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![Capítulo III: Solución de Vigas por Integración
Francisco D’Amico, UNIMET Relaciones q, V, M 13
Vdx
dM
qdx
dV =
−
=
Resultando así las relaciones buscadas:
V
dx
dM
q
dx
dV
=
=
es decir, la derivada de la fuerza cortante es igual a la carga unitaria; la derivada del
momento flector es igual a la fuerza cortante. También se puede observar que:
2
2
dx
M
d
q =
En forma general, para cualquier condición de carga representable por medio de una
función f que ha sido definida en un intervalo cerrado [a,b], si existe:
( ) i
n
i
i
P
x
x
f ∆
∑
=1
0
lim
se dice que f es integrable en [a,b], y podemos afirmar que:
∫
= wdx
V
∫
= Vdx
M
donde w representa la función que define la carga. Del proceso de integración resultará
una constante para cada caso que se determinará a partir de las condiciones en la frontera.
De las ecuaciones anteriores se deduce que en los segmentos sin carga (q = 0) V es
constante y M varía linealmente; mientras que en segmentos sometidos a cargas
repartidas V y M varían con leyes continuas, respectivamente de primer y segundo grado
si q es constante, de segundo y tercer grado si q varía linealmente, etc.
Si en un segmento de viga V = 0, M es constante; y viceversa, si M es constante en un
segmento, se tiene V = 0. Si V es diferente de cero, M existe y es variable; por lo tanto
puede anularse en cualquier sección, pero no en un segmento de longitud finita, de aquí
sigue que V está siempre acompañado por M, lo que quiere decir que una solicitación de
corte únicamente es posible sólo en alguna sección aislada. Una sección S de una viga
está sujeta sólo a fuerza de corte V cuando la resultante de todas las fuerzas externas que
preceden a S está contenida en el mismo plano de S y pasa por su baricentro. Pero si esto
ocurre en una sección, en las secciones vecinas se tiene también un momento flector M
debido a dicha resultante; por lo que el corte simple se puede tener en cualquier sección
aislada en donde resulte nulo M, pero no en todas las secciones de un segmento finito de
la viga. Por lo cual en general el corte está acompañado por el momento flector. En las
secciones donde la fuerza cortante se anula el momento flector es máximo.](https://image.slidesharecdn.com/vbaysap2000-221015222916-c1fcd38d/85/VBA-Y-SAP2000-pdf-21-320.jpg)
![Francisco D’Amico, UNIMET Álgebra Matricial 43
C a p í t u l o V I
VIGAS DE CELOSÍA
Elementos de Álgebra Matricial
Sistemas de Ecuaciones Lineales
n
n
nn
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
...
.......
...
...
2
22
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
donde x1, x2, …, xn son las incógnitas.
En forma matricial:
Ax = b
En donde
[ ]
=
=
nn
n
n
n
n
ij
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11](https://image.slidesharecdn.com/vbaysap2000-221015222916-c1fcd38d/85/VBA-Y-SAP2000-pdf-51-320.jpg)
![Capítulo VI: Vigas de Celosía
Francisco D’Amico, UNIMET Álgebra Matricial 44
{ }
=
=
n
i
x
x
x
x
x
:
2
1
{ }
=
=
n
i
b
b
b
b
b
:
2
1
A es una matriz cuadrada de nxn, x y b son vectores columna de dimensión n. La matriz A
se llama matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas y b el vector de términos
independientes.
Vectores Fila y Columna
[ ]
3
2
1 v
v
v
v =
=
3
2
1
w
w
w
w
Suma y Resta de Matrices
Para dos matrices A y B, ambas de la misma dimensión (mxn), la adición y la substracción
están definidas por:
donde
donde
ij ij ij
ij ij ij
C A B c a b
D A B d a b
= + = +
= − = −
Multiplicación Escalar
λA = [λaij]
Multiplicación Matricial
Para dos matrices A (de dimensión lxm) y B (de dimensión mxn), el producto de AB está
definido por:
∑
=
=
=
m
k
kj
ik
ij b
a
c
AB
C
1
con
donde i = 1, 2, …, l; j = 1, 2, …,n.
Nótese que, en general, AB ≠ BA, pero (AB)C = A(BC) (asociación).](https://image.slidesharecdn.com/vbaysap2000-221015222916-c1fcd38d/85/VBA-Y-SAP2000-pdf-52-320.jpg)
![Capítulo VI: Vigas de Celosía
Francisco D’Amico, UNIMET Álgebra Matricial 45
Transpuesta de una Matriz
Si A = [aij], entonces la transpuesta de A es
T
ji
A a
=
Nótese que (AB)T
= BT
AT
.
Matriz Simétrica
Una matriz cuadrada (nxn) A es llamada simétrica si
ji
ij
T
a
a
A
A =
= o
Matriz Unitaria (Identidad)
=
1
0
0
0
...
...
...
...
0
...
1
0
0
...
0
1
I
Nótese que AI = A, Ix = x.
Determinante de una Matriz
El determinante de una matriz cuadrada A es un número escalar denotado por |A| o por
det(A). Para matrices de 2x2 y 3x3 el determinante está dado por:
11
32
23
33
21
12
31
22
13
13
32
21
31
23
12
33
22
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
bc
ad
d
c
b
a
−
−
−
+
+
=
−
=
Los determinantes de orden superior pueden definirse por inducción de la siguiente
manera:](https://image.slidesharecdn.com/vbaysap2000-221015222916-c1fcd38d/85/VBA-Y-SAP2000-pdf-53-320.jpg)
![Capítulo VI: Vigas de Celosía
Francisco D’Amico, UNIMET Álgebra Matricial 46
Si A = [aij] es una matriz nxn, sea Aij la matriz (n-1)x(n-1) obtenida a partir de A
suprimiendo su i-ésima fila y su j-ésima columna. El desarrollo del determinante |A| a lo
largo de su i-ésima fila está dado por:
( ) fija)
(i
1
1
∑
=
+
−
=
n
j
ij
ij
j
i
A
a
A
mientras que el desarrollo a lo largo de su j-ésima columna es
( )
1
1 (j fija)
n
i j
ij ij
i
A a A
+
=
= −
∑
En álgebra matricial se demuestra que cualesquiera que sean la fila y la columna utilizada
en las fórmulas anteriores, el resultado siempre será el mismo.
Matriz Singular
Una matriz cuadrada A es singular si |A| = 0, lo cual indica problemas en los sistemas de
ecuaciones (múltiples soluciones, por ejemplo).
Matriz Inversa
Para una matriz cuadrada y no singular A, su inversa A-1
se define de forma que
I
A
A
AA =
= −
− 1
1
Sea C la matriz cofactor de A definida por
( ) ij
j
i
ij M
C
+
−
= 1
donde Mij es el determinante de una matriz obtenida a partir de la eliminación de la i-
ésima fila y la j-ésima columna de A.
Entonces, la inversa de A puede obtenerse por
T
C
A
A
1
1
=
−
Podemos observar que (AB)-1
= B-1
A-1
.](https://image.slidesharecdn.com/vbaysap2000-221015222916-c1fcd38d/85/VBA-Y-SAP2000-pdf-54-320.jpg)
![Capítulo VI: Vigas de Celosía
Francisco D’Amico, UNIMET Álgebra Matricial en Excel 47
Si el determinante de A es cero entonces la inversa de A no existe. La solución de un
sistema lineal de ecuaciones de la forma Ax = b puede ser expresada como, (asumiendo
que A es no singular):
x = A-1
b
Por lo cual, la principal tarea para resolver un sistema lineal de ecuaciones es la de
encontrar la inversa de la matriz de coeficientes.
Diferenciación e Integración de Matrices
Sea
( ) ( )
[ ]
t
a
t
A ij
=
La derivada de A está definida por
( )
( )
=
dt
t
da
t
A
dt
d ij
y su integral por
( ) ( )
[ ]
∫ ∫
= dt
t
a
dt
t
A ij
Álgebra Matricial en Excel
Multiplicación de Matrices
La fórmula MMULT devuelve la matriz producto de dos matrices.
Sintaxis: MMULT(rango_matriz1;rango_matriz2), donde matriz1 y matriz2 son las
matrices que desea multiplicar.
El número de columnas de matriz1 debe ser el mismo que el número de filas de matriz2 y
ambas matrices sólo pueden contener números.
Los argumentos matriz1 y matriz2 pueden expresarse como rangos de celdas (A1:D5),
constantes matriciales ({1;2;34;5;67;8;9}) o referencias.
MMULT devuelve el valor de error #¡VALOR! si hay celdas vacías o con texto, o si el
número de columnas de matriz1 es diferente al número de filas de matriz2.](https://image.slidesharecdn.com/vbaysap2000-221015222916-c1fcd38d/85/VBA-Y-SAP2000-pdf-55-320.jpg)
![Capítulo VI: Vigas de Celosía
Francisco D’Amico, UNIMET Vigas de Celosía Estáticamente Determinadas 55
Matriz de Flexibilidad y Matriz de Rigidez
Las fuerzas en una barra pueden expresarse en términos de su deformación por medio de
las siguientes ecuaciones matriciales:
f = kd o d = k-1
f
La matriz de rigidez k para este tipo de vigas de celosía es una matriz diagonal, sus
términos en la diagonal principal están dados por
i
i
i
ii
L
E
A
k = y el resto son cero.
La matriz de flexibilidad es la inversa de la matriz de rigidez y sus términos en la
diagonal son
i
i
i
E
A
L
; es importante notar que tanto la matriz de rigidez como la matriz de
flexibilidad son función únicamente de las propiedades mecánicas de las barras de la viga
de celosía.
Para la viga de celosía de la figura VI-3, la matriz de rigidez está definida por:
[ ]
=
=
7
7
7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
L
E
A
L
E
A
L
E
A
L
E
A
L
E
A
L
E
A
L
E
A
k
k ii
La relación f = kd se obtiene a partir de la aplicación de las fórmulas de resistencia de
materiales según las cuales:](https://image.slidesharecdn.com/vbaysap2000-221015222916-c1fcd38d/85/VBA-Y-SAP2000-pdf-63-320.jpg)
![Capítulo VIII: Propiedades Geométricas de las Secciones
Francisco D’Amico, UNIMET Baricentro de un Sistema de Masas 68
∫
∫
=
A
A
G
dA
dA
x
x
µ
µ
(6)
∫
∫
=
A
A
G
dA
dA
y
y
µ
µ
(7)
En particular, si la masa es abstracta y de densidad µ = 1, el sistema resulta constituido
por el área A; es decir, las masas elementales son las áreas dA, y se consideran el
baricentro y los momentos estáticos del área. Para el estudio de las propiedades de las
secciones utilizaremos esta condición en especial.
En las ecuaciones anteriores desaparece el factor µ y se obtiene, para el momento
estático:
∫
=
A
x ydA
M (8)
∫
=
A
y xdA
M (9)
y para las coordenadas del baricentro:
∫
∫
=
A
A
G
dA
xdA
x (10)
∫
∫
=
A
A
G
dA
ydA
y (11)
Las dimensiones del momento estático son [L]3
y se reportan por lo general en cm3
, o
mm3
.
El baricentro se puede a menudo determinar descomponiendo el área en partes que tienen
baricentros conocidos. Si un área posee un eje de simetría recta su baricentro se ubica
sobre éste; si posee dos, se encuentra en su intersección. Si el área tiene un eje de simetría
oblicua es decir, si existe una recta que bisecte todas las cuerdas con una misma
dirección, el baricentro se encuentra sobre este eje porque sobre él se ubican los
baricentros de todas las franjas comprendidas entre dos cuerdas muy cercanas.](https://image.slidesharecdn.com/vbaysap2000-221015222916-c1fcd38d/85/VBA-Y-SAP2000-pdf-76-320.jpg)
![Capítulo VIII: Propiedades Geométricas de las Secciones
Francisco D’Amico, UNIMET Momento de Inercia 70
su dimensión es [L]4
y se expresan normalmente en cm4
, o mm4
.
El radio de giro queda definido como:
A
I
dA
dA
y
r x
A
A
x =
=
∫
∫
2
2
(17)
A
I
dA
dA
x
r
y
A
A
y =
=
∫
∫
2
2
(18)
Es importante observar que para el caso de Ix o Iy no es necesario que los elementos de
área dA sean infinitesimales en cada dirección, por ejemplo pueden ser franjas paralelas a
uno de los ejes que abarquen todo el largo del área y que tengan un ancho infinitesimal,
como se muestra en la figura VIII-5, así la distancia desde el eje al elemento de área dA
es igual en cada punto del eje a lo largo del diferencial de área y resulta determinada,
sería indeterminada si la franja no fuese paralela al eje o si su longitud fuera finita.
Teorema del Eje Paralelo
Consideremos el momento de inercia Ix de un área A con respecto al eje x (figura VIII-6).
Según la ecuación (15) Ix viene
dado por la expresión ∫
=
A
x dA
y
I 2
;
tomemos en cuenta ahora el eje x´
que pasa por el baricentro del área,
éste se encuentra a una distancia y´
de un elemento diferencial de área
dA, luego tenemos que d
y
y +
′
= ,
donde d es la distancia entre los
ejes x y x´. Si sustituimos y en la
ecuación (15) resulta:
x
y
dy
Figura VIII - 5
x’
G
x
dy
y
d
y
Figura VIII - 6](https://image.slidesharecdn.com/vbaysap2000-221015222916-c1fcd38d/85/VBA-Y-SAP2000-pdf-78-320.jpg)
![Capítulo VIII: Propiedades Geométricas de las Secciones
Francisco D’Amico, UNIMET Módulo de Sección 71
( )
∫ ∫ ∫ ∫
+
′
+
′
=
+
′
=
A A A A
x dA
d
dA
y
d
dA
y
dA
d
y
I 2
2
2
2
La primera integral representa el momento de inercia del área con respecto al eje x´. La
segunda integral representa el momento estático del área respecto al eje x´ y como éste es
un eje baricéntrico el momento estático es cero; finalmente la última integral representa el
área total, por lo tanto se obtiene la expresión:
2
Ad
I
I x
x +
= ′ (19)
Con esta ecuación se puede calcular la inercia con respecto a un eje que pasa por el
baricentro de un área a partir la inercia con respecto a un eje paralelo al eje del baricentro.
Módulos de Sección
Se llaman módulos de sección o de resistencia de un área con respecto a un eje
baricéntrico x´ a los cocientes:
y
I
S x
′
=
′ ′
(20)
y
I
S x
′
′
=
′
′ ′
(21)
siendo y´ e y´´ las distancias desde x´ de dos puntos P´ y P´´ más alejados del eje
baricéntrico (figura VIII-7), medidos en dirección perpendicular a x´. La dimensión del
módulo de resistencia es [L]3
y normalmente se expresan en cm3
o mm3
.
G
x’
P’
P
y
y’
Figura VIII - 7](https://image.slidesharecdn.com/vbaysap2000-221015222916-c1fcd38d/85/VBA-Y-SAP2000-pdf-79-320.jpg)
VBA Y SAP2000.pdf
- 1. PROGRAMACIÓN APLICADA ALANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Clases Profesor Francisco D’Amico D’Agosto DEPARTAMENTO DE PROGRAMACIÓN Y TECNOLOGÍA EDUCATIVA UNIVERSIDAD METROPOLITANA Revisión Septiembre 2003
- 2. DERECHO DE AUTORY MARCAS REGISTRADAS El libro “Guía de Clases” ha sido elaborado como bibliografía de apoyo para el curso de Programación BPPR02 que se dicta en la Universidad Metropolitana dentro del flujograma de componentes obligatorios de la carrera de Ingeniería Civil. Los conceptos, teorías, hipótesis, algoritmos y procedimientos descritos en este libro son de uso académico exclusivamente y bajo la autorización del autor. Microsoft, MS, MS-DOS y Windows son marcas comerciales registradas de Microsoft Corporation. OFFICE, Excel, Word y PowerPoint son marcas comerciales registradas de Microsoft Corporation. VBA y Visual Basic son marcas comerciales registradas de Microsoft Corporation. Pentium es una marca comercial registrada de Intel Corporation. Adobe y Acrobat son marcas comerciales de Adobe Systems Incorporated. SAP2000, SAP2000 Standard, SAP2000 Plus y SAP2000 NonLinear son marcas comerciales registradas de Computers and Structures Incorporated. AutoCAD es una marca comercial registrada de Autodesk Incorporated. Los nombres de productos mencionados en este libro se utilizan sólo con propósitos identificativos y pueden ser marcas comerciales y/o marcas comerciales registradas de sus respectivas compañías.
- 3. AGRADECIMIENTOS El autor deseaexpresar su gratitud hacia todos aquellos Profesores del Departamento de Programación y Tecnología Educativa y de la Escuela de Ingeniería Civil de la Universidad Metropolitana que contribuyeron al desarrollo y aplicación de las ideas que este libro recoge. Especial reconocimiento merece el Prof. Enrique Mayz Lyon, quien fue el responsable de la concepción y desarrollo de la versión original del curso de Programación Aplicada a la Ingeniería Civil.
- 4. i Í n di c e d e C o n t e n i d o s Capítulo I VBA y SAP2000 como Herramientas para el Análisis Estructural 1 Introducción 1 Aplicación de VBA y Excel en el Análisis Estructural 2 SAP2000 3 SAP2000 Alcances y Limitaciones 4 Capítulo II El Estudio de las Estructuras 5 Las Fuerzas Externas 5 Las Reacciones de los Vínculos 6 Los Sistemas Rígidos y los Sistemas Elásticos 6 Las Deformaciones 7 La Ley de Hooke 8 Los Materiales Elásticos 8 Las Características de Solicitación 8 El Principio de Superposición 9 Los Factores de Seguridad 10 El Análisis estructural por Computadora 10 Capítulo III Solución de Vigas por Integración 12 Relaciones entre q, V, M 12 Las Deformaciones 14 La Ecuación Diferencial de la Curva Elástica 14 Integración de la Ecuación de la Curva Elástica 14 Condiciones en la Frontera 15 Capítulo IV Operaciones Básicas en SAP2000 16 Introducción 16
- 5. ii El Modelo Estructural16 Definición de la Geometría del Modelo 18 Definición de los Materiales 18 Definición de las Secciones Estructurales 19 Definición de las cargas Estáticas 20 Asignación de las Secciones para los Miembros 21 Asignación de las Cargas e los Nodos 21 Análisis del Modelo 22 Visualización de la deformada 22 Obtención de las Rotaciones y de los desplazamientos Nodales 23 Obtención de las reacciones en los Vínculos 23 Solicitaciones en los Miembros 24 Capítulo V Referencias al Análisis Básico en SAP2000 25 Edición de Grid Lines 25 El Modelo Estructural 25 Definición de las Grid Lines 26 Dibujo del Modelo Estructural 28 Definición de los Materiales 29 Definición de las Secciones estructurales 30 Definición de las Cargas estáticas 31 Asignación de las Secciones para los Miembros 31 Asignación de las Cargas en los Miembros 32 Análisis del Modelo 34 Obtención de las Rotaciones y de los Desplazamientos Nodales 35 Obtención de las reacciones en los Vínculos 35 Solicitaciones en los Miembros 36 Vigas de Eje Curvo 37 Introducción 37 Arcos Circulares 37 Simulación en SAP2000 38 Arcos Parabólicos 41 Simulación en SAP2000 42 Capítulo IV Vigas de Celosía 43 Elementos de Álgebra Matricial 43 Sistemas de Ecuaciones Lineales 43 Vectores Fila y Columna 44 Suma y Resta de Matrices 44 Multiplicación Escalar 44 Multiplicación Matricial 44 Transpuesta de una Matriz 45 Matriz Simétrica 45
- 6. iii Matriz Unitaria (Identidad)45 Determinante de una Matriz 45 Matriz Singular 46 Matriz Inversa 46 Diferenciación e Integración de Matrices 47 Álgebra Matricial en Excel 47 Multiplicación de Matrices 47 Determinante de una Matriz 48 Matriz Inversa 48 Matriz Transpuesta 48 Análisis de Vigas de Celosía 49 Las Fuerzas en las Barras 49 Vigas de Celosía Estrictamente Indeformables 49 Hipótesis Simplificativas 51 Vigas de Celosía Estáticamente Determinadas 51 Matriz Transformada de Desplazamientos 53 Matriz de Flexibilidad y Matriz de Rigidez 55 Algoritmo para el Análisis de Vigas de Celosía Estáticamente Determinadas 56 Aplicación en SAP2000 57 Capítulo VII Vigas Continuas 59 Vigas cuyos Nodos no se Desplazan 59 Método de Cross para Vigas Continuas 59 Variables que Intervienen en el Método de Cross 60 Rigidez del Tramo 60 Factor de Distribución 61 Equilibrio 61 Transferencia 61 Momento Negativo en el Apoyo 61 Viga de n-tramos, Sección Constante o Variable de Tramo a Tramo, Carga Uniforme en Toda la Longitud 62 Momento de Empotramiento 62 Cortante Isostático 63 Cortante Hiperestático 63 Cortante Total 64 Reacción en los Apoyos 64 Momento Máximo Positivo en el Tramo 64 Capítulo VIII Propiedades Geométricas de las Secciones 65 El Baricentro de un Sistema de Masas 65
- 7. iv Momento Estático 65 Propiedadesdel baricentro 66 Las Coordenadas del Baricentro 67 Los Sistemas Continuos 67 El Momento de Inercia Axial 69 Los Sistemas Continuos 69 Teorema del Eje Paralelo 70 Módulos de Sección 71 Cálculo de las Propiedades de una Sección a partir de sus Coordenadas 72 Algoritmo 73 Capítulo IX La Estabilidad del Equilibrio Elástico 76 Equilibrio Estable, Inestable, Indiferente 77 El Teorema de Kirchhoff y los fenómenos de Inestabilidad 78 El Criterio Estático 79 Carga Crítica de Euler 80 Barras con Diferentes Tipos de Vínculos 82 Límite de Validez para la Fórmula de Euler 86 Aplicación al Diseño de Elementos Comprimidos 87 Algoritmo de Diseño 87 Longitud Efectiva 87 Relación de Esbeltez 87 Resistencia a Compresión 88 Algoritmo de Diseño 88 Bibliografía 90
- 8. “Observando a lascriaturas de la naturaleza, he llegado a la conclusión de que, al igual que cada criatura de Dios intenta realizar lo que su propia naturaleza le exige, de la misma forma ha recibido los medios para alcanzar su meta. El ansia más íntima de los humanos es alcanzar la sabiduría y la comprensión; por lo tanto, podemos suponer que también ha recibido las facultades para llegar a ellas. Pero si investigamos la esencia de la sabiduría humana, pronto nos damos cuenta de que todo conocimiento nace de la comparación de lo ya sabido con lo desconocido. Por este camino podemos llegar lejos, pero nunca alcanzaremos lo infinito. El hombre no puede alcanzar la absoluta verdad, ni el conocimiento absoluto. Lo comprenderás mejor si defino a Dios como la verdad absoluta. Nunca podremos entender la esencia de Dios. En consecuencia, todas nuestras verdades quedarán limitadas para siempre, y en proporción con lo que ya sabemos. La absoluta verdad es infinita como lo es Dios, y por ello no la podemos entender. Tu no comprendes esto –añadió- porque estás acostumbrado a mirar todo lo que hay a tu alrededor como seres tangibles. Sin embargo, mis estudios de matemáticas me han llevado a comprender que el único conocimiento definitivo que el hombre puede alcanzar es la comprensión de que el definitivo conocimiento no es alcanzable para él porque, si así fuera, él mismo se convertiría en Dios. A esto lo llamo la ignorancia ignorante, ya que nos ofrece la única base firme en que podemos fundar nuestro pensamiento razonable, sin caer en fantasías.” MIKA WALTARI: Juan el Peregrino
- 9. Francisco D’Amico, UNIMETVBA y Excel 1 C a p í t u l o I VBA y SAP2000 como Herramientas para el Análisis Estructural Introducción Hoy en día la Ingeniería Estructural se encuentra respaldada por una amplia variedad de programas para el análisis y diseño de cualquier sistema estructural, permitiendo un avance importante en su comprensión y optimización. Esta tecnología ha hecho posible la automatización de procedimientos de cálculo que hace veinte años demoraban meses, y que hace cincuenta años no eran ni siquiera realizables en tiempo y costo aceptables para cualquier proyecto de mediana envergadura. Sin embargo la tecnología no ha producido nada nuevo en el estudio de las estructuras, cualquier programa de cálculo estructural no es más que la inclusión de leyes y principios antiguos en modernos algoritmos ejecutables por computadoras personales que continuamente aumentan de capacidad y disminuyen de precio. “The fundamental physical laws that are the basis of the static and dynamic analysis of structures are over 100 years old. Therefore, anyone who believes they have discovered a new fundamental principle of mechanics is a victim of their own ignorance. The static and dynamic analysis of structures has been automated to a large degree due to the existence of inexpensive personal computers. However, the field of structural engineering, in my opinion, will never be automated. The idea that an expert-system computer program, with artificial intelligence, will replace a creative human is an insult to all structural engineers”.1 1 EDWARD L. WILSON: “Three Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures, a physical approach with emphasis on earthquake engineering”. 1998.
- 10. Capítulo I: VBAy SAP2000 como Herramientas para el Análisis Estructural Francisco D’Amico, UNIMET VBA y Excel 2 A lo largo del curso de Programación Aplicada a la Ingeniería Estructural se utilizarán, en opinión del autor, dos de las mejores herramientas que el desarrollo tecnológico en software de aplicación en la ingeniería estructural ha producido: VBA y SAP2000. Visual Basic for Applications es un lenguaje para la creación de macros dentro de las aplicaciones del paquete Office que ofrece múltiples alternativas y posibilidades para la codificación de algoritmos de cálculo estructural. SAP2000 representa lo más avanzado en programas de análisis estático y dinámico de estructuras por elementos finitos, es el resultado de la evolución de varias versiones anteriores de la serie SAP (Structural Analysis Program) y se caracteriza por su gran capacidad y facilidad de manejo. El objetivo fundamental para el curso de Programación Aplicada a la Ingeniería Estructural es el de enseñar el uso adecuado de estas herramientas en favor de una mejor comprensión de los sistemas estructurales. Aplicación de VBA y Excel en el Análisis Estructural Visual Basic for Applications (VBA) es una herramienta para el desarrollo de aplicaciones y la creación de macros, con la cual se pueden producir programas para resolver problemas. A diferencia de los programas para juegos o entretenimiento, las aplicaciones se utilizan para realizar una determinada tarea, por ejemplo Excel es una aplicación para el análisis y procesamiento de datos tabulados. VBA es el lenguaje común para el desarrollo de macros incluido en las aplicaciones del paquete Office. Un macro dentro de una aplicación permite, entre otras cosas, manipular, almacenar y obtener datos directamente de las aplicaciones en uso. De lo anterior podemos deducir que si se unen VBA y Excel será posible desarrollar programas que sirvan para procesar datos tabulados con mayores opciones que las disponibles solamente con Excel. Como ya se ha mencionado un macro en VBA debe estar asociado a una aplicación que recibe el nombre de Host Application. En nuestro caso Excel será la aplicación sobre la cual se crearán y ejecutarán los macros, es decir será el host. La escogencia de Excel como aplicación host está dominada por la facilidad con la cual se pueden manejar los cálculos matriciales y las operaciones matemáticas en general dentro de una hoja de trabajo, que son la base del análisis estructural moderno. Principalmente en el análisis estructural los datos tabulados con los que se trabajan son las matrices, que representan sistemas de ecuaciones obtenidos a partir de las expresiones que definen el comportamiento de un determinado sistema estructural conocidas sus condiciones de frontera; entonces un programa de cálculo estructural desarrollado en VBA sobre Excel, permitirá obtener el sistema de ecuaciones que describe a una estructura a partir de sus propiedades geométricas, del material que la compone, de las cargas aplicadas y de las condiciones de frontera como resultado de un proceso de lectura, luego el sistema de ecuaciones podrá ser escrito en forma matricial sobre un hoja de trabajo de Excel y finalmente se obtendrán los resultados aplicando el cálculo matricial, estos resultados también se podrán escribir en la hoja de trabajo para su impresión o uso posterior.
- 11. Capítulo I: VBAy SAP2000 como Herramientas para el Análisis Estructural Francisco D’Amico, UNIMET SAP2000 3 Cada una de las tareas anteriores será realizada y controlada por un macro que ampliará y/o adecuará las capacidades del Excel según las necesidades del problema que se desea resolver con la creación del programa. El macro será codificado utilizando VBA. El código de un macro en VBA es almacenado en proyectos, los proyectos contienen módulos que a su vez poseen procedimientos, declaraciones e instrucciones en general. En Excel los proyectos se almacenan en libros (.xls). Si el usuario posee la experiencia y los conocimientos adecuados en programación será capaz de crear programas de cálculo estructural muy sofisticados utilizando VBA y Excel. Sin embargo, existen situaciones en las cuales se debe recurrir a programas comerciales que se han creado para simular casos más difíciles o para manejar un número de variables mucho mayor del que se puede presentar en el común de los casos; estos programas han sido ampliamente calibrados y probados, y seguramente resultarán más eficaces a la hora de estudiar sistemas estructurales más complejos. Adicionalmente a la creación de programas en VBA, este curso enseña el uso del programa SAP2000 como herramienta de cálculo estructural y sus posibilidades de combinación con Excel y VBA para aumentar aún más su potencial. SAP2000 El SAP2000 es un programa para el análisis tridimensional estático y dinámico de estructuras por elementos finitos que representa lo más avanzado en programas de cálculo estructural a nivel mundial. Además de su poder de análisis posee una interfaz gráfica de usuario sumamente amigable, fácil de manejar y se encuentra totalmente integrado con Windows. Este software fue desarrollado por la empresa CSi, Computers and Strucutres, Inc. en Berkeley, California, EEUU. Se presenta en varias versiones que varían en el número de nodos que puede tener el sistema a simular; a lo largo del curso se utilizará la versión educativa de libre distribución restringida a 30 nodos y la versión ilimitada/no lineal registrada a nombre de la Universidad Metropolitana. El propósito fundamental en la enseñanza de este software es el de mostrar las capacidades y limitaciones que se presentan en su uso para simular sistemas estructurales, prestando especial atención en la explicación de las teorías, aproximaciones y procedimientos que el programa sigue para realizar el análisis y diseño de una estructura. Si cada uno de estos puntos no es comprendido totalmente por el usuario no será posible que utilice el programa con la certeza de que el modelo estructural que ha definido es realmente compatible con el modelo original que desea estudiar. Dadas las características del programa SAP2000 es posible afirmar que no posee un límite práctico, el límite lo impondrá la computadora sobre la cual funcionará el programa. Los resultados que produce deben ser interpretados por el usuario para verificar que se corresponden con las condiciones del modelo estructural simulado, no hay que olvidar que este programa nunca superará al criterio de un ingeniero estructural.
- 12. Capítulo I: VBAy SAP2000 como Herramientas para el Análisis Estructural Francisco D’Amico, UNIMET SAP2000 4 SAP2000 Alcances y Limitaciones El programa SAP2000 reúne las técnicas más avanzadas para el análisis tridimensional estático y dinámico de estructuras por elementos finitos. Este software se presenta en varias versiones que varían en la capacidad de análisis; en este curso trabajaremos con dos versiones del programa. La versión educativa que se encuentra restringida a estructuras de hasta 30 nodos, posee todas las características de una versión completa y no restringida del programa, incluyendo el análisis pushover, y es de libre distribución para fines académicos únicamente. La versión ilimitada/no lineal no posee límite práctico en su capacidad de análisis, el límite lo impone la computadora sobre la cual se instale. Esta versión se encuentra registrada a nombre de la Universidad Metropolitana y se utilizará únicamente dentro de sus instalaciones, principalmente por medio de la red en los laboratorios de programación. El SAP2000 puede combinarse con otros programas para ampliar su capacidad de trabajo. Puede recibir de Excel las coordenadas de los nodos y barras de un sistema estructural y dibujarlas directamente sobre la pantalla, lo cual facilita la creación del modelo estructural, sobre todo de aquellos con una geometría compleja. También pueden importarse archivos desde AutoCAD o cualquier programa DXF compatible que definan la geometría del modelo estructural. Además se pueden imprimir los resultados del análisis y el diseño, así como otras variables importantes del proyecto en un archivo de texto (.txt) que puede manipularse en Excel o en Word y crear archivos de imagen de video (.avi) con animaciones del modelo estructural. En este curso utilizaremos únicamente las posibilidades de combinación con Excel y con archivos de texto.
- 13. Francisco D’Amico, UNIMETFuerzas Externas 5 C a p í t u l o I I El Estudio de las Estructuras El estudio de las estructuras considera principalmente los efectos producidos por las fuerzas que actúan sobre un determinado sistema estructural y determina las condiciones que deben satisfacer las diferentes partes de este sistema de manera que puedan soportar dichas fuerzas. En primer lugar, las diferentes partes de una estructura deben carecer de movimiento, excluyendo las deformaciones elásticas que puedan ocurrir, esto implica que debe existir una vinculación suficiente entre ellas y el suelo de forma que sus posiciones se mantengan invariables. Las partes que componen el sistema estructural deben ser de un material tal que impida la rotura o el deterioro de éstas, además el tipo de material a utilizar no deberá ser llevado más allá de su resistencia límite cuando actúen las diferentes fuerzas sobre el sistema. Lo anterior nos lleva a concluir que el equilibrio en el que se encuentre el sistema estructural debe ser estable, lo que conduce a un estudio que involucra tanto a procedimientos matemáticos como a métodos derivados de ensayos de laboratorio. Las Fuerzas Externas Los miembros que conforman una estructura, como por ejemplo las losas, vigas y columnas de un edificio, se encuentran sometidos a la acción de fuerzas de naturaleza diversa. Algunas actúan continua e invariablemente y se denominan acciones permanentes, éstas se deben principalmente al peso propio de la estructura y al de componentes fijos como la tabiquería, los pavimentos, el recubrimiento de los techos, etc.
- 14. Capítulo II: ElEstudio de las Estructuras Francisco D’Amico, UNIMET Sistemas Rígidos y Elásticos 6 Contrariamente existen fuerzas que no actúan de forma continua o que lo hacen con intensidad variable, a éstas se les denominan acciones variables y comprenden todas las cargas para las cuales fue diseñada como soporte la estructura, por ejemplo: personas, muebles, mercancías, vehículos, maquinarias, presión de líquidos y empuje de tierra, entre otras. En este grupo también se pueden incluir las cargas debidas a efectos de la naturaleza como el viento, la dilatación térmica, el peso de la nieve y las fuerzas sísmicas. En cualquier caso las acciones variables se deben considerar en la forma más desfavorable para la estructura. Una fuerza se considera concentrada o puntual cuando actúa sobre puntos separados de la superficie de un cuerpo, o uniforme cuando actúa a lo largo de buena parte o en toda la longitud de éste. Hablando en forma rigurosa, las fuerzas concentradas no existen y se consideran como tales las fuerzas que actúan sobre un área muy pequeña. Además, las fuerzas se clasifican también en fuerzas estáticas cuando son constantes en magnitud y en posición, o son muy lentamente variables como para producir un efecto importante en la estructura; y en fuerzas dinámicas cuando cambian rápidamente de valor y posición. Aparte de las fuerzas antes mencionadas una estructura también puede ser afectada por la falla o movimiento de uno de sus vínculos. Las Reacciones de los Vínculos Como ya se mencionó, las diferentes partes de un sistema estructural se encuentran vinculadas entre sí y con el suelo por medio de apoyos de varios tipos, según sea el tipo de apoyo al que se encuentre sujeto, un cuerpo estará restringido total o parcialmente a la traslación y/o a la rotación. Una estructura se dice que es isostática si sus vínculos son estrictamente suficientes para restringir cualquier movimiento. Es hiperestática si posee vínculos superabundantes, es decir más de los necesarios. También pueden existir sistemas estructurales que se encuentren en equilibrio bajo una determinada condición de carga y que lo pierden al variar la configuración de la carga; para este tipo de sistema el equilibrio es inestable. Para estudiar una estructura se deben conocer todas las fuerzas externas que sobre ésta actúen, incluidas las reacciones de sus vínculos, las cuales deben satisfacer la condición de mantener en equilibrio al cuerpo, equilibrando las cargas. Los Sistemas Rígidos y los Sistemas Elásticos Cualquier cuerpo bajo la acción de una fuerza se deforma, en los miembros de una estructura y suponiendo que las fuerzas no alcancen niveles excesivos, las deformaciones son muy pequeñas con respecto a sus dimensiones, y muchas veces estas alteraciones producen efectos despreciables sobre el sistema; es por esta razón que resulta espontáneo estudiar el equilibrio del sistema, sujeto a las cargas y a las reacciones de los vínculos,
- 15. Capítulo II: ElEstudio de las Estructuras Francisco D’Amico, UNIMET Deformaciones 7 despreciando las deformaciones elásticas que puedan ocurrir, en efecto, considerándolo rígido. Sin embargo no siempre esta simplificación es posible o es válida. En algunos casos se pueden determinar las reacciones en los vínculos sin considerar las deformaciones elásticas que sufre la estructura, mientras que en otros si no se consideran dichas deformaciones es imposible conocer los valores de las reacciones y se convertirían en problemas imposibles de resolver o indeterminados. En el estudio de una estructura se presentarán casos como el antes nombrado, en los cuales la estática de los sistemas rígidos bastará para determinar las reacciones, y casos que resultarán determinados sólo si se recurre a la estática de los sistemas elásticos, lo que significa considerar las deformaciones. Los primeros se llaman casos estáticamente determinados y corresponden a estructuras con vínculos isostáticos, estrictamente suficientes; mientras que los segundos se llaman casos estáticamente indeterminados y corresponden a estructuras con vínculos hiperestáticos, superabundantes. Las Deformaciones El estudio de las deformaciones elásticas se impone como problema fundamental para la determinación de las reacciones de los vínculos en los sistemas hiperestáticos. La experiencia nos enseña que un cuerpo se deforma bajo el efecto de una fuerza externa y que al cesar la acción de la fuerza, la deformación desaparece y el cuerpo tiende a recuperar su forma original. Esta tendencia que poseen todos los cuerpos en menor o mayor grado se denomina elasticidad; como no existen materiales perfectamente elásticos ni perfectamente inelásticos, se puede pensar entonces que la deformación de un cuerpo está compuesta de dos partes: una deformación elástica que desaparece al cesar la fuerza que la produce y una deformación permanente que se mantiene aún después de retirada la carga. Existen materiales en los cuales si la fuerza no ha superado cierto límite, la deformación permanente es inapreciable; dentro de este límite, que llamaremos límite de elasticidad, el material puede considerarse elástico, anulándose prácticamente toda la deformación cuando desaparece la fuerza. Como en la construcción de estructuras se utilizan materiales elásticos en la mayoría de los casos, y se evitan las deformaciones permanentes, admitiremos entonces que las deformaciones presentes en una estructura, sometida a un nivel de carga adecuado para no superar el límite de elasticidad del material que la compone, son elásticas y muy pequeñas con respecto a la dimensión de ésta.
- 16. Capítulo II: ElEstudio de las Estructuras Francisco D’Amico, UNIMET Características de Solicitación 8 La Ley de Hooke Si se mide la deformación de un cuerpo producida por una fuerza externa gradualmente creciente, se observa que ésta varía en medida prácticamente proporcional a la fuerza, después aumenta a una velocidad mayor al aumento de la fuerza. Si no se supera un cierto límite, llamado límite de proporcionalidad, la deformación es directamente proporcional a la fuerza. Esta ley, enunciada por Robert Hooke en 1678 en los términos de “ut tensio sic vis”, constituye el principal fundamento en el estudio de las estructuras. Los Materiales Elásticos Consideraremos como materiales elásticos los capaces de experimentar pequeñas deformaciones que cumplan con la Ley de Hooke. Admitiremos que los materiales elásticos a considerar en el estudio de las estructuras son isotrópicos, es decir que sus propiedades elásticas se mantienen iguales en cualquier dirección. Es obvio que los resultados que se obtendrán serán válidos siempre y cuando se cumplan dichas condiciones y no tiene sentido el aplicarlos o tratar de extenderlos mas allá de su rango de validez. Las Características de Solicitación Consideremos la sección S de una viga mostrada en la figura II-1, sobre la cual se han trazado tres ejes perpendiculares entre sí llamados x, y, z; el eje de la viga coincide sobre el eje x y el origen coincide con el centro de gravedad de la sección. Los ejes y y z coinciden con los ejes principales de inercia de la sección. La viga puede estar sometida a cualquier condición de carga. Figura II - 1 Representación de una viga sometida a varias condiciones de carga. z y x S w P P
- 17. Capítulo II: ElEstudio de las Estructuras Francisco D’Amico, UNIMET Principio de Superposición 9 Las cargas que actúan sobre la viga a continuación de la sección S poseen en general seis parámetros: la suma de sus componentes según los ejes (ΣFx, ΣFy, ΣFz), que constituyen tres fuerzas en el mismo sentido de los ejes, y la suma de sus momentos respecto a los ejes (ΣMx, ΣMy, ΣMz), que constituyen tres pares actuando en planos normales a ellos. Estos seis parámetros son las seis características de solicitación y se indican respectivamente como N, Vy, Vz, Mt, My, Mz. La fuerza N se llama fuerza axial y su efecto a través de S es el de estirar o comprimir la viga; Las fuerzas Vy y Vz se llaman fuerzas cortantes porque tienden a cortar la viga según S; el par Mt se llama momento torsor porque tuerce la viga; los pares My y Mz se llaman momentos flectores porque flectan la viga. Las tensiones internas en S deben equilibrar estas seis solicitaciones. El equilibrio estático se mantiene mientras las fuerzas externas sean estáticas. Para el caso de fuerzas dinámicas el equilibrio también es dinámico y existe en cada instante entre las fuerzas externas, las tensiones internas y las fuerzas de inercia. En casos particulares las solicitaciones son menos de seis; en las vigas con eje contenido en el mismo plano que contiene las fuerzas externas se anula Mt, y si además la sección S posee el eje principal de inercia y en este plano, se anulan Vz y My. En el caso particular de vigas con eje rectilíneo, sometidas a fuerzas contenidas en un plano que contiene también al eje y de la sección y normales la eje de la viga, existen solamente Vy y Mz. Si por el contrario las fuerzas son paralelas al eje de la viga, existen únicamente N y Mz. Comúnmente las características de solicitación se calculan considerando la viga no deformada, por lo cual se desprecian los desplazamientos de las líneas de acción de las fuerzas externas a lo largo de la deformada. No obstante, en algunos casos se deben considerar ya que influyen notablemente en los valores de las solicitaciones y en el comportamiento de la viga. El Principio de Superposición El efecto producido por varias fuerzas actuando simultáneamente sobre un sistema estructural es igual a la suma de los efectos producidos por cada fuerza actuando separadamente en el mismo sistema. Este principio nos indica que los efectos de una fuerza son independientes de la preexistencia de otras fuerzas. Una fuerza aplicada sobre una estructura ya cargada produce efectos ulteriores e iguales a los que se producirían si se aplicara sobre la misma estructura descargada; por lo cual sus efectos se suman a los ya producidos por las fuerzas preexistentes. Si la estructura es estáticamente determinada, para los efectos que equilibran las fuerzas (reacciones y esfuerzos) o que equivalen a las fuerzas (características de solicitación) la independencia antes nombrada es consecuencia única del hecho que las fuerzas
- 18. Capítulo II: ElEstudio de las Estructuras Francisco D’Amico, UNIMET Análisis por Computadora 10 preexistentes han modificado muy poco la forma original de la estructura, por lo cual las nuevas fuerzas actúan sobre una estructura dejada casi igual a la descargada; mientras que para los efectos elásticos (deformaciones) tal independencia es consecuencia de la Ley de Hooke, además de lo antes explicado, porque la proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones significa que un nuevo esfuerzo igual a otro ya presente produce una ulterior deformación igual a la ya obtenida. Si por el contrario la estructura es estáticamente indeterminada, las reacciones deben satisfacer, aparte de las condiciones de equilibrio, las condiciones elásticas, y el principio de superposición está subordinado a la validez de la Ley de Hooke, cualquiera sea el efecto que se considere. Los Factores de Seguridad Una vez conocidos los esfuerzos internos en un miembro estructural, se debe estudiar si éste es capaz de resistir dichos esfuerzos de manera segura. La resistencia de un miembro estructural se encuentra asegurada cuando los valores de las fuerzas externas son tales que se puede aumentar su valor (conservando la misma configuración) en la relación de 1 a fs antes de que ocurra la rotura del miembro, siendo fs un factor de seguridad suficientemente mayor que 1. Cualquiera sea el material que compone a un miembro estructural, se debe ante todo evitar que ocurra la rotura, por lo cual las tensiones deben mantenerse siempre menores a la tensión de rotura. Las principales razones por las cuales se adoptan factores de seguridad son: la incertidumbre presente al determinar las cargas que deberá soportar la estructura, posibles defectos en los materiales que reduzcan su resistencia, defectos constructivos, entre otros. La experiencia nos demuestra que el comportamiento elástico de los materiales bajo la acción de esfuerzos crecientes es diferente para los cuerpos frágiles, y para aquellos dúctiles. Los primeros de manera general, se comportan elásticamente hasta que alcanzan la rotura, la cual no se encuentra precedida por fenómenos que evidencien el agotamiento del material. Los segundos presentan en cambio un límite de elasticidad, después del cual comienzan a ocurrir las deformaciones permanentes, inmediatamente se observan signos del debilitamiento del material hasta que se alcanza la rotura. Intuitivamente conviene que la estructura presente un comportamiento dúctil en vez de uno frágil. El Análisis Estructural por Computadora En la actualidad el estudio de las estructuras se ha visto favorecido por el auge de programas de cálculo estructural desarrollados bajo ambiente Windows. Dichos programas presentan una interfaz gráfica de usuario muy amigable lo que permite un uso fácil y seguro del programa. Sin embargo cada software ha sido desarrollado a partir de un algoritmo en el cual se han incluido una serie de simplificaciones y suposiciones que si no son comprendidas adecuadamente por el usuario, pueden dar lugar a errores en los resultados o a simulaciones de modelos que no se corresponden con la realidad.
- 19. Capítulo II: ElEstudio de las Estructuras Francisco D’Amico, UNIMET Análisis por Computadora 11 Lo que se busca con el uso o la creación de un programa de cálculo estructural es resolver en modo útil los problemas de la práctica asistidos por una herramienta que facilite los cálculos y los realice en forma más rápida y confiable; indudablemente una computadora y un software adecuado son la herramienta indicada si se utilizan correctamente. Además es posible resolver en poco tiempo y con poco esfuerzo una gran cantidad de casos que ayudarán a la comprensión del comportamiento de un determinado sistema estructural, de cómo éste responde bajo los efectos de ciertos perfiles de carga y de cómo optimizar su diseño, lo que conlleva a una estructura más eficiente y más económica. Si se desea obtener éxito al calcular una estructura utilizando un programa para computadora, el usuario deberá tomar en cuenta las siguientes advertencias:2 No utilice un programa de análisis estructural a menos de que comprenda totalmente la teoría y las aproximaciones usadas por el programa. No cree un modelo en computadora hasta que las cargas, las propiedades de los materiales y las condiciones de la frontera estén claramente definidas. 2 EDWARD L. WILSON: Three Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures, a physical approach with emphasis on earthquake engineering. 1998.
- 20. Francisco D’Amico, UNIMETRelaciones q, V, M 12 C a p í t u l o I I I Solución de Vigas por Integración Relaciones entre q, V, M Consideremos un segmento de una viga sujeto a una carga uniformemente repartida, definida por el valor unitario q en cada punto. Las solicitaciones V y M varían generalmente de sección en sección. Las cantidades q, V, M son por consiguiente funciones de la abscisa x de la sección. Estas tres funciones están unidas por las siguientes relaciones fundamentales: Sean V y M las solicitaciones en una sección S (figura III-1); V1 = V + dV y M1 = M + dM son aquellas en la sección S1 separadas una distancia dx desde S; y qdx la carga actuante sobre el segmento dx. Las solicitaciones V y M en S son equivalentes a las fuerzas externas que preceden a S; por lo cual, para calcular V1 y M1 en la sección S1 no es necesario tomar en cuenta nuevamente todas las fuerzas a partir del inicio de la viga, y se pueden sustituir las fuerzas anteriores a S con V y M, como si la viga comenzara en S. Se obtiene entonces: qdx V dV V V − = + = 1 2 1 dx qdx Vdx M dM M M − + = + = de donde, despreciando el diferencial de segundo orden, se tiene: qdx S S1 M V dx Figura III - 1
- 21. Capítulo III: Soluciónde Vigas por Integración Francisco D’Amico, UNIMET Relaciones q, V, M 13 Vdx dM qdx dV = − = Resultando así las relaciones buscadas: V dx dM q dx dV = = es decir, la derivada de la fuerza cortante es igual a la carga unitaria; la derivada del momento flector es igual a la fuerza cortante. También se puede observar que: 2 2 dx M d q = En forma general, para cualquier condición de carga representable por medio de una función f que ha sido definida en un intervalo cerrado [a,b], si existe: ( ) i n i i P x x f ∆ ∑ =1 0 lim se dice que f es integrable en [a,b], y podemos afirmar que: ∫ = wdx V ∫ = Vdx M donde w representa la función que define la carga. Del proceso de integración resultará una constante para cada caso que se determinará a partir de las condiciones en la frontera. De las ecuaciones anteriores se deduce que en los segmentos sin carga (q = 0) V es constante y M varía linealmente; mientras que en segmentos sometidos a cargas repartidas V y M varían con leyes continuas, respectivamente de primer y segundo grado si q es constante, de segundo y tercer grado si q varía linealmente, etc. Si en un segmento de viga V = 0, M es constante; y viceversa, si M es constante en un segmento, se tiene V = 0. Si V es diferente de cero, M existe y es variable; por lo tanto puede anularse en cualquier sección, pero no en un segmento de longitud finita, de aquí sigue que V está siempre acompañado por M, lo que quiere decir que una solicitación de corte únicamente es posible sólo en alguna sección aislada. Una sección S de una viga está sujeta sólo a fuerza de corte V cuando la resultante de todas las fuerzas externas que preceden a S está contenida en el mismo plano de S y pasa por su baricentro. Pero si esto ocurre en una sección, en las secciones vecinas se tiene también un momento flector M debido a dicha resultante; por lo que el corte simple se puede tener en cualquier sección aislada en donde resulte nulo M, pero no en todas las secciones de un segmento finito de la viga. Por lo cual en general el corte está acompañado por el momento flector. En las secciones donde la fuerza cortante se anula el momento flector es máximo.
- 22. Capítulo III: Soluciónde Vigas por Integración Francisco D’Amico, UNIMET Integración de la Elástica 14 Las Deformaciones La Ecuación Diferencial de la Curva Elástica La ecuación fundamental de elasticidad para la flexión simple dada por: EI M r = 1 es exacta también para solicitaciones de flexión y corte, por lo que esta ecuación refleja la curvatura en cada punto de la curva elástica, es decir de la deformada del eje de la viga. Por otra parte, es conocido por geometría diferencial que la curvatura en un punto de una línea representada por y = y(x) en coordenadas x,y está expresada por: 2 3 2 2 2 1 1 + ± = dx dy dx y d r con el signo según la orientación de los ejes. Para el caso de la curva elástica de una viga, la inclinación dy/dx de la tangente en un punto respecto al eje X es, en general, muy pequeña; por lo que su cuadrado es despreciable con respecto a la unidad, por lo cual se tiene, con una buena aproximación: EI M dx y d ± = 2 2 Integración de la Ecuación de la Curva Elástica En general se puede decir que en las vigas la expresión de M es función de la abscisa x únicamente, además de que para fuerzas normales aleje de la viga, M es función de x. Por lo cual la integración resulta fácil, mucho más si la carga varía de modo simple resultando sencilla la expresión para M(x) y si la inercia se mantiene constante. Una primera integración de la ecuación EI M dx y d = 2 2 da la expresión para y’ = tanθ ≈ θ, que permite calcular la inclinación de la tangente en cada punto de la curva elástica, es decir el ángulo que cada sección ha rotado; ángulo que resulta expresado en radianes. La segunda integración da la expresión de la ordenada y que llamaremos δ, la cual representa la distancia vertical que cada sección se ha trasladado con respecto al eje original de la viga, distancia usualmente reportada en cm. Como resultado del proceso de integración aparecen dos constantes (una para θ y otra para δ) que se determinan a partir de las condiciones en la frontera, generalmente dadas por la vinculación de la viga.
- 23. Capítulo III: Soluciónde Vigas por Integración Francisco D’Amico, UNIMET Condiciones en la Frontera 15 En forma general, a partir de la configuración de la carga y tomando en cuenta la existencia de la integral en cada caso, podemos escribir las siguientes relaciones: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ = = = = dx x x EI dx x M x EI dx x V x M dx x w x V θ δ θ Condiciones en la Frontera Comúnmente las condiciones en la frontera para vigas se obtienen a partir de la vinculación que éstas presenten. Las condiciones en la frontera permiten calcular los valores de las constantes que resultan de cada proceso de integración. Para los tipos de vínculos más comunes en vigas de un solo tramo se conocen las siguientes condiciones de frontera: VÍNCULO V M θ δ RODILLO ≠ 0 = 0 ≠ 0 = 0 ARTICULACIÓN ≠ 0 = 0 ≠ 0 = 0 EMPOTRAMIENTO ≠ 0 ≠ 0 = 0 = 0
- 24. Francisco D’Amico, UNIMETModelo Estructural 16 C a p í t u l o I V Operaciones Básicas en SAP2000 Introducción En este capítulo se explicará paso a paso cómo crear un modelo estructural sencillo para su simulación en SAP2000. El procedimiento se encuentra basado en el capítulo “Basic Tutorial” del manual “Quick Tutorial” del SAP2000, y representa el análisis de una viga de celosía bidimensional tipo Warren sometida a cargas permanentes, variables y sísmicas. Una vez realizado el análisis se observarán los desplazamientos nodales, las reacciones en los vínculos y las solicitaciones en cada miembro de la viga de celosía. El Modelo Estructural El modelo estructural representa una viga de celosía bidimensional tipo Warren de 15 m de longitud y de 3 m de altura, las secciones de los miembros que componen la viga de celosía son del tipo doble ángulo, las características de los materiales y demás especificaciones del proyecto se muestran a continuación en la definición del modelo matemático de la viga de celosía. También se encuentran indicados los diferentes tipos de cargas que actúan sobre la estructura, y la forma en que ésta se encuentra vinculada a tierra.
- 25. Capítulo IV: OperacionesBásicas en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Modelo Matemático 17 Modelo Matemático: Elevación: Sección A-A (típica): (dimensiones en mm) Figura IV - 1 Modelo matemático para una viga de celosía. Cordón superior 2L127x127x19-9.5 Diagonales 2L127x127x19-9.5 Cordón inferior 2L100x100x19-9.5 Cordón superior 2L127x127x19-9.5 Diagonales 2L127x127x19-9.5 Cordón inferior 2L100x100x19-9.5 5 @ 3.00 m = 15.00 m 4550 kgf 4550 kgf 4550 kgf 4550 kgf 7800 kgf 7800 kgf 7800 kgf 7800 kgf 5250 kgf 3.00 m A A Carga Permanente Carga Variable Carga Sísmica 4550 kgf 4550 kgf 4550 kgf 4550 kgf 7800 kgf 7800 kgf 7800 kgf 7800 kgf 5250 kgf Carga Permanente Carga Variable Carga Sísmica Carga Permanente Carga Variable Carga Sísmica
- 26. Capítulo IV: OperacionesBásicas en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Definición de Geometría y Materiales 18 Definición de la Geometría del Modelo 1. Una vez iniciado el programa, seleccione en la pantalla principal el tipo de unidad para trabajar, en este caso escoger kgf – m. 2. En el menú File escoger la opción New Model from Template..., esto activará el cuadro de diálogo para la creación de modelos predefinidos. 3. Seleccionar la casilla con el modelo para vigas de celosía tipo Warren, esto activará el cuadro de diálogo para este tipo de viga de celosía. 4. En el cuadro de diálogo anterior: - Cambiar el número de vanos a 5. - Cambiar el ancho del vano a 3 m. - Cambiar la altura de la viga de celosía a 3 m. - Presionar OK. La pantalla se actualiza automáticamente y muestra las vistas 3-D y 2-D del modelo en dos ventanas separadas ajustadas verticalmente sobre la pantalla. La ventana izquierda muestra el modelo en perspectiva 3-D y la ventana derecha muestra el modelo según el plano X-Z para Y=0. De esta forma queda definida la geometría del modelo, incluyendo la asignación de los vínculos realizada automáticamente por el programa. En caso de que la asignación de vínculos no sea la deseada, el usuario puede modificar esta configuración. Definición de los Materiales Para esta estructura se utilizará un tipo de acero que no se encuentra predefinido dentro del SAP2000. Las propiedades de dicho material asignadas por el usuario se describen en la siguiente lista: Nombre del Material: ASIDOR Tipo de diseño: Steel Tipo de material: Isotrópico Masa por unidad de volumen: 801,02 kg/m3 Peso por unidad de volumen: 7850 kgf/m3 Módulo de Elasticidad: 2100000 kgf/cm2 Relación de Poisson: 0,3 Coeficiente de expansión térmica: 1,170E-05 °C-1 Tensión cedente mínima, fy = 2500 kgf/cm2 Pasos para definir el nuevo material: 1. En el menú Define, seleccionar Materials..., esto activa el cuadro de diálogo para la definición de materiales llamado Define Materials.
- 27. Capítulo IV: OperacionesBásicas en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Definición de Secciones 19 2. En este cuadro de diálogo presionar el botón Add New Material, lo cual activa el cuadro de diálogo para la definición de las propiedades del nuevo material llamado Material Property Data. 3. En este cuadro de diálogo: - Escribir el nombre del material en el campo Material Name. - Marcar el tipo de material en el campo Type of Material. - Seleccionar el tipo de diseño en el campo Type of Design. 1 Atención: Antes de continuar asegúrese de que está trabajando con las unidades apropiadas. En la zona Analysis Property Data: - Escribir el valor de la masa por unidad de volumen en el campo Mass per unit Volume. - Escribir el valor del peso por unidad de volumen en el campo Weight per unit Volume. - Escribir el valor del módulo de elasticidad en el campo Modulus of Elasticity. - Escribir el valor de la relación de Poisson en el campo Poisson’s Ratio. - Escribir el valor del coeficiente de expansión térmica en el campo Coeff of Termal Expansion. En la zona Design Property Data: - Escribir el valor de la tensión cedente para el acero, fy, en el campo Steel yield stress, fy. - Presionar el botón OK. Esto confirma los valores ingresados en la unidad de medida activa, con lo cual se regresa al cuadro de diálogo Define Materials. Nótese que en la zona Materials aparece listado el nuevo material definido bajo el nombre de ASIDOR. Presionando el botón OK se completa el proceso de definición del nuevo material. Definición de las Secciones Estructurales 1. En el menú Define, seleccionar Frame Sections..., esto activa el cuadro de diálogo para la definición de secciones llamado Define Frame Sections. A partir de este punto se deben repetir los pasos que siguen para definir cada uno de los tipos de sección a utilizar. 2. En este cuadro de diálogo seleccionar Add Double Angle en el segundo cuadro de lista de la zona Click to:. Esto activa el cuadro de diálogo para la definición de la geometría del tipo de sección doble ángulo llamado Double Angle Section. 3. En este cuadro de diálogo: - Escribir un nombre para la sección no mayor de ocho caracteres en el campo Section Name.
- 28. Capítulo IV: OperacionesBásicas en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Definición de Cargas 20 - En el cuadro de lista del campo Material seleccionar el material del que se compone la sección, en este caso seleccionar ASIDOR. 1 Atención: Antes de continuar asegúrese de que está trabajando con las unidades apropiadas. En la zona Dimensions: - Escribir el valor de la longitud del ala vertical del ángulo en el campo Outside depth (t3). - Escribir el valor de la longitud del ala horizontal del ángulo en el campo Outside width (t2). - Escribir el valor del espesor del ala horizontal en el campo Horizontal leg thickness (tf). - Escribir el valor del espesor del ala vertical en el campo Vertical leg thickness (tw). - Escribir el valor de la separación entre ángulos en el campo Back to back distance (dis). - Presionar el botón OK, esto completa el proceso de definición de las propiedades geométricas de esta sección y ubica de nuevo al usuario en el cuadro de diálogo Define Frame Sections para proceder a ingresar otras secciones. En la zona Frame Sections, en el campo Name se listan todos los tipos de secciones definidos por el usuario. Una vez ingresadas todas las secciones se presiona el botón OK para cerrar el cuadro de diálogo Define Frame Sections. Definición de las Cargas Estáticas 1. En el menú Define, seleccionar Static Load Cases..., esto activa el cuadro de diálogo para la definición de los casos de carga llamado Define Static Load Case Names. 2. En este cuadro de diálogo: En la zona Loads: - Escribir el nombre del caso de carga en el campo Load, para el caso de carga permanente se utilizará el nombre CP, se utilizarán CV y CS para la carga variable y para la carga sísmica respectivamente. - En el cuadro de lista del campo Type seleccionar el tipo de carga: DEAD para permanente, LIVE para variable, QUAKE para sísmica, WIND para viento o SNOW para nieve. - En el campo Self Weight Multiplier escribir 1 para carga permanente y 0 para carga variable, sísmica, de viento o nieve. - Presionar el botón Add New Load para agregar el nuevo caso de carga a la lista.
- 29. Capítulo IV: OperacionesBásicas en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Asignación de Secciones y Cargas Nodales 21 Repetir los pasos anteriores para definir cada uno de los tipos de carga. Cuando se definan cargas diferentes a las permanentes el valor en el campo Self Weight Multiplier deberá ser cero. Una vez terminado el proceso se presiona el botón OK para cerrar el cuadro de diálogo. Asignación de las Secciones para los Miembros 1. Con el cursor en forma de flecha (pointer) haga clic sobre cada miembro que posea el mismo tipo de sección, esto seleccionará el o los miembros del mismo material y de la misma sección; un miembro queda seleccionado cuando se muestra con línea punteada, para deseleccionar un miembro basta con hacer clic nuevamente sobre él. 2. Una vez seleccionados los miembros se presiona el botón Assign Frame Sections de la barra de herramientas en la pantalla. Esto activa el cuadro de diálogo Define Frame Sections, en este cuadro de diálogo seleccionar de la lista el tipo de sección que corresponde a los miembros seleccionados. Presionar el botón OK. Esto asigna el tipo de sección al miembro y se muestra en la pantalla el nombre de la sección sobre cada uno de estos. El proceso anterior se repite hasta que queden asignadas todas las secciones. Asignación de las Cargas en los Nodos 1. Con el cursor en forma de flecha (pointer) haga clic sobre cada nodo al que desea asignar una condición de carga, esto seleccionará el nodo; un nodo queda seleccionado cuando se muestra con una x sobre él, para deseleccionar un nodo basta con hacer clic nuevamente sobre él. 2. Una vez seleccionado un nodo se presiona el botón Assign Joint Loading de la barra de herramientas en la pantalla. Esto activa el cuadro de diálogo Joint Forces. 1 Atención: Antes de continuar asegúrese de que está trabajando con las unidades apropiadas. 3. En este cuadro de diálogo: - En el cuadro de lista del campo Load Case Name seleccionar el caso de carga al que pertenece la fuerza o el momento a aplicar sobre el nodo. - En la zona Loads escribir el valor de la fuerza o momento con su signo según el eje en el que actúa, en el campo correspondiente según el caso: Force Global X, Force Global Y o Force Global Z si se aplica una fuerza concentrada, o Moment Global XX, Moment Global YY o Moment Global ZZ si se aplica un momento. - Asegúrese que en la zona Options se encuentra seleccionada la opción Add to existing loads si la carga es nueva o Replace existing loads si se desea
- 30. Capítulo IV: OperacionesBásicas en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Deformada 22 reemplazar la carga, si se selecciona Delete existing loads se borran todas las cargas sobre el nodo seleccionado. Presionar el botón OK para cerrar el cuadro de diálogo y confirmar la asignación de cargas, en la ventana activa se muestran las cargas actuando en los nodos previamente seleccionados. El proceso anterior se repite para cada nodo cargado y para cada condición de carga. Análisis del Modelo 1 Atención: Antes de continuar guarde el modelo bajo un nombre adecuado en una zona apropiada en el disco duro. Para analizar el modelo estructural antes definido simplemente presione el botón Run Analysis del cuadro de herramientas de la pantalla. Si no ha salvado aún su modelo se le pedirá que lo haga en este momento, si el modelo no es guardado en el disco duro no se puede ejecutar el análisis. Inmediatamente comienza el análisis por parte del programa, aparece una ventana en la cual se indica el estado del proceso y un mensaje indicando el término del mismo. Si el modelo se ha analizado satisfactoriamente se podrá leer el mensaje Analysis Complete!, en caso contrario se muestra el mensaje Analysis Incomplete!. Si el programa no puede analizar el modelo revise la vinculación o asegúrese de que el modelo creado no representa un mecanismo. Visualización de la Deformada Luego de completado el análisis el SAP2000 muestra automáticamente la deformada de la estructura para el caso de carga LOAD1, este caso de carga es seleccionado por defecto; para ver la deformada por la acción de los demás casos de carga se deben seguir los siguientes pasos: 1. Activar la ventana sobre la cual se desee observar la deformada. Recuerde que para activar una ventana basta con hacer clic en cualquier zona sobre ella. 2. Presionar el botón Display Static Deformed Shape en la barra de herramientas, esto activa el cuadro de diálogo llamado Deformed Shape. 3. En este cuadro de diálogo: - En el cuadro de lista de la zona Load seleccionar el caso de carga del cual se desea obtener la deformada. - Se puede activar la casilla de verificación Wire Shadow para que el programa nos muestre la deformada de la estructura sobrepuesta a la forma original.
- 31. Capítulo IV: OperacionesBásicas en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Desplazamientos, Rotaciones y Reacciones 23 - Presionar el botón OK, esto cierra el cuadro de diálogo y muestra la deformada bajo la condición de carga seleccionada en la ventana activa. Cuando se muestra la deformada es posible animar el movimiento de la estructura presionando el botón Start Animation en la zona inferior de la ventana activa. Para regresar a la forma original de la estructura se debe presionar el botón Show Undeformed Shape en la barra de herramientas. Obtención de las Rotaciones y de los Desplazamientos Nodales 1 Atención: Antes de continuar asegúrese de que está trabajando con las unidades apropiadas. Es posible obtener el valor de la rotación y el desplazamiento de cada nodo según los tres ejes de coordenadas locales directamente sobre la deformada de la estructura. Sobre una ventana que muestre la deformada sitúe el cursor (pointer) sobre el nodo en el que se desean conocer los valores de rotación y traslación, presione el botón derecho del mouse y aparecerá una ventana llamada Joint Displacements sobre la cual se muestra la identificación del nodo (su número) y los valores de las rotaciones y las traslaciones según cada eje. Recuerde que para la mayoría de los modelos creados por el SAP2000 el sistema de coordenadas locales de un nodo dado por 1, 2, 3 equivale a X, Y, Z (en el orden indicado). 1 Atención: Los valores de rotaciones y traslaciones que se reportan para cada nodo son los producidos por la condición de carga para la cual se muestra la deformada. Obtención de las Reacciones en los Vínculos 1 Atención: Antes de continuar asegúrese de que está trabajando con las unidades apropiadas. Para obtener el valor de las reacciones en los vínculos de la estructura es suficiente con presionar el botón Joint Reaction Forces en la barra de herramientas, esto activa el cuadro de diálogo Joint Reaction Forces. En este cuadro de diálogo: - En el cuadro de lista de la zona Load seleccionar el caso de carga para el cual se desea obtener el valor de las reacciones. - En la zona Type activar la opción Reactions.
- 32. Capítulo IV: OperacionesBásicas en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Solicitaciones 24 - Presionar OK. Automáticamente el programa muestra el valor y sentido de cada una de las reacciones sobre los nodos de la estructura que poseen vínculos a tierra. Solicitaciones en los Miembros 1 Atención: Antes de continuar asegúrese de que está trabajando con las unidades apropiadas. Como ejemplo se mostrará el procedimiento para graficar la fuerza axial sobre cada miembro, de forma similar se puede obtener los gráficos de las otras características de solicitación. 1. Presionar el botón Member Force Diagram for Frames en la barra de herramientas, esto activa el cuadro de diálogo Member Force Diagram for Frames. En este cuadro de diálogo: - En el cuadro de lista de la zona Load seleccionar el caso de carga para el cual se desea obtener el diagrama de fuerza axial. - En la zona Component seleccionar el tipo de diagrama a graficar, en este caso Axial Force. - Presionar OK. Automáticamente el programa grafica el diagrama para el componente (característica de solicitación) seleccionado de cada miembro de la estructura. Para obtener el diagrama en detalle de un miembro cualquiera basta con ubicarse con el cursor sobre el miembro y presionar el botón derecho del mouse, esto activará una ventana en la cual se muestra el diagrama aislado para dicho miembro y los valores punto a punto. & Para obtener mayor información consulte los manuales “Graphic User Interface”, “Basic Analysis Reference” incluidos en el SAP2000.
- 33. Francisco D’Amico, UNIMETModelo Estructural 25 C a p í t u l o V REFERENCIAS AL ANÁLISIS BÁSICO EN SAP2000 Edición de Grid Lines Introducción En este capítulo estudiaremos cómo crear modelos estructurales diferentes a los predefinidos en la opción “Model Templates” del SAP2000, a partir de la edición de las “grid lines”. Las grid lines son líneas de referencia trazadas a partir de los ejes de coordenadas y sobre las cuales se ubican los nodos de la estructura; un conjunto de grid lines conforma planos de visualización para el modelo estructural. Si una estructura no posee el número de grid lines suficientes y ubicados de forma correcta sobre sus nodos, es muy probable que el usuario no pueda trabajar sobre algunos de los planos que contienen al modelo, esto dificulta el análisis y la interpretación de los resultados. Además, una definición previa de todas las grid lines facilitará el proceso de creación del modelo estructural. Como ejemplo a seguir en el proceso de edición de grid lines se analizará una viga de seis tramos sometida a varios tipos de carga permanente. Únicamente se desean conocer los valores de las reacciones y las solicitaciones debidas a la carga permanente siguiendo un procedimiento similar al utilizado en los primeros cursos de Mecánica Racional. El Modelo Estructural El modelo estructural corresponde a una viga hiperestática de seis tramos con longitudes diferentes, la sección de la viga es constante de tramo en tramo. Para este caso en
- 34. Capítulo V: Referenciasal Análisis Básico en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Grid Lines 26 particular no interesará el tipo de material que compone a la sección debido a que se despreciarán los efectos de carga debidos al peso propio de la viga, por lo tanto las únicas cargas que se considerarán son las indicadas como cargas permanentes. Además no se tomarán en cuenta los efectos de deformación producidos por la fuerza axial ni por la fuerza cortante, es decir que únicamente se consideran deformaciones por momento. Las simplificaciones anteriores permiten que el análisis realizado por el SAP2000 coincida con un análisis tradicional como el empleado en un curso de Mecánica Racional o de Resistencia de Materiales típico de los primeros semestres de la carrera. A continuación se muestra el modelo de la viga a estudiar: Figura 1 Modelo matemático de una viga hiperestática. Definición de las Grid Lines 1. Una vez iniciado el programa, seleccionar el tipo de unidad en la cual se desee trabajar, las unidades deberán ser las adecuadas según el modelo estructural a crear, para este caso se selecciona kgf –m. 2. En el menú File seleccionar New Model..., esto activa el cuadro de diálogo llamado Coordinate System Definition, en este cuadro de diálogo se trabajará sobre la zona correspondiente a la pestaña Cartesian, para obtener un sistema de coordenadas cartesiano. 5.00 5.00 6.00 6.00 1.00 .75 1.00 .75 1.00 .75 1.00 .75 5000 kgf/m 5000 kgf/m 4500 kgf 1500 kgf 1500 kgf 2000 kgf 1500 kgf 1500 kgf 2000 kgf A A .40 .60 SECCIÓN A-A: (TÍPICA) 5.00 5.00 6.00 6.00 3.50 3.50 1 2 3 4 5 6 7 5.00 5.00 6.00 6.00 1.00 .75 1.00 .75 1.00 .75 1.00 .75 5.00 5.00 6.00 6.00 1.00 .75 1.00 .75 1.00 .75 1.00 .75 5000 kgf/m 5000 kgf/m 4500 kgf 1500 kgf 1500 kgf 2000 kgf 1500 kgf 1500 kgf 2000 kgf A A A A .40 .60 SECCIÓN A-A: (TÍPICA) .40 .60 SECCIÓN A-A: (TÍPICA) 5.00 5.00 6.00 6.00 3.50 3.50 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 Figura V – 1 Modelo matemático de una viga hiperestática.
- 35. Capítulo V: Referenciasal Análisis Básico en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Grid Lines 27 En el cuadro de diálogo anterior se observan dos zonas: la primera llamada Number of Grid Spaces se utiliza para indicar el número de segmentos entre los cuales se dividirá cada eje cartesiano; cada segmento estará delimitado por dos grid lines, una a cada lado. La segunda zona llamada Grid Spacing se utiliza para indicar la longitud de cada uno de los segmentos entre los cuales se divide cada eje cartesiano, según lo indicado anteriormente. Nótese que todos los segmentos para un eje deben tener la misma longitud, no se pueden definir desde este cuadro de diálogo segmentos de diferente longitud sobre un mismo eje. Para el caso particular de la viga que se desea simular, ésta se encuentra ubicada sobre el plano XZ con el eje Z vertical, por lo tanto no se necesitan crear espacios grid sobre el eje Y. Como el modelo no se eleva sobre el eje Z tampoco son necesarios espacios grid en el eje Z. Dado que la longitud total de la viga es de 29 m será suficiente con disponer de 29 espacios grid sobre el eje X separados por una distancia de 1 m entre cada uno de ellos. En la mayoría de los casos es conveniente mantener el espaciamiento inicial entre las grid lines igual a la unidad, para luego editar el conjunto formado y aumentar o disminuir el espaciamiento según convenga. En base a lo antes explicado el proceso de definición continúa así: 3. En la zona Number of Grid Spacing: - En el campo X direction escribir 29 - En el campo Y direction escribir 0 - En el campo Z direction escribir 0 4. En la zona Grid spacing: - En el campo X direction escribir 1 - En el campo Y direction escribir 1 - En el campo Z direction escribir 1 Esto indica que entre cada grid line existe una distancia de 1 m. 5. Presionar OK. El cuadro de diálogo se cierra y automáticamente se muestran dos ventanas, la de la izquierda con una vista 3D y la de la derecha con una vista del plano xy. 6. Activar la ventana de la derecha haciendo clic sobre ella y con el botón XZ de la barra de herramientas cambiar la vista según el plano XZ. Ahora es necesario adaptar el conjunto de grid lines al modelo de la viga a simular. Nótese que el eje X ha quedado dividido en 29 segmentos, cada segmento se encuentra delimitado por una línea de color gris que llamamos grid line, en total se tienen 30 grid lines. El eje XZ y el origen de coordenadas se encuentran ubicados en el centro del conjunto de grid lines. Cada grid line se define a partir de una coordenada desde el origen y según el eje al que divide o atraviesa perpendicularmente. Sobre las intersecciones de las grid lines se dibujan los nodos de un modelo estructural.
- 36. Capítulo V: Referenciasal Análisis Básico en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Dibujo del Modelo 28 A continuación se muestra un modelo de la viga sobre el cual se han indicado las grid lines que atraviesan al eje X y que se intersectan con la que corresponde a Z = 0; en dichas intersecciones se dibujan los nodos que delimitan cada tramo de la viga. En cada grid line se ha anotado su coordenada según el eje X. El siguiente paso es el de adaptar el conjunto de grid lines obtenido en el punto 6 para que se asemeje al mostrado en la figura anterior, para ello se procede a la edición del grid: 7. En el menú Draw seleccionar la opción Edit Grid..., esto activa el cuadro de diálogo Modify Grid Lines, en este cuadro de diálogo: - En la zona Direction seleccionar X, para modificar las grid lines perpendiculares al eje X. - En la zona X Location se observa un cuadro de lista con todas las coordenadas en X de las grid lines existentes. Sobre el cuadro de lista se encuentra un campo en blanco sobre el cual se pueden escribir nuevas coordenadas y agregar grid lines a la lista utilizando el botón Add Grid Line de la zona Click to:. - Se pueden eliminar las grid lines que no se necesitan para definir la geometría del modelo estructural seleccionando su coordenada en la lista y haciendo clic sobre el botón Delete Grid Line. 8. Una vez definidas las nuevas coordenadas se presiona OK, esto cierra el cuadro de diálogo y actualiza automáticamente la ventana con la vista del plano XZ sobre la cual se muestran las nuevas grid lines con su nuevo espaciamiento. Dibujo del Modelo Estructural Una vez definido el grid se procede a dibujar sobre éste el modelo a simular. Para un modelo estructural cualquiera el SAP2000 permite dibujar los nodos y luego las barras o de una vez dibujar barras con nodos en sus extremos. Para el caso del modelo de la viga utilizada como ejemplo se utilizará la segunda de las opciones mencionadas: Z X -14,50 -9,50 -6,00 0,00 6,00 9,50 14,50 Z X -14,50 -9,50 -6,00 0,00 6,00 9,50 14,50 Z X -14,50 -9,50 -6,00 0,00 6,00 9,50 14,50
- 37. Capítulo V: Referenciasal Análisis Básico en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Definición de Materiales 29 1. En la ventana con la vista según el plano XZ activa, presionar el botón Draw Frame Element de la barra de herramientas vertical de la pantalla principal. 2. Colocar el cursor sobre la primera intersección del grid a la izquierda de la ventana para comenzar a dibujar el primer tramo de la viga, dar un clic con el mouse para fijar el primer nodo en dicha intersección y arrastrar el cursor hacia la siguiente intersección, una vez ubicado, dar un nuevo clic para fijar el segundo nodo, automáticamente se dibuja el frame (miembro o barra) que corresponde al primer tramo de la viga. Repetir el proceso anterior moviendo el cursor sobre cada intersección del grid y fijando los nodos haciendo clic sobre éstas, una vez dibujados todos los tramos se coloca el cursor sobre el último nodo dibujado y con un doble clic del mouse se desactiva el comando para dibujar barras. 3. Seleccionar todos los nodos del modelo y presionar el botón Assign Joint Restraints de la barra de herramientas principal. Esto activa el cuadro de diálogo llamado Joint Restraints, en este cuadro de diálogo: - En la zona Fast Restraints presionar el botón con el dibujo de la articulación. - En la zona Restraints in Local Directions activar las casillas correspondientes a Rotation about 1 y Rotation about 3; lo cual liberará únicamente la rotación alrededor del eje 2 local (Y global). 4. Presionar el botón OK para cerrar el cuadro de diálogo, automáticamente el programa asigna los vínculos en cada nodo seleccionado. El proceso anterior se puede repetir para asignar cualquier tipo de vínculo sobre cualquier nodo del modelo estructural. Definición de los Materiales Para esta estructura no se especifica ningún material, así que se definirá un tipo de material del cual sólo se suministrará el valor del módulo de elasticidad que es indispensable para que el programa realice el análisis. Al no especificar ningún material se busca que el análisis sea para encontrar valores de reacciones y solicitaciones sólo por cargas externas, de la forma tradicional utilizada en los primeros cursos de Mecánica Racional. Pasos para definir el nuevo material: 1. En el menú Define, seleccionar Materials..., esto activa el cuadro de diálogo para la definición de materiales llamado Define Materials. 2. En este cuadro de diálogo presionar el botón Add New Material, lo cual activa el cuadro de diálogo para la definición de las propiedades del nuevo material llamado Material Property Data. 3. En este cuadro de diálogo: - Escribir el nombre del material en el campo Material Name, por ejemplo MAT1. - Marcar el tipo de material en el campo Type of Material, en este caso Isotropic
- 38. Capítulo V: Referenciasal Análisis Básico en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Definición de Secciones 30 - Seleccionar el tipo de diseño en el campo Type of Design, en este caso Other. 1 Atención: Antes de continuar asegúrese de que está trabajando con las unidades apropiadas. En la zona Analysis Property Data: - Asignar cero al valor de la masa por unidad de volumen en el campo Mass per unit Volume. - Asignar cero al valor del peso por unidad de volumen en el campo Weight per unit Volume. Lo antes realizado produce que el programa no tome en cuenta la carga debida al peso propio. - Escribir cualquier valor del módulo de elasticidad en el campo Modulus of Elasticity. - Asignar cero al valor de la relación de Poisson en el campo Poisson’s Ratio. - Asignar cero al valor del coeficiente de expansión térmica en el campo Coeff of Termal Expansion. - Presionar el botón OK. Esto confirma los valores ingresados en la unidad de medida activa, con lo cual se regresa al cuadro de diálogo Define Materials. Nótese que en la zona Materials aparece listado el nuevo material definido bajo el nombre de MAT1. Presionando el botón OK se completa el proceso de definición del nuevo material. Definición de las Secciones Estructurales 1. En el menú Define, seleccionar Frame Sections..., esto activa el cuadro de diálogo para la definición de secciones llamado Define Frame Sections. 2. En este cuadro de diálogo seleccionar Add Rectangular en el segundo cuadro de lista de la zona Click to:. Esto activa el cuadro de diálogo para la definición de la geometría del tipo de sección rectangular llamado Rectangular Section. 3. En este cuadro de diálogo: - Escribir un nombre para la sección no mayor de ocho caracteres en el campo Section Name. - En el cuadro de lista del campo Material seleccionar el material del que se compone la sección, en este caso seleccionar MAT1. 1 Atención: Antes de continuar asegúrese de que está trabajando con las unidades apropiadas. En la zona Dimensions: - Escribir el valor de la altura de la sección en el campo Depth (t3). - Escribir el valor de la base de la sección en el campo Width (t2).
- 39. Capítulo V: Referenciasal Análisis Básico en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Definición de Cargas y Secciones 31 Aunque para este ejemplo no nos interesan las especificaciones del material ni de la sección, se suministran unas dimensiones para que el programa realice el análisis, sin embargo estos valores no modificarán los resultados de las reacciones ni de las solicitaciones ya que el material no es real. Además de despreciar el peso propio de la viga, es necesario indicarle al programa que desprecie los efectos de deformación debidos a la fuerza axial y a la fuerza cortante, para ello basta con seguir los pasos dados a continuación: En la zona Properties del cuadro de diálogo Rectangular Section presionar el botón Modification Factors, esto activa un cuadro de diálogo llamado Analysis Property Modification Factors, en este cuadro de diálogo: - En el campo Cross-section (axial) area asignar un valor muy grande, por ejemplo 1000. - En el campo Shear area in 2 direction asignar cero. - En el campo Shear area in 3 direction asignar cero. - Presionar el botón OK. Una vez ingresados todos los valores se presiona el botón OK para cerrar el cuadro de diálogo Define Frame Sections. Definición de las Cargas Estáticas 1. En el menú Define, seleccionar Static Load Cases..., esto activa el cuadro de diálogo para la definición de los casos de carga llamado Define Static Load Case Names. 2. En este cuadro de diálogo: En la zona Loads: - Escribir el nombre del caso de carga en el campo Load, para el caso de carga permanente se utilizará el nombre CP. - En el cuadro de lista del campo Type seleccionar el tipo de carga: DEAD para permanente. - En el campo Self Weight Multiplier escribir 1. - Presionar el botón Add New Load para agregar el nuevo caso de carga a la lista. - Presionar el botón OK para cerrar el cuadro de diálogo. Asignación de las Secciones para los Miembros 1. Con el cursor en forma de flecha (pointer) haga clic sobre cada miembro que posea el mismo tipo de sección, esto seleccionará el o los miembros del mismo material y de la misma sección; un miembro queda seleccionado cuando se muestra con línea punteada, para deseleccionar un miembro basta con hacer clic nuevamente sobre él
- 40. Capítulo V: Referenciasal Análisis Básico en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Asignación de Cargas 32 2. Una vez seleccionados los miembros se presiona el botón Assign Frame Sections de la barra de herramientas en la pantalla. Esto activa el cuadro de diálogo Define Frame Sections, en este cuadro de diálogo seleccionar de la lista el tipo de sección que corresponde a los miembros seleccionados. Presionar el botón OK. Esto asigna el tipo de sección al miembro y se muestra en la pantalla el nombre de la sección sobre cada uno de estos. El proceso anterior se repite hasta que queden asignadas todas las secciones. Asignación de las Cargas en los Miembros 4. Con el cursor en forma de flecha (pointer) haga clic sobre cada miembro al que desea asignar una condición de carga, esto seleccionará el miembro; un miembro queda seleccionado cuando se muestra con línea punteada, para deseleccionar un miembro basta con hacer clic nuevamente sobre él. 5. Una vez seleccionado un miembro se presiona el botón Assign Frame Span Loading de la barra de herramientas principal en la pantalla. Esto activa el cuadro de diálogo Point and Uniform Span Loads. A través de este cuadro de diálogo se pueden asignar cargas uniformes, puntuales y momentos sobre un miembro cualquiera. 1 Atención: Antes de continuar asegúrese de que está trabajando con las unidades apropiadas. 6. En el cuadro de diálogo anterior: - En el cuadro de lista del campo Load Case Name seleccionar el caso de carga al que pertenece la fuerza o el momento a aplicar sobre el miembro. - En la zona Load Type and Direction seleccionar la opción Forces para aplicar fuerzas o Moments para aplicar momentos; luego seleccionar el sentido según el que actúa la fuerza, del cuadro de lista Direction. - Asegúrese que en la zona Options se encuentra seleccionada la opción Add to existing loads si la carga es nueva o Replace existing loads si se desea reemplazar la carga, si se selecciona Delete existing loads se borran todas las cargas sobre el miembro seleccionado. - En la zona Point Loads seleccionar la opción Absolute Distance from End- I, para medir las distancias de aplicación de las cargas puntuales desde el comienzo del tramo. En esta misma zona se dispone de dos filas de cuatro casillas cada una, en la primera fila que corresponde a Distance se escribe la distancia, desde el comienzo del tramo, a la que se encuentra aplicada la carga puntual o el momento, ya que si se selecciona la opción Moments esta misma zona sirve para asignarlos. En la segunda fila que corresponde a Load se escribe, debajo de la casilla que contiene el valor de la distancia, la magnitud de la carga puntual o el momento que actúa. En este cuadro de diálogo se dispone solamente de cuatro casillas lo que permite asignar sólo cuatro cargas puntuales o momentos a la vez, en caso de querer asignar más de cuatro, se presiona OK, se vuelve a seleccionar el miembro y presionando de nuevo el
- 41. Capítulo V: Referenciasal Análisis Básico en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Asignación de Cargas 33 botón Point and Uniform Span Loads se pueden definir de forma similar cuatro cargas más que se agregarán a las ya asignadas. - En caso de querer asignar una carga uniforme se trabaja con el campo Uniform Load en el cual se escribe el valor de la carga uniforme que actúa según la dirección especificada en el cuadro de lista Direction de la zona Load Type and Direction. - Presionar el botón OK para cerrar el cuadro de diálogo y confirmar la asignación de cargas, en la ventana activa se muestran las cargas actuando en los miembros previamente seleccionados. El proceso anterior se repite para cada miembro cargado y para cada condición de carga. Para asignar cargas triangulares o trapezoidales sobre un miembro se sigue un proceso diferente: 1. Seleccione el miembro que posee carga triangular o trapezoidal. 2. En el menú Assign seleccione la opción Frame Static Loads y en el cuadro de opciones mostrado seleccione Trapezoidal..., esto activa el cuadro de diálogo llamado Trapezoidal Span Loads. 3. En este cuadro de diálogo: - En el cuadro de lista del campo Load Case Name seleccionar el caso de carga al que pertenece la fuerza o el momento a aplicar sobre el miembro. - En la zona Load Type and Direction seleccionar la opción Forces y luego seleccionar el sentido según el que actúa, del cuadro de lista Direction. - Asegúrese que en la zona Options se encuentra seleccionada la opción Add to existing loads si la carga es nueva o Replace existing loads si se desea reemplazar la carga, si se selecciona Delete existing loads se borran todas las cargas sobre el miembro seleccionado. - En la zona Trapezoidal Loads seleccionar la opción Absolute Distance from End-I. - Si la carga es triangular y creciente hacia la derecha, se escribe un cero en la primera casilla correspondiente a Distance y el valor de la longitud en la cual la carga alcanza su máxima magnitud en la casilla siguiente; luego en la primera casilla de la zona Load se escribe cero y el valor máximo de la carga en la casilla siguiente, de esta forma cada distancia queda sobre el correspondiente valor de carga en ese punto. Si la carga es triangular y decreciente hacia la derecha se sigue el mismo proceso pero el valor en la primera casilla de la zona Load será la máxima magnitud de la carga y en la casilla siguiente será cero. - Si la carga es trapezoidal se puede definir de igual forma que la triangular indicando la distancia en la que actúa y el valor de cada carga en los extremos del trapecio. Obsérvese que para definir un caso de carga triangular o uno trapezoidal es suficiente con llenar dos casillas correspondientes a Distance y dos casillas correspondientes a Load. - Presionar el botón OK para cerrar el cuadro de diálogo y confirmar la asignación de cargas, en la ventana activa se muestran las cargas trapezoidales
- 42. Capítulo V: Referenciasal Análisis Básico en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Análisis del Modelo 34 o triangulares actuando en los miembros previamente seleccionados. El proceso anterior se repite para cada miembro cargado y para cada condición de carga. Análisis del Modelo 1 Atención: Antes de continuar guarde el modelo bajo un nombre adecuado en una zona apropiada en el disco duro. Para analizar el modelo estructural antes definido simplemente presione el botón Run Analysis del cuadro de herramientas de la pantalla. Si no ha salvado aún su modelo se le pedirá que lo haga en este momento, si el modelo no es guardado en el disco duro no se puede ejecutar el análisis. Inmediatamente comienza el análisis por parte del programa, aparece una ventana en la cual se indica el estado del proceso y un mensaje indicando el término del mismo. Si el modelo se ha analizado satisfactoriamente se podrá leer el mensaje Analysis Complete!, en caso contrario se muestra el mensaje Analysis Incomplete!. Si el programa no puede analizar el modelo revise la vinculación o asegúrese de que el modelo creado no represente un mecanismo. Visualización de la Deformada Luego de completado el análisis el SAP2000 muestra automáticamente la deformada de la estructura para el caso de carga LOAD1, este caso de carga es seleccionado por defecto; para ver la deformada por la acción de los demás casos de carga se deben seguir los siguientes pasos: 4. Activar la ventana sobre la cual se desee observar la deformada. Recuerde que para activar una ventana basta con hacer clic en cualquier zona sobre ella. 5. Presionar el botón Display Static Deformed Shape en la barra de herramientas, esto activa el cuadro de diálogo llamado Deformed Shape. 6. En este cuadro de diálogo: - En el cuadro de lista de la zona Load seleccionar el caso de carga del cual se desea obtener la deformada. - Se puede activar la casilla de verificación Wire Shadow para que el programa nos muestre la deformada de la estructura sobrepuesta a la forma original. - Presionar el botón OK, esto cierra el cuadro de diálogo y muestra la deformada bajo la condición de carga seleccionada en la ventana activa. Cuando se muestra la deformada es posible animar el movimiento de la estructura presionando el botón Start Animation en la zona inferior de la ventana activa
- 43. Capítulo V: Referenciasal Análisis Básico en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Rotaciones, Desplazamientos y Reacciones 35 Para regresar a la forma original de la estructura se debe presionar el botón Show Undeformed Shape en la barra de herramientas. Obtención de las Rotaciones y de los Desplazamientos Nodales 1 Atención: Antes de continuar asegúrese de que está trabajando con las unidades apropiadas. Es posible obtener el valor de la rotación y el desplazamiento de cada nodo según los tres ejes de coordenadas locales directamente sobre la deformada de la estructura. Sobre una ventana que muestre la deformada sitúe el cursor (pointer) sobre el nodo en el que se desean conocer los valores de rotación y traslación, presione el botón derecho del mouse y aparecerá una ventana llamada Joint Displacements sobre la cual se muestra la identificación del nodo (su número) y los valores de las rotaciones y las traslaciones según cada eje. Recuerde que para la mayoría de los modelos creados por el SAP2000 el sistema de coordenadas locales de un nodo dado por 1, 2, 3 equivale a X, Y, Z (en el orden indicado). 1 Atención: Los valores de rotaciones y traslaciones que se reportan para cada nodo son los producidos por la condición de carga para la cual se muestra la deformada. Obtención de las Reacciones en los Vínculos 1 Atención: Antes de continuar asegúrese de que está trabajando con las unidades apropiadas. Para obtener el valor de las reacciones en los vínculos de la estructura es suficiente con presionar el botón Joint Reaction Forces en la barra de herramientas, esto activa el cuadro de diálogo Joint Reaction Forces. En este cuadro de diálogo: - En el cuadro de lista de la zona Load seleccionar el caso de carga para el cual se desea obtener el valor de las reacciones. - En la zona Type activar la opción Reactions. - Presionar OK. Automáticamente el programa muestra el valor y sentido de cada una de las reacciones sobre los nodos de la estructura que poseen vínculos a tierra.
- 44. Capítulo V: Referenciasal Análisis Básico en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Solicitaciones 36 Solicitaciones en los Miembros 1 Atención: Antes de continuar asegúrese de que está trabajando con las unidades apropiadas. Como ejemplo se mostrará el procedimiento para graficar la fuerza cortante sobre cada miembro, de forma similar se pueden obtener los gráficos de las otras características de solicitación. 2. Presionar el botón Member Force Diagram for Frames en la barra de herramientas, esto activa el cuadro de diálogo Member Force Diagram for Frames. En este cuadro de diálogo: - En el cuadro de lista de la zona Load seleccionar el caso de carga para el cual se desea obtener el diagrama de fuerza axial. - En la zona Component seleccionar el tipo de diagrama a graficar, en este caso Shear 2-2. - Presionar OK. Automáticamente el programa grafica el diagrama para el componente (característica de solicitación) seleccionado de cada miembro de la estructura. Para obtener el diagrama en detalle de un miembro cualquiera basta con ubicarse con el cursor sobre el miembro y presionar el botón derecho del mouse, esto activará una ventana en la cual se muestra el diagrama aislado para dicho miembro y los valores punto a punto. &Para obtener mayor información consulte los manuales “Graphic User Interface” y “Basic Analysis Reference” y “Analyisis Reference” incluidos en el SAP2000.
- 45. Capítulo V: Referenciasal Análisis Básico en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Arcos Circulares 37 Vigas de Eje Curvo Introducción En este capítulo se estudiarán algunos casos sencillos de vigas con eje curvo, contenido en el mismo plano en el que se encuentran las fuerzas externas; como una simplificación para el análisis se supondrá que todas las secciones tienen uno de sus ejes principales de inercia contenidos en el mismo plano antes mencionado. Se analizarán dos casos comúnmente presentes en la Ingeniería Civil: arcos circulares y arcos parabólicos. Las ecuaciones que describen la curvatura del eje en cada uno de los casos a estudiar, serán de particular conveniencia para mostrar la facilidad con la cual se pueden crear modelos estructurales en SAP2000, relativamente complicados, utilizando las posibilidades de combinación con Excel. Arcos Circulares Consideremos un arco circular de radio R, de sección constante y simétrico, apoyado sobre le eje de las x, como el mostrado en la figura V-2. Figura V - 2 Modelo de arco circular. La ecuación que define la forma del arco en función del radio R y del ángulo θ medido desde el eje de las x en sentido antihorario hasta una posición arbitraria de R es: r R = 2 senθ (1) Las coordenadas de un punto cualquiera P ubicado sobre el arco serán: x R = cosθ (2) z R = senθ (3) Si se conoce el valor de R y se ubican una serie de puntos (nodos), al estilo de P, que dividan el arco en un número finito de segmentos iguales, obtendremos una forma de simular el problema en SAP2000 con una muy buena aproximación. R θ x P z
- 46. Capítulo V: Referenciasal Análisis Básico en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Arcos Circulares 38 La diferencia entre la condición real y la simulación por SAP2000 cuando se analizan vigas de eje curvo, está representada por el hecho de que en el modelo estructural creado cada segmento es una línea recta, mientras que en el caso real cada segmento es una línea que posee una cierta curvatura; esto no afectará mayormente los resultados si se toman un gran número de segmentos, lo cual no demandará de mucho esfuerzo por parte del usuario ya que se utilizará una hoja de trabajo en Excel para generar, de forma automática, las coordenadas de cada nodo que delimita cada segmento. Simulación en SAP2000 A continuación se muestra una forma de crear un modelo en SAP2000 para simular un arco circular, utilizando Excel como herramienta para obtener las coordenadas de los nodos. Una vez establecidas las coordenadas y escritas de forma ordenada siguiendo un esquema que el SAP2000 pueda interpretar, se importará esta información simplemente utilizando el comando paste sobre la pantalla que representa el plano de estudio en el SAP2000. Para crear el modelo del arco circular primero se debe establecer el número de segmentos en que será divido el arco, todos los segmentos serán de igual longitud. La longitud s de cada segmento será igual al radio del arco R por el ángulo θ, en radianes, que se forma entre los radios trazados desde el centro del arco hasta cada uno de los nodos que delimitan dicho segmento. (Véase la figura V-3). Nótese que mientras mayor sea el número de segmentos entre los cuales se divida la longitud total del arco, mayor será la semejanza con la situación real. El número de segmentos a tomar estará restringido por la capacidad de la versión de SAP2000 con la cual se trabaje. Si se divide el arco en n segmentos iguales, se tendrán n+1 nodos, y el valor del ángulo θ para cada segmento será π/n. Obsérvese que al dividir π entre el número de segmentos n se está obligando a que el arco tenga forma de semicírculo, como en la figura V-2, también se podrán construir modelos de arcos circulares que posean un ángulo total menor que π. Una vez establecido el número de segmentos se procede a elaborar la tabla en Excel donde se calcularán las coordenadas x,z de cada nodo utilizando las ecuaciones (2) y (3) respectivamente. Recuérdese que esta tabla debe seguir un formato especial para que sea interpretada correctamente por el SAP2000. A continuación se muestra una tabla de coordenadas obtenida para el arco semicircular de la figura V-3, el cual posee un radio de 4,50 m y ha sido dividido en 18 segmentos, formándose así una figura de 19 nodos; para este caso el valor del ángulo θ es de π/18.
- 47. Capítulo V: Referenciasal Análisis Básico en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Arcos Circulares 39 TYPE NAME X Y Z POINT 1 4.5000 0 0 POINT 2 4.4316 0 0.7814 POINT 3 4.2286 0 1.5391 POINT 4 3.8971 0 2.2500 POINT 5 3.4472 0 2.8925 POINT 6 2.8925 0 3.4472 POINT 7 2.2500 0 3.8971 POINT 8 1.5391 0 4.2286 POINT 9 0.7814 0 4.4316 POINT 10 0 0 4.5000 POINT 11 -0.7814 0 4.4316 POINT 12 -1.5391 0 4.2286 POINT 13 -2.2500 0 3.8971 POINT 14 -2.8925 0 3.4472 POINT 15 -3.4472 0 2.8925 POINT 16 -3.8971 0 2.2500 POINT 17 -4.2286 0 1.5391 POINT 18 -4.4316 0 0.7814 POINT 19 -4.5000 0 0 Tabla 1 Coordenadas de los nodos para una arco circular. Figura V - 3 Modelo para la simulación de un arco circular en SAP2000. La tabla de coordenadas puede ser elaborada programando cada celda con la función predefinida en Excel que aplique al caso, o puede ser obtenida por medio de una macro codificada en VBA. De igual forma es posible generar una tabla de coordenadas, para dibujar automáticamente cada uno de los segmentos (miembros) que conforman el modelo estructural. Dicha tabla sigue un esquema similar a la de los nodos con la diferencia de que se deben escribir las coordenadas iniciales y finales de cada miembro. Fácilmente se puede notar que dichas coordenadas coinciden con las de los nodos entre los cuales se encuentra el miembro; en forma general un miembro (frame, para el SAP2000), se define a partir de un nodo inicial que llamaremos I hasta otro final que se θ Pi R s x z
- 48. Capítulo V: Referenciasal Análisis Básico en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Arcos Circulares 40 llamará J, entonces su ubicación en el espacio se encontrará determinada por 6 coordenadas que serán XI, YI, ZI, (para el nodo inicial) y XJ, YJ, ZJ, (para el nodo final). Para el ejemplo considerado, la tabla de coordenadas para los segmentos del arco circular sigue el esquema mostrado a continuación: TYPE NAME XI YI ZI XJ YJ ZJ LINE 1 4.5000 0 0 4.4316 0 0.7814 LINE 2 4.4316 0 0.7814 4.2286 0 1.5391 LINE 3 4.2286 0 1.5391 3.8971 0 2.2500 LINE 4 3.8971 0 2.2500 3.4472 0 2.8925 LINE 5 3.4472 0 2.8925 2.8925 0 3.4472 LINE 6 2.8925 0 3.4472 2.2500 0 3.8971 LINE 7 2.2500 0 3.8971 1.5391 0 4.2286 LINE 8 1.5391 0 4.2286 0.7814 0 4.4316 LINE 9 0.7814 0 4.4316 0 0 4.5000 LINE 10 0 0 4.5000 -0.7814 0 4.4316 LINE 11 -0.7814 0 4.4316 -1.5391 0 4.2286 LINE 12 -1.5391 0 4.2286 -2.2500 0 3.8971 LINE 13 -2.2500 0 3.8971 -2.8925 0 3.4472 LINE 14 -2.8925 0 3.4472 -3.4472 0 2.8925 LINE 15 -3.4472 0 2.8925 -3.8971 0 2.2500 LINE 16 -3.8971 0 2.2500 -4.2286 0 1.5391 LINE 17 -4.2286 0 1.5391 -4.4316 0 0.7814 LINE 18 -4.4316 0 0.7814 -4.5000 0 0 Tabla 2 Coordenadas de los miembros para una arco circular. De este modo el modelo estructural queda definido en el SAP2000, de manera sencilla, y se puede proceder a la definición de los materiales y las cargas para luego ejecutar el análisis. Nótese que el proceso de dibujo del modelo ha sido simplificado notablemente mediante el uso de una hoja de trabajo en Excel, de otro modo, dibujando manualmente cada nodo sobre el plano de estudio, se hubiera empleado un tiempo mucho mayor y el proceso sería más laborioso. En definitiva, cuando se deban modelar estructuras de muchos nodos, de formas un tanto complicadas, que posean ejes curvos, o que deban seguir una cierta curva matemáticamente definida, se recomienda el uso de Excel para crear las coordenadas de los nodos y miembros del modelo estructural. Utilizando el mismo proceso se mostrará la forma de simular arcos que describen curvas diferentes como parábolas o catenarias y que tienen gran aplicación en la Ingeniería Civil.
- 49. Capítulo V: Referenciasal Análisis Básico en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Arcos Parabólicos 41 Arcos Parabólicos Considere el arco parabólico de la figura V-4, f es la altura total del arco o flecha y L es la longitud horizontal total entre los apoyos o cuerda. La ecuación que define la forma de este arco en términos de f y L es: z f L x = − 4 2 2 (4) Figura V - 4 Arco parabólico. Para obtener la ecuación (4) se debe recurrir a la definición de la parábola: conjunto de puntos P que equidistan de la directriz l y del foco F, es decir, que satisfacen (figura V-5) PF PL = A partir de esta definición, podemos deducir la ecuación en x y z atendiendo al siguiente procedimiento: (a) (b) Figura V - 5 Si aplicamos la definición de parábola en la figura V-5(a), obtenemos ( ) ( ) ( ) ( ) x x z p x z p − + − = − + + 2 2 2 2 0 f L f L z = p P (x,z) z x l F(0,-p) L (x,p) z = p P(L/2,-p) z x F(0,-p) L(L/2,p)
- 50. Capítulo V: Referenciasal Análisis Básico en SAP2000 Francisco D’Amico, UNIMET Arcos Parabólicos 42 resolviendo ambos lados de la ecuación, resulta z zp p x z zp p 2 2 2 2 2 2 2 − + = + + + simplificando − = 4 2 zp x z p x = − 1 4 2 la expresión anterior representa la ecuación general de una parábola, donde p es la distancia vertical del origen de coordenadas al foco F, que es igual a la distancia vertical entre el origen a la directriz l. Si repetimos el proceso anterior en la figura V-5(b), donde se ha ubicado el arco parabólico en el sistema de coordenadas xz y se ha trazado la directriz l, obtenemos la ecuación 4 4 2 fp L = resolviendo para p p L f = 2 16 sustituyendo el valor de p en la ecuación general de la parábola obtenemos la ecuación de un arco parabólico en términos de su flecha y su cuerda (ecuación 4), éstos valores serán siempre conocidos a partir del proyecto del arco. Simulación en SAP2000 Para la simulación de un arco parabólico primero se obtendrán las coordenadas de los nodos del modelo estructural, el número de nodos será tomado por el usuario, estableciendo los valores de x tomados del intervalo –L/2 ≤ x ≤ L/2 y obteniendo los valores de z a partir de la ecuación (4). Luego se elaborarán en Excel las tablas de coordenadas para nodos y miembros siguiendo el formato ya mostrado para el caso del arco circular. Nótese que para cualquier modelo estructural bidimensional, el plano de estudio está representado por el xz, y un proceso similar al seguido en el caso del arco circular o en el del arco parabólico puede ser empleado para definir cualquier modelo estructural en dos o tres dimensiones. En un modelo tridimensional los planos verticales son el xz, yz y el plano horizontal el xy.
- 51. Francisco D’Amico, UNIMETÁlgebra Matricial 43 C a p í t u l o V I VIGAS DE CELOSÍA Elementos de Álgebra Matricial Sistemas de Ecuaciones Lineales n n nn n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a = + + + = + + + = + + + ... ....... ... ... 2 22 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 donde x1, x2, …, xn son las incógnitas. En forma matricial: Ax = b En donde [ ] = = nn n n n n ij a a a a a a a a a a A ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11
- 52. Capítulo VI: Vigasde Celosía Francisco D’Amico, UNIMET Álgebra Matricial 44 { } = = n i x x x x x : 2 1 { } = = n i b b b b b : 2 1 A es una matriz cuadrada de nxn, x y b son vectores columna de dimensión n. La matriz A se llama matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas y b el vector de términos independientes. Vectores Fila y Columna [ ] 3 2 1 v v v v = = 3 2 1 w w w w Suma y Resta de Matrices Para dos matrices A y B, ambas de la misma dimensión (mxn), la adición y la substracción están definidas por: donde donde ij ij ij ij ij ij C A B c a b D A B d a b = + = + = − = − Multiplicación Escalar λA = [λaij] Multiplicación Matricial Para dos matrices A (de dimensión lxm) y B (de dimensión mxn), el producto de AB está definido por: ∑ = = = m k kj ik ij b a c AB C 1 con donde i = 1, 2, …, l; j = 1, 2, …,n. Nótese que, en general, AB ≠ BA, pero (AB)C = A(BC) (asociación).
- 53. Capítulo VI: Vigasde Celosía Francisco D’Amico, UNIMET Álgebra Matricial 45 Transpuesta de una Matriz Si A = [aij], entonces la transpuesta de A es T ji A a = Nótese que (AB)T = BT AT . Matriz Simétrica Una matriz cuadrada (nxn) A es llamada simétrica si ji ij T a a A A = = o Matriz Unitaria (Identidad) = 1 0 0 0 ... ... ... ... 0 ... 1 0 0 ... 0 1 I Nótese que AI = A, Ix = x. Determinante de una Matriz El determinante de una matriz cuadrada A es un número escalar denotado por |A| o por det(A). Para matrices de 2x2 y 3x3 el determinante está dado por: 11 32 23 33 21 12 31 22 13 13 32 21 31 23 12 33 22 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a bc ad d c b a − − − + + = − = Los determinantes de orden superior pueden definirse por inducción de la siguiente manera:
- 54. Capítulo VI: Vigasde Celosía Francisco D’Amico, UNIMET Álgebra Matricial 46 Si A = [aij] es una matriz nxn, sea Aij la matriz (n-1)x(n-1) obtenida a partir de A suprimiendo su i-ésima fila y su j-ésima columna. El desarrollo del determinante |A| a lo largo de su i-ésima fila está dado por: ( ) fija) (i 1 1 ∑ = + − = n j ij ij j i A a A mientras que el desarrollo a lo largo de su j-ésima columna es ( ) 1 1 (j fija) n i j ij ij i A a A + = = − ∑ En álgebra matricial se demuestra que cualesquiera que sean la fila y la columna utilizada en las fórmulas anteriores, el resultado siempre será el mismo. Matriz Singular Una matriz cuadrada A es singular si |A| = 0, lo cual indica problemas en los sistemas de ecuaciones (múltiples soluciones, por ejemplo). Matriz Inversa Para una matriz cuadrada y no singular A, su inversa A-1 se define de forma que I A A AA = = − − 1 1 Sea C la matriz cofactor de A definida por ( ) ij j i ij M C + − = 1 donde Mij es el determinante de una matriz obtenida a partir de la eliminación de la i- ésima fila y la j-ésima columna de A. Entonces, la inversa de A puede obtenerse por T C A A 1 1 = − Podemos observar que (AB)-1 = B-1 A-1 .
- 55. Capítulo VI: Vigasde Celosía Francisco D’Amico, UNIMET Álgebra Matricial en Excel 47 Si el determinante de A es cero entonces la inversa de A no existe. La solución de un sistema lineal de ecuaciones de la forma Ax = b puede ser expresada como, (asumiendo que A es no singular): x = A-1 b Por lo cual, la principal tarea para resolver un sistema lineal de ecuaciones es la de encontrar la inversa de la matriz de coeficientes. Diferenciación e Integración de Matrices Sea ( ) ( ) [ ] t a t A ij = La derivada de A está definida por ( ) ( ) = dt t da t A dt d ij y su integral por ( ) ( ) [ ] ∫ ∫ = dt t a dt t A ij Álgebra Matricial en Excel Multiplicación de Matrices La fórmula MMULT devuelve la matriz producto de dos matrices. Sintaxis: MMULT(rango_matriz1;rango_matriz2), donde matriz1 y matriz2 son las matrices que desea multiplicar. El número de columnas de matriz1 debe ser el mismo que el número de filas de matriz2 y ambas matrices sólo pueden contener números. Los argumentos matriz1 y matriz2 pueden expresarse como rangos de celdas (A1:D5), constantes matriciales ({1;2;34;5;67;8;9}) o referencias. MMULT devuelve el valor de error #¡VALOR! si hay celdas vacías o con texto, o si el número de columnas de matriz1 es diferente al número de filas de matriz2.
- 56. Capítulo VI: Vigasde Celosía Francisco D’Amico, UNIMET Álgebra Matricial en Excel 48 Determinante de una Matriz La fórmula MDETERM devuelve el determinante de una matriz. Sintaxis: MDETERM(matriz), donde matriz es la matriz a la cual se desea calcular su determinante. El argumento matriz puede expresarse como un rango de celdas (A1:D5), una constante matricial ({1;2;34;5;67;8;9}) o una referencia. MDETERM devuelve el valor de error #¡VALOR! si hay celdas vacías o con texto, o si el número de columnas de matriz es diferente al número de filas. Matriz Inversa La fórmula MINVERSA devuelve la inversa de una matriz. Sintaxis: MINVERSA(matriz), donde matriz es la matriz a la cual se desea calcular su inversa. El argumento matriz puede expresarse como un rango de celdas (A1:D5), una constante matricial ({1;2;34;5;67;8;9}) o una referencia. MINVERSA devuelve el valor de error #¡VALOR! si hay celdas vacías o con texto, o si el número de columnas de matriz es diferente al número de filas. Matriz Transpuesta La fórmula TRANSPONER devuelve la transpuesta de una matriz. Sintaxis: TRANSPONER(matriz), donde matriz es la matriz a la cual se desea calcular su transpuesta. El argumento matriz puede expresarse como un rango de celdas (A1:D5), una constante matricial ({1;2;34;5;67;8;9}) o una referencia.
- 57. Capítulo VI: Vigasde Celosía Francisco D’Amico, UNIMET Análisis de Vigas de Celosía 49 Análisis de Vigas de Celosía Las Fuerzas en las Barras Las vigas de celosía son estructuras constituidas por varias barras (de acero o de madera principalmente) conectadas entre sí en puntos llamados nodos, de modo que componen un conjunto indeformable, excluidas las deformaciones elásticas. Las diferentes barras concurrentes en un nodo pueden estar articuladas entre sí o unidas rígidamente, es decir empotradas. En el común de los casos las fuerzas externas están aplicadas sobre los nodos, mientras que las barras se encuentran sometidas a la acción de su peso propio únicamente. Bajo estas condiciones las barras, articuladas en los nodos, están casi exclusivamente afectadas por un esfuerzo axial, de tracción o de compresión, ya que los momentos flectores debidos a su peso propio son insignificantes. Por el contrario, si las barras se encuentran empotradas entre sí, se producirán también momentos flectores, sin embargo, si su número no es menor que el necesario para el caso de barras articuladas, la solicitación que prevalece es la constituida por los esfuerzos axiales. Cada parte de la viga de celosía trabaja en la condición más favorable; lo que permite reducir al mínimo las secciones resistentes del material utilizado, por lo que las vigas de celosía son particularmente adaptas para soportar las cargas externas, ayudadas también del hecho de que su peso propio es bajo, y que presentan poca superficie a la acción del viento. Por esto permiten realizar, a bajo costo, construcciones livianas y de grandes dimensiones. En principio estudiaremos vigas de celosía planas, en las cuales todas las barras se encuentran ubicadas en un plano (XZ), que también contiene a las fuerzas externas. Vigas de Celosía Estrictamente Indeformables Consideremos una viga de celosía compuesta exclusivamente por triángulos y determinemos el número de barras b estrictamente necesario para unir entre sí, en modo invariable, n nodos en un mismo plano, suponiendo que las barras se encuentran articuladas en sus extremos. La viga de celosía más simple que se puede construir en este caso es un triangulo (nodos 1, 2 y 3 figura VI-1) en la cual se tiene b = 3 y n = 3.
- 58. Capítulo VI: Vigasde Celosía Francisco D’Amico, UNIMET Análisis de Vigas de Celosía 50 Figura VI -1 Viga de celosía estrictamente ideformable. Un nuevo nodo, 4, se agrega a los anteriores fijándolo por medio de dos barras no alineadas, si se continúa este proceso y se agregan cinco nodos más se puede formar una estructura similar a la mostrada en la figura VI-1. Por consiguiente, el número mínimo de barras necesarias para unir los restantes n-3 nodos a los primeros 3 es 2n-3 y entonces resulta b = 2n-3. Como ejemplo en la viga de celosía de la figura VI-1 se tiene n = 9, b = 2·9-3 = 15. El tipo más simple y frecuente de éstas vigas de celosía está compuesto por una sucesión de triángulos, cada uno de los cuales, excepto los dos extremos, posee un lado en común con el anterior y otro con el siguiente. Barras de contorno son las que pertenecen a un solo triángulo, barras de pared (diagonales si son inclinadas o montantes si son verticales) son aquellas comunes a dos triángulos. En cada nodo concurren tres barras, salvo en los dos nodos extremos, a los cuales sólo llegan dos barras. Para el caso de vigas de celosía más complejas el número de barras estrictamente necesario también está dado por b = 2n-3. De hecho, cada nodo es un punto que puede cumplir dos movimientos en el plano (las componentes del desplazamiento); entonces para unir entre ellas n nodos y formar un sistema indeformable, pero libre en el plano, se necesitan 2n-3 vínculos simples, es decir 2n-3 barras articuladas. Si b < 2n-3 el sistema es inestable, si b > 2n-3 se tienen barras superabundantes. Sin embargo no es suficiente que b = 2n-3, se necesita además que las barras se encuentren adecuadamente distribuidas; es decir, que no resulten excesivas en una parte de la estructura e insuficientes en otra. Además la condición anterior no suministra información acerca del grado de hiperestaticidad de la estructura, como ejemplo obsérvese la viga de celosía mostrada en la figura VI-2: Para este caso n = 4, luego el número de barras necesarias para unir estos 4 nodos y formar un sistema indeformable (excluidas las deformaciones elásticas) es b = 2·4 – 3 = 5, y de hecho la estructura cuenta con 5 barras, pero se encuentra vinculada a tierra por medio de dos articulaciones que la convierten en un sistema hiperestático. Si las barras se encuentran empotradas entre sí en vez de articuladas, cada nodo es un elemento que puede tener tres movimientos en el plano (incluida la rotación); mientras que cada barra constituye un vínculo triple; por lo cual para conectar entre ellas n nodos y constituir un sistema indeformable, pero libre en su plano, se requieren 3(n-1) vínculos y n-1 barras. 1 3 4 2 Figura VI - 2 Ejemplo de viga de celosía
- 59. Capítulo VI: Vigasde Celosía Francisco D’Amico, UNIMET Vigas de Celosía Estáticamente Determinadas 51 Hipótesis Simplificativas Las fuerzas en las barras de una viga de celosía comúnmente se calculan suponiendo que las barras se encuentran articuladas en los nodos y que las fuerzas externas actúan únicamente sobre los nodos, es decir que las barras se encuentran libres de la acción de fuerza externa alguna. Estas dos hipótesis producen una gran simplificación en el cálculo de las vigas de celosía. De hecho, mientras que la reacción de un vínculo de una barra empotrada posee tres parámetros desconocidos, una barra articulada y sin carga solo puede estar traccionada o comprimida según su eje, por lo que la única incógnita es su fuerza axial P. Por esto se tendrán tantas fuerzas P como barras posea la viga de celosía. En la práctica, la primera de las hipótesis rara vez se cumple dado que en las vigas de celosía de acero, por nombrar un tipo, cada nodo está formado por una plancha a la cual se sueldan o se fijan mediante pernos las barras que a ella concurren. No obstante, las fuerzas axiales que se obtienen suponiendo las barras articuladas difieren poco de las obtenidas en la condición real, mientras que los momentos flectores son generalmente limitados, sobre todo cuando las barras son esbeltas. Entonces para evitar el análisis de un sistema hiperestático, comúnmente se acepta que las barras están articuladas. La segunda hipótesis se cumple muy a menudo, por lo cual las barras están sometidas a su peso propio únicamente, el cual en el cálculo se aplica en partes iguales sobre los nodos de los extremos de la barra. Vigas de Celosía Estáticamente Determinadas Una vez configurada la viga de celosía indeformable, es necesario fijarla en su plano, como cualquier otra estructura, con v vínculos externos suficientes para impedir cualquier movimiento (v≥3). Si b = 2n – 3 y v = 3, la viga de celosía es estáticamente determinada, es decir que cumple con la condición b + v = 2n. De hecho, cada nodo es un punto en equilibrio, sujeto a fuerzas externas y a los esfuerzos de las barras que en él concurren. Entonces para cada nodo se pueden escribir las dos ecuaciones ΣFx = 0 y ΣFy = 0, obteniéndose en total 2n ecuaciones de equilibrio. Por otra parte, las incógnitas del problema son las fuerzas axiales P en las barras y las reacciones de los vínculos externos, teniéndose: b + v = 2n – 3 + 3 = 2n. Al aplicar las condiciones ΣFx = 0 y ΣFy = 0 a cada nodo se obtiene un sistema de 2n ecuaciones con 2n incógnitas, como ya se mencionó una de las incógnitas será la fuerza axial P de cada barra, que podrá actuar a tracción o a compresión. Una vez conocidas dichas fuerzas y tomando en cuenta las propiedades del material y la geometría de cada barra, es posible encontrar las componentes del desplazamiento de cada nodo. El proceso se muestra en detalle a continuación:
- 60. Capítulo VI: Vigasde Celosía Francisco D’Amico, UNIMET Vigas de Celosía Estáticamente Determinadas 52 La viga de celosía mostrada en la figura VI-3 será analizada utilizando el clásico Método de los Nodos, el cual no es más que resolver una serie de ecuaciones de equilibrio. Para estos tipos de estructuras las fuerzas internas se pueden determinar directamente a partir de las ecuaciones de equilibrio del sistema. Un diagrama de las cargas nodales externas Rj y los desplazamientos nodales uj se muestra en la figura VI-4, las fuerzas axiales en las barras fi, y las deformaciones di, son positivas a tracción. Nótese que en el nodo en el cual se encuentra la articulación no se han marcado ni fuerzas externas ni desplazamientos, debido a que cualquier fuerza externa aplicada sobre él se convierte totalmente en reacción y cualquier posibilidad de desplazamiento es impedida por el vínculo. Igualmente en el nodo conectado al rodillo desaparecen la fuerza y el desplazamiento en la dirección en la cual se ha orientado el rodillo. 6.00 6.00 Figura VI - 3 Viga de celosía estáticamente determinada. 8.00 Figura VI - 4 Diagrama de cargas, desplazamientos fuerzas y deformaciones R1,u1 f2, d2 R2,u2 R5,u5 R6,u6 R3,u3 R4,u4 R7,u7 f1, d1 f6, d6 f3, d3 f4, d4 f5, d5 f7, d7
- 61. Capítulo VI: Vigasde Celosía Francisco D’Amico, UNIMET Vigas de Celosía Estáticamente Determinadas 53 Aplicando en cada nodo las condiciones de equilibrio para las fuerzas externas Rj, junto a la fuerza axial fi de cada barra concurrente en el nodo, se obtienen siete ecuaciones de equilibrio que se pueden escribir en forma matricial de la siguiente manera: 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 1.0 0.6 0 0 0 0 0 0 0.8 0 0 0 0 0 1.0 0 0 0 0.6 0 0 0 0 1.0 0 0.8 1.0 0 0 0.6 0 1.0 0 0 0 0 0.8 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0 R f R f R f R f R f R f R f − − − − = − − − − − O en forma general: R = Af Donde A es la matriz transformada carga-fuerza que es función de la geometría de la estructura únicamente. Para esta viga de celosía estáticamente determinada se tienen siete fuerzas axiales desconocidas y siete ecuaciones de equilibrio en los nodos, así que el sistema de ecuaciones antes obtenido puede ser resuelto directamente para cualquier número de casos de cargas nodales. Matriz Transformada de Desplazamientos Después de calcular las fuerzas axiales en cada barra, se dispone de diferentes métodos para calcular los desplazamientos nodales. Con el propósito de ilustrar el uso de las matrices, las deformaciones de las barras di serán expresadas en términos de los desplazamientos nodales uj. Consideremos una barra típica de una viga de celosía como la mostrada en la figura VI-5. La deformación axial del elemento puede expresarse como la suma de las deformaciones axiales, debidas a los cuatro desplazamientos en los extremos del elemento. La deformación axial total, escrita en forma matricial es: − − = 4 3 2 1 v v v v L Ly L Lx L Ly L Lx d
- 62. Capítulo VI: Vigasde Celosía Francisco D’Amico, UNIMET Vigas de Celosía Estáticamente Determinadas 54 Aplicando esta ecuación a todos los miembros de la viga de celosía de la figura VI-3, se obtiene la siguiente ecuación matricial: − − − − − − − − − = 7 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 0 . 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 1 0 0 0 0 0 8 . 0 6 . 0 0 0 0 0 0 . 1 0 0 0 0 0 0 . 1 0 0 . 1 0 0 0 0 8 . 0 6 . 0 0 0 8 . 0 6 . 0 0 0 0 0 0 . 1 0 0 . 1 u u u u u u u d d d d d d d O en forma general: d = Bu La matriz transformada deformación-desplazamiento B, es función de la geometría de la estructura. Un hecho de gran importancia es que la matriz B es la transpuesta de la matriz A definida por las ecuaciones de equilibrio de los nodos. De este modo, conocidas las deformaciones di, de cada barra, se puede resolver la ecuación matricial anterior para obtener los desplazamientos nodales uj. Figura VI - 5 Deformación en una barra típica para una viga de celosía bidimensional Y X v1 v2 v3 v4 Lx L Posición inicial Posición deformada L
- 63. Capítulo VI: Vigasde Celosía Francisco D’Amico, UNIMET Vigas de Celosía Estáticamente Determinadas 55 Matriz de Flexibilidad y Matriz de Rigidez Las fuerzas en una barra pueden expresarse en términos de su deformación por medio de las siguientes ecuaciones matriciales: f = kd o d = k-1 f La matriz de rigidez k para este tipo de vigas de celosía es una matriz diagonal, sus términos en la diagonal principal están dados por i i i ii L E A k = y el resto son cero. La matriz de flexibilidad es la inversa de la matriz de rigidez y sus términos en la diagonal son i i i E A L ; es importante notar que tanto la matriz de rigidez como la matriz de flexibilidad son función únicamente de las propiedades mecánicas de las barras de la viga de celosía. Para la viga de celosía de la figura VI-3, la matriz de rigidez está definida por: [ ] = = 7 7 7 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L E A L E A L E A L E A L E A L E A L E A k k ii La relación f = kd se obtiene a partir de la aplicación de las fórmulas de resistencia de materiales según las cuales:
- 64. Capítulo VI: Vigasde Celosía Francisco D’Amico, UNIMET Vigas de Celosía Estáticamente Determinadas 56 kd f L EA k d L EA f A f L Ed E L d = = = = = = = si σ ε σ ε Todos los métodos tradicionales de análisis estructural utilizan las ecuaciones básicas que anteriormente se han planteado. Sin embargo, debido a la disponibilidad de computadoras digitales de bajo costo, las cuales pueden resolver más de cien ecuaciones en menos de un segundo, se han desarrollado técnicas especiales para minimizar el número de cálculos y operaciones manuales. A este punto, podremos emplear un método diferente y menos laborioso para resolver vigas de celosía utilizando SAP2000. Algoritmo para el Análisis de Vigas de Celosía Estáticamente Determinadas Las tres ecuaciones fundamentales para el análisis de una estructura son: R = Af (equilibrio) d = Bu (compatibilidad) f = kd (fuerza-deformación) Para cada caso de carga R, aplicando las ecuaciones fundamentales antes planteadas, se puede esquematizar la solución de una viga de celosía estáticamente determinada de la siguiente manera: 1. Calcular la fuerza axial en cada barra utilizando la ecuación matricial R = Af. Donde A representa la matriz transformada carga-fuerza que es función de la geometría de la estructura únicamente. R es el vector de cargas nodales externas y f es el vector de fuerzas axiales. 2. Calcular las deformaciones en cada barra utilizando la ecuación matricial f = kd. Donde k representa la matriz de rigidez de la estructura que es función de las propiedades mecánicas de las barras únicamente, y d es el vector de deformaciones. 3. Calcular los desplazamientos nodales utilizando la ecuación matricial d = Bu. Donde B es la matriz transformada deformación-desplazamiento que además es la transpuesta de la matriz A, y depende únicamente de la geometría de la estructura; u es el vector de desplazamientos.
- 65. Capítulo VI: Vigasde Celosía Francisco D’Amico, UNIMET Vigas de Celosía Estáticamente Determinadas 57 Aplicación en SAP2000 El procedimiento anterior requiere la solución de varios sistemas de ecuaciones que, expresados en forma de matrices, pueden ser resueltos utilizando el álgebra matricial aplicada en Excel. Los pasos a seguir son un tanto laboriosos, más aún si la viga de celosía posee muchos nodos, debido a que las matrices deben plantearse a mano antes de resolverlas en Excel. Como una alternativa a este proceso en la práctica profesional surge el uso de programas como el SAP2000, en los cuales el trabajo por parte del usuario está básicamente representado por la creación del modelo estructural. Sin embargo, a nivel estudiantil, la enseñanza y aplicación de las ecuaciones matriciales ayudan a entender en qué se basan los algoritmos utilizados por programas como el SAP2000 y brinda la posibilidad de crear programas propios, por ejemplo en VBA, que se ajusten a necesidades especiales del usuario. En el uso de programas comerciales se debe prestar especial cuidado al hecho de que la mayoría de éstos consideran deformaciones por cortante y por axial además de la deformación por flexión, mientras que un método matricial como el antes desarrollado generalmente no toma en cuenta las dos primeras. Sin embargo, modificando las matrices involucradas en el proceso se puede lograr la inclusión de dichos efectos en la deformación, pero esto escapa a los alcances del curso. Más adelante, en los cursos superiores de Estructuras y Análisis Matricial se ilustrará el tema con mayor detalle. El hecho de considerar las deformaciones por axial y por cortante puede variar los resultados de las solicitaciones obtenidas sin tomar en cuenta tales efectos. Aunque las diferencias entre uno y otro valor, en la mayoría de los casos, no son muy notorias, si se desean comprobar los resultados obtenidos entre un proceso manual y otro por computadora, es necesario lograr que el proceso por computadora se asemeje lo más posible al manual para así realizar una comparación efectiva. La mayoría de los programas de cálculo estructural permiten al usuario escoger si se desean tomar en cuenta las deformaciones por axial y por cortante al momento de ejecutar el análisis, en el caso particular del SAP2000, el usuario puede variar los factores modificadores de las propiedades de la sección para indicar cuales son los efectos a considerar. Por ejemplo, para una viga de celosía en la que se desean obtener valores de fuerza axial similares por medio de un análisis manual y otro por computadora, se debe indicar al programa SAP2000 que desprecie las deformaciones por axial y por cortante, para ello se modifican los valores de las áreas que se oponen al cortante y a la axial, para cada sección que posea el modelo estructural, como se indica a continuación: 1. En el menú Define seleccione la opción Frame Sections..., esto activa el cuadro de diálogo Define Frame Sections en el cual aparecen listadas todas las secciones definidas para el modelo estructural. 2. En el cuadro de diálogo anterior se selecciona una de las secciones listadas y se presiona el botón Modify/Show Section, esto activa el cuadro de diálogo para las propiedades de la sección. (Los pasos 2 a 4 se repiten para cada sección)
- 66. Capítulo VI: Vigasde Celosía Francisco D’Amico, UNIMET Vigas de Celosía Estáticamente Determinadas 58 3. En el cuadro de diálogo anterior presionar el botón Modification Factors, esto activa el cuadro de diálogo Analysis Property Modification Factors. En este cuadro de diálogo, en la zona Property Factors se muestran 6 campos correspondientes a los multiplicadores para: Cross-section (axial) area, Torsional constant, Moment of inertia about 3 axis, Moment of inertia about 2 axis, Shear area in 2 directon y Shera area in 3 direction respectivamente. Inicialmente cada multiplicador tiene el valor de uno, es decir que cada una de las propiedades antes nombradas posee el valor derivado de la geometría de la sección multiplicado por su factor correspondiente, que al ser uno no se altera; pero si se cambian todos los multiplicadores por un valor igual a diez, por ejemplo, entonces cada propiedad tendrá un valor diez veces mayor sin que se hallan variado las dimensiones de la sección. 4. Si cambiamos el multiplicador para Cross-section (axial) area a un valor muy grande, por ejemplo 1000, el área que se opone a la deformación axial será mil veces mayor que la original sin que hayamos alterado las dimensiones de la sección y por ende, sin que se alteren las demás propiedades (inercia, peso, etc.). Al hacer esto, el programa realizará el análisis del modelo estructural sin tomar en cuenta la deformación por axial. De igual forma, si se cambian los multiplicadores para Shear area in 2 direction y Shear area in 3 direction a cero, el área a considerar será cero, y esto es interpretado por el programa como una condición para despreciar la deformación por cortante. Con el proceso anterior el programa arrojará valores para la fuerza axial idénticos a los obtenidos a partir de un cálculo manual. Para cualquier estructura se pueden aplicar las condiciones anteriores y así lograr que los cálculos manuales de las solicitaciones coincidan con los suministrados por el programa. 1 Atención: Cuando se modifican los factores para las propiedades de la sección también se alteran los valores para las rotaciones y los desplazamientos que dependen de dichas propiedades. Para obtener los valores reales se deben colocar los factores multiplicadores originales.
- 67. Francisco D’Amico, UNIMETMétodo de Cross 59 C a p í t u l o V I I Vigas Continuas Vigas cuyos Nodos no se Desplazan Se denominan continuas las vigas soportadas por más de dos apoyos que no poseen articulaciones intermedias. Las vigas continuas poseen vínculos superabundantes a los que corresponden incógnitas estáticamente indeterminadas. Las vigas continuas resultan más económicas que una serie de tramos independientes porque, en igualdad de luces y cargas, se encuentran sujetas a momentos flectores menores. También presentan mayor rigidez a la acción de cargas dinámicas. Por el contrario, como todas las vigas hiperestáticas, éstas son sensibles a la cedencia de los apoyos, que puede alterar de forma peligrosa las condiciones estáticas. El estudio de una viga continua, y de cualquier estructura compleja en general, se facilita y se puede realizar con métodos sencillos, y a veces de forma inmediata, cuando los nodos, pudiendo rotar, no sufren desplazamientos. Si se considera una viga de nodos rígidos y sin desplazamiento, excluidas las deformaciones elásticas, es posible calcularla aplicando el Método de Cross. Método de Cross para Vigas Continuas El Método de Cross es el más simple y rápido para calcular vigas hiperestáticas de nodos rígidos que no se desplazan. El método es iterativo por aproximaciones sucesivas, permite obtener un buen grado de exactitud y converge rápidamente.
- 68. Capítulo VII: VigasContinuas Francisco D’Amico, UNIMET Método de Cross 60 El proceso se puede realizar de la siguiente manera: conocidas las cargas actuantes sobre cada tramo, se calculan primero los momentos de empotramiento perfecto M en sus extremos, con el signo según la convención (positivo en sentido horario). Posteriormente se calcula el momento no equilibrado∑M en cada nodo, se cambia de signo y se reparte en partes proporcionales a las rigideces de cada tramo concurrente al nodo. Se obtienen así para cada extremo opuesto de los nodos los momentos de repartición, que a su vez provocan momentos de transmisión en los extremos opuestos a ellos, el momento de transmisión es la mitad del momento de repartición. Con los momentos de transmisión se calculan de nuevo los momentos no equilibrados en cada nodo, obteniendo nuevos momentos de repartición, se continúa el proceso anterior hasta que el momento no equilibrado en cada nodo tienda a cero. Finalizado el proceso iterativo, para obtener el momento definitivo en cada apoyo se suman los momentos de empotramiento, los de repartición y los de transmisión correspondientes a cada lado del apoyo. Variables que Intervienen en el Método de Cross A continuación definiremos algunas fórmulas que intervienen en el proceso y que no cambian al variar las condiciones de carga en los tramos. Antes de enunciar las principales fórmulas utilizadas en el método, definiremos la convención de signo a utilizar: son positivas las fuerzas que actúan hacia arriba y positivos los momentos que actúan en sentido horario. Los valores de M son positivos a la derecha del tramo y negativos a la izquierda del tramo. Rigidez del Tramo, k Sea un tramo de viga de longitud L, de sección transversal con inercia I, compuesto de un material con módulo de elasticidad E, se denomina rigidez k del tramo al cociente: L EI k = Sin embargo en el Método de Cross aplicado a vigas continuas, la rigidez varía dependiendo del tramo para el cual se calcula, según el siguiente criterio: Para tramos con un extremo continuo: L EI k 4 3 = +
- 69. Capítulo VII: VigasContinuas Francisco D’Amico, UNIMET Método de Cross 61 Para tramos con un extremo continuo y otro en voladizo: L EI k 4 3 = Para tramos con ambos extremos continuos: L EI k = Factor de Distribución, FD Para apoyos entre un tramo y un voladizo: FD = 0 del lado del voladizo; FD = 1 del lado del tramo Para apoyos entre dos tramos: derecha izquierda izquierda izquierda k k k FD + = 1 derecha iderecha izquierda izquierda derecha k FD FD k k = = − + Equilibrio, Eq Para cualquier apoyo: izquierda derecha izquierda izquierda FD M M Eq ) ( + − = derecha derecha izquierda derecha FD M M Eq ) ( + − = El equilibrio genera los momentos de repartición. Transferencia, Tr En cualquier caso: 2 Eq Tr = La transferencia genera los momentos de transmisión. Momento Negativo en el Apoyo, M- El momento negativo definitivo en cada lado del apoyo se calcula según la expresión:
- 70. Capítulo VII: VigasContinuas Francisco D’Amico, UNIMET Viga de n-Tramos 62 ∑ ∑ + + = − Tr Eq M M Existen otras variables que intervienen en el proceso y que cambian según las condiciones de carga del tramo, éstas serán definidas particularmente cuando se analice cada caso de carga. Viga de n-tramos, Sección Constante o Variable de Tramo a Tramo, Carga Uniforme en Toda la Longitud En este curso aplicaremos el Método de Cross únicamente a vigas con carga uniforme sobre toda su longitud, como la mostrada en la figura VII-1. Posteriormente, en los siguientes cursos de Estructuras el estudiante tendrá la oportunidad de resolver vigas con casos de cargas diferentes al anterior. No obstante, durante el curso se estudiarán vigas más complejas utilizando SAP2000. Figura VII - 1 Viga continua con carga uniforme Momentos de Empotramiento, M Dadas las condiciones de carga mostradas en la figura VII-2, las fórmulas dadas a continuación permiten calcular el módulo del momento de empotramiento para tramos en voladizo y para tramos doblemente empotrados. El signo se coloca según la convención y el sentido como se muestra en la figura que actúan los momentos. Figura VII - 2 B 6,00 m C 4,00 m D 4,00 m A 2,00 m 2,00m W = 3500 kgf/m 0,40 x 0,60 m A w MA L wL2 2 MA = wL2 12 MA = MB = A w MA L B MB
- 71. Capítulo VII: VigasContinuas Francisco D’Amico, UNIMET Viga de n-Tramos 63 Las expresiones para el momento de empotramiento debido a otras condiciones de carga se encuentran tabuladas y pueden ubicarse en la bibliografía correspondiente. Cortante Isostático, Vi Dadas las condiciones de carga mostradas en las figura VII-3, las fórmulas dadas a continuación permiten calcular el módulo del corte isostático para tramos en voladizo y para tramos simplemente apoyados. El signo se coloca según la convención y el sentido como se muestra en la figura que actúan las fuerzas. Figura VII - 3 Cortante Hiperestático, Vh Dadas las condiciones de carga mostrada en la figura VII-4, las fórmulas dadas a continuación permiten calcular el módulo del corte hiperestático en cada tramo de la viga. En los voladizos no existe corte hiperestático por tratarse de un sistema únicamente isostático. El signo se coloca según la convención y el sentido como se muestra en la figura que actúan las fuerzas. Suponiendo MA > MB: Figura VII - 4 A w Vi L wL Vi = wL 2 ViA = ViB = A w L B ViA ViB MB - MA L VhA = A L B VhA VhB MA MB MA - MB L VhB =
- 72. Capítulo VII: VigasContinuas Francisco D’Amico, UNIMET Viga de n-Tramos 64 Para el caso en que MA < MB, el sentido del corte hiperestático es al contrario del indicado en la figura. Cortante Total, Vt Para cada lado del apoyo, es el resultado de sumar el corte isostático con el corte hiperestático. Vt = Vi + Vh Reacción en los Apoyos, R Es el resultado de sumar el corte total a cada lado del apoyo. R = Vt izquierda + Vt derecha Momento Máximo Positivo en el Tramo, M+ Se calcula según la fórmula: − + + = M w V M t 2 2 1 Atención: Los valores de Vt y M- deben estar referidos al mismo lado del apoyo.
- 73. Francisco D’Amico, UNIMETBaricentro de un Sistema de Masas 65 C a p í t u l o V I I I Propiedades Geométricas de las Secciones El Baricentro de un Sistema de Masas Dado en el plano un sistema de puntos sobre los cuales se asumen concentradas las masas m1, m2, m3, y m4 (figura VIII-1). Por ahora se utilizará el nombre de masas en forma genérica y no se hará ninguna hipótesis sobre su naturaleza, pudiendo ser de cualquier magnitud pero homogéneas entre ellas. Si sobre tales puntos aplicamos un sistema de fuerzas paralelas (figura VIII-2), es natural pensar que si se hacen rotar estas fuerzas alrededor de su punto de aplicación (figura VIII-3), manteniéndolas paralelas, también su resultante rotará alrededor de un punto G sobre el plano, llamado centro de las fuerzas paralelas. Este punto G es el baricentro del sistema de masas. Momento Estático Dada una recta x en el plano de las masas y medidas las distancias y1, y2, y3,… de éstas a la recta según una dirección y predeterminada (figura VIII-4). Se llama momento estático (o de primer orden) del sistema de masas con respecto a la recta x, a la suma de los productos de las masas por sus respectivas distancias, es decir: m1 m2 m4 m3 Figura VIII - 1
- 74. Capítulo VIII: PropiedadesGeométricas de las Secciones Francisco D’Amico, UNIMET Baricentro de un Sistema de Masas 66 x M my = ∑ (1) El momento estático M´x calculado con distancias perpendiculares a x está relacionado con Mx por α sen M M x x = ′ , siendo α el ángulo que la dirección de las distancias y forma con la recta x. Propiedades del Baricentro El momento estático de un sistema de masas con respecto a un eje x es igual al de un sistema de fuerzas que sustituyen a las masas y que son paralelas a x; y éste por el teorema de Varignon es igual al momento de la resultante, y dado que ésta pasa por el baricentro G del sistema, el momento buscado resulta igual a la suma de las fuerzas, o sea de las masas, multiplicada por la distancia yG del baricentro al eje x: x G M y m = ∑ (2) Por lo cual, para calcular el momento estático de un sistema con respecto a una recta cualquiera del plano, es suficiente con conocer el baricentro G y Σm, es decir, no es necesario conocer la distribución de las masas. m1 m2 m4 m3 F1 F2 F3 F4 G FR m1 m2 m4 m3 F1 F2 F3 F4 G FR Figura VIII - 3 m1 m2 m4 m3 F1 F2 F3 F4 G FR Figura VIII - 2 m1 m2 m3 m4 G y3 y1 yG y4 y2 α Figura VIII - 4
- 75. Capítulo VIII: PropiedadesGeométricas de las Secciones Francisco D’Amico, UNIMET Baricentro de un Sistema de Masas 67 Si el eje x pasa por el baricentro el momento estático del sistema con respecto a x es nulo, y viceversa, si el momento estático con respecto a un eje es nulo dicho eje es baricéntrico (suponiendo Σm ≠ 0). El baricentro de un sistema de masas se puede definir independientemente de la idea de las fuerzas paralelas, como el punto tal que con respecto a todas las rectas que pasan por él, el momento estático es nulo. Las Coordenadas del Baricentro A partir de la ecuación (2) se obtiene la distancia yG del baricentro al eje x: ∑ ∑ ∑ = = m my m M y x G (3) de igual forma la distancia xG del baricentro al eje y resulta: ∑ ∑ ∑ = = m mx m M x y G (4) Si se aumentan o disminuyen en igual cantidad todas las masas del sistema, las coordenadas del baricentro no se alteran. Los Sistemas Continuos A menudo las masas de un sistema, aunque concentradas en un número finito de puntos, están distribuidas en forma continua sobre una cierta superficie de área A en el plano. El modo de distribución está definido por la densidad µ de la masa en cada punto del área, es decir por la masa por unidad de área, que puede ser variable de punto a punto, o también constante. Entonces el sistema estará formado por las masas µdA relativas a las áreas dA. El baricentro del sistema se define igual que en el caso de los sistemas de masas concentradas, y de la misma manera el momento estático con respecto a un eje x viene dado por la expresión: ∫ = A x dA y M µ (5) Las coordenadas del baricentro resultan:
- 76. Capítulo VIII: PropiedadesGeométricas de las Secciones Francisco D’Amico, UNIMET Baricentro de un Sistema de Masas 68 ∫ ∫ = A A G dA dA x x µ µ (6) ∫ ∫ = A A G dA dA y y µ µ (7) En particular, si la masa es abstracta y de densidad µ = 1, el sistema resulta constituido por el área A; es decir, las masas elementales son las áreas dA, y se consideran el baricentro y los momentos estáticos del área. Para el estudio de las propiedades de las secciones utilizaremos esta condición en especial. En las ecuaciones anteriores desaparece el factor µ y se obtiene, para el momento estático: ∫ = A x ydA M (8) ∫ = A y xdA M (9) y para las coordenadas del baricentro: ∫ ∫ = A A G dA xdA x (10) ∫ ∫ = A A G dA ydA y (11) Las dimensiones del momento estático son [L]3 y se reportan por lo general en cm3 , o mm3 . El baricentro se puede a menudo determinar descomponiendo el área en partes que tienen baricentros conocidos. Si un área posee un eje de simetría recta su baricentro se ubica sobre éste; si posee dos, se encuentra en su intersección. Si el área tiene un eje de simetría oblicua es decir, si existe una recta que bisecte todas las cuerdas con una misma dirección, el baricentro se encuentra sobre este eje porque sobre él se ubican los baricentros de todas las franjas comprendidas entre dos cuerdas muy cercanas.
- 77. Capítulo VIII: PropiedadesGeométricas de las Secciones Francisco D’Amico, UNIMET Momento de Inercia 69 El Momento de Inercia Axial Se llama momento de inercia (o de segundo orden) de un sistema bidimensional de masas con respecto a una recta x del plano (figura VIII-4), a la suma de los productos de las masas por los cuadrados de sus respectivas distancias a la recta, medidas según una dirección y predeterminada: ∑ = 2 my Ix (12) El momento de inercia I´x con distancias medidas normalmente al eje x está relacionado a Ix por la expresión α 2 sen I I x x = ′ , siendo α el ángulo que la dirección y forma con el eje x. Si se escribe Ix = Σ(my)y se reconoce que el momento de inercia con respecto a un eje es el momento estático de los momentos estáticos (my), asumidos como nuevas masas colocadas en las posiciones originales de las masas iniciales m. Si se plantea: 2 2 x x r m my m I = = ∑ ∑ ∑ (13) rx evidentemente representa una longitud llamada radio de giro con respecto al eje x. Este valor es la distancia desde x a la cual sería necesario concentrar la masa Σm para obtener el mismo momento de inercia, luego se tiene que: ∑ = m r I x x 2 (14) Los Sistemas Continuos Al igual que los momentos estáticos, también los momentos de segundo orden antes definidos se consideran especialmente para sistemas continuos de masas distribuidas sobre ciertas áreas, con densidad superficial µ variable o constante. En particular si la masa es abstracta y de densidad µ = 1, el sistema queda reducido a su área. Así los momentos de inercia con respecto a los ejes x e y quedan definidos como: ∫ = A x dA y I 2 (15) ∫ = A y dA x I 2 (16)
- 78. Capítulo VIII: PropiedadesGeométricas de las Secciones Francisco D’Amico, UNIMET Momento de Inercia 70 su dimensión es [L]4 y se expresan normalmente en cm4 , o mm4 . El radio de giro queda definido como: A I dA dA y r x A A x = = ∫ ∫ 2 2 (17) A I dA dA x r y A A y = = ∫ ∫ 2 2 (18) Es importante observar que para el caso de Ix o Iy no es necesario que los elementos de área dA sean infinitesimales en cada dirección, por ejemplo pueden ser franjas paralelas a uno de los ejes que abarquen todo el largo del área y que tengan un ancho infinitesimal, como se muestra en la figura VIII-5, así la distancia desde el eje al elemento de área dA es igual en cada punto del eje a lo largo del diferencial de área y resulta determinada, sería indeterminada si la franja no fuese paralela al eje o si su longitud fuera finita. Teorema del Eje Paralelo Consideremos el momento de inercia Ix de un área A con respecto al eje x (figura VIII-6). Según la ecuación (15) Ix viene dado por la expresión ∫ = A x dA y I 2 ; tomemos en cuenta ahora el eje x´ que pasa por el baricentro del área, éste se encuentra a una distancia y´ de un elemento diferencial de área dA, luego tenemos que d y y + ′ = , donde d es la distancia entre los ejes x y x´. Si sustituimos y en la ecuación (15) resulta: x y dy Figura VIII - 5 x’ G x dy y d y Figura VIII - 6
- 79. Capítulo VIII: PropiedadesGeométricas de las Secciones Francisco D’Amico, UNIMET Módulo de Sección 71 ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ + ′ + ′ = + ′ = A A A A x dA d dA y d dA y dA d y I 2 2 2 2 La primera integral representa el momento de inercia del área con respecto al eje x´. La segunda integral representa el momento estático del área respecto al eje x´ y como éste es un eje baricéntrico el momento estático es cero; finalmente la última integral representa el área total, por lo tanto se obtiene la expresión: 2 Ad I I x x + = ′ (19) Con esta ecuación se puede calcular la inercia con respecto a un eje que pasa por el baricentro de un área a partir la inercia con respecto a un eje paralelo al eje del baricentro. Módulos de Sección Se llaman módulos de sección o de resistencia de un área con respecto a un eje baricéntrico x´ a los cocientes: y I S x ′ = ′ ′ (20) y I S x ′ ′ = ′ ′ ′ (21) siendo y´ e y´´ las distancias desde x´ de dos puntos P´ y P´´ más alejados del eje baricéntrico (figura VIII-7), medidos en dirección perpendicular a x´. La dimensión del módulo de resistencia es [L]3 y normalmente se expresan en cm3 o mm3 . G x’ P’ P y y’ Figura VIII - 7
- 80. Capítulo VIII: PropiedadesGeométricas de las Secciones Francisco D’Amico, UNIMET Algoritmo 72 Cálculo de las Propiedades de una Sección a partir de sus Coordenadas Para automatizar el cálculo de las propiedades de una sección es necesario que las ecuaciones que intervienen en el proceso se encuentren expresadas en función de variables que resulten conocidas desde el principio, y que además sean válidas para cualquier caso a estudiar, es decir que permitan codificar un programa de aplicación universal para cualquier problema dentro de unos parámetros predefinidos. A tal fin se busca que las integrales que definen las principales propiedades de un área se puedan plantear de manera que sean fácilmente codificables en un lenguaje como visual basic u otro similar. Una de las formas más convenientes es la de expresar dichas fórmulas en función de las coordenadas de los vértices del área a estudiar, lo que permite plantear un algoritmo aplicable a cualquier sección sin que su forma sea una limitante del análisis, ya que el proceso dependerá únicamente de sus coordenadas. Sin embargo el alcance de nuestro estudio está limitado a la condición de que la sección a estudiar debe tener todos sus lados rectos, sin importar su número, pero sin que existan segmentos curvos en su contorno. En base a lo antes mencionado se plantean nuevas expresiones para cada propiedad en función de las coordenadas xi, yi de cada vértice i del total n de la sección: Área: ( )( ) ∑ = + + − + = n i i i i i y y x x A 1 1 1 2 1 (22) Momento Estático con respecto al eje x: ( ) ∑ = + + + + + − = n i i i i i i i x y y y y x x M 1 1 2 2 1 1 6 (23) Momento Estático con respecto al eje y: ( ) ∑ = + + + + + − = n i i i i i i i y x x x x y y M 1 1 2 2 1 1 6 (24) Momento de Inercia con respecto al eje x: ( ) ∑ = + + + + + + + − = n i i i i i i i i i x y y y y y y x x I 1 1 2 2 1 3 1 3 1 12 (25)
- 81. Capítulo VIII: PropiedadesGeométricas de las Secciones Francisco D’Amico, UNIMET Algoritmo 73 Momento de Inercia con respecto al eje y: ( ) ∑ = + + + + + + + − = n i i i i i i i i i y x x x x x x y y I 1 1 2 2 1 3 1 3 1 12 (26) Algoritmo Una vez definidas las fórmulas para calcular las propiedades geométricas de una sección en función de las coordenadas de sus vértices, es posible definir el algoritmo que rige el proceso de cálculo y posteriormente codificar el programa en VBA utilizando una hoja de Excel para escribir los datos de entrada y reportar los resultados del proceso. Los pasos que conforman el algoritmo se pueden enumerar como sigue: Dada una sección cualquiera de lados rectos con N vértices, situada sobre un plano xy en una posición arbitraria: 1. Identificar las coordenadas de cada vértice comenzando por uno cualquiera y siguiendo el sentido horario. 2. Leer los valores de N coordenadas xi. 3. Leer los valores de N coordenadas yi. 4. Asignar las coordenadas (xN+1, yN+1) para el vértice de cierre. Siendo: xN+1 = x1 yN+1 = y1 5. Calcular el área de la sección utilizando la ecuación: ( )( ) ∑ = + + − + = n i i i i i y y x x A 1 1 1 2 1 6. Calcular el momento estático de la sección con respecto al eje x utilizando la ecuación: ( ) ∑ = + + + + + − = n i i i i i i i x y y y y x x M 1 1 2 2 1 1 6 7. Calcular el momento estático de la sección con respecto al eje y utilizando la ecuación: ( ) ∑ = + + + + + − = n i i i i i i i y x x x x y y M 1 1 2 2 1 1 6
- 82. Capítulo VIII: PropiedadesGeométricas de las Secciones Francisco D’Amico, UNIMET Algoritmo 74 8. Calcular la abscisa del baricentro de la sección utilizando la ecuación: A M x y G = 9. Calcular la ordenada del baricentro de la sección utilizando la ecuación: A M y x G = 10. Calcular el momento de inercia de la sección con respecto al eje x utilizando la ecuación: ( ) ∑ = + + + + + + + − = n i i i i i i i i i x y y y y y y x x I 1 1 2 2 1 3 1 3 1 12 11. Calcular el momento de inercia de la sección con respecto al eje y utilizando la ecuación: ( ) ∑ = + + + + + + + − = n i i i i i i i i i y x x x x x x y y I 1 1 2 2 1 3 1 3 1 12 12. Calcular el momento de inercia de la sección con respecto al eje x baricéntrico utilizando la ecuación: 2 G x xG Ay I I − = 13. Calcular el momento de inercia de la sección con respecto al eje y baricéntrico utilizando la ecuación: 2 G y yG Ax I I − = 14. Calcular el radio de giro de la sección con respecto al eje x baricéntrico utilizando la ecuación: A I r xG xG = 15. Calcular el radio de giro de la sección con respecto al eje y baricéntrico utilizando la ecuación: A I r yG yG = 16. Calcular el módulo de sección superior con respecto al eje x baricéntrico utilizando la ecuación: y I S xG xG ′ ′ = ″ donde: G y y y − = ′ ′ sup
- 83. Capítulo VIII: PropiedadesGeométricas de las Secciones Francisco D’Amico, UNIMET Algoritmo 75 ysup = ordenada del vértice más al norte del baricentro de la sección. 17. Calcular el módulo de sección inferior con respecto al eje x baricéntrico utilizando la ecuación: y I S xG xG ′ = ′ donde: G y y y − = ′ inf yinf = ordenada del vértice más al sur del baricentro de la sección. 18. Calcular el módulo de sección superior con respecto al eje y baricéntrico utilizando la ecuación: x I S yG yG ′ ′ = ″ donde: G der x x x − = ′ ′ xder = abscisa del vértice más al este del baricentro de la sección. 19. Calcular el módulo de sección inferior con respecto al eje y baricéntrico utilizando la ecuación: x I S yG yG ′ = ′ donde: G izq x x x − = ′ xizq = abscisa del vértice más al oeste del baricentro de la sección.
- 84. Francisco D’Amico, UNIMETEstabilidad del Equilibrio 76 C a p í t u l o I X La Estabilidad del Equilibrio Elástico El caso de las vigas cargadas axialmente constituye el más simple y común de los fenómenos de inestabilidad del equilibrio elástico, es decir del equilibrio entre las fuerzas externas y las tensiones internas. Dicho caso que fue estudiado por Euler a mediados de 1700, estuvo por casi un siglo excluido de cualquier interés práctico, ya que los grandes pilares de piedra o de madera entonces usados presentaban garantía suficiente contra cualquier falla por equilibrio inestable. Pero en lo sucesivo, con el empleo de materiales cada vez más resistentes y con la consiguiente disminución de las secciones, las estructuras pasaron a ser cada vez más esbeltas, sobre todo en los casos en que el poco peso propio era requisito esencial. Por consiguiente los fenómenos de inestabilidad fueron más probables y frecuentes, y se presentaron en formas variadas y diferentes, hasta llegar a constituir el problema más preocupante en las modernas construcciones livianas, sobre todo en las navales y aeronáuticas. Y su importancia también se manifestó en algunos desastres grandiosos que ocurrieron bajo circunstancias que parecieron inexplicables. Tales fenómenos pueden manifestarse en todos los tipos de estructuras, es decir en las vigas de eje recto o curvo, en las columnas, en arcos, en vigas de celosía, etc. Únicamente las estructuras sujetas a tracción pura están excluidas, sin embargo si se considera una barra de acero sujeta a un esfuerzo de tracción creciente la deformación por éste producida alcanzará un punto a partir del cual la barra continuará alargándose hasta romperse sin que se requieran ulteriores aumentos de la fuerza, esto se podría considerar como un fenómeno de inestabilidad del equilibrio entre las fuerzas externas y las tensiones internas. La inestabilidad puede ocurrir en las estructuras bajo solicitaciones de compresión, flexión, torsión, corte y en formas más complejas en los casos de solicitaciones compuestas. Además puede producirse aún cuando las tensiones internas tienen valores aceptables, aparentemente, sin que se les consideren como preocupantes.
- 85. Capítulo IX: LaEstabilidad del Equilibrio Elástico Francisco D’Amico, UNIMET Estabilidad del Equilibrio 77 La amenaza de los fenómenos de inestabilidad del equilibrio elástico aumenta por el hecho de que ocurren de modo imprevisto, sin hechos premonitores, y por tanto sin dejar tiempo para reforzar o descargar la edificación y mucho menos para ponerse a salvo. Los fenómenos de inestabilidad no siempre son fáciles de predecir y estudiar para poder evitarlos, pudiendo presentarse en formas a veces impensables; a menudo se prevén varias formas según las cuales una estructura puede deformarse y ceder, y se calculan los correspondientes valores críticos de la carga para evitar la menor de las deformaciones, pero puede ocurrir que la falla se produzca según una forma imprevista y en algunos casos impredecible que requiere de una carga crítica aún menor a la estimada. La inestabilidad puede ocurrir en una parte de la estructura, en toda ella sin importar si sus partes individuales son estables, o en forma local sobre una pequeña parte de uno de sus miembros. En cada caso la consecuencia es la ruina de la entera construcción que ocurre en pocos instantes. Así, una situación que en el pasado no era más que una curiosidad hoy en día se ha convertido en un peligro siempre presente y amenazador para las estructuras livianas y se puede afirmar que el colapso de estas estructuras en el 98% de los casos ocurre por la inestabilidad y el 2% restante por tensiones demasiado elevadas. Aún en los casos de inestabilidad fácilmente predecibles, su estudio presenta dificultades analíticas muy complejas (salvo en los casos muy elementales); sin embargo hoy en día debido a la disponibilidad de computadoras y programas de análisis y simulación dichas dificultades se han en parte reducido, y el estudio de la estabilidad del equilibrio elástico para un sistema estructural puede enfrentarse con mayor facilidad. Para no salir de los límites de este curso de carácter general, se limitará el estudio de los fenómenos de inestabilidad del equilibrio elástico al caso de barras de acero cargadas axialmente por su baricentro, es decir sometidas a compresión. Equilibrio Estable, Inestable, Indiferente Se conoce que una condición necesaria, pero no suficiente, para que la configuración asumida por un cuerpo o por un sistema de cuerpos sujetos a fuerzas sea permanente, es decir que no cambie, es que todas las fuerzas actuantes estén en equilibrio entre sí; y que esta condición es también suficiente si el equilibrio de las fuerzas es estable. Si en cambio el equilibrio es inestable, la configuración es estrictamente precaria, dado que es suficiente con una mínima perturbación, incluso momentánea, para que el sistema se aleje inmediatamente de dicha configuración; así que es prácticamente imposible que ésta se pueda mantener. En el caso límite en el que el equilibrio sea indiferente, el sistema puede mantener su configuración o puede indiferentemente pasar a otras configuraciones muy cercanas a la primera y detenerse en cualquiera de ellas. El modo clásico para clasificar el equilibrio consiste en alejar muy poco el sistema de su configuración original mediante una causa perturbadora externa cualquiera, y observar si,
- 86. Capítulo IX: LaEstabilidad del Equilibrio Elástico Francisco D’Amico, UNIMET Estabilidad del Equilibrio 78 (a) (b) (c) Figura IX - 1 Ejemplos de equilibrio estable, Inestable, indiferente. al cesar la perturbación, el sistema regresa espontáneamente a su configuración original o si se aleja aún más de ésta. En particular, si permanece en la nueva configuración el equilibrio es indiferente. Interesa especialmente definir cuando el equilibrio es indiferente porque éste es el caso límite que separa al equilibrio estable del inestable. Limitémonos a considerar algunos sistemas rígidos. Cambiando muy poco la configuración del sistema, las fuerzas modifican sus líneas de acción y, comúnmente, no se encuentran más en equilibrio. Entonces se aprecia si tienden a regresar al sistema a su posición original o a alejarlo más: en el primer caso el equilibrio era estable, en el segundo inestable. Si por el contrario las fuerzas permanecen en equilibrio, el sistema conservará su nueva posición, y entonces el equilibrio era indiferente. Un ejemplo muy sencillo es el mostrado en la figura IX-1: una pequeña esfera colocada en el punto más bajo de una superficie esférica cóncava (figura a), o en el punto más alto de una superficie esférica convexa (figura b), o sobre una superficie plana horizontal (figura c). En los tres casos la esfera está respectivamente en equilibrio estable, inestable, indiferente. El Teorema de Kirchhoff y los Fenómenos de Inestabilidad La posibilidad de que el equilibrio elástico se transforme en indiferente, es decir que con las mismas fuerzas externas un cuerpo elástico pueda tener diferentes configuraciones equilibradas, parece estar en contraste con el teorema fundamental de la Teoría de la Elasticidad establecido por Kirchhoff en 1859, según el cual, dadas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo elástico, existe una y sólo una situación equilibrada. Pero la discrepancia desaparece recordando que la demostración del teorema de Kirchhoff está
- 87. Capítulo IX: LaEstabilidad del Equilibrio Elástico Francisco D’Amico, UNIMET Estabilidad del Equilibrio 79 basada en el principio de la superposición de los efectos, y que la validez de éste requiere no sólo que se cumpla la Ley de Hooke, sino también que los desplazamientos de los puntos del cuerpo sean muy pequeños y tales que no alteren sensiblemente la posición de las fuerzas externas con respecto al cuerpo. En los casos de estudio de estabilidad del equilibrio elástico por el contrario ocurre que la deformación con la cual se manifiesta la inestabilidad modifica la posición relativa de las fuerzas y del cuerpo, por lo cual no se cumple la segunda condición antes nombrada, y entonces es natural que el teorema de la unicidad de la solución no valga. El estudio de la inestabilidad se propone justamente buscar en cuáles circunstancias el problema elástico puede admitir varias soluciones. El Criterio Estático Para decidir si una configuración equilibrada es estable o inestable se procede a modificar muy poco la configuración misma (sin variar los valores de las fuerzas externas) y se examina si tiende a regresar a su posición original o a alejarse aún más. En la práctica conviene determinar cuando el equilibrio es indiferente, porque así se conoce la condición límite que separa las dos posibilidades. Para efectuar dicho examen se puede usar un criterio estático o uno energético; en este curso trataremos sólo el primero de ellos dejando al segundo para ser estudiado en los posteriores cursos de estructuras. En la configuración modificada las fuerzas externas cambian su posición con respecto al cuerpo (si el sistema es elástico es de aquellos que pueden convertirse en inestables) y generan nuevas solicitaciones que tienden a alterar posteriormente la configuración, mientras que surgen reacciones elásticas internas que tienden a regresarla a su posición inicial. En vez de buscar si prevalece una tendencia o la otra, es preferible dejar indeterminados los valores de las fuerzas externas e igualar las dos tendencias, porque de dicha igualación se obtienen aquellos valores de las fuerzas (valores críticos) que convierten al equilibrio en indiferente. Una vez conocidos, para valores menores el equilibrio es estable y para valores mayores es inestable. Consideremos como ejemplo un caso muy sencillo: Dada una barra rígida rectilínea y vertical (figura IX-2), libre en el extremo superior y sujeta a una carga vertical puntual P, y empotrada elásticamente en su base con un vínculo que reacciona proporcionalmente a la rotación ϕ, y sea m1 el momento de reacción cuando ϕ = 1. La configuración vertical de la barra es equilibrada, porque P tiene un momento nulo respecto al eje que pasa por B alrededor del cual la barra puede rotar, y por otra parte el momento con el cual el vínculo reacciona es todavía nulo. Para decidir si el equilibrio es estable o no, inclinamos la barra un ángulo ϕ: la carga va hacia la posición A’ y adopta con respecto al eje de rotación por B el momento externo desestabilizante ϕ PLsen A A P Me = ′ ′ ′ = , mientras que el P P A A’ A B ϕ Mi = m1ϕ Figura IX - 2 L L
- 88. Capítulo IX: LaEstabilidad del Equilibrio Elástico Francisco D’Amico, UNIMET Carga Crítica 80 P Figura IX - 3 L P X Y y f S M P Figura IX - 4 y S P X Y vínculo reacciona con el momento interno estabilizante ϕ 1 m Mi = . El equilibrio de esta nueva configuración subsiste si Me = Mi es decir que, ϕ ϕ 1 m PLsen = Pero ϕ debe ser muy pequeño, por lo cual senϕ ∼ϕ, y entonces se obtiene, L m Pcr 1 = El equilibrio es estable si P < Pcr o inestable si P ≥ Pcr. Carga Crítica de Euler Consideremos una barra prismática, vinculada con articulaciones en sus dos extremos y sometida a una fuerza P axial de compresión (figura IX-3). Supongamos que el equilibrio sea indiferente, es decir que además de que la configuración rectilínea (indeformada) sea equilibrada también una configuración curva (deformada) lo sea. Para ello se requiere que el momento interno Mi sea igual al externo Me. Como una columna se puede considerar como una viga en posición vertical y bajo carga axial es válido escribir la ecuación de la curva elástica para este caso como, M y EI = ′ ′ Si consideramos una sección genérica S sobre la barra (figura IX-4) tenemos que yP M − =
- 89. Capítulo IX: LaEstabilidad del Equilibrio Elástico Francisco D’Amico, UNIMET Carga Crítica 81 entonces resulta yP y EI − = ′ ′ si definimos EI P = 2 α obtenemos 2 α y y − = ′ ′ la solución general de esta ecuación diferencial es x C x sen C y α α cos 2 1 + = aplicando las condiciones en la frontera podemos determinar el valor de las constantes C1 y C2: para x = 0, y = 0 → C2 = 0 y la ecuación resulta: x sen C y α 1 = luego para x = L, y = 0 entonces L sen C α 1 0 = esta condición se satisface si C1 = 0 lo cual quiere decir que la columna permanece rectilínea, como ya se sabía dado que representa una configuración equilibrada; o también si αL = 0, es decir entero con n n L π α = Para n = 0 se tiene αL = 0, lo cual no es posible ya que tanto α como L son diferentes de cero. La primera solución aceptable se tiene para n = 1 y entonces αL = π es decir 2 2 2 π α = L por lo cual si EI P L EI P = = 2 2 2 π α E cr P L EI P = = 2 2 π (1) Y esta es la expresión de la carga crítica deducida por Euler3 . Si P es menor que este valor no se cumple αL = 0 sino que se cumple en cambio C1 = 0, es decir que la única configuración equilibrada es la rectilínea y el equilibrio es estable. Entonces PE es el 3 L. Euler: “Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes”, 1744.
- 90. Capítulo IX: LaEstabilidad del Equilibrio Elástico Francisco D’Amico, UNIMET Carga Crítica 82 mínimo valor de P para el cual ocurre que, teniendo en cuenta las condiciones de apoyo, no son necesariamente nulas todas las constantes C. Nótese que el valor de Pcr es exacto no obstante el uso de una ecuación aproximada, porque éste corresponde al inicio de la inestabilidad, y por ende a deformaciones aún muy pequeñas. En el caso de una columna con sección circular o cuadrada, el momento de inercia I de la sección transversal es el mismo con respecto a cualquier eje baricéntrico y la columna se curvará en un plano u otro, excepto bajo las restricciones que se impongan en los extremos. Para otras secciones la carga crítica debe calcularse haciendo I = Imin; ya que si ocurre la curvatura, ésta tendrá lugar en un plano perpendicular al correspondiente eje de inercia principal, es decir según el eje de menor inercia. El valor del esfuerzo correspondiente a la carga crítica es el esfuerzo crítico σcr. Recordando que A P = σ e 2 Ar I = obtenemos: 2 2 2 2 2 2 2 = = = = r L E A L EAr A L EI A P cr cr cr π σ π π σ El cociente L/r es la relación de esbeltez de la columna calculada utilizando el menor valor del radio de giro de la sección. Barras con Diferentes Tipos de Vínculos Barras con un extremo empotrado y otro libre (figura IX-5): estas barras se comportan como la mitad de una barra doblemente articulada (figura IX-3); por lo cual si se piensa en desvincularla en la base y duplicar su longitud hacia abajo, a la barra de largo 2L resultante se puede aplicar la ecuación (1) y se obtiene: ( ) 2 2 2 4 2 L EI L EI Pcr π π = = Barras con un extremo empotrado y otro articulado (figura IX-6): la articulación impide el desplazamiento horizontal en la parte superior, por lo cual reacciona con una fuerza H, cuyo sentido se determina pensando que en un punto C existe un punto de inflexión tal que M = 0. En una sección genérica (figura IX-7) se tiene, P Figura IX - 5 P L
- 91. Capítulo IX: LaEstabilidad del Equilibrio Elástico Francisco D’Amico, UNIMET Carga Crítica 83 ( ) x L H yP M − + − = entonces la ecuación diferencial de la curva elástica resulta ( )H x L yP y EI − + − = ′ ′ sean EI P = 2 α y EI M = θ entonces ( )θ α x L y y − + − = ′ ′ 2 la solución general de esta ecuación diferencial es ( ) x L x C x sen C y − + + = 2 2 1 cos α θ α α y su primera derivada es 2 2 1 cos α θ α α α α − − = ′ x sen C x C y para x = 0 tanto y como y´ deben ser iguales a cero por lo cual se tiene que 3 1 α θ = C y 2 2 α θL C − = y la expresión para y resulta P Figura IX - 6 L X Y y S C B A H P Figura IX - 7 L X Y y S H P H x
- 92. Capítulo IX: LaEstabilidad del Equilibrio Elástico Francisco D’Amico, UNIMET Carga Crítica 84 ( ) x L x L x sen y − + − = 2 2 3 cos α θ α α θ α α θ para x = L se tiene y = 0, y por consiguiente L L L sen α α θ α α θ cos 0 2 3 − = es decir L L α α = tan la raíz más pequeña de esta ecuación es αL = 4,4934; por lo cual resulta α2 L2 = 20,1906 y 2 2 2 2 2 2 0457 , 2 1906 , 20 L EI P L EI L EI P cr cr π π = = = queda indeterminado el valor de θ y también el de la reacción H que aumenta junto con la deformación. Barras doblemente empotradas (figura IX-8): en este caso la barra se pandea según una onda completa sinusoidal, con dos puntos de inflexión en las secciones R y S. Los empotramientos reaccionan con momentos Mi tales que el conjunto de P y Mi equivale a una fuerza P´ que pasa por los puntos de inflexión. Por esto el segmento RS de longitud L/2 se comporta como una barra doblemente articulada, por consiguiente aplicando la ecuación (1) se obtiene: 2 2 2 2 4 2 L EI L EI Pcr π π = = Resumiendo, los cuatro principales casos que se encuentran en la práctica son los mostrados en la figura IX-9, y la carga crítica vale respectivamente: Caso I 2 2 4 L EI Pcr π = Caso II 2 2 L EI Pcr π = Caso III 2 2 2 L EI Pcr π = P Figura IX - 8 L X Y S R M M P L/2 P’ P’
- 93. Capítulo IX: LaEstabilidad del Equilibrio Elástico Francisco D’Amico, UNIMET Carga Crítica 85 P L Caso I P L P L P L Caso II Caso III Caso IV Figura IX - 9 Caso IV 2 2 4 L EI Pcr π = El segundo caso se denomina caso fundamental porque es el más frecuente. En las cuatro expresiones anteriores de Pcr se puede colocar el mismo coeficiente numérico π2 del segundo caso escribiendo dichas ecuaciones de la siguiente manera: Caso I ( )2 2 2L EI Pcr π = Caso II 2 2 L EI Pcr π = Caso III 2 2 2 = L EI Pcr π Caso IV 2 2 2 = L EI Pcr π Por lo cual si en lugar de la longitud real L se considera una longitud ficticia Le, denominada longitud efectiva o longitud libre de flexión, se puede escribir una expresión única: E e cr P L EI P = = 2 2 π (2)
- 94. Capítulo IX: LaEstabilidad del Equilibrio Elástico Francisco D’Amico, UNIMET Carga Crítica 86 La cual se adapta a cada caso según el valor de Le el cual viene definido como kL Le = y para cada caso el factor de longitud efectiva k resulta k = 2,00 para el caso I k = 1,00 para el caso II k = 0,70 para el caso III k = 0,50 para el caso IV En la práctica los valores teóricos del factor k antes definidos deben ser oportunamente aumentados para una mayor seguridad del diseño, recomendándose el uso de los siguientes valores: k = 2,10 para el caso I k = 1,00 para el caso II k = 0,80 para el caso III k = 0,65 para el caso IV La razón principal por la cual se aumentan los valores teóricos del factor k radica en que los cuatro casos considerados son ideales, porque en la práctica las supuestas condiciones teóricas de vinculación están comúnmente lejos de poder realizarse, no existiendo en las construcciones ordinarias ni articulaciones ni empotramientos perfectos. Por lo cual resulta incierto asignar a una barra la longitud efectiva adecuada para incluirla en la fórmula de Pcr. En el caso I y II éstas discrepancias o imperfecciones tienen poca importancia; por el contrario en el segundo caso la oposición al movimiento que suministran las articulaciones es favorable a la estabilidad. En cambio en el tercer y cuarto caso no es totalmente válido tomar Le = 0,70L y Le = 0,50L, porque esto equivale a asumir empotramientos perfectos y un valor de Pcr doble y cuádruple con respecto al caso fundamental; mientras que en realidad las fallas de los empotramientos reducen el valor de Pcr, y obligan a asumir un valor de Le mayor cuanto más los empotramientos sean imperfectos, por lo cual se asumen los valores del factor k anteriormente recomendados. Límite de Validez para la Fórmula de Euler De la ecuación (2) resulta que, manteniendo constante el valor de EI, la carga crítica es pequeña para columnas largas y grande para columnas cortas. Por consiguiente una columna muy larga se pandea cuando la tensión σ es todavía muy baja. En cambio una columna muy corta se pandearía, según la ecuación (2), cuando σ ha alcanzado valores muy elevados, superiores a la tensión de cedencia (Fy) y de agotamiento (Fu), lo cual es incompatible con las condiciones de resistencia. Este hecho se debe a que la fórmula de Euler da la carga que hace pandear a una columna por inestabilidad del equilibrio elástico, y no prevé la posible rotura por aplastamiento. Por tanto, cuando se hace uso de la ecuación (2) es necesario tener presente también la segunda posibilidad, porque si σcr
- 95. Capítulo IX: LaEstabilidad del Equilibrio Elástico Francisco D’Amico, UNIMET Algoritmo 87 resulta mayor que la tensión de cedencia, la columna fallará primero por aplastamiento que por pandeo. Además la tensión crítica no debe superar la tensión del límite de proporcionalidad, la inestabilidad se verifica cuando no es válida la Ley de Hooke que es el principal fundamento de la teoría de vigas sometidas a flexión, y por tanto la fórmula de Euler no es válida. Aplicación al Diseño de Elementos Comprimidos Tomando en cuenta el desarrollo teórico anterior y todas las consideraciones que incluye el estudio de la estabilidad del equilibrio elástico, estudiaremos un problema de aplicación sencillo representado por el diseño de elementos de acero comprimidos. Dicha aplicación será simplificada a fin de que no se escape de los límites de este curso, dejando para los cursos posteriores de Estructuras y Acero un estudio más detallado. Las fórmulas dadas a continuación se aplicarán a miembros de acero prismáticos sometidos a compresión normal aplicada en su baricentro, de acuerdo con el procedimiento descrito en el capítulo 15 de la norma COVENIN-MINDUR 1618-98: “Estructuras de Acero para Edificaciones” siguiendo la Teoría de los Estados Límites; con el objeto de calcular su resistencia a la compresión considerando únicamente el modo de pandeo flexional para secciones doblemente simétricas del tipo I, donde la relación ancho/espesor de sus elementos no excede el valor límite especificado en dicha norma. Algoritmo de Diseño Longitud Efectiva Los miembros comprimidos se diseñarán a partir de su longitud efectiva kL, definida como el producto del factor de longitud efectiva k y la longitud no arriostrada lateralmente L. Relación de Esbeltez La relación entre la longitud efectiva de un miembro comprimido normalmente respecto al radio de giro, ambos referidos al eje de menor inercia, se denomina relación de esbeltez. La relación de esbeltez kL/r de un miembro comprimido no excederá, preferiblemente, de 200.
- 96. Capítulo IX: LaEstabilidad del Equilibrio Elástico Francisco D’Amico, UNIMET Algoritmo 88 Resistencia a Compresión La resistencia minorada a compresión Nt será el valor que se obtenga de analizar el modo de pandeo flexional de la sección del miembro comprimida normalmente. Para este algoritmo simplificado no se consideran los modos de pandeo torsional ni flexotorsional, al igual que se asume que la resistencia Nt no se modifica por efecto de pandeo local, ya que como se mencionó anteriormente, se aplicará este algoritmo únicamente a secciones del tipo I donde la relación ancho/espesor de sus elementos no excede el valor límite dado en la norma. Entonces la resistencia minorada a compresión se calculará según la expresión cr c t AF N φ = donde φc = 0,85 A = área de la sección transversal. Fcr = tensión crítica. cuando λc ≤ 1,50 ( ) y cr F F c 2 658 , 0 λ = cuando λc > 1,50 y c cr F F = 2 877 , 0 λ donde λc = parámetro de esbeltez de una columna que separa el dominio del pandeo elástico del inelástico, calculado como: E F r kL y c π λ = kL = longitud efectiva. r = radio de giro según el eje de menor inercia. E = módulo de elasticidad del acero. Fy = tensión cedente mínima especificada para el tipo de acero utilizado. Algoritmo de Diseño Para una columna sometida a compresión normal aplicada en su baricentro: Conocidos k, L, A, r, E, Fy y siendo N la carga axial aplicada.
- 97. Capítulo IX: LaEstabilidad del Equilibrio Elástico Francisco D’Amico, UNIMET Algoritmo 89 1. Calcular la longitud efectiva, Le kL Le = 2. Calcular la relación de esbeltez, λ 200 < = r kL λ si no se cumple pasar a un perfil con mayor radio de giro. 3. Calcular el parámetro de esbeltez, λc E F r kL y c π λ = 4. Calcular la tensión crítica, Fcr Si λc ≤ 1,50 entonces ( ) y cr F F c 2 658 , 0 λ = Si λc > 1,50 entonces y c cr F F = 2 877 , 0 λ 5. Calcular la resistencia minorada a la compresión, Nt cr c t AF N φ = 6. Comparar N con Nt Si N ≥ Nt entonces el perfil utilizado en el diseño no es adecuado y se debe pasar a uno mayor repitiendo todos los pasos anteriores a partir del 2. Si N < Nt entonces el perfil utilizado es adecuado y el diseño culmina.
- 98. Francisco D’Amico, UNIMETBibliografía 90 B i b l i o g r a f í a C. H. Edwards, Jr. y David E. Penney, 1993 Ecuaciones Diferenciales Elementales y Problemas con Condiciones en la Frontera. Tercera edición. Prentice Hall. México. Computers and Structures Inc., 1998 SAP2000 Integrated Finite Element Analysis and Design of Structures: Getting Started. California. Computers and Structures Inc., 1998 SAP2000 Integrated Finite Element Analysis and Design of Structures: Basic Analysis Reference. California. Computers and Structures Inc., 1998 SAP2000 Integrated Finite Element Analysis and Design of Structures: Graphic User Interface Manual. California. Edwin J. Purcell & Dale Varberg, 1992 Cálculo con Geometría Analítica. Sexta edición. Prentice Hall. México. E. L. Wilson, 1998 The Three Dimensional Dynamic Analysis of Structures With Emphasis on Earthquake Engineering. Segunda edición. Computers and Structures Inc. California.
- 99. Francisco D’Amico, UNIMETBibliografía 91 Ferdinand P. Beer & E. Russell Johnston, Jr., 1990 Mecánica Vectorial para Ingenieros Estática. Quinta edición. Mac Graw Hill. México. Ferdinand P. Beer & E. Russell Johnston, Jr., 1993 Mecánica de Materiales. Segunda edición. Mac Graw Hill. Bogotá. NORMA COVENIN-MINDUR 1618-98, 1998 Estructuras de Acero para Edificaciones Método de los Estados Límites. Comisión de Normas para Estructuras de Edificaciones. Caracas. Odone Belluzzi, 1996 Scienza delle Costruzioni, Volúmenes I, II y IV. Aster Tipografica. Bologna. Paul Rogers, 1952 Tables and Formulas for Fixed end Moments of Members of Constant Inertia and for Simply Supported Beams. Segunda edición. Frederick Ungar Publishing Co. New York. R. C. Hibbeler, 1996 Ingeniería Mecánica Estática. Séptima edición. Prentice Hall. México.