señales digitales

Tratamiento Digital de la Señal

Rafael Martínez Olalla
Grupo de Informática Aplicada al Procesamiento de Señal e Imagen (GIAPSI)
Universidad Politécnica de Madrid, Campus de Montegancedo, s/n, 28660 Boadilla del Monte, Madrid, Spain

e-mail: rmolalla@junipera.datsi.fi.upm.es

Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal 1/138


1. Técnicas de procesado de señal
2. Señales y sistemas
Definiciones básicas
Propiedades de los sistemas
Representación de señales en términos de impulsos
3. Transformada de Laplace
4. Introducción al análisis de Fourier
Perspectiva Histórica
Conceptos básicos
Respuesta de sistemas LTI a exponenciales complejas
Representación de señales periódicas en tiempo continuo
Generalización para señales aperiódicas
Representación de señales discretas



5. Paso del mundo continuo al discreto (Muestreo)
Ejemplos cotidianos
Teorema de muestreo
Esquema de un sistema digital
6. Transformada Z
7. DFT
8. Filtrado básico


Técnicas de Procesado de Señal


Técnicas de procesado de señal

Filtrado
Análisis
Clasificación


• Técnicas de procesado de señal
• Señales y sistemas

Filtrado (I)
• Transformada de Laplace
• Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT
• Filtrado básico

Filtros fijos
F P Bajo, F P Banda, F P Alto, F Banda
Eliminada
Aplicaciones sencillas:
Diferenciadores
Integradores
Filtros de nulo
Media móvil
Suavizado
Filtros en peine
etc.


Filtrado (II)
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Filtros adaptativos
Se pueden clasificar de diversos modos,
atendiendo a:
Su estructura (transversales, celosías)
Algoritmos de actualización de los pesos
(gradiente, mínimos cuadrados)
Dominio de filtrado (tiempo, frecuencia)
etc



Filtrado (III)
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Aplicaciones del filtrado adaptativo:
Identificación de sistemas (modelo en capas de la
tierra, modelo del tracto vocal, etc.)
Modelado inverso (deconvolución predictiva,
ecualización adaptativa -cancelación de los efectos del
canal en transmisión-)
Predicción (LPC, ADPCM, análisis espectral, detección
de señal)
Cancelación de interferencias (ECG fetal, interferencia
de red, cancelación de ruido, cancelación de eco,
antenas adaptativas, dirección de baterías de artillería)



Análisis
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Autocorrelación
Bancos de filtros
Métodos transformacionales
Fourier
Cepstrum
Wavelets
Métodos paramétricos
Modelo autorregresivo (predicción lineal)
Métodos para hallarlo: (autocorrelación, covarianza,
filtros en celosía, filtros adaptativos)



Clasificación , Codificación,

Compresión • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Codificación reversible / irreversible
Digitalización => pérdida
Codificación por forma de onda (PCM, DPCM, ADPCM)
Codificación en subbandas
Codificación LPC
Codificación mediante Wavelets
Redes neuronales
Cuantificación vectorial


Señales y Sistemas


2. Señales y sistemas

Definiciones
Señales útiles Filtro acústico

Propiedades de los Cavidad nasal

sistemas
Señal acústica
de salida
Cuerdas Cavidad Cavidad oral
vocales faríngea (modificada por los
órganos articulatorios)

Representación de
Velo
Laringe

señales en términos de
Tráquea

Generador
Pulmones

impulsos: convolución Diafragma



Definición de señal • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Amplitud

tiempo

Señal de electrocardiograma

Señal: función de una o más variables independientes

Contiene información acerca de fenómenos físicos



Definición de señal
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Es t o e s u n a s e ñ a l de v o z



• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

11 kHz

0 kHz
0s e s t o e s u n a s e ñ a l dev o z 3s



• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Tono fundamental Formantes

Espectro de la vocal /i/ pronunciada por un hablante masculino



Definición de • Señales y sistemas

sistema • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Oído externo Oído medio Oído Interno

Ventana Cóclea
oval Resonancia en (desenrollada)
la membrana

Pabellón Altas frecuencias Bajas frecuencias
Canal auditivo
auditivo
Cadena de
huesecillos
Tímpano
Trompa de Ventana Membrana Fibras del
Eustaquio redonda basilar nervio auditivo

Sistema: proceso que produce transformación de señales




• Transformada Z
• DFT

(a) (b)
Señal de Señal de Señal de Señal de
Sistema Sistema
entrada salida entrada salida

Movimiento
Onda de Movimiento Oído de la
presión Oído externo Movimiento del tímpano medio ventana oval
acústica del tímpano

(c) (d) (e)
Señal de Señal de Señal de Señal de Señal de Señal de
Sistema Sistema Sistema
entrada salida entrada salida entrada salida

Onda de presión Onda de presión Resonancia de Células del Impulso eléctrico
en el fluido Resonancia de la membrana órgano de Corti al cerebro
en el fluido la membrana
Movimiento Conjunto
de la ventana oval Membrana
ventana oval fluido basilar
endolinfático




• Transformada Z
• DFT

Filtro acústico

Cavidad nasal

Señal acústica
de salida
Cuerdas Cavidad Cavidad oral
vocales faríngea (modificada por los
órganos articulatorios)

Velo
Laringe
Tráquea

Generador
Pulmones

Diafragma




• Transformada Z
• DFT

Periodo del pitch
|H(Ω)|

Tren de
Amplitud π
impulsos Ω

Filtro digital Señal
H(z) de voz

Ruido
aleatorio




• Transformada Z
• DFT

(a)
Filtro del
Excitación Señal de voz
tracto vocal

(b)
amplitud

amplitud

amplitud
tiempo tiempo tiempo
Pulsos glotales Respuesta al impulso del Voz
tracto vocal

(c) Formantes
Espectro de
un pulso
amplitud

amplitud

amplitud
frecuencia frecuencia frecuencia
Excitación sonora Respuesta del tracto vocal Voz



Definiciones
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Señal: Función de una o mas variables independientes (Contienen
información de fenómenos físicos)
Señales tiempo continuo x(t)
Señales tiempo discreto x[n]
Sistema: Cualquier proceso que produce transformación de señales
Tiempo continuo
Tiempo discreto


Tiempo continuo /

tiempo discreto
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

x y
Sistema x y

x(t) Sistema de tiempo continuo
Sistema
x(t) y(t)
de
x(t) y(t)
tiempo
continuo

t

(a)
Sistema de tiempo discreto
x[n] (b)
Sistema
...... 2, 1.8, 0.8, -0.7, 2.5, -0.8, 1.5, 1.5, 1.5, ....... x[n] y[n]
..... de
..... x[n] y[n]
tiempo
discreto
n n=0



Transformaciones de la • Señales y sistemas

variable independiente
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

x(t) x(t-t0) x(t+t0)

Desplazamiento temporal
t t0 t -t0 t
x[n-n0] x[n+n0]
x[n]

..... ..... ..... ..... ..... .....

n n0 n -n0 n

x(t) x(-t)

Inversión temporal
t t

x(t) x(2t) x(t/2)

Escalado
t t t


Transformaciones de la

variable independiente • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Dada la señal x(t) de la figura, representar:
(a) x(t+1), (b) x(t-1), (c) x(-t+1), (d) x(-t-1), (e) x(2t), (f) x(t/2) y (g)
x(2t+1)

x(t)
x(t+1) x(t-1)
1
1 1

-2 -1 t 1 2 t
-1 1 t

x(2t) x(-t+1) x(-t-1)
1 1 1

-1/2 1/2 t 1 2 t -2 -1 t

x(t/2) x(2t+1)

1 1

-2 2 t -1 -1/2 t



Propiedades de simetría y

periodicidad • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

x(t)
x(t)

t
t

Señal par
Señal impar

Señal periódica
x(t)
x[n]

...... ...... ..... .....

-3T -2T -T T 2T t -2N -N N 2N n



Señales útiles –

Señal sinusoidal
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

1 sen(ωt)

0.5
cos(ωt)

0
−2π/ω −3π/2ω −π/ω −π/2ω 0 π/2ω π/ω 3π/2ω 2π/ω t

-0.5

-1

ϕ /ω
1 sen(2πt)

sen(2πt+ϕ)
0.5

0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t

-0.5

-1


Señales útiles - • Técnicas de procesado de señal

exponencial compleja de • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo

tiempo continuo
• Transformada Z
• DFT

Exponenciales
Eje imaginario
complejas
periódicas

αt
x(t ) = Ke
Exponenciales reales Exponenciales
decrecientes reales crecientes

Eje real
Cualquier lugar del plano α
distinto de los ejes: producto de
exponencial real por exponencial
compleja periódica (combinación
de sinusoides amortiguadas)
Plano α

x(t) Exponenciales reales x(t)

Keαt K K>0 K Keαt
K>0
α>0
α<0

t t



• Muestreo

tiempo continuo
• Transformada Z
• DFT

jω 0 t
x(t ) = e
Eje imaginario

j j2πt
e

0.5j

Eje real
0

-0.5j

tiempo
-j
0
0.5
1 0.5 1
-0.5 0
1.5 -1
2



• Muestreo

tiempo continuo
• Transformada Z
• DFT

αt ⎧ K = K e jϕ
⎪ x(t ) = Keαt = K e jϕ e(σ + jω 0 )t = K eσt e j (ω 0 t +ϕ )
x(t ) = Ke ⎨
⎪α = σ + jω 0
⎩ x(t ) = K eσt [cos(ω0t + ϕ ) + jsen(ω0t + ϕ )]

Eje
imaginario

Envolvente
exponencial
(eσ )
t

Eje real
Eje de
tiempos
Fase inicial ϕ



Señales útiles –

función sinc
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT
(a) sen(πϑ) • Filtrado básico

ϑ
sen(πϑ )
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

sinc (ϑ ) =
πϑ
(b) 1/πϑ
3

2

1
-5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 ϑ
-1

-2

-3

(c) sinc(ϑ)
1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 ϑ



Señales útiles - exponencial

compleja de tiempo discreto • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

(a)

x[n] = Kα
(d)

n ..... .....
n
..... .....

n

(b)

Exponenciales complejas Eje imaginario (e)
relacionadas con señales 1
sinusoidales Circunferencia unidad

..... ..... ..... .....

n n

Eje real
Exponenciales
reales
(c) (f)
..... .....
Plano α ..... .....
n n

Exponenciales reales: (a) a >1, (b) 0<a<1, (c) -1<a<0,
(d) a<-1, (e) a=1, (f) a=-1



Señales útiles - exponencial • Señales y sistemas
compleja de tiempo discreto • Muestreo
• Transformada Z
• DFT
Eje imaginario Eje imaginario • Filtrado básico
(a) (d)
j j

0.5j 0.5j
ejnπ/4 ejn3π/2
Eje real 0 Eje real 0 1
3 2
0 1 4 0 4
2 5 3
6 7 5 6
-0.5j 8 -0.5j 7 8

n n
-j -j

0.5 1 0.5 1
-0.5 0 -0.5 0
-1 -1
Eje imaginario
Eje imaginario (e)
(b)
j
j

0.5j
0.5j
ejn7π/4
ejnπ/2 Eje real 0
Eje real 0 1 0 1
2 3
2 3
0 4 4
6 5
5 7 6 7
-0.5j 8
-0.5j 8
n
n -j
-j

0.5 1
1 -0.5 0
0 0.5 -1
-1 -0.5
Eje imaginario
Eje imaginario (f)
(c)
j
j

0.5j
ejk2πn
0.5j
ejnπ Eje real
Eje real 0 1 0 0
2 1 2
0 3 4 3
5 6 4 5
7 8 6 7
-0.5j 8
-0.5j
n
n -j
-j

0.5 1
0.5 1 -0.5 0
-0.5 0 -1
-1



Interconexión de sistemas • Transformada de Laplace
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Serie o cascada
x y z
Sistema 1 Sistema 2

Sistema 1

Paralelo
x y

Sistema 2

x y
Sistema 1

Con realimentación
Sistema 2



Propiedades de los sistemas • Transformada de Laplace
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Memoria: (sin memoria => la salida en un instante depende de la entrada
en ese instante)
Ej. sin mem: Multiplicar la entrada por dos.
Invertibilidad: (Entradas distintas producen salidas distintas)
Ej. Aplicaciones de restauración de señal, ecualización de canal,
filtrado inverso.
Causalidad: (La salida no depende de entradas futuras)
Los sistemas “físicos son causales”

N
y[n] = ∑ x[n + k ]
1
2 N + 1 k =− N t

Ej: Filtro de media móvil no causal


Propiedades de los sistemas
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT
Estabilidad: (Entradas acotadas producen salidas acotadas)
(a) (b)
x(t)

a) Sistema estable
b) Sistema no estable
y(t)
y(t)

x(t)

Invarianza: (Un desplazamiento en la entrada produce el mismo
desplazamiento en la salida)
x1 (t ) = x(t ) → y1 (t ) x1 [n]= x[n] → y1 [n]
x 2 (t ) = x(t − t 0 ) → y 2 (t ) x 2 [n]= x[n − n0 ] → y 2 [n]
Invarianza ⇔ y 2 (t ) = y1 (t − t 0 ) Invarianza ⇔ y 2 [n] = y1 [n − n0 ]

Linealidad: (Una combinación lineal de entradas produce la misma
combinación lineal de salidas)
x1 (t ) → y1 (t )
x3 (t ) = ax1 (t ) + bx 2 (t ) → y 3 (t ) = ay1 (t ) + by 2 (t )
x 2 (t ) → y 2 (t )

Son muy importantes los sistemas lineales invariantes


Representación de señales

en términos de impulsos • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Función Impulso unidad

δ[n] ⎧1 n = 0 δ[n-1]
δ [n] = ⎨
⎩0 n ≠ 0
0 0

Función Escalón unidad

u[n] u[n-1]
⎧1 n ≥ 0
u[n] = ⎨
0
⎩0 n < 0 0



Representación de señales • Señales y sistemas

en términos de impulsos
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Caso discreto x[−3]δ[n+3]

x[−2]δ[n+2]

x[n] x[−1]δ[n+1]

0 x[0]δ[n]

x[1]δ[n-1]

x[2]δ[n-2]
δ[n]
x[3]δ[n-3]
0
∞
δ[n-1]
x[n] = ∑ x[k ]δ [n − k ]
k = −∞
0



Suma de convolución
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Si tenemos sistema lineal invariante:

(a) (b) δ[n] h[n]
Sistema
x[n] y[n]
LI de
tiempo 0 0
discreto
δ[n-n0] h[n-n0]

δ[n] h[n]
0 n0 0 n0

δ[n-n0] h[n-n0] δ[n]+δ[n-n0] h[n]+h[n-n0]

δ[n]+δ[n-n0] h[n]+h[n-n0]
0 n0 0

∞ ∞
x[n] = ∑ x[k ]δ [n − k ] y[n] = ∑ x[k ]h[n − k ]
k = −∞ k = −∞

39/92


Extensión a sistemas

continuos • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

¿Cuál es la derivada de una función escalón continua?

x(t) 1

0
Función delta de Dirac du (t )
δ (t ) =
dt

(a) uΔ(t)
(b) δΔ(t)
1 1/Δ

−Δ/2 Δ/2 t −Δ/2 Δ/2 t



Representación de una

señal con funciones delta • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

(a) (b) x(t)
x(kΔ)
δΔ(t) x(2Δ) Δx(0)δΔ(t)
x(Δ)
x(0)
1/Δ x(t) x(-Δ)
Δx(kΔ)δΔ(t- kΔ)

0 Δ -Δ 0 Δ 2Δ kΔ
t
∞
⎧1 / Δ 0≤t ≤Δ
δ Δ (t ) = ⎨ x(t ) =
ˆ ∑ x(kΔ)δ
k = −∞
Δ (t − kΔ)Δ
⎩0 resto
∞

Δδ Δ (t ) = 1
x(t ) = lim
Δ →0
∑ x(kΔ)δ
k = −∞
Δ (t − kΔ)Δ

∞
x(t ) = ∫ x(τ )δ (t − τ )dτ
−∞



Integral de • Señales y sistemas

convolución • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

(a) (b)
δ(t) h(t)
Sistema
x(t) y(t)
LI de
tiempo 0 0
continuo
δ(t-t0) h(t-t0)

δ(t) h(t)
0 t0 0 t0

δ(t-t0) h(t-t0)
δ(t)+δ(t-t0) h(t)+h(t-t0)

δ(t)+δ(t-t0) h(t)+h(t-t0)
0 t0 0

∞
x(t ) = ∫ x(τ )δ (t − τ )dτ
∞
−∞
y (t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ
−∞


Transformada de Laplace


3. Transformada de Laplace

TL: representación de
señales como combinación
lineal de exponenciales
complejas de la forma est
s = σ + jω
Concepto de región de
convergencia
Transformada de Laplace
Racional



Pierre Simón Laplace • Señales y sistemas
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT
23 de marzo de 1749 – 5 de mayo de 1827
Probabilidad de que el sol salga por el horizonte = (d+1)/(d+2)
Defensor del determinismo causal
Con 18 años viaja a París para presentarse a D’Alambert.
Tras un primer intento infructuoso decide escribir una
disertación sobre los principios de la mecánica: resultado,
D’Alambert le consiguió una plaza de profesor de
matemáticas en al escuela militar de París.
“Tratado de la mecánica celeste”. Presentación a Napoleón:
Monsieur Laplace, me cuentan que ha escrito usted este gran
libro sobre el sistema del universo, sin haber mencionado ni una
sola vez a su creador." A lo que Laplace contestó "Sire, nunca he
necesitado esa hipótesis.“
Newton 100 años antes al modelar el funcionamiento del
sistema solar mediante su ley de gravitación no fue capaz de
explicar ciertas irregularidades aparentes que se deberían
producir en la órbitas de algunos planetas. Newton aludía a la
mediación divina para que el sistema siguiese funcionando.
Comentario de Lagrange: "Pues es una bella hipótesis. Explica
muchas cosas."

Representación de señales • Señales y sistemas

mediante exponenciales • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo

complejas • Transformada Z
• DFT

Buscamos representar señales como combinación lineal de señales
básicas que tengan 2 propiedades:
Que con ellas se pueda construir una amplia clase de señales
Que la respuesta del sistema LTI a cada señal sea lo suficientemente
simple.
est exponencial compleja en el caso continuo.
zn exponencial compleja en el caso discreto.

∞
y (t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ x(t) h(t) y (t) = x(t)*h(t)
−∞

∞ ∞
x(t ) = e y (t ) = ∫ h(τ )e s ( t −τ )
dτ = e ∫ h(τ )e − sτ dτ
st st
−∞ −∞

∞
H ( s ) = ∫ h(τ )e − sτ dτ y (t ) = e st H ( s )
−∞



Transformada de • Señales y sistemas

Laplace racional • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

X(s) = N(s) / D(s)
X(S) racional cuando
x(t) sea c.l. De exponenciales
En sistemas LTI especificados mediante ec. dif.
lin de coef. ctes.
Importancia de las raices de numerador y
denominador: diagrama de polos y ceros.



Ejemplos de transformadas • Transformada de Laplace

de Laplace racionales • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Filtro paso bajo de primer orden H(s) = H0ωc / (s+ωc)
Filtro paso bajo de segundo orden H(s) = H0 / (s2+as+b)
Filtro paso alto de primer orden H(s) = H0s / (s+ωc)
Filtro paso alto de segundo orden H(s) = H0s2 /
(s2+as+b)
Filtro paso banda H(s) = as /
(s2+bs+c)


Transformada de Fourier


4. Introducción al análisis de
Fourier
Perspectiva histórica
Fenómenos periódicos
Experimento de Fourier
Descomposición de señales
Exponenciales complejas



Perspectiva histórica • Transformada de Laplace
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT
Antecedentes • Filtrado básico

Babilonios: Uso de series trigonométricas para describir fenómenos
periódicos
1748 Euler: estudio de cuerdas vibrantes.

.......

¿Sirve esta representación para alguna señal mas?



Perspectiva histórica • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Mecanismo de Antikythera:
Construido en Rodas 80 aC.
Cálculo astronómico
Simulación del movimiento del
sol, la luna y varios planetas.
Primera computadora.
Rueda Luna – Sol.
Relación de velocidades :
13,36842
Relación astronómica:
13,368267



Mecanismo de Antikythera • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT



Perspectiva histórica • Transformada de Laplace
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

1753 Bernoulli: Todos los movimientos físicos de una cuerda se pueden representar por
combinación lineal de modos normales
1759 Lagrange critica el uso de series trigonométricas el el estudio de cuerdas
vibrantes.
1768 nace Fourier.
Vida Política agitada.
1798 Expedición a Egipto.
1802 – 1815 prefecto de Isère.
Estudio de fenómenos de propagación y difusión del calor.
1807 finaliza su trabajo.
Series de sinusoides armónicamente relacionadas pueden representar cualquier
serie periódica
Justificación teórica Dirichlet 1829.
Representación de señales aperiódicas como integrales ponderadas de sinusoides
que no está armónicamente relacionadas.
1807 presenta un papel que es revisado por Monge, Lacroix, Laplace y Lagrange.
1822 Teoría analítica del calor.



Perspectiva histórica • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT
Ordenador de las mareas de Lord
Kelvin. 1876
Analizador armónico de Michelson.
Otro resultado importante de
Michelson no tan relacionado:
medición de la velocidad de la luz



Fenómenos de carácter

periódico • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Movimiento de los planetas
Clima terrestre
Fuentes alternas
Olas del océano

Signals and Systems [Oppenheim]



Experimento de Fourier: • Señales y sistemas

Temperatura a lo largo de una • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo

anilla • Transformada Z
• DFT

0º
Temperatura

Aproximación mediante
funciones sinusoidales
90º 270º

Distribución de
temperatura

180º

0 60 120 180 240 300 360
Ángulo de la anilla


Experimento de Fourier: Temperatura a
lo largo de una anilla

[Revista Investigación y Ciencia]


Descomposición de una

onda cuadrada periódica • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

(a) (d) (g)

(b) (e) (h)

(c) (f) (i)


señales digitales

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Más de Jose Saenz

Más de Jose Saenz (10)

señales digitales