1) El documento trata sobre la historia del concepto de infinito en matemáticas, desde los griegos hasta el siglo XX. 2) Introduce las paradojas de Zenón y los primeros trabajos de Euclides y Galileo sobre conjuntos infinitos. 3) Explica las contribuciones fundamentales de Bolzano, Cantor, Hilbert, Gödel y Turing para establecer una base rigurosa para la teoría de conjuntos y la lógica matemática.

1. NÚMEROS
Ms. Ana María Teresa Lucca
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
matematicaconhistoria.jimdo.com

2. EL PROBLEMA
DEL INFINITO

3. Segunda mitad del Siglo XIX
Acepto los
conjuntos
infinitos.

4. Afirmaciones verdaderas suenan como falsas
Afirmaciones falsas suenan como verdaderas
Aplicadas al infinito…

5. Tratamiento riguroso del infinito

6. Zenón de Elea (490 a.C. – 435 a.C.)

7. Toda la realidad es manifestación de un solo ser.
Zenón pensaba…
eterno – inmutable
El cambio es imposible.

8. • Usan algún aspecto del infinito para llegar a una
conclusión que contradice nuestra visión de la
realidad.
Paradojas de Zenón

9. • Pretende demostrar la no existencia del movimiento.
Dicotomía

10. Puesto que toma un instante pasar cada uno de estos puntos,
y puesto que hay un número infinito de puntos,
correr la carrera debe llevar un tiempo infinitamente largo.
La única conclusión posible es que…
el movimiento es imposible.
Conclusión de Zenón

11. • ¿Qué quiere decir un número infinito?
• ¿Cómo podemos distinguir
los conjuntos infinitos
de los grandes pero finitos?

12. • Libro IXEuclides de Alejandría
(325 a.C. – 265 a.C.)
Elementos
Existen infinitos
números primos.

13. • Un número primo es un número que es
divisible solamente por sí mismo y por
1.
• Cada número compuesto es divisible
por al menos otro número además de sí
mismo y 1.
• Nadie ha encontrado jamás una
fórmula que permita listar todos
los números primos.
Hechos importantes

14. • Euclides comienza suponiendo
que el conjunto de todos los
números primos contiene
sólo un número finito de
números primos.
Hay infinitos números primos.

15. • No nos dice prácticamente nada sobre los conjuntos
infinitos.
• Todo lo que se necesita saber acerca de los conjuntos
infinitos es que no son finitos.
• Es un buen ejemplo de lo que los griegos entendían
acerca de los conjuntos infinitos.
Para remarcar…

16. • El matemático asume algo que es falso y a continuación muestra
que la suposición conduce necesariamente a una conclusión falsa.
• Si la lógica entre el supuesto y la conclusión no tiene errores,
entonces la única explicación es que el supuesto hecho al
principio de la prueba es falso.
• Debido a que la hipótesis es falsa se puede concluir con seguridad
que lo contrario de la suposición debe ser verdadero.
Demostración por contradicción

17. ¿Cómo se las
arreglaron para
hacer matemática
sin la idea de
conjunto infinito?
Matemática griega

18. Siempre hay tantos
números como
necesitamos.

19. conjuntos infinitos procesos infinitos

20. Proceso infinito
• Es un procedimiento que consiste en una serie de pasos.
• Podemos repetir el proceso tantas veces como queramos.
• No hay un límite teórico, aparte de la finitud de la vida,
para repetir el procedimiento cualquier número de veces.

21. • Método de agotamiento
o exhaución
Eudoxo de Cnido
(408 a.C. – 355 a.C.)
Ejemplo

22. • los matemáticos islámicos
• los matemáticos europeos
hasta principios del siglo XIX
Esta preferencia griega se extendió a…

23. Galileo y Bolzano

24. Galileo Galilei
(1563 – 1642)

25. • Sus observaciones
astronómicas de la Luna, Venus
y Júpiter
• Desacreditar la idea de su
tiempo:
La Tierra como centro
del universo.
Lo recordamos por…

26. Diálogos acerca de dos nuevas ciencias
Naturaleza de los
conjuntos infinitos

27. Salvati Sagredo
Simplicio

28. Salvati quiere demostrar a sus amigos
que hay tantos cuadrados perfectos
como números naturales.
Objetivo de la conversación…

29. Salvati quiere demostrar a sus amigos
que hay tantos cuadrados perfectos
como números naturales.
Objetivo de la conversación…
Números cuya raíz cuadrada
es un número natural.

30. Todos los cuadrados perfectos
son ellos mismos números
naturales, pero…
muchos números naturales
no son cuadrados perfectos.
Notemos que…

31. El conjunto de todos
los cuadrados perfectos
es un subconjunto propio
del conjunto de
los números naturales.
Matemáticamente…

32. Si eliminamos el conjunto de números
que no son cuadrados perfectos del
conjunto de los números naturales, el
conjunto de los números restantes es del
mismo tamaño que el conjunto original.
A veces todo el conjunto
no es mayor que una parte.
Pero Galileo dice…

33. • Galileo hace una lista numerada…
Demostración
Lugar 1 2 3 4 …
Cuadrado perfecto 1 4 9 16 …
En la 𝒏-ésima posición estará 𝒏 𝟐.

34. Podemos emparejar un subconjunto con
el conjunto padre de tal manera que cada elemento
en el conjunto padre esté en pareja con
un único elemento en el subconjunto
y ningún miembro de ninguno de los conjuntos sobre.
Para conjuntos infinitos
Números naturales
Cuadrados perfectos

35. Dado cualquier conjunto infinito,
podemos siempre eliminar
cualquier colección finita de elementos
sin cambiar el tamaño del conjunto original.

36. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …
11, 12, 13, 14, 15, …
En la 𝒏-ésima posición estará 𝒏 + 𝟏𝟎.

37. A veces es posible eliminar
un número infinito de elementos
de un conjunto infinito
sin cambiar el tamaño del conjunto.

38. La propiedad
“el todo puede ser igual a
la parte” es cierta
sólo para
conjuntos infinitos.

39. reconoce la importancia de establecer
una correspondencia uno a uno entre
un conjunto cuyas propiedades
más o menos están entendidas y un conjunto
con cuyas propiedades estamos menos familiarizados.
Además Galileo…

40. Si un subconjunto propio de un
conjunto infinito es del mismo
tamaño que el conjunto del que se
extrae, entonces las ideas de
"mayor que", "igual" y "menor que"
no tienen lugar en una discusión
de lo infinito.
Galileo concluye…

41. Bernhard Bolzano
(1781 – 1848)

42. Como Galileo A diferencia de Galileo
estaba fascinado por el hecho
de que un conjunto se puede
poner en correspondencia
uno a uno con subconjuntos
propios de sí mismo.
estaba interesado en lo que
llamamos el conjunto de los
números reales.
Bolzano…

43. 𝟎 𝟏
𝟐
𝟏, 𝟐
Aunque el segmento que
contiene las coordenadas
𝒚 es dos veces mayor que
el segmento que contiene
las coordenadas 𝒙,
hay tantos puntos en el
segmento más corto como
hay en el más largo.

44. Existe una correspondencia uno a uno entre
el conjunto de puntos en el intervalo
de puntos finales 0 y 1
y el intervalo con extremos 0 y 𝑛,
en el que tomamos a 𝑛 como
cualquier número natural mayor que 0.
En general…

45. 𝑦 = 𝑥 − 1/2 / 𝑥 − 𝑥2
Aquí tenemos una
correspondencia uno a uno
entre el conjunto de los
números reales entre 0 y 1
(exclusivo) y todo el eje 𝒚.

46. Debemos a Bolzano
Una colección de objetos cuya definición
no depende del orden en el que
aparecen sus elementos.

47. Cantor
La lógica del infinito

48. “En matemática
el arte de hacer preguntas
es más valioso
que la resolución de problemas”
Georg Cantor
(1845-1918)

49. CANTOR DEDEKIND
infinito

50. • Identificar ese aspecto que
cada conjunto infinito comparte,
y ese que distingue todos los
conjuntos infinitos de
todos los finitos.
1° objetivo de Cantor

51. "El todo es mayor
que la parte"
Decisión audaz
Euclides

52. • lo que sirve para distinguir todos los conjuntos
infinitos de todos los finitos es
"Hay partes que son iguales a la totalidad"
Es que…

53. Los conjuntos infinitos son aquellos conjuntos
que tienen subconjuntos propios
que son del mismo tamaño
que el conjunto padre.
Cantor define…

54. Un conjunto es infinito siempre que
pueda ser puesto en correspondencia uno a uno
con un subconjunto propio de sí mismo.
Más formalmente…

55. Dos conjuntos, infinitos o no,
tienen el mismo tamaño siempre que
sus elementos se puedan poner
en correspondencia uno a uno.
Además…

56. El conjunto de los números racionales tiene el mismo
tamaño que el conjunto de los números naturales.
Cantor descubrió que…
cardinalidad

57. 𝒂
𝒃
⇝ (𝒂, 𝒃)
mínima expresión
enteros positivos

58. 1 2 3 4
4
3
2
1
5
(1, 1)
(2, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(𝟐, 𝟐)
(3, 1)
(4, 1)
(3, 2)
⋮

59. El conjunto de los números racionales tiene el mismo
tamaño que el conjunto de los números naturales.
Cantor descubrió que…
cardinalidad

60. Galileo estaba equivocado
"mayor" y "menor"
no son aplicables
a conjuntos
infinitos

61. El conjunto de los números reales
es un conjunto más grande
que el conjunto de los números naturales.
Cantor demuestra que…

62. Los números transfinitos son números
que representan el tamaño
de los conjuntos infinitos.
Números transfinitos

63. • Los números naturales, el conjunto de los cuadrados
perfectos, el conjunto de los números racionales y el
conjunto de los números algebraicos son todos
ejemplos del número transfinito que Cantor llama ℵ0
(aleph cero).
ℵ0

64. Un conjunto potencia de un conjunto 𝑆
es el conjunto de todos los subconjuntos de 𝑆.
Conjunto potencia

65. 𝑺 = 𝒂, 𝒃
𝒂
𝒃
{ 𝒂, 𝒃 , 𝒂 , 𝒃 , ∅ }
Conjunto potencia

66. El conjunto potencia
de cualquier conjunto
no vacío es más grande
que el propio conjunto.

67. • El conjunto de todos los números reales y el conjunto
potencia de los números racionales son todos ejemplos
del número transfinito que Cantor llama ℵ 𝟏 (aleph 1).
ℵ 𝟏

68. Simplemente tomando el conjunto potencia
de un conjunto que es un ejemplo de ℵ1,
Cantor es capaz de obtener un ejemplo de ℵ2,
y así sucesivamente.
Pequeña fábrica!!!

69. ℵ 𝟎, ℵ 𝟏, ℵ 𝟐, ℵ 𝟑, …
Extensión del sistema numérico

70. • ¿Hay otros números transfinitos
además de estos?
• ¿Existe un número transfinito
que sea estrictamente mayor
que ℵ0 y estrictamente menor
que ℵ1?
Cuestiones pendientes!!!
Hipótesis del continuo

71. Expresar
toda la matemática
en el lenguaje de
conjuntos.
Nueva esperanza…

72. Bertrand Russell
(1872-1970)

73. • enumeramos los elementos del mismo.
• indicamos una condición que nos permita comprobar
si un objeto dado es un miembro del conjunto o no.
Para definir un conjunto…

74. • La definición de un conjunto
a través de una simple
condición de membresía
puede dar lugar a
contradicciones lógicas.

75. • Sea 𝑈 el conjunto formado por todos los conjuntos que
no son miembros de sí mismos.
¿Es 𝑈 un miembro de sí mismo?
𝑼 no es un miembro de sí mismo
𝑼 es un miembro de sí mismo

76. • Sea 𝑈 el conjunto formado por todos los conjuntos que
no son miembros de sí mismos.
¿Es 𝑈 un miembro de sí mismo?
𝑼 es un miembro de sí mismo
𝑼 no es un miembro de sí mismo

77. Un enfoque para ubicar la teoría de conjuntos
en una base matemática firme era expresar
las ideas básicas de la teoría como
un conjunto de axiomas escogidos de tal manera
de descartar la existencia de conjuntos muy grandes.

78. Ernest Zermelo
(1871-1953)

79. • Conjunto de siete axiomas, de los que era posible
deducir todos los principales resultados de la
teoría de conjuntos de Cantor.
Solución de Zermelo

80. Establece que dada cualquier colección de conjuntos
disjuntos no vacíos, es posible crear un nuevo conjunto
que comparte exactamente un elemento en común con
cada uno de los conjuntos en la colección original.
Axioma de elección

81. adoptar el
axioma de elección
y aceptar una nueva clase de
matemática, una matemática
que consistía de ideas y
soluciones que eran
ocasionalmente no
constructivas
abandonar nuevas y útiles
ideas matemáticas
porque esas ideas
estaban basadas en
procedimientos
no constructivos
Opciones…

82. Legado de Cantor

83. David Hilbert (1862-1943)
Fundamentos de la matemática

84. • Dar un conjunto de 21 axiomas que proporcionan una
base completa y lógica para la geometría euclidiana, la
más antigua de todas las geometrías.
Éxito de Hilbert

85. Hilbert quería hacer
por todo el campo de la matemática
lo que había hecho por la geometría euclidiana.
Objetivo mayor

86. • mirar dentro de la
matemática para
descubrir la forma
en que trabaja.
Objetivo de Hilbert

87. Si los teoremas son consecuencias
directas y lógicas
de los axiomas.
Único interés…

88. • completo si, dada una afirmación en el sistema
matemático descrito por los axiomas, la afirmación
puede ser siempre demostrada como verdadera o falsa.
• consistente siempre que toda afirmación que es una
consecuencia de los axiomas es verdadera o falsa,
pero no verdadera y falsa.
Un conjunto de axiomas es…

89. • Comenzando a partir de primeros principios,
esperaba derivar la matemática de una
secuencia de pasos lógicos
cuidadosamente ordenados.
Objetivo de Russell
Henry North Whitehead

90. Kurt Gödel
(1906-1978)

91. Descubrió que ciertas cosas no son posibles.
ARITMÉTICA
Dentro de cualquier sistema matemático
existen afirmaciones que no pueden ser
ya sea probadas o refutadas
Teoremas de Incompletitud de Gödel

92. El resultado de Gödel
garantiza la existencia
de afirmaciones que son
para siempre
imposibles de demostrar.

93. Alan Turing
(1912-1954)
Modelo teórico
de ordenador

94. • Memoria ilimitada
• Ningún límite en la cantidad de tiempo que podía
dedicar a un cómputo particular
• Completamente fiable: sin errores – sin roturas
Máquina de Turing

95. • Para Turing una computadora es un dispositivo que
calcula… pero entonces
¿cuáles son sus límites?
problema de la parada

96. A B
calcular la respuesta
a algún problema
problema
dado a A
información
acerca de A
¿A resuelve
el problema, o
entra en un
ciclo sin fin?
Turing descubre que la máquina B
no puede determinar si se detendrá
o no la máquina A.

97. La búsqueda de un marco conceptual
que permita al usuario distinguir lo
matemáticamente verdadero
de lo matemáticamente falso,
sin dejar ninguna ambigüedad,
ha llegado a un callejón sin salida.