El documento presenta una introducción a diferentes formalismos de representación del conocimiento, incluyendo mapas conceptuales, redes semánticas, lógica de predicados y razonamiento probabilístico. Describe brevemente cada uno de estos temas y su aplicación en inteligencia artificial.

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2.4 La lógica de predicados:
2.1 Mapas conceptuales sintaxis, semántica, validez e
inferencia.
2.2 Redes semánticas. 2.5 La demostración y sus
2.3 Razonamiento métodos.
monótono. 2.6 El método de Resolución
de Robinson
2.7 Conocimiento no- 2.8 Razonamiento probabi-
monótono lístico.
y Otras lógicas. 2.9 Teorema de Bayes.
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Hemos visto,
• Definiciones, modelos y teorías a
cerca del concepto de inteligencia
humana,
que involucra
• Modelos de adquisición de
Ahora, lo que nos interesa, es la
conocimiento representación del conocimiento,
es decir,
la modelización del conocimiento,
tratando de encontrar la forma de
modelizar que sea apropiada para el
tratamiento computacional de la
inferencia.
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2. 05/11/2012
En organismos biológicos se estima que el conocimiento es
almacenado como estructuras complejas de neuronas
interconectadas.
En las computadoras, el conocimiento también se almacena
como estructuras simbólicas, pero en forma de estados
eléctricos y magnéticos
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En forma natural, el ser humano representa el conocimiento
simbólicamente: imágenes, lenguaje hablado y lenguaje escrito.
Adicionalmente, ha desarrollado otros sistemas de representación
del conocimiento: literal, numérico, estadístico, estocástico, lógico.
Además, se debe considerar que el conocimiento puedes estar incompleto.
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Orientaciones:
• Simbólica: la descripción del comportamiento inteligente se basa en
sistemas simbólicos, más o menos formalizados
• Conexionista: para describir el comportamiento inteligente se
modelizan sistemas neuronales
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Formalismos de representación
• Mapas Conceptuales
•Redes semánticas y causales (bayesianas)
• Frames (marcos) y guiones
• Lógicas
• clásica,
• multivaluadas,
• modales y
• difusa
• Reglas de producción
•con incertidumbre -MYCIN
•Redes neuronales y sistemas neurodifusos.
•Otros
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Los mapas conceptuales se empezaron a utilizar
•En la didáctica para las disciplinas científicas [Novak
,1984]
• Término concept map
•"un dispositivo esquemático que representa un
conjunto de significados conceptuales incluidos en una
estructura de proposiciones".
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Ventajas
Método que
•Ilustra gráficamente las relaciones entre la información.
• Motiva la comprensión al ayudar a los estudiantes a organizar y
mejorar sus conocimientos sobre cualquier tema.
•Ayuda a los estudiantes a aprender nueva información integrando cada
idea nueva en sus áreas existentes de conocimiento.
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Un mapa conceptual
es una técnica sencilla que permite representar el conocimiento de
forma gráfica como redes conceptuales compuestas por
• nodos que representan los conceptos, y
•enlaces, que representan las relaciones entre los conceptos
Esto es:
• En un mapa conceptual, se vinculan dos o más conceptos por palabras que
describen sus relaciones.
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Para formar un mapa conceptual
• se parte de un concepto central y
• se plasman alrededor los conceptos relacionados,
• estos, a su vez,
•se pueden presentar en relación a otros conceptos.
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Mapa conceptual. Fuente: Emilio Sáez Soro. La invención del ordenador.
http://apolo.uji.es/Emilio/IS/tema1-4.html
La noción de mapa conceptual precisa de tres niveles de análisis:
1. desde una perspectiva abstracta un mapa conceptual muestra cómo
los nodos unidos por arcos pueden verse como representaciones de
grafos, usando el término tal y como se define en matemáticas;
2. desde la perspectiva de visualización un mapa conceptual puede
verse como diagramas, usando el término para significar un dibujo
que utiliza una semiótica razonablemente bien entendida para
alguna comunidad;
3. desde la perspectiva del discurso (lenguaje) un mapa conceptual
puede verse como un modo de representar la comunicación del
conocimiento por medio de un lenguaje visual.
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Cada perspectiva tiene aspectos comunes y diferentes entre sí.
La perspectiva abstracta
Considera la estructura básica de los datos de un mapa conceptual como
un hipergrafo clasificado que consta de nodos,
• algunos de los cuales se unen,
• cada nodo tiene
• un tipo,
• un identificador único y
• un contenido (que puede ser estructurado, por ejemplo, como una
etiqueta más otros datos).
•
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Cada perspectiva tiene aspectos comunes y diferentes entre sí.
La perspectiva abstracta…
un nodo puede incluir otros nodos
• que dan al grafo una estructura de hipergrafo
• en el que un solo enlace puede conectar un conjunto de nodos.
• los enlaces pueden ser
• dirigidos (líneas entre nodos con cabezas de flecha) o
• no dirigidos (líneas entre nodos sin cabezas de flecha)
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La perspectiva de visualización
•Considera representar una relación constante entre
• los rasgos visuales como signos y
• su infraestructura semiótica,
• los atributos visuales de nodos y enlaces tienen que darse
•en una correspondencia única de uno a uno con sus tipos.
•
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Perspectiva de discurso
• Considera la estructura abstracta representada como
• un diagrama en términos visuales se entiende como una forma de
representar la comunicación del conocimiento porque está sujeto a la
interpretación por alguna comunidad de referencia.
• En esto hay un paralelismo exacto entre
• el lenguaje natural y
• el lenguaje visual
es decir,
• las estructuras abstractas gramaticales y
• sus expresiones en un medio
toman el significado sólo por las prácticas de una comunidad de
discurso.
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Perspectiva de discurso…
• Algunas comunidades pueden encontrar que de esta forma se asigna
• un uso del lenguaje de una manera
• laxa y
• asociativa,
• mientras que otras comunidades
•pueden creer que se usa con gran precisión técnica.
•De cualquier forma, siempre puede mezclarse este uso con sublenguajes
•informales y
•formales combinados con el discurso real.
•
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Ejemplo de un mapa conceptual que representa el concepto de
membrana celular.
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Generación de mapas conceptuales
Los mapas conceptuales pueden ser generados
• manualmente por un usuario que introduzca los datos,
• pero existen ya numerosas herramientas que los hacen de forma
• automática o
•semiautomática.
Programas específicos para generar mapas conceptuales son, por ejemplo,
• Knowledge Manager http://www.knowledgemanager.it/,
• MindMapper http://www.mindmapper.com/ o
• FreeMind http://freemind.sourceforge.net/wiki/index.php/Main_Page,
•http://www.youtube.com/watch?v=S70wIB0EBEo&feature=related
También existen otros métodos que generan los mapas conceptuales a partir de documentos
o hipertextos existentes.
Tarea: hacer un mapa conceptual del tema LA HIST
ÓRIA DE LA IA
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En Inteligencia Artificial, Quillian desarrolló una forma de mapa
conceptual que se denominó redes semánticas y que se usa
ampliamente para la representar el conocimiento formal.
Quillian'66
• Modelo de memoria humana para capturar la semántica de las palabras
y lograr uso del significado parecido a los humanos.
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Definición:
Representación declarativa de objetos, atributos y relaciones
Realmente
es una estructura de datos sofisticada y mucho depende del
programa que la mantiene y la usa.
Se llama red semántica porque
se usaron originalmente para representar el sentido en expresiones de
lenguaje natural.
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Redes Semánticas (R. Quillian, 1968)
Utilidad:
• representación en procesamiento de lenguaje natural
• formalismo muy limitado para dominios más complejos
• limitado para tratar con formas de inferencia sofisticada
• precursor de las frames
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Una red semántica se representa como un grafo dirigido etiquetado (en
algunos casos se exige que dicho grafo sea aciclico), constituido por:
• Nodos:
• representan conceptos (un objeto individual o una clase de objetos,
conceptos, propiedades o situaciones )
• son llamados atributos
• Arcos:
•representan relaciones binarias entre los conceptos (es_un, parte_de,
tiene, etc.)
•Herencia:
•de propiedades como mecanismo inferencial básico
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Donde:
• Los nodos: conceptos de palabras (entidades, atributos , sucesos y
estados)
• Los arcos: ligan conceptos para establecer la definición (asocian
conceptos)
•Etiquetas: identifica el tipo de relación (espacial, temporal, causal, rol
desempeñado)
• Cada palabra o nodo conceptual se consideraba la cabeza de un ``plano'‘
• que tiene su definición
• e.g., si banco tiene 3 significados, entonces
•existen 3 planos para él
• Las ligas en el plano representan su definición.
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Ejemplo
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Ejemplo
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•El error más común es usar la liga es-un para representar pertenencia a una
clase y propiedades de una clase,
• e.g. Existen propiedades que no se heredan a los miembros de la clase,
•e.g., Se pueden hacer preguntas como,
•Qué es lo que Piolín tiene? O
• Quién es una ave?
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21. 05/11/2012
Ejemplo
• "El corazón es parte
del sistema
cardiovascular"
• "Las arterias son
parte del sistema
cardiovascular"
• "Las arterias grandes
son arterias“
• "La aorta es una
arteria"
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Pueden existir apuntadores o ligas principales a:
• superclases (is-a),
•las clases de ``arriba'' están definidas en términos de conceptos generales que
se asumen que se cumplen en todas sus subclases
• modificaciones, propiedades particulares de conceptos específicos
•disjunciones, conjunciones y sujeto/objeto.
• Los apuntadores fuera del plano hacen referencia a otros objetos (y
planos) en donde se definen.
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22. 05/11/2012
Ejemplo
• "Las arterias pequeñas
•son arterias“
• "La arteria branquial
izquierda es una arteria
grande"
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Puede existir
Herencia
•es el mecanismo de razonamiento utilizado en redes semánticas
Esto es
• Herencia: cuando un concepto (nodo) hereda las propiedades de los
conceptos "más altos en la jerarquía" a través de las relaciones subclase-de e
instancia-de.
e.g.,
• un canario
• es un animal, y
• herencia de propiedades e.g.,
• un canario come
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23. 05/11/2012
Ejemplo
•“ Un vaso sanguíneo es
parte del sistema
cardiovascular”
•“Las arterias son vasos
sanguíneos”
•"Las arterias contienen
sangre rica en oxigeno“
•"Las arterias tienen pared
muscular“
•"La arteria pulmonar
izquierda es una arteria
grande"
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Ejemplo
A partir de la red semántica
podemos deducir:
•“Las arterias grandes son
ricas en oxigeno” / “Las
arterias grandes tienen
pared muscular” /
•"La aorta contiene sangre
rica en oxigeno" / "La aorta
tiene pared muscular"
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24. 05/11/2012
Excepciones en la Herencia
a) No heredar propiedades que
producen inconsistencias.
"La arteria pulmonar izquierda
contiene sangre pobre en oxigeno“
“La arteria pulmonar izquierda
tiene pared muscular y es rica en
oxigeno
La propiedad “las arterias
transportan sangre rica en
oxigeno” no debe ser heredada
(excepción) por la arteria
pulmonar izquierda.
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Excepciones en la Herencia
Una posible solución es:
- almacenar la propiedad
como información explícita
en cada concepto en el que
se cumple la propiedad,
-eliminando la propiedad
general.
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25. 05/11/2012
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• Representación de conocimiento la cual podemos analizarla desde 4
puntos:
1. Léxicamente:
nodos, enlaces y etiquetas de enlace.
2. Estructuralmente:
cada enlace conecta dos nodos.
3. Operativamente:
constructores, lectores, etc.
4. Semánticamente:
los nodos y enlaces representan entidades de aplicación especifica.
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• Varios subtipos:
– Espacio de estados,
– árboles de búsqueda,
– árboles de decisión y
– árboles de juegos
– entre otros.
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Redes Semánticas Extendidas
• Las Redes Semánticas Extendidas (A. Deliyanni y R. A. Kowalski):
– formalismo de representación alternativo a la forma clausal de la lógica con
la restricción de solo poder utilizar símbolos de predicado binarios.
• Debido a la equivalencia sintáctica entre redes semánticas extendidas y
la forma clausal de la lógica,
– las reglas de inferencia definidas para la forma clausal de la lógica pueden
ser aplicadas para manipular arcos y nodos de una red semántica
extendida.
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27. 05/11/2012
Redes Semánticas Extendidas
Un predicado binario puede ser traducido en una red en la que:
• los nodos representan términos
• el arco representa la relación (predicado)
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30. 05/11/2012
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33. 05/11/2012
• Pruebas:
• dar dos palabras y buscar intersecciones en las redes,
•para obtener la relación (cosas en común) entre ellas.
•Esta activación de todo lo que rodea a una palabra se espera que
represente la definición completa de un concepto.
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Ejemplos de Algunos Sistemas
SCHOLAR
SCHOLAR (Carbonell): una red semántica para enseñar la geografía de
sudamérica.
•Carbonell distingue entre: unidades conceptuales (clases) y unidades
de ejemplos (instancias).
•Explota el uso de etiquetas (tags). e.g., la etiqueta de irrelevancia
aumenta la distancia semántica y guía hacia los atributos más
relevantes.
•También utilizó etiquetas temporales y permitió poner
procedimientos mezclados dentro de la red (i.e., para inferir hechos).
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34. 05/11/2012
ARCH
Winston: sistema para aprender conceptos de estructuras físicas a partir
de ejemplos de estructuras descritos en forma de redes.
•El proceso de generalización permite cambiar relaciones entre objetos.
•Problema de los 3: uniformidad, i.e., no se distingue entre propiedades
generales o específicas del dominio.
•Estructuras de casos: Fillmore concentró el trabajo en lenguaje natural y
verbos.
•Oración: modalidad (captura información del tiempo, modo, aspecto)
acoplada con una proposición (verbo con casos).
05/11/2012 © Martínez 67
ARCH
Otros trabajos:
• Rumelhart et al.,
• Shank (dependencias conceptuales).
Desafortunadamente
• poca semántica (falta reconocimiento explícito de los principios fundamentales del
diseño de la representacion).
• poco entendibles,
• muy uniformes (no había distinción entre superset y member).
Shapiro: distingue conceptos relacionales (e.g., amar se representa como un nodo).
Hendrix utiliza particiones (grupos de nodos).
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35. 05/11/2012
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36. 05/11/2012
Existen sistemas de razonamiento (Monótono y No-monótono), los cuales son
utilizados para inferir conclusiones a partir de información dada, y son
representados por medio de programas lógicos.
Razonamientos monótonos: lógica proposicional, Deducción lógica y Lógica de
primer Orden.
La mayoría de los sistemas lógicos tienen una relación de consecuencia
monotónicalo que quiere decir que el agregar una fórmula a una teoría nunca se
produce una reducción de su conjunto de consecuencias. Intuitivamente, la
monotonicidad indica que el agregar nuevos conocimientos no se reduce el
conjunto de las cosas conocidas
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Razonamiento Monotóno
El razonamiento monótono, es el que utiliza contradicciones para procesar. Elimina un
hecho (factor de conocimiento) obteniendo la contradicción hasta que llega a una
conclusión final.
EJEMPLO:
“Cuando se ve a una persona tirando basura en la calle y pensamos en lo mal que se ve, la
criticamos, pero cuando realizamos el mismo acto sin pensar, caemos en una contradicción y
concluimos que somos igual a la persona que estaba tirando basura en la calle”.
El razonamiento monótono es parte de la lógica clásica y abarca temas de la misma los
cuales son: Lógica Proposicional, Deducción Lógica y Lógica de Primer Orden.
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37. 05/11/2012
Lógica proposicional
La lógica proposicional es un sistema formal diseñado para analizar ciertos
tipos de argumentos. En la lógica proposicional, las fórmulas representan
proposiciones y las constantes lógicas son operaciones sobre las fórmulas
que producen otras fórmulas de mayor complejidad. Como otros sistemas
lógicos, la lógica proposicional intenta esclarecer nuestra comprensión de la
noción de consecuencia lógica para el rango de argumentos que analiza.
05/11/2012 © Martínez 73
La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia la formación de
proposiciones complejas a partir de proposiciones simples, y la inferencia de
proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la
estructura interna de las proposiciones más simples.[1]
Una lógica proposicional es un sistema formal cuyos elementos más simples
representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas,
representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras
proposiciones de mayor complejidad.[2]
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38. 05/11/2012
Deducción lógica
La deducción lógica consiste en que a partir de unas premisas, representadas con
símbolos, y a través de unas reglas, obtenemos una conclusión (deducimos la
conclusión).
De manera general, en lógica se considera siempre un conjunto (conjunción) de
proposiciones P= { C 1 , C 2 ,..., C n } que constituirán lo que se denomina una
teoría, una base de conocimientos o un programa lógico. El objetivo
es establecer que una cierta proposición T es una consecuencia lógica (es
deducible) (es un teorema) de P lo cual denotaremos por:
C1, C2,…, Cn |= T
Se lee T es una consecuencia lógica de C1, C2,…, Cn.
Sea, P1, P2, P3,…, Pn |= QSe define como correcta, cuando no existe ninguna
interpretación que simultáneamente haga P1, P2, P3,…, Pn verdaderos y Q falso,
es decir, cuando todo modelo de las premisas, es un modelo de la conclusión.
05/11/2012 © Martínez 75
Lógica de primer orden
La lógica de primer orden, también llamada lógica de predicados o cálculo de
predicados, es un sistema formal diseñado para estudiar la inferencia en los
lenguajes de primer orden.
La lógica de primer orden tiene el poder expresivo suficiente para definir a
prácticamente todas las matemáticas.
Una lógica de primer orden (LPO) consta de un lenguaje L y un concepto de
inferencia C, con la siguiente caracterización:
El lenguaje L se describe en sus dos dimensiones fundamentales: Sintaxis y
Semántica.
Sintácticamente L consta de un alfabeto y de dos clases de expresiones bien
definidas a partir de los símbolos de este alfabeto: términos y fórmulas.
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39. 05/11/2012
Una lógica monotónica no puede manejar varios tipos de razonamiento tales
como el razonamiento por defecto (los hechos pueden ser conocidos
únicamente por la incertidumbre o carencia de evidencia de lo contrario), el
razonamiento abductivo (los hechos sólo se deducen en calidad de
explicaciones probables), el razonamiento acerca del conocimiento (la
ignorancia de un hecho debe ser retractada cuando el hecho sea conocido), y
la revisión de creencias (nuevo conocimiento puede contradecir creencias
anteriores, obligando a revisarlas). Estas limitaciones son un inconveniente
en gran cantidad de problemas que se presentan en inteligencia artificial,
que tienen un carácter no monótono.
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40. 05/11/2012
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47. 05/11/2012
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• Ejemplos
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48. 05/11/2012
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a)
b)
c)
d)
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d)
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50. 05/11/2012
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55. 05/11/2012
2.5 La demostración y sus métodos.
Qué es una demostración?
El médodo deductivo es un
proceso que parte de un
conocimiento general y arriba a
uno particular La aplicación del Ejemplo:
método deductivo nos lleva a un
conocimiento con grado de
certeza absoluta, y esta cimentado Todas las Venezolanas son bellas
en proposiciones llamadas •Conocimiento general: Dayana
SILOGISMOS Mendoza es venezolana
Luego
Dayana Mendoza es bella
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2.5 La demostración y sus métodos.
El proceso demostrativo consiste
básicamente en:
A partir de unas proposiciones
dadas que llamaremos premisas,
obtener otra proposición que
llamaremos conclusión mediante la Las demostraciones, introducen
aplicación de unas reglas lógicas. conceptos como:
• axiomas, teoremas, definiciones, ...;
además se introduce la práctica de
habilidades:
•conjeturar, realizar un contraejemplo,
inducir, deducir, justificar y generalizar.
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56. 05/11/2012
2.5 La demostración y sus métodos.
Generalmente, la enseñanza de la demostración de una implicación se
desarrolla de dos maneras:
1. Desde la lógica matemática.
conectivas lógicas, tablas de verdad, leyes de la lógica, las inferencias
lógicas y posteriormente la demostración de proposiciones d la forma
(H =>) C
2. Desde la lógica intuitiva.
Se recurre a una interpretación intuitiva de la implicación, se asume
la hipótesis H y se utiliza junto con axiomas, definiciones y teoremas
demostrados para deducir la conclusión C:
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2.5 La demostración y sus métodos.
Para demostrar que una proposición específica es un teorema en una teoría
deductiva dada procedemos así:
1. Se enuncian explícitamente los axiomas de la teoría.
2. Se fijan las reglas que validan el proceso demostrativo:
Regla de validez 1: Todo axioma puede figurar en cualquier paso de una
demostración.
Regla de validez 2: Si P=>Q aparece en una demostración y P también figura en
la misma demostración, entonces se puede concluir Q en la demostración (Modus
Ponendo Ponens)
Regla de validez 3: Si dos proposiciones son equivalentes se puede sustituir la una
por la otra en cualquier parte de una demostración. Esta regla se conoce con el
nombre de sustitución por equivalencia.
3. Efectuar una demostración de una proposición específica Q, consiste en
obtener la proposición Q como la última en el proceso demostrativo por
aplicación reiterada de las reglas de validez 1, 2 y 3.
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57. 05/11/2012
2.5 La demostración y sus métodos.
Validez
Un argumento es válido
si en todas las situaciones pensables o en todos los modelos posibles en
los que las premisas se cumplen, la conclusión también debe cumplirse.
Una argumentación en la que todos los pasos se apoyen en argumentos
válidos se llama deducción , y se dice que la conclusión está demostrada ;
una conclusión demostrada a partir de axiomas de una teoría se llama
teorema de esa teoría.
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2.5 La demostración y sus métodos.
Definiciones
Axioma o postulado:
Es una proposición primitiva que se admite como cierta. En la construcción de una teoría
axiomática se ha de partir de un conjunto de axiomas, escogidos de tal forma que dicho
conjunto ha de ser: compatible, suficiente, independiente.
“EL TODO ES MAYOR QUE LA PARTE”---- Concepto MAYOR
“DOS COSAS SON IGUALES ENTRE SI”--- Concepto IGUAL
Compatibilidad: Dos axiomas no pueden formular en ellos, ni producir en sus resultados
derivados, relaciones contradictorias.
Suficiencia: Toda proposición verdadera ha de ser deducible dentro del sistema.
Independencia: Ningún axioma ha de poderse deducir de otros.
Estableciendo el sistema de axiomas (que por cierto, no tienen porque ser "evidentes"), se
comienza a construir la teoría enunciando y demostrando los teoremas.
Teorema
Es una proposición que ha de demostrarse cierta, mediante un razonamiento lógico a partir
de los axiomas o de otros teoremas previamente justificados.
Conjunto de HIPOTESIS+DEMOSTRACION+CONCLUSION
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58. 05/11/2012
2.5 La demostración y sus métodos.
Reglas de inferencia básicas
Cualquier razonamiento deductivo que hagamos tomará la forma de un
condicional.
Cada vez que empleemos reglas válidas para construir pruebas, observaremos
que existe una conexión lógica entre las hipótesis y la conclusión,
de tal manera que estaremos obligados a aceptar la conclusión, cuando
hayamos aceptado las hipótesis.
Esto quiere decir que una inferencia requiere
una conexión lógica entre hipótesis y conclusión la cual se expresa como
"hipótesis => conclusión“.
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2.5 La demostración y sus métodos.
Métodos de demostración más comunes
•Método Directo
•Método de Contradicción
•Método de Reducción de Absurdo
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración
condicional
"Dado un conjunto de premisas en una teoría, si bajo el supuesto de que
una proposición P es verdadera y utilizando las premisas disponibles se
puede hacer una demostración de que una proposición Q es verdadera,
entonces en esa teoría puede concluirse que es verdadero”.
Es decir:
Este método se parte de que H es verdadero y por medio de las reglas de
inferencias, leyes de la lógica, axiomas, definiciones o teoremas, se
deduce que C es verdadero.
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración
condicional
Modelo:
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60. 05/11/2012
2.5 La demostración y sus métodos.
Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración
condicional
Esquema operativo general:
1. Suponemos como verdadero el antecedente P. Esta la
denominamos hipótesis auxiliar.
2. A partir de la hipótesis construimos una argumentación lógica en la
cual podemos utilizar los axiomas y teoremas demostrados para
obtener mediante la aplicación de las reglas de validez y de
inferencia, la validez de Q.
3. En este punto concluye la prueba y queda establecida la validez de .
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración
condicional
Ejemplo 1:
Demostrar utilizando el método directo que la siguiente proposición es
un teorema.
Debemos identificar con absoluta claridad cual es el antecedente y el
consecuente en la implicación principal; designémoslos por A1 y C1
respectivamente.
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración
condicional
Ejemplo:
Debemos identificar con absoluta claridad cual es el antecedente y el
consecuente en la implicación principal; designémoslos por A1 y C1
respectivamente.
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración
condicional
demostración del teorema:
m.p.p
m.p.p
3,5
2,6
1,7
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional
Observaciones
1) Puede observarse en una demostración con diferentes niveles de
subordinación como al obtenerse la conclusión buscada en dicho nivel, el
respectivo nivel se "cierra" estableciendo una implicación entre la hipótesis
supuesta para este y la conclusión lograda.
Dicha implicación pasa a ser la última proposición en el nivel
inmediatamente anterior.
2) Debe tenerse en cuenta además que las proposiciones intermedias que se
obtienen en un nivel determinado no pueden utilizarse posteriormente a la
clausura del respectivo nivel.
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración
condicional
Ejemplo 2:
Demostrar utilizando el método directo que la siguiente proposición es
un teorema.
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración
condicional
demostración del teorema:
m.p.p
m.p.p
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método de contradicción (contrarrecíproco)
El teorema del contrarrecíproco da lugar a una variante del método
directo, que se utiliza mucho en matemáticas y es conocido como
método del contrarrecíproco.
Este método consiste en:
Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica es
teorema y al intentar su demostración por el método directo no
logramos obtener la conclusión deseada.
Se procede entonces a demostrar por el método directo su
contrarrecíproca, si se consigue este objetivo entonces queda
establecida la validez de al hacer sustitución por equivalencia.
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64. 05/11/2012
2.5 La demostración y sus métodos.
Método de contradicción (contrarrecíproco)
Modelo:
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método de contradicción (contrarrecíproco)
Esquema operativo general
1. Suponemos como hipótesis auxiliar no Q.
2. Utilizando el método directo construimos una argumentación lógica
hasta concluir no P.
3. Concluimos por el método directo que es teorema.
4. La regla de validez 3 nos permite concluir que es válida mediante la
equivalencia del contra recíproco.
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65. 05/11/2012
2.5 La demostración y sus métodos.
Método de contradicción (contrarrecíproco)
Ejemplo
Demostrar utilizando el método del contrarrecíproco el siguiente teorema:
Si el producto de dos enteros es par, al menos uno de ellos es par.
Enunciado explícito: Para a y b números enteros. Si a.b es par entonces a es par o
b es par.
Enunciado contrarrecíproco: Si no es cierto que a es par o b es par entonces a.b
es impar.
Este enunciado es equivalente a : Si a es impar y b es impar entonces a.b es
impar.
Supongamos que a es impar y b es impar (Hip. aux.)
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método de contradicción (contrarrecíproco)
Demostración
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método de contradicción (contrarrecíproco)
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método de contradicción (contrarrecíproco)
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método de contradicción (contrarrecíproco)
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método de demostración por reducción al absurdo
Este método suele ser confundido con el método de contradicción.
Conceptos:
Contradicción: Designamos en esta forma, toda proposición
correspondiente a la conjunción entre una proposición y su negación.
Teoría contradictoria o inconsistente: Se dice que una teoría es
contradictoria o inconsistente, cuando en dicha teoría es posible demostrar
una contradicción.
En una teoría contradictoria podemos concluir que una proposición es
verdadera y falsa a la vez.
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68. 05/11/2012
2.5 La demostración y sus métodos.
Método de demostración por reducción al absurdo
El método de demostración por reducción al absurdo se fundamenta en la
condición de no contradicción para una teoría, básicamente la estrategia
consiste en:
• suponer explícitamente la negación de la proposición a demostrar,
• a partir de esta hipótesis se trata de generar una contradicción, esto es:
que la teoría con ese supuesto es inconsistente y, en consecuencia, tal
hipótesis es falsa,
o lo que es equivalente, que su negación es verdadera, quedando validada la
proposición inicial.
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método de demostración por reducción al absurdo
Modelo
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69. 05/11/2012
2.5 La demostración y sus métodos.
Método de demostración por reducción al absurdo
Estructura
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método de demostración por reducción al absurdo
Esquema operativo general
Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica P es teorema. Por
este método procedemos así:
1. Suponemos la negación de la tesis (no P) como hipótesis auxiliar.
2. A partir de las premisas de la teoría y de la hipótesis auxiliar se razona por el método
directo, hasta obtener como conclusión una contradicción por ejemplo, Q y no Q.
3. Por el método directo concluimos
4. El teorema anterior nos permite concluir del paso 3) la validez de P.
Nota: En la práctica, cuando se usa este método, al obtener una contradicción,
inmediatamente se valida la negación de la hipótesis supuesta dando por terminada la
prueba.
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método de demostración por reducción al absurdo
Observaciones
Observación 1: Cuando se emplea este método para la demostración de una
implicación supongamos el caso ; podemos proceder en cualquiera de las dos
formas esquemáticas siguientes:
Primera forma:
1) Supongamos no ( ) Hipótesis auxiliar. Reducción al absurdo.
2) P y no Q Equivalencia en (1). Ley de Morgan.
3) P Simplificación en (2).
4) no Q Simplificación en (2).
Con estas dos premisas se inicia la construcción de la contradicción.
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método de demostración por reducción al absurdo
Segunda forma:
Integramos los métodos directo y reducción al absurdo, así:
1) Supongamos: P Hipótesis auxiliar 1.
2) Supongamos: no Q Hipótesis auxiliar 2. Reducción al absurdo.
Con estas dos premisas se inicia la construcción de la contradicción.
Como puede observarse los procedimientos son equivalentes.
Observación 2) Al emplear este método y una vez supuesta la negación de la tesis
como hipótesis auxiliar, el objetivo es construir una contradicción cualquiera, esta
puede aparecer directamente como la conclusión de la afirmación de la tesis; pero no
es la única forma, la contradicción también puede construirse con proposiciones
derivadas dentro del proceso de la demostración. A continuación ilustramos la
situación descrita.
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método de demostración por reducción al absurdo
Segunda forma:
Integramos los métodos directo y reducción al absurdo, así:
1) Supongamos: P Hipótesis auxiliar 1.
2) Supongamos: no Q Hipótesis auxiliar 2. Reducción al absurdo.
Con estas dos premisas se inicia la construcción de la contradicción.
Como puede observarse los procedimientos son equivalentes.
Observación 2) Al emplear este método y una vez supuesta la negación de la tesis
como hipótesis auxiliar, el objetivo es construir una contradicción cualquiera, esta
puede aparecer directamente como la conclusión de la afirmación de la tesis; pero no
es la única forma, la contradicción también puede construirse con proposiciones
derivadas dentro del proceso de la demostración. A continuación ilustramos la
situación descrita.
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2.5 La demostración y sus métodos.
Método de demostración por reducción al absurdo
Ejemplo:
Utilizar el método de reducción al absurdo para obtener la conclusión a partir de las
premisas dadas.
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