El documento presenta un análisis de problemas de programación lineal entera, donde se establecen modelos matemáticos para maximizar la construcción de departamentos con restricciones de presupuesto y proporción. Se describen casos prácticos en inversiones de capital de riesgo y selección de proyectos considerando restricciones de riesgo y presupuesto. Los ejemplos incluyen la formulación de funciones objetivo y restricciones para distintos escenarios de inversión.

1. PROGRAMACION LINEAL ENTERA
Un modelo matemático que tiene una función
objetivo lineal y restricciones lineales pero que
requiere de algunas (o todas) variables estén
restringidas a tener valores enteros.
Cuando se usa el LINDO en la solución de este
tipo de problemas, suele presentarse en algunos
casos valores de variables en decimales, por lo
cual la forma mas simple de obtener una
solución óptima entera es redondear los valores
en la solución de PL óptima hacia arriba o hacia
abajo. Hacer esto no siempre es garantía de una
solución óptima.

2. PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL ENTERA
La Cia. ALFA ha obtenido del gobierno central una
subvención de $5 millones para desarrollar edificios de
departamentos para personas de ingresos bajos y
medianos en una extensión de 180,000 pies cuadrados de
terreno. Cada tipo de edificio requiere 20,000 pies
cuadrados. El costo estimado de cada edificio de bajos
ingresos es de $300,000, y el costo estimado de cada
edificio de ingresos medianos es de $600,000. Cada
edificio de bajos ingresos proporciona 15 unidades, y
cada edificio de medianos ingresos proporciona 12
unidades. Para mantener el vecindario bien balanceado,
el gobierno requiere que la proporción de los
departamentos de ingresos medianos con los de ingresos
bajos sea de al menos 0.80.
El Director de ALFA desea determinar el mayor número
de departamentos individuales que pueden construirse
en el terreno disponible con el presupuesto dado.

3. La formulación matematica del problema de PLE para
ALFA sería:
X1: Nº de edificios de dptos. de ingresos bajos a
construirse.
X2: Nº de edificios de dptos. de ingresos medianos a
construirse.
Max (Z) = 15 X1 + 12 X2
s.a.
3 X1 + 6X2 ≤ 50 (presupuesto)
20X1 + 20X2 ≤ 180 (terreno)
12X2 /15X1 ≥ 0.80 (proporción)
X1, X2 ≥0

4. Utilizando el LINDO, tendriamos:
Max 15X1 + 12X2
st
3X1 + 6X2 < 50
20X1 + 20X2 < 180
-X1 + X2 > 0
End
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 121.5000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 4.500000 0.000000
X2 4.500000 0.000000

5. Utilizando el DSWIN, para Programación Lineal,
tendriamos
X1 X2 RHS Dual
Maximize 15 12
Constraint 1 3 6 <= 50 0
Constraint 2 20 20 <= 180 0.675
Constraint 3 -1 1 >= 0 -1.5
Solution-> 4.5 4.5 $121.5

6. Utilizando el DSWIN, para Programación Lineal
Entera, tendriamos
X1 X2 RHS
Maximize 15 12
Constraint 1 3 6 <= 50
Constraint 2 20 20 <= 180
Constraint 3 -1 1 >= 0
Solution-> 4 5 Optimal Z-> $120.

7. CASO 1: ADMINISTRACION DE CARTERA
Los socios generales de Gamma Tech, una compañía
de inversión de capital de riesgo están considerando
invertir en una o más propuestas que han recibido de
varios negocios empresariales. El departamento de
investigación ha examinado cada propuesta, y cuatro de
los empresarios cumplen con el requerimiento de
Gamma Tech de lograr un rendimiento lo
suficientemente alto para el riesgo asociado. Estas
compañías son: Bio Tech, Tele Comm, Laser-Optics y
Compu-Ware. El departamento de investigación de
Gamma Tech también ha estimado el rendimiento total
de estos negocios en dólares actuales, dado en la última
columna de la tabla siguiente:
PROYECTOS AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 AÑO 4 DEVOLUCION
Bio Tech 60 10 10 10 250
Tele Comm 35 35 35 35 375
Laser-Optics 10 50 50 10 275
Compu-Ware 15 10 10 40 140
Fondos para
inversión
90 80 80 50

8. Cada uno de los cuatro proyectos requiere inversiones
de una cantidad conocida al principio de cada uno de los
siguientes cuatro años, como se muestra en la tabla. El
departamento de contabilidad de Gamma Tech ha
preparado una estimación de los fondos totales que
Gamma Tech tiene para invertir a principios de cada uno
de los siguientes cuatro años, que se da en la ultima fila
de la tabla. Observe que los fondos no usados de
cualquier año no están disponibles para su inversión en
los años posteriores.
Cada uno de los socios generales de Gamma Tech, se
le ha pedido hacer recomendaciones respecto a cuales
de estos proyectos elegir, si acaso, para invertir y lograr
él mas alto rendimiento total en dólares actuales. Ud. y
los otros socios han acordado que Gamma Tech, en un
esfuerzo por diversificarse, no invertirá conjuntamente
en Tele-Comm y Laser-Optics, que están desarrollando
el mismo tipo de tecnología.

9. Variables de decisión:
Pregúntese que puede controlar libremente en este problema y se
dará cuenta de que puede elegir aceptar o rechazar cada una de
las cuatro propuestas. Debe reconocer que estas decisiones
implican una decisión “si” ó “no”. Parece razonable entonces crear
una variable entera para cada proyecto de la siguiente manera
1 si Gamma debe invertir en el Proyecto j (j=1,4)
X j
=
0 si Gamma no debe invertir en el Proyecto j
El PL seria:
Max (z)= 250X1
+ 375 X2
+ 275 X3
+ 140 X4
60X1
+ 35X2
+ 10X3
+ 15X4
≤ 90 (año 1)
10X1
+ 35X2
+50 X3
+10 X4
≤ 80 (año 2)
10X1
+ 35X2
+ 50X3
+10 X4
≤ 80 (año 3)
10X1
+35 X2
+10 X3
+40 X4
≤ 50 (año 4)
X2
+ X3
≤ 1
X1
, X2
, X3
, X4
= 0 ó 1

10. Caso 2: Problema de riesgo
La Gerencia de Beta, esta considerando invertir en 6 proyectos,
cada uno requiere una cierta cantidad de capital inicial. Estos daos,
junto con el factor de riesgo asociado (entre 0 y 1) y la recuperación
anual esperada, se presentan en la siguiente tabla:
Los socios de la empresa han acordado que el riesgo total, obtenido
al sumar los factores de riesgo de cada proyecto emprendido, no
debe exceder a 3. También, cuando mucho dos proyectos pueden
tener un factor de riesgo mayor a 6. . El siguiente problema de PLE
fue desarrollado para determinar en que proyectos se debe invertir
con un presupuesto de un millón de dólares para lograr la mayor
recuperación anual esperada:
PROYECTO CAPITAL RIESGO DEVOLUCION
P1 100,000 0.50 0.20
P2 200,000 0.40 0.15
P3 170,000 0.70 0.30
P4 250,000 0.65 0.25
P5 400,000 0.42 0.17
P6 250,000 0.75 0.40

11. Max
20,000P1+30,000P2+51,000P3+62,500P4+68,000P
5
+100,000P6
s.a.
0.5P1+0.4P2+0.7P3+0.65P4+0.42P5+0.75P6 ≤ 3 (Riesgo)
P3+P4+P6 ≤ 2 (Riesgo máximo)
100P1+200P2+170P3+250P4+400P5+250P6 ≤ 1000
(Presupuesto)
Todas la variables deben ser 0 ó 1.
a) ¿En que proyectos debe invertir BETA?. ¿Cuál es la
recuperación anual esperada al hacerlo?.
b) ¿cuál es el riesgo total asociado con dicha inversión?
c) ¿Qué tanto del presupuesto disponible no se invierte?