemplo: “matriz A”

1) Matrices cuadradas.
Si se tiene la matriz

a1,1 a1, 2 a1,3 ....... a1,n
a 2,1 a 2, 2 a 2,3 ....... a 2,n
A
. . . ....... .
a m,1 a m, 2 a m,3 ....... a m,n

Además n = m se dice que es una matriz cuadrada. Se denomina
diagonal principal a los elementos a1,1; a2,2; a3,3……… an,n y la suma
de estos se conoce como TRAZA.

199


2) Igualdad de matrices.
La condición necesaria y suficiente para que dos matrices A = ai,j y
B = bi,j sean iguales: deben tener el mismo orden y cada uno de su
elementos sean iguales.

3) Matriz Nula.
Cuando todos sus elementos son nulos, o sea A = 0

4) Suma Algebraica de Matrices.
Sean las matrices: A = ai,j y B = bi,j de orden m x n; la suma o
diferencia de ambas A B es otra matriz C = i , j de orden m x n (el
producto el número de filas por columnas se denomina: orden)

Ejemplo:

2 3 5 7 5 3
A 4 2 8 y B 8 4 2
6 5 3 6 4 2

2 7 3 5 5 3 7 5 3
A B 4 8 2 4 8 2 8 4 2
6 6 5 4 3 2 6 4 2

2 7 3 5 5 3 5 8 2
A B 4 8 2 4 8 2 12 2 10
6 6 5 4 3 2 12 9 1

200


Dos matrices del mismo orden se conoce como “conformes” para la
suma algebraica de matrices.

5) Propiedades de la suma algebraica de matrices.
5.1. Conmutativa A + B = B + A
5.2. Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C
5.3. Distributiva con un escalar K (A + B) = KA + KB
5.4. Existe una matriz D; tal que A + D = B

6) Multiplicación de matrices.
Se desarrolla: Fila por columna

Ejemplo:
5
7
A 3 5 4 8 B
2
4

A B 3 5 5 7 42 8 4
A B 15 35 8 32
Dos o mas matrices son “conformes” para la multiplicación, sí y sólo
si, el número de elementos de la fila es igual al número de elementos
de la columna.

Ejemplo:
a1,1 a1, 2
b1,1 b1, 2
A a2,1 a 2, 2 B
b2,1 b2, 2
a3,1 a3, 2

201


a1,1 b1,1 a1, 2 b2,1 a1,1b1, 2 a1, 2 b2, 2
A B a 2,1 b1,1 a 2, 2 b2,1 a 2,1b1, 2 a 2, 2 b2, 2
a3,1 b1,1 a3, 2 b2,1 a3,1b1, 2 a3,1b2, 2

Propiedades de la multiplicación
6.1. Distributiva : A(B + C) = AB + AC
Distributiva (A + B)C = AC + BC

6.2. Asociativa: A (BC) = (BC) C

6.3. Si AB = AC, no necesariamente B = C.

7) Tipos de Matrices
7.1. Por la forma:
7.1.1. Matriz fila: Si la matriz tiene una sola fila, es decir: m =
1, su orden será: 1 x n
7.1.2. Matriz columna: Representa una sola columna: n = 1 y
su orden será: m x 1.
7.1.3. Matriz cuadrada: Si el número de filas es igual al
número de columnas, es decir: Am x n
7.1.4. Matriz transpuestas: Cuando se intercambian filas por
T
columnas y su representa Ab m
7.1.5. Matriz simétrica: Una matriz cuadrada es simétrica,
cuando los elementos e la diagonal principal
permanecen fijos al intercambiar las filas por columnas.
La simetría es con respecto a la diagonal principal.

202


7.2. Con relación a los elementos:
7.2.1. Matriz Nula: Si todos sus elementos son nulos
Ejemplo:
A = 0

7.2.2. Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada, cuando los
elementos que no pertenecen, la diagonal principal son
nulos.
Ejemplo:
3 0 0
A 0 5 0
0 0 7

7.2.3. Matriz escalar: Es la matriz diagonal, cuyos elementos
de la diagonal principal son iguales.
Ejemplo:
3 0 0
B 0 3 0
0 0 3

7.2.4. Matriz Identidad: Si todos los elementos de la matriz
diagonal, son iguales a uno. Se dice también que es
matriz unidad.
Ejemplo:
1 0 0
A 0 1 0
0 0 1

203


7.2.5. Matriz Triangular Superior: Es la matriz cuadrada que
presenta elementos desde la diagonal principal hacia la
parte superior.
Ejemplo:

2 3 8
A 0 5 3
0 0 4

7.2.6. Matriz Triangular Inferior: Cuando presenta elementos
desde la diagonal principal hacia la parte superior.
Ejemplo:

8 0 0
B 5 4 0
6 3 2

204


1. Si:
3 7 4 5 6 4
A 4 6 2 B 7 2 5
8 5 3 4 3 3

7 3 4
D 2 8 5
5 6 2

1.1. Hallar A + B
3 7 4 5 6 4 2 1 8
A B 4 6 2 7 2 5 11 4 7
8 5 3 4 3 3 4 2 0

1.2. Hallar C – D
5 8 2 7 3 4 2 11 2
C D 6 2 4 2 8 5 4 6 1
7 3 3 5 6 2 2 3 5

Cambie de signo mentalmente a la matriz D.

1.3. Hallar: 3A; -5B
3 7 4 9 21 12
3A 3 4 6 2 12 18 6
8 5 3 24 15 9

5 6 4 25 30 20
5B 57 2 5 35 10 25
5 6 2 25 30 10

205


2. Sí:
5 3 8 6 p q
A 4 6 ; B 3 4; C r s
3 8 2 3 t u

Hallar: A + 2B – C = 0

5 3 16 12 p q
A 2B C 4 6 6 8 r s
3 8 4 6 t u

5 16 p 3 12 q
A 2B C 4 6 r 6 6 s
3 4 t 8 4 u

-11= p; 10 = r; -7 = t: 9 = q; 12 = 5; -12 = u

7
3. Si A 5 6 3 B 4
3

7
A B 5 -6 3 4 - 35 - 24 9 50
3

7
4. Si A 2 B 4 -8 3
6

7 28 56 21
A B 2 4 -8 3 8 16 6
6 24 48 18

206


7 4 7 2
5. A -2 4 -3 B 5 2 5 6
3 3 3 8

7 4 7 2
A B -2 4 -3 5 2 5 6
3 3 3 8

14 20 - 9 -8 -8 -9 -14 - 20 - 9 -4 24 - 24
25 - 25 - 43 -4

7 4 6 2
6. A 6 5 2 B 6
3 2 3 3

7 4 6 2 14 24 18 20
A B 6 5 2 6 12 30 6 24
3 2 3 3 6 12 9 3

3 2 1
7. Sí A 4 5 2 Hallar: A2; A3; A5.
3 6 3

3 2 1 3 2 1
A2 4 5 2 4 5 2
3 6 3 3 6 3

9 8 3 6 10 6 3 4 3 4 22 2
2
A 12 20 6 8 25 12 4 10 9 38 5 23
9 24 18 6 30 18 3 12 9 3 54 0

207


PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Sí:
1 2 3 3 1 2 4 1 2
A 5 0 2 B 4 2 5 y C 0 3 2
1 1 1 2 3 0 1 2 3

Hallar: A + B ; A – C
-2C, O x B; A + (B - C) = (A + B) – C

2. Sí:
1 1 1 1 2 3
A 3 2 1 y B 2 4 5
2 1 0 1 2 3

Demostrar: A x B = 0
AxB 0

3. Sí se tienen las matrices:

1 3 2 1 4 1 0 2 1 1 2
A 2 1 3 ; B 2 1 1 1 y C 3 2 1 1
4 3 1 1 2 1 2 2 5 1 0

Demostrar: AB = AC

4. Con las matrices:

1 1 1 1 3
1 2 3 4
A 2 0 3 ; B 0 2 y C
2 0 2 1
3 1 2 1 4

Demostrar: (AB)C = A(BC)

208


5. Con las matrices:
2 3 5 1 3 5 2 2 4
A 1 4 5 ; B 1 3 5 y C 1 3 4
1 4 4 1 3 5 1 2 3

Demostrar: AB = BA = 0
AC = A
CA = C

6. Demostrar que las matrices A y B son inversas.
1 2 3 6 2 3
A 1 3 3 y B 1 1 0
1 2 4 1 0 1

AB = BA = I

7. Demostrar que las matrices A y B son transpuestas y se cumplen:
(A + B)‟ = A‟ + B‟
(AB)‟ = A‟, B‟

8. Demostrar que la matriz
1 2 3
A 2 4 5 Es simétrica
3 5 6

9. Demostrar que la matriz A es idempotente de orden tres
2 2 4
A 1 3 4 A2 A
1 2 3

209


10. Demostrar que la matriz A es nilpotente
1 1 3
A 5 2 6 A3 0
2 1 3

11. Demostrar que las matrices A y B son idempotentes.
2 3 5 1 3 5
A 1 4 5 y A 1 3 5
1 3 4 1 3 5

Son idempotentes: A2 A B2 B

12. Con la matriz
1 2 2
A 2 1 2
2 2 1
2
Demostrar: A 4 A 5I 0

13. Con la matriz:
2 1 3
A 1 1 2
1 2 1

Demostrar: A3 2 A2 9 A 0

14. Demostrar que la matriz:
1 2 6
A 3 2 9 es periódica.
2 0 3

210


15. Demostrar que la matriz:
1 3 4
A 1 3 4 es nilpotente.
1 3 4

16. Demostrar que A y B:
1 1 1 1
A y B
2 1 4 1

No son conmutativas y se cumple:
2
A B A2 B2

17. Demostrar que las matrices A y B son inversas.

1 2 3 3 2 1
A 2 5 7 y B 4 1 1
2 4 5 2 0 1

18. Demostrar que las matrices A y B son involutivas.
1 1 1 4 3 3
A 4 3 4 y B 1 0 1
3 3 4 4 4 3

2 2 4
A 1 3 4 es Idempotente
1 2 3

211


1 1 3
|A 5 2 6 es Nilpotente de orden 3
2 1 3

21. Demostrar que las matrices Ay B son Idempotente

2 3 5 1 3 5
A 1 4 5 y B 1 3 5 son Idempotente
1 3 4 1 3 5

1 2 2
22. Si A 2 1 2 demostrar que : A2 4 A 5 0
2 2 1

1 1 1
23. Si A 0 1 0 ; demostrar A4
0 0 1

1 2 6
24. Si A 3 2 9 es una matriz de periód0 2
2 0 3

25. Demuestre que las matrices A y B son permutables

1 2 3 2 1 6
A 3 2 0 y B 3 2 9
1 1 1 1 1 4

26. Demuestre que las matrices A y B; son involutivas

0 1 1 4 3 3
A 4 3 4 y B 1 0 1
3 3 4 4 4 3

212


DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Se denomina de una matriz A y se representa por A ; a la suma

intercalada (+; -; +; -; ……) de un elemento y sólo uno, por cada fila o
columna:

a1,1 a1, 2 a1,3
A a1,1 a 2, 2 a 2,3 a1, 2 a 2,1 a 2,3 a1,3 a 2,1 a 2,3
a 2,1 a 2, 2 a2,3
a 3, 2 a 3, 3 a 3, 2 a 3, 3 a3,1 a3,3
a3,1 a3, 2 a3,3

Propiedades de las determinantes:
I) Si los elementos correspondientes a toda una fila o columna son
ceros; el determinante es nulo.
II) Si una matriz cuadrada A A toda propiedad relativa a la columna

se cumple en la fila y viceversa.
III) Si los elementos correspondientes a una fila o columna se
multiplican o dividen por un número cualquiera; el determinante
queda multiplicado o dividido por dichos números.
IV) Si la determinante B se obtiene permutando dos filas o columnas
adyacentes:
B A
V) En toda determinante si dos filas o columnas son idénticas el
determinante es nulo

A
VI) Si los elementos correspondientes a una fila o columna de un
determinante, se multiplican por un mismo número y se suman a otra
fila o columna:
A B

213



1) Hallar:

A 2 3 8 3 11
1 4

2) Hallar:

1 0 2
B 14 5 03 5 23 4 2 0 4 6
3 4 5
4 7 5 7 5 6
5 6 7

2 3 4
3. A 1 0 2 utilice la fila o columna que tenga elemento cero
0 5 6

=2 0 2 1 3 4 2( 10) 1(18 20) 20 2 18
5 6 5 6

1 0 2
4. A 3 4 5 14 5 23 4 28 30 2(18 20) 2 4 6
5 6 7 6 7 5 6

1 0 0
5. B 2 3 5 3 5 9 5 4
4 1 3 1 3

214


Resolver por determinantes:

6.
7 1 1
2 2 1 2 1 2 1 2 2
7 1 1
2 2 1 2 1 2 1 2 2
x
2 1 1 2 1 1 1 1 2
2 1 1
1 2 1 2 1 3 1 3 2
3 2 1

7 2 2 12 2 14 4 7 0 14 18
2 2 2 11 3 1 2 6 2 0 14 18

0 4 8 12
1 x=1
4 8 12

21 y z 7 y z 7 2 y z 5
1 2y z 2 2y z 2 2 2y z 4
3y 9
y 3
3 z 5
z 5 3
z 2

7.
1 1 2
6 1 3 1 3 6 3 6 1
1 1 2
3 1 2 1 2 3 2 3 1
x
3 1 2 1 3 2 3 2 1
3 1 2
2 1 3 1 2 1 2 1 1
1 1 2

1 2 3 1 12 9 2 6 3
x
3 2 3 14 3 22 1

215


1 21 18 4 4
x 2
3 7 6 2

6 y 2z 1
4 y 3z 6 y 30 5
y 2z 5 y 35
y 3z 10
z 15
z 15

8.
3 1 2
3 2 4 2 4 3 4 3 2
3 1
5 3 5 3 5 5 5 5 3
x
1 1 2 2 4 1 4 1 2
1 1 2
1 2 4 3 5 1 5 1 3
1 3 5

3 10 12 1 15 20 2 9 10 6 35 38 3
x
1 10 12 1 5 4 2 3 2 2 9 10 1
x 3

2 y 4z 0
4z 2
3 y 5z 2
1
6 y 8z 0 z
2
6 y 10 2
2y 2
y 1

216



1) Resolver las determinantes:
3 2
5 7 8 6
A ; B ; C 5 3
4 3 5 4
6 4

2) Desarrollar los determinantes:
7 3 5 8 3 5
A 4 3 6; B 2 6 3
5 3 2 5 7 4

3) Desarrollo directo de una determinante cuadrada:

a1,1 a1, 2 a1,3
A a2,1 a2, 2 a 2,3
a3,1 a3, 2 a3,3

a1,1a2, 2 a3,3 a2,1a3, 2 a1,3 a1, 2 a2,3 a3,1 a1,3 a2, 2 a3,1 a2,3 a1, 2 a3,1 a1, 2 a2,1a3,3

4. Desarrollar

1 0 2 3 4 5 28 25 38
A 3 0 4 B 1 2 3 C 42 38 65
2 5 1 2 5 4 56 47 83

1 4 8 2 3 4
D 2 1 5 E 5 6 3
3 2 4 4 2 3

217


5. Desarrollar utilizando el método directo:

1 2 10 1 2 7 1 2 3
A 2 3 9 B 2 3 5 C 2 3 4
4 5 11 4 5 8 4 5 3

4 3 3
D 1 0 1
4 4 3
Desarrollar utilizando la VI propiedad

2 3 2 4 1 0 1 2
3 2 1 2 2 3 2 2
A B
3 2 3 4 2 4 2 1
2 4 0 5 3 1 5 3
1 2 3 4
2 1 2 1
C
0 0 1 1
3 4 1 2

3 5 7 2 1 2 3 4
2 4 1 1 2 1 4 3
D E
2 0 0 0 2 3 4 5
1 1 3 4 3 4 5 6

1 2 3 2 2
1 1 1 6
2 1 1 3 2
2 4 1 6
F G 1 1 2 1 1
4 1 2 9
1 4 3 2 5
2 4 2 7
3 2 2 2 2

218


CAPÍTULO V
ÁLGEBRA DE ECUACIONES

PROBLEMA.- Es una verdad matemática en la que se hallan valores
desconocidos, hallar incógnitas (se representan con las últimas letras del
alfabeto: u; v; w; x; y; Z).

ECUACIÓN.- Es un problema en la que se verifica una igualdad para la
solución de este problema.

INECUACIÓN.- Es un problema con desigualdad que verifica la
desigualdad dada (> ; ;<; ) para la solución de dicho problema.

GRADO DE UNA ECUACIÓN O INECUACIÓN.- Depende del
exponente máximo de la variable o incógnita de la ecuación o
inecuación.

5.1 ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
Son aquellas cuyas variables o incógnitas son iguales a uno. En
toda ecuación, la adición para como sustracción de un miembro a otro y
viceversa. Toda multiplicación pasa como división y viceversa. La
potencia como raíz y viceversa.

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES
Primera Propiedad.- Si a los dos miembros de una ecuación; se les:
suma; resta; multiplica; divide, por un mismo número; se lleva a la misma
potencia; se les halla la misma raíz; la ecuación no altera el valor.

219


Segunda propiedad.- Para resolver una ecuación, se realiza el siguiente
proceso:

2.1 Se quitan denominadores;
2.2 Se efectúan las operaciones indicadas;
2.3 Se efectúa la transposición de términos, entre las expresiones que
tienen la incógnita y los otros de términos conocidos;
2.4 Se reducen los términos en ambos miembros;
2.5 Se despeja la incógnita y se halla el valor de la misma.
2.6 Se reemplaza en el ejercicio y se debe cumplir la relación de
igualdad (identidad).

5.2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Son aquellas que afectan la forma: ax2 + bx + c = 0 donde ax 2 es
el término cuadrático; bx, el segundo término, y c, es el término
independiente. Si b, o, c son iguales a cero; se tienen ecuaciones
incompletas de segundo grado, de las formas:
ax2 + bx = 0
ax2 + c = 0

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
a. Sea la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0.
b. Pasemos el término independiente al segundo miembro:
ax2 + bx = -c
c. Multipliquemos por 4a la ecuación para formar un trinomio
cuadrado perfecto:
4a2x2 + 4abx = -4ac

220


d. Formemos el trinomio cuadrado perfecto
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
e. Factoricemos:
(2ax + b)2 = b2 – 4ac
f. Hallemos raíces:

2ax + b = ± b2 4ac
g. Realicemos las operaciones indicadas:

2ax = -b ± b2 4ac

b b2 4ac
x =
2a
Es la fórmula para hallar la ecuación completa de segundo grado.
La expresión: b2 – 4ac, se conoce como discriminante; y se
presentan tres casos:
A = b2 – 4ac < 0; las ecuaciones presenta; raíces imaginarias =
b2 – 4ac = 0; la ecuación presenta una sola respuesta.
= b2 – 4ac > 0; la ecuación presenta dos respuestas.

5.3 INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Como se ha observado oportunamente, son aquellas que
presentan desigualdades, ejemplo:
ax>b
ax<b
ax b
ax b

221


Propiedades.-
1) Si, a los términos de una inecuación, se suma o resta; se
multiplica o divide; se potencia o radica; la misma expresión
positiva; se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.
2) Si se cambian de signos a todos los elementos de una
desigualdad; cambia el sentido de la desigualdad.
3) Si los dos miembros de una desigualdad tienen el mismo signo;
sus inversos forman otra desigualdad de distinto sentido al
original.

Si las desigualdades representan dos o más incógnitas; representan
inecuaciones simultánea de primero o segundo grado.- En el proceso de
desarrollo se utilizan las propiedades indicadas.

Demuéstrese, mediante sustitución directa, que el número dado ala
derecha en los problemas 5 a 12 es una raíz de la ecuación propuesta
en cada problema.

1
1. 6x + 1 = 8 – 8x, .
2

6x + 1 = 8 - 8x
6x + 8x = 8 - 1
14x = 7
1
x =
2

222


x 3 x 1 5
2. ,5
4 3 6

x 3 x 1 5
- =
4 3 6
C1D 12

-
3(x-3) - 4(x-1) =
10
-
3x-9 - 4x+4 =
10
-x = -5
x = 5

3. ax + bc – bx = ac, c

ax - bx = ac - bc
x(a-b) = c(a-b)
c ( a b)
x =
a b
x = c

bx 1 ab bx 1
4. a ,
b x b x a
bx 1 ab bx
+ a =
b x b x
bx - 1 + a(b+x) = ab + bx
bx - 1 + ab+ax = ab + bx
ab - ab +
bx - bx + = 1
ax
ax = 1
1
x =
a

223



5. 4x + 1 = 6x – 3,2.

6. 9x – 3 = 10x + 3, -6.

3
7. 5x – 1 = 3x + 2,
2

2x 4 x 1
8. x 2, 17
2 4

2x 1 x x 2 8
9. ,
3 4 6 3

x 1 3 2
10. 2 ,
x 1 x 1 3

1
11. a2x – b = a – abx,
a

a x b 2b x
12. ,b a
b a a

Resuélvanse las ecuaciones de los problemas 18 a 72.


13. 4 (3x – 1) = -5 (-3x + 2)

a(3x-1) = -5(-3x+2)
12x - 4 = 15x – 10
12x -15x = -10 + 4
-3x = -6
x = 2

224


3 1 2
14. 8 x 3 x 1 5x 9.
2 4 3

3x 1 2x
8 - 3 1 = 5x-9
2 4 3
12x - 2 - 2x + 3 = 5x – 9
10x - 5x = -9 – 1
5x = -10
x = -2

4 1 2 5
15. x 3 x
3 3 3 3

4 x 2x 5
- - 3 = -
3 3 3 3
4 - x - 9 = 2-x - 5
-x - 2x = -5 - 4 + 9
3x = 0
x = 0

1
16. x–b= - abx
a

1
x - b = - abx
a
¡Error! No se
pueden crear
ax - ab = 1 - objetos
modificando
códigos de campo.
ax - a 2 bx = ab + 1
2
x ( a a b)
= ab + 1
ab 1
x =
a a 2b
ab 1
x =
a(1 ab)
1
x =
a

225


x 1 x 1 2x x 1
17.
x 3 x 1 x 3 (x 3) ( x 1)

x 1 x 1 2x x 1
+ = +
x 3 x 1 x 3 ( x 3)( x 1)
(x-3)(x-
c1d =
1)
(x+1)(x-
(x+1)(x-1) + = 2x(x-1) + x+1
3)
x 2 -1 + x -2x -3
2
= 2 x 2 -2x + x+1
x 2 + x 2 -2 x 2 - 2x+2x-x = 1 +1 + 3
-x = 4
x = -4


18. 5x = 3x + 6
19. 9x + 1 = 2x – 13
20. 7x + 4 = 3x + 6
21. 5x – 1 = 2x + 1
22. 6x – 3 = 7x + 2
23. 8x – 5 = 7 + 4r
24. 7x – 3 = 2 – 3x
25. 9 – 8x = 7x + 3
26. S (x + 2) – (x – 4) = 0
27. 3 (5x – 2) + 4 (1 – 3x) = 0
28. 7x (4x + 15) – 6 (8x + 4) = 1

1 1 1
29. 4 x (8 x 6)
2 4 2

2 1 2
30. 6 x (12x 6) 5.
3 6 3

226


4 2 3 1
31. 9 x 12 x 7x 4.
3 3 4 6

1 3 1
32. x x 5
2 4 4

3 2 4 1
33. x 2x x
4 3 3 4

1 2 3 7
34. x x 2
2 3 2 3

1 7
35. x 5 x 1
2 6

3 1
36. x 5 x 7
4 2

2 1
37. x 1 x 1
3 2

3 1 2
38. x 2 x
5 3 5

1 1
39. ax - = - bx
a b

40. ax + b (1 - x) = 26 – a

41. a + b2x = a2x – b

3x 1
42. = 2x + 3
2

2x 4
43. x=2-
3

1 x 6
44. x 2
2 6

227


4x 2 1
45. 3x 2
3 4

x 2 x 1
46. 3
3 2

3x 4 4x 5
47. 4-
4 12

2x 5 3x 2 5
48.
5 3 6

5x 3 2x 4 7
49.
4 3 3

4x 3 2x 4
50. x 1
6 9

3x 5 2x 7 21
51. 3x
5 4 5

2x 5 3x 2 3
52. 2x
6 9 2

6x 7 4x 3
53. 2 (6 2x ) 0
5 3

ax b bx a b
54.
a a a

cx d dx c c2 d2
55.
d c cd

a2 x b2 bx a a b
56.
ab a b

2px 3q p 3qx 3q
57.
p q p

228


x 3 x 4
58.
x 1 x 2

2x 5 3x 5
59.
4x 1 6x 1

4x 3 8x 5
60.
2x 3 4x 1

3x 3 3x 4
61.
2x 1 2x 5

2 3 6
62.
x 1 x 3 (x 1) ( x 3)

5 4 10
63.
x 1 x 2 (x 1) ( x 2)

3 5 10
64. 2
x 2 x 4 x 2x 8

1 1 10
65. 2
x 3 x 3 x 9

4 3 8
66. 2
x 2 x 1 x x 2

1 3 3
67.
2x 3 x 3 2x 2 3x 9

2 1 5
68. 2
x 2 2x 1 2x 3x 2

4 3 5
69. 0
2x 3 x 2 5x 4

229


4 1 5
70.
3x 2 2x 3 6x 3

4 3 1
71.
3x 1 2x 3 6x 24

4 2 1
72.
4x 5 x 4 x 3

Demuéstrese que las ecuaciones de los problemas 73 a 80 no tienen
solución.
4x 7 1
73. 3
x 2 x 2

2 4 2x
74. 1
x 1 x 1
2 1 1
75. 2
x 1 x 1 x 2
1 1 1
76. 2
x 2 x 3 x 5x 6

x 1 x 1 x2 1
77. 1
x 2 x 1 ( x 1) ( x 2)

x 1 x x 1 x2
78.
x 2 x 1 x 1 (x 1) ( x 2)

x 1 x 3 x 1 x2 x 1
79.
x 2 x 1 x 1 ( x 2) ( x 1)

5.4 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE EL USO DE
ECUACIONES
Un problema que se puede resolver mediante una ecuación,
comprende varias cantidades de las cuales unas son conocidas y otras

230


desconocidas. Igualmente contiene datos que permiten observar la
igualdad entre dos combinaciones de esas cantidades. Si el problema se
puede resolver mediante una ecuación de una variable, entonces las
cantidades desconocidas deben expresarse en términos de una sola
letra.

El procedimiento para resolver un problema mediante el uso de una
ecuación no siempre es fácil y para lograr cierta aptitud se requiere una
práctica considerable. Para ello se sugiere el siguiente esquema:
1. Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta que quede
perfectamente clara la situación que plantea.
2. Identificar las cantidades comprendidas en el problema, tanto las
conocidas como las desconocidas.
3. Elegir una de las cantidades desconocidas y representarla
mediante una letra, generalmente x. Después, expresar las otras
cantidades desconocidas en términos de esta letra.
4. Buscar en problema los datos que indiquen qué cantidades o qué
combinaciones de éstas son iguales.
5. Formular la ecuación, igualando las cantidades o combinaciones
apropiadas encontradas en el paso anterior.
6. Resolver la ecuación obtenida y comprobar la solución.

A continuación se expondrán algunos ejemplos de los varios tipos de
problemas que pueden resolverse mediante el uso de ecuaciones. El
procedimiento general que se explica en esos ejemplos se puede aplicar
a los problemas similares que se presentan, y a todos los ejercicios que
aparezcan en este trabajo y que comprendan el planteo de problemas.

231


1. Problemas que implican movimiento a velocidad uniforme.
Generalmente los problemas de este tipo establecen una relación
entre distancias recorridas, entre velocidades o entre tiempos
empleados. La fórmula fundamental para estos problemas es:
d = vt


1. Encuéntrense tres números enteros consecutivos cuya suma sea
57.

x x + x + 1 + x + 2 = 57
x + 1 -
3x = 57
x + 2 3
3x = 54
x = 18
Los números son : 18; 19; 20

2. Los señores Fernández, González y Ramírez compraron una
tienda en S/.25,000. Entre Fernández y González aportaron
S/.17,000, en tanto que Ramírez puso S/.1,000.00 más que
González. Encuéntrese la cantidad de dinero que puso cada uno.

17,00 1000
F - x
0 0
G x 7000
100
R x + 8000
0

17,000 - x + x + x + 1000 = 25000
x = 25000 - 18000
x = 7000

232


3. La renta producida por dos casas en un año fue de S/. 15,700.00.
Encuéntrese la renta mensual de cada una, si entre sí difieren en
S/. 250.00 y la más cara estuvo desocupada dos meses.

10x + 12(x - 250) = 15700
x - 250
10x + 12x - 3000 = 15700
x
22x = 18700
18700
x =
22
x = 850
y = 600
4. Un estanque se puede llenar en 3 horas con el agua que recibe de
un tubo y se puede vaciar en 5 horas abriendo la válvula del tubo
de drenaje. ¿En cuánto tiempo se llena el estanque dejando
abiertas las válvulas de los dos tubos?

1 1
En una hora del estanque se desagua en una hora
3 5
1 1
x 1
3 5

2
x 1 2x = 15
15
x = 7.5

Llena el estanque en 7 horas y media
5. Una persona puede remar 2 kilómetros río arriba y 6 kilómetros río
abajo en el mismo tiempo. Si la velocidad de la corriente es 2
km/hr, encuéntrese la velocidad del bote en agua estancada.

Velocidad en agua tranquila: x V= 2k/h
2 6
=
x 2 x 2
2(x+2) = 6(x-2)
2x+4 = 6x-12
16 = 4x

233


x = 4 k/h


6. Encuéntrense dos números tales que uno sea 4 veces mayor que
el doble del otro, y que la suma de ambos sea 37.

7. Encuéntrese dos números tales que uno sea 5 veces menor que
el triple del otro, y que la suma de ambos sea 19.

8. Encuéntrese la longitud de cada lado de un rectángulo, sabiendo
que su perímetro es 82 metros y que un lado es 7 veces mayor
que el otro.

9. Encuéntrese las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que su
perímetro es 84 metros y que el largo es el doble del ancho.

10. Tomás tiene S/. 13.00 más que Ricardo, ¿Cuánto dinero tiene
cada uno si entre los dos reúnen S/. 29.00?

11. Después de pagar S/. 3.00 Juan a Tomás, ambos tienen igual
cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tenía antes de que se
efectuara el pago, si el primero tenía el doble que el segundo?

12. Entre tres hermanos, Tomás, Ricardo y Enrique, compraron un
automóvil usado. Tomás contribuyó con una cantidad igual a un
cuarto del precio del automóvil. Ricardo pagó S/. 50.00 más que
Tomás y Enrique S/.50.00 más que Ricardo. Encuéntrese el
precio pagado por el automóvil.

13. Un hombre cercó un terreno rectangular de 60 metros de frente y
400 metros de perímetro a un costo de S/. 3,720.00. Si el costo

234


de la cerca del frente fue S/. 2.00 mayor por metro que el de los
otros tres lados, encuéntrese el precio por metro en cada caso.

14. Un terreno rectangular que tiene 420 metros de perímetro está
cercado con una barda cuyo costo es de S/. 12.00 por metro en la
parte del frente y de S/. 10.00 por metro en los otros tres lados.
Encuéntrense las dimensiones del terreno si el costo total de la
barda del frente fue un quinto del costo del resto de la barda.

15. Un granjero vendió 15 cerdos, 20 novillos y 10 caballos por
4
S/. 31,500.00 Cada cerdo se vendió por del precio de cada
9
novillo y el precio de cada caballo fue de S/. 350.00 mayor que el
precio por cerdo. Encuéntrese el precio de cada uno.

16. Una parte de S/. 7,000.00 se invirtió al 3 por ciento y la otra parte
al 4 por ciento. Si el interés devengado fue de S/. 240.00,
encuéntrese el valor de cada parte.

17. Un 1° de enero, el señor González invirtió su dinero en cierto tipo
de acciones que pagaban un dividendo anual de 4 por ciento. Al
principiar el segundo año vendió parte de sus acciones por valor
de S/. 3,000.00 y reinvirtió este dinero en un negocio que pagaba
5 por ciento anual. Si el interés devengado en estas inversiones
en dos años fue de S/. 430.00, encuéntrese el valor de la
inversión original.

18. Si se agrega 27 a un número de dos cifras, los dígitos de las
unidades y de las decenas se invierten. Encuéntrense los
números si el dígito de las unidades es doble que el de las
decenas.

235


19. En un número de tres cifras, cada dígito después del primero es
doble del que le precede. Si a ese número se agrega 297 se
intercambia el dígito de las centenas con el de las unidades.
Encuéntrese el número.

20. Un padre y su hijo tienen 30 años y 6 de edad, respectivamente.
¿En cuántos años más el padre tendrá la edad doble que la del
hijo?

21. Juan es 3 veces mayor que Roberto, y en 6 años más su edad
será el doble. Encuéntrese la edad actual de cada uno.

22. En una caja se tienen S/. 6.00 en monedas de 5, 10 y 25 centavos
respectivamente. El número de monedas de 10 centavos es doble
del de las de 25 centavos y el número de la de 5 centavos es igual
a la suma de las de 10 y 25 centavos. ¿Cuántas monedas de
cada denominación hay en la caja?

23. Un automóvil sale de Monterrey a las 13 horas con dirección a
Torreón y otro sale de Torreón a Monterrey a las 14 horas del
mismo día. En el camino se encuentran a las16 horas. La
velocidad del segundo automóvil era de 16 km/hr. Menor que la
del primero y las dos ciudades están a 392 km. Una de otra.
Encuéntrese la velocidad de cada automóvil.

24. Dos barcos se encuentran a mitad del océano y luego continúan
navegando en direcciones opuestas. Después de 7 horas están a
280 millas náuticas uno de otro. Encuéntrese la velocidad de cada
uno sabiendo que éstas difieren entre sí 5 nudos.

25. Dos personas salen del mismo hotel al mismo tiempo y viajan en
igual dirección sobre una misma carretera. Después de 5 horas
sus automóviles se encuentran a 80 kilómetros uno de otro.

236


5
Encuéntrense las velocidades de cada uno, si uno de ellos es
6
más rápido que el otro.

26. Cinco minutos después de haber ocurrido un accidente
automovilístico y de haber huido el culpable, llega al lugar del
accidente un automóvil de la policía. Este inicia inmediatamente la
persecución del culpable y lo alcanza después de 1 hr. 10 min.
Encuéntrese la velocidad de cada automóvil sabiendo que la del
automóvil de la policía fue 8 km/hr. Mayor que la del otro.

27. Un piloto vuela de un aeropuerto a otro a la velocidad de 288
km/hr y regresa a su punto de partida a la velocidad de 240 km/hr.
Si el viaje de ida empleó 1 hora menos que en el de regreso,
encuéntrese la distancia entre los dos aeropuertos.

28. Dos grupos de turistas salen de un mismo hotel, en sus
respectivos automóviles, para recorrer una carretera que forma un
circuito cerrado y a lo largo de la cual se puede contemplar el
paisaje. Al salir, cada automóvil lo hace en dirección opuesta. Un
automóvil viaja a 80 km/hr. Y el otro a 68 km/hr. Encuéntrese la
distancia recorrida si el automóvil más rápido la recorre en 54 min.
menos que el otro.

29. Un agricultor puede arar un terreno en 4 días. Su hijo, empleando
maquinaria más pequeña puede hacerlo en 8 días. ¿En cuánto
tiempo pueden arar el terreno si trabajan conjuntamente?

30. Un operario puede pintar un techo en 12 horas y su ayudante
puede hacerlo en 15 horas. ¿En cuánto tiempo pueden pintarlo
trabajando los dos simultáneamente?

237


31. El mayor de tres hermanos puede segar un prado en 3 horas; el
segundo hermano puede cortarlo en 4 horas y el menor de los tres
en 6 horas. ¿Cuánto tiempo emplearán si lo hacen
conjuntamente?

32. Si en el problema anterior el hermano menor empieza sólo el
trabajo y después de 3 horas empiezan a ayudarle los otros dos,
¿en cuánto tiempo terminan de segar el prado?

33. En una piscina la entrada de agua se hace a través de dos tubos.
Con el agua proveniente de uno de ellos se puede llenar en 12
horas y con la del otro en 8 horas. ¿En cuánto tiempo se llena si
recibe agua de ambos?

34. Si en el problema anterior se abre la válvula del menor de los
tubos y hasta pasadas 3 horas se abre la válvula del otro, ¿en
cuánto tiempo se llena la piscina?

35. Un tanque que se emplea para regar puede llenarse en 6 horas y
vaciarse en 4 horas. Si al comenzar un cierto trabajo el tanque
está lleno y al mismo tiempo se abren las válvulas de entrada y de
salida del agua, ¿en cuánto tiempo se vacía el tanque?

36. ¿Cuántos kilogramos de tabaco de precio S/. 50.00 por kilogramo
se deben mezclar con 30 kilogramos de otro cuyo precio es
S/. 60.00 por kilogramo para poder vender la mezcla obtenida al
precio de S/. 56.00 por kilogramo?

37. Una persona mezcla café de precio S/. 11.60 por kilogramo con
80 kilogramos de otro cuyo precio es de S/. 16.80 por kilogramo,
con el deseo de obtener una mezcla que pueda venderse al precio
de S/. 14.80 por kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de la variedad
más barata deben emplearse en la mezcla?

238


38. Un químico agrega una cierta cantidad de una solución de 86 por
ciento de alcohol, a 11 litros de otra solución al 71 por ciento de
alcohol. Obtiene una solución al 77 por ciento de alcohol.
Encuéntrese la cantidad de litros de la primera solución que se
agregaron a la segunda.

39. Una pieza metálica que contiene 59 por ciento de plata se agrega
a 70 kilogramos de una aleación al 83 por ciento de plata. Se
obtiene una aleación de 73 por ciento de plata. Encuéntrese
cuántos kilogramos de la pieza metálica se emplearon.

40. Se llena el radiador de un automóvil, de capacidad 24 litros, con
una solución al 25 por ciento de alcohol. ¿Cuántos litros se deben
sacar del radiador y reemplazarlos con una solución al 70 por
ciento de alcohol, para dejar en el radiador una solución al 40 por
ciento de alcohol?

41. El radiador de un automóvil tiene una pequeña rotura y se hace
necesario ponerle agua durante el viaje. El radiador de capacidad
24 litros, se llena con una solución al 30 por ciento de alcohol al
iniciar el viaje. Al finalizar éste se llena con agua y la solución
queda al 25 por ciento de alcohol. Encuéntrese la cantidad de
agua agregada.

42. Un aeropuerto B está al norte de otro A. Un piloto vuela por la
mañana de A a B y regresa por la tarde. En el curso de la mañana
soplaba viento del sur a la velocidad de 16 km/hr, y por la tarde el
viento cambió de dirección proviniendo del norte a la velocidad de
30 km/hr. Si el viaje de la mañana se hizo en 4 ½ horas y el de la
tarde en 4 horas, encuéntrese la velocidad del avión relativa al
aire.

239


43. un grupo de excursionistas recorren en igual tiempo, 160 km. En
una carretera pavimentada y 120km en un camino de herradura.
Encuéntrese la velocidad media en cada tramo de camino, si la
velocidad en la carretera pavimentada es 15 km/hr mayor que en
el camino.

44. Los aeropuertos A y C están localizados a 1240 kilómetros al
oeste y a 960 kilómetros al norte de B respectivamente. Un piloto
vuela de A a B, descansa ahí dos horas y continúa después hasta
C. Estuvo soplando viento del oeste con velocidad de 32 Km/hr,
durante la primera parte del viaje y viento del norte con velocidad
de 40 km/hr, durante la segunda parte. Encuéntrese la velocidad
del avión relativa al aire si los dos tramos del recorrido se hicieron
en igual tiempo.

45. Una persona sale de su casa y viaja en automóvil con una
velocidad de 72 km/hr hasta llegar a un aeropuerto; ahí espera 10
minutos y luego continúa su viaje en un avión con velocidad de
192 km/hr. Si durante el viaje recorre 384 kilómetros y el tiempo
total empleado es de 3 horas, encuéntrese la distancia de su casa
al aeropuerto.

46. Un vaquero cuyo caballo se rompió una pierna, camina hasta el
rancho más próximo en donde alquila otro caballo y regresa
después a su propio rancho. Si recorre en total 22.4 kilómetros,
parte a pie y parte a caballo, y si las velocidades en cada caso
son 48 km/kr y 9.6 km/kr., encuéntrese la distancia que hay entre
el lugar del accidente y su rancho si en el recorrido total empleó 3
horas.

240


47. Una persona ejerce una fuerza de 75 kilogramos sobre un
extremo de una palanca de 5 metros de largo. ¿En dónde debe
colocarse el punto de apoyo para que levante un peso de 300
kilogramos?

48. Dos niñas cuyos pesos son 25 y 30 kilogramos respectivamente,
se balancean en una tabla de 4 metros de largo. ¿A qué distancia
de la niña de menor peso está el punto de apoyo?

5.5 SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una ecuación de primer grado con varias incógnita, admite
diferentes métodos de solución. Para que se puede resolver una
ecuación simultánea con varias incógnitas; es necesario que esté
constituido por tantas ecuaciones; como incógnitas tenga. De lo
contrario serán indeterminado (varias soluciones). Se presentan
consecuentemente ecuaciones simultáneamente imposibles de solución.

MÉTODOS PARA RESOLVER ECUACIONES SIMULTÁNEAS
1. Transposición.- En una las ecuaciones se despeja una de las
incógnitas; y se reemplaza en la otra; desarrollándose como una
ecuación de primer grado con una incógnita. El mismo número
hallado al reemplazar en la ecuación despejada.
2. Igualación.- En ambas ecuaciones se despeja la misma incógnita
y se igualan, resolviéndose como una ecuación de primer grado
con una incógnita. El número hallado se reemplaza en cualquiera
de las ecuaciones despejadas.
3. Eliminación.- Se igualan los coeficientes de una de las incógnitas
con signo cambiado; se suma, el resultado se reemplaza en una
de las ecuaciones; así sucesivamente.

241


4. Método de Cramer.- Mediante determinantes.

Resuélvanse los pares de ecuaciones de los problemas 3 a 16 por el
método de adición o sustracción


1. x + 2y = 5
3x – y = 1
x + 2y = 5
3x - y = 1 3 - y = 1
x + 2y = 5 - y = -2
6x - 2y = 2 y = 2
7x = 7
x = 1

2. 20x - 30y = -27
8x + 15y = 0
3
20x - 30y = -27 20( ) - 30y = -27
4
8x + 15y = 0 -15 - 30y = -27
20x - 30y = -27 - 30y = -12
12
16x + 30y = 0 y =
30
2
36x = -27 y =
5
3
x =
4


4. 4x + 3y = -1
3. 3x – 4y = -2
2x – y = 7
x + 2y = -4

242


5. 6 – 5y = -4 12. 24x + 12y = 49
3x + y = 5 3x + 8y = -2

6. 2x + 3y = 3 2 1
x y 1
3x + 5y = 4 3 4
13.
1 3
x y 4
7. 5x - 4y = 1 3 4

2x - 3y = 6
1 3
x y 3
2 5
8. 3x + 8y = 1 14.
3 2
2x + 7y = 4 x y 2
2 5
9. 4x + 5y = 1
3x + 2y = -8 3 1
x 2y
4 4
15.
10. 2x + 4y = 11 2 3
x y
4x - 3y = 9 3 4

11. 3x - 2y = 1 3 1
x y 2
2 3
12x - 18y = -11 16.
1 1
x y 1
4 6
Resuélvanse por sustitución de los pares de ecuaciones de los
problemas 18 a 32.

EJERCICIO RESUELTO

17. 8x + 3y = 12
6x – y = 22
8x + 3y = 12 8(3) + 3y = 12
6x - y = 22 3y = 12 - 24

243


8x + 3y = 12 3y = -12
18x - 3y = 66
26x = 78 y = 4
x = 3


18. 2x + 7y = 3
x – 5y = -7 26. 2x - 4y = -5
4x + 2y = 5
19. 4x + 9y = -1
5x – y = 11 27. 3x + 4y = 5
24x – 36y = -11
20. 5x - 7y = 1 28. 5x + 2y = 3
x + 3y = 9 30x – 50y = -13

21. 7x - 3y = -1 1 1 3
x y
3x – 2y = -4 29. 2 3 2
x 2y 5

22. 4x + 5y = -14
2x – 3y = 26 3 2
x y 1
30. 2 3
3x 2y 0
23. 6x + 5y = 5
4x + 3y = 1
2 3 5
x y
31. 3 4 6
24. 3x - 5y = -10 4x 3y 4
4x – 3y = 16 5 2 1
x y
32. 3 5 4
25. x + 2y = 3 2x y 1
12x – 18y = 1

244


1. 2x – y + z = 7 8. 2x - 3y + 3z = -9
x – 2y – z = 2 5x - 7y + z = -1
3x + 2y + z = 2 3x – 2y + z = 7

2. 3x + y + 2z = 1 9. 3x + 5y + 2z = -7
2x – y – 3z = -6 2x + 4y + 3z = -2
x + y + 2z = -3 5x + 7y + 5z = 3

3. x + y + 2z = 3 10. 2x - 3y + 2z = 13
x + 2y + 4z = 3 3x + 5y - 3z = 31
x – 3y – 5z = 5 5x + 2y – 5z = 20

4. 2x + 3y + z = 8 11. 4x + 2y - 6z = 10
3x + 2y + z = -5 3x - 5y + 7z = -7
x + 3y + z = 6 5x + 3y – 5z = 17

5. 3x - 2y + z = -1 12. 4x + 2y - 3z = 10
2x + 3y + 2z = 17 5x - 3y + 2z = 8
4x – 4y – z = -1 3x + 5y – 7z = 6

6. 5x + 2y + 2z = -9 13. 2x + 3y + 4z = 6
3x - y + z = 8 3x - 6y + 2z = 2
7x + y + 4z = -3 4x + 9y – 8z = 2

7. x + 2y + 3z = 6 14. 6x - 5y - 3z = 3
x + 3y + 2z = -2 4x - 10y + 6z = 10
2x + 5y + 7z = 10 2x + 15y – 9z = -3

245


15. 8x - 6y + 4z = 5 22. 3x + y = 9
4x + 9y - 8z = 5 2x + z=3
6x + 3y + 3z = 10 2x + 3y – 5z = -43

16. 3x - 4y + 6z = -2 23. x + 2y = 3
6x + 2y + 3z = 7 y + 2z = 2
2x + 8y + 4z = 12 3x – 5y + 6z = 8

17. 4x + 3y + 2z = 6 24. 4y + z = 4
2x - 6y + z = -7 3x + z=5
6x + 9y - 3z = 0 3x – 4y + 5z = 16

18. 10x + 5y - 4z = 6 25. x + 2z = -3
x + y + 4z = 2 2y + z = 3
6x + y – 8z = 1 2x – 3y =2

19. 6x - 3y + 2z = 6 26. x - 3y = 1
2x - y + 4z = 8 y + 2z = 14
3x - 6y + 2z = 2 3x + 2z = 1

20. 8x - 6y - 3z = 4 27. 3x + z = 1
16x - 2y + z = 9 3y + 2z = -1
4x – 3y + 6z = 7 4x - 3y = -1
28. 2x + 3y = -12
21. x + 2z = 5 4x - z=3
y + 3z = 14 3y + 9z = 3
3x + 2y – 3z = -17

246


Resuélvanse los problemas siguientes introduciendo más de una
variable.


1. Entre dos hermanos compran una bicicleta en S/. 300.00.
Encuéntrese la cantidad que aportó cada uno, si uno de ellos
pagó S/.12.00 más que el otro.

x y 300 156 y 300
x y 12 y 300 156
2 x 312
y 144
x 156

Rpta: Pagaron S/.156 y S/.144.

2. Un pescador fue hasta un lago y luego regresó por otro camino
que era 15 km. más largo que el de ida. Si en total recorrió 265
km., encuéntrese la distancia recorrida en cada camino.

x y 15
x y 265 y 265 140
2 x 280 y 125
x 140

Rpta: 140 Km. Y 125 Km.

3. Un granjero vendió 30 aves, entre gallinas y gallos, en S/. 500.00.
Si recibió S/. 10.00 por cada gallo y S/. 20.00 por cada gallina,
encuéntrese el número de cada variedad.

247


x y 30
10 x 20 y 500 x 30 20
x y 30 x 10
x 2y 50
y 20
y 20

Rpta: Vendió 20 gallinas y 10 gallos.


4. Después de haber pagado Jaime a Francisco S/. 5.00, aquél tenía
la mitad de dinero que éste. Si entre los dos juntaban S/. 21.00,
encuéntrese la cantidad de dinero que originalmente poseía cada
uno.

5. La colecta de la Cruz Roja en una escuela primaria fue de S/.
45.00 Si había 650 niños y cada uno aportó una moneda de cinco
centavos o una de diez centavos, encuéntrese cuántas monedas
de cada valor hubo en la colecta.

6. La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 11. Si los
dígitos se invierten, el número se incrementa en 45. Encuéntrese
el número.

7. La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 8. Si el
número se sustrae del que se obtiene al invertir los dígitos, el
resultado es 18. Encuéntrese el número.

8. Un hombre y su esposa hacen cada uno su lista de compras y
encuentran que la suma de los dos es S/. 850.00. La señora
elimina entonces un artículo cuyo costo equivalía a la novena

248


parte de su pedido y su marido a su vez elimina otro por valor de
un octavo del importe de su lista. Si con estas supresiones podían
gastar S/.100.00 menos, encuéntrese el valor del pedido original
de cada uno.

9. Durante el año de 1950, un propietario recibió S/. 18,100.00 por
concepto de rentas de dos casas, aún cuando una de ellas estuvo
desalquilada dos meses. Si la suma de las rentas por mes, fue
S/. 1,650.00, encuéntrese el valor de la renta de cada una.

10. Un contratista tiene 40 operarios en su lista de raya. A una parte
de ellos les paga a razón de S/. 8.00 diarios y a los otros a S/.
10.00 también diarios. Encuéntrese cuántos trabajadores hay con
un sueldo y cuántos con otro, sabiendo que el importe diario de
salarios es de S/. 350.00.

11. En 10 meses el propietario de una casa recibe por concepto de
renta una cantidad que es S/. 500.00 menor que el 10 por ciento
del valor de la casa. Durante los 12 meses siguientes, y cobrando
S/. 50.00 menos por mes, recibió una cantidad que fue S/. 100.00
mayor que el 10 por ciento del valor de la casa. Encuéntrese el
valor de la casa y la renta mensual durante los 10 primeros
meses.

12. Un grupo de 40 estudiantes hizo un viaje de excursión en un
autobús de alquiler y en varios de sus automóviles. El pago en el
autobús fue a razón de S/.15.00 por persona y los que fueron en
auto contribuyeron con S/. 12.50 cada uno para pagar los gastos.
Encuéntrese cuántos estudiantes viajaron en autobús, sabiendo
que el costo total por transporte fue S/. 575.00.

249


13. Dos jóvenes cuyo peso total es 156 kg., se balancean en una
viga. Si el punto de apoyo está a 2.1 mts., de uno y a 1.8 mts del
otro, encuéntrese los respectivos pesos.

14. Las cantidades que una persona ha invertido en dos compañías
distintas, difieren entre sí en S/. 250.00. La mayor de ellas reditúa
4 por ciento y la otra 3 por ciento. Encuéntrese el valor de cada
una sabiendo que el ingreso total que recibe al año es de
S/. 272.50.

15. Un piloto viajó hasta un aeropuerto 700 km. al norte y regresó al
punto de partida. Durante todo el viaje estuvo soplando viento del
norte a velocidad constante. Encuéntrese la velocidad del avión
relativa al aire y la velocidad del viento, si el tiempo empleado en
la primera parte del viaje fue 7 horas y 5 horas de regreso.

16. Un estudiante va a su casa en vacaciones. El viaje de ida lo hace
en autobús y el de regreso en automóvil, pero por un camino más
corto. Las velocidades medias del autobús y del automóvil fueron
80 km/hr., y 96 km/hr., respectivamente. Encuéntrese las
distancias recorridas en cada parte del viaje, si en total empleó 9
horas, y en el viaje de ida empleó una hora más que en el de
regreso.

17. Dos automóviles de turismo salen del mismo hotel al mismo
tiempo y parten en direcciones opuestas por un camino que
circunda un lago. Cuando se encuentra en el lado opuesto, el
automóvil más rápido ha recorrido 150 km., y el otro, 120 km.
Encuéntrese la velocidad de cada automóvil, si el más rápido hace
el recorrido completo en 1 hora 21 minutos menos que el otro.

250


18. Dos poblaciones, A y B, están a 324 km. una de otra. A las 6
horas sale de A un automóvil para hacer el viaje de ida y regreso
a B, y a las 8:15 horas sale un camión de B para hacer el mismo
recorrido. Se encuentran por primera vez a las 10 horas y vuelven
a encontrarse siete horas más tarde en el viaje de regreso.
Encuéntrese la velocidad de cada automóvil sabiendo que cada
uno perdió una hora antes de iniciar el viaje de regreso.

19. Dos pedazos de metal contienen 10 por ciento y 25 por ciento de
cobre, respectivamente. Encuéntrese el peso de cada uno
sabiendo que al fundirlos conjuntamente se obtienen 60 kg., de
una aleación con 20 por ciento de cobre.

20. Dos diferentes clases de leche, una con 4 por ciento de grasa y la
otra con 3 por ciento, se mezclaron para obtener 80 litros de leche
con 3 ¼ por ciento de grasa. Encuéntrese cuántos litros de cada
clase de leche se emplearon.

21. Dos soluciones de un ácido, una con 97 por ciento y otra con 90
por ciento, se mezclaron para obtener 21 litros de solución con 95
por ciento. ¿Cuántos litros de cada solución se emplearon?

22. Un pintor y su ayudante aplican una primera mano de pintura a
3
una casa en 3 días. Si la aplicación de la segunda mano
5
requiere cuatro días de los cuales sólo tres trabaja el ayudante,
¿cuánto tiempo emplea cada uno en aplicar una mano?.
Considérese que la aplicación de cada una de las dos manos
requiere igual tiempo.

23. Un aeropuerto B está a 700 km. al este de otro A. Un piloto sale
de A hacia B al mismo tiempo que otro sale de B hacia A y sus

251


aviones se encuentran después de transcurridas dos horas. El
avión que viaja al este completa su recorrido en 1 ½ hora más
2
tarde, y el que viaja hacia el oeste lo hace 2 después de haber
3
encontrado al otro. Si estuvo soplando viento del oeste a razón de
20 km/kr., encuéntrese la velocidad relativa al aire de cada avión.

24. Una persona cerca un terreno rectangular, uno de cuyos lados
menores limita con una carretera. Al mismo tiempo lo divide en
dos partes con una cerca paralela a los lados mayores. A lo largo
de la carretera el costo de la cerca fue S/. 15.00 metro y en las
otras partes S/. 12.00 metro. El costo total fue S/. 5,400.00 y la
cerca de la orilla de la carretera costó S/.3,400.00 menos que la
del resto. Encuéntrese las dimensiones del terreno.

25. Un joven compró un “bat”, una pelota y un guante de béisbol en $
80.00. El costo del guante fue S/. 10.00 mayor que el costo de la
pelota y el “bat” juntos, y el precio de la pelota fue S/. 40.00 menor
que el del “bat” y el guante juntos. ¿Cuánto costó cada uno?

26. Un equipo de fútbol está formado con 45 jugadores de las
escuelas de Preparatoria, de Ingeniería y de Contabilidad. La
suma del número de jugadores de Ingeniería y de Contabilidad es
cinco unidades mayor que el de los de Preparatoria y la suma de
los de Preparatoria e Ingeniería es el doble de los de Contabilidad.
Encuéntrese cuántos miembros de cada escuela hay en el equipo.

27. Una colecta produjo S/. 32.00 en monedas de diez, veinticinco y
cincuenta centavos. ¿Cuántas monedas de cada clase había si en
total eran 150 y la suma de monedas de diez y de veinticinco
centavos importó S/. 22.00?

252


28. La suma de los tres dígitos de un número es 11. Si se añade 396
al número, se intercambian los dígitos de las centenas y de las
unidades. Si se agrega 27 al número original, los dígitos de las
decenas y de las unidades del número quedan intercambiados.
Encuéntrese este número.

29. La suma de las edades de un padre, de su hijo y de su hija es 65
años. Si diez años más tarde el padre tiene el doble de la edad del
hijo y hace cinco años la edad de éste era el doble de la de su
hermana, encuéntrense las edades de cada uno.

30. Un granjero camina a caballo hasta su rancho a razón de 9.6
km/hr., luego toma su automóvil y se dirige a la estación de
ferrocarril a 64 km/kr., y asciende al tren que lo lleva a 80 km/kr.,
hasta la ciudad más próxima. La distancia total recorrida fue
577.20 km. y el tiempo empleado 9 ½ horas. Si permaneció 5
horas más en el tren que en el recorrido a caballo, encuéntrense
las distancias de cada tramo.

1
31. Tomas, Ricardo y Enrique pueden segar un campo en 1 hora
3
trabajando conjuntamente. Cuando sólo trabajan Tomás y Enrique
2
se necesitan 2 hora para hacer la misma tarea, y Ricardo y
3
Enrique pueden hacerlo en 2 horas. ¿Qué tanto tiempo emplearía
cada uno trabajando solo?

253


Resuélvanse por medio de determinantes los siguientes sistemas de
ecuaciones.

17. 3x – y = 5
2x + 3y = 7

18. 2x + 5y = -4
x - 3y = 9

19. x + 2y = 4
3x + y + 3 = 0

20. 4x – 5y = -3
3x + 2y + 8 = 0

Resuélvanse las ecuaciones simples de segundo grado, señaladas en
los problemas 2 a 20.
Observación:

a. Si son cuadrados perfectos, factorice y resuelva.

EJERCICIO RESUELTO

1. 25x2 – 36 = 0

25 x 2 36 0
5x 6 5x 6 0 6
x1
5x 6 0 5
5x 6 0 6
x2
5

254



2. x2 – 4 = 0

3. 16x2 – 1 = 0

4. 49x2 – 9 = 0

b. Se puede simplificar convierta en cuadrados perfectos.

EJERCICIO RESUELTO

5. 7x2 – 28 = 0

7x2 28 0;
x2 4 0
x 2 x 2 0

x 2 0 x1 2
x 2 0 x2 2


6. 8x2 – 32 = 0

7. 3x2 – 27 = 0

8. 2x2 – 18 = 0

255


c. Si al simplificar no encuentra cuadrados perfectos; procesa a su
desarrollo:


9. 3x2 – 4 = 0

3x 2 4 0 2 3
x
3
3x 2 4
2 3 2 3
2 4 x1 ; x2
x 3 3
3
4 2 10. 3x2 + 27 = 0
x ; x
3 3
27
3x 2 27 0 3x 2
3
x2 9 x 9
x 9 1
x 3 1 x 3i 1 i
x1 3i x2 3i


11. 2x2 – 9 = 0 17. 4x2 -100 = 0

12. 4x2 – 12 = 0 18. 16 x2 + 9 = 0

13. 10x2 – 45 = 0 19. 8x2 + 50 = 0

14. x2 – 4 = 0 20. x2 + 5 = 0

15. 5x2 + 45 = 0 21. 3x2 + 21 = 0

16. 6x2 + 24 = 0

256


Resuélvanse por factorización las ecuaciones siguientes:


22. x2 – x – 2 = 0

x 2 0
x2 x 2 0
x1 2
x 2
x 1 0
1
x x2 1
1

x 2 x 1 0

23. 2x2 + 7x + 3 = 0

2x 1 0
2 x1 1
2x 2 7x 3 0
1
x 1 1 x1
2
6
x 3 x 3 0
7
x2 3

2x 1 x 3 0

24. 14x = 8x2 + 3

14 x 8x 2 3
8 x 2 14 x 3 0 - Se ordena.
- Si el término cuadrático tiene
8 x 2 14 x 3 0 signo negativo, se cambiará
4x 1 2 de signo.
12
2x 3
14

257


4x 1 0 2x 3 0
4x 1 2x 3
1 3
x x
4 2


25. x2 – x – 6 = 0 38. 4x2 = 11x + 3

26. x2 + 36 = 0 39. 6x2 = 1 – x

27. x2 + x = 20 40. 6x2 = 3 – 7x

28. x2 + 4x + 3 = 0 41. 6x2 + 17x + 5 = 0

29. x2 + 2 = 3x 42. 6 = 6x2 + 5x

30. x2 + 12 = 7x 43. 6x2 – 6 = 5x

31. x2 – 6x + 5 = 0 44. 10x2 = 3 – 13x

32. 2x2 + 1 = 3x 45. 12x2 = 3x + 2

33. 3x2 – 2x = 1 46. 10x2 – 11x = 6

34. 4x2 = 1 – 3x 47. 20x2 + 6 = 23x

35. 2x2 + 3x + 1 = 0 48. 16x2 = 2x + 5

36. 3x2 + 2 = 7x 49. x2 – x – 6 = 0

37. 4x2 + 7x = 2

258


50. 40x2 + 6 = 31x 60. 36x2 + 69x + 28 = 0

51. 21x2 = 5x + 6 61. 34x + 15 = 72x2

52. x2 – x – 6 = 0 62. x2 + 2ax = 3a2

53. 52x = 12 + 35x2 63. 6x2 + bx – 2b2 = 0

54. 33x = 40x2 – 18 64. 2a2x2 – abx – 3b2 = 0

55. 7x = 15 - 36x2 65. 3d2x2 + 2dcx – 8c2 = 0

56. 35x2 + 94x + 24 = 0 66. x2 – ax – bx + ab = 0

57. 16x2 = 54x - 35 67. abx2 + a2x + b2x + ab = 0

58. 15 = 64x2 + 68x 68. 2x2 – ax + 2bx – ab = 0

59. 45x2 = 69x + 10 69. 3ax2 + 9ax + 2x + 6 = 0

Resuélvanse, completando el cuadrado, las ecuaciones de los
problemas 4 a 60.

2
1. x = 4x + 21
x2 4 x 21 0
2 - Se pasa el término
x 4x 21
independiente al
x2 4x 4 21 4 segundo término.
x 2
2
24 - Se forma el trinomio
cuadrado.
x 2 24 - Se factoriza.
x 2 24 - Se halla la raíz.
- Se despeja y
x 2 4 6
simplifica.
x 2 2 6
x1 21 6
x2 21 6
259


2. x2 + ax = 2a2

a2 a2
x2 ax 2a 2 2
4 4 9 x 5 18 x
a
2
9a 2 9 x 2 18 x 5
x
2 4 9 x 2 18 x 9 9 5
2
a 9a 2 3x 3 4
x
2 4 3x 3 4
a 3a 3x 3 2
x
2 2 3x 3 2
2a
x1 ; x1 a 3 2
2 x
3
4a
x2 ; x2 2a 5 1
2 x1 ; x2
3 3

3. a2x2 – a3x + a2b – b2 = 0

a2 x2 a 3 x a 2b b 2 0
a2 x2 a3 x a4 b2 a 2b a 4
2
ax a 2 b2 a 2b a 4
ax a 2 b2 a 2b a 4
ax a2 b2 a 2b a 4
a2 b2 a 2b a 4
x
a
2 2
a b a 2b a 4
x1
a
2 2
a b a 2b a 4
x2
a

260



4. x2 + 4x + 3 = 0 20. 6x2 = x + 15

5. x2 + 2x – 8 = 0 21. 6x2 + 2 = -7x

6. x2 + 2x – 24 = 0 22. 10x2 + 3 = - 17x

7. 9x2 + 5 = 18x 23. 8x2 – 22x – 21 = 0

8. x2 = 2 - x 24. 12x2 = -11x – 2

9. x2 + x – 6 = 0 25. 10x2 – 7x = 12

10. x2 = 5x – 6 26. x2 + 6x = 5

11. x2 – 4 = 3x 27. x2 – 2x = 1

12. 4x2 + 15 = 16x 28. x2 + 1 = 4x

13. 4x2 = 8x + 5 29. x2 + 7 = 6x

14. 3x2 – 2x = 5 30. x2 = 2x + 2

15. 2x2 + 3x = 2 31. 4x2 = 4x + 1

16. 3x2 + 7x - 6 = 0 32. 9x2 + 1 = 12x

17. 2x2 – x = 0 33. 4x2 + 1 = 12x

18. 3x2 – 5x = 2 34. 4x2 – 2x = 1

19. 3x2 + 10x = 8 35. 3x2 + 6x + 2 = 0

261


36. 9x2 + 9x + 1 = 0 49. x2 + 5x + 7 = 0

37. 4x2 + 9 = 16x 50. 9x2 + 18x + 14 = 0

38. 9x2 + 23 = 30x 51. x2 – 3b2 = 2bx

39. x2 + 2x + 2 = 0 52. x2 – ab = (a – b) x

40. x2 + 5 = 4x 53. x2 – 2ab = (b – 2a) x

41. x + 2x + 10 = 0 54. x2 – 2ax + a2 – b2 = 0

42. x2 + 13 = 6x 55. b2x2 – b3x = a2 – ab2

43. 2x2 + 1 = 2x 56. abx2 – (a2 – b2) x – ab = 0

44. 2x2 + 5 = 6x 57. 6x2 + (2b - 3a) x = ab

45. 9x2 – 6x + 5 = 0 58. (a + b) x2 – 2ax = b – a

46. 9x2 – 12x + 5 = 0 59. a2x2 – a2x = ab + b2

47. 4x2 + 7 = 8x 60. (a2 - b2) x2 + 4abx + 1 = 0

48. 4x2 + 8x + 7 = 0

Resolver las ecuaciones:

1. x2 – 5x + 6 = 0 4. x2 – 2x – 8 = 0

2. x2 – 5x + 4 = 0 5. 2x + 3 = 7x

3. x2 + x – 6 = 0 6. 3x2 + x = 2

262


7. 4x2 + 7x – 2 = 0 14. 8x2 + 18x + 9 = 0

8. 5x2 + 3x – 2 = 0 15. 27x2 = 12x + 7

9. 6x2 + 5x = 6 16. 56x2 + 17x – 28 = 0

10. 15x2 = 14x + 8 17. x2 – 2x = 1

11. 12x2 + 6 = 17x 18. x2 + 4x = - 1

12. 40x2 = 7x + 20 19. x2 – 6x + 7 = 0

13. 16x2 + 18x + 5 = 0 20. x2 + 6x + 4 = 0

Use la fórmula de la ecuación de segundo grado para efectuar las

operaciones que se requieran en los problemas 22 a 28.

EJERCICIO RESUELTOS

21. Resuélvase 4x2 – 9y2 - 2x + 9y – 2 = 0 para y.

4x 2 9y2 2x 9 y 2 0
Ordene para “y”
9 y 2 9 y 4x 2 2x 2 0
Cambie de signo
9 y 2 9 y 4x 2 2x 2 0
Represente la fórmula de una ecuación de segundo grado.

bb 2 4ac
y
2a
Indique las constantes
a 9; b 9; c x2 2x 2
Reemplace y desarrolle.

263


9 81 4 9 x 2 2x 2
y
29
9 81 36 x 2 72 x 72
y
18
9 36 x 2 36 x 9
y
18
9 36 x 2 36 x 9
y
18

6x 6
2
y1
9 6x 3 18
y x 1
18 y1
9 6x 3 3
y x 2
18 y2
3


22. Resuélvase y2 – x2 – 3x + y – 2 = 0 para y.

23. Resuélvase y2 – x2 + 5x + y – 6 = 0 para y.

24. Resuélvase y2 – 4x2 + 8x - 2y – 3 = 0 para x.

25. Resuélvase 9x2 – y2 -- 3x + 3y – 2 = 0 para x.

26. Resuélvase y2 – 9x2 + 12x - 4 = 0 para x.

27. Resuélvase x2 – 16y2 + 24y - 9 = 0 para y.

28. Resuélvase 9y2 – 16x2 + 6y + 16x – 3 = 0 para x.

264


Resuélvanse las ecuaciones de los problemas 29 a 40 empleando la

fórmula de la ecuación de segundo grado, y encuéntrense las raíces

con tres cifras decimales con ayuda de la Tabla.

29. 3x2 – 2x – 2 = 0 35. 7x2 = 2x + 1

30. 2x2 = 3x + 18 36. 8x2 + 6x = 3

31. 4x2 + 6x = 9 37. 10x2 – 3 = 4x

32. 6x2 + 8x = 9 38. 3x2 = 12x – 1

33. 5x2 – 5x + 1 = 0 39. 12x2 – 4x = 3

34. 2x2 – 9 = 4x 40. 9x2 – 3x – 4 = 0

Para resolver una ecuación que comprende radicales de segundo orden,
se efectúan los pasos siguientes:

1. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al
otro miembro los demás términos.
2. Se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación obtenida
y se igualan entre sí.
3. Si la ecuación que se obtenga no contiene radicales se resuelve
para x. Si por el contrario contiene uno o más radicales se
resuelve para x. Si por el contrario contiene uno o más radicales
se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuación sin
radicales. Luego se resuelve esta última ecuación para x.

265


4. Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos para x
en el paso anterior y se determinan los valores de x que son
raíces y los que no lo son.

El proceso de aplicar los pasos 1 y 2, hasta liberar la ecuación de
radicales, se conoce con el nombre de racionalización de la ecuación.

PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO


1. Encuéntrense dos números consecutivos, enteros, positivos,
sabiendo que la suma de sus cuadrados es 85.

2. Encuéntrense dos números consecutivos enteros, cuyo producto
es mayor en 41 a su suma.

3. Encuéntrense un número positivo tal que su cuadrado menos
cinco veces el número, sea igual a 14.

4. Encuéntrense un número negativo talque su cuadrado más tres
veces el mismo número sea 40.

5. Encuéntrense dos números que difieran entre sí en 18 y cuyo
producto sea 144.

6. Encuéntrense dos números cuya diferencia sea 2, y cuyo producto
sea 288.

7. Divídase 40 en dos partes tales que el producto de ellas sea 256.

8. Divídase 33 en dos partes tales que el producto de ellas sea 216.

266


9. Si cada lado de un cuadrado se incrementa en 2 unidades, la
superficie se multiplica por 4. Encuéntrense la longitud original de
los lados.

10. La suma de un número y de su recíproco es 13/6. Encuéntrense el
número.

11. Encuéntrense el número que es 4 veces mayor que 12 veces su
recíproco.

12. La suma de un entero y del recíproco de su consecuente es 13/4.
Encuéntrense el número.

13. El área de un rectángulo es 36mt2 y el largo excede al ancho en 5
mts. Encuéntrense las dimensiones del rectángulo.

14. La superficie de un terreno rectangular es 9,800 mts2, y el largo
excede en 70 mts. al ancho. Encuéntrense las dimensiones del
terreno.

15. El área del piso de un cuarto rectangular es 240 mts.
Encuéntrense sus dimensiones sabiendo que el largo es 4 metros
menor que el doble del ancho.

16. El largo de un rectángulo es 7 cm. mayor que el ancho, y la
diagonal mide 13 cm. Encuéntrense las dimensiones del
rectángulo.

17. El perímetro de un rectángulo mide 40 mts. y el área 96 mts 2
Encuéntrense sus dimensiones.

18. Un granjero construye un establo rectangular aprovechando para
uno de los lados la pared de un granero. La superficie del establo

267


es 200mts2, y en los otros lados emplea 40 mts. de cerca.
Encuéntrense las dimensiones del establo.

19. Encuéntrense los catetos de un triángulo rectángulo, sabiendo
que difieren entre sí y en 7 mts. y que el área es 30 mts. 2.

20. El área de un triángulo rectángulo es 84 mts.2. Encuéntrense las
dimensiones de los catetos sabiendo que difieren entre sí 17
metros.

21. El lado de un cuadrado es 3 cm. menor que el largo de un
rectángulo y 4 cm. mayor que el ancho. Encuéntrense las
dimensiones de cada uno sabiendo que el área del cuadrado es el
doble de la del rectángulo.

22. Las dimensiones exteriores de un cuadro enmarcado son 20 y 18
cms. Encuéntrense el ancho de la moldura sabiendo que su área
es ¼ del área del cuadro sin marco.

23. Dos muchachos reman en una canoa y recorren 6 km. Río abajo.
Regresan a su punto de partida empleando en total 4 horas. Si la
velocidad de la corriente es 2 km/hr., encuéntrese la velocidad de
la canoa relativa al agua.

24. Un piloto hizo un viaje contra el viento y regresó a su punto de
partida en 4 ½ horas. Encuéntrese la velocidad del avión relativa
al aire, sabiendo que la velocidad del viento fue 20 km/hr. y el
recorrido total 400 kms.

25. Un avión recorrió 1,000 kms. a velocidad uniforme. Su hubiera ido
50 km/hr. más aprisa hubiera empleado 1 hora menos en el viaje.
Encuéntrese la velocidad de crucero.

268


26. Un automóvil viajó 140 kms. a velocidad uniforme. Otro recorrió
180 kms. a una velocidad mayor a la del anterior en 5 km/hr., y
empleó 30 minutos más en su recorrido. Encuéntrese la velocidad
de cada automóvil.

27. Un mensaje debe ser transportado a una distancia de 35 kms.
Una persona lo lleva durante 20 kms. a una velocidad uniforme, y
otra lo lleva el resto de la distancia a una velocidad que es menor
en 2 ½ km/hr. Encuéntrese cada velocidad si el tiempo total del
recorrido es de 4 horas.

28. Un carpintero puede hacer cierto trabajo en 2 días menos que su
ayudante. Trabajando conjuntamente puede hacer el trabajo en 2
2/5 días ¿Cuántos días empleará cada uno en hacerlo trabajando
separadamente?

29. Un hombre y su hijo pueden pintar un automóvil en dos días. ¿En
cuánto tiempo pueden pintarlo cada uno si el hijo requiere para
ello 3 días más que el padre?

30. Un hombre compró dos granjas en $ 450,000.00 cada una. Si
pagó $ 500.00 más por hectárea en una que en otra y si en total
compró 750 hectáreas, encuéntrense el precio por hectárea de
cada una.

31. Un comerciante vendió 2 lotes de huevos en $ 220.00 y $ 150.00
respectivamente, habiendo 10 docenas más en el primero que en
el segundo. Si el precio por docena del primer lote fue 50
centavos mayor que el del segundo, encuéntrense cuántas
docenas había en cada uno.

269


32. Los muchachos de cierta familia compraron a prorrata un
automóvil usado en $ 6,000.00. Después de 6 meses uno de ellos
vendió su parte a los otros en $ 900.00. Cuando este costo
adicional se repartió entre los demás hermanos, cada uno
contribuyó con una cantidad de $ 120.00 menor que la aportada
originalmente. ¿Cuántos muchachos eran?

270


CAPÍTULO VI
DESIGUALDADES: INECUACIONES

Se dice que una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando la
diferencia a – b es positiva. Así 4, es mayor que –2 porque la diferencia
4–(-2) = 4 + 2 = 6 es positiva; -1 es mayor que –3 porque –1–(-3)=-1+3=2
es una cantidad positiva.

Se dice que una cantidad a es menor que otra cantidad b cuando la
diferencia a – b es negativa. Así, -1 es menor que 1 porque la diferencia
–1 –1 = -2 es negativa: -4 es menor que –3 porque la diferencia –4 – (-3)
= -4 + 3 = -1 es negativa.

De acuerdo con lo anterior, cero es mayor que cualquier cantidad
negativa.

Así, 0 es mayor que –1 porque 0 – (-1) = 0 + 1 = 1, cantidad positiva.

6.1 DESIGUALDAD
Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor
que otra.

Los signos de desigualdad son , que se lee mayor que, y que se lee
menor que. Así 5 3 se lee 5 mayor que 3; -4 -2 se lee –4 menor que
–2.

271


MIEMBROS
Se llama miembro de una desigualdad a la expresión que está a la
izquierda y segundo miembro a la que está a la derecha del signo de
desigualdad.

Así, en a + b c – d el primer miembro es a + b y el segundo c – d.

TÉRMINOS
De una desigualdad son las cantidades que están separadas de otras
por el signo + 0 – 0 la cantidad que está sola en un miembro. En la
desigualdad anterior los términos son a, b, c y –d.

Dos desigualdades son del mismo signo o subsisten en el mismo sentido
cuando sus primeros miembros son mayores o menores, ambos, que los
segundos.

Así, a byyc d son desigualdades del mismo sentido.

Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismo
sentido cuando sus primeros miembros no son ambos mayores o
menores que los segundos miembros. Así, 5 3 y 1 2 son
desigualdades de sentido contrario.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1) Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta
una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía.
Así, dada la desigualdad a b, a+c b+cya–c b – c.
podemos escribir:

272


Consecuencia:
Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un
miembro al otro cambiándole el signo.
Así, en la desigualdad b + c podemos pasar c al primer miembro
con signo – y quedará a – c b, porque equivale a restar c a los
dos miembros.
En la desigualdad a – b c podemos pasar b con signo + al
segundo miembro y quedará a b + c, porque equivale a sumar b a
los dos miembros.

2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o
dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la
desigualdad no varía.
a b
Así, dada la desigualdad a b y siendo c ac bc y
c c
una cantidad positiva, podemos escribir

Consecuencia:
Se pueden suprimir denominadores en una desigualdad, sin que
varíe el signo de la desigualdad, porque ello equivale a multiplicar
todos los términos de la desigualdad, o sea sus dos miembros, por
el m.c.m. de los denominadores.

3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o
dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la
desigualdad varía.
Así, si en la desigualdad a b,

273


multiplicamos ambos miembros -ac -bc
por –c, tendremos:
a b
y dividiéndolos por –c, o sea -
c c
1
multiplicando por - , tendremos:
c

Consecuencia:
Si se cambia el signo a todos los términos, o sea a los dos
miembros de una desigualdad, el signo de la desigualdad varía
porque equivale a multiplicar los dos miembros de la desigualdad
por –1.
Así, si en la desigualdad a – b - c cambiamos el signo a todos
los términos, tendremos: b – a c

4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de
signo.
Así, si a b es evidente que b a.

5) Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de
signo.
1 1
Así, siendo a b se tiene que .
a b

6) Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan
a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no
cambia.
Así, 5 3. Elevando al cuadrado: 52 32 o sea 25 9

274


7) Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a
una potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no
cambia.
Así, - 3 - 5. Elevando al cubo: (-3)3 (-5)3 o sea – 27 - 125.
2 - 2. Elevando al cubo: 23 (-2) o sea 8 - 8.

8) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma
potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia
Así, -3 - 5. Elevando al cuadrado: (-3)2 = 9 y (-5)2 = 25 y queda 9
25.

9) Si un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a
una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad
puede cambiar.
Así, -3 - 5. Elevando al cuadrado: 32 = 9 y (-5)2 = 25 y queda 9
25. Cambia.
8 - 2. Elevando al cuadrado: 82 = 64 y queda 64 4. No Cambia.

10) Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les
extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no
cambia.
n n
Así, si a b y n es positivo, tendremos: a b.

11) Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o
multiplican miembro a miembro, resulta una desigualdad del
mismo signo.
Así, si a byc d, tendremos: a + c b y ac bd

275


12) Si dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen
miembro a miembro, el resultado no es necesariamente una
desigualdad del mismo signo, pudiendo ser una igualdad.

Así, 10 8y5 2. Restando miembro a miembro: 10 – 5 = 5 y 8 –
2 = 6; luego queda 5 6; cambia el signo.

Si dividimos miembro a miembro las desigualdades 10 8y5 4,
10 8
tenemos =2y = 2; luego queda 2 = 2, igualdad.
5 4

6.2 INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más
cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para
determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones se llaman
también desigualdades de condición.

Así, la desigualdad 2x – 3 x + 5 es una inecuación porque tiene la
incógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8.

En efecto: Para x = 8 se convertiría en igualdad y para x 8 se
convertiría en una desigualdad de signo contrario.

Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas que
satisfacen la inecuación.

276


PRINCIPIOS EN QUE SE FUNDA LA RESOLUCIÓN DE LAS
INECUACIONES
La resolución de las inecuaciones se funda en las propiedades de las
desigualdades, expuestas anteriormente, y en las consecuencias que de
las mismas se derivan.

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES

1. Resolver la inecuación 2x – 3 x+5
Pasando x al primer miembro y 3 al segundo:
2x – x 5+3
Reduciendo: x 8. R.
8 es el límite inferior de x, es decir que la desigualdad dada sólo
se verifica para los valores de x mayores que 8.

x 5x
2. Hallar el límite de x en 7 - -6
2 3
Suprimiendo denominadores: 42 – 3x 10x – 36

Transponiendo: -3x – 10x - 36 – 42.
-13x - 78
Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el
signo de la desigualdad, se tiene: 13 x 78.
78
Dividiendo por 13: x o sea x 6. R.
13

6 es el límite superior de x, es decir, que la desigualdad dada sólo
se verifica para los valores de x menores que 6.

277


3. Hallar el límite de x en (x + 3) (x – 1) (x – 1)2 + 3x.
( x 3)( x 1) ( x 1) 2 3x
x2 2 x 3 x 2 2 x 1 3x

Transponiendo:
x 2 x 2 2 x 2 x 3x 1 3

Simplificando
x 4
El límite superior es 4; se verifica el valor de x, para números
menores que “4”

4

0 4

Hallar el límite de x en las inecuaciones siguientes:


5 x
1. 2x - + 10.
3 3

5 x
2x 10
3 3
0
6x 5 x 10
3
6x x 10 5
5x 15
x 3

278


2. 6 (x2 + 1) – (2x – 4) (3x + 2) 3 (5x + 2)

6( x 2 2 x 1) 4 x 2 ( x 7) 4( x 3 6 x 2 12 x 8)
6 x 2 12 x 6 4 x 3 28 x 2 4 x 3 24 x 2 48 x 32
4 x 3 4 x 3 22 x 2 24 x 2 12 x 48 x 6 32 0
2 x 2 36 x 38 0
x 2 18 x 19 0
( x 19)( x 1) 0
x 19
x 1

1 19

1 x 19


3. x–5 2x – 6. 6. 3x – 14 7x – 2.

4. 5x – 12 3x – 4. x 5x
7. 3x – 4 + +2
4 2
5. x–6 21 – 8x.
8. (x –1)2 – 7 (x – 2)2

9. (x + 2) (x – 1) + 26 (x + 4) (x + 5)

10. 3(x-2) +2x (x + 3) (2x – 1) (x + 4)

11. (x – 4) (x + 5) (x – 3) (x – 2)

12. (2x – 3)2 + 4x2 (x – 7) 4 (x – 2)3

279


2x 1 2x 5
13.
3x 1 3x 2

x 3 4 x
14. -
3 x 2 3

5 9 2
15. - 2
3x 1 9x 1 3x 1

1 1 1
16. 2 2
- 2
x x x x x x

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON RADICALES QUE SE
REDUCEN A PRIMER GRADO
Vamos a estudiar la resolución de ecuaciones en las cuales la incógnita
aparece bajo el signo radical.
Ejemplos:
1. Resolver la ecuación 4x 2 15 2x 1

Aislando el radical: 4x 2 15 2x 1
Elevando al cuadrado ambos miembros para eliminar el radical:

( 4x 2 15) 2 = (2x – 1)2 o sea 4x2 – 15 = 4x2 – 4x + 1.
Suprimiendo 4x2 en ambos miembros:
-15 = - 4x + 1
4x = 16
x = 4. R.

2. Resolver la ecuación: x 4 x 1 5

Aislando un radical: x 4 5 x 1

280


Elevando al cuadrado: ( x 4 )2 (5 x 1) 2

O sea: x + 4 = 52 – 2 x 5 x 1+ (x 1) 2

Efectuando: x + 4 = 25 – 10 x 1 +x–1

Aislando el radical: x + 4 - 25 – x + 1 = - 10 x 1

Reduciendo: - 20 = - 10 x 1

20 = 10 x 1

Dividiendo por 10: 2= x 1

Elevando al cuadrado: 4 = x – 1
x = 5. R.

3. Resolver la ecuación : x 7 x 1 2 x 2 0

Aislando un radical: x 7 + x 1= 2 x 2

Elevando al cuadrado: (x 7) 2 + 2 ( x 7) ( x 1) +

(x 1) 2 4 (x 2)

Efectuando: x + 7 + 2 x2 6x 7 + x – 1 = 4x + 8

Aislando el radical: 2 x2 6x 7 = 4x + 8 – x – 7 – x + 1

Reduciendo: 2 x2 6x 7 = 2x + 2

Dividiendo por 2: x2 6x 7 =x+1
Elevando al cuadrado: x2 + 6x – 7 = (x + 1 )2

O sea : x2 + 6x – 7 = x2 + 2x + 1
6x – 2x = 7 + 1
4x = 8
x = 2. R.

281




1. x 8 = 2 15. 5x 1 3 5x 26

2. 5 - 3x 1= 0 16. 13 13 4x 2 x

3. 7 + 3 5x 2 9 17. x 4 x 4 2 x 1

4. 9x 2 5 3x 1 18. 9x 7 x 16x 7 0

19. 9x 10 2 x 3 x 2
5. x2 2x 1 9 x

3 7x 1 12 20. 18x 8 2x 4 2 2x 1 0
6. 15 -

7. x x 7 7
21. 8x 9 18x 34 2x 7 0
8. 3x 5 3x 14 9

9. x 10 x 19 1 22. x 2 x 5 4x 23

10. 4x 11 7 2x 29 23. x 6 9x 70 2 x 9

11. 5x 19 5x 1 24. x a x a 4x 2a

12. x 2 5 x 53 25. x 4ab 2b x

13. 9x 14 3 x 10 4 26. x 4a x 2a 1 1

14. x 16 x 8 4

282


ECUACIONES CON RADICALES EN LOS DENOMINADORES

2
Resolver la ecuación: x 4 x 1
x 1

Suprimiendo denominadores: x2 3x 4 (x 1) 2 2

x2 3x 4 (x 1) 2

x2 3x 4 x 1
Elevando al cuadrado: x2 + 3x – 4 = x2 + 2x + 1
3x – 2x = 4 + 1
= R.


10 8
1. x x 5 6. x 3 x 9
x x 9

55 x 4 x 11
2. 4x 11 2 x
4x 11 7.
x 2 x 1

4 9
3. x x 7 8. 2 x 6 4x 3
x 4x 3

x 2 x 1
4. x 2 2 x 5
x 4 x 13 9.
x 2 2 x 1

6
5. x 8 x 6
x 5 10. x 14 x 7
x 7

283


Resolver las ecuaciones exponenciales siguientes:

1.
(a x ) x (a 8 ) 2
2
ax a16
x2 16
x 16
x 4
x1 4
x2 4 Los resultados negativos no tienen validez en
las ecuaciones exponenciales y logarítmicas

2. (105-x)6-x = 100

x 6 x
105 100
5 x 6 x
10 10 2
30 11x x 2 2 0
x 2 11x 28 0
x 7 x 4 0
x1 7
x2 4


3. (a x ) 2 (a x ) x 6. x
a ax
x
4. (ab-x)x = ax 7. 100 . 10x = 1000 5

5. (43-x)2-x = 1 8. 2x+1 + 4x = 80

284


9. 2x + 4x = 272 11. 3x+2 + 9x+1 = 810

10. 2x+3 + 4x+1 = 320

Resolver las ecuaciones siguientes:

2
x 5x 5
1. 7 16807
2
7x 5x 9
7.5
x 2 5x 9 5
x 2 5x 4 0
x 4 x 1 0
x1 4
x2 1

2. 3x 2
9x 1
810
x 2x
9 3 9 3 810 0
2x x
3 3 90 0
x
3 10 3x 9 0
x
3 10 3x 9
3 x 32
x 2


2. 3x = 177 147 4. 3x/2 = 768

3
x
1 5. 243x-2 = 10 000
3. 51
4 2

285


6. 3 x
= 243 15. . 32x – 7 . 3x – 3 456 = 0

7. 5x-3x = 625 779 375
16. 2 . 5x - -3 = 0
5x
2 7x 12
8. x x =1
15 247
17. 3x+1 + 3x-2 - =
3x 1
3x 2
x 4 18x2 86
9. 6 = 7 776
18. 3x+1 - 3x-2 - 3x-3 + 3x-4 = 750
10. 2x+1 + 4x = 80
19. 32x . 52x-3 = 7x-1 . 4x+3
11. 3x + 9x = 6 642
20. 2x+3 = 192 . 3x-3
12. 2x+3 + 4x+1 = 320

4 2 2 4 x-1 (a b) 2 x
13. 52x – 7 . 5x – 450 = 0 21. (a – 2ª b + b ) =
(a b) 2

14. 72x – 6 . 7x + 5 = 0

22. a . a3 . a5 . a7 … a2x-1 = 11

Aplicación: a = 2, n = 512 ; a = 2, n = 65 536

286


LOGARITMOS

Historia: El calculo quedo muy simplificado a principios del siglo XVII
(1614) con la invención de los logaritmos. Dio las pautas Vieta (1590) lo
referente a los logaritmos.
El varon Napier o Neper de Menchistaun (Escoces, 1500-1617) invento
los logaritmos, que le costo mas de 20 años razonan las propiedades y la
existencia de los logaritmos. En la que  es la base del logaritmo natural.
1 1 1 1
..........
..
0! 1! 2! n!
Operacional muchas tablas y 1630 los logaritmos formaban parte del
equipo de los astrónomos.
Briggs (ingles 1561-1631) publico su tabla en base diez y es utilizada
simultáneamente.

Definición: Es el exponente, a la que se debe elevar un numero llamado
base; para encontrar el número dado.

Clases: Tal como hemos indicado en la ligera historia de los logaritmos:
1. Logaritmos Naturales o Neperianos, cuya base es el numero
trascendente epsilon
2.718281828......(Ln)
2. Logaritmos comunes vulgares de Briggs, cuya base es el numero
diez(10) (log)

287


Propiedades:
I. Los números negativos no tienen logaritmos.
II. EL logaritmo del numero UNO (1) es (0).
III. El logaritmo de los números mayores que el número uno (1) son
positivos.
IV. El logaritmo de los números mayores que cero (0) y menores que el
numero uno (1) son negativos.
V. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de
las expresiones a efectuar;
log a, b, c log a log b log c
VI. El logaritmo de un cociente, es igual al logaritmo del dividendo menos
el logaritmo del divisor.
ab
log log a log b log c log d
cd
VII. El logaritmo de una potencia es igual a la potencia por el log de la
base
a nb m
log n log n m log b u log c
cu
VIII. El logaritmo de una raíz, es igual al logaritmo de la expresión sub-
radical, dividido entre el índice de la raíz.

a mb y m log a y log b x log c u log d
log n
c xd u n

288


EJERCICIO RESUELTO

x
1. log x log 288 3 log
2
x
log x 3 log log 288
2

x
log 3
log 288
x
2
x
288
x3
8
8 x 288 x 3
8 288 x 2
288
x
8
x 36
x 6
x1 6


1. x + y = 65 6. log x – log 288 = 3 log x/2

2. x2 + y2 = 425 7. log x + log y = 2

3. logx = = log24 - log 8 8. x4 + y4 = 641

4. 2logx = log 192 + log ¾ 9. 2log x + 2 log y = 2

5. log x = 3 log 18 – 4 log 12 10. log x + log y = 3

289


11. 5x2 – 3y2 = 11 300 18. 116x-7y = 14 641

12. log x - log 5 = 0,5 19. log x + log y = 3/2

13. log x + 2 log y = 1,505150 20. log x – log y = 1/2

14. 2 log y – log x = 0,124939 21. 3x . 4y = 3 981 312

15. log3+2logx+logy = 1,732393 22. 2y . 5x = 400 000

x
16. logx – log 5 = log 10 23. x y 2

17. 53x-2y = 3 125 24. (x + y) 3x = 279 936

290


CAPÍTULO VII

RELACIONES

Establecer una relación en matemática es utilizado con frecuencia; así,
como en la vida cotidiana: “es igual a”, “es menor que b”; “es congruente
a”; etc. Una de las relaciones más importantes es la:

7.1 RELACIÓN BINARIA
Si se tienen dos conjuntos A y B; se denomina relación binaria al
conjunto formado con un elemento de A y otro, de B; en ese
orden:

Ej: A = {a; b; c; d} y B = {f; g; h}
R. B. = { (a; f) ; (a; h) ; (d; f) ……. }

Las Relaciones Binarias se representan entre paréntesis.
Al conjunto A se le denomina Dominio o Primera Proyección y al
Conjunto B: Recorrido o segunda Proyección.
Se denomina Relación Inversa y se representa R-1 a la relación
que existe entre B y A.

Existen también relaciones: Ternaria; lo mismo que N-ARIA
cuando intervienen tres o más conjuntos:

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS
Una relación binaria R entre elementos de un conjunto A puede
ser:
1) reflexiva : x: x A (x; x) R.

291


2) no reflexiva : x/x A (x; x) R.
3) a-reflexiva : x: x A (x; x) R.

La propiedad 2 es la negación de la propiedad reflexiva.

En el caso 3 ninguna cupla con elementos iguales pertenece a la
relación.

4) simétrica : (a; b) R (b; a) ‟R‟
5) no – simétrica : (a; b) R / (b; a) R.
6) a-simétrica : (a; b) R (b; a) R.
7) anti-simétrica : [(a; b) R (b; a) R] a=b
8) transitiva : [(a; b) R (b; c) R] (a; c) R
9) No-transitiva : (a; b) R (b; c) R / (a; c) R
10) a-transitiva : [(a; b) R (b; c) R] (a; c) R
11) lineal o conexa : [a A b A a b] (a;b) R v
(b;a) R
Ley de tricotomía: a A, b A: a R b v b R a v a = b

TIPOS DE RELACIONES
Las relaciones binarias definidas en un conjunto pueden cumplir o
no las propiedades anteriores. Las relaciones más usuales en
matemática son:

a) Relaciones de equivalencia.
b) Relaciones de orden.
c) Relaciones funcionales o aplicaciones.

292


7.2 RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Definición: una relación binaria R en un conjunto A es de
equivalencia si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva.

O sea, una relación binaria R (simbolizada ) en un conjunto A es
una relación de equivalencia si y sólo si posee las siguientes
propiedades:

E1 : a A a a
E2 : a b b a
E3 : [a b b c] a c
Ejemplos:
a) La relación de “congruencia módulo n” para n número
natural, definida en el conjunto de los números enteros, es
una relación de equivalencia.

Sea Z el conjunto de los enteros y a b3 a – b = 3q con
q Z.
E1 : a Z, a – a = 0 a a3
E2 : a Z, b Z, a – b = 3q b - a = 3 (-q)
o sea a b3 b a3
E3 : a Z, b Z, c Z, [a – b = eq b – c = 3q‟]
a – c = 3 (q + q‟) = 3h
o sea [a b3 b a3] a c3

b) Otras relaciones de equivalencia:

A = {a/a número natural} y R: “idéntico a”

293


B = {b/b círculo en el plano euclídeo} y R: “tiene igual radio
que”
C = {c/c triángulo en el plano euclídeo} y R: “tiene igual área
que”
D = {p/p es una proposición} y R: “sí y sólo sí”

Clases de equivalencia y conjunto cociente
Ya se ha probado que la relación de congruencia módulo n,
definida sobre el conjunto Z de los enteros, es una relación de
equivalencia.

Si se considera en especial la congruencia módulo 3, esta relación
separa a los números enteros en tres clases no vacías y disjuntas:

Z0 = {......., -9, -6, -3, 0, 3, 6.....}
Z1 = {......., -8, -5, -2, 1, 4, 7.....}
Z3 = {......., -7, -4, -1, 2, 5, 8.....}

7.3 PARTICIÓN DE UN CONJUNTO
La serie de lemas anteriores permite demostrar, según ya se ha
indicado, que toda relación de equivalencia definida en un
conjunto separa a sus elementos, de manera única, en clases no
vacías y disjuntas dos a dos, es decir, establece una partición del
conjunto dado.

Definición:
Un conjunto {A1, A2, A3, A4,......} de subconjuntos no vacíos de un
conjunto A es una partición de A si y sólo si:

294


1) A es la unión de A1, A2, A3 ...... es decir, A = U A.
2) La intersección de dos subconjuntos distintos es el conjunto
vacío.

Además, toda partición de un conjunto define sobre el mismo una
relación de equivalencia.
Se llega así, al siguiente enunciado, básico en el estudio de
relaciones de equivalencia.

7.4 RELACIONES DE ORDEN
Las colecciones ordenadas abundan en matemáticas: puntos de
una recta, números naturales, etc. La noción es tan fundamental e
intuitiva que aparece en la vida cotidiana: se ordenan libros, sillas,
alumnos, etc.
¿Cuál es el significado intuitivo de un “orden”? Simplemente,
dados dos objetos x e y, x “precede a” y, o y “precede a” x.
Usualmente en el caso de puntos de una recta horizontal
“precede” significa “a la izquierda de”; en el caso de números
naturales, significa “menor que”; en el caso de calles que corren
de norte a sur, “precede” significa “al este de”, etc.
En matemática, el concepto de orden admite distintas variantes.
Se habla de orden amplio, estricto, parcial, total, de buena
ordenación, etc.

1) Orden Amplio
Definición:
Una relación binaria R definida en un conjunto A es de orden
amplio sí y sólo sí es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

295


Es decir, A1 : x A xRx
A2 : (x R y y R x) x=y
A3 : (x R y y R x) xRz

Ejemplos:
a) En z = {x/x número entero} se define
a b c número natural o cero tal que a + c = b
b) En z = {x/x número entero} se define a b c Z/b =
a.c
c) Sea A = {1,2,3,4,5} y la relación caracterizada por
x y x = y o el camino de x a y tiene el sentido
indicado en el diagrama:
1

2 3
5

4

2) Orden Estricto
Definición:
Una relación binaria R definida en un conjunto A es de orden
estricto sí y sólo si es a-reflexiva, a-simétrica y transitiva.
Es decir, S1 : xRy x y
S2 : xRy yRx
S3 : (x R y y R z) xRz

296


La relación R de orden estricto se indica “ ”
Ejemplos:
a) Z = {x/x número entero} y a b c N /a + c = b
b) A = {a, b, c, d}
y R = { (a;b) , (a;c), (a;d); (b;c), (b;d), (c;d) }

3) Orden parcial y total
Si un conjunto A está ordenado en forma amplia o estricta según
las condiciones anteriores, pueden existir elementos del conjunto
para los cuales a R b b R a, es decir, elementos no
comparables según la relación dada. En esta situación el orden
definido es parcial.
Es decir, el conjunto de propiedades A1, A2 y A3 es de orden
parcial amplio y el conjunto S1, S2 y S3 es de orden parcial
estricto.
Si a las propiedades de orden amplio se agrega la propiedad lineal
se obtiene un orden total amplio. Si a las de orden estricto se
añade la ley de tricotomía, el orden es total y estricto.
En ambos casos no existen elementos incomparables.

Ejemplos:
a) La relación R, definida en el ejemplo anterior, es de orden
estricto total.
b) La relación definida en el tercer ejemplo de orden amplio es
parcial, pues existen elementos incomparables. Por ejemplo:
4 R 5 5 R 4 4 5

297


Es conveniente aclarar que las denominaciones de orden varían
según los autores. Algunos prefieren considerar simplemente la
siguiente clasificación:

1) Orden parcial: relación reflexiva, antisimétrica y transitiva.

2) Orden lineal: relación a-reflexiva, lineal y transitiva.

4) Buena ordenación
Interesan especialmente los conjuntos ordenados donde cada
subconjunto no vacío tiene primer elemento o elemento mínimo.

Un elemento a, perteneciente a un conjunto totalmente ordenado
A, es primer elemento de A sí y sólo si (x A x a) a R x-

Definición:
Una relación binaria R definida en A es de buena ordenación sí y
sólo si es de orden total y todo subconjunto no vacío de A tiene
primer elemento.

7.5 POSTULADO DE CANTOR – DEDEKIND

Los puntos de una recta orientada son coordinables con los
números:

- ................ –3 -2 -1 0 1 2 3 ............ +

298


DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Es igual al punto terminal menos el punto inicial, en valor absoluto.

P1(X1) P2(X2)

P1P2 = /X2 - X1/

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO
Mediante una razón:

P1(X1) P(x) P2(X2)

p1 p
----------- = r
p p2

x – x1
----------- = r
x2 – x

x – x1 = r (x2 – x)
x – x1 = rx2 – rx
x + rx = x2r + x1
x (1+r) = r x2 + x1

x1 + r x 2
x = -------------------- ; para r -1
1+r

299


7.6 SISTEMA CARTESIANO RECTANGULAR
Es la intersección perpendicular de dos semi-rectas orientadas.
y ordenada

x abscisa
0

Dibujar una figura para cada ejercicio.


1. Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:
(-5) y (6); (3) y (-7); (-8) y (-12).
A B A B

-5 0 6 0 3 6
AB b 5 11u AB 6 3 3u

A B A B

-8 -7 0 -12 -8 0
AB 7 8 1u AB 8 12 4u

300


2. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento
dirigido cuyos extremos son los puntos (-7) y (-19).

x1 x2

-19 -7 0
1
19 7
x1 rx2 3
x x
1 r 1
1
19 7 3
x
1 1 64
x 13 x 3
4
3
r 1 x 16

3. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos
(1, -2), (4,-2), (4,2). Determinar las longitudes de los catetos,
y después calcular el área del triángulo y la longitud de la
hipotenusa.

y
BC 4
AB 3
x C(4,2)
AC 16 9
AC 5u
x
4 3
x x A
A(1,-2) B(4,-2) 2
A 6u 2

301


4. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1, 3), (7, 3),
(9,8) y (3, 8). Demostrar que el cuadrilátero es un
paralelogramo y calcular su área.
3 3 0
m1
7 1 6 D=(3,8) C=(9,8)
8 8 0
m2
9 3 6
AB // CD
h=5u
8 3 5
m3
3 1 2
8 3 5 A=(1,3) 6u B=(7,3)
m4
9 7 2
AD // BC

A 6 5 30u 2


5. La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos es (-
2), hallar el otro punto. (Dos casos).
6. En un sistema coordenado lineal, P1(x1) y P2(x2) son los
puntos extremos dados de un segmento dirigido. Demostrar
que la coordenada (x) de un punto P que divide a P1P2 en la
razón dada r=P1P : PP2 es:
x1 + rx2
x = --------------, r -1.
1+r

302


7. Haciendo r = 1 en la fórmula obtenida en el ejercicio 6,
demostrar que la coordenada del punto medio de un
segmento rectilíneo es la media aritmética de las
coordenadas de sus puntos extremos.
8. Un extremo de segmento dirigido es el punto (-8) y su punto
medio es (3). Hallar la coordenada del otro extremo.
9. Los extremos de un segmento dirigido son los puntos P 1(4) y
P2(-2). Hallar la razón P2P: PP1 en que el punto P(7) divide a
este segmento.
10. Un cuadrado, de lado igual a 2a, tiene su centro en el origen
y sus lados son paralelos a los ejes coordenados. Hallar las
coordenadas de sus cuatro vértices.
11. Tres vértices de un rectángulo son los puntos (2, -1), (7, -1)
y (7,3). Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo.
12. En el triángulo rectángulo del ejercicio 13, determinar
primero los puntos medios de los catetos y, después, el
punto medio de la hipotenusa.
13. Hallar la distancia del origen al punto (a, b).
14. Hallar la distancia entre los puntos (6, 0) y (0, -8).
15. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos
(-1, 1) y (3,1). Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos
casos).
16. Demostrar que los puntos (-5, 0), (0, 2) y (0, -2) son los
vértices de un triángulo isósceles, y calcular su área.
17. Demostrar que los puntos (0, 0), (3, 4), (8, 4) y (5, 0) son los
vértices de un rombo, y calcular su área.

303


7.7 CARÁCTER DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
La Geometría elemental, conocida ya del lector, se llama
Geometría pura para distinguirla del presente estudio. Acabamos
de ver que por medio de un sistema coordenado es posible
obtener una correspondencia biunívoca entre puntos y números
reales. Esto, como veremos, nos permitirá aplicar los métodos del
Análisis a la Geometría, y de ahí el nombre de Geometría
analítica. Al ir avanzando en nuestro estudio veremos, por
ejemplo, cómo pueden usarse, ventajosamente, los métodos
algebraicos en la resolución de problemas geométricos.
Recíprocamente, los métodos de la Geometría analítica pueden
usarse para obtener una representación geométrica de las
ecuaciones y de las relaciones funcionales.
El concepto de sistema coordenado, que caracteriza a la
Geometría analítica, fue introducido por primera vez en 1637 por
el matemático francés René Descartes (1596-1650). Por esta
razón, la Geometría analítica se conoce también con el nombre de
Geometría cartesiana. Por la parte que toma en la unificación de
las diversas ramas de las matemáticas, la introducción de la
Geometría analítica representa uno de los adelantos más
importantes en el desarrollo de las matemáticas.
En Geometría pura, el estudiante recordará que, generalmente,
era necesario aplicar un método especial o un artificio, a la
solución de cada problema; en Geometría analítica, por el
contrario, una gran variedad de problemas se pueden resolver
muy fácilmente por medio de un procedimiento uniforme asociado
con el uso de un sistema coordenado. El estudiante debe tener
siempre presente que está siguiendo un curso de Geometría

304


analítica y que la solución de un problema geométrico no se ha
efectuado por Geometría analítica si no se ha empleado un
sistema coordenado. Según esto, un buen plan para comenzar la
solución de un problema es trazar un sistema de ejes
coordenados propiamente designados. Esto es de particular
importancia en los primeros pasos de la Geometría analítica,
porque un defecto muy común del principiante es que si el
problema que trata de resolver se le dificulta, está propenso a
caer en los métodos de la Geometría pura. El estudiante deberá
hacer un esfuerzo para evitar esta tendencia y para adquirir el
método y espíritu analítico lo más pronto posible.

7.8 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DADOS
Sean P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos dados cualesquiera.
Vamos a determinar la distancia d entre P1 y P2, siendo d = /P1
P2/. Por P1 P2 tracemos las perpendiculares P1 A y P2D a ambos
ejes coordenados, como se indica en la figura, y sea E su punto
de intersección. Consideremos el triángulo rectángulo P1 EP2. Por
el teorema de Pitágora, tenemos:
d2 = P1P22 = P22 + EP12
Y

B P1(x1,y1)

C A
X‟ X
O

P2(x2,y2) D E

Y‟

305


Las coordenadas de los pies de las perpendiculares a los ejes
coordenados son A (x1, 0), B (0, y1), C (x2, 0), D (0, y2). Luego, por
el teorema 1 (Art. 3) tenemos:
P2E = CA = x1 - x2, EP1 = DB = y1 – y2
Sustituyendo estos valores en (1), obtenemos:
de donde, d2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 ,

d= (x1 x 2 )2 (y1 y 2 )2

Este resultado se anuncia como sigue:

Teorema 2. La distancia d entre dos puntos P 1 (x1 , x2) y P2 (x2 ,
x2) está dada por la fórmula:

d= (x1 x 2 )2 (y1 y 2 )2



1. Los vértices de un triángulo son A (3, 8), B (2, -1) y C (6, -1).
Si D es el punto medio del lado BC, calcular la longitud de la
mediana AD.
Y

2 2
A(3,8)
d x2 x y2 y1 x

2 2
d 3 4 8 1
d 1 81
d 82

X
x x
B(2,-1) C(6,-1)
M(4,-1)

306


2. Determinar la ecuación algebraica que expresa el hecho de
que el punto (x, y) equidista de los dos puntos (-3, 5), (7, -9).
Y

A(-3,5)
x

X

AP PB
2 2 2 2
x 3 y 5 x 7 y 9
x B(7,-9)
x 2 6 x 9 y 2 10 y 25 x 2 14 x 49 y 2 18 y 81
Rta :
5 x 7 y 24 0


3. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3, -
1), (0, 3), (3, 4), (4, -1).
4. Demostrar que los puntos (-2, -1), (2, 2), (5, -2), son los
vértices de un triángulo isósceles.
5. Demostrar que los puntos (2, -2), (-8, 4), (5, 3) son los
vértices de un triángulo rectángulo, y hallar su área.
6. Demostrar que los tres puntos (12, 1), (-3, -2), (2, -1), son
colineales, es decir, que están sobre una misma línea recta.

307


7. Demostrar que los puntos (0, 1), (3, 5), (7, 2), (4, -2) son los
vértices de un cuadrado.
8. Demostrar que los cuatro puntos (1, 1), (3, 5), (11, 6), (9, 2)
son los vértices de un paralelogramo.
9. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos
(0, 0), (1, 2), (3, -4). Sugestión.
10. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5
es el punto (3, -2). Si la abscisa del otro extremo es 6 hallar
su ordenada. (Dos soluciones).

Ecuación de la mediatriz

EJERCICIO RESUELTO

11. Los puntos medios de los lados de un triángulo son: (2, 5),
(4, 2) y (1, 1). Hallar las coordenadas de los tres vértices.

Sean los puntos extremos Y
B(5,6)
A x1; y1 B x2 ; y2 y C x3 ; y3 x

Utilicemos la formula de
x
los puntos medios A(-1,4)

x1 x2 y1 y2
x ;y
2 2
X
1) AB : x1 x2 22 4
2) BC : x2 x3 2(4) 8 x
C(3,-2)
3) AC : x1 x3 2(1) 2

308


Sumando las tres ecuaciones:
2 x1 x2 x3 14
x1 x2 x3 7
Resolviendo (1) (2) y (3) se tiene:
x1 1; x2 5; x3 3
Procediendo en la misma forma para y:
y1 4 ; y2 6 ; y3 2

Los puntos serán A 1;4 , B 5;6 , C 3; 2


12. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del
segmento cuyos extremos son los puntos (-2, 3) y (6, -3).
13. Los puntos extremos de un segmento son P1 (2, 4) y P2 (8, -
4). Hallar el punto P (x, y) que divide a este segmento en
dos partes tales que P2P : PP1 = -2.
14. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7,
8), y su punto medio es (4, 3). Hallar el otro extremo.
15. Los extremos de un segmento son los puntos P1 (7, 4) y P2
(-1, -4). Hallar la razón P1P : PP2 en que el punto P (1, -2)
divide al segmento.
16. Los vértices de un triángulo son A (-1, 3), B (3, 5) y C (7, -1).
Si D es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del
lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE es la
mitad de la longitud del lado AC.
17. En el triángulo rectángulo del ejercicio 3, demostrar que el
punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices.

309


18. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios
de los lados sucesivos del cuadrilátero del ejercicio 1 forman
un paralelogramo.
19. Los vértices de un triángulo son (2, -1), (-4, 7), (8, 0). Hallar,
para cada una de las medianas, el punto de trisección más
cercano al punto medio del lado correspondiente. Demostrar
que este punto es el mismo para cada una de las medianas
y, por tanto, que las medianas concurren en un punto. Este
punto se llama baricentro del triángulo.
20. En el triángulo cuyos vértices son (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3),
demostrar que las coordenadas del baricentro son:
(1/2 [x1 + x2 + x3] , ½ [y1 + y2 + y3]
Utilizar este resultado para comprobar el ejercicio 19.

7.9 PENDIENTE DE UNA RECTA
Dos rectas al cortarse forman dos pares de ángulos opuestos por
el vértice. Por tanto, la expresión “el ángulo comprendido entre
dos rectas” es ambigua, ya que tal ángulo puede ser el o bien su
suplemento el ß, para hacer una distinción entre estos dos
ángulos, consideramos que las rectas están dirigidas y luego
establecemos la siguiente.

Se llama ángulo de dos rectas dirigidas al formado por los dos
lados que se alejan del vértice.

Se llama ángulo de inclinación de una recta el formado por la
parte positiva del eje X y la recta, cuando ésta se considera
dirigida hacia arriba.

310


Así, de acuerdo con las definiciones 1 y 2, el ángulo de inclinación
de la recta l es , y el de l‟ es ‟. Evidentemente, puede tener
cualquier valor comprendido entre 0° y 180°; es decir, su intervalo
de variación está dado por:
0° 180° (2)
Para la mayor parte de los problemas de Geometría analítica,
emplearemos más la tangente del ángulo de inclinación que el
ángulo mismo.

Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la
tangente de su ángulo de inclinación.

La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra m.
Por lo tanto, podemos escribir.
m = tg (1)

Por (1) y (2) se ve que la pendiente puede tomar todos los valores
reales. Si es agudo, la pendiente es positiva, como para la recta
l; si ‟ es obtuso, como para la recta l‟, la pendiente es negativa.
Cualquier recta que coincida o sea paralela al eje Y será
perpendicular al eje X, y su ángulo de inclinación será de 90°.
Como tg 90° no está definida, la pendiente de una recta paralela
al eje Y no existe. Podemos establecer, por lo tanto, que toda
recta perpendicular al eje X no tiene pendiente. El estudiante
recordará, probablemente la igualdad tg 90° = , cuyo significado
debe considerar muy cuidadosamente ya que no es un número.
Es igualdad es una manera simbólica de expresar que, a medida
que el ángulo se aproxima más y más a 90°, tg se hace y

311


permanece mayor que cualquier número positivo por grande que
se suponga.

Si P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos diferentes cualesquiera
de una recta, la pendiente de la recta es:
y1 y2
m = , x1 x2
x1 x2

Después, por el teorema 5, tenemos:
4 2
3 9 36 6 6
tg C =
4 2 27 8 7
1 ,
3 9

de donde, C = 40°36‟.

Dibujar una figura para cada ejercicio:


1. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que
pasa por los puntos (-3, 2) y (7, -3).
Y

A(-3,2) d

X

B(7,-3)

312


y2 y1
m
x2 x1
2 3 5 1
m
3 7 10 5
1
tg
5
180 26.56505118
153.4349488;
153 26'6"

2. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son
los puntos (-2, 1), (3, 4) y (5, -2). Comprobar los resultados.
Y

m1 mCB ; m2 mCA ; m3 m AB
x B(3,4)
3 3
m1 3 ; m2 ; m3
7 5
13
tgA ; 54 10'
18 A(-2,1)
x
9
tgB ; 77 28' X
2
9
tgC ; 48 22'
8
x C(5,-2)

3. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135°. Sabiendo
que la recta final tiene una pendiente de –3, calcular la
pendiente de la recta inicial.

135
m2 3
3 m
tg135
1 3m1
tg135 1
3 m1 1
1 m1
1 3m1 2
313


4. Los vértices de un triángulo son los puntos (2, -2), (-1, 4) y
(4, 5. Calcular la pendiente de cada uno de sus lados.
5. Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos (9, 2),
(11, 6), (3, 5) y (1, 1) son vértices de un paralelogramo.
6. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La
abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar su ordenada.
7. Una recta de pendiente –2 pasa por el punto (2, 7) y por los
puntos A y B. Si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es
6, ¿cuál es la abscisa de A y cuál la ordenada de B?.
8. Tres de los vértices de un paralelogramo son (-1, 4), (1, -1) y
(6, 1). Si la ordenada del cuarto vértice es 6, ¿cuál es la
abscisa?
9. Demostrar que los puntos (1, 1), (5, 3), (8, 0) y (4, -2) son
vértices de un paralelogramo, y hallar su ángulo obtuso.
10. Demostrar que los puntos (1, 1), (5, 3) y (6, -4) son vértices
de un triángulo isósceles, y hallar uno de los ángulos
iguales.
11. Hallar los ángulos del cuadrilátero cuyos vértices son los
puntos (2, 5), (7, 3), (6, 1) y (0, 0). Comprobar los resultados.
12. Dos rectas se cortan forman un ángulo de 45°. La recta
inicial pasa por los puntos (-2, 1) y (9, 7) y la recta final pasa
por el punto (3, 9) y por el punto A cuya abscisa es –2.
Hallar la ordenada de A.
13. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son A (1, -3), B (3,
3) y C (6, -1) empleando el seno del ángulo BAC. Sugestión.
Ver apéndice IC, 12.
14. Por medio de las pendientes demuéstrese que los tres
puntos (6, -2), (2,1) y (-2, 4) son colineales.

314


15. Una recta pasa por los dos puntos (-2, -3), (4, 1). Si un punto
de abscisa 10 pertenece a la recta, ¿cuál es su ordenada?
16. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P
(x, y) que pertenezca a la recta que pasa por los dos puntos
(2, -1), (7, 3).
Si P(x; y) ; A(2; -1) y B(7; 3) pertenecen a una misma recta;
entonces:
3 1 y 1
mAB mAP
7 2 x 2
Resolviendo 4 x 5 y 13 0
17. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P
(x, y) que pertenezca a la recta que pasa por el punto (3, -1)
y que tiene una pendiente igual a 4.
18. Demostrar que la recta que pasa por los dos puntos (-2, 5) y
(4, 1) es perpendicular a la que pasa por los dos puntos (-1,
1) y (3, 7).
19. Una recta l1 pasa por los puntos (3, 2) y (-4, -6), y otra recta
l2 pasa por el punto (-7, 1) y el punto A cuya ordenada es –6.
Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que l1 es
perpendicular a l2.
20. Demostrar que los tres puntos (2, 5), (8, -1) y (-2, 1) son los
vértices de un triángulo rectángulo, y hallar sus ángulos
agudos.
21. Demostrar que los cuatro puntos (2, 4), (7,3), (6, -2) y (1, -1)
son vértices de un cuadrado y que sus diagonales son
perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales.

315


22. Demostrar que los cuatro puntos (2, 2), (5, 6), (9, 9) y (6, 5)
son vértices de un rombo y que sus diagonales son
perpendiculares y se cortan en su punto medio.

RESUMEN DE FÓRMULAS
A intervalos apropiados el estudiante debe construir tablas que
comprendan un sumario de los resultados obtenidos. En tales
tablas se apreciará a simple vista no solamente las relaciones
importantes sino también algunas analogías o propiedades
comunes; también servirán para reducir a un mínimo los
resultados que deben aprenderse de memoria. Como ejemplo,
presentamos a continuación un resumen, en forma de tabla, de
los principales resultados obtenidos en este capítulo. El estudiante
debe tener estos resultados claramente definidos en su mente, y,
en particular, debe notar el paralelismo entre la condición
geométrica por una parte y su representación analítica por otra.

Condición Geométrica Representación analítica
Longitud P1P2 de un segmento de recta dirigido,
P1P2 con punto inicial P1 y punto final P2.
P1P2 coincidiendo con el eje X: P1 (x10), P2 (x20).
P1P2 paralelo al eje X: P1 (x1, y), P2 (x2, y), y
0. P1P2 = x2 - x1
P1P2 coincidiendo con el eje Y: P1 (0, y1), P2 (0,
y2). P1P2 paralelo al eje Y: P1 (x, y1), P2 (x, y2), x
0. P1P2 = y2 - y1
Distancia d entre dos puntos dados

P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) d= (x1 x 2 )2 (y1 y 2 )2

316


Coordenadas (x, y) del punto P que divide al x 1 rx 2
x
segmento rectillíneo dirigido P1P2, con puntos 1 r
r -1
extremos dados P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en la y 1 ry 2
y
razón dada r = P1P : PP2. 1 r
Coordenadas (x, y) del punto medio del x1 rx 2
x
segmento dirigido, P1P2 cuyos extremos dados 2
son los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) y1 ry 2
y
2
Pendiente m de la recta que pasa por los dos y1 y2
m , x1 x2
puntos dados diferentes P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) x1 x2

Angulo formado por dos rectas con pendiente Tg
inicial m1 y pendiente final m2 m 2 m1
, m1m 2 1
1 m1 m 2
Condición necesaria y suficiente para el m1 = m2
paralelismo de dos rectas dadas de pendientes
m1 y m2
Condición necesaria y suficiente para la
perpendicularidad de dos rectas dadas de m1 m2 = -1.
pendientes m1 y m2

7.10 DISCUTIR Y GRAFICAR UNA ECUACIÓN
Discutir una ecuación es estudiar la ecuación en sus diferentes
características:

a) Intersección con los ejes coordenados.- Cada una de las
variables de la ecuación se igualan a cero. Se resuelven las
ecuaciones y se hallan los puntos de intersección. En caso

317


de no obtener un número real; o se hace infinito: la recta no
tiene intersección con los ejes coordenados.
b) Simetría.- Cuando un punto de la curva, tiene otro punto a
igual distancia. Se nota a simple vista observando la
ecuación. Si la variable “y” tiene potencias pares, es
simétrico al eje “x”. Si la variable “x” tiene potencias pares,
es simétrico al eje “y”. Si ambas potencias están elevadas a
potencias pares, es simétrico al origen.
c) Extensión.- Cuando las variables toman cualquier valor: son
abiertas; caso contrario: cerrados.
d) Asintontas.- Son rectas a la que la curva se aproxima y no
tienen ningún punto común únicamente las ecuaciones que
presentan productos de variables tienen asíntotas. Para
hallar la asíntota: los denominadores se igualan a cero, al
resolverlas se hallan las asíntotas.

318



En cada uno de los ejercicios 1-25 discútase la ecuación estudiante las
intercepciones, simetría y extensión. Después trácese la gráfica
correspondiente.
Observaciones:
1ro Si la ecuación es de la forma ax by c 0 ; es una recta, será
suficiente hallar dos puntos P 0;
1 y P2 ;0 y graficar:
1. 5x + 4y – 20 = 0
5x 4 y 20
Y
Si P 0;5
1 P2 4;0

X

5x+4y=20

2. 3x – 2y = 0
2da Si la ecuación es de la forma: ax 2 ay 2 c Observe que los
coeficientes son iguales y el termino independiente es positivo; se
trata de una circunferencia con centro en el origen de coordenadas:

319


Ejemplo:

3. 3x2 + 3y2 – 10 = 0
Hallemos el radio despejando una de las incógnitas; representar
con cero a la otra:
1.1
y 0 x 1.1

-1.1
1.1

-1.1

4. 3x2 + 4y2 – 12 = 0
3ra Si la ecuación es de la forma: ax 2 by 2 c Observe que los
coeficientes son diferentes y el termino independiente positivo: se
trata de una elipse despeje cada incógnita separadamente y halle
sus vértices. Ejemplo:

5. 4x2 + 3y2 – 12 = 0 2

4 x 2 3 y 2 12 -1.7
y 0 x 1.7 1.7
x 0 y 2

-2

4ta Si la ecuación es de la forma ax 2 by 2 c Uno de los coeficientes
es negativo, se refiere a una hipérbola. Los puntos de intersección
se hallan, igualando a acero la segunda incógnita.

320


X
6. 4x2 - 9y2 – 36 = 0

4x 2 9 y 2 36
y 0 x 3

-3 3 Y

7. 9x2 - 4y2 – 36 = 0

5ta En los otros casos; discuta y grafique las ecuaciones:
8. 16x2 – y = 0
y 16x 2
a) Intersección con los ejes:
x 0 y 0 pasa por el origen: x y
0 0
1 16
b) Simetría:
y y Varia la ecuación, uso simétrico a x
x x No varia la ecuación simétrico al eje y
c) Extensión: abierta toma todos los valores
Y
d) Asuntotas: no tiene

x x

Parábola

X

321


9. 16y2 - x = 0 18. x2 – 6x + y2 = 0

10. x2 - y2 – 9 = 0 19. x2 + y2 – 2x – 2y = 14

11. y = x3 + x2 – 9x – 9 20. x2 – 4x – 4y + 16 = 0

12. 8x3 – y = 0 21. x2 + 4x + 3y + 1 = 0

13. x8 – x – y = 0 22. y2 – 2x – 8y + 12 = 0

14. x4 – 9x2 – y = 0 23. x2 + 4y2 – 2x – 16y + 13 = 0

15. x – y4 + 9y2 = 0 24. 4x2 – y2 – 2y = 2

16. x2 – y8 = 0 25. y2 – 9x2 – 18x – 8y – 2 = 0

17. x2 + y2 – 4y = 0

En cada uno de los siguientes ejercicios, construir la curva
correspondiente a la ecuación dada.


1. xy – 2y – 3 = 0

Solución

Sean f (x,y):xy-2y-3=0

I. Intersecciones
a) Con el eje X: Si y 0 0 2(0) 3 0
3 0 No hay intersección

322


b) Con el eje Y: Si

x 0 2y 3 0 y 3 P 0, 3
2 2
II. Simetría:
a) Con el eje X: f x, y : x y 2 y x 2y 3 0
f x, y f x, y No es simétrica

b) Con el eje Y: f x, y : x y 2y 3 xy 2 y 3 0

c) Con el origen:
f x, y : x ( y) 2( y) 3 xy 2 y 3 0
III. Extensión
a) Dominio de la ecuación: y f (x)
3
y x R 2 Dominio = ,2 2,
x 2
b) Rango de la ecuación: x f ( y)
2y 3
y y R 0 Rango = ,0 0,
y
IV. Asíntotas
a) Asíntotas Horizontales: yx 2 y 3 0 y 0 es una
A.H.
b) Asíntotas Verticales: ( x 2) y 3 0 x 2 es una A.V.
V. Tabla de Valores
3
y X 3 5 1 -1
x 2
Y 3 1 -3 -1

323


Si x>2 y es (+)
Si x<2 y es (-)

VI. Trazado de la gráfica

y

0 x
2
P

2. xy – 3y – x = 0

Solución
Sean f (x,y):xy-3y-x=0
I. Intersecciones
a) Con el eje X: Si y 0 0 0 x 0 x 0
b) Con el eje Y: Si x 0 0 3y 0 0 y 0
La curva pasa por el origen
II. Simetría:
a) Con el eje X:
f x, y : x y 3 y x xy 3 y x 0
c) Con el eje Y:
f x, y : x y 3y x xy 3 y x 0

324


d) Con el origen:
f x, y : x ( y) 3( y) ( x) xy 3 y x 0
III. Extensión
x
y x R 3 Dominio = ,3 3,
x 3
3y
y y R 1 Rango = ,1 1,
y 1
IV. Asíntotas
a) Asíntotas Horizontales: y 1 x 3 y 0 y 1 es una
A.H.
b) Asíntotas Verticales: ( x 3) y x 0 x 3 es una A.V.
V. Tabla de Valores
x
y x 4 6 2 -3
x 3
y 4 2 -2 -1/2

Si x>3, la curva se extiende encima de la recta y=1.
Si x<3, la curva se extiende debajo de la recta y=1.

y

1

0 x
3
P

325


3. xy – 2x – 2y + 2 = 0

Solución
Sean f (x,y): xy-2x-2y+2=0
I. Intersecciones
a) Con el eje X: Si y 0 2x 2 0 x 1 A(1,0)
b) Con el eje Y: Si x 0 2y 2 0 y 1 B(0,1)

II. Simetría:
a) Con el eje X: f x, y : xy 2x 2 y 2 0

b) Con el eje Y: f x, y : xy 2x 2 y 2 0

c) Con el origen: f x, y : xy 2x 2 y 2 0
III. Extensión
2x 2
y x R 2 Dominio =
x 2
,2 2,
2y 2
y y R 2 Rango = ,2 2,
y 2
IV. Asíntotas
a) Asíntotas Horizontales:
y 2 x 2y 2 0 y 2 0 y 2
b) Asíntotas Verticales: ( x 2) y 2x 2 0 x 2 0 x 2

326


V. Tabla de Valores
2x 2
y x 3 6 -1 3/2
x 2
y 4 5/2 4/3 -2

Si x>3, la curva se extiende encima de la recta y=1.
Si x<3, la curva se extiende debajo de la recta y=1.

y

2

0 x
2
P

4. x2 + 2xy + y2 + 2x – 2y - 1 = 0

Solución
Sean f (x,y): x 2 2 xy y2 2x 2 y 1 0
I. Intersecciones
a) Con el eje X: Si y 0 x2 2x 1 0 x 1 2

b) Con el eje Y: Si x 0 y2 2y 1 0 x 1 2
II. Simetría:
a) Con el eje X: f x, y : x 2 2 xy y2 2x 2 y 1 0


b) Con el eje Y: f x, y : x 2 2 xy y2 2x 2 y 1 0


327


c) Con el origen: f x, y : x 2 2 xy y2 2x 2y 1 0

III. Extensión
a) Dominio de la ecuación: y 2 2x 1y x2 2x 1 0
2
y x 1 x 1 x2 2x 1 1 x 2 4x

y 2 4x 0 x 1 Dominio = ,1
2 2
b) Rango de la ecuación: x 2 2 y 1x y2 2y 1 0
2
y y 1 y 1 y2 2y 1 y 1 4y 2

y 4y 2 0 x 1 Rango = 1 ,
2 2
IV. Asíntotas
Como los coeficientes de x 2 e y 2 son constantes, la curva
de la ecuación dado no tiene asíntotas horizontales y
verticales.
V. Tabla de Valores
y 1 x 2 4x
x 1/4 1/4 -1/2 -1/2
y 7/4 -1/4 7/2 -1/2

y

P

0 x

328


5. x3 + y2 – 4y + 4 = 0

Solución
Sean f (x,y): x 3 y2 4y 4 0
I. Intersecciones
a) Con el eje X: Si y 0 x3 4 0 x 3
4 A(3 4 ,0)

b) Con el eje Y: Si x 0 y2 4y 4 0 y 2 B(0,2)
II. Simetría:
a)Con el eje X: f x, y : x 3 y2 4y 0


b)Con el eje Y: f x, y : x 3 y2 4y 4 0


c) Con el origen: f x, y : x 3 y2 4y 4 0

III. Extensión
2
y 2 x3 y 2 x x

y x 0 x 0 Dominio = ,0


x 3
4y y2 4 y , es real. Rango = R

IV. Asíntotas
Como los coeficientes de las variables x 3 e y 2 son
constantes, la curva no tiene asíntotas horizontales ni
verticales.

329


V. Tabla de Valores

y 2 x x
x -1 -1 -2 -2
y 1 3 -0.82 4.82
y

B

x
A 0

6. y3 – x2 + 3y2 + 2x + 3y = 0

Solución
La ecuación podemos transformarla del siguiente modo:
3 2
y3 3y 2 3y 1 x2 2x 1 0 f x, y : y 1 x 1
I. Intersecciones
2
a) Con el eje X: Si y 0 x 1 1 x 1 1ó x 1 1
x 2ó x 0 A(2,0) y 0(0,0)
3
b) Con el eje Y: Si x 0 y 1 1 y 0 0(0,0)
II. Simetría:
a) Con el eje X: f x, y : y 1
3
x 1
2

3 2
b) Con el eje Y: f x, y : y 1 x 1

330


3 2
c) Con el origen: f x, y : y 1 x 1
III. Extensión
3 2
y 1 x 1 y, x R Dominio =R

3
y 1 y 1 x y 1 0 y 1 Rango =

1,

IV. Asíntotas
Como los coeficientes de las variables x2 e y3 son
constantes, la curva no tiene asíntotas horizontales ni
verticales.
V. Tabla de Valores
3 2
y 1 x 1
x 1 3 -1 -2
y -1 0.58 0.58 1.08

y

B

x
A 0

331


7. x2y – 4y – x = 0

Solución
Sean f (x,y): x 2 y 4 y x 0
I. Intersecciones
a) Con el eje X: Si y 0 x 0
b) Con el eje Y: Si x 0 y 0
La curva pasa por el origen.
II. Simetría:
a) Con el eje X: f x, y : x 2 y 4 y x 0


b) Con el eje Y: f x, y : x 2 y 4 y x 0


c) Con el origen: f x, y : x 2 y 4 y x x2 y 4 y x 0

III. Extensión
x
a) Dominio de la ecuación: y f ( x) y 2
x 4
y x 2 Dominio = R-{-2,2}

b) Rango de la ecuación: x f ( y) yx 2 x 4y 0

1 1 16 y 2
x x y 0 Rango =R-{0}
2y
IV. Asíntotas
a) Asíntotas Horizontales: yx 2 x 4y 0 y 0

b) Asíntotas Verticales: x 2 4 y x 0 x2 4 0 x 2

332


V. Tabla de Valores
x
y 2 x 1 -1 3 -3
x 4
y -1/4 1/43/ 3/5 -3/5

y

-2 0 2 x

8. x2y – xy – 2y – 1 = 0

Solución
Sean f (x,y): x 2 y xy 2 y 1 0
I. Intersecciones
a) Con el eje X: Si y 0 1 0 No hay intersección

b) Con el eje Y: Si x 0 2y 1 0 y 1 A(0, 1 )
2 2
II. Simetría:
a) Con el eje X: f x, y : x 2 y xy 2 y 1 0

b) Con el eje Y: f x, y : x 2 y xy 2 y 1 0


c) Con el origen: f x, y : x 2 y xy 2 y 1 0


333


III. Extensión
1
a) Dominio de la ecuación: y f ( x) y
x 2 x 1
y x 2, x 1 Dominio = R-{2,-1}

b) Rango de la ecuación: x f ( y) yx 2 yx (2 y 1) 0

y 9y2 4y
De donde: x x 9y2 4y 0 y 0
2y

x 1 ó y 4 Rango = , 4 0,
9 9
IV. Asíntotas
a) Asíntotas Horizontales: yx 2 yx 2 y 1 0 y 0

b) Asíntotas Verticales: x 2 x 2y 1 0 x2 x 2 0
x 1 ó x 2
V. Tabla de Valores
1
y x 1 3 -2 -3
x 2 x 1
y -1/2 1/43/ 1/4 1/10

y

-1 0 2
x

334


9. x2 – xy + 5y = 0

Solución
Sean f (x,y): x 2 xy 5 y 0
I. Intersecciones
Como la ecuación carece de término independiente la curva
pasa por el origen.
II. Simetría:
a) Con el eje X: f x, y : x 2 xy 5 y 0


b) Con el eje Y: f x, y : x 2 xy 5 y 0


c) Con el origen: f x, y : x 2 xy 5 y 0

III. Extensión
x2
x 5
y x 5 Dominio = R-{5}
1
b) Rango de la ecuación: x f ( y) x y y2 20 y
2
x y 2 20 y 0 y 0 ó y 20

Rango = ,0 20,

IV. Asíntotas
a) Asíntotas Horizontales: No tiene
b) Asíntotas Verticales: 5 x y x 2 0 5 x 0 x 5
c) Asíntotas Oblicuas: y=mx+k (1)

335


Sustituyendo en la ecuación dada y ordenando términos se
tiene: 1 m x 2 5m k x 5k 0 y
1 m 0 m 1 y 5m k 0 k 5
Luego, en (1): y x 5
V. Tabla de Valores
x2
y x 4 6 -2 -5
x 5
y -16 363/ -4/7 -5/2
y

2 0
y=x+5
5
-1 0 5
x

10. x2y – x2 – 4xy + 4y = 0

Solución
Sean f (x,y): x 2 y x 2 4 xy 4 y 0
I. Intersecciones
Como la ecuación carece de término independiente la curva
pasa por el origen.

II. Simetría:
a) Con el eje X: f x, y : x 2 y x 2 4 xy 4 y 0


b) Con el eje Y: f x, y : x 2 y x 2 4 xy 4 y 0

336



c) Con el origen: f x, y : x 2 y x 2 4 xy 4 y 0

III. Extensión
x2
a) Dominio de la ecuación: y f ( x) y 2
x 2
y x 2 Dominio = R-{2}

b) Rango de la ecuación: x f ( y) y 1 x 2 4 yx 4 y 0

x 2y 4y2 y 1 4y 2y 2 y

x y 0 Rango = 0,

IV. Asíntotas
a) Asíntotas Horizontales: y 1 x 2 4 yx 4 y 0 y 1
2
b) Asíntotas Verticales: x 2 y x 2 0 x 2 0 x 2
V. Tabla de Valores
2
x
y x 1 3 6 -2
x 2 y 1 93/ 1/4
9/4

y

1
0 2
x

337


11. x2y2 - 4x2 – 4y2 = 0

Solución
Sean f (x,y): x 2 y 2 4 x 2 4 y 2 0
I. Intersecciones
a) Con el eje X. Si y 0 4x 2 0 x 0

b) Con el eje Y. Si x 0 4y2 0 y 0
El origen es un punto que pertenece a la gráfica.
II. Simetría:
Como todos los términos de la ecuación dada son de grado
par, la curva es simétrica respecto de los ejes X e Y, y al
origen.
III. Extensión
2x
2
x 4
y x2 4 0 x2 4 x 2ó x 2

Dominio = , 2 2,

2y
b) Rango de la ecuación: x f ( y) x 2
y 4

x y2 4 0 y2 4 y 2 ó y 2

Rango = , 2 2,

IV. Asíntotas
a) Asíntotas Horizontales: y 2 4 x2 4y2 0

y2 4 0 y 2 ó y 2

b) Asíntotas Verticales: x 2 4 y 2 4 x 2 0

x2 4 0 x 2 ó x 2

338


V. Tabla de Valores
2x
y x 5/2 4 -5/2 -4
x2 4
y 3.3 3/
2.3 3.3 2.3


y

2

-2 0 2 x
-2

12. x3 – xy2 + 2 y2 = 0
Solución
Sean f (x,y): x 3 xy 2 2y2 0
I. Intersecciones
a) Con el eje X. Si y 0 x3 0 x 0

b) Con el eje Y. Si x 0 2y2 0 y 0
II. Simetría:
Como la variable y es de grado par, la curva es simétrica
sólo con el eje X.
III. Extensión:
x
VII. Dominio de la ecuación: y f ( x) y x
x 2

339


x
y 0 x 0 ó x 2
x 2
Dominio = ,0 2,

IV. Asíntotas
a) Asíntotas Horizontales: No tiene
b) Asíntotas Verticales: 2 x y 2 x3 0 2 x 0 x 2
c) Asuntotas Oblicuas: y=mx+k (1)

Sustituyendo en la ecuación dada y ordenando términos se
tiene: 1 m 2 x 3 2 m 2 mk x 2 k 2 4mk x 2k 2 0

Entonces: 1 m 2 0 m1 0 ó m2 1
m 2 mk 0 k1 1 ó k2 1
Luego, en (1), las asíntotas oblicuas de la curva son
L1 : y x 1 y L2 y x 1
V. Tabla de Valores
x x 3 4 -1 -2
y
x 2 y 5.2 3/
5.6 0.57 1.41


y
L1

0 2 x

L2

340



13. xy - 2x – 1 = 0 20. xy2 – 9x – y – 1 = 0

14. x4 + y4 = 16 21. xy2 + xy - 2x - 2 = 0

15. x3 + x – y = 0 22. xy2 + 2xy – y2 + x = 0

16. xy 3x – y = 0 23. x2y – x2 + xy + 3x = 2

17. x4 – 4x2 – y = 0 24. xy2 – y2 – xy + y = 0

18. x2 – 2xy + y2 – 6x – 6y + 3 = 0 25. y3 + x2y – x2 = 0

19. x3 – 3x2 – y2 + 3x – 2y - 2 = 0


1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (1, 5) y tiene
pendiente 2.
Solución
Según la forma (1), la ecuación de la recta es:
y 5 2( x 1) L : 2x y 3 0
2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-6, -3) y
tiene un ángulo de inclinación de 45°.
Solución
Como m Tg m Tg 45 1
Según la forma (1): y 3 1( x 6) L: x y 3 0

341


3. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y cuya
intercepción con el eje Y es –2.
Solución
Tenemos: m=-3 y b=-2
Según la forma (2): y 3x 2 L : 3x y 2 0
4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos A (4, 2) y
B (-5, 7).
Solución
2 7
Según la forma (3): y 2 ( x 4)
4 5
De donde: L : 5 x 9 y 38 0
5. Los vértices de un cuadrilátero son A (0, 0), B (2, 4), C (6, 7), D (8,
0). Hallar las ecuaciones de sus lados.
Solución
Según la fórmula (3) se tiene:
4 0
AB: y 0 ( x 0) AB: 2 x y 0
2 0
7 4
BC: y 7 ( x 6) BC: 3x 4 y 10 0
6 2
0 7
CD: y 0 ( x 8) BC: 7 x 2 y 56 0
8 6
AD= y 0 (Ecuación del eje X)
y
C

B

x
A0 D

342


6. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes X y Y son 2
y –3, respectivamente. Hallar su ecuación.
Solución
Tenemos a=2 y b=-3, entonces por la forma (4):
x y
1 L : 3x 2 y 6 0
2 3
7. Una recta pasa por los dos puntos A (-3, -1) y B (2, -6). Hallar su
ecuación en la forma simétrica.
Solución
6 1
Según la forma (3): y 1 ( x 3)
2 3
De donde: L : x y 4
x y
Dividiendo entre -4 se tiene, L : 1
4 4
8. Una recta de pendiente –2 pasa por el punto A (-1, 4). Hallar su
ecuación en la forma simétrica.
Solución
Por la forma (1): y 4 2( x 1) L : 2x y 2
x y
Dividiendo entre 2 se tiene, L : 1
1 2
9. Una recta pasa por el punto A (7, 8) y es paralela a la recta C (-2,
2) y D (3, -4). Hallar su ecuación.
Solución
4 2 6
Si L1 es la recta que pasa por C y D, entonces m1
3 2 5

6 , luego: y 8 6
Si L L1 m m1 x 7
5 5
De donde: L : 6 x 5 y 82 0

343



10. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento A (-3, 2), B (1, 6).
y
P B

L
0 x

11. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-2, 4), y
determina sobre el eje X el segmento –9.
12. Demostrar que los puntos A (-5, 2), B (1, 4) y C (4, 5) son
colineales hallando la ecuación de la recta que pasa por dos de
estos puntos.
13. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes
coordenados determinan en la recta 5x + 3y – 15 = 0.

Los ejercicios 14 – 21 se refieren al triángulo cuyos vértices son A (-2, 1),
B (4, 7) y C (6, -3).
14. Hallar las ecuaciones de los lados.
15. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es
paralela al lado opuesto BC.
16. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el vértice B y
trisecan al lado opuesto AC.
17. Hallar los vértices del triángulo formado por las rectas que pasan
por los vértices A, B y C y son paralelas a los lados opuestos.

344


18. Hallar las ecuaciones de las medianas y las coordenadas de su
punto de intersección.
19. Hallar las ecuaciones de las mediatrices de los lados y las
coordenadas de su punto de intersección. Este punto se llama
circuncentro.
20. Hallar las ecuaciones de las alturas y su punto de intersección.
Este punto se llama ortocentro.

21. Hallar las coordenadas del pie de la altura correspondiente al lado
AC. A partir de estas coordenadas hállese la longitud de la altura y
luego el área del triángulo.

22. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –4, y que pasa por
el punto de intersección de las rectas 2x + y – 8 = 0 y
3x – 2y + 9 = 0.

23. Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son 3x – 8x + 36 =
0, x + y – 10 = 0, 3x – 8y – 19 = 0 y x + y + 1 = 0. Demostrar que la
figura es un paralelogramo, y hallar las coordenadas de sus
vértices.

24. Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes
coordenados y la recta cuya ecuación es 5x + 4y + 20 = 0.

25. Las coordenadas de un punto P son (2, 6), y la ecuación de una
recta l es 4x + 3y = 12. Hallar la distancia del punto P a la recta l
siguiendo en orden los siguientes pasos: a) Hallar la pendiente del,
b) Hallar la ecuación de la recta l‟ que pasa por P y es
perpendicular a l, c) Hallar las coordenadas de P‟, punto de
intersección de l y l‟, d) Hallar la longitud del segmento PP‟.

26. El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya pendiente es 3
y que pasa por el punto A (7, -2). Calcular la abscisa de P.

345


27. Determinar el valor de los coeficientes A y B de la ecuación
Ax – By + 4 = 0 de una recta, si debe pasar por los puntos
C (-3, 1) y D (1, 6).

28. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 5x – 7y + 27 = 0,
9x – 2y – 15 = 0 y 4x + 5y + 11 = 0. Hallar sus ángulos y comprobar
los resultados.
29. Deducir la ecuación de la recta cuya pendiente es m y determina
sobre el eje X el segmento a. Compárese este resultado con la
ecuación de una recta conocida su pendiente y su ordenada en el
origen, dada en el Artículo 27.
30. Una recta pasa por los dos puntos A (-1, 3) y B (5, 4). Escríbase su
ecuación en forma de determinante. Verifíquese el resultado
desarrollando el determinante.

346


7.11 ANGULO DE INCLINACIÓN O ÁNGULO EN POSICIÓN
NORMAL
Es el ángulo formado por el eje “x” y el lado de la recta
contrahoraria.
y

x

7.12 PENDIENTE DE UNA RECTA
Se denomina así a la tangente de la recta en posición normal.

y

x

m = tgd

347


7.13 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA
En los artículos precedentes hemos visto que la ecuación de una
recta cualquiera, en el plano coordenado, es de la forma lineal.

Ax + Bx + C = 0, (1)

En donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser
igual a cero. La ecuación (1) se llama la forma general de la ecuación de
una recta.

Ahora consideraremos el problema inverso, a saber, la ecuación lineal
(1), ¿representa siempre una línea recta? Para contestar a esta pregunta
examinaremos las dos formas posibles de la ecuación (1) con respecto al
coeficiente de y, es decir, las formas para B = 0 y B 0.
Caso I. B = 0. Si B = 0, entonces A 0, y la ecuación (1) se reduce a la
forma

C
x = - (2)
A

Pero (2) es de la forma x = k, de la que anteriormente se demostró que
es la ecuación de una recta paralela al eje Y (Art. 18).

Caso II. B 0. B 0, podemos dividir la ecuación (1) por B, y entonces
por trasposición se reduce a la forma:

A C
y = x
B B

348


Pero (3) está en la forma y = mx + b (Art. 27) y, por tanto , es la
A
ecuación de una recta cuya pendiente es - y cuya ordenada en el
B
C
origen es - .
B

Solución. Representemos por Ax + By + C = 0 la ecuación de todas las
rectas paralelas a l. Por el apartado (a) del teorema 6 se verifica.

A B 7
, o sea, B A
5 7 5
Por tanto, la ecuación de todas las rectas paralelas a l es:

7A
Ax - y C 0
5
de donde,
5C
5x – 7y + = 0,
A
o sea,
5x – 7y + k = 0, (6)
5C
en donde k = es una constante arbitraria.
A

Si la recta (6) debe pasar por el punto (4, 2), las coordenadas deben
satisfacer (6). Por tanto:
5.4–7.2+k=0

de donde k = -6, y la recta buscada es
5x – 7y – 6 = 0

349



1. Transformar la forma general de la ecuación de una recta a la
forma simétrica. Establecer las restricciones a que deben estar
sometidos los coeficientes para permitir esta transformación.
2. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la
forma general, que pasa por el punto (-2, 4) y tiene una pendiente
igual a –3.
3. Hallar la ecuación de una recta, determinando los coeficientes de la
forma general, si los segmentos que determina sobre los ejes X y
Y, es decir, sus intercepciones, son 3 y –5, respectivamente.
4. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la
forma general, que es perpendicular a la recta 3x – 4y + 11 = 0 y
pasa por el punto (-1, -3).
5. Hallar el valor de k para que la recta kx + (k – 1) y – 18 = 0 sea
paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0.
6. Determinar el valor de k para que la recta k 2x + (k + 1) y + 3 = 0
sea perpendicular a la recta 3x – 2y – 11 = 0.
7. Hallar la pendiente e intercepciones de la recta 7x – 9y + 2 = 0.
8. Hallar la pendiente, ángulo de inclinación y las intercepciones de la
recta que pasa por el punto (2, 3) y es perpendicular a la recta 2x –
7y + 2 = 0.
9. Determinar el valor de k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con
los ejes coordenados un triángulo rectángulo de área igual a 2 ½
unidades cuadradas.

350


10. En las ecuaciones ax + (2 – b) y –23 = 0 y (a – 1 ) x + by + 15 = 0
hallar los valores de a y b para que representen rectas que pasan
por el punto (2, -3).
11. Demostrar que la recta que pasa por los puntos (4, -1) y (7, 2)
bisecta al segmento cuyos extremos son los puntos (8, -3) y (-4, -
3).
12. Demostrar que las rectas 2x – y – 1 = 0, x – 8y + 37 = 0, 2x – y – 16
= 0 y x – 8y + 7 = 0 forman un paralelogramo, y hallar las
ecuaciones de sus diagonales.
13. Demostrar que las rectas 5x – y – 6 = 0, x + 5y – 22 = 0, 5x – y – 32
= 0 y x + 5y + 4 = 0 forman un cuadrado.
14. Demostrar que los ángulos suplementarios formados por las dos
rectas Ax + By + C = 0 y A‟x + B‟y + C‟ = 0 están dados por las
fórmulas:
A' B AB'
tg =
AA ' BB'
15. Hallar el ángulo agudo formado por las rectas 4x – 9y + 11 = 0 y 3x
+ 2y – 7 = 0.
16. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2, -1) y
que forman cada una un ángulo de 45° con la recta 2x – 3y + 7 = 0.
17. A partir del resultado del ejercicio 14, deducir las condiciones
necesarias y suficientes para el paralelismo y perpendicularidad de
dos rectas, dadas en los apartados (a) y (b) del teorema 6, artículo
30.
18. Si k es una constante cualquiera diferente de cero, demuéstrese
que todo punto que esté sobre la recta Ax + By + C = 0 también
estará sobre la recta k Ax + kBy + kC = 0. Por tanto, dedúzcase la

351


condición necesaria y suficiente para la coincidencia de dos rectas,
dada en el apartado (c) del teorema 6, artículo 30.
19. Por medio de determinantes obténgase la condición necesaria y
suficiente para que las dos rectas Ax + By + C = 0 y A‟x + B‟y + C‟
= 0 se corten en uno y solamente un punto, dada en el apartado (d)
del teorema 6, Artículo 30.
20. Si tres rectas se cortan en un punto común, se dice que son
concurrentes. Si las tres rectas A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0
y A3x + B3y + C3 = 0 son concurrentes, demuéstrese que sus
coeficientes satisfacen la condición.

A1 B1 C1
A2 B2 C2 = 0
A3 B3 C3

21. Demostrar que las tres rectas 3x – 5y + 7 = 0, 2x + 3y - 8 = 0 y 6x
– 7y + 8 = 0 son concurrentes.
22. Demostrar analíticamente que las medianas de cualquier triángulo
son concurrentes.
23. Demostrar analíticamente que las mediatrices perpendiculares a
los lados en su punto medio en cualquier triángulo son
concurrentes.
24. Demostrar analíticamente que las alturas de cualquier triángulo son
concurrentes.
25. Los vértices de un triángulo son (1, 1), (4, 7) y (6, 3). Demostrar
que el baricentro (punto de intersección de las medianas), el
circuncentro (punto en donde los signos del radical se escogen de
acuerdo con el teorema 8, Artículo 32. Por tanto, (18) es la
ecuación de la bisectriz l1.

352


Análogamente, de (17) tenemos como ecuación de la bisectriz l 2,

Ax By C A' x B' y C'
2 2 2 2
A B A B
Este resultado conduce al siguiente.
Teorema 11. Las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos
suplementarios formados por dos rectas que se cortan, Ax + By + C = 0 y
A‟x + B‟y + C‟ = 0 son:
A2 B2 A2 B2

A2 B2 A '2 B´'2

en donde los signos de los radicales se escogen de acuerdo con el
teorema 8, Artículo 32.

Ejemplo 2. Los vértices de un triángulo son A (-2, 3), B (5, 5) y C (4, -1).
Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo interior ACB.

Solución. Sea 1 la bisectriz buscada. Por el teorema 3. Artículo 27, las
ecuaciones de los lados BC y AC son:
6x – y – 25 = 0 y 2x + 3y – 5 = 0
respectivamente.

Sea P (x,y) un punto cualquiera sobre l, y representemos por d 1 y d2 las
distancias dirigidas de los lados BC y AC, respectivamente, al punto P.
Entonces, como P y el origen están al mismo lado de BC y de lados

353


opuestos de AC, el teorema 10 se deduce que d1 = -d2. Por tanto, por el
teorema 11, la ecuación de la bisectriz l es

6x y 25 2x 3y 5
62 1 22 32

la cual, simplificada, toma la forma

6 13 2 37 x 13 3 37 y 25 3 5 37 0


Dibújese una figura para cada ejercicio:
1. Hallar la distancia de la recta 4x – 5y + 10 = 0 al punto P (2, -3).
2. Hallar la distancia dirigida de la recta x + 2y + 7 = 0 al punto P (1, 4).
3. Los vértices de un triángulo.

354


CAPÍTULO VIII

LA CIRCUNFERENCIA

INTRODUCCIÓN
Después de la recta, la línea más familiar al estudiante es la
circunferencia, pues la conoce desde sus primeros estudios de
Geometría elemental. La circunferencia es como un ejemplo específico
de lugar geométrico.

8.1 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA; FORMA ORDINARIA
La ecuación de la circunferencia se obtendrá a partir de la
siguiente:

DEFINICIÓN
Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve
en un plano de tal manera que se conserva siempre a una
distancia constante de un punto fijo de ese plano.

El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia
constante se llama radio.

TEOREMA 1
La circunferencia cuyo centro es el punto (h,k) y cuyo radio es la
constante, tiene por ecuación

(x - h)2 + (y - k)2 = r2
Demostración.- Sea P (x, y) (fig.1) un punto cualquiera de la
circunferencia de centro C (h,k) y radio r. Entonces, por definición

355


de circunferencia, el punto P debe satisfacer la condición
geométrica
/ CP / = r, (1)
la cual, por distancia 1, esta expresada, analíticamente por la
ecuación

(x - h) 2 (y - k) r 2

de donde,
(x - h)2 + (y - k)2 = r2 .

Recíprocamente, sea P1 (x1, y1) un punto cualquiera cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación (2) de manera que se verifica
la igualdad
(x1 - h)2 + (y1 - k)2 = r2 .
De aquí se deduce, extrayendo la raíz cuadrada,

(x1 - h) 2 (y1 - k) 2 r

que es la expresión analítica de la condición geométrica (1)
aplicada al punto P1. Por tanto, demostrados los teoremas directo
y reciproco, resulta que (2) es la ecuación buscada.
Y

P(x,y)

X O X
r
C(h,k)

Para el caso particular en el centro C esta en el origen, h
= K = O, y tenemos: Y

356


COROLARIO.- La circunferencia de centro en el origen y radio r
tiene por ecuación
X2 + y2 = r2
Por el teorema 1 observamos que, si se conocen las coordenadas
del centro y la longitud del radio, la ecuación puede escribirse
inmediatamente. Esto sugiere un método para obtener la ecuación
de una circunferencia en cualquier problema dado; todo lo que se
necesita es obtener las coordenadas del centro y la longitud del
radio a partir de las condiciones dadas. La construcción de una
circunferencia, en geometría elemental implica la determinación
del centro y el radio; el método allí empleado, aunque no siempre
es el mas corto, puede usarse para obtener una geometría
analítica, la ecuación de una circunferencia.

Ejemplo
Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo
cuyos vértices son P1 (-1, 1), P2 (3, 5) y P3 (5, -3).

Solución
La construcción de la circunferencia que pasa por los tres puntos
dados es un problema conocido de la Geometría elemental. El
método consiste en construir las mediatrices l1 y l2,
respectivamente, de dos cualesquiera de los lados, digamos P1 P2
y P2 P3- La intersección C de l1 y l2 es el centro y la distancia de C
a uno cualquiera de los puntos P1, P2, P3 es el radio. Ahora
determinaremos la ecuación de la circunferencia siguiendo este
mismo método analíticamente.

357


Por los métodos del Capítulo III, se puede demostrar rápidamente
que las ecuaciones de las mediatrices l1 y l2 son x + y = 4 y x – 4y
= 0, respectivamente. La solución común de estas dos ecuaciones
16 4
es x = , y = , de manera que las coordenadas del centro C
5 5
16 4
son ,
5 5
Por el teorema 2 del Artículo 6, el radio está dado por
2 2
16 4 1
r = CP1 1 1 442
5 5 5
Por tanto, el teorema l anterior, la ecuación buscada es:
2 2
16 4 442
x y
5 5 25
Se recomienda al estudiante que verifique el hecho de que las
coordenadas de los puntos P1, P2 y P3 satisfacen la ecuación
hallada de la circunferencia.



1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C (-3, -5) y
radio 7.

Solución
2 2
Por el teorema 1, la ecuación pedida es: x 3 y 5 49

2. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos
A (2, 3) y B (-4, 5). Hallar la ecuación de la curva.

358


Solución

y
El centro C biseca al diámetro AB.
2 4 3 5
Entonces: C , C 1,4
2 2 B
C A
2 2
r AC 2 1 3 4 10 B
0 x
Luego, la ecuación buscada es:
2 2
x 1 y 4 10

3. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (7,
-6) y que pasa por el punto A (2, 2).

Solución
2 2
Por definición: r CA 7 2 6 2 89

Luego, por el Teorema 1, la ecuación de la circunferencia es:
2 2
x 7 y 6 89

4. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C (2, -4) y que es
tangente al eje Y.

Solución
Como h=distancia de C al eje Y r h 2

Luego, la ecuación de la circunferencia es:
2 2
x 2 y 4 4

5. Una circunferencia tiene su centro en el punto C (0, -2) y es
tangente a la recta 5x – 12y + 2 = 0. Hallar su ecuación.

359


Solución
Por una propiedad de las tangentes: y
L
5(0) 12( 2) 2 26 x
r d C, L 2 0
25 144 13 r
C

Luego, la ecuación de la circunferencia es:
2 2
x 0 y 2 4

6. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (-4, -
1) y que es tangente la recta 3x + 2y – 12 = 0.

Rp. x 4
2 2
y 1 52

7. La ecuación de una circunferencia es (x – 3)2 + (y + 4)2 = 36.
Demostrar que el punto A (2, -5) es interior a la circunferencia y
que el punto B (-4, 1) es exterior.

Solución
2 2
En efecto: AC 3 2 4 5 2 6
Como AC r , entonces B es un punto exterior a la
circunferencia.

8. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es
el punto de intersección de las rectas
3x – 2y – 24 = 0, 2x + 7y + 9 = 0.

Solución
Si C(h, k ) L1 3h 2k 24 0 y si C(h, k ) L2 2h 7k 9 0
Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos: h=6 y k=-3
2 2
Luego, la ecuación buscada es: x 6 y 3 25

360


9. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (7, -
5) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 7x – 9y –
10 = 0 y 2x – 5y + 2 = 0.

Solución
Si C(h, k ) ( L1 L2 ) C(4,2)
2 2
r AC 4 7 2 5 57
2 2
Luego, la ecuación de la circunferencia es: x 4 y 2 58

10. Una cuerda de la circunferencia x2 + y2 = 25 está sobre la recta
cuya ecuación es x – 7y + 25 = 0. Hállese la longitud de la cuerda.

Solución
Tenemos: x2 y2 25 (1)
x 7y 25 (2)

Sustituyendo (2) en (1) se tiene:
2
7 y 25 y2 25 y2 7 y 12 0 y1 3 ó y2 4
x1 4 ó x2 3
Luego, los extremos de la cuerda son: A(-4,3) y B(3,4) y su
2 2
longitud: AB 3 4 4 3 5 2


361


11. Hallar la ecuación de la mediatriz de la cuerda del ejercicio 10, y
demostrar que pasa por el centro de la circunferencia.

Los ejercicios 12-16 se refieren al triángulo cuyos vértices son A (-1, 0),
B (2, 9/4) y C (5, 0).

12. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el vértice A y
que es tangente al lado BC.

13. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo.

14. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo.

15. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
medios de los lados del triángulo.

16. Demostrar que la circunferencia del ejercicio 15 pasa por los pies
de las alturas del triángulo.

17. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje
X y que pasa por los dos puntos A (1, 3) y B (4, 6).

18. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje
Y y que pasa por los puntos A (2, 2) y B (6, -4).

19. Una circunferencia pasa por los puntos A (-3, 3) y B (1, 4) y su
centro está sobre la recta 3x – 2y – 23 = 0. Hállese su ecuación.

20. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 9x + 2y + 13 = 0,
3x + 8y – 47 = 0 y x – y – 1 = 0. Hallar la ecuación de la
circunferencia circunscrita.

21. La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 = 50. El punto medio
de una cuerda de esta circunferencia es el punto (- 2, 4). Hallar la
ecuación de la circunferencia circunscrita.

362


22. La ecuación de una circunferencia es (x – 4)2 + (y – 3)2 = 20. Hallar
la ecuación de la tangente a este círculo en el punto (6, 7).

23. La ecuación de una circunferencia es (x + 4)2 + (y – 3)2 = 5. Hallar
la ecuación de la tangente a la circunferencia que pasa por el punto
(3, 3). (Dos soluciones).

24. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (7, -
5) y es tangente a la recta x – y – 4 = 0 en el punto B (3, -1).

25. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la
recta 6x + 7y – 16 = 0 y es tangente a cada una de las rectas 8x +
15y + 7 = 0 y 3x – 4y – 18 = 0. (Dos soluciones).

8.2 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Si desarrollamos la ecuación ordinaria

(x – h)2 + (y – k)2 = r2, (1)
obtenemos
x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0,

lo cual puede escribirse en la forma
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (2)

en donde
D = -2h , E = -2k y F = h2 + k2 – r2

Se deduce, por lo tanto, que la ecuación de una circunferencia
cualquiera puede escribirse en la forma (2), llamada forma general
de la ecuación de la circunferencia. El problema que se presenta
ahora es averiguar si, recíprocamente, toda ecuación de la forma

363


general (2) representa una circunferencia. Para contestar esta
pregunta, pasaremos de la forma (2) a la forma (1) empleando el
método de completar cuadrados. Ordenando los términos de (2),
resulta
(x2 + Dx) + (y2 + Ey) = - F;

D2 4 E2
y sumando a ambos miembros, obtenemos:
4

D2 E2 D2 E2 4F
x2 Dx y2 Ey
4 4 4

de donde:
2 2
D E D2 E2 4F
x y
2 2 4

Comparando las ecuaciones (1) y (3), vemos que depende del valor del
segundo miembro es (3) el que (3) represente o no una circunferencia.
Hay tres casos posibles por considerar:

a) Si D2 + E2 – 4F 0, la ecuación (3) representa una circunferencia
D E
de centro en el punto , y radio igual a
2 2

1/ 2 D 2 E2 4F .

b) Si D2 + E2 – 4F = 0, la ecuación (3) se dice, con frecuencia, que
representa una circunferencia de radio cero; se dice también que
es un círculo punto o círculo nulo. Desde nuestro punto de vista,

364


sin embargo, la ecuación (3) representa un solo punto de
D E
coordenadas , .
2 2

c) Si D2 + E2 – 4F 0, la ecuación (3) se dice que representa un
círculo imaginario. En nuestra Geometría real, sin embargo, la
ecuación (3) no representa, en este caso, un lugar geométrico.

Aunque el caso (b) puede considerarse como un caso límite del
caso (a), en adelante consideraremos que una ecuación
representa una circunferencia solamente en el caso (a). Por tanto,
tenemos el siguiente:

TEOREMA 2

La ecuación x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 representa una
circunferencia de radio diferente de cero, solamente si
D2 + E2 – 4F 0.

D E
Las coordenadas del centro son, entonces, , y el radio
2 2

es 1/ 2 D 2 E2 4F .

Nota. Si se da la ecuación de una circunferencia en la forma
general, se aconseja al estudiante que no proceda
mecánicamente, usando las fórmulas dadas en el teorema 2, para
obtener el centro y el radio. En vez de esto, es conveniente que
reduzca la ecuación a la forma ordinaria por el método de

365


completar cuadrados, tal como se hizo en la deducción del
teorema mismo.

Ejemplo. Reducir las tres ecuaciones siguientes a la forma
ordinaria de la ecuación de la circunferencia. Si la ecuación
representa una circunferencia hállense su centro y su radio.

a) 2x2 + 2y2 – 10x + 6y – 15 = 0.
b) 36x2 + 36y2 + 48x - 108y + 97 = 0.
c) x2 + y2 – 8x + 6y – 29 = 0.

Solución.
a) Primero dividimos la ecuación por 2, coeficiente de x2, y pasamos
al término independiente al segundo miembro. Esto nos da,
después de volver a ordenar los términos.
15
(x2 – 5x) + (y2 + 3y) =
2
Para completar los cuadrados, sumamos el cuadrado de la mitad
del coeficiente de x y el cuadrado de la mitad del coeficiente de y
a ambos miembros. Esto nos da

25 9 15 25 9
x2 5x y2 3yx
4 4 2 4 4

que puede escribirse en la forma

366


2 2
5 3
x y 16
2 2

Por tanto, la ecuación dada representa una circunferencia cuyo
5 3
centro es , y cuyo radio es 4.
2 2

b) Dividiendo la ecuación por 36, trasponiendo el término
independiente, y volviendo a ordenar los términos, obtenemos:

4 97
x2 x y2 3y
3 36
Completando los cuadrados, resulta

4 4 9 97 4 9
x2 x y2 3y
3 9 4 36 9 4

de donde,
2 2
2 3
x y 0
3 2
Por tanto, el lugar geométrico de la ecuación (b) es el punto único.
2 3
, .
3 2
c) Ordenando los términos y completando los cuadrados,
obtenemos:

(x2 – 8x + 16) + (y2 + 6y + 9) = -29 + 16 + 9
de donde,

367


(x – 4)2 + (y + 3)2 = - 4
Por tanto, la ecuación (c) no representa ningún lugar geométrico
real.

8.3 DETERMINACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA SUJETA A
TRES CONDICIONES DADAS
En la ecuación ordinaria de la circunferencia. (Art. 39),
(x – h)2 + (y – k)2 = r2 (1)

hay tres constantes arbitrarias independientes, h, k y r. De manera
semejante, en la ecuación general. (Art. 40)
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, (2)

hay tres constantes arbitrarias independientes, D, E y F. Como la
ecuación de toda circunferencia puede escribirse en cualquiera de
las dos formas (1) o (2), la ecuación de cualquier circunferencia
particular puede obtenerse determinando los valores de tres
constantes. Esto requiere tres ecuaciones independientes, que
pueden obtenerse a partir de tres condiciones independientes. Por
tanto, analíticamente, la ecuación de una circunferencia se
determina completamente por tres condiciones independientes.
Geométricamente, una circunferencia queda, también,
perfectamente determinada por tres condiciones independientes;
así, por ejemplo, queda determinada por tres cualesquiera de sus
puntos. El estudiante debe comparar estas observaciones con la
discusión análoga sobre la recta. Vemos, por lo tanto, que
además de estudiada tenemos ahora otro método para determinar
la ecuación de una circunferencia.

368


Ejemplo 1. Determinar la ecuación, centro y radio de la
circunferencia que pasa por los tres puntos A (-1, 1), B (3, 5) y C
(5, -3).
Solución. Este problema es idéntico al ejemplo anterior.
Supongamos que la ecuación buscada es, en la forma general.

X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, (2)

En donde las constantes D, E y F deben ser determinadas.
Como los tres puntos dados están sobre la circunferencia, sus
coordenadas debe satisfacer la ecuación (2). De acuerdo con
esto, tenemos las tres ecuaciones siguientes correspondiente a
los puntos dados:

(-1, 1) 1+ 1– D+ E+F=0
(3, 5) 9 + 25 + 3D + 5E + F = 0
(5, -3) 25 + 9 + 5D – 3E + F = 0

que pueden escribirse más abreviadamente así:

D - E -F=2
3D + 5E + F = - 34
5D – 3E + F = - 34

La solución de este sistema de tres ecuaciones nos da
32 8 34
D=- , E=- , F = - ,
5 5 5

369


de manera que sustituyendo estos valores en (2), obtenemos
32 8 34
x2 + y2 - x- y- = 0,
5 5 5
o sea,
5x2 + 5y2 – 32x – 8y – 34 = 0
como ecuación de la circunferencia buscada.
El centro y el radio se obtienen reduciendo la última ecuación a la
forma ordinaria
2 2
16 4 442
x y
5 5 25
16 4 1
de donde el centro es , y el radio es 442
5 5 5
Ejemplo 2. Hallar la ecuación, centro y radio de la circunferencia
que pasa por los puntos (6, 2), (8, 0) y cuyo centro está sobre la
recta 3x + 7y + 2 = 0.

Solución. Supongamos que la ecuación buscada, en la forma
ordinaria, es
(x – h)2 + (y – k)2 = r2 (1)
Como el centro (h, k) está sobre la recta 3x + 7y + 2 = 0, sus
coordenadas satisfacen la ecuación de la recta, y tenemos
3h + 7k + 2 = 0 (3)

También, como los puntos (6, 2) y (8, 0) están sobre la
circunferencia, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación (1).
Por tanto, tenemos las dos ecuaciones.
(6 – h)2 + (2 – k)2 = r2 (4)
(8 – h)2 + k2 = r2 (5)

370


la solución del sistema formado por las tres ecuaciones (3), (4) y
(5) con las tres incógnitas h, k y r da.
h = 4, k = -2, r = 2 5

Por tanto, la ecuación buscada es
(x – 4)2 + (y + 2)2 = 20

El centro es el punto (4, -2) y el radio es 2 5 . La gráfica aparece
en la figura 55. En el Artículo 35 obtuvimos la ecuación de la
recta que pasa por dos puntos dados diferentes en forma de
determinante. Por un argumento semejante, podemos obtener la
ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados, no
colineales, P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3), en forma
determinante. El resultado está dado por el siguiente:

TEOREMA 3

La ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados
no colineales P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3) viene dada por el
determinante.
x2 + y2 x y 1
x12 + y12 x1 y1 1 = 0
x22 + y22 x2 y2 1
x32 + y3 2
x3 y3 1

371


Nota.- Esta forma es útil para determinar si cuatro puntos dados
están o no sobre una circunferencia. Se dice que tales puntos son
concíclicos.


En cada uno de los ejercicios l-3, reduciendo la ecuación dada a la
forma ordinaria, determinar si representa o no una circunferencia. Si la
respuesta es afirmativa, hallar su centro y su radio.

1. 2x2 + 2y2 – 6x + 10y + 7 = 0.

2. 4x2 + 4y2 – 28x - 8y + 53 = 0.

3. 16x2 + 16y2 – 64x + 8y + 177 = 0.

4. Hallar el área del círculo cuya ecuación es:

9x2 + 9y + 72x - 12y + 103 = 0

5. Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es:

25x2 + 25y2 + 30x - 20y - 62 = 0

6. Demostrar que las circunferencias 4x 2 + 4y2 – 16x + 12y + 13 = 0
y 12x2 + 17y2 – 48x + 36y + 55 = 0 son concéntricas.

7. Demostrar que las circunferencias x2 + y + 4x + 6y – 23 = 0 y x2 +
y – 8x – 10y + 25 = 0 son tangentes.

8. Demostrar, por dos métodos, que las circunferencias x2 + y + 2x –
8y + 13 = 0 y 4x2 + 4y2 – 40x + 8y + 79 = 0 no se cortan.

372


En cada uno de los ejercicios 9-11, determinar la ecuación, centro y radio
de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados, usando el
método del ejemplo 1, artículo 41.

9. (0, 0), (3, 6), (7, 0).

10. (2, -2), (-1, 4), (4, 6).

11. (4, -1), (0, -7), (-2, -3).

12. Resolver el ejercicio 9 por el método del ejemplo del Artículo 39.

13. Resolver el ejercicio 10 por el método del ejemplo 2, Artículo 41.

14. Resolver el ejercicio 11 usando el determinante del teorema 3,
Artículo 41.

15. Por medio del teorema 3, Artículo 41, demostrar que los cuatro
puntos (-1, -1), (2, 8), (5, 7), (7, 3) son concíclicos.

16. Resolver el ejercicio 15 hallando la ecuación de la circunferencia
que pasa por tres cualesquiera de los puntos y demostrando
después que las coordenadas del cuarto punto satisfacen esta
ecuación.

17. Las ecuaciones de dos circunferencias diferentes son:

X2 + y2 + D1x + Ey + F1 = 0 y x2 + y + D2x + E2y + F2 = 0

Hallar las condiciones que deben satisfacer los coeficientes para que
sean concéntricas.

18. La ecuación de una circunferencia es 4x2 + 4y2 – 16x + 20y + 25
= 0. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica que es
tangente a la recta 5x – 12y = 1.

373


19. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia.

x2 + y2 + x – 2y – 39 = 0

en el punto (4, 5).

20. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (11, 4) y es
tangente a la circunferencia x2 + y2 – 8x – 6y = 0. (Dos
soluciones).

21. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (.-
1, -4), (2, -1) y cuyo centro está sobre la recta 4x + 7y + 5 = 0.

22. Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x – 4y – 1 =
0 en el punto (3, 2). Hallar su ecuación (dos soluciones).

23. Una circunferencia de radio 13 es tangente a la circunferencia

x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0

en el punto (6, 5). Hallar su ecuación (dos soluciones).

24. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (1, 4)
y es tangente a la circunferencia x2 + y2 + 6x + 2y + 5 = 0 en el
punto (-2, 1).

25. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (5, 9)
y es tangente a la recta x + 2y – 3 = 0 en el punto (1, 1).

26. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0, 2), (7, 3).
Hállese su ecuación. (Dos soluciones).

27. Demostrar, analíticamente, que cualquier recta que pasa por el
punto (-1, 5) no puede ser tangente a la circunferencia x2 + y2 + 4x
- 6y + 6 = 0. Interpretar el resultado geométricamente.

374


28. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la
recta 7x – 2y – 1 = 0 y que es tangente a cada una de las rectas
5x – 12y + 5 = 0 y 4x + 3y – 3 = 0. (Dos soluciones).

29. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo
cuyos lados son 4x – 3y = 0, 4x + 3y – 8 = 0, y = 0.

30. Una circunferencia que es tangente a un lado de un triángulo y a
las prolongaciones de los otros dos lados se llama ex inscrita al
triángulo., Hallar las ecuaciones de las tres circunferencias ex
inscritas al triángulo del ejercicio 29.

8.4 FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS
Ahora consideramos familias o haces de circunferencias de la
misma manera como consideramos familias rectas. En anterior
oportunidad demostramos que una circunferencia y su ecuación
se determinan cada una por tres condiciones independientes. Una
circunferencia que satisface menos de tres condiciones
independientes no es, por lo tanto, única. La ecuación de una
circunferencia que satisface solamente a dos condiciones,
contiene una constante arbitraria llamada parámetro. Se dice
entonces que tal ecuación representa una familia de
circunferencias de un parámetro. Por ejemplo, la familia de todas
las circunferencias concéntricas cuyo centro común es el punto
(1, 2) tiene por ecuación
(x – 1)2 + (y – 2)2 = k2

en donde el parámetro k es cualquier número positivo.

375


Consideremos ahora el caso importante de la familia de curvas
que pasan por las intersecciones de dos circunferencias dadas.
Sean, C1 y C2 dos circunferencias diferentes dadas cualesquiera,
cuyas ecuaciones son:
C1 : x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0 (1)
2 2
C2 : x + y + D2x + E2y + F2 = 0 (1)
De (1) y (2) se deduce la ecuación

x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k (x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0 (3)

en donde el parámetro k puede tomar todos los valores reales.
Supongamos que los círculos C1 y C2 se cortan en dos puntos
distintos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2). Como las coordenadas (x1, y1) de
P1 satisfacen ambas ecuaciones (1) y (2), también satisfacen a la
ecuación (3), y ésta se reduce entonces a la forma 0 + k = 0, que
es verdadera para todos los valores de k. Análogamente, las
coordenadas (x2, y2) de P2 que satisfacen ambas ecuaciones (1) y
(2) satisfacen también a la ecuación (3) para todos los valores de
k. Por tanto, la ecuación (3) representa la familia de curvas que
pasan por las dos intersecciones de las circunferencias C 1 y C2.
Para determinar la naturaleza de las curvas de esta familia,
escribimos la ecuación (3) en la forma.

k+1)x2 + (x+1)2 + (D1+kD2)x + (E1 + kE2)y + F1 + kF2 = 0 (4)

Si k = -1, la ecuación (4) se reduce a una de primer grado y, por
lo tanto, representa una línea recta. Pero, para cualquier otro valor
de k, la ecuación (4) representa una circunferencia de acuerdo a

376


lo estudiado. En particular, para k = 0, la ecuación (4) se reduce a
la ecuación C1.
La ecuación (3) se particularmente útil para obtener la ecuación
de una curva que pasa por las intersecciones de las
circunferencias dadas, ya que entonces no es necesario
determinar las coordenadas de los puntos de intersección.
Ejemplo. Las ecuaciones de dos circunferencias son:
C1 : x2 + y2 + 7x - 10y + 31 = 0
C2 : x2 + y2 - x - 6y + 3 = 0

Hallar la ecuación de la circunferencia C3 que pasa por las
intersecciones de C1 y C2 y tiene su centro sobre la recta l: x – y –
2 = 0.

Solución. La circunferencia buscada C3 es un elemento de la
familia.

x2 + y2 + 7x – 10y + 31 + k (x2 + y2 - x – 6y + 3= 0 (5)
en donde el parámetro k debe determinarse por la condición de
que el centro de C3 está sobre la recta l. El centro de cualquier
circunferencia de la familia (5) se halla fácilmente y sus
k 7 3x 5
coordenadas son , . Como estas coordenadas
2(k 1) k 1

deben satisfacer la ecuación de l, tenemos

k 7 3k 5
2 0
2 (k 1) k 1

377


3
de donde k = - . Sustituyendo este valor de k en (5) y
7
simplificando, obtenemos para ecuación de C3:
x2 + y2 – 7x – 3y – 18 = 0

TEOREMA 4

Si las ecuaciones de dos circunferencias dadas cualesquiera C1 y
C2 son:

C1 : x2 + y2 + D1 x + E1y + F1= 0
C1 : x2 + y2 + D2 x + E2y + F2= 0
La ecuación
x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k (x2 + y + D2x + E2y + F2) = 0

representa una familia de circunferencias todas las cuales tienen
sus centros en la recta de los centros de C1 y C2.

Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, la ecuación
representa, para todos los valores de k diferentes de –1, todas las
circunferencias que pasan por los dos puntos de intersección C1 y
C2, con la única excepción de C2 misma.

Si C1 y C2 son tangentes entre sí, la ecuación representa, para
todos los valores de k diferentes de –1, todas las circunferencias
que son tangentes a C1 y C2 en su punto común, con la única
excepción de C2 misma.

378


Si C1 y C2 no tienen ningún punto común la ecuación representa
una circunferencia para cada valor de k diferente de –1, siempre
que la ecuación resultante tenga coeficientes que satisfagan las
condiciones especificadas en el teorema 2 del Artículo 40. Ningún
par de circunferencias de la familia tiene un punto común con
ninguna de las dos circunferencias C1 y C2.

8.5 EJE RADICAL
En el artículo precedente hemos considerado dos circunferencias
diferentes, C1 y C2 de ecuaciones.
C1 : x2 + y2 + D1 x + E1y + F1= 0 (1)
2 2
C1 : x + y + D2 x + E2y + F2= 0 (2)

A partir de estas ecuaciones formamos la ecuación.

x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k (x2 + y + D2x + E2y + F2) = 0 (3)

y la discutimos como ecuación de una familia de circunferencias
para todos los valores de k, excepto –1. Si k = - 1, la ecuación (3)
toma la forma.

(D1 – D2) x + (E1 – E2) y + F1 – F2= 0 (4)

Si C1 y C2, no son concéntricas, se verificará D1 D2 o E1 E2, o
ambas, de manera que por lo menos uno de los coeficientes de x
y y en (4) será diferente de cero, y la ecuación (4) representa
entonces una línea recta llamada eje radical de C1 y C2.

379


Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, se sigue, con la
discusión del eje radical que pasa por estos dos puntos y, por
tanto, coincide con su cuerda común. Si C1 y C2 son tangentes
entre sí, su eje radical es la tangente común a ambas
circunferencias. Si C1 y C2 no tienen ningún punto común y no son
concéntricas, su eje radical no tiene ningún punto común con
ninguna de las dos circunferencias.
Ahora demostraremos que el eje radical de dos circunferencias
cualesquiera es perpendicular a su recta de los centros. En efecto,
anteriormente vimos que la ecuación de la recta de los centros de
C1 y C2 es:

2 (E1 - E2) x – 2 (D1 y D2) y + D2 E1 - D1 E2 = 0
E1 E2
y la pendiente de esta recta es , si D1 D2. La pendiente
D1 D2
D1 D2
del eje radical, deducida de la ecuación (4), es - , si
E1 E2
E1 E2. Como estas pendientes son negativamente reciprocadas,
se sigue que el eje radical es perpendicular a la recta de los
centros. Si D1 = D2, entonces, por la ecuación (4), resulta que el
eje radical es paralelo al eje X, y por la ecuación anterior, la recta
de los centros es paralela al eje Y; por tanto, en este caso, el eje
radical y la línea de los centros también son perpendiculares entre
sí. Análogamente, si E1= E2, el eje radical es paralelo al eje Y y la
recta de los centros es paralela al eje X; por lo tanto, son
perpendiculares entre sí.

380


Ejemplo 1. Hallar la ecuación del eje radical de las
circunferencias.

C1 : 2x2 + 2y2 + 10x – 6y + 9 = 0 (5)
2 2
C2 : x + y - 8x – 12y + 43 = 0 (6)

Y demostrar que es perpendicular a su recta de los centros.

Solución. Si multiplicamos la ecuación (6) por 2 y la restamos de
la ecuación (5), obtenemos:
L : 26x + 18y – 77 = 0.

13
Como ecuación del eje radical. Su pendiente es - .
9
Las coordenadas de los centros C1 y C2 se encuentran fácilmente
5 3
y son , y (4, 6), respectivamente, de manera que la
5 2
6 (3 / 2) 9
pendiente de la recta de los centros es , que es
4 (5 / 2) 13
negativamente recíproca de la pendiente del eje radical. Por tanto,
el eje radical es perpendicular a la recta de los centros. Las
circunferencias C1 y C2, su recta de los centros y su eje radical se
traza.

Para reducir una propiedad importante del eje radical,
estableceremos el siguiente teorema:

381


TEOREMA 5

Si t es la longitud de la tangente trazada del punto exterior P 1(x1,
y1) a la circunferencia (x – h)2 + (y – k)2 = r2, entonces

t= (x1 h) 2 (y1 k)2 r2

DEMOSTRACIÓN
Sea T el punto de tangencia, de manera que t = P1T. Como P1T
es tangente a la circunferencia, el radio CT es perpendicular a
P1T. Por tanto, en el triángulo rectángulo P1Tc, tendremos:

t2 = CP12 – r2 (7)
Por el teorema 2, artículo 6,
CP12 = (x1 – h)2 + (y1 – k)2

valor que, sustituido en la ecuación (7), da

t2 = (x1 – h)2 + (y1 – k)2 - r2

de donde,

t= (x1 h) 2 (y1 k)2 r2

Ejemplo 2. Hallar la longitud de la tangente trazada del punto (-3,
2) a la circunferencia 9x2 + 9y2 – 30x – 18y – 2 = 0.

382


Solución. Para aplicar el teorema 5, es necesario hacer que los
coeficientes de x2 y y2 sean iguales a la unidad. Para ello
dividiendo por 9, resulta:
10 2
X2 + y2 - x – 2y - =0
3 9

Sustituyendo x por –3 y y por 2 en el primer miembro de esta
ecuación, obtenemos
2 169
t2 = 9 + 4 + 10 – 4 - =
9 9
13
de donde se deduce que la longitud de la tangente es t = .
3
Debe observarse que, si se utilizara la ecuación de la
circunferencia en la forma original, es decir, sin dividir por 9, el
resultado sería el triple del valor correcto. Se recomienda al
estudiante que dibuje la figura correspondiente a este ejercicio.

Por medio del ejercicios anteriores, podemos demostrar
fácilmente que el eje radical de dos circunferencias no
concéntricas es el lugar geométrico de un punto que se mueve de
tal manera que las longitudes de las tangentes trazadas desde él
a las dos circunferencias son iguales. En efecto, sean C1 y C2 las
dos circunferencias no concéntricas dadas por las ecuaciones (1)
y (2), respectivamente. Sea P (x, y) el punto móvil y sean t 1 y t2,
respectivamente, las longitudes de las tangentes trazadas de P a
C1 y C2. Entonces, por el teorema 5,
t12 = x2 + y2 + D1x + E1y + F1,
y
t22 = x2 + y2 + D2x + E2y + F2,

383


Como, por hipótesis, t1 = t2, de estas dos últimas ecuaciones se
deduce que
(D1 – D2)x + (E1 – E2) y + F1 – F2 = 0

que, según (4), es la ecuación del eje radical de C1 y C2.
Podemos demostrar, recíprocamente, que, si P1 (x1 , y1) es un
punto que está sobre el eje radical, las longitudes de las tangentes
trazadas de P1 a C1 y C2 son iguales.
Los resultados precedentes se resumen en el siguiente:

TEOREMA 6

Si las ecuaciones de dos circunferencias no concéntricas C1 y C2
son:
C1 : x2 + y2 + D1 x + E1y + F1 = 0,
C2 : x2 + y2 + D2 x + E2y + F2 = 0,

La eliminación de x2 y y2 entre estas dos ecuaciones da la
ecuación lineal
(D1 – D2)x + (E1 – E2) y + F1 – F2 = 0

que es la ecuación del eje radical de C1 y C2.

Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, su eje radical
coincide con su cuerda común; si C1 y C2 son tangentes entre sí,
su eje radical es su tangente común, y si C1 y C2 no tienen ningún
punto común, su eje radical no tiene ningún punto común con
ninguno de ellos.

384


El eje radical de C1 y C2 es perpendicular a la recta de los centros;
es también el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal
manera que las longitudes de las tangentes trazadas por él a C1 y
C2 son iguales.

Consideremos tres circunferencias, de las cuales no hay dos que
sean concéntricas. Cada par tiene un eje radical, y las tres,
tomadas a pares, tienen tres ejes radicales. Si las tres
circunferencias no tienen una recta de los centros común, sus tres
ejes radicales se cortan en un punto llamado centro radical. La
demostración de la existencia del centro radical de tres
circunferencias dadas se deja como ejercicio al estudiante.



1. Escribir la ecuación de la familia de circunferencias concéntricas
cuyo centro común es el punto (-3, 5). Dibujar tres elementos de la
familia, especificando el valor del parámetro en cada caso.

2. Escribir la ecuación de la familia de circunferencias cuyos centros
están sobre el eje Y. Desígnense los dos parámetros por k 1 y k2.
Dibújense tres elementos de la familia conservando a k 1 constante
y asignando a k2 tres valores diferentes. Dibújense otros tres
miembros de la familia haciendo que k2 permanezca constante y
asignando a k1 tres valores diferentes.

385


3. Escribir la ecuación de la familia de todas las circunferencias que
pasan por el origen. Dibujar seis elementos de la familia
asignando valores a los dos parámetros como en el ejercicio 2.

4. Determinar la ecuación de la familia de circunferencias, cada una
de las cuales pasa por el origen y el punto (1, 3). Dibujar tres
elementos de la familia, especificando el valor del parámetro en
cada caso.

5. Dibujar las dos circunferencias cuyas ecuaciones son:

C1 x2 + y2 + 4x – 8y + 7 = 0 y C2 x2 + y – 16x – 4y + 3 = 0

También dibujar tres elementos de la familia C1 + kC2 = 0 para
valores de k diferentes de 0 y –1, y demostrar que sus centros
están sobre la recta de los centros de C1 y C2.

6. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (-
8, 5) y por las intersecciones de las circunferencias x2 + y2 – 8x –
6y + 17 = 0 y x2 + y – 18x – 4y + 67 = 0.}

7. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre el
eje X y pasa por las intersecciones de las dos circunferencias
dadas en el ejercicio 6.

8. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el
eje Y y pasa por las intersecciones de las dos circunferencias
dadas en el ejercicio 6.

9. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre la
recta 2x + y – 14 = 0 y que pasa por las intersecciones de las
circunferencias.

X2 + y2 – 8x – 4y + 11 = 0 y x2 + y2 – 4x + 4y – 0 = 0

386


5
10. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 2 y que pasa
2
por las intersecciones de las circunferencias x2 + y2 + 2x – 6y – 16
= 0 y x2 + y2 – 6x + 2y = 0. (Dos soluciones).

11. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C1 y C2 del
ejercicio 13 en su punto común y cuyo centro está sobre la recta
3x + y + 5 = 0.

12. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C1 y C2 del
ejercicio 13 en su punto común y que es tangente a la recta x – 2y
– 1 = 0. (Dos soluciones).

13. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (-
10, -2) y por las intersecciones de la circunferencia x2 + y + 2x –
2y – 32 = 0 y la recta x – y + 4 = 0.

14. Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias.

X2 + y2 – 2x – 10y + 10 = 0, 4x2 + 4y – 32x – 12y + 37 = 0.

Y demostrar que es perpendicular a su recta de los centros.

15. Hallar la ecuación y la longitud de la cuerda común de las
circunferencias x2 + y – 8y + 9 = 0 y x2 + y2 – 14x – 6y + 38 = 0.

16. Demostrar analíticamente que si dos circunferencias diferentes
son concéntricas, su eje radical no existe.

17. Hallar la longitud de la tangente trazada del punto P (-1, 3) a la
circunferencia 3x2 + 3y2 – 14x – 15y + 23 = 0.

18. Obtener las coordenadas de un punto que se encuentre sobre el
eje radical del ejercicio 19, y demostrar que las longitudes de las

387


tangentes trazadas de ese punto a las dos circunferencias son
iguales.

19. Hallar las coordenadas del centro radical de las tres
circunferencias x2 + y + 2x – 4y – 6 = 0, x2 + y – 4x – 2y = 0 y x2
+ y + 2x + 12y + 36 = 0.

20. Demostrar que las tres circunferencias x + y + 10x + 2y + 17 = 0,
x + y + 4x – 4y = 0 y x2 + y2 – 8x – 16y + 71 = 0 no tienen centro
radical. Explicar el resultado.

8.6 TANGENTE DE UNA CURVA
En Geometría elemental solamente se estudia, en general, la
tangente a una curva: la circunferencia. La tangente se define
como una recta que tiene un solo punto común con la
circunferencia. Esta definición, suficiente para la circunferencia, es
inadecuada para las curvas planas en general, pues hay curvas
planas en las cuales una tangente en un punto corta a la curva en
uno o más puntos diferentes. Por esto, vamos a dar ahora una
definición de tangente que se aplique a todas las curvas planas en
general.

Sea la ecuación de una curva plana cualquiera C
f (x, y) = 0 (1)

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos diferentes cualesquiera de
C tales que el arco de curva que los une sea continuo; es decir, P 2
puede moverse hacia P1 permaneciendo siempre sobre la curva.
La recta que pasa por P1 y P2 se llama secante. Considerare2mos
que P1 es un punto fijo mientras que P2 se mueve a lo largo de C

388


hacia P1. Entonces, a medida que P2 se aproxima a P1, la secante
gira en el sentido contrario al de las manecillas de un reloj en
torno a P1 y, en general, tiende a una posición límite representada
por la recta P1T que se define como la tangente a la curva C en el
punto P1. El punto P1 se llama punto de tangencia o punto de
contacto de la tangente. La pendiente de la curva C en el punto P 1
se define como la pendiente de la tangente a C en P1.

Para determinar la ecuación de la tangente a una curva dada en
un punto particular de la curva, se conoce como un punto, el punto
de contacto; por lo tanto, queda por hallar la pendiente de la
tangente. La pendiente de la secante P1 P2 es
y1 y2
m8 = , x1 x2
x1 x2

389


390


CAPÍTULO IX

LA PARÁBOLA

INTRODUCCIÓN
En su estudio previo de Geometría elemental, el estudiante conoció dos
líneas: la línea recta y la circunferencia. Las dos líneas ya han sido
estudiadas desde el punto de vista analítico. Ahora comenzamos el
estudio de ciertas curvas planas no incluidas, ordinariamente, en el curso
de Geometría –elemental.

9.1 DEFINICIONES
La ecuación de la parábola la deduciremos a partir de su
definición como el lugar geométrico de un punto que se mueve de
acuerdo con una ley especificada.
Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve
en un plano de tal manera que su distancia de un recta fija,
situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto
fijo del plano y que no pertenece a la recta.
El punto se fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola.
La definición excluye el caso en que el foco está sobre la directriz.
Designemos por F y l, el foco y la directriz de una parábola,
respectivamente. La recta a que pasa por F y es perpendicular a l
se llama eje de la parábola. Sea A el punto de intersección del eje
y la directriz. El punto V, punto medio del segmento AF, está, por
definición, sobre la parábola; este punto se llama vértice. El
segmento de recta, tal como BB‟, que une dos puntos
cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda; en

391


particular, una cuerda que pasa por el foco como CC‟, se llama
cuerda focal. La cuerda focal LL‟ perpendicular al eje se llama
lado recto. Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP
que une el foco F con el punto P se llama radio focal de P, o radio
vector.

9.2 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y
EJE UN EJE COORDENADO
Veremos que la ecuación de una parábola toma su forma más
simple cuando su vértice está en el origen y su eje coincide con
uno de los ejes coordenados. De acuerdo con esto, consideremos
la parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con
el eje X. Entonces el foco F está sobre el eje X; sean (p, 0) sus
coordenadas. Por definición de parábola, la ecuación de la
directriz l es x = -p. Sea P (x, y) un punto cualquiera de la
parábola. Por P tracemos el segmento PA perpendicular a l.
Entonces, por la definición de parábola, el punto P debe satisfacer
la condición geométrica.
/FP/ = /PA/ (1)
Reemplazando, tenemos

/FP/ = (x p) 2 y2

luego:
/PA/ = /x + p/

Por tanto, la condición geométrica (1) está expresada,
analíticamente, por la ecuación

(x p) 2 y 2 = /x + p/

392


Si elevamos al cuadrado ambos miembros de esta ecuación y
simplificamos, obtenemos:
y2 = 4 px. (2)

Recíprocamente, sea P1 (x1, y1) un punto cualquiera cuyas
coordenadas satisfagan (2). Tendremos:
y12 = 4px1

Si sumamos (x1 – p)2 a ambos miembros de esta ecuación, y
extraemos la raíz cuadrada, obtenemos, para la raíz positiva,

( x1 p) 2 y12 = /x1 + p/

que es la expresión analítica de la condición geométrica (1)
aplicada al punto P1. Por tanto, P1 está sobre la parábola cuya
ecuación está dada por (2).
Ahora discutiremos la ecuación (2) siguiendo el método explicado
en el Artículo 19. Evidentemente, la curva pasa por el origen y no
tiene ninguna otra intersección con los ejes coordenados. La única
simetría que posee el lugar geométrico de (2) es con respecto al
eje X. Despejando y de la ecuación (2), tenemos:
y= 2 px (3)

Por tanto, para valores de y reales y diferentes de cero, p y x
deben ser el mismo signo. Según esto, podemos considerar dos
casos: p 0yp 0.
Si p 0, deben excluirse todos los valores negativos de x, y todo
el lugar geométrico se encuentra a la derecha del eje Y. Como no

393


se excluye ningún valor positivo de x, y como y puede tomar todos
los valores reales, el lugar geométrico de (2) es una curva abierta
que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y y
hacia arriba y abajo del eje X. Esta posición, se dice que la
parábola se abre hacia la derecha.
Análogamente, si p 0, todos los valores positivos de x deben
excluirse en la ecuación (3) y todo el lugar geométrico aparece en
la izquierda del eje Y. Esta posición está indicada, y , en este
caso, se dice que la parábola se abre hacia la izquierda.
Es evidente que la curva correspondiente a la ecuación (2) no
tiene asíntotas verticales ni horizontales.
Según la ecuación (3), hay dos puntos sobre la parábola que
tienen abscisa igual a p, uno de ellos tiene la ordenada 2p y el
otro la ordenada –2p. Como la abscisa del foco es p, se sigue la
longitud del lado recto que es igual al valor absoluto de la cantidad
4p.

Si el vértice de la parábola está en el origen y su eje coincide con
el eje Y, se demuestra, análogamente, que la ecuación de la
parábola es
x2 = 4 py (4)

en donde el foco es el punto (0, p). Puede demostrarse fácilmente
que, si p 0, la parábola se abre hacia arriba; y, si p 0, la
parábola se abre hacia abajo. La discusión completa de la
ecuación (4) se deja como ejercicio al estudiante.

394


Las ecuaciones (2) y (4) se llaman a veces la primera ecuación
ordinaria de la parábola. Como son las ecuaciones más simples
de la parábola, nos referimos a ellas como a las formas cónicas.

Los resultados anteriores se resumen en el siguiente:

TEOREMA 1

La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje el eje X,
es:
x2 = 4 py,
en donde el foco es el punto (p, 0) y al ecuación de la directriz es
x = -p. Si p 0, la parábola se abre hacia arriba; si p 0, la
parábola se abre hacia abajo.

En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor
absoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado.

Ejemplo. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje
coincide con el eje Y pasa por el punto (4, -2). Hallar la ecuación
de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de su
directriz y la longitud de su lado recto. Trazar la gráfica
correspondiente.

Solución. Por el teorema 1, la ecuación de la parábola es de la
forma
x2 = 4 py (4)

395


Como la parábola pasa por el punto (4, -2), las coordenadas de
este punto deben satisfacer la ecuación (4), y tenemos
16 = 4p (-2)
de donde, p = -2, y la ecuación buscada es x2 = -8y.

También, por el teorema l, el foco es el punto (0, p), o sea, (0, -2),
la ecuación de la directriz es
y = -p,
o sea,
y=2
y la longitud del lado recto es /4p/ = 8.
Dibujar para cada ejercicio la gráfica correspondiente.
En cada uno de los ejercicios 1-4, hallar las coordenadas del foco, la
ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la ecuación dada,
y discutir el lugar geométrico correspondiente.


1. y2 = 12x
y
Solución
L P
La ecuación es de la forma y 2 4 px
4 p 12 , de donde: p=3 (p>0)
0 x
F
a. Coordenadas del foco F(p,0) F(3,0)
b. Ecuación de la directriz: x=-p x=-3
c. Lado recto: LR 4p LR 12

d. Como p>0, la curva se abre hacia la derecha del eje Y, y su eje
coincide con el eje X.

396


2. x2 = 12y
y
Solución
La ecuación es de l forma x 2 4 py
4 p 12 , de donde: p 3 (p>0) F
0 x
a. Coordenadas del foco F(0,p) F(0,3)
L D
b. Directriz: y=-p y=-3
c. Lado recto: LR 4p LR 12

d. Como p>0, la curva se abre hacia arriba y su eje coincide con
el eje Y.

3. y2 + 8x = 0 y
P
Solución D

Si y 2 8 x , la curva de la forma y 2 4 px 0 x
F
4p 8 , de donde: p=-2 (p>0)
L
a. Coordenadas del foco F(p,0) F(-2,0)
b. Directriz: y=-p x=2
c. Lado p<0, la curva se abre hacia la izquierda del eje Y, y su eje
de simetría coincide con el eje X.

y
L D
4. x2 + 2y = 0 0 x
F
Solución P
Si x 2 2 y , la curva es de la forma x 2 4 py

a. Como p<0, la curva se abre hacia abajo y su eje coincide con
el eje Y.

397


5. Deducir y discutir la ecuación ordinaria x2 = 4py

Solución
Sea P(x,y) un punto cualquiera de la parábola, F(0,p) el foco y L
su directriz. Por definición de parábola el punto P debe satisfacer
la condición:

FP d ( P, L) AP y
2 2
x 0 y p y p
De donde: x 2 4 py
P
L: y p F
0 x
A

6. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco el
punto (3, 0).

Solución
Como el foco F(3,0) está sobre el eje X, la forma de la ecuación
de la parábola es: y 2 4 px (1)

Además, si F(p,0) p=3, por lo tanto, en (1): y 2 12 x

7. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz
la recta y – 5 = 0.

Solución
Siendo la directriz una recta horizontal, el eje de la parábola será
vertical, por lo que, su ecuación será de la forma: x 2 4 py (1)

Como L : y p , entonces p=-5, por tanto, en (1): x 2 20 y

398


8. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco el
punto (0, -3).

Solución
Como el foco F(0,-3) está sobre el eje Y, la forma de la ecuación
de la parábola es: x 2 4 py (1)

Además, si F(p,0) p=-3, por lo tanto, en (1): x 2 12 y


9. Hallar un procedimiento para obtener puntos de la parábola por
medio de escuadras y compás, cuando se conocen el foco y la
directriz.

10. Hallar un procedimiento para obtener puntos de la parábola por
medio de escuadras y compás, si se dan el foco y el vértice.

11. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz
la recta x + 5 = 0.

12. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide
con el eje X pasa por el punto (-2, 4). Hallar la ecuación de la
parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la
longitud de su lado recto.

13. Una cuerda de la parábola x2 + 4x = 0 es un segmento de la recta
x – 2y + 3 = 0. Hallar su longitud.

14. Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola x2 + 8y = 0 que
es paralela a la recta 3x + 4y – 7 = 0.

15. Demostrar que la longitud del radio vector de cualquier punto P 1
(x1, y1) de la parábola y2 = 4px es igual a /x1 + p/.

399


16. Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola y2 – 9x
= 0 cuya ordenada es igual a 6.

17. De un punto cualquiera de una parábola se traza una
perpendicular al eje. Demostrar que esta perpendicular es media
proporcional entre el lado recto y la porción del eje comprendida
entre el vértice y el pie de la perpendicular.

18. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y
los puntos extremos del lado recto de la parábola x2 – 4y = 0.

19. Los extremos del lado recto de una parábola cualquiera se unen
con el punto de intersección del eje con la directriz. Demostrar que
estas rectas son perpendiculares entre sí.

20. Una circunferencia cuyo centro es el punto (4, -1) pasa por el foco
de la parábola x2 +6 16y = 0. Demostrar que es tangente a la
directriz de la parábola.

21. Hallar la ecuación de una parábola tomando como ejes X y Y, el
eje y la directriz respectivamente.

En cada uno de los ejercicios 22-25, aplicando la definición de la
parábola, hallar la ecuación de la parábola a partir de los datos dados.
Reducir la ecuación a la primera forma ordinaria por transformación de
coordenadas.
22. Foco (3, 4), directriz x – 1 = 0.
23. Foco (3, -5), directriz y – 1 = 0.
24. Vértice (2, 0), foco (0, 0).
25. Foco (-1, 1), directriz x + y – 5 = 0.

400


9.3 ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA DE VÉRTICE (H, K) Y
EJE PARALELO A UN EJE COORDENADO
Frecuentemente necesitaremos obtener la ecuación de una
parábola cuyo vértice no esté en el origen y cuyo eje sea paralelo,
y no necesariamente coincidente, a uno de los ejes coordenados.
De acuerdo con esto, consideremos la parábola cuyo vértice es el
punto (h, k) y cuyo eje es paralelo al eje X. Si los ejes
coordenados son trasladados de tal manera que el nuevo origen
O‟ coincida con el vértice (h, k), se sigue, por el teorema 1 la
ecuación de la parábola con referencia a los nuevos ejes X‟ y Y‟
está dada por:
y ‟2 = 4 px‟ (1)
en donde la coordenadas del foco F son (p, 0) referido a los
nuevos ejes. A partir de la ecuación de la parábola referida a los
ejes originales X y Y, podemos obtener la ecuación (1) usando las
ecuaciones de transformación del teorema 1, Artículo 50, a saber,

x = x‟ + h, y = y‟ + k,
de donde,
x‟ = x - h, y‟ = y - k,
Si sustituimos estos valores de x‟ y y‟ en la ecuación (1),
obtenemos
(y – k)2 = 4p (x - h) (2)

Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto (h, k) y cuyo
eje es paralelo al eje Y tiene por ecuación
(x – h)2 = 4p (x – h)
en donde /p/ es la longitud de aquella porción del eje comprendida
entre el foco y el vértice.

401


Las ecuaciones (2) y (3) se llaman, generalmente, segunda
ecuación ordinaria de la parábola.

Los resultados anteriores, junto con los obtenidos en el teorema,
conducen al siguiente

TEOREMA 2

La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje
X, es de la forma
(y – k)2 = 4p (x – h),

siendo /p/ la longitud del segmento del eje comprendido entre el
foco y el vértice.

Si p 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p 0, la
parábola se abre hacia la izquierda.
Si el vértice es el punto (h, k) y el eje de la parábola es paralelo al
eje Y, su ecuación es de la forma
(x – h)2 = 4p (y – k)

Si p 0, la parábola se abre hacia arriba; si p 0, la parábola se
abre hacia abajo.

Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el
punto (3, 4) y cuyo foco es el punto (3, 2). Hallar también la
ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.

402


Solución. Como el vértice V y el foco F de una parábola están
sobre su eje, y como en este caso cada uno de estos puntos tiene
la misma abscisa 3, se sigue que el eje a es paralelo al eje Y,
como se indica. Por tanto, por el teorema 2, la ecuación de la
parábola es de la forma
(x – h)2 = 4p (y – k)

Como el vértice V es el punto (3, 4), la ecuación puede escribirse

(x – 3)2 = 4p (y – 4)

Ahora bien, /p/ = /FV/ = /4 – 2/. Pero, como el foco F está abajo
del vértice V, la parábola se abre hacia abajo y p es negativo. Por
tanto, p = -2, y la ecuación de la parábola es
(x – 3)2 = -8 (y – 4)
y la longitud del lado recto es 8.

Designemos por A el punto en que el eje a corta a la directriz l.
Como V (3, 4) es el punto medio del segmento AF, se sigue que
las coordenadas de A son (3, 6). Por tanto, la ecuación de la
directriz es y = 6.

Si desarrollamos y trasponemos términos en la ecuación
(y – k)2 = 4p (x – h),
Obtenemos
y2 – 4px – 2ky + k2 + 4ph =) 0,
que puede escribirse en la forma:
y2 +a1x + a2y + a3 = 0 (4)

403


en donde a1 = -4p, a2 = -2k y a3 = k2 + 4ph. Recíprocamente,
completando el cuadrado en y, podemos demostrar que una
ecuación de la forma (4) representa una parábola cuyo eje es
paralelo al eje X.

Al discutir la ecuación de la forma (4) suponemos que a 1 0. Si a1
= 0, la ecuación toma la forma:
y2 +a2y + a3 = 0 (5)

que es una ecuación cuadrática en la única variable y. Si las
raíces de (5) son reales y desiguales, digamos r y r2, entonces la
ecuación (5) puede escribirse en la forma:
(y – r1) (y – r2) = 0
y el lugar geométrico correspondiente consta de dos rectas
diferentes, y = r1 y y = r2, paralelas ambas al eje X. Si las raíces
de (5) son reales e iguales, el lugar geométrico consta de dos
rectas coincidentes representadas geométricamente por una sola
recta paralela al eje X. Finalmente, si las raíces de (5) son
complejas, no existe ningún lugar geométrico.

Una discusión semejante se aplica a la otra forma de la segunda
ecuación ordinaria de la parábola:
(x – h)2 = 4p (y – k),

Los resultados se resumen en el siguiente:

404


TEOREMA 3

Una ecuación de segundo grado en las variables x y y que
carezcan del término en xy puede escribirse en la forma:
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Si A = 0, C 0 yD 0, la ecuación representa una parábola
cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje X. Si, en cambio, D =
0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje X,
dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún lugar
geométrico, según que las raíces de Cy2 + Ey + F = 0 sean reales
y desiguales, reales e iguales o complejas.

Si A 0, C = 0 y E 0, la ecuación representa una parábola cuyo
eje es paralelo a (o coincide con) el eje Y. Si, en cambio, E = 0, la
ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje Y, dos
rectas coincidentes paralelas al eje Y o ningún lugar geométrico,
según que las raíces de Ax2 + Dx + F = 0 sean reales y
desiguales, reales e iguales o complejas.

Ejemplo 2. Demostrar que la ecuación 4x2 – 20x – 24y + 97 = 0
representa una parábola, y hallar las coordenadas del vértice y del
foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.

Solución. Por el teorema 3, la ecuación:
4x2 – 20x – 24y + 97 = 0 (6)

representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje Y.

405


Si reducimos la ecuación (6) a la segunda forma ordinaria,
completando el cuadrado en x, obtenemos
2
5
x = 6 (y – 3) (7)
2

De esta ecuación vemos inmediatamente que las coordenadas del
5 3
vértice son , 3 . Como 4p = 6, p , y la parábola se abre
2 2
hacia arriba. Entonces, como el foco está sobr e2l eje y el eje es
paralelo al eje Y, se sigue que las coordenadas del foco son
5 3 5 9
,3 , o sea, , . La ecuación de la directriz es y = 3 -
2 2 2 2
3 3
, o sea, y = , y la longitud del lado recto es /4p/ = 6.
2 2
Se recomienda al estudiante que dibuje la figura correspondiente
a este ejemplo. También se recomienda resolver el problema por
traslación de los ejes coordenados.
En las dos formas de la segunda ecuación ordinaria de la
parábola, dadas por el teorema 2, hay tres constantes arbitrarias
independientes o parámetros, h, k y p. Por tanto, la ecuación de
cualquier parábola cuyo eje sea paralelo a uno de los ejes
coordenados puede determinarse a partir de tres condiciones
independientes. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo
3
al eje X y que pasa por los tres puntos , 1 , (0, 5) y (-6, -7).
2

406


Solución. Por el teorema 2, la ecuación buscada es de la forma
(y – k)2 = 4p (x – h)

Podemos, sin embargo, tomar también la ecuación en la forma
dada por el teorema 3, a saber,
Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Como C 0, podemos dividir toda la ecuación por C, obteniendo
así
Y2 + D‟x + E‟y + F0 = 0 (8)

D E F
En donde D‟ = , E‟ = y F‟ = son tres constantes por
C C C
determinarse.

Como los tres puntos dados están sobre la parábola, sus
coordenadas deben satisfacer la ecuación (8). Por tanto,
expresando este hecho, obtenemos las tres ecuaciones siguientes
correspondiendo a los puntos dados:

(3/2, -1) , 1 + 3/2 D‟ - E‟ + F‟ = 0
(0,5), 25 + 5E‟ + F‟ = 0
(-6, -7), 49 – 6D‟ – 7E‟ + F‟ = 0

que pueden escribirse así,
3/2,D‟ - E‟ + F‟ = - 1,
5E‟ + F‟ = - 25
6D‟ + 7E‟ - F‟ = 49

407


La solución de este sistema de tres ecuaciones nos da
D‟ = 9, E „ = -2, F‟ = -15.
Sustituyendo estos valores en la ecuación (8), obtenemos
Y2 + 8x – 2y – 15 = 0,
que es la ecuación de la parábola que se buscaba.
El estudiante debe dibujar la figura para este ejemplo y verificar el
hecho de que las coordenadas de cada uno de los tres puntos
dados satisfacen la ecuación de la parábola. También debe
obtener la misma ecuación usando la forma
(y – k)2 = 4p (x – h),

Dibujar para cada ejercicio la figura correspondiente.


1. Deducir y discutir la ecuación ordinaria (x – h)2 = 4p (y – k).

2. Por transformación de coordenadas, reducir las dos formas de la
segunda ecuación ordinaria a las dos formas correspondientes de
la primera ecuación ordinaria de la parábola.

3. Demostrar que si se tiene la ecuación de la parábola en la forma
(y – k)2 = 4p (x – h), las coordenadas de su foco son (h + p, k), y la
forma de ecuación de su directriz es x = h – p.

4. Demostrar que si se tiene la ecuación de una parábola en la forma
(x – h)2 = 4p (y – k), las coordenadas de su foco son (h, k + p), y la
ecuación de su directriz es x = k – p.

5. Por medio de la primera ecuación ordinaria, deducir la siguiente
propiedad geométrica de la parábola: Si desde un punto

408


cualquiera de un parábola se baja una perpendicular a su eje, el
cuadrado de la longitud de esta perpendicular es igual al producto
de las longitudes de su lado recto y del segmento del eje
comprendido entre el pie de dicha perpendicular y el vértice. Toda
parábola, cualquiera que sea su posición relativa a los ejes
coordenados, posee esta propiedad geométrica llamada
propiedad intrínseca de la parábola.

6. Por medio de la propiedad intrínseca de la parábola, establecida
en el ejercicio 5, deducir las dos formas de la segunda ecuación
ordinaria de dicha curva.

7. Hallar la ecuación de la parábola cuyos vértice y foco son los
puntos (-4, 3) y (-1, 3), respectivamente. Hallar también las
ecuaciones de su directriz y su eje.

8. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los
puntos (3, 3) y (3, 1), respectivamente. Hallar también la ecuación
de su directriz y la longitud de su lado recto.

9. La directriz de una parábola es la recta y – 1 = 0, y su foco es el
punto (4, -3). Hallar la ecuación de la parábola por dos métodos
diferentes.

10. La directriz de una parábola es la recta x + 5 = 0, y su vértice es el
punto (0, 3). Hallar la ecuación de la parábola por dos métodos
diferentes.

En cada uno de los ejercicios 11-15, redúzcase la ecuación dada a la
segunda forma ordinaria de la ecuación de la parábola, y hallar las
coordenadas del vértice y del foco, las ecuaciones de la directriz y eje, y
la longitud del lado recto.

409


11. 4y2 – 48x – 20y = 71.

12. 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0.

13. y2 + 4x = 7.

14. 4x2 – 48y + 12x = 159.

15. y = ax + bx + c.

16. Resolver el ejemplo 2 del Artículo 56 trasladando los ejes
coordenados.

17. Resolver el ejercicio 14 trasladando los ejes coordenados.

18. Discutir la ecuación Ax2 + Cy + Dx + Ey + F = 0 cuando A = E = 5
=0yC 0, D 0.

19. Resolver el ejemplo 3 del Artículo 56 tomando la ecuación en la
forma (y – k)2 = 4p (x – h).

20. Hallar las coordenadas del foco y el vértice, las ecuaciones de la
directriz y el eje, y la longitud del lado recto de la parábola del
ejemplo 3 del Artículo 56.

21. Determinar la ecuación de la familia de parábolas que tienen un
foco común (3, 4) y un eje común paralelo al eje Y.

22. La ecuación de una familia de parábolas es y = 4x2 + 4x + c.
Discutir cómo varia el lugar geométrico cuando se hace variar el
valor del parámetro c.

23. La ecuación de una familia de parábolas es y = ax2 + bx. Hállese
la ecuación del elemento de la familia que pasa por los dos puntos
(2, 8) y (-1, 5).

24. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y
que pasa por los tres puntos (0, 0), (8, -4) y (3, 1).

410


25. Hallar la ecuación de la parábola de vértice del punto (4, -1), eje la
recta y + 1 = 0 y que pasa por el punto (3, -3).

26. Demostrar, analíticamente, que cualquier recta paralela al eje de
una parábola corta a ésta en uno y solamente en un punto.

27. Demostrar que la longitud del radio vector de cualquier punto P 1
(x1, y1) de la parábola (y – k)2 = 4p (x – h) es igual a /x1 – h + p/.

28. Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola.

y2 + 4x + 2y – 19 = 0

cuya ordenada es igual a 3.

29. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto
que se mueve de tal manera que su distancia de la recta x + 3 = 0
es siempre 2 unidades mayor que su distancia del punto (1, 1).

30. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico del centro de
una circunferencia que es siempre tangente a la recta y – 1 = 0 y a
la circunferencia

x2 + y2 = 9.

9.4 ECUACIÓN DE LA TANGENTE A UNA PARÁBOLA
La determinación de la tangente a la parábola no requiere la
introducción de ningún concepto nuevo. Como la ecuación de una
parábola es de segundo grado, su tangente puede obtenerse
empleando la condición para tangencia estudiada.

411


Como para la circunferencia, consideraremos tres casos:

1. Tangente en un punto de contacto dado. Vamos a
determinar la ecuación de la tangente a la parábola
x2 = 4px (1)

en un punto cualquiera P1 (x1, y1) de la parábola.

La ecuación de la tangente buscada es de la forma
Y – y1 = m (x – x1) (2)
en donde está por determinarse la pendiente m. Si el valor de y
dado por la ecuación (2) es sustituido en la ecuación (1), se
obtiene
(y1 + mx – mx1)2 = 4px.

la cual se reduce a
m2x2 + (2my1 – 2m2y1 – 4p) x + (y12 + m2x12 – 2mx1y1) = 0

Para la tangencia, el discriminante de esta ecuación debe
anularse, y escribimos
(2my1 – 2m2y1 – 4p)2 - 4m2 + (y12 + m2x12 – 2mx1y1) = 0

la cual se reduce a
x1 m2 - y1m + p = 0 (3)

de donde,
2
y1 y1 4px 1
m=
2x 1

412


Pero, como P1 (x1, y1) está sobre la parábola (1), tenemos
y12 = 4px1 (4)
y1
de donde m = . Si sustituimos este valor de m en (2),
2x 1
obtenemos, después de simplificar y ordenar los términos,
2x1y = y1 (x + x1)

2
y1
De la ecuación (4), 2x1 = y si se sustituye este valor en la
2p
última ecuación se obtiene la forma más común de la ecuación de
la tangente,
y1y = 2p (x + x1)

Muchas propiedades interesantes e importantes de la parábola
están asociadas con la tangente en un punto cualquiera de la
curva. La deducción de tales propiedades es más sencilla, en
general, usando la forma canónica (1) y, por tanto, la ecuación de
la tangente que acabamos de obtener es especialmente útil.

413


INTEGRALES MULTIPLES

1. INTEGRAL DOBLE

Sea en el plano 0xy un dominio cerrado D, limitado por una curva
L.
Sea dada en el dominio D una función continua
Dividamos el dominio D mediante curvas arbitrarias en n partes:
, , ...,
Las que llamaremos dominios parciales o elementos. Para no
introducir nuevos símbolos designemos por …, no sólo a
los propios elementos, sino también sus áreas. En cada (en su
interior o en la frontera), elijamos un punto ; entonces
obtenemos n puntos:
, , ..,

Sean , ,…, los valores de la función en los puntos
elegidos; formemos la suma de productos de la forma :
(1)
,

Que se llama suma integral de la función en el dominio D.

414


Si en el dominio D, entonces cada sumando se
puede representar geométricamente como el volumen de un
cilindro elemental de base y de altura .
Así, es la suma de los volúmenes de los cilindros elementales
indicados, es decir, el volumen de un cierto cuerpo “escalonado”.
Examinemos una sucesión arbitraria de las sumas integrales,
formadas con ayuda de la función en el dominio dado D:
, , …, ,…
Para diferentes métodos de división del dominio D en las partes
. Supongamos que el diámetro máximo de los elementos
tiende a cero, cuando . En este caso resulta válido el
siguiente teorema que citemos aquí sin demostración.

Teorema 1. Siendo una función continua en el dominio
cerrado D, la sucesión (2) de las sumas integrales (1) tienen un
límite, si el diámetro máximo de tiende a cero, mientras que
. Este límite siempre es el mismo para cualquier sucesión
de la forma (2), es decir, no depende del modo de división del
dominio en los elementos no de la elección del punto dentro
del dominio en los elementos .

415


Este límite se llama integral doble de la función extendida
por el dominio D y se designa así:

Es decir,

Aquí D se llama dominio de integración.
Si es la integral doble de extendida por el
dominio D es igual al volumen Q de un cuerpo limitado por la
superficie , el plano y la superficie cilíndrica,
cuyas generatrices son paralelas al eje y la directriz es la
frontera del dominio D.
Examinemos ahora los siguientes teoremas acerca de la integral
doble.

Teorema 2. La integral doble de la suma de dos funciones
, extendida por un dominio D es igual a la suma
de las integrales dobles extendidas por este dominio D de cada
una de las funciones por separado:

Teorema 3. El factor constante se puede sacar fuera del signo de
la integral doble:
Si = const, tenemos:

416


La demostración de estos dos teoremas se efectúa de modo
análogo al que hemos practicado para demostrar teoremas
correspondientes de la integral definida.

Teorema 4. Si el dominio D está dividido en dos dominios
parciales y , sin poseer puntos interiores comunes, y la
función es continua en todos los puntos del dominio D,
entonces:

(3)

Demostración: La suma integral por el dominio D se puede
representar en la forma:
(4)
Donde la primera suma contiene términos correspondientes a los
elementos del dominio , y la segunda, términos
correspondientes a los elementos del dominio . En efecto, como
la integral doble no depende del modo de dividir el dominio ,
dividámoslo de manera que la frontera común de y sea
también una frontera de los elementos . Pasando en la
igualdad (4) al límite, cuando , obtenemos la igualdad (3).
Es evidente que este teorema es válida para cualquier número de
sumandos.

417


2. CALCULO D LA INTEGRAL DOBLE

Sea un dominio del plano tal que toda recta paralela a uno
de los ejes de coordenadas (por ejemplo, al eje ) y que pasa por
un punto interior) del dominio, corta su frontera en dos puntos y
.

Supongamos que en el caso examinado el dominio está limitado
por las curvas: , y las rectas, , ;
que:
, ;
y además las funciones son continuas en el
segmento . Convengamos llamar tal dominio regular en la
dirección del eje . De modo semejante se determina el dominio
regular en la dirección del eje
Un dominio regular en las direcciones de ambos ejes de
coordenadas llamaremos simplemente dominio regular.
Sea una función continua en el dominio .
Examinemos la expresión

418


la que llamaremos integral iterada de segundo orden de la función
, extendida por el dominio . En esta expresión al principio
se calcula la integral entre paréntesis. La integración se realiza
respecto a , considerando constante. Como resultado de la
integración obtenemos una función continua de :

Integramos la última función respecto a entre los límites desde
hasta :

En definitiva obtenemos un número constante.

Ejemplo 1. Hallar la integral iterada de segundo orden

Solución. Calculemos al principio la integral interior, (entre
paréntesis):

Integrando la función obtenida desde 0 hasta 1 hallamos:

419


Determinemos el dominio . En el caso dado es un dominio
limitado por las líneas:
, , ,
A veces puede ocurrir que el dominio es tal que una de las
funciones , no puede ser dada por una sola
expresión analítica en todo el intervalo de la variación de (desde
hasta ). Sea, por ejemplo, ,y

en el segmento ,
en el segmento ,
Donde y son funciones dadas analíticamente.
En este caso escribamos la integral iterada de la manera
siguiente_

420


La primera de estas igualdades está escrita en virtud de la
propiedad conocida de la integral definida y la segunda, porque en
el segmento tenemos y en el segundo ,

Si la función es dada por diferentes expresiones analíticas
en varias partes del segmento , la inscripción de la integral
iterada de segundo orden será análoga.
Determinemos ciertas propiedades de la integral iterada de
segundo orden.
Propiedad 1. Si un dominio regular en la dirección del eje lo
dividimos en dos dominios y , mediante una recta paralela al
eje o al eje , la integral iterada de segundo orden
extendida por el dominio será igual a la suma de integrales
semejantes extendidas por los dominios y , es decir,
(1)
Demostración. a) Supongamos que la recta
divide el dominio en dos dominios y regulares en la
dirección del eje . Entonces

b) Supongamos que la recta divide el dominio en dos
dominios y regulares en dirección del eje . Designemos
por y los puntos de intersección de la recta con la

421


frontera y . Designemos las abscisas de estos puntos por y
.
El dominio está limitado por las curvas continuas:
1) ;
2) La curva , cuya ecuación escribimos convencionalmente
en la forma
,

Teniendo en cuenta que cuando y
, y que
, cuando
3) Las rectas ,

El dominio está limitado por las curvas
, , donde
Aplicando a la integral interior el teorema sobre la descomposición
del intervalo de integración, escribamos la identidad siguiente:

422


Descompongamos la última integral en tres integrales aplicando el
mismo teorema a la integral exterior:

Como en los segmentos y , las
integrales primeras y tercera son idénticamente iguales a cero.
Por eso :

Aquí la primera integral es una integral iterada de segundo orden
por el dominio y la segunda, por el dominio . Por
consiguiente,

La demostración será semejante cualquier que sea la posición de
la secante . Si la recta divide a en tres o, incluso, en
mayor número de dominios, obtenemos una relación, análoga a la
(1) con el número correspondiente de los sumandos en el
segundo miembro.

423


Corolario. Cada uno de los dominios obtenidos podemos dividir
de nuevo en dominios regulares en la dirección del eje
mediante una paralela a oa , y aplicar a éstos la igualdad
(1). Por consiguiente, se puede dividir en cualquier número de
dominios regulares mediante paralelas a los ejes de coordenadas

En este caso también será válida la afirmación de que la integral
iterada de segundo orden extendida por el dominio es igual a la
suma de estas integrales extendidas por los dominios parciales,
es decir:

Propiedades 2. (Evaluación de la integral iterada de segundo
orden).
Sean y los valores mínimos y máximo de la función
en el dominio . Designaremos por el área del dominio . En
este caso tenemos la correlación

424


Demostración. Evaluamos la integral interior, designándola por
:

Obtenemos:

Es decir,

Análogamente tenemos:

Es decir.

De las desigualdades y se deduce la correlación (3):

En el párrafo siguiente aclaremos el significado geométrico de
este teorema.

Propiedad 3 (Teorema de la media). La integral de segundo
orden de una función , extendida por un dominio del
área es igual al producto de por el valor de la función en cierto
punto del dominio , es decir.

425


Demostración. De la correlación (3) obtenemos:

El número está comprendido entre los valores máximo y

mínimo de la función en el dominio . En virtud de la
continuidad de la función , ésta toma en cierto punto del
dominio el valor igual a , es decir.

de donde:
(5)

3. CALCULO DE LA INTEGRAL DOBLE (CONTINUACION)

Teorema. La integral doble de una función continua
extendida por un dominio regular , es igual a la integral iterasa
de segundo orden de esta función extendida por , es decir,

Demostración. Dividamos el dominio por las paralelas a los
ejes de coordenadas en n dominios regulares (rectangulares):

En virtud de la propiedad 1 [formula (2)] del párrafo anterior
tenemos: (1)

426


Transformemos cada sumando del segundo miembro utilizando el
teorema de la media para la integral iterada de segundo orden:

Entonces, la igualdad (1) toma la forma
, (2)
donde es un punto en . A la derecha tenemos una suma
integral para la función extendida por el dominio . Del
teorema sobre la existencia de la integral doble se deduce que el
límite de esta suma existe y es igual a la integral doble de la
función por , cuando y el diámetro máximo de los
dominios parciales tiende a cero.

El valor numérico de la integral iterada de segundo orden del
primer miembro de la igualdad (2) no depende de . Por tanto,
pasando al límite en la igualdad (2) obtenemos:

(3)
427


Escribiendo la expresión de la integral iterada de segundo orden
en forma más detallada, en definitiva obtenemos:
(4)

Observación 1. Cuando , la fórmula (4) toma una
interpretación geométrica ilustrativa. Analicemos un cuerpo
limitado por la superficie , el plano y la superficie
cilíndrica cuyas generatrices son paralelas al eje y la directriz
sigue la frontera del dominio . Calculemos el volumen (5)
de este
cuerpo. Hemos indicado ya que el volumen de este cuerpo es
igual a la integral doble de la función extendida por el
dominio :

Calculemos ahora el volumen de este cuerpo utilizando los
resultado de (4). Sobre el cálculo del volumen de un cuerpo según
las áreas de secciones paralelas. Tracemos el plano secante
, que corta el cuerpo. Calculemos el área
de la figura obtenida en la sección .

428


Esta figura es un trapecio curvilíneo limitado por las líneas
, , . Por
consiguiente, esta área se expresará mediante la integral (6)

Conociendo las áreas de las secciones paralelas, es fácil hallar el
volumen del cuerpo:

o, sustituyendo en esta fórmula por su expresión de (6),
tenemos: (7)

Los primeros miembros de las fórmulas (5) y (7) son iguales por
tanto son iguales también sus segundos miembros:

No es difícil aclarar ahora el significado geométrico del teorema
sobre la evaluación de la integral iterada de segundo orden (las
propiedad 2 del párrafo anterior): el volumen V de un cuerpo
limitado por la superficie , el plano y la superficie
cilíndrica, cuya directriz sigue la frontera del dominio . Esto se
deduce de que la integral iterada de segundo orden es igual al
volumen de este cuerpo.

Ejemplo 1. Calcular la integral doble , si el

dominio está limitado por las rectas , , , .

429


Solución. En virtud de la fórmula tenemos:

Ejemplo 2. Calcular la integral doble de la
función , extendida por el
dominio por las líneas: , , ,
.

Observación 2. Supongamos que el dominio regular en la
dirección del eje está limitado por las líneas

Siendo
Es evidente, que en este caso tenemos: (8)

430


Para calcular una integral doble es preciso representarla en forma
de una integral de segundo orden. Esto se puede hacer por dos
procedimientos, utilizando la fórmula (4) o la (8). En cada caso
concreto, para calcular la integral doble elijamos una u otra
fórmula según del dominio o del integrando.

Ejemplo 3. Cambiar el orden de integración en la integral

Solución. El dominio de integración está limitado por la recta
y la parábola .
Toda paralela al eje corta la frontera del dominio no más que
en dos puntos. Por tanto, se puede calcular la integral según la
fórmula (8) poniendo

Entonces:

431


Ejemplo 4. Calcular:

Si el dominio es un triángulo limitado por las rectas

Solución. Sustituyamos la integral doble dad por una integral
iterada de segundo orden, utilizando la fórmula (4). (Si usáramos

la fórmula (8), tendríamos que integrar la función respecto a ;
pero esta integral no se expresa mediante las funciones
elementales):

Observación 3. Si el dominio no es regular en la dirección del
eje (es decir, si existen rectas verticales y horizontales que
pasan por los puntos interiores del dominio y cortan la frontera del
dominio en más dos puntos), entonces podemos presentar la
integral doble extendida por este dominio en la forma de una
integral iterada de segundo orden. Si logramos dividir el dominio
irregular en un número finito de dominio regulares
en dirección del eje ó entonces, al calcular la integral doble
por cada uno de estos dominios parciales (con ayuda de la

432


integral iterada de segundo orden) y al sumar los resultados,
obtenemos la integral buscada extendida por el dominio

Ejemplo 5. Calcular la integral doble

Extendida por el dominio , encerrado entre dos cuadrados con el
centro en el origen de coordenadas y los lados paralelos a los ejes
de coordenadas, si cada lado del cuadrado interior es igual a 2 y
el del exterior a 4.

Solución. El dominio es irregular. Sin embargo, las rectas
y lo dividen en cuatro dominios regulares
Por eso:

Representando cada una de estas integrales en forma de una
integral iterada de segundo orden, hallamos:

433


Observación 4. En adelante escribamos la integral iterada de
segundo orden

Omitiendo los paréntesis de la integral interior, es decir, en la
forma:

Aquí, (igual que en el caso, en que se ponen los paréntesis)
convengamos que la primera integración se realiza respecto a la
variable, cuya diferencial está escrita primera y después, respecto
a la otra variable, cuya diferencial está escrita en el segundo lugar.
Notemos, sin embargo, que esta regla no está generalmente
aceptada. En algunas obras adoptado el procedimiento contrario:
al principio, la integración se realiza respecto a la variable, cuya
diferencial ocupa el último lugar).

434


4. CALCULO DE AREA Y VOLUMENES CON AYUDA DE
INTEGRALES DOBLES

1. Volumen. Como hemos visto en (1), el volumen V de un
cuerpo, limitado por una superficie , donde es
una función no negativa, el plano y la superficie cilíndrica,
cuyas generatrices son paralelas al eje , y la directriz sigue la
frontera del dominio , es igual a la integral doble de de la función
extendida por :

Ejemplo 1. Calcular el volumen de un cuerpo limitado por las
superficies
Solución

Donde es el dominio en forma triangular del plano limitado
por las rectas

Poniendo los límites en la integral doble, calculemos el volumen:

435


Así, unidades cúbicas.

Observación 1. Si el cuerpo, cuyo volumen se busca, está
limitado por arriba y por debajo por las superficies ,
respectivamente, siendo la proyección de ambas superficies
sobre el plano , entonces, el volumen V de este cuerpo es
igual a la diferencia entre los volúmenes de dos cuerpos
“cilíndricos”, el primero de los cuales tiene como base inferior y
la superficie como base superior, y el segundo tiene
también como base inferior y la superficie como
base superior.
Por eso, el volumen V es igual a la diferencia de dos integrales
dobles:

(1)
Es fácil demostrar que la fórmula (1) es válida no sólo cuando
y son funciones no negativas, sino también,
cuando y son funciones continuas arbitrarias que
satisfacen la correlación:

436


Observación 2. Si la función cambia de signo en el
dominio , divida nos a éste en dos dominios: 1) dominio ,
donde ; 2) dominio , donde . Supongamos
que será positiva e igual al volumen del cuerpo dispuesto por
encima del plano . La integral extendida por será negativa e
igual por su valor absoluto al volumen del cuerpo dispuesto por
debajo del plano . Por consiguiente, la integral extendida por el
dominio expresará la diferencia de los volúmenes
correspondientes.

2. Cálculo del área de un dominio plano. Si formamos una
suma integral para la función por el dominio ,
obtenemos el área

Cualquiera que sea la división. Pasando al límite en el segundo
miembro de la igualdad, obtenemos:

437


Si el dominio es regular, el área se expresará mediante la
integral interada de segundo orden

Después de la integración de la integral entre paréntesis,
tenemos:

Ejemplo 2. Calcular el área de un dominio limitado por las curvas.

Solución. Determinemos el área los puntos de intersección de las
curvas dadas. Las ordenadas de dos curvas son iguales en punto
de intersección es decir,

De donde: ,
Hemos obtenido dos puntos de intersección:

Por tanto, el área buscada es:

5. INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES

Sea dado en el sistema de coordenadas polares un dominio
tal, que todo rayo pasante por un punto interior de corta la
frontera del dominio no más que en dos puntos. Supongamos,

438


también que el dominio está limitado por las curvas ,
y los rayos , y , siendo y
. Diremos que un dominio tal es regular.
Sea dada en el dominio una función continua de las
coordenadas y :

Dividamos arbitrariamente en los dominios parciales

Formemos la suma integral:

Donde es un punto en .
Del teorema sobre la existencia de la integral doble se deduce que
cuando el diámetro máximo de tiende a cero, la suma integral
(1) tiene un límite V. Según la definición, este límite C es la
(2)
integral doble de la función extendida por el dominio D:

Calculemos aquí esta integral doble.
Como el límite de la suma integral no depende del modo de dividir
D en los dominios parciales , podemos dividirlo, para la
comodidad, mediante rayos , , , … ,
(donde , , ) y las
circunferencias concéntricas , [donde
es igual al valor mínimo de la función y , al valor máximo
de en el intervalo ; ].

439


Designaremos por el dominio parcial limitado por las líneas
. Sean aquí tres tipos de los dominio
parciales : 1) los que no se cortan por la frontera y se sitúan
dentro del dominio D; 2) los que se cortan por la frontera y se
sitúan fuera del dominio D; 3) lo que se cortan por la frontera del
dominio D.
La suma de los términos, correspondientes a los dominios
parciales cortados, tiene por límite cero, cuando y
, por lo que estos sumandos no se toman en cuenta. Los
dominios parciales que se encuentran fuera de D y no entran
en la sima integral no nos interesan por consiguiente, se puede
escribir la suma integral en la forma:

Donde es un punto arbitrario de .
El signo de suma doble significa aquí, que al principio sumamos
por el índice , considerando constante (es decir, sumamos
todos los términos que corresponden a los dominios parciales
comprendidos entre dos rayos vecinos). El signo de suma externo

440


significa que nosotros unimos todas las sumas obtenidas durante
la primera adición (es decir, sumamos por el índice ).
Hallemos la expresión del área del dominio parcial , que se
cortan por la frontera de D. El área es igual a la diferencia de las
áreas de dos sectores:

ó
, donde
Así, la suma integral tiene la forma

Donde es un punto de . Saquemos el factor fuera
del signo de la suma interior (esto se permite, puesto que es un
factor común para todos los términos de esta suma):

Supongamos que y queda constante. En este caso, la
expresión entre paréntesis tenderá a la integral

Suponiendo ahora que , definitiva obtenemos:

(3)

La fórmula (3) sirve para calcular integrales dobles en las
coordenadas polares.

441


Si la primera integración se realiza por , y la segunda, por ,
obtenemos la formula: (3’
)

Supongamos que es preciso calcular integral doble de la función
, dada en coordenadas rectangulares y extendidas por el
dominio :

Si es un dominio regular en coordenadas polares , el cálculo
de la integral dada se puede reducir a la determinación de una
integral iterada de segundo orden en coordenadas polares. En
efecto, puesto que

,
,
Por tanto, tenemos
(4)

442


Ejemplo 1. Calcular el volumen V del cuerpo limitado por la
superficie esférica

y el cilindro

Solución. Como el dominio de integración se puede tomar, en
este ejemplo la base de un cilindro , es decir,
un circulo de radio y centro en el punto (0, ). La ecuación de
este círculo se puede escribir en la forma .
Calculemos la cuarta parte del volumen V, es decir, la parte
dispuesta en el primer octante. Entonces, en la calidad del
dominio de integración debemos tomar un semicírculo, cuyas
fronteras son determinadas por las ecuaciones:
,
,
El integrado es

Por tanto,

Transformemos la integral obtenida para las coordenadas polares
:

Determinemos los límites de integración. Para esto escribamos la
ecuación de circunferencia dada en coordenadas polares: puesto
que

443


,
,
Tenemos:
,
ó

Por consiguiente, las fronteras del dominio en coordenadas
polares se determinan por las ecuaciones:
, , , ,

el integrado tiene la forma

Por consiguiente, obtenemos:

444


6. SUSTITUCION DE VARIABLES EN UNA INTEGRAL DOBLE
(CASO GENERAL)

Sea dado en el plano un dominio D limitado por la curva L.
Supongamos también que las coordenadas e son las
funciones de las nuevas variables y :

(1)

Donde las funciones y son uniformes, continuas y
que en las derivadas continuas en cierto dominio D´ que será
definido abajo. En este caso, según la fórmula (1), a cada par de
valores y corresponde un solo para de valores e .
Supongamos, ahora, que las funciones son tales que, si
damos a e los valores determinados en el dominio D,
entonces, según las fórmulas (1) determinemos los valores
definidos de y .
Analicemos el sistema de coordenadas rectangulares . De lo
expuesto arriba se deduce, que a todo punto en el plano

445


corresponde uniformemente un punto del plano
de coordenadas definidas por las fórmulas (1). Los números
y se llaman coordenadas curvilíneas del punto P.
Si un punto describe en el plano la curva cerrada L que limita
el dominio D, entonces en el plano el punto correspondiente
describirá una curva cerrada L‟ que limita un cierto dominio D´;
además, a cada punto de D‟ le corresponde un punto de D.
Por consiguiente, las fórmulas (1) establecen una correspondencia
biunívoca entre los puntos de los dominios D y D‟, o, como se dice
también, representan biunívocamente a D en D‟.
Analicemos en D‟ una recta . En general, por las
fórmulas (1) hallemos que en el plano le corresponde una
cierta curva. Del modo igual a toda recta del plano
le corresponde una cierta curva en el plano .
Mediante rectas y dividamos el dominio D‟ en
los dominios parciales rectangulares (no tomamos en
consideración los rectángulos que tocan la frontera de D‟). Las
curvas correspondientes dividen el dominio D en ciertos
cuadriláteros curvilíneos.
Analicemos en el plano un rectángulo , limitado por las
rectas , , , y el
cuadrilátero curvilíneo que le corresponde en el plano . Las
áreas de estos dominios parciales designémoslas por y ,
respectivamente. Es evidente que:

Hablando en general, las áreas y son diferentes.
Sea dada una función continua.

446


en un dominio D.
A todo valor la función del dominio D, corresponde un
mismo valor de la función en D‟, donde

Examinemos las sumas de las integrales de la función
extendidas por el dominio D. Evidentemente, se verifica la
igualdad siguiente:

(2)

Calculemos , es decir, el área del cuadrilátero curvilíneo
en el plano .
Determinemos las coordenadas de sus vértices:

(3)

Al calcular el área del cuadrilátero curvilíneo ,
consideremos que las líneas , , , son, por pares,
rectas paralelas; además, sustituyamos los incrementos de la
funciones por sus diferenciales correspondientes. De este modo,
menospreciamos las infinitesimales de orden superior en
comparación con las , . En este caso , las fórmulas (3) toman
la forma:

447


(3’
)

Hechas las suposiciones mencionadas, podemos considerar el
cuadrilátero curvilíneo como un paralelogramo. Su área
es aproximadamente igual al área duplicada del triángulo
y se determina mediante la aplicación de la fórmula
correspondiente de la geometría analítica:

Las líneas verticales secundarias exteriores de las determinantes
significan que ésta se toma por su valor absoluto. Introduzcamos
la designación:

Por consiguiente,

(4)

448


La determinante I se llama determinante funcional o jacobiano (por
el nombre del matemático alemán Jacobi) de las funciones
.

Las igualdades (4) es sólo aproximada, puesto que, al calcular el
área de , hemos menos preciado las infinitesimales de orden
superior. Sin embargo, cuanto menores son las dimensiones de
los dominios parciales y tienden a cero:

Apliquemos ahora la igualdad obtenida al cálculo de la integral
doble. En virtud de la igualdad (2), podemos escribir:

(la suma integral del segundo miembro se extiende por el dominio
D‟) Pasando al límite, cuando , obtenemos la igualdad
exacta: (5)

Esta es la fórmula de transformación de las coordenadas dentro
de la integral doble. Ella permite reducir el cálculo de una integral

449


doble extendida por el dominio D al cálculo de una integral doble
extendida por el dominio D‟, lo que puede simplificar el problema.
La primera demostración rigurosa de esta fórmula pertenece al
distinguido matemático rus M. V. Ostrogradski.

Observación. El paso de las coordenadas rectangulares a las
polares, examinado en el párrafo anterior, es un caso particular
del cambio de variables en una integral doble. Aquí tenemos
, :

Calcular el jacobino de la transformación de las coordenadas
cartesianas e en las polares y :

Por consiguiente, , entonces

7. CALCULO DE LAS AREAS DE SUPERFICIES

Supongamos que es preciso calcular el área de una superficie
limitada por una curva T; sea dada la superficie por una ecuación
, donde la función es continua y tiene las
derivadas parciales continuas.

450


Sea L la proyección de la curva T sobre el plano .
Designaremos por d el dominio del plano , limitado por L.
Dividamos arbitrariamente el dominio D en dominios
parcialmente o elementales . Tomemos en cada
dominio parcial un punto arbitrario . Al punto
corresponderá un punto en la superficie
.
Por el punto tracemos un plano tangente a la superficie. Su
(1)
ecuación será:

En este plano elijamos un dominio parcial tal que se proyecta
sobre el plano en forma del dominio elemental .
Consideremos la suma de todos los dominios elementales :

El limite de esta suma, cuando el máximo de los diámetros de
tiende a cero, llamaremos área de la superficie, es decir,
según la definición, pongamos:

451


(2)
Calculemos ahora el área de la superficie. Designemos por el
ángulo formado por el plano tangente y el plano . Basándonos
en la fórmula conocida de la geometría analítica, podemos
escribir:

ó
(3)

El ángulo también está formado por el eje y la normal al
plano (1). Por eso, en virtud de la ecuación (1) y de la fórmula
correspondiente de la geometría analítica tenemos:

Por consiguiente,

Poniendo esta expresión en la fórmula (2), obtenemos:

Como el límite de la suma integral del segundo miembro de esta
última igualdad es, según la definición, la integral doble

En definitiva, tenemos:

(4)

Esta es la fórmula que permite calcular el área de la superficie

452


Si la ecuación de la superficie es dada en la forma o en
la forma

Entonces las formulas correspondientes, para calculas las
superficies, tienen la forma:

(3’
)
(3’’)

Donde D‟ y D‟‟ son los dominios de los planos y en los
cuales se proyecta la superficie dada.

8. DENSIDAD DE DISTRIBUCION DE LA MATERIA Y LA
INTEGRAL DOBLE

Supongamos que cierta materia está distribuida en el dominio D
de modo que cada unidad del área D contiene determinada de
ésta. Se trata aquí de la distribución de la masa, aunque nuestros
razonamientos siguen en vigor cuando hablemos de la distribución
de carga eléctrica, cantidad de calor, etc.

453


Examinemos un dominio parcial arbitrario de D. Sea la
masa de la materia distribuida en este dominio parcial. Entonces,
la razón se llama densidad superficial media de la materia en

.
Suponemos ahora que el dominio parcial disminuye,
reduciéndose, finalmente, al punto . Examinemos el límite
Si este límite existe, él dependerá, en caso general, de

la posición del punto P, es decir de sus coordenadas e y,
representando en sí cierta función del punto P. Este límite(3’
lo
llamaremos densidad superficial de la materia en el punto P: )

Así, la densidad superficial es una función de las
coordenadas del punto examinado en el dominio.
Supongamos, ahora, inversamente que en el dominio D está dada
la densidad superficial de cierta materia como una función
continua ; es preciso determinar la cantidad total de
la materia M que se contienen en D. Dividamos el dominio en los
dominios parciales (i = 1,2, … , n), y en cada de ellos tomemos
un punto . Entonces, es la densidad superficial en el punto
.
El producto nos da la cantidad de la materia contenida en
(con la precisión de hasta las infinitesimales de orden
superior), mientras que la suma

Expresa aproximadamente la cantidad total de la substancia
distribuida en el dominio D. Pero ésta es la suma integral para la

454


función en D. El valor preciso lo obtenemos pasando al
límite, cuando .
Por consiguiente

Es decir, la cantidad total de materia en el dominio D es igual a la
integral doble por D de la densidad de esta
substancia.

9. MOMENTO DE INERCIA DEL AREA DE UNA FIGURA PLANA

Se llama momento de inercia I de un punto material M de masa
respecto a un cierto punto al producto de la masa por el
cuadrado de la distancia entre los puntos M y :

El momento de inercia de un sistema de puntos materiales ,
, …, respecto al punto es la suma de los momentos de
inercia de los diversos puntos del sistema:

Determinemos, ahora, el momento de inercia de una figura
material plano D.

455


Supongamos que la figura D está situada en el plano de
coordenadas . Determinemos el momento de inercia de esta
figura respecto al origen de coordenadas, suponiendo que la
densidad superficial es por dondequiera igual a la unidad.
Dividamos D en los dominios parciales . En cada
dominio parcial tomemos un punto de coordenadas . El
producto de la masa del dominio parcial por el cuadrado de la
distancia , se llama momento elemental de inercia
de :

Formemos la suma de estos momentos:

la que es, al mismo tiempo, una suma integral para la función
por el dominio D.
Determinemos el momento de inercia de la figura D como el límite
de esta suma integral, cuando el diámetro de cada tiende a
cero:

Pero, el límite de esta suma es la integral doble

. Por consiguiente, el momento de inercia de la
figura D respecto al origen de coordenadas es igual a: (1)

donde D es el dominio coincidente con la figura plana dada.
Las integrales

(2)

456


(3)

se llaman, respectivamente, los momentos de inercia de la figura
D respecto a los ejes y .

Ejemplo 1. Calcular el momento de inercia del área de círculo D
de radio R, respecto al centro .

Solución
Según la fórmula (1), tenemos:

Para calcular esta integral, pasaremos a las coordenadas polares
.
La ecuación de la circunferencia en coordenadas polares es =R.

Observación. Si la densidad superficial no es igual a 1 y es una
cierta función de e , es decir, entonces la masa del
dominio parcial será igual a (con precisión de hasta
(1’
las infinitesimales de orden superior) y por esto, el momento de
)
inercia de una figura plana respecto al origen de coordenadas,
será:

457


Elipse de inercia. Determinemos el momento de inercia de una
figura plana D respecto a cierto eje que pasa por el punto
tomado por el origen de coordenadas.
Sea el ángulo formado por la recta con la dirección positiva
del eje .
La ecuación normal de la recta es

La distancia r de un punto cualquiera a esta recta es igual
a . El momento de inercia I del área D en
relación a la recta , según la definición, se expresa mediante la
integral

Por tanto,
,
(4)

458


ponde es el momento de inercia de la misma
respecto al eje x, y, además:

Dividiendo todos los términos de la última ecuación (4) por I
obtenemos: (5)

Tomemos en la recta un punto tal, que sea

Distintos valores de I y diferentes puntos A corresponden a varias
direcciones del eje es decir, a diferentes valores del ángulo .
Hallemos el lugar geométrico de los puntos A. Es evidente, que

En virtud de la igualdad (5), las magnitudes X e Y están
entrelazadas por la correlación
(6)

De este modo, el lugar geométrico de los puntos es la
curva de segundo grado (6). Demostremos que esta curva es una
elipse. Tenemos la siguiente desigualdad, llamada de Buniakovski
(matemático ruso):

ó

459


Así, el discriminante de la curva (6) es positivo y, por consiguiente,
ésta es una elipse. Esta elipse se llama elipse de inercia. La
noción de elipse de inercia tiene gran importancia en mecánica.

Notemos que las longitudes de los ejes de la elipse de inercia y su
posición en el plano dependen de la forma de la figura plana dada.
Como la distancia entre el origen de coordenadas y un punto
arbitrario A de la elipse es igual a donde I es el momento de

inercia de la figura respecto al eje , por tanto, al construir la
elipse, es fácil calcular el momento de inercia de la figura D
respecto a una recta cualquiera, que pasa por el origen de
coordenadas. En particular, es fácil ver que el momento de inercia
de la figura es máximo al eje pequeño de esta elipse, y mínimo,
respecto a su eje grande.

10. COORDENAS DEL CENTRO DE GRAVEDAD DEL AREA DE
UNA FIGURA PLANA

Hemos indicado que las coordenadas del centro de gravedad de
unos sistemas de puntos materiales (de masas
respectivamente) se determinan por las fórmulas:
(1)

460


Determinemos, ahora, las coordenadas del centro de gravedad de
una figura plana D. Dividámosla en los dominios parciales muy
pequeños. Si suponemos que la densidad superficial es igual a 1,
la masa del dominio parcial será igual a su área. Si
convencionalmente suponemos que toda la masa de está
concentrada en algunos de sus puntos podemos
considerar la figura D como un sistema de puntos materiales. En
este caso, en virtud de las fórmulas (1), las coordenadas del
centro de gravedad de esta figura serán determinadas,
aproximadamente, por las igualdades:

Pasando al límite, cuando , las sumas integrales en los
numeradores y los denominadores de las fracciones se
transforman en las integrales dobles, con lo que obtenemos las
fórmulas exactas para calcular las coordenadas del centro de (2)
gravedad de una figura plana:

Estas fórmulas deducidas para una figura plana de densidad
superficial igual a 1 son válidas, también, para cada figura, que
tiene otra densidad cualquiera, constante en todos los puntos.
Si la densidad superficial es variable:

Las fórmulas correspondientes toman, entonces, la forma:

461


Las expresiones

y
Se llaman momentos estáticos de la figura plana D respecto a los
ejes y .
La integral expresa la magnitud de la masa de la
figura examinada.

Ejemplo. Determinar las coordenadas del centro de gravedad de
la cuarta parte del elipse.

Suponiendo, que la densidad superficial en todos los puntos es
igual a 1.

Solución. Según las fórmulas (2), obtenemos:

462


11. INTEGRAL TRIPLE

Sea todo en el espacio cierto dominio V, limitado por una
superficie cerrada . Supongamos que en el dominio y en su
frontera está definida una función continua , donde
son las coordenadas rectangulares de un punto del dominio. Para
precisar las ideas en el caso en que , podemos
suponer que ésta representa la densidad de distribución de cierta
materia en el dominio V.
Dividamos el dominio V arbitrariamente en dominios parciales ,
designando con el símbolo no sólo el dominio elemental, sino
también su volumen. En cada tomemos un punto arbitrario y
(1)
designemos por el valor de la función en este punto.
Formemos la suma integral

Y aumentemos indefinidamente el número de los dominios
parciales de modo que el diámetro máximo de tienda a cero.
Si la función es continua, existe el límite de las sumas
integrales de la forma (1), donde al límite se le da el mismo
significado, que hemos dado durante la determinación de la
integral doble. Este límite, que no depende del modo de dividir el
dominio V, ni de la manera de elegir los puntos , se designa por

463


el símbolo y se llama integral triple. Así, según la
definición, tenemos:

ó (2)

Si consideramos como la densidad volumétrica de la
distribución de una materia en un dominio V, la integral (2) nos
dará la masa de toda la substancia contenida en el volumen V.

12. CALCULO DE LA INTEGRAL TRIPLE

Supóngase que un dominio espacial (tridimensional) V, limitado
por una superficie cerrada , tiene las siguientes propiedades:
1) Toda recta paralela al eje , trazada por punto interior del
dominio V (es decir, por un punto que no pertenece a la frontera
S) corta la superficie S en dos puntos;
2) Todo dominio V se proyecta sobre el plano en forma de un
dominio regular (de dos dimensiones) D;
3) Toda parte del dominio V, separada por un plano paralelo a un
plano de coordenadas cualquiera ( ), también posee
las propiedades 1) y 2)
4) Un dominio V que tiene las propiedades indicadas se llama
dominio regular tridimensional.

Estos dominios tridimensionales regulares son, por ejemplo, un
elipsoide, un elipsoide, un paralelepípedo rectangular, un

464


tetraedro, etc. Se da un ejemplo del dominio tridimensionales
irregular. En este párrafo examinemos sólo los dominios
regulares.

Sean la ecuación de la superficie que limita el dominio
V por de debajo, y , la de una superficie que limita V
por arriba.
Introduzcamos la noción de una integral iterada de tercer orden ,
extendida por el dominio V, de una función de tres variables
por el dominio V se determina así:

(1)

Notemos que, como el resultado de la integración respecto a , y
la sustitución de los límites en las llaves, obtenemos una función
de e . Luego, se puede calcular una integral doble de esta
función extendida por el dominio D, como lo hemos hecho
anteriormente.
Demos un ejemplo del cálculo de una integral iterada de tercer
orden.

465


Ejemplo 1. Calcular la integral iterada de tercer orden de la
función , extendida por el dominio V limitado por los
planos.

Solución. Este dominio es regular: puesto que está limitado por
encima y por debajo por los planos ,
respectivamente y, además, su proyección sobre el plano
representa un dominio regular plano D que es un triángulo limitado
por las rectas . Por eso, la integral iterada
de tercer orden se calcula de la siguiente manera:

Poniendo los límites en la integral iterada de segundo orden
extendida por el dominio D, tenemos:

Analicemos, ahora, algunas propiedades de la integral iterada de
tercer orden.
Propiedad 1. Si el dominio V está dividido en dos dominios y
mediante un plano paralelo o cualquiera de los planos de
coordenadas, la integral iterada de tercer orden extendida por el
dominio V es igual a la suma de integrales iteradas de tercer
orden extendidas por los dominios y .

466


No hace falta repetir aquí la demostración de esta propiedad,
pues, es idéntica en todos los puntos a la aplicada en el caso de la
integral iterada de segundo orden.

Corolario. Cualquiera que sea el modo de dividir el dominio V en
un número finito de dominios , …, mediante planos paralelos
a los planos de coordenadas, se verifica la igualdad:

Propiedad 2 (Teorema sobre la evaluación de una integral
iterada de tercer orden). Si y son valores mínimo y máximo,
respectivamente de la función en el dominio V, se verifica
la desigualdad:

Donde V es el volumen del dominio dado y , la integral iterada
de tercer orden de la función , extendida por V.

Demostración. Evaluemos al principio la integral interior que
forma parte de la integral iterada de tercer orden

467


Así, la integral interior no supera a la expresión
. Por consiguiente, e virtud del teorema del (1)
sobre las integrales dobles, designando por D la proyección del
dominio V sobre el plano , obtenemos:

Pero, la última integral iterada de segundo orden es igual a la
integral doble de la función y, por tanto, al
volumen del dominio comprendido entre las superficies
y , es decir, al volumen del dominio V. Por
consiguiente,

De modo análogo demostremos que . La propiedad 2
queda así demostrada.

Propiedad 3 (Teorema de la media). La integral iterada de tercer
orden de una función continua extendida por el
dominio V es igual al producto de su volumen V por el valor de la (2)
función en un cierto punto P del dominio V, es decir,

468


La demostración de esta propiedad es análoga a la que hemos
dado durante la demostración de semejante propiedad para la
integral doble. Ahora podremos demostrar el teorema sobre el
cálculo de la integral triple.
Teorema. La integral triple de una función , extendida por
un dominio regular V es igual a la integral iterada de tercer orden
extendida por el mismo dominio, es decir, orden extendida por el
mismo dominio, es decir,

Demostración. Dividamos el dominio V mediante planos paralelos
a los planos de coordenadas en dominios regulares:

Designemos con , como hemos hecho anteriormente, la integral
iterada de tercer orden de la función extendida por el
dominio V y con , la integral iterada de tercer orden extendida
(3)
por . En virtud del corolario de la propiedad 1 se puede escribir
la igualdad.

Transformemos cada sumando del segundo miembro de esta
ecuación según la fórmula (2): (4)

Donde es cierto punto de

469


En el segundo miembro de la igualdad (4) tenemos una suma
integral. Según la Hipótesis, la función es continúa en el
dominio V, por lo cual el diámetro máximo de tiende a cero; el
límite de esta suma existe y es igual a la integral triple de la
función extendida por el dominio V. Así, pasando al límite
de la igualdad (4),

470


BIBLIOGRAFÍA

PINZON, Alvaro (2001) Conjuntos y Estructura. Editorial HARLA S.A. B.
Aires.
SEYMOUR, Lipschutz (1999) Teoría de los Conjuntos y Temas Afines.
Editorial MC Graw Hill Bogotá
MATAIX, Carlos (2002) Algebra Práctica. Editorial Dossat Madrid.
LEHMANN, Charles (2001) Geometría Analítica. Editorial
Hispanoamericana México.
HAENSSLES, Ernest Matemáticas para Administradores y Economía.
Editorial Iberoamericana. México.
PAPY (200) Matemática Moderna: I-II-III. Editorial Universitaria. Buenos
Aires.
DOLCIANI, Mary (2002) Introducción al Análisis Moderno. Editorial
Universitaria. Buenos Aires.
HERNANDEZ ROJO (2002) Conceptos Básicos de Matemática
Moderna. Editorial Codex. Buenos Aires.
REES SPARKS (2002) Algebra. Editorial Reverté Buenos Aires.
KINDLE, Joseph (2002) Geometría Analítica. Editorial Mc Graw Hill.
Bogotá

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“El presente material contiene una compilación de contenidos de
obras de Matemática Básica para Derecho, Administración,
Contabilidad y Ciencias de la Comunicación publicadas
lícitamente, resúmenes de los temas a cargo del profesor;
constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado
en el desarrollo de las clases en nuestra institución.

Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la
Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos
en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto
Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.

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