APLICACIONES DE ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES EN LA CARRERA DE INGENIERÍA EN TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN En la presente investigación se tratará temas de importancia para el desarrollo del conocimiento del algebra lineal mediante trabajo autónomo y colaborativo como lo es espacios y subespacios vectoriales, una breve descripción, y la aplicación de ellas en el campo de la carrera de ingeniería en TI. Así también conoceremos la aplicación del teorema del Wronskiano, un método eficaz para calcular determinantes de un conjunto de funciones de forma ágil,de esta manera determinar la dependencia lineal de estas funciones, lo cual viene a ser un tema importante no solo en el mundo de las matemáticas y cálculos si no también importante en situaciones de la vida que comúnmente observamos, el estudio y aprendizaje que se obtiene en esta investigación es relevante y necesario para desenvolvernos como ingenieros y profesionales con una amplia visión de las cosas.

1. APLICACIONES DE ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES EN LA
CARRERA DE INGENIERÍA EN TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN
Álgebra Lineal
NRC: 3242
Parcial 2
TALLER Nro. 1
Estudiantes: Gisselle Loachamin
Katherine Sarango
Marcelo Tovar
José Vieira
Docente: Dra. Lucia Castro
Departamento de las Ciencias Exactas
Área de análisis funcional
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
26 Julio 2021

2. Índice
1. Introducción 2
2. Objetivos 2
2.1. General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2. Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2.1. Parte Fundamentación teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2.2. Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2.3. Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3. Fundamentacón Teórica 2
3.1. ¿Qué son espacios y subespacios vectoriales? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2. Aplicación de los espacios y subespacios vectoriales en la carrera de Ingeniería en tecnologías
de la información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4. Desarrollo 4
4.1. Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.1.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2. Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5. Conclusiones y Recomendaciones 6
6. Enlace a Slide Share 6
7. Bibliografía 6

3. Taller Álgebra Lineal 3 FUNDAMENTACÓN TEÓRICA
1. Introducción
En la presente investigación se tratará temas de importancia para el desarrollo del conocimiento del
algebra lineal mediante trabajo autónomo y colaborativo como lo es espacios y subespacios vectoriales,
una breve descripción, y la aplicación de ellas en el campo de la carrera de ingeniería en TI. Así también
conoceremos la aplicación del teorema del Wronskiano, un método eficaz para calcular determinantes de
un conjunto de funciones de forma ágil,de esta manera determinar la dependencia lineal de estas funciones,
lo cual viene a ser un tema importante no solo en el mundo de las matemáticas y cálculos si no también
importante en situaciones de la vida que comunmente observamos, el estudio y aprendizaje que se obtiene
en esta investigación es relevante y necesario para desenvolvernos como ingenieros y profesionales con una
amplia visión de las cosas.
2. Objetivos
2.1. General
Se desea realizar una investigación sobre la aplicación de espacios y subespacios vectoriales mediante la
búsqueda y análisis de información en la web, libros, foros. Así tambieén aplicar el Teorema del Wronskiano
de forma práctica para determinar la dependencia lineal de un conjunto de funciones, esto para desarrollar
el trabajo colaborativo y desarrollar las capacidades de investigación y aprendizaje autónomo.
2.2. Específicos
2.2.1. Parte Fundamentación teórica
Desarrollar una investigación sobre la aplicación de espacios y subespacios vectoriales en la carrera de
ingeniería en TI.
2.2.2. Parte 1
Comprender la forma de aplicación del teorema del Wronskiano utilizando como base fundamental ma-
terial teórico para encontrar la dependencia lineal de un conjunto de funciones Fx polinómicas.
2.2.3. Parte 2
Comprender la forma de aplicación del teorema del Wronskiano utilizando como base fundamental ma-
terial teórico para encontrar la dependencia lineal de un conjunto de funciones Fx. compuestas.
3. Fundamentacón Teórica
3.1. ¿Qué son espacios y subespacios vectoriales?
Espacio vectorial
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos
operaciones:
la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los
axiomas deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en V y todos los escalares α y β reales.
2

4. Taller Álgebra Lineal 3 FUNDAMENTACÓN TEÓRICA
Sub Espacio Vectorial
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo
las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.
Entonces se dice que H es un sub espacio de V.
PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL
1). El vector cero de V está en H.2
2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v est en H
3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu
está en H.
3.2. Aplicación de los espacios y subespacios vectoriales en la carrera de Inge-
niería en tecnologías de la información
Los vectores en el campo de espacios y sub espacios vectoriales se pueden aplicar de maneras altamente
funcionales en la rama de Tecnologias de la informacion, esto se debe a que se puede codificar, programar y
realizar análisis con ayuda de IDES de programación como lo es; CodeBlocks, Java, Python, Visual Studio,
etc. Mismos que permiten el ingreso de datos y variables para realizar procesos y crear algoritmos definiendo
tareas de forma que sea fácil de comprender por el desarrollador. (G. Gomez, 2011)
De igual forma el álgebra lineal permite desarrollar, aprender, e investigar sobre las distintas formas de
aplicación de vectores mediante la práctica con ejercicios propuestos dando como resultado una estrecha rela-
ción entre las ciencias exactas con la tecnología y el desarrollo de conocimiento que aporte a generar mejores
algoritmos para soluciones eficaces y confiables de problemas reales de la sociedad.
El proceso de creación de un videojuego, desde el concepto inicial hasta el videojuego en su versión final. Es
una actividad multidisciplinaria, que involucra profesionales de la programación, diseño gráfico, animación,
sonido, música, actuación, etc. y a su vez profesionales en análisis matemático donde, en algunos casos se
llega a emplear tanto como subespacios y espacios, vectores, matrices entre muchas herramientas de cálculos
que nos permiten optimizar y realizar la decodificacion de los datos, lo mismo pasaría con el reconomiento de
facial, mediante formulas, interfaces y algunas de sus soluciones entran en el campo de la minería de datos
o en el reconocimiento de patrones, lo cual lo hace doblemente atractivo para el consumismo de aplicaciones
del entorno de videojuegos.(Ferri Armengot, 2006)
Los simuladores poseen la cualidad de apoyar el aprendizaje de tipo experiencial y conjetural, para lo-
grar el aprendizaje por descubrimiento, pueden simular situaciones de la realidad, propician la interacción
con un micromundo, en forma semejante a la que se tendría en una situación real, propicia a la formación
de un modelo mental correspondiente al modelo visual. Puede utilizarse en cualquier etapa del aprendizaje.
Se utilizan fundamentalmente en la solución de problemas profesionales de optimización, predicción, sobre
la base de modelos matemáticos. Por ejemplo: una experiencia realizada en algunos colegios a nivel medio
superior en Francia, permite el estudio de algunas estructuras matemáticas como lo es el espacio vecto-
rial de dimensión tres. Los alumnos por medio de manipulaciones matemáticas descubren las nociones de
subespacio vectorial de dimensión uno y dos, y el concepto de base (Vaquero, 1987).
3

5. Taller Álgebra Lineal 4 DESARROLLO
4. Desarrollo
4.1. Parte 1
Tres funciones polinómicas y determinar si son linealmente independientes (LI) o linealmente dependien-
tes (LD) aplicando el Teorema del Wronskiano.
4.1.1. Ejemplos
Ejemplo 1
A)x, x2
, 4x − 3x2
W=

12. x x2
4x −3x2
1 2x 4 −6x
0 2 −6

19. = −12x2
+ 0 + 8x − 6x2
− 8x + 12x2
+ 6x2
= 0
W es igual a cero, por lo tanto, es Linealmente dependiente
Ejemplo 2
B)e−4x
, e4x
W=

24. e−4x
e4x
−4e−4x
4e4x

29. =4e0
+ 4e0
= 8
W no es igual a cero, por lo tanto, es Linealmente Independiente
Ejemplo 3
Indique si la siguiente función es linealmente dependiente o independiente:
F= -5x2
+ 2x + 8; x2
+ x + 1; 10x2
− 7x + 9

36. −5x2
+ 2x + 8 x2
+ x + 1 10x2
− 7x + 9
−10x + 2 2x + 1 20x − 7
−10 2 20

43. 4

44. Taller Álgebra Lineal 4 DESARROLLO
Det(f) = (-5x2
+ 2x + 8)(2x + 1)(20) + (−10x + 2)(2)(10x2
− 7x + 9) + (x2
+ x + 1)(20x − 7)(−10)
-(-10)(2x + 1)(10x2
− 7x + 9) − (−10x + 2)(x2
+ x + 1)(20) − (2)(20x − 7)(−5x2
+ 2x + 8)
Det(f)= -200x3
− 20x2
+ 360x + 160 − 200x3
+ 180x2
− 208x + 36 − 200x3
− 130x2
− 130x + 70
+ 200z3
− 40x2
+ 110x + 90 + 200x3
+ 160x2
+ 160x − 40 − (2)(20x − 7)(−5x2
+ 2x + 8)
Det(f)=428
Como el determinante es diferente de 0; F es linealmente independiente.
4.2. Parte 2
Dos funciones compuestas, producto, división, trigonométricas, exponenciales, hiperbólicas y determinar
si son limenalmente independientes (LI) o linealmente dependientes (LD) con el teorema del Wronskiano.
Si : f = 3x2
yg = x − 2; Sih = x + 1yj =
1
x

49. 3x2
− 12x + 12 x+1
x
6x − 12 −1
x2

54. fog = 3(x − 2)2
; hoj =
x + 1
x
=
−6x3
+ 3x2
+ 24x − 12
x2
→ x =
1
2
; x = −2; x = 2
Cuando : x =
1
2

60. 31
2 − 121
2 + 12
1
2 +1
1
2
61
2 − 12 −1
( 1
2 )2

66. = 0 ≡ EsLD
Cuando : x = −2

71. 3(−2) − 12(−2) + 12 (−2)+1
−2
6(−2) − 12 −1
(−2)2

76. = 0 ≡ EsLD
Cuando : x = 2

81. 3(2) − 12(2) + 12 (2)+1
2
6(2) − 12 −1
(2)2

86. = 0 ≡ EsLD
Para que sea LI debe ser cualquier valor
x ∈ Rdiferentedex 6=
1
2
; x 6= −2; x 6= 2; x 6= 0
para no ser un sistema inconsistente.
5

87. Taller Álgebra Lineal 7 BIBLIOGRAFÍA
5. Conclusiones y Recomendaciones
Se investigó en fuentes confiables referente al tema de la aplicación de espacios y subespacios vectoriales
en la carrera de Ingeniería en TI, mediante información de casos prácticos como se relata en el presente
documento se recomienda analizar este tema de forma crítica para en un futuro aplicarlo si fuera de
utilidad.
La regla del Wronskiano es bastante útil para determinar la dependencia lineal especialmente en con-
juntos de funciones ya que otros métodos elevan el nivel de dificultad y el numero de procedimientos
llevando a hacer procesos tardados que con el Teorema del Wronskiano pueden ser simplificados es
recomendable que para evitar confusión en su aplicación se aplique de acuerdo a lo explicado en el
presente documento.
La regla del Wronskiano es bastante útil para determinar la dependencia lineal especialmente en con-
juntos de funciones en este caso Compuestas ya que otros métodos elevan el nivel de dificultad y el
numero de procedimientos llevando a hacer procesos tardados que con el Teorema del Wronskiano pue-
den ser simplificados es recomendable que para evitar confusión en su aplicación se aplique de acuerdo
al procedimiento explicado en el presente documento mediante ejemplos resueltos.
6. Enlace a Slide Share
7. Bibliografía
Espacios y subespacios vectoriales—Definición, propiedades y ejemplos. (2016, septiembre 22). Álgebra
y Geometría Analítica. https://aga.frba.utn.edu.ar/espacios-y-subespacios-vectoriales/
4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades—Sistemas Algebra Lineal. (s. f.). Recuperado 26 de
julio de 2021, de https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-4—espacios-vectoriales/definicion-
de-subespacio-vectorial-y-sus-propiedades
CompCntfcEspaciosVectoriales-AlgebraLineal. (2011) Recuperado 26 de julio de 2021, de https://ccc.inaoep.mx/ gro-
drig/Descargas/CompCntfcEspaciosVectoriales.pdf
Ferri, F., Armengot, M. (2006). Analisis comparativo de metodos basados en subespacios aplicados al reco-
nocimiento de caras.
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