Este documento explora las conexiones entre los fractales de Julia y Mandelbrot. Muestra que cada punto en el fractal de Mandelbrot corresponde a un único fractal de Julia. También sugiere que la función que genera los fractales de Julia y Mandelbrot podría ser conexa en cuatro dimensiones aunque esto no puede probarse rigurosamente. Para ilustrar esta idea, presenta varias progresiones de fractales que varían suavemente al cambiar los parámetros iniciales.

1. Conexión de fractales: Un
nuevo punto de vista
UN TRABAJO REALIZADO POR
ENRIQUE CASIELLES LAPEIRA Nº EXP
04048 2º C, PARA LA ASIGNATURA DE
METODOS MATEMATICOS I

2. El estudio de los fractales comenzó con muchos
protagonistas, pero ninguno de ellos era tan
llamativo como los conjuntos de Julia y de
Mandelbrot y la biyección que se puede establecer
entre ellos.
La fórmula para ambos conjuntos es:
Zn+1 = Zn^2 + C
Siendo el C fijo en el conjunto de Julia y siendo el
Zo fijo en el Mandelbrot e igual a 0 en el famoso
fractal de Mandelbrot (que aquí llamaremos Mo)

3. A. Douady y J.H. Hubbard demostraron
que el fractal de Mandelbrot Mo reune en
su interior a todos los puntos C a los que
corresponde un fractal de Julia conexo y
que además, el mismo Mo, era conexo.
Sin embargo, es posible avanzar aún más
en estas relaciones de conexión.

4. Tomemos un punto cualquiera del hiperespacio
complejo, es decir, puntos dados por 2 parejas de
coordenadas complejas. Estos puntos se pueden
poner en la función Julia/Mandelbrot como Zo y C, e
iterar hasta saber si el punto hace a la función
divergir o no. Sabemos ahora que ese punto estará
en un único fractal de Mandelbrot, y en un único
fractal de Julia.
Por tanto, a cada fractal de cualquier conjunto de
Mandelbrot (M) le corresponde un único fractal del
conjunto de Julia (J) en cada punto del primero.
Esto establece una biyección que desde mi punto de
vista no ha sido utilizada demasiado, aunque
ciertamente se han encontrado propiedades
interesantes, como la que asocia un número de
bulbos a un fractal de Julia según esté en el punto
común en un bulbo concreto del Mo.

5. Sabiendo que podemos encontrar un único fractal de Julia conexo para
cada punto del fractal de mandelbrot podemos usar como variables las
coordenadas de los puntos del fractal de Mandelbrot para generar
figuras fractales tridimensionales o tetradimensionales. Curiosamente,
una propiedad de la que me di cuenta era de que, al variar un punto
sobre el mandelbrot, los Julia asociados variaban suavemente, como
si realmente estuviéramos seccionando una figura conexa
tridimensional que nos diera estos fractales de Julia. Sin embargo, al
salirnos del conjunto las figuras dejaban de ser conexas, pero no
dejaban de variar suavemente. Esto último me hizo pensar lo
siguiente: que realmente la función que genera los fractales de Julia y
de Mandelbrot era conexa en las cuatro dimensiones.
Claro, de ser esto último verdad, la potencia de las propiedades de
conectividad de éstos conjuntos sería mucho más potente.
Desgraciadamente, sin los teoremas sobre la conexión de fractales de
Douady y Hubbard es imposible la rigurosidad matemática en la
demostración de tal propiedad.

6. Sin embargo, la falta de herramientas matemáticas
es posible suplirla con un poco de fe y un ordenador
con Fractint.
La fe aquí es importante porque, al igual que los
matemáticos de la antigüedad no sabían por qué se
cumplían una serie de cosas y tampoco podían
demostrar su falsedad, yo tengo la certeza de que la
propiedad antes mencionada se cumple porque al
calcular y comparar, la peculiaridad gráfica de las
figuras generadas por el programa apoya mi tesis de
manera intuitiva, pero sin aportar ningún dato
riguroso.

7. A continuación vamos a observar
cuatro progresiones de imágenes,
las cuales son fractales de
Mandelbrot y de Julia a los cuales se
les ha ido haciendo variaciones en
las componentes iniciales de manera
que se observa esta propiedad.

8. Ahora veremos la primera progresión en la cual
veremos los siguientes fractales tipo mandelbrot
en los que variamos sólo la componente real:
Zo=0
Zo=0.25
Zo=0.5
Zo=0.75
Zo=1
Zo=2
Zo=3

16. Ahora veremos otra vez fractales de Mandelbrot,
pero ahora variando la componente imaginaria:
Zo=0
Zo=0.1i
Zo=0.2i
Zo=0.3i
Zo=0.4i
Zo=0.5i
Zo=i
Zo=1.25i

25. En la siguiente progresión veremos una que es bastante
famosa, ya que es fácil encontrarla por Internet: los fractales
de Julia generados al ir por la parte negativa del eje real
asociado al fractal Mo. Los valores son:
C=0
C=-0.1
C=-0.2
C=-0.3
C=-0.4
C=-0.5
C=-0.75
C=-1

34. La última progresión es la más espectacular, porque ahora
no es un fractal de Julia generado a partir de. Mo. En
principio cualquiera puede encontrar por Internet una
progresión de los fractales de Julia asociados a Mo, pero
nunca una de este tipo. Tras ver estos fractales se hace
difícil no creer que realmente la función Julia/Mandelbrot
sea conexa en cuatro dimensiones. Aún así, esto no deja de
ser una conjetura. Los datos son:
C=i
C=i+0.001
C=i+0.005
C=i+0.01
C=i+0.05
C=i+0.1
C=i+0.5

42. Bibliografía:
http://www.dma.fi.upm.es/docencia/segundociclo/sistdin/sdcomplejos.htm
Agradecimientos:
A Bartolomé Luque y el resto del profesorado del Departamento de
Matemática Aplicada y Estadística, tanto por su paciencia como
por si ayuda desinteresada.
Nota: Siento haber entregado este trabajo tan tarde, pero deseo
que al menos lo disfrute.
Atentamente: Enrique Casielles Lapeira