El documento describe una conversación entre Mati y los hermanos Sal y Ven sobre la distancia Manhattan y los polígonos de dos lados que pueden formarse utilizando esta métrica. Mati explica que la distancia Manhattan mide la longitud del camino más corto entre dos puntos formado por segmentos horizontales y verticales en una cuadrícula, como el plano de Manhattan. Esto permite formar polígonos de solo dos lados, llamados "biláteros", uniendo puntos con segmentos distintos de la misma longitud en la cuadrícula. Mati plantea a los niños

1. ¿Polígonos de solo 2 lados?
–Vaya caras de susto que has puesto, Ven –dijo Sal en tono de burla.
–¿Yo? ¿Yo? –replicó el epequeño –. No he tenido miedo en ningún momento,
campeón.
–Anda que no –respondió el gafotas con sorna.
–Te repito que no, Sal –insistió Ven –No me ha dado nada de miedo, ¿cómo
puede dar miedo una en blanco y negro?
–Huy –Mati acababa de llegar –, será que no has visto Nosferatu…
–Hola, Mati –la saludó el mayor –. Hemos visto King Kong y Ven tenía una cara
de susto…
–Nonononono, Sal –se quejó Ven –… Eres un pesado, gafotas.

2. –Yo también me asusté con King Kong –interrumpió Mati tratando de desviar la
atención –, pero es una película muy tierna y, sobre todo, me gusta mucho porque
se ve Manhattan…
–Eso es verdad –la apoyó Sal en el discurso que se había dado cuenta de que se
había pasado molestando a su hermanito –¿Te acuerdas de cuando fuimos a
Manhattan a ver el Momath, Ven?
–Sí –contestó el pequeño aún muy serio.
–Qué suerte tienen los niños de Manhattan de tener un museo de mates tan
molón, ¿verdad, Ven? –preguntó Sal de nuevo.
–Ajá –respondió Ven sin mirar a su hermano.
–Me encantaría ir otra vez a Nueva York –suspiró el gafotas –. A ti también, Ven,
¿verdad?
–Puede –dijo el pequeño mirando por el rabillo del ojo a Sal.
–Pues además de un museo de mates molón –intervino Mati –, Manhattan tiene
una distancia propia.
–¿¿Una distancia propia?? –preguntó Sal mientras sus gafitas resbalaban por su
nariz. Ven seguía serio pero ya había girado la vista hacia la pelirroja, Gauss
resopló con alivio porque sabía que Mati los iba a tener entretenidos un rato.
–Sí –confirmó ella –, la distancia Manhattan.
–¿Qué es la distancia Manhattan? –quiso saber Sal.
–Ya lo contamos un día que vosotros habíais salido a jugar –contestó Mati –, pero
os la explico en un momento. Habitualmente, cuando queremos saber la distancia
entre 2 puntos, lo que hacemos es medir con una regla, un metro… el segmento
que los une, ¿no?

3. –Toma, claro –dijo Ven – ¿Cómo lo vas a hacer si no?
–De muchas otras formas –dijo Mati –, pero digamos que la más usual es esa, y en
ese caso lo que estamos haciendo es calcular o medir la distancia euclídea. Pero
hay otras formas de medir distancias, y la distancia Manhattan es solo una de
ellas.
–¿Cómo mide la distancia entre 2 puntos la distancia Manhattan? –preguntó el
gafotas.
–Caminando por una cuadrícula, como es, aproximadamente, el plano de
Manhattan –respondió Mati –. La distancia entre 2 puntos es la longitud del camino
más corto formado por segmentos horizontales y verticales, que una a los dos
puntos. Y hay muchos caminos con esta propiedad.

4. –Pero, Mati –preguntó el pequeño –, si tomas distintos caminos, la distancia puede
variar…
–No –dijo ella –, todos los caminos que podáis pintar sobre un papel cuadriculado
uniendo 2 puntos, tienen la misma longitud. Fíjate en nuestro dibujo anterior, todos
miden 19.
–Cómo mola… –dijo Ven.
–Pero, ¿para qué sirve medir así, Mati? –preguntó Sal –Todo el mundo sabe que
la distancia más corta entre 2 puntos es la línea recta.
–Sí, pero ¿qué pasa si la línea recta que une a 2 puntos en una ciudad atraviesa
varios edificios? –preguntó ella –La distancia Manhattan es más real a la hora,
por ejemplo, de diseñar rutas en ciudades.
–Es verdad… –dijo Ven con la boca abierta.
–Y además –continuó Mati –como ofrece distintas rutas, podemos escoger la que
tenga menos semáforos, la que pase cerca de la casa de la chica que os gusta…
–¡Mola! –gritó Sal ruborizándose inmediatamente.
–Pero –continuó Mati –, con la distancia Manhattan pasan otras cosas muy
curiosas, ¿queréis que os cuente alguna?
–¡¡Sí!! –respondieron los niños al unísono.

5. –A ver –comenzó Mati –¿cuáles son los polígonos con menos lados que podemos
dibujar?
Los niños se quedaron un rato pensando hasta que Sal dijo:
–Los triángulos, con menos de 3 lados no se puede encerrar una región, ¿no?
–Eso es –confirmó ella –. Pues con la distancia Manhattan se pueden dibujar
polígonos de solo dos lados, los llamaremos… no sé… biláteros.
–Pero, vamos a ver, Mati –gritó Ven –, ¡eso es imposible!
–No, no lo es –contestó ella –. El truco está en que entre dos puntos, con la
distancia Manhattan, hay infinitos segmentos distintos, si llamamos segmentos a
los caminos de longitud mínima que unen los dos puntos. Por lo tanto, si tenemos
2 puntos y elegimos dos segmentos de la distancia Manhattan distintos que los
unan, tenemos un polígono de 2 lados, que encierra un área.
–Cómo mola… –el pequeño no podía cerrar la boca que se le había desencajado.
–Yo no veo que haya infinitos caminos de la misma longitud –dijo el gafotas.

6. –Pues sí –respondió la pelirroja –, porque puedes cambiar la cuadrícula al tamaño
que quieras…
–Ah, vale –aceptó el gafotas.
–Pero además –continuó Mati –, pueden existir biláteros con los mismos vértices
con los lados con la misma longitud y totalmente diferentes…
–Sí, hombre… –dudó el pequeño.
–Mira el siguiente dibujo –le pidió Mati –A la izquierda tenemos un bilátero de lado
2, es la única forma de dibujar un bilátero con esa longitud de lado entre dos
puntos. Pero después, tenemos dos biláteros de lado de longitud 8, absolutamente
diferentes.
–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven.
–¿Cuántos biláteros distintos de lado 8 se pueden dibujar? –preguntó Sal.
–Mira –dijo Mati –, esa es una buena pregunta, a ver si la respondéis. Podéis
empezar por calcular cuántos biláteros distintos hay de lado 4, luego de lado 5…
Los niños dejaron de escuchar a Mati y se pusieron a dibujar biláteros en un papel
cuadriculado.
Y tú, ¿te atreves a contarlos? Puedes dejar tu respuesta en los comentarios