1. Fractales
Dimensión Fractal:
Hacia una medida de la Realidad

2. Primera Parte
Aspectos Teóricos de la
Geometría Fractal
Definición de Fractal
Autosimilitud
Dimensión Fractal
Diferentes Tipos de Fractales

3. Hacia una definición
Frases sueltas sobre Fractales
** La Geometría Fractal es también conocida como la “Geometría de la Naturaleza. **
** La palabra Fractal, enunciada por Mandelbrot, proviene del latín y significa roto, quebrado.
(Se asocia con las discontinuidades de funciones matemáticas). **
** La Geometría Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas, elipses y demás
objetos de la geometría tradicional son reemplazados por algoritmos iterativos computacionales
que permiten describir sistemas naturales, caóticos y dinámicos. **
** Un fractal es un objeto en el cual sus partes tienen “alguna” relación con el todo. (esto está
íntimamente ligado a la Autosimilitud) **
** Los Fractales son objetos cuya dimensión es no entera o fraccionaria. **
** Un objeto fractal es aquél que posee las siguientes dos características:
a) Autosimilitud,
b) Dimensión Fractal
**

4. ¿Qué es un Fractal?
Son objetos geométricos que poseen dos características fundamentales:
2) Autosimilitud
3) Dimensión Fraccionaria
¿Cuántos tipos de Fractales existen?
Los objetos Fractales se pueden clasificar de la siguiente manera:
Lineales
Complejos
Caóticos

5. Autosimilitud
1) Perfecta:
Perfecta Cada porción de un objeto tiene exactamente las mismas características del objeto
compelto.

6. Autosimilitud
2) Estadística: cada región de un objeto conserva, de manera estadísticamente similar, sus
características globales.

7. Dimensión Fractal
1) Dimensión Topológica:
Dimensión 0 -- Un punto
Dimensión 1 -- Una línea recta
Dimensión 2 -- Un plano
Dimensión 3 -- El espacio
2) Dimensión de Dimensión de Hausdorff-Besicovitch
S = LD
Donde S es la cantidad de segmentos o su longitud; L es la escala de medición; D es justamente la Dimensión.
Luego obtengo:
Log S = Log LD
Por propiedades de los logaritmos puedo decir que:
Log S = D* Log L
Por último divido ambos miembros por Log L y obtengo:
D = Log S / Log L

8. Dimensión Fractal
Fractales Lineales Fractales Complejos y Caóticos
Su Dimensión Fractal se CALCULA Su Dimensión Fractal se ESTIMA
Mediante la siguiente Fórmula Mediante las siguientes técnicas o
algoritmos
S = LD Wavelets
Exponente de Hurst
Donde : Dimensión de Autocorrelación
Boxcounting Method
Exponentes de Lyapunov
S es la cantidad de veces que se repite la imágen generadora
L es igual a (1/e) donde “e” es la escala de medición Ejemplo DM de un Fractal Lineal
D es justamente la Dimensión buscada.
e = (1/3)
Aplicando logaritmos se obtiene:
Log S = Log LD
L= 1/(1/3)=3
Por propiedades de los logaritmos escribimos: S=4
Log S = D* Log L
Por último divido ambos miembros por Log L y D = log(4)/log(3)
obtengo:
D = 1,261859

9. ¿Cómo se genera un Fractal?
Paso 1, se elige una imagen generadora (puede ser cualquiera, desde una recta hasta la cara de Mickey Mouse).
Paso 2, se elige un algoritmo de transformación de la imagen generadora.
Paso 3, se itera el algoritmo infinitas veces, o con un límite determinado como variable en un software.
Ejemplos:
Curva de Von Koch Curva de Peano Modelo Neuronal
Los Fractales complejos se generan con la misma lógica, solo que en lugar de iterar una imagen, se itera una ecuación en el
plano de los números complejos.
Por ejemplo, el Conjunto de Mandelbrot se genera mediante la iteración de: Zn+1 = Zn^2 + C
Los Fractales Caóticos, son los elementos geométricos de la Teoría del Cáos. Se los denomina Atractores. Se generan a través
de mediciones provenientes del mundo real, como Ecuaciones Direnciales o Series de tiempo.
Cuando uno modela un sistema natural caótico, tiene como finalidad encontrar un Atractor.

10. Mejorando nuestra definición
La Geometría Fractal, llamada también "Geometría de la Naturaleza", es un conjunto de
estructuras irregulares y complejas descriptas a través de algoritmos matemáticos y
computacionales; los cuales reemplazan a los puntos, rectas, circunferencias y demás
figuras provenientes de la matemática tradicional. Estos objetos tienen como características
fundamental las propiedades de Autosimilitud y la de convivir en extraños paisajes formados
por dimensiones fraccionarias.
Ahora si … La definición de MANDELBROT
Un fractal es un objeto matemático cuya dimensión de Hausdorff
es siempre mayor a su dimensión topológica.

11. El Conjunto de Cantor
S=2
L=3
Dimensión Topológica = 1 ya que
parte de una recta.
Dimensión Fractal = 0.6309…..
D = Log 2 / Log 3 - D = 0.6309.............
Se presenta el problema de excepción a la definición de Mandelbrot
Tiene dimensión fraccionaria, pero su dimensión Topológica es
mayor que su dimensión fractal.

12. Matemática Fractal
Generando el Conjunto de Mandelbrot (M-Set)
Conjuto Números Complejos Iteración z1 = z02 + c
Iteraciones
Todos los Z y C son números complejos Z0 es el inicializador
z2 = z12 + c La sucesión formada por Z ,Z , Z , Z ………Zn
0 1 2 3
z3 = z22 + c Se denomina la ORBITA de Z bajo la iteración z +c
2
0
z4 = z32 + c Las órbitas pueden converger o diverger.
Definición + Conjunto de Mandelbrot
z5 = z42 del c
El conjunto Mandelbrot M, consiste de todos aquellos valores (complejos)
de c cuyas órbitas de 0 bajo z2 + c correspondientes no escapan al infinito
M-Set= {c / órbita de 0 en Z2 + c converge}
Importante: En M-Set siempre interesa estudiar la órbita de Z0 = 0

13. Matemática Fractal
Generando el Conjunto de Mandelbrot
Los colores representados en un Fractal no tienen
Fractales y Colores un carácter artístico, sino puramente Matemático.
Defino un algoritmo de Colores:
- Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color NEGRO
- Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color NEGRO - Si c NO PERTENECE a M-SET que pinte con alguna
- Si c NO PERTENECE a M-SET que pinte de color BLANCO gama de AZUL.
- Defino azul CLARO para los valores de C que tardan
MUCHO en DIVERGER.
- Defino azul OSCURO para los valores de C que
DIVERGEN rápidamente.
Los colores dan una muestra de la velocidad
con la que diverge la sucesión:

14. Fractales Caóticos - Atractores Extraños

15. Diferentes Tipos de Fractales
Son los objetos geométricos
Fractales de la Teoría del Caos
Lineales Complejos Caóticos
Poseen estructura Fractal.
Autosimilitud Perfecta Autosimilitud Estadística
Autosimilitud Estadística
Dimensión Fractal fácil de Dimensión Fractal difícil de Se requieren métodos de
calcular con: S = LD calcular. Se requiere software. medición más complejos que la
Método: Box Couting Dimensión Fractal.
Se crean a partir de: Se crean a partir de:
-Un generador Se generan a partir de sistemas de
-Un Z0
-Un algoritmo de repetición Ecuaciones Diferenciales
-Iteraciones en el Plano Complejo
Ejemplo: Atractor de Lorentz
Ejemplo: Triángulo de Cantor y Ejemplo: Conjunto de
Modela el Clima Meteorológico
Mandelbrot, Conjunto de Julia
Triágulo de Sierpinski

16. Segunda Parte
Aplicaciones Fractales
Medicina
Economía
Otras Ciencias
Arte

17. Fractales en Medicina - Neurociencias
Simulación de una imágen del Cerebro
Humano
Iteración de la fórmula: Zn+1 = Z0 + C
Diferencia con el Conjunto de Mandelbrot, se colorean
TODOS los puntos y no solo los convergentes.
Modelo de Neurona con el que trabaja la
Medicina Actual
Primeros pasos para desarrollar un
modelo Neuronal Fractal.
Se elige un generador (A), se propone un
algoritmo (B) se comienza a desarrollar
el fractal (C y D).
Se puede llegar a diferentes modelos
dependiendo el generador y algoritmo
elegido.

18. Mas Fractales en Medicina
Imagen de un Pulmón animalcon
Imagen de un Pulmón humano
las mismas características
con características fractales
Fractales, Estadística y
Medicina
El análisis de autosimilitud y
patrones, no necesariamente tiene
que estudiarse desde imagenes,
puede hacerse tambien desde
ecuaciones o curvas como en este
caso de EEG o Series de Tiempo
Imagen de aumentada con detalles
de un pulmón humano

19. Cardiología Fractal
ECG visto como una serie de tiempo.
Se realiza un análisis Fractal para determinar la DF de ECG de pacientes sanos y de
pacientes con determinadas patologías.
Problema:
Diversos estudios de ECG mostraban una inconsistencia entre el tamaño de la arteria
izquierda en relación con la fibrilación arterial.
Hipótesis:
Mediante un Análisis de la Dimensión Fractal de una fibrilación arterial proveniente de
un ECG se puede predecir el tamaño de la arteria izquierda.
Método:
Se estudian 53 pacientes con fibrilación arterial.
Resultados:
Si la DF es mayor a 1.14, el tamaño de la arteria izquierda en TODOS los pacientes, es
de 4,6 cm. o mayor.
Si la DF es menor que 1.09 , el tamaño de la arteria izquierda en TODOS los pacientes,
es menor a 4,6 cm.
Si la DF se encuentra entre 1.09 y 1.14, no presenta una correlación con el tamaño de
la arteria izquierda.

20. Series de Tiempo como Fractales Caóticos
La evolución y dinámica de diferentes sistemas biológicos, sociales,
económicos o médicos pueden ser vistos y representados como series
de tiempo.
Gráfico de la evolución
de precios en la Bolsa
de Comercio de Canadá,
la cual puede ser tratada
y estudiada como una
serie de tiempo.
Un
ElectroEncefalograma
también puede ser visto
y tratado como una
serie de tiempo
Con el mismo procedimiento descripto
anteriormente se genera un fractal lineal, En ambos casos se realiza un Análisis Fractal para determinar el grado de
con autosimilitud perfecta, que autosimilitud que poseen estas series, y en base a eso se puede conocer más
representa el gráfico de una serie de acerca de su dinámica, lo cual permite realizar inferencias sobre el sistema.
tiempo.

21. Fractales en Economía y Finanzas
Teoría Multifractal en el
Análisis de la Bolsa de
Comercio
A la izquierda modelos tradiconales en el
Análisis de charts. A la derecha el mismo
Análisis pero utilizando técnicas Fractales
Notar la diferencia en el detalle.

22. Enconomía Fractal
Mercados Financieros vistos como series de tiempo.
Se realiza un Análisis para determinar la DF de la serie de tiempo con el objeto de conocer la dinámica del movimiento de precios
dentro de la Bolsa de Comercio y poder inferir sobre valores futuros.
Se calcula la DF mediante el algoritmo denominado Exponente de Hurst.
Propiedades del exponente de Hurst (H):
Varía entre 0 y 1
Si H = 0,5 del exponente indica que la serie de tiempo es TOTALMENTE aleatoria por lo cual no se puede inferir en el futuro.
Si 0 < H < 0,5 existe una correlación inversa. Si la tendencia de la serie era decreciente, en intervalos posteriores será creciente, y
por el contrario, si su tendencia era creciente, en el futuro será decreciente.
Si 0,5 < H < 1 existe una correlación directa. Si en un intervalo de tiempo la serie es creciente, lo seguirá siendo en el futuro, y
viceversa.
Aplicación al Mercado Financiero.
Si se estudia la evolución en el tiempo del precio de determinada acción mediante esta técnica se puede inferir:
Si el valor de H de la serie de tiempo es 0,5 no puedo decidir que hacer con mis acciones.
Si 0 < H < 0,5 && previamente creciente => VENDO (infiero que luego el valor disminuyendo)
Si 0 < H < 0,5 && previamente decreciente => COMPRO (infiero que luego el valor aumentará)
Si 0,5 < H < 1 && previamente creciente => COMPRO (infiero que el valor seguirá aumentando)
Si 0,5 < H < 1 && previemante decreciente = > VENDO (infiero que el valor seguirá disminuyendo)

23. Análisis Fractal de índices bursátiles
Análisis del índice de valores de las acciones de la empresa
Google, perteneciente al indicador de acciones tecnológicas
de EEUU NASDAQ.
Período: Desde el primer día de cotización hasta Setiembre
de 2008 donde se produce el crash financiero.
El índice tiene un piso de 100 U$S y llegó a cotizar
780 U$S.
El índice fractal calculado de esta serie de tiempo (el
Exponente de Hurst), tiene un valor de 0,58.
Lo cual indica que el movimiento de precios tuvo una
dinámica cercana a la aleatoriedad.
Análisis del índice de valores de las acciones de la Bolsa de
Comercio de Buenos Aires, MERVAL, del día 22 de Octubre
de 2008.
Este día las acciones han tenido una caída del 10%.
El índice fractal calculado ha sido de 0.75%.
El mismo es significativamente superior a 0,5,. Lo cual indica
una dinámica alejada de la aleatoriedad, esto significa que
hubo coordinación en la compra y venta de acciones a lo
largo de ese mismo día. Miles de mentes pensaron lo mismo
al mismo tiempo.
Mediante este tipo de análisis es posible sacar patrones de
comportamiento y comprender con mayor eficacia la
dinámica de un sistema hiper-complejo como la Bolsa de

24. Fractales y Arquitectura
Arte Fractal
Estas tres imagenes de Arte
Fractal muestran Fractales
matemáticos perfectamente
reconocibles, el Conjunto de
Mandelbro y el Conjunto de
Julia
Fractales manipulados
mediante un software
para generar paisajes
Fractales, utilizados en el
cine o videos para suplantar
maquetas.

25. Conclusiones
Los objetos fractales, más allá de ser elementos matemáticos que requieren un alto grado de abstracción,
permiten modelar de manera visualmente interesante gran cantidad de sistemas naturales.
La dimensión fractal, que también parece ser una medida totalmente abstracta, ya que no es tan fácil
generarse la idea de una dimensión fraccionaria teniendo como base nuestros conceptos tradiciones de
dimensión euclidea, puede representar y darnos un parámetro de determinados sistemas con mucha más
precisión y realidad de lo que lo hacen técnicas de análisis tradicionales.
El Análisis Fractal se ha convertido en una potente herramienta de investigación para diferentes áreas de
la Ciencia Aplicada, que van desde la Medicina, Biología, Sociología, Física, Economía hasta el Arte o la
Arquitectura.
Se han publicado cientos de trabajos en los últimos 10 años en el campo de la Medicina que abarcan
análisis de ECG, EEG, dinámica de la desintegración sináptica en la enfermedad del Alzheimer o el
crecimiento de un tumor. Como así también en Economía, todos los software de análisis bursátil
contemplan los índices fractales vistos en las diapositivas anteriores o en Sociología se estudia el
crecimiento y densidad de las poblaciones o emigraciones.