Por Luna Debora

1. Trabajo practico integrador
“Fractales”
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Definición
Características
Tipos
Dimensiones
Historia (Benoit Mandelbrot)
Aplicación de los fractales en la ciencia y la tecnología:
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En las matemáticas
En la naturaleza
En e cuerpo humano
En el arte
En la música
En la comunicación e informática
En la física

2. Fractal
Definición:
Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica,
fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.
La definición de fractal en los años 1970, dio unidad a una serie de ejemplos,
algunos de los cuales se remontaban a un siglo atrás. A un objeto
geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:2
Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos
tradicionales.
Es autosimilar, su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura
Características:
El término fue propuesto por el matemático
Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa
quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La
propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su
dimensión métrica fractal es un número no entero.

3. Características:
Autosimilitud Según B. Mandelbrot, un objeto
es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o
estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y
pueden estar ligeramente deformadas.
Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:
Autosimilitud exacta este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que
el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos
en fractales definidos porsistemas de funciones iteradas (IFS).
Cuasiautosimilitud en el conjunto de Mandelbrot: al variar la escala obtenemos
copias del conjunto con pequeñas diferencias.
Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a
diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y
distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el
concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasiisometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son
normalmente de este tipo.
Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que
el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el
cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de
este tipo.

4. Tipos de fractales:
ALGORITMO DE ESCAPE:
La figura 1 es un fractal de Mandelbrot, y se genera mediante un
algoritmo de escape. Para cada punto se calculan una serie de valores
mediante la repetición de una formula hasta que se cumple una condición,
momento en el cual se asigna al punto un color relacionado con el número
de repeticiones. Los fractales de este tipo precisan de millones de
operaciones, por lo cual sólo pueden dibujarse con la inestimable ayuda del
ordenador.
Una característica especial del fractal Mandelbrot (y de otros tipos afines)
es la de generar un infinito conjunto de fractales, ya que por cada punto se
puede generar un fractal tipo Julia, que no es sino una ligera modificación
en la fórmula del Mandelbrot.

5. Tipos de fractales:
FUNCIONES ITERADAS: El sistema de funciones iteradas (IFS) es un
método creado por M. Barnsley, basándose en el principio de
autosemejanza. En un fractal IFS siempre se puede encontrar una parte de
la figura que guarda una relación de semejanza con la figura completa. Esa
relación es a menudo muy difícil de apreciar, pero en el caso del helecho
(imagen 2) es bastante clara: cualquier hoja es una réplica exacta de la
figura completa.

6. Tipos de fractales:
LANDENMAYER Y SIERPINSKI: La idea es sencilla y antigua. Un triángulo en
el que se aloja otro, uniendo los puntos medios de cada uno de sus lados.
Esto se repite con todos y cada uno de los triángulos formados que tengan
la misma orientación que el original, y así sucesivamente. Quizá se pueda
explicar de otra forma, pero lo mejor es verlo en la animación de la figura
siguiente
El triángulo de Sierpinski es uno de los pocos fractales que se puede dibujar
con exactitud sin ayuda de un ordenador, siguiendo las instrucciones
anteriores. En área fractal, el artículo Koch y Sierpinski detalla más
aspectos de este tipo de curvas.

7. Tipos de fractales:
ORBITAS CAOTICA: Cuando estudiamos en el colegio el sistema solar nos
dijeron que los planetas describían órbitas elípticas. Como en todo, eso es
cierto sólo hasta cierto nivel. El atractor de Lorenz se consigue llevando esa
incertidumbre hasta el extremo. La imagen 4 es una representación
bidimensional y coloreada de esa figura. Básicamente está formada por un
hilo infinitamente largo que va describiendo una trayectoria tridimensional
acercándose y alejándose de dos puntos de atracción.
Este tipo de modelo nació con un estudio sobre órbitas caóticas
desarrollado por E. Lorenz en 1.963.

8. Tipos de fractales:
ALEATORIOS Y CELULARES: Ciertas categorías de fractal no encajan del
todo dentro de las características que hemos descrito en algún otro sitio.
Estructuras como el plasma o las imágenes de difusión dependen en cierta
medida del azar, por lo cual son únicas e irrepetibles.

9. Tipos de fractales:
Los autómatas celulares están en el otro extremo. Funcionan con sencillas
reglas que colorean zonas a partir del color de las adyacentes. Pese a que
en principio pueda parecer que las imágenes conseguidas con este método
vayan a ser sencillas y simétricas, no tiene por qué ser así, como se
demuestra en la imagen

10. Dimensiones:
Hay principalmente dos formas aproximadas para generar una estructura
fractal. Una es hacerla crecer a partir de un objeto y la otra es construir las
divisiones subsecuentes de una estructura original como en el
triángulo de Sierpinski. En este caso se sigue la segunda aproximación
para definir la dimensión de las estructuras fractales.

11. Dimensiones:
Dimensión de información:
Otras cantidades dimensionales incluyen la «dimensión de información» que
considera cómo se escala la información promedio que se necesita para
identificar una caja ocupada, conforme las cajas se vuelven más pequeñas:

12. Dimensiones:
Dimensión de correlación
La dimensión de correlación es quizá la más fácil de calcular. Para ello
se genera un gran número de puntos al azar sobre una región del
espacio euclídeo que contenga al objeto fractal . Siendo el
conjunto de puntos generados al azar el conjunto finito , se llamará
al número de puntos caen sobre el fractal, es decir, ; la dimensión
fractal de correlación viene dada por:

13. Historia: Benoit Mandelbrot
Fue introducido al mundo de las matemáticas desde pequeño gracias a sus
dos tíos. Cuando su familia emigra a Francia en 1936, su tío Szolem
Mandelbrot, profesor de matemáticas en el Collège de France y sucesor
de Hadamard en este puesto, toma la responsabilidad de su educación.
Después de realizar sus estudios en la Universidad de Lyon ingresó a
la École polytechnique, a temprana edad, en 1944, bajo la dirección de Paul
Lévy, quien también le influyó fuertemente. Se doctoró en matemáticas por
la Universidad de París en el año 1952. Posteriormente se fue al MIT y
luego al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, donde fue el último
estudiante de postdoctorado a cargo de John von Neumann. Después de
diversas estancias en Ginebra y París acabó trabajando en IBM Research.