Cursocuant

Los Alamos Electronic Archives: physics/9808031
La verdad os hara libres
Universidad de Guanajuato
IFUG, Le´n, Guanajuato, M´xico
o e
arXiv:physics/9808031 24 Aug 1998

MECANICA CUANTICA I.
MC I

Haret C. Rosu
e-mail: rosu@ifug3.ugto.mx
fax: 0052-47187611
phone: 0052-47183089

h/2π
1

A cargo del Prof. Haret Rosu para el beneficio de los estudiantes

presentes y futuros del IFUG y otros lugares.

Primer curso de mecńica cuńtica en castellano publicado en Internet.
a a

Copyright c 1998. All rights are reserved. H.C. ROSU

Julio de 1998

Abstract
This is the first Internet course on elementary quantum mechan-
ics written in Spanish (“castellano”) for the benefit of Spanish speak-
ing students. I thank my eight Mexican students at the Institute of
Physics, University of Guanajuato, Leon, (IFUG), for the collaboration
that made this possible. The topics included refer to the postulates of
quantum mechanics, one-dimensional barriers and wells, angular mo-
mentum, WKB method, harmonic oscillator, hydrogen atom, quantum
scattering, and partial waves.

2

INDICE DE CONTENIDO

0. Introducciń General - Haret C. Rosu
o

1. Los Postulados de la MC - Martin Gilberto Castro Esparza

2. Potenciales Barreras y Pozos - Juan Manuel Rodr´
ıguez Vizca´
ıno

3. El Momento Angular - Teodoro C´rdova Fraga
o

4. El M´todo WKB - Luis Antonio Garc´ Trujillo
e ıa

5. El Oscilador Armńico - Jos´ Torres Arenas
o e

´
6. El Atomo de Hidr´geno - Edgar Alvarado Anell
o

7. La Dispersiń en la MC - Daniel Jimńez Alvarez
o e

8. Las Ondas Parciales - Pedro Basilio Espinoza Padilla

Incluye tambiń alrededor de 25 problemas con soluciones.
e

3

0. Introduction
The energy quanta occured in 1900 in works of Max Planck (Nobel prize,
1918) on the black body electromagnetic radiation. Planck’s “quanta of
light” have been used by Einstein (Nobel prize, 1921) to explain the pho-
toelectric effect, but the first “quantization” of a quantity having units of
action (the angular momentum) belongs to Niels Bohr (Nobel Prize, 1922).
This opened the road to the universality of quanta, since the action is the
basic functional to describe any type of motion. However, only in the 1920’s
the formalism of quantum mechanics has been developed in a systematic
manner and the remarkable works of that decade contributed in a decisive
way to the rising of quantum mechanics at the level of fundamental theory
of the universe from the mankind standpoint and one of the most successful
from the point of view of technology. Moreover, it is quite probable that
many of the cosmological misteries may be disentangled by means of various
quantization procedures of the gravitational field leading to our progress in
understanding the origins of the universe. On the other hand, in recent
years, there is a strong surge of activity in the information aspect of quan-
tum mechanics, that has not been very much exploited in the past, aiming
at a very attractive “quantum computer” technology.
At the philosophical level, the famous paradoxes of quantum mechanics
(showing the difficulties of the ‘quantum’ thinking) are actively pursued ever
since they have been first posed. Perhaps the famous of them is the EPR
paradox (Einstein, Podolsky, Rosen, 1935) on the existence of elements of
physical reality, or in EPR words: “If, without in any way disturbing a
system, we can predict with certainty (i.e., with probability equal to unity)
the value of a physical quantity, then there exists an element of physical
reality corresponding to this physical quantity.” Another famous paradox
is that of Schr¨dinger’s cat which is related to the fundamental quantum
o
property of entanglement and the way we understand and detect it. What
one should emphasize is that all these delicate points are the sourse of many
interesting experiments (such as the so-called “teleportation” of quantum
states) pushing up the technology.
Here, we present eight elementary topics in nonrelativistic quantum me-
chanics from a course in Spanish (“castellano”) on quantum mechanics that
I taught in the Institute of Physics, University of Guanajuato (IFUG), Leń,
o
Mexico, during January-June semester of 1998. The responsability of the
idiom belongs mostly to the eight students, respectively.
Haret C. Rosu

4

0. Introducciń General
o
Los cuńtos de energ´ surgieron en 1900 como consecuencia de los trabajos
a ıa
de Max Planck (premio Nobel 1918) sobre el problema de la radiaciń del o
cuerpo negro. Los “cuantos de luz” de Planck fueron usados por Einstein
(premio Nobel 1921) para explicar el efecto fotoelectrico, pero la primera
“cuantificaciń” de una cantidad que tiene las unidades de una acciń (el
o o
momento angular) se debe a Niels Bohr (premio Nobel 1922). Eso abri´ o
el camino de la universalidad de los cuńtos ya qu´ la acciń es la funciń
a e o o
basica para describir cualquier tipo de movimiento. Ań as´ s´lo los aõs
u ı, o n
veinte se cons´ ıderan como el inicio del formalismo cuńtico que levant´ a
a o
la mecńica cuńtica al nivel de teor´ fundamental del universo y una de
a a ıa
las m´s excitosas en cuanto a la tecnologia. En verdad, es muy proba-
a
ble que muchos de los misterios cosmol´gicos estń por ejemplo detr´s de
o a a
las diferentes maneras de cuantificar el campo gravitacional y tales avances
pueden contribuir al entendimiento de los origines del universo. Por otro
lado, el aspecto informatico de la mecńica cuńtica, que no se aprovech´
a a o
en el pasado, se est´ desarrollando de una manera muy activa en los ulti-
a
mos aõs con el proposito de investigar la posibilidad de la construcciń de
n o
las llamadas “computadoras cuńticas”. En la parte filos´fica cabe men-
a o
cionar que en la mecńica cuńtica hay paradojas famosas que todav´ se
a a ıa
mantienen en polemica y que reflejan las dificultades de la logica que im-
pone la manera de pensar cuńtica (y/o probabilistica). Una de las m´s
a a
celebres es la de Einstein (que nunca acepto por completo la MC), Podolsky
y Rosen (EPR, 1935) sobre si hay o no “elementos verdaderos de la realidad
f´
ısica” (segń Einstein la MC prohibe la existencia independiente del acto
u
de mediciń de los sistemas f´
o ısicos). Otra de igual celebridad es la del “gato
de Schr¨dinger”. Lo que se debe subrayar es que todos estos puntos te´ricos
o o
delicados generan experimentos muy interesantes (como son por ejemplo los
de la llamada “teletransportaciń” de estados cuńticos) que imp´lsan a la
o a u
tecnologia. Lo que sigue son algunos temas introductivos en la mecńica a
cuńtica norelativista que sirvieron como base para el curso de maestr´ de
a ıa
mecńica cuńtica I en el IFUG durante el semestre Enero-Junio de 1998.
a a
Este curso fue impartido por mi a los estudiantes enlistados, los cuales se
encargaron de los temas correspondientes. La responsabilidad del idioma
pertenece en gran parte a cada uno de los estudiantes.
Haret C. Rosu

5

1. LOS POSTULADOS DE LA MC
Los siguientes 6 postulados se pueden considerar como la base de la teor´ y los experimentos de
ıa
la mecńica cuńtica.
a a

P1.- A cualquier cantidad f´ ˆ
ısica L le corresponde un operador Hermitiano L.

P2.- A cualquier estado (f´
ısico) estacionario de un sistema f´
ısico le corresponde una funciń de
o
onda normalizada ψ ( ψ 2 = 1).

P3.- La cantidad f´ ˆ
ısica L puede tomar solo los valores propios del operador L.

P4.- Lo que se mide es siempre el valor promedio L de la cantidad L en el estado ψ, la cual en
teor´ es el elemento de matriz diagonal
ıa
< f | L | f >= L.
ˆ

P5.- Los elementos de matriz de los operadores coordenada cartesiana y momento xi y pk ,
calculados entre las funciones de onda f y g satisfacen a las ecuaciones de Hamilton de la
mecńica cl´sica en la forma:
a a
d
dt
< f | pi | g >= − < f | ∂ H | g >, dt < f | xi | g >=< f | ∂ H | g >
d
∂ xi ∂ pi

donde H es el operador Hamiltoniano.

P6.- Los operadores pi y xk tienen los siguientes conmutadores:

[pi , xk ] = −i¯ δik ,
h
[pi , pk ] = 0
[xi , xk ] = 0,
¯ = h/2π = 1.0546 × 10−27 erg.seg.
h

6

1.- La correspondencia de una cantidad f´ ısica L que tiene un an´logo cl´sico L(xi , pk ) se hace
a a
sustituyendo xi , pk por xi pk . La funciń L se supone que se puede desarrollar en serie
o
ˆ
de potencias. Si la funciń no contiene productos xk pk , el operador L es directamente
o
hermitiano.
Ejemplo:

3 3
T =( i
p2 )/2m −→ T = (
i i
p2 )/2m.

ˆ ˆ
Si L contiene productos xi pi , L no es hermitiano, en tal caso L se sustituye por Λ la parte
ˆ ˆ
hermitica de L (Λ es un operador autoadjunto).
Ejemplo:

3
w(xi , pi ) = i
pi xi −→ w = 1/2 i
( p i xi + xi pi ).

Resulta tambiń que el tiempo no es un operador sino un param´tro.
e e

ˆ
2.- (Probabilidad en el espectro discreto y continuo) Si ψn es funciń propia del operador L,
o
entonces:

ˆ
L =< n | L | n >=< n | λn | n >= λn < n | n >= δnn λn = λn .

k
Tambiń se puede demostrar que L = (λn)k .
e
o o ˆ
Si la funciń φ no es funciń propia de L se usa el desarrollo en un sistema completo de
ˆ
L, entonces:
Sean las siguientes definiciones:

ˆ
Lψn = λn ψn , φ= an ψn
n

combinando estas dos definiciones obtenemos lo siguiente:

ˆ
Lφ = λn an ψn .
n

Con las definiciones pasadas ya podremos calcular los elementos de matriz del operador L.
Entonces:

ˆ
< φ | L | φ >= n,m
a∗ an λn < m | n >=
m m
| am |2 λ m ,

lo cual nos dice que el resultado del experimento es λm con la probabilidad | am |2 .
Si el espectro es discreto: de acuerdo con el postulado 4 eso significa que | am |2 , o sea,
los coeficientes del desarrollo en un sistema completo determinan las probabilidades de
observar el valor propio λn.
Si el espectro es continuo: usando la siguiente definiciń
o

7

φ(τ ) = a(λ)ψ(τ, λ)dλ,

se calcularan los elementos de matriz para el espectro continuo

L =< φ | L | φ >
ˆ

= dτ a∗ (λ)ψ∗ (τ, λ)dλ µa(µ)ψ(τ, µ)dµ

= a∗ a(µ)µ ψ∗ (τ, λ)ψ(tau, µ)dλdµdτ

= a∗ (λ)a(µ)µδ(λ − µ)dλdµ

= a∗ (λ)a(λ)λdλ

= | a(λ) |2 λdλ.

En el caso continuo se dice que | a(λ) |2 es la densidad de probabilidad de observa el valor
de λ del espectro continuo. Tambiń vale
e

L =< φ | L | φ >.
ˆ

3.- Definiciń de la derivada con respecto a un operador:
o

ˆ
∂F (L) ˆ ˆ ˆ
F (L+ I)−F (L)
ˆ = lim →∞ .
∂L

4.- (Representaciń del momento) Cual es la forma concreta de p1 , p2 y p3 , si los argumentos
o
de las funciones de onda son coordenada cartesiana xi .
Vamos a considerar el siguiente conmutador:

2 2 2
[ p i , xi ] = p i xi − xi p i

= p i xi xi − xi p i xi + xi p i xi − xi xi p i

= ( p i xi − xi p i ) xi + xi ( p i xi − xi p i )

= [ p i , xi ] xi + xi [ p i , xi ]

= −i¯ xi − i¯ xi = −2i¯ xi .
h h h

8

En general se tiene:

n n n−1
pi xi − xi pi = −ni¯ xi
h .

Entonces para todas las funciones anal´
ıticas se tiene lo siguiente:

h ∂ψ
piψ(x) − ψ(x)pi = −i¯ ∂x .
i

Ahora sea pi φ = f (x1, x2 , x3 ) la acciń de pi sobre φ(x1 , x2 , x3 ) = 1. Entonces:
o
h ∂ψ
pi ψ = −i¯ ∂x + f1 ψ y hay relaciones analogas para x2 y x3 .
1
Del conmutador [pi , pk ] = 0 se obtiene × f = 0, por lo tanto,
fi = i F .
La forma m´s general de Pi es:
a
pi = −i¯ ∂x + ∂x , donde F es cualquier funciń. La funciń F se puede eliminar uti-
h ∂ ∂F
o o
i i
i
lizando una transformaciń unitaria U † = exp h F .
o ¯

pi = U † (−i¯ ∂x +
h ∂ ∂F
∂xi
)U
i

i −i
= exp h F (−i¯ ∂x +
¯ h ∂ ∂F
∂xi
) exp h F
¯
i

= −i¯ ∂x
h ∂
i

resultando que pi = −i¯ ∂x −→ p = −i¯ .
h ∂ h
i

5.- (C´lculo de la constante de normalizaciń) Cualquier funciń de onda ψ(x) ∈ L2 de vari-
a o o
able x se puede escribir como:

ψ(x) = δ(x − ξ)ψ(ξ)dξ

y considerar la expresiń como desarrollo de ψ en las funciones propias del operador co-
o
ordenada xδ(x − ξ) = ξ(x − ξ). Entonces, | ψ(x) |2 es la densidad de probabilidad de la
ˆ
coordenada en el estado ψ(x). De aqu´ resulta la interpretaciń de la norma
ı o

ψ(x) 2= | ψ(x) |2 dx = 1.

9

El sistema descrito por la funciń ψ(x) debe encontrarse en alg´ n lugar del eje real.
o u
Las funciones propias del operador momento son:
i
h ∂ψ
−i¯ ∂x = pi ψ, integrandola se obtiene ψ(xi ) = A exp h pi xi , x y p tienen espectro continuo
¯
i
y entonces se tiene que hacer la normalizaciń con la funciń delta.
o o
C´mo se obtiene la constante de normalizaciń?
o o
se puede obtener utilizando las siguientes transformadas de Fourier:
f (k) = g(x) exp−ikx dx, g(x) = 2π f (k) expikx dk.
1

Tambiń se obtiene de la siguiente manera:
e
Sea la funciń de onda no normalizada de la part´
o ıcula libre
ipx
φp (x) = A exp h
¯ y la f´rmula
o

∞
δ(x − x ) = 1
expik(x−x ) dx
2π −∞

se ve que

∞
φ∗ (x)φp(x)dx
−∞ p

∞ −ip x ipx
= A∗ exp h
¯ A exp h
¯ dx
−∞

∞ ix(p−p )
= | A |2 exp h
¯ dx
−∞

∞ ix(p−p )
=| A |2 ¯
h −∞
exp h
¯ x
dh
¯

= 2π¯ | A |2 δ(p − p )
h

entonces la constante de normalizaciń es:
o

A= √1 .
h
2π¯

Tambiń resulta que las funciones propias del operador momento forman un sistema com-
e
pleto (en el sentido del caso continuo) para las funciones L2 .

ipx
ψ(x) = √1 a(p) exp h
¯ dp
h
2π¯

−ipx
a(p) = √1 ψ(x) exp h
¯ dx.
h
2π¯

Estas f´rmulas establecen la conexiń entre las representaciones x y p.
o o

6.- Representaciń p: La forma explic´ de los operadores pi y xk se puede obtener de las
o ıta ˆ ˆ
relaciones de conmutaciń, pero tambiń usando los n´ cleos
o e u

10

−ipx iβx
x(p, β) = U † xU = 1
h
2π¯
exp h
¯ x exp h
¯ dx

−ipx iβx
1
= h
2π¯
exp h
¯ h ∂
(−i¯ ∂β exp h
¯ ).

La integral pasada tiene la forma siguiente:

M (λ, λ ) = U † (λ, x)MU (λ , x)dx, y usando xf =
ˆ x(x, ξ)f (ξ)dξ.

Entonces la acci´n de x sobre a(p) ∈ L2 es:
o ˆ

xa(p) =
ˆ x(p, β)a(β)dβ

−ipx iβx
1
= ( 2π¯
h
exp h
¯ h ∂
(−i¯ ∂β exp h
¯ )dx)a(β)dβ

−ipx iβx
−i ∂
= 2π
exp h
¯
∂β
exp h
¯ a(β)dxdβ

−ipx iβx
−i¯
h ∂ x
= 2π
exp h
¯
∂β
exp h
¯ a(β)d h dβ
¯

ix(β−p)
−i¯
h ∂ x
= 2π
exp h
¯
∂β
a(β)d h dβ
¯

∂a(p) ∂a(p)
= −i¯
h ∂β
δ(β − p)dβ = −i¯
h ∂p
,

ix(β−p)
donde δ(β − p) = 1
2π
exp h
¯ x
dh .
¯

El operador momento en la representaci´n p se caracteriza por el n´ cleo:
o u

p(p, β) = U † pU

−ipx iβx
1
= h
2π¯
exp h
¯ h ∂
(−i¯ ∂x ) exp h
¯ dx

−ipx iβx
= 1
h
2π¯
exp h
¯ β exp h
¯ dx = βλ(p − β)

resultando que pa(p) = pa(p).
ˆ

Lo que pasa con x y p es que aunque son hermiticos sobre todas
ˆ ˆ
f(x) ∈ L2 no son hermiticos sobre las funciones propias.
Si pa(p) = po a(p) y x = x† p = p† .
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Entonces:

11

< a | px | a > − < a | xp | a >= −i¯ < a | a >
ˆˆ ˆˆ h

po [< a | x | a > − < a | x | a >] = −i¯ < a | a >
ˆ ˆ h

po [< a | x | a > − < a | x | a >] = 0
ˆ ˆ

La parte izquierda es cero, mientras tanto la derecha esta indefinida, lo que es un con-
tradicciń.
o

7.- (Representaciones de Schr¨dinger y Heisenberg)
o
Las ecuaciones de movimiento dadas por el postulado 5 tienen varias interpretaciones, por
el hecho de que en la expresiń dt < f | L | f > uno puede considerar la dependencia del
o d ˆ
tiempo atribuida completamente a las funciones de onda o completamente a los operadores.

• Para un operador dependiente del tiempo O = O(t) tenemos:

pi = − ∂ x ,
ˆ ∂H
ˆ
xi =
ˆ ∂H
∂ pi
ˆ
i

ˆ ˆ h ∂f
[ˆ, f ] = pf − f p = −i¯ ∂ x
p ˆ i

ˆ ˆ h ∂f
[ˆ, f ] = xf − f x = −i¯ ∂ p
x ˆ i

se obtienen las ecuaciones de movimiento de Heisenberg:

−i −i
pi =
ˆ h
¯
[ˆ, H],
p xi =
ˆ h
¯
[ˆ, H].
x

• Si las funciones dependen del tiempo, todav´ se puede usar
ıa
pi = −i [pi, H], porque es consecuencia solo de las relaciones de conmutaciń y en-
ˆ h
¯
ˆ o
tonces no dependen de la representaciń.
o

−i
d
dt
< f | pi | g >=
ˆ h
¯
< f | [ˆ, H] | g >.
p

Si ahora pi y H no dependen del tiempo y teniendo en cuenta su hermiticidad se
ˆ
obtiene:

( ∂f , pig) + (pi f,
∂t
ˆ ˆ ∂g
∂t
)

−i
= h
¯
ˆ ˆ
(f, pi Hg) + i
h
¯
ˆˆ
(f, H pi g)

−i
= h
¯
p ˆ i ˆ
(ˆf, Hg) + h (Hf, pi g)
¯
ˆ

( ∂f +
∂t
i ˆ
h
¯
Hf, pig)
ˆ + (pi f,
ˆ ∂g
∂t
− i ˆ
h
¯
Hg) =0

La ultima relaciń se cumple para cualquier pareja de funciones f (x) y g(x) al mo-
´ o
mento inicial si cada una satisface la ecuaciń
o

12

i¯ ∂ψ = Hψ.
h ∂t
Esta es la ecuaciń de Schr¨dinger y la descripciń del sistema por operadores
o o o
independientes del tiempo se llama representaciń de Schr¨dinger.
o o

En las dos representaciones la evoluciń temporal del sistema se caracteriza por el operador
o
H, el cual se obtiene de la funciń de Hamilton de la mecńica cl´sica.
o a a
Ejemplo: H de una part´ ıcula en potencial U (x1, x2 , x3 ) es:

ˆ
p2
H= 2m
+ U (x1, x2 , x3 ), y en la representaciń x es:
o

2
H = − 2m
h
¯
+ U (x1, x2 , x3 ).

8.- El postulado 5 vale en las representaciones de Schr¨dinger y de Heisenberg. Por eso, el
o
valor promedio de cualquier observable coincide en las dos representaciones, y entonces,
hay una transformada unitaria que pasa de una representaciń a otra. Tal transformaciń
o o
−iHt
ˆ
es del tipo s† = exp h . Para pasar a la representaciń de Schr¨dinger hay que usar
ˆ ¯ o o
ˆ
la transformada de Heisenberg ψ = s† f con f y L, y para pasar a la representaciń de
ˆ o
a o o ˆ ˆs
Heisenberg se usar´ la transformaciń de Schr¨dinger Λ = s† Lˆ con ψ y Λ. Ahora se
ˆ ˆ
o o o ˆ
obtendr´ la ecuaciń de Schr¨dinger: como en la transformaciń ψ = s† f la funciń f no
a o
depende del tiempo, derivaremos la transformaciń con respecto al tiempo obteniendose
o
lo sig.:

−iHt −iHt
∂S † −i −i ˆ −i
∂ψ
∂t
= ∂t
f = ∂
∂t
(exp h
¯ )f = h
¯
H exp h
¯ f= h
¯
H s† f = h
¯
Hψ.

por lo tanto, tenemos:

Hψ − i¯ ∂ψ .
h ∂t

Enseguida calcularemos la ecuaciń de Heisenberg: poniendo la transformaciń de Schr¨dinger
o o o
ˆˆ ˆ
de la siguiente manera sΛs† = L y derivandola con respecto al tiempo se obtiene la ecuaciń
ˆ o
de Heisenberg

ˆ ˆ
† iHt −iHt
ˆ
∂s ˆ ˆ ˆˆ
∂L
∂t
= ˆ
∂t
Λs† ˆˆ s
+ sΛ ∂∂t = i
h
¯
H exp h
¯ Λs† − i ˆ
h
¯
sλ exp
ˆ h
¯ H

= i
h
¯
sˆ ˆ
(HˆΛs† ˆˆ ˆ
− sΛs† H) = i
h
¯
ˆ
(H L − LH) =
ˆ i
h
¯
ˆ
[H, L].

Por lo tanto,tenemos:

ˆ
∂L i ˆ
∂t
= h
¯
[H, L].

Tambiń la ecuaciń de Heisenberg se puede escribir de la sig. manera:
e o

13

ˆ ˆ ˆ
∂L
∂t
= i
h
¯
s[H, Λ]s† .
ˆ

ˆ
A L se le conoce como la integral de movimiento si d
dt
< ψ | L | ψ >= 0 y esta caracteri-
ˆ
zada por los siguentes conmutadores:

ˆ
[H, L] = 0, ˆ
[H, Λ] = 0.

9.- Los estados de un sistema descrito por las funciones propias de H se llaman estados esta-
cionarios del sistema, y al conjunto de valores propios correspondientes se les llaman espec-
tro de energ´ (espectro energ´tico) del sistema. En tal caso la ecuaciń de Schr¨dinger es :
ıa e o o

i¯ ∂ψn = En ψn = Hψn .
h ∂t

−iEn t
Y su soluciń es:
o ψn (x, t) = exp h
¯ φn (x).

• La probabilidad es la siguiente:

−iEn t
δ(x) =| ψn (x, t) |2 =| exp h
¯ φn (x) |2
iEn t −iEn t
= exp h
¯ exp h
¯ | φn (x) |2 =| φn (x) |2 .

Resultando que la probabilidad es constante en el tiempo.

• En los estados estacionarios, el valor promedio de cualquier conmutador de tipo
ˆ ˆ
[H, A] es cero, donde A es cualquier operador:

ˆ ˆ ˆ ˆ
< n | H A − AH | n >=< n | H A | n > − < n | AH | n >

=< n | En A | n > − < n | AEn | n >
ˆ ˆ

= En < n | A | n > −En < n | A | n >= 0.
ˆ ˆ

• Teorema del virial en mecńica cuńtica.- Si H es el operador Hamiltoniano de una
a a
part´
ıcula en un campo U (r) y usando
3
A = 1/2 i=1 (pixi − xi pi ) se obtiene lo siguiente:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

< ψ | [A, H] | ψ >= 0 =< ψ | AH − H A | ψ >
ˆ ˆ ˆ

3
= i=1
< ψ | p i xi H − H p i xi | ψ >
ˆ ˆ ˆ ˆ

3
= i=1
< ψ | [H, xi ]pi + xi [H, pi ] | ψ >.
ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ h ˆ
usando varias veces los conmutadores y pi = −i¯ ∆, H = T +U (r), se tiene entonces:

14

< ψ | [A, H] | ψ >= 0
ˆ

= −i¯ (2 < ψ | T | ψ > − < ψ | r ·
h U (r) | ψ >).

Que es el teorema del virial. Si el potencial es U (r) = Uo r n , entonces tenemos el
teorema del virial como en mecńica cl´sica, s´lo que para valores promedios
a a o

n
T = 2
U.

2 −i¯
h
• Para un Hamiltoniano H = − 2m
h
¯
+ U (r) y [r, H] = m
p, y calculando los ele-
mentos de matriz se tiene:

(Ek − En ) < n | r | k >= i¯
m
h
< n | p | k >.
ˆ

10.- (Densidad de corriente de probabilidad) La siguiente integral :

| ψn (x) |2 dx = 1,

es la normalizaciń de una funciń propia de un espectro discreto en la representaciń de
o o o
coordenada, y ocurre como una condiciń de movimiento en una regiń finita. Por eso, los
o o
estados del espectro discreto se llaman estados ligados.
Para las funciones propias del espectro continuo ψλ (x) no se puede dar de manera directa
una interpretaciń de probabilidad.
o
Supongamos una funciń dada φ ∈ L2 , la cual la escribimos como combinaciń lineal de
o o
funciones propias en el continuo:

φ= a(λ)ψλ (x)dx.

Se dice que φ corresponde a un movimiento infinito.
En muchos casos, la funciń a(λ) es diferente de cero solo en una vecindad de un punto
o
λ = λo . En este caso φ se le conoce como paquete de onda(s).
Vamos a calcular el cambio en el tiempo de la probabilidad de encontrar el sistema en el
volumen Ω.

P = | ψ(x, t) |2 dx = ψ∗ (x, t)ψ(x, t)dx.
Ω Ω

Derivando la integral con respecto a el tiempo tenemos:

∗
dP
dt
= (ψ ∂ψ + ψ∗ ∂ψ )dx.
∂t ∂t
Ω

Utilizando la ecuaciń de Schr¨dinger del lado derecho de la integral se tiene lo siguiente:
o o

dP
dt
= i
h
¯
(ψHψ∗ − ψ∗ Hψ)dx.
ˆ ˆ
Ω

15

Usando la identidad f g−g f = div[(f )grad(g)−(g)grad(f )] y la ecuaciń de Schr¨dinger
o o
de la forma siguiente:

ˆ h2
¯
Hψ = 2m
ψ.

Sustituyendo lo anterior en la integral se obtiene:

2 2
dP
dt
= i
h
¯
h
¯
[ψ(− 2m ψ∗ ) − ψ∗ ( −¯
h
2m
ψ)]dx
Ω

=− i¯
h
(ψ ψ∗ − ψ∗ ψ)dx
Ω 2m

=− Ω
div 2m (ψ ψ∗ − ψ∗ ψ)dx.
i¯
h

Usando el teorema de la divergencia para transformar la integral de volumen en una de
superficie, entonces tenemos lo siguiente:

dP
dt
=− i¯
h
2m
(ψ ψ∗ − ψ∗ ψ)dx.

A la cantidad J(ψ) = 2m (ψ ψ∗ − ψ∗ ψ) se le conoce como densidad de corriente de
i¯
h

probabilidad y de inmediato se obtiene una ecuaciń de continuidad,
o

dρ
dt
+ div(J ) = 0.

• Si ψ(x) = AR(x), donde R(x) es funciń real, entonces: J(ψ) = 0.
o

ipx
• Para las funciones propias del impulso ψ(x) = 1
(2π¯ )3 /2
h
exp h
¯ se obtiene:

ipx −ipx
i¯
h 1 ip
J(ψ) = (
2m (2π¯ )3 /2
h
exp h
¯ ( h(2π¯ )3 /2 exp
¯ h
h
¯ )

−ipx i¯ px
h
ip
−( (2π¯ )3 /2 exp
1
h
h
¯
h (2π¯ )3 /2
¯ h
exp h
¯ ))

i¯
h 2ip p
= 2m
(− h(2π¯ )3 )
¯ h
= m(2π¯ )3
h
,

lo cual nos dice que no depende de la coordenada la densidad de probabilidad.

11.- (Operador de transporte espacial) Si H es invariante ante translaciones de cualquier vector
a,

H(r + a) = H (r).

16

Entonces, hay un T (a) unitario T †(a)H(r)T (a) = H(r + a).
Por la conmutaciń de las translaciones
o

T (a)T (b) = T (b)T (a) = T (a + b),

ˆ p
ˆ
resulta que T tiene la forma T = expika , donde, ˆ =
k h
¯
.
En el caso infinitesimal:

T (δa)H T (δa) ≈ (I + ikδa)H(I − ikδa),
ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ
H(r) + i[K, H]δa = H(r) + ( H)δa.

Tambiń [ˆ, H] = 0, donde p es una integral de movimiento.
e p ˆ El sistema tiene fun-
ipr
1
ciones de onda de la forma ψ(p, r) = (2π¯ )3 /2
h
exp h
¯ y la transformada unitaria hace
ipa
que exp h
¯ ψ(r) = ψ(r + a).
−ipa
El operador de transporte espacial T † = exp h
¯ es an´logo al
a
−iH t
ˆ
s†
ˆ = exp h
¯ el operador de transporte temporal.

12.- Ejemplo: Si H es invariante con respecto a una traslaciń discreta (por ejemplo en una
o
red cristalina) H(r + a) = H(r) donde a = i
ai ni , ni ∈ N y ai son los vectores b´ricos.
a
Entonces:

H(r)ψ(r) = Eψ(r),

ˆ
H(r + a)ψ(r + a) = Eψ(r + a) = H(r)ψ(r + a).

Resultando que ψ(r) y ψ(r + a) son funciones de onda para el mismo valor propio de H.
La relaciń entre ψ(r) y ψ(r + a) se puede buscar en la forma ψ(r + a) = c(a)ψ(r) donde
o ˆ
c(a) es una matriz gxg (g es el grado de degeneraciń del nivel E). Dos matrices tipo c,
ˆ o
c(a) y c(b) conmutan y entonces son diagonalizables en el mismo tiempo.
ˆ ˆ
Adem´s para los elementos diagonales hay de tipo
a
cii (a)cii (b) = cii (a + b), donde i=1,2,....,,g. La soluciń de esta ecuaciń es del tipo
o o
cii (a) = expiki a resulta que ψk (r) = Uk (r) expika donde k es un vector real cualquiera, y
la funciń Uk (r) es periodica con periodo a, entonces: Uk (r + a) = Uk (r).
o
ˆ ˆ
La aseveraciń de que las funciones propias de un H periodico cristalino H(r + a) = H(r)
o ˆ
se pueden escribir ψk (r) = Uk (r) exp ika con Uk (r +a) = Uk (r) se llama teorema de Bloch.
En el caso continuo, Uk debe ser constante, porque la constante es la unica funciń peri-
´ o
odica para cualquier a.
El vector p = ¯ k se llama cuasi-impulso (analog´ con el caso continuo). El vector k no
h ıa
esta determinado de manera univoca, porque se le puede juntar cualquier vector g para el
cual ga = 2πn donde n ∈ N.
3
El vector g se puede escribir g = b m donde mi son n´ meros enteros y bi estan
i=1 i i
u
dados por

17

aj ×ak
ˆ
bi = 2π a
i (aj ×ak )

si i = j = k son los vectores b´ricos de la red cristalina.
a

Citas:
1. Acetatos del Prof. H. Rosu.
2. E. Farhi, J. Goldstone, S. Gutmann, “How probability arises in quantum mechanics”,
Annals of Physics 192, 368-382 (1989)
3. N.K. Tyagi en Am. J. Phys. 31, 624 (1963) da una demostraciń muy corta del principio de
o
incertidumbre de Heisenberg, que dice que la mediciń simultńea de dos operadores hermitianos
o a
que no conmutan produce una incertidumbre relacionada con el valor del conmutador.
Notas:
1. Para “la creaciń de la MC...”, Werner Heisenberg ha sido galardonado con el premio Nobel
o
en 1932 (y lo recibi´ en 1933). El art´
o ıculo “Zur Quantenmechanik. II”, Zf. f. Physik 35, 557-615
(1926) (recibido el 16 de Noviembre de 1925) de M. Born, W. Heisenberg y P. Jordan, se le conoce
como “el trabajo de las tres gentes” y est´ considerado como el que abri´ de verdad los grandes
a o
horizontes de la MC.
2. Para “la interpretaciń estadistica de la funciń de onda” Max Born recibi´ el premio Nobel
o o o
en 1954.

18

Problemas

Problema 1.1:

Considerar dos operadores A y B los cuales por hipot´sis, conmutan. Entonces se derivara la
e
relaciń:
o

expA expB = expA+B exp1/2[A,B] , (f´rmula de Glauber).
o

Definiremos un operador F(t), una funciń de variable real t, por:
o
F (t) = expAt expBt .
tenemos:
dF
dt
= A expAt expBt + expAt B expBt = (A + expAt B exp−At )F (t).

Ahora aplicando la f´rmula [A, F (B)] = [A, B]F (B), tenemos que
o
[expAt , B] = t[A.B] expAt , por lo tanto: expAt B = B expAt +t[A, B] expAt
multiplicando ambos lados de la ecuaciń pasada por exp−At y sustituyendo en la primera
o
ecuaciń, obtenemos:
o
dF
dt
= (A + B + t[A, B])F (t).

Los operadores A y B y [A,B] conmutan por hipot´sis. Por lo tanto, podemos integrar la
e
ecuaciń diferancial como si A + B y [A, B] fueran n´ meros.
o u
Entonces tenemos:
2
F (t) = F (0) exp(A+B)t+1/2[A,B]t .

Poniendo t = 0, se ve que F (0) = 1, y :
2
F (t) = exp(A+B)t+1/2[A,B]t .

Entonces poniendo t = 1, obtenemos el resultado deseado.

Problema 1.2:

Se calcular´ el conmutador [X, Dx ]. Para hacerlo, tomaremos una funciń arbitraria ψ(r):
a o

[X, Dx ]ψ(r) = (x ∂x − ∂x x)ψ(r) = x ∂x ψ(r) − ∂x [xψ(r)]
∂ ∂ ∂ ∂

= x ∂x ψ(r) − ψ(r) − x ∂x ψ(r) = −ψ(r).
∂ ∂

Entonces si es valido para toda ψ(r), se puede deducir que:

[X, Dx ] = −1.

Problema 1.3:

Se probar´ que la traza es invariante ante un cambio de base ortonormal discreta.
a

La suma de los elementos de la diagonal de la matriz la cual representa un operador A en
una base arbitraria no depende de la base.
Se derivara esta propiedad para el caso del cambio de una base ortonormal dicreta [| ui >] a otra
base ortonormal dicreta [| tk >]. Tenemos:

19

2. POTENCIALES BARRERAS y POZOS
Comportamiento de una Funcion de Onda Esta-
cionaria ψ(x)
Regiones de Energ´ Potencial Constante
ıa
En el caso de un potencial cuadrado, V (x) es una funciń constante V (x) = V en cierta regiń
o o
del espacio. En tal regiń, la ecuaciń de Schr¨dinger puede ser escrita:
o o o

d2 2m
ψ(x) + 2 (E − V )ψ(x) = 0 (1)
dx2 h
¯

Distinguiremos entre varios casos:
(i) E > V
Introduzcamos la constante positiva k, definida por

2m(E − V )
k= (2)
h
¯

La soluciń de la ecuaciń (1) puede ser entonces escrita:
o o

ψ(x) = Aeikx + A e−ikx (3)

donde A y A son constantes complejas.
(ii) E < V
Esta condiciń corresponde a regiones del espacio las cuales estar´
o ıan prohibidas para la
part´
ıcula por las leyes de la mecńica cl´sica. En este caso, introducimos la constante positiva q
a a
definida por:

2m(V − E)
q= (4)
h
¯
y la soluciń de (1) puede ser escrita:
o

ψ(x) = Beqx + B e−qx (5)

donde B y B son constantes complejas.
(iii) E = V
En este caso especial, ψ(x) es una funciń lineal de x.
o

Comportamiento de ψ(x) en una discontinuidad de energ´
ıa
potencial.
Podr´ pensarse que en el punto x = x1 , donde el potencial V (x) es discontinuo, la funciń
ıa o
de onda ψ(x) se comportar´ extra˜ amente,llegando a ser por s´ misma discontinua, por ejemplo.
ıa n ı
Este no es el caso: ψ(x) y dψ son continuas, y es s´lo la segunda derivada la que es discontinua
dx
o
en x = x1

21

Visiń general del c´lculo
o a
El procedimiento para determinar el estado estacionario en un “potencial cuadrado” es por lo
tanto el siguiente: en todas las regiones donde V (x) es constante, escribimos ψ(x) en cualquiera de
las dos formas (3) o (5) seg´ n sea aplicable; entonces pegamos estas funciones por requerimientos
u
de continuidad de ψ(x) y de dψ en los puntos donde V (x) es discontinuo.
dx

Examinaciń de ciertos casos simples
o
Llevemos a cabo el c´lculo cuantitativo de los estados estacionarios, hecho de acuerdo al
a
m´todo descrito arriba.
e

Potencial escalń
o
V(x)

V0

I II

0 x

Fig. 2.1

a. Caso donde E > V0; reflexiń parcial
o
Pongamos la ec. (2) como:

√
2mE
k1 = (6)
h
¯

2m(E − V0 )
k2 = (7)
h
¯
La soluciń de la ec. (1) tiene la forma de la ec. (3) en las regiones I(x < 0) y II(x > 0):
o

ψI = A1 eik1 x + A1 e−ik1 x
ψII = A2 eik2 x + A2 e−ik2 x

22

En la regiń I la ec. (1) toma la forma:
o

2mE
ψ (x) + ψ(x) = ψ (x) + k2 ψ(x) = 0
¯2
h

y en la region II:

2m
ψ (x) − [V0 − E]φ(x) = ψ (x) − q 2 ψ(x) = 0
¯2
h

ıcula incidente viniendo desde x = −∞, debemos elegir A2 = 0
Si nos limitamos al caso de una part´
y podemos determinar los radios A1 /A1 y A2 /A1 . Las condiciones de pegado entonces dan:

• ψI = ψII , en x = 0 :
A1 + A1 = A2 (8)

• ψI = ψII , en x = 0 :
A1 ik1 − A1 ik1 = A2 ik2 (9)

Sustituyendo A1 y A1 de (8) en (9):

A2 (k1 − k2 )
A1 = (10)
2k1

A2 (k1 + k2 )
A1 = (11)
2k1

La igualaciń de la constante A2 en (10) y (11) resulta:
o

A1 k1 − k2
= , (12)
A1 k1 + k2

y un despeje en (11) nos da:
A2 2k1
= (13)
A1 k1 + k2
ψ(x) es la superposiciń de dos ondas. La primera (el t´rmino en A1 ) corresponde a una
o e
part´ıcula incidente, con momento p = ¯ k1 , propagńdose de izquierda a derecha. La segunda
h a
(el t´rmino en A1 ) corresponde a una part´
e ıcula reflejada, con momento −¯ k1 , propagńdose en
h a
la direcciń opuesta. Ya que hemos elegido A2 = 0, ψII (x) consiste de una sola onda, la cual
o
est´ asociada con una part´
a ıcula transmitida. (En la siguiente p´gina se muestra c´mo es posible,
a o
usando el concepto de una corriente de probabilidad, definir el coeficiente de transmisiń T y el
o
coeficiente de reflexiń R del potencial escalń). Estos coeficientes dan la probabilidad de que la
o o
part´ıcula, llegando de x = −∞, pase el potencial escalń en x = 0 o se regrese. As´ encontramos:
o ı

A1 2
R=| | (14)
A1

y, para T :
k2 A2 2
T = | | (15)
k1 A1

23

Tomando en cuenta a (12) y (13), tenemos:

4k1 k2
R = 1− (16)
(k1 + k2 )2
4k1 k2
T = (17)
(k1 + k2 )2

Es fćil verificar que R + T = 1: es cierto que la part´
a ıcula ser´ transmitida o reflejada. Con-
a
trariamente a las predicciones de la mecńica cl´sica, la part´
a a ıcula incidente tiene una probabilidad
no nula de regresarse.
Finalmente es fćil verificar, usando (6) y (7) y (17), que, si E
a V0 , T 1: cuando la
energ´ de la part´
ıa ıcula es suficientemente grande comparada con la altura del potencial escalń,o
la part´ıcula salva este escalń como si no existiera.
o

Considerando la soluciń en la regiń I:
o o


i¯
h ∗
j=− (φ φ−φ φ∗ ) (18)
2m
con A1 eik1 x y su conjugado A∗ e−ik1 x :
1

i¯
h
j = − [(A∗ e−ik1 x )(A1 ik1 eik1 x ) − (A1 eik1 x )(−A∗ ik1 e−ik1 x )]
1 1
2m

h
¯ k1
j = |A1 |2
m

Ahora con A1 e−ik1 x y su conjugado A∗ eik1 x resulta:
1

h
¯ k1
j=− |A1 |2
m

Deseamos en seguida verificar la proporciń de corriente que se refleja con respecto a la
o
corriente que incide (m´s precisamente, queremos verificar la probabilidad de que la part´
a ıcula se
regrese):

|j(φ−)| | − hk1 |A1 |2 |
¯
A
R= = hkm = | 1 |2 (19)
|j(φ+ )| ¯ 1
| m |A1 | 2| A1

En forma similar, la proporciń de lo que se transmite con respecto a lo que incide (o sea
o
la probabilidad de que la part´
ıcula se transmita) es, tomando ahora en cuenta la soluciń de la
o
regiń II:
o

| hm2 |A2 |2 |
¯k
k2 A2 2
T = = | | (20)
| hm1 |A1 |2 |
¯k k1 A1

a. Caso donde E < V0 ; reflexiń total
o

24

En este caso tenemos:
√
2mE
k1 = (21)
h
¯

2m(V0 − E)
q2 = (22)
h
¯
o o 2
En la regiń I(x < 0), la soluciń de la ec. (1) [dada como ψ(x) + k1 ψ(x) = 0] tiene la forma de
la ec. (3):

ψI = A1 eik1 x + A1 e−ik1 x (23)
Y, en la regiń II(x > 0), la misma ec. (1) [ahora dada como ψ(x) − q2 ψ(x) = 0] tiene la forma
o 2

de la ec. (5):
ψII = B2 eq2 x + B2e−q2 x (24)
Para que la soluciń permanezca limitada cuando x → +∞, es necesario que:
o

B2 = 0 (25)

Las condiciones de pegado en x = 0 dan en este caso:

• ψI = ψII , en x = 0 :
A1 + A1 = B2 (26)

• ψI = ψII , en x = 0 :
A1 ik1 − A1 ik1 = −B2 q2 (27)

Sustituyendo A1 y A1 de (26) en (27):

B2 (ik1 + q2 )
A1 = (28)
2ik1

B2 (ik1 − q2 )
A1 = (29)
2ik1
La igualaciń de la constante B2 en (28) y (29) resulta:
o

A1 ik1 + q2 k1 − iq2
= = , (30)
A1 ik1 − q2 k1 + iq2
y un despeje en (29) nos da:
B2 2ik1 2k1
= = (31)
A1 ik1 − q2 k1 − iq2
El coeficiente de reflexiń R es entonces:
o
A1 k1 − iq2 2 k 2 + q2
2
R=| |2 = | | = 12 + q2
=1 (32)
A1 k1 + iq2 k1 2

Como en la mecńica cl´sica, la part´
a a ıcula es siempre reflejada (reflexiń total). Sin embargo, hay
o
una diferencia importante: debido a la existencia de una onda evanescente e−q2 x , la part´ ıcula
tiene una probabilidad no nula de estar presente en la regiń del espacio la cual, cl´sicamente,
o a
le ser´ prohibida. Esta probabilidad decrece exponencialmente con x y llega a ser despreciable
ıa
cuando x es m´s grande que el “rango” 1/q2 de la onda evanescente. Notemos tambiń que el
a e
coeficiente A1 /A1 es complejo. Un cierto cambio de fase aparece a causa de la reflexiń, el cual,
o
f´
ısicamente, es debido al hecho de que la part´ıcula es retardada cuando penetra la regiń x > 0.
o
No hay analog´ en la mecńica cl´sica.
ıa a a

25

Potencial Barrera

V(x)

V0

I II III

0 l x

Fig. 2.2

a. Caso donde E > V0; resonancias
Pongamos aqui la ec. (2) como:
√
2mE
k1 = (33)
h
¯

2m(E − V0 )
k2 = (34)
h
¯
La soluci´n de la ec. (1) tiene la forma de la ec. (3) en las regiones I(x < 0), II(0 < x < a)
o
y III(x > a) :

ψII = A2 eik2 x + A2 e−ik2 x
ψIII = A3 eik1 x + A3 e−ik1 x

ıcula incidente viniendo desde x = −∞, debemos elegir
Si nos limitamos al caso de una part´
A3 = 0.

• ψI = ψII , en x = 0 :
A1 + A1 = A2 + A2 (35)

• ψI = ψII , en x = 0 :

A1 ik1 − A1 ik1 = A2 ik2 − A2 ik2 (36)

26

• ψII = ψIII , enx = a :

A2 eik2 a + A2 e−ik2 a = A3 eik1 a (37)

• ψII = ψIII , en x = a :

A2 ik2 eik2 a − A2 ik2 e−ik2 a = A3 ik1 eik1 a (38)

Las condiciones de continuidad en x = a dan entonces a A2 y A2 en funciń de A3 , y aquellas
o
en x = 0 dan a A1 y A1 en funciń de A2 y A2 (y, consecuentemente, en funciń de A3 ). Este
o o
proceso es mostrado enseguida:
Sustituyendo A2 de la ec. (37) en (38):

A3 eik1 a (k2 + k1 )
A2 = (39)
2k2 eik2 a


A3 eik1 a (k2 − k1 )
A2 = (40)
2k2 e−ik2 a


A2 (k2 − k1 ) − A2 (k2 + k1
A1 = (41)
−2k1


A2 (k2 + k1 ) − A2 (k2 − k1
A1 = (42)
2k1

Ahora, sustituyendo en (41) las ecuaciones (39) y (40):

(k2 − k1 )
2 2
A1 = i (sin k2 a)eik1 a A3 (43)
2k1 k2

Y, finalmente, sustituyendo en (42) las ecuaciones (39) y (40):

2 2
k1 + k2
A1 = [cos k2 a − i sin k2 a]eik1 a A3 (44)
2k1 k2

A1 /A1 y A3 /A1 [relaciones que salen de igualar las ecuaciones (43) y (44), y del despeje de la ec.
(44), respectivamente] nos capacita para calcular el coeficiente de reflecciń R y el de transmisiń
o o
T de la barrera, los cuales aqu´ son iguales a:
ı

(k1 − k2 )2 sin2 k2 a
2 2
R = |A1 /A1 |2 = 2 2 2 − k2 )2 sin2 k a
, (45)
4k1 k2 + (k1 2 2

2 2
4k1 k2
T = |A3 /A1 |2 = , (46)
2 2
4k1 k2 + (k1 − k2 )2 sin2 k2 a
2 2

Entonces es fćil de verificar que R + T = 1.
a

27

b. Caso donde E < V0 ; efecto tunel
Ahora tendr´
ıamos a las ecuaciones (2) y (4) dispuestas:
√
2mE
k1 = (47)
h
¯

2m(V0 − E)
q2 = (48)
h
¯

La soluciń de la ec. (1) tiene la forma de la ec. (3) en las regiones I(x < 0) y III(x > a) y
o
la forma de la ec. (5) en la regiń II(0 < x < a):
o

ψII = B2 eq2 x + B2 e−q2 x
ψIII = A3 eik1 x + A3 e−ik1 x

Las condiciones de pegado en x = 0 y x = a nos capacita para calcular el coeficiente de
transmisiń de la barrera. De hecho, no es necesario realizar otra vez el c´lculo: todo lo que
o a
debemos hacer es sustituir, en la ecuaciń obtenida en el primer c aso de esta misma secciń, k2
o o
por −iq2 .

Estados Ligados; Pozo de Potencial
a. Pozo de profundidad finita

V (x)

V0

a x

Fig. 2.3: Pozo finito

28

En esta parte nos limitaremos s´lo a tratar el caso 0 < E < V0 (el caso E > V0 es exactament
o
igual al calculado en la secciń precedente, “barrera de potencial”.
o
Para las regiones exteriores I (x < 0) y III (x > a) usamos la ec. (4):

2m(V0 − E)
q= (49)
h
¯
Para la regiń central II (0 < x < a) usamos la ec. (2):
o

2m(E)
k= (50)
h
¯
La soluciń de la ec. (1) tiene la forma de la ec. (5) en las regiones exteriores y la forma de
o
la ec. (3) en la regiń central:
o

ψI = B1 eqx + B1 e−qx
ψII = A2 eikx + A2 e−ikx
ψIII = B3 eqx + B3 e−qx

En la regiń (0 < x < a) la ec. (1) toma la forma:
o

2mE
ψ(x) + ψ(x) = ψ(x) + k2 ψ(x) = 0 (51)
¯2
h

y en las regiones exteriores:

2m
ψ(x) − [V0 − E]φ(x) = ψ(x) − q 2 ψ(x) = 0 (52)
¯2
h

Ya que ψ debe ser limitada en la regiń I, debemos tener:
o

B1 = 0 (53)

Las condiciones de pegado dan:
ψI = ψII , en x = 0 :
B1 = A2 + A2 (54)
ψI = ψII , en x = 0 :
B1 q = A2 ik − A2 ik (55)
ψII = ψIII , en x = a :

A2 eika + A2 e−ika = B3 eqa + B3 e−qa (56)

ψII = ψIII , en x = a :

A2 ikeika − A2 ike−ika = B3 qeqa − B3 qe−qa (57)

Sustituyendo la constante A2 y la constante A2 de la ec. (54) en la ec. (55) obtenemos,
respectivamente:

B1 (q − ik)
A2 =
−2ik
B1 (q + ik)
A2 = (58)
2ik

29

Cursocuant

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Destacado

Destacado (11)

Similar a Cursocuant

Similar a Cursocuant (20)

Último

Último (20)

Cursocuant