Este documento resume la historia y aplicaciones de la programación lineal entera. En 1958, Gomory propuso un algoritmo para encontrar soluciones enteras a programas lineales, marcando el inicio de la programación lineal entera. Hoy en día, los modelos de optimización entera se usan ampliamente para problemas como la planificación del transporte, cadenas de suministro y asignación de recursos. El documento también describe aplicaciones clásicas como el problema de la dieta y el problema del agente viajero.

1. Programación Entera Mixta
52 años de revolución en marcha
Luis M. Torres
Departamento de Matemática
Escuela Politécnica Nacional, Quito
XII Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones
Quito, 2010
Luis M. Torres
Programación Entera Mixta
XII Encuentro de Matemática
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2. Hace 52 años...
1958
“Idea de un algoritmo para las
soluciones enteras a programas lineales”
Este (borrador de) paper marca el inicio de la
programación entera
...que tendrá un impacto
enorme sobre las técnicas de
optimización...
Luis M. Torres
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3. Hace 52 años...
1958
“Idea de un algoritmo para las
soluciones enteras a programas lineales”
Este (borrador de) paper marca el inicio de la
programación entera
...que tendrá un impacto
enorme sobre las técnicas de
optimización...
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4. Hace 52 años...
1958
“Idea de un algoritmo para las
soluciones enteras a programas lineales”
Este (borrador de) paper marca el inicio de la
programación entera
...que tendrá un impacto
enorme sobre las técnicas de
optimización...
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5. Un cambio revolucionario
Hoy en día modelos de optimización entera (mixta) se usan en:
planificación de sistemas de transportación
cadenas logísticas de abastecimiento
asignación de recursos escasos
diseño de redes robustas de telecomunicaciones
localización de servicios críticos
modelización de sistemas biológicos complejos
...
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6. Ralph E. Gomory
1929:
1954:
1957:
1959:
1970:
1973:
1988:
1989:
Nace en Brooklyn, EEUU
Doctorado en la Universidad de Princeton
Profesorado Princeton
Ingresa al Área de Investigación de IBM
Director del Área de Investigación de IBM
Vicepresidente de IBM
Medalla Nacional de Ciencias
Presidente de la Fundación Alfred P. Sloan
para el desarrollo de la ciencia, tecnología,
educación, nivel de vida y productividad
económica
2008: Profesorado en la Universidad de Nueva
York
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7. Antecedentes: Programación Lineal
1939
L. V. Kantorovitch: Modelo de aginación óptima de recursos escasos
en un proceso productivo. Sienta las bases para la programación
lineal.
1947
G. B. Dantzig: Modelo para encontrar “programas” óptimos
concernientes a aspectos logísticos militares. Invención del algoritmo
del simplex.
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8. George B. Dantzig (1914 - 2005)
1914: Nace en Portland, Oregón, EEUU
1941: Interrumpe doctorado en Berkeley, ingresa la USAF; en la División de Análisis
de Combate, trabaja en la elaboración de
“programas” para operaciones militares
1946: Termina doctorado en Berkeley, retorna a
la USAF
1947: Formula modelo lineal para automatizar
programas y diseña un algoritmo para su
solución: el simplex!
1948: T. J. Koopmans acuña el término
“Programación Lineal”
1952:
1960:
1966:
1976:
1982:
Continúa desarrollo del simplex desde la coorporación RAND
Acepta profesorado en Berkeley
Cambia a la Universidad de Standford
Obtiene Medalla Nacional al Mérito Científico
La Mathematical Programming Society instaura el Premio Dantzig,
entregado cada 3 años
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9. Leonid V. Kantorovich (1912 - 1986)
1912: Nace en Petersburgo, Rusia
1930: Doctorado en matemáticas en la Univ.
Leningrado
1934: Profesorado en Leningrado
1939: Estudia el problema de asignación de recursos escasos y propone técnicas pioneras de solución (“precursor del simplex”)
1961: Dirige Dpto. Matemáticas y Economía de
la zona siberiana de la URSS
1964: Elegido miembro de la Academia de Ciencias de la URSS
1971: Dirige un centro de investigación del Instituto Nacional de Planificación
Económica de Moscú
1976: Comparte Premio Nobel en Economía con T. J. Koopmans
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10. Los temas de hoy...
¿Qué es la programación lineal entera?
¿Dónde aparecen PLEs en la solución de problemas
prácticos?
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11. Los temas de hoy...
¿Qué es la programación lineal entera?
¿Dónde aparecen PLEs en la solución de problemas
prácticos?
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12. Outline
1
Aplicaciones prácticas
2
Programas lineales
3
Programas lineales enteros (mixtos)
4
¿Dónde estamos hoy?
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13. Aplicaciones prácticas
Outline
1
Aplicaciones prácticas
2
Programas lineales
3
Programas lineales enteros (mixtos)
4
¿Dónde estamos hoy?
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14. Aplicaciones prácticas
El problema de la dieta
Problema: [Stigler, 1939]
Dado un conjunto de alimentos, encontrar una dieta de costo mínimo que permita satisfacer ciertos requerimientos nutricionales
Alimentos
papas
Costo
arroz
carne
fréjol
2.0
0.9
5.0
1.5
Calorías
2000
2200
5000
2500
Carbohid.
1200
1100
400
800
Proteínas
150
160
450
400
50
45
120
40
Grasas
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George J. Stigler
Premio Nobel en
Economía 1982
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15. Aplicaciones prácticas
El problema de la dieta
Idea:
Definir una variable de decisión xi para la cantidad de cada alimento
Expresar el costo de la dieta como una función objetivo
Expresar los requerimientos nutricionales como restricciones
min 2,0x1 + 0,9x2 + 5,0x3 + 1,5x4
s.a.r
20x1 + 22x2 + 50x3 + 25x4 ≥ 20
(calorías)
12x1 + 11x2 + 4x3 + 8x4 ≥ 15
(carbohidratos)
15x1 + 16x2 + 45x3 + 40x4 ≥ 30
(proteínas)
50x1 + 45x2 + 120x3 + 40x4 ≤ 80
(grasas)
xi ≥ 0,
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∀1 ≤ i ≤ 4
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16. Aplicaciones prácticas
El problema de la dieta
Un problema de la dieta con 77 variables y 9 restricciones fue
resuelto “al tanteo” por Stigler en 1939:
Encontró una solución de costo $39.93
“Parece no haber un método matemático directo para encontrar el
mínimo de una función lineal sujeta a restricciones lineales”
En 1947 Laderman empleó el (recién creado) simplex para
encontrar la solución óptima:
Luego de 120 días-hombre de cálculo...
...demostró que la dieta óptima tenía un valor de $39.69!!!
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17. Aplicaciones prácticas
El problema de la dieta
Un problema de la dieta con 77 variables y 9 restricciones fue
resuelto “al tanteo” por Stigler en 1939:
Encontró una solución de costo $39.93
“Parece no haber un método matemático directo para encontrar el
mínimo de una función lineal sujeta a restricciones lineales”
En 1947 Laderman empleó el (recién creado) simplex para
encontrar la solución óptima:
Luego de 120 días-hombre de cálculo...
...demostró que la dieta óptima tenía un valor de $39.69!!!
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18. Aplicaciones prácticas
El problema de la dieta
Un problema de la dieta con 77 variables y 9 restricciones fue
resuelto “al tanteo” por Stigler en 1939:
Encontró una solución de costo $39.93
“Parece no haber un método matemático directo para encontrar el
mínimo de una función lineal sujeta a restricciones lineales”
En 1947 Laderman empleó el (recién creado) simplex para
encontrar la solución óptima:
Luego de 120 días-hombre de cálculo...
...demostró que la dieta óptima tenía un valor de $39.69!!!
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19. Aplicaciones prácticas
El problema del agente viajero (TSP)
Problema:
Dado un conjunto de ciudades, determinar la ruta más corta para
visitar exactamente una vez cada ciudad y retornar al punto de partida.
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20. Aplicaciones prácticas
El problema del agente viajero (TSP)
El TSP ha recibido siempre amplia atención mediática:
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21. Aplicaciones prácticas
El problema del agente viajero (TSP)
Algunos récords mundiales:
1954
1971
1975
1977
1980
1987
1987
1987
1994
1998
2001
2004
2006
Dantzig, Fulkerson & Johnson
Held & Karp
Camerini, Fratta & Maffioli
Grötschel
Crowder & Padberg
Padberg & Rinaldi
Grötschel & Holland
Padberg & Rinaldi
Applegate, Bixby, Chvátal & Cook
Applegate, Bixby, Chvátal & Cook
Applegate, Bixby, Chvátal & Cook
Applegate, Bixby, Chvátal, Cook, & Helsgaun
Applegate, Bixby, Chvátal, Cook, Espinoza, Goycoolea & Helsgaun
49
64
67
120
318
532
666
2,392
7,397
13,509
15,112
24,978
85,900
Fuente: http://www.tsp.gatech.edu/index.html
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22. Aplicaciones prácticas
El problema del agente viajero (TSP)
La “vuelta al mundo” de Martin Grötschel:
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23. Aplicaciones prácticas
El problema del agente viajero (TSP)
El TSP “geográfica” más grande es Sueco...
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24. Aplicaciones prácticas
El problema del agente viajero (TSP)
...pero el campeón es un circuito!!! (85.900 “ciudades”)
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25. Aplicaciones prácticas
El problema del agente viajero (TSP)
Idea:
Emplear variables de decisión binarias para indicar cuáles conexiones
entre las ciudades (“aristas”) son seleccionadas en la ruta (“tour”):
⇔
xij = 1
min
arista ij forma parte del tour
dij xij
i=j
s.a.r
xij = 2,
∀i ∈ V ,
j=i
xij ≥ 2,
∀W ⊂ V , |W | ≥ 3,
ij∈δ(W )
xij ∈ {0, 1}
Luis M. Torres
∀i, j ∈ V .
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26. Aplicaciones prácticas
El problema del agente viajero (TSP)
Idea:
Emplear variables de decisión binarias para indicar cuáles conexiones
entre las ciudades (“aristas”) son seleccionadas en la ruta (“tour”):
⇔
xij = 1
min
arista ij forma parte del tour
dij xij
i=j
s.a.r
xij = 2,
∀i ∈ V ,
j=i
xij ≥ 2,
∀W ⊂ V , |W | ≥ 3,
ij∈δ(W )
xij ∈ {0, 1}
Luis M. Torres
∀i, j ∈ V .
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27. Aplicaciones prácticas
Planificación de líneas de transporte
Sistema de Trolebús de Quito
250.000 pasajeros por día
corredor central (26 est., 113 un.) + alimentadoras (238 est., 89un.)
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28. Aplicaciones prácticas
Planificación de líneas de transporte
Un modelo de optimización:
min
(K x + c f )
m∈M ∈Lm
s.a.r.
κm f ≥ g a ,
m∈M
∀a ∈ A satisfacer demanda
∈Lm
a
f ≤ f max x
∀ ∈L
f ∈ Z+
∀ ∈L
x ∈ {0, 1}
∀ ∈L
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restr. acople
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29. Programas lineales
Outline
1
Aplicaciones prácticas
2
Programas lineales
3
Programas lineales enteros (mixtos)
4
¿Dónde estamos hoy?
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30. Programas lineales
Programas lineales
Definición
Un programa lineal es el problema de optimizar (maximizar o
minimizar) una función lineal de varias variables, cuyos valores
factibles (admisibles) están expresados por medio de restricciones
lineales (ecuaciones y desigualdades).
max c T x
s.r.
Ax ≤ b,
x ∈ Rn .
con A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c ∈ Rn .
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31. Programas lineales
Programas lineales
La región de factibilidad de un programa lineal es un poliedro (o
polítopo, si es acotada)
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32. Programas lineales
Programas lineales
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33. Programas lineales
Programas lineales
Luis M. Torres
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34. Programas lineales
Programas lineales
El método del simplex
Considerar el siguiente PL con 2 variables y 3 restricciones:
Añadiendo 3 nuevas variables, las restricciones pueden escribirse
como igualdades:
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35. Programas lineales
Programas lineales
De esta última formulación podemos construir el tableau del simplex
asignando el valor de 0 a x1 y x2 obtenemos una solución factible
x T = (0, 0, 1, 3, 2) cuyo valor es z = 0
esta solución se conoce como solución básica y la base
correspondiente es B0 = {3, 4, 5}
el simplex construye una secuencia de soluciones básicas de
valores ascedentes
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36. Programas lineales
Programas lineales
Para mejorar el valor de la solución actual, podemos incrementar x2
Realizamos la sustitución x2 ↔ x3 (pivotaje)
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37. Programas lineales
Programas lineales
Podemos mejorar aún más el valor de la solución actual
incrementando x1
Realizamos la sustitución x1 ↔ x5
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38. Programas lineales
Programas lineales
Incrementamos ahora el valor de x3
Realizamos la sustitución x3 ↔ x4
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39. Programas lineales
Programas lineales
Examinemos el último tableau:
la fila final nos dice que cualquier solución donde x5 o x4 sean
positivos, tendrá un valor menor a 5
pero nuestra solución tiene un valor de 5
hemos encontrado el óptimo!!!
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40. Programas lineales
Programas lineales
La secuencia de cambios de base corresponde a una secuencia de
desplazamientos entre los vértices del poliedro
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41. Programas lineales
Programas lineales
Aunque el método del simplex es eficiente para problemas
prácticos, su polinomialidad (“eficiencia teórica”) no ha sido
demostrada
En 1979, Khachiyan presentó el método del elipsoide de
complejidad computacional polinomial, pero de mal desempeño
práctico
A partir del trabajo de Karmarkar (1984) se introdujeron además
los métodos de punto anterior
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42. Programas lineales
Programas lineales
Para resolver PLs hoy en día existen disponibles solvers tanto
comerciales como de código abierto:
CPLEX
Gurobi
Xpress
CLP
SoPlex
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43. Programas lineales enteros (mixtos)
Outline
1
Aplicaciones prácticas
2
Programas lineales
3
Programas lineales enteros (mixtos)
4
¿Dónde estamos hoy?
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44. Programas lineales enteros (mixtos)
Programas lineales enteros
Definición
Un programa lineal entero es el problema de optimizar (maximizar o
minimizar) una función lineal de varias variables enteras, cuyos
valores factibles (admisibles) están expresados por medio de
restricciones lineales (ecuaciones y desigualdades).
max c T x
s.r.
Ax ≤ b,
x ∈ Zn .
con A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c ∈ Rn .
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45. Programas lineales enteros (mixtos)
Programas lineales enteros
Resolver un PE es muy difícil!!!
No se conoce un algoritmo similar al simplex para el caso general Se
emplean combinaciones de varias técnicas:
Heurísticas y meta-heurísticas
Métodos de Ramificación y Acotación (Branch-and-Bound)
Métodos de planos cortantes
Combinaciones (Branch-and-Bound-Cut)
...
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46. Programas lineales enteros (mixtos)
Programas lineales enteros
Para resolver PEs hoy en día existen disponibles solvers tanto
comerciales como de código abierto:
CPLEX
Gurobi
Xpress
CBC
SCIP
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47. Programas lineales enteros (mixtos)
Programas lineales enteros
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48. ¿Dónde estamos hoy?
Outline
1
Aplicaciones prácticas
2
Programas lineales
3
Programas lineales enteros (mixtos)
4
¿Dónde estamos hoy?
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49. ¿Dónde estamos hoy?
Situación actual
Hoy en día podemos...
resolver PLs con cientos de miles de variables y millones de
restricciones
a través de técnicas como la generación de columnas podemos
resolver PLs con números astronómicos de variables hasta la
optimalidad
para los programas enteros, la situación es más complicada y
depende mucho de la estructura de los mismos
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50. ¿Dónde estamos hoy?
Situación actual
Entre 1988-2000 (estudio de Robert Bixby)
la velocidad de cálculo del hardware se aceleró en 800x
los algoritmos se “aceleraron” en 2360x
Esto nos da un factor total de incremento de velocidad de
1’900.000x
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51. ¿Dónde estamos hoy?
Situación actual
Entre 1988-2000 (estudio de Robert Bixby)
la velocidad de cálculo del hardware se aceleró en 800x
los algoritmos se “aceleraron” en 2360x
Esto nos da un factor total de incremento de velocidad de
1’900.000x
Luis M. Torres
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52. ¿Dónde estamos hoy?
Situación actual
Entre 1988-2000 (estudio de Robert Bixby)
la velocidad de cálculo del hardware se aceleró en 800x
los algoritmos se “aceleraron” en 2360x
Esto nos da un factor total de incremento de velocidad de
1’900.000x
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53. ¿Dónde estamos hoy?
Situación actual
Entre 1988-2000 (estudio de Robert Bixby)
la velocidad de cálculo del hardware se aceleró en 800x
los algoritmos se “aceleraron” en 2360x
Esto nos da un factor total de incremento de velocidad de
1’900.000x
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54. ¿Dónde estamos hoy?
Gracias por su atención!!!
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