VBA Y SAP2000.pdf

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS
ESTRUCTURAL
Guía de Clases
Profesor Francisco D’Amico D’Agosto
DEPARTAMENTO DE PROGRAMACIÓN Y TECNOLOGÍA EDUCATIVA
UNIVERSIDAD METROPOLITANA
Revisión Septiembre 2003

DERECHO DE AUTOR Y MARCAS
REGISTRADAS
El libro “Guía de Clases” ha sido elaborado como bibliografía de
apoyo para el curso de Programación BPPR02 que se dicta en la
Universidad Metropolitana dentro del flujograma de componentes
obligatorios de la carrera de Ingeniería Civil. Los conceptos, teorías,
hipótesis, algoritmos y procedimientos descritos en este libro son de
uso académico exclusivamente y bajo la autorización del autor.
Microsoft, MS, MS-DOS y Windows son marcas comerciales
registradas de Microsoft Corporation.
OFFICE, Excel, Word y PowerPoint son marcas comerciales
registradas de Microsoft Corporation.
VBA y Visual Basic son marcas comerciales registradas de
Microsoft Corporation.
Pentium es una marca comercial registrada de Intel Corporation.
Adobe y Acrobat son marcas comerciales de Adobe Systems
Incorporated.
SAP2000, SAP2000 Standard, SAP2000 Plus y SAP2000
NonLinear son marcas comerciales registradas de Computers and
Structures Incorporated.
AutoCAD es una marca comercial registrada de Autodesk
Incorporated.
Los nombres de productos mencionados en este libro se utilizan
sólo con propósitos identificativos y pueden ser marcas comerciales
y/o marcas comerciales registradas de sus respectivas compañías.

AGRADECIMIENTOS
El autor desea expresar su gratitud hacia todos aquellos Profesores
del Departamento de Programación y Tecnología Educativa y de la
Escuela de Ingeniería Civil de la Universidad Metropolitana que
contribuyeron al desarrollo y aplicación de las ideas que este libro
recoge.
Especial reconocimiento merece el Prof. Enrique Mayz Lyon, quien
fue el responsable de la concepción y desarrollo de la versión
original del curso de Programación Aplicada a la Ingeniería Civil.

i
Í n d i c e d e C o n t e n i d o s
Capítulo I VBA y SAP2000 como Herramientas para el
Análisis Estructural 1
Introducción 1
Aplicación de VBA y Excel en el Análisis Estructural 2
SAP2000 3
SAP2000 Alcances y Limitaciones 4
Capítulo II El Estudio de las Estructuras 5
Las Fuerzas Externas 5
Las Reacciones de los Vínculos 6
Los Sistemas Rígidos y los Sistemas Elásticos 6
Las Deformaciones 7
La Ley de Hooke 8
Los Materiales Elásticos 8
Las Características de Solicitación 8
El Principio de Superposición 9
Los Factores de Seguridad 10
El Análisis estructural por Computadora 10
Capítulo III Solución de Vigas por Integración 12
Relaciones entre q, V, M 12
Las Deformaciones 14
La Ecuación Diferencial de la Curva Elástica 14
Integración de la Ecuación de la Curva Elástica 14
Condiciones en la Frontera 15
Capítulo IV Operaciones Básicas en SAP2000 16
Introducción 16

ii
El Modelo Estructural 16
Definición de la Geometría del Modelo 18
Definición de los Materiales 18
Definición de las Secciones Estructurales 19
Definición de las cargas Estáticas 20
Asignación de las Secciones para los Miembros 21
Asignación de las Cargas e los Nodos 21
Análisis del Modelo 22
Visualización de la deformada 22
Obtención de las Rotaciones y de los desplazamientos Nodales 23
Obtención de las reacciones en los Vínculos 23
Solicitaciones en los Miembros 24
Capítulo V Referencias al Análisis Básico en SAP2000 25
Edición de Grid Lines 25
El Modelo Estructural 25
Definición de las Grid Lines 26
Dibujo del Modelo Estructural 28
Definición de los Materiales 29
Definición de las Secciones estructurales 30
Definición de las Cargas estáticas 31
Asignación de las Secciones para los Miembros 31
Asignación de las Cargas en los Miembros 32
Análisis del Modelo 34
Obtención de las Rotaciones y de los Desplazamientos Nodales 35
Obtención de las reacciones en los Vínculos 35
Solicitaciones en los Miembros 36
Vigas de Eje Curvo 37
Introducción 37
Arcos Circulares 37
Simulación en SAP2000 38
Arcos Parabólicos 41
Simulación en SAP2000 42
Capítulo IV Vigas de Celosía 43
Elementos de Álgebra Matricial 43
Sistemas de Ecuaciones Lineales 43
Vectores Fila y Columna 44
Suma y Resta de Matrices 44
Multiplicación Escalar 44
Multiplicación Matricial 44
Transpuesta de una Matriz 45
Matriz Simétrica 45

iii
Matriz Unitaria (Identidad) 45
Determinante de una Matriz 45
Matriz Singular 46
Matriz Inversa 46
Diferenciación e Integración de Matrices 47
Álgebra Matricial en Excel 47
Multiplicación de Matrices 47
Determinante de una Matriz 48
Matriz Inversa 48
Matriz Transpuesta 48
Análisis de Vigas de Celosía 49
Las Fuerzas en las Barras 49
Vigas de Celosía Estrictamente Indeformables 49
Hipótesis Simplificativas 51
Vigas de Celosía Estáticamente Determinadas 51
Matriz Transformada de Desplazamientos 53
Matriz de Flexibilidad y Matriz de Rigidez 55
Algoritmo para el Análisis de Vigas de Celosía Estáticamente
Determinadas 56
Aplicación en SAP2000 57
Capítulo VII Vigas Continuas 59
Vigas cuyos Nodos no se Desplazan 59
Método de Cross para Vigas Continuas 59
Variables que Intervienen en el Método de Cross 60
Rigidez del Tramo 60
Factor de Distribución 61
Equilibrio 61
Transferencia 61
Momento Negativo en el Apoyo 61
Viga de n-tramos, Sección Constante o Variable de Tramo
a Tramo, Carga Uniforme en Toda la Longitud 62
Momento de Empotramiento 62
Cortante Isostático 63
Cortante Hiperestático 63
Cortante Total 64
Reacción en los Apoyos 64
Momento Máximo Positivo en el Tramo 64
Capítulo VIII Propiedades Geométricas de las Secciones 65
El Baricentro de un Sistema de Masas 65

iv
Momento Estático 65
Propiedades del baricentro 66
Las Coordenadas del Baricentro 67
Los Sistemas Continuos 67
El Momento de Inercia Axial 69
Los Sistemas Continuos 69
Teorema del Eje Paralelo 70
Módulos de Sección 71
Cálculo de las Propiedades de una Sección a partir de
sus Coordenadas 72
Algoritmo 73
Capítulo IX La Estabilidad del Equilibrio Elástico 76
Equilibrio Estable, Inestable, Indiferente 77
El Teorema de Kirchhoff y los fenómenos de Inestabilidad 78
El Criterio Estático 79
Carga Crítica de Euler 80
Barras con Diferentes Tipos de Vínculos 82
Límite de Validez para la Fórmula de Euler 86
Aplicación al Diseño de Elementos Comprimidos 87
Algoritmo de Diseño 87
Longitud Efectiva 87
Relación de Esbeltez 87
Resistencia a Compresión 88
Algoritmo de Diseño 88
Bibliografía 90

“Observando a las criaturas de la naturaleza, he llegado a la conclusión
de que, al igual que cada criatura de Dios intenta realizar lo que su
propia naturaleza le exige, de la misma forma ha recibido los medios
para alcanzar su meta. El ansia más íntima de los humanos es alcanzar
la sabiduría y la comprensión; por lo tanto, podemos suponer que
también ha recibido las facultades para llegar a ellas. Pero si
investigamos la esencia de la sabiduría humana, pronto nos damos
cuenta de que todo conocimiento nace de la comparación de lo ya sabido
con lo desconocido. Por este camino podemos llegar lejos, pero nunca
alcanzaremos lo infinito. El hombre no puede alcanzar la absoluta
verdad, ni el conocimiento absoluto. Lo comprenderás mejor si defino a
Dios como la verdad absoluta. Nunca podremos entender la esencia de
Dios. En consecuencia, todas nuestras verdades quedarán limitadas para
siempre, y en proporción con lo que ya sabemos. La absoluta verdad es
infinita como lo es Dios, y por ello no la podemos entender. Tu no
comprendes esto –añadió- porque estás acostumbrado a mirar todo lo
que hay a tu alrededor como seres tangibles. Sin embargo, mis estudios
de matemáticas me han llevado a comprender que el único conocimiento
definitivo que el hombre puede alcanzar es la comprensión de que el
definitivo conocimiento no es alcanzable para él porque, si así fuera, él
mismo se convertiría en Dios. A esto lo llamo la ignorancia ignorante, ya
que nos ofrece la única base firme en que podemos fundar nuestro
pensamiento razonable, sin caer en fantasías.”
MIKA WALTARI: Juan el Peregrino

Francisco D’Amico, UNIMET VBA y Excel 1
C a p í t u l o I
VBA y SAP2000 como Herramientas para el
Análisis Estructural
Introducción
Hoy en día la Ingeniería Estructural se encuentra respaldada por una amplia variedad de
programas para el análisis y diseño de cualquier sistema estructural, permitiendo un
avance importante en su comprensión y optimización. Esta tecnología ha hecho posible la
automatización de procedimientos de cálculo que hace veinte años demoraban meses, y
que hace cincuenta años no eran ni siquiera realizables en tiempo y costo aceptables para
cualquier proyecto de mediana envergadura.
Sin embargo la tecnología no ha producido nada nuevo en el estudio de las estructuras,
cualquier programa de cálculo estructural no es más que la inclusión de leyes y principios
antiguos en modernos algoritmos ejecutables por computadoras personales que
continuamente aumentan de capacidad y disminuyen de precio.
“The fundamental physical laws that are the basis of the static and dynamic analysis of
structures are over 100 years old. Therefore, anyone who believes they have discovered a
new fundamental principle of mechanics is a victim of their own ignorance. The static and
dynamic analysis of structures has been automated to a large degree due to the existence
of inexpensive personal computers. However, the field of structural engineering, in my
opinion, will never be automated. The idea that an expert-system computer program, with
artificial intelligence, will replace a creative human is an insult to all structural
engineers”.1
1
EDWARD L. WILSON: “Three Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures, a physical approach with
emphasis on earthquake engineering”. 1998.

Capítulo I: VBA y SAP2000 como Herramientas para el Análisis Estructural
Francisco D’Amico, UNIMET VBA y Excel 2
A lo largo del curso de Programación Aplicada a la Ingeniería Estructural se utilizarán, en
opinión del autor, dos de las mejores herramientas que el desarrollo tecnológico en
software de aplicación en la ingeniería estructural ha producido: VBA y SAP2000. Visual
Basic for Applications es un lenguaje para la creación de macros dentro de las
aplicaciones del paquete Office que ofrece múltiples alternativas y posibilidades para la
codificación de algoritmos de cálculo estructural. SAP2000 representa lo más avanzado
en programas de análisis estático y dinámico de estructuras por elementos finitos, es el
resultado de la evolución de varias versiones anteriores de la serie SAP (Structural
Analysis Program) y se caracteriza por su gran capacidad y facilidad de manejo.
El objetivo fundamental para el curso de Programación Aplicada a la Ingeniería
Estructural es el de enseñar el uso adecuado de estas herramientas en favor de una mejor
comprensión de los sistemas estructurales.
Aplicación de VBA y Excel en el Análisis Estructural
Visual Basic for Applications (VBA) es una herramienta para el desarrollo de
aplicaciones y la creación de macros, con la cual se pueden producir programas para
resolver problemas. A diferencia de los programas para juegos o entretenimiento, las
aplicaciones se utilizan para realizar una determinada tarea, por ejemplo Excel es una
aplicación para el análisis y procesamiento de datos tabulados. VBA es el lenguaje común
para el desarrollo de macros incluido en las aplicaciones del paquete Office. Un macro
dentro de una aplicación permite, entre otras cosas, manipular, almacenar y obtener datos
directamente de las aplicaciones en uso. De lo anterior podemos deducir que si se unen
VBA y Excel será posible desarrollar programas que sirvan para procesar datos tabulados
con mayores opciones que las disponibles solamente con Excel.
Como ya se ha mencionado un macro en VBA debe estar asociado a una aplicación que
recibe el nombre de Host Application. En nuestro caso Excel será la aplicación sobre la
cual se crearán y ejecutarán los macros, es decir será el host. La escogencia de Excel
como aplicación host está dominada por la facilidad con la cual se pueden manejar los
cálculos matriciales y las operaciones matemáticas en general dentro de una hoja de
trabajo, que son la base del análisis estructural moderno.
Principalmente en el análisis estructural los datos tabulados con los que se trabajan son
las matrices, que representan sistemas de ecuaciones obtenidos a partir de las expresiones
que definen el comportamiento de un determinado sistema estructural conocidas sus
condiciones de frontera; entonces un programa de cálculo estructural desarrollado en
VBA sobre Excel, permitirá obtener el sistema de ecuaciones que describe a una
estructura a partir de sus propiedades geométricas, del material que la compone, de las
cargas aplicadas y de las condiciones de frontera como resultado de un proceso de
lectura, luego el sistema de ecuaciones podrá ser escrito en forma matricial sobre un hoja
de trabajo de Excel y finalmente se obtendrán los resultados aplicando el cálculo
matricial, estos resultados también se podrán escribir en la hoja de trabajo para su
impresión o uso posterior.

Francisco D’Amico, UNIMET SAP2000 3
Cada una de las tareas anteriores será realizada y controlada por un macro que ampliará
y/o adecuará las capacidades del Excel según las necesidades del problema que se desea
resolver con la creación del programa. El macro será codificado utilizando VBA. El
código de un macro en VBA es almacenado en proyectos, los proyectos contienen
módulos que a su vez poseen procedimientos, declaraciones e instrucciones en general.
En Excel los proyectos se almacenan en libros (.xls).
Si el usuario posee la experiencia y los conocimientos adecuados en programación será
capaz de crear programas de cálculo estructural muy sofisticados utilizando VBA y
Excel. Sin embargo, existen situaciones en las cuales se debe recurrir a programas
comerciales que se han creado para simular casos más difíciles o para manejar un número
de variables mucho mayor del que se puede presentar en el común de los casos; estos
programas han sido ampliamente calibrados y probados, y seguramente resultarán más
eficaces a la hora de estudiar sistemas estructurales más complejos. Adicionalmente a la
creación de programas en VBA, este curso enseña el uso del programa SAP2000 como
herramienta de cálculo estructural y sus posibilidades de combinación con Excel y VBA
para aumentar aún más su potencial.
SAP2000
El SAP2000 es un programa para el análisis tridimensional estático y dinámico de
estructuras por elementos finitos que representa lo más avanzado en programas de cálculo
estructural a nivel mundial. Además de su poder de análisis posee una interfaz gráfica de
usuario sumamente amigable, fácil de manejar y se encuentra totalmente integrado con
Windows.
Este software fue desarrollado por la empresa CSi, Computers and Strucutres, Inc. en
Berkeley, California, EEUU. Se presenta en varias versiones que varían en el número de
nodos que puede tener el sistema a simular; a lo largo del curso se utilizará la versión
educativa de libre distribución restringida a 30 nodos y la versión ilimitada/no lineal
registrada a nombre de la Universidad Metropolitana.
El propósito fundamental en la enseñanza de este software es el de mostrar las
capacidades y limitaciones que se presentan en su uso para simular sistemas estructurales,
prestando especial atención en la explicación de las teorías, aproximaciones y
procedimientos que el programa sigue para realizar el análisis y diseño de una estructura.
Si cada uno de estos puntos no es comprendido totalmente por el usuario no será posible
que utilice el programa con la certeza de que el modelo estructural que ha definido es
realmente compatible con el modelo original que desea estudiar.
Dadas las características del programa SAP2000 es posible afirmar que no posee un
límite práctico, el límite lo impondrá la computadora sobre la cual funcionará el
programa. Los resultados que produce deben ser interpretados por el usuario para
verificar que se corresponden con las condiciones del modelo estructural simulado, no
hay que olvidar que este programa nunca superará al criterio de un ingeniero estructural.

Francisco D’Amico, UNIMET SAP2000 4
SAP2000 Alcances y Limitaciones
El programa SAP2000 reúne las técnicas más avanzadas para el análisis tridimensional
estático y dinámico de estructuras por elementos finitos. Este software se presenta en
varias versiones que varían en la capacidad de análisis; en este curso trabajaremos con
dos versiones del programa.
La versión educativa que se encuentra restringida a estructuras de hasta 30 nodos, posee
todas las características de una versión completa y no restringida del programa,
incluyendo el análisis pushover, y es de libre distribución para fines académicos
únicamente.
La versión ilimitada/no lineal no posee límite práctico en su capacidad de análisis, el
límite lo impone la computadora sobre la cual se instale. Esta versión se encuentra
registrada a nombre de la Universidad Metropolitana y se utilizará únicamente dentro de
sus instalaciones, principalmente por medio de la red en los laboratorios de
programación.
El SAP2000 puede combinarse con otros programas para ampliar su capacidad de trabajo.
Puede recibir de Excel las coordenadas de los nodos y barras de un sistema estructural y
dibujarlas directamente sobre la pantalla, lo cual facilita la creación del modelo
estructural, sobre todo de aquellos con una geometría compleja. También pueden
importarse archivos desde AutoCAD o cualquier programa DXF compatible que definan
la geometría del modelo estructural. Además se pueden imprimir los resultados del
análisis y el diseño, así como otras variables importantes del proyecto en un archivo de
texto (.txt) que puede manipularse en Excel o en Word y crear archivos de imagen de
video (.avi) con animaciones del modelo estructural. En este curso utilizaremos
únicamente las posibilidades de combinación con Excel y con archivos de texto.

Francisco D’Amico, UNIMET Fuerzas Externas 5
C a p í t u l o I I
El Estudio de las Estructuras
El estudio de las estructuras considera principalmente los efectos producidos por las
fuerzas que actúan sobre un determinado sistema estructural y determina las condiciones
que deben satisfacer las diferentes partes de este sistema de manera que puedan soportar
dichas fuerzas.
En primer lugar, las diferentes partes de una estructura deben carecer de movimiento,
excluyendo las deformaciones elásticas que puedan ocurrir, esto implica que debe existir
una vinculación suficiente entre ellas y el suelo de forma que sus posiciones se
mantengan invariables.
Las partes que componen el sistema estructural deben ser de un material tal que impida la
rotura o el deterioro de éstas, además el tipo de material a utilizar no deberá ser llevado
más allá de su resistencia límite cuando actúen las diferentes fuerzas sobre el sistema.
Lo anterior nos lleva a concluir que el equilibrio en el que se encuentre el sistema
estructural debe ser estable, lo que conduce a un estudio que involucra tanto a
procedimientos matemáticos como a métodos derivados de ensayos de laboratorio.
Las Fuerzas Externas
Los miembros que conforman una estructura, como por ejemplo las losas, vigas y
columnas de un edificio, se encuentran sometidos a la acción de fuerzas de naturaleza
diversa. Algunas actúan continua e invariablemente y se denominan acciones
permanentes, éstas se deben principalmente al peso propio de la estructura y al de
componentes fijos como la tabiquería, los pavimentos, el recubrimiento de los techos, etc.

Capítulo II: El Estudio de las Estructuras
Francisco D’Amico, UNIMET Sistemas Rígidos y Elásticos 6
Contrariamente existen fuerzas que no actúan de forma continua o que lo hacen con
intensidad variable, a éstas se les denominan acciones variables y comprenden todas las
cargas para las cuales fue diseñada como soporte la estructura, por ejemplo: personas,
muebles, mercancías, vehículos, maquinarias, presión de líquidos y empuje de tierra,
entre otras. En este grupo también se pueden incluir las cargas debidas a efectos de la
naturaleza como el viento, la dilatación térmica, el peso de la nieve y las fuerzas sísmicas.
En cualquier caso las acciones variables se deben considerar en la forma más
desfavorable para la estructura.
Una fuerza se considera concentrada o puntual cuando actúa sobre puntos separados de
la superficie de un cuerpo, o uniforme cuando actúa a lo largo de buena parte o en toda la
longitud de éste. Hablando en forma rigurosa, las fuerzas concentradas no existen y se
consideran como tales las fuerzas que actúan sobre un área muy pequeña. Además, las
fuerzas se clasifican también en fuerzas estáticas cuando son constantes en magnitud y en
posición, o son muy lentamente variables como para producir un efecto importante en la
estructura; y en fuerzas dinámicas cuando cambian rápidamente de valor y posición.
Aparte de las fuerzas antes mencionadas una estructura también puede ser afectada por la
falla o movimiento de uno de sus vínculos.
Las Reacciones de los Vínculos
Como ya se mencionó, las diferentes partes de un sistema estructural se encuentran
vinculadas entre sí y con el suelo por medio de apoyos de varios tipos, según sea el tipo
de apoyo al que se encuentre sujeto, un cuerpo estará restringido total o parcialmente a la
traslación y/o a la rotación.
Una estructura se dice que es isostática si sus vínculos son estrictamente suficientes para
restringir cualquier movimiento. Es hiperestática si posee vínculos superabundantes, es
decir más de los necesarios. También pueden existir sistemas estructurales que se
encuentren en equilibrio bajo una determinada condición de carga y que lo pierden al
variar la configuración de la carga; para este tipo de sistema el equilibrio es inestable.
Para estudiar una estructura se deben conocer todas las fuerzas externas que sobre ésta
actúen, incluidas las reacciones de sus vínculos, las cuales deben satisfacer la condición
de mantener en equilibrio al cuerpo, equilibrando las cargas.
Los Sistemas Rígidos y los Sistemas Elásticos
Cualquier cuerpo bajo la acción de una fuerza se deforma, en los miembros de una
estructura y suponiendo que las fuerzas no alcancen niveles excesivos, las deformaciones
son muy pequeñas con respecto a sus dimensiones, y muchas veces estas alteraciones
producen efectos despreciables sobre el sistema; es por esta razón que resulta espontáneo
estudiar el equilibrio del sistema, sujeto a las cargas y a las reacciones de los vínculos,

Francisco D’Amico, UNIMET Deformaciones 7
despreciando las deformaciones elásticas que puedan ocurrir, en efecto, considerándolo
rígido.
Sin embargo no siempre esta simplificación es posible o es válida. En algunos casos se
pueden determinar las reacciones en los vínculos sin considerar las deformaciones
elásticas que sufre la estructura, mientras que en otros si no se consideran dichas
deformaciones es imposible conocer los valores de las reacciones y se convertirían en
problemas imposibles de resolver o indeterminados.
En el estudio de una estructura se presentarán casos como el antes nombrado, en los
cuales la estática de los sistemas rígidos bastará para determinar las reacciones, y casos
que resultarán determinados sólo si se recurre a la estática de los sistemas elásticos, lo
que significa considerar las deformaciones. Los primeros se llaman casos estáticamente
determinados y corresponden a estructuras con vínculos isostáticos, estrictamente
suficientes; mientras que los segundos se llaman casos estáticamente indeterminados y
corresponden a estructuras con vínculos hiperestáticos, superabundantes.
Las Deformaciones
El estudio de las deformaciones elásticas se impone como problema fundamental para la
determinación de las reacciones de los vínculos en los sistemas hiperestáticos.
La experiencia nos enseña que un cuerpo se deforma bajo el efecto de una fuerza externa
y que al cesar la acción de la fuerza, la deformación desaparece y el cuerpo tiende a
recuperar su forma original. Esta tendencia que poseen todos los cuerpos en menor o
mayor grado se denomina elasticidad; como no existen materiales perfectamente elásticos
ni perfectamente inelásticos, se puede pensar entonces que la deformación de un cuerpo
está compuesta de dos partes: una deformación elástica que desaparece al cesar la fuerza
que la produce y una deformación permanente que se mantiene aún después de retirada la
carga.
Existen materiales en los cuales si la fuerza no ha superado cierto límite, la deformación
permanente es inapreciable; dentro de este límite, que llamaremos límite de elasticidad, el
material puede considerarse elástico, anulándose prácticamente toda la deformación
cuando desaparece la fuerza.
Como en la construcción de estructuras se utilizan materiales elásticos en la mayoría de
los casos, y se evitan las deformaciones permanentes, admitiremos entonces que las
deformaciones presentes en una estructura, sometida a un nivel de carga adecuado para
no superar el límite de elasticidad del material que la compone, son elásticas y muy
pequeñas con respecto a la dimensión de ésta.

Francisco D’Amico, UNIMET Características de Solicitación 8
La Ley de Hooke
Si se mide la deformación de un cuerpo producida por una fuerza externa gradualmente
creciente, se observa que ésta varía en medida prácticamente proporcional a la fuerza,
después aumenta a una velocidad mayor al aumento de la fuerza. Si no se supera un cierto
límite, llamado límite de proporcionalidad, la deformación es directamente proporcional
a la fuerza. Esta ley, enunciada por Robert Hooke en 1678 en los términos de “ut tensio
sic vis”, constituye el principal fundamento en el estudio de las estructuras.
Los Materiales Elásticos
Consideraremos como materiales elásticos los capaces de experimentar pequeñas
deformaciones que cumplan con la Ley de Hooke. Admitiremos que los materiales
elásticos a considerar en el estudio de las estructuras son isotrópicos, es decir que sus
propiedades elásticas se mantienen iguales en cualquier dirección. Es obvio que los
resultados que se obtendrán serán válidos siempre y cuando se cumplan dichas
condiciones y no tiene sentido el aplicarlos o tratar de extenderlos mas allá de su rango de
validez.
Las Características de Solicitación
Consideremos la sección S de una viga mostrada en la figura II-1, sobre la cual se han
trazado tres ejes perpendiculares entre sí llamados x, y, z; el eje de la viga coincide sobre
el eje x y el origen coincide con el centro de gravedad de la sección. Los ejes y y z
coinciden con los ejes principales de inercia de la sección. La viga puede estar sometida a
cualquier condición de carga.
Figura II - 1
Representación de una viga sometida a varias condiciones de carga.
z
y
x
S
w
P
P

Francisco D’Amico, UNIMET Principio de Superposición 9
Las cargas que actúan sobre la viga a continuación de la sección S poseen en general seis
parámetros: la suma de sus componentes según los ejes (ΣFx, ΣFy, ΣFz), que constituyen
tres fuerzas en el mismo sentido de los ejes, y la suma de sus momentos respecto a los
ejes (ΣMx, ΣMy, ΣMz), que constituyen tres pares actuando en planos normales a ellos.
Estos seis parámetros son las seis características de solicitación y se indican
respectivamente como N, Vy, Vz, Mt, My, Mz. La fuerza N se llama fuerza axial y su
efecto a través de S es el de estirar o comprimir la viga; Las fuerzas Vy y Vz se llaman
fuerzas cortantes porque tienden a cortar la viga según S; el par Mt se llama momento
torsor porque tuerce la viga; los pares My y Mz se llaman momentos flectores porque
flectan la viga.
Las tensiones internas en S deben equilibrar estas seis solicitaciones. El equilibrio estático
se mantiene mientras las fuerzas externas sean estáticas. Para el caso de fuerzas
dinámicas el equilibrio también es dinámico y existe en cada instante entre las fuerzas
externas, las tensiones internas y las fuerzas de inercia.
En casos particulares las solicitaciones son menos de seis; en las vigas con eje contenido
en el mismo plano que contiene las fuerzas externas se anula Mt, y si además la sección S
posee el eje principal de inercia y en este plano, se anulan Vz y My. En el caso particular
de vigas con eje rectilíneo, sometidas a fuerzas contenidas en un plano que contiene
también al eje y de la sección y normales la eje de la viga, existen solamente Vy y Mz. Si
por el contrario las fuerzas son paralelas al eje de la viga, existen únicamente N y Mz.
Comúnmente las características de solicitación se calculan considerando la viga no
deformada, por lo cual se desprecian los desplazamientos de las líneas de acción de las
fuerzas externas a lo largo de la deformada. No obstante, en algunos casos se deben
considerar ya que influyen notablemente en los valores de las solicitaciones y en el
comportamiento de la viga.
El Principio de Superposición
El efecto producido por varias fuerzas actuando simultáneamente sobre un sistema
estructural es igual a la suma de los efectos producidos por cada fuerza actuando
separadamente en el mismo sistema.
Este principio nos indica que los efectos de una fuerza son independientes de la
preexistencia de otras fuerzas. Una fuerza aplicada sobre una estructura ya cargada
produce efectos ulteriores e iguales a los que se producirían si se aplicara sobre la misma
estructura descargada; por lo cual sus efectos se suman a los ya producidos por las
fuerzas preexistentes.
Si la estructura es estáticamente determinada, para los efectos que equilibran las fuerzas
(reacciones y esfuerzos) o que equivalen a las fuerzas (características de solicitación) la
independencia antes nombrada es consecuencia única del hecho que las fuerzas

Francisco D’Amico, UNIMET Análisis por Computadora 10
preexistentes han modificado muy poco la forma original de la estructura, por lo cual las
nuevas fuerzas actúan sobre una estructura dejada casi igual a la descargada; mientras que
para los efectos elásticos (deformaciones) tal independencia es consecuencia de la Ley de
Hooke, además de lo antes explicado, porque la proporcionalidad entre esfuerzos y
deformaciones significa que un nuevo esfuerzo igual a otro ya presente produce una
ulterior deformación igual a la ya obtenida. Si por el contrario la estructura es
estáticamente indeterminada, las reacciones deben satisfacer, aparte de las condiciones de
equilibrio, las condiciones elásticas, y el principio de superposición está subordinado a la
validez de la Ley de Hooke, cualquiera sea el efecto que se considere.
Los Factores de Seguridad
Una vez conocidos los esfuerzos internos en un miembro estructural, se debe estudiar si
éste es capaz de resistir dichos esfuerzos de manera segura. La resistencia de un miembro
estructural se encuentra asegurada cuando los valores de las fuerzas externas son tales
que se puede aumentar su valor (conservando la misma configuración) en la relación de 1
a fs antes de que ocurra la rotura del miembro, siendo fs un factor de seguridad
suficientemente mayor que 1.
Cualquiera sea el material que compone a un miembro estructural, se debe ante todo
evitar que ocurra la rotura, por lo cual las tensiones deben mantenerse siempre menores a
la tensión de rotura. Las principales razones por las cuales se adoptan factores de
seguridad son: la incertidumbre presente al determinar las cargas que deberá soportar la
estructura, posibles defectos en los materiales que reduzcan su resistencia, defectos
constructivos, entre otros.
La experiencia nos demuestra que el comportamiento elástico de los materiales bajo la
acción de esfuerzos crecientes es diferente para los cuerpos frágiles, y para aquellos
dúctiles. Los primeros de manera general, se comportan elásticamente hasta que alcanzan
la rotura, la cual no se encuentra precedida por fenómenos que evidencien el agotamiento
del material. Los segundos presentan en cambio un límite de elasticidad, después del cual
comienzan a ocurrir las deformaciones permanentes, inmediatamente se observan signos
del debilitamiento del material hasta que se alcanza la rotura. Intuitivamente conviene
que la estructura presente un comportamiento dúctil en vez de uno frágil.
El Análisis Estructural por Computadora
En la actualidad el estudio de las estructuras se ha visto favorecido por el auge de
programas de cálculo estructural desarrollados bajo ambiente Windows. Dichos
programas presentan una interfaz gráfica de usuario muy amigable lo que permite un uso
fácil y seguro del programa. Sin embargo cada software ha sido desarrollado a partir de
un algoritmo en el cual se han incluido una serie de simplificaciones y suposiciones que
si no son comprendidas adecuadamente por el usuario, pueden dar lugar a errores en los
resultados o a simulaciones de modelos que no se corresponden con la realidad.

Francisco D’Amico, UNIMET Análisis por Computadora 11
Lo que se busca con el uso o la creación de un programa de cálculo estructural es resolver
en modo útil los problemas de la práctica asistidos por una herramienta que facilite los
cálculos y los realice en forma más rápida y confiable; indudablemente una computadora
y un software adecuado son la herramienta indicada si se utilizan correctamente.
Además es posible resolver en poco tiempo y con poco esfuerzo una gran cantidad de
casos que ayudarán a la comprensión del comportamiento de un determinado sistema
estructural, de cómo éste responde bajo los efectos de ciertos perfiles de carga y de cómo
optimizar su diseño, lo que conlleva a una estructura más eficiente y más económica.
Si se desea obtener éxito al calcular una estructura utilizando un programa para
computadora, el usuario deberá tomar en cuenta las siguientes advertencias:2
No utilice un programa de análisis estructural a menos de que comprenda
totalmente la teoría y las aproximaciones usadas por el programa.
No cree un modelo en computadora hasta que las cargas, las propiedades de
los materiales y las condiciones de la frontera estén claramente definidas.
2
EDWARD L. WILSON: Three Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures, a physical approach with
emphasis on earthquake engineering. 1998.

Francisco D’Amico, UNIMET Relaciones q, V, M 12
C a p í t u l o I I I
Solución de Vigas por Integración
Relaciones entre q, V, M
Consideremos un segmento de una viga sujeto a una carga uniformemente repartida,
definida por el valor unitario q en cada punto. Las solicitaciones V y M varían
generalmente de sección en sección. Las cantidades q, V, M son por consiguiente
funciones de la abscisa x de la sección. Estas tres funciones están unidas por las
siguientes relaciones fundamentales:
Sean V y M las solicitaciones en una sección
S (figura III-1); V1 = V + dV y M1 = M +
dM son aquellas en la sección S1 separadas
una distancia dx desde S; y qdx la carga
actuante sobre el segmento dx. Las
solicitaciones V y M en S son equivalentes a
las fuerzas externas que preceden a S; por lo
cual, para calcular V1 y M1 en la sección S1
no es necesario tomar en cuenta nuevamente
todas las fuerzas a partir del inicio de la
viga, y se pueden sustituir las fuerzas
anteriores a S con V y M, como si la viga
comenzara en S. Se obtiene entonces:
qdx
V
dV
V
V −
=
+
=
1
2
1
dx
qdx
Vdx
M
dM
M
M −
+
=
+
=
de donde, despreciando el diferencial de segundo orden, se tiene:
qdx
S S1
M
V
dx
Figura III - 1

Capítulo III: Solución de Vigas por Integración
Francisco D’Amico, UNIMET Relaciones q, V, M 13
Vdx
dM
qdx
dV =
−
=
Resultando así las relaciones buscadas:
V
dx
dM
q
dx
dV
=
=
es decir, la derivada de la fuerza cortante es igual a la carga unitaria; la derivada del
momento flector es igual a la fuerza cortante. También se puede observar que:
2
2
dx
M
d
q =
En forma general, para cualquier condición de carga representable por medio de una
función f que ha sido definida en un intervalo cerrado [a,b], si existe:
( ) i
n
i
i
P
x
x
f ∆
∑
=1
0
lim
se dice que f es integrable en [a,b], y podemos afirmar que:
∫
= wdx
V
∫
= Vdx
M
donde w representa la función que define la carga. Del proceso de integración resultará
una constante para cada caso que se determinará a partir de las condiciones en la frontera.
De las ecuaciones anteriores se deduce que en los segmentos sin carga (q = 0) V es
constante y M varía linealmente; mientras que en segmentos sometidos a cargas
repartidas V y M varían con leyes continuas, respectivamente de primer y segundo grado
si q es constante, de segundo y tercer grado si q varía linealmente, etc.
Si en un segmento de viga V = 0, M es constante; y viceversa, si M es constante en un
segmento, se tiene V = 0. Si V es diferente de cero, M existe y es variable; por lo tanto
puede anularse en cualquier sección, pero no en un segmento de longitud finita, de aquí
sigue que V está siempre acompañado por M, lo que quiere decir que una solicitación de
corte únicamente es posible sólo en alguna sección aislada. Una sección S de una viga
está sujeta sólo a fuerza de corte V cuando la resultante de todas las fuerzas externas que
preceden a S está contenida en el mismo plano de S y pasa por su baricentro. Pero si esto
ocurre en una sección, en las secciones vecinas se tiene también un momento flector M
debido a dicha resultante; por lo que el corte simple se puede tener en cualquier sección
aislada en donde resulte nulo M, pero no en todas las secciones de un segmento finito de
la viga. Por lo cual en general el corte está acompañado por el momento flector. En las
secciones donde la fuerza cortante se anula el momento flector es máximo.

Francisco D’Amico, UNIMET Integración de la Elástica 14
Las Deformaciones
La Ecuación Diferencial de la Curva Elástica
La ecuación fundamental de elasticidad para la flexión simple dada por:
EI
M
r
=
1
es exacta también para solicitaciones de flexión y corte, por lo que esta ecuación refleja la
curvatura en cada punto de la curva elástica, es decir de la deformada del eje de la viga.
Por otra parte, es conocido por geometría diferencial que la curvatura en un punto de una
línea representada por y = y(x) en coordenadas x,y está expresada por:
2
3
2
2
2
1
1














+
±
=
dx
dy
dx
y
d
r
con el signo según la orientación de los ejes. Para el caso de la curva elástica de una viga,
la inclinación dy/dx de la tangente en un punto respecto al eje X es, en general, muy
pequeña; por lo que su cuadrado es despreciable con respecto a la unidad, por lo cual se
tiene, con una buena aproximación:
EI
M
dx
y
d
±
=
2
2
Integración de la Ecuación de la Curva Elástica
En general se puede decir que en las vigas la expresión de M es función de la abscisa x
únicamente, además de que para fuerzas normales aleje de la viga, M es función de x. Por
lo cual la integración resulta fácil, mucho más si la carga varía de modo simple resultando
sencilla la expresión para M(x) y si la inercia se mantiene constante.
Una primera integración de la ecuación
EI
M
dx
y
d
=
2
2
da la expresión para y’ = tanθ ≈ θ, que
permite calcular la inclinación de la tangente en cada punto de la curva elástica, es decir
el ángulo que cada sección ha rotado; ángulo que resulta expresado en radianes. La
segunda integración da la expresión de la ordenada y que llamaremos δ, la cual representa
la distancia vertical que cada sección se ha trasladado con respecto al eje original de la
viga, distancia usualmente reportada en cm. Como resultado del proceso de integración
aparecen dos constantes (una para θ y otra para δ) que se determinan a partir de las
condiciones en la frontera, generalmente dadas por la vinculación de la viga.

Francisco D’Amico, UNIMET Condiciones en la Frontera 15
En forma general, a partir de la configuración de la carga y tomando en cuenta la
existencia de la integral en cada caso, podemos escribir las siguientes relaciones:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
dx
x
x
EI
dx
x
M
x
EI
dx
x
V
x
M
dx
x
w
x
V
θ
δ
θ
Condiciones en la Frontera
Comúnmente las condiciones en la frontera para vigas se obtienen a partir de la
vinculación que éstas presenten. Las condiciones en la frontera permiten calcular los
valores de las constantes que resultan de cada proceso de integración. Para los tipos de
vínculos más comunes en vigas de un solo tramo se conocen las siguientes condiciones de
frontera:
VÍNCULO V M θ δ
RODILLO ≠ 0 = 0 ≠ 0 = 0
ARTICULACIÓN ≠ 0 = 0 ≠ 0 = 0
EMPOTRAMIENTO ≠ 0 ≠ 0 = 0 = 0

Francisco D’Amico, UNIMET Modelo Estructural 16
C a p í t u l o I V
Operaciones Básicas en SAP2000
Introducción
En este capítulo se explicará paso a paso cómo crear un modelo estructural sencillo para
su simulación en SAP2000. El procedimiento se encuentra basado en el capítulo “Basic
Tutorial” del manual “Quick Tutorial” del SAP2000, y representa el análisis de una viga
de celosía bidimensional tipo Warren sometida a cargas permanentes, variables y
sísmicas.
Una vez realizado el análisis se observarán los desplazamientos nodales, las reacciones en
los vínculos y las solicitaciones en cada miembro de la viga de celosía.
El Modelo Estructural
El modelo estructural representa una viga de celosía bidimensional tipo Warren de 15 m
de longitud y de 3 m de altura, las secciones de los miembros que componen la viga de
celosía son del tipo doble ángulo, las características de los materiales y demás
especificaciones del proyecto se muestran a continuación en la definición del modelo
matemático de la viga de celosía.
También se encuentran indicados los diferentes tipos de cargas que actúan sobre la
estructura, y la forma en que ésta se encuentra vinculada a tierra.

Capítulo IV: Operaciones Básicas en SAP2000
Francisco D’Amico, UNIMET Modelo Matemático 17
Modelo Matemático:
Elevación:
Sección A-A (típica): (dimensiones en mm)
Figura IV - 1
Modelo matemático para una viga de celosía.
Cordón superior 2L127x127x19-9.5
Diagonales 2L127x127x19-9.5
Cordón inferior 2L100x100x19-9.5
Cordón superior 2L127x127x19-9.5
Diagonales 2L127x127x19-9.5
Cordón inferior 2L100x100x19-9.5
5 @ 3.00 m = 15.00 m
4550 kgf 4550 kgf 4550 kgf 4550 kgf
7800 kgf 7800 kgf 7800 kgf 7800 kgf
5250 kgf
3.00 m
A
A
Carga Permanente
Carga Variable
Carga Sísmica
4550 kgf 4550 kgf 4550 kgf 4550 kgf
7800 kgf 7800 kgf 7800 kgf 7800 kgf
5250 kgf
Carga Permanente
Carga Variable
Carga Sísmica
Carga Permanente
Carga Variable
Carga Sísmica

Francisco D’Amico, UNIMET Definición de Geometría y Materiales 18
Definición de la Geometría del Modelo
1. Una vez iniciado el programa, seleccione en la pantalla principal el tipo de unidad
para trabajar, en este caso escoger kgf – m.
2. En el menú File escoger la opción New Model from Template..., esto activará el
cuadro de diálogo para la creación de modelos predefinidos.
3. Seleccionar la casilla con el modelo para vigas de celosía tipo Warren, esto activará el
cuadro de diálogo para este tipo de viga de celosía.
4. En el cuadro de diálogo anterior:
- Cambiar el número de vanos a 5.
- Cambiar el ancho del vano a 3 m.
- Cambiar la altura de la viga de celosía a 3 m.
- Presionar OK.
La pantalla se actualiza automáticamente y muestra las vistas 3-D y 2-D del modelo en
dos ventanas separadas ajustadas verticalmente sobre la pantalla. La ventana izquierda
muestra el modelo en perspectiva 3-D y la ventana derecha muestra el modelo según el
plano X-Z para Y=0.
De esta forma queda definida la geometría del modelo, incluyendo la asignación de los
vínculos realizada automáticamente por el programa. En caso de que la asignación de
vínculos no sea la deseada, el usuario puede modificar esta configuración.
Definición de los Materiales
Para esta estructura se utilizará un tipo de acero que no se encuentra predefinido dentro
del SAP2000. Las propiedades de dicho material asignadas por el usuario se describen en
la siguiente lista:
Nombre del Material: ASIDOR
Tipo de diseño: Steel
Tipo de material: Isotrópico
Masa por unidad de volumen: 801,02 kg/m3
Peso por unidad de volumen: 7850 kgf/m3
Módulo de Elasticidad: 2100000 kgf/cm2
Relación de Poisson: 0,3
Coeficiente de expansión térmica: 1,170E-05 °C-1
Tensión cedente mínima, fy = 2500 kgf/cm2
Pasos para definir el nuevo material:
1. En el menú Define, seleccionar Materials..., esto activa el cuadro de diálogo para la
definición de materiales llamado Define Materials.

Francisco D’Amico, UNIMET Definición de Secciones 19
2. En este cuadro de diálogo presionar el botón Add New Material, lo cual activa el
cuadro de diálogo para la definición de las propiedades del nuevo material llamado
Material Property Data.
3. En este cuadro de diálogo:
- Escribir el nombre del material en el campo Material Name.
- Marcar el tipo de material en el campo Type of Material.
- Seleccionar el tipo de diseño en el campo Type of Design.
1 Atención: Antes de continuar asegúrese de que está trabajando con las unidades
apropiadas.
En la zona Analysis Property Data:
- Escribir el valor de la masa por unidad de volumen en el campo Mass per
unit Volume.
- Escribir el valor del peso por unidad de volumen en el campo Weight per
unit Volume.
- Escribir el valor del módulo de elasticidad en el campo Modulus of
Elasticity.
- Escribir el valor de la relación de Poisson en el campo Poisson’s Ratio.
- Escribir el valor del coeficiente de expansión térmica en el campo Coeff of
Termal Expansion.
En la zona Design Property Data:
- Escribir el valor de la tensión cedente para el acero, fy, en el campo Steel
yield stress, fy.
- Presionar el botón OK.
Esto confirma los valores ingresados en la unidad de medida activa, con lo cual se regresa
al cuadro de diálogo Define Materials. Nótese que en la zona Materials aparece listado
el nuevo material definido bajo el nombre de ASIDOR.
Presionando el botón OK se completa el proceso de definición del nuevo material.
Definición de las Secciones Estructurales
1. En el menú Define, seleccionar Frame Sections..., esto activa el cuadro de diálogo
para la definición de secciones llamado Define Frame Sections.
A partir de este punto se deben repetir los pasos que siguen para definir cada uno de los
tipos de sección a utilizar.
2. En este cuadro de diálogo seleccionar Add Double Angle en el segundo cuadro de
lista de la zona Click to:. Esto activa el cuadro de diálogo para la definición de la
geometría del tipo de sección doble ángulo llamado Double Angle Section.
- Escribir un nombre para la sección no mayor de ocho caracteres en el campo
Section Name.

Francisco D’Amico, UNIMET Definición de Cargas 20
- En el cuadro de lista del campo Material seleccionar el material del que se
compone la sección, en este caso seleccionar ASIDOR.
apropiadas.
En la zona Dimensions:
- Escribir el valor de la longitud del ala vertical del ángulo en el campo Outside
depth (t3).
- Escribir el valor de la longitud del ala horizontal del ángulo en el campo
Outside width (t2).
- Escribir el valor del espesor del ala horizontal en el campo Horizontal leg
thickness (tf).
- Escribir el valor del espesor del ala vertical en el campo Vertical leg
thickness (tw).
- Escribir el valor de la separación entre ángulos en el campo Back to back
distance (dis).
- Presionar el botón OK, esto completa el proceso de definición de las
propiedades geométricas de esta sección y ubica de nuevo al usuario en el
cuadro de diálogo Define Frame Sections para proceder a ingresar otras
secciones.
En la zona Frame Sections, en el campo Name se listan todos los tipos de secciones
definidos por el usuario.
Una vez ingresadas todas las secciones se presiona el botón OK para cerrar el cuadro de
diálogo Define Frame Sections.
Definición de las Cargas Estáticas
1. En el menú Define, seleccionar Static Load Cases..., esto activa el cuadro de diálogo
para la definición de los casos de carga llamado Define Static Load Case Names.
En la zona Loads:
- Escribir el nombre del caso de carga en el campo Load, para el caso de carga
permanente se utilizará el nombre CP, se utilizarán CV y CS para la carga
variable y para la carga sísmica respectivamente.
- En el cuadro de lista del campo Type seleccionar el tipo de carga: DEAD para
permanente, LIVE para variable, QUAKE para sísmica, WIND para viento o
SNOW para nieve.
- En el campo Self Weight Multiplier escribir 1 para carga permanente y 0
para carga variable, sísmica, de viento o nieve.
- Presionar el botón Add New Load para agregar el nuevo caso de carga a la
lista.

Francisco D’Amico, UNIMET Asignación de Secciones y Cargas Nodales 21
Repetir los pasos anteriores para definir cada uno de los tipos de carga. Cuando se
definan cargas diferentes a las permanentes el valor en el campo Self Weight Multiplier
deberá ser cero. Una vez terminado el proceso se presiona el botón OK para cerrar el
cuadro de diálogo.
Asignación de las Secciones para los Miembros
1. Con el cursor en forma de flecha (pointer) haga clic sobre cada miembro que
posea el mismo tipo de sección, esto seleccionará el o los miembros del mismo
material y de la misma sección; un miembro queda seleccionado cuando se muestra
con línea punteada, para deseleccionar un miembro basta con hacer clic nuevamente
sobre él.
2. Una vez seleccionados los miembros se presiona el botón Assign Frame
Sections de la barra de herramientas en la pantalla. Esto activa el cuadro de diálogo
Define Frame Sections, en este cuadro de diálogo seleccionar de la lista el tipo de
sección que corresponde a los miembros seleccionados. Presionar el botón OK.
Esto asigna el tipo de sección al miembro y se muestra en la pantalla el nombre de la
sección sobre cada uno de estos. El proceso anterior se repite hasta que queden asignadas
todas las secciones.
Asignación de las Cargas en los Nodos
1. Con el cursor en forma de flecha (pointer) haga clic sobre cada nodo al que desea
asignar una condición de carga, esto seleccionará el nodo; un nodo queda
seleccionado cuando se muestra con una x sobre él, para deseleccionar un nodo basta
con hacer clic nuevamente sobre él.
2. Una vez seleccionado un nodo se presiona el botón Assign Joint Loading de la
barra de herramientas en la pantalla. Esto activa el cuadro de diálogo Joint Forces.
apropiadas.
- En el cuadro de lista del campo Load Case Name seleccionar el caso de carga
al que pertenece la fuerza o el momento a aplicar sobre el nodo.
- En la zona Loads escribir el valor de la fuerza o momento con su signo según
el eje en el que actúa, en el campo correspondiente según el caso: Force
Global X, Force Global Y o Force Global Z si se aplica una fuerza
concentrada, o Moment Global XX, Moment Global YY o Moment Global
ZZ si se aplica un momento.
- Asegúrese que en la zona Options se encuentra seleccionada la opción Add to
existing loads si la carga es nueva o Replace existing loads si se desea

Francisco D’Amico, UNIMET Deformada 22
reemplazar la carga, si se selecciona Delete existing loads se borran todas las
cargas sobre el nodo seleccionado.
Presionar el botón OK para cerrar el cuadro de diálogo y confirmar la asignación de
cargas, en la ventana activa se muestran las cargas actuando en los nodos previamente
seleccionados. El proceso anterior se repite para cada nodo cargado y para cada condición
de carga.
Análisis del Modelo
1 Atención: Antes de continuar guarde el modelo bajo un nombre adecuado en una zona
apropiada en el disco duro.
Para analizar el modelo estructural antes definido simplemente presione el botón Run
Analysis del cuadro de herramientas de la pantalla.
Si no ha salvado aún su modelo se le pedirá que lo haga en este momento, si el modelo no
es guardado en el disco duro no se puede ejecutar el análisis.
Inmediatamente comienza el análisis por parte del programa, aparece una ventana en la
cual se indica el estado del proceso y un mensaje indicando el término del mismo. Si el
modelo se ha analizado satisfactoriamente se podrá leer el mensaje Analysis Complete!,
en caso contrario se muestra el mensaje Analysis Incomplete!. Si el programa no puede
analizar el modelo revise la vinculación o asegúrese de que el modelo creado no
representa un mecanismo.
Visualización de la Deformada
Luego de completado el análisis el SAP2000 muestra automáticamente la deformada de
la estructura para el caso de carga LOAD1, este caso de carga es seleccionado por
defecto; para ver la deformada por la acción de los demás casos de carga se deben seguir
los siguientes pasos:
1. Activar la ventana sobre la cual se desee observar la deformada. Recuerde que para
activar una ventana basta con hacer clic en cualquier zona sobre ella.
2. Presionar el botón Display Static Deformed Shape en la barra de herramientas,
esto activa el cuadro de diálogo llamado Deformed Shape.
- En el cuadro de lista de la zona Load seleccionar el caso de carga del cual se
desea obtener la deformada.
- Se puede activar la casilla de verificación Wire Shadow para que el programa
nos muestre la deformada de la estructura sobrepuesta a la forma original.

Francisco D’Amico, UNIMET Desplazamientos, Rotaciones y Reacciones 23
- Presionar el botón OK, esto cierra el cuadro de diálogo y muestra la
deformada bajo la condición de carga seleccionada en la ventana activa.
Cuando se muestra la deformada es posible animar el movimiento de la estructura
presionando el botón Start Animation en la zona inferior de la ventana activa.
Para regresar a la forma original de la estructura se debe presionar el botón Show
Undeformed Shape en la barra de herramientas.
Obtención de las Rotaciones y de los Desplazamientos
Nodales
apropiadas.
Es posible obtener el valor de la rotación y el desplazamiento de cada nodo según los tres
ejes de coordenadas locales directamente sobre la deformada de la estructura. Sobre una
ventana que muestre la deformada sitúe el cursor (pointer) sobre el nodo en el que se
desean conocer los valores de rotación y traslación, presione el botón derecho del mouse
y aparecerá una ventana llamada Joint Displacements sobre la cual se muestra la
identificación del nodo (su número) y los valores de las rotaciones y las traslaciones
según cada eje.
Recuerde que para la mayoría de los modelos creados por el SAP2000 el sistema de
coordenadas locales de un nodo dado por 1, 2, 3 equivale a X, Y, Z (en el orden
indicado).
1 Atención: Los valores de rotaciones y traslaciones que se reportan para cada nodo son los
producidos por la condición de carga para la cual se muestra la deformada.
Obtención de las Reacciones en los Vínculos
apropiadas.
Para obtener el valor de las reacciones en los vínculos de la estructura es suficiente con
presionar el botón Joint Reaction Forces en la barra de herramientas, esto activa
el cuadro de diálogo Joint Reaction Forces. En este cuadro de diálogo:
- En el cuadro de lista de la zona Load seleccionar el caso de carga para el cual
se desea obtener el valor de las reacciones.
- En la zona Type activar la opción Reactions.

Francisco D’Amico, UNIMET Solicitaciones 24
- Presionar OK.
Automáticamente el programa muestra el valor y sentido de cada una de las reacciones
sobre los nodos de la estructura que poseen vínculos a tierra.
Solicitaciones en los Miembros
apropiadas.
Como ejemplo se mostrará el procedimiento para graficar la fuerza axial sobre cada
miembro, de forma similar se puede obtener los gráficos de las otras características de
solicitación.
1. Presionar el botón Member Force Diagram for Frames en la barra de
herramientas, esto activa el cuadro de diálogo Member Force Diagram for Frames.
En este cuadro de diálogo:
se desea obtener el diagrama de fuerza axial.
- En la zona Component seleccionar el tipo de diagrama a graficar, en este caso
Axial Force.
- Presionar OK.
Automáticamente el programa grafica el diagrama para el componente (característica de
solicitación) seleccionado de cada miembro de la estructura. Para obtener el diagrama en
detalle de un miembro cualquiera basta con ubicarse con el cursor sobre el miembro y
presionar el botón derecho del mouse, esto activará una ventana en la cual se muestra el
diagrama aislado para dicho miembro y los valores punto a punto.
& Para obtener mayor información consulte los manuales “Graphic User Interface”,
“Basic Analysis Reference” incluidos en el SAP2000.

Francisco D’Amico, UNIMET Modelo Estructural 25
C a p í t u l o V
REFERENCIAS AL ANÁLISIS BÁSICO EN SAP2000
Edición de Grid Lines
Introducción
En este capítulo estudiaremos cómo crear modelos estructurales diferentes a los
predefinidos en la opción “Model Templates” del SAP2000, a partir de la edición de las
“grid lines”. Las grid lines son líneas de referencia trazadas a partir de los ejes de
coordenadas y sobre las cuales se ubican los nodos de la estructura; un conjunto de grid
lines conforma planos de visualización para el modelo estructural.
Si una estructura no posee el número de grid lines suficientes y ubicados de forma
correcta sobre sus nodos, es muy probable que el usuario no pueda trabajar sobre algunos
de los planos que contienen al modelo, esto dificulta el análisis y la interpretación de los
resultados. Además, una definición previa de todas las grid lines facilitará el proceso de
creación del modelo estructural.
Como ejemplo a seguir en el proceso de edición de grid lines se analizará una viga de seis
tramos sometida a varios tipos de carga permanente. Únicamente se desean conocer los
valores de las reacciones y las solicitaciones debidas a la carga permanente siguiendo un
procedimiento similar al utilizado en los primeros cursos de Mecánica Racional.
El Modelo Estructural
El modelo estructural corresponde a una viga hiperestática de seis tramos con longitudes
diferentes, la sección de la viga es constante de tramo en tramo. Para este caso en

Capítulo V: Referencias al Análisis Básico en SAP2000
Francisco D’Amico, UNIMET Grid Lines 26
particular no interesará el tipo de material que compone a la sección debido a que se
despreciarán los efectos de carga debidos al peso propio de la viga, por lo tanto las únicas
cargas que se considerarán son las indicadas como cargas permanentes. Además no se
tomarán en cuenta los efectos de deformación producidos por la fuerza axial ni por la
fuerza cortante, es decir que únicamente se consideran deformaciones por momento.
Las simplificaciones anteriores permiten que el análisis realizado por el SAP2000
coincida con un análisis tradicional como el empleado en un curso de Mecánica Racional
o de Resistencia de Materiales típico de los primeros semestres de la carrera.
A continuación se muestra el modelo de la viga a estudiar:
Figura 1
Modelo matemático de una viga hiperestática.
Definición de las Grid Lines
1. Una vez iniciado el programa, seleccionar el tipo de unidad en la cual se desee
trabajar, las unidades deberán ser las adecuadas según el modelo estructural a crear,
para este caso se selecciona kgf –m.
2. En el menú File seleccionar New Model..., esto activa el cuadro de diálogo llamado
Coordinate System Definition, en este cuadro de diálogo se trabajará sobre la zona
correspondiente a la pestaña Cartesian, para obtener un sistema de coordenadas
cartesiano.
5.00 5.00
6.00 6.00
1.00
.75
1.00
.75
1.00
.75
1.00
.75
5000 kgf/m 5000 kgf/m
4500 kgf
1500 kgf 1500 kgf
2000 kgf
1500 kgf 1500 kgf
2000 kgf
A
A
.40
.60
SECCIÓN A-A: (TÍPICA)
5.00 5.00
6.00 6.00
3.50 3.50
1 2 3 4 5 6 7
5.00 5.00
6.00 6.00
1.00
.75
1.00
.75
1.00
.75
1.00
.75
5.00 5.00
6.00 6.00
1.00
.75
1.00
.75
1.00
.75
1.00
.75
5000 kgf/m 5000 kgf/m
4500 kgf
1500 kgf 1500 kgf
2000 kgf
1500 kgf 1500 kgf
2000 kgf
A
A
A
A
.40
.60
.40
.60
5.00 5.00
6.00 6.00
3.50 3.50
1
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7
Figura V – 1
Modelo matemático de una viga hiperestática.

Francisco D’Amico, UNIMET Grid Lines 27
En el cuadro de diálogo anterior se observan dos zonas: la primera llamada Number of
Grid Spaces se utiliza para indicar el número de segmentos entre los cuales se dividirá
cada eje cartesiano; cada segmento estará delimitado por dos grid lines, una a cada lado.
La segunda zona llamada Grid Spacing se utiliza para indicar la longitud de cada uno de
los segmentos entre los cuales se divide cada eje cartesiano, según lo indicado
anteriormente. Nótese que todos los segmentos para un eje deben tener la misma
longitud, no se pueden definir desde este cuadro de diálogo segmentos de diferente
longitud sobre un mismo eje.
Para el caso particular de la viga que se desea simular, ésta se encuentra ubicada sobre el
plano XZ con el eje Z vertical, por lo tanto no se necesitan crear espacios grid sobre el
eje Y. Como el modelo no se eleva sobre el eje Z tampoco son necesarios espacios grid
en el eje Z. Dado que la longitud total de la viga es de 29 m será suficiente con disponer
de 29 espacios grid sobre el eje X separados por una distancia de 1 m entre cada uno de
ellos. En la mayoría de los casos es conveniente mantener el espaciamiento inicial entre
las grid lines igual a la unidad, para luego editar el conjunto formado y aumentar o
disminuir el espaciamiento según convenga.
En base a lo antes explicado el proceso de definición continúa así:
3. En la zona Number of Grid Spacing:
- En el campo X direction escribir 29
- En el campo Y direction escribir 0
- En el campo Z direction escribir 0
4. En la zona Grid spacing:
- En el campo X direction escribir 1
- En el campo Y direction escribir 1
- En el campo Z direction escribir 1
Esto indica que entre cada grid line existe una distancia de 1 m.
5. Presionar OK. El cuadro de diálogo se cierra y automáticamente se muestran dos
ventanas, la de la izquierda con una vista 3D y la de la derecha con una vista del
plano xy.
6. Activar la ventana de la derecha haciendo clic sobre ella y con el botón XZ de la
barra de herramientas cambiar la vista según el plano XZ.
Ahora es necesario adaptar el conjunto de grid lines al modelo de la viga a simular.
Nótese que el eje X ha quedado dividido en 29 segmentos, cada segmento se encuentra
delimitado por una línea de color gris que llamamos grid line, en total se tienen 30 grid
lines. El eje XZ y el origen de coordenadas se encuentran ubicados en el centro del
conjunto de grid lines.
Cada grid line se define a partir de una coordenada desde el origen y según el eje al que
divide o atraviesa perpendicularmente. Sobre las intersecciones de las grid lines se
dibujan los nodos de un modelo estructural.

Francisco D’Amico, UNIMET Dibujo del Modelo 28
A continuación se muestra un modelo de la viga sobre el cual se han indicado las grid
lines que atraviesan al eje X y que se intersectan con la que corresponde a Z = 0; en
dichas intersecciones se dibujan los nodos que delimitan cada tramo de la viga. En cada
grid line se ha anotado su coordenada según el eje X.
El siguiente paso es el de adaptar el conjunto de grid lines obtenido en el punto 6 para
que se asemeje al mostrado en la figura anterior, para ello se procede a la edición del
grid:
7. En el menú Draw seleccionar la opción Edit Grid..., esto activa el cuadro de diálogo
Modify Grid Lines, en este cuadro de diálogo:
- En la zona Direction seleccionar X, para modificar las grid lines
perpendiculares al eje X.
- En la zona X Location se observa un cuadro de lista con todas las
coordenadas en X de las grid lines existentes. Sobre el cuadro de lista se
encuentra un campo en blanco sobre el cual se pueden escribir nuevas
coordenadas y agregar grid lines a la lista utilizando el botón Add Grid Line
de la zona Click to:.
- Se pueden eliminar las grid lines que no se necesitan para definir la geometría
del modelo estructural seleccionando su coordenada en la lista y haciendo clic
sobre el botón Delete Grid Line.
8. Una vez definidas las nuevas coordenadas se presiona OK, esto cierra el cuadro de
diálogo y actualiza automáticamente la ventana con la vista del plano XZ sobre la
cual se muestran las nuevas grid lines con su nuevo espaciamiento.
Dibujo del Modelo Estructural
Una vez definido el grid se procede a dibujar sobre éste el modelo a simular. Para un
modelo estructural cualquiera el SAP2000 permite dibujar los nodos y luego las barras o
de una vez dibujar barras con nodos en sus extremos. Para el caso del modelo de la viga
utilizada como ejemplo se utilizará la segunda de las opciones mencionadas:
Z
X
-14,50 -9,50 -6,00 0,00 6,00 9,50 14,50
Z
X
-14,50 -9,50 -6,00 0,00 6,00 9,50 14,50
Z
X
-14,50 -9,50 -6,00 0,00 6,00 9,50 14,50

Francisco D’Amico, UNIMET Definición de Materiales 29
1. En la ventana con la vista según el plano XZ activa, presionar el botón Draw
Frame Element de la barra de herramientas vertical de la pantalla principal.
2. Colocar el cursor sobre la primera intersección del grid a la izquierda de la ventana
para comenzar a dibujar el primer tramo de la viga, dar un clic con el mouse para fijar
el primer nodo en dicha intersección y arrastrar el cursor hacia la siguiente
intersección, una vez ubicado, dar un nuevo clic para fijar el segundo nodo,
automáticamente se dibuja el frame (miembro o barra) que corresponde al primer
tramo de la viga. Repetir el proceso anterior moviendo el cursor sobre cada
intersección del grid y fijando los nodos haciendo clic sobre éstas, una vez dibujados
todos los tramos se coloca el cursor sobre el último nodo dibujado y con un doble
clic del mouse se desactiva el comando para dibujar barras.
3. Seleccionar todos los nodos del modelo y presionar el botón Assign Joint
Restraints de la barra de herramientas principal. Esto activa el cuadro de diálogo
llamado Joint Restraints, en este cuadro de diálogo:
- En la zona Fast Restraints presionar el botón con el dibujo de la articulación.
- En la zona Restraints in Local Directions activar las casillas
correspondientes a Rotation about 1 y Rotation about 3; lo cual liberará
únicamente la rotación alrededor del eje 2 local (Y global).
4. Presionar el botón OK para cerrar el cuadro de diálogo, automáticamente el programa
asigna los vínculos en cada nodo seleccionado.
El proceso anterior se puede repetir para asignar cualquier tipo de vínculo sobre cualquier
nodo del modelo estructural.
Definición de los Materiales
Para esta estructura no se especifica ningún material, así que se definirá un tipo de
material del cual sólo se suministrará el valor del módulo de elasticidad que es
indispensable para que el programa realice el análisis. Al no especificar ningún material
se busca que el análisis sea para encontrar valores de reacciones y solicitaciones sólo por
cargas externas, de la forma tradicional utilizada en los primeros cursos de Mecánica
Racional.
Pasos para definir el nuevo material:
1. En el menú Define, seleccionar Materials..., esto activa el cuadro de diálogo para la
definición de materiales llamado Define Materials.
2. En este cuadro de diálogo presionar el botón Add New Material, lo cual activa el
cuadro de diálogo para la definición de las propiedades del nuevo material llamado
Material Property Data.
- Escribir el nombre del material en el campo Material Name, por ejemplo
MAT1.
- Marcar el tipo de material en el campo Type of Material, en este caso
Isotropic

Francisco D’Amico, UNIMET Definición de Secciones 30
- Seleccionar el tipo de diseño en el campo Type of Design, en este caso Other.
apropiadas.
En la zona Analysis Property Data:
- Asignar cero al valor de la masa por unidad de volumen en el campo Mass
per unit Volume.
- Asignar cero al valor del peso por unidad de volumen en el campo Weight
per unit Volume.
Lo antes realizado produce que el programa no tome en cuenta la carga debida al
peso propio.
- Escribir cualquier valor del módulo de elasticidad en el campo Modulus of
Elasticity.
- Asignar cero al valor de la relación de Poisson en el campo Poisson’s Ratio.
- Asignar cero al valor del coeficiente de expansión térmica en el campo Coeff
of Termal Expansion.
Esto confirma los valores ingresados en la unidad de medida activa, con lo cual se regresa
al cuadro de diálogo Define Materials. Nótese que en la zona Materials aparece listado
el nuevo material definido bajo el nombre de MAT1.
Presionando el botón OK se completa el proceso de definición del nuevo material.
Definición de las Secciones Estructurales
1. En el menú Define, seleccionar Frame Sections..., esto activa el cuadro de diálogo
para la definición de secciones llamado Define Frame Sections.
2. En este cuadro de diálogo seleccionar Add Rectangular en el segundo cuadro de lista
de la zona Click to:. Esto activa el cuadro de diálogo para la definición de la
geometría del tipo de sección rectangular llamado Rectangular Section.
- Escribir un nombre para la sección no mayor de ocho caracteres en el campo
Section Name.
- En el cuadro de lista del campo Material seleccionar el material del que se
compone la sección, en este caso seleccionar MAT1.
apropiadas.
En la zona Dimensions:
- Escribir el valor de la altura de la sección en el campo Depth (t3).
- Escribir el valor de la base de la sección en el campo Width (t2).

Francisco D’Amico, UNIMET Definición de Cargas y Secciones 31
Aunque para este ejemplo no nos interesan las especificaciones del material ni de la
sección, se suministran unas dimensiones para que el programa realice el análisis, sin
embargo estos valores no modificarán los resultados de las reacciones ni de las
solicitaciones ya que el material no es real.
Además de despreciar el peso propio de la viga, es necesario indicarle al programa que
desprecie los efectos de deformación debidos a la fuerza axial y a la fuerza cortante, para
ello basta con seguir los pasos dados a continuación:
En la zona Properties del cuadro de diálogo Rectangular Section presionar el
botón Modification Factors, esto activa un cuadro de diálogo llamado Analysis
Property Modification Factors, en este cuadro de diálogo:
- En el campo Cross-section (axial) area asignar un valor muy grande, por
ejemplo 1000.
- En el campo Shear area in 2 direction asignar cero.
- En el campo Shear area in 3 direction asignar cero.
Una vez ingresados todos los valores se presiona el botón OK para cerrar el cuadro de
diálogo Define Frame Sections.
Definición de las Cargas Estáticas
1. En el menú Define, seleccionar Static Load Cases..., esto activa el cuadro de diálogo
para la definición de los casos de carga llamado Define Static Load Case Names.
En la zona Loads:
- Escribir el nombre del caso de carga en el campo Load, para el caso de carga
permanente se utilizará el nombre CP.
- En el cuadro de lista del campo Type seleccionar el tipo de carga: DEAD para
permanente.
- En el campo Self Weight Multiplier escribir 1.
- Presionar el botón Add New Load para agregar el nuevo caso de carga a la
lista.
- Presionar el botón OK para cerrar el cuadro de diálogo.
Asignación de las Secciones para los Miembros
1. Con el cursor en forma de flecha (pointer) haga clic sobre cada miembro que
posea el mismo tipo de sección, esto seleccionará el o los miembros del mismo
material y de la misma sección; un miembro queda seleccionado cuando se muestra
con línea punteada, para deseleccionar un miembro basta con hacer clic nuevamente
sobre él

Francisco D’Amico, UNIMET Asignación de Cargas 32
2. Una vez seleccionados los miembros se presiona el botón Assign Frame
Sections de la barra de herramientas en la pantalla. Esto activa el cuadro de diálogo
Define Frame Sections, en este cuadro de diálogo seleccionar de la lista el tipo de
sección que corresponde a los miembros seleccionados. Presionar el botón OK.
Esto asigna el tipo de sección al miembro y se muestra en la pantalla el nombre de la
sección sobre cada uno de estos. El proceso anterior se repite hasta que queden
asignadas todas las secciones.
Asignación de las Cargas en los Miembros
4. Con el cursor en forma de flecha (pointer) haga clic sobre cada miembro al que desea
asignar una condición de carga, esto seleccionará el miembro; un miembro queda
seleccionado cuando se muestra con línea punteada, para deseleccionar un miembro
basta con hacer clic nuevamente sobre él.
5. Una vez seleccionado un miembro se presiona el botón Assign Frame Span
Loading de la barra de herramientas principal en la pantalla. Esto activa el cuadro de
diálogo Point and Uniform Span Loads. A través de este cuadro de diálogo se
pueden asignar cargas uniformes, puntuales y momentos sobre un miembro
cualquiera.
apropiadas.
6. En el cuadro de diálogo anterior:
al que pertenece la fuerza o el momento a aplicar sobre el miembro.
- En la zona Load Type and Direction seleccionar la opción Forces para
aplicar fuerzas o Moments para aplicar momentos; luego seleccionar el
sentido según el que actúa la fuerza, del cuadro de lista Direction.
cargas sobre el miembro seleccionado.
- En la zona Point Loads seleccionar la opción Absolute Distance from End-
I, para medir las distancias de aplicación de las cargas puntuales desde el
comienzo del tramo. En esta misma zona se dispone de dos filas de cuatro
casillas cada una, en la primera fila que corresponde a Distance se escribe la
distancia, desde el comienzo del tramo, a la que se encuentra aplicada la carga
puntual o el momento, ya que si se selecciona la opción Moments esta misma
zona sirve para asignarlos. En la segunda fila que corresponde a Load se
escribe, debajo de la casilla que contiene el valor de la distancia, la magnitud
de la carga puntual o el momento que actúa. En este cuadro de diálogo se
dispone solamente de cuatro casillas lo que permite asignar sólo cuatro cargas
puntuales o momentos a la vez, en caso de querer asignar más de cuatro, se
presiona OK, se vuelve a seleccionar el miembro y presionando de nuevo el

Francisco D’Amico, UNIMET Asignación de Cargas 33
botón Point and Uniform Span Loads se pueden definir de forma similar
cuatro cargas más que se agregarán a las ya asignadas.
- En caso de querer asignar una carga uniforme se trabaja con el campo Uniform
Load en el cual se escribe el valor de la carga uniforme que actúa según la
dirección especificada en el cuadro de lista Direction de la zona Load Type
and Direction.
- Presionar el botón OK para cerrar el cuadro de diálogo y confirmar la
asignación de cargas, en la ventana activa se muestran las cargas actuando en
los miembros previamente seleccionados. El proceso anterior se repite para
cada miembro cargado y para cada condición de carga.
Para asignar cargas triangulares o trapezoidales sobre un miembro se sigue un proceso
diferente:
1. Seleccione el miembro que posee carga triangular o trapezoidal.
2. En el menú Assign seleccione la opción Frame Static Loads y en el cuadro de
opciones mostrado seleccione Trapezoidal..., esto activa el cuadro de diálogo
llamado Trapezoidal Span Loads.
al que pertenece la fuerza o el momento a aplicar sobre el miembro.
- En la zona Load Type and Direction seleccionar la opción Forces y luego
seleccionar el sentido según el que actúa, del cuadro de lista Direction.
cargas sobre el miembro seleccionado.
- En la zona Trapezoidal Loads seleccionar la opción Absolute Distance from
End-I.
- Si la carga es triangular y creciente hacia la derecha, se escribe un cero en la
primera casilla correspondiente a Distance y el valor de la longitud en la cual
la carga alcanza su máxima magnitud en la casilla siguiente; luego en la
primera casilla de la zona Load se escribe cero y el valor máximo de la carga
en la casilla siguiente, de esta forma cada distancia queda sobre el
correspondiente valor de carga en ese punto. Si la carga es triangular y
decreciente hacia la derecha se sigue el mismo proceso pero el valor en la
primera casilla de la zona Load será la máxima magnitud de la carga y en la
casilla siguiente será cero.
- Si la carga es trapezoidal se puede definir de igual forma que la triangular
indicando la distancia en la que actúa y el valor de cada carga en los extremos
del trapecio.
Obsérvese que para definir un caso de carga triangular o uno trapezoidal es suficiente con
llenar dos casillas correspondientes a Distance y dos casillas correspondientes a Load.
- Presionar el botón OK para cerrar el cuadro de diálogo y confirmar la
asignación de cargas, en la ventana activa se muestran las cargas trapezoidales

Francisco D’Amico, UNIMET Análisis del Modelo 34
o triangulares actuando en los miembros previamente seleccionados. El proceso
anterior se repite para cada miembro cargado y para cada condición de carga.
Análisis del Modelo
1 Atención: Antes de continuar guarde el modelo bajo un nombre adecuado en una zona
apropiada en el disco duro.
Para analizar el modelo estructural antes definido simplemente presione el botón Run
Analysis del cuadro de herramientas de la pantalla.
Si no ha salvado aún su modelo se le pedirá que lo haga en este momento, si el modelo no
es guardado en el disco duro no se puede ejecutar el análisis.
Inmediatamente comienza el análisis por parte del programa, aparece una ventana en la
cual se indica el estado del proceso y un mensaje indicando el término del mismo. Si el
modelo se ha analizado satisfactoriamente se podrá leer el mensaje Analysis Complete!,
en caso contrario se muestra el mensaje Analysis Incomplete!. Si el programa no puede
analizar el modelo revise la vinculación o asegúrese de que el modelo creado no
represente un mecanismo.
Visualización de la Deformada
Luego de completado el análisis el SAP2000 muestra automáticamente la deformada de
la estructura para el caso de carga LOAD1, este caso de carga es seleccionado por
defecto; para ver la deformada por la acción de los demás casos de carga se deben seguir
los siguientes pasos:
4. Activar la ventana sobre la cual se desee observar la deformada. Recuerde que para
activar una ventana basta con hacer clic en cualquier zona sobre ella.
5. Presionar el botón Display Static Deformed Shape en la barra de herramientas,
esto activa el cuadro de diálogo llamado Deformed Shape.
- En el cuadro de lista de la zona Load seleccionar el caso de carga del cual se
desea obtener la deformada.
- Se puede activar la casilla de verificación Wire Shadow para que el programa
nos muestre la deformada de la estructura sobrepuesta a la forma original.
- Presionar el botón OK, esto cierra el cuadro de diálogo y muestra la
deformada bajo la condición de carga seleccionada en la ventana activa.
Cuando se muestra la deformada es posible animar el movimiento de la estructura
presionando el botón Start Animation en la zona inferior de la ventana activa

Francisco D’Amico, UNIMET Rotaciones, Desplazamientos y Reacciones 35
Para regresar a la forma original de la estructura se debe presionar el botón Show
Undeformed Shape en la barra de herramientas.
Obtención de las Rotaciones y de los Desplazamientos
Nodales
apropiadas.
Es posible obtener el valor de la rotación y el desplazamiento de cada nodo según los tres
ejes de coordenadas locales directamente sobre la deformada de la estructura. Sobre una
ventana que muestre la deformada sitúe el cursor (pointer) sobre el nodo en el que se
desean conocer los valores de rotación y traslación, presione el botón derecho del mouse
y aparecerá una ventana llamada Joint Displacements sobre la cual se muestra la
identificación del nodo (su número) y los valores de las rotaciones y las traslaciones
según cada eje.
Recuerde que para la mayoría de los modelos creados por el SAP2000 el sistema de
coordenadas locales de un nodo dado por 1, 2, 3 equivale a X, Y, Z (en el orden
indicado).
1 Atención: Los valores de rotaciones y traslaciones que se reportan para cada nodo son los
producidos por la condición de carga para la cual se muestra la deformada.
Obtención de las Reacciones en los Vínculos
apropiadas.
Para obtener el valor de las reacciones en los vínculos de la estructura es suficiente con
presionar el botón Joint Reaction Forces en la barra de herramientas, esto activa el
cuadro de diálogo Joint Reaction Forces. En este cuadro de diálogo:
se desea obtener el valor de las reacciones.
- En la zona Type activar la opción Reactions.
- Presionar OK.
Automáticamente el programa muestra el valor y sentido de cada una de las reacciones
sobre los nodos de la estructura que poseen vínculos a tierra.

Francisco D’Amico, UNIMET Solicitaciones 36
Solicitaciones en los Miembros
apropiadas.
Como ejemplo se mostrará el procedimiento para graficar la fuerza cortante sobre cada
miembro, de forma similar se pueden obtener los gráficos de las otras características de
solicitación.
2. Presionar el botón Member Force Diagram for Frames en la barra de
herramientas, esto activa el cuadro de diálogo Member Force Diagram for Frames.
En este cuadro de diálogo:
se desea obtener el diagrama de fuerza axial.
- En la zona Component seleccionar el tipo de diagrama a graficar, en este caso
Shear 2-2.
- Presionar OK.
Automáticamente el programa grafica el diagrama para el componente (característica de
solicitación) seleccionado de cada miembro de la estructura. Para obtener el diagrama en
detalle de un miembro cualquiera basta con ubicarse con el cursor sobre el miembro y
presionar el botón derecho del mouse, esto activará una ventana en la cual se muestra el
diagrama aislado para dicho miembro y los valores punto a punto.
&Para obtener mayor información consulte los manuales “Graphic User Interface” y
“Basic Analysis Reference” y “Analyisis Reference” incluidos en el SAP2000.

Francisco D’Amico, UNIMET Arcos Circulares 37
Vigas de Eje Curvo
Introducción
En este capítulo se estudiarán algunos casos sencillos de vigas con eje curvo, contenido
en el mismo plano en el que se encuentran las fuerzas externas; como una simplificación
para el análisis se supondrá que todas las secciones tienen uno de sus ejes principales de
inercia contenidos en el mismo plano antes mencionado.
Se analizarán dos casos comúnmente presentes en la Ingeniería Civil: arcos circulares y
arcos parabólicos. Las ecuaciones que describen la curvatura del eje en cada uno de los
casos a estudiar, serán de particular conveniencia para mostrar la facilidad con la cual se
pueden crear modelos estructurales en SAP2000, relativamente complicados, utilizando
las posibilidades de combinación con Excel.
Arcos Circulares
Consideremos un arco circular de radio R, de sección constante y simétrico, apoyado
sobre le eje de las x, como el mostrado en la figura V-2.
Figura V - 2
Modelo de arco circular.
La ecuación que define la forma del arco en función del radio R y del ángulo θ medido
desde el eje de las x en sentido antihorario hasta una posición arbitraria de R es:
r R
= 2 senθ (1)
Las coordenadas de un punto cualquiera P ubicado sobre el arco serán:
x R
= cosθ (2)
z R
= senθ (3)
Si se conoce el valor de R y se ubican una serie de puntos (nodos), al estilo de P, que
dividan el arco en un número finito de segmentos iguales, obtendremos una forma de
simular el problema en SAP2000 con una muy buena aproximación.
R
θ
x
P
z

La diferencia entre la condición real y la simulación por SAP2000 cuando se analizan
vigas de eje curvo, está representada por el hecho de que en el modelo estructural creado
cada segmento es una línea recta, mientras que en el caso real cada segmento es una línea
que posee una cierta curvatura; esto no afectará mayormente los resultados si se toman un
gran número de segmentos, lo cual no demandará de mucho esfuerzo por parte del
usuario ya que se utilizará una hoja de trabajo en Excel para generar, de forma
automática, las coordenadas de cada nodo que delimita cada segmento.
Simulación en SAP2000
A continuación se muestra una forma de crear un modelo en SAP2000 para simular un
arco circular, utilizando Excel como herramienta para obtener las coordenadas de los
nodos. Una vez establecidas las coordenadas y escritas de forma ordenada siguiendo un
esquema que el SAP2000 pueda interpretar, se importará esta información simplemente
utilizando el comando paste sobre la pantalla que representa el plano de estudio en el
SAP2000.
Para crear el modelo del arco circular primero se debe establecer el número de segmentos
en que será divido el arco, todos los segmentos serán de igual longitud. La longitud s de
cada segmento será igual al radio del arco R por el ángulo θ, en radianes, que se forma
entre los radios trazados desde el centro del arco hasta cada uno de los nodos que
delimitan dicho segmento. (Véase la figura V-3).
Nótese que mientras mayor sea el número de segmentos entre los cuales se divida la
longitud total del arco, mayor será la semejanza con la situación real. El número de
segmentos a tomar estará restringido por la capacidad de la versión de SAP2000 con la
cual se trabaje. Si se divide el arco en n segmentos iguales, se tendrán n+1 nodos, y el
valor del ángulo θ para cada segmento será π/n. Obsérvese que al dividir π entre el
número de segmentos n se está obligando a que el arco tenga forma de semicírculo, como
en la figura V-2, también se podrán construir modelos de arcos circulares que posean un
ángulo total menor que π.
Una vez establecido el número de segmentos se procede a elaborar la tabla en Excel
donde se calcularán las coordenadas x,z de cada nodo utilizando las ecuaciones (2) y (3)
respectivamente. Recuérdese que esta tabla debe seguir un formato especial para que sea
interpretada correctamente por el SAP2000. A continuación se muestra una tabla de
coordenadas obtenida para el arco semicircular de la figura V-3, el cual posee un radio de
4,50 m y ha sido dividido en 18 segmentos, formándose así una figura de 19 nodos; para
este caso el valor del ángulo θ es de π/18.

TYPE NAME X Y Z
POINT 1 4.5000 0 0
POINT 2 4.4316 0 0.7814
POINT 3 4.2286 0 1.5391
POINT 4 3.8971 0 2.2500
POINT 5 3.4472 0 2.8925
POINT 6 2.8925 0 3.4472
POINT 7 2.2500 0 3.8971
POINT 8 1.5391 0 4.2286
POINT 9 0.7814 0 4.4316
POINT 10 0 0 4.5000
POINT 11 -0.7814 0 4.4316
POINT 12 -1.5391 0 4.2286
POINT 13 -2.2500 0 3.8971
POINT 14 -2.8925 0 3.4472
POINT 15 -3.4472 0 2.8925
POINT 16 -3.8971 0 2.2500
POINT 17 -4.2286 0 1.5391
POINT 18 -4.4316 0 0.7814
POINT 19 -4.5000 0 0
Tabla 1
Coordenadas de los nodos para una arco circular.
Figura V - 3
Modelo para la simulación de un arco circular en SAP2000.
La tabla de coordenadas puede ser elaborada programando cada celda con la función
predefinida en Excel que aplique al caso, o puede ser obtenida por medio de una macro
codificada en VBA. De igual forma es posible generar una tabla de coordenadas, para
dibujar automáticamente cada uno de los segmentos (miembros) que conforman el
modelo estructural. Dicha tabla sigue un esquema similar a la de los nodos con la
diferencia de que se deben escribir las coordenadas iniciales y finales de cada miembro.
Fácilmente se puede notar que dichas coordenadas coinciden con las de los nodos entre
los cuales se encuentra el miembro; en forma general un miembro (frame, para el
SAP2000), se define a partir de un nodo inicial que llamaremos I hasta otro final que se
θ
Pi
R
s
x
z

llamará J, entonces su ubicación en el espacio se encontrará determinada por 6
coordenadas que serán XI, YI, ZI, (para el nodo inicial) y XJ, YJ, ZJ, (para el nodo final).
Para el ejemplo considerado, la tabla de coordenadas para los segmentos del arco circular
sigue el esquema mostrado a continuación:
TYPE NAME XI YI ZI XJ YJ ZJ
LINE 1 4.5000 0 0 4.4316 0 0.7814
LINE 2 4.4316 0 0.7814 4.2286 0 1.5391
LINE 3 4.2286 0 1.5391 3.8971 0 2.2500
LINE 4 3.8971 0 2.2500 3.4472 0 2.8925
LINE 5 3.4472 0 2.8925 2.8925 0 3.4472
LINE 6 2.8925 0 3.4472 2.2500 0 3.8971
LINE 7 2.2500 0 3.8971 1.5391 0 4.2286
LINE 8 1.5391 0 4.2286 0.7814 0 4.4316
LINE 9 0.7814 0 4.4316 0 0 4.5000
LINE 10 0 0 4.5000 -0.7814 0 4.4316
LINE 11 -0.7814 0 4.4316 -1.5391 0 4.2286
LINE 12 -1.5391 0 4.2286 -2.2500 0 3.8971
LINE 13 -2.2500 0 3.8971 -2.8925 0 3.4472
LINE 14 -2.8925 0 3.4472 -3.4472 0 2.8925
LINE 15 -3.4472 0 2.8925 -3.8971 0 2.2500
LINE 16 -3.8971 0 2.2500 -4.2286 0 1.5391
LINE 17 -4.2286 0 1.5391 -4.4316 0 0.7814
LINE 18 -4.4316 0 0.7814 -4.5000 0 0
Tabla 2
Coordenadas de los miembros para una arco circular.
De este modo el modelo estructural queda definido en el SAP2000, de manera sencilla, y
se puede proceder a la definición de los materiales y las cargas para luego ejecutar el
análisis. Nótese que el proceso de dibujo del modelo ha sido simplificado notablemente
mediante el uso de una hoja de trabajo en Excel, de otro modo, dibujando manualmente
cada nodo sobre el plano de estudio, se hubiera empleado un tiempo mucho mayor y el
proceso sería más laborioso.
En definitiva, cuando se deban modelar estructuras de muchos nodos, de formas un tanto
complicadas, que posean ejes curvos, o que deban seguir una cierta curva
matemáticamente definida, se recomienda el uso de Excel para crear las coordenadas de
los nodos y miembros del modelo estructural.
Utilizando el mismo proceso se mostrará la forma de simular arcos que describen curvas
diferentes como parábolas o catenarias y que tienen gran aplicación en la Ingeniería Civil.

Francisco D’Amico, UNIMET Arcos Parabólicos 41
Arcos Parabólicos
Considere el arco parabólico de la figura V-4, f es la altura total del arco o flecha y L es
la longitud horizontal total entre los apoyos o cuerda. La ecuación que define la forma de
este arco en términos de f y L es:
z
f
L
x
= −
4
2
2
(4)
Figura V - 4
Arco parabólico.
Para obtener la ecuación (4) se debe recurrir a la definición de la parábola: conjunto de
puntos P que equidistan de la directriz l y del foco F, es decir, que satisfacen (figura V-5)
PF PL
=
A partir de esta definición, podemos deducir la ecuación en x y z atendiendo al siguiente
procedimiento:
(a) (b)
Figura V - 5
Si aplicamos la definición de parábola en la figura V-5(a), obtenemos
( ) ( ) ( ) ( )
x x z p x z p
− + − = − + +
2 2 2 2
0
f
L
f
L
z = p
P (x,z)
z
x
l
F(0,-p)
L (x,p) z = p
P(L/2,-p)
z
x
F(0,-p)
L(L/2,p)

Francisco D’Amico, UNIMET Arcos Parabólicos 42
resolviendo ambos lados de la ecuación, resulta
z zp p x z zp p
2 2 2 2 2
2 2
− + = + + +
simplificando
− =
4 2
zp x
z
p
x
= −
1
4
2
la expresión anterior representa la ecuación general de una parábola, donde p es la
distancia vertical del origen de coordenadas al foco F, que es igual a la distancia vertical
entre el origen a la directriz l.
Si repetimos el proceso anterior en la figura V-5(b), donde se ha ubicado el arco
parabólico en el sistema de coordenadas xz y se ha trazado la directriz l, obtenemos la
ecuación
4
4
2
fp
L
=
resolviendo para p
p
L
f
=
2
16
sustituyendo el valor de p en la ecuación general de la parábola obtenemos la ecuación de
un arco parabólico en términos de su flecha y su cuerda (ecuación 4), éstos valores serán
siempre conocidos a partir del proyecto del arco.
Simulación en SAP2000
Para la simulación de un arco parabólico primero se obtendrán las coordenadas de los
nodos del modelo estructural, el número de nodos será tomado por el usuario,
estableciendo los valores de x tomados del intervalo –L/2 ≤ x ≤ L/2 y obteniendo los
valores de z a partir de la ecuación (4).
Luego se elaborarán en Excel las tablas de coordenadas para nodos y miembros siguiendo
el formato ya mostrado para el caso del arco circular.
Nótese que para cualquier modelo estructural bidimensional, el plano de estudio está
representado por el xz, y un proceso similar al seguido en el caso del arco circular o en el
del arco parabólico puede ser empleado para definir cualquier modelo estructural en dos o
tres dimensiones. En un modelo tridimensional los planos verticales son el xz, yz y el
plano horizontal el xy.

Francisco D’Amico, UNIMET Álgebra Matricial 43
C a p í t u l o V I
VIGAS DE CELOSÍA
Elementos de Álgebra Matricial
Sistemas de Ecuaciones Lineales
n
n
nn
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
...
.......
...
...
2
22
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
donde x1, x2, …, xn son las incógnitas.
En forma matricial:
Ax = b
En donde
[ ]












=
=
nn
n
n
n
n
ij
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11

Capítulo VI: Vigas de Celosía
{ }














=
=
n
i
x
x
x
x
x
:
2
1
{ }














=
=
n
i
b
b
b
b
b
:
2
1
A es una matriz cuadrada de nxn, x y b son vectores columna de dimensión n. La matriz A
se llama matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas y b el vector de términos
independientes.
Vectores Fila y Columna
[ ]
3
2
1 v
v
v
v =










=
3
2
1
w
w
w
w
Suma y Resta de Matrices
Para dos matrices A y B, ambas de la misma dimensión (mxn), la adición y la substracción
están definidas por:
donde
donde
ij ij ij
ij ij ij
C A B c a b
D A B d a b
= + = +
= − = −
Multiplicación Escalar
λA = [λaij]
Multiplicación Matricial
Para dos matrices A (de dimensión lxm) y B (de dimensión mxn), el producto de AB está
definido por:
∑
=
=
=
m
k
kj
ik
ij b
a
c
AB
C
1
con
donde i = 1, 2, …, l; j = 1, 2, …,n.
Nótese que, en general, AB ≠ BA, pero (AB)C = A(BC) (asociación).

Transpuesta de una Matriz
Si A = [aij], entonces la transpuesta de A es
T
ji
A a
 
=  
Nótese que (AB)T
= BT
AT
.
Matriz Simétrica
Una matriz cuadrada (nxn) A es llamada simétrica si
ji
ij
T
a
a
A
A =
= o
Matriz Unitaria (Identidad)












=
1
0
0
0
...
...
...
...
0
...
1
0
0
...
0
1
I
Nótese que AI = A, Ix = x.
Determinante de una Matriz
El determinante de una matriz cuadrada A es un número escalar denotado por |A| o por
det(A). Para matrices de 2x2 y 3x3 el determinante está dado por:
11
32
23
33
21
12
31
22
13
13
32
21
31
23
12
33
22
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
bc
ad
d
c
b
a
−
−
−
+
+
=










−
=






Los determinantes de orden superior pueden definirse por inducción de la siguiente
manera:

Si A = [aij] es una matriz nxn, sea Aij la matriz (n-1)x(n-1) obtenida a partir de A
suprimiendo su i-ésima fila y su j-ésima columna. El desarrollo del determinante |A| a lo
largo de su i-ésima fila está dado por:
( ) fija)
(i
1
1
∑
=
+
−
=
n
j
ij
ij
j
i
A
a
A
mientras que el desarrollo a lo largo de su j-ésima columna es
( )
1
1 (j fija)
n
i j
ij ij
i
A a A
+
=
= −
∑
En álgebra matricial se demuestra que cualesquiera que sean la fila y la columna utilizada
en las fórmulas anteriores, el resultado siempre será el mismo.
Matriz Singular
Una matriz cuadrada A es singular si |A| = 0, lo cual indica problemas en los sistemas de
ecuaciones (múltiples soluciones, por ejemplo).
Matriz Inversa
Para una matriz cuadrada y no singular A, su inversa A-1
se define de forma que
I
A
A
AA =
= −
− 1
1
Sea C la matriz cofactor de A definida por
( ) ij
j
i
ij M
C
+
−
= 1
donde Mij es el determinante de una matriz obtenida a partir de la eliminación de la i-
ésima fila y la j-ésima columna de A.
Entonces, la inversa de A puede obtenerse por
T
C
A
A
1
1
=
−
Podemos observar que (AB)-1
= B-1
A-1
.

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