Presentación de clases de álgebra lineal

1. ÁLGEBRA LINEAL

3. Muchos de los problemas de álgebra lineal son equivalentes al estudio
de un “Sistema de Ecuaciones Lineales”, por lo tanto, nuestro objetivo
será la de investigar y estudiar cómo se halla la solución de dichas
ecuaciones.

4. Todas nuestras ecuaciones involucrarán números específicos denominados constantes
o escalares que pertenecen al cuerpo de los números reales “R”. Las soluciones de
nuestras ecuaciones también involucrarán n – plas Ū = (k1, k2,-----------kn ) de números
reales llamadas vectores.
El conjunto de tales n – plas se
designa por “Rn” y constituye o
forma lo que se conoce con el
nombre de “Espacio Real de n
Dimensiones”.

5. También las ecuaciones pueden involucrar números complejos de la
forma a + bi, cuyo cuerpo se designa por “C”.

7. Una ecuación lineal con incógnitas x1, x2, --------, xn, en la forma convencional se
representa como:
a1x1 + a2x2 + ---------+ anxn = b -------- (1)
Donde a1, a2, ----------, an y b son constantes. La constante ak se denomina coeficiente de
xk y b la constante de la ecuación.
Una solución de la ecuación (1) es un conjunto de valores de las incógnitas, digamos
x1 = k1, x2 = k2, ----------, xn = kn , o simplemente una n – pla Ū = ( k1, k2, -----------, kn )
de constantes, con la propiedad de que:
a1k1 + a2k2 + ---------+ ankn = b
Se dice entonces que este conjunto de valores satisface la ecuación. Al conjunto de todas
las soluciones se llama Conjunto Solución o Solución General de la ecuación.

8. EJEMPLO
a)La ecuación 𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟑𝒙𝒛 = 𝟒 no es lineal porque el producto de las
incógnitas “x” y “z” es de 2º grado.
b)La ecuación x + 2y – 4z + t = 3 es lineal en las cuatro incógnitas, x, y, z, t.
La 4 - pla 𝑈 = (3;2;1;0) es una solución de la ecuación porque
3+2(2) – 4(1) + 0 = 3 o 3 = 3 , es decir satisface la ecuación.
Sin embargo la 4 – pla 𝑉= (1;2;4;5) no es una solución de la ecuación
porque 1 + 2(2) – 4(4) + 5 = 3 o -6 = 3, no es cierto, es decir no
satisface la ecuación.

9. Tiene la siguiente forma ax = b
1) Si a ≠ 0, x = b/a es una solución única de ax = b
2) Si a = 0, pero b ≠ o ; ax = b no tiene solución
3) Si a = 0 y b = 0, todo escalar K es solución de ax = b

10. EJEMPLOS
1) 4x – 1 = x + 6
4x – x = 6 + 1
3x = 7
Se tiene la forma ax = b; a = 3; b = 7; por lo tanto 7/3 es
solución única de la ecuación.

11. 2) 2x – 5 – x = x + 3
Agrupamos los términos que tienen incógnitas en el primer miembro
y los que no tienen en el 2º miembro, para poner bajo la forma ax = b
2x – x – x = 3 + 5
2x – 2x = 8
0x = 8 → la ecuación no tiene solución

12. 3) 4 + x – 3 = 2x + 1 – x
x + 1 = x + 1
x – x = 1 -1
0x = 0 → Todo escalar K es una solución

13. Una ecuación lineal se dice degenerada si tiene la forma:
0x1 + 0x2 +----------+ 0xn = b
Es decir, los ak = 0 de los xk . La solución de tal ecuación se halla como sigue:
1) Si b ≠ 0 la ecuación no tiene solución porque siendo:
𝒖 = (k1; k2; -----------; kn ); un vector cualquiera que sustituyendo en la ecuación tenemos:
0k1 + 0k2 +----------+ 0kn = b, o bien 0 = b → No es una expresión cierta porque b ≠ 0 y por lo tanto
ningún vector 𝒖 es solución.
2) Si b = 0; sustituyendo 𝑢 en la ecuación tenemos:
0k1 + 0k2 +----------+ 0kn = 0, o 0 = 0, que es una expresión cierta, por lo tanto, todo vector 𝒖 en Rn
es una solución de la ecuación.

14. EJEMPLO
Describir la solución de: 4y – x – 3y + 3 = 2 + x – 2x + y + 1
Primero agrupamos términos y trasponiendo para tener en la forma
y – x + 3 = y – x + 3
y – y – x + x = 3 – 3, o bien 0x + 0y = 0
Luego la ecuación es degenerada con constante nula, por lo tanto, todo vector 𝑢 =
(a; b) en R2 es una solución de la ecuación.

15. Sea la ecuación lineal no degenerada:
a1x1 + a2x2 + ---------+ anxn = b
Por primera incógnita se entiende, la primera incógnita con coeficiente
no nulo.
Su posición p en la ecuación es entonces el menor valor entero de j para el
cual aj ≠ 0.
En otras palabras, xp es la primera incógnita si aj = 0 para j<p, pero ap ≠ 0.

16. EJEMPLO
Consideremos la ecuación lineal:
5y – 2z = 3
aquí y es la primera incógnita. Si las incógnitas fueran x, y, z; entonces p = 2
sería su posición, porque la ecuación tendría la forma:
0x + 5y – 2z = 3
a1x + a2 y + a3z = b
Pero si y y z son las únicas incógnitas, entonces p = 1, porque la ecuación tendrá la
forma:
5 y – 2z = 3
a1 y + a2 z = b

17. a1x1 + a2x2 + ---------+ anxn = b
con primera incógnita xp , cualquier conjunto de valores de las incógnitas xj con j ≠ p,
dará una única solución de la ecuación.
Las incógnitas xj se llaman “Variables Libres”, porque se les puede asignar cualquier
valor y al conjunto de todas las soluciones se les llama “Solución General” de la
ecuación.
Consideremos nuevamente la ecuación lineal no degenerada:

18. Hallar dos soluciones particulares de la ecuación 2x – 4y + z = 8, y luego su
Solución General
EJEMPLO
En la ecuación “x” es la primera incógnita, por lo tanto “y” y “z” son las variables
libres a las que se les puede asignar valores arbitrarios cualquiera y despejar “x” para
obtener una solución. Por ejemplo:
1) Tomemos y = 1 y Z = 1, la sustitución en la ecuación proporciona: 2x – 4(1) + 1 = 8
→ x =
𝟏𝟏
𝟐
, entonces 𝒖𝟏 = (11/2; 1; 1), es una solución.

19. 2) Tomemos y = 0 y Z = 1, la sustitución en la ecuación proporciona: x =
𝟕
𝟐
, entonces
𝒖𝟐 = (7/2; 0; 1), es una solución.
La solución general de la ecuación se obtiene asignando valores arbitrarios
llamados “parámetros” a las variables libres, digamos y = a y z = b y que sustituido
en la ecuación proporciona:
x = 4 + 2a – b/2
Entonces 𝒖 = (4 + 2a – b/2; a; b) es la solución general de la ecuación.