1. Fractales: una introducci´n
o
Sergio Plaza
Departamento de Matem´tica y C.C.
a
Universidad de Santiago de Chile
Casilla 307-Correo2.
Santiago, Chile
e-mail: sergio.plaza@usach.cl
homepage: http://fermat.usach.cl/{ dinamicos/SPlaza.html
June 29, 2011

2. Contenidos
1 Ideas B´sicas
a 3
1.1 Procesos Iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Curva de Koch: construcci´n geom´trica . . . . . . . . . . .
o e . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 C´lculo del ´rea acotada por el copo de nieve de Koch
a a . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Tri´ngulo de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . 7
´
1.4.1 Area del tri´ngulo de Sierpinski . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Alfombra de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Iteraci´n de funciones
o 9
2.1 Modelo lineal . . . . . . . . . . √ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 10
2.2 Iteraciones de la funci´n x −→ x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 11
2.2.1 M´todo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 12
3 Representaciones Num´ricas
e 14
3.0.2 Representaci´n decimal . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.0.3 Representaci´n en base p > 1 . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.0.4 Representaci´n tri´dica ( p = 3) . . . . . . . .
o a . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.0.5 Conjunto de Cantor y representaci´n en base 3
o . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.0.6 Representaci´n binaria (p = 2) . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Tri´ngulo de Sierpinski y representaci´n en base 2 . .
a o . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Sistemas de funciones lineales iterados en la recta y en el plano 21
4.1 Sistemas de funciones terados en la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.1 Iteraciones de funciones afines en la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Sistemas iterados de funciones lineales en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.1 Traslaciones, reflexiones y rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.2 Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.3 Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.4 Rotaciones alrededor del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.5 Expansiones y contracciones al origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.6 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Sistema de Funciones Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 Curvas Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4.1 Nota Hist´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 36
4.4.2 Funci´n de Weierstrass y funci´n de Riemann . . . . . . . . .
o o . . . . . . . . 37
4.4.3 Curvas de Takagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4.4 Curva de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4.5 Curvas de Peano y de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
i

3. 1
Introducci´n
o
Primero remarquemos que el estudio de los fractales no es algo privativo o exclusivo de las
Matem´ticas. El estudio y origen de distintos fen´menos que se explican mediante modelos fractales
a o
corresponde determinarlo a las disciplinas cient´ ıficas donde se planteen. Tambi´n debemos se˜alar
e n
el potencial interdisciplinar de estos objetos, como elementos que pueden constituir el eje sobre
el cual distintas disciplinas pueden trabajar coordinadamente. Los fractales desde su primera
formulaci´n tuvieron una vocaci´n pr´ctica de servir como modelos para explicar la naturaleza.
o o a
El propio Benoit Mandelbrot tuvo el m´rito de intuir la potencia de los fractales para construir
e
modelos que expliquen la realidad, esto lo hizo desde su primera formulaci´n y desde sus primeros
o
trabajos que, con un notable af´n pr´ctico y divulgador. En este sentido es indispensable leer
a a
los trabajos de Mandelbrot (1975) y (1977), as´ como el de Feder (1988). Otra cosa que hay
ı
que se˜alar es que por su novedad este dominio de las matem´ticas est´ lleno de intuiciones muy
n a a
acertadas, pero tambi´n de ambig¨ edades ¿Qu´ criterios se pueden seguir para decir que un objeto
e u e
real tiene estructura de fractal? Es claro que un criterio puede ser el de la simple percepci´n o
visual o intuici´n. A la vista de algo est´ claro que alguien exclamar´ esto es un fractal. Esto
o a a
ya constituye un criterio bueno y que vale para trabajar con nuestros alumnos. A continuaci´n o
podemos investigar algo m´s, el alumno nos puede decir que lo mismo que se ve a gran escala se
a
ve a peque˜ a escala, lo cual nos da una idea de recursi´n o de autosimilitud. O que se parece a un
n o
a
´rbol, lo cual nos da ya idea de ramificaci´n. Este lenguaje que es vago e impreciso no est´ muy
o a
lejos, aunque parezca extra˜ o, del significado cient´
n ıfico que se atribuye a un objeto real o natural
cuando se dice que es un fractal. Por ejemplo ¿qu´ se quiere decir cuando se dice que una zona
e
costera es un fractal? Desde luego no quiere decirse que haya una curva y una f´rmula matem´tica
o a
que se ajuste de forma precisa al perfil del litoral. Lo que quiere decirse es que pueden definirse un
modelo matem´tico fractal, que se ajusta con unas cotas m´xima y m´
a a ınima de error, cotas que se
pueden determinar de forma precisa, al perfil de la costa. As´ veremos no s´lo que se han ajustado
ı o
curvas fractales a ciertas zonas de costa, Gran Breta˜a, Noruega, y a fronteras como la de Espa˜ a
n n
y Portugal, sino que adem´s como veremos coinciden con una variante de la curva de Koch y que
a
tambi´n se ha determinado su dimensi´n fractal. La cuesti´n que se plantea a continuaci´n es si
e o o o
un objeto con estas caracter´ ısticas, un trozo de costa, la red arterial, son realmente fractales, o
dicho de otra forma ¿existen realmente fractales en la naturaleza?. Esta pregunta, que es legitimo
hacerla, e incluso responderla negativamente, es decir negando la existencia de los fractales en la
naturaleza, es la misma que se hace cuando se pregunta si existen superficies planas o lineas rectas
en la naturaleza, o si existen esferas. Ser´ como suponer que en la naturaleza no existen esferas
ıa
por que la Tierra, u otros planetas, no se ajustan con precisi´n a lo que es una esfera ideal tal
o
como se define en Matem´ticas. a
En la naturaleza los objetos fractales suelen aparecer de varias formas. Una de ellas es en
una situaci´n de frontera, y aqu´ incluimos todos los casos en que entran en contacto dos medios
o ı
humanos, naturales, f´ ısicos, qu´ ımicos, etc. o dos superficies diferentes: frontera entre pa´ ıses, riberas
de los r´ litoral, nubes, ..., otra situaci´n es la de arbol. Es decir aquellos casos en que se produce
ıos, o ´
una ramificaci´n con autosimilitud: arboles, arbustos, y plantas, tejidos arteriales, cuencas fluviales
o ´
con sistemas de r´ afluentes, barrancos, riachuelos, etc. redes capilares, redes pulmonares, ...
ıo,
Existen razones puramente est´ticas, o de la curiosidad, que producen la observaci´n y el estu-
e o
dio anal´ ıtico de estas curvas, y que estimula la formulaci´n de modelos matem´ticos o geom´tricos,
o a e
que permitan comprender fen´menos cient´
o ıficos o tecnol´gicos de cierta profundidad. La intro-
o
ducci´n del computador, con su inmensa capacidad de iteraci´n r´pida e interactiva, con la ayuda
o o a
de algoritmos y procedimientos relativamente sencillos, es el instrumento ideal para el trabajo con
este tipo de objetos matem´ticos. Por su capacidad de interacci´n con el usuario, el computador
a o
permite un ajuste r´pido entre las instrucciones establecidas en t´rminos de procedimientos es-
a e
paciales y la formulaci´n definitiva de estos procedimientos como algoritmos, mediante contrastes
o

4. 2
sucesivos con variaciones en los programas y en las ejecuciones. Hasta ahora la variaci´n de las
o
condiciones en los modelos s´lo pod´ ser seguidos mediante experimentos o simulaciones men-
o ıan
tales reservados a aquellos alumnos m´s competentes para la retenci´n de datos y para llevar a
a o
cabo representaciones mentales. A esta capacidad para la iteraci´n hay que a˜ adir la capacidad
o n
gr´fica de los entornos gr´ficos que permiten con su poder de resoluci´n y rapidez de ejecuci´n,
a a o o
seguir los procesos iterativos, y contrastar la variaci´n en las representaciones con variaciones en
o
los par´metros.
a

5. Cap´
ıtulo 1
Ideas B´sicas
a
¿Que es un Fractal?, ¿son las figuras siguientes Fractales? , ¿qu´ raz´n tenemos para llamarlas
e o
Fractales?
¿C´mo generamos este tipo de figuras?
o
En general la generaci´n de im´genes como las anteriores es a trav´s de procesos iterativos.
o a e
Noci´n que pasamos a derrollar ahora.
o
1.1 Procesos Iterativos
La idea fundamental de un proceso iterativo consiste en lo siguiente: dado uno o varios valores
iniciales, se introducen estos en una o varias f´rmulas, transformaci´n iterativa, la cual podemos
o o
imaginar como una m´quina que transforma un valor inicial o varios valores iniciales en otro u
a
otros valores, resultado, el cual pasa a ser considerado como parte de nuevos valores iniciales o de
un nuevo valor inicial para el proceso iterativo. Un valor inicial puede ser un ente geom´trico, por
e
ejemplo un punto o un conjunto de puntos o una figura. La transformaci´n que se aplica puede
o
venir expresada por f´rmulas o por una serie de pasos a ejecutar en cada etapa de la iteraci´n.
o o
Un ejemplo sencillo de un proceso iterativo es dado por la sucesi´n de Fibonacci, (Fn )n∈N , cuyos
o
primeros valores son
1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .
la cual se obtiene considerando los valores iniciales F0 = 1 , F1 = 1 y para n ≥ 1 la f´rmula
o
iterativa Fn+1 = Fn + Fn−1 .
Esta sucesi´n tiene relaci´n con un problema cl´sico sobre reproducci´n de conejos
o o a o
“Se pone en un campo cerrado un conejo y una coneja. Estos est´n f´rtiles al mes de vida.
a e
Suponga que se demora un mes en nacer otra pareja de un conejo y una coneja. Suponiendo que los
conejos no mueren, y que cada vez engendran un macho y una hembra con las mismas condiciones
que la pareja inicial ¿Cu´ntos pares de conejos habr´ en 6 meses, en un a˜o, en dos a˜os ...?”
a a n n
3

6. 4
El modelo Fibonacci para la reproducci´n de los conejos, es quiz´, uno de los primeros modelos
o a
matem´ticos para representar realidades. Aunque como el lector comprender´ no es un problema
a a
muy serio.
El proceso iterativo que acabamos de ver, viene expresado por una f´rmula. Un ejemplo de
o
un proceso iterativo que viene expresado como una serie de pasos a ejecutar, lo ilustramos en la
pr´xima secci´n.
o o
1.2 Curva de Koch: construcci´n geom´trica
o e
El nombre de esta curva es en honor a su creador, el matem´tico sueco Niel Helge von Koch
a
(25/01/1870–11/03/1924), que public´ en 1904 el trabajo “Sur une courbe continue sans tangente,
o
obtenue par une construction g´om´trique ´l´mentaire”.
e e ee
1. Considere un segmento de recta, el cual consideramos de longitud 1 (esto no constituye
ninguna restricci´n.)
o
1
2. Reemplace el segmento inicial por cuatros segmentos de recta cada uno de longitud 3 ×(longitud
del segmento anterior). Formando la figura siguiente
Obtenemos as´ una poligonal 1 (de la base de la figura, en azul los intervalos que permanecen
ı
y en rojo los nuevos segmentos agregados) formada por cuatro segmentos de longitud 1 , por
3
lo tanto su longitud 1 es 4 · 1 = 4 .
3 3
3. Aplicamos el proceso de reemplazar cada segmento de la poligonal 1 obtenida en la etapa
anterior por cuatro segmentos cada uno de longitud 1 ×(longitud del segmento considerado).
3
Con esto, obtenemos la figura siguiente
1 1 1
La nueva poligonal 2 , en la cual cada segmento tiene longitud 3 3 = 9 , hay 16 de tales
16 4 2
segmentos, luego la longitud de la poligonal 2 es igual a 9 = 3 .

7. 5
4. Repetimos el proceso de reemplazar cada segmento de recta de la poligonal por cuatro seg-
mentos, como se hizo en el paso 2. Obtenemos as´ una poligonal 3 que consta de 64
ı
segmentos, cada uno de longitud 1 · 1 = 27 , por lo tanto la longitud de la poligonal 3 es
3 9
1
64 4 3
27 = 3 .
5. Este proceso puede repetirse indefinidamente, obteniendo una “curva” de longitud infinita,
pues en la etapa n la poligonal obtenida consta de 4n segmentos, cada uno de longitud 31 .
n
n
Por lo tanto la longitud de n es 4 3 que se hace grande cuando n crece. La curva l´
ımite
es llamada curva de Koch.
Como puede observarse desde la construcci´n de la curva de Koch, en cada etapa agregamos puntos
o
esquinas (aquellos que forman el v´rtice de dos segmentos). La curva final tendr´ un punto esquina
e a
en cada punto, esto no es f´cil de imaginar, pero de hecho as´ ocurre.
a ı
Curva de von Koch
La construcci´n de reemplazar cada segmento por otros cuatro, cada uno de longitud 1 ×(longitud
o 3
del segmento considerando en la etapa anterior) puede aplicarse, por ejemplo, a los lados del
tri´ngulo equil´tero de lado 1. Obteniendo, una figura como se muestra abajo
a a
Curva de von Koch cerrada
Es f´cil ver que la longitud de la curva l´
a ımite crece indefinidamente, notemos que la curva l´ ımite
acota una regi´n de area finita en el plano . Esta curva l´
o ´ ımite es llamada copo de nieve de Koch.
Ella hiere nuestra intuici´n, pues es una curva de longitud infinita que delimita una regi´n de ´rea
o o a
finita en el plano. Una manera sencilla de ver esto, es mostrar que la curva de Koch est´ contenida
a
en la regi´n delimitada por el c´
o ırculo circunscrito al tri´ngulo equil´tero con el cual comenzamos
a a
la construcci´n. A seguir calculamos en forma expl´
o ıcita el area que acota el copo de nieve de Koch.
´
1.2.1 C´lculo del ´rea acotada por el copo de nieve de Koch
a a
Ahora calcularemos el ´rea delimitada por el copo de nieve de Koch, la siguiente figura nos muestra
a
hasta la etapa 2 los tri´ngulos que vamos agregando,
a

8. 6
Inicialmente tenemos un tri´ngulo equil´tero de lado 0 = 1 , por lo tanto su ´rea es igual a
√
a a a
A0 = 43 . En la primera etapa de la construcci´n agregamos tres peque˜ os tri´ngulos equil´teros,
o n a a
cada uno de lado 1 = 1 , luego el ´rea de la figura resultante en la primera etapa es A1 =
3 √ a
√ √ √
3
4 +3 43 9 = 43 1 + 1 = 33 . En la etapa 2, a lo anterior agregamos 12 tri´ngulos, cada uno con
1
3 a
√ √ √
lado de longitud 2 = 1 , luego el area de la figura resultante es A2 = 43 1 + 1 +12 43 81 = 10 3 .
9 ´ 3
1
27
En la etapa 3, al ´rea que ya tenemos le agregamos 48 tri´√
a angulos √ ateros, √
equil´ cada uno de lado
1 10 3 3 1 282 3
3 = 27 , por tanto el ´rea de la figura en la etapa 3 es A3 = 27 +48 4 272 = 272 . Continuando
a
√
de esta manera, podemos postular que el ´rea delimitada por la curva de Koch cerrada es 2 5 3 .
a
De hecho, tenemos
√ √ √ 0
3 3 3 4
A1 − A0 = − =
3 4 12 9
√ √ √ 1
10 3 3 3 4
A2 − A1 = − =
27 3 12 9
√ √ √ 2
282 3 10 3 3 4
A3 − A2 = 2
− =
27 27 12 9
.
.
.
√ n−1
3 4
An − An−1 =
12 9
.
.
.
Ahora, como An −A0 = (An −An−1 )+(An−1 −An−2 )+· · ·+(A3 −A2 )+(A2 −A1 )+(A1 −A0 ) ,
nos queda
√ √
3
1− 4 n−1 √ 3
1− 4 n−1
12 9 3 12 9
An − A0 = 4 , de donde An = + 5 .
1− 9
4 9
k
Como 4 9 tiende a 0 cuando k crece indefinidamente, se sigue que An se aproxima al valor
√
2 3
5 como deseabamos probar.
Observaci´n. Si en la construcci´n del copo de nieve de Koch comenzamos con un tri´ngulo
o o a
equil´tero de lado a , no hay nada substancialmente distinto a lo expuesto anteriormente.
a

9. 7
1.3 Conjunto de Cantor
Este conjunto es utilizado frecuentemente en matem´tica para construir ejemplos y su nombre lo
a
debe a su creador George Cantor (03/03/1845-06/01/1918).
Comenzamos la construcci´n con un segmento de recta, digamos de longitud 1. Dividimos
o
el segmento inicial en 3 segmentos cada uno de longitud 1 , y eliminamos el segmento central,
3
obteniendo dos segmentos cada uno de longitud 1 . Enseguida dividimos cada segmento resultante
3
en la etapa anterior en 3 segmentos de igual longitud 1 ×(longitud del segmento al cual le estamos
3
aplicando el proceso), y eliminamos los segmentos centrales, obtenemos 4 segmentos cada uno de
longitud 1 . Repetimos el proceso de divisi´n y eliminaci´n anterior a cada segmento resultante
9 o o
en la etapa anterior, y continuamos el proceso indefinidamente. El resultado final es un conjunto
C, llamado conjunto de Cantor, el cual es no vac´ y contiene tantos puntos como la recta real.
ıo
Debido a su construcci´n el conjunto de Cantor es autosimilar, esto quiere decir que si tomamos
o
peque˜ as partes del conjunto de Cantor, y le un zoom, por muy chica que sea esta, vemos de nuevo
n
el conjunto de Cantor. Si en cada etapa de la construcci´n del conjunto de Cantor, medimos la
o
longitud del conjunto resultante, obtenemos lo siguiente:
Etapa 0 1 2 3 ··· n
2 2 2 2 3 2 n
Longitud 1 3 3 3 ··· 3
Luego, el conjunto de Cantor tiene longitud 0.
Afirmaci´n. El conjunto de Cantor tiene tiene tantos puntos como el segmento inicial.
o
Para ver que C tiene tantos puntos como el segmento inicial, escribimos los n´meros 0 ≤ x ≤ 1
u
en base en el sistema binario, es decir, escribamos x = ∞ aj 2−j , donde aj ∈ {0, 1} . Por otra
j=1
∞ −j
parte, escribiendo los n´ meros reales entre 0 y 1 en base 3, es decir, x =
u j=1 dj 3 , donde
dj ∈ {0, 1, 2} . Veremos m´s adelante que un n´ mero 0 ≤ x ≤ 1 pertenece al conjunto de Cantor
a u
si ´ste no contiene al d´
e ıgito 1 en su reepresentaci´n en base 3, en otras palabras, x se escribe en
o
∞
la forma x = j=1 dj 3−j , con dj ∈ {0, 2} . Definamos la funci´n Φ : {x : 0 ≤ x ≤ 1} −→ C
o
por Φ( ∞ aj 2−j ) = ∞ (2aj )3−j . Es f´cil verificar que Φ es una biyecci´n, por lo tanto se
j=1 j=1 a o
tiene lo pedido. Lo que acabamos de demostrar no es intuitivo ni f´cil de aceptar.
a
1.4 Tri´ngulo de Sierpinski
a
El nombre de esta figura fractal lo debe a su creador el matem´tico polaco Wlaclaw Sierpi´ ski
a n
(14/03/1882–21/10/1969). La construcci´n cl´sica de esta figura fractal es como sigue. Con-
o a
sideramos una regi´n triangular, la cual para simplificar suponemos delimitada por el tri´ngulo
o a
equil´tero de lado 1. Dividimos la regi´n en cuatro regiones menores de igual area, esto se logra
a o ´
uniendo los puntos medios de los lados del tri´ngulo original.
a

10. 8
1.4.1 ´
Area del tri´ngulo de Sierpinski
a
El tri´ngulo de Sierpinski tiene area cero. Para mostrar esto calculamos el area retirada en la
a ´ ´
construcci´n del tri´ngulo de Sierpinski.
o a √
En la etapa inicial tenemos un tri´ngulo equil´tero de lado 1, luego su area es A0 = 43 . En la
a a ´
primera etapa retiramos el tri´ngulo equil´tero central de lado 1 = 1 , y nos quedan tres tri´ngulos
a a 2 a
√ √
1 3 1 3 3
equlateros de lado 1 = 2 por lo tanto el ´rea de la figura que resulta es A1 = 3 4 4 = 16 . En
a
la segunda etapa, de cada uno de los tri´ngulos restantes retiramos un tri´ngulo equil´tero de lado
a a a
1 1
2 = 4 y nos quedan 9 tri´ngulos equil´teros cada uno de lado 2 = 4 , luego el area de la figura
a a ´
√ √
es A2 = 9 43 16 = 9643 , y continuando de este modo, en la etapa n de la construcci´n, el area de
1
o ´
n−1
√ n−1 n−1
la figura que resulta es An = 3n−1 · 43 . Ahora, como 3n−1 = 3
4 4 4 tiende a 0 cuando n crece
indefinidamente, conclu´ ımos que el tri´ngulo de Sierpinski tiene area 0
a ´
El tri´ngulo de Sierpinski, al igual que la curva de Koch y al conjunto de Cantor, es autosimilar.
a
Estas tres figuras, constituyen la trilog´ de los m´s cl´sicos ejemplos de las figuras llamadas
ıa a a
fractales.
1.5 Alfombra de Sierpinski
La construcci´n de la alfombra de Sierpinski es similar a la construcci´n del tri´ngulo de Sierpinski.
o o a
En la secuencia de figuras siguientes se muestra las primeras cuatro etapas de la construcci´n deo
la alfombra de Sierpinski.
Construcci´n de la alfombra de Sierpinski
o
Otro de los ejemplos de los llamados fractales cl´sicos es la esponja de Menger, cuya construcci´n
a o
geom´trica es an´loga a la del tri´ngulo de Sierpinski. La esponja de Menger es un fractal que
e a a
tiene v´lumen 0 y ´rea infinita, por lo tanto es una especie de versi´n tridimensional de la curva de
o a o
Koch, la figura muestra las primeras etapas de su construcci´n, de la cual el lector puede deducir
o
su proceso general de construcci´n.o
Esponja de Menger

11. Cap´
ıtulo 2
Iteraci´n de funciones
o
Muchos modelos matem´ticos se han construido para estudiar crecimiento de poblaciones, esta
a
pueden ser de diferentes especies.
Si denotamos la ley que rige el crecimiento de una poblaci´n por x(n + 1) = f (x(n)) , donde
o
x0 = x(0) denota el valor que tomamos como valor inicial para nuestro estudio, entonces x(n) =
f n (x(0)) , donde f n significa f compuesta consigo misma n veces, es decir, f n = f ◦ · · · ◦ f .
As´ x(n) ser´ el valor que tiene la variable poblacional en el tiempo despu´s de n unidades de
ı a e
tiempo (segundos, minutos, d´ a˜ os, siglos, milenios,...). Luego, el valor de la variable x(n) en
ıas, n
el siguiente estado es x(n + 1) = f (x(n)) . En Biolog´ de poblaciones, x(n) puede representar el
ıa
tama˜ o de una poblaci´n en la generaci´n n , este modelo establece que el tama˜o x(n + 1) de
n o o n
una poblaci´n en la generaci´n n + 1 est´ relacionado al tama˜ o de la poblaci´n en la generaci´n
o o a n o o
precedente n por la funci´n f . En epidemiolog´ x(n) representa la fracci´n de poblaci´n
o ıa, o o
infectada en el tiempo n . En econom´ x(n) puede ser el precio por unidad en el tiempo n de un
ıa,
cierto bien transable. En Ciencias Sociales, x(n) puede ser la cantidad de unidades de informaci´n
o
que puede ser recordada despu´s de un pr´
e ıodo n de tiempo.
Queremos saber c´mo evoluciona la poblaci´n a partir de un tama˜ o poblacional inicial x(0) =
o o n
x0 , para ello debemos calcular x1 = f (x0 ) , x2 = f (x1 ) = f (f (x0 )) , . . . . Antes de continuar,
introducimos la notaci´n siguiente, f 0 (x) = x , f 1 (x) = f (x) , f 2 (x) = f ◦ f (x) , y en general,
o
f n (x) = f (f n−1 (x)) , n ≥ 1 . As´ en nuestro ejemplo, x3 = f 3 (x0 ) , x4 = f 4 (x0 ) , . . . y el proble-
ı,
ma ahora es describir la conducta de esta sucesi´n de puntos x0 , x1 , x2 , . . . . El proceso descrito
o
arriba es llamado iteraci´n de una funci´n. Una forma de visualizar el proceso de iteraci´n de
o o o
una funci´n es el siguiente. Graficamos la funci´n f (x) y la diagonal Δ = {(x, x) : x ∈ R} en
o o
el plano. Comenzando con x0 , trazamos un segmento de recta paralelo al eje y en la direcci´n o
del gr´fico de f (x) , la intersecci´n de este segmento de recta con el gr´fico de f (x) es el punto
a o a
(x0 , f (x0 )) . A partir de este punto trazamos un segmento de recta paralelo al eje x en la direcci´n o
de la diagonal Δ , su intersecci´n con la diagonal es el punto (f (x0 ), f (x0 )) , luego su coordenada
o
de las abscisas es x1 = f (x0 ) . Continuando con este proceso, a partir del punto (f (x0 ), f (x0 ))
trazamos un segmento de recta paralelo al eje y en la direcci´n del gr´fico de f (x) , su intersecci´n
o a o
con el gr´fico de f (x) es el punto (x1 , f (x1 )) = (f (x0 ), f 2 (x0 )) . Ahora, a partir de este punto
a
trazamos un segmento de recta paralelo al eje x en la direcci´n de la diagonal Δ , su intersecci´n
o o
con esta es el punto (f (x1 ), f (x1 )) = (f 2 (x0 ), f 2 (x0 )) , luego su abscisa es el x2 = f (x1 ) = f 2 (x0 ) .
Por lo tanto para visualizar geom´tricamente las iteraciones de una funci´n de variable real y a
e o
valores reales, es continuar con el proceso descrito arriba. En la figura siguiente se muestra las
iteraciones de un punto x0 el cual denotamos por el s´ ımbolo 1 . La intersecci´n del segmento
o
de recta a partir de x0 y paralelo al eje y lo denotamos por el s´ ımbolo 2 y representa al punto
(x0 , f (x0 )) , el s´
ımbolo 3 representa al punto (f (x0 ), f (x0 )) , el s´ ımbolo 4 representa al punto
9

12. 10
(f (x0 ), f 2 (x0 )) , y as´ sucesivamente.
ı
Desde al an´lisis de la figura se ve f´cilmente que debemos hacer para describir geom´tricamente
a a e
la sucesi´n xn = f n (x0 ) , n = 1, 2, . . . . Al conjunto orbf (x0 ) = {f n (x0 ) : n ∈ N} lo llamamos
o
´rbita positiva de x0 .
o
Si un punto x satisface f n (x) = x y f j (x) = x para 0 < j < n , decimos que x es un punto
peri´dico de per´odo n para f , geom´tricamente, un punto es peri´dico de per´
o ı e o ıodo n si el gr´fico
a
de la funci´n f n (x) corta a la diagonal en dicho punto, y no es punto peri´dico de per´
o o ıodo menor.
2.1 Modelo lineal
Sea x(n) el tama˜ o de una poblaci´n de una cierta especie en el tiempo n . Llamemos μ a la
n o
raz´n de crecimiento de la poblaci´n desde una generaci´n a otra. Un modelo matem´tico simple
o o o a
que describe el tama˜ o de la poblaci´n es el siguiente
n o
x(n + 1) = μx(n) , n ≥ 0,
donde x(0) = x0 es el tama˜ o inicial de poblaci´n. Este modelo es llamado modelo lineal. Los
n o
estados de la poblaci´n bajo este modelo son obtenidos iterando la funci´n fμ (x) = μx . Tenemos
o o
entonces que
x(1) = fμ (x0 ) = μx0
x(2) = fμ (x1 ) = μx(1) = μ2 x0
x(3) = fμ (x2 ) = μx(2) = μ3 x0
.
.
.
x(n) = fμ (xn−1 ) = μn x0 .
Como veremos a continuaci´n el comportamiento de una poblaci´n modelada de esta forma
o o
depende del valor de μ .
Supongamos primero que μ > 0 .
Extinsi´n de la poblaci´n. Si 0 < μ < 1 , entonces como μn tiende a cero cuando n crece, la
o o
poblaci´n se extingir´, es decir, la iteraci´n de cada punto por la funci´n fμ (x) = μx se aproxima a
o a o o
cero cuando n crece indefinidamente. El punto x = 0 permanece fijo durante todas las iteraciones.
La conducta de las iteraciones es mostrada en la figura siguiente.
Explosi´n de la poblaci´n. Si μ > 1 , la poblaci´n crece indefinidamente, pues en este caso
o o o
μn crece indefinidamente cuando n → ∞ , decimos en este caso que tenemos una explosi´n de o
la poblaci´n. El punto x = 0 permance fijo durante todas las iteraciones. La conducta de las
o

13. 11
iteraciones cuando μ > 0 y μ = 1 , son mostradas en las figuras siguientes
Modelo lineal con 0 < μ < 1 Modelo lineal con μ > 1
Poblaci´n estable: no crece ni decrece. Si μ = 1 , entonces x(n) = x0 para todo n , y la
o
problaci´n permanece constante.
o
Supongamos ahora que μ < 0 . En este caso decimos que tenemos un modelo de tela de ara˜a, n
por razones obvias al observar las iteraciones de la funci´n fμ (x) = μx .
o
Caso −1 < μ < 0 . Si −1 < μ < 0 , entonces las iteraciones de cada punto x0 , con x0 = 0 ,
tienden a 0, pero esta vez lo hace espiralando como se muestra la figura abajo. La poblaci´n tiende
o
a extinguirse, pero la conducta de ella es de espiral. El punto x = 0 permance fijo durante todas
las iteraciones. La conducta de las iteraciones es mostrada en la figura siguiente.
Caso μ < −1 . Cuando μ < −1 , las iteraciones de cualquier punto, excepto x = 0 , tiende a
infinito espiralando como muestra la figura siguiente. El punto x = 0 permance fijo durante todas
las iteraciones. La conducta de las iteraciones cunad0 μ < 0 y μ = 1 son mostradas en las figuras
siguientes
Modelo lineal con −1 < μ < 0 Modelo lineal con μ < −1
Caso μ = −1 . En este caso, la conducta se repite periodicamente cada dos iteraciones, pues
fμ (fμ (x)) = x para todo x = 0 , el punto x = 0 permance fijo durante todas las iteraciones.
Como vimos el modelo lineal de poblaciones en muy f´cil de analizar, su conduta depende s´lo
a o
del valor del par´metro μ , y s´lo ocurren las conductas antes vistas.
a o
√
2.2 Iteraciones de la funci´n x −→
o x
Continuando con la iteraci´n de funciones consideremos la transformaci´n definida pe la f´rmula
o o o
√
√
x −→ x
Si elegimos un n´ mero positivo x0 , el cual consideremos como valor inicial y aplicamos repetidas
u
veces la f´rmula “extraer ra´ cuadrada” obtenemos una sucesi´n de valores
o ız o
√ √ √ √
· √ · √ √ · √ √ √ ·
x0 −→ x1 = x0 −→ x2 = x1 = x0 −→ x3 = x2 = x1 = x0 −→ · · ·
Note que la sucesi´n xn siempre converge a 1, independiente de la condici´n inicial que tomemos.
o o
√ √
En concreto, si tomamos x0 = 2 obtenemos x1 = 2 = 1.414212562 . . ., x2 = 2 =
√
1.189207115 . . . , x3 = 2 = 1.09057733 . . . , despues de aplicar varias veces la funci´n
o
√
x → x en la calculadora, veremos aparecer un 1, lo cual es resultado de las aproximaciones

14. 12
que hacen internamente las m´quinas, pues este valor es alcanzado s´lo cuando x0 = 1 . Ahora, si
a o
x0 = 0.3 entonces obtenemos x1 = 0.547722557 . . . , x2 = 0.740082804 . . ., x3 = 0.860280654 . . .,
√
y as´ sucesivamente, aplicando reiteradas veces la funci´n x → x vemos aparecer finalmente el
ı o
n´ mero 0.999999999 . . . , el cual es m´s correcto que √ obtenido en el caso anterior. Las siguiente
u a el
figuras muestran las iteraciones de la funci´n x → x , la cual tiene a x = 0 como punto fijo
o
repulsor y a x = 1 como unico punto fijo atractor. No hay otros puntos fijos ni peri´dicos para
´ o
esta funci´n.
o
x0 = 0.3 x0 = 3
2.2.1 M´todo de Newton
e
Otro ejemplo de un proceso iterativo definido mediante una funci´n es el siguiente. Dado un
o
n´ mero real positivo a , el proceso iterativo1
u
1 a
xn+1 = xn +
2 xn
√
nos permite aproximar, tanto cuanto deseemos, el valor de √ a comenzando con un n´ mero real
u
positivo x0 . Por ejemplo, si a = 2 , entonces sabemos que 2 = 1.414213562 . . . . Considerando
x0 = 3 , usando la f´rmula iterativa, obtenemos la sucesi´n de valores,
o o
n xn
0 3
1 1.8333333 . . .
2 1.46212121212 . . .
3 1.41499842990 . . .
4 1.41421378004 . . .
5 1.41421356238 . . .
6 1.41421356238 . . .
detenemos el proceso en x6 = 1.41421356238 . . ., pues este valor tiene un error de 0.1 · 10−10 con
√ √
el valor de 2 obtenido mediante la calculadora, es decir, | 2 − x6 | = 0.1 · 10−10 .
x0 = 0.3 x0 = 3
1 Este proceso iterativo es conocido desde muy antiguo, lo usaban los babilonios para el c´lculo de ra´
a ıces cuadradas,
posteriormente es conocido como m´todo de Newton
e

15. 13
√Si comenzamos con un valor inicial x0 < 0 entonces la sucesi´n que se genera se aproxima a
o
− a.
iteraciones de Newton, x0 = −0.3 iteraciones de Newton, x0 = −3
√
n
En general, para calcular a podemos usar la f´rmula iterativa
o
1 a
xk+1 = (n − 1)xk + ,
n xn−1
k
√
3
por ejemplos para calcular aproximaciones del valor a podemos usar la sucesi´n
o
1 a
xk+1 = 2xk + .
3 x2
k
√
Podemos, por ejemplo, usar la f´rmula iterativa anterior para calcular aproximadamente 3 2 .
o
Iterar funciones, en general, es una tarea complicada, las siguientes figuras ilustran las iatera-
ciones obtenidas de la funci´n log´
o ıstica f (x) = λx(1 − x) para λ pr´ximo de 4.
o
λ = 3.8 λ = 4.0 λ = 4.0
Algunos lectores y autores llaman a esto un proceso ca´tico, pero por el s´lo hecho que las itera-
o o
ciones sean complicada, no hace que la aplicaci´n sea ca´tica. La definici´n precisa de aplicaciones
o o o
ca´ticas requiere de conceptos matem´ticos que caen fuera del objetivo b´sico de este texto.
o a a

16. Cap´
ıtulo 3
Representaciones Num´ricas
e
Para representar n´ meros en alg´n sistema num´rico, lo primero que debemos hacer es definir cu´l
u u e a
ser´ el conjunto de d´
a ıgitos es D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ,
ıgitos. Para el sistema decimal el conjunto de d´
para el sistema binario el conjunto de d´ ıgitos es D = {0, 1} . Estos representan los sistemas
num´ricos m´s com´mente usados, el primero por ser el de uso cotidiano y el segundo por ser
e a u
usado por los sistemas computacionales. Otros de uso no tan difundido son los sistemas en base
3 (representaci´n ternaria), base 8 y base 16. El uso de representaciones en ciertas bases es muy
o
antiguo, por ejemplo, los Babilonios usaban base 60 para representar los n´meros.
u
3.0.2 Representaci´n decimal
o
ıgitos es D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} .
Para el sistema decimal el conjunto de d´
Comenzemos por estudiar la representaci´n con un n´ mero natural. Queremos expresar un
o u
n´ mero natural n como una suma de potencias de 10 y coeficientes (d´
u ıgitos) en D , en otras
palabras, queremos escribir
N
n = k0 + k1 10 + k2 102 + · · · + kN 10N = ki · 10i
i=0
donde N es un entero no negativo y los coeficientes ki ∈ D , i = 0, 1, . . . , N . Obtenemos
esta representaci´n aplicando reiterativamente el algoritmo de la divisi´n de Euclides. Para esto,
o o
simplemente debemos notar que para cada n´ mero natural n existe un entero positivo de modo
u
que 10 ≤ n < 10 +1 . En resumen, hemos visto que cada n´ mero natural n se puede expresar
u
como una suma de potencias de 10 y coeficientes (d´ ıgitos) en D . Esta representaci´n es llamada
o
representaci´n decimal (o en base 10 ) de n .
o
El mismo tipo de representaci´n mediante una suma finita para un n´ mero real x con 0 ≤ x < 1
o u
ya no es posible, por ejemplo para el n´mero racional 2/3 se tiene
u
∞ ∞
2 −j
= 0.666666 . . . = 0.6 + 0.06 + 0.006 + · · · = 6 · 10 =6 10−j .
3 j=1 j=1
∞
Por lo tanto debemos estudiar la convergencia de la serie infinita 6 · 10−j . En este ejemplo,
j=1
esto es inmediato puesto que ella es una serie geom´trica de raz´n 1/10 y su suma es 2/3 .
e o
A continuaci´n construimos una representaci´n decimal para los n´meros reales x con 0 ≤
o o u
x ≤ 1 . Denotaremos a este conjunto por el s´ ımbolo [0, 1] y geom´tricamente lo representaremos
e
por el segmento de recta de longitud 1. En otras palabras, a cada punto de la recta corresponde
un elemento de [0, 1] . Dado x ∈ [0, 1] queremos representarlo como
∞
x= ki · 10−i
i=1
14

17. 15
donde para cada i ≥ 1 , los coeficientes (d´ ıgitos) ki son elementos en D . La forma de obteneer
esta representaci´n es an´loga a lo que ya hicimos, para ello basta observar que existe un unico
o a ´
k1 elemento en D tal que k1 /10n ≤ x < (k1 + 1)/10n , de este modo obtenemos que x puede
escribirse en la representaci´n (3.1). Como en el ejemplo de la representaci´n decimal del n´mero
o o u
2
3 , el problema se reduce a examinar si la serie del lado derecho en la representaci´n de x es
o
convergente. Para mostrar esto notemos primero que ki /10i ≤ 9/10i para cada i ≥ 1, pues se tiene
que ki ∈ {0, 1, . . . , 9} . Sea xn = i=1 ki · 10−i la suma parcial hasta el t´rmino n de la serie
n
e
−i
i≥1 ki · 10 y sea Gn = i=1 9 · 10−i la correspondiente suma parcial de la serie geom´trica
n
e
i≥1 9 · 10−i . Puesto que los coeficientes de la serie geom´trica son positivos se obtiene que
e
∞
xn ≤ Gn ≤ 9 · 10−i = 1,
i=1
lo cual muestra que la sucesi´n {xn }n∈N es acotada superiormente por 1.
o
Adem´s, la sucesi´n de sumas parciales {xn }n∈N es creciente, pues cada vez estamos sumando
a o
nuevos t´rminos no negativos (mayores o iguales que cero). Aplicamos el siguiente resultado toda
e
sucesi´n de n´merso reales, creciente y acotada superiormente, es convergente, conclu´
o u ımos que
∞
{xn }n∈N es convergente, esto es, la serie i≥1 ki · 10−i es convergente y su suma x = i=1 ki · 10−i
es un n´ mero real en el intervalo [0, 1]. De lo anterior, tenemos que dado un n´mero real x con
u u
0 ≤ x ≤ 1 y un n´mero ε > 0 peque˜o, existe un n´mero racional q tal que |x − q| < ε, es decir,
u n u
podemos aproximar tanto cuanto deseemos un n´ mero real por n´meros racionales. Para verlo,
u u
∞
consideremos el desarrollo decimal de x, esto es, escribamos x = i=0 ki · 10−i . Definamos para
cada n´ mero natural n el n´ mero
u u
n
qn = ki · 10−i .
i=1
Es claro que que cada qn es un n´ mero racional (pues es una suma finita de n´ meros racionales).
u u
Adem´s, |x − qn | satisface que
a
∞ ∞
|x − qn | = ki · 10−i ≤ 9 · 10−i = 10−n
i=n+1 i=n+1
de donde se deduce que |x − qn | se aproxima a cero cuando n crece indefinidamente o m´s precisa-
a
mente eligiendo n0 de tal manera que 1/10n0 < ε y definiendo q = qn0 = i=1 ki · 10−i se obtiene
n0
lo pedido.
Luego, dado un n´ mero real x en el intervalos [0, 1] hemos construido una sucesi´n de n´ meros
u o u
racionales que aproxima a x.
Para terminar veremos que si tenemos un n´ mero real x ≥ 1 tambi´n podemos construir
u e
aproximaciones mediante n´meros racionales. Para ello, reduciremos el problema al caso 0 ≤ x < 1.
u
Para tal efecto escribamos x = [x] + ((x)) , donde x es un n´ mero real con x ≥ 1. Como [x] es
u
el mayor entero positivo menor o igual que x , este es un n´ mero natural y lo podemos representar
u
de la forma [x] = i=0 ki · 10i , donde ki ∈ D y N es el menor natural tal que 10N ≤ [x] < 10N +1 .
N
∞
Por otra parte como 0 ≤ ((x)) < 1 sabemos que ((x)) = j=1 kj · 10−i , donde kj ∈ D para cada
j ≥ 1. En resumen, x se puede representar como
N ∞
x= ki · 10i + kj · 10−j .
i=0 j=1
La primera suma es la representaci´n decimal del n´mero natural [x] y la segunda suma (que
o u
es una serie) es la representaci´n decimal de la parte fraccionaria ((x)) de x. Ahora, para cada
o
n´ mero natural n definamos
u n
qn = [x] + ki · 10−i .
i=1

18. 16
Cada qn es un n´ mero racional y en forma an´loga al caso anterior se demuestra que qn se
u a
aproxima cada vez m´s a x cuando n crece indefinidamente.
a
Esta propiedad de los n´ meros racionales en los n´ meros reales es llamada densidad de los
u u
racionales en los √
reales.
Por ejemplo, 2 = 1.414213 . . . se puede escribir en la forma
√ 4 1 4 2 1 3
2 = 1 · 100 + + + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· .
10 102 10 10 10 10
De este modo, utilizando la representaci´n anterior, podemos escribir cada n´mero real positivo
o u
en su forma decimal y obtener de este modo aproximaciones de ´l por n´meros racionales.
e u
En general la representaci´n decimal de un n´mero no es unica, por ejemplo n´mero 1 puede
o u ´ u
escribirse como
∞ ∞
9 0
1 = 0 · 100 + j
= 1 · 10−1 + .
j=1
10 j=2
10j
Cuando el denominador de una fracci´n irreducible p/q no es una potencia de 10, la repre-
o
sentaci´n decimal de ´l es peri´dica. Por otra parte, la perdida de unicidad en la representaci´n
o e o o
decimal de un n´ mero real ocurre cuando x es de la forma p/q con q una potencia de 10. Observe-
u
mos tambi´n que un n´ mero irracional tiene representaci´n decimal no peri´dica.
e u o o
3.0.3 Representaci´n en base p > 1
o
Hemos estudiado la representaci´n decimal (base 10) de los n´meros reales no negativos. Ahora
o u
trataremos de imitar esa construcci´n tomando como base un n´ mero natural p > 1 en vez de la
o u
base 10 ya considerada.
ıgitos, el cual es D = {0, 1, 2, . . . , p−
Como antes, comenzamos por difinir nuestro conjunto de d´
1} . Primero buscamos la representaci´n en base p para los n´ mero naturales, es decir, dado un
o u
n´ mero natural n, queremos representarlo como una suma (finita) de potencias de p y coeficientes
u
en el conjunto D, esto es, queremos expresar n en la forma
N
n= ki · pi = k0 + k1 p + · · · + kN pN ,
i=0
donde los coeficientes ki son elementos de D, i = 0, 1, . . . , N . Para lograrlo procedemos en forma
similar al caso de la representaci´n decimal y aplicamos el algoritmo de divisi´n con p en vez de
o o
10.
Imitando lo realizado para p = 10, bastar´ lograr dicha representaci´n para los n´ meros reales
a o u
x en el intervalo [0, 1[. Para esto, dividamos los intervalos [0, 1/pn] (n ≥ 0) en p partes iguales.
Siguiendo las mismas directrizes que se utilizaron para el caso p = 10 se obtiene la representaci´n
o
requerida, es decir, se concluye que x posee la representaci´n o
N ∞
x= kj · pj + ki · p−i .
j=0 i=1
La convergencia de la serie del lado derecho de la igualdad anterior est´ garantizada debido a
a
∞
que se le compara con la serie geom´trica
e i=1 p
−i
o 1
de raz´n p , con p > 1.
3.0.4 Representaci´n tri´dica ( p = 3)
o a
ıgitos es D = {0, 1, 2}.
Esta representaci´n consiste en tomar p = 3 y por lo tanto el conjunto de d´
o
Entonces todo n´ mero real positivo x es representable como
u
N ∞
x= ki · 3i + kj · 3−j
i=0 j=1

19. 17
donde los coeficientes k ∈ D para todo . Por ejemplo, 38 = 1 · 3−1 + 2 · 3−2 + 2 · 3−3 + 0 · 3−4 +
81
· · · + 0 · 3−n + · · · . Observemos que en este caso los coeficientes son k1 = 1, k2 = 2, k3 = 2 y kj = 0
para j ≥ 3. Otros ejemplos de representaciones tri´dicas son
a
15 = 0 · 30 + 2 · 31 + 1 · 32
7
= 2 · 3−1 + 1 · 3−2
9
√
2 = 1 · 30 + 1 · 3−1 + 0 · 3−2 + 0 · 3−3 + 2 · 3−4 + · · · (no peri´dica)
o
2
= 0 · 3−1 + 2 · 3−2 = 1 · 3−1 + 2 · 3−2 + 2 · 3−3 + · · · + 2 · 3−k + · · ·
9
Calculemos en detalle el siguiente ejemplo
7
= 2 · 3−1 + 1 · 3−2 + 2 · 3−3 + 1 · 3−4 + 2 · 3−5 + · · ·
8
donde los coeficientes de sub´ ındice impar son iguales a 2 y los con subindice par son iguales a 1.
Para probar esta ultima igualdad procedemos a partir la serie en dos series, una que agrupa los
´
coeficientes pares y otra los impares. Tenemos entonces que
∞ ∞ ∞ ∞
2
2 · 3−(2j+1) + 1 · 3−2j = 9−j + 9−j
j=0 j=0
3 j=0 j=1
2 9 1 7
= · + = .
3 8 8 8
En general, un n´ mero real x tiene una representaci´n finita en base 3, es decir,
u o
N M
x= ki · 3i + kj · 3−j
i=0 j=1
si y s´lo si x es de la forma m/3n , donde n y m son enteros positivos.
o
Notemos que si el denominador de la fracci´n irreducible p/q no es una potencia de 3 entonces
o
la representaci´n en base 3 de p/q es peri´dica. Por otra parte n´ meros irracionales poseen repre-
o o u
sentaciones en base 3 no peri´dicas. Por ejemplo 1 = 0 · 3−1 + 2 · 3−2 + 0 · 3−3 + 2 · 3−4 + · · · ,
o 4
aqu´ los coeficientes con ´
ı ındice impar son ceros y los coeficientes con ´ ındice par son iguales a 2.
Ejemplo
1
= 0 · 3−1 + 1 · 3−2 + 0 · 3−3 + 2 · 3−4 + 1 · 3−5 + 2 · 3−6 + 0 · 3−7 + · · ·
7
El bloque formado por los coeficientes k1 = 0, k2 = 1, k3 = 0, k4 = 2, k5 = 1, k6 = 2 y k7 = 0
en la expresi´n anterior se repite peri´dicamente.
o o
Al igual que en el caso en base 10, cada n´ mero real tiene una representaci´n tri´dica y existen
u o a
n´ meros para los cuales se tiene al menos dos representaciones distintas, por ejemplo
u
1 1 0 0 0 2 2
= + + + ··· = + + + ···
3 3 3 3 3 3 3
3.0.5 Conjunto de Cantor y representaci´n en base 3
o
Veamos que el conjunto de Cantor est´ formado por los puntos x ∈ [0, 1] , cuya representaci´n en
a o
el sistema en base 3 no contienen al d´
ıgito 1, es decir, puntos de la forma
∞
x= kj · 3−j
j=1
donde, para cada j ≥ 1 , kj es igual a 0 o 2.

20. 18
Geom´tricamente esto es hecho como sigue. Primero dividimos el intervalo [0, 1] en 3 partes
e
iguales, es decir,
[0, 1] = [0, 1/3] ∪ ]1/3, 2/3[ ∪ [2/3, 1] .
Denotemos por I0 , I1 e I2 los intervalos [0 , 1 ] , ] 1 , 2 [ y [ 2 , 1], respectivamente. Los n´meros
3 3 3 3 u
en I0 comienzan su representaci´n en base 3 con el d´
o ıgitos k1 = 0 , los de I1 con el d´
ıgito k1 = 1 y
los de I2 con el d´ ıgito k1 = 2 , por lo tanto eliminamos de nuestro intervalo [0, 1] el intervalo central
abierto I1 , nos restan entonces con los intervalos cerrados I0 e I2 . Ahora en los intervalo I0 e I2
buscamos los puntos para los cuales k2 es 0 o 2. Tenemos que k2 es igual a 0 en I00 = [0 , 1 ] y en 9
I20 = [ 2 , 7 ], es igual a 1 en I01 =] 9 , 2 [ y en I21 =] 9 , 8 [ , finalmente k2 es igual a 2 en I02 = [ 2 , 1 ]
3 9
1
9
7
9 9 3
y en I22 = [ 8 , 1] . Por lo tanto eliminamos de nuestros intervalos los intervalos centrales abiertos,
9
I01 e I21 .
Definamos ahora, para cada n ∈ N, el conjunto Λn = {a1 . . . an : ai ∈ {0, 2}, i = 1, 2, . . . , n} ,
es decir, Λn esta formado por todos los posible arreglos de largo n de ceros y dos, por ejemplo I0 ,
I2 los podemos escribir como, Iλ , con λ ∈ Λ1 e I00 , I02 , I20 , I22 como Iλ con λ ∈ Λ2 .
Usando esta notaci´n, podemos repetir el proceso anterior eliminando desde cada uno de los
o
intervalos I00 , I02 , I20 e I22 los intervalos centrales abiertos Iλ1 donde λ ∈ Λ2 , obtenemos as´ ı
una uni´n de 23 intervalos cerrados. En la etapa siguiente debemos eliminar de cada uno de los
o
intervalos dejados, los intervalos centrales abiertos del tipo Iλ1 , con λ ∈ Λ3 . Continuando de este
modo, en el paso n tenemos una uni´n de 2n intervalos cerrados, y de cada uno de los cuales
o
debemos eliminar los intervalos centrales abiertos Iλ1 , con λ ∈ Λn , y as´ sucesivamente. Es claro
ı
que los n´meros eliminados tienen por lo menos un 1 en su representaci´n tri´dica, los puntos que
u o a
restan de la construcci´n s´lo tienen d´
o o ıgitos 0 o 2 en su represenati´n en base 3.
o
Mediante el proceso descrito arriba, obtenemos el conjunto de Cantor C , como habiamos
afirmado.
Por ejemplo, 1 pertenece al conjunto de Cantor, pues como vimos antes,
4
1
= 0 · 3−1 + 2 · 3−2 + 0 · 3−3 + 2 · 3−4 + · · · ,
4
donde los coeficientes de potencia par son iguales a 2 y los de potencia impar son iguales a 0.
Para tener otra imagen del conjunto de Cantor, hagamos la siguiente construcci´n:o
Sea x un n´ mero real y sea L ⊂ R un conjunto. Definimos la traslaci´n de L por x como el
u o
conjunto
L + x = {y + x : y ∈ L} .
Ahora definamos una sucesi´n de conjuntos, Lk , donde Lk = Lk−1 +sk−1 , k ∈ N. Comenzamos
o
por definir una sucesi´n (sk )k∈N , por s0 = 2 y para k ≥ 1 , sk = 1 sk−1 . La sucesi´n de conjuntos
o 3 3 o
Lk , con k ≥ 0 , es entonces definida por L0 = {0} , y Lk = Lk−1 ∪ (Lk−1 + sk−1 ) , para k ≥ 1 ,
por ejemplo,
2 2 2 8
L1 = 0 , , L2 = 0 , , , ,...
3 9 3 9
Note que L0 ⊂ L1 ⊂ L2 ⊂ · · · ⊂ Lk ⊂ · · · y que Lk est´ formado por 2k puntos distintos.
a
Adem´s, para cada y ∈ L su representaci´n en base 3 s´lo contiene d´
a o o ıgitos 0 o 2, por lo tanto cada
conjunto Lk est´ contenido en el conjunto de Cantor, C. Denotemos por L = ∪k∈N Lk , es claro
a
que L ⊂ C . Por otra parte, es f´cil ver que 1/4 no pertenece a L , por lo tanto L = C . Afirmamos
a
que cada x ∈ C se obtiene es aproximado tanto cuanto se desee por alguna sucesi´n de puntos en
o
L , es decir, L es denso en C . En efecto, dado x ∈ C , su representaci´n en base 3 es de la forma
o
∞
x= kj · 3−j
j=1

21. 19
−j n
donde kj = 0 o 2. Definamos la sucesi´n (xn )n∈N , donde xn =
o j=1 kj · 3 , esto es, xn
corresponde a la suma de los primero n t´rminos de la representaci´n de x en base 3 . Es claro que
e o
para cada n ∈ N , se tiene que xn ∈ Ln , y que
∞ ∞
|x − xn | = kj · 3−j ≤ 2 · 3−j = 3−n
j=n+1 j=n+1
como limn→∞ 3−n = 0 , se sigue que limn→∞ xn = x , lo que prueba nuestra afirmaci´n.
o
3.0.6 Representaci´n binaria (p = 2)
o
Esta representaci´n consiste en tomar p = 2 y D = {0, 1}. Entonces todo n´ mero real positivo x
o u
es representable como
N ∞
x= ki · 2i + kj · 2−j
i=0 j=1
donde los coeficientes, k ∈ D para todo . Por ejemplo,
137
= 1 · 2−1 + 0 · 2−2 + 0 · 2−3 + 0 · 2−4 + 1 · 2−5 + 0 · 2−6 + 0 · 2−7 + 1 · 2−8 ,
256
es decir, si consideramos los simbolo 001 , 01011 ellos representan los n´meros racionales
u
1
= 0 · 2−1 + 0 · 2−2 + 1 · 2−3
8
19
= 0 · 2−1 + 1 · 2−2 + 0 · 2−3 1 · 2−4 + 1 · 2−5 .
32
Un n´ mero irracional debe tener infinitos unos en su expresi´n binaria (de otra forma repre-
u o
sentar´ un n´ mero racional) y estos ceros y unos no tienen ninguna periodicidad. Es as´ como los
ıa u ı
s´
ımbolos 01001000100001 . . . , 110111011110111110 . . . representan n´ mero reales. El lector puede
u
tratar de calcularlos.
Para las computadoras, calculadoras y relojes anal´gicos los n´meros son objetos de diferentes
o u
longitudes con ceros y unos, donde la longitud de los s´ ımbolos que estas m´quinas pueden calcular
a
es finito (dependiendo de la capacidad de cada una) concluimos que ellas trabajan solamente
con n´meros racionales y s´lo con una cantidad finita de ellos. Para m´quinas que procesan
u o a √
con 8 y 13 d´ ıgitos respectivamente los resultados que generan para el n´ mero irracional 2 son
u
1.4142135 y 1.414213562373, respectivamente. Obviamente, por lo que sabemos estos valores son
√
s´lo aproximaciones racionales de 2.
o
En las representaciones de n´ meros reales que hemos expuesto consideramos que tanto la base
u
p (p > 1) y los d´ ıgitos D utilizados son n´meros naturales, la verdad es que esto s´lo sirvi´
u o o
para simplificar la exposici´n y los c´lculos. En general, podemos contruir representaci´nes de
o a o
los n´ meros reales usando una base cualesquiera p con |p| > 1 y un conjunto finito de d´
u ıgitos
D = {d1 , d2 , . . . , dk }. La condici´n |p| > 1 es necesaria para garantizar la convergencia de las
o
series geom´tricas involucradas en cada caso.
e
3.1 Tri´ngulo de Sierpinski y representaci´n en base 2
a o
En el plano eligimos un sistema de coordenadas (u, v) con origen en (0, 0) , donde la recta de las
abscisas coincide con el eje horizontal y la recta de las ordenadas forma un angulo de 600 con el
´
eje horizontal. Es f´cil ver que las coordenadas en el plano u v , con 0 ≤ u ≤ 1 y 0 ≤ v ≤ 1
a
representan un punto en el tri´ngulo de Sierpinski si y s´lo si la expansi´n en base 2 de u y de v
a o o

22. 20
nunca tienen un 1 en la misma posici´n. Ahora, al igual que como lo hicimos con el conjunto de
o
Cantor, veremos como obtener una buena aproximaci´n de los puntos del tri´ngulo de Sierpinski.
o a
Definamos s0 = 1 y L0 como cualquier conjunto con un punto, por ejemplo (0, 0). Enseguida
2
definimos L1 como la uni´n de L0 y el trasladado de L0 por s0 en las dos direcciones de los ejes de
o
coordenadas, y s1 = 1 s0 , L2 es definido como la uni´n de L1 y los trasladados de L1 por s1 en las
2 o
direcciones dadas, y as´ sucesivamente. Es claro que L1 ⊂ L2 ⊂ · · · ⊂ S , donde S es el tri´ngulo
ı a
de Sierpinski en el plano. Sea L = ∪k∈N Lk . Entonces L ⊂ S. Adem´s, tenemos que cada punto
a
del tri´ngulo de Sierpinski es aproximado tanto como se desee por una sucesi´n de puntos en L,
a o
es decir, L es denso en el tri´ngulo de Sierpinski.
a
Otra manera interesante de obtener una imagen del tri´ngulo de Sierpinski, es considerar el
a
tri´ngulo de Pascal, es decir, el tri´ngulo formado por los coeficientes binomiales del desarrollo del
a a
binomio (x + y)n , con n = 0, 1, . . . . Enseguida marcamos de color negro cada n´mero impar y
u
marcamos de color blanco cada n´mero par. Esto es hecho asignando a 0 el color blanco y a 1 el
u
color negro, y los n´ meros en el tri´ngulo de Pascal son considerados m´dulo 2 (es decir, si k ∈ N
u a o
entonces k = 1mod 2 si y s´lo si k es impar y k = 0 mod 2 si y s´lo si k es par). La figura obtenida
o o
se ve como el tri´ngulo de Sierpinski. La siguiente figura muestra algunos n´ meros que quedan en
a u
este proceso
Considerando m´s filas en el tri´ngulo de Pascal y considerand´lo m´dulo 2, obtenemos la
a a o o
siguiente figura, que es bastante semejante al tri´ngulo de Sierpinski
a
algunas filas del tri´ngulo de Pascal mod 2
a tri´ngulo de Pascal mod 2
a

23. Cap´
ıtulo 4
Sistemas de funciones lineales
iterados en la recta y en el plano
Lo que desarrollamos en este cap´ ıtulo corresponde a una parte “inocente” (en el sentido de que
es b´sico y restricto a la recta y al plano) del tema y su implementaci´n computacional. Esta
a o
es s´lo una introducci´n, digamos somera a la teor´ general, pero suficiente para que podamos
o o ıa
experimentar con ella.
4.1 Sistemas de funciones terados en la recta
Comenzamos por estudiar iteraciones de funciones en la recta. Para esto iniciamos el estudio con
las m´s simples, transformaciones afines. Un transformaci´n af´ de la recta en si misma es una
a o ın
funci´n de la forma f (x) = ax + b , donde a, b son constantes reales. El n´mero b = f (0) es
o u
llamado el factor de traslaci´n y a es llamado el factor de contracci´n si |a| < 1 o de expansi´n si
o o o
|a| > 1 , cuando |a| = 1 la aplicaci´n es llamada una similaridad, pues |f (x) − f (y)| = |x − y| .
o
El efecto que tiene b es trasladar el origen al punto b , luego, para el an´lisis de c´mo act´ a
a o u
una transformaci´n af´ de la recta en si misma, basta ver el efecto que tiene el coeficiente a .
o ın
Caso a > 0 . En este caso, la imagen de un intervalo por f (x) = ax , digamos [0, 1] , es el intervalo
[0, a] . Cuando a < 1 el intervalo es contraido al intervalo [0, a] ⊂ [0, 1] . Cuando a > 1 el
intervalo inicial es expandido al intervalo [0, a] ⊃ [0, 1] . Finalmente, cuando a = 1 el intervalo es
dejado invariante, es decir, no sufre modificaciones.
Caso a < 0 . En esta caso, la imagen del intervalo [0, 1] por f (x) = ax es el intervalo [a, 0] ,
el cual es contraido si −1 < a < 0 o expandido si a < −1 , y cuando a = −1 el intervalo se
trasnforma en [−1, 0] . Note que f ◦ f (x) = a2 x , luego las segundas iteraciones se se encuentran
en la parte positiva de la recta. En general, f n (x) = (f ◦ · · · ◦ f )(x) = an x , por lo tanto las
n veces
iteraciones pares se encuentran en la parte positiva de la recta y las iteraciones impares en la parte
negativa.
4.1.1 Iteraciones de funciones afines en la recta
Veamos las iteraciones de una funci´n af´ de la recta en si misma. Sea f (x) = ax + b una
o ın
funci´n af´ Entonces , f 2 (x) = f (f (x)) = f (ax + b) = a(ax + b) + b = a2 x + ab + b , f 3 (x) =
o ın.
f (f 2 (x)) = f (a2 x + ab + b) = a(a2 x + ab + b) + b = a3 x + a2 b + ab + b , y en general f n (x) =
ban
an x + (an−1 + an−2 + · · · + a + 1)b , de donde se obtiene que f n (x) = an x + 1−a − 1−a . Luego, si
b
21